Динамические и кинетические явления в ультрахолодных Бозе-конденсированных газах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Глава 1. Введение

Глава 2. Обзор

2.1. Термодинамика идеального Бозе-газа.

2.2. БЭК во взаимодействующем газе.

2.3. Динамика Бозе-конденсатов

2.4. Сверхтекучесть и вихревые состояния.

Глава 3. Межатомные столкновения в ультрахолодных газах.

3.1. Трехчастичная рекомбинация ультрахолодных атомов на слабосвязанный я-уровень.

3.2. Влияние внешнего квазирезонансного света на длину рассеяния в ультра - холодных газах.

Глава 4. Динамика Бозе-конденсированных газов при нулевой температуре.

Глава 5. Теория возмущений для неоднородного Бозе - конденсированного газа при конечной температуре

5.1. Введение

5.2. Общие соотношения.

5.3. Пространственно-однородный случай

5.4. Пространственно-неоднородный Бозе - конденсированный газ

2 Оглавление

5.5. Квазиклассические возбуждения в конечном Бозе - конденсированном газе.

5.6. Звуковые волны в цилиндрически-симметричных конденсатах

5.7. Затухание наинизших возбуждений в конечной Бозе-системе

всеми частицами одного квантового состояния. Такое квантовое состояние представляет собой макроскопический квантовый объект, обычно называемый Бозе - конденсатом. БЭК проявляется как фазовый переход, сопровождаемый резким изменением физических свойств образца.

Явление БЭК широко распространено в статистической физике и физике конденсированного состояния. Сразу после первоначального Эйнштейновского рассмотрения БЭК в идеальном газе возникла идея о том, что и сверхтекучесть в жидком гелии можно считать возможным проявлением Бозе - конденсации (Лондон (1938)) в системе сильно взаимодействующих частиц. Развитие концепции Бозе - конденсации привело к первой успешной феноменологической модели сверхпроводимости [6] и в дальнейшем получило развитие в разработке теории спонтанного нарушения симметрии [7]. В дальнейшем, проявления БЭК обнаружены практически на любом пространственном (энергетическом) масштабе физического мира. В частности, Бозе - конденсация гипотетических бозонов Хиггса является важным ингредиентом современной теории электрослабых взаимодействий [7]. Некоторые последствия такого фазового перехода, произошедшего вскоре после Большого взрыва, могут сохраняться в течение очень большого времени и служить объяснением для недавно обнаруженной неоднородности распределения масс во вселенной на больших масштабах [8]. Другим возможным артефактом оставшимся от той эпохи могут быть космические струны-гипотетические аналоги вихрей в жидком гелии [9]. Конденсация 7г-мезонов (так называемая 7Г - конденсация), элементарных частиц, ответственных за сильное взаимодействие

1. введение 5 нуклонов в ядрах атомов, возможно происходит внутри тяжелых ядер или в ядрах нейтронных звезд (см. [10] в качестве обзора). В частности, апериодические вспышки регистрируемые на быстро вращающихся пульсаров, возможно, объясняются диссипативной динамикой и гибелью квантовых вихрей внутри сверхтекучего ядра нейтронной звезды [11]. Все эти явления, совершенно различные по пространственным и энергетическим масштабам, имеют много общих качественных черт. Важнейшие свойства этих объектов можно объяснить при помощи единого подхода, основанного на представлении о спонтанном нарушении симметрии.

Успешные эксперименты по БЭК в ультрахолодных газах представляют собой еще один пример Бозе - конденсации во взаимодействующей системе. В отличии от классического слабовзаимодействующего газа, в Бозе - конденсированной системе даже слабое взаимодействие между атомами играет очень важную роль, и разреженные ультрахолодные газы проявляют все многообразие явлений, характерных для более сложных сверхтекучих систем. С точки зрения возможности теоретического описания эти системы очень похожи на идеальный газ. Наличие малого параметра, связанного с отношением радиуса взаимодействия к среднему расстоянию между частицами (так называемого газового параметра), позволяет проанализировать свойства системы исходя из микроскопической модели, исходя прямо из первых принципов. С экспериментальной точки зрения, удерживаемые в магнитных ловушках газовые образцы хорошо изолированы и контролируются при помощи относительно простых оптических средств. Эту ситуацию можно сравнить, например, с исследованием жидкого гелия, который уже несколько десятков лет представляет собой важнейший источник сведений о взаимодействующих Бозе - конденсированных системах, где доказательство БЭК получается из таких сложных экспериментов, как измерение распределения моментов гелиевых частиц посредством изучения рассеяния нейтронов. В тоже самое время высокая плотность жидкости не позволяет построить замкнутую микроскопическую теорию. Можно сказать что именно такая комбинация экспериментальной о теоретической "доступности" БЭК в ультрахолодных газах позволяет пролить свет на фундаментальные идеи в физике конденсированного состояния и провести очень точную проверку существующих теорий.

Экспериментальное достижение и изучение БЭК подразумевает охлаждение метастабильных газовых образцов, которое только в недавнее время стало возможным, благодаря прогрессу в манипулировании, удержании и охлаждении ультрахолодных газовых образцов. На самом деле, Бозе - конденсат в конечной системе можно рассматривать как когерентную волну материи, аналогичную лазерной моде, возбужденной в оптическом резонаторе. Дальнейшее исследование этой аналогии должно привести к созданию атомного лазера, способного генерировать интенсивные когерентные пучки холодных атомов. В настоящее время эта технология активно развивается ввиду возможных практических приложений,

1. введение 7 начиная от точной атомной интерферометрии и исследования столкновений в ультрахолодных газах вплоть до атомной литографии и создания квантового компьютера.

Первые попытки достичь режима квантового вырождения в атомарных газах начались более 20 лет назад в экспериментах с атомарным водородом. В первой серии экспериментов атомы водорода в Зееманов-ском состоянии с наименьшей энергией удерживались в так называемой "магнитной бутылке" (термостат со стенками покрытыми жидким гелием) и охлаждались до суб-Кельвиновских температур [12, 13, 14]. Такой подход казался весьма многообещающим ввиду того, что из-за высокой плотности газового образца ожидалась сравнительно высокая температура Бозе - конденсации. Однако, для реалистичных температур плотность, необходимая для наблюдения фазового перехода, оказалась настолько велика, что экспериментальные возможности оказались ограничены реком-бинационным нагревом и потерями частиц [12, 13, 14, 15, 16]. Другая возможность использовалась в экспериментах, выполненных в MIT и в Университете г. Амстердама, где атомы спин-поляризованного водорода удерживались в магнитной ловушке (так называемое бесстеночное удержание) и охлаждались при помощи испарительного охлаждения. Первая успешная демонстрация БЭК в спин-поляризованном водороде недавно состоялась в водородной группе MIT [17]. Другим важным экспериментальным успехом стало достижение режима квантового вырождения в

8 1. введение

Университете г. Турку (Финляндия) в двухмерном газе водородных атомов адсорбированных на поверхности жидкого гелия[18]. Этот эксперимент открывает новое направление для исследований, так как характер Возе - конденсации в низкоразмерных системах и в трехмерном газе качественно отличаются.

Другой важной составляющей успешного БЭК эксперимента является развитие лазерных методов работы с холодными нейтральными атомами, в частности лазерного охлаждения и магнитно-оптического удержания (см. [19, 20, 21] в качестве обзора). Щелочные атомы гораздо более пригодны для таких экспериментов, чем атомы водорода, так как соответствующие оптические переходы можно относительно легко возбуждать при помощи стандартно выпускаемых промышленностью лазеров. Температура такого образца может быть понижена далее при помощи перемещения атомов из магнето-оптической в магнитную ловушку и испарительного охлаждения [22, 23]. Такая комбинация оптических и газокинетических способов охлаждения в конечном итоге и привела к наблюдению БЭК в ультрахолодных парах щелочных атомов. Количество успешных БЭК экспериментов постоянно растет. К моменту написания Диссертации Бозе - конденсаты получены в экспериментах с 87Rb [3, 24, 25, 26, 27] и 23Na [4, 28, 29, 30]. Кроме того, в лаборатории RICE проводится интересный эксперимент с 7Li, в котором изучается БЭК в газе с притягивающим потенциалом взаимодействия между частицами [5]. Имеются группы, проводящие эксперименты в парах цезия, кальция и метастабильного триплетного гелия.

1. введение 9

С точки зрения теории ситуация в разреженном Бозе - конденсированном газе уникальна. Во-первых, благодаря низкой плотности Бозе -конденсатов, многие свойства таких систем можно понять уже в так называемом приближении среднего поля. Характерной чертой такого подхода является принципиальная роль двухчастичного взаимодействия между частицами, в то время как эффекты более высокого порядка приводят только к относительно медленному распаду системы в процессе рекомбинации. В разреженном ультрахолодном газе взаимодействие между частицами характеризуется единственным параметром двухчастичной длиной в-рассеяния а. Во-вторых, эффекты конечного размера усиливают влияние взаимодействия между частицами на физические свойства конденсатов, делая их поведение даже качественно отличным от поведения пространственно-однородных елабовзаимодействующих Бозе - конденсированных газов. Другой многообещающей возможностью изучения БЭК остается исследование конденсации экситонов в полупроводниках.

Принципиальным вопросом для для конкретных экспериментов с БЭК в атомарных газах является знак длины рассеяния а. В случае а > О упругое взаимодействие между атомами отвечает взаимному отталкиванию, и Бозе - конденсат оказывается устойчивым по отношению к межчастичному взаимодействию. Если а < 0, то упругое взаимодействие соответствует притяжению между частицами газа и приводит к коллапсу конденсата в случае пространственно-однородного газа [31]. В Бозе системе конечного размера с а < 0 ситуация остается примерно такой же, при условии, что среднеполевое взаимодействие между частицами превышает

10 1. введение расстояние между уровнями в удерживающем потенциале [32, 33]. Если же это взаимодействие намного меньше, чем расстояние между уровнями, то, благодаря эффектам конечного размера, возникает щель между основным состоянием и одночастичными возбуждениями. В результате становится возможным создание метастабильных Бозе - конденсированных состояний [33]. Среди щелочных атомов имеются атомы как с положительной, так и с отрицательной длиной рассеяния [34].

Диссертация посвящена теоретическому исследованию динамики и кинетики разреженных Бозе - конденсированных газов. Основной идеей, связывающей вместе различные части Диссертации, является роль взаимодействия при описании макроскопических квантовых явлений. Представленные результаты имеют непосредственное отношение к выполняемым в настоящее время экспериментальным исследованиям.

Диссертация организована следующим образом. После краткого введения в Главе 2 дается краткое введение в область и объясняются основные понятия, используемые в Диссертации. В Главе 3 рассматриваются вопросы двух- и трех- частичных столкновений между частицами в ультрахолодных газах. В первом разделе построена теория трехчастичной рекомбинации. В этом процессе три частицы сталкиваются, и образуется двухатомная молекула с очень малой энергией связи, которая забирается свободной частицей. Взаимодействие такого типа представляет собой начальную стадию формирования кластеров промежуточного размера между отдельными атомами и твердым телом. Трехчастичная рекомбинация ограничивает достижимые плотности в спин-поляризованном водороде и

1. введение 11 щелочных атомарных газах и, следовательно, налагает ограничения на возможность экспериментального изучения Бозе - конденсации в таких системах.

Во второй части Главы 3 предложена идея изменения величины и знака длины рассеяния при помощи резонансного лазерного света. Ввиду того, что изменение а непосредственно меняет среднеполевое взаимодействие между частицами, предложенный метод открывает возможность исследования новых макроскопических квантовых явлений в Бозе - конденсированных газах. Физическая картина воздействия лазерного света на упругие столкновения между атомами состоит в следующем: пара атомов поглощает лазерный фотон и виртуально переходит в возбужденное квазимолекулярное состояние. Затем, система переизлучает фотон обратно в лазерную моду и возвращается в начальное состояние, отвечающее той же самой кинетической энергии. Ввиду того, что взаимодействие между атомами в возбужденном состоянии гораздо сильнее, чем в основном, лазерный свет даже умеренной интенсивности может существенно изменить амплитуду рассеяния.

Изменение взаимодействия между частицами позволяет изучать макроскопические квантовые явления, связанные с динамикой конденсатов. Наряду с прочими вариантами, такими как изменение параметров удерживающего потенциала [33] или изменения взаимодействия между

12 1. введение частицами при помощи внешнего магнитного поля [35], действие лазерного света на Бозе - конденсат должно позволить создавать макроскопически возбужденные, но в то же время когерентные конденсатные состояния. Исследования таких систем особенно интересно ввиду того, что атомарные газы в магнитных ловушках хорошо изолированы от влияния внешнего теплового окружения. Поэтому, появление релаксации в динамике конденсатов, впервые продемонстрированное в эксперименте JILA при практически нулевой начальной температуре, вызывает вопрос о том, как газовый образец, первоначально приготовленный в чистом конденсат-ном состоянии, в конечном итоге приходит в новое состояние термодинамического равновесия. Ответ на этот вопрос непосредственно связан с фундаментальной проблемой появления необратимости в эволюции квантовой системы, состоящей из большого числа частиц. В частности, остается не проанализированным вопрос о формировании новой тепловой компоненты. В Главе 4 рассматривается динамика двух взаимодействующих Бозе - конденсатов в отсутствии тепловой компоненты и идентифицируются два режима эволюции: режим медленных периодических колебаний и хаотический режим сильного перемешивания, в котором становится возможным затухание относительного движения конденсатов.

Детальное описание характера движения конденсата при конечной температуре требует развития теории, выходящей за рамки теории среднего поля. Это относится, в частности, к вычислению зависящих от

1. введение 13 температуры скорости затухания и сдвигов энергии элементарных возбуждений. В Главе 5 разработана теория возмущений пригодная для вычисления этих величин при конечной температуре в пространственно-неоднородном газе.

Фундаментальный интерес представляют собой макроскопически возбужденные состояния Бозе - конденсатов, такие как, например, квантовые вихри в невращающейся ловушке. Создание и наблюдение таких объектов дает возможность для экспериментального исследования сверхтекучести в пространственно-ограниченных системах, так как квантование циркуляции и связанный с вихрем незатухающий макроскопический ток представляют собой наиболее впечатляющие свойства сверхтекучих жидкостей. Исследование этих явлений может служить для лучшему понимания связи между БЭК и сверхтекучестью. В Главе б представлена теория диссипативной динамики вихревого состояния в пространственно-неоднородном Бозе - конденсированном газе при конечной температуре. На основании полученных результатов анализируется механизм распада таких состояний и вычисляется время жизни вихревой нити в длинной цилиндрической стационарной ловушке.

Глава 2 Обзор

Бозе-Эйнштейновская конденсация представляет собой эффект квантовой статистики и происходит в системе бозонов (т.е. частиц с целым спином) всякий раз, когда характерная тепловая длина волны де Вройля превышает характерное расстояние между частицами. В этой Главе дается краткое введение в физику разреженных Возе - конденсированных газов, с ударением на описание основных понятий и методов, используемых в теоретических исследованиях ультрахолодных газов.

164 заключение пространственная область вблизи поверхности конденсата вносит основной вклад в вычисляемые величины, и результат вычисления для скорости затухания и сдвига энергии оказывается даже качественно иным, по сравнению со случаем пространственно - однородного газа. Последним примером служит исследование сдвига скорости звука и затухания аксиальных звуковых волн в цилиндрически симметричных Бозе - конденсатах в недавних экспериментах MIT.

В последней Главе б рассматривается пример динамики макроскопически возбужденного состояния конденсата. В частности, анализируется диссипативная динамикавихревого состояния в Бозе - конденсате конечного размера при конечной температуре и обсуждается сценарий распада таких состояний в стационарных ловушках. Взаимодействие вихря с тепловой компонентой приводит к переносу энергии от вихревого возбуждения к тепловым частицам и вызывает медленное движение вихря по направлению к поверхности конденсата. Как только сердцевина вихря достигает границы ловушки, вихревое состояние распадается на фононы (аннигилирует). Развитая в Диссертации теория диссипативной динамики позволяет расчитать характерное время жизни длинной вихревой нити в стационарной ловушке и исследовать вопрос о том, как взаимодействие вихря с тепловым окружением проявляется в экспериментальных ситуациях.

1. S. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924).

2. A. Einstein, Sitzber. Kgl. Preuss. Akad. Wiss. 261 (1924).

3. M. H. Anderson et al, Science 269, 198 (1995).

4. К. B. Davis et al., Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995).

5. С. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, and R. G. Hulet, Phys. Rev. Lett. 75, 1687 (1995).

6. H. London and F. London, Proc. Roy. Soc. (London) A149, 71 (1935).

7. S. Weinberg, The quantum Theory of Fields II: Modern applications (Cambridge University Press, Cambridge, 1966).

8. A. Linde, Phys. Rev. D 49, 748 (1994).

9. S. Davis, A. Davis, and M. Trodden, Phys. Rev. D 57, 5184 (1998).

10. M. Alpar and D. Pines, The Lives of the Neutron Star: conference proceedings, edited by M. Alpar and J. van Paradijs (Kluwere Academic Publisher, Dordrech, 1995).

11. K. Cheng, D. Pines, M. Alpar, and J. Shalam, ApJ 330, 835 (1988).

12. I. Silvera and J. Walraven, Phys. Rev. Lett. 44, 164 (1980).

13. I. Silvera and J. Walraven, Progress in Low Temperature Physics, edited by D. Brewer (Elsivier, Amsterdam, 1984), Vol. X, p. 139.

14. T. J. Greytak and D. Kleppner, New Trends in Atomic Physics, edited by G. Grynberg and R. Stora (North Holland, Amsterdam, 1984).

15. T. J. Greytak, Bose Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D. W. Snoke, and S. Stringari (Cambridge University Press, Cambridge, 1995), p. 131.

16. I. F. Silvera, Bose Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D. W. Snoke, and S. Stringari (Cambridge University Press, Cambridge, 1995), p. 160.

17. D. Fried et al., Phys. Rev. Lett. 81, 3811 (1998).

18. A. Safonov et al., Phys. Rev. Lett. 81, 4545 (1998).

19. S. Chu, Rev. Mod. Phys. 70, 707 (1998).

20. C. Cohen-Tannoudji, Atomic Physics, edited by C. Wieman, D. Wineland, and S. Smith (AIP, New York, 1995), Vol. 14, p. 193.

21. W. Phillips, Atomic Physics, edited by C. Wieman, D. Wineland, and S. Smith (AIP, New York, 1995), Vol. 14, p. 211.

22. J. Т. М. Walraven, Quantum dynamics of simple systems, edited by J.-L. Oppo, S. M. Barnett, E. Riis, and M. Wilkinson (Institute of Physics Publ., London, 1996), p. 315.

23. W. Ketterle and N. J. van Druten, Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics, edited by B. Bederson and H. Walther (Academic Press, San Diego, 1996), Vol. 37, p. 181.

24. M. Kasevich, talk at the IV Workshop on Optics and Interferometry with Atoms, 1997.

25. D.-J. Han, R. H. Wynar, P. Courteille, and D. J. Heinzen, Phys. Rev. A 57, R4114 (1998).

26. U. Ernst et al., Europhys. Lett. 41, 1 (1998).

27. T. Esslinger, L. Bloch, and T. Hansch, 1998, unpublished.

28. L. Hau et al., Photonic, Electronic ans Atomic Collisions, edited by F. Aumayr and H. Winter (World Scientific, Singapure, 1997), Vol. 1, p. 41.

29. L. Hau et al, Phys. Rev. A 58, R54 (1998).

30. R. Lutwak, 1998, unpublished.

31. E. M. Lifshitz and L. P. Pitaevskii, Statistical Physics, Part 2 (Pergamon Press, Oxford, 1980).

32. P. A. Ruprecht, M. J. Holland, K. Burnett, and M. Edwards, Phys. Rev. A 51, 4704 (1995).

33. Y. Kagan, G. Shlyapnikov, and J. Walraven, Phys. Rev. Lett 76, 2670 (1996).

34. B. J. Verhaar, Atomic Physics, edited by C. Wieman, D. Wineland, and S. Smith (AIP, New York, 1995), Vol. 14, p. 218.

35. E. Tiesinga, В. J. Verhaar, and H. Т. C. Stoof, Phys. Rev. A 47, 4114 (1992).

36. E. P. Gross, Nouvo Cimento 20, 454 (1961).

37. E. P. Gross, J. Math. Phys. 4, 195 (1963).

38. L. P. Pitaevskii, Sov. Phys. JETP 13, 451 (1961).

39. Y. Castin and J. Dalibard, Phys. Rev. A 55, 4330 (1997).

40. V. V. Goldman, I. F. Silvera, and A. J. Leggett, Phys. Rev. В 24, 2870 (1981).

41. D. A. Huse and E. D. Siggia, J. Low Temp. Phys. 46, 137 (1982).

42. Y. Kagan, E. L. Surkov, and G. Shlyapnikov, Phys. Rev. A 54, R1753 (1996).

43. Y. Kagan, E. L. Surkov, and G. Shlyapnikov, Phys. Rev. A 55, R18 (1997).

44. Y. Castin and R. Dum, Phys. Rev. Lett. 77, 5315 (1996).

45. Y. Kagan, E. L. Surkov, and G. Shlyapnikov, Phys. Rev. Lett. 79, 2604 (1997).

46. D. S. Jin et al., Phys. Rev. Lett. 77, 420 (1996).

47. M.-O. Mewes et al., Phys. Rev. Lett. 77, 988 (1996).

48. D. S. Jin et al, Phys. Rev. Lett. 78, 764 (1997).

49. D. Stamper-Kurn, H.-J. Miesner, S. I. M. Andrews, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 81, 500 (1998), cond-mat/9801262.

50. A. Smerzi and S. Fantoni, Phys. Rev. Lett. 78, 3589 (1997).

51. N. Bogolyubov, J. Phys. USSR 11, 23 (1947).

52. P. R. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys (Benjamin, New York, 1966).

53. S. Stringari, Phys. Rev. Lett. 77, 2360 (1996).

54. P. Ôhberg et al, Phys. Rev. A 56, R3346 (1997).

55. M. Fliesser, A. Cordas, R. Graham, and P. Szepfalusy, Phys. Rev. A 56, 4879 (1997), cond-mat/9707122.

56. Y. Castin and R. Dum, Phys. Rev. Lett. 77, 5315 (1996).

57. Y. Kagan, I. A. Vartan'yants, and G. V. Shlyapnikov, Sov. Phys. JETP 54, 590 (1981).

58. L. P. H. de Goey et al., Phys. Rev. В 34, 6183 (1986).

59. L. P. H. de Goey, H. T. C. Stoof, B. J. Verhaar, and W. Glockle, Phys. Rev. В 38, 646 (1988).

60. H. Т. С. Stoof, L. P. H. de Goey, B. J. Verhaar, and W. Glôckle, Phys. Rev. В 38,11221 (1988).

61. A. J. Moerdijk, H. M. J. M. Boesten, and B. J. Verhaar, Phys. Rev. A 53, 916 (1996).

62. D. V. Fedorov and A. S. Jensen, Phys. Rev. Lett. 71, 4103 (1993).

63. Z. Zhen and J. Macek, Phys. Rev. A 38, 1193 (1988).

64. A. J. Moerdijk and B. J. Verhaar, Phys. Rev. A 53, R19 (1996).

65. K. T. Tang, J. P. Toennies, , and C. L. Yiu, Phys. Rev. Lett. 74, 1548 (1995).

66. W. Schôllkopf and J. P. Toennies, Science 266, 1345 (1994).

67. J. Stârck and W. Meyer, Chem. Phys. Lett. 225, 229 (1994).

68. G. V. Shlyapnikov, J. T. M. Walraven, U. M. Rahmanov, and M. W. Reynolds, Phys. Rev. Lett. 73, 3247 (1994).

69. P. О. Fedichev, U. M. Rahmanov, M. W. Reynolds, and G. V. Shlyapnikov, Phys. Rev. A 53, 1447 (1996).

70. R. Côté, E. J. Heller, and A. Dalgarno, Phys. Rev. A 53, 234 (1996).

71. V. Bagnato and J. Weiner, preprint.

72. Private communications with P.S. Julienne and W.D. Phillips.

73. P. Julienne, A. Smith, , and K. Burnett, Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics, edited by B. Bederson and H. Walther (Academic Press, San Diego, 1996), Vol. 37, p. 369.

74. D. Heinzen, Atomic Physics, edited by C. Wieman, D. Wineland, and S. Smith (AIP, New York, 1995), Vol. 14, p. 369.

75. В. V. Svistunov and G. V. Shlyapnikov, Sov. Phys. JETP 70, 460 (1990).

76. В. V. Svistunov and G. V. Shlyapnikov, Sov. Phys. JETP 71, 71 (1990).

77. E. В. I. Abraham, N. W. M. Ritchie, W. I. McAlexander, and R. Hulet, J. Chem. Phys. 103, 7773 (1990).

78. W. T. Zemke and W. C. Stwalley, J. Phys. Chem. 97, 2053 (1993).168 Библиография

79. М. J. Holland, D. S. Jin, M. L. Chiofalo, and J. Cooper, Phys. Rev. Lett. 78, 3801 (1997).

80. W. B. Colson and A. Fetter, J. Low Temp. Phys. 33, 231 (1978).

81. E. Goldstein and P. Meystre, Phys. Rev. A 55, 2935 (1997).

82. T.-L. Ho and V. B. Shenoy, Phys. Rev. Lett. 77, 3276 (1996).

83. B. D. Esry, С. H. Green, J. P. Burke, and J. L. Bohn, Phys. Rev. Lett. 78, 3594 (1997).

84. С. K. Law, H. Pu, N. P. Bigelow, and J. H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 79, 3105 (1997).

85. H. Pu and N. P. Bigelow, Phys. Rev. Lett. 80, 1130 (1998).

86. H. Pu and N. P. Bigelow, Phys. Rev. Lett. 80, 1134 (1998).

87. E. Fermi, J. Pasta, and S. Ulam, Collected papers of Enrico Fermi (Accademia nazionale dei Lincei and University of Chicago, Roma, 1965), Vol. 2, p. 978.

88. F. M. Izrailev and B. Chirikov, Sov. Phys.-Doklady 11, 30 (1966).

89. R. Z. Sagdeev, D. A. Usikov, and G. M. Zaslavsky, Non-linear Physics: From the Pendulum to Turbulence and Chaos, Contemporary Concepts in Physics (Harwood Acad. Pub., Chur-New York, 1988).

90. D. S. Hall et al, Phys. Rev. Lett. 81, 1539 (1998).

91. D. S. Hall, M. R. Matthews, С. E. Wieman, and E. A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 81, 1543 (1998).

92. F. Dalfovo, S. Giorgini, L. Pitaevskii, and S. Stringari, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999).

93. P. O. Fedichev, G. V. Shlyapnikov, and J. Т. M. Walraven, Phys. Rev. Lett 80, 2269 (1998).

94. T. D. Lee and C. N. Yang, Phys. Rev. 112, 1419 (1958).

95. V. N. Popov, Sov. Phys. JETP 20, 1185 (1965).

96. S. T. Beliaev, Sov. Phys. JETP 34, 323 (1958).

97. N. Hugenholtz and D. Pines, Phys. Rev. 116, 489 (1959).

98. V. N. Popov, Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics (D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1983).

99. P. Hohenberg and P. Martin, Ann. Phys. 34, 291 (1965).

100. P. Szepfalusy and I. Kondor, Ann. Phys. 82, 1 (1974).

101. H. Shi and A. Griffin, Phys. Rep. (1997).

102. W. V. Liu, Phys. Rev. Lett. 79, 4056 (1997), cond-mat/9708080.

103. L. P. Pitaevskii and S. Stringari, Phys. Lett. A 235, 398 (1997), cond-mat/9708104.

104. S. Giorgini, Phys. Rev. A 57, 2949 (1997), cond-mat/9709259.

105. M. Andrews et al, Phys. Rev. Lett. 79, 553 (1997).

106. A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov, and I. E. Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Dover Publications Inc., New York, 1975).

107. М. Fliesser, A. Cordas, R. Graham, and P. Szepfalusy, Phys. Rev. A 56, R2533 (1997), cond-mat/9706002.

108. L. Landau and E. Lifshitz, Statistical Physics, Part 1 (Pergamon Press, Oxford-Frankfurt, 1980).

109. A. Griffin, Phys. Rev. A 53, 9341 (1996).

110. B. Chirikov, preprint chao-dyn/9705003.

111. E. A. Shapoval, Sov. Phys. JETP 20, 675 (1964).

112. L. P. Gor'kov and G. M. Eliashberg, Sov. Phys. JETP 21, 940 (1965).

113. G. Lüders and K.-D. Usadel, in The method of the Correlation function in Superconductivity Theory, Vol. 56 of Springer Tracts Modern Physics, edited by G. Höhler (Springer-Verlag, New York, 1971).

114. D. Hutchinson, E. Zaremba, and A. Griffin, Phys. Rev.Lett. 78, 1842 (1997).

115. R. Dodd, K. Burnett, M. Edwards, and C. Clark, Phys. Rev. A 57, R32 (1998), preprint cond-mat/9712286.

116. H. Shi and W.-M. Zheng, preprint cond-mat/9804108.

117. V. Shenoy and T.-L. Ho, preprint cond-mat/9710274.

118. E. Zaremba, Phys. Rev. A 57, 518 (1998).

119. G. Kavoulakis and C. Pethick, preprint cond-mat/9711224.

120. S. Stringari, preprint cond-mat/980106.

121. E. P. Wigner, Math. Ann. 53, 36 (1951).

122. E. P. Wigner, Math. Ann. 62, 548 (1955).

123. F. J. Dyson, J. Math. Phys. 3, 140 (1955).

124. A. Minguzzi and M. P. Tosi, J. Phys: Condens. Matter 9, 10 211 (1998).

125. D. Hutchinson, R. Dodd, and K. Burnett, e-print cond-mat/9805050.

126. M. J. Bijlsma and H. Stoof, e-print cond-mat/9902065.

127. A. Legget, in Topics in superfluidity and superconductivity, Low Temperature Physics, edited by M. Hoch and R. Lemmer (Springer Verlag, New York, 1992).

128. S. Stringari, e-print cond-mat/9812362.

129. J. R. Anglin and W. H. Zurek, cond-mat/9804035.

130. M. Olshanii and M. Naraschewski, cond-mat/9804035.

131. B. Jackson, J. F. McCann, and C. S. Adams, Phys. Rev. Lett. 80, 3903 (1998).

132. Y. Castin and R. Dum, to be published.

133. T. Busch and J. Anglin, e-print cond-mat/9809408.

134. A. E. Muryshev, H. B. van Linden van Heuvell, and G. V. Shlyapnikov, e-print cond-mat/9811408.

135. D. Rokhsar, Phys. Rev. Lett. 79, 1261 (1997).

136. A. L. Fetter, cond-mat/9808070.