О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

НАЙДЮК ФИЛИПП ОЛЕГОВИЧ

О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2004

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Азизов Томас Яковлевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Задорожний Владимир Григорьевич

Ведущая организация — Белгородский государственный университет.

Защита состоится 16 ноября в 15 40 на математическом факультете в гл. корпусе на заседании диссертационного совета К212.038.05 в Воронежском государственном университете, 394693, Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государ-ственого университета

Автореферат разослан "15" октября 2004 г.

Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, профессор Розов Николай Христович

диссертационного совета

Гликлих Ю.Е.

2005-4 ^

12584 3

Актуальность темы. В диссертации изучается вопрос о возможности получения формулы продолжения начальных данных в представлении в форме Даламбера решения смешанной задачи для гиперболического типа уравнения на геометрическом графе с 6- и 6'- сингулярностями в коэффициентах -формулы, выражающей это продолжение через начальные функции посредством конечного числа арифметических операций, элементарных функций и квадратур, а значит, и формулы, эффективной с вычислительной точки зрения. Уравнениями гиперболического типа на геометрических графах 8- и 5'- сингулярностями в коэффициентах моделируются самые разные задачи естествознания, допускающие сосредоточенные влияния и разрывные среды Такие уравнения представляют интерес- и в вопросах приближения дифференциальных операторов на многообразиях дифференциальными операторами на геометрических графах.

Описание в конечном виде (через начальные данные, с помощью арифметических операций, элементарных функций и квадратур) продолжения начальных данных в представлении решения в форме, аналогичной форме Даламбера, уже осуществлено для волнового уравнения на геометрическом графе (т. е. для гиперболического типа уравнения с регулярными - более того, тождественно постоянными коэффициентами) с гладкими условиями трансмиссии и при краевых условиях 1-го и/или 2-го рода - это сделано усилиями F. Ali-Mehmeti (1994), Ю.В. Покорного, A.B. Боровских, В JI. Прядиева, A.B. Копытина (серия публикаций, 1999-2003г.). Однако уже для краевых условий 3-го рода (которые, кстати, могут быть истолкованы, как присутствие односторонней ¿-функции в потенциале) методы и подходы развитые перечисленными авторами, оказываются практически неэффективными - хотя бы потому, что указанного типа описание продолжения начальных данных просто отсутствовало даже для смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке с краевым условием на одном конце - 3-го рода, а на другом - 1-го

или 2-го рода. Тем большие трудности возн*

БИБЛИО

ШЬЛбШШдеадши постав-БИБЛИОТЕКА } СЛетерб^

о» «а

ленного вопроса при наличии 6- и 6'- образных сингулярностей в неграничных точках (например, во внутренних вершинах) геометрического графа.

Разработке новых подходов для исследования указанной проблемы и посвящена данная диссертация.

Цель работы. Состоит' 1) в выделении классов геометрических графов и классов смешанных задач для гиперболического типа уравнений на них, обладающих тем свойством, что продолжение начальных данных в представлении решения в форме Даламбера выражается через начальные данные с помощью конечного числа арифметических операций, элементарных функций и квадратур - с предъявлением конструкции этого выражения; 2) в создании вычислительного метода решения указанного в предыдущем пункте типа задач, в лучшую сторону отличающегося от известных методов по точности и ресу рсоёмкости.

Методика исследований. В диссертации используются методы математической физики, теории дифференциально-разностных уравнений, дифференциальных уравнений на геометрических графах.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить: 1) формулу продолжения начальных данных в представлении решения в форме Даламбера для смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке со следующими сочетаниями краевых условий: на одном из концов отрезка - условия 1-го или 2-го рода, а на другом конце - условие 3-го рода или условие присоединённой массы (производная по пространственной переменной пропорциональна второй производной по времени); 2) формулу суммы ряда (на Ж) из синусов с частотами, равными частотам собственных колебаний в смешанной задаче для волнового уразнения на отрезке с краевыми условиями 1-го и 3-го родов - через сумму ряда на этом отрезке; 3) создание нового метода численного решения смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями' на одном из концов отрезка - 1-го или 2-го родов, на другом - 3-го рода; 4) вы-

■ зг *■

деление классов смешанных задач для гиперболического типа уравнений на геометрических графах с 5- и <5'- сингулярностями в коэффициентах, решение которых сводится к решению смешанных задач для волнового уравнения на отрезке со следующим сочетанием родов краевых условий- 1-го и 1-го, 1-го и 2-го, 2-го и 2-го, 1-го и 3-го, 2-го и 3-го - с указанием явных формул такого сведения.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциально-разностных уравнений, вычислительной математике, теории дифференциальных уравнений на геометрических графах, в теории рядов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XXIII конференции молодых учёных механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова в г. Москве, в 2001 году; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIII" - "Современные методы в теории краевых задач" в г Воронеже в 2002 году; на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в г. Воронеже, в 2003 году; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIV" - "Современные методы в теории краевых задач" в г. Воронеже, в 2003 году; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV" - "Современные методы в теории краевых задач" в г Воронеже, в 2004 году, на семинаре по качественной теории краевых задач, Воронежского госуниверситета под руководством профессора Ю.В. Покорного; на семинаре "Современные проблемы математики" Воронежского госуниверситета под руководством доктора физ.-мат. наук И.Я. Новикова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. Из совместных работ [6]~[8] включены только результаты, принадлежащие автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

3 глав, объединяющих в общей сложности 14 пунктов, и списка цитируемой литературы из 84 наименований Общий объем диссертации — 134 стр.

Краткое содержание работы

Первая глава посвящена исследованию смешанной задачи для волнового уравнения с краевым условием 3-го рода на отрезке или уравнению

ихх(х, Ь) - д(х)и(х, <) = ии(х, г) (х € (0, £), « > 0), (1.1)

что тоже самое, при ц{х) — к6-(х — £). где <5_ — так называемая, левосторонняя дельта функция. Основная цель этой главы - получить аналог формулы Даламбера через продолжения начальных данных. Глава 1 начинается с изучения смешанной задачи:

г

ихх{х, г) = иц(х, г) (о < х < е, t > о) < и(о,г) = о, иху,1) + ки{гл) = о{ь>о), (1.1.1)

и{х, 0) = <р(х), щ{х, 0) = 0 (0 < х < I)

в которой £и к- фиксированные положительные числа, </? € С2[0; £\, <^(0) = 0, <^"(0) = 0, <р'{£) + к <р(£) — 0; решение ищется в классе вещественнозначных дважды непрерывно дифференцируемых на (0; £) х функций. Доказана Теорема 1.3.1. Решение задачи (1.1.1) и(х,1) представимо в форме и{х, = ^ ^ф(х + + ф(х — , в которой функция ф есть дважды непрерывно дифференцируемая нечётная функция, совпадающая с <р на [0, £], причём на любом полуинтервале вида [(2п — 1)£, (2п 4- 1)£) (п € М) она представима в виде конечной суммы: х

ф{х) = (-1)" <р\(х - 2п£) - (-1)"]Г Ж}{2кх) J «-1

х^(«-гпО <й-53(-1 У £ Я? (2кх) / е-1 е^-^у^ - 1з£) <Й, где ЗД = = г! Р+9УГ - ортогональные

многочлены Лагерра с параметрами р, q,

-<р{-х), -£ < х < О

{

vi С1) = .

<р(х), о<х<е

Рассуждения, проведённые при доказательстве теоремы 1.3.1, позволяют установить также следующую теорему.

Теорема 1.4.1. Пусть f(x) е С2^, ДО) = 0 и /"(0) = 0. Пусть к -положительное число такое, что f'(£) + kf(£) = 0, а {i>m}m=i ~ последовательность чисел, определяемая равенством

2 (fc2 + ^)

Ьт =

0

в котором {^го}^! - возрастающая последовательность всех положительно

них корней уравнения ю = —к ■ tg(AA^). Тогда ряд У\Ът 8т(штх) сходится

771=1

равномерно на любом отрезке вещественной прямой, причём его сумма з(х) есть дважды непрерывно дифференцируемая нечётная функция, совпадающая на [0, Р\ с /(х), а при х > £ определяемая равенством:

(®) = (-1)" fi{x - 2п£) - (-1)"]Г Щ2кх) J f"1 ek{t-x)x

i=1 (2п-1)г

n-1 j

/ tl~l f^t - 2j£) dt,

__i __i *

3=1 1=1 (2}-l)t где n = n{x) есть целая часть от (х + £)/(2£), а

[ f(x), 0<х<£ Я»(у) — определяются так же, как и в теореме 1.3.1. Далее в главе 1 рассматривается задача:

Vzx(x, t) = vtt(x, t) (0 < x < £, t > 0) vx(Q,t) = 0,vx(£,t)+kv{£,t) = 0{t>0), ' (1.5.1)

v(x, 0) = ф{х), vt(x, 0) = 0(0<x<£)

в которой £ и к - фиксированные положительные числа, гр £ С2[0;£], ■ф'(0) = 0, ф'(£) + кф(£) — 0; решение ищется в классе вещественнозначных дважды непрерывно дифференцируемых на (0; £) х функций. Доказана Теорема 1.6.1. Решение задачи (1.5.1) у(х, £) представимо в форме у(х, ¿) = ^ + Ь) + ф{х — Ь)^, в которой функция ф есть дважды непрерывно дифференцируемая чётная функция, совпадающая сф на [0, £], причём на любом полуинтервале вида [(2п— 1)£, (2п+1)£) (п € М) она представима в виде конечной суммы:

п

ф(х) = ф1(х-2п£)-^Я?(2кх) j р-1е^*-х'>х

*=1 ! О--Л\0

П-1 3 .

хф^-2п£) Л-К(2кх) / - 2з£) Л,

(2п-1)(

(2з+1)е

(1.6.7)

7=1 «=1

(27-1)*

где

^(-х), -£<х<0 ф(х), 0<х<£ №г(у) — определяются так же, как и в теореме 1.3.1.

Использование вспомогательных результатов, на которых базируются доказательства теорем 1.3.1 и 1.6.1 позволяет исследовать также задачи:

ихх{х, г) = иц{х, г) (о < х < £, г > о) «((),<) = о, их(£,Ь) +тиа{£,г) = 0 (г > 0) , (1.7.1)

и{х,0) = а(х), щ{х,0) = 0 (0 < х < I)

ихх{х,4) == ии{х,г) (о < х < г > о)

и.(0,«) = 0, их{£,1) +тиы(£^) = 0 (« > 0) • (1-7.2)

и{х, 0) = 0(х), щ(х, 0) = 0 (0 < х < ¿) Уравнение ихх(х, V) = иа(х, г) (0 < х < £) вместе с условием их{£,Ь) + +тиы(£,$ = 0 (г > 0) может быть записано в форме ^'XX 5 — = (1 + т8-(х - е))ии(х,г) (0 < х < е, г > 0). Решения задач (1.7.1) и (1.7.2) описываются следующими двумя теоремами.

Теорема 1.7.1. Пусть Кi - оператор, который всякой функции гр € С2[О, С] ставит в соответствие определённую на (—оо,+оо) чётную функцию гр, совпадающую на [О, (] с функцией г<'; и определяемую при х > £ равенством (1.6.7). Тогда решение задачи (1.7 1) представимо в виде и(х, t) = ^ + t)+ -у(х - t)j, где j(x) = f(Kx a') (5) ds.

Теорема 1.7.2. Пусть K2 - оператор, который всякой функции ip € С2[0,1} ставит в соответствие определённую на (—сю, +оо) нечётную функцию ф, совпадающую на [0, (] с функцией р и определяемую при х>1 равенством (1.3.13). Тогда решение задачи (1.7.2) представимо в виде и{х, i) = 5 (у(х + t)+ у(х - «)), где 7(х) = /3(0) t- f(K2 в') (s) ds.

Во второй главе на основе результатов первой главы (теоремы 1.3.1 и 1.6.1), строится принципиально новая вычислительная схема решения задач (1.1.1) и (1.5.1). Показывается, что новый способ численного решения позволяет, в отличие от классического сеточного метода, находить решения задач (1.1.1) и (1.5.1) с любой наперёд заданной точностью при сколь угодно больших t и при существенной экономии вычислительных ресурсов. Новый способ численного решения основан на представлении решения задачи (1.1.1) (и соответственно (1.5.1)) при <р{х) = G{x,s) (s € [0, £]), где G(x,s) - есть функция Грина задачи

' у"(х) = Дх) hV = 0, y'(£) + ky(e) = 0 '

где 1\у = 2/(0) (в случае задачи (1.1.1)) или 1\у = у '(0) (в случае задачи (1.5.1)). В этом случае g(x, t, s) = ^ ^¿(х 4-1. s) -t- д{х — t, s)j — решение такой задачи, где д(-, s) = K,(G(-, s)), а Кг определены в теоремах 1.7.1 и 1.7.2 (г = 2 в случае задачи (1.1.1), i = 1 в случае задачи (1.5.1))

В главе 3 вводится понятие волнового уравнения на геометрическом графе Г С R" с 6- и 6'- сингулярностями:

ихх(х, t) - q{x)u(x, t) = utt(x, t) (x 6 Г, t > 0), (3.3.4)

где

д(х) = ^ + С3-3-5)

геу(Г)\у уеУ

(кг > 0, ку > 0, 5 - дельта-функция Дирака, У - подмножество множества ¿7"(Г) внутренних вершин Г). Геометрический граф Г и дифференцирование по х е Г в уравнении (3.3.4) определяется так же как и в монографии Покорного Ю.В. и др. "Дифференциальные уравнения на геометрических графах".- М.: Физматлит, 2004 Уравнение (3.3.4) при х € Д(Г) понимается как ихх(:г, г) = иа{х,г), при х е ¿7"(Г)\У — как ^ ~ = 0

(где £(х) = {/г е К" | ||/г|| = 1 и (х + еЬ) € Г для достаточно малых е > О}, а и£(х, £) — правосторонняя «(•,<) в точке а; по направлению К), а при х € У — как выполнение для любого Н € -О(х) равенства + 0 ■ Л,, ¿) =

+ 0 • Л, £) — «(а; + 0 • т], ¿)

где и(х + 0 ■ т],1) - есть право-

~ Е 1

сторонний предел функции «(•, /] в точке а: по направлению г).

Для уравнения (3.3.4) рассматривается следующая смешанная задача:

и(х + 0-Н,г) = 0 (х б дГ, Н € И{х), Ь > 0), (3.3.8)

и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = 0 (аг € Г), (3.3.9)

где 5Г = Г\Г, а функция <р(х) удовлетворяет условиям:

- сужение <р"(х) на каждое из рёбер Г равномерно непрерывно;

- <р(х) — 0, — 0 для любого х € дТ\

- ^ <Рк(2) ~ = 0 для любого X € ¿Т(Г)\У,

НеО(г)

- <Ркн(2) = ¥>/ц/ц(2) Для любого г € ¿7"(Г)\У и любых Л, € £>(г);

- 4>н(у + 0 • К) — ^ ку (<р(у + 0 • к) — ср(у + 0 • ту) \ для любого у £ У.

Теорема 3.4.1. Пусть существует и{х,Ь) — решение задачи (3.3.4), (3.3.8)-(3.3.9). Тогда оно единственно.

В заключительной части третьей главы приведены примеры смешанных задач вида (3.3.4), (3.3.8)-(3.3.9) на некоторых классах геометрических гра-

фов, для которых показано существование решений и предъявлен способ построения их, путём сведения к решению смешанных задач для волнового уравнения на отрезке с одним из пяти сочетанием родов краевых условий: 1-го и 1-го, 1-го и 2-го, 2-го и 2-го, 1-го и 3-го, 2-го и 3-го. Тем самым, выделен класс задач вида (3.3.4), (3.3.8)-(3.3.9), решения которых описывается в терминах начальных данных с помощью конечного числа элементарных функций, квадратур и простых преобразований независимого аргумента (аддитивный сдвиг и умножение на —1). Другими словами, если ввести обозначение S(€; ; ¿2; <р(у)) для задачи

Щу{У, t) = un(y, tj (0 < у < е, t > 0)

uy(0,i)-Ai«(0,i) = 0 -uy(e,t) + kiu{e,t) = о

«(¡/,0) = ¥>(tO, щ(у, 0) = 0 (0 < х < £)

\

(для ki, к2 > 0, в том числе может быть к\ = +оо и/или = -Их), то речь идёт о построении решения для (3.3.4), (3.3.8)-(3.3.9) через сведение её к решению задач основных пяти видов: S(£\ +сю;+оо; <ß(y)), S(£\0;0; y?(j/)), S(£-, 0;+оо; ip(y)), S(£-, 0; к; <р(у)) и 5(£;+оо; к\ ц>{у)).

Выделено два класса геометрических графов для задачи (3.3.4), (3.3.8)-(3.3.9) (с согласованными коэффициентами кг и ку из (3.3.5)), на которых такое сведение возможно: 1) граф-звезда Г с га рёбрами одинаковой длины £ (тп > 2); 2) граф с циклами Г = Гх (JT2 с 2т рёбрами (т > 2) длиной £ и (тп + 2) вершинами, две из которых имеют степень равную тп, а остальные -степень два (Г\, - граф-звезда с m рёбрами длины £ (j = 1,2)).

Задачу (3.3.4), (3.3.8)-(3.3.9) на первом классе графов обозначим через Вт(£; У; fei; <р(х)), где к\ - коэффициент из (3.3.5), определённый для узла (поэтому случай к\ — +оо исключён), а къ - коэффициент из (3.3.5), определённый для всех остальных вершин графа-звезды; задачу (3.3.4), (3.3.8)-(3.3.9) на втором классе - обозначим через V2m(£; У; /с2, fc3; <р(г)), где к\ и hi есть коэффициенты из (3.3.5), определённые для вершин степени тп, а

fc3 есть коэффициент из (3.3.5), определённый для всех вершин степени два (случай ki = +00 и/или fc2 = +оо и/или кз = +оо не рассматриваются)

Доказано (утверждения 3.5.1 и 3.5.2), что решение u{x,t) задачи Bm(i; У; ki, fc2; ip{x)) существует и представимо в виде

т

и (х, t) = д(х, t) + Щ(х, t), i=2

где ■& и w% определяются условиями (ниже а ~ узел графа Г, Ьг - остальные

его вершины, кг — —г-¡г(6, - а)):

- а||

1) ß(a+yht, t) не зависит от г и, в случае У = 0, является решением задачи fei

—; кг, а(у)), а, в случае У = {а}, - репением задачи S(£; 0; fc2; а(у)), где ш

1 т

=—Tlvi'1 + УЪ);

т *—'

г—1

2) и/,(а + yhi,t) является, в случае У = 0, решением задачи S(£] +00; &2; а{у) — <р(а + у К)) и, в случае У = {о}, решением задачи S(t,mki-,k2\a(y)-ip(a+yhi));Wi(a+yhi,t) = -wt(a+yhi,t), Wi(a+yhj,t) = 0 при.?0{1,г}.

Для задачи V<im{£; У; ^ъ кз; <р{х)) рассмотрено два основных случая: а) а\ € У -4=> о2 € У (ai, а2 - вершины степени т) = к2 = А; > 0; б) = 0, = 0 и fc2 = к > 0, — для которых показано (утверждения 3.5.3 и 3.5.4), что решение и(х, t) существует.

Для задачи V2m(£; У; <р(х)) решение представимо в виде:

и(х, t) = i?(a:, t) -I- w(x, t),

где и ад определяются условиями (ниже а3 - вершины графа Г степени ш, Ьг - остальные его вершины (степени два), htJ — --— (а^ —Ьг), j — 1,2,

__II aj ~ "«11 *

г = 1, т):

1) сужение (i?|r )(х) (для j = 1,2), есть решение задачи Вт(£;УГ){а;};к;аеч(У);ч(х)), где a,{x) = + II«-МАи)+

аеч(У) = 0 при {ЪиЬ2,... ,Ът} СУ и аеч(У) - ^

при {Ьь 62, ■ • ■, ьт] 2 У;

2) сужение (ги|гр(х) (для 3 — 1,2). есть решение задачи Вт{£\ у ПЮ; к' геН(>0; <*ЛХ) ~ (аз(х) определена в 1)), где аен(У) = = 2к3 при {Ьъ Ь2,..., Ът) С У и аен(У) = +оо при {61,62, ■ • •, Ьт} % У;

Замечание. С учётом результатов полученных для задачи Вт(£\У; кц к2; (р(х)) задача У2т{£\ У; к2. <р(т)). также даёт пример сведения решения к решениям задач вида 5(£- кг\ к2; <р(у)) основных пяти видов, обозначенных на стр. 12, в случаях {Ьх, ?>2, .., Ьт} С У при 2&з т = А; и

кз

{Ьь Ь2,..., Ът} % У при — т = к.

Для задачи У2т(£; У; 0, к, 0; </з(.г)) решение представимо в виде-

т

и(х,£) = 0(х,£) +

(=2

где ч9 и гиг определяются условиями (ниже а] - вершины графа Г степени т,

1

Ъг - остальные его вершины (степени два), /гц = -¡г---АЬг — а3), ] — 1,2,

__— О*] II

г = 1 ,тп):

1) д(рг{у),Ь), ГДе Рг(у) ~ аг + yh.iT при 0 < у < £, рг(у) = ЬТ - {у - £)Н2г при £ < у < 2£ (г = 1,ш), не зависит от г и является решением задачи

- 771

5(2£;0; ?еч(У);@(у)), где 0(у) = -У>Му)), аеч(У) - 0 при а2 € У и

«=1

к

аеч(У) = — при а2 У; т

2) мг(р!(у),Ь) (рг(у) определено в 1)) является решением задачи <5(2^; +оо; аеН1(У);0(у) - <р((ц{у))) (/%) определена в 1)), где аен'(У) = = 771 к при 02 € У и аен'(У) = +со при а2 £ У, гу,(р,(у),4) = = -щ{р\{у)^), щ(рд(у),*) = О при 9 0 {1. г}

В заключение, автор хотел бы выразить глубокую признательность своему научному руководителю профессору Т Я Азизову и доценту (ВГУ) В.Л. Прядиеву — за постановку задач и полезные советы в ходе исследования. Автор выражает также благодарность профессору Ю.В Покорному за особое внимание к работе.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Найдюк Ф О Исследование формулы Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием Третьего рода / Ф.О. Найдюк; Воронеж, гос. ун-т - 2003 - 23 с. - Деп В ВИНИТИ 07.07.03, № 1288-В2003.

[2] Найдюк Ф О О методе Даламбера в случае упруго закреплённой струны / Ф.О. Найдюк // Сборник статей аспирантов и студентов математического ф-та. - Воронеж, 1999. - С. 41-46.

[3] Найдюк Ф О О решении волнового уравнения с краевым условием третьего рода / Ф.О Найдюк // Тез. докл материалов ВВМШ "Современные методы в теории краевых задач". - Воронеж, 2002. - С. 106.

[4] Найдюк Ф.О Описание продолжения начальных данных в представлении решения Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф О. Найдюк // Сб. тезисов, международной конф. "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", поев. 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского. - Москва, 2004. - С. 145.

[5] Найдюк Ф.О Решение волнового уравнения для нагруженной струны / Ф.О. Найдюк // Тез. докл "Международной конфер по диф. уравнениям и динамическим системам". - Суздаль, 2004 - С. 149-150.

[6] Найдюк Ф.О Краевое условие третьего рода в задаче на графе / Ф.О Найдюк, В.Л. Прядиев // Тез докл материалов ВВМШ "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XIV". - Воронеж, 2003. - С. 96-97.

[7] Найдюк Ф.О. Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф.О. Найдюк, В Л Прядиев // Вестн. Воронеж, ун-та. Сер. Физика, Математика. - 2004 - № 1 - С 115-122.

[8] Найдюк Ф О. О суммировании рядов из синусов некратных дуг / В.Л. Прядиев, Ф.О Найдюк /,/ Тез. докл материалов ВЗМШ "Современные методы теории функций и смежные проблемы" - Воронеж, 2003. - С. 205.

Заказ № 632 от 8 10 2004 г Тираж 100 экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

»19448

РНБ Русский фонд

2005-4 12584

г

ч Введение

1 Смешанная задача для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода.

1.1 Постановка задачи для волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого и третьего родов

1.2 Представление решения задачи (1.1.3)-(1.1.4) в виде тригонометрического ряда.

1.3 Решение задачи (1.1.3)-(1.1.4) методом шагов

1.4 Формула суммы тригонометрического ряда специального вида

1.5 Постановка задачи для волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями второго и третьего родов

1.6 Решение задачи (1.5.2)-(1.5.3) методом шагов.

1.7 Решение волнового уравнения для нагруженной струны

2 Новая вычислительная схема решения смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода и её сравнение с известными.

2.1 Применение разностной схемы для решения смешанной задачи с краевым условием третьего рода

2.2 Построение новой схемы для решения смешанной задачи с краевым условием третьего рода.

3 Волновое уравнение с сингулярными коэффициентами на связных и конечных геометрических графах. f 3.1 Понятие связного открытого геометрического графа

3.2 Функциональные пространства на связном открытом геометрическом графе.

3.3 Волновое уравнение на геометрическом графе с д- и 6'- сингу-лярностями в коэффициентах

3.4 Единственность решения смешанной задачи для волнового уравнения с 5- и 8'- сингулярностями в коэффициентах

3.5 Примеры смешанных задач для волнового уравнения на различных графах

Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа uxx{x,t) - q{x)u(x,t) = Utt{x,t) (х е Г, t > 0), (1) в котором Г - геометрический граф, а коэффициент q(x) есть конечная линейная комбинация S и 5' функций с носителями в точках из Г q(x) = ^^ ki5(x — Xi) + ^Г^ kj5'(x — £j) i э здесь 8 это дельта функция Дирака).

Основная цель, которая преследовалась в работе, состоит в выделении классов геометрических графов и смешанных задач для уравнения указанного типа, решения которых могут быть выражены через начальные данные посредством конечного числа арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простых преобразований независимого аргумента (аддитивный сдвиг и умножение на —1), - подобно тому, как решение волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого рода выражается через начальные данные с помощью формулы Далам-бера.

Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.

Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных клеточных комплексах, одномерных стратифицированных множествах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К таким уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [15, 79, 82]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [15, 82, 79, 46, 76, 81]), деформаций упругих сеток (см., например, [15, 82]) и струнно-стержневых систем [3, 54], диффузии в сетях [15, 82, 24], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [84, 78, 72], бифуркаций вихревых течений в жидкости [74], гемодинамики (см., например, [48]), колебаний сложных молекул (см., например, [49, 11, 15]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [14]), приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [50, 27, 81, 26]).

Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существования полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [15] и цитированную там литературу.

Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как наличие в потенциале аддитивной составляющей в виде конечной линейной комбинации: 1) 5-функций с носителями во внутренних вершинах геометрического графа [15], 2) <5'-функций с носителями там же [60, 73, 1].

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [52, 51, 53, 8, 34, 15].

Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [24, 80].

На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрических графах остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе, то, помимо исследования структуры и ассимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [56, 75, 77, 5, 31, 29, 62]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность -см. [62, 28, 31, 32, 83, 57], 2) обосновать корректность задачи [30], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [64]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [58, 59]. Ещё одно направление исследований (пока мало разработанное) - это создание аналога метода Римана [37, 10, 9]. Предпринимаются и первые попытки исследования задач управления [61, 12] и задач управляемости [7] (последнее в духе работ [18]-[22], [69, 70]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [17, 16]) на волновые уравнения на геометрических графах.

Основная цель настоящей диссертации изначально состояла в получении формулы решения смешанной задачи с краевыми условиями третьего рода (которые адекватны наличию в потенциале односторонней ^-функции) для волнового уравнения на геометрическом графе с соизмеримыми рёбрами - формулы, аналогичной той, которая была получена ранее в работах [56, 62, 28, 31, 32, 29, 83, 57] для краевых условий первого и/или второго родов - с последующим созданием эффективной вычислительной схемы для решения таких задач. Однако, в полной мере этой цели достичь не удалось, поскольку быстро выяснилось, что в отличии от случая краевых условий первого и/или второго родов, такая задача не решена даже для отрезка - простейшего варианта геометрического графа. Поэтому часть настоящей диссертации служит выводу формулы для продолжения начальных данных в представлении решения (в форме Даламбера) смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке при наличии краевого условия третьего рода - формулы, содержащей конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение. Разработанный здесь подход позволил получить такого же типа описание для продолжения начальных данных и в задаче о колебаниях нагруженной струны. В заключительной части работы результаты "подготовительного" этапа применяются к волновому уравнению (1) на геометрическом графе с краевыми условиями третьего рода. При этом выяснилось, что результаты "подготовительной" части находят применение и для волновых уравнений на геометрических графах в случае, когда в потенциале (множитель при искомой функции) представляет собой линейную комбинацию (5-функций или их производных (в смысле [23]).

Перейдём к краткому описанию основных результатов данной диссертации.

Первая глава посвящена исследованию смешанной задачи для волнового уравнения с краевым условием третьего рода на отрезке или, что тоже самое, уравнению (1) при q{x) = кд-(х — £), где <L, — так называемая, левосторонняя дельта функция. Основная цель этой главы - получить аналог формулы Даламбера через продолжения начальных данных в виде, эффективном с вычислительной точки зрения.

1. Абдулмаджид М. Колеблемость ветвящихся решений уравнений второго порядка - спектральная теория: дисс. . канд. физ.-мат. наук / М. Абдулмаджид. - Воронеж, 1992. - 101 с.

2. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. М. : Мир, 1967. - 548 с.

3. Березин И.С. Методы вычислений: в 2-х т. / И.С. Березин, Н.П. Жидков. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. - Т. 2. - 620 с.

4. Боровских А.В. О распространении волн по сети / А.В. Боровских, А.В. Копытин // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. - С. 21-25.

5. Будак Б.М. Сборник задач по математической физике / Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов. М. : Наука, 1972. - 688 с.

6. Бурлуцкая М.Ш. Граничное управление системой из трёх струн с одним закреплённым концом / М.Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 45-46.

7. Гаврилов А.А. Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве / А.А. Гаврилов, О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, № 2. -С. 226-232.

8. Герасименко Н.И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н.И. Герасименко, B.C. Павлов // Теоретическая математ. физика. -1988. Т. 74, № 3. - С. 345-359.

9. Глотов Н.В. О колебаниях с трением на сети / Н.В. Глотов, B.JI. Прядиев // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 39-40.

10. Головатый Ю.Д. Асимптотика собственных значений и собственных функций в задачах о колебаниях среды с сингулярным возмущениемплотности / Ю.Д. Головатый, С.А. Назаров, О.А. Олейник // Успехи мат. наук. 1988. - Т. 43, выпуск 5(263). - С. 189-190.

11. Гудзовский А.В. К расчёту гидравлических сетей / А.В. Гудзовский // Докл. АН. 1988. - Т. 358, № 6. - С. 765-767.

12. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др.]. М. : Физматлит, 2004. - 272 с.

13. Знаменская J1.H. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями / J1.H. Знаменская // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XV": материалы Воронеж, весен, мат шк. - Воронеж, 2004. - С. 97.

14. Знаменская J1.H. Управление упругими колебаниями / JI.H. Знаменская. М. : Физматлит, 2004. - 176 с.

15. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В. А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 11. - С. 1517-1534.

16. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце / В.А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 12. - С. 1640-1659.

17. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А. Ильин // Диф. уравнения. 2000. - Т. 36, № И. -С. 1513-1528.

18. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В.А. Ильин // Докл. РАН. 2001. - Т. 376, № 3. - С. 295-299.

19. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса / В.А. Ильин, В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. 1999. - Т. 35, № 5. - С. 692-704.

20. Кадиев Р.И. Изучение спектральных характеристик одного класса операторов Шредингера с потенциалами нулевого радиуса: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Р.И. Кадиев. Махачкала, 1995. - 18 с.

21. Каменский М.И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети / М.И. Каменский, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Докл. РАН. 1999. - Т. 368, № 2. - С. 157-159.

22. Канторович JI.B. Приближённые методы высшего анализа / J1.B. Канторович, В.И. Крылов. JI. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1949. - 695 с.

23. Комаров А.В. О приближении многомерных объектов одномерными: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук / А.В. Комаров. Воронеж, 2003. - 18 с.

24. Комаров А.В. О спектре равномерной сетки из струн / А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Изв. вузов. 2000. - Т. 463, № 4. - С. 23-27.

25. Копытин А.В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми ребрами / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Вест. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2001. -№ 1. - С. 104-107.

26. Копытин А.В. Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях: дисс. . канд. физ.-мат. наук / А.В. Копытин. Воронеж, 2002. - 77 с.

27. Копытин А.В. Об ограниченности обобщённых решений волнового уравнения на сети / А.В. Копытин // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIII": материалы Воронеж. весен, мат. шк. - Воронеж, 2002. - С. 80-81.

28. Копытин А.В. Об одном представлении решения волнового уравнения на сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк., (дополнит, вып.). Воронеж, 2001. - С. 307.

29. Копытин А.В. Решение волнового уравнения на пространственной сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2000. - С. 19-23.

30. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1962. - 768 с.

31. Куляба В.В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах / В.В. Куляба, О.М. Пенкин // Докл. РАН. 2002. - Т. 386, № 4. - С. 453-456.

32. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа / « Ш.Е. Микеладзе. М. : Гос. издат. технико-теоретич. лит., 1953.527 с.

33. Найдюк Ф.О. Исследование формулы Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф.О. Найдюк; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. - Деп. В ВИНИТИ 07.07.03, 23 с. - № 1288-В2003.

34. Найдюк Ф.О. Об аналоге метода Римана для негладких гиперболических уравнений / Ф.О. Найдюк // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 163.

35. Найдюк Ф.О. О методе Даламбера в случае упруго закреплённой струны / Ф.О. Найдюк // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. - С. 41-46.

36. Найдюк Ф.О. О решении волнового уравнения с краевым условием третьего рода /Ф.О. Найдюк // Современные методы в теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. Воронеж, 2002. -С. 106.

37. Найдюк Ф.О. Решение волнового уравнения для нагруженной струны / Ф.О. Найдюк // Международной конфер. по диф. уравнениям и динамическим системам: тез. докл. Суздаль, 2004. - С. 149-150.

38. Найдюк Ф.О. Краевое условие третьего рода в задаче на графе / Ф.О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 96-97.

39. Найдюк Ф.О. Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф.О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2004. - № 1. - С. 115-122.

40. О собственных колебаниях струны с присоединённой массой / Ю.Д. Головатый и др.] // Сиб. мат. журн. 1988. - Т. 29, № 5. - С. 71-91.

41. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / А.В. Боровских и др.] // Докл. РАН. -1995. Т. 345, № 6. - С. 730-732.

42. Олейник О.А. О собственных колебаниях неоднородной струны с конечным числом присоединённых масс / О.А. Олейник, Т.С. Соболева // Успехи мат. наук. 1988. - Т. 43, № 6. - С. 185-186.

43. Осреднённая нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов / А.Я. Буничева и др.] // Диф. уравнения. 2001. - Т. 37, № 7. -С. 905-912.

44. Павлов Б.С. Модель свободных электронов и задача рассеяния / Б.С. Павлов, М.Д. Фадеев // Теоретическая математ. физика. -1983. Т. 55, № 2. - С. 257-269.

45. Пенкин О.М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач на графах: дисс. . канд. физ.-мат. наук / О.М. Пенкин. Воронеж, 1988. - 89 с.

46. Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 10. - С. 1433-1434.

47. Пенкин О.М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1997. - Т. 33, № 10. - С. 1404-1409.

48. Пенкин О.М. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 8. - С. 1107-1113.

49. Перловская Т.В. О краевой задаче нелокально взаимодействующих уравнений разного порядка /Т.В. Перловская // Современные методы теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 110.

50. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения / Э. Пинни. М. : Изд. иностр. лит., 1961. - 248 с.

51. Покорный Ю.В. Волновое уравнение на пространственной сети / « Ю.В. Покорный, B.JI. Прядиев, А.В. Боровских // Докл. РАН.2003. Т. 388, № 1. - С. 16-18.

52. Прядиев B.J1. О непериодических колебаниях упругих сеток / B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: "Понтря-гинские чтения XI": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2000. - С. 158.

53. Прядиев B.JI. Свойства фундаментального решения смешанной задачи для волнового уравнения на графе / B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 202-203.

54. Прядиев B.JI. Теоремы Штурма для разрывных уравнений на графе / B.JI. Прядиев, М. Абдульмаджид; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. - Деп. В ВИНИТИ 15.04.92, 20 с. - № 1288-В92.

55. Прядиев B.JI. Об управлении колебаниями сети / B.JI. Прядиев, Н.В. Глотов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 203204.л.

56. Прядиев B.JI. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток / t B.JI. Прядиев, А.В. Копытин, А.В. Боровских // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения X": материалы Воронеж, весен, мат шк. - Воронеж, 1999. - С. 198.

57. Прядиев B.JI. О суммировании рядов из синусов некратных дуг / B.JI. Прядиев, Ф.О. Найдюк // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. -Воронеж, 2003. С. 205.

58. Прядиев B.JI. Правило параллелограмма для волновых уравнений на сетях. Визуализация решений / B.JI. Прядиев, С.С. Шаталов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003 - С. 206-207.

59. Рябенький B.C. Об устойчивости разностных уравнений / B.C. Рябенький, А.Ф. Филиппов. М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1956. - 171 с.

60. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. М. : Наука, 1971. - 552 с.

61. Самарский А.А. Численные методы математической физики / А.А. Самарский, А.В. Гулин. М. : Научный мир, 2003. - 316 с.

62. Соболев C.JI. Уравнения математической физики / C.JI. Соболев. -М.; Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1950. 424 с.

63. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. -2002. Т. 38, № 3. - С. 393-403.

64. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. -2002. Т. 38, № 4. - С. 529-537.

65. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1953. -680 с.

66. Уравнения электрического поля дендрита нервной клетки / Ю.В. Покорный и др.] // Дифференциальные уравнения и их применения: тез. докл Второй международ, науч.-практ. конф. СПб, 1998. -С. 147-148.

67. Функция Грина разрывной задачи Дирихле на графе /Ю.В. Покорный и др.]; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. - Деп. В ВИНИТИ 03.06.92, 8 с. - № 1836-В92.

68. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research 1994. - V. 80. - 174 p.

69. Ali-Mehmeti F. Splitting of the energy of dispersive waves in a star-shaped network / F. Ali-Mehmeti, V. Regnier; University of Valenciennes. Preprint LMACS 99.7. - Valenci., - 2003. - 18 p.

70. Dependence of intracellular potentials on ramification of dendrites / Yu.V. Pokorny etc.] // Mechanisms of Adaptiv Behavior: Int. Synp. Dedicated to Academician Ivan Pavlov's 150-anniversary: Abstr. -St.Petersburg, 1999. P. 140.

71. Kuchment P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment // Waves in Random Media. 2002. - V. 12. - № 4, P. 1-24.

72. Nicaise S. Approche spectrale des problemes de diffusion sur les reseaux / S. Nicaise // Lecture Notes in Math. 1987. - V. 1235. - P. 120-140.

73. Nicaise S. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beams / S. Nicaise, O.M. Penkin // Math. Meth. Appl. Sci. 2000. - V. 23. - P. 1389-1399.

74. Pokorny Yu.V. Differential equationc on networks (geometric graphs) / Yu.V. Pokorny, A.V. Borovskikh // J. Mathematical sciences. 2004. -V. 119. - Ж 6, P. 691-718.

75. Pryadiev V.L. On the laplacian spectrum on a graph with commensurable edges / V.L. Pryadiev, A.V. Kopytin // Spectral and Evolutional problems: Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol, 2001. - V. 11. - P. 167172.

76. The problem of intracellular and extracellular potentials of dendritic trees / Yu.V. Pokorny etc.] // Electrical Activity of The Brain: Mathematical Models & Analytical Methods: Proc. of The 1-st International Symposium. Pushchino, 1997. - P. 22-24.