Дифференциальные уравнения инвариантных подмоделей континуума тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Бытев Владислав Олегович

Дифференциальные уравнения инвариантных подмоделей континуума

01.01.02 - дифференциальные уравнения 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (в технике, экологии и экономике)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск 2003

Работа выполнена в Красноярском государственном университете и Институте вычислительного моделирования СО РАН.

Научный консультант — доктор физико-математических наук, профессор Андреев Виктор Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-

математических

наук, профессор Капцов Олег Викторович,

член-корреспондент, РАН, доктор физико-математических

наук, профессор Пухначев Владислав Васильевич,

доктор физико-математических

наук, профессор Сидоров Николай Александрович

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН (г. Москва)

Защита диссертации состоится "I " Ва^^гвййй^ 200^г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 005Г. 021.^)1 при Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу: 664033, Иркутск, Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института динамики систем и теории управления СО РАН.

Автореферат разослан "(2. " 200^г

Ученый секретарь диссертационного совета Г А.Опарин

¿СС6-4

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическому моделированию в механике сплошных сред посвящена обширная литература. Основной трудностью такого моделирования является получение так называемых определяющих уравнений, которые связывают некоторые тензорные функции. В данном случае речь идет об установлении таких уравнений для тензора вязких напряжений, зависящего от тензора градиента скорости. В основу кладется техника группового анализа дифференциальных уравнений. Проблема определяющих уравнений и уравнений состояния формулируется как задача групповой классификации системы дифференциальных уравнений, являющихся следствием интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии. По-видимому, это является наиболее общим подходом к решению таких задач.

Ясно, что получение классификационного результата позволит, с одной стороны, провести детальную теоретическую проработку каждой модели, вводя те или иные упрощающие предположения, не нарушающие симметрийные свойства их, и подбирая то или иное уравнение состояния, опираясь на экспериментальные данные, Помимо этого, гарантированные симметрийные свойства получаемых моделей позволяют строить точные решения для сплошных сред со сложной реологией и выбранным классом уравнений состояния, что необходимо как для обработки эксперимента, так и для их численного моделирования. Кроме того, найденные системы дифференциальных уравнений вместе с определяющими соотношениями, связывающими тензор вязких напряжений и тензор градиента скорости, а также уравнения состояния могут быть положены в основу разработки и применения системного анализа сложных прикладных объектов, таких как, например, обтекание осесиммет-ричных тел, расчеты сопел, вихревых камер, образование торнадо, переработка полимеров с целью повышения эффективности, надежности и качества их функционирования.

Построенные модельные системы дифференциальных уравнений могут являться основой для дальнейшей формализации и по-

РОС ^ !

К" ¡1 1

< | I

становки задач оптимизации, управления и принятия решений при конструировании новых технологических процессов.

Цель работы. Решение классификационной задачи математического моделирования чисто механического континуума. Нахождение новых точных решений уравнений Эйлера, Навье - Стокса, вязкого газа, континуумов со сложной реологией.

Методы исследования. Используется техника группового анализа дифференциальных уравнений. Применяется аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, используются методы теории бифуркаций, а также общие методы нелинейного анализа.

Научная новизна. Решена задача групповой классификации математических моделей чисто механического континуума. На этой основе проанализированы представления тензора вязких напряжений и уравнений состояния, что приводит к новым постановкам задач в механике сплошных сред.

Рассмотрены новые точные и инвариантные решения уравнений Эйлера, Навье - Стокса, вязкого газа, сплошной среды со сложной реологией.

С точки зрения группового анализа изучена классическая теория возмущений. Доказано, что бесконечная (счетная) последовательность дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют возмущения всех порядков, инвариантна относительно действия бесконечномерной алгебры Ли с коммутационными соотношениями Витта. Для этой алгебры построено представление в классе бесконечных ленточных матриц.

Теоретическая и практическая значимость работы. Реализованный в работе подход показывает принципиальную возможность получения математических моделей различных процессов исходя из минимальных требований к входящим в них произвольным элементам.

Полученный классификационный результат применим как к классическим, так и неклассическим (реологическим) сплошным средам.

Некоторые из найденных точных решений, представляющих самостоятельный интерес, такие как, например, простые волны в уравнениях Эйлера, могут быть использованы (и используются) в численных расчетах по магнитной гидродинамике, в моделях типа бессиловых конфигураций магнитных полей, вспышек на Солнце, волн Россби и т.д.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались

на

— Всесоюзной конференции "Оптимальное управление. Геометрия и анализ", Кемерово, 1986;

— Всесоюзной школе - семинаре "Аналитические методы в газовой динамике", Фрунзе, 1987;

— Всероссийской конференции "Математические проблемы механики", Новосибирск, 1989;

— Международном семинаре "Современный групповой анализ", Уфа, 1991;

— семинаре МГУ им. М.В.Ломоносова "Групповой анализ уравнений математической физики" (руководитель — профессор Н.Х. Ибрагимов, Москва, 1993);

— Международных конференциях "Симметрия в естествознании", Красноярск, 1998; "Симметрия и дифференциальные уравнения", Красноярск, 2000; "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 2001;

— Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики. Теория, эксперимент и практика", Новосибирск, 2001;

— семинаре ЙВМ СО РАН "Математическое моделирование в механике" (руководитель — профессор В.К.Андреев, Красноярск, 2000, 2002);

— теоретическом семинаре Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН (руководитель — академик РАН Л.В.Овсянников, Новосибирск, 2002).

Личный вклад и публикации. Все результаты получены автором и опубликованы в работах /1-20/.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи разделов, заключения и списка используемых источников. Текст разбит на 21 подраздел, общий объем — 248 стр.

Во введении проведен обзор работ по теме диссертации, кратко изложено содержание диссертации и сформулированы основные результаты.

В первом разделе изучаются дифференциальные уравнения чисто механического континуума, являющиеся следствиями интегральных законов сохранения массы и импульса (уравнение, выражающее закон сохранения энергии, не привлекается):

Здесь р — равновесное (гидростатическое) давление, р — плотность рассматриваемой среды, и — вектор скорости, П — тензор вязких напряжений с компонентами

зависящими только от тензора Уи.

Для этой модели ставится и решается задача о построении определяющих уравнений на компоненты тензора вязких напряжений чисто механического континуума. Одновременно с решением этой задачи находится основная алгебра Ли систем (1), (2) с условием (3).

Доказано, что коэффициенты инфинитезимальных операторов имеют вид

= со*2 + агЬ +

~ а0гхк + акхх1 + а2хк + а5хк + ако1 + Ько (к = 1,2,...ЛГ),

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

р(и( + и - Уи) - ¿пг П + Ур = 0, рх + (Ну (ри) — 0.

(1) (2)

1Г»=П" 1,2,....Л),

(3)

a¡ti =

-aik; i^k; i,k = 1,2,...,ЛГ, 0; i = k,

r¡0 = [e-(N + 2)aot]p + V(t),

t)k = -(ooí - аъ)ик + аыи* + сюхк + ам (к - 1,2,N),

T}4 = (e - 2as - Naot)p.

После некоторых преобразований определяющие уравнения для компонент тензора вязких напряжений запишутся так:

Тем самым известная проблема получения определяющих уравнений редуцирована к исследованию задачи групповой классификации уравнений движения с произвольными элементами П*^ — компонентами тензора вязких напряжений, являющимися функциями от компонент тензора градиента скоростей.

Сами определяющие уравнения получаются как ограничения, накладываемые на "широту" группы непрерывных преобразований, допускаемой исходной системой дифференциальных уравнений.

Во втором разделе последовательно для одномерного, двумерного и трехмерного случаев вычисляются преобразования эквивалентности системы дифференциальных уравнений вида

anfct

00 + =0, N ЯП**

акПа + а(1П* + еП + a2j%

др)

dükt

др™

р™ = Эит/дхп (m, п = 1,2,..N).

(11V (/>и) = О,

^ + + в(р,р) <Иу и + Н(р, р)Ф = О,

Ф = П : VII.

Найденные коэффициенты инфинитезимальных операторов £' = с2, Г = + (г= 1.....ЛГ),

^ = еи} + з3 {з = 1,...,Л0, = с3р, = (сз + 2е)р + ^з,

= (с3 + 2е)П*( - (М = 1.....ЛГ),

МЙ = (сз + 2е)П£ (А, 5 = 1,..., ЛГ),

= («з + 2е}(? + аЯ, = О (ЛГ = 1,2,3)

показывают, что в группу эквивалентности не входят операторы вращения. Это говорит о том, что традиционное понимание изотропности среды, как требование инвариантности тензора вязких напряжений относительно действия группы 50з, нуждается в уточнении.

Кроме того, широко используемое предположение о равенстве нулю всех компонент тензора вязких напряжений в состоянии равновесия представляет собой дополнительное требование, а не является следствием преобразований эквивалентности, за исключением одномерных течений. Единственное, что можно утверждать, так это равенство нулю неравновесной части давления в состоянии равновесия. Это и обуславливает выделение равновесного давления р в качестве независимой функции — термодинамической переменной.

В первом подразделе третьего раздела рассматривается система дифференциальных уравнений вида

и( + (и - - /ГЧпг П(Уи) + р~хЧр = О, />( + сИу(/зи} = О,

(4)

(5)

Pi + (u • v)j» + G(p, ?)div u + H(p, pi) Ф = О, Ф = П : Vu (6)

и решается задача групповой классификации для нее. Найдены коэффициенты инфинитезимальных операторов и получены определяющие уравнения на П*7, G и Я

= Ú0Í2 + Ü2Í + d,

Çk = a0txk -f- akix* + а2хк + а$хк + akot +

„ f ~<4k, i Ф к,

rf - -(aoí - os)ufc + ой«' + Oqx* + ако,

t)4 — (е - 2a5 - Na0t)p,

t}0= [е- (N + 2)aot]p+r,

ao, й2)в5) à, a/ci, afc0, e, 6/t, г — групповые постоянные, к = 1,2,JV = 1,2,3.

Определяющие уравнения здесь таковы:

^ I дФ , дФ : дФ i + - а2ф - ^ + ^ = О,

ao{(N + 2)(pGp -G) + NpGfi} = О,

e(pGP + pGp - G) 4- rGp - 2aspGfi ~ 0, ao{(N + 2)рЯр + N pHp} = 0, e0#trll = 0,

е(рЯр + рНр) + гНр - 2аърНр - О,

Оо

— п -"Ъ-Щ-'

N

+ а«Пь + еП* +

дп* , № , п

Ядро групп непрерывных преобразований, допускаемых различными моделями, состоит из переносов и галилеевых переносов. Максимальная группа соответствует П = 0.

Во втором подразделе приводятся все структуры тензора вязких напряжений в одномерном, двумерном и трехмерном случаях, все типы функций С и Я для каждой структуры и максимальная группа непрерывных преобразований, которая допускается каждой подмоделью. Доказано, что вязкость в общей ситуации не является скаляром, а есть тензор второго ранга, а не четвертого, как было принято в ранних работах по механике сплошных сред. Это сближает идеологию теории электромагнитного поля, где, например, проводимость тоже является тензором в общем случае, а не скаляром.

В третьем подразделе приведены наиболее простые модели из полученного списка.

Четвертый раздел посвящен классификации возможных уравнений состояний. В первом подразделе показано, что известные уравнения состояния, такие, например, как уравнения Клаузи-уса, идеального газа, одноатомного газа, Пуассона, Бойля - Мариот-та, Ван-дер-Ваальса, Дитеричи получаются как частные случаи из некоторых общих представлений, связывающих р, р, В,

В третьем подразделе четвертого раздела рассмотрен общий случай линейной зависимости тензора вязких напряжений от компонент тензора градиента скорости

П п=<К, П12 = П21 = 6^, П13 = П31 = с^,

п22п23 = п32 = ф:, п33 = /ж.

Определяющие уравнения примут вид

е(/>(7„ + рОр - (?) 4- К?р - 2а5рвр = О,

е{рНр + рНр) + гНр - 2аьрНр = О, (е + о2)Пп + в12(1,П" + 2П12) + а13(12Пп + 2П13)+ -Юзз^зП11 = О,

(е + а2)П12 + а12(11П12 + П22 - П11) + а13(£2П12 + Пю)+ +лаз(1»П" + П13) = О,

(е + а2)П13 + а12(ЙП13 + П23) + а13(Ь2П13 + П33 - П»)+ +а23(£3П13 - П12) = О,

(е + а2)П22 + а12(11П22 - 2ПП) + а13Ь2П22+ +а2з(ЬзП22 + 2П23)=0,

(е + а2)П23 + а12(^П23 - П13) + а13<12П23 - П12)+ +а23(Ь3П23 + П33-П22) = 0,

(е + а2)П33 + а^П33 + а^П33 - 2П13)+

+а23(13П33 - 2П33) = 0.

Здесь Ь\, ¿2, ¿з, — линейные дифференциальные операторы вида

i Э ib з д з Э

+г>Щ-»Щ + Р1т-»ё7Г

t д з д , д 2 д

¿3 = {pl

1 ^ 3 0

Оказалось, что в этом случае всегда е + о2 = 0, а при требовании наличия трех операторов вращения тензор вязких напряжений сводится к классическому:

П11 = 2цих, П22 = 2fivy,

П12 = ц(пу +vx), П23 = яК +

П13 = ¿i(u2 + и)-,), П33 = 2^. Дисснпативная функция

^ = 2ф1 + V2 + Ы>2) + Ц[{иу + Wr)2 + (v, + Wyf + (u* + War)2}.

Общая модель также принимает классический вид:

pt + div (¿>u) = О,

/>[и* + (u • V)u] - (iAu + V(p - /«iiv u) = 0,

pt + (u • V)p + G(p, /?)div u + #(p, p)<p = 0.

Вид линейного представления тензора напряжений и в линейном случае показывает, что имеются вязкости двух типов: дисси-пативные и недиссипативные. Наличие двух типов вязкости является характерным для жидкостей типа Рейнера - Ривлина, если

уравнения движения допускает хотя бы один оператор вращения. Показано, что безразмерная величина отношения таких вязкостен определяет меру несоосности девиатора тензора напряжений и де-виатора тензора скоростей деформации.

Пятый раздел посвящена исследованию одномерных нестационарных движений жидкости типа Рейнера - Ривлина, которая характеризуется степенным реологическим законом.

В первом подразделе выводятся преобразования эквивалентности. Путем перехода к массовым лагранжевым координатам исходная система дифференциальных уравнений

Рг + {Ри)х = О,

р{щ + к«*) - г + Р® = О,

VI + Щ* + р)щ + рН(р, - О

при условии баротрояности рассматриваемых течений сводится к одному сильно нелинейному уравнению

д2п д , ч д

-т

д . т

к

(7)

здесь р~1 = V — г»,, и =■ и>(.

Во втором подразделе изучаются групповые свойства уравнения (7) и решается задача групповой классификации его с произвольным элементом который задает уравнение состояния. Доказано, что расширение группового ядра происходит только при степенной и логарифмической зависимостях.

Для степенной зависимости ц> от юд, <р — н>™+1, путем разделения переменных получены периодические решения при условии ш > 0 и тп = 2$ (в — 1,2,...). В случае произвольной зависимости (рот и/дв предположении, что решение разыскивается в виде суперпозиции функций, зависящих от ( и д, получаем сильно нелинейное гиперболическое уравнение

описывающее динамику удельного объема. Это уравнение представляет и самостоятельный интерес.

В третьем подразделе исследованы бегущие волны в нелокальных координатах типа массовых лагранжевых. Доказано существование периодических решений, указано бифуркационное многообразие, которое при определенных условиях на уравнение состояния является сборкой. Кроме того, вычислена группа касательных преобразований в нелокальных переменных; указано автопреобразование типа Бэклунда.

В шестом разделе рассматривается классическая теория возмущений с точки зрения групповых свойств дифференциальных уравнений. В качестве исходной системы дифференциальных уравнений взята система уравнений Навье - Стокса.

В первом подразделе изучаются групповые свойства уравнений Навье - Стокса с условием аддитивности. Именно, пусть для нее

+ (и • V) и — уДи + V? = 0, (8)

(Ну и = 0. (9)

разыскиваются решения, представимые виде суммы двух функций

и=и°+и\ (10)

Р = Р°+Р1,

где {и°,р0} — одно из решений (8), (9). Система уравнений для {и°(р°}, {и1,?1} имеет вид

и? + (и0 ■ V) и0 - 1>Ди° + V?0 = 0, <11у и0 = 0, (11) и] + (и1 ■ V)!!1 + (и1. У)и° + (и° ■ У)и1 - иАи1 + V?1 = О,

¿IV и1 = 0. (12)

Для этой системы найдена группа непрерывных преобразований. Коэффициенты соответствующих инфинитезимальных операторов задаются следующим образом:

= 2оо( + Ь,

= Оох3 +азгх' + = -а0и0} + а„хл +

2а0и00-х3ф«(1) + <е00(1), г}10 = -2аоч10 + ч>10{Ь),

Т}1} — -Оои1* О^Щ1',

й»л+«я = 0 (Уг,Д ао,6,ач — постоянные, 9оо(0> — произвольные гладкие функции.

Второй подраздел посвящен групповым свойствам возмущений бесконечного порядка.

Как хорошо известно, одной из наиболее интересных и трудных задач является проблема перехода от ламинарного течения к турбулентному. Во многих случаях этот процесс инициируется той или иной неустойчивостью по отношению к инфинитезимальным возмущениям. Эти возмущения могут приводить к образованию вторичных движений, как устойчивых, так и неустойчивых по отношению к малым колебаниям около состояния равновесия, к периодическим и почти периодическим движениям, к иерархии бифуркаций с последующей стохастизацией и т.д., и т.п. Почти все рассмотрения основываются наследующем представлении вектора компонент скорости и давления:

оо п= 1

со

р(х, 0 - р00(х, 0 + £ епрп0(х> 0 (к = 1,2,ЛО. (13) «=1

Подставляя (13) в систему уравнений Навье - Стокса (8)-(9), получаем бесконечную систему уравнений для возмущений

^¿Л^*-^+ Р*° = о,

с=о

= 0 (В = 0,1,...), *=1,2,...,ЛГ, (14)

здесь

дх< ' " ¿^ дг'За:* '

Решение задачи группового анализа для бесконечной системы дифференциальных уравнений (14) приводит к следующему результату. Основная группа непрерывных преобразований, допускаемая системой (14), порождается инфинитезимальными операторами

т=0 у

т. & 1

т=Д

(А= 1,2,...),

V.. _ д 9 , V ™ д -т* д ^

(1,7= 1,2,...,ЛГ; г <

х - д

* = *+ " .....

= (Ш = 0,1,2,...).

Бесконечная серия операторов сама образует бесконечномерную алгебру Ли, причем она не зависит от начального многообразия — системы уравнений Навье - Стокса. Операторы действуют в бесконечномерном пространстве переменных

{и11, и13, р1; ««, гЛ р2;...}.

Вводя мультивектор Z{Zl,Z2,...}, получаем

ОО л

i=l

причем для Dk выполнены коммутационные соотношения Витта

Тем самым множество Dk — бесконечномерное обобщение алгебры Витта, Имеет место

Теорема. Множество D* изоморфно множеству матриц Ек с элементами вида

Ш) = (к - 3)&Г" (ij= 1,2,...).

Здесь же решена следующая задача. Пусть задана система уравнений Навье - Стокса (8)-(9). Разыскивая решение этой системы в виде

со

ufc(x;i) a*(x;i) + £ fnu"*(x;t),

n=l

00

p(x; t) - p°°(x; t) + £ ^n0(x; t). (15)

n=l

получим систему уравнений для {и"к,рп0}

ufk + £ uciuf~c'k - Ди®-1-4 = О, с=о

f>fl=0 (В = 0,1,...). (16)

»=i

Доказано, что максимальная группа непрерывных преобразований, допускаемая системой уравнений Навье Стокса в любом приближении по vB (В — 0,1,2,...), задается инфинитезимальными операторами, коэффициенты которых задаются следующими формулами:

= 2 a0t + 6,

С - OqX* + CijX? + i)i(t),

t}00 = -200«°° - х*ф1'(1) + <p°°(t), i}ai = -aotiBi + aijVBj,

VBo = ~2ao uB0+<pB0(t)

(B = 1,2,...; ¿=1,2,. ..,JV; N = 2,3).

Это позволяет разыскивать решения вида (15) с заданной симметрией.

Раздел 7 посвящен построению и изучению точных и инвариантных решений различных моделей.

В первом подразделе рассматриваются задачи группового анализа к групповой классификации системы дифференциальных уравнений, описывающей нестационарные одномерные движения сплошной среды. Построены точные решения в нелокальных координатах, доказано существование периодических решений в таких координатах.

Во втором подразделе рассматривается уравнение Эйлера u, + (u-V)u + Vp = 0,

div U — O. (17)

Накладывая дополнительное условие

rot и = огц, (18)

получаем известную задачу о геликоидальных течениях, или о бессиловых конфигурациях магнитного поля и т.п. В отличие от работ других авторов, которыми постулировалось се = const, будем считать, что а — а(х, f). Имеет место

Утверждение 1. Система (17)—(18) может иметь только стационарные решения.

Утверждение 2. Класс точных, существенно вихревых решений системы Эйлера с дополнительным условием коллинеарности векторов и и rot и дается формулами

и, - ai cos (^j yfg dtp + fr^ , ^ a2, а = а(с;ж'),

ci = a2tt3sin(62 - 63), c2 = 01035111(63 - fci), c3 = a1a2sin(61 - b3),

£><2cosHI = l, sin 2t>, = 0,

i i «

p - const, y/g = — , 1} = V c,a:(.

Эти решения могут быть использованы (и используются) при численных расчетах бессиловых конфигураций магнитного поля, вспышек на Солнце и т.п., а также и при склеивании постоянных решений.

В этом же подразделе полученные результаты распространяются на случай с учетом сил Кориолиса и центробежных сил инерции. Это имеет непосредственное отношение к волнам Россби и вообще к квазиплоским течениям.

В третьем подразделе рассматривается плоская задача о вра-щательно-симметричном движении вращающегося кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами.

Доказана теорема об однозначной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи для любого t > 0. Исследованы качественные свойства решения и его асимптотика при t со. Рассмотрен общий случай вихревого движения кольца идеальной жидкости. Потенциальное движение было рассмотрено ранее JI.B. Овсянниковым. Указаны качественно различные поведения таких решений.

В четвертом подразделе исследовано несколько точных инвариантных движений вязкой жидкости. Рассмотрена задача о сферически-симметричном движении сферического слоя со свободными

границами, обобщающая известную задачу Рэлея. Приведено ее точное решение. Там же показано, что при сжатии сферического слоя с положительным перепадом давления и отрицательных начальных данных всегда существует критический радиус, и время сжатия до него — конечно. Затем наступает расхождение сферического слоя до бесконечности.

Приведен пример неединственности решения задачи Коши для уравнений Навье-Стокса в классе решений с линейным ростом поля скоростей и квадратичным ростом давления, который обобщает пример Хопфа для уравнений Эйлера.

Рассмотрено движение вязкой несжимаемой жидкости типа течения Пуазейля в криволинейной трубе под действием стационарного перепада давления. Решение приводится в явном виде. Для аналогичной задачи о течении внутри криволинейного участка трубы доказана теорема существования обобщенного решения.

Доказана разрешимость задачи об "архимедовом винте" и о течении внутри змеевика.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Таким образом, в диссертации решена крупная проблема дифференциальных уравнений континуума: построение на основе теории симметрии инвариантных подмоделей со сложной реологией и анализ конкретных точных решений. Вскрыта теоретико-групповая природа классической теории возмущений.

1. Найдены преобразования эквивалентности системы дифференциальных уравнений, описывающих движение сплошных сред со сложной реологией.

2. Решена задача групповой классификации дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии, при минимальных предположениях относительно входящих произвольных элементов.

3. Найдены порождающие функции, задающие уравнения состояния, в числе которых известные классические законы. Это

позволяет использовать различные обобщения классических законов с сохранением типов симметрия,

4. Показано, что вязкость в общем случае представляет собой тензор второго ранга. Дан пример интерпретации его. Полученные структуры тензора вязких напряжений позволяет упростить применение методов статистической физики при нахождении кинетических коэффициентов.

5. Получена общая характеристика линейных моделей чисто ме-s ханического континуума.

6. Получена групповая характеристика классического метода возмущений. Доказана теорема о представлении нового алгебраического объекта: бесконечномерной алгебры Ли с коммутационными соотношениями Витта. Эта алгебра как обобщение известной конечномерной алгебры Витта представляет и самостоятельный интерес.

7. Приведены точные решения различных моделей механики сплошных сред. Одно из них является первым примером геликоидальных течений идеальной жидкости или бессиловых конфигураций магнитных полей без использования ограничительного условия постоянства коэффициента пропорциональности между полями скорости и и rot и, что важно и для теоретического осмысления таких движений, и для численных расчетов.

Публикации по теме диссертации

1. Бытев В.О. Неустановившиеся движения вращающегося кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей // ПМТФ. - Новосибирск. - 1970. 3. - С. 82-88.

2. Бытев В.О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса // Численные методы МСС. - Новосибирск. - 1972. - Т. 3, 3. -С.13-17.

3- Бытев В.О. Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса // ПМТФ. - Новосибирск. - 1972, 6. - С- 56-64.

4. Бытев В.О. Об определяющих уравнениях чисто механического континуума // Препринт ИФ СО АН СССР, - Красноярск. -

1978. - 22 с.

5. Бытев В.О. О структуре тензора чисто механического континуума // ДСС. - Новосибирск. - 1978. - Вып. 37. - С. 40-49.

6. Бытев В.О. О некоторых возможных уравнениях состояния чисто механического континуума // ДСС. - Новосибирск. -

1979. - Вып. 40. - С. 123-126.

7. Bytev V.O. Lee's groop and modell of mechanics // Zentralblatt fur Mathematic, BRD. - 1984, bd. 518.

8. Аннин В.Д., Бытев В.О., Сенашов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. - Новосибирск: Наука, 1985.

9. Бытев В.О. Об одном классе точных решений уравнений Эйлера. - Деп. ВИНИТИ 03.04.86. - С. 26.

10. Бытев В.О. Иззнтропическое движение политропного газа с плоскими волнами. - Деп. ВИНИТИ 03.04.86. - 6 с.

11. Bytev V.O. Building of Mathematical Models of continuum media on the basis of invariante principle. - Acta Applicandoe Mathematical, 16 : 117-142,1989, Kluwer Academic Publishers, Netherlands.

12. Бытев В.О. Простые волны в уравнениях Эйлера // Труды семинара "Математическое моделирование в механике". -Красноярск: ИВМ СО РАН, 1999. - С. 53-64.

13. Бытев В.О. Уравнения состояния чисто механического континуума // Труды семинара "Математическое моделирование в механике". - Красноярск: ИВМ СО РАН, 1999. - С. 65-91.

14. Бытев В.О. Групповые свойства в теории возмущений. Уравнения Навье - Стокса // Труды междунар. конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. - С. 59-62.

15. Бытев В.О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса с условием аддитивности // Труды междунар. конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. - С. 62-65.

16. Бытев В.О., Остыловский А.Н. Матричное представление одной бесконечномерной алгебры Ли с коммутационными соотношениями Витта // Труды междунар. конф. "Математические модели и методы их исследования". - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. - Т. 1. - С. 130-132.

17. Бытев В.О. Об изотропии // Труды III Междунар. конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 71-72.

18. Бытев В.О. Некоторые точные решения в одномерной модели Ривлина-Эриксена // Вычислительные технологии. - Новосибирск. 2002.

19. Бытев В.О. Жидкость Рейнера-Ривлина II. Уравнения состояния. - Деп. ВИНИТИ 03.06.87. - 3944-В87. - 12 с.

20. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. - Новосибирск: Наука, 2003. - 350 с.

Соискатель:

Подписано в печать 2 2. ^ £ 2003 г. Формат 60 х 841/16. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН

РНБ Русский фонд

2006-4 37525

Введение

1. Чисто механический континуум п. 1.1. Определяющие уравнения чисто механического континуума п. 1.2. Решение определяющих уравнений п. 1.3. Основная алгебра Ли и система уравнений на компоненты тензора напряжений

2. Преобразования эквивалентности уравнений чисто механического континуума п. 2.1. Основные уравнения модели п. 2.2. Одномерный случай п. 2.3. Двумерный и трехмерные случаи

3. Групповая классификация моделей чисто механического континуума п. 3.1. Определяющие уравнения двухпараметрического чисто механического континуума п. 3.2. Структура тензора вязких напряжений и уравнения состояния чисто механического континуума п. 3.3. Некоторые модели.

1. Одномерные модели

2. Двумерные подмодели

3. Трехмерные подмодели

4. Изотропные модели

5. Анизотропные модели.

4. Уравнения состояния. п. 4.1. Классификация уравнений состояния п. 4.2. Примеры уравнений состояния п. 4.3. Линейные структуры

1. Двумерные линейные модели

2. Трехмерные линейные модели

5. Одномерные нестационарные течения чисто механического континуума п. 5.1. Преобразование эквивалентности п. 5.2. Точечные преобразования. п. 5.3. Касательные преобразования

6. Классическая теория возмущений и ее теоретикогрупповая характеристика. п. 6.1. Основная группа Ли для системы уравнений Навье

Стокса с условием аддитивности п. 6.2. Групповые свойства возмущенной бесконечной системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости

7. Точные решения п. 7.1. Одномерные нестационарные решения в задачах реологии. п. 7.2. Простые волны в уравнениях Эйлера. п. 7.3. Неустановившиеся движения вращающегося кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.

1. Постановка задачи

2. Радиальное движение кольца.

3. Априорные оценки

4. Теорема существования и единственности

5. Качественное описание движения

6. Движение кольца идеальной жидкости. п. 7.4. Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса.

1. Движение сферического слоя.

2. Пример неединственности решения задачи Коши

3. Движение в криволинейной трубе

4. Спиральные движения

Природа — сфинкс. И тем верней Своим искусом губит человека, Что, может статься, никакой от века Загадки нет и не было у ней.

Ф.И.Тютчев

Ожидание того, что новая теория объяснит, наконец, все, сродни тому наивному ожиданию чуда и веры в него, которое издревле присуще нам. Так было, например, при создании квантовой механики, значительные успехи которой, достигнутые при решении различных задач ее методами, позволяли надеяться на универсальность квантово-механического подхода, однако в наше время эта надежда становится все более иллюзорной. При построении математических моделей механики сплошных сред используются, как правило, три уровня описания: феноменологический, динамический и статистический. Динамический уровень описания малоупотребителен из-за слишком большого числа "частиц", входящих в описываемый макрообъект. При статистическом подходе к описанию поведения сплошной среды встречаются некоторые принципиальные трудности, не преодоленные до сих пор. Считается, например, что уравнения состояния, коэффициенты переноса, структура тензора напряжений и т.п. — традиционная область применения методов статистической физики. Однако все количественные успехи современной теории основаны на приближенных интегральных уравнениях, физический смысл которых неясен. Ни из каких физических соображений, постулатов, законов, наконец, невозможно заранее предсказать, что именно приближение Пер-куса - Йевика вместе с уравнением энергии даст наилучшие результаты, а гиперцепное приближение или, например, теория Борна - Грина дадут результаты хуже (см., например, /1, 2/). По сути дела открытие приближения Перкуса - Йевика показывает, что можно получать хорошие результаты не благодаря методам статистической физики, а как бы помимо них /1, 2/. При построении той или иной теории такими методами исследователь, манипулируя таинственными словами типа средняя длина свободного пробега, характерное время столкновения, сечение рассеяния и т.п., скорее демонстрирует свои оккультные способности в убеждении читателя, что при определенных условиях кинетическая теория сводится к тому, что он хочет получить, нежели то, что эти предположения необходимы для создания такой теории: Наконец, отсутствие модели нулевого порядка приближения в теории жидкости аналогичной модели идеального газа или гармонической решетки в твердом теле приводит к дополнительным трудностям в аналитическом описании жидкости при статистическом подходе. В заключение приведем слова Г.К. Трусделла, сказанные им более 30 лет назад и остающиеся актуальными и сегодня. "Предполагаемое редко отделяется от того, что должно быть доказанным, и последней инстанцией в каждом случае сомнения является модель материи, состоящей из маленьких твердых шариков"/3/.

Все сказанное убеждает нас возвратиться к феноменологическому уровню описания и попытаться найти некоторые достаточно общие подходы к проблеме определяющих уравнений, необходимых для замыкания системы дифференциальных уравнений, являющихся следствием законов сохранения. Что же положить в основу этого описания? Очевидно, что это должен быть принцип инвариантности, поскольку именно он лежит в основании всех современных подходов, связанных с поиском новых типов физических структур. Кроме того, представляется естественным использовать группу непрерывных преобразований для формирования самого принципа инвариантности. Действительно, еще в 1912-1916 годах А. Эйнштейном предлагалась задача об отыскании инвариантов группы непрерывных преобразований как, наиболее важная проблема физики. Вообще, идея использования группы непрерывных преобразований для математического моделирования является довольно старой, однако как технически осуществить ее было не вполне ясно. Если в кристаллофизике успех группового подхода предопределялся тем, что были известны все дискретные группы, характеризующие тот или иной кристалл, то использование групп непрерывных преобразований наталкивалось на непреодолимое препятствие: отсутствие результатов типа классификации Шубникова. Эти трудности могут быть устранены, если решить задачу групповой классификации дифференциальных следствий законов сохранения.

Свойства симметрии лежат в основе представлений о строении окружающего нас физического мира. В современной теоретической физике основную роль при исследовании микро- и макромира играют теоретико-групповые методы исследования. Многие свойства физического мира (однородность и изотропность пространства и времени, динамическое подобие явлений, галилеева и лоренцева инвариантность и др.) описываются с помощью непрерывных групп преобразований.

Систематическое исследование непрерывных групп преобразований было начато во второй половине XIX века норвежским математиком Со-фусом Ли (1842-1899). Однако широкого применения к исследованию моделей механики сплошной среды в то время групповой анализ дифференциальных уравнений не получил, хотя многие методы исследования имеют групповую природу. Целенаправленный: поиск частных решений осуществлялся, в основном, методами теории размерности и подобия. Но уже тогда было осознано, что имеется некоторая аналогия между теорией размерности и подобия и геометрической теорией инвариантов относительно преобразований координат /4/. Впервые наиболее полно исследовал взаимосвязь между этими»двумя теориями Г. Биркгоф /5/. На примере уравнений механики он демонстрирует применение группового анализа к отысканию некоторого класса частных решений. Эти решения, названные им "симметричными"решениями, обладают свойством инвариантности относительно некоторой группы Н преобразований координат, не меняющей вид системы уравнений. По общепринятой теперь терминологии такие решения называются инвариантными if-решениями. В связи с изучением применения теории Ли непрерывных преобразований к отысканию частных решений следует отметить работы Майкэла /6/ и Моргана /7/. Однако во всех перечисленных выше работах использование групповых свойств дифференциальных уравнений к; поиску частных решений было изучено лишь в единичных случаях и носило в основном иллюстративный характер.

Современный этап систематического применения методов группового анализа к моделям механики сплошных сред получил в работах школ Л. В. Овсянникова [8] и Н. X. Ибрагимова /9/. В частности, активно идет изучение групповых свойств дифференциальных уравнений механики жидкости и газа /10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23/.

В 1991 г. на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике Л. В. Овсянниковым была сформулирована концепция программы ПОДМОДЕЛИ, направленной на полное и систематическое изучение групповых свойств различных моделей механики сплошной среды /24, 25/. Под руководством Л. В. Овсянникова группой исследователей ведется активная работа по реализации программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. Работа над данным проектом привела к оформлению более четких алгоритмов, возникающих в групповом анализе дифференциальных уравнений /26/. В частности, были* обобщены результаты работ алгебраистов по построению нормализованных оптимальных систем подалгебр /27, 28/. Помимо непосредственного описания подмоделей происходит развитие теоретической базы группового анализа, например, были введены понятие ж-автономии /29/ и понятия регулярного и нерегулярного частично инвариантного решения /30/.

Перед описанием структуры диссертации определим основные понятия.

Система дифференциальных уравнений Е допускает группу G преобразований всех участвующих в Е величин (независимых и зависимых переменных), если система остается неизменной при всех преобразованиях, принадлежащих группе G.

В случае, когда система дифференциальных уравнений Е содержит произвольный элемент А в виде неопределенных параметров и функций, возможно подчиненных некоторым условиям, естественным образом возникает задача групповой классификации. Такую систему обозначим через Е(А), связь — через а через GE(A) — группу, допускаемую системой Е(А) при конкретном виде связи Тогда ядром основных группназывается группа GEq, равная пересечению всех групп GE(A). Другими словами, ядро основных групп системы уравнений Е(А) — это группа, допускаемая этой системой при любой связи Для частных форм дополнительных связей допускаемая группа может расширяться. Таким образом, задача групповой классификации заключается в следующем: для системы дифференциальных уравнений Е(А) найти ядро основных групп GEq и все специализации произвольного элемента А, дающие расширения группы GEq.

Преобразованием эквивалентности системы Е(А) называется преобразование зависимых и независимых переменных и произвольного параметра, которое изменяет только произвольный элемент А, сохраняя структуру дифференциального уравнения Е(А). Преобразования эквивалентности образуют группу, называемую группой эквивалентности. Групповая классификация проводится с точностью до преобразований эквивалентности.

Каждая подгруппа Н С G имеет инварианты, конечные и(или) дифференциальные. Установление дополнительных соотношений между инвариантами подгруппы Я выделяет из множества всех решений Е определенный класс точных частных решений, называемых Н-решениями. Такие решения выражаются через новые искомые функции (инварианты), удовлетворяющие выводимой из Е системе дифференциальных уравнений, называемой фактор-системой Е/Н. Обычно фактор-система является более простой по сравнению с исходной системой Е, в частности, за счет того, что Е/Н содержит меньшее число независимых переменных. Поэтому фактор-система Е/Н называется подмоделью исходной "большой модели"!?. Число независимых переменных в Е/Н называется рангомподмодели. В стандартном случае четырехмерного пространства событий, на котором определена система Е, ранг подмодели может принимать значения 3, 2, 1, 0.

При изучении решений какого-либо дифференциального уравнения Е полезна геометрическая трактовка решения у = и(х) как (локального) многообразия U в пространстве переменных (х,у). Тогда решение у = и(х) называется инвариантным Н-решением уравнения Е, если соответствующее ему многообразие U является инвариантным многообразием группы Я. Обобщение понятия инвариантного решения возможно за счет отказа от полной инвариантности многообразия U. Решение у = и{х) называется частично инвариантным Н-решением уравнения Е, если многообразие U является частично инвариантным многообразием группы iJ, допускаемой уравнением Е. Кроме ранга такие решения характеризуются еще одной числовой характеристикой, называемой дефектом, которая показывает, насколько неинвариантным относительно Я является U. Существенно, что для дефекта имеется явная инфините-зимальная формула. При построении частично инвариантных решений, кроме фактор-системы Е/Н, связывающей только инварианты группы Я, получается еще и дополнительная система уравнений Р, связывающая помимо инвариантов группы Я также зависимые и независимые переменные исходной системы Е. Такие системы дифференциальных уравнений требуют исследования на совместность /31, 32, 33/.

Каждое частично инвариантное относительно группы Я решение является также частично инвариантным относительно любой подгруппы Н' С Я. При переходе к подгруппе ранг решения не убывает, а дефект не возрастает. Тем самым естественно возникает вопрос о редукции частично инвариантных решений, который ставится в следующей формулировке. Пусть дано частично инвариантное Я-решение С/, имеющее ранг а и дефект S; требуется выяснить, существует ли подгруппа Н' С Я, для которой U является частично инвариантным Я'-решением, при этом для ранга а' и дефекта 6' этого решения справедливы соотношения а' = сг, S' < 5. Важность проблемы редукции определяется тем, что решения с меньшим дефектом искать, вообще говоря, легче. К сожалению, единственный критерий редуцируемости частично инвариантных многообразий к инвариантным, полученный в /51/, труден в практических приложениях. Поэтому приходится использовать те или иные достаточные условия редуцируемости /8/.

Перейдем к изложению содержания и структуры диссертации. Она состоит из введения, семи разделов, заключения и списка использованных источников.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решена крупная проблема дифференциальных уравнений континуума: построение на основе теории симметрии инвариантных подмоделей со сложной реологией и анализ конкретных точных решений. Вскрыта теоретико-групповая природа классической теории возмущений.

1. Найдены преобразования эквивалентности системы дифференциальных уравнений, описывающих движение сплошных сред со сложной реологией (стр. 47-48, 58-59).

2. Решена задача групповой классификации дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии, при минимальных предположениях относительно входящих произвольных элементов (стр. 24-28, 54-55, 58-59, 60-76).

3. Найдены порождающие функции, задающие уравнения состояния, в числе которых известные классические законы. Это позволяет использовать различные обобщения классических законов с сохранением типов симметрий (стр. 85-96).

4. Доказано, что вязкость в общем случае представляет собой тензор; второго ранга. Дан пример интерпретации его. Полученные струк-; туры тензора вязких напряжений позволяет упростить применение методов статистической физики при нахождении кинетических коэффициентов (стр. 85-96).

5. Получена общая характеристика линейных моделей чисто механического континуума (стр. 96-118).

6. Получена групповая характеристика классического метода возмущений. Доказана теорема о представлении нового алгебраического объекта: бесконечномерной алгебры Ли с коммутационными соотношениями Витта. Эта алгебра как обобщение известной конечномерной алгебры Витта представляет самостоятельный интерес (стр. 184^-186, 205).

7. Приведены точные решения различных моделей механики сплош-f ных сред. Одно из них является первым примером геликоидальных течений идеальной жидкости или бессиловых конфигураций магнитных полей без использования ограничительного условия посто-; янства коэффициента пропорциональности между полями скорости и и rot и, что важно и для теоретического осмысления таких дви-; жений, и для численных расчетов (стр. 206-239).

1. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973.

2. Grad Н. Comm. Pure Appl. Math. Т. 2, № 31(1949). Русский перевод в сб. "Механика", № 4, 5, 1952.

3. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1974.

4. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М., 1957.- 447 с.

5. Биркгоф Г. Гидродинамика. М., 1954. - 183 с. !

6. Michal A. D. Differential invariants and invariant partial differential equatins under continous transformation groups in normed linear spaces // Proceedings of the Natural Academy of Sciences of the USA. 1951.- V. 37, № 9. P. 623-627.

7. Morgan A. J. A. The reduction by one of the number of independent variables in some systems of partial differential equations // Quarterly Journal of Mathematics. Oxford, 1952. - V. 3, № 12. - P. 250-259.

8. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений;- М., 1978. 400 с.

9. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике.- М., 1983. 280 с. ;

10. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. - 319 с.

11. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповой анализ уравнений плоских течений идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 298, № 5. - С. 1358-1361.

12. Бучнев А. А. Группа Ли, допускаемая уравнениями движения идеальной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Но-; восибирск, 1971. - Вып. 7. - С. 212-214. i

13. Бытев В. О. Групповые свойства уравнений Навье Стокса // Численные методы механики сплошных сред. - Новосибирск, 1972. -Т. 3, № 5. - С. 13-17.

14. Гончарова О. Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1987. -Вып. 79. - С. 22-35.

15. Ибрагимов Н. X. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1967. - 60 с.

16. Ибрагимов Н. X. Классификация инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа // ПМТФ. 1968. - Т. 9, № 4. - С. 19-22.

17. Капитанский JI. В. Групповой анализ уравнений Навье Стокса и уравнений Эйлера // Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 243, № 4. -С. 901-904. ;

18. Меньшиков В. М. Решения уравнений двумерной газовой динамики типа простых волн // ПМТФ. 1969. - Т. 10, № 3. - С. 129-134. :

19. Пухначев В. В. Групповые свойства уравнений Навье Стокса в плоском случае // ПМТФ. - 1960, № 1. - С. 83-90.

20. Пухначев В. В. Инвариантные решения уравнений Навье Стокса, описывающие движения со свободной границей // Докл. АН СССР. - 1972. - Т. 202, № 2. - С. 302-305.

21. Пухначев В. В. Неустановившиеся движения вязкой жидкости со свободной границей, описываемые частично инвариантными решениями уравнений Навье Стокса // Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1972. - Вып. 10. - С. 125-137. ;

22. Суровихин К. П. Групповая классификация уравнений, описывав ющих нестационарные течения газа // Докл. АН СССР. 1964. -Т. 156, № 3. - С. 533-536.

23. Coggeshall S. V., Axford R. A. Lie group invariance properties of radiation hydrodynamics equations and their associated similarity solutions // Phys. Fluids. 1986. - V. 29, № 8. - P. 2398-2420.

24. Овсянников JI. В. Программа Г/О ДМ ОДЕЛИ // Седьмой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. М., 1991. -С. 269.

25. Овсянников JI. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск, 1992. -12 с.

26. Ovsiannikov L. V. The group analisys algorithms // Modern group anal-isys: advanced analytical and computational methods in mathematical physics. Cluwer Acad. Publ, 1993. - P. 277-283.

27. Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл! РАН. 1993. - Т. 333, № 6. - С. 702-704. j

28. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика //■ ПММ. 1994. - Т. 58. - Вып. 4. - G. 30-55.

29. Овсянников Л. В. О свойстве ^-автономии // Докл. РАН. 1993. -Т. 330, № 5. - С. 559-561.

30. Овсянников Л. В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения // Докл. РАН. 1995. - Т. 343, № 2. - С. 156-159.

31. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М., 1962. - 237 с.

32. Kuranishi М. Lectures on involutive systems of partial differential equa-; tions. San Paulo, 1967. - 76 p.

33. Pommaret J. F. Systems of partial differential equations and Lie pseu-^ dogroups. New York, London, Paris, 1978. - 411 p. (Mathematics and its applications; volume 14).

34. Бытев В.О. К задаче о редукции // ДСС. Вып. 5. - Новосибирск, 1970. - С. 146-148.

35. Андреев В. К. Об инвариантности условий на поверхности раздела для уравнений гидродинамики // Тез. докл. конф. "Декомпозиционные методы в математическом моделировании". М.: ВЦ РАН, 2001. - С. 5-6. ;

36. Бердичевский В.Л. Построение моделей сплошных сред при помощи вариационного принципа // ПММ. Т. 30. - Вып. 3. - 1966. - С. 510-г 530.

37. Идин М.А. Анизотропные сплошные среды, энергия и напряжения в которых зависят от градиентов деформаций и других тензорных величин // ПММ. Т. 30. - Вып. 3. - 1966. - С. 531-540.

38. Седов JI.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред // УМН. Т. 20. - Вып. 5. - 1965.

39. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов в механике сплошной среды. М.: Мир, 1966.

40. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // ПММ. Т. 27. - Вып. 3. - 1963. -С. 393-417.

41. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: ГИТТЛ, 1954. |

43. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. -М.: ИЛ, 1961.

44. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.; Мир, 1978.

45. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969.

46. Trusdell С., Noll W. The поп-linear field theories of mechanices // Flug-ges Encyclopedia of Physics. 1965. - V. III. - Pt. 3.

47. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука; 1978.- 304 с. :

48. Шубников А.В. Избранные труды по кристаллографии. М.: Наука, 1975. - 552 с. I

49. Губанов Л.В., Лунькин Ю.М. // ЖТФ. 1960. - Т. 30, № 9.

50. Похожаев С.И. О задаче Дирихле для уравнения Ait = и2 // Доклады АН СССР. 1960. - Т. 134, № 4. - С. 769-772.

51. Похожаев С.И. О краевой задаче для уравнения А и = и2 / / Доклады АН СССР. 1961. - Т. 138, № 2. - С. 305-308.

52. Похожаев С.И. О собственных функциях уравнения Аи + Af(u) // Доклады АН СССР. 1965. - Т. 165, № 1. - С. 36-39. :

53. Bytev V.O. Building of Mathematical Models of continuum media on the basis of invariante principle // Acta Applicandoe Mathematical 16 : 117-142, 1989, Kluwer Academic Publishers, Netherlands. ;

54. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенатов С.И. Групповые свойства урав-j нений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука, 1985.

55. Бытев В.О. Жидкость Рейнера-Ривлина II. Уравнения состояния. -Деп. ВИНИТИ 03.06.87 JW3944-B87.

56. Бытев В.О. Жидкость Рейнера-Ривлина 1. Линейные структуры. -Деп. ВИНИТИ 03.09.86. ДО6412-В86.

57. Frendental F.M. and Geiringer Н. The Mathematical theories of the inelastic continuum // Handbuch der Physik, bd VI Berlin-Gottingen-Heidilberg, 1958. j

58. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука^ 1981. ;

59. Hirshfeloler J.O., Curtiss Ch.F., Bird R.B., Molecular theory of gases and liquids. N.Y.-London, 1954.

60. Градштейн И.С., Рыжик И.M. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

61. Остросаблин Н.И. О структуре тензора модулей упругости. Собственные упругие состояния // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1985. - Вып. 66. - С. 113-125.

62. Маслов В.П., Мосолов П.П. Уравнения одномерного баротропного газа. М.: Наука, 1990. - 216 с. j

63. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. - 568 с.

64. Джозеф Д.Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. -638 с.

65. Гидродинамическая неустойчивость. -М.: Мир, 1964. 371 с.

66. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1970. - 800 с.

67. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. -760 с.

68. Паркер Е.Н. Динамические процессы в межпланетной среде. М.: Мир, 1965.

69. Nakagaw Y. Astron. Astropyhys. 27,95,1973.

70. Nakagaw Y. Raadu M.A., Harvey J. Solar Physics. 30, 421, 1973.

71. Dicke R.H. Astrophysics J, 159,25,1970.

72. Altshuller M.D., Newkirk G. Solar Physics., 9,131, 1969.

73. Raadu M.A. Solar Physics, 28, 77, 1973.

74. Бытев В. О. Неустановившиеся движения вращающегося кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей // ПМТФ, № 3. 1970. - С. 82-88.

75. Бытев В. О. Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса // ПМТФ. Новосибирск. - 1972, № 6. - С. 56-64.

76. Овсянников JL В. Общие уравнения и примеры. В кн.: Задача о неустановившемся движении со свободной границей. - Новосибирск: Наука, 1967. - С. 3-75.

77. Astarita G., Marrucci G. Principles of non newtonian fluid mechanics Mc Graw-Hill, 1974.

78. Бахтурин Ю.А. Основные структуры современной алгебры. М.: Наука, 1990.

79. Янчевский С.А. Функции комплексного переменного. JL, 1934. -288 с.

80. Бытев В.О. Об определяющих уравнениях чисто механического континуума // Препринт ИФ СО АН СССР. Красноярск. -1978. -22 с.

81. Бытев В.О. О структуре тензора чисто механического континуума // ДСС. Новосибирск. - 1978. - Вып. 37. - С. 40-49.

82. Бытев В.О. О некоторых возможных уравнениях состояния чисто механического континуума // ДСС. Новосибирск. - 1979. -Вып. 40. - С. 123-126.

83. Bytev V.O. Lee's groop and modell of mechanics // Zentralblatt fwr Mathematic, BRD. 1984, bd. 518.

84. Бытев В.О. Об одном классе точных решений уравнений Эйлера. -Деп. ВИНИТИ 03:04.86. С. 26.

85. Бытев В.О. Изэнтропическое движение политропного газа с плоскими волнами. Деп. ВИНИТИ 03.04.86. - 6 с.

86. Бытев В.О. Простые волны в уравнениях Эйлера// Труды семинара "Математическое моделирование в механике". Красноярск: ИВМ СО РАН, 1999. - С. 53-64.

87. Бытев В:О: Уравнения состояния чисто механического континуума // Труды семинара "Математическое моделирование в механике". Красноярск: ИВМ СО РАН, 1999. - С. 65-91.

88. Бытев В.О. Групповые свойства в теории возмущений. Уравнения Навье — Стокса// Труды междунар. конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. -С. 59-62.

89. Бытев В.О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса с условием аддитивности // Труды междунар. конф; "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. -С. 62-65.

90. Бытев В.О., Остыловский А.Н. Матричное представление одной бесконечномерной алгебры Ли с коммутационными соотношениями Витта// Труды междунар. конф. "Математические модели и методы их исследования". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. -Т. 1. - С. 130-132.

91. Бытев В.О. Об изотропии//Труды III Междунар. конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 71-72.

92. Бытев В.О. Некоторые точные решения в одномерной модели Рив-лина-Эриксена // Вычислительные технологии. Новосибирск. 2002.

93. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003. - 352 с.