Дифференцируемость субгармонических функций и субгармоничность сепаратно-субгармонических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1 V/ V п

_ /, /V'- V^

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи ИМОМКУЛОВ СЕВДИЁР АКРАМОВИЧ

Дифференцируемость субгармонических функций и субгармсничность сепаратно-субгармонических функций

, ч

Слециальность — 01.01.01. — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТАШКЕНТ - 1903

Работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Ташкентского Государственного университета.

Научный руководитель — член—корреспондент АН Республики

Узбекистан, доктор физ.-мат. наук, профессор А. САДУЛЛАЕВ

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

профессор Ш. ЯРМУХАМЕДОВ, кандидат физ.-мат. наук Р. М. МАДРАХИМОВ |

Ведущая организация: Математический институт

им. В .А. Стеклова Российской Академии наук

Защита диссертации состоится «..О--» 1993 г.

в ...../....(£.. часов на заседании специализированного совета

Д 17.21 в Институте математики им. В. И. Романовскогс

АН Республики Узбекистан по адресу:

700143, г. Ташкент — 143, ул. В. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан

Автореферат разослан «...^Ь.........» ..Сг

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

Ш .А. ХАШИМОВ.

- 3 -

Общая характеристика работы

Актуальность тзг.м. В диссертации рассматривается задача о гладкости субгерглспичосккх функций и взучзэтся свойства се-паратно-субгаргоннческих функций.

Хорозо известная тоорзка Картана [1] о нопрзршзности потенциала утварздает, что если Щх) - субгармоническая функция з области И с 1Г , то для любого е >0 существует открытое мпо-ззство С£ с В с яызтсновсксй (логарифмической при п = 2) 81?-костыэ Сар(б£) < е та::ое, что 0(г) непрерывна в дополнении С \ С£. Овязтзз, •гсо эта тэорекэ является ег/хостншг .гнзлогсм тзоре»'а н. Н. Лузина о вэцрерншюста "почти зсвду" (С -стоо) изкзршах функцнЗ.

В вэдавноЗ рзботз Садуллззвз Д. и Нвйрахшжзэ Р. И. 121 установлена гладкость субгар.азнчэскпх йшцаа/ввэ зекоторо-го более толстого иаогзства, чегл 1с:с:.зства кагзй егссости. А тазпгв, доказывается следующая теореиа: пусть 0(г) - субгармоническая в области Бей1 функция, р - фжепровашгоэ число, 0 < р ^ 2. Тогда для любого е > О существует открытое маогас-тво И£ с и такое, что хаусдорфов охват (се) < £ и Щх)

принадлежит классу Липщнца "Л^р 0 па компактных подмножествах разности В \ С£. Здесь Ырр_0= п

Вашшм подкласс совокупности субгар.янш-чоскпх функций является класс выпуклых функцнй. Свойства Еюуклих функций, в частности свойство дпффзрзнцаруегюстл хорошо гзучопн и является одаж! из освовзпс предметов псслэдоззняя теории -гапухлгг поверхностей л кшуклого евзллза. Откэтас, что выпуклая функция тггает односторонней производзув по направленна з лабаИ

- 4 - ' .

точке области и является дифференцируемой функцией почта в каждой точке. Болэе того, в работах А. Д. Александрова [3] и Е. Г." Решетника I1 доказана почти всюду двакда дифферонциру-емость выпуклых функций, т.е, если и(х) выпуклая в области В с функция, то

п п

и* + Ь) - ии) "Л

1=1 1 1,к=1 1

= 0(|Ь|2),

почти во всех точках х € Б. Ясно, что такоэ утверждение в случае субгэромонических функций, вообще говоря, не имеет места. Например, для субгармонической функции, обращающийся к - ш на всзду плотном мшжстве точек, такое утвержден® не верно.

По сформулирст":щой визе теореме Садуллаева А. и Мздра-хгаовз Р. М. для субгармонических функций "дафферепцяруедасть" верна вне м;гсл:оства налей мери. Причем, как утверждается в [2], класс Ырр_0 при нецелых р можно заменить классом Ырр . Однако метод доказательства указанной тоореки не позволяет заменять Ь1рр 0 на 11рр для важного, с точки зрения приложения, случая, когда р = 1,2.

Изучаемые в диссертации случаи р = 1,2 указывает актуальность выбранной томи. Результата, тлуеятше в диссертации ставят, в определенном сшсло, згвзрашщув) точку в этом нап-ркр-лолли.

Одним из фундаментальных р? зультатов теория функций ию-гпх комплексных переменных ях тяотся теорема Гартогсь, который утверждает, что соператно-голожр'яая функция, т.е. голоморфная по какому переменному функция, ябллзтся голоморфной по

совокупности переменных. Аналог этой теоремы для сепаратно -гармонических функций доказан П. Лелоном [5].

Недавно Ян Вигеринк [б] построил пример сепаратно - субгармонической функции нэ яшвшцэйся субгармонической по совокупности переменных.

В последней главе диссертация изучена субгармоничность сепаратно-субгармонических функций при некоторых дополнительных условиях, которыо имеют непосредственное отношение к указанным результата! о продолжении голоморфных я гармонических функций,

Цель исследования. Доказательство диффзренцируетгтк субгзрюнических функций вне множества малой кэрч. йзучезпч субгармоничности сепэратно-субгарконическях функций.

Методика исследования. Используется мзтоди классической теории потенциала, теории ко!,шлексного потенциала, г.штоды теории функций многих комплексных переменных, теории сингулярных интегралов и теории мэр.

Научная новизна. Доказана диффоронцируо,гость субгармонических функций вне множества малой мэра и найдено достаточное условие субгаршничности^для одного класса сеператно-субгар-гояических функций.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты носят теоретический характер. Они могут быть приг.юненн в теорва функций когдилексных переменных, теорли потенциала и при читении спец курсов.

Апробация работы. Результата диссертации докладывались на сеглинарэ по комплексному анализу при кафедре коточатичес-

кого анализа ТазГУ (1989-1992 гг.)» па семинаре по теории фуикщга и математической физики при кафедре математической физики СамГУ (1г.) к на Всесоюзной конференции "Актуаль-нне вопросы комплексного анализа". Ташкент (5-10 илнь 1989 г).

Публикации. Основное результата диссертации опубликованы в работах [8-9].

Структура я объем диссертации. Диссертация состоит из гведэнзя, трех глав и изломана да 65 страницах. Библиография содержат 58 наименований.

Основное содержание работы.

Во введении приведены основные определения, вспомогательные утверздэния, используемые б диссертации и сформулированы основные результаты диссертации. 3 начале кагдоЗ главы поыо-¡дзшг долольнптзльнае катэрзалн, используемые, в основном, в этих главах.

В первой главе доказывается следующая основная

Т Е С Р Е L' А I. Пусть Щх) субгармоническая в области Б с IT (функция. Тогда для любого е > 0 существует открытое кюгество G£c D с юрой Лебега ш(С£) < е такое, что U(x) при-ездяэякт классу С2 ва.иошактаих ¡зодаззяостззх разности D\Gg.

Приводзы определении классов <f (Е) и Lipp (Е), для произвольного замкиутого KscracTöö S с if: кц будем говорить, что функцял U(x), определенная Еа Е, прнэддваит классу (f (Е), р >0, есла суцэствукт определенные на Е функции U*J) , |j р.

такиэ, что lf0>= ü,

I/

.4 A-ttL 1 !

|3 ri

* a(h)|h|p"'31,

z, x+h £ E, p, a(h) —» О при h —► 0. Такта кн будем говорить, что функция U(x), опрздвланиая аа Е, принадгэзат классу Ырр (Е), р > о, 0C.-3I сущзствупт определенные на Е функция U*, |3|< р, такие, что IIе0' = U,

l/J) (x+îi)

|3+1 |<P

IЯ*"{х)

s ïJ.|h|p

t, x+b € 2, |J|< p. Здесь J = .....я 1 = (l^,

...,!„) - г.ульт32цд9ксы, |j| = jj + . . . + ^ , 11 = j^ ! j^ 1 ■ ■ •

1 A h ^

= .....V-

Закатим, что в случае E = if классы cPçbT ) a Lipp(if) e?,:gqt простые дифференциальные свойства. Слэдущая теорема Уптнз, о продолжении, устанавливает связь ьгззду Ср (Е) 'л if (if ), а ТЗК2Э между Ырр (Е) н Ырр (I? ).

ТЕОРЕМА (Уптст). Пусть Б с if - земквутоэ мжезет-во и ïï(z) с С? £В) (U(z) e lip (3)). Тогдз U(z) продолжается на все пространство Itn ire:t ¿уахцгя класса Ср (IГ ) (Lipp (К1 ) ), т.е. существует Функцггя ?(х) £ (?(îf ) (P(s) e Lipp(lf)) такая, что F(s) = U (s) го E.

Такта» образом, из тоорэьз 1 ютэказт, что субгарюшгюс-кая фупкхцш виз ютзэотзэ кахсЗ "ispiî Лобзгэ являзтея слэдом

функция из класса (? (Й1).

Во второй глава изучается случай р = 1. Основной вопрос состоит в том, что могно ли установить принадлежность субгармонических функций классу Ыр1 ели & внз множества кала го Хаусдорфово охвата I^.j.

Хаусдорфошн охватом На, 0 < а с п, мнопиства Е с if называется с-^здущая величина (близкая к хаусдорфовой маре На):

На(Е) = Inf Y^ df-i

гдо Inf берэтся по всем покригши шогества Е с R"1 конэчвше ш счетнш-!<1 наборам:? выпуклых мзоаэств V. с диаметром ci . SassoTEi, что НЦ(Е) < На(Е) н stü вэлкчины обращаются в куль одаовро'гошю.

Используя цррагулярзш, в czicza Бззеховнчз, шозэства (§ 2.2. и 2.3.) в 5 2.4. строится пригйэр субгарщничэской Функции нэ прзнздлеюл^й классу Ilpj с Llpj.g вне мноззство калой Хаусдорфовой озва? Й^: существует субгарг,анжческая функция О(х), sei?» такая, что для любого ыаозэство G с jf, с Хауодорфовым ozbstojj ^ (G) < 1, существует компакт к с Е2 \ с тахо2, что U(x) I Jilp^ (К).

Для устаЕовлешя связи субгар&иняяескнх функций с классом в частности Ир. , воспользумая хорошо езеэстпэЗ [7} Са- ежосты), 0 < о < п, (§ 2.5,): чс^аЬ E?h обозначь« кноззс-

тво всех борвлавк-^я мор в Е1, п > 2. Пусть tfi(z) = Г

а J ц-у|а

х с if, а - потенциал юра Сц - ошостьв компактного мш>-аэства К с if назовем- слэдузщую величину:

Са(К) = Бир е 5ирр цсК, и£(х) < 1, х с Бирр

Для прозваляого МЕпгзстга 2 с слэдущшэ валичзнн СдСЕ) = Бир ^ Са(Е): К - кокпзкт, К с е| л

Са(Е) = 1иГ | ^.(5): Й - открнтоэ кюззстао, Е <= а |

называются соотввтстезезз Енутреншшя и везении от-ссост.тяз. Известно, что 0^(2} = Са(2) = Са(Е) для лгйого Ссрзлзвс:г.о-?о ?яо2эства Е с .

В 5 2. 6. докггавгзтся схздулдая

I Е О Р Е й А 2. Пусть и<х) - субгармоническая в области Б с IГ фунюда. Тогда для лгйого е > 0 суцэстзуэт открггоз тгнотзство с В с гл-лстьэ (СЕ) < £ ?акоз, что 11(2} прз-еадлэзи классу С1 па есгеззтвых подмноззстззх рззностз Ь\Сг.

Таким образом, нз тзсртга 2 штокеэ?, ч?о суйтартзетгес-кая функция веэ мнет стаз чуть "тольцвго" чей МН02ЭСТЕЗ ?13ЛС'.1

- хаусдорфова агнзтэ - внэ гногэства шзлоЗ Сп.1 - е.'пзэстн является следом фунз^з из кгасса С1 (хР).

В теотх^о? гли» рг.-"■■■•^'¿ризаэтся слодувдэя задача: пусть функция Щх.у) опрэдалззз з области Б * С с й1 (х) * (у) а функция х —» дал лгбсго фиксированного у е С субгар-

пнпгша в Б, а фунгс^л у —* 0(х,у) для любого фиксированного х с Б гармонична в б. йгпзтся ля тогда функция Щх,у) суб-г'арнонзческоЗ а обггез В * С ?

Доказывается следущая

I Е 0 Р Е !3 1 3. Если функция U(x,y) определена в области D х G с if (X) * if (у) и функция X —► U(x,y) для любого у е G вещественно - аналитическая и субгармоническая в D, о функция у —► U(x,y) для лабого х е Б гармоническая в С, то U(r,y) является вещественно - аналитической субгармонической функцией в области D * G.

Автор BHpssae? глубокув благодарность своему научному руководитель!) профессору А. Садуллаеву за постановку задач, постоянное вникание, поддержу и болъшуа помощь в работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Caftan Н. Slieori йи Potential newtonien: energie, capacite, suites de potentials. // Bull. Soc. Hath. Prance. 1945. v. 73. P. 74 - 106.

2. Садуллаев A., Издрзхашв P. M. Гладкость субгармонических функций. // 1!ат. сб. 1990. Т. 181. J5 2. С. 167 - 182.

3. Александров А. Д. Существование почти везде второго дифференциала выпуклой функции к некоторые связанные с ни: свойствз шцуклых поверхностей. // Уч. Записки ЛГУ. сер. шт. 1939. Вш. S. С. 3 - 35.

4. Рвезтняк О. Г. Обобщенные производные п дкфферопцпруе-шсть почта всвду. // Мат. сб. 1358. Т. 75(117). 3. С. 323 - 334.

5. belong P. Fonctions plurisousbannoniques et lonetions

- 11 -

ornlytyquen de variable reels. // Ann. Inst. Fourier. 1961 .V. 11. P. 516 - 562.

6. ?,'iegerir.ck J. Separately sufcharaonlc functions nid not sufcharaonlc. // J. Arser. L'atfc. See. 1930. 7. 104. 33 3. P. 770 - 771 .

7. Лаядаоф H. С. Основы современной' теория поташщада. U.: Наука. 1966. 515 с.

Основные результаты днеезртахши опубликована в слздуидлх работах автора:

8. Имомкулов С. А. Сэпаратно-субгарсническиа функция. // Докл. АН УзССР. 1930. Л 2. С. 8-10.

9. Иж»,аулов С. А. Двазгды диффвренцпруомость субгаркнпчзстсг функций. // Изв. РАН. Сэр. .дат. IS92. Т. 56. J3 4. С. 377 -S38.

- 12 -

Субгаршник функцияларнинг дафф&ренциалланувчилиги ва сапарат-субгаршннк функцияларнинг субгаршниклиги

Ушбу дассертацкяда субгармошк функцияларнинг дифференциелла-нувчклиги ва свпарат-субгармоник Функцияларнинг субгармониклиги тугрисидаги масалалар урганклган.

Баринчи бобда дассвртвцияшшг асосиЗ натжкзси болтая куй?даги теорема иссютлантан.

Теорема I. Агар и (х) функция Бей" соседа субгармоник бул-са, у х,олда их теорий е>0 сон учун Лебег улчови е дан кичик болтан иундай СесВ очщ туалам топиладаки. '0(7.) функция Б\С£ тупламнинг 2,ар бир компакт тасмида С2 синфга карашли булади.

Ккккыча боб хаы субгарлоник функцияларнинг силлюушги масала-екга багЕЕланган булиб, бу бобда куйидагн теорема ксбот килинган.

Теорема 2. Агар и(х) функция МГ сох,ада субгармоник бул-са, у холла ихтиарий е>0 сон учун С^ - сигами е дзн -;сичик булган шундай С£сБ очт; туплам топиладаки, Щх) функция В\Се х,ар бир компакт кисмида С1 спзфга каралзлл булади.

Охирги учинчи бобда сенарат-субгаризннк функцияларнинг суб-гармониклиги хакида куйидаги теорема исбот килинган.

Теорена 3. Б х й с Н" х И™ сох;ада авшуюнган Щх.у) функция х;ар бир тайшшанган уей да х буСича Б сохада х,акикий-аяалитик ва субгармоник булса ва х,вр бир тайинланган хеП да у оуйича С содада гармоник булса, у холда Вхв сохдца хакдаий-аналитик ва субгаршник функция булади.

Differentiability of subhamonlc functions and subharaonicity of separately-subharmonic functions

In this work problems on the differentiability of subhar-monlc functions and subhannonicity of separately-subharmonic functions are s'.udied.

In the first chapter the following main result is proved:

Theorem 1. Suppose that U(x) Is a subharmonic function on a domain DcR". Then for an arbitrary e>0 there exists an open set Gg cD with lebesque measure m(Ge )<e such that U(x) belongs to the class C2 on compact subsets of D\Ge .

In the second chapter is proved the

Theorem 2. Suppose that U(x) is a subharmonic function on a domain MT . Then for arbitrary s>0 there exists an open set Go <=D with capasity C^iG )<e such that U(x) belongs to the class C1 on compact subsets of D\Ge .

In the final third chapter the Theorem on the subhannonicity of separately-subharmonic function's Is proved.

Theorem 3. Suppose that U(x,y) is a function defined on a domain DsG=R"(x)xRn'(y) and the function x—>U(x,y) Is real-analytic and'subhartnonic on D for any yeG, and y—>U(x,y) is a function hafmonic on G for arbitrary x^D. Then U(x,y) is a real analytic subh3rnr" j function on the domain DxG.

1i.05.93 Я« босишга рухсат этилди № /¿3 буюртмз, " JtC боема тобо»; № j босмахона ксгози, *ажми 60хВ4 1'16, fPP нусха.

СамДУ бссмахонвснда «оп этилди. 703004 Самарканд ш., Униеерситет хиёбон