Динамические состояния в конденсированных системах с аномалиями кинетических коэффициентов

Мортеза Хаджи Махмуд Задех

Динамические состояния в конденсированных системах с аномалиями кинетических коэффициентов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Мортеза Хаджи Махмуд Задех АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Динамические состояния в конденсированных системах с аномалиями кинетических коэффициентов»

Автореферат диссертации на тему "Динамические состояния в конденсированных системах с аномалиями кинетических коэффициентов"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 539219.3,536.425,53.072.121

Мортеза Хаджи Махмуд Задех

ДИНАМИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ С АНОМАЛИЯМИ КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Специальность 01 04 07- физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА —2005

Работа выполнена на кафедре физики твердого тела физического факультета Московского государственного университета имени М.В Ломоносова.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Кацнельсон Альберт Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор Лубашевский Игорь Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Юшенков Сергей Геннадиевич доктор физико-математических наук, профессор Морозов Владимир Георгиевич

Ведущая организация:

Институт Общей Физики РАН

Защита состоится « 17 » марта 2005 г. В 16-30 на заседании Диссертационного совета К.501.001.02 в Московском государственном университете им. М.В Ломоносова по адресу:

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В.Ломоносова, физический факультет, ЮФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В Ломоносова.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К.501.001.02

кандидат физико-математических наук И.А.Никанорова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие водородной энергетики требует фундаментального исследования водородсодержащих систем, по своей природе являющихся открытыми и неравновесными. Разнообразие свойств и проявлений неравновесных фазовых переходов в свою очередь требует развития новых методов их описания. В частности, в сплавах палладия после насыщения водородом наблюдается сложная немонотонная структурная релаксация, которую сложно описать в рамках существующих классических теорий, так как исследуемая система является не только открытой и неравновесной, но также является системой со сложной иерархической дефектной и энергетической структурой, эволюция которой может носить стохастический характер. Точное микроскопическое описание подобных систем в настоящее время невозможно из-за необходимости учета взаимодействия большого количества элементов разной структуры и недостатка экспериментальных и теоретических знаний на масштабах атомных кластеров. Поэтому происходит поэтапное развитие методов вторичной динамики, объясняющих все новые особенности немонотонной структурной релаксации. На сегодняшний день актуально развитие новых моделей.

Данная работа является следующей в цепочке моделей, объясняя природу возникновения неравновесных фазовых переходов, а также синхронизацию структурной эволюции микрообластей сплава, качественное описание которой сформировалось предыдущими моделями. Актуальность исследований обусловлена также наблюдением подобного класса явлений в социальных, биологических и экономических системах. В работе использован новый подход к анализу динамических состояний через управление кинетическими коэффициентами системы, учета их аномальных свойств и положения системы в фазовом пространстве. Для этой це-

ли было введено понятие динамической ловушки. Физика систем с динамическими ловушками находится на начальном этапе развития, что также обусловливает актуальность данного исследования, позволившего выявить основные свойства фундаментальной системы — цепочки осцилляторов с динамическими ловушками.

Цели работы.

1. Исследовать особенности и механизм неравновесных фазовых переходов в отдельном осцилляторе и в цепочке осцилляторов с динамическими ловушками.

2. Исследовать динамические состояния в цепочке осцилляторов с динамическими ловушками после возникновения неустойчивости при разных физических параметрах модели.

Научная новизна и практическая значимость работы.

1. Разработан новый способ исследования неравновесных фазовых переходов в сложных открытых системах путем построения аномальных функций кинетических коэффициентов в области динамической ловушки. (ОДЛ) — «низкоразмерной» неограниченной области фазового пространства, где все характерные масштабы времени динамики системы принимают значения, существенно превышающие их значения в остальной части фазового пространства.

2. Впервые проведено исследование динамических состояний в отдельном осцилляторе и в цепочке осцилляторов с динамическими ловушками. Выявлен механизм и условия возникновения различных динамических состояний.

3. Построена новая модель в цепочке моделей, направленных на объяснение немонотонной структурной эволюции насыщенных водородом сплавов палладия. Модель объясняет неустойчивость однородного со-

стояния сплавов и возникновение синхронизации эволюции различных областей сплава.

Положения, выносимые на защиту.

1. В конденсированных системах динамические ловушки индуцируют образование макроскопических состояний, характеристики которых определяются не стационарными точками регулярной силы, а сложным кооперативным движением частиц. Эти динамические состояния можно интерпретировать как фазовые состояния нового типа, а переходы между ними — фазовыми переходами нового типа.

2. Фазовые переходы в цепочке осцилляторов, индуцированные динамическими ловушками, характеризуются:

• Спонтанным нарушением симметрии системы. В зависимости от параметров системы функция распределения локальной симметрии приобретает либо бимодальную форму, либо характеризуется двумя масштабами с формированием «жирных», хвостов и значительным отклонением от гауссового вида для обоих компонент.

В зависимости от параметров системы функция распределения индивидуальных скоростей движения частиц либо обладает аномально большой дисперсией, либо приобретает негауссовый вид с ярко выраженным изломом в области максимума.

• В системе возникают долгоживущие макроскопические состояния, которые обладают индивидуальной жизнью. Характерное время жизни таких макроскопических состояний значительно превосходит среднее время нахождения в них отдельных частиц, формирующих данные состояния в текущий момент времени.

• При определенных параметрах формируются иерархические состояния.

3. Динамика системы с динамическими ловушками имеет вид последовательных случайных скачкообразных переходов между долгоживущи-ми состояниями, принадлежащими некоторому квазиконтинууму.

4. Случайные силы характеризуются конструктивной ролью в возникновении фазовых переходов. Их наличие необходимо для возникновения рассматриваемых фазовых переходов (это могут быть как внешние случайные силы, так и обусловленные динамическим хаосом). Интенсивность случайных сил должна принадлежать некоторому ограниченному интервалу. Если интенсивность мала или велика, фазовые переходы, индуцированные динамическими ловушками, не возникают.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ и 3 в

электронном виде.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. Международная научно-практическая конференция "фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения" (Московский институт радиоэлектроники и автоматики, Москва, 9--12 июня 2003).

2. The Workshop on Traffic and Granular Flow '03 (TGF03) (Delft University ofTechnology, The Netherlands, 1-3 October 2003).

3. Семинар по проблемам физики неравновесных систем и прикладных задач в описании динамики систем с мотивацией (Институт транспортных проблем Германского Аэрокосмического Центра в Берлине, Германия, 2004).

4. Семинар по проблемам статической физики неравновесных систем, (Университет г. Ростока, Германия, 2004).

5. Семинар по проблемам фазовых переходов в неравновесных системах (Институт Физической Химии, Университет г. Мюнстера, Германия, 2004).

6. 12 международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», (г. Пущино, Московская область, 17-22 января 2005).

7. Семинар по математическому моделированию развивающихся систем (ФИАН, Москва, 2005).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и содержит 107 страниц, 25 рисунков и список литературы из 115 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Обоснована актуальность темы, показана научная новизна и практическая значимость работы, сформулирована цель диссертационной работы, дано краткое содержание глав диссертации. Оригинальные результаты работы содержатся в третьей, четвертой и пятой главах.

Первая глава. Содержит обзор литературы по теме диссертации, состоящий из четырех частей. В первой части рассматриваются работы, посвященные исследованию фазовых переходов, индуцированных шумом. Показывается конструктивная роль шума в физических процессах. Во второй части рассматриваются работы, посвященные исследованию динамического хаоса и переходам между регулярной и хаотической динамикой. В третьей части рассматриваются работы по моделированию немонотонной релаксации в насыщенных водородом сплавах палладия. В четвертой части формулируется концепция динамических ловушек, приводится обзор работ, использующих понятие динамической ловушки, и

ставятся задачи диссертационной работы. Приводится отличие нового подхода к описанию фазовых переходов на основе динамических ловушек от классического подхода, основанного на свойствах термодинамического потенциала.

Вторая глава. Приводится описание численного метода, использованного для получения результатов диссертации. После сравнения ряда методов численного решения стохастических дифференциальных уравнений был выбран четырехшаговый метод Рунге-Кутта «^» с сильным порядком сходимости 1.5. В качестве генератора случайных чисел был выбран генератор псевдослучайных чисел, основанных на рекурсии числа со сдвигом вдоль разрядной сетки, с длинной цикла 3

Третья глава. Рассмотрен отдельный осциллятор с динамической ловушкой. Для получения динамической ловушки в фазовом пространстве был введен фактор Q, зависящий только от скорости частицы и, управляющий коэффициентами трения (о) и упругости. Когда скорость частицы мала, регулярная сила ослабевает и ее движение в большей степени определяется действием случайной силы амплитуды Уравнения движения в безразмерном виде следующие:

(1) (2)

Здесь ¿¡ф — белый шум, а А — параметр эффективности ловушки (0 — ловушка отсутствует, 1 — регулярная сила полностью подавлена при нулевой скорости частицы). Область динамической ловушки в фазовом пространстве представлена на рис. 1.

Рис 1. Область динамической ловушки (ОДЛ) в фазовом пространстве (затемнение). При небольшой скорости частицы регулярная сила подавлена и движение носит в большей степени случайных характер. В ОДЛ распределение скорости асимметрично, из-за чего возникает накачка энергии в осциллятор.

При отсутствии динамической ловушки (Л ~ 1) система представляет собой обычный затухающий осциллятор с шумом Функция распределения скорости и координаты в фазовом пространстве является гаус-сианой, рис. 2, с максимумом в области нулевых значений. С увеличением эффективности ДЛ в точке Д < Д с происходит фазовый переход, при котором функция распределения принимает бимодальную форму с двумя максимумами (отчетливо представлены в нижней части рисунка, а также на рис, 4).

Механизм фазового перехода можно понять с помощью рис. 3. Вне ОДЛ система представляет собой затухающий осциллятор. При положительной скорости регулярная сила вталкивает частицу в ОДЛ, где она совершает случайные блуждания. Из этого состояния частица может выйти только при отрицательной скорости в ОДЛ, где регулярная сила за короткое время выталкивает частицу из ОДЛ. Разная роль верхней и нижней части ОДЛ на графике приводит к асимметрии скорости частицы в ОДЛ и, как следствие, к раскачке осциллятора. Увеличение энергии осциллятора при прохождении ОДЛ приводит к тому, что равновесное состояние с ы = 0и г = 0 (попадающее в ОДЛ) становится неустойчивым. Возникает бимодальная функция распределения.

Второй тип неравновесного фазового перехода, связанного с изменением формы функции распределения скорости, представлен на рис. 4. При наличии ОДЛ возникает двухмасштабность функции распределения (вверху) и негауссовая форма вида (внизу). Двухмасшабность

связана с наличием двух областей движения с разными свойствами: область динамической ловушки и область регулярного движения.

слабое затухание (о = о 1)

-1-■-1-г™"-1-1-1-1-1—"— ТЕ-Э1-1-1-1-1---1------1-■-

42024 3210123

сильное затухание (о = 1)

кордината, г скорость, и

Рис. 4. Функция распределения координаты и скорости при разном затухании, а также при наличии ловушки с А = 0.1 (сплошная линия- 2) и ее отсутствии (пунктирная линия -1).

Проведя большое количество вычислительной работы, была построена фазовая диаграмма перехода от унимодальной функции распределения к бимодальной, рис. 5. Из нее следует, что фазовый переход не происходит при слишком малой или слишком большой интенсивности шума. Существует оптимальное значение интенсивности шума, при котором требуется динамическая ловушка минимальной эффективности для осуществления неравновесного фазового перехода. Эта величина связана с коэффициентом трения, уменьшаясь по мере увеличения трения.

Рис. 5. Фазовая диаграмма перехода от унимодальной к бимодальной форме функции распределения. Зависимость эффективности ловушки, при которой происходит переход 4ша> от интенсивности белого шума е.

Четвертая глава. Исследована цепочка из 1000 частиц, связанных пружинами. Крайние частицы жестко закреплены. Для каждой частицы численно вычислялись: положение х, скорость V, величина относительного сжатия соседних пружин г (упругое напряжение, характеризующее локальное нарушение симметрии) и его скорость и. ОДЛ была задана фактором ()(и), на частицы действовал белый шум интенсивности £. Эффективность ловушки задана величиной /4(1 — нет ловушки, 0 — регулярная сила полностью подавлена при и = 0). Еще одним ключевым параметром моделирования является расстояние между частицами I (плотность частиц). При соударении частицы упруго отталкиваются. Уравнения системы в безразмерном виде следующие:

и2+ А2

г, = х, -1 + хм ), / = 2,3,999.

= и

Ли,

^ = стилет

Ш = - 2 .

V +1

слабое эатуадние, <г = 01

2 0.1

0.01

(3)

(4)

(5)

■в -в -4 -г о г 4 в в

сильное эатуханиа^о = 1^Ъ-

0.001

•в-в-4-202*вв

-4 -2 0 2 4

относительное сжатие, г

-4 -з- -2 -1 01 г 3 4 скорость сжатия, и

Рис. 6. Функция распределения параметров локальной симметрии совокупного ансамбля частиц (кроме граничных) при сильном и слабом затухании, а также при 1 — низкой (/=50) и 2 — высокой плотности частиц (/=5).

Рис 7 Функция распределения скорости совокупного ансамбля частиц (кроме граничных) при сильном и слабом затухании, а также при 1 — низкой (/=50) и 2 — высокой плотности частиц (/=5). Справа приведен фрагмент движения одной частицы после возникновения неустойчивости

В начале численного моделирования состояние системы полагалось однородным, скорости частиц случайным образом были распределены в единичном интервале Через время порядка 1000 единиц наблюдалось разрушение однородного состояние и образование сложных динамиче-

ских состояний Исследование функции распределения совокупного ансамбля частиц (за исключением граничных) после возникновения неустойчивости, рис 6, показало, что в системе происходит целый ряд неравновесных фазовых переходов при изменении физических параметров системы, в частности, переход от бимодальной формы к унимодальной при высокой плотности частиц, переход от двухмасштабной форме к одно-масштабной (при сильном затухании частицы не могут выйти из ОДЛ в

область регулярного движения; в другом случае вне области ОДЛ распределение формируется в форме «жирных» хвостов).

На рис. 7 представлена функция распределения скорости частиц, а также фрагмент движения отдельной частицы после возникновения неустойчивости. Неравновесный фазовый переход характеризуется переходом от гауссового распределения к негауссовому ехр(-|у|). Переход возникает как при увеличении плотности, так и при увеличении затухания. Движение отдельных частиц при низкой плотности характеризуется «прыжками» между континуумом долгоживущих состояний, время жизни которых значительно превышает время индивидуальной динамики частиц.

Полная картина зависимости скорости от времени для всех частиц представлена на рис. 8. В зависимости от физических параметров в системе наблюдаются макроскопические кооперативные явления, динамика частиц на больших интервалах времени и больших расстояниях приобретает согласованный вид. В частности, при слабом затухании и низкой плотности, рис. 8а, возникают долгоживущие структуры на масштабах времени нескольких тысяч единиц. Происходит распространение возмущений на макроскопические расстояния. При слабом затухании и низкой плотности, рис. 8б, после возникновения неустойчивости на фоне долго-живущих структур проявляется мезоструктура. При высокой плотности частиц, рис. 8в, возникают макроскопические области однородного состояния, проявляющиеся в форме узкого пика в функции распределения локальной асимметрии.

Рис. 8. Контрастный график динамики скорости всех частиц при а) слабом затухании и низкой плотности частиц, б) сильном затухании и низкой плотности, в) слабом затухании и высокой плотности, г) сильном затухании и высокой плотности.

Наличие долгоживущих макроскопических состояний является механизмом синхронизации немонотонной релаксации в различных областях насыщенных водородом сплавов палладия. Это утверждение следует из аналогии цепочки осцилляторов с динамическими ловушками строению водородсодержащих сплавов палладия: релаксация сплавов носит колебательных характер и кинетический коэффициент диффузии аномальным образом связан с концентрацией неравновесных вакансий. При изменении концентрации вакансий на несколько процентов, коэффициент диффузии атомов металла может меняться на несколько порядков. При

уменышении количества вакансий в матрице возникает долгоживущее ме-тастабильное состояние, которое затем скачком переходит в другое мета-стабильное состояние из некоторого набора и т.д. Данная модель объясняет, почему однородное состояние насыщенного водородом сплава палладия является неустойчивым и не может описываться в рамках классической термодинамики.

Пятая глава. Исследована цепочка осцилляторов с динамическими ловушками при отсутствии соударений между частицами (модель струны), а также в отсутствии шума.

Установлено, что в модели струны уменьшается вероятность образования кластеров однородного состояния.

Установлено, что описанные ранее динамические состояния могут наблюдаться и в отсутствии шума за счет существования в системе динамического хаоса при не очень сильном затухании, играющего роль шума. Пример странного аттрактора одной частицы приведен на рис. 9. Проведено исследование взаимного перехода регулярной и хаотической динамике для цепочки из пяти осцилляторов.

Основные результаты и выводы.

1. Рассмотрен новый класс явлений, для описания которых введено понятие динамических ловушек. Под областью динамических ловушек

0.10

-aro I • ¡............i . i

1.80 1Л5 190 1.S6 200 2.05 210 215 220

положение частиц в ад. /

Рис. 9 Пример странного аттрактора одной частицы в отсутствии шума.

(ОДЛ) понимается «низкоразмерная», неограниченная область фазового пространства, где все характерные масштабы времени динамики системы принимают значения, существенно превышающие их значения в остальной части фазового пространства. Кинетические коэффициенты в ОДЛ принимают аномальные значения. Толщина области динамических ловушек в одном из направлений значительно меньше характерных размеров области локализации динамики системы в фазовом пространстве. В остальных направлениях ОДЛ неограниченна. В системах Pd-M-H область динамических ловушек, видимо, отвечает малым значениям концентрации неравновесных вакансий, находящихся в дефектных областях кристалла (коэффициент диффузии атомов металла в ОДЛ на несколько порядков меньше).

При пересечении ОДЛ регулярная «сила», не меняет знак, и влияние динамических ловушек сводится только к ее подавлению. Если эффект динамических ловушек значителен, то движение системы в ОДЛ определяется случайными силами.

Динамические ловушки индуцируют образование макроскопических состояний, характеристики которых определяются не стационарными точками регулярной силы, а сложным и непрерывным кооперативным движением частиц. В связи с этим естественно называть такие формирования динамическими состояниями, которые можно интерпретировать как фазовые состояния нового типа (своеобразные диссипативные структуры). Физика таких систем находится только на начальном этапе развития, поэтому конкретные исследования были проведены для простейшей модели цепочки связанных осцилляторов с динамическими ловушками.

не с формированием новых стационарных точек регулярной «силы», а с нарушением симметрии локальной функции распределения параметров системы при пересечении области динамических ловушек. Последнее обусловлено тем, что внутри области ловушек динамика системы контролируется, главным образом, стохастическими силами, при этом структура регулярной силы приводит к асимметрии свойств границ области динамических ловушек, одна из них становится «отражающей», другая — «поглощающей», с точки зрения случайных блужданий системы внутри области ловушек.

3. Фазовые переходы, индуцированные динамическими ловушками, характеризуются:

спонтанным нарушением симметрии системы, состоящим в том, что в зависимости от параметров системы функция распределения локальной симметрии приобретает либо бимодальную форму, либо характеризуется двумя масштабами с формированием «жирных», хвостов и значительным отклонением от гауссового вида для обоих компонент;

аномально большой дисперсией функции распределения индивидуальных скоростей движения «частиц», в зависимости от параметров системы, либо приобретением негауссового вида с ярко выраженным «изломом», в области максимума; возникновением в системе долгоживущих макроскопических состояний, характерное время жизни которых значительно превосходит среднее время нахождения в них отдельных «частиц», формирующих данные состояния в текущий момент времени; формированием иерархических состояний при определенных значениях параметров системы.

4. Возникающие долгоживущие состояния образуют квазиконтинуум, поскольку попадание системы в любую малую часть области ловушек может привести к формированию долгоживущего состояния.

5. Динамика системы с динамическими ловушками имеет вид последовательности случайных скачкообразных переходов между долгоживу-щими состояниями, принадлежащих некоторому квазиконтинууму.

6. В отсутствие стохастических сил динамические ловушки обусловливают возникновение эффективного шума, действие которого качественно сохраняет все вышеупомянутые свойства для больших ансамблей частиц (эффект динамического хаоса, индуцирующего фазовый переход).

7. Для возникновения рассматриваемых фазовых переходов необходимо наличие случайных сил (в том числе и обусловленных динамическим хаосом), интенсивность которых принадлежит некоторому ограниченному интервалу. Фазовые переходы, индуцированные ловушками, возникают, если интенсивность стохастических сил имеет промежуточные значения. Они не возникают, если интенсивность этих сил слишком мала или чрезмерно велика, что определяет конструктивную роль случайных сил в возникновении фазовых переходов.

Основные результаты диссертационной работы изложены в следующих публикациях.

1. Lubashevsky I., Hajimahmoodzadeh M., Katsnelson A., Wagner P. II Eur. Phys. J. B.-2003.-V.36.-P.115 // Arxiv: cond-mat/0304300.

2. Хаджи Махмуд Задех М., Лубашевский И. А., Кацнельсон А. А., Гу-зейнзаде Н.Г. и Вагнер П. Радиофизические процессы с динамическими ловушками, численное моделирование. // Труды конференции МИРЭА. Intermatic.-2003.-C.250.

3. Lubashevsky I., Hajimahmoodzadeh M., Katsnelson A., Wagner P. Toward noise-induced phase transitions in systems of elements with motivated behavior. / In: Hoogendoorn S., Bovy P.V.L., Schreckenberg M. and Wolf D.E. <eds.) Traffic and Granular Flow '03. // Berlin: Springer.-2005.-P.124. // Arxiv: cond-mat/0310189.-2003.

4. Лавренов А. Ю„ Лубашевский И. А., Кацнелъсон А. А., Хаджи Махмуд Задех М. Динамические состояния в цепочке осцилляторов с динамическими ловушками. // Тезисы 12 международной конференции «Математика, компьютер, образование», г. Пущино, 17—22 января 2005.-С.129-130.

5. Хаджи Махмуд Задех М., Лубашевский И. А., Кацнелъсон А. А. и Лав-ренов А. Ю. Структуры состояний цепочки осцилляторов с динамическими ловушками. // Краткие Сообщения по Физике.-2005.-К2.-СЛ2-18.

6. Lubashevsky I., Mahnke R., Hajimahmoodzadeh M, Katsnelson A. Long-lived states of oscillator chain with dynamical traps. // European Physical Journal В.-2005.-принята в печать. // Arxiv: cond-mat/0407324.-2004.

ООП Физ.ф-та МГУ. Заказ 35-100-05

' Ít¿< 151

>, !ä I /

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Мортеза Хаджи Махмуд Задех

Введение

Структура диссертации.

Положения, вынесенные на защиту.

1 Фазовые переходы в неравновесных системах

1.1 Фазовые переходы, индуцированные шумом.

1.2 Переход от регулярной к хаотической динамике

1.3 Немонотонная структурная релаксация.

1.4 Концепция динамических ловушек. Постановка задачи

2 Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта

3 Индуцированный шумом фазовый переход для одного осциллятора с динамической ловушкой

3.1 Модель осциллятора с динамической ловушкой

3.2 Динамика системы.

3.3 Механизм индуцированного шумом фазового перехода

3.4 Обсуждение результатов.

4 Фазовые переходы и аномальные распределения для цепочки осцилляторов с динамическими ловушками

4.1 Модель "ленивых" частиц.

4.2 Динамика системы. Аномальные распределения параметров

4.3 Кооперативные явления в многочастичном ансамбле

4.4 Обсуждение результатов.

5 Влияние соударений между частицами и шума на фазовые переходы и аномальные распределения для цепочки осцилляторов

5.1 Фазовые переходы и аномальные распределения для модели струны.

5.2 Цепочка осцилляторов при отсутствии шума.

5.3 Переход от регулярной к хаотической динамики для трех свободных осцилляторов при отсутствии шума

5.4 Обсуждение результатов.

Введение диссертация по физике, на тему "Динамические состояния в конденсированных системах с аномалиями кинетических коэффициентов"

Исследования неравновесных фазовых переходов в настоящее время вызывают большой интерес в связи с появлением новых классов явлений. Например, в насыщенных водородом сплавах палладия была обнаружена немонотонная структурная релаксация, обладающая стохастическими свойствами на макроскопическом уровне. Подобный класс явлений наблюдается в целом ряде сложных открытых систем с детерминированио описываемыми микроструктурами, активно взаимодействующими друг с другом. Детальное понимание структурной эволюции металлических сплавов, насыщенных водородом, имеет существенное значение для водородной энергетики.

Актуальность исследований обусловлена также наблюдением подобного класс явлений в социальных, биологических и экономических системах. Построение методов описания фазовых переходов в открытых системах является принципиально новым классом задач, если сравнивать их с классической теорией фазовых переходов, основанной на свойствах функционала энергии, в частности, на исследовании свойств локальных минимумов. При сложном обмене энергией с окружающей средой, например, при релаксации насыщенных водородом сплавов с большим количеством дефектов, па-хождение потенциальной энергии является очень сложной задачей, которую в настоящее время можно решить только для небольшой группы атомов. Для качественного описания наблюдаемых явлений требуется развитие новых методов. Новым подходом является анализ динамических состояний через управление кинетическими коэффициентами системы, учет их аномальных свойств и зависимость от положения системы в фазовом пространстве. Для этой цели вводится понятие динамических ловушек.

Назовем областью динамических ловушек (ОДЛ) "низкоразмерную" неограниченную область в фазовом пространстве, где все характерные масштабы времени динамики системы принимают значения, существенно превышающие их значения в остальной части фазового пространства. "Низкоразмерность" в этом определении означает, что толщина ОДЛ в одном из направлений значительно меньше характерных размеров области локализации динамики системы в фазовом пространстве. В остальных направлениях ОДЛ неогра-пичена. Например, в насыщенных водородом сплавах палладия с выходом водорода изменяется количество неравновесных вакансий, происходит их перераспределение внутри образца. При этом коэффициент диффузии, зависящий от концентрации вакансий, в микрообластях меняется на несколько порядков. Динамической ловушкой здесь является область в фазовом пространстве с малой концентрацией вакансий, так как эволюция сплава при этом происходит существенно медленнее.

Существенной особенностью проявления эффекта динамических ловушек является тот факт, что регулярная сила не меняет знак при пересечении ОДЛ, и влияние динамической ловушки сводится только к подавлению силы. Когда эффект динамических ловушек значителен, движение системы в ОДЛ определяется случайными (Лапже-веновскими) силами. В этом смысле область динамических ловушек можно представить как низкоразмерный континуум седловых точек регулярной силы.

Динамические ловушки индуцируют образование макроскопических состояний, характеристики которых определяются не стационарными точками регулярной силы, а сложным и непрерывным движением чаетиц. В этой связи естественно называть такие формирования динамическими состояниями, и которые также можно интерпретировать как фазовые состояния нового тина. При этом фазовые переходы между состояниями происходят при ненулевой регулярной силе, что отличает данный способ описания от классической теории фазовых переходов.

Физика систем с динамическими ловушками находится на начальном этапе развития. Поэтому данная диссертационная работа начинается с исследования простейшей модельной системы — одного осциллятора с динамической ловушкой, а затем продолжается исследованием пространственной системы — цепочки связанных осцилляторов с динамическими ловушками. Модель осцилляторов с динамическими ловушками является простейшей системой, где возникают фазовые переходы нового типа. Дальнейшее моделирование ансамбля элементов типа Лотки-Вольтерра с динамическими ловушками даст более адекватное представление о процессах структурной эволюции сплавов, контролируемых неравновесными вакансиями.

Так как исследуется открытая система с внешним шумом (или микрообласть сплава, на которую, с одной стороны, сложным образом влияют окружающие микрообласти с большим количеством дефектов, а с другой стороны — поле упругих напряжений большого объема сплава), то для описания динамики модельных систем необходимо использовать аппарат стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Численное решение СДУ требует больших вычислительных затрат, что объясняет, почему широкий интерес к подобному классу явлений возник только в последнее время.

Структура диссертации

В первой главе, являющейся литературным обзором, рассматриваются фазовые переходы в неравновесных системах и некоторые методы их описания. Тематика фазовых переходов очень обширна, поэтому рассматривались в основном только те работы, которые могут быть использованы для исследования систем с динамическими ловушками, в частности, какие динамические состояния вообще могут наблюдаться. Описаны индуцированные шумом фазовые переходы, показана конструктивная роль шума. Приведен обзор работ по динамическому хаосу, так как хаос по своему воздействию на систему является аналогом шума. Рассмотрен цикл работ по исследованию немонотонной структурной релаксации в насыщенных водородом сплавах палладия — сложным фазовым переходом в твердых телах. В конце главы излагается концепция динамических ловушек и приводится пример приложения ее для систем с мотивированным поведением.

Во второй главе рассматриваются численные методы решения стохастических уравнений. Приведен метод Рунге-Кутта, с помощью которого были получены результаты диссертационной работы.

В третьей главе подробно рассматривается фазовый переход на примере одного осциллятора с динамической ловушкой — простейшей модельной системы. Осциллятор является хорошо изученным физическим объектом, тем не менее, введение аномальных свойств силы упругости и вязкости позволяет обнаружить новые свойства, а частности, фазовый переход, индуцированный шумом. Подробно описан механизм возникновения фазового перехода.

В четвертой главе рассмотрена пространственная система из тысячи частиц, соединенных пружинами, с аномалиями кинетических коэффициентов. Исследуются аномальные распределения локальных параметров, таких как скорость, координата, сжатие пружин.

Приведены типы фазовых переходов, которые могут происходить в системе, а также типы долгоживущих макроскопических структур.

В пятой главе рассмотрено, как влияют дополнительные условия на динамику системы, а именно, наличие упругих столкновений между частицами, колеблющимися в продольном направлении. Рассматривается роль шума в кооперативных явлениях. Показано, что макроскопические структуры образовываются и в отсутствии шума за счет динамического хаоса. На примере небольшого количества частиц показан переход системы от регулярной к хаотической динамике, приведены примеры аттракторов. Показано, что в системе с очень сильными динамическими ловушками может наблюдаться континуум устойчивых состояний.

В заключении приводятся выводы диссертационной работы, данные об апробации работы и о публикациях в научных журналах.

Положения, вынесенные на защиту

2. Фазовые переходы в цепочке осцилляторов, индуцированные динамическими ловушками, характеризуются:

• Спонтанным нарушением симметрии системы. В зависимости от параметров системы функция распределения локальной симметрии приобретает либо бимодальную форму, либо характеризуется двумя масштабами с формированием жирных" хвостов и значительным отклонением от гауссо-вого вида для обоих компонент.

• В зависимости от параметров системы функция распределения индивидуальных скоростей движения частиц либо обладает аномально большой дисперсией, либо приобретает негауссовый вид с ярко выраженным изломом в области максимума.

• При определенных параметрах формируются иерархические состояния.

3. Динамика системы с динамическими ловушками имеет вид последовательных случайных скачкообразных переходов между долгоживущими состояниями, принадлежащими некоторому квазиконтинууму.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Основные результаты и выводы

1. Рассмотрен новый класс явлений, для описания которых введено понятие динамических ловушек. Под областью динамических ловушек (ОДЛ) понимается "низкоразмерная" неограниченная область фазового пространства, где все характерные масштабы времени динамики системы принимают значения, существенно превышающие их значения в остальной части фазового пространства. Кинетические коэффициенты в ОДЛ принимают аномальные значения. Толщина области динамических ловушек в одном из направлений значительно меньше характерных размеров области локализации динамики системы в фазовом пространстве. В остальных направлениях ОДЛ неограни-чена. В системах Р(1-М-Н область динамических ловушек, видимо, отвечает малым значениям концентрации неравновесных вакансий, находящихся в дефектных областях кристалла (коэффициент диффузии атомов металла в ОДЛ на несколько порядков меньше). При пересечении ОДЛ регулярная "сила" не меняет знак, и влияние динамических ловушек сводится только к ее подавлению. Если эффект динамических ловушек значителен, то движение системы в ОДЛ определяется случайными силами. Динамические ловушки индуцируют образование макроскопических состояний, характеристики которых определяются не стационарными точками регулярной силы, а сложным и непрерывным кооперативным движением частиц. В связи с этим естественно называть такие формирования динамическими состояниями, которые можно интерпретировать как фазовые состояния нового типа (своеобразные диссипативные структуры). Физика таких систем находится только на начальном этапе развития, поэтому конкретные исследования были проведены для простейшей модели цепочки связанных осцилляторов с динамическими ловушками.

2. В конденсированных системах с динамическими ловушками могут возникать неравновесные фазовые переходы нового типа. Механизм, ответственный за возникновение макроскопических структур, связан не с формированием новых стационарных точек регулярной "силы", а с нарушением симметрии локальной функции распределения параметров системы при пересечении области динамических ловушек. Последнее обусловлено тем, что внутри области ловушек динамика системы контролируется, главным образом, стохастическими силами, при этом структура регулярной силы приводит к асимметрии свойств границ области динамических ловушек, одна из них становится "отражающей", другая — "поглощающей" с точки зрения случайных блужданий системы внутри области ловушек.

3. Фазовые переходы, индуцированные динамическими ловушками, характеризуются:

• спонтанным нарушением симметрии системы, состоящим в том, что в зависимости от параметров системы функция распределения локальной симметрии приобретает либо бимодальную форму, либо характеризуется двумя масштабами с формированием "жирных" хвостов и значительным отклонением от гауссового вида для обоих компонент;

• аномально большой дисперсией функции распределения индивидуальных скоростей движения "частиц" в зависимости от параметров системы, либо приобретением негаус-сового вида с ярко выраженным "изломом" в области максимума;

• возникновением в системе долгоживущих макроскопических состояний, характерное время жизни которых значительно превосходит среднее время нахождения в них отдельных "частиц", формирующих данные состояния в текущий момент времени;

• формированием иерархических состояний при определенных значениях параметров системы.

5. Динамика системы с динамическими ловушками имеет вид последовательности случайных скачкообразных переходов между долгоживущими состояниями, принадлежащих некоторому квазиконтинууму.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях.

1. Международная научно-практическая конференция "фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения" (Московский институт радиоэлектроники и автоматики (МИ-РЭА), Москва, 9-12 июня 2003).

2. "The Workshop on Traffic and Granular Flow 03 (TGF03)" (Delft University of Technology, The Netherlands, 1-3 October 2003).

3. Семинар по проблемам физики неравновесных систем и прикладных задач в описании динамики систем с мотивацией (Институт транспортных проблем Германского Аэрокосмического • Центра в Берлине, Германия, 2004)

4. Семинар по проблемам статической физики неравновесных систем (Университет г. Ростока, Германия, 2004).

5. Семинар по проблемам фазовых переходов в неравновесных системах (Институт Физической Химии, Университет г. Мюнсте-ра, Германия, 2004).

6. 12 международная конференция "Математика, компьютер, образование" (г. Пущино, 17-22 января 2005).

7. Семинар по математическому моделированию развивающихся систем (ФИАН, Москва, 2005).

Список публикаций по теме диссертации

1. Lubashevsky I., Hajimahmoodzadeh М., Katsnelson A., Wagner P. "Noised-induced phase transition in an oscillatory system with dynamical traps"// Eur. Phys. J. B.-2003.-V.36.-P.115 // Arxiv: cond-mat /0304300.

2. Хаджи Махмуд Задех M., Лубашевский И.А., Кацнельсон А.А., Гузейнзаде Н.Г. и Вагнер П. "Радиофизические процессы с динамическими ловушками, численное моделирование."// Труды конференции МИРЭА. Interrnatic.-2003.-C.250.

3. Lubashevsky I., Hajimahmoodzadeh М., Katsnelson A., Wagner P. "Toward noise-induced phase transitions in systems of elements with motivated behavior."/ In: Hoogendoorn S., Bovy P.V.L., Schreckenberg M. and Wolf D.E. (eds.) Traffic and Granular Flow '03. // Berlin: Springer. -2005.-P.124. // Arxiv:cond-mat/0310189.-2003.

4. Лавренов А.Ю., Лубашевский И.А., Кацнельсона А.А., и Хаджи Махмуд Задех М. "Динамические состояния в цепочке осцилляторов с динамическими ловушками."// Тезисы 12 международной конференции "Математика, компьютер, образование". г. Пущино, 17-22 января 2005.-С.129-130.

5. Хаджи Махмуд Задех М., Лубашевский И.А., Кацнельсона А.А., и Лавренов А.Ю. "Структуры состояний цепочки осцилляторов с динамическими ловушками."// Краткие Сообщения по Физике.-2005.-Ы.2.-С.12-18.

6. Lubashevsky I., Mahnke R., Hajimahmoodzadeh M., Katsnelson "A. Long-lived states of oscillator chain with dynamical traps."// European Physical Journal В.-2005.-принята в печать. // Arxiv:cond-mat/0407324.-2004.

Благодарность

Автор диссертации выражает глубокую благодарность своими научным руководителям: профессору Кацнельсону A.A. и профессору Лубашевскому И.А. за постановку интересной и актуальной задачи, а также за плодотворное научное руководство.

Автор выражает большую благодарность Лавренову А.Ю. за ценную и постоянную помощь при выполнении данной работы.

Автор выражает большую признательность Авдюхиной В.М. и Ревкевич Г.П. за консультации, поддержку и помощь во время работы над диссертацией.

Автор благодарит заведующего кафедры физики твердого тела, профессора Илюшина A.C., и сотрудников кафедры физики твердого тела физического факультета МГУ за создание благоприятной атмосферы для выполнения диссертационной работы.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Мортеза Хаджи Махмуд Задех, Москва

1. Risken H. The Fokker-Plank equation. // Berlin: Springer-Verlag.-1989.

2. Gammaitoni L., Hánggi P., Jung P., and Marehesoni F. Stochastic resonance. // Rev. Mod. Phys.-1998.-V.70.-P.223-287.

3. Horsthemke W. and Lefevr R. Noise-induced transitions. // Berlin: Springer.-1984.

4. Ma S.K. Modern theory of critical phenomena. // Benjamin: Reading.-1976.

5. Cross M.C. and Honenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium. // Rev. Mod. Phys.-1993.-V.65.-P851-1112.

6. García-Ojavo J., Hernández-Machado A., and Sancho J.M. Effects of External Noise on the Swift-Hohenberg Equation. // Phys. Rev. Lett.-1993.-V. 71.-P. 1542-1545.

7. Becker A. and Kramer L. Linear Stability Analysis for Bifurcations in Spatially Extended Systems with Fluctuating Control Parameter. // Phys. Rev. Lett.-1994.-V.73.-P.955-958.

8. Parrondo J.M.R., Van den Broek C., Buceta J., and J. de la Rubia. Noise-induced spatial patterns. // Physica A.-1996.-V.224.-P.153-161.

9. García-Ojalvo J., and Sancho J.M. Noise in Spatially Extended Systems. // New York: Springer.-1999.

10. Kádár S, Wang J. and Showalter K. Noise-¿supported travelling waves in sub-excitable media. Noise Supported Traveling Waves in Subexcitablc Media. // Nature.-1998.-V.391.-P.770-772.

11. Alonso S., Sendiña-Nadal I., Pérez-Muñuzuri V., Sancho J. M. and Sagués F. Regular wave propagation out of noise in chemical active media. // Phys. Rev. Lett.-2001.-V.87.-078302.

12. Luque P., García-Ojalvo J., and Sancho J.M. In Fluctuation phenomena: disorder and nonlinearity, edited by Bishop A.R., Jiménez S., and Vázquez L. // Singapore: World Scientific.-1995.-P.75.

13. Van den Brocck C., Parrando J.M.R., and Toral R. // Phys. Rev. Lett.-1994.-V.73.-P.3395-3398.

14. Van den Broeck C., Parrando J.M.R., Almero J., and Hernández-Machado A. Mean field model for spatially extended systems in the presence of multiplicative noise. // Phys. Rev. E.-1994.-V.49.-P.2639-2643.

15. Genovese W., Muñoz M.A., and Sancho J.M. Nonequilibrium transitions induced by multiplicative noise. // Phys. Rev. E.-1998.-V.57.-P.2495-2498.

16. Miiller R., Lippert K., Kiihnel A., and Behn U. First-order nonequilibrium phase transition in a spatially extended system. // Phys. Rev. E.-1997.-V.56.-P.2658-2662.

17. Zaikin A.A., Schimansky-Geier L., and García-Ojalvo. Nonequilibrium first-order phase transition induced by additive noise. // Phys. Rev. E.-1999.-V.60.-P.6275-6278.

18. García-Ojalvo J., Parrando J.M.R., Sancho J.M., and Van den Broeck C. Reentrant transition induced by multiplicative noise inthe time-dependent Ginzburg-Landau model. // Phys. Rev. E-1996.-V.54.-P.6918-6921.

19. Garcia-Ojalvo J., Lacasta A.M., Sancho J.M., and Toral R. Phase separation driven by external fluctuations. // Europhys. Lett.-1998.-V.42.-P. 125-130.

20. Santos M.A. and Sancho J.M. Noise-induced fronts. // Phys. Rev. E.-1999.-V.59.-P.98-102.

21. Jung P. and Mayer-Kress G. Collision-Stable Waves in Excitable Reaction-Diffusion Systems. // Phys. Rev. Lett.-1995.-V.74,-P.2134-2137.

22. Kadar S., Wang J., and Showalter K. Noise Supported Traveling Waves in Subexcitable Media. // Nature.-1998.-V.391.-P.770-772.

23. Hempel H., Shimansky-Geier L., and Garcia-Ojalvo J. Noise-Sustained Pulsating Patterns and Global Oscillations in Subexcitable Media. // Phys. Rev. Lett.-1999.-V.82.-P.3713-3716.

24. Fogelson A.L. A mathematical model and numerical method for studying platelet adhesion and aggregation during blood clotting. // J. Comput. Phys.-1984.-V.50.-P. 111-134.

25. Veuthey A. L. and Stucki J. The adenylate kinase reaction acts as a frequency filter towards fluctuations of ATP utilization in the cell. // Biophys. Chem.-1987.-V.26.-P.19-28.

26. Geman S. and Hwang C. Diffusions for global optimization. // SIAM J. Control Optim.-1986.-V.24.-P. 1031-1043.

27. Goldstein L. Mean-square rates of convergence in the continuous time simulation annealing algorithm in IR d. // Adv. Appl. Math.-1988.-V.9.-P.35-39.

28. Ibanes M., Garcia-Ojalvo J., Toral R. and Sancho J. M. Lecture Notes in Physics, eds. Freund J., Poschel T. // Berlin: Springer.2000.-P.247.

29. Ibanes M., J. Garcia-Ojalvo, Toral R. and Sancho J. M. Noise-induced scenario for inverted phase diagrams. // Phys. Rev. Lett.2001.-V.87.-020601.

30. Sancho J. M. and Garcia-Ojalvo J. Lecture Notes in Physics, eds. Freund J., Poschel T. // Berlin: Springer.-2000.-P.235.

31. Van den Broeck C., Parrondo J. M. R., Toral R. and Kawai R. Nonequilibrium phase transitions induced by multiplicative noise. // Phys. Rev. E.-1997.-V.55.-P.4084-4094.

32. Carrillo O., Ibanes M. and Sancho J. M. Noise-induced phase transition by nonlinear instability mechanism. // Fluctuation and Noise Letters.-2002.-V.2.-N.l.-P.l-ll.

33. Zaikin A.A. and Shimansky-Geier L. Spatial patterns induced by additive noise. // Phys. Rev. E.-1998.-V.58.-.P.4355-4360.

34. Locher M., Cigna D. and Hunt E. R. Noise Sustained Propagation of a Signal in Coupled Bistable Electronic Elements. // Phys. Rev. Lett.-1988.-V.80.-P.5212-5215.

35. Garcia-Ojalvo J. and Shimansky-Geier L. Noise-induced spiral dynamics in excitable media. // Europhys. Lett.-1999.-V.47.-P.298-303.

36. Neiman A., Shimansky-Geier L., Cornell-Bell A. and Moss F. Noise-Enhanced Phase Synchronization in Excitable Media. // Phys. Rev. Lett.-1999.-V.83.-P.4896-4899.

37. Deissler R. J. External Noise and the Origin and Dynamics of Structure in Convectively Unstable Systems. // J. Stat. Phys.-1989.-V.54.-P. 1459-1488.

38. Santaguistina M., Colet P., San Miguel M. and Walgraef D. Noise-Sustained Convective Structures in Nonlinear Optics. // Phys. Rev. Lett.-1997.-V.79.-P.3633-3636.

39. Reimann P., Kawai R., Van den Broeck C. and Hánggi P. Coupled Brownian motors: anomalous hysteresis and zero-bias negative conductance. // Europhys. Lett.-1999.-V.45.-P.545-551.

40. Genovesc W. and Muñoz M. A. Recent results on multiplicative noise // Phys. Rev. E.-1999.-V.60.-P.G9-78.

41. Fedchenia I.I. Boundary stochastic problems, multistability in the presence of fluctuations and noice-induced phase transitions. // Physica A.-1984.-V.125A.-P.577-590.

42. Landa P.S. Nonlinear Oscillations and Waves in Dynamical Systems. // Dordrecht: Kluwer.-1996.

43. Landa P.S., Zaikin A.A. Nonequilibrium noise-induced phase transitions in simple systems. // JETP.-1997.-V.84.-P.197-208.

44. Landa P.S., Zaikin A.A., Schimansky-Geier L. Influence of additive noise on noise-induced phase transitions in nonlinear lattices. // Chaos solitons fractals.-1998.-V.9.-P.1367-1372.

45. Landa P.S., Zaikin A.A. Noise-induced phase transitions in a pendulum with a randomly vibrating suspension axis. // Phys. Rev. E.-1996.-V.54.-P.3535-3544.

46. Landa P.S., Zaikin A.A. Noise-induced phase transitions in nonlinear oscillators. / AIP Conference Proceedings 465. //

47. Dykman M.I., Luchinsky D.G., Mannella R., McClintock P.V.E., Stein N.D., Stocks N.G. Supernarrow spectral peaks and high-frequency stochastic resonance in systems with coexisting periodic attractors. // Phys. Rev. E.-1994.-V.49.-P.1198-1215.

48. Landa P. S., McClintock P.V.E. Changes in the dynamical behavior of nonlinear systems induced by noise. // Physics Reports.-2000.-V.323.-P.1-80.

49. Карташов Ю.А., Попов И.В. Фазовый переход I рода — результат параметрического воздействия теплового поля. // Письма в ЖЭТФ.-2002.-Т.28.-Вып.7.-С. 52-56.

50. Лоскутов Ю. А. Проблемы нелинейной динамики. // Вестник МГУ, сер.физ.-астр.-2001.-1\.3.-С.З-21.

51. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. // -1983.

52. Лифшиц Е.М., Лифшиц И.М., Халатников И.М. // ЖЭТФ,-1970.-Т.59.-С.322.

53. Loskutov A. Yu., Thomas G.E. On a possible mechanism of self-organization in a two-dimentional network of coupled quadratic maps. // SPIE.-1993.-V.2037.-P.238-249.

54. Bresler L., Metcalfe G., Ottino J.M., Shinbrot T. Isolated mixing regions: origin, robustness and control. // Chem. Eng. Sci,-1996.-V.58.-P.1671-1679.

55. Shinbrot T., Ottino J.M. A geometric method to create coherent structures in chaotic flows. // Phys. Rev. Lett.-1993.-V.71.-P.843-847.

56. Лоскутов А.Ю., Томас Г.Э. Хаос и дестохатизация в двумерной решетке сцепленных изображений. // Вестник МГУ, сер. физ.-acTp.-1993.-T.34.-N. 5.-С.3-11.

57. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. // Москва: Наука.-1978.

58. Shinbrot Т. Chaos: unpredictable yet controllable? // Nonlinear Sci. Today.-1993.-V.3.-N.2.-P.l-8.

59. Shinbrot T., Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. Using small perturbation to control chaos. // Nature.-1993.-V.363.-P.411-417.

60. Chen G., Dong X. From chaos to order. Perspectives and methodologies in controlling chaotic nonlinear dynamical systems. // Int. J. Bifurcation and Chaos.-1993.-V.3.-N.6.-P.1363-1409.

61. Shinbrot T. Progrès in the control of chaos. // Adv. Phys.-1995.-V.44.-N.2.-P.73-111.63. binder J.F., Ditto W.L. Removal, suppression and control of chaos by nonlinear design. // Appl. Mech. Rev.-1995.-V.48.-N.12.-P.795-807.

62. Ott E., Spano M.L. Controlling chaos. // Physics today.-1995.-V.48.-N.5.-P.34-40.

63. Lima R., Pettirii M. Suppression of chaos by resonant parametric perturbation. // Phys. Rev. A.-1990.-V.41.-N.2.-P.726-733.

64. Kivshar Yu.S., Rodelsperger В., Benner H. Suppression of chaos by nonresonant parametric perturbations. // Phys. Rev. E.-1994.-V.49.-P.319-324.

65. Jackson E.A., Hiibler A. Periodic entrainment of chaotic logistic map dynamics. // Physica D.-1990.-V.44.-P.407-420.

66. Pyragas K. Stabilization of unstable periodic and aperiodic orbits of chaotic systems by self-controlling feedback. // Z. Naturforsch A.-1993.V.48.-P.629-632.

67. Ott E., Greboni C., Yorke J.A. Controlling chaos. // Phys. Rev. Lett.-1990.-V.64.-P.1196-1199.

68. Romeiras F.J., Ott E., Greboni C., Dayawansa W.P. Controlling chaos dynamic systems. // Physica D.-1992.-V.58.-P.165-192.

69. Лоскутов Ю.А., Шишмарев А.И. Об одном свойстве семейств квадратичных отображений при параметрическом воздействии. // Успехи матем. наук.-1993.-Т.48.-Вып.1.-С.169-170.

70. Loskutov Yu.A., Shishmarev A.I. Control of dynamical systems bahavior by parametric perturbations: an analitical approach. // Chaos.-1994.-V.4.-N.2.-P.351-355.

71. Loskutov Yu.A. Non-feedback controlling complex behaviour: an analytic approach. / Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results. Ed. Awreicewicz J. // Berlin: Springer.-1995.-P.125-150.

72. Deryugin A.N., Loskutov Yu.A., Tereshko V.M. Including stable periodic behaviour in a class of dynamical systems by parametric perturbations. // Chaos, Solitons and Fractals.-1996.-V.7.-N.10.-P.1555-1567.

73. Loskutov A.Yu., Tereshko V.M., Vasiliev K.A. Stabilization of chaotic dynamics of orie-dimentional maps by a cyclic parametric transformation. // Int. J. Bif. and Chaos.-1996.-V.6.-N.4.-P.725-735.

74. Лоскутов А.Ю., Прохоров А.К. Параметрические возмущения и стабилизация хаотического поведения динамических систем. // Физ. мысль России.-1997.-Т.2/3.-С.36-52.

75. Дерюгин А.Н., Лоскутов А.Ю., Терешко В.М. К вопросу о рождении устойчивого периодического поведения параметрически возбуждаемых динамических систем. // ТМФ.-1995.-Т.104.-N.3.-С.507-512.

76. Galias Z. New method for stabilization of unstable periodic orbits in chaotic systems. // Int. J. Bif. and Chaos.-1995.-V.5.-N.l.-P.281-295.

77. Nucleation Theory and Applications. Eds. Schinelzer J.W.P., Ropke G., Priezzhev V.B. // Dubna: JINR.-2002.

78. Ревкевич Г.П., Миткова M.K., Кацнельсон А.А., Аверцева И.Н., Раевская M.B. Влияние электролитического наводороживания на фазвое равновесие в сплаве палладий-самарий. // Вестник МГУ, сер. физ.-астр.-1994.-М.5.-С.72. 78

79. Ревкевич Г.П., Миткова М.К., Кацнельсон А.А., Князево М.А. Механизм перераспределения атомов в сплаве Pd-Sm при насыщении водородом. // Поверхность (PCHH).-1997.-N.2.-C.75.

80. Кацнельсон А.А., Олемской А.И., Сухорукова И.В., Ревкевич Г.П. Обнаружение осцилляции дефектной структуры в сплаве Pd-W (11.3aT.%W) при релаксации после насыщения водородом. // Вестник МГУ, сер. физ.-астр.-1994.-Т.35.-К,3.-С.94.

81. Кацпельсон А.А, Олемской А.И., Сухорукова И.В., Ревкевич Г.П. Автоколебательные процессы при релаксации структуры насыщенных водородом сплавов палладий-металл (на примере

82. Pd-W). // yOH.-1995.-T.165.-N.3.-C.331. 338

83. Княгиничев A.B., Хан Ха Сок, Авдюхина В.М., Кацпельсон A.A., Ревкевич Г.П. Физика эволюции структуры и упругих напряжений в сплавах Pd-Mo после насыщения водородом // OTT.-2001.-T.43.-N.2.-C.200-206.

84. В.М. Авдюхина, A.A. Анищенко, A.A. Кацнельсон, Г.П. Ревкевич. Особенности структурных превращений при релаксации неравновесных систем Pd-Mo-H. // Перспект. MaTep.-2002.-N.6.-С.52. S3

85. Авдюхина В.М., Анищенко A.A., Кацпельсон A.A., Ревкевич Г.П. Немонотонный характер релаксационных процессов в гид-рогенизированном сплаве Pd-Mo. // Перспект. матер.-2002.-N.4.-C^ .г

86. Вольтерра В. Схема хищник-жертва. Математическая теория борьбы за существование. // Москва: Наука.-1975.

87. Авдюхина В.М., Ревкевич Г.П., Кацнельсон A.A. Осциллирующие фазовые превращения на начальные стадии релаксации в насыщенном водородом в сплаве Pd-Er. // Кристаллография.-1999.-T.44.-N.1.-C.1-4.

88. Авдюхина В.М., Ревкевич Г.П., Олемской А.П., Олемской Д.А., Кацпельсон A.A. Стохастический характер временных изменений структурных превращений в насыщенном водородом сплаве Pd-Er. // OMM.^2MöT-T.88.-N.6.-C.63-67.

89. Авдюхина В.М., Ревкевич Г.П., Кацнельсон A.A. Неравновесные фазовые превращения осциллирующего типа в сплаве Pd

90. Er, релаксирующее после насыщения водородом. // Вестник МГУ, сер. физ.-астр.-1999.-N.5.-C.44-47.

91. Кацнельсон A.A., Лаврснов А.Ю., Лубашевский И.А. Микроскопическая модель немонотонной релаксации в насыщенных водородом сплавах на примере сплава Pd-Er. // ФММ.-2002.-T.92.-N.5.-C.57-64.

92. Анищепко B.C., Вадивасова Т.К., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стахостических систем. // Саратов: Издательство Саратовского упиверситета.-1999.

93. Авдюхина В.М., Кацнельсон A.A., Ревкевич Г.П., Олемской А.И. Немонотонная структурная эволюция в термодинамически открытой системе Pd-M-H. Основные особенности модели. // Перспективные материалы.-2001.-N.3.-С.5-14.

94. Авдюхина В.М., Кацнельсон A.A., Олемской А.И., Олемской Д.А., Ревкевич Г.П. Эволюция структуры сплава Pd-Ta-H в термодинамическом представлении Эдвардса. // ФТТ.-2002,-T.44.-N.6.-C.979-984.

95. Авдюхина В.М., Кацнельсон A.A., Ревкевич Г.П., А.И. Олемской, Д.А. Олемской. Стохастические структурные превращения в сплавах палладия, насыщенных водородом. // Персп. MaT.-2000.-N.3.-С.5-9.

96. Авдюхина В.М., Кацнельсон A.A., Ревкевич Г.П., Хан Ха Сок, Княгиничев A.B. Стохастические структурные изменения в насыщенных водородом деформированных сплавах Pd-Ta по рентгенокипетическим данным. // Кристаллография.-2002.-Т.47.-N.3.-С.393-401.

97. Кацнельсон А.А., Князева М.А., Олемской А.И. Кинетика (3 — а-превращеиия и иерархичность дефектов структуры в двухфазном состоянии в системе Pd-H. // ФТТ.-1999.-Т.41.-1М.9.-С.1621-1626.

98. Lubashevsky I. A., Gafiychuk V. V., Deinchuk A. V. Anomalous relaxation oscillations due to dynamical traps. // Physica A.-1998.-V.255.-P.406-414.

99. Lubashevsky I., Mahnke R., Wagner P., Kalenkov S. Long-lived states in synchronized traffic flow: Empirical prompt and dynamical trap model. // Phys. Rev. E.-2002.-V.66.-016117.

100. Helbing D. Traffic and related self-driven many-particle systems. // Rev. Mod. Phys.-2001.-V.73.-P. 1067-1142.

101. Solomon Т.Н., Weeks E.R., Swinney H.L. Chaotic advection ina two-dimensional flow: Levy flights and anomalous diffusion. //i

102. Physica D.-1994.-V.76.-P.70-84.

103. Solomon Т.Н., Lee A.T., Fogleman M.A. Resonant flights and transient superdiffusion in a time-periodic, two-dimensional flow. // Physica D.-2001.-V.157.-P.40-53.

104. Zaslavsky G.M. Dynamical traps. // Physica D.-2002.-V. 168-169.-P.292-304.

105. Kloeden P.E. and Platen E. The Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. // Verlag: Springer-1992.

106. Gard T.C. Introduction to stochastic differential equations. // New York: Marcel Dekker.-1988.

107. Ottinger U.C. Stochastic Processes in Polymeric Fluids. // Berlin: Springer-Verlag.-1996.

108. Wagner W. and Platen E. Approximation of Itô integral equations. // Berlin: Preprint ZIMM, Akad. der Wiss. der DDR.-1978.

109. Platen E. and Wagner W. On a Taylor formula for a class of Itô processes. // Prob. Math. Statist.-1982.-V.3.-P.37-51.

110. Milstein G.N. Approximate integration of stochastic differential equations. // Theor. Prob. Appl.-1974.-V.19.-P.557-562.

111. Kloeden P.E. and Pearson R.A. The numerical solution of stochastic differential equations. // J. Austral. Math. Soc.-1977.~ V.20.-Series B.-P.8-12.

112. Platen E. Zur zeitdiskreten Approximation von Itoprozessen. // Berlin: Diss. B., IMath, Akad. der Wiss. der DDR.-1984.

113. Chang C.C. Numerical solution of stochastic differential equations with constant diffusion coefficients. // Math. Comp.-1987.-V.49.-P.523-542.

114. Burrage K. and Burrage P.M. High strong order explicit Runge-Kutta methods for stochastic ordinary differential equations. // App.Num. Math.-1996.-V.22.-P.81-101.

115. Burrage P.M. Numeriacal methods for stochastic differential equation. Ph.D.Thesis. // University of Queensland, Brisbane, Queensland, Australia.-1999.