Дифференциальная геометрия киллинговых f-структур на многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОИСКИИ ИКДЛГОГИЧКСКШ1 ГОСУДАРСТВ 15 ИII 1>1П УШШЕРСНТЕТ имени 15. II. ЛНШША

Снсцнализнроишпшп сонет К 0~hi.0l.02

На правах рукописи

ГРНЦАПС Арманде Снгизмундивич

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1ШДЛИНГОВЫХ Г-СТРУКТУР нл МНОГООБРАЗИЯХ

01.01.04 — геометрии н топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации ни счистите ученой степени кандидата фпцпко-матсматичсшнх наук

Москва 1991

Работа выполнена л Московском педагогическом государственном университете имени В. II. Ленина.

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО В. Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ДУБРОВИН Б. А.

кандидат физико-математических наук, старшин научный сотрудник ФЕРАПОНТОВ Е. В.

Ведущая организация — Казанский государственный университет имени В. И. Ульшюва-Лешша.

Защита состоится 9:...» ........... 19.^ г. в час.

в аудитории 301 па заседании специализированного совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата наук в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина, по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная, 14, МИГУ им. В. И. Ленина.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИГУ имени В. И. Ленина (119435, Москва, Малая Пироговская, 1, МИГУ имени В. II. Ленина).

Автореферат разослан .....¿¿Я/?;?.?!....... 1991 г.

Научный руководитель:

Ученый < тзированного совета

КАРАСЕВ Г. А.

„. .•;■, ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

се.-)--', т)

-' Актуальность темы. Понятие £ -структуры , т.е. оператора { ,

} 0 , .на многообразии, является обобщением почти комплексной и почти контактной структур, которые вот уже несколько десятилетий являются постоянным объектом изучена в работах многих геометров мира, что обуславливается широкими приложениями геометрии почти комплексных и почти контактных многообразий в различных областях математики и теоретической физики.

Изучение £ -многообразий, т.е. многообразий, несун;их структуру, главным образом сконцентрировалось вокруг, во-первых, так называемых реперированных $ -многообразий , т.е. ^ -многообразий, на которых ядро оператора ^ параллелизуемо, и, во-вторых, вокруг вопросов, связанных с существованием и свойства,".™ различного рода специальных связностей (например, связностей Схоутена и Врэнчану , ({»'З') - связностей4^« др.) на £ -многообразиях. Что касается £ -многообразий, на которых ядро оператора £ не обязательно параллелизуемо, то имеется относительно мало информации об их строении. Поэтому представляется актуальным изучение строения таких многообразий, применяя метода обобщенной эрмитовой геометрий, которые до сих пор не использовались для систематического изучения геометрии j -структур.

Так как понятие £-структуры является слишком общим, чтобы получить интересные результаты о строении £ -многообразий, то естественно ограничиться рассмотрением некоторого разумного (т.е.,с одной Стороны, достаточно общего, а с другой - имеющего богатую геометрию) подкласса f -структур. На наш взгляд, одним из таких подклассов является класс киллинговых f -структур, которому и посвящена данная диссетационная работа, т.к. частными случаями

1ЬалоК.Оаа**ги.с{.ц.<и Лл^мЛ. вДким. ¿иИ £ ИИ)

^й^йк} }\}~0//Гсыо1.-19€3.-V. 14.'Р. 93 -109.

^(ЬоСа.ве'из ЭЛ.^алоК. Ол аогпгаХ ^-папЛММ Н

ТоЬо^и Ма^/Э.-^о.-^и.м5 ъ-гга-ъго.

3)р*Сроа.г & Соппс*.1опл Sck.ou.tea. et ¿ч Уюасгали. $-чьц&и II К*. ггЫ.гГгилл Р. т-ш.

киллинговой £ -структуры являются приближенно келеровы5^и слабо косимплектические структуры, которые (в особенности первые) в течении последних 25-30 лет являются одними из самых популярных объектов исследований в теории дифференциально-геометрических структур на многообразиях.

Цель диссертационной работы состоит в изучении строения многообразий, несущих ниллингову £ -структуру. Основными задачами данного исследования являются следующие:

1. Изучить строение киллинговых £ -многообразий общего вида.

2. Изучить строение локально симметрических киллинговых | -многообразий.

3. Изучить строение конформно-плоских киллинговых j -многообразий.

Новизна результатов.Все полученные результаты являются новыми. Выделим основные ртзультаты данного исследования:

1. Основная теорема для киллинговых j -многообразий (теорема 8), утверждающая, что киллингово £ -многообразие в произвольной своей точке локально эквивалентно произведению ниллингова f -многообразия основного типа, приближенно келерова многообразия и римакова многообразия без дополнительной структуры.

2.а)Классификация неприводимых полных односвязных локально симметрических киллинговых $ -многообразий основного типа, второе фундаментальное распределение которых имеет хотя бы один компактный слой (теорема 13).

о')?еорема 14, утверждающая, что полное односвязное локально симметрическое киллингово £ -многообразие основного типа с регулярным (в смысле Пале) вторым фундаментальным распределением является главным тороидальным расслоением над компактным одно-связным римановым многообразием.

б^аоч А. Меа^КаК&а ыЩоШ ¡1 "

Р. Ш"3<Л.

Й.Е.^ко^ец О-К.АСто^ Со^аЛ »¿¿К. КсС^п^

^ЬмеЬш *ЫИ014. Ш. И 1ымЬ. <9? -Р. 57?- Ш.

3. Основная теорема для конформно-плоских киллинговых | -многообразий (теорема I?), дающая полную классификацию таких многообразий. •.

Эти результаты в основном дают ответ на основные задачи данного исследования.

Методы исследования. К киллинговому £ -многообразию внутренним образом присоединено главное расслоение, элементами которого являются так называемые А^ - реперы и которое можно рассматривать как О ~ структуру, т.е. как подрасслоение главного расслоения всех комплексных реперов киллингова | -многообразия. Это позволяет применить к изучению дифференцияльно-геометрических свойств таких многообразий мощный аппарат структурных уравнений главного расслоенного пространства и их дифференциальных продолжений, который до сих пор не применялся для систематического изучения геометрии { -многообразий.

Большой отпечаток на данное исследование наложили методы обобщенной эрмитовой геометрии , т.к. в модуле гладких векторных полей на киллдаговом £-многообразии внутренним образом определена структура алгебры, названной канонической алгеброй киллингова £ -многообразия и являющейся в некотором смысле аналогом натуральной 0, - алгебры в обобщенной эрмитовой геометрии. Алгебраическое строение канонической алгебры киллингова $ -многообразия во многом определяет строение данного киллингова $ -многообразия. Значение последнего факта огромно, т.к. это позволяет в значительной степени свести такой сложный вопрос, каким является вопрос о строении киллингова -многообразия, к изучению алгебраического объекта - канонической алгебры киллингова £-многообразия, что, несомненно, намного легче осуществимо.

Научное и прикладное значение. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в исследованиях, посвященных дифференциально-геометрическим структурам на многообразиях, а также при чтении спецкурсов в тех высших учебних заведениях, в которых проводятся исследования по дифференциальной геометрии.

Кириченко В.ф, Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий//йтоги науки и техн. В» НОГТИ. Проблемы геометрии.-1986.-Т.18.-С. 25-71.

ч

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (1990 г./Гарту); на III Всесоюзной школе "Понтрягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ'41990 г..Кемерово); на заседаниях по дифференциальной геометрии при Казанском государственном университете, Белорусском государственном университете, ."осковском институте стали и сплавов.

Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертации отражено, в пяти публикациях [I] - [5], которые выполнены без соавторов.

Структура и объем. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного текста, включающих четырнадцать параграфов, и списка цитированной литературы. Работа выполнена на 99 страницах машинописного текста. Список цитированной литературы содержит 54 работы отечественных и зарубежных авторов.

ОБЗОР СОДЕНКАНВД ДИССЕРТАЦИИ

Во введении излагается предыстория вопроса, обосновывается актуальность теш, формулируются цели и задачи диссертационной работы, излагаются основные результаты, полученные в работе.

Первая глава "Предварительные сведения"(§§1-5) посвящена изложению геометрических фактов, являющихся основой аппарата данного исследования.

В §1 определяется основной объект данного исследования -понятие киллинговой f -структуры на многообразии.

Пусть М - гладкое связное многообразие класса С°* , на котором задана £ -структура с оператором структуры $ . Из теоремы Стонга®^следует, что ранг оператора структур« £ постоянен наМ , Поэтому распределения и ТЦ-Км! на М имеют постоянные

размерности, называемые соответственно рангом и дефектом ^ -структуры. £ и ТП. называются соответственно первым и вторым фундаментальными распределениями £ -структуры.

$ -структура на римановом многообразии называется

метрической", если оператор структуры } кососимиетричен относительно римановой метрики ^ . Многообразие, снабженное метричес-

Я.Е.'ЗКл 1аа.к о} аа $ - -»иш^ил*. // КоАаХ Matli.Stnt.Repr

1Щ1. -ГД^ № 1-1- Р. Ш - Ш.

кой |-структурой, называется метрическим { -многообразием. На метрическом $ -многообразии распределения X и ТН ортогональны относительно ^ .

Метрическая -структура называется киллинговой, если оператор структуры { является тензором Киллинга, т.е. Фу (f)( A) - О ( X е Э6СМ) ), где V - риманова связность метрики ^ модуль гладких векторных полей на М . Многообразие, снабженное киллинговой | -структурой, называется киллинговым £ -многообразием.

В §2 вводятся в рассмотрение реперы на метрическом £ -многообразии, которые естественным образом присоединяются к нему. Среди них особое место занимают так называемою Af - реперы. Это обуславливается тем, что векторы - репзра являются собственными для оператора структуры в соответствующих точках многообразия. Следовательно, - реперы являются наиболее тесно присоединенными (по сравнению с другими реперами) к метрическому £ -многообразию. Вычислены компоненты оператора структуры и метрического тензора в - репере.

В §3 изложена идейная основа аппарата данного исследования: изучение киллинговой f -структуры сводится к изучению равносильного ей объекта - в - структуры подрасслоения главного расслоения всех комплексных реперов киллкнгова | -многообразия М . Элементами б - структуры являются - реперы на М • Найдена б - система в - структуры

В §4 изложена техническая основа аппарата данного исследования: с помощью б - системы 6 - структуры находятся структурные уравнения киллинговой | -структуры, т.е. структурные уравнения главного расслоения 2>А^(М). При этом с киллинговым

^ -многообразием естественным образом ассоциируется ряд чистых тензоров, названных структурными и сплетечными тензора!«!, которые связаны между собой целым рядом вполне определенных соотношений. С помощью полученных структурных уравнений доказаны

Теорема I. Первое фундаментальное распределение X на шиллинговом ^ -многообразии Ч является вполне интегрируемым тогда и только тогда, когда сплетенные тензоры всех родов равны нулю на М . Если X вполне интегрируемо, то слои распределения к являются вполне геодезическими подмногообразиями в М к несут естественным образом индуцированную-приближенно келерову структуру-

Теорема 2. Второе фундаментальное распределение ТК1 на кил-линговом f -многообразии М является вполне интегрируемым. Слои распределения Til являются вполне геодезическими подмногообразиями D М .

Вторая глава "Строение киллинговых f -многообразий"(§§6-9) посвящена изучению строения киллинговых f -многообразий общего вцца.

В §6 показано, что на киллинговом i -многообразии М внутренним образом определена связность V , называемая канонической, которая обладает тем замечательным свойством, что в ней ко-вариантно постоянны метрический тензор, оператор структуры и сплетенные тензоры всех родов (теорема 3). Доказано, что тензор ■эСХ.Ч) - X. - К типа (2,1) на М имеет вид:

где N - тензор Нейенхейса оператора структуры f ; I и 1U -ортогональные проекторы Э9СМ) на первое и второе фундаментальные распределения соответственно. Положим: ТСХ,Ч)-CSCСХ^С*í^ иУ-S-T . Тензоры S , Т и V называются соответственно композиционным тензором, композиционными тензорами I и II рода. Обозначим:Xo'J*

называется канонической алгеброй киллингова f -многообразия М • Изучены свойства умножения в канонической алгебре 'О .

В §7 вводится в рассмотрение ряд линейных операторов в канонической алгебре киллингова f -многообразия. Вычислены компоненты этих операторов в A-f - репере.

Пусть Lx' гд~*'д - левый сдвиг в канонической алгебре "О , т.е. 1 • Показано, что на первом фундаментальном распре-

делении X, корректно определена ст.мегрическая CtM) - били-неГшал форма ©(.u.vhJUU..«.»^) (u.veX ). Поэтому на X можно определить симметрический огератор 9 , положив:Q(.u » Си , Qttf) > . Оператор 9 называется первым структурам оператором канонической алгебры о) . Аналогично, на втором фундаментальном распределении Til корректно определена симметрическая C°"(tvU - билинейная форма( € Поэтому на TYl можно определить сиотдетрический оператор 6* , положив:С»jí)= )/>- Оператор б" называется вторым струк-

турным оператором канонической алгебры ч) . Операторя 9 и б* являются квазиинвариантными, т.е. ковартантно кмстояжсхда в капо-

нической связности . Имеют место следующие утверждения

Леша 2. 1)<Х1хв°,(Х1*ГС1°'Кчд ^О} ,

Лемма 3. ПХ«^«Х.-Х'Т^б'-;2) * З-пб*

В §8 вводятся в рассмотрение важные классы канонических алгебр киллинговых ^ -многообразий: каношческая алгебра принадлежит келерову.типу, если структурные тензоры I и II рода нулевые; каноническая алгебра принадлежит основному типу, если первый и второй структурные операторы канонической алгебры невырокдены.

Теорема 4. Каноническая алгебра, первый структурный оператор которой невырожден, в частности всякая каноническая алгебра основного типа, является канонической алгеброй келврова типа.

Теорема 5. Первое фундаментальное распределение £ на кил-линговом £ -многообразии М (¿¿тРЛ 1 0 ) основного типа не является вполне интегрируемым.

' Распределение на киллинговом £ -многообразии называется голоморфным, если оно инвариантно относительно оператора структуры.

Лемма 4. Если распределение на киллинговом £ -многообразие является голоморфным, то ортогональное дополнение к этому распре-" делению также является голоморф1.шм.

Доказывается, учитывая свойства умножения в канонической алгебре х) , что каждый односторонний идеал канонической алгебры 'О является двусторонним. Поэтому впредь будем говорить просто об идеалах канонической алгебры лЦ .

Лемма 5. Если распределение на киллинговом -многообразии М является идеалом канонической алгебры -"О , то ортогональное дополнение к этому распределению также является идеалом канонической алгебры "О .

Распределеш!е на киллинговом £ -многообразии называется квазиинвариантным, если оно параллельно в канонической связности.

Ключевым результатом, описывающим алгебраическое строение канонической алгебры киллингова j -многообразия, язляется следующая

Теорема ?. Каноническая алгебра киллингова j -шюгообразия является прямой сумкой своих квазшшваркангннх голоморфных идеалов 1т.{Г , 'Ох'^схЭ и 'ду-

С помощью' этой теоремы в §5 доказывается центральная теорема данного исследования - основная теорема для киллинговых £ -многообразий:

Теорема 8. Киллингово f -многообразие в произвольной своей точке локально эквивалентно произведения ниллингова f -многообра^ зия основного типа, приближенно келерова многообразия и риманова многообразия без дополнительной структуры.

Роль этой теоремы огромна, т.к. она позволяет свести задачу изучения шиллинговых { -многообразий общего вида к изучению нил-линговых £ -многообразий основного типа, что, естественно, намного легче осуществимо, поскольку структурные тензоры I и II рода на киллинговом 5 -многообразии основного типа равны нулю. Теорема 8 обобщает классификацию слабо косимплектических многообразий, найденную В.Ф.Кириченко^, на случай киллинговых ^ -многообразий. Отмети,! некоторые важные следствия из теоремы 8.

Следствие I. Неприводимое киллингово { -многообразие М (сИпаМ * 0 ) является киллинговым { -многообразием основного типа тогда и только тогда, когда оно Имеет ненулевой дефект, не равный размерности многообразия.

Следствие 4. Киллингово j -многообразие основного типа с киллинговой f -структурой, дефект которой равен I, локально эквивалентно пятимерной сфере Б5 , снабженной канонической слабо ' косимплектической структурой.

Следствие 5. На односвязном неприводимом римановом глобально симметрическом пространстве М не существует инвариантных

-структур с ненулевым дефектом, не равным размерности многообразия. В частности, на М не существует инвариантных киллинго-: вых -структур основного типа.

Третья глава "Локально симметрические киллинговы { -многообразия основного типа"(§§10-12) посвящена изучению строения таких многообразий.

В §10 изучается строение канонической алгебры локально симметрического киллингова.^ -многообразия основного типа. Доказано, что каноническая алгебра таких многообразий является^прям^й суммой квазиинвариантных голоморфных идеалов и «-х © тп (14,...), являющихся прямыми суммами соответствующих собственных распределений Х и' "ГЦ первого и второго структурных операторов канонической алгебра . Доказана

9)К1/и.Ы«.аКо \Г.Е Со. %еотИйе ¿.и va.iu.iH-i

т.1гЛ Ц С.Й./\сао(. 5с*..Ра*+<1. Бм. I.-114У.

Р. СП-ПС. -

Теорема 10. Размерность локально симметрического киллингова i -многообразия M ( M * 0 ) основного типа равна пятикратной размерности второго фундаментального распределения на M .

. В §11 доказана следующая

Теорема II. Пусть M (<UnvMtO ) - локально симметрическое киллингово f -многообразие основного типа. Тогда

1. M в произвольной своей точке локально эквивалентно произведению M«*-* M(4 локально .симметрических киллинговых { -многообразий (<Ц««.М4+0 ; -JM.-.p ) основного типа со скалярными структурными операторами.

2. Если M полно, то оно компактно и имеет конечную фундаментальную группу.

3. Каждое многообразие М1 (1М,.>еО является пространством Эйнштейна с положительной константой Эйнштейна.

4. Размерность многообраэ'ч Мл (-1*4,...,^) равна пятикратной размерности второго фундаментального распределения на М1 ,

5. Слои второго фундаментального распределения на M имеют нулевой тензор Риччи. Если M полно и односвязно, то компактные слои второго фундаментального распределения на M суть евклидовы торт.

В §12 изучаются киллинговы j -многообразия, на которых второе фундаментальное распределение имеет компактные слои.

Теорема 13. Неприводимые полные односвязные локально симметрические киллинговы f -многообразия M ( <U«itvH 0 ) основного типа, второе фундаментальное распределение которых млеет хотя один компактный слой, могут находиться лишь среди следующих многообразий: Sptnm ,su{ч^ ,suc6)/soc6) .sthd/sou) »

SpW/VW ,S0140)/S<K5)XS0(5) fSOUl/SOC5)KSOC4) S0C*VS0(5)*S0CV) ,SQ(i)/S0(5)* SOU) S0(î)/S0(5)*S0U) = S*.

Отметим, учитывая следствие 5 из теоремы 8, что на многообразиях, перечисленных в теореме 13, не существует инвариантных киллинговых J -структур основного типа.

Теорема 14. Полное односвязное локально симметрическое киллингово j -многообразие M (cUtvM + 0 ) основного типа с регулярным (в смысле Пале10^) вторым фундаментальным распределением

' WPalai.'i Л â{oÇ>at fov4U.lati.on. oj ike tit tWeoiu of

ItA'ùfo-t.rnA.Uo't §aou.p'i/iMtm..Atrtta-Mû-iii.c;oc.-<<î5?.-N2XX.

*YYl является главным тороидальным расслоением над компактным односвязшм римаиовым многообразием М / ТП .

Теорема 15. Пусть М (dLrn. М * 0 ) - полное односвязное локально симметрическое киллингово f -многообразие основного типа с регулярным вторим фундаментальным распределением Til . Тогда

1. Первое фундаментальное распределение X на М является связностью в главном расслоении (M,M/TIT)T'V) ТГ)

2. Оператор структуры f на М не проектируется на базу М / ТП главного расслоения (.M.M/'Vtt Д"1, ТГ) .

3. М - реперированное метрическое f -многообразие с не нормальной реперироданной метрической f -структурой J f i ^j ^>

Эти результаты развивают исследования взаимосвязи f -многообразий и главных тороидальных расслоений, начатых Блэром, Ладде-ном и Яно в Основное внимание в этих работах уделено

нормальным реперированным f -многообразиям. Так, в ' доказано, что связное компактное многообразие с регулярной нормальной ре-перированной f -структурой является главным тороидальным расслоением над почти комплексным многообразием. Б.П.Комраков подучил полную классификацию связных компактных многообразий, допускающих регулярную нормальную реперированную f -структуру, инвариантную относительно компактной полупростой группы движений. Нами же указан класс многообразий с регулярной не нормальной ре-"перированной f -структурой, тагсте являющихся главными тороидальными расслоениями. Особо следует отметить тот факт, что в нашем случае на базе главного расслоения нельзя определить почти комплексную структуру с помощью проектирования оператора f .

Четвертая глава "Классификация конформно-плоских киллинговых f -многообразий"(§§13,14) посвящена изучению строения таких многообразий.

В §13 доказана следующая -

И)&£сил S.E.,LuclcUaG.fi.^anoК.D^ift^taiuiE gtamtti^c ibuuiwu* on.

рч^сСрае towcUxt

munifotcU with. -iWcoiu.iaC cpcup

UtD X Oc5) I11.fcbf ftteni .Geo<n .-Ш0.-'X ЧP. -<55- €3.

13)

Комраков Б.П. Однородные Тпространства, порожденные автоморфизмами, и инвариантный геометрические структуры//Итоги науки и техн.ВИНИТИ.Проблемы геоыетрии:-1975.'-?.7.-С.81-Ю4.

Теорема 16. Конформно-плоское киллингово { -многообразие М (oU.rn.Mt О ) основного типа локально эквивалентно пятимерной сфере £ , снабженной канонической слабо коскмплектической структурой.

В §14 доказана основная теорема для конформно-плоских кил-линговых £ -многообразий, дащая полную классификацию таких многообразий.

Теорема 17. Конформно-плоское киллингово £ -многообразие М (сИт. М > ^) с ненулевым оператором структуры либо является одним из следующих многообразий:!. М1" - двумерным келеровым многообразием^. IVс. - шестимерным приближенно келеровда многообразием постоянной положительной кривизны С ;3. - ь.1 мер-

ным локально плоским келеровым многообразием, либо в произвольной своей точке локально эквивалентно одному из следующих многообразий^. >( Г*^ - произведению двумерного келерова многообразия МД постоянной отрицательной кривизны -с и двумерного келерова многообразия Г^ постоянной положительной кривизны С ;

X Ыс ;б. 111 - открытому подмногообразию пятимерной аферы ^ положительной кривизны С , снабженной канонической слабо косимплектической структурой;7. N1 < (VI' - произведению N £ и одаомерного многообразия М* ;8. ЫД КМ1 ;9. (V \ X М1 ; -Ю. М*? к М" ( );11. X ( ч>1) - произведению и л - мерного пространства М^ постоянной отрицательной кривизны -С ; 12.X М* (ьЪХ) - произведению М„с и п. - мерного ¡пространства постоянной положительной кривизны с ;13. и\хМ2с ЛМ"1 ;15.1/! хМ-с ии);1б. V! * .

• Следствие. Конформно-плоское слабо косимплектическов многообразие в произвольной своей точке локально эквивалентно-одному из следующих многообразий:I. 17 <? i2.Nl «М1 ;3. ХМ"1 ;

Теорема 17 обобщает классификацию конформно-плоских приближенно келеровых многообразий, найденную Такамацу и Ватанабз , на случай конформно-плоских киллинговых f -многообразий.

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.5.Кириченко за постановку задач и неустанное внимание к работе.

ШТамипа-Ь«. К.,Шоаа»< Ч. С(а^^иаЬлл ^ а

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Гриданс A.C. О геометрии киллинговых f -многообразий// Успехи маг.наук.-1990.-Т.45,Р 4.-С,149-150.

[2] Грицанс A.C. О локально симметрических киллинговых -f -

" многообразиях основного тила//Мат. III Всес. школы "Пон-трягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ".-Кемерово.-1990.-С.20.

[3] Грицанс A.C. О структурной теории киллинговых f -многооб-разий//Тез.докл.конф."Проблемы теоретической и прикладной математики".-Тарту.-1990.-С.47-48.

[4] Грицанс A.C. О некоторых распределениях на киллинговых

j -многообразиях//Ткани и квазигруппы.-Калинин.-1990.-С.142-146.

[5] Грицанс A.C. К геометрии киллинговых f -многообразий/ МГПИ ra.i.В.И.Ленина.-'А., 1990.-39с.-Деп. в ВИНИТИ 08.06.90. Ii? 3274 - В90.