Модули над кольцами обобщенных матриц

Ярдыков, Егор Юрьевич

Модули над кольцами обобщенных матриц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Ярдыков, Егор Юрьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Модули над кольцами обобщенных матриц»

Автореферат диссертации на тему "Модули над кольцами обобщенных матриц"

На правах рукописи

ЯРДЫКОВ Егор Юрьевич МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ОБОБЩЕННЫХ МАТРИЦ

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003466419

Работа выполнена на кафедре алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Крылов Петр Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор Туганбаев Аскар Аканович

кандидат физико-математических наук, доцент Фарукшин Владимир Хамзинович

Ведущая организация:

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 20 апреля 2009 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, главный корпус, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан « 10 » марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета О.В. Муравьева

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Кольца обобщенных (говорят также, «формальных») и, в частности, треугольных матриц обладают многими интересными свойствами. Кольца треугольных матриц часто используют для построения колец с асимметричными свойствами (например, нетеровых слева, но не справа и т. п.). При всем этом, любое кольцо, обладающее нетривиальными идемпотентами, при определенных условиях изоморфно некоторому кольцу обобщенных матриц. Представляет интерес изучение модулей над кольцами обобщенных матриц. Можно исследовать как общие свойства таких модулей, так и некоторые специальные классы модулей.

Кольцо эндоморфизмов разложимого модуля является кольцом обобщенных матриц. Верно и обратное. Это обстоятельство подтверждает целесообразность исследования колец обобщенных матриц и модулей над такими кольцами. Кольца обобщенных матриц и модули над ними использовались при изучении абелевых групп с нетеровыми, наследственными кольцами эндоморфизмов [3, §17] , [4], абелевых групп как инъективных модулей над их кольцами эндоморфизмов [14].

С кольцами обобщенных матриц, их связями с контекстами Мориты можно познакомиться в книгах [2, §10], [5, гл.12], [6, гл. 6], [15]. Модули над такими кольцами изучаются в статьях [12], [13], [14], [16] и других. Систематические исследования колец матриц и модулей над ними были осуществлены лишь менее десятилетия назад Хагани и Варадараджаном в статьях [11] и [12]. Эти исследования проведены для колец треугольных матриц, что существенно уже общего случая. Авторы, видимо, руководствовались тем, что кольца треугольных матриц наиболее часто встречаются в различных вопросах алгебры, например, в теории представлений артиновых алгебр (см. [7]). Один параграф книги Гудерла [10] посвящен кольцам треугольных матриц. Изучение произвольных колец обобщенных матриц (то есть необязательно треугольных) и модулей над ними сталкивается с серьезными трудностями.

Работы Хагани и Варадараджана вызвали большой интерес, и вскоре появилось довольно большое число статей ряда авторов (например, [8], [9], [16]). В этих статьях продолжилась традиция изучения колец треугольных матриц и модулей над ними.

Имеется литература, посвященная и вопросам, поставленным в самом об-

щем виде, например, [1], [4], [14]. Так, в [14] Мюллер описала инъективные оболочки модулей над кольцами обобщенных матриц. Добавим, что аналогичная проблема для проективных модулей в настоящее время не решена,

В настоящей диссертации осуществлено систематическое изучение некоторых вопросов о модулях над кольцами обобщенных матриц. Кроме того, значительное внимание уделяется приложению полученных результатов к кольцам эндоморфизмов абелевых групп. Некоторые результаты, например, теоремы 7.4, 8.1, получены для так называемых тривиальных колец обобщенных матриц, то есть колец с нулевыми идеалами следа (треугольные кольца, очевидно, являются тривиальными). Эти результаты обобщают ранее полученные факты для колец треугольных матриц из [12], [10].

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение различных свойств модулей над кольцами обобщенных матриц, а также применение полученных результатов в теории абелевых групп.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. К основным результатам можно отнести следующие.

• Описаны минимальные и максимальные подмодули модулей над кольцами обобщенных матриц, а также цоколь и радикал таких модулей (§3, §4, §5).

• Получен критерий проективности для модулей над кольцами обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа (теорема 7.4).

• Получен критерий наследственности для модулей над кольцами обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа (теорема 8.1).

• Исследование групп с наследственными кольцами эндоморфизмов сведено к случаю редуцированных групп.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории модулей и абелевых групп, а также при чтении спецкурсов.

сибирск, 2005 г.); на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (г. Красноярск, 2007 г.); на Международной алгебраической конференции «Ломоносовские чтения» (г. Москва, 2007 г.); на Международной алгебраической конференции, посвященнная 100-летию со дня рождения А.Г. Ку-роша (г. Москва, 2008 г.); на Всероссийской конференции по математике и механике (г. Томск, 2008 г.); на Международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2008 г.). По теме диссертации опубликовано восемь работ [1]-[8].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы и списка обозначений. Глава 1 содержит пять параграфов, главы 2 и 3 — по три параграфа. Работа изложена на 80 страницах.

Содержание работы. Введение содержит обоснование актуальности решаемых в работе задач, а также тезисное изложение основных полученных результатов.

Напомним определение кольца обобщенных матриц.

Определение 1.4. Пусть Я и Б — кольца, цМ$ и — бимодули. Допустим, что существуют бимодулъные гомоморфизмы <р : М Аг —> Д и ф : ДГ®яМ Б, удовлетворяющие условиям ассоциативности: (тп)т' = т(пт') и (пт)п' = п(тп') для всех т,т' 6 М и п,п' £ N. Здесь мы полагаем гпп — ср(т ® п) и пт = ф(п ® т). Кольцом обобщенных матриц называют множество матриц вида

с операциями, заданными как в обычном кольце матриц. Букву К будем

Образы гомоморфизмов </> и ф обозначим I и соответственно. Таким образом, / = ММ и 3 = ММ, где под МN (соответственно, ММ) понимаем множество всех конечных сумм элементов вида тп (соответственно, пт). Идеалы I и У называют идеалами следа кольца К.

Хорошо известно, что модули над кольцом обобщенных матриц представляют собой естественную конструкцию вектор-строк или вектор-столбцов в

К =

фиксировать для обозначения введенного кольца

зависимости от того, правый это модуль или левый. Так, например, если А — произвольный левый К-модуль, то А = [ ^ ) , где е = | ^ | —

V (1~е)А ) V 0

идемпотент кольца К.

Основные результаты главы 1 связаны с исследованием свойств минимальности и максимальности подмодулей. Для характеризации цоколя /Г-модуля . !х\

\ Y I полезно рассм0треть следующие множества:

А(Х) = {X' ÇX \ Х' — минимальный в X, IX' yé 0 и NX' - простой}, Lx = {z е х I пх = 0,Vn 6 N} и LY = {у £ Y | ту = 0,Vm € М}.

Теорема 4.7. Пусть К — кольцо обобщенных матриц, А = ^ у ^ ~

левый К-модуль. Тогда Soc А = ( ] + J2 { ^ 1 •

у Soc Ly } х-еА(Х) V NX J

Двойственным образом описываются радикалы левых /¿"-модулей. Теорема 5.7. Пусть К — кольцо обобщенных матриц, А = ^ у ^ —

левый К-модуль. Тогда Rad Л = ^ ^J^^/NX) ) П (п (г )) ' где ( X' \

I , I — такой подмодуль в А, что X' и Y' — максимальные и IX ^ X',

Мы наблюдаем здесь значительно большее разнообразие, чем в случае треугольных матриц, некоторые известные утверждения (см. [12]) получаются как следствия. Также в этой главе найдено строение малых и существенных (больших) подмодулей, пустотелых и равномерных модулей. Эти исследования проведены над кольцами с нулевыми идеалами следа.

Глава 2 посвящена изучению плоских, проективных и наследственных модулей. Параграф 6 содержит информацию о тензорном произведении модулей над кольцами обобщенных матриц необходимую для дальнейших исследований. Ряд свойств плоских модулей приводится в предложении 6.2 и его след-

ствиях. В §7 дано описание проективных модулей над кольцом обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа.

Теорема 7.4. Пусть К — кольцо обобщенных матриц с нулевыми иде-

( Р\

алами следа. Записанные ниже утверждения о К-модуле I I эквивалентны: ( Р\

1) I ) — проективный К-модуль;

2) Р/М(^ и (¿/ИР — проективные модули над Я и Б соответственно, М Я/МР = МС} и N ®ц Р/К'Щ = МР (изоморфизмы канонические);

3) существуют проективные Я-модуль X и в-модуль У, для которых

С.

и М У = МС}, N X = ИР канонически;

4) существуют проективные В-модуль X и Б-модуль У, для которых.

Эти результаты обобщают факты, полученные Хагани и Варадараджаном для колец обобщенных треугольных матриц.

В §8 рассматриваются условия наследственности для модулей над кольцом обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа. Основным результатом является следующая

Теорема 8.1. Пусть К — кольцо обобщенных матриц с нулевыми идеа-? р\

лами следа. К-модуль I I является наследственным в точности тогда,

когда Р — наследственные модули, для любого подмодуля В в С} модуль Р/МВ проективен и М В = МВ, для любого подмодуля А в Р модуль Q/NA проективен и N ®д Л = ЫА.

Глава 3 посвящена применению полученных результатов к некоторым вопросам теории колец эндоморфизмов абелевых групп. В [3, стр.334] поставлена задача: описать делимые группы с наследственными справа (слева) кольцами эндоморфизмов. В §9 приводится ответ на этот вопрос.

Теорема 9.8 Пусть Б = БР1 ® ... © Ф Дъ где Ор> = ЦрТ), 1 < г < к, Д) = фп <53, и тр., п — натуральные числа. Тогда справедливы

следующие утверждения:

1) кольцо эндоморфизмов группы Б наследственно слева тогда и только тогда, когда Б = Д) или Б — БР1 ф ... ф БРк\

2) кольцо эндоморфизмов группы Б наследственно справа.

На основе этой теоремы исследование групп с наследственными кольцами эндоморфизмов сведено к случаю редуцированных групп.

Теорема 10.1. Пусть (7 = Б® А — нередуцированная и неделимая группа, где О — делимая, А — редуцированная группы, причем Нот(А, Б) ф 0. Тогда кольцо Е(С) наследственно слева в точности тогда, когда Б = фп ИЗ (и б Е(А) наследственно слева и Нот(Л, £>) — плоский Е{А)-модуль.

Теорема 10.2. Пусть С? — нередуцированная и неделимая группа. Тогда Е{С) наследственно справа в точности тогда, когда

в = БР1 ф • • • ф БРк ф Д> © ТЧ1 е • • • Ф га,

причем р1 ф Ц) для всех г и ]. Здесь БРх = 2(р-°), Б0 - ф„{$, = ф5.п — натуральные числа, р^, д^ — простые числа, г = 1,...,к; 7 = 1,...,/.

В §11 рассматриваются условия наследственности кольца эндоморфизмов расщепляющейся смешанной группы.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Петру Андреевичу Крылову за постановку задач, внимание к работе и помощь в оформлении диссертации. Я также благодарен сотрудникам кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета.

Список литературы

[1] Каравдина Е.Ю. Построение и свойства кольца обобщенных матриц порядка п // Вестник Томского государственного университета. — 2003. — № 280. - С. 46-49.

[2] Кашу А.И. Радикалы и кручения в модулях / А.И. Кашу. — Кишинев : Штиинца, 1983. - 156 с.

[3] Крылов П.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов / П.А. Крылов, A.B. Михалев, A.A. Туганбаев. — М.: Факториал Пресс, 2006. — 512 с.

[4] Крылов П.А. Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абеле-вых групп // Сиб. матем. ж. - 2002. - Т. 43. - № 1. - С. 108-119.

[5] Фейс К. Алгебра : кольца, модули и категории / К. Фейс. — Т. 1. М.: Мир, 1977 - 688 с.

[6] Харченко В.К. Некоммутативная теория Галуа / В.К. Харченко. — Новосибирск : Научная книга, 1996. — 369 с.

[7] Auslander М. Representation Theory of Artin Algebras / M. Auslander, I. Reiten, S.O. Smal0// Cambridge University Press, 1995.

[8] Birkenmeier G.F. Generalized Triangular Matrix Rings and the Fully Invariant Extending Property / G.F. Birkenmeier, J.K. Park, S.T. Rizvi // Rocky Mountain J. Math. - 2002. - V. 32. - №. 4. - P. 1299-1319.

[9] Borooah G. Strongly clean triangular matrix rings over local rings / G. Borooah, A.J. Diesl, Th.J. Dorsey //J. Algebra. - 2007. - V. 312. - P. 773-797.

[10] Goodearl K.R. Ring Theory / K.R. Goodearl. - New York-Basel : Dekker, 1976.

[11] Haghany A. Study of formal triangular matrix rings / A. Haghany, K. Varadarajan // Comm. Algebra. - 1999. - V. 27. - №. 11. - P. 5507-5525.

[12] Haghany A. Study of modules over formal triangular matrix rings / A. Haghany, K. Varadarajan // J. Pure and Appl. Algebra. — 2000. — V. 147.

- P. 41-58.

[13] Haghany A. Injectivity conditions over a formal triangular matrix ring // Arch. Math. - 2002. - V. 78. - P. 268-274.

[14] Müller M. Rings of quotients of generalized matrix rings // Comm. Algebra.

- 1987. - V. 15. - P. 1991-2015.

[15] Rowen L. Ring Theory / L. Rowen. — New York : Academic Press, 1988.

[16] Sheiham D. Universal localization of triangular matrix rings // Proc. Amer. Math! Soc. - 2006. - V. 134. - № 12. - P. 3465-3474.

Основное содержание диссертации отражают следующие опубликованные работы автора

[1] Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Вестник Томского государственного университета. —

2006. — № 290. — С. 89-95.

[2] Ярдыков Е.Ю. О дуальном базисе некоторых проективных мо-дулейнад кольцами обобщенных матриц // Вестник Томского государственного университета. — 2007. — № 299. — С. 108-110.

[3] Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Фундам. и прикл. математика. — 2007. — Т. 13. — № 3. С. 245-247.

[4] Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» : Математика. — Новосибирск, 2005. - С. 16-17.

[5] Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Абелевы группы. Труды Всероссийского симпозиума (Бийск, 22-25 августа 2005). - Бийск, 2005. - С. 55-57.

[6] Ярдыков Е.Ю. Проективные модули над кольцами обобщенных треугольных матриц // Абелевы группы. Материалы Всероссийского симпозиума (Бийск, 19-25 августа 2006). - Бийск, 2006. - С. 50-51.

[7] Ярдыков Е.Ю. О наследственности кольца эндоморфизмов делимой группы // Международная конференция «Алгебра и ее приложения», посвященая 75-летию В.П. Шункова. Тезисы докладов. — Красноярск,

2007. - С. 152.

[8] Ярдыков Е.Ю. О наследственности кольца эндоморфизмов нередуцированной группы // Международная алгебраическая конференция, посвя-щеннная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. Тезисы докладов. — Москва - МГУ, 2008. - С. 270-271.

Подп. к печ. 10.03,2009 Объем 0.75 пл. Заказ №.34 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ярдыков, Егор Юрьевич

Список обозначений

Введение

1 Общие свойства модулей над кольцами обобщенных матриц

§1. Модули, подмодули и фактормодули.

§2. Малые и существенные подмодули.

§3. Простые модули.

§4. Минимальные подмодули. Цоколь модуля

§5. Максимальные подмодули. Радикал Джекобсона.

2 Плоские, проективные и наследственные модули над кольцами обобщенных матриц

§6. Тензорное произведение и плоские модули

§7. Проективные модули.

§8. Наследственные модули.

3 Наследственность колец эндоморфизмов некоторых групп

§9. Делимые группы.

§10. Нередуцированные группы.

§11. Расщепляющиеся смешанные группы

Введение диссертация по математике, на тему "Модули над кольцами обобщенных матриц"

Актуальность темы. Кольца обобщенных (говорят также, «формальных») и, в частности, треугольных матриц обладают многими интересными свойствами. Кольца треугольных матриц часто используют для построения колец с асимметричными свойствами (например, нетеровых слева, но не справа и т. п.). При всем этом любое кольцо, обладающее нетривиальными идемпотентами, при определенных условиях изоморфно некоторому кольцу обобщенных матриц. Представляет интерес изучение модулей над кольцами обобщенных матриц. Можно исследовать как общие свойства таких модулей, так и некоторые специальные классы модулей.

Кольцо эндоморфизмов разложимого модуля является кольцом обобщенных матриц. Верно и обратное. Это обстоятельство подтверждает целесообразность исследования колец обобщенных матриц и модулей над такими кольцами. Кольца обобщенных матриц и модули над ними использовались при изучении абелевых групп с нетеровыми, наследственными кольцами эндоморфизмов [4, §17] , [5], абелевых групп как инъек-тивных модулей над их кольцами эндоморфизмов [21].

С кольцами обобщенных матриц, их связями с контекстами Мориты можно познакомиться в книгах [3, §10], [6, гл.7], [8, 6.10.12], [23]. Один параграф книги Гудерла [12] посвящен кольцам треугольных матриц. Модули над такими кольцами изучаются в статьях [15], [16], [21], [25] и других. Систематические исследования колец матриц и модулей над ними были осуществлены Хагани и Варадараджаном в статьях [14] и [15]. Эти исследования проведены для колец треугольных матриц, что существенно уже общего случая. Авторы, видимо, руководствовались тем, что кольца треугольных матриц наиболее часто встречаются в различных вопросах алгебры, например, в теории представлений артиновых алгебр (см. [9]). Изучение произвольных колец обобщенных матриц (то есть необязательно треугольных) и модулей над ними сталкивается с серьезными трудностями.

Работы Хагани и Варадараджана вызвали большой интерес, и вскоре появилось довольно большое число статей ряда авторов (например, [10], [11], [25]). В этих статьях продолжилась традиция изучения колец треугольных матриц и модулей над ними.

Имеется литература, посвященная и вопросам, поставленным в самом общем виде, например, [1], [5], [13], [21]. Так, в [21] Мюллер описала инъективные оболочки модулей над кольцами обобщенных матриц. Добавим, что аналогичная проблема для проективных модулей в настоящее время не решена.

В настоящей диссертации осуществлено систематическое изучение некоторых вопросов о модулях над кольцами обобщенных матриц. Кроме того, значительное внимание уделяется приложению полученных результатов к кольцам эндоморфизмов абелевых групп. Некоторые результаты, например теоремы 7.4, 8.1, получены для так называемых тривиальных колец обобщенных матриц, то есть колец с нулевыми идеалами следа (треугольные кольца, очевидно, являются тривиальными). Эти результаты обобщают ранее полученные факты для колец треугольных матриц из [15], [12].

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение различных свойств модулей над кольцами обобщенных матриц, а также применение полученных результатов к теории абелевых групп.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. К основным результатам можно отнести следующие.

• Исследование групп с наследственными кольцами эндоморфизмов сведено к случаю редуцированных групп.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ТГУ (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор П.А. Крылов); на Всероссийских симпозиумах «Абелевы группы» (г. Бийск, 2005 г., 2006 г.); на конференции, посвященной 300-летию со дня рождения JI. Эйлера (г. Томск, ТГУ, 2007 г.). Они были представлены на на XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2005 г.); на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (г. Красноярск, 2007 г.); на Международной алгебраической конференции «Ломоносовские чтения» (г. Москва, 2007 г.); на Международной алгебраической конференции, посвящепн-ная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (г. Москва, 2008 г.); на Всероссийской конференции по математике и механике с международным участием (г. Томск, 2008 г.); на Международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2008 г.). По теме диссертации опубликовано девять работ ([26]-[34]).

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Ярдыков, Егор Юрьевич, Томск

1. Каравдина Е.Ю. Построение и свойства кольца обобщенных матриц порядка п // Вестник Томского государственного университета. — 2003. - № 280. - С. 46-49.

2. Каш Ф. Модули и кольца / Ф. Каш М.: Мир, 1981. — 386 с.

3. Кашу А.И. Радикалы и кручения в модулях / А.И. Кашу. — Кишинев : Штиинца, 1983. — 156 с.

4. Крылов П.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов / П.А. Крылов, А.В. Михалев, А.А. Туганбаев. — М.: Факториал Пресс, 2006. 512 с.

5. Крылов П.А. Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых групп // Сиб. матем. ж. — 2002. — Т. 43. — № 1. — С. 108-119.

6. Фейс К. Алгебра : кольца, модули и категории / К. Фейс. — Т. 1. М.: Мир, 1977 688 с.

7. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы : в 2 т. / JI. Фукс. — М.: Мир, 1974. Т. 1. - 335 с.

8. Харченко В.К. Некоммутативная теория Галуа / В.К. Харченко. — Новосибирск : Научная книга, 1996. — 369 с.

9. Auslander M. Representation Theory of Artin Algebras / M. Auslander, I. Reiten, S.O. Smal0// Cambridge University Press, 1995.

10. Birkenmeier G.F. Generalized Triangular Matrix Rings and the Fully Invariant Extending Property / G.F. Birkenmeier, J.K. Park, S.T. Rizvi // Rocky Mountain J. Math. 2002. - V. 32. - №. 4. - P. 1299-1319.

11. Borooah G. Strongly clean triangular matrix rings over local rings / G. Borooah, A.J. Diesl, Th.J. Dorsey // J. Algebra. 2007. - V. 312. -P. 773-797.

12. Goodearl K.R. Ring Theory / K.R. Goodearl. New York-Basel : Dekker, 1976.

13. Green E.L. On the representation theory of rings in matrix form // Pacific J. of Math. 1982. - V. 100. - №. 1. - P. 123-138.

14. Haghany A. Study of formal triangular matrix rings / A. Haghany, K. Varadarajan // Comm. Algebra. 1999. - V. 27. - №. 11. - P. 55075525.

15. Haghany A. Study of modules over formal triangular matrix rings / A. Haghany, K. Varadarajan // J. Pure and Appl. Algebra. — 2000. — V. 147. P. 41-58.

16. Haghany A. Injectivity conditions over a formal triangular matrix ring // Arch. Math. 2002. - V. 78. - P. 268-274.

17. Harada M. Hereditary semi-primary rings and triangular matrix rings // Nagoya Math. J. 1966. - V. 27. - P. 463-484.

18. Hirano Y. Another triangular matrix ring having Auslander-Gorenstein property // Comm. Algebra. 2001. - V. 29. - №. 2. - P. 719-735.

19. Morita К. Flat modules, injective modules and quotient rings j j Math Z. 1971. - V. 120. - P. 25-40.

20. Miiller M. The quotient category of Morita context // J. Algebra. — 1974. V. 28. - P. 384-407.

21. Mtiller M. Rings of quotients of generalized matrix rings // Comm. Algebra. 1987. - V. 15. - P. 1991-2015.

22. Nicholson W.K. Classes of simple modules and triangular rings / W.K. Nicholson , J.F. Watters // Comm. Algebra. 1992. - V. 20. - P. 141-153.

23. Rowen L. Ring Theory / L. Rowen. — New York : Academic Press, 1988.

24. Sakano K. Maximal quotient rings of generalized matrix rings // Comm. Algebra. 1984. - V. 12. - №. 16. - P. 2055-2065.

25. Sheiham D. Universal localization of triangular matrix rings // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. - V. 134. - №. 12. - P. 3465-3474.

26. Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Студент и научно-технический прогресс. Математика : материалы XLIII Международной научной студенческой конференции. — Новосибирск : Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2005. — С. 16-17.

27. Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Абелевы группы : труды Всероссийского симпозиума. — Бийск : РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005. С. 55-57.

28. Ярдыков Е.Ю. Проективные модули над кольцами обобщенных треугольных матриц // Абелевы группы : труды Всероссийского симпозиума. Бийск : РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2006. - С. 50-51.

29. Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Вестник Томского государственного университета. — 2006. № 290. - С. 89-95.

30. Ярдыков Е.Ю. Простые модули над кольцами обобщенных матриц // Фундаментальная и прикладная математика. — 2007. — Т. 13. — № 3. С. 245-247.

31. Ярдыков Е.Ю. О дуальном базисе некоторых проективных модулей над кольцами обобщенных матриц // Вестник Томского государственного университета. — 2007. — № 299. — С. 108-110.

32. Ярдыков Е.Ю. О наследственности кольца эндоморфизмов делимой группы // Алгебра и ее приложения : материалы Международной конференции, посвященой 75-летию В.П. Шункова. — Красноярск : Изд-во Красноярского, гос. ун-та, 2007. — С. 152.

33. Ярдыков Е.Ю. О наследственности кольца эндоморфизмов нередуцированной группы // Материалы Международной алгебраической конференции, посвященнная 100-летию со дня рождения А.Г. Куро-ша. — Москва : Изд-во Московского гос. ун-та, 2008. — С. 270-271.