О сферических и сверхсферических подгруппах полупростых групп Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.816

Зорин Арсений Александрович

О СФЕРИЧЕСКИХ И СВЕРХСФЕРИЧЕСКИХ ПОДГРУППАХ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□□3458 168

¿г

Москва - 2008

003458168

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Эрнест Борисович Винберг.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Григорий Иосифович Ольшанский

(Институт проблем передачи информации имени А. А. Харкевича РАН);

доктор физико-математических наук Олег Карлович Шейнман

(Математический институт имени В.А. Стеклова РАН). Ведущая организация:

Санкт-Петербургское Отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 26 декабря 2008г. в 16— на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 26 ноября 2008г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Актуальность темы

Диссертация посвящена различным аспектам теории сферических однородных пространств.

Основным полем является поле комплексных чисел. Пусть G — связная редуктивная комплексная алгебраическая группа, Я — алгебраическая подгруппа в G. Действие G : X группы G на алгебраическом многообразии X называется сферическим, если борелевская подгруппа группы G имеет в X открытую (по Зарисскому) орбиту. Подгруппа H называется сферической если сферично однородное пространство X = GJH. В случае, когда пространство X аффинно (то есть подгруппа H редуктивна) сферические пространства хорошо изучены. В частности, получена полная классификация сферических аффинных однородных пространств1'2'3, а также установлена связь с другими классами однородных пространств редуктивных групп Ли. В работе Э.Б. Винберга и Д.Н. Ахиезера4 доказано, что аффинное однородное пространство является сферическим, тогда и только тогда, когда оно является слабо симметрическим. Представляют интерес для изучения сферические однородные пространства нередуктивных подгрупп. В данной работе исследуется связь между сферическими и слабо симметрическими однородными пространствами в случае, когда пространство X = G/H квазиаффинно, то есть является открытым подмножеством в аффинном многообразии.

Наряду со сферическими подгруппами отдельный интерес представляют сверхсферические подгруппы. Связная редуктивная подгруппа H редуктивной группы G называется сверхсферической, если для любого неприводимого представления р : G —GLiy)

1Brion M., Classification dea espaces homogènes sphériques, Compositio Math., 63, 189-208, 1987.

5Микитюк И.В., Об интегрируемости инвариантных гамилътпоновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. сб., 129, 514-534, 1986.

'Krämer M., Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math., 38, 129-153, 1979.

4Alchiezer D.N., Vinberg E.B., Weokly Symmetrie spaces and spherical varieties, Transforma-

tion Groups, 4, no.l, 3-24, 1999.

спектр ограничения р\ц прост. В таком случае касательная алгебра I) группы H называется сверхсферической подалгеброй алгебры д. Легко проверить, что подалгебра 1) сверхсферична в g тогда и только тогда, когда централизатор H({j)f' алгебры f) в универсальной обертывающей алгебре íl(g) коммутативен. В работе Ф.Кнопа5 доказано, что алгебра il(g)f) коммутативна тогда и только тогда, когда коммутативен централизатор P(g)t> в алгебре Р{g) = gr lt(g). В этом случае, если 3(fl),3(f)) -центры алгебр Я(д) и il(fj) и Z(g), Z(fj) - центры алгебр Р(д) и V{b), то И(д)" = 3(в) ® Ж и Р(д)" = Z(g) ® Z%. В той же работе найдены все редуктивные сверхсферические подгруппы полупростых групп Ли.

В данной работе мы называем (не обязательно редуктивную) подалгебру f) сверхсферической в редуктивной алгебре g, если централизатор il(g)^ коммутативен и исследуем данный случай.

Классической задачей теории представлений групп Ли является следующая. Пусть gn - одна из классических простых комплексных алгебр Ли ранга п: gn = sIWi(C),£02„(C),S02„+i(C), sp2n(C) (далее мы будем опускать знак С). Рассмотрим в алгебре дп подалгебру 0n-i ~ классическую простую подалгебру такого же типа, что и g, на единицу меньшего ранга. Одним из классических вопросов теории представлений является следующий. Пусть р : gn 0Í(V) - неприводимое представление алгебры д„ в пространстве V. Рассмотрим ограничение р|в„_, этого представление на подалгебру gn_i. Каким будет его спектр?

Решение проблемы разделения кратных точек спектра представления р[0Г1_1 хорошо известно. Оно получено Г. Вейлем6 для серии Ап, И.М. Гельфандом и М.Л. Цетлином7 для серий Вп и Dn, Д.П. Желобенко8 для серии С„. Традиционный

sKnop F., Der Zentralisator einer Liealgebra in einer einhüllenden Algebra, J. Reine Angew. Math. 406, 5-9, 1990.

вВейль Г., Теория групп ti квантовая механика, M., Наука, 1986.

7Гельфанд И.М., Цетлин М.Л., Конечномерные представления группы ортогональных матриц, ДАН СССР, Т. 71, № 6,1017-1020, 1950.

'Желобенко Д.П., Классические группы. Спектральный анализ конечномерных

метод освобождения от кратностей (метод Гельфанда-Цетлина), используемый для всех серий, кроме Сп, состоит в разделении кратных компонент при помощи включения между алгебрами дп и д„_1 некоторой редуктивной подалгебры д, такой, что прост как спектр представления = рх ф ... ф рт, где р; - неприводимые ¿-модули, так и спектры всех представлений р1-|дп_1.

В.В. Штепиным9,10,11 была предложена модификация метода Гельфанда-Цетлина. В качестве промежуточной подалгебры выбирается нередуктивная подалгебра д, которая является стабилизатором (изотропного) вектора в пространстве V стандартного представления алгебры д. Далее строится д-инвариантная фильтрация 0 = ^ С С ... С ^ = 7 в пространстве V неприводимого представления алгебры Ли д, такая что спектр фактора как д„_1-модуля прост и все такие

факторы попарно не изоморфны как д-модули (или изоморфны, но разделяются еще одним дополнительным условием в случае 502п+1)- Таким образом, изоморфные д„_1-модули разделяются путем включения их в различные д-модули. Оказывается, что алгебры д являются сверхсферическими подалгебрами в д„. В представленной работе предпринята попытка описать действие централизатора И(дп)в в пространстве неприводимого представления алгебры д„ и применить этот централизатор для разделения кратных точек спектра представления р|Вп_1 и построения аналога базиса Гельфанда-Цетлина.

Цель работы

Целью работы является исследование свойств сферических и сверхсферических нередуктивных подгрупп полупростых

представлений, Успехи математических наук, т.17, .VI, 27-119, 1962.

9Штепин В.В., Промежуточные алгебры Ли и их конечномерные представления, Изв. РАН, Сер. матем., 57, №6, 176-198, 1993.

10Штепин В.В., Промежуточная ортогональная алгебра Ли Ь„_1/2 и ее конечномерные представления, Изв. РАН, Сер. матем., 62, №3, 201-223, 19Э8.

иШтепин В.В., Промежуточная алгебра Ли Х>„_1/2, весовая схема и ее конечномерные представления со старшим весом, Изв. РАН, Сер. матем., 68, Х«2, 159-190, 2004.

групп Ли, их связей с другими классами подгрупп, а также их классификация.

Методы исследования

В работе используются методы теории групп Ли, методы теории представлений групп Ли, методы теории пуассоновых многообразий.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Доказана эквивалентность сферичности и слабой симметричности для обозримых подгрупп редуктивных групп Ли, сохраняемых некоторой инволюцией Вейля.

2. Получена полная классификация коизотропных подалгебр простых алгебр Ли.

3. Получена классификация коизотропных подалгебр с тривиальной группой характеров полупростых алгебр Ли, а также доказана их сверхсферичность.

4. Получен критерий сверхсферичности алгебраической подалгебры редуктивной алгебры в терминах теории представлений

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для теории однородных пространств групп Ли, теории представлений.

Апробация результатов

Результаты автора докладывались на следующих научно-исследовательском семинарах:

1. Семинар „Коммутативные однородные пространства" под руководством Э.Б. Винберга, мех-мат МГУ, 2004 г. Доклад „О слабой симметричности обозримых подгрупп редуктивных групп".

2. Семинар „Группы Ли и теория инвариантов" под руководством Э.Б. Винберга и А.Л. Онищика, мех-мат МГУ. Доклады: „О коммутативности централизатора подалгебры в универсальной обертывающей алгебре", 2006 г.; „О коизотропных подалгебрах полупростых алгебр Ли", 2007 г.

3. Семинар „Теория представлений и динамические системы" под руководством A.M. Вершика, ПОМИ РАН, 2007 г. Доклад „О коизотропных и сверхсферических подалгебрах полупростых алгебр Ли".

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, перечисленных в конце автореферата [1-2].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из пяти глав, разбитых на параграфы. Текст диссертации изложен на 55 страницах. Список литературы включает 31 наименование.

Краткое содержание работы

В главе 1, которая является вводной, дана краткая справка о предшествующих работах, показана актуальность темы и сформулированы основные результаты диссертации.

В главе 2 исследуется связь между сферичностью и слабой симметричностью обозримых подгрупп редуктивных групп Ли. Доказывается, что при одном дополнительном условии на подгруппу эти два свойства эквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть G — редуктивная алгебраическая группа, Н — произвольная обозримая подгруппа, и существует такая инволюция Вейля в группы G, что в{Н) = Н. Однородное пространство X = G/H слабо симметрично тогда и только тогда, когда оно сферично.

Также в работе приведены примеры, которые показывают, что если не существует инволюции Вейля, сохраняющей подгруппу Н, то обе импликации теоремы 1.1 неверны.

В главе 3 мы переходим к изучению сверхсферических подгрупп полупростых групп Ли. Для того, чтобы алгебра 11(g) ^ была коммутативной, необходимо, чтобы централизатор P(0)f) алгебры f) в ассоциированной с 11(g) градуированной алгебре Р(д) был коммутативен относительно скобки Пуассона. Алгебра Р(д) реализуется как алгебра Пуассона на пространстве д*, на котором пуассонова структура задается послойно на орбитах коприсоединенного представления с помощью формы Костанта-Кириллова. Мы сначала классифицируем случаи, когда коммутативна алгебра Р(д)*>.

Мы вводим понятие коизотропной подалгебры () полупростой алгебры д. Подалгебру I) С 0 будем называть коизотропной, если коприсоединенное действие Н : д* коизотропно на симплектических слоях общего положения.

Алгебру Пуассона на симплектическом многообразии М будем обозначать через Р{М). Пусть задано симплектическое действие G : М и Quot Р(М) - поле частных алгебры Р(М). Алгебра инвариантов (Quot P(M))G коммутативна тогда и только, тогда когда действие G : М является коизтропным. Таким образом, алгебра (Quot P(g))'' коммутативна тогда и только тогда, когда алгебра F) коизотропна. Если группа Я не имеет нетривиальных характеров, то оба этих условия равносильны коммутативности алгебры P(g)f'.

Далее мы получаем классификацию коизотропных подалгебр в двух случаях: когда алгебра g проста и когда алгебра g полупроста и подалгебра f) не имеет нетривиальных характеров.

Теорема 1.3. Пусть д - простая алгебра Ли. Собственная подалгебра t) С 0 является коизотропной тогда и только тогда, когда пара (g, fy) есть одна из нижеперечисленных:

1) (sl„+i,0in)(n > 1), (so„,so„_i)(n > 5);

2) (д,0<и>) или (д,д„), где g - классическая простая алгебра

Ли, v - старший вектор стандартного представления алгебры g (изотропный если д = son), < v > - прямая, натянутая на v, g„ и 0<v> - стабилизаторы вектора v и прямой < v > соответственно.

3) (stn+i.Pfa,ап)). где Р(а,,оп) - параболическая подалгебра, отвечающая набору простых корней {«i, (определение см. в п. 3.5).

4) (sfo, Ь) или (3(3, u + {En — 2Е22 + Е33)), где Ь - борелевская подалгебра в зГз, и - ее унипотентный радикал, a Eij -соответствующие матричные единицы.

Теорема 1.4. Пусть д - полупростая алгебра Ли, f) С g -собственная алгебраическая подалгебра с тривиальной группой характеров. Пара (д, [)) является неразложимой коизотропной тогда и только тогда, когда она есть одна из нижеперечисленных:

1) (son.son-i),»! > 4;

2) (0,flu), где g - классическая простая алгебра Ли, v -старший вектор стандартного представления алгебры д, gv - его стабилизатор.

В начале главы 4 мы доказываем критерий сверхсферичности алгебраической подалгебры () в редуктивной алгебре g в терминах конечномерных неприводимых представлений алгебры д. Пусть р : д —>■ gl(V) - неприводимое представление алгебры 0. Оно естественным образом продолжается до представления алгебры il(g), которое мы также обозначим через р. Обозначим через g[(V)f) централизатор подалгебры р(\)) в gt(V).

Теорема 1.2. Алгебра Я(д)^ коммутативна тогда и только тогда, когда для любого неприводимого представления р : д -> gt(V) коммутативна алгебра g[(V)f).

Для редуктивной алгебры [) коммутативность алгебры g означает в точности простоту спектра представления р\ц.

Далее мы изучаем коизотропные пары из п.2 теоремы 1.4. Мы описываем структуру централизатора 11(g) ^ для данных пар и как следствие получаем их сверхсферичность.

Теорема 1.5. Пусть (g, I)) одна из пар из пункта 2 теоремы 1.4. Тогда

1) p{Q? = z(b)®z(Q)-

2) ü(g)1^ = ; в частности, алгебра ü(0)f' коммутативна.

Также мы доказываем, что алгебры Z( f)) и 3(Ь), а

следовательно и алгебры il(fj)1' и Р(д)1', являются алгебрами многочленов.

В главе 5 мы переходим к изучению действия алгебры il(g)f) в неприводимых конечномерных представлениях алгебры g для коизотропных (и сверхсферических) пар (g, fj) из п.2 теоремы 1.4.

Зафиксируем максимальный тор t и систему простых корней П в классической простой алгебре Ли д = дп. Будем считать, что f) - стабилизатор старшего вектора стандартного представления относительно системы корней П. Алгебра Леви f)recj совпадает с алгеброй gn-i- Пусть t = t П f) есть максимальный тор алгебры fj, выделяемый в t уравнением a>i (t) = 0, где и>\ - старший вес стандартного представления, то есть первый фундаментальный вес алгебры д. Через ш будем обозначать минимальный ненулевой вес, пропорциональный весу uii и лежащий в решетке корней, а именно Ш = ПШ\ ДЛЯ 5ln+l, UJ — ÜJ\ для S02n+1, w = 2(^1 для sp2n и ш = 2cüi для S02n- Для всякого веса Л G t* будем обозначать через А его ограничение на t.

Пусть рх '• 0 ->• gl(F(A)) - неприводимое конечномерное представление алгебры Ли g с младшим весом —А. Его продолжение до представления алгебры il(g) будем также обозначать через р\. Младший вектор представления р\ обозначим через

Будем называть вектор в пространстве V(A) полумладшим, если он является младшим относительно f)red и весовым относительно t. Линейную оболочку полумладших векторов обозначим через V(A)~. Соответственно, будем обозначать через V(\)~ подпространство полумладших векторов веса ß относительно максимального тора t, а через V(A)p -подпространство полумладших векторов веса ~ß относительно тора t. Ясно, что V(A)p =

шей

Обозначим через 3(Ь)+ идеал в 3(f)), состоящий из многочленов с нулевым свободным членом, а через Ъ{Ъ)ры ~ однородную компоненту алгебры 3(f)) веса ри относительно тора t. Основной гипотезой о действии 3(1}) в пространстве неприводимого представления является следующая

Гипотеза 1.6. Пусть д - классическая простая алгебра Ли, ij = flu - стабилизатор старшего вектора стандартного представления алгебры д. Пусть р\ : g ßi(V) - неприводимое представление с младшим весом —Л. Тогда

1) для любого простого t) re(j - м одул я U пространство Нош({/, V(A)) есть циклический 3(Ь)-модуль или, другими словами, любая изотипная компонента (^-модуля V(A) имеет вид U ® С, где С - циклический 3(^)-модуль.

2) спектр f) red-модуля Ж (А) = V(A)/p(3(fj)+)V(A) прост.

Если гипотеза 1.6 верна, то из нее следует, что кратные точки

спектра представления рдкеа могут быть разделены при помощи отнесения их к разным элементам циклического 3(Ь)_М°ДУЛЯ С-

Пусть Т> G Г. Множество весов А таких, что ф О,

обозначим через £(z7). Для А £ С (у) обозначим через и(\) G t* минимальный вес такой, что ф 0 и и(Х) = и. Веса

вида v{X) будем называть минимальными. Также будем называть соответствующие полумладшие векторы. Вес v{\) не зависит от А и в каждом неприводимом представлении алгебры g существует не более одного вектора с данным минимальным полумладшим весом.

Утверждения 1) и 2) гипотезы 1.6 на самом деле равносильны. Утверждение 1) другими словами означает следующее: если - минимальный полумладший вектор, то выполняется равенство V(\)Zj„ = 3(Ь)«-а+„. Положим (А, а,) = 2(А, ач)/(а<, оц). В данной работе доказан следующий асимптотический вариант гипотезы 1.6.

Теорема 1.7. При любом фиксированном р £ Z для любого минимального полумладшего веса v существуют такие числа K\(v), ...,Кп(и), что для всех А таких, что (А, а,) > Я,-(и) выполняются следующие два условия

—X+u+pu!'

2) dim = dim V{X)Zx+l/+piJJ = dim

Благодарности

Я благодарю своего научного руководителя доктора физико-математических наук, профессора Эрнеста Борисовича Винберга за постановку задачи и внимание к проделанной работе. Я также благодарю доктора физико-математических наук Дмитрия Ивановича Панюшева, доцента Дмитрия Андреевича Тимашева и доцента Ивана Владимировича Аржанцева за плодотворные обсуждения по теме работы. Благодарю всех сотрудников кафедры высшей алгебры за творческую атмосферу, которая способствовала научной работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1]. Зорин A.A., О связи сферичности и слабой симметричности однородных пространств редуктивных групп. Вестн. Моск. ун-та. Сер.1, Математика. Механика. №4, 14-18, 2005.

[2]. Зорин A.A., О коммутативности централизатора подалгебры в универсальной обертывающей алгебре Ли. Депонировано в ВИНИТИ РАН 29.10.08 № 832-В2008, 26с.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имениМ. В. Ломоносова

Подписано в печать/?/! 1 1,0$> Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 0,75 Тираж {00 экз. Заказ 69

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

1 Введение

1.1 Сферические и, слабо симметрические подгруппы редуктивных групп Ли

1.2 Сверхсферические и коизотропные подалгебры полупростых алгебр Ли.

1.3 Действие центра коизотропной подалгебры в неприводимом представлении полупростой алгебры

1.4 Структура работы.

1.5 Обозначения.

1.6 Благодарности.

2 Связь сферичности и слабой симметричности нередуктивных подгрупп редуктивных групп Ли.

2.1 Два критерия слабой симметричности.

2.2 Доказательство теоремы 2.1.

2.3 Контрпримеры.

2.4 Связь с коммутативными однородными пространствами.

3 Коизотропные подалгебры полупростых алгебр Ли.

3.1 Основные используемые определения и сведения про пуассоновы многообразия.

3.2 Геометрический критерий коизотропности.

3.3 Некоторые сведения об индексах алгебр Ли.

3.4 Редуктивные подалгебры малых корангов в алгебре з1п+х.

3.5 Нередуктивные коизотропные подалгебры в простых алгебрах Ли.

3.6 Нередуктивные коизотропные подалгебры с тривиальной группой характеров в полупростых алгебрах Ли.

4 Сверхсферические подалгебры полупростых алгебр Ли.

4.1 Доказательство теоремы 1.2.

4.2 Структура централизаторов коизотропных подалгебр в универсальной обертывающей алгебре.

5 Действие централизатора коизотропной подалгебры в неприводимом представлении простой алгебры Ли.

Диссертация посвящена сферическим и сверхсферическим нередуктивным подгруппам полупростых групп Ли.

1.1 Сферические и слабо симметрические подгруппы редуктивных групп Ли

Основным полем является поле комплексных чисел. Пусть G — связная редуктивная комплексная алгебраическая группа, Н — алгебраическая подгруппа в G и X — алгебраическое многообразие. Открытые и замкнутые множества рассматриваются в топологии Зарисского.

Определение 1.1. Действие G : X группы G на многообразии X называется сферическим, если борелевская подгруппа группы G имеет в пространстве X открытую орбиту. В таком случае пространство X также называется сферическим. Подгруппа Н называется сферической, если сферическим является однородное пространство X = G/H относительно действия G левыми сдвигами.

Если Я - редуктивная подгруппа, то однородное пространство X = G/H является аффинным. Сферические пространства в этом случае хорошо исследованы. Подгруппа Н является сферической тогда и только тогда, когда спектр действия группы G левыми сдвигами на пространстве полиномиальных функций С[Х] имеет простой спектр [20]. В силу двойственности Фробениуса это свойство эквивалентно тому, что размерность пространства Vя ii-инвариантных векторов в любом неприводимом представлении р : G —GL(V) группы G не превосходит 1. Получена полная классификация сферических подгрупп полупростых алгебраических групп [7], [26], [3]. Она эквивалентна классификации всех аффинных сферических пространств.

Определение 1.2. Однородное пространство X = G/H группы G по подгруппе Н называется слабо симметрическим, если существует такой автоморфизм а группы G, что а(Н) = Н, а2 6 Int G и г(д) € Нд-1Н для почти всех элементов д группы G, то есть для всех д из некоторого плотного открытого подмножества группы G.

Понятие слабо симметрического пространство было введено в 1956г. Сельбергом в работе [15], посвященной формуле следа, для компактных подгрупп К вещественных групп Ли С?. Впоследствии был дан ряд эквивалентных определений слабой симметричности. Слабо симметрические пространства есть обобщение симметрических пространств. В последние пятнадцать лет для них получена серия интересных результатов. В частности, в случае когда (3 - редуктивная вещественная группа Ли, было доказано, что класс слабо симметрических пространств совпадает с классами коммутативных и слабо коммутативных пространств [26], [4], [19]. Однородное пространство X — С?/К называется коммутативным, если коммутативна алгебра Т>(Х)С всех £-инвариантных дифференциальных операторов на X. Однородное пространство X = О/К называется слабо коммутативным, если коммутативна алгебра Пуассона, ассоциированная с алгеброй Т>(Х)°, то есть алгебра (^-инвариантных функций на кокасательном расслоении Т*Х многообразия X, полиномиальных на слоях.

Определение 1.2 есть переформулировка для алгебраических комплексных многообразий одного из эквивалентных определений слабо симметричности в вещественном случае. Если О - редуктивная алгебраическая группа, и Я С С - редуктивная подгруппа, то, как и в вещественном случае, пространство X является слабо симметрическим тогда и только тогда, когда оно является сферическим [1]. Интересно установить, сохраняется ли данная эквивалентность для однородных пространств нередуктивных подгрупп Н.

Одной из проблем в случае нередуктивной подгруппы Н является то, что простоты спектра действия С? : С[Х] недостаточно для сферичности, поскольку алгебра С[Х] может быть очень мала. Тем не менее, для некоторого класса нередуктивных подгрупп Н спектр представления С : С[Х] по-прежнему определяет, является ли пространство X сферическим.

Определение 1.3. Алгебраическая подгруппа Н группы С называется обозримой в С?, если существует такое линейное представление К : (7 —У С1/(У), что Н = {д € Я(д)у = у} — стационарная подгруппа некоторого вектора V 6 V.

Если Н - обозримая подгруппа, то однородное пространство О/Н является квазиаффинным, то есть является открытым (по Зарисскому) подмножеством аффинного многообразия. Для сферичности обозримой алгебраической подгруппы по-прежнему необходима и достаточна простота спектра действия С : С[Х]. Доказательство полностью повторяет редуктивный случай [19, Теорема 2].

Определение 1.4. Инволюция в : О —^ б? называется инволюцией Вейля, если существует такой максимальный тор Т С О что £?(£) = для всех te T.

Известно, что инволюции Вейля существуют и для всякой редуктивной сферической подгруппы H существует инволюция Вейля 9 такая, что в(Н) = H [1]. В этой работе мы докажем следующую теорему.

Теорема 1.1. Пусть G — редуктивная алгебраическая группа, H — произвольная обозримая подгруппа, и существует такая инволюция Вейля в группы G, что 9{Н) = Н. Пространство X = G/H слабо симметрично тогда и только тогда, когда оно сферичпо.

Также в работе приведены примеры, которые показывают, что если не существует инволюции Вейля, сохраняющей подгруппу H, то обе импликации теоремы 1.1 неверны. Также приведен пример обозримой подгруппы H такой, что однородное пространство X = G/H является и сферическим и слабо симметрическим, но для которой не существует инволюции Вейля, ее сохраняющей.

1. Akhiezer D.N., Vinberg Е.В., Weakly symmetric spaces and spherical varieties, Transformation Groups, 4, no.l, 3-24, 1999.

2. Bincer A.M., Mikelsson lowering operators for the symplectic group, Lect. Notes Phys., 135, 459-463, 1980.

3. Brion M., Classification dea espaces homogenes sphériques, Compositio Math., 63, 189-208, 1987.

4. Guillemin E., Stenberg S., Multiplicity-free spaces, J. Differential Geom., 19, 31-56, 1984.

5. Knop F., Der Zentralisator einer Liealgebra in einer einhüllenden Algebra, J. Reine Angew. Math. 406, 5-9, 1990.

6. Kostant В., Lie group representations on polynomial ring, Amer. J. Math., 85, 327-404, 1963.

7. Krämer M., Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math., 38, 129-153, 1979.

8. Luna D., Sur les orbites fermées des groupes algébriques reductifs, Ineent. Math. 16, 1-5, 1972.

9. Molev A.I., A Basis for Representations of Symplectic Lie Algebras Comm. in Math. Physics, 201, Is. 3, 591-618, 1999.

10. Panyushev D., Inductive formulas for the index of seaweed Lie algebras, Moscow Math. J., 1, 221-241, 2001.

11. Panyushev D., On the coadjoint representation of Ъп-contractions of reductive algebras, Advanc. in Math., V.213, Is.l, 380-404.

12. Panyushev D., A restriction theorem and the Poincare series for U-invariants, Math. Ann. 301, 655-675, 1995.

13. Panyushev D., Premet A., Yakimova O., On symmetric invariants of cen-tralisers in reductive algebras, Jour. Of Algebra, 313 (Special issue celebrating the 70th birthday of E.B. Vinberg), 343-391.

14. Rais M., L'indice des produits semi-directs E xpg, C.R. Acad. Se. Paris, Ser A. t.287, 195-197, 1978.

15. Seiberg A., Harmonie analysis and discontinouos groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series, J. Indian Math. Soc., V. 20, 47-87, 1956.

16. Taueel P., Yu R.W.T., Sur l'indice de certaines algebres de Lie, Annales de l'institut Fourier, 54, no.6, 1793-1810, 2004.

17. Андреев E.M., Винберг Э.Б., Элашвили А.Г. Орбиты наибольшей размерности полупростых линейных групп Ли, Функциональный анализ и его приложения, 1, №4, 3-7, 1967.

18. Вейль Г., Теория групп и квантовая механика, М., Наука, 1986.

19. Винберг Э.Б., Коммутативные однородные пространства и коизотропные действия, Успехи математических наук, т. 56, вып.1, 3-62, 2001.

20. Винберг Э.Б., Кимельфельд Б.Н., Однородные области на флаговых многообразиях и сферические подгруппы полупростых групп Ли, Функциональный анализ и его приложения, 12, 12-19, 1978.

21. Винберг Э.Б., Попов B.JL, Теория инвариантов, Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. Т.55. М.: ВИНИТИ, 137-309, 1989.

22. Гельфанд И.М., Цетлин M.JL, Конечномерные представления группы ортогональных матриц, ДАН СССР, Т. 71, № 6, 1017-1020, 1950.

23. Диксмье Ж., Универсальные обертывающие алгебры, Москва, Мир, 1978.

24. Желобенко Д.П., Классические группы. Спектральный анализ конечномерных представлений, Успехи математических наук, т. 17, №1, 27-119, 1962.

25. Крафт X. Геометрические методы в теории инвариантов, Москва, Мир, 1987.

26. Микитюк И.В., Об интегрируемости инвариантных гамилътноновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. сб., 129, 514-534, 1986.27.Хамфри Дж., Линейные алгебраические группы, М.: Наука, 1980.

27. Штепин В.В., Промежуточные алгебры Ли и их конечномерные представления, Изв. РАН, Сер. матем., 57, JYe6, 176-198, 1993.

28. Штепин В.В., Промежуточная ортогональная алгебра Ли Ьп 1/2 и ее конечномерные представления, Изв. РАН, Сер. матем., 62, №3, 201-223, 1998.

29. Штепин В.В., Промежуточная алгебра Ли Dni/2, весовая схема и ее конечномерные представления со старшим весом, Изв. РАН, Сер. матем., 68, №2, 159-190, 2004.

30. Элашвили А.Г., Индекс оросферических подалгебр полупростых алгебр Ли, Труды Тбил. Матем. Инст. 77, 116-126, 1985.Публикации автора на тему диссертации

31. Зорин A.A., О связи сферичности и слабой симметричности однородных пространств редуктивных групп Вестн. Моск. ун-та. Сер.1, Математика. Механика. №4, 14-18, 2005.

32. Зорин A.A., О коммутативности централизатора подалгебры в универсальной обертывающей алгебре Ли. Депонировано в ВИНИТИ РАН 29.10.08 № 832-В2008, 26с.