Диагонализация матриц над кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Київський університет імені Тараса Шевченка

Гаталевич Андрій Іванович

УДК 512.552.12

ДІАГОНАЛІЗАЦІЯ МАТРИЦЬ НАД КІЛЬЦЯМИ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ-1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському державному університеті імені Івана Франка на кафедрі алгебри і топології.

Науковий керівник

кандидат фізико-математичних наук Забавський Богдан Володимирович доцент кафедри алгебри і топології Львівського державного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук професор Кириченко Володимир Васильович .

завідувач кафедри геометрії Київського університету імені Тараса Шевченка

доктор фізико-математичних наук Рябухін Юрій Михайлович провідний науковий співробітник Інституту, математики АН Республіки Молдова

Провідна установа

Ужгородський державний університет

Захист відбудеться 16 листопада 1998 року о 1415 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001:18 Київського університету імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, м.Київ - 127, проспект академіка Глушкова, 6, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “¿з” 1998 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради. уг/уг А.П. Петравчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення кілець елементарних дільників розпочате в 1861 році Г.Смітом. Він довів, що довільна цілочисельна матриця володіє діагональною редукцією. Пізніше теорема про можливість діагональної редукції матриць узагальнювалась Л.Діксоном (1923), Ве-деберном (1932), Б. ван дер Варденом (1933) і Н.Джекобсоном (1937) для різних комутативних і некомутативних областей Евкліда і комутативних областей головних ідеалів. Узагальнення теореми про діагональну редукцію матриць на довільні некомутативні області головних ідеалів отримав О.Тейхмюллер (1937).

Зв’язок можливості діагональної редукції матриць з розкладністю скінченно-зображуваних модулів встановив І.Капланський. Він показав, що над кільцем елементарних дільників довільний скінченно-зобра-жуваний модуль розкладається в пряму суму циклічних модулів. Як показали М.Ларсен, В.Левіс, Т.Шорес в комутативному випадку вірне і обернене твердження: якщо довільний скінченно-зображуваний модуль розкладається в пряму суму циклічних модулів, то кільце е кільцем елементарних дільників. Тим самим проблема Уорфілда: над якими кільцями кожний скінченно-зображуваний модуль розкладається в пряму суму циклічних модулів, у випадку комутативних кілець еквівалентна проблемі описання кілець елементарних дільників. В некомутативному випадку вона ще не розв’язана. Повне розв’язання цієї проблеми для класу узагальнено однорядних кілець отримано Ю.А.Дроздом.

Результати дисертації можна вважати певними кроками в напрямку отримання повної відповіді.

Оскільки кільце елементарних дільників с кільцем Безу, то приро-дньо виникає питання: чи всяке таке кільце є кільцем елементарних дільників. Негативну відповідь на це питання отримали Л.Гільман і М.Хенріксен. Вони побудували приклад комутативного кільця Безу (з дільниками нуля), яке не є кільцем елементарних дільників. У зв’язку з цим виникає наступна проблема: чи кожна комутативна область Безу є кільцем елементарних дільників? Це питання неодноразово ставилось М.Хенріксеном, П.Коном, І.Капланським, Т.ІНоресом та іншими математиками, але відповіді і гіпотез на даний час немас.

Добре відомо, що кільця Безу суттєво відрізняються від кілець головних односторонніх ідеалів наявністю нескінченно-породжених одно-

сторонніх ідеалів. Використавши індуктивність множини неголовних (нескінченно-породжених) ідеалів комутативного кільця І.Коєн довів, що, якщо в комутативному кільці довільний простий ідеал є головним (скінченно-породженим), то і довільний ідеал кільця є головним (скінченно-породженим).

В зв’язку з цим результатом виникає необхідність вивчати максит мально неголовні односторонні ідеали кілець, наявність яких робить кільця Безу більш складними для дослідження, ніж кільця головних ідеалів. Дослідження, які проведені в дисертації зв’язані саме з цими питаннями.

Варто відмітити, що на даний час інформація про будову некому-тативних кілець елементарних дільників є ще не досить багатою. Заслуговують уваги будь-які нові результати про кільця елементарних дільників, зокрема про такі, в якому довільний максимальний односторонній ідеал є двобічним. Як показали Б.В.Забавський, М.Я.Комарни-цький і А.А.Туганбаєв такі кільця є дуо-кільцями. Зокрема, дистрибутивні кільця елементарних дільників є дуо-кільцями. Цей факт привів до необхідності дослідження ще двох важливих класів кілець. З одного боку - це клас дуо-кілець елементарних дільників, який в деякому розумінні, найближчий до класу комутативних кілець. З другого боку -це новий клас некомутативних кілець елементарних дільників, які не є дуо-кільцями, але є узагальненнями класу кілець головних односторонніх ідеалів, і класу дистрибутивних кілець одночасно. На відміну від інших класів, як виявилось, ці класи краще піддаються дослідженню, оскільки успадковують ряд властивостей добре вивчених класів кілець.

Вивчення структури максимально неголовних ідеалів в дисертаційній роботі дало змогу 'знайти значно ширші за відомі узагальнення дистрибутивних кілець.

Ще один з важливих напрямків в дослідженні кілець елементарних дільників полягає у вивченні зв’язку звідності матриць до діагонального виду з властивостями спектру кільця. Спектр некомутативних кілець ще не достатньо вивчений і більшість отриманих тут результатів стосуються надто вузьких класів кілець. Тим не менше інтерес до цього напрямку, як свідчать найновіші публікації, зростає. Певні результати про цей зв’язок одержані і в даній дисертації.

Результати про кільця елементарних дільників, в формулюванні яких відсутня умова обриву зростаючих ланцюгів головних ідеалів от-

з

римані О.Хелмером. Він ввів до розгляду клас комутативних адекватних областей і показав, що кожна адекватна область Безу є областю елементарних дільників, застосувавши даний результат до кільця цілих аналітичних функцій на комплексній площині. Приклад неадекватної області Безу побудував М.Хенріксен і довів, що це кільце є областю елементарних дільників. Більш повне дослідження комутативних адекватних кілець проведене М.Я.Комарницьким. В дисертації отримано узагальнення частин цих результатів на випадок дуо-кілець.

Висловлені вище міркування говорять про актуальність теми дисертації.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації знаходиться в руслі основних досліджень кафедри алгебри і топології Львівського державного університету. її результати частково використані при виконанні завдань держбюджетної теми за номером №01.95У009660.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є:

- дослідження кілець Безу, в яких довільний максимально неголовний правий ідеал є двобічним (знайти умови, при яких множина максимально неголовних правих ідеалів співпадає з множиною максимально неголовних лівих ідеалів; в цьому класі кілець описати кільця, над якими можлива діагональна редукція матриць);

- опис нових класів некомутативних кілець елементарних дільників і кілець Ерміта, дослідження спектру дуо-кілець і його впливу на діагональну редукцію матриць;

- розповсюдження теорії адекватних кілець на некомутативний випадок, встановлення властивостей адекватних справа дуо-кілець.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати с новими. В дисертації

- встановлені умови, при яких множини максимально неголовних правих і лівих ідеалів областей Безу співпадають;

- описано нові класи некомутативних кілець елементарних дільників і кілець Ерміта;

- знайдено умови, які потрібно накласти на основне кільце, щоб класичне кільце дробів було абельово регулярним;

- доведено, що дуо-область Безу з трансфінітно нільпотентними максимальними правими ідеалами є адекватною справа і встановлено вла-

стивості адекватних справа кілець.

Ці результати є подальшим розвитком досліджень таких авторів, як

І. Капланський, М. Хенріксен, О. Хелмер, М.Я.Комарницький, Б.В.За-бавський та інших.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичне значення. Вони можуть бути використані в теорії кілець і модулів, диференціальних рівняннях і рівняннях математичної фізики, теорії операційних систем, тощо.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені в дисертацію, одержано здобувачем особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на Всеукраїнській математичній конференції, присвяченій 70-річчю П.С.Кашмірського, в м. Львові (1995р.), на міжнародній алгебраїчній конференції ”Групи і групові кільця” в м. Великий Любінь (1996р.), на міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам’яті М.Глускіна, в м. Слов’янську (1996р.), на алгебраїчному семінарі в Київському Національному університеті ім. Т.Шевченка (1997), на міському алгебраїчному семінарі (м. Львів), на семінарах кафедри алгебри і топології Львівського державного університету ім. І.Франка (19951998).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в дев’яти роботах, з яких п’ять надруковані у виданнях з переліку N1, затвердженого ВАК України. З праць, опублікованих в співавторстві з Б.В.За-бавським, в дисертацію включено лише результати, які належать особисто авторові.

Структура і об’єм' роботи.

Дисертація складається із вступу, п’яти розділів, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації - 110 сторінок. Список використаних джерел включає 74 найменування.

Автор виносить щиру подяку науковому керівнику Забавському Б.В. за ідейне наповнення та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Дисертаційна робота присвячена в основному дослідженню кілець елементарних дільників.

У вступі обгрунтована актуальність дисертаційного дослідження автора, визначена мета і об’єкти дослідження.

У розділі 1 дається огляд літератури присвяченої кільцям елементарних дільників і адекватним кільцям.

У розділі 2, який носить допоміжний характер подано відомості і факти, що стосуються теми дисертації, методика досліджень і домов-ленності про позначення.

Нехай И - асоціативне кільце з одиницею. Назвемо елемент а кільця Я повним дільником елемента Ь (в скорочених позначеннях а||Ь), якщо ЯЬЯ С аЯ П йа, де ЯЬК - ідеал, що породжується елементом Ь.

Скажемо, що матриці А і В над кільцем Н є еквівалентними, якщо існують такі зворотні матриці Р і <3 відповідних розмірів над кільцем 7?, що А = РВ(

Говорять, що матриця А над кільцем К володіє діагональною редукцією (або матриця А зводиться до діагонального вигляду), якщо вона еквівалентна діагональній матриці

¿іад(с і,...,ег,0, ...,0), де б,-||б,-+і(г = 1,...,г- 1).

Якщо довільна матриця над кільцем К володіє діагональною редукцією, то кільце Д називається кільцем елементарних дільників. Відповідні елементи еі,Є2,---,Єг ~ називаються елементарними дільниками матриці А.

В розділі 3 досліджуються кільця Везу через вивчення будови максимально неголовних односторонніх ідеалів, а саме розглядаються області Безу, в яких довільний максимально неголовний правий ідеал є ідеалом.

Означення. Правий (лівий) ідеал кільця, який є максимальним в множині правих (лівих) неголовних ідеалів відносно порядку включення ідеаліп, називається максимально неголовним правим (лівим) ідеалом.

Основними результатами розділу 3 є наступні теореми:

Теорема 3.6. Нехай Н - область Безу, в якій довільний максимально неголовний правий ідеал є ідеалом і всі атоми в Н обмежені. Тоді всі максимально неголовні ліві ідеали є ідеалами і множина максимально

неголовних лівих ідеалів співпадає з множиною максимально неголовних правих ідеалів.

Як наслідок отримуємо відповідний результат Брунгса для дистрибутивних справа областей Безу (Brungs H.H. Bezout domains and rings with a distributive lattice of right ideals // Can. J. Math. - 1986. - 38. -N 2. - P. 286-303. ). '

Теорема 3.10. Нехай R - область Безу, в якій довільний максимально неголовний правий ідеал є двобічним і для довільного елемента а Є R існує елемент а* Є R, що RaR = a* R = Ra* і множина максимально неголовних правих ідеалів не більш, ніж зліченна. Тоді R - кільце елементарних дільників.

Зауваження: в дисертації встановлено, що умова Дубр'овіна RaR = a* R = Ra* є необхідною для належності кільця до даного класу.

В роботі наведені нові приклади кілець, які задовільняють умовам теорем розділу 3.

В розділі 4 досліджуються мінімальні цілком прості ідеали дуо-кі-лець. Описано нові класи кілець елементарних дільників. Зокрема доведені наступні твердження:

Під правим квазідуо-кільцем ми розуміємо кільце, в якому довільний максимальний правий ідеал є двобічним.

Твердження 4.8. Праве квазідуо-кільце Ерміта R стабільного рангу 1 є кільцем елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли R - дуо-кільце стабільного рангу 1.

Теорема 4.13. Нехай R - редуковане дуо-кільце зі скінченним числом мінімальних цілком простих ідеалів - {Plt..., Рп}. Тоді:

1) Qci{R) — Rpi ® ••• ® Rp„, де Rp, - тіла дробів кілець R/Pi, і = 1,...,п.

2) Qci [Щ ~ абельово регулярне кільце.

(тут Qci(R) - класичне кільце дробів кільця R.)

Твердження 4.17. Дуо-кільце Безу зі скінченним числом мінімальних цілком простих ідеалів є кільцем елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли для довільного цілком простого ідеалу Р фактор-кільце R/P є кільцем елементарних дільників.

В розділі 5 вводиться поняття адекватного справа елемента кільця Безу і досліджуються різні узагальнення комутативних адекватних кілець.

Означення. Елемент а ф 0 області Безу R називається адекватним справа, якщо для будь-якого елемента b Є R знайдуться такі елементи r, s Є R, що

1) а = rs;

2) bR + rR = fi;

3) Vs' Є Л з включетшя sR с s'R ф R => bR + s'R ф R Означення. Кільце, в якому кожний ненульовий елемент є адекватним справа називається адекватніш справа.

В першій частині розділу 5 доводяться наступні твердження:

Твердження 5.3. Права дуо-область Безу R є адекватною справа тоді і тільки тоді, коли довільний їі ненульовий цілком простий ідеал містить хоча б один адекватний справа елемент

Твердження 5.5. Нехай R - дуо-область Безу. Тоді якшо а лежить лише в транснільпотентних максимальних правих ідеалах, то а Є Ar{R), де Аг (R) - множина адекватних справа елементів кільця R.

Твердження 5.6. Адекватна справа права дуо-область Безу є областю єлементарпих дільників тоді"і тільки тоді, коли solid є лівою дуо-областю.

Означення. Область Безу, в якій для довільної нари елементів один є адекватним справа до іншого, називається узагальнено адекватною справа.

В дисертації побудовано приклад узагальнено адекватної справа області, яка є областю елементарних дільників, але не є адекватною справа.

Доведено наступну теорему:

Твердження 5.13. Узагальнено адекватна справа права дуо-область Безу є областю елементарних дільників

Означення. Кільце Безу називається адекватним справа в нулі, якщо для довільного його елемента виконуються умови 1)-3), подані в означенні адекватної справа області.

Тим самим, підкреслюється, що елемент а може бути, зокрема, і нулем.

Основним твердженпям цієї частини розділу 5 є:

Твердження 5=16. Дуо-кільце Безу зі скінченим числом мінімальних цілком простих правих ідеалів є адекватним справа в нулі тоді і тільки тоді, коли воно с скінченною прямою сумою кілець нормування '

ВИСНОВКИ

Результати дисертації одержано застосуванням методів теорії кілець елементарних дільників, адекватних кілець та загальної теорії кілець і модулів. Доведення опираються, зокрема, на теореми І.Кап-ланського, М.Хенріксена, П.Кона, Р.Борегарда, М.Я.Комарницького, Б.В.Забавського.

Добре відомо, що області головних односторонніх ідеалів є областями елементарних дільників. В дисертації знайдено нові класи некому-тативних областей елементарних дільників на основі вивчення структури максимально неголовних односторонніх ідеалів. Досліджено області Безу, в яких довільний максимально неголовний правий ідеал є двобічним. А саме:

- вказано умови, при яких множини максимально неголовних правих і лівих ідеалів співпадають;

- виділено класи матриць над кільцями з цим обмеженням, які допускають діагональну редукцію;

- доведено, що такі області з не більш, ніж зліченною кількістю максимально неголовних правих ідеалів є кільцями елементарних дільників.

Враховуючи результати М.Я. Комарницького, Б.В. Забавського і А.А.Туганбаєва, які стверджують, що дистрибутивні кільця елементарних дільників є дуо-кільцями, в дисертації велика увага приділена дослідженню дуо-кілець. Результати дисертації є узагальненням результатів М.Ларсена, В.Левіса, Т.Шореса, М.Хенріксена.

Також для випадку дуо-кілець проведено узагальнення результатів Е.Матліса, що стосуються спектру кілець. Вказано умови, які потрібно накласти на основне кільце, щоб класичне кільце дробів було абельово регулярним.

Введенням до розгляду поняття адекватного справа елемента, теорія адекватних кілець розповсюджена на некомутативний випадок. Ііобу-

довано приклад узагальнено адекватного справа кільця. Доведено, що узагальнено адекватна справа дуо-область Безу с областю елементарних дільників. Ці результати узагальнюють результати О.Хелмера, М.Хенріксена, М.Я.Комарницького, Б.В.Забавського та деяких інших авторів. .

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гаталевич А.І., Забавський Б.В. Про комутативні кільця Безу зі скін-

ченним і зліченним числом максимально неадекватних ідеалів // Всеукраїнська наукова конференція присвячена 70-річчю П.С.Казімірсь-кого. - Тези доповідей.- 1995. - ч.І. - С.18. '

2. Гаталевич А.І. Про дуо-кільця елементарних дільників // Алгебра і топологія: Тематичний збірник наукових праць.- Львів. - 1996. -С.58-64.

3. Гаталевич А.І. Про адекватні праві дуо-кільця // Вісник Львівського університету - 1996. - 43. - С. 16-19.

4. Гаталевич А.І., Забавський Б.В. Нскомутативні кільця елементарних дільників // Математичні методи і фізико-механічні поля - 1997. -40.- N4,- С.86-90.

5. Гаталевич А.І. Про мінімальні цілком прості ідеали дуо-кілець Безу // Міжнародна алгебраїчна конференція, присвячена пам’яті професора Л.М.Глускіна.- Тези доповідей. - 1997. - С. 80.

6. Гаталевич А.І. Про адекватні і узагальнено адекватні дуо-кільця і дуо-кільця елементарних дільників // Доповіді НАН України - 1998.

- 2. - С. 16-18.

7. Гаталевич А.І. Про адекватні і узагальнено адекватні дуо-кільця і

дуо-кільця елементарних дільників // Математичні студії - 1998. -9. - N2. - С.115-119. '

8. Гаталевич А.І. Мінімальні цілком прості ідеали дуо-кілець Безу // Вісник Львівського університету - 1998. - 49. - С. 10-15.

9. Гаталевич А.І., Забавський Б.В. Максимально неголовні праві ідеали кілець Безу // Міжнародна наукова конференція ” Сучасні проблеми механіки і математики”. - Тези доповідей. - 1998. - С. 292.

Гаталевич A.L Дгагоналізацгя матриць над кільцями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня Кандидата фізико-мате-матичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. -Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1998.

Дисертацію присвячено дослідженню кілець елементарних дільників. Знайдено нові класи некомутативних кілець елементарних дільників через вивчення структури максимально неголовних односторонніх ідеалів. Для випадку дуо-кілець проведено узагальнення результатів, що стосуються спектру кілець, адекватних і узагальнено адекватних кілець.

Ключові слова: кільце Безу, кільце елементарних дільників, адекватне кільце, дуо-кільце, максимально неголовний правий ідеал.

Гаталевич А.И. Диагонализация матриц над кольцами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел.

- Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1998.

Диссертация посвящена изучению колец элементарных делителей. Найдены новые классы некоммутативных областей элементарных делителей посредством исследования структуры максимально неглавных односторонних идеалов. Для случая дуо-колец получено обобщение результатов, касающихся спектра колец, адекватных и обобщенно адекватных колец.

Ключевые слова; кольцо Безу, кольцо элементарных делителей, адекватное кольцо, дуо-кольцо, максимально неглавный идеал.

Gatalevich АЛ. Diagonalizaiion of matrices over rings. - Manuscript.

Thesis for a doctor’s degree by speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kyiv Taras Shevchenko university, Kyiv, 1998.

The dissertation is devoted to investigating elementary divisors rings. The new classes of noncommutative elementary divisors domains are described by studying the structure of maximal nonprincipal one-sided ideals. The results on spectrum of rings, adequate rings and general adequate rings are generalized to the class of duo-rings.

Key words; Bezout ring, elementary divisors ring, adequate ring, duo ring, maximal nonprincipal right ideal.