Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффициентах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Глотов, Николай Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
на правах рукописи
ГЛОТОВ НИКОЛАЙ ВЛАДИМИРОВИЧ
Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффициентах
01 01 02 — дифференциальные уравнения
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Воронеж - 2007 №1ШЩ11
Работа выполнена в Воронежском государственном техническом универси тете
Научный руководитель
доктор физико-математических наук, профессор Репников Валентин Дмитриевич
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич
доктор физико-математических наук, профессор Покровский Андрей Николаевич
Ведущая организация Южный Федеральный университет
Защита состоится 30 мая 2007 г в 15 40 на заседании диссертационного совета К 212 038 05 при Воронежском государственном университете по адресу 394693 г Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, математический факультет
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета
Автореферат разослан ¿[3 апреля 2007 г Ученый секретарь
диссертационного совета К 212 038 05, доктор физико-математических наук,
профессор
Гликлих Ю Е
Актуальность темы Дифференциальные уравнения на геометрических графах моделируют самые разные задачи естествознания процессы в сетях волноводов, колебания упругих сеток, распространение электрических импульсов в нейроне и т п На сегодня достаточно полно изучены соответствующая спектральная задача (см , напр , обзорную часть в монографии Ю В Покорного и др , ФИЗМАТЛИТ, 2004), а также волновое уравнение ихх = utt на геометрическом графе, для которого при гладких условиях трансмиссии получены аналоги формулы Да-ламбера и для некоторых классов геометрических графов описаны профили прямой и обратной волн (F Ali-Mehmeti, 1994, Ю В Покорный, В Л Прядиев, А В Боровских, А В Копытин, серия работ 1999-2003, С Cattaneo и L Fontana, 2003) Диссертация посвящена исследованию гиперболического уравнения на геометрическом графе, которое на ребрах этого графа имеет вид одномерного волнового уравнения, а в вершинах имеет особенность типа ¿-функции при младшей производной по времени Уравнение такого вида моделирует, например, колебания растянутой упругой сетки (из струн) при наличии так называемого жидкого трения (сила трения прямо пропорциональна скорости перемещения узловой точки) Основной вопрос, который изучается в диссертации - это возможность конечного описания решения такого уравнения через начальные данные, в виде суперпозиции прямой и обратной волн Таким образом, тема диссертации является актуальной
Цель работы Получение конечного представления решений волнового уравнения на геометрическом графе через начальные данные - при условиях трансмиссии, моделирующих жидкое трение в вершинах Исследуется поведения решения этого уравнения при t —» +оо
Методика исследований В диссертации используются методы математической физики, теории дифференциальных уравнений на геометрических графах, теории разностных уравнений
Научная новизна Все результаты являются новыми В числе наиболее важных следует отметить
1 Получена начальная задача для векторного функционально-диф-
ференциального уравнения, эквивалентная начальной задаче для волнового уравнения на геометрическом графе с условиями трансмиссии, моделирующими жидкое трение в узлах Предъявлены формулы перехода от решения первой задачи к решению второй и наоборот Найдены точные условия на начальную деформацию, обеспечивающие существование и единственность классического решения указанного волнового уравнения
2 Выделен класс геометрических графов с одинаковыми по длине ребрами, для которых предъявлено конечное описание решения начальной задачи для волнового уравнения с указанными условиями трансмиссии
3 Приведены примеры геометрических графов, для которых решение начальной задачи для волнового уравнения при указанных условиях трансмиссии (а) начиная с некоторого значения t , вырождается в const, (б) начиная с некоторого значения i, становится периодическим, причем отличным от const, (в) стремится к const при t —> +оо, будучи отличным от const в любой окрестности точки t = +оо
4 Для волнового уравнения на геометрическом графе-звезде с одинаковыми по длине ребрами и при условии трансмиссии типа жидкого трения в единственной внутренней вершине получено конечное описание решения начально-краевой задачи при условиях Дирихле Найдены условия, при которых решение вырождается в тождественный нуль за конечное время
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике и теории дифференциальных уравнений на геометрических графах
Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Потрягинские чтения - XIV" (Воронеж, 2003), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2003), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории крае-
вых задач" "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, 2004), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVI" (Воронеж, 2005), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVII" (Воронеж, 2006), на семинаре по качественной теории краевых задач (Воронежский госуниверситет, руководитель проф Ю В Покорный )
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ В совместных работах [1], [2], [6] Прядиеву В Л принадлежит постановка задачи, а автору диссертации точные формулировки и доказательства утверждений
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности десять пунктов, и списка литературы Объем диссертации 93 стр Библиография содержит 74 наименования Нумерация формул организована но порядку, в соответствии с номером главы и пункта
Краткое содержание работы Глава 1 посвящена исследованию уравнения
uxx(x,t) = ua(x,t) (xeR{T),t>0) (1)
при условиях трансмиссии
£ v-t(x,t) = k(x)ut(x,t) (i€j(r), f>0) (2)
héD(x)
Здесь Г - геометрический граф, *7(Г) - множество вершин Г, Д(Г) == Г \ J{T) - объединение его ребер, дифференцирование по i £ J"(r) понимается в соответствии с монографией Покорного Ю В "Дифференциальные уравнения на геометрических графах" (М , Физматлит, 2004), D(х) = {/г € Кп | \\h\\ = 1 и (х + eh) G Г для достаточно малых е > 0}, ul(x,t) - правая производная и( ,t) в точке х вектора h, к{х) - заданные неотрицательные числа Решение (1), (2) понимается в классическом
смысле
В пункте 1 1 приводятся понятия, необходимые для постановки задачи В частности, для (1), (2) вводятся начальные условия
и(х, 0) = у>(х), ut(x,0)=0 (х G Г), (3)
где <р(х) предполагается удовлетворяющей условиям 1) <р непрерывна на Г, 2) V>h(x) = О (х 6 -^(Г)), 3) на Д(Г) определена и непрерывна
heD(x)
4) \f(x е J{T)Mh е ОД) = lim if/'(x + eh)], 5) V(x S
J(r))V(/i, 7) G ОД) [¥>++(*) - 6) ((а; 6 ЛП) Л (*(*) ¿ 0)) =>
V(h 6 ОДЫ+(*) = 0]
В пункте 1 2 вводится определение смежных вершин две различные вершины а и Ъ из J(T) назовем смежными, если интервал (а, Ь) является ребром Г Если а и Ъ смежны, то будем писать а *-> Ъ Далее в этом пункте задача (1)-(3) сводится к набору задач о распространении граничных режимов с помощью разностного уравнения Для этого доказана
Лемма 1.2 1 Пусть существует набор {l¿a(t)}a<Ej(г) функций из С2 [0, +оо) такой, что для любой пары смежных вершин а и b из J(T) задача
' vyy{y,t) =vu{y,t) (0 <у < ||Ь-а||, í>0) « и(0, t) = ßa(t), v(||b - а||, t) = nb{t) (i > 0)
v(y, 0) = (a + - «)) . 4ÍV, 0) = 0 (0 < у < ||6 - a||)
(4)
имеет классическое решение v(y,t,a,b), причем для любой а е ¿Г(Г)
Y, »vi0,í,а,b) = k(a)(ßa)'(t) (i > 0) (5)
ЬI b<-*a
Тогда функция и(х, t), определяемая при х S [а, Ь], где а <-» Ь, равенствами и(х, t) = г)(||а:—а||, t, а, 6), в которых а иЬ пробегают все возможные пары смежных вершин, является решением задачи (1)-(3) Верно и обратное если u(x,t) является решением задачи (1)-(3), то существует набор функций {l¿a{t)}aej{r)> обладающий указанным свойством, причем для любых смежных вершин а и b решение задачи (4) связано с и(х, t) равенством v(y, t, a, b) = и(а + y\\b - аЦ~г(Ь -a),t)
Пусть а <-> Ь Обозначим через <ра,ъ(у) нечетную и 2||6—а||-периодичес-кую функцию, определенную на 1\ (||Ь — а[\Щ (Ъ - множество всех целых чисел) и совпадающую с ¡р(а -+• у\\Ь — а||_1(6 — а)) на (0, ||6 — а||) Производная (<ра,ь)' доопределяема по непрерывности в точках ||Ь — о||2, доопределенную так функцию (уа,ь)' обозначим через фа<ь
Для выделения признака, по которому набор {ра}аелг) функций из С2[0, +оо) удовлетворяет условию леммы 12 1, была доказана
Лемма 12 2 Набор {(¿а}аьЛг) функций из С2[0, +оо) удовлетворяет условию леммы 121 тогда и только тогда, когда этот набор удовлетворяет системе уравнений
(тП1(4,|!Ь-а||)
2 Ы(Ь-(2Р+1)\\Ъ-а\\
р~0
-2 (Ма)'(^ — 2р||Ь — а||) + 1ра,ъ{1) |
(« >0), а е J(T)
и начальным условиям
(Ь(Р) = <р(а), а 6 ЛТ),
(6)
(7)
здесь т1(1,1) - целая часть числа ^—1)/(21), ат^,1) есть целая часть 1/(21)
Решение задачи (4) представимо в виде и(у, Ь, а, Ь) = 1а,ъ(у+1)+1а,ъ(У~
£), где /о.,ь = ~<Ра,ь + ^"ць-аИМа + 5{\ь-а\\^ь, Уа,ъ - функция, получаемая из |ра,ъ доопределением в точках ||6 — а\\Ъ средним арифметическим своих предельных значений слева и справа,
Ш(у)
ггч (у,1)
£ ц(у-(2р+1)0, у>0Лу£1(2М-1)
р=о ( (8ч
((бт)(у+) + (0ц1)(у-))/2, У е К ж - 1) -(ад(-у), У < о
(М - множество всех натуральных чисел), = ~{0ф){у—1),у € К
Равенство (5) приобретает вид
]Г {тМ*) + 2(01Ц-а||Ы')(*) - 2(0<\Ъ-а\\Ы'№ - ||Ь - «II)} =
Ь | Ь*-*а
= (|Л(а)| + к(а))(ра)'У) (< > 0), а £ ^(Г),
что, с учетом (8), совпадает с (6) Таким образом, леммы 1 2 1 и 1 2 2 сводят решение задачи (1)-(3) к решению задачи (6), (7) В пункте 1 3 доказывается
Теорема 13 1 Решение задачи (6), (7) существует, единственно и дважды непрерывно дифференцируемо на [0, +оо)
Следствие 2 Решение задачи (1)-(3) существует и единственно В пункте 1 4 рассматривается случай единичной длины ребер Г Перенумеруем все вершины числами от 1 до т J{T) = {с^сг, , с™} Обозначим б = б\ Пусть А = (ау)™=1, где аг} = 1, если с, с,, и ау = 0, если с, с,, V = йгад(у1,ь2, ,ит)> где г;г = |1>(с,)|, г = 1,т, К = йгад(к(ст),к{с2), ,к{ст,)), д{£) - вектор-функция, г-ая компонента которой равна Фс,^), = )'(*). . ОО'^))7,
Тогда система уравнений (6) может быть записана в виде (ниже / - тождественный оператор)
{{(1 + 2Мд)У-2Ад + К)р!)(1)=д^) (¿>0), (9)
где (М/)^) = /(4 — 1), а оператор б на вектор-функциях определяется так же, как и на скалярных, то есть формулой (8) Пусть - оператор сужения функции на [0, +оо) Лемма 1 4.2 Оператор б~1, обратный к б, представил1 в виде б'1 = <Э(Р - АГ), где (Р/)(г) = /(«+ 1)
Обозначив V = бр!, на основании леммы 14 2, можем записать уравнение (9) в виде
(* > 0) (10)
Для К = V уравнение (10) примет вид
v(t + l) = (V-lA)v(t) + ^(V~lg)(t) (i> 0) (11)
Лемма 1.4 3 Пусть В - (m х т)-матрица, a q{t) - m-мерная функция, заданная на [0, +оо) Тогда если u{t) - решение уравнения
u(t+l) = Bv(t) + q(t), (12)
то для любого t G [0,1) и любого п G N выполнено
п—1
v{t + n) = Bnv(t) + Y^Bpq{t + n-l-p) (13)
Благодаря результатам, полученным в леммах 1 4 2 и 1 4 3, доказана Теорема 1 4.1 Пусть /i(t) есть решение (9) и К = V Тогда для любого t G [0,1) и любого п G N выполнено
A* + п) = \{V-lAy-l[V~lg{l -t) + V"1 AV'1 g{t)} (14)
Кроме того, для t G [0,1) выполнено p!(t) = \V~lg(t)
Далее рассматривается случай произвольного соотношения между V и К Обозначим а = 2(К + V)~lA, 7 = {К - V){K + V)~\ g{t) = [(K + V)-*g](t)
Лемма 14 4 Пусть матрица S есть решение уравнения 5(а + 5) = 7, причем матрицы а и 5 перестановочны Тогда решение уравнения (10), обнуляющееся во всех точках промежутка [—1,1), дается формулой
п-1п~р-1
i/(£ + n)=]T J2 (-iyôp(a + ôyg(t + n~l-P~j) (t G [0,1), п G N) p=0 j=0
Лемма 14 4 позволяет установить вид решения уравнения (9) Доказана
Теорема 1.4 2 Пусть выполнены условия леммы 14 4 Тогда решение уравнения (9) определяется равенством
п—1 п
р=О р—0
Реализован еще один подход к решению уравнения (10), которое с учетом введенных обозначений а,у,д можно записать так
v{t + l) = av{t) +7i/(i-l) + Eg(t) (t> 0) (16)
В результате была установлена
Теорема 14 3. Пусть матрицы а и 7 перестановочны Тогда для любого фиксированного t € [0,1) и любого т € N решение уравнения (9) определяется равенством
p!(t + т)~ amg(t) + am_ig(t + 1),
где ат определяется формулой
№1 /к-1 \
fc=1 \j=o /
Замечание Если А" = loV, где о; - некоторое неотрицательное число, то матрицы а и 7 действительно перестановочны
Результаты пунктов 1 2-1 4 резюмирует
Теорема 1.4 4 Решение u(x,t) задачи (1)-(3) существует и единственно При этом если длины ребер Г равны 1, то дня любых двух смежных вершин а и Ь u(x,t) = v(\\x — a||,t, a, b), где v(y,t,a,b) - классические решения задач (4), в которых функции fJ,a{t), a G <7(Г), в случае К = V определяются теоремой 1 4 1, в случае выполнения условий леммы 1 4 4 ~ теоремой 1 4 2, а в случае перестановочности а и 7 -теоремой 1 4 3
В пункте 1 5 приводятся примеры, иллюстрирующие применение теоремы 1 4 1 из пункта 1 4 Эти примеры показывают, что в случае К — V возможна стабилизация решения задачи (1)-(3), причем эта стабилизация может носить различный характер (а) начиная с некоторого значения t, решение вырождается в const, (б) начиная с некоторого значения t, решение становится периодическим, причем отличным от const, (в) решение стремится к const при t +00, будучи отличным от const в любой окрестности точки t — +00
Глава 2 посвящена исследованию смешанной задачи для волнового уравнения вида (1) на графе-звезде при условии (2) Точнее говоря, пусть Г = и (а, Ъг) и(а}, а, е ^ " попарно различны Ниже будем пола-
г=1
гать, что ||Ь, — а|| = 1/2 Для такого графа рассматривается смешанная задача
ихх(х, I) = ип(х, г) (х е Г \ {а}, I > 0)
Ш
ХХ(а,«) = Аи,(а,4) (4 > 0)
г=1
и(М) = 0 (г = Т"ттг, * > 0) ■и(х, 0) = </>(х), и((х,0) = 0 (геГ)
(18)
, _ ,, , и(а + 6/1,, г) - «(а, ,. где пг = 2 (6г — а), а ин (а,4) = Ит - Уравнение
' г—>+0 в
ои(х ¿1
в (18) будем понимать так для х € (а,6,) полагаем их(х,Ь) = ——-— и
дпг
д2и(х,г)
ихх(х,€) ' , где производные по направлениям кг уже неодно-
{ОгЪг}
сторонние Под решением задачи (18) будем понимать функцию и(х,Ь), определенную на Г х [0, +оо) и удовлетворяющую условию для любого г — 1,т и любого 4 > 0 производные ихх, у а и и^ равномерно непрерывны на (а, Ьг) х (0, Т)
Относительно функции ¡р будем предполагать, что она определена на Г, и что <р"(х) равномерно непрерывна на (а, Ь,) для любого г = 1 ,т, причем 1) для любого ? = 1, т выполнено Ьт <р(х) = 0, 2) 1ип <р"(х) =
х—^Ь, х—*а
д2ю(х)
0, здесь <р"(х) для х е (а, Ь,) обозначает у
В этой главе конечным образом описывается решение задачи (18) через <р(х) и А, и на основе этого описания дается анализ стабилизационных свойств этого решения
В пункте 2 2 доказывается единственность решения задачи (18) с использованием функционала полной энергии
В пункте 2 3 решение задачи (18) сводено к решению набора задач на отрезках Для этого введены в рассмотрение функции
^ ТП
Ф»(у) = ¥>(&. - уЬ,), у € [0,1/2], г = Т^, и ^(у) = — ^ Ф'(у)> и
т=1
fi,(у) = fil (у) - Ф,(у) - для г — 2, m Тогда <р(х) = J^ui^x), где ui,(x)
1=1
- функции, определенные следующим образом ш\(х) — fii (l/2 — — для г 6 Г, a для i = 2, m
{fi2 (1/2 - l'a; - а||), если х G [а, Ь{\ -Г\ (1/2 - ||:г - а||) , если х G [а, Ь,] О, для остальных ж G Г
Но тогда решение u(x,t) задачи (18) представимо в виде u{x,t) =
m
J2 Ui(x,t), где иг - решение задачи (18), но при = шг
г=1
Лемма 2 3.1 Пусть v(y, t) - решение задачи
Ууу(У, t) = MV, t) (У 6 (0,1/2), t > 0) w(0,i) = v(l/2,i) = 0 (i>0) «(!/,0) = П,(у) {y S [0,1/2]) vt(y, 0) — 0 (y G [0,1/2])
(19)
где г = 2, m Тогда
v (1/2 — \\x — a\\,t), при x G (a, £>i) «»(x, i) = ^ -г> (1/2 - Цг - o|], t) , при x G (a, b,) 0, при остальных x G Г
(20)
Поскольку конечное представление решения задачи (19) через функцию Я, хорошо известно (например, в форме Д'Аламбера), то наша задача (о конечном представлении решения задачи (18)) сводится к отысканию представления решения и\(х,£)
Лемма 2 3 2 Пусть ги(у, Ь) - решение задачи
' и)уу(у, ь) = Ши{у, г) (у е (о, 1/2), г > о) ги(0,г) = 0 (4 > 0)
1^(1/2,0 = -- ^(1/2,0 (¿>0) (21) т
ю(у,0) = Щу) (Уе [0,1/2]) 1^(у,0) = 0 (у С [0,1/2]) Тогда щ(х, г) = -и> (1/2 - \\х - а||, г)
Таким образом, вопрос о получении представления решения задачи (18) (через ц>, А, т) сводится к получению представления решения задачи
(21) через и — т
В пункте 2 4 решается задача (21) Рассматривается следующая вспомогательная задача
УГууШ) = ша(у,г) (у е (о, 1/2), * > о) ук(о,4) = о (4>о)
Шу(1/2,4)=а(4) (4>0) , (22)
\У(у,0)=П1(у) (у е [0,1/2])
I о) = о (у е [0,1/2])
где а(4) некоторая дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям а'(0) = 0 и а"(0) = 0
Основная цель пункта 2 4 - показать, что существует функция а такая, что решение задачи (22) совпадает с решением задачи (21) Для этого сначала доказывается
Лемма 2.4 1 Решение задачи (22) при Ь±у ф к + 1/2, к = 0,1, 2, может быть представлено в виде
['+!/] , .
Ъ—П V '
к=0
(23)
- ^>(4 - (2к + - у)+\ У + *) + - *)) -
(с=0
где
\ О (4 < 0) н ; \ -^(1 - {5}) ({5} > 1/2)
а через {й} обозначена дробная часть в
Пусть /л = 1 + /3(4) - непрерывное доопределение а'(4) на [0, +оо), а эе(4) - непрерывное доопределение функции —О^ (1/2 + 4) на [0, +оо) На основании леммы 2 4 1 доказывается
Лемма 2 4 2 Пусть /3,(4) = /3(4), < 6 6 N Тогда решение
задачи (22) является решением задачи (21), если, и только если, для
любого j G N выполнено
P3{t) = - «(í-J + l) (Х-З/^Г1 (24)
Другими словами, (3(t) — — as({í}) (1 — 2/ц)® , где [i] - целая часть
M
í, а {t} - дробная часть t При этом если /и = 2, тс равенство (24) при j = 1 следует понимать как Pi(t) ~ — se(í)
Следствие 3 Возвращаясь к прежним обозначениям (а', ), соотношение (24) можно записать следующим образом
a'(t) = -- fiT(l/2 + Í-M) (1-2/m)|í! = q'(í-M) (1-2/m)W,
И
то есть
a'(í)=tt'({<})(l-2/ri|11 (25)
Формула (25) дает возможность представить функцию a'(í) на промежутке вида [? — l,j), j е N\{1} через свои значения на промежутке [0,1) При этом для любого t 6 [0,1) последовательность |q'(í + j — 1)| представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 — 2¡y) Таким образом, установлена
Теорема 2 4 1 Решение задачи (22) является решением задачи (21), если и только если
ТП --1
¿(t) =--ÍÍ! (1/2 + í), t е [0,1), (26)
m + Л
Подытоживает результаты первых четырех пунктов второй главы
т.
Теорема 2.4 2. Решение задачи (18) имеет вид u{x,t) = ~%2u,(x,t),
_ i=i
где и, при г = 2,т определяется формулой (20), a U\(x,t) = W(\/2 —
\\х — a|],í), где W определяется равенством (23), в котором, в свою
очередь, а определяется по формулам (26) и (27)
В пункте 2 5 из теоремы 2 4 2 выводятся два следствия
Следствие 4 Если Г2х ф 0, то при А = тп supp а С [0,1], а при X Ф m supp q неограничен сверху
Следствие 5 Пусть V(y, t) есть решение задачи (21), и пусть fii ф О Тогда при А — m supp V Ç [0 1/2] х [0,1], а при А ф m supp V не ограничен
В заключение, автор желает выразить благодарности своему научному руководителю профессору В Д Репникову за поддержку и доценту (Воронежского государственного университета) В Л Прядиеву - за постановку задачи и полезные советы в ходе исследования, а также за внимание к этой работе, поспособствовавшее улучшению изложения результатов
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 04-01-00049, 07-01-00397) и при поддержке гранта Президента РФ (НШ-1643 2003 1)
Результаты диссертации опубликованы в работах
[1] Глотов H В Решение смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде при условии, описывающем трение в узле / H В Глотов, В JI Прядиев, Воронеж гос ун-т - Воронеж, 2006 - 13 с - деп в ВИНИТИ 23 05 06, № 689-В2006
[2] Глотов H В Описание решений волнового уравнения на конечном и ограниченном геометрическом графе при условии трансмиссии типа "жидкого" трения / H В Глотов, В JI Прядиев // Вестник Воронеж гос ун-та Сер Физика Математика - 2006 - №2 - С 185-193
[3] Глотов H В О смешенной задаче дпя волнового уравнения на графе-звезде при условии трения в узле//H В Глотов//Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам тез докл - Суздаль, 2004 - С 56-57
[4] Глотов H В Разностное уравнение, решающее задачу о малых колебаниях струнной сетки с условием "жидкого" трения в узлах // H В Глотов // "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVII" матер конф - Воронеж, 2006 - С 37-38
[5] Глотов H В Один подход к решению волнового уравнения на про-
странственной сети типа цепочки // Н В Глотов // ВВМШ "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVI" матер конф - Воронеж, 2005 - С 46-47
[6] Глотов Н В Решение смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде с особенностью в узле//Н В Глотов, В П Прядиев// ВВМШ "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XV" матер конф - Воронеж, 2004 - С 57-58
Работа ¡2] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК РФ
Подписано в печать 25 04 2007 Формат 60x84/16 Уел печл 1,0 Тираж 100 Заказ 249 Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 394006, г Воронеж, Университетская площадь, 1, ком 43, тет 208-853 Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПД ВГУ
Введение
1 Описание решений волнового уравнения на конечном и ограниченном геометрическом графе при условиях трансмиссии типа "жидкого" трения
1.1. Основной объект исследования.
1.2 Разностное уравнение, сводящее задачу (1.1.1)—(1.1.3) к набору задач о распространении граничных режимов
1,3. Существование решения.
1,4 Случай единичной длины рёбер геометрического графа
1.5. О стабилизации решений задачи (1.1.1)-(1.1.3).
2 Решение смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде при условии, описывающем трение в узле.
2.1. Постановка задачи.
2.2 Единственность решения.
2.3. Сведение задачи (2.1.1) к задачам на отрезке.
2.4 Решение задачи (2.3.4).
2.5. Вырождение решения задачи (2.3.4) при t > 1.
Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа
Uxx(xyt) = uu(x,t) (:х е R{Г), t > 0). (1) с условиями трансмиссии, моделирующими жидкое трение в узлах геометрического графа:
Г и£(х, t) = k{x)ut(x, t) (х G J(T), t > 0), (2) h£D{x) где Г - геометрический граф, J(Y) - вершины Г, R{Г) = Г \ J(Г) -множество, компоненты связности которого есть рёбра Г (геометрический граф и дифференцирование по х G Г понимается в соответствии с [20]). Система соотношений (1), (2) формально может быть записана в едином виде: uxx{x,t) = щ(х,г) + Щ)5{х - £)ut{x,t) (жеГ, t > 0), ej(r) где 5(х—£) - дельта-функция с носителем в точке £ е J{Г). Таким образом, система (1), (2) может рассматриваться как гиперболическое уравнения на геометрическом графе с особенностями (типа дельта-функций) в коэффициенте при младшей производной щ.
Основная цель - получение конечного описания решения указанного уравнения с заданными условиями трансмиссии в узлах геометрического графа через и(х, 0) и ut(x, 0).
Несколько слов об истории исследований дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.
Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [20, 69, 71]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [20, 71, 39, 66]), деформаций упругих сеток (см., например, [20, 71]) и струнно-стержневых систем [2, 45], диффузии в сетях [20, 71, 28], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [73, 68, 61], бифуркаций вихревых течений в жидкости [63], гемодинамики (см., например, [40]), колебаний сложных молекул (см., например, [41,11]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [19]); приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [29]).
Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, адекватных закону Кирхгофа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существование полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [20] и цитированную там литературу. Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как S— и д'~взаимодействие в узлах сети [20, 51, 62, 1].
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [43, 42, 44, 5, 35, 20].
Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [28, 70].
На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрическом графе1 остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе, то, помимо неточнее, на декартовом произведении геометрического графа и R1. следования структуры и асимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [46, 64, 65, 3, 33, 32, 53, 67]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность - см. [53, 31, 33, 34, 72, 47], 2) обосновать корректность начальной задачи [30], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [55]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [48, 49, 50, 54]. Предприняты и первые попытки исследования задач управления [52, 18, 4] (последнее в духе работ [23]-[27], [59, 60]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [22, 21]) на волновые уравнения на геометрических графах. Отметим здесь также работы [6]-[10], в которых метода Римана переносится на гиперболические уравнения на геометрических графах. В случае волнового уравнения на геометрическом графе при условиях трансмиссии, описывающих S— и 5'—взаимодействие в узлах сети, для некоторых классов геометрических графов, краевых условий и условий трансмиссии получены формулы, содержащие конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение (см. [36, 37, 38]).
В свете вышеизложенного изучение возможности получения конечного описания решения волнового уравнения на геометрическом графе с особенностями в коэффициенте при щ, выражаемыми условиями трансмиссии типа жидкого трения (2), и анализ свойств этого решения представляется и актуальным, и естественным продолжением уже проведённых исследований для волнового уравнения на геометрическом графе. Настоящую работу можно рассматривать как один из шагов в этом направлении. Указанные условия трансмиссии имеют параболический тип, и, значит, в целом уравнения, изучаемое в диссертации, можно характеризовать как гиперболико-параболическое. Хорошо известно (смотри, например, работы Репникова В.Д. [56]-[58]), что решения параболического уравнения имеют стабилизацию при t —> +оо. Поэтому представляет интерес и вопрос о возможной стабилизации решений рассматриваемого в диссертации уравнения.
Перейдём к краткому описанию основных результатов диссертации.
Первая глава посвящена исследованию волнового уравнения на геометрическом графе с условиями трансмисии, моделирующими жидкое трение в узлах графа. В этой главе также вводятся понятия, используемые в ходе исследования. Приведено подробное описание объектов исследования.
В пункте 1.1 определяется конечный и связный геометрический граф Г из R", как связное объединение конечной совокупности прямолинейных отрезков из Rn.
Для каждого я £ Г определим множество D(x) := {h 6 En \\h\\ = 1 и (x + eh) € Г для достаточно малых £ > 0}.
Выделим особо в рассмотрение (и зафиксируем) конечное подмножество J(T) геометрического графа Г, которое обязательно содержит в себе (возможно, строго содержит) объединение двух множеств: {х G \D{x)\ ф 2} и {х € Г \D(x)\ = 2A(he D{x) (-h) £ D{x))}. Точки из ^(Г) будем называть вершинами Г. Обозначим: R(T) = Г \ J{Г). Компоненты связности множества R(Г) будем называть рёбрами геометрического графа Г. Валентностью вершины будем называть количество примыкающих к ней рёбер. v(x 4" £hi — v(x)
Для функции v : Г R определим v^(x) = -для х G Г и h Е D(x)). Если h € D(x), то для достаточно малых е > 0 выполнено и h 6 + eh)] поэтому можно определять = i)"^"(сс sft) if^ lim^ —----—Пусть \D(x)\ = 2 (т. е. D(x) двухэлементно) и
У^ ^(ж) = 0; если при этом производные v^(x) совпадают для обоих h€D(x) h G D(x), то их общее значение будем обозначать через v"(x), называя его второй производной функции v в точке х. Если и : Г хТ —> R (Т -связное подмножество R) и при некотором t € Т функция и(- ,t) имеет вторую производную в точке ж, то эту производную будем обозначать через uxx(x,t).
В этом же пункте вводится основной объект исследования - волновое уравнение (1) на декартовом произведении рёбер геометрического графа и . При этом предполагается, что искомая функция и(х, t) определена и непрерывна на Г х [0; +оо) по совокупности переменных и удовлетворяет условиям: первое, условие (2), где к(х) - заданные неотрицательные числа, второе, для любого интервала (а; 6), являющегося ребром Г, и для любого to > Q функция v(y, t) = и(а + y\\b — а||-1(6 — а), t) обладает на (0; \\Ь - а||) х (0; to) равномерно непрерывными производными vyy и
Система (1), (2) при к(х) > 0 может рассматриваться, например, как модель малых колебаний растянутой сетки из струн с условиями так называемого "жидкого" трения в узлах. Для системы (1), (2) будем рассматривать начальные условия и(х,0) = <р{х), щ(х, 0) = 0 (яеГ). (3)
Из (3) следует, что (р непрерывна на Г. Устремив в (2) £ к нулю, получим условия трансмиссии для ip <рЦх) = 0 (х € J(T)). (4) heD(x)
Кроме того, предполагаем всегда, что ip удовлетворяет ещё условиям, гарантирующим должную регулярность и(х, t) : первое, на 7?(Г) определена и непрерывна ip", второе,
V(® € ЛПМЛ € ОД) №■(*) = Дт + eh)], (5) причём последний предел существует и конечен, третье,
V(s G J(T)Mh, V € ОД) = <р%(х)], (6) четвёртое, х е J(T)) Л (к(х) ф 0)) У(Л 6 адкм = 0]. (7)
В пункте 1.2 вводится определение смежных вершин: две различные вершины а и & из J{Г) назовём смежными, если интервал (а; Ь) является ребром Г. Если а и b смежны, то будем писать: а Ь. Далее в этом пункте задача (1)-(3) сводится к набору задач о распространении граничных режимов с помощью разностного уравнения. Для этого доказана
Лемма 1.2.1 Пусть существует набор {/ia(£)}aej(r) функций из С2[0; +оо) такой, что для любой пары смежных вершин а и b из J{Г) задача
Vyy{y,t)=vtt{y,t) (0 <у <\\b — a||, £ > 0) v(0,t) = pia{t), v{\\b~alt)=nb(t) (t> 0) v(y, 0) = tp (a + - , vt(y, 0) = 0 (0 < у < \\b - a\\)
8) имеет классическое peuieme v(y, a, b), причём для любой a G J{Г)
0, t\ a, b) = k(a)(fj,a)'(t) (t > 0). (9) b|b«-»a
Тогда функция u(x, t), определяемая при x G [a; b], где a «-> b, равенствами u(x,t) — v(\\x—a\\,t',a,b), в которыхaub пробегают все возможные пары смежных вершин, является решением задачи (1)-(3). Верно и обратное: еслии(х,{) является решением задачи (1)-(3), то существует набор функций {fia(t)}aej^), обладающий указанным свойством, причём для любых смежных вершин aub решение задачи (8) связано с u(x,t) равенством v(y,t]a,b) = u(a + y\\b — a||-1(& — a),t).
Пусть a b. Обозначим через <ра,ъ{у) нечётную и 2||&—а||-периодичес-кую функцию, определённую на R \ (||& — a||Z) (Z - множество всех целых чисел) и совпадающую с <р(а + у||& — a||-1(b — а)) на (0; ||& - а||). Производная (<ра,ьУ доопределяема по непрерывности в точках ||6 — a||Z; доопределённую так функцию (<ра,ъ)' обозначим через
Для выделения признака, по которому набор {/ia}aej(r) функций из С2[0; +оо) удовлетворяет условию леммы 1.2.1, была доказана
Лемма 1.2.2. Набор {//а}ае^(г) функций из С2[0;+оо) удовлетворяет условию леммы 1.2.1 тогда и только тогда, когда этот набор удовлетворяет системе уравнений mi(t,\\b-a\\)
2- Е W'(*-(2j> + l)||6-a||)р=о m2(t,\\b-a\\) }
-2 ■ £ (iia)'(t - 2p\\b - all) + ipa<b(t) I (t > 0, a € <7(Г)) P=l J
10) и начальным условиям
Да(0) = <р(а), aej(r); (И) здесь mi(t, Г) есть целая часть числа (t — l)/{2l), a m<i(t,l) есть целая часть t/(2l).
Решение задачи (8) представимо в виде v(y, t\ а, Ь) = fa,b(y +1) + fa,b{y ~ (12) где fa,b = 7<Pa,b + F\\b-a\\Ha + G\\b-a\\Vb, $a,b ~ фуНКЦИЯ, получаемая ИЗ <pafi доопределением в точках ||6 — a||Z средним арифметическим своих предельных значений слева и справа, mi(y,l)
5>(у-(2р+1)0, у>о/\у£1(т-1) (QiiiMy) = Р=° , (13) ад(у+)+(ад(у-))д yei(2N-1)
12
N - множество всех натуральных чисел), (Tifi)(y) = —(Gil^iy—l), у G М.
Равенство (9) приобретает вид: (W*) + Щ\Ь-а\\Ы){1) - 2(0||6-e|| W)(* ~ ||Ь - fl||)} =
Ь|Ь<-»а (|D(o)| + fc(a))W(t) (t > 0), а € J( Г), (14) что, с учётом (13), совпадает с (10).
Таким образом, леммы 1.2.1 и 1.2.2 сводят решение задачи (1)-(3) к решению задачи (10), (11).
В пункте 1.3 доказывается существование и единственность решения задачи (10), (И). Этот факт устанавливает
Теорема 1.3.1. Решение задачи (10), (11) существует, единственно и дважды непрерывно дифференцируемо на [0;+оо).
Из этой теоремы следует, что решение задачи (1)-(3) существует и единственно.
В пункте 1.4 рассматривается случай единичной длины рёбер геометрического графа. Полагаем, что длины всех рёбер геометрического графа Г одинаковы и равны 1. Перенумеруем все вершины числами от 1 до т: J(Y) = {ci, с2,., Cm}. Обозначим G = Gi
Пусть А = (ау)у=1 - матрица смежности вершин геометрического графа Г (то есть а^- = 1, если Cj q, и aZJ- = 0, если Cj а), V -матрица валентностей вершин геометрического графа Г (V = diag(v1,v2,.,vm), v{ = \D(ci)\, i = ljn),
К = diag{k(c\), ^(сг),., k(Cm)), g(t) - вектор-функция, г-ая компонента которой равна £ = (WW» WW» • • • > (/O'Wf
Тогда система уравнений Е ^МО (i> 0)^ = 1^- (15) jlCjWCi может быть записана в виде (ниже I - тождественный оператор): + 2MQ)V - 2лд + яу)М = g(t) (t > 0), (16) где (Mf)(t) = f(t — 1), а оператор на вектор-функциях определяется так же, как и на скалярных, то есть формулой (13). В свою очередь, (16) можно записать в виде:
Q{2MQV - 2AQ)n' + {V + К)ц' = Qg, (17) где Q - оператор сужения функции на [0; +оо).
Найдено представление для оператора Qобратного к Q. Для этого доказана
Лемма 1.4.2. Оператор Q~l, обратный к Q, представим в виде: Q~l = Q(P - М), где (Pf)(t) = f(t + 1).
Обозначив и = Qfi', можем записать уравнение
2M-2V-1A) + (E + V-lK)(P-M))v]{t) = (V~1g)(t) (t> 0) (18) в виде: t > 0). (19)
Заметим, что матрица {E+V~lK) - диагональная, с положительными элементами на диагонали, поэтому она обратима.
Далее особо рассматривается случай К = V. В этом случае (19) примет вид: + 1) = (V~lA)v(t) + \(Vlg)(t) (t > 0). (20)
Доказана
Лемма 1.4.3. Пусть В - (т х т)—матрица, a q(t) - т—мерная функция, заданная на [0; +оо). Тогда если v{t) - решение уравнения v(t + l) = Bv(t) + q(t)t (21) то для любого t G [0; 1) и любого п G N выполнено:
Т1—1 v{t + п) = Bnv{t) + Bpq(t + п - 1 - р). (22) р=о
Благодаря результатам, полученным в леммах 1.4.2 и 1.4.3, доказана
Теорема 1.4.1. Пустъ n(t) есть решение (16) и К = V. Тогда для любого t G [0; 1) и любого n Е N выполнено:
At + п) = \iy-lAf-l\V-lg{l -t) + V-lAV-lg{t)}. (23)
Кроме того, для t G [0; 1) выполнено //(£) = \V~lg(t).
Далее рассматривается случай произвольного соотношения между V и К. Обозначим а = (К + V~1K)-\2V-1A), 7 = -(К + V~lK)~l(K -У-гК), g(t) = [{К + V~lK)-lV-lg]{t), или, что то же самое, а = 2(К+ V)~lA, 7 = (K-V){K + V)~\ g(t) = [(К + V)-lg]{t). Доказана
Лемма 1.4.4. Пустъ матрица 5 есть решение уравнения 5(а + 5) = 7, причём матрицы а и 8 перестановочны. Тогда решение уравнения (19), обнуляющееся во всех точках промежутка [—1;1), даётся формулой:
П-1 п-р-1 v(t + n) = J2 + + (te[0;1), n e N). p=o i=0
Лемма 1.4.4 позволяет установить вид решения уравнения (16). Доказана
Теорема 1.4.2. Пусть выполнены условия леммы 1-4-4- Тогда решение уравнения (16) определяется равенством: п-1 п l/(t+n) = (24) р=0 р=о
Автором применялся ещё один подход к решению уравнения (19), которое с учётом введённых обозначений а, 7, g можно записать так: u(t + 1) = au(t) + 7u(t - 1) + Eg(t) (t > 0). (25)
В результате реализации подхода была установлена
Теорема 1.4.3. Пусть матрицы а и 7 перестановочны. Тогда для любого фиксированного t € [0; 1) и любого т 6 N решение уравнения (16) определяется равенством: fi!{t + т) = amg(t) + am-Xg(t + 1), где ат определяется формулой /к-1 \
EW>fflM (2б) к=1 \j=0 /
Замечание. Для того, чтобы определить, в каких случаях матрицы о; и 7 перестановочны, был рассмотрен ряд примеров для конкретных геометрических графов. Это позволило сделать предположение о том, что матрицы а и 7 перестановочны, если ki = wvi, где г пробегает все возможные номера вершин геометрического графа. То есть К = Q.V, где Q = luE, Е - единичная матрица. Действительно, в этом случае а = (1 + u)~l(2V~1A), 7 = (1 + — w)E, а потому матрицы а и 7 действительно перестановочны.
Результаты пунктов 1.2-1.4 резюмирует
Теорема 1.4.4. Решение u(x,t) задачи (1)-(3) существует и единственно. При этом если длины рёбер Г равны 1, то для любых двух смежных вершин a ub u(x,t) = v(\\x — a\\,t-,a,b), где v(y,t',a,b) - классические решения задач (8), в которых функции fia{t), а Е J(Г), в случае К = V определяются теоремой 1.4-1, 6 случае выполнения условий леммы I.4.4 ~ тпеоремой 1.4-2, а в случае перестановочности а и 7 -теоремой 1.4-3.
В пункте 1.5 приводятся примеры, иллюстрирующие применение теоремы 1.4.1 из пункта 1.4. Эти примеры показывают, что в случае К = V возможна стабилизация решения задачи (1)-(3), причём эта стабилизация может носить различный характер: (а) начиная с некоторого значения t, решение вырождается в const; (б) начиная с некоторого значения £, решение становится периодическим, причём отличным от const; (в) решение стремится к const при t +00, будучи отличным от const в любой окрестности точки t = +00. Здесь уместно отметить, что для решений параболических уравнений стабилизация может иметь место только в пределе при t—> 00. Это показано в работах Репникова В.Д. [56]-[58].
Глава 2 посвящена решению смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде при условии, описывающем трение в узле.
Будем называть геометрический граф Г графом-звездой, если Г = ш
U (a, bi) UM, а, bi € Г\ bi - попарно различны. Ниже мы всегда будем г=1 полагать, что ||6г- — а|| = 1/2. Для такого графа рассматривается смешанная задача ихх{х, t) = utt{x, t) (x £ Г \ {a}, t > 0) m
M = M(M) (t> 0) i=1
27) u(bi,t) = 0 (г = 1,ш, £>0) u(x, 0) = ip(x), ut{x, 0) = 0 (x € Г) 0 ч +f def u(a + shi,t) -u(a,t) где hi = 2 • (0; — a), a uT(a, t) = lim —^----—-. Уравнение в s-»+0 s
27) будем понимать так же, как и в работе [12], а именно для х € (a, bi) ди(х, t) д2и(х, t) полагаем их(х, t) = ——— и ихх(х, t) = , , где производные по ohi (ohiY направлениям hi уже неодносторонние. Под решением задачи (27) будем понимать функцию и(х, £), определенную и непрерывную на Г х [0, +оо) и удовлетворяющую условию: для любого i = l,m и любого t > 0 производные ихх, utt и равномерно непрерывны на (а, 6г) х (0, Т). Относительно функции ip будем предполагать, что она определена на
Г, и что <р"(х) равномерно непрерывна на (a, bi) для любого г = 1,ш, причем 1) для любого i = 1 ,m выполнено (lim <р"{х) = 0), 2) x—>bi диэ(х) lim (р"(х) = 0; здесь <р"(х) для х £ (a, bi) обозначает 2. Следу
Otli) х-*а ет отметить, что последние два условия необходимы и достаточны для существования решения задачи (27) в указанном выше смысле.
В этой главе описывается решение задачи (27) через ip{x) и Л, и на основе этого описания даётся анализ стабилизационных свойств решения.
В пункте 2.2 доказывается единственность решения задачи (27) с использованием функционала полной энергии.
В пункте 2.3 решение задачи (27) сводится к решению набора задач на отрезках. Для реализации этого подхода потребовалось представить функцию (р(х) в задаче (27) в виде слагаемых, обладающих специального вида симметрией относительно точки а. Для этого введена в рассмотрение функция Ф, координаты которой определяются по правилу:
Фi{y) = v{bi~yhi), у е (0,1/2], г = 1,т.
Функцию Ф можно представить в виде суммы: Ну) ^ Ну) Ыу) т(у)
1 Чу) N Чу) Чу)
Чу)
1 Чу) ^ -Чу) о о т{у) О о
-4{у) т где Чу) = — и С1((у) = Чу) - $»(у) - для i = Но т г=1 тогда т р(х) =
28)
1=1 где Ш((х) - функции, определенные следующим образом: ш\{х) = Hi ^1/2 — \\х — a\\j для х G Г, а для i = 2, т uii(x) =
Qi (1/2 — ||ж — а||), если х Е [а; Ь{) -fij (1/2 - ||z - а||), если х € [а; bi) ■ О, для остальных хбГ
В силу (28) решение и(х, £) задачи (27) представимо в виде т i=1 где щ - решение задачи (27), но при (р = о;,-. Лемма 2.3.1. Пусть v(y,t) - решение задачи Vyy(y,t) = vtt{y,t) (у € (0,1/2), £>0) v(0,t) = v(l/2,«) = 0 (£>0) v(y,0) = fii(y) (ye[0,1/2]) v*(y,0) = 0 (ye [0,1/2])
29) гдег = 2,m. Тогда
Ui(x,t) ~ г; (1/2 - - а||,£), при х е (a-,bi) -v(1/2 — Цж — а||,£), npuxe(a;bi) О, при остальных х € Г
30)
Поскольку представление решения задачи (29) через функцию Qi хорошо известно (например, в форме Д'Аламбера), то наша задача (о представлении решения задачи (27)) сводится к отысканию представления решения u\(x,t).
Лемма 2.3.2. Пусть w(y,t) - решение задачи
Wyy(y, t) = wtt(y, t) {у e (0,1/2), t > 0) w(0,t) = 0 (t > 0) wy(l/2,t) = ~.wt(l/2,t) (£> 0) lib w(y,0) = n1(y) (yG [0,1/2]) wt(y,o) = о (ye [0,1/2])
Тогда wi(x,£) = ги (1/2 — Цж - a||,£).
31)
Таким образом, вопрос о получении представления решения задачи
27) (через ср, А, га) сводится к получению представления решения задачи
31) через fii и — . т
В пункте 2.4 решается задача (31). Рассматривается следующая вспомогательная задача: где a(t) некоторая дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям а'(0) = 0 и а"(0) = 0.
Основная цель пункта 2.4 - показать, что существует функция а такая, что решение задачи (32) совпадает с решением задачи (31).
Разделяя неоднородности в задаче (32) для случаев a(t) = 0 и fii(y) = 0 и решая ее формально в двух случаях, следуя, например, [6], придем к следующему утверждению.
Лемма 2.4.1. Решение задачи (32) при t±y ф к + 1/2, Лг = 0,1, 2,. может быть представлено в виде
Wyy(y,t) = Wtt(y,t) (у е (0,1/2), t > 0)
W(0,i) = 0 (i>0) < W (1/2, t) = a(t) (t> 0) W(y,0) = Ql(y) (ye [0,1/2]) Wt(y,0) = 0 (ye [0,1/2])
32)
33)
Y, aft ~ (2k + l)i - y)+i • (fix(y + t) + tli{y-1 где a(t) (t > 0) ~ J ЗД*}) ({5} < 1/2) a(t) = { , fii(s) = <
0 (t < 0) [ -Qi(l - {s}) ({s} > 1/2) а через {s} обозначена дробная часть s.
Пусть ц = 1 + P{t) - непрерывное доопределение a'(t) на [0; +oo), a ae(t) - непрерывное доопределение функции — (1/2 +1) на [0; +oo).
Лемма 2.4.2. Пусть fy(t) = fi(t), t G [j - 1 ,j), j G N. Тогда решение задачи (32) является решением задачи (31) если и только если для любого j G N выполнено
A W = J + 1) ■ (1 ~ 2М'-1. (34)
Другими словами, (3(t) = — • ее({£}) • (1 — , где [£] - г^елая пасть t, а {£} - дробная часть t. При этом если ц = 2, то равенство (34) при j = 1 следует понимать как fii(t) = — • ae(£).
Следствие 2. Возвращаясь к прежним обозначениям (a', fii), соотношение (34) можно записать следующим образом: d(t) = ~ • Qi (1/2 +1 - И) • (1 - 2Ipf = a'(t - И) • (1 - 2hif , Г то есть
At) = A{t}) (1 - 2Ivf . (35)
Замечание. Формула (35) дает возможность представить функцию a'(t) на промежутке вида \j — 1, j), j G N\{1} через свои значения на промежутке [0,1). При этом для любого t G [0,1) последовательность + j — 1)|, представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 — 2/д).
Вышеприведенными рассуждениями установлена Теорема 2.4.1. Решение задачи (32) является решением задачи (31), если и только если
171 ■— a'(t) = -^-j- • Oj (1/2 +1), t е [0,1), (36) и
Замечание. В этой теореме представление а' через при t G [0; 1) вполне согласуется с условиями а'(0) = 0 и а"(0) = 0, т. к. в силу построения функции Qi выполнены равенства (1/2) = 0 и f^'(1/2) = 0. Подытоживает результаты первых четырёх пунктов второй главы т.
Теорема 2.4.2. Решение задачи (27) имеет вид: u(x,t) = i=1 где щ при г = 2,т определяется формулой (30), a u\(x,t) = W( 1/2 — ж — a\\,t), где W определяется равенством (33), в котором, в свою очередь, а определяется по формулам (36) и (37).
В пункте 2.5 рассказывается о вырождении решения задачи (31) при t> 1.
Следствие 3. Если Qi ф 0, то при X = т supp а С [0,1], а при \фт supp а неограничен сверху.
Следствие 4. Пусть V(y, t) есть решение задачи (31), и пусть ф 0. Тогда при Л = т supp V С [0,1/2] х [0,1], а при Л ф т supp V не ограничен.
Основные результаты диссертации являются новыми и опубликованными в [12]-[17]. В совместных работах [12], [13], [17] Прядиеву B.JL принадлежит постановка задачи, а автору диссертации точные формулировки и доказательства утверждений. Работа [13] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК РФ.
Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Потрягинские чтения - XIV"(Воронеж, ВГУ, 2003); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, ВГУ, 2003); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, ВГУ, 2004); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVI"(Воронеж, ВГУ, 2005); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения-XVII"(Воронеж, ВГУ, 2006), на семинаре по качественной теории краевых задач под руководством профессора Ю.В. Покорного.
Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности десять пунктов, и списка литературы. Объём диссертации 93 стр. Библиография содержит 74 наименования. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и пункта.
1. Абдулмаджид М. Колеблемость ветвящихся решений уравнений второго порядка - спектральная теория : дис. . канд. физ.-мат. наук / М. Абдулмаджид. - Воронеж, 1992. - 101 с.
2. Боровских А.В. О распространении волн по сети / А.В. Боровских, А.В. Копытин // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. - С. 21-25.
3. Бурлуцкая М.Ш. Граничное управление системой из трёх струн с одним закреплённым концом / М.Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 45-46.
4. Гаврилов А.А. Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве / А.А. Гаврилов, О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, N 2. - С. 226232.
5. Гаршин С.В. Метод Римана для уравнения гиперболического типа на декартовом произведении графа-звезды и R1 / С.В. Гаршин // Труды молодых учёных Воронежского государственного университета. -2004. № 2. - С. 3-9.
6. Гаршин С.В. Разрешимость аналога задачи Гурса для уравнения гиперболического типа на простейшем геометрическом графе / С.В. Гаршин; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2005. - 13 с. - ден. В ВИНИТИ 02.06.05, № 798-В2005.
7. Гаршин С.В. Нелокальное условие разрешимости аналога задачи Гурса для гиперболического уравнения на графе-звезде / С.В. Гаршин // Международная конфер. по диф. уравнениям и динамическим системам : тез. докл. Суздаль, 2004. - С. 55-56.
8. Герасименко Н.И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н.И. Герасименко, Б.С. Павлов // Теоретическая математ. физика. 1988. - Т. 74, № 3. - С. 345-359.
9. Глотов Н. В. Решение смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде при условии, описывающем трение в узле / Н. В. Глотов, В. JI. Прядиев; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2006. - 13 с. -деп. в ВИНИТИ 23.05.06, № 689-В2006.
10. Глотов Н. В. О смешенной задаче для волнового уравнения на графе-звезде при условии трения в узле // Н. В. Глотов // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: тез. докл. Суздаль, 2004. - С. 56-57.
11. Глотов Н. В. Разностное уравнение, решающее задачу о малых колебаниях струнной сетки с условием "жидкого" трения в узлах // Н. В. Глотов // Современные методы теории краевых задач: "Понтря-гинские чтения XVII": матер, конф. - Воронеж, 2006. - С. 37-38.
12. Глотов Н. В. Один подход к решению волнового уравнения на пространственной сети типа цепочки // Н. В. Глотов // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XVI": матер. конф. - Воронеж, 2005. - С.46-47.
13. Глотов Н. В. Решение смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде с особенностью в узле // Н. В. Глотов, В. J1. Прядиев // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XV": матер, конф. - Воронеж, 2004. - С. 57-58.
14. Глотов Н.В. О колебаниях с трением на сети / Н.В. Глотов, B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения IV": матер, конф. - Воронеж, 2003. - С. 39-40.
15. Гудзовский А.В. К расчёту гидравлических сетей / А.В. Гудзовский // Докл. АН. 1988. - Т. 358, № б. - С. 765-767.
16. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др.]. М. : Физматлит, 2004. - 272 с.
17. Знаменская JI.H. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2004. - С. 97.
18. Знаменская J1.H. Управление упругими колебаниями / JI.H. Знамес-кая. М. : Физматлит, 2004. - 176 с.
19. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В.А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № И. - С. 1517-1534.
20. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце / В.А Ильин // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 12. - С. 1640-1659.
21. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А Ильин // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, № 11. - С. 1513-1528.
22. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В.А. Ильин // Докл. РАН. 2001. - Т. 376, № 3. - С. 295-299.
23. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса / В.А. Ильин, В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 5. -С. 692-704.
24. Каменский М.И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети / М.И. Каменский, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Докл. РАН. 1999. - Т. 368, № 2. - С. 157-159.
25. Комаров А.В. О спектре равномерной сетки из струн / А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Изв. вузов. 2000. - Т. 463, № 4. - С. 23-27.
26. Копытин А.В. Об ограниченности обобщённых решений волнового уравнения на сети / А.В. Копытин // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIII": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2002. - С. 80-81.
27. Копытин А.В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми рёбрами / А.В. Копытин, B.JI. ПрядиевВест. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Матаматика. 2001. - Я21.- С. 104-107.
28. Копытин А.В. Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях : дис. . канд. физ.-мат. наук : 010102 / А.В. Копытин. Воронеж, 2002. - 77 с.
29. Копытин А.В. Об одном представлении решения волнового уравнения на сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы : тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк., (дополнит, вып.). Воронеж, 2001. - С. 307.
30. Коиытин А.В. Решение волнового уравнения на пространственной сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2000. - С. 19-23.
31. Куляба В.В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах / В.В. Куляба, О.М. Пенкин // Докл. РАН. 2002. - Т. 386, № 4.- С. 453-456.
32. Найдюк Ф.О. Краевое условие третьего рода в задаче на графе / Ф.О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIVм: материалы Воронеж, весен. мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 96-97.
33. Найдюк Ф.О. О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами : дис. . канд. физ.-мат. наук / Ф.О. Найдюк. Воронеж, 2004. - 134 с.
34. Найдюк Ф.О. Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф.О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2004. - №1. - С. 115-122.
35. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / А.В. Боровских и др.] // Докл. РАН. -1995. Т. 345, N 6. - С. 730-732.
36. Осреднённая нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов /A.Я. Буничева и др. // Дифференциальные уравнения. 2001. -Т. 37, N 7. - С. 905-912.
37. Павлов B.C. Модель свободных электронов и задача рассеяния /B.C. Павлов, М.Д. Фадеев // Теоретическая математ. физика. 1983. - Т. 55, № 2. - С. 257-269.
38. Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 10. - С. 1433-1434.
39. Пенкин О.М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1997. - Т. 33, № 10. - С. 1404-1409.
40. Пенкин О.М. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 8. - С. 1107-1113.
41. Перловская Т.В. О краевой задаче нелокально взаимодействующих уравнений разного порядка / Т.В. Перловская // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 110.
42. Покорный Ю.В. Волновое уравнение на пространственной сети / Ю.В. Покорный, B.JI. Прядиев, А.В. Боровских // Докл. РАН. 2003. - Т. 388, № 1. - С. 16-18.
43. Прядиев B.JI. О непериодических колебаниях упругих сеток / B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XI": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2000. - С. 158.
44. Прядиев B.JI. Свойства фундаментального решения смешанной задачи для волнового уравнения на графе // Современные методы теории функций и смежные проблемы : тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 202-203.
45. Прядиев В. JI. Ядро интегрального оператора, обращающего одну начально-краевую задачу для волнового уравнения на пространственной сети // Тр. матем. ф-та, вып. 9 (нов. серия). Воронеж: ВорГУ, 2005. - С. 78-92.
46. Прядиев B.JI. Теоремы Штурма для разрывных уравнений на графе / B.JI. Прядиев, М. Абдульмаджид; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. - 20 с. - Деп. В ВИНИТИ 15.04.92, № 1288-В92.
47. Прядиев B.JI. Об управлении колебаниями сети / B.JI. Прядиев, Н.В. Глотов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 203204.
48. Прядиев B.JI. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток /B.JI. Прядиев, А.В. Копытин, А.В. Боровских // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения X": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 1999. - С. 198.
49. Прядиев В. JL, Коровина О. В. О представлении решений волнового уравнения на одномерной пространственной сети // Соврем, методы в теории краевых задач: Матер. Воронеж, весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения XVI". - Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 129-131.
50. Прядиев B.JI. Правило параллелограмма для волновых уравнений на сетях. Визуализация решений / B.JI. Прядиев, С.С. Шаталов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 206-207.
51. Репников В.Д. О связи двух типов предельных интегральных уравнений функций класса Tb(Rn) // ДАН СССР. 1983. - Т. 272, № 4.C. 798-801
52. Репников В.Д. О стабилизации решений параболических уравнений с дивергентной элиптической частью // Дифференциальные уравнения. 1995. - Т. 31, № 1. - С. 114-123
53. Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в плоскости Больаи-Лобачевского // Дифференциальные уравенения. 2002. - Т. 38, №2. - С. 262-270
54. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. 2002.- Т. 38, № 3. С. 393-403.
55. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. 2002.- Т. 38, № 4. С. 529-537.
56. Уравнения электрического поля дендрита нервной клетки / Ю.В. Покорный и др.] // Дифференциальные уравнения и их применения: тез. докл. Второй международ, науч.-практ. конф. СПб, 1998.- С. 147-148.
57. Функция Грина разрывной задачи Дирихле на графе / Ю.В Покорный и др.]; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. - 8 с. - Деп. В ВИНИТИ 03.06.92, № 1836-В92.
58. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research. 1994. - V. 80. - 174 p.
59. Ali-Mehmeti F. Splitting of the energy of dispersive waves in a star-shaped network / F. Ali-Mehmeti, V. Regnier // University of Valenciennes. Preprint LMACS 99.7. - Valenci., - 2003. - 18 p.
60. Cattaneo C., Fontana L. D'Alambert formula on finite one-dimensional networks // J. of Math. Anal, and Appl. 2003. - V. 284, N 2. - P. 403-424.
61. Dependence of intracellular potentials on ramification of dendrites / Yu.V. Pokorny etc.] // Mechanisms of Adaptiv Behavior: Int. Symp. Dedicated to Academician Ivan Pavlov's 150-anniversary: Abstr. -St.Petersburg, 1999. P. 140.
62. Kuchment P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment // Waves in Random Media. 2002. - V. 12, № 4. - P. 1-24.
63. Nicaise S. Approche spectrale des problemes de diffusion sur les reseaux / S. Nicaise // Lecture Notes in Math. 1987. - V. 1235. - P. 120-140.
64. Pokorny Yu.V. Differential equations on networks (geometric graph) / Yu.V. Pokorny, A.V. Borovskikh // J. Mathematical sciences. 2004. -V.ll, № 6. - P. 691-718.
65. Pryadiev V.L. On the laplacian spectrum on a graph with commensurable edges / V.L. Pryadiev, A.V. Kopytin // Spectral and Evolutional problems: Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol, 2001. - V. 11. - P. 167172.
66. The problem of intracellular and extracellular potentials of dendritic trees / Yu.V. Pokorny etc.] // Electrical Activity of The Brain: Mathematical Models к Analytical Methods: Proc. of The 1-st International Symposium. Pushchino, 1997. - P. 22-24.
67. Zheng Songmu Extinction properties of solution to hyperbolic equations / Songmu Zheng // J. Part. Differ. Equat. 1991. - V. 4, N 2. - P. 52-60.
