Дифференциальные операторы в пространствах функций бесконечномерного аргумента тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЬАГ'ОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Фролов Николай Николаевич

Дифференциальные операторы в пространствах Функций бесконечномерного аргумента

01.01.01 - математический анализ 01.01.02 - дифференциальные урааненмя

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученей степени доктора физиш-математи-еских наук

Хабаровск -1386

Работа выполнена в Дальневосточном государственном университ*

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дубинский Ю.А. доктор физико-математических наук, профессор Демиденко Г.В. доктор физико-математических наук, профессор Зарубин А.Г.

Ведущая организация. Московский государственный университ>

им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится " " МЛи.^/, .с.^ 199¿"г. в ^О часов на заседании диссертационного совета Д 064.62.01 в Хабаровском государственном техническом университете, г.Хабаровск, ул.Тихоокеанская, д. 136, ауд.315(л)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университета.

Автореферат разослан" ^ " ¿¿^^г/к^ 1996>.

Ученый секретарь диссертационного совета

/¡. ^.¡¿е^Лъ^гР Подгаев А.Г.

< Т~Ч1 > -т \ • « ^—, , 1.-Т-Г—» Г11ПЛТ1 I

'_'с.а1ял ллгим1:гп11иг.а глвина.

Актуальность темы. Дифференциальные операгоры для функций бесконечного числа переменных (бесконечномерные дифференциальные операторы -б.д.о.) естественно возникают как б физике систем с бесконечным числом степеней свободы - квантовая теория поля, теория турбулентности, статистическая физика, квантовая электродинамика, так и б самой математике при исследовании нелинейных уравнений ¡1 теории случайных процессов с бесконечномерным фазовым пространством. Исследование бесконечномерных дифференциальных уравнений (б.д.у.) стимулирует развитие соответствующего математического аппарата: теорию пространств функций бесконечного числа переменных, теорию интегрирования по квагимеоам б бесконечномерных пространствах.

Интенсивное 'изучение б.д.о. началось в конце 60-х годов. Эллиптические дифференциальные операторы второго порядка появились в работах Б.Б.Баклана, Г.Л.Чантладзе, Умемура в связи с задачей построения бесконечномерных диффузионных процессов. Систематические нх изучение было начато Ю.Д.Дадецким , Л.Гроссом. М.Пич. При этом центральное место занимал вопрос о разрешимости задачи Коши для соответствующего параболического уравнения н об интегральном представлении ее решения. Дальнейшее исследование б.д.о. в классах гладких функций, являющихся аналогами соответствующих конечномерных, либо в пространствах {обобщенных) мер, было продолжено в работах В.Ю.Бенткуса, М.И.Вишика, Б.Ласкара, 0.Г.Смолянова, А.В.Угланова,Р.Л.Шахбагяна и других математиков. Изучались вопросы разрешимости для раз-

личных классов б.д.у. и наличия у них фундаментальных решений (Ф.р.).

Б диссертации предлагается иной подход к исследованию

б.д.о., основанный на развитой автором теории пространств типа

С.Л.Соболева Щ » Функций бесконечномерного аргумента и их

г £

обобщений - пространств • Он позволил, применял методы

Функционального анализа, сравнительно просто исследовать широкие классы б.д.о., без привлечения специальной теории пространств обобщенных мер и сложной техники классического метода, исследовать б.д.у. с разрывными коэффициентами, изучить спект-ральны!? свойства о.д.о.. .широким запас пространств серии дает возможность для каждого оператора выделить те из них, в которых этот оператор обладает естественными свойствами.

При исследовании решений дифференциальных уравнений возникают интегралы по различным распределениям (мерам, квазимерам, обобщенным мерам!. Проблема интегрирования по распределениям важна так же в связи с задачами квантовой теории. Этому вопросу посвящено большое число работ, связанных в основном с интегрированием по "мере" Фейнмана. Значение интеграла по таким распределениям (континуальных интегралов) определяется, в частности, тем, что они позволяют представлять решения различных задач, связанных с уравнениями, содержащими дифференциальные и псевдодифференцизльные операторь^ (формулы Фейнмана-Каца-Нельсо-на). Математически обоснованное применение континуальных интегралов к решенно конечномерных уравнении дано Ю.Л.Далецким. Что касается фейнмановских интегралов 1ф.и.), б книге О.Г.Смолянова

к

¡1 Е.Т.Шавпулидзе {"Континуальные интегралы" М.:МГУ, 1950) приведены все известны»? к настоящему Бремени определения ф.и.

I

-интегралы), описаны широкие классы Фе -интегрируемых функции. Однако задачи математической физики приводят к необходимости значительного расширения этих классов. Б сеязи с этим вводятся различные определения и обобщения континуальных интегралов и соответствующих распределений. В диссертации предлагается одно из таких обобщении - понятие "А-квазимеры", которое используются в ней для описания структуры фундаментальных функций б.д.о..

При изучении б.д.о. одной из важных задач является построение соответствующих классов пространств (основных и -обобщенных 1 функций. Такие классы вводились многими авторами. Общий подход к построению теории' обобщенных функций бесконечномерного аргумента был предложен С.В.Фоминым, Им было замечено, что в бесконечномерном случае естественно рассмотрение не пары пространств - основных и сообщенных элементов, а четверки - основных ¡1 обобщенных мер и функции. Зто направление было развито в работах Б.И.Авербуха, О.Г.Смолянова, Ю.Л.Далецкого, А.В.Угланова и других авторов. Другой путь к построению пространств Функции бесконечномерного аргумента, как взвешенных бесконечных тензорных произведений гильбертовых пространств, был предложен Ю.М.Еерезанскпм и Ю.С.Самоиленко и получил дальнейшее развитие в работа:-; их учеников. Различные классы йространств гладких Функций вводились так же в работах П.М.Блехера, М. И.Вишика, А.В.Марченко, Р.Л.Шахбаглна, П.Крэ, М.Крз, Б.Ласкара в связи с исследованием б.д.у.. При этом, как правило, вопросы связанные

с детальным исследованием вводимых семейств пространств (интерполяционные сьопства, теоремы вложения и т.д.) не рассматривались .

Пространства Функций бесконечного числа переменных, конечного порядка гладкости, можно было бы определить по аналогии с конечномерным случаем. На этом пути автором [1,2] была введена п Поучена шкала пространств типа Соболева ^ . Как и в конечномерном случае, в ней сравнительно просто устанавливаются теоремы о разрешимости и гладкости решений б.д.у.. Однако, в

Л 1с

сбноп с отсутствием в бесконечномерном случае вложений $ С, доказать кдассичеснув гладкость построенных решений не представлялось возможным, ото обстоятельство, а так же отсутствие компактности б шкале ■ приводит к необходимости введения

ины". шкал пространств. лишенных этих недостатков. Б диссертации

г, 6

•-■ци'кд^л.-'.^юЯ '_триЯ ирл. 1 раН'_ гЬ ^тр>р ' ПуиБг;д^КО Ил ИСи~

д^довакие, установлены теоргмы Еложения. Эта серия не перекры-

вается известными классами функциональных пространств и содер-

V ■

Цэль работы. - Исследование линейных дифференциальных опе-

жит в себе шкалу* V/?

раторов с бесконечным числом переменных и построение необходимого для этого математического аппарата: а) пространств ^Рр Функции бесконечного числа переменных, исследование свойств введенных пространств, б) специальных распределений на гильбертовом пространстве, описание функций, интегрируемых по этим распределениям.

Методы исследования. Используются современные методы функционального анализа, в частности, теории обобщенных функций и Функционального интегрирования. Применяются методы комплексного анализа, теория эллиптических и параболических систем. Для исследования б.д.о. используется разработанные автором теория пространств Iи метод интегрирования по А-квазимерам.

Научная новизна. Построена широкая серия пространств Функций бесконечномерного аргумента и установлены теоремы вложения для ник.

Выделены специальные распределения (А-квазимеры) на гильбертовом пространстве, описаны семейства интегрируемых по ним функции, которые для случал Ф.и. расширяют известные классы фв~ -интегрируемых Функций.

Найдены формулы фундаментальных функций (ф.ф.) и фундаментальных решений (ф.р.) задачи Коши для систем б.д.у. с постоянными коэффициентами. Установлены теоремы разрешимости в (задачи Кошн для) систем б.д.у.. Описаны классы б.д.о., для которых ф.ф. и ф.р. определяются А-квазимерами.

Выделены пространства ^р.р Б которых оператор Фейнмана описывает невозмущенную динамику бесконечночастичной системы и классы потенциалов (зависящих от времени), при которых существует динамика возмущенной системы.

Описаны свойства б.д.о. ьысшего порядка с переменными коэффициентами, для которых имеют место теоремы разрешимости и гладкости решений в" ^ .

?

Приложения. Определенные б диссертации пространства находят применения: при исследовании спектральных свойств б.д.о.;

для доказательства существования динамики бесконечночастичных

- /г

систем; при построении ядерных оснащении ■ ^ > используемых для изучения квантовых систем; при доказательстве разрешимости б.д.у: и изучении свойств этих решений (теоремы вложения); в теории представлений бесконечномерных групп; при изучении интегральных представлений положительно определенных функций. Определенные ь диссертации А-квазимеры применяются: для представления решений дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений в виде континуальных интегралов; для описания структуры ф.ф. и ф.р.

Отметим, что пррстралства , Л^построены по гауссовой мере р . Изложенные в диссертации идеи и методы могут быть обобщены для исследования аналогичных пространств, построенных по "произвольной" дифференцируемой мере ^ . Пу>ть такого обобщения для соболеЕских пространств намечен автором в работах [17,193 и е настоящее время развивается Ю.Г.Кондратьевым и Т.о.Цикзлекко.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинара:-; по дифференциальным уравнениям в Воронежском университете (руководители профессора С.Г.Крейн и В.П.Глуш-ко), на Всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям, посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 1976 г.), на Всесоюзных школах по теория операторов в функциональных пространства:-: - Минск (1932 г.), Ульяновск (1990 г.), в МГУ им. М.В.Ло-

ыокссоБа на семинара:': по дифференциальным уравнениям и мерам на бесконечномерных пространствах (руководитель профессор 0.Г.Смоляное1, в институте математики А.п.Украины (Киев) на семинаре по операторам математической физике (руководитель профессор ri.ьедезанскш ), в институте прикладной математики ДВО РАН • Владивосток) на семинаре по дифференциальным уравнениям ('руководитель профессор Б.В.Катрахов), в Московском энергетическом институте на семинаре кафедры математического моделирования (руководитель Ю.А.Дубинскии).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы б работах LI-.T6],

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав (разбитых на параграфы) и списка литературы. Каждая глава имеет свою нумерацию параграфов, которые разбиты на пункты. Нумерация Формул, теорем и т.д. внутри каждого параграфа своя и состоит из двух чисел (параграф, порядковый номер). Пои ссылке на другую главу - зта глава явно указывается. Б диссертации 2-Ô2 страницы, б списке литературы 133 наименований.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении говорится о месте диссертации среди других и с следований, указываются основные положения и результаты, выно симые на защиту, кратко описывается содержание разделов работы

В главе I определяется и исследуется специальный клас квазимер v на вещественном гильбертовом пространстве Н.

Для описания широких пространств v - интегрируемых функци на Н необходимо, прежде всего, выделить наиболее широкие класс цилиндрических а>-интегрируешх функций. Поэтому появляется за дача о регуляризации соответствующих конечномерных интегралов В диссертации такие интегралы регуляризуются по методу Абеля который удобен для ф.и., поскольку плотность "меры" Фейнман выражается через экспоненту. На этог! пути в главе I определяет ся класс распределений, названный "Л-квазимерами".

Параграфы 1,2 главы I носят подготовительный характер.

В §1 определяются пространства 1$<В,Е) (Н*(Я,С) = l/J(tf)) и = 0,00,2,1 ,Т), соотвественно, непрерывных, слабо непрерывных, квазиядерных ядерных, ядерных в усиленном смысле симметричных fe-форм на И с значениями в банаховом пространстве Е; пространство Ы(Н,Е) мер на Я со значениями в Е и специальные классы %(Н,Е) аналити ческих функций <р:Н-+Е, используемых в диссертации.

В §2 определяются суммируемые по Абелю (А - суммируемые функции. Функция <р: (Rn-*C называется ^-суммируемой, если пр некотором о>о существует

lim 7.Р. J Ф елр С-2 |г|а) dr = (А) J cpcir,

кп

/о

когда z->o(Rei>o) оставаясь в некотором секторе, содержащим положительную полуось R+.- Показывается, что А - интеграл корректно определен ( не зависит от о) и является регуляризацией расходящегося интеграла 7.P.fcp<±r (из существования последнего следует Л-суммируемость <р и совпадение соответствующих интегралов).

В §3 понятие 4-интеграла используется для определения Л-квазимер на Н. Пусть Р = (Р ) - возрастающая последовательность конечномерных ортопроекторов в Н, сильно сходящаяся к I, Р- некоторое семейство таких Р, ТЕ - множество всех подпространств L =Р Н, соответствующих всем Р = (Рп)€Р, В0Ш - совокупность всех ограниченных борелевских множеств из I, 3)(i) пространствоЛ.Шварца основных функций (p: X -»- £, Рь - ортопрое-ктор в Н на МРН.

Под 4-квазимерой v на Н (точнее (А,Р) - квазимерой) понимается семейство {v } счетно-аддитивных функций vL: BQ(L)-*£, vL(dx) = = q (x)dx, определенных для всех LtPH и удовлетворяющих условию согласования: V L^l (L^PH), <pöD(I ) существуют и равны следующие 4-интегралы

«P,VL ) = (4) ; (pvx <dSr) = (4) J ф(Рх x) vL (dr).

1 L^ 1 Xg 1 2

С учетом абсолютной непрерывности vL относительно лебеговой меры на L, в класс 4-квазимер включаются цилиндрические меры, обычные квазимеры (в частности, "мера" Фейнмана vф). А-

гч»

квазимеру можно задавать ее преобразованием Фурье v, которое определяется набором ivL}. В диссертации приведены достаточные условия на функцию v: Н-*С, являющуюся преобразованием Фурье некоторой 4-квазимеры. В главе III выделяются классы б.д.о.,

фунаменталыше решения которых выражаются через А-квазимеры. Определим важный класс А-квазимер /С(в,(Н У). Пусть

т ^

= ®Н (1 $ т $ со) — разложение в ортогональную сумму продпрос транств, КэУ(7) интервал с концами 0,7. Для г,0€Кт(г >1

т

9 _ различные) положим и = П и(г.,9,), гд

^ ^ ^ Т* 1 У ^_^ «/ 1/

\Jirj.Qj) - пересечение кольца с сектором агёгеУЧе^)

Введем операторы /(2) ):

тп ®

то т

¿(г)х = хп + % х.г (х = £ г , х.еН ),

действующие из пространства Я в его комплексификацию Я0.

(А,Я) - квазимеру V отнесем к классу К (в ЛНр), если выполнены условия:

I) (V? = {Рл)0>, ЧтЯ, 3=0,1.....т);

И) для любого существует геКт при котро!

отображение

П <гТ1,г.) *1э(г,х) дТ(Дг)х)е€

J=1 3 3

продолжается в область иг 0»1 до непрорвыного, голоморфного го 0 при любом хеЪ.

V 9 У х

Функция <р:Н-*(Е называется (у,Р) - интегрируемой (V - интегрируемой, если V содержит все подпоследовательности Р), если : Ит(фр н, Ур н) = (ср,г>), не зависящий от Р = (Рп)€Р (фх = -

Т1 п, тъ

сужение ф на I).

Приведем одно утверждение из §3 об интегрируемсти функциЕ по А-квазимере У€С(вДНЛ). Для такой V положим г»0 = еК

771 '

ц1В{х) = qi(J(eiв)л;)s й. = сИт ЛШ,.

Теорема 1. Пусть тлеКОДЯ^}) (|8(< -}, а функция ф при любом Ъ(.ТЕ удовлетворяет у словим: дм фь выполнено а), (щ)ъ 0 -суммируема на Ъ и справедлива оценка

1(^)^(2)1) \ ^ С71еарСС,г8а:й3>

*1, з< —— V/; а, * 0).

Тогда имеет место равенство:

(№) = 11т Лрр я в) (ЧР = (РпН1>). (1 )

п п п '

Теорема 1 сводит вычисление ^-интеграла, входящего в определение (ф,у), к интегралу от суммируемой функции и в конкретных случаях приводит интеграл по 4-квазимере V к интегралу по (цилиндрической) мере г>е. В диссертации показано, что при т<со условие (И) на V и <р можно ослабить, заменив в нем и й одно-

V у У

мерным комплексным многообразием У<й7г е (теорема 3.2); рассмотрены предельные случаи з = -; приведены условия на

V и ф, когда предел (1) существует. Из доказанных теорем, в частности, при V = Vвытекают соответствующие утверждения Ю.Л. Далецкого, В.В.Стречюкого^о.г.Смолянова, Е.Т.Шавгулидзе о vф-штегрируемости функций на Я.

В §4 рассматриваются приложения теоремы 1 к ф.и. В применении к квазимере введенный: выше интеграл (ф,г>), приводит к определению ф.и., который отличается от Ф^-интеграла тем, что допускает случай о>2. Это дает возможность расширить известные класы тА- интегрируемых функций. Приведем два примера из §4. Для простоты будем считать, что корреляционный оператор "меры" единичный.

П

Пусть П {х) = У. аЛх,...,х) - полином на И, 2, а, - » г ь=1 А &

прерывны в норме |г|в = [Вх,х)^/г, В>0, P=(Pn)€P, P¿= РП~РП_ dn = áim PJ1, á'n - áim P^H. Рассмотрим функцию (pr{x)= expl¡r(x).

Теорема 2. Пусть для некоторых e<E(0,|pJ, Р0> и В> О бипо. тки условия:

Re nr(eiQx) ^ с (xíE),

1

а=2

1/2

ТгР' В Р'

п п

d +d' (SiTl 29) n n

< со.

Тогда функция <рг(х) - Cvф,PJ - ишеграруежш на Н.

Для полинома Пг(х) это утверждение можно существенно уточ нить (предложение 4.2). Отметим, что приведенные в упомянуто вышекниге С.Г. Смолянова, Е.Т.Шавгулидзе классы интегриру емых функций имеют рост не более четвертого прядка, минималь ного типа. Теорема 2 показывает, что предложенная конструкци позволяет интегрировать функции, имеющие любой порядок роста тип, что важно (например) для представления решений урав^ни Шредангера (в виде континуального интеграла) с кмплекснкми по тенциалами, степенного роста. Введенное определение (ср,у) поз воляег интегрировать и не аналитические функции, используя не посредственно определение. Приведем один пример.

Пусть V = , - цилиндрические меры на В со значе

ниями в (1/ь(Я))', р - преобразование Фурье меры рей (ГС, (С), V "мера" Фейнмана на ГС с корреляционным параметром I. Рассмотрю семейство функций вида

т , л

<РП Ах) = I Г<2£ р((г,6)),* <(?£)>. (2

л ! +

В частном случае, при р<{) = е1' получаем классы, рассмотрена ранее А.В.Углановым, которые определялись иным способом.

Теорема 3. Предположил, что для некоторого Р = СР Г .(1 + |т|)2т|р|(с*и) + К 1 <1 + |РпШ*К1<^) < оо. (3)

к й=о я

Гогаа дм функции (2) справедливо равенство

«ро .кф) = 11т I : < ), V. ({%)>. (4)

р' п ь=о н «Рпуг . 34

В случае, когда (И^(Н)') и неравенство (3) выполне

но при Р^ = I, функция ф^ интегрируема ив (4) можно пе-

рейти к пределу под знаками всех операций. В главе III диссертации 4-квазимеры будут использованы для представления ф.ф. I ф.р. бесконечномерных дифференциальных операторов.

В главе II определяются специальные классы функций бесконечномерного аргумента - пространства А^ , устанавливаются теоремы вложения для них.

Теория пространств функций бесконечномерного аругмента имеет свои специфические особенности. Во-первых, большинство пространств гладких функций при переходе к бесконечномерному случаю, теряет свои естественные свойства и для восстановления их (если это возможно) ряд авторов, кроме гладкости, налагали требования на поведение цилиндрических аппроксимаций функций, связанное с нарастанием числа переменных(в диссертации эти требования заменяются условием на поведение коэффициентов Фурье). Кроме того, в бесконечномерном случае появляется дополнительная возможность изучать поведения функций на плотных подмножествах исходного протсранства, исследовать гладкость по направлениям ие еще более узкого (плотного) подпространства.

В §1 дается определение пространств Л . Пусть Я (уеШ;

р>н- т

шкала вещественных гильбертовых пространств с положительно

ределенным порождающим оператором Т в Я = Я0, удовлетворяк

условиям: ell^(Я,К), ЦТ-11<1; ¡¿-стандартная гауссова мера

й_- Н_1, порожденная скалярным произведением в Н, - ор

нормированный базиев Я, состоящий из собственных векторов о

ратора Т\ совокупность всех финитных последовательное

a=(a:,..,aN,Ó,...), о^ЩО), |а| = а, + а2 +...; a^NlKO), д

оператор дифференцирования по направлению е.; да = ][д

J J '

0<к(а)- конечная функция на Z- логарифмическая при водная порядка a tZt меры р.; Р., (Я ,Е) = cov (oh I ai

и ц " ос ос a

na=(-1)|a|(a!)-1/2p^ ac^).

На Р (Я_,Е) введем систему норм

Г I &(a) I

»ulp>A = £ I — Juagar)

а • У а! н «

(1<р<00). |

Пространства Я_,Е) определяются как пополнение Р^(Н_,Е) норме (5). Функцию иеЛ^ (Н_,Е) можно представить в виде ря Фурье ?г (и еЕ) по полной ортонормированной в Ьг = Ьг(Я ,

^ СХ (X СЬ |Х —

системе. C/ia,a€Z£>. В этом представлении

ь т

j> является банаховым пространсвом, сепарабельным, ее

сепарабельно (Й_,Е) (1<р«о)-рефлексивны, если рефлексив:

Е:

Я? (Я ,1) ~ гильбертово, если таково Е и норма |и[к , предст;

С. » С ! л

вша в дифференциальной форме. Пространства ^ (Я ,С) мои

с: » Н* ~~

[ A* (Я ,Е) 1' - лЧ^ЛН ,Е' ) (1 /р + 1/р' = 1, р>1

L Р » Г* ~ J sH*

получить как взвешенные тензорные произведения счетного числа одноме р=2 и

одномерных и (К,С), что не имеет место для всех А (Н_,Е). При

н* Р 9 н*

к(а) = [1 + 2 а//7)3/2 <7.а€К>,

где Л = {\ } - спектр оператора Т, получаем пространства типа Соболева ,Е). Эквивалентную норму в последних при 7^-1

С. I —

можно выразить в форме

М, = ( |о Г • (6)

где Т^ - оператор Я - производной порядка j, |•\ , корма в

7 ^»

В §3 устанавливаются теоремы вложения для

(1<Р<С0)- Приведем некоторые из них. Обозначим через 1У(а)= тюх {/| а /0) - длину мультшшдекса аеЙ.

Теорема 4. Для того, чтобы вложение А <= Л било: I) непрервыням; Ц) вполне непрерывным, необходило и достаточно выпонения соответствующих условий:

I) Э с>0 й1 (а) ^ ск(а);

II) й/а)к'\а) 0 (|а| + Н(а) со).

Если а, - в-числа оператора вложения Ак , то для V

ф:К+->К+ справедливо равенство

2 <р(ц ) = 2 ф(й (а)й~1 (а)). (7)

^ а

Из этой теоремы, в частности, вытекают известные условия

X г.

компактности вложений А <=А Ю.Г. 'Кондратьева и Ю.С.

^ зз

Самойленко. Для соболевских пространств 1г''= (Р ' (И ,€) данная теорема утверждает, что вложение с » (з>з,) компактно

^, ц с- ? и* '

при 7<0, но не принадлежит ни одному классу Gp (G определяете сходимостью при ф = tp ряда (7) слева). Это вложение не являет ся компактным при yïO ни при каких s>s1.

Пусть MUV) = Uf (х), |а|$з} - вектор-функция на Н_ с лс кально ограниченным компонентами И (х)>0. Через С®= обозначим пространство всех непрерывных функций и:Н_-+£, имек щих непрерывные производные ôaa (|a|$s), для которых конечн норма

¡uf g = sup {|ааи(г)|Ж"1(х)\ xçH_, |a|<s}. сы

Далее обозначаем й' (а)=(а! Г1/2й(а). Гладкость функций из про

странств Ak описывает следующая' р »н

Теорема 5. Для того, чтобы илело место непрерывное бложе

mis Ak с cf., необходимо и достаточно, чтобы 3 С>0: р,ц и' р,

W1'

S

J (p-a)ï' V ф)

¡S С КР(х) (хчЕ_, |аЦэ).

Из этой теоремы, в частности, вытекает известное утвержде-

а , о ,е<

ние о вложении А <= С„ при М = expi2~ |xj_}. Однако А

Р > Н* Р 9 j

уже не вкладывается в Си ни при каких е<1. Аналогичная ситуаци;

s ,7

обстоит и с пространствами W , которые не вкалдаваются i Си(Н , ,<D) (7,7'>-1, s£R), если dim «>.

Объединяя теоремы 4И), 5 получаем условие компактноси вложения Ak с с® В частности, вложение с с компактно, ес.ш

р,ц. U p,|j, if

ряд 2|7гя (дг)А""1 О) |р г? СМР (х) сходится равномерно на В . 0 р

Пусть Ь1 - подпространство в порожденное HeKOTopoi

подсистемой из Се^}; = - разложение в прямую сумм$

(х=х^хг, хеН_, г^е!,); г - индуцированное им разло-

/S

жение Справедлива следующая теорем

о следах функций из Л* на подпространства в Я_.

Теорема б. Если оператор сужения и

-Е

непрерывно дей

ствует из Ак в некоторое Л8 (Ь.,<£), то

1

¿р (а,)

/ (га2)! к 1 (а^+гаг)

К

а„!

<со (а^^) (8

Обратно, если условие (8) выполнено, то оператор сужени

4^,(0.

непрерывно вкладывалось

непрерывно действует из Лк на все (С)

в,7 р

некоторое

Следствие. Для того, чтобы 17,

2,ц

необходимо

и достаточно,

чтоб(

Сой£я11=гг<гз. При. выполнении этого условия, имеет место непре-

в,у п

рыбное вложение Ш ей'1 (I,,<£). а = й - £ и оператор 8.

е.- у & у ^Д» 1 I &

жения сюрьективен,

В частности, когда Сой 1т 1, у=0, веЯ, отсюда вытекае'. результат М.Крэ. Гладкость следов функций из А^ .. описывае1: следующая

р>и-

Теорема 7. Для того, чтобы шнело место непрерывное вложение необходило и достаточно, чтобы 3С>0: Чх.чЬ.,

Р, М 1 11

/р1!(2р2)!й-1 (р,+2рг) / ((3^)!' 2

1Р21

Э1 а, 1

^ СМ (X.). 1

I I

В диссертации так же рассмотрен вопрос о гладкости сужений иеЛ1* на подпространства Н , установлены критерии вложения

ь 3>7 "^з>7

А^ в пространства , С2 ^ функций на Н_, производные В3(.и) (СК1<$) которых принадлежат и^Ш^), либо классу и£(Н ). При помощи пространств можно строить различные ядерные ос-

р 9 и*

нащения Ф'э12эф пространства 1г, выбирая, например, систему н* н*

{Ьп(а)\пеЮ:

(а)а2(а)^... , 2|fea(a)fe^1(a)|2 < ® (neff) Ä

и вводя в Ф = ru„n проективную топологию относительно счетного

п ^

семейства норм |.Ц (пеУ). Отдельные классы такого сорта про' я

странств Ф были рассмотрены Ю.Г.Кондратьевым. Введенная серия пространств А* используется в гл. III для исследования б.д.о.

В §§ 2,4 изучаются пространства типа Соболева Л%

»и*

(seMiiö)). Пусть Я аП - открытое связное множество. (П)

о "

^Ш)) определяется как пополнение C3(D)(C®(fi) по норме (6),

где т = О и Н_- заменено на Д. Как отмечено выше, эти пространства отличаются от аналогичных пространств функций с конечномерным аргументом: при любых s в них отсутствует вложение (У? (Д)<=С(П). Более того, пересечение ПУК® (Q) не содержится в

с., ц а , ц

C(Q). Не существует непрерывного оператора сужения на подпрост-раство бесконечной коразмерности; вложение (У? (П)<=Ь2(П) при Vs

С, ,

не является компактным. Дополнительное условие того, чтобы оно

было компактно, дает следующая

Теорема 8. Для того, чтобы множество M*=wl было кожпавт-

d , р.

ным 6 L2, достаточно, чтобы М било ограничено 6 й! и ряд И1 е-»Н>

£ I ld,ul2ß(dz) = J ¡Dull ^{x) j H_ J я_

сходился равномерно по иеМ.

На ряду с бесконечномерными эффектами, fit наследуют ряд

основных свойств обычных соболевских пространств W|(Q) (ОсШп):

t) Пространства fi% (seR) образуют гильбертову шкалу (по-

С. 1 [i

рождающим оператором ее служит (№+1)1/2, где Я = + (D<x)

оператор числа частиц квантовой теории поля, ЗН(W+1 )s/2)=tY® ). Это означает, что имеет место непрерывное и

^ s.

плотное вложение (У® cíy 1 (s>s ) и справедливо MyjbnniJIJIKaMIB-

el, £ , р. i

ное неравенство для норм.-

|u|p í C(ct,7)|u!¡"a a o€P<7).

íí) Для пространств Wf (Q) справедливо неравенство Фрид-

с | |Х

рихса:

.г г

X ¡]fu\p n(dr) « C(Q,k,s) f \jfu\- ч n(d« (Ocfe<s)

с постоянной C(Q,k,s) = (1-¡j,(0) которую для ограниченных Q можно уточнить, заменив на (cS)s~k, где ci-диаметр П, rd<-/¿T¡T~112 (г - радиус наименьшего шара, с центром в начале, содрежащий П).

Iii) Для справедливы теоремы о следах на подщростран-

s

ства конечной коразмерности п: если rc<2s, то 1У2 ^с

Д), s1 = s - Причем, если ut»'® (síN), то ^(dx^) -почти всех функция

хг D*u, 1г UJ2(H) (J<s - |) непрерывна. Аналогичное свойство справедливо и для гладких нелинейных многообразий codim

Установленные свойства дают возможность э(|фективно использовать пространства ff® при исследовании различных задач, опи-

С. f р>

сывающих системы с бесконечным числом степеней свобода (см. гл.

III). Если на пространстве 1С = fWj ввести проективную топ

пологию относительно счетного семейства норм || • J , то получим топологическое пространство fC (не ядерное, теорема 4), в ко-

£ , li

тором канонические операторы xJt непрерывны. Это n03B0J использовать оснащение )' 3 1С при построении ке

с., jx с-

товой теории. В заключении отметим, что пространства ff? вг

<-, н*

вые были введены и изучены автором [1-3]; исследованием г пространств занимались также П.Крэ, М. Крэ, Б. Ласкар. В нас ящее время теория пространств интенсивно разразбатывае

<L

в плане построения ее для "произвольных" дифференцируемых ц.

Глава III дассертг'даи посвящена приложению простраЕ , и А - квазимер v£C(6,{tf.}) к исследованию б.д.о. §§ 1,2 рассматривается линейный дифференциальный оператор с стоянными коэффициентами

т ., | ос)

Z(-iD)u=l (-i)T^r (asE^u.) =. 2 (-£) bdati,

k=О и Ä |a|«m а

в §3,4 - с переменными.

В §1 приводится построение ф.ф. и ф.р. задачи Кош операторов Z. Этим вопросом занимались многие аврторы. Бс общего характера теоремы были получены П.Сегреном (ф.ф, классе прораспределений Р'у1) > В.Ю. Бенткусом (ф.р. в клг обобщенных мер М') и А.Ю.Хренниковым (теорема существов; ф.ф. в ¡Г). При этом всюду рассматривался скалярный случай.

В диссертации приводится построение ф.ф. и ф.р. для сис дифференциальных операторов. Предложен иной подход к отыскг ф.ф. и ф.р., основанный на разложении в ряд Фурье-Эрмита.

решения лежат в пространстве P*(tf_,Ed) = и J^ (Н_,

р

(Е^КС^С0)) не содержащим целиком классы V'oyl и W . В ф.ф. и ф.р. единственно и выписывается конструктивно. Фундаи

тальные функции и ф.р. получены как частные решения общих уравнений = /.

Отметим, что для оператора 2 с постоянными коэффициентами, сопряженный 2* к 2 относительно I£ является оператором с переменными коэффициентами а*(г) (а* - полиномы от дг). Для формулировки теоремы разрешимости уравнения 1*ь = / в Р*= и / . вве-

ц 4 Р,к Р,А

дем обозначения: }- преобразование Фурье-Винера элемента /€Рц,' 2*(2) - символ, сопряженный к символу 2(2) оператора 2, й

п.

подпространство в И, порожденное системой {eJ} , Ргр=(Рп=Ря ).

п

Теорема 9. В пространстве Р* уравнение 2*у=/ не может иметь более одного решения.

Бели при ЧпаИ функции }(г), (¿*(-г))~Л}(г) голоморфны б окрестности Чп нуля пространства й®, по уравнение 2%=/ разрешило б Р*. Коэффициенты Фуръе-Эржти его решения имеют вид

(-П|а|/оГ Й . ^

уа = --Г 2 <"*)) Г (10)

(2ЯО гда(а)

Здесь - остов некоторого поликруга

Для уравнения Z*v = /, в котором ЪеЕ,, и,?еР*АН ,£,), те-

ОС (X ц *• и>

орема 9 остается справедливой во второй ее части. Однозначная разрешимость имеет место, если <3et а0?0.

Пусть I - дифференциальный оператор (9), где Ь €2 . Фундаментальной функцией его называется элемент £еР*(Я_,£й), удовлетворяющий уравнению 2*£ = 61.

Теорема 10. Для существования ф.ф. £ необходимо и достаточно, чтобы бвХ ао?0. При выполнении этого условия в Р*(Я_,КЛ) существует единственная ф.ф. Коэффициенты Фуръе-Эрмта ее выра-

хаются формулами. (10), где /(г)=ехр{2.~1 (г,г))1.

Отметим, что условие йе£ а0?0 существенно даже в конечномерном случае, что объясняется наличием в пространстве основных функций Рц(Н_,С<3') постоянных вектор-функций. При помощи ф.ф. £ решение системы можно найти по формуле и{х) = </(х+•)>£>• Используя оценки для £ , в диссертации выделяются классы функций /еЛ3 (Я .(С4), для которых это решение лежит в соответствуЯ 9 М* —

ющем Лк (Я ^^ По теореме вложения 5 получаем условия на р »ц-

q,s(a), при которых, иеС^. .

Будем говорить, что обобщенная функция €еР*(Н_,Еа) определяется матричной А-квазимерой, если существует такая А-квазимера V на Я со значениями в Е , что (ф,у) = . <ф,£>

Не каадая ф.ф. определяется А-квазимерой. Приведем пр1шер, когда ф.ф. определяется А-квазимерой. Пусть 1 имеет порядок 2т, 2°(£)-главный символ оператора I, ~ характеристи-

ческие числа матриц £(?) и соотвественно. При выполнении

условий:

* о (£еЯ), < -8(Ь)Ш2и ШаеРН, 6(1) > О)

ф.ф. £ определяются матричной (А, Рт) - квазимерой с конечными конечномерными вариациями (цилиндрической мерой).

В §1 приводится также построение ф.р. задачи Коши для уравнения

дри Р"1 д*и.

1и ---2 2, —г = О,

б£р ¿=о 5 дг'

в котором Zj имеют вид (9) с коэффициетами Ь^ аеЯй.

Функцию £\ назовем ф.р. задачи Коши для

L, если она р раз слабо дифференцируема и является решением зг дачи:

L*C = О (0<t<tQ); €и,(0) = 6Jtp_,01 (J=0,U...,p-1 ).

Существование ф.р. £(t) вытекает из общей теоремы разреши

мости в P*(H_,Ed) задачи Коши:

L*v = о (0<í<to); v^Uo) = fj^{H_,Ed) (11

(J=0,1,...,p-1).

Р-1 * *

Введем обозначения: / = Z (z) = а матрич

ная функция ф(2\Л,В) (А,ВеЕ^) - является решением задачи: я-1

ф(р)Ш = 2 4,ф(Л(П (0<t<tn); <ри)(0) = В, U = 0,1 j=o u J

Теорема 11. В пространстве P^(H_,Ed) задача (11) не ложел

иметь более одного решения.

Если VneJí функция f{z) гомоморфна в окрестности Un нум

то задача (11) разрешит в P*(H_,2?d). Коэффициенты Фуръе-

Эряита ее решения имеют вид |а| г-■

vJV = -ÑTZT- г 2 >(t, Z*{-z), f(z)) s§ [aiZt\ (12)

Следствие. В пространстве P^(H_,Ed) существует единственное ф.р. £(t) задачи Кош для L. Коэффициент Фуръе-Эржита ее вырсжжтся формулами (12), где f{¿) = (О,..., О, Г) ехр С2~1(z,z)}.

При помощи С(í) решение задачи Коши для системы Lu=C (0<í<ío); u(J)(0) =6. ./в Р*ЛН ,Cd) можно найти по формуле

и J,р—1 ц -

u(x,t )=</(£+•), £(£)>. Используя оценки для £ (£) и теоремы вложения для Л^ , в диссертации выделяются классы функций /еЛэ (fí_,£d), для которых соответствующее решение

я 9 н* ~

<Н ,С*)с - и -

Для е^Е03 обозначим через матрицу, соответствуй

оператору 1 с коэффициентами Ъаехр{1 (йаеЕй); Л.^ е(£)

ее характеристические числа. дм

Систему —= ¿и назовем квазипараболической (параболичес дt

при В = 0) по Г.Е. Шилову, если 3К>0, ЭсШ00 (|е | < |) так что ШРН 3 Ол,Ог > О:

тх Ее А. < -С,!?!*1 + сг (?«-£).

' ди

При помощи теоремы 1 устанавливаются: если система —=

дг

квазипараболична, причем |9 | < ) (З/г-2)"1 ,то ф.р. зад; Коши £(1) для нее определяется матричной (А,РТ) - квазимерой на Н. Для параболической системы 4-квазимера V имеет конеч: конечномерные вариации.

Для операторов второго пордяка условия на 0(|) могут ослаблены (теорема 1.8'). В §1 рассмотрен так же вопрос о щ вимости неотрицательной Л-квазшерой на'Я, или мерой (на Н_) скалярного уравнения. Предложенная здесь методика построения и ф.р. допускает обобщение на операторы с коэффициентами из ховой алгебры, а также на операторы I бесконечного порядка с литичесними символами.

В §2 рассматривается вопрос о стуктуре ядра оператора приводятся условия, обеспечивающие замыкаемость (с Р =Р (й_,(Е ограниченность, квазиядерность (для случая гильбертовых прос ранств) Z, действующего из в Ла .

Для того, чтобы I продолжался с Р^ до ограниченного, де ствующего из Др ^ в некоторое Л® , необходимо и достаточн

чтобы

|ft(2,a)/^T|p' = 2 |ba(fe' (а+(3)Г1 |р'< « (azZt). При этом условии Z: Ák Л3 непрерывен {||Z|| $ а), где

Р» К Я.9 ИЛ® ^-любое пространство, параметры q,s(а) которого удовлетворяют неравенству as • )s( • )8г (2+)<c0-

q * o

Для Z выделются пары , Л3 (удовлетворяющее последне-

р Q , Н*

му неравенству), для которых справедлива теорема Эренцрайсэ: ядро KerZ оператора Z: Л^ —>- Л® ^ совпадает с замыканием (в Лр ) линейной оболочки экспоненциальных решений уравнения Zu=0. Причем, в бесконечномерном случае, можно ограничиться лишь цилиндрическими экспоненциальными решениями (теорема 2.3). Доказательство этого утверждения свзязано с вопросом раз-

1 /Ь 1/а

решимости уравнения Z"v = ftA , в простшнстве Л , , который

М* Р л , Ц

1/s

решен в §1. Для выделенных пар Л , , Л . устанавливается,

Р Q ,1a

что уравнение Z"v=f (однозначно) разрешимо лишь в том случае,

1/35 ^

если ftJ. , ортогонально цилиндрическим экспоненциальным реше-

Р , М-

киям уравнения Zu=0.

Пусть Z - оператор вида (9), в котором и Тгв

заменен на Тгя . Оператор Z назовем гапоэллилтическим в области

ПсЯ , если любое слабое в I2 , (П) решение уравнения Zu=0 при-

+ оо s, + 1

надлежит пространству fí„ , (П) = П 7 (Q). В конце §2

с. ¿ос з~0

приведены необходимые условия гшоэллиптичности Z, которые для конечномерных операторов являются и достаточными.

В §3 изучается задача Коши для бесконечномерного уравнения Шредингера

du i _

- - = - Trjfu + V(x,t)u (0<t<îo, xiti); u(x,0) = <o(z). (i ôt 2 ^ 0

Рассматриваются вопросы разрешимости, представимости решений виде интегралов по "мере" Фейнмана, изучается груша операа ров, порожденная этим уравнением (УнО) в пространствах Лк .

Р iH

Задача (13) изучалась Ю.Л.Далецким, В.В. Стремски

А.В.Углановым, А.Ю.Хренниковым, О.Г. Смоляновым, Е.Т.Шавгули

зе. Во всех случаях порядок роста потенциала У по х не прево

ходил ||л?||4. В диссертации задача (13) рассматривается для эк

поненциально растущих потенциалов

7{x,t) = S expi (b(T),i ),£)}р (dq), s *

де S - метрическое пространство, p €¡1(11,S), à - функция v

C(S*[OfiQ], F0), удовлетворяющая соотношениям.

(Де b(7j,t), In E>(t)' ,t' )) = 0, (t,t' iÎ0,tQ], t),tj'€5).

Класс начальных данных <p описывается равенством

<р(х) = J exp {(A(l)x,x) + (att),x)}<?(x,Z),v(dl)> (1 в

Здесь vîM(H,E' ), A(Z), a(t), Р(-,|) - непрерывные функции на , со значениями в соответствующих пространствах li^(H), Н° %(Н,Е). При естественных ограничениях на меры v, pt, доказывается существование классического решения задачи (13)~(15) (А=0, на любом конечном интервале времени (теорема 3.4). Доказательство основывается на явном представлении решения задачи (13), (15) (А=УнО):

u(x,t) = Jezpi (a(Ê),х) + stt

2 t где Ut(a) - группа ограниченных операторов в тс с производящим

оператором -2^^+1(1), а).

Отдельно изучен случай ангармонического осциллятора (7{хЛ) - полином второй степени по х) при общих начальных данных (15) (теорема 3.2). Этот случай, для более узкого класса функций ф, рассматривался А.Ю.Хренниковым.

В §3 исследовано семейство операторов в простран-

стве А^ . порожденное решением задачи Коши аи I ^

— = | тг-. 1Ги (ген, ,1<еШ, ); и(х,0)=ср(х). (16)

Операторы Ф , через ф.р. задачи (16), определяются равенством (Ф{<р) (х)=«р(х+-), £(£)>. Если й1т Й_<оо, то семейство образует грушу унитарных операторов в Ъг(Н ) (что является следствием самоспорякенности оператора Лапласа А = Тг„ Р2). В

т у

случае не существует гладкой меры V на Я^ такой, что-

бы оператор А^ был эрмитовым в 1?{Н ). В диссертащш выделяются

классы пространств, из серии Ак , в которых семейство СФ.} обр 1 С

разует сильно непрерывную группу.

Замыкаемость (с Р..) оператора Ф.: Аъ Л3 обеспечива-

Ч/ь р,н'

ется включением Ф*Р,,сД , . Однако это включение не всегда име-т> ц р

ет место. Критерием того, чтобы это включение выполнялось, является сходимость ряда

х\а)к-г-га

р

.. <® (рей). (17)

г|а|а!й'(га+р) 0

Последнее условие является так же необходимым и достаточным,

для того, чтобы Ф. продолжался (с Р..) до ограниченного, дейст-

ь Ц

вующего из А1^ в некоторое А® . При выполнении (17), Ф^ ^-»-Л® ^ непрерывен, где Л® - любое пространство с парамет-

рами q и а(а), для которых

г |й(Ф )£(•)! <«.

При этом ЦФ ...). Простым достаточшм условием непрерь

ности Ф,: является сходимость ряда:

Ь{г,р,к,з) = ^Г — зир7

А 21 'а! рй'(2а+|3) При этом |Ф | <

Теорема 12. Пусть к(а), при. некотором удовлетвори

одному из условий

а(г0,р,к,р,к), Ъ(г0,р,к,к) < со.

Тогда совокупность Ф^еК) в пространстве Л* • образу( сильно непрерывную группу ограниченных операторов. Производящ оператора этой группы - есть замыкание (с Ри) оператора -Ь .

ц е. у

Отменим, что оператор Ф : А*5 не является сглаза

^ р 9 н* 9 >

вамщим (Л1* с/ ), а группа Ф. в не является сжимав щей.

В силу квазипараболичности уравнения (17), ф.р. £(£) ег определяется /-квазимерой - "мерой" Фейнмана на Я с кор реляционным оператором Н: <ф(г+-),£(£)> = (ф(г+• Ис

пользуя выражение (12) для £Г С^)» интеграл (ф,г^'7) можно пред ставить в виде

«Р.^'Т) = 2 Фа/га(0) (1 - )а/2 (ф€Р ). (18

а

Эта формула позволяет выделить , в которых функциона. ф-Чф.г^'Т) непрерывен.

В §4 рассматриваются дифференциальные операторы в пространствах Щ Как показано в гл. II, пространства №| насле-

дуют ряд свойств обычных соболевских пространств (ПсКп).

Это позволяет шкалу успешно использовать в различных задаст • М-

чах бесконечномерного анализа, в частности, проводить в них исследование б.д.о. В §4 в VI изучается дифференциальный опе-

с. ,

ратор порядка 2т с переменными коэффициентами, имеющий дивергентную форму

2и= ? 1)3 К (х)ТРи. (19)

Здесь Р3 - оператор, формально сопряженный к О3 относительно 1?. Для корректности определения на Сг,Л(й_,С) предполагается 4)3(2)еС3(Я_,ЕЬ;В), БЬгв = 1(иЪ(Н),и*(Н)№(ик(Н_),иа(Н_)). Оператор (19) назовем сильно эллиптическим на множестве Псй_, если (х) (хеО) является самосопряженным в 1/£(Н) и для некоторого 1>=г>(П)>0

«€«£<*>. ай)).

Модельным примером сильно эллиптического в Я_ оператора

типа (19) является (в шредингеровском представлении) оператор

ЙГ(Л) = =1) АО - вторичного квантования оператора А>0.Для сильно и

эллиптических в Н_ операторов (19) устанавливается основное энергетическое неравенство (неравенство коэрцитивности):

- «М^а « < ^^а (20)

Теорема 13. Пусть - сильно эллиптический 6 Н_ оператор (19) с коэфрициентами А д, удовлет&оряхщаш условиям:

Ак,в^Р(И-'Ек,в}' (21) Тогда существуют. К^О, С^,Сг>0, при. которых справедливы

неравенства (20) для всех 8€1-2т-р,р]. При этих уловиях I +К1

№

осуществляет гомеоморфное оторажение |у?т+в на все .

<-, и* ^ > ^

Второе условие в (21) можно снять, если ограничиться слу-

чаем s^O. При помощи теоремы 13 в §4 для Z + 7(х) в L2 уста] вливаются признаки существенной самосопряженности А.Я.Повзж и Т.Като.

Отметим, что исследованием самоспряженности б.д.о., прш няя различные методы, занимались многие авторы. " Существен! результаты в этом направлении (для операторов второго порядь получены Ю.М.Верезанским и его учениками. Нижеследующая тео] ма 14 служит демонстрацией возможностей техники пространс Wf при исследовании спектральных свойств б.д.о. Прежде все1

с., ^i.

из теоремы ~)3 вытекает

Следствие. Пусть Z - сильно эллиптический оператор (И и

б котором

Ak е = К (2

Jv f w Of А Л t О

Тогда Z^ с областью определения б существенном с

жосопряжен. в Z2. Область определения его замыкания совпадает Yllm .

2,у.

При помощи этого утверждения доказывается

Теорема 14. Пусть Z - сильно эллиптический в Н_ оперт

(19) с коэффициентами, удовлетворяхщими условиям (22), 7 = 7.

Оператор Z +7, рассжтриваежый т (У£(Н_), в суцественн

самосопряжен в I2 в следующих двух случаях: и-

i) т~ 1, V - |¡.-измерима и. ограничена на ограниченных множ-

ствах в ВZ +V - полуограничен снизу на С?(Н_);

, tu V2 < 2 V2, 2 зup f Vz(x i y)(n\x\z)zmdx < <х, j J j T2 ri J

(\j: H_ = i] © Z2, dim ¿J < Am).

В случае it) область определены залшкания Z +7 совпадает

.

2,ц.

Пространства Щ могут быть использованы и при разрешимости краевых задач для б.д.у. В §4 рассмотрена задача Дирихле в области для оператора (19):

Z и = / (геП); (23)

Для операторов второго порядка эта задача изучалась вероятностными методами Л.Гроссом, автором, А.Ю.Хренниковым; в пространствах гладких функций - автором [6], М.И.Вишиком, А.В.Марченкс (при помощи построения соответствующего регуляризатора) и дл! операторов высшего порядка - Р.Л.Шахбагяном. В диссертации излагается энергетический подход к исследованию задачи (23) i пространствах (У® (П). Он удобен тем, что при помощи методон

с , -

функционального анализа, позволяет значительно проще (чем в классическом случае) получать теоремы разрешимости и гладкостг решений задачи (23).

Как и в конечномерном случае, следствием сильной эллиптичности Z в Í3 является справедливость неравенства Гординга ^ 2 2 о

Re D (и,и) + Ifu| _ ^ c|u¡ (К20, с>0, (0)),

ц i, (fi)

m И- 2 (24)

771 -

D (u,v) = 2 ; (A Ifu,Dav)„ u№), fe.8=0 n й'3 2's

которое доказывется при помощи неравенств Фридрихса и мультипликативности для норм , установленных в главе II. При этом,

с, Ц.

сильную эллиптичность Z можно заменить на равномерную эллиптичность:

fíe Um.TOU)C,l)2(m > v|U¡,. S6D).

Если диаметр области Л достаточно мал или коэффициент Re ¿00(.z) достаточно большой, то неравенство (24) справедливо при К=0.

и

Пусть /ейС™ (С) - пространство сопряженное к К1! (П) от сительно н.(п)- Под обобщенным решением задачи (

понимается функця ^(А). удовлетворящая условиям:

■ Ъ- (и,ф) = </,ф> (Уф€Г (П)); и - и-аЬ-Аа).

^ о

Для гладкой границы вй условие и - (П) означ

и с , р.

(гл. II, теорема о следах), что Ыи(х) = &и0(х) (лгебП, J т-1)

Теорема 15. Пусть I - оператор (19) с коэффициент И*

Ак з€ €СГа, Ци^(Н) ,Щ(Е)), для которого выполнено неравена (24) с Й=0.

ГогЗа при (а), , (0) б пространстве С

»И* и ^»г* ¿»Н*

существует единственное обобщенное решение задачи (23).

Если £ - сильно эллиптичен во, Ак з удовлетворят ус.

виям (21; (где И зсшенено наП), , (П; Ср>0),а 'иеС - »И1 с-»н»

- лШое обобщенное решение задачи (23), то это решение принс лежит классу

В отличие от конечномерного случая, из теоремы 15 нел] получить георему существоашя классических решений задачи (; (отсутствует вложение Щ &ля сУЩествования таких реи

ний можно воспользоваться вложением А^ ^сС® (теорема 5); ) чего необходимо изучить свойства в пространствах А^ ^ оператора с постоянными коэффициента!®! такое исследование щ ведено в §§ 1,2. Оператор даже если Ак д не зависит от является оператором с переменными коэффициентами, что затруде ет его исследование в . В §4 рассмотрен случай операгс

р 9 н»

£ , в котором А^ з=0 (йиэ), а Ак ^ не зависят от х и имеют и*(Н) диагональный вид. В этом случае существует при кот

ЗЬ

ром 2+Я1 осуществляет гомеоморфное отображение Л^1 на Ак

^(а) = (1+ |а| )тк(а) (0<А(а) - любое). '

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИЙ

1. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных I. // Тр.ин-та математики ВГУ: Из-во Воронеж, ун-та.-1970.-зъш Л.-с.205-218.

2. Теоремы вложения для функций счетного числа переменных и их приложения к задаче Дирихле // Докл.АН СССР. -1972.--203,.¥>1.-с. 39-42.

3. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных П.//Гр.мат.ф-та ВГУ:Лз-во Воронеж, ун-та.-1970.-вып.I.-с.148-161.

4. К задаче Дирихле в гильбертовом пространстве // Теория ве-роятн. и матем.статист.-1970,№3.-с.200-210.

5. О неравенстве коэрцитивкости для эллиптического оператора с бесконечным числом независимых переменных // Матем.сборник. -1973. -90, .">3. -с. 402-413.

6. О задаче Дирихле для эллиптического оператора в цилиндрической области гильбертова пространства // Матам.сборник. -1973.-92,№3.-с.429-444.

7. Первая краевая задача для бесконечномерного линейного дифференциального оператора произвольного порядка // Сиб. матем.журн.-1978.-19,»4.-е.929-941.

8. О гипоэллиптичности бесконечномерного дифференциального оператора // Матем.сборник.-1977.-102,№2.-с.302-313.

9.Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений произвольного порядка с бесконечным числом независимых переменных // Тр. Всесоюз.конф. по дифференциальным уравнениям .-М.:Наука,I978.-с.47I-472. 1040 существенной самосопряженности бесконечномерного дифференциального оператора //Йатем.заметки.-1978.-24,№2.-с. 241-248.

II.Самосопряженность эллиптических операторов с бесконечным числом переменных // Функц.анализ и его прилок.-1980.-14,

И.-с.85-86.

12.Теоремы вложения для пространств функций счетного числа

переменных }/ Сиб.матем.журн.-1981.-22,.'М.-с. 199-217. 13.0 самосопряженности оператора Шредингера с бесконечным числом переменных // Сиб.матем.журн.-1961.-22,№1.-0.198-20

14.Фундаментальные функции бесконечномерных дифференциальных операторов // Качественные методы теории динамических систем.-Владивосток:ДВЩ АН СССР.-1982.-с.83-94.

15.Аппроксимация решений однородных дифференциальных уравнений.-Там же.-с.95-107.

16.Фундаментальные решения бесконечномерных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Докл. АН СССР,-1961.-261,№5.-с.1063-1066.

17.0 гомеоморфизме гильбертовых пространств,осуществляемом дифференциальным оператором // Зункц.анализ и его прилож. -1981.-15 ,,М.-с.89-90.

18.Задача Коши для бесконечномерного ангармонического осцил-

лятора // Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов,:Минек.-I9S2.-с.194-195.

19.Дифференциальные неравенства для Функций бесконечномерного аргумента // Дифференциальные и операторные уравнения в функциональных пространствах.-Владивосток.:ДВНЦ АН СССР.-1983.-с.16-24.

20.0 гладкости обобщенного решения задачи Дирихле для бесконечномерного дифференциального оператора.-Там же.-с.25-43.

21.0 группе операторов,порожденной уравнением Шредингера // Успехи матем.наук.-1983.-38,Jfö.-с.129-130.

22.06 уравнении Шредингера на гильбертовом пространстве // Матем.заметки.-1985.-37,№3.-с.382-390.

23.Комплексные распределения на гильбертовом пространстве // Вопросы прикладного анализа.-Владивосток:ДВНЦ АН СССР.-1986.-с.20-29.

24.Структура фундаментальных функций бесконечномерных дифференциальных операторов.-Там же.-с.29-38.

25.0 структуре ядра бесконечномерного дифференциального оператора Ц ХУ Всеео;оз.школа по теории операторов в функциональных пространствах:Ульяновск.-19ЭО.-с.П1-П2.

26.Бесконечномерные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.-Владивосток,1993.-31с.-(Препринт /ДВО РАН. Институт прикладной математики).