Дилатансионно-сдвиговая модель в теории пластичности металлов и геоматериалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ОРДЕНА ЛЕНИНА ШИРОКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ.

ДШАТАШМОННО-ОДВИГОВАЯ МОДОЬ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ МЕТАЛЛОВ И ГЕОМАТЕРИАЛОВ

Специальность 01.02.04 - "Механика деформируемого • твердого тела"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Коврижных Александр Михайлович

УДК 539.374

Новосибирск, 1993

Работа выполнена в Институте горного дела СО РАН, г.Новосиб]

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Г.И.Ьыковцев; 1

доктор физико-математических наук, профессор Р.А.Васин;

доктор физико-математических наук, профессор В.Д.Аннин.

Ведущая организация - Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова.

Защита состоится «¿¿Г» им-нЛ _1993 года в "_"ча1

"_" мин. на заседании специализированного совета Д.003,22.0!

по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физик< тематических наук при Институте теоретической и прикладной меха СО РАН по адресу: 6300Й0, г.Новосибирск, ул.Институтская, 4/1, ] титут теоретической и прикладной механики СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института те! тической и прикладной механики СО РАН.

Автореферат разослан " 2.0 " Х993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

В.И.Самсонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория пластичности в настоящее время является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов механики сплошной среды.

На современном этапе развития техники при проектировании сооружений и конструкций предъявляются требования максимального использования резервов прочности и пластичности материала. Так как раэруше -нию, как правило, предшествует пластическая деформация, то выявление закономерностей процесса пластического деформирования необходимо для изучения прочностных свойств материала. Теория пластичности широко применяется при решении практических задач по определению напряжен-но-дефориированного состояния в элементах конструкций, по оценке устойчивости деформируемых систем, работающих за пределом упругости.

В последние годы результаты, полученные в теории пластичности, используются при решении задач механики горных пород, в вопросах потери устойчивости горных выработок и скважин на больших глубинах, в исследовании закономерностей проявления горного давления, представляющих большой интерес для горнорудной промышленности, в задачах геологии и геофизики.

Накопленный к настоящему времени в литературе экспериментальный материал показывает, что'выводы классических теорий пластичности в определенных условиях сложного'нагружейия находятся в качественном противоречии с экспериментом. Это обстоятельство приводило к необходимости построения новых моделей. Однако существующие теории плас -тичности либо описывают экспериментальные исследования лишь для некоторых классов нагружения, либо их практическое использование связано с преодолением больших математических трудностей. Поэтому практика вьщвигает следующие требования к предлагаемому варианту теории пластичности: во-первых, чтобы он отражал фактические свойства материала, т.е. результаты экспериментальных исследований по сложному нагружению; во-вторых, чтобы позволял достаточно просто решать конкретные прикладные задачи.

Цель работы. Построение экспериментально обоснованной теории пластичности, позволяющей достаточно просто решать конкретные прак -тические задачи механики деформируемого твердого тела и механики горных пород.

Основная идея работы состоит в представлении приращения пластической деформации в виде результата сдвигов по конечному числу сис -тем скольжения. Предлагаются две механические модели материала и основанные на них две теории пластичности - теория максимального сдвига и теория октаэдрического сдвига: в первой - сдвиги происходят по предельным плоскостям, определяемым точкой касания огибающей с кругом Мора, а во второй - сдвиги развиваются в октаэдрических плоскостях, а также в плоскостях ортогональных к ним и связанных с видом напряженного состояния. В общем случае для горных пород в ортого -нальных к плоскостям сдвига направлениях происходит изменение нор -мальной пластической деформации (дилатансия) пропорционально соот -в'етствующему сдвигу.

Задачи исследований:

1. Построить теорию пластичности, основанную на экспериментальных наблюдениях за полосами скольжения, образующимися при деформировании и разрушением различных материалов: горные породы (Кулон,1773-1776 гг.), сталь (Лидере, 1860 г., Чернов, 1884 г.), чугун (Ходжкин-сон, 1860-1861 гг.), сыпучие материалы (Ревуженко, Стажевский, Шемякин, 1574 г.).

2. Качественно и количественно объяснить экспериментально установленные эффекты сложного нагружения (Жуков, 1954 г., Нахди и Роу-ли, 1954 г., Свешникова, 1956 г.), которые не нашли отражения с позиции классических представлений в теории пластичности, основанных на поверхности нагружения и законе градиентальности.

3. Провести экспериментальное исследование, на примере стали ЗОХМА, по активному нагружению и частичным разгрузкам в пластическом, состоянии, когда в одних направлениях главных касательных напряжений! продолжается кагружение, в других - разгрузка.

4. Сравнить результаты предлагаемых теоретических расчетов с выводами классических теорий, с результатами проведенных эксперимент тов, а также с данными опытов других авторов.

5. Решить на основе новых-представлений в теории пластичности конкретные прикладные задачи: о потере устойчивости прямоугольной пластинки за пределом упругости; о потере устойчивости горных пород вокруг выработок и скважин; о деформировании металлической полосы с учетом внутреннего трения, характеризующего охрупчивание металла пос-, ле предварительной пластической деформации.

Методы исследований включают анализ и обобщение ранее выпол -ненных теоретических и экспериментальных исследований в области пла-

4

стичности, аналитические и численные решения, проведение экспериментов и сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

Научная новизна. Предложены две новые теории пластичности ме -таллов и геоматериалов - теория максимального сдвига и теория окта-эдрического сдвига, основанные на допущениях более свободных чем общепринятые, что позволяет рассматривать как упрочняющиеся, так и разупрочнящиеся материалы, неустойчивые по Друккеру. В этих теориях внутреннее трение и дилатансия являются независимыми характеристиками материала, не связанными ограничением, которое следует из закона градиентальности.

Впервые в рамках теории пластичности получено вполне удовлетворительное соответствие результатов расчета по теориям максимального и октаэдрического сдвига с данными опытов по сложное нагружению (Жуков, Нахди и Роули, Свешникова), где модуль ортогональной догрузки неупругий и с данными опытов (Айви, Ьудянский и др.), где этот модуль упругий.

Показана возможность практического использования теории максимального сдвига для решения прикладных задач об устойчивости прямоугольной пластики, и потере устойчивости горных пород вокруг выра -боток и скважин. Установлено, что полученные решения рассматривав -мых задач хорошо согласуются с результатами лабораторных экспериментов.

Установлено, что теория максимального сдвига, основанная на реальном физическом механизме деформирования, который в опытах на ря -де материалов проявляется в виде полос скольжения, дает лучшее соответствие с результатами экспериментов по простому и сложному натру -жению, чем теория октаэдрического сдвига.

Достоверность научных положений обеспечивается многочисленными экспериментальными.наблюдениями в механике деформаций и разрушения, корректным использованием математических методов для построения новой теории пластичности, получением в определенных частных случаях из общих соотношений уже известных классических теорий, хорошим количественным соответствием результатов расчета с данными экспериментов.

Практическая ценность. Предложенные в работе теоретические результаты могут быть использованы при решении прикладных упруго-пластических задач по определению напряженно-деформированного состояния в элементах металлических конструкций; в решении задач обработки ме-

таллов давлением; при решении задач устойчивости пластин и оболочек за пределом упругости; в решении проблем механир горных пород при оценке устойчивости выработок и скважин.

Основные теоретические результаты диссертационной работы по теориям максимального и октаэдрического сдвига были использованы в курсе лекций по механике деформируемого твердого тела, прочитанном для студентов НГУ на механико-математическом факультете.

Прикладные результаты работы, касающиеся решения задачи о волочении полосы через матрицу с учетом внутреннего'трения в металлах, вошли в отчет "Разработка оптимальных схем деформирования металла для технологического процесса ротационной вытяжки цилиндрических деталей" , выполненный по договору Института горного дела СО РАН с производственным объединением "Сибсельмаш". Конкретные практические рекомендации по оптимальному деформированию цилиндрических труб на же сткой оправке, а также программа на языке ФОРТРАН для решения задачу о волочении полосы через матрицу приняты к использованию на этом объединении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на УП Всесоюзной конференции по прочности й пластичности (г.Горький, 1978), на семинарах лаборатории механики нелинейных сред Института проблем механики АН СССР (г.Москва, 1980, 1У85), на объединенном научном семинаре Института проблем прочности АН УССР (г.Киев, 1980), на У, У1 и УП Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике Сг.Алма-Ата, 1981; г.Ташкент, 1986; г.Москва, 1991), на I Всесоюзном симпозиуме по математическим методам механики деформируемого твердого тела (г.Москва, 1984), на УШ Всесоюзной конференции по механике горных пород (г.Тбилиси,1985), на Всесоюзной научной школе "Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках" (г.Симферополь, 1985), на семинарах кафедры теории пластичности МГУ (г.Москва, 1985, 1986), на семинарах по механике деформируемого твердого тела НГУ .(г.Новосибирск, 1988, 1989), на Ш Всесоюзном симпозиуме "Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии" (г.Киев, 1989), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы физики и ее приложений", посвященной Дню со -ветской науки ВДНХ, Ю (г.Москва, 1990).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержит ¿44 страницу машинописного текста, включая об рисунков, 18 таблиц. В списке литературы приведено 16Ь работ.

Автор выражает благодарность В.М.Жигалкину, Н.С.Адигамову и Г.Л.Линдину, совместно с которыми проводились эксперименты, а таете А-.Н.Мохелю и А.И.Чанышеву за полезные обсуждения в процессе выполнения данной работы. Автор глубоко признателен академику РАН Евге -нию Ивановичу Шемякину за постоянное внимание к работе и ценные замечания .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы актуальность проблемы, цель и ос -новные задачи исследования, обоснованы их научная и практическая значимость, перечислены основные результаты, составляющие научную новизну работы.

Приводится краткий обзор и анализ существующих направлений з математической теории пластичности. Указывается, что при построении определяющих соотношений невозможно оставаться в рамках классических представлений, которые не объясняют ряда экспериментальных фактов.

В диссертационной работе считается, что наиболее обоснованным является выделение в теории пластичности металлов и горных пород двух основных направлений: первое из которых берет начало с условий пластичности Треска-Сен-Венана и Кулона-Мора; второе - с условий пластичности Губера-Мизеса и Мизеса-Шлейхера. С позиции, предложенной в работе механической модели, в рамках двух указанных направлений сформулированы соответствующие теории типа течения и полученные на их основе, как частные случаи, деформационные теории пластичности.

В диссертации в качестве основы построения определяющих соот -ношений предлагается принять дилатансионно-сдвиговую механическую модель материала. В первом подходе, основанном на критерии Греска-Кулона и названном теорией максимального пластического сдвига, сдвиги происходят по предельным плоскостям, определяемым точкой касания огибающей с кругом Мора, а во втором, основанном на критерии ллас -тичности Мизеса-Шлейхера и названном теорией октаэдрического сдви -

га - сдвиги развиваются в октаэдрических плоскостях, а также в плоскостях ортогональных к ним, причем ориентация последних связана с углом вида напряженного состояния. Одновременно в ортогональных к плоскостям сдвига направлениях происходит изменение нормальной пластической деформации пропорционально соответствующему сдвигу-дила -тансия.

Предложенная дилатансионно-сдвиговая модель позволяет описать довольно широкий класс материалов - металлы, скальные горные породы, сыпучие среды и объяснить эффекты сложного нагружения (Жуков, Свешникова, Нахди и Роули), которые не нашли отражения с позиции клас -сических представлений в теории пластичности, основанных на законе градиентальности и понятии поверхности нагружения.

В первой главе излагаются основные допущения, положения и приводятся определяющие соотношения теории максимального пластического сдвига для простого и сложного нагружений.

Считается, что в общем случае рассматриваемые материалы обладают свойствами внутреннего трения и дилатансии. Внутреннее трение характеризует влияние нормального напряжения на предельное значение касательного на соответствующей площадке при переходе в пластическое| состояние. Дилатаясия характеризует остаточное изменение объема при сдвиге.

За основу построения теории пластичности для таких материалов принимается дилатансионно-сдвиговая механическая модель, являющаяся продолжением идеи работ Христиановича и Шемякина о представлении приращения пластической деформации в виде последовательности сдви -гов по конечному числу систем скольжения.

Предположим, что в процессе нагружения материала в каждой точке деформируемого тела реализуется однородное напряженно-деформированное состояние. Будем считать, что для главных нормальных напря -

жений ф (I -=1,2,3) имеет место неравенство

$ * (1)

В дальнейшем деформации считаются малыми, а их приращения для первоначально упругоиэотропного и однородного материала складываются из упругой и пластической составляющих. Упругая составляющая связана с приращением напряжения законом Гуна. Считается также, что упругие свойства материала не меняются в процессе пластического деформирования. В системе координат, связанной с главными осями напряжений, обозначим пластические составляющие деформаций удлинений и

сдвигов в; , < £ <,/ i ¿»</ ** 1,2.,3).

Возникновение пластичности будем связывать с условием Кулона-Мора, которое при соблюдении неравенства (I) записывается в виде

2ан<р 2. ъг 11 1

где к, и \р - коэффициент сцепления и угол внутреннего трения, _кото-, рые для определенности будем считать постоянными. Тогда в плоскости

» б^л огибающая Кулона-Мора является прямой линией. Точка касания огибающей с большим кругом Мора (т.А, рис.1) определяет две предельные плоскости. Эти плоскости проходят через второе главное направление и составляют с третьим острые углы + (Ж/4 ~ ) »рис.2. Величину

0.5(<э1-%)/Ш(¥+0.5Уф &3) 1%(р (3)

будем называть максимальным сдвигающим напряжением. Аналогичным образом вводятся и два других главных сдвигающих напряжения о»

% = 0.)/щ + 0.5(%+ %) Щр

Соответствующие им системы скольж,ения проходят через первое и третье направления.

Напряженное состояние, для которого , будем

называть состоянием неполной пластичности, а когда и ^ £ » Ф^/с (либо , /С ,1У3<к.)~ состоянием полной пластичнос-г ти. Характерной особенностью сдвигового механизма деформирования горных пород и сыпучих материалов является то, что плоскости, обра -зующие систему скольжения, неортонональны. Направления Ъ и & (рис.2) образуют тупой угол *■ <р .

Пусть в процессе нагружения материала достигнуто состояние не полной пластичности в направлении . Будем считать, что в этом случае материал ослаблен лишь в направлениях системы скольжения Ь и

£ , а приращение пластической деформации есть результат реальных сдвигов

й^ (4)

Рис.1. Огибающая лона-Мора

Рис.2. Направления систем скольжения в теории максимального сдвига

одновременно в перпендикулярных к плоскостям сдвига направлениях происходит изменение нормальных пластических деформаций

Л^-оС^Д , Ав,,,-*^ , «

где Л - изменение соответствующей величины;

о(, - коэффициент дилатансии, а 0 и I.

Считается, что суммарная величина реальных сдвигов ( 0 ) свя

зана с главным сдвигающим напряжением зависимостью

Зависимость ^¿^^вС^) принимается в качестве паспортной хара теристики материала, определяемой по данным опытов. Пластический м< дуль упрочнения (разупрочнения) при А £ 0 являете:

касательным модулем к характеристической функции сдвига Для упрочняющегося материала при А ^ 0 роста пластической дефо} мации не происходит и материал деформируется упруго, т.е. (у-^1 ~ 0 .

Используя (3), (4), (5) и переходя к главным осям'напряжений, получим определяющие соотношения

де= щ^^т ь ■ (6)

где

Из (6) видно, что дилатансионно-сдвиговая модель в общем случа приводит к разоскости тензоров напряжения и приращения пластической деформации. Тензора соосны, если о, что соответствует закону градиентальности для гладкого участка поверхности Кулона-Мора, либо Д = ^ , что отвечает симметричному функционированию направлений Ь ] £ в неортогональной системе скольжения. Для первоначально упруго-изотропного и однородного материала при нагружениях с неподвижными главными осями напряжений будем считать, что = » а дилатансия

не связана с внутренним трением какими-либо ограничениями.

Пусть 2-е главное направление остается неподвижным, тогда сложное догружение реализуется путем приложения A G¿ (¿=1,2,3) и 4 , следуя работам Христиановича и Шемякина, приращение пластической де-j формации при сложном догружении будем представлять в виде суммы двух приращений, отвечающих квазипростому догружению ( и

ортогональноцу ( A í^ £ 0 ).

При ортогональном догружении Д > £) для материалов с lf> О в направлении £ происходит рост касательного напряжения, так как AA^j ¿¿Л (f , а в направлении ^ - разгрузка. Если О ,

то нагружение происходит в направлении i , т.к. ^

а'разгрузка - в направлении t . Обратим внимание на то, что при op-i тогональном догружении происходит поворот плоскостей скольжения вместе с главными осями напряжений. Эти плоскости переходят на "свежий" материал и поэтому пластическая деформация, вызванная ортогональной догрузкой в направлении скольжения £ (либо L ) будет происходить вообще говоря с другим модулем, имеющим значение QoC^d/S" > гДе SY^) - дополнительная характеристика материала, определяемая из опыта на сложное нагружение. Если ¿Г =>0, то ортогональное догруже -ние не приводит к изменению пластической деформации, что согласуется с опытами Айви, Ьудянского и др. Если же $>0 » то ортогональ -мое догружение вызывает изменение пластической деформации,что

соответствует результатам экспериментов Жукова, Свешниковой, Нахди и Роули. При 5" =1 пластический сдвиг в направлении активной ,плоскостИ| скольжения, вызванный ортогональной догрузкой происходит с тем же модулем Q о , что и при квазипростом нагружении.

В лервой главе рассматриваются также различные виды сложных.догружений из состояний неполной и полной пластичности. Получены определяющие соотношения в произвольной системе координат для различных классов простого и сложного нагружений. Наиболее подробно йсследова-i ны сложные догружения из состояний чистого кручения и одноосного растяжения, которые реализуются при нагружении тонкостенных цилиндров осевой силой и крутящим моментом. Определены начальные модули догрузки при изломе траекторий нагружении и установлен раствор угла особенности на поверхности нагружения.

Во второй главе излагаются основные допущения и приводятся определяющие соотношения теории октаэдрического сдвига для металлов и геоматериалов.

Следует отметить, что в настоящее время широкое распространение в прикладных задачах теории пластичности получил классический закон течения, ассоциированный с поверхностью Мизеса. Для идеально пластического тела это соотношения Працдтля-Рейса, а для упрочняющегося материала - соотношения Ланинга, основанные на изотропно расширяю -щейся поверхности Мизеса. Несмотря на то, что такой подход не позволял объяснить эффекты сложного нагружения (Жуков, Нахци и Роули), простота и логическая завершенность классического закона течения послужили поводом к его дальнейшему развитию для геоматериалов, пластическая деформация которых в отличии от металлов обладает свойствами внутреннего трения и дилатансии (Новожилов, Николаевский, Друккер и Прагер, Райе и Рудницкий). Если в ассоциированных моделях (Новожилов, Друккер и Прагер). Эффекты внутреннего трения и дилатансии связаны между собой определенной зависимостью, то неассоциированные модели (Николаевский, Райе и Рудницкий) обладают достаточной общностью и при определенном выборе коэффициентов дилатансии и внутреннего тре^ ния включают в себя многие частные случаи.

В данной главе предлагается.принять за основу построения теории дилатансионно-сдвиговый механизм пластического деформирования, являющийся продолжением идеи Христиановича и Шемякина о представлении приращения пластической деформации в виде последовательности сдвигов по конечному числу систем'скольжения. Такой подход в определенных частных случаях для металлов приводит й классическому закону течения: Прандтля-Рейса-Ланинга, а для геоматериалов - к соотношениям Никола-евского-Райса-Рудницкого.

^ Пусть в', GJ.- & , ,

- компоненты девиатора напряжения , а С)/«?. Обозначим инварианты девиатора напряжения , J2 , J3 , при этом It =0. Величину Т~/Т~£ принято называть интенсивностью касательных напряжений. Если б^ , ^¿(¿=1,2,3) главные значения тензора напряжения и его девиатора соответственно, то G£ = Q'+ S¿ и, кроме того:

Si = ш Tees (09i Sj, = Тш(f+tiie).

Тсц($-а9)> мза^зя Ъ/(2Т3). in

Рассмотрим девиаторную плоскость - плоскость, равнонаклонную к главным осям напряжения 1,2,3 и пусть I1, 21, 3* - проекции главных осей на эту плоскость. Как показано на рис.3, угол оО# характеризу-

Рис.4. Направления систем скольжения в теории октаэдрического сдвига

ет направление проекции вектора напряжения на девиаторную плоскость

т I

и его следует отсчитывать от положительного направления I против часовой стрелки. Этот угол принято называть углом вида напряженного состояния. Например, =0 соответствует одноосному растяжению в направлении I.

Рассмотрим октаэдр (рис.4) для иллюстрации сдвигового механизма деформирования. С каждой из октаэдрических плоскостей, указанных на рис.4, и имеющих нормаль (L -Г-4), свяжем прямоугольную "систему координат ¿1, It;,, . Ось ¿^ совпадает с направлением проекции вектора напряжения на соответствующую октаэдрическую плоскость.

¿ели, используя (7), перейти в какую-либо из систем координат 1» Si =1-4), го в каждой из них пелучим

г Тм За)?, ///з ТссаЗЮ&

Как видно из (8), в рассматриваемой системе координат девиатор напряжения можно представить в виде суммы двух тензоров чистого кручения 55п и о&л» • ^'сли обозначить через ^л и S/я максимальные каса -тельные напряжения этих тензоров, то ЪпТ , i/Jz Т и в итоге имеем

Представление (У) указывает на сдвиговую природу девиатора напряжения и дает новую интерпретацию его второго инварианта.

Пусть Х^ , tbi , tfi - главные оси тензора cbm , который в этой системе координат, имеет вид - =* Т"//з и представляет

собой чистое кручение в направлении bi , т.е. = 7~//3.

На рис.3 в качестве примера показаны направления Xt , ^ , tnL , . Ось Xt составляет с направлением t^ угол З/ZcOg-, а с осью I' -угол 1/2 СОр. Плоскости действия % ( , ) проходят через нормаль Hz и составляют с направлением ti углы 1/4IF" +3/2- u)g . Плоскости действия совпадают с октаэдрическими плоскостями и

ЪщЬ-Ък.

Рассмотрим сдвиговый механизм, который позволяет получить определяющие соотношения закона Гука и деформационной теории пластичности. В каждой из систем координат ^ =1-4), указанных на

рис.4, тензор напряжения имеет один и тот же вид (8), поэтому все четыре направления действия % и <£/п находятся в одинаковых уело -виях. Это обстоятельство позволяет считать, что для первоначально изотропного материала девиатор тензора деформации формируется в результате сдвигов в направлениях '¿¡д , <2уД:

Ъ^гт с^м). Ш)

где Г - интенсивность деформации сдвига.

Используя гипотезу об упругом изменении объема, проецируя эти сдвиги на главные оси тензора напряжений и суммируя результаты от -дельных сдвигов, получим соотношения, которые при Г**Т//И (/V- уп -ругий модуль сдвига) переходят в закон Рука, при неопределенном значении Г и ( Н. - пластическая постоянная) - в соотноше -

ния Генки, а при Г~-[~(Т) получим соотношения деформационной теории Генки-Надаи-Илыошина.

Покажем далее, что, основываясь на дилатансионно-сдвиговом механизме деформирования, можно получить теорию течения для поверхности Мизеса и различные определяющие соотношения для геоматериалов.

Пусть ¿Гр - интенсивность приращения пластической деформации сдвига. Предположим, что в направлениях действия и произошли пластические сдвиги и одновременно в перпендикулярных к ним на -правлениях происходит изменение нормальной пластической деформации, т.е. для I =1-4 имеем

Проецируя (II) на главные оси напряжения и суммируя результаты отдельных сдвигов, получим соотношения, которые при в произвольной системе координат X , ¡/ , & имеют ввд

Если в этих соотношениях принять А3 0 , Т~ lt , а А Гр считать неопределенным параметром, то получим соотношения Прандтля-Рейса. При А3 О , - Д~Г/$р(Т) соотношения (12) представляют

собой теорию течения Рейса-Яанинга, где Qp- Qp(T) ~ пластический модуль. В общем случае возникновение пластической деформации будем связывать с условием пластичности Мизеса-Шлейхера T+J36" ~ , гдеß - коэффициент внутреннего трения, который для простоты можно считать постоянным. Если в соотношениях (12) принять Л =./3 ,1+ßG^k-а Afp считать неопределенным параметром, то приходим к закону течения Друккера-Прагера. При Л3 J3 , Afp ^(ÄTtßA&J/Gp из (12) следуют соотношения, предложенные Новожиловым. Если считать характеристики материала ji и jj независимыми, то приходим к определяющим соотношениям Николаеьского-Райса-Рудницкого.

Тензор приращения напряжений при сложном догружении в главных осях напряжения характеризуется компонентами Дб^ =1.2,3;

U<j ) и может быть представлен в виде суммы тензоров квазипростого догружения А и трех тензоров ортогонального догружения At'ij .

Приращения касательных напряжений в направлениях скольжения при произвольном догружении имеют вид

ATi-A^ , (i=t-b) (I3)

где

IwUrcalf itk)*Mram(f «W-^ömVJ .

Д % C0i(f+«)ff)-A ],

Как видно из (13), первые слагаемые в выражениях для k^mli ä^metc связаны с приращением интенсивности касательных напряжений, а вторые - характеризуют изменения касательных напряжений на системах скольжения, вызванные ортогональными догружениями Д^з , , Л £¿3 . Если при неподвижных главных осях напряжений все системы скольжения работают одинаково - либо нагружаются, либо раз-

гружшотся, то при сложном нагружении с приложением А ¿¿у возможно различное функционирование плоскостей действия , . Так, например, при ортогональном догружении системы скольжения

(¿=1,4), (£ =2,3) нагружаются, так как на них проис-

ходит рост касательных напряжений, в других направлениях , С/ц происходит разгрузка.

Принимается, что пластический сдвиг в системе скольжения, вы -званный ортогональным догружением, происходит с модулем упрочнения р /> где б4'3 ^(Т+^Ю ~ дополнительная характеристика материала, определяемая из опыта на сложное нагружение. При ортогональном догружении л,

V = V А®

Если =0, либо Сд^^Ш/б > то С?' принимает упругое значение, в противном случае и зависит от вида напряженного состояния,

характеризуемого ц)^.

Во второй главе сформулирована также дилатансионно-сдвиговая октаэдрическая модель для сложного нагружения, получены определяющие' соотношения в произвольной системе координат, когда одно из главных направлений тензора напряжений остается неподвижным. ■ Наиболее под--робно исследованы различные догрузки из состояния одноосного растяжения, которые реализуются при нагружении тонкостенных цилиндров осевой силой и крутящим моментом. Определены начальные модули догрузки при изломе траекторий нагружения и установлен раствор угла особен-г ности на поверхности нагружения.

В третьей главе дан анализ экспериментальных и теоретических исследований, приводятся как результаты собственных экспериментов, так и данные опытов других авторов.

Собственные эксперименты проводились на образцах из стали ЗОХМА совместно с В.М.Жигалкиным и Н.С.Адигамовым. Тонкостенные цилиндры нагружались осевой силой и внутренним давлением. Сравнение результатов расчета по теориям максимального и октаэдрического сдвига с данными опытов на стали ЗОХМА дает вполне удовлетворительные результаты по обеим теориям. Для рассматриваемого класса нагружений теория октаэдрического сдвига полностью совпадает с теорией течения Рейса-Ланинга.

Приведенные в этой же главе.опыты А.М.Жукова на стали ЗОХНЗА лучше согласуются с расчетами по теории максимального сдвига.

При сравнении расчетных зависимостей с данными опытов Ь.Ьудян-, ского и др. предпочтение также отдается теории максимального пластического сдвига.

В этой же главе приводится сравнение результатов расчета по теориям максимального и октаэдрического сдвига с результатами опытов Жукова, Свешниковой, Нахди и Роули, в которых сложное догружение осуществлялось за пределом упругости после предварительного на-гружения тонкостенной трубки растяжением или кручением. Опыты Жукова A.M. на стали 20 и опыты Нахди и Роули вполне удовлетворительно согласуются с результатами расчетов по обеим теориям. Теория октаэдрического сдвига не объясняет данные опытов Свешниковой В.А., где сложное догружение осуществлялось за счет растяжения предварительно закрученной тонкостенной трубки.

При сравнении двух предложенных теорий с результатами различ -ных экспериментов и с результатами расчетов по другим теориям (теория течения Рейса-Ланинга, деформационная теория Генки-Надаи-Илью -шина, теория скольжения Батдорфа-Ьудянского) установлено,что данные опытов по сложному нагружению наиболее полно объясняет теория максимального пластического сдвига.

В конце третьей главы приводится сравнение результатов расчета по теории максимального сдвига с данными опытов А.Н.Ставрогина, в которых сплошные цилиндрические образцы из различных горных пород сжимались осевым усилием в направлении образующей и нагружались боковым давлением. Главные оси напряжений выбирались так, что 3-е направление совпадает с осью симметрии образца - направление сжатия, а 1-е и 2-е главные направления находятся в плоскости кругового сечения. Обозначим деформации удлинения в этой системе координат &í , £/г , , а относительное изменение объема 8 а 8L+ £»3 . В рас -сматриваемых опытах реализовывалось напряженное состояние .

При нагружении каждого образца отношение-С оставалось по -

стоянным, но от образца к образцу оно изменялось, от 0 до I. Так,например, на рис.ó и 6 крестиками представлены данные опытов на белом мраморе при С =0.232 и С =0.405 соответственно. При построении расчетных зависимостей в определяющих соотношениях теории максимального сдвига коэффициент дилатансии принимался в виде di - об * t^ (р . На рис.5 и 6 пунктирной линией изображены расчеты при об0 »0, а сплошной - при сС. =0.4 и оС »0,06 соответственно. Приведенные на этих рисунках зависимости показывают, что с увеличением бокового

давления коэффициент дилатансии оС уменьшается оставаясь при этом больше значения , а при С »0.515; 0.71, как показано в третьей главе, имеется хорошее соответствие расчета и эксперимента при 01,0=*ОС, = у* 0.

В четвертой главе с позиции предложенных в работе теорий решаются иллюстративные прикладные задачи механики деформируемого твердого тела и механики горных пород.

С использованием определяющих соотношений теорий максимального и октаэдрического сдвига решена задача о потере устойчивости шар -нирно закрепленной удлиненной прямоугольной пластинки,сжатой вдоль длинной стороны. Принимается гипотеза Шенли (1946-1У47 гг.) о том, что начало выпучивания сопровождается увеличением сжимающей нагрузки. Теоретические и экспериментальные исследования, посвященные этой задаче, показывают, что деформационная теория Надаи-Ильюшина дает лучшее соответствие с экспериментом, чем теория течения Рейса-Ланинга. С другой стороны, известно, что деформационная теория обоснованно может использоваться лишь при пропорциональном нагружении в то время как при потере устойчивости пластинки происходит сложное нагружение. Приведенное в третьей главе сравнение результатов расчет та и экспериментов на сложное.нагружение позволяет с большим основанием использовать для решения задач устойчивости теории, изложенные в первой и второй главах, чем классические теории деформаций и течения. Лучшее соответствие с результатами опытов Стоуэла на устойчивость получается при использовании теории максимального сдвига. На рис.7 светлыми кружками изображена экспериментальная зависимость критического сжимающего напряжения (о* , отвечающего началу выпучивания, от гибкости пластинки - ¿/А. , 8 - ширина пластинки, Д -толщина (Вольмир), сплошной линией - результаты расчета по теории максимального сдвига, штриховой - по теории октаэдрического сдвига, штрихпунктирной - по теории течения Рейса-Ланинга.

. Сформулирована плоская задача геомеханики, которая позволяет учесть пространственный характер изменения напряжений вокруг протяженных цилиндрических выработок. Считается, что возмущенное проведением выработки деформированное состояние является плоским. Эта по -становка используется при решении упруго-пластической задачи о круг-* лой выработке в гидростатическом и геостатическом полях напряжений. Используется критерий пластичности Треска-Сен-Венана, при ЭТОМ В Зй"^ даче учитываются все три главных касательных напряжения. Получено

10 -| о

-ю -20 --20 .

"40

100

ш -с.Ша

Рис.5. Данные опытов А.Н.Ставрогина на белом мраморе и результаты расчётов по теории максимального сдвига

10*20 О

20 -Ь Ю' 10 . о

— л

2оо т 600 -£,МПа

Рис.6. Данные опытов А.Н.Ставрогкна на белом мраморе .и результаты расчётов по теории максимального сдвига

entina

15 20

"T

25

г 30

35 S/ñ.

Рис.7. Расчётные и экспериментальная зависимости критического напряжения от гибкости пластинки

Р*, tlfla

165.5 -

110.3 • 5S.2 .

О

О 27.6 55.2 82.7 угМПа

Рис*8. Расчётные и экспериментальная зависимости давления разрыва от внешнего давления

вполне удовлетворительное качественное соответствие с результатами лабораторных опытов Нореля и Чиркова.

Основываясь на теории максимального сдвига, учитывающей внутреннее трение, дилатансшо, упрочнение и разупрочнение, решаются задачи о нагружении цилиндрической и сферической полостей внутренним и гидростатическим внешним давлением. Исследуется вопрос о потере устойчивости закрепленных и незакрепленных горных выработок. Определяется давление разрыва в скважине при цилиндрическом и сферическом гидроразрывах в зависимости от механических свойств горной породы и от величины горного давления. Вывод об устойчивости или неустойчивости горных пород вокруг полостей делается на основе анализа зависимости внешнего параметра нагружения задачи (внешнее или внутреннее давление) от радиуса неупругой зоны. Если эта зависимость имеет характерный экстремум-максимум или минимум, то экстремальное значение внешнего параметра нагружения является критическим и выработка теряет устойчивость при всех других значениях параметра соответственно выше или ниже критического (Ибрагимов, Клюшников,1971 г.).

Показано, что учет запредельной деформации горных пород и критерий прочности Кулона-Мора с большей степенью достоверности, чем традиционно используемый критерий максимального нормального напряжения, могут быть использованы Для интерпретации результатов опытов' (Медлин, Мейс, 1979 г.) по гидроразрыву скважин как в хрупких, так и в пластичных горных породах. На рис.8 кружками изображены результаты экспериментов Медлина и Мейса по гидроразрыву сферической по -лости в кернах из мягкопластичной горной породы. Здесь - гидро -статическое внешнее давление, рл - давление разрыва. Сплошной линией изображены результаты расчета по критерию Кулона-Мора при Ц) -0.2. Пунктирной линией на этом рисунке представлена расчетная зависимость без учета внутреннего трения, но с учетом запредельной де -формации - разупрочнения горных пород. Расчет по критерию максимального нормального напряжения нанесен штрихпунктирной линией.

В конце четвертой главы приводятся решения задач о деформировании металлической полосы в условиях плоской деформации в жесгко-пла-стической постановке. Задачи решаются для идеально пластического материала с учетом внутреннего трения - разной сопротивляемости металла пластическому "Деформированию при растяжении и сжатии. Рассматри -вается растяжение полосы ослабленной вырезами и волочение полосы через матрицу. Установлено, что угол внутреннего трения при его незначительной и экспериментально обоснованной величине для металлов за -

метно влияет на значения внешних силовых параметров в рассмотрен -ных задачах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе проведенных теоретических и экспериментальных иссле -дований можно сформулировать следующие основные выводы и научные положения, защищаемые в работе:

1. Предложен новый подход к построению определяющих соотношений в теории пластичности, основанный на механической модели материала, в которой пластическая деформация есть результат независимых реальных сдвигов по конечному числу систем скольжения.

2. В предлагаемой теории максимального сдвига системы скольжения определяются точкой касания огибающей с кругом Мора. В частном случае, при равенстве коэффициентов дилатансии и внутреннего трения эта теория приводит к закону течения ассоциированному с гранью пирамиды Кулона-Мора.

Показано, что эффекты сложного нагружения - сингулярность точки нагружения, неупругий модуль ортогональной догрузки, установленные в опытах на металлах (Жуков, Свешникова, Нахди и Роули), вполне удов -летворительно объясняются на основе теории максимального сдвига с учетом внутреннего трения, которое характеризует разную сопротивляемость материала пластическому деформированию при растяжении и сжатии.

3. В теории октаэдрического сдвига системы скольжения связаны с октаэдрическими плоскостями и плоскостями ортогональными к ним. Част-1 ным случаем этой теории является закон течения ассоциированный с конусом' Мизеса-Шлейхера.

Теория октаэдрического сдвига объясняет результаты экспериментов на сложное нагружение с поворотом главных осей напряжений за счет введения дополнительной характеристики материала и несимметричного функционирования систем скольжения, связанных с разными октаэд-рическими плоскостями.

4. Сравнительный анализ результатов расчета с данными собственных экспериментов на образцах из стали ЗОХМА показал, что теория максимального сдвига не хуже чем классическая теория течения Рейса-Ла -нинга описывает деформирование тонкостенных трубок за пределом упругости при их нагружении осевой силой и внутренним давлением.

5. Сравнение двух предлагаемых теорий с данными известных экспериментов показало, что теория максимального сдвига находится в лучшем'

«»

количественном соответствии с результатами опытов по простому и сложному нагружению, чем теория октаэдрического сдвига. Теория ок -таэдрического. сдвига не согласуется с опытами А.М.Жукова, в которых осуществлялось нагружение с постоянной интенсивностью напряжений и с опытами Свешниковой В.А., где сложное догружение осуществлялось за счет растяжения из состояния чистого кручения.

6. В результате анализа и сравнения расчетных зависимостей по теории максимального сдвига с данными опытов А.Н.Ставрогина на белом мраморе установлено, что при осевом сжатии и незначительном боковом обжатии цилиндрических образцов коэффициент дила,тансии больше значения, которое предсказывается ассоциированным законом течения и уменьшается вместе с углом внутреннего трения до нуля при увеличении бокового давления.

7. Решена задача о потере устойчивости шарнирно закрепленной удлиненной прямоугольной пластинки, сжатой вдоль длинной стороны, с использованием определяющих соотношений теорий максимального и октаэдрического сдвига. Лучшее соответствие с результатами опытов Стоуэ-ла получается при использовании теории максимального сдвига.

8. С позиции теории максимального сдвига решена плоская задача геомеханики для протяженной круглой цилиндрической выработки с учетом пространственного шля напряжений в нетронутом массиве. Поручено изменение всех компонент напряжений в зависимости от расстояния до контура выработки качественно подтверждающееся результатами лабораторных опытов Нореля Ь.К. и Чиркова С.Е.

9. Решены задачи о потере устойчивости горных пород вокруг ци -линдрической и сферической выработок и скважин с использованием оп -ределяющих соотношений теории максимального сдвига.

Установлено, что увеличение коэффициента Пуассона и угла внут -реннего трения повышает, а увеличение модуля спада и дилатансии по -нижает устойчивость горных пород вокруг цилиндрической и сферической выработок.

-Показано, что как для хрупких, так и для пластичных горных пород, локальный учет разупрочнения перед разрушением и критерий Кулона-Мора с большей степенью "достоверности, чем традиционно используемый критерий максимального нормального напряжения могут быть использованы для интерпретации результатов опытов по гидроразрыву скважин (Медлин, Пейс), а следовательно и для определения напряжений в не -тронутом массиве этим методом.

10. Решены задачи о деформировании металлической полосы из идеально пластического материала в условиях плоской деформации с учетом внутреннего трения.

Показано, что угол внутреннего трения при его незначительной и экспериментально обоснованной величине для металлов заметно влияет на значения внешних силовых параметров в задачах о растяжении полосы с вырезами и о волочении полосы через матрицу.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

1. Жигалкин В.М., Адигамов Н.С., Коврижных A.M. Исследование зависимостей между напряжениями и деформациями теории пластичности анизотропно упрочняющейся среды//Измерение напряжений в массиве горных пород: Материалы 1У Всесоюзного семинара. - Новосибирск, 1974. - С.20-30.

2. Жигалкин В.М., Коврижных A.M. Учет деформационной анизотропии при пластическом деформировании материала//Нрочность и пластичность: Материалы УП Всесоюз.конф. - Горький, 1978. - С.54-55.

3. Коврижных A.M. Об одном варианте описания состояний неполной и полной пластичности//Динамика сплошной среды: Сб. науч.тр. -

- Новосибирск, 1978. - Вып.34. - С.54-62.

4. Коврижных A.M. Учет разнопрочности материала на сдвиг за пределом упругости//ФТПРПИ. - 1978. - № 6. - С.18-24.

5. Коврижных A.M. Вариант теории пластического течения, основанный на сдвиговом механизме деформирования//Дурнал IIMIW. - 1982.- № 6. - С.133-138.

6. Коврижных A.M. Вариант теории пластической деформации горных пород//Физ.-техн.пробл.разработки полезных ископаемых. - 1983.- № I. - С.3-8.

7. Коврижных A.M. О предельных напряжениях и деформациях во -круг незакрепленной горной выработки//ФТПР1Щ. - 1984. - № 2.-С.28-34.

8. Коврижных A.M. Пластическое деформирование упрочняющихся ма-н териалов при сложном нагружении//Изв. АН СССР. МТГ. - 1986. - № 4. -

- С.140-146.

9. Коврижных A.M. К теории пластичности, учитывающей вид напряженного состояния при сложном нагружении//Изв. АН СССР. МТТ. -

- 1987. - № 6. - C.98-I06.

Ю. Коврижных A.M. К вопросу охрупчивания металла при пластическом деформировании/Дурная 1ШТь. - 1989. - № 6. - C.I6I-I68.

11. Коврижных A.M. О потере устойчивости горных пород вокруг выработок и скважин// ФТПРПИ. - 1У90. - № 4. - С.35-46.

12. Коврижных A.M. Устойчивость прямоугольной пластинки за пределом упругости//йурнал ПМК'. - 1^90. - № 5. - (J.IOb-IIO.