Динамические явления в композитных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Учреждение Российской академии паук. Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН

Динамические явления в композитных

средах

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ВОРОБЬЕВ Петр Евгеньевич

80460ЫУ5

Москва - 2010

004606105

Работа выполнена в Учреждении Российской академии паука Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка.

Научный руководитель: доктор физико-математических паук,

член-корреспондент РАН Лебедев В. В. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Кац Е.И.

доктор фгьзико-математических наук Сарычев А.К.

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт физики твердого тела РАН, Московская обл., г. Черноголовка Защита состоится 24 июня 2010 года, в 11 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, расположенном по адресу: Ц2432, Московская обл., Ногинский р-н., поселок Черноголовка, Институт физики твердого тела РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан 21 мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук У* / Рриневич П. Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В данной работе рассмотрены задачи, касающиеся гидродинамики мембранных систем и электродинамики металл-диэлектрических систем.

Мембраны являются элементом живых клеток, и от свойств мембран зависят многие жизненно важные функции клеток. Мембраны оказывают существенное влияние на течение окружающей жидкости. Это влияние зависит от состояния мембраны (жидкое, кристаллическое) и от ее характеристик, таких, как изгибный модуль и внутреняя вязкость [1, 2]. В данной работе исследовалось влияние свойств мембран на гидродинамическое взаимодействие частиц, взвешенных в жидкости в мембранных системах. Установлено, что мембраны оказывают качественный эффект на это взаимодействие.

Маталл-диэлектрические системы являются в последнее время предметом активных исследований, в частности, в связи с созданием композитных материалов с эффективным отрицательным показателем преломления электромагнитных волн. Это достигается путем внедрения в диэлектрическую матрицу металлических структур, имеющих размеры меньшие, чем длина падающей волны [3, 4]. Одним из явлений, возникающих в таких структурах, является локальное усиление электрического поля волны в узких зазорах между металлическими гранулами [5]. Это явление нашло себе применение, например, в методе поверхностно-усиленной Рамановской спектроскопии [6].

Из экспериментальных данных известно, что наибольшее усиление локального поля достигается на определенных частотах, что позволяет сделать вывод о резонансном характере этого явления [7]. Представляет существенный интерес пространственная структура поля собственных

мод таких систем, а также влияние геометрических характеристик на коэффициент усиления поля. Это может быть важным для создания в небольшой области пространства больших по величине полей.

В более сложных системах периодически расположенных металлических частиц, резонанс оказывается распространен на некоторую частотную область. В этом случае, представляет интерес ширина этой области, а также дисперсия моды.

Цель работы Цель работы состоит в теоретическом исследовании влияния мембран на гидродинамическое взаимодействие частиц и в изучении усиления электрического поля в металл-диэелектрических композитных системах.

Основные результаты

1. Исследовано влияние мембран на отклик жидкости на действие сосредоточенной силы. Найдены явные выражения для поля скоростей в случаях, когда сила действует между двумя плоскими параллельными мембранами и внутри сферической везикулы. Полученные результаты были применены к исследованию корреляционных функций смещений частиц при Броуновском движении. Установлено, что мембраны оказывают качественно иное, нежели твердые границы, влияние на гидродинамическое взаимодействие частиц. Показано, что наличие мембран не меняет закона убывания корреляционных функций с расстоянием между частицами, по сран-вению с неограниченной жидкостью, однако, существенно меняет характер корреляций при движении в различных направлениях. Показано, что для достаточно близко расположенных к мембранам частиц, корреляции в их смещениях существенно зависят от внутренней вязкости мембраны.

2. Исследовано усиление электрического поля падающей электромагнитной волны в узких зазорах, между двумя близко расположенными металлическими гранулами различных геометрий. Получены выражения для определения значений проницаемости металла, соответствующих наибольшему коэффициенту усиления - резонансные значения. В данной работе было показано, что условия возникновения резонанса занвисят только от геометрии зазора между металлическими гранулами. В частности, эти условия схожи для сферических и цилиндрических гранул. Показано, что резонанс в таких системах возможен, если проницаемость металла (ее вещественная часть) отрицательна и велика по модулю. Были найдены коэффициенты усиления электрического поля в зазорах, которые оказались зависящими от размеров гранул и толщины зазора. Было показано, что коэффициент усиления зависит от геометрии всей гранулы, а не только от параметров зазора. В частности, при увеличении размера гранул при фиксированных параметрах зазора, коэффициент усиления становится больше.

3. Были рассмотрены собственные моды в цепочках гранул, расположенных периодически вдоль некоторой прямой. Было показано, что в отличие от системы двух гранул, где собственных модам отвечают отдельные частоты, в системах с цепочками гранул собственным модам соответствуют частотные области. Ширина этих областей оказывается такой, что значение проницаемости меняется на величину порядка ее самой внутри каждой зоны. Был исследован вопрос о дисперсии собственных мод в таких системах. Был исследован вопрос об отражении падающей нормально на цепочку цилиндров электромагнитной волны, в частности показано, что коэф-

фициент отражения, как функция частоты падающей волны, имеет максимумы при значениях частот, соответствующих собственным модам цепочки цилиндров с нулевым волновым вектором.

Научная новизна и достоверность. Результаты работы получены впервые. Достоверность полученных результатов обеспечивается получением их из первых принципов - путем решения уравнений гидродинамики и электродинамики. При исследовании влияния мембран на гидродинамическое взаимодействие частиц, для жидкости во всех областях решалось уравнения Навье-Стокса при малых числах; Рейнолдса. Электродинамика металл-диэлектрических систем исследовалась с помощью уравнений Максвелла в квазистационарном пределе.

Научная и практическая ценность. Научные результаты представляют собой функцию Грина уравнения Стокса в мембранных системах, условия плазмониого резонанса в парах металлических гранул, описание собственных мод цепочек металлических гранул. Полученные результаты представляют интерес с точки зрения эксперимента. Результаты, касающиеся мембранных систем, предсказывают зависимость наблюдаемых в эксперименте величин от характеристик мембран.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на конференции 'Landau Days 2009' а также на семинарах в ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН, семинарах в Институте Лау Ланжевена, Гренобль, Франция.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 3 научные работы, список которых приведён в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.

Содержание работы

Во Введении дан обзор литературы, обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Глава 1 посвящена исследованию влияния мембран на гидродинамическое взаимодействие частиц, взвешенных в жидкости. Мы считаем, что число Рейиольдса для нашей системы мало, так что течение может описываться линейным по скорости уравнением Стокса. Предполагается, что расстояние между частицами много больше, чем их размеры. В этом случае, в главном приближении, поле скоростей, возбуждаемое поступательным движением одной из частиц с постоянной скоростью, совпадает с функцией Грина уравнения Стокса, то есть дается решением уравнения:

т)У2У - Ур + Р6(г - г0) = 0. (1)

где сила Р определяется из условия равенства ее Стоксовой силе сопротивления, действующей на движущуюся частицу.

Таким образом, в этом приближении, для исследования гидродинамического взаимодействия частиц в некоторой системе, необходимо сначала найти функцию Грина уравнения Стокса. Вначале мы представляем известное выражение для функции Грина в неограниченной жидкости [8]:

1 Г7Р ( Р пЛп 1

(2)

1

V = --

5717?

К д3

Здесь т] - вязкость жидкости, а Н вектор из точки приложения силы в точку наблюдения. Отметим, что скорость спадает с расстоянием как 1 /Я. Поле скоростей (2) показано на рис. 1

Рис. 1. Поле скоростей (2) представляющее собой отклик неограниченной жидкости на действие сосредоточенной силы

Мы рассматриваем системы двух пространственных геометрий: систему двух плоских параллельных мембран и сферическую везикулу. В первом случае, также воспроизводим ранее известное решение для жидкости, заключенной между параллельными плоскими твердыми стенками [9]:

_ иЛ/» _ ЬЛт* ГЕ1 0(Т?„п„\п

(3)

3(Д — ы){г -

Га 2{Р0р0)ра

о2 р1

Здесь Ъ, - расстояние между твердыми стенками, а ра - двумерный вектор в плоскости стенок, проведенный от точки приложения силы к точке наблюдения. Ось г направлена перепендикулярно стенкам, а ю - расстояние от одной из них до точки приложения силы. Отметим, что в такой системе скорость убывает с расстоянием быстрее, чем в неограниченной жидкости. Данное выражение применимо при условии р » к. Отметим также, что в главном приближении, скорость оказывается параллельной стенкам. Поле скоростей (3) показано на рис. 2.

Рассмотрим теперь функцию Грина, когда сила действует между параллельными плоскими мембранами. В этом случае, имеем следующее

выражение для поля скоростей между мембранами:

^ 1 Ра-^/ЗР/З

а Ащ р3

Скорость снова параллельна мембранам, однако, убывает с расстоянием так же, как и в неограниченной жидкости. Характер поля скоростей в этом случае оказывается иным. Данное выражение применимо, если р к а также р С/7?, где (- внутренняя вязкость мембран. Отметим, что на этих расстояниях скорость не зависит от вязкости мембраны. Поле скоростей (4) дано на рис. 3.

Необходимо также найти поле скоростей по другую сторону мембран. На больших расстояниях вдоль мембраны от точки приложения силы оно совпадает с (4). На малых расстояниях от точки приложения силы (р (/у), скорость оказывается обратно пропорциональной вязкости мембраны: V ~

Далее, мы рассматриваем поле скоростей вокруг действующей внутри сферической везикулы силы. Везикулой принято называть каплю жидкости, окруженную замкнутой мембраной. Так как и жидкость и мембрана предполагаются несжимаемыми, объем и площадь поверхности вези-

кулы остаются постоянными. Пусть площадь поверхности везикулы дается выражением 5 = (47т + Д)Я2, где радиус Л определен через объем везикулы как V = |7ГЙ3. Везикулу можно приближенно считать сферич-кеской, если Д <С 1. Мы считаем, что жидкость внутри везикулы может быть отлична от жидкости, окружающей везикулу. Обозначаем через т][ и т/2 вязкости этих жидкостей соответственно.

Наибольший интерес представляет поле скоростей снаружи от везикулы. При этом, следует учесть, что при действии силы внутри везикулы, последняя будет двигать поступательно с такой скоростью, чтобы Стоксова сила сопротивления уравновешивала действующую внутри везикулы силу. Кроме того, будет присутствовать дополнительное поле скоростей, которое можно написать в следующем виде:

оо

« = ]Гсиг1(гхГ). (5)

1=0

Где х'Г'1 - объемная сферическая функция порядка I. Начало системы координат выбрано в центре везикулы.

Решая уравнение Стокса, находим:

_ Fsinflp (2/+ 1) а1 ! ~ 4ir l(l + l)Nir^PlSm(p> W

Здесь a - расстояние от центра везикулы до точки приложения силы, а полярная ось выбрана вдоль линии, их соединяющей. Угол между силой и полярной осыо - в, угол (р отчитывается от направления силы, Р/ -просоедипенный полином Лежандра. Мы также ввели обозначение:

JV, = Ы1 - 1) + ъ{1 + 2) + (С/Щ - т + 2)] (7)

Мы видим, что внутренняя вязкость мембраны н вязкость внутренней жидкости не оказывают влияния на гармонику с I = 1. Последняя соответствует полю скоростей вокруг везикулы, вращающейся как целое:

. 1 [г, \F,a]} Д3 г0 jii

и = curl (г*) = -—' " ' 11 = -rfl,r; О = „V (8 87ГГ72 Г3 Г 87Г7?2Д3

На больших расстояниях от везикулы, именно этот вклад является главным. На этих расстояниях поле скоростей не зависит от внутренней вязкости мембраны.

Далее, мы применяем полученные результаты к исследованию корреляционных функций смещений частиц при Броуновском движении. С помощью флуктуационно-диссипационной теоремы мы показывем, что имеет место следующее соотношение:

{[Xa<i{t) - XOli(0)][*tlj(i) - адо)]) = 2Т1(Заь,ц{ш = 0), (9)

Здесь через X обозначены смещения частиц, индексы а и b нумеруют частицы, а индексы г и к - координатные оси. Через ¡3abtij(ui = 0) обозначен стационарный отклик частиц на силы: скорость частицы а, при действии на частицу Ь единичной силы. Таким образом, корреляционные функции смещений частиц выражаются через найденые нами функции Грина.

Введем ось х вдоль линии, соединяющей частицы. Для частиц в неограниченной жидкости, имеем:

- адо шад) - хм(о)]) = (ю)

{{ха,у(1) - ха,у{щ[хь,у{1) - адо)]> = ть ¿-1, (И)

То есть, движение частиц кореллированно положительно, как в продольном, так и в поперечном направлении.

Для частиц между двумя плоскими твердыми стенками, имеем:

(РМО - адошад) - хм(0)]> = (12)

«адо-х^над-здо)]) = (13)

В этом случае, движение корреллировапо положительно в продольном направлении, и антикореллировано в поперечном [10].

Для частиц между параллельными плоскими мембранами:

77 1

{[Ха,х{1) - ха,*(0)]рмг) - хм(о)]) = — (14)

(\Ха,у{1) - ХаМХь,у{1) - Хь,у{Щ) = О, (15)

То есть, продольные корреляции такие же, как и в неограниченной жидкости, а поперечные коррелляции - отсутствуют (точнее, имеют более высокий порядок).

Таким образом, наличие мембран качественно меняет гидродинамическое взаимодействие частиц, как по сравнению с неограниченной жидкостью, так и по сравнению с системами, имеющими твердые границы.

В Главе 2 рассматривается усиление электрического поля в узких зазорах между двумя металлическими гранулами, помещенными в диэлектрическую среду, при падении на систему электромагнитной волны.

Электрическое поле волны предполагается поляризованым вдоль линии, соединяющей центры гранул. Рассмотрим усиление поля между двумя шарами радиуса а расположенными на расстоянии 6. Мы предполагаем, что а S. Также, мы считаем, что длина падающей волны много больше, чем размер частиц: А > а. В этих условиях, электрическое поле можно считать потенциальным и описывать скалярным потенциалом: Е = —V0, удовлетворяющим уравнению Лапласа Дф = 0 и граничным условиям па границе металла и диэлектрика. Мы будем предполагать, что поле зависит от времени посредством множителя ехр(—itot). При рассмотрении переменных полей, нам удобно описывать металл его диэлектрической проницаемостью, являющейся функцией частоты -Граничные условия на потенциал электрического поля заключаются в том, что на границе должен быть непрерывен сам потенциал и нормальная компонента электрической индукции [И]:

фта = Фт (16)

дфаи,1 дфт . .

-лГ = (17)

где индексами in и out обозначен потенциал в металле и диэлектрике соответственно.

Прежде чем представить аналитическое решение данной задачи, интересно посмотреть, каким образом интересующие нас эффекты могут быть оценены по порядку величины из простых физических соображений.

Условие резонанса соответствует условию существования стоячих поверхностно-плазмонных мод в зазоре между гранулами. Зазор между двумя шарами радиуса а сохраняет свою толщину S на расстояниях порядка \fa6. Таким образом, условию резонанса соответствует условие существования стоячих волн в плоской щели с толщиной ~ 5 и длиной

~ у/а5, между двумя металлическими средами. В квазистационарном приближении дисперсия распространяющейся моды вдоль плоской щели, толщины 5, дается выражением е = — со!Ь(/?«5/2) [12], где /? - постоянная распространения, а е - проницаемость металла. При условии /38 -С 1, имеем: ¡3 ~ 1 /(е<5). Условие существования стоячей волны в щели, с длиной у/ад. можно написать так: /Зу/аб ~ п, где п - натуральное число. Отсюда получаем следующую оценку для значений восприимчивости металла, соответствующих резонансам:

епге$ ~ (18)

Это соотношение верно, если его правая часть является большой величиной, то есть, п не должно быть слишком велико. Мы видим, что в данной системе резонанс возможен при больших по величине отрицательных значениях проницаемости металла.

В оптической области частот, проницаемость хороших металлов (например, серебро, золото) может быть приближенно описана формулой ДРУДЭ:

ега~-НЛо)2[1 + »/М] (19)

где шр - плазменная частота, лежащая для хороших металлов в ультрафиолетовой области, а т - время релаксации, причем шт ;$> 1. Большим по величине отрицательным значениям проницаемости металла, соответствуют оптические частоты. Кроме того, мы предполагаем, что е' е" - действительная часть проницаемости, много больше, чем мнимая.

Таким образом, резонанс в ситемах двух близко расположенных металлических гранул возможен в оптической области частот. Для сравнения укажем, что резонанс на отдельной сферической частице происходит при £ = —2, что, согласно модели Друдэ (19), соответствует частоте, близкой к плазменной.

Рис. 4. Узкий зазор между двумя сферическими гранулами

Перейдем к определению коэффициента усиления внешнего электрического поля в зазоре. Для оценки необходимо приравнять мощность энергии, сообщаемой системе (две гранулы) внешним полем, к скорости диссипации энергии в системе. Для определения этих величин нужно знать пространственную структуру поля собственной моды. Перейдем к ее описанию.

Введем систему координат с осью г, проходящей через центры сферических частиц, и плоскостью ху посередине между частицами. Расстояние до начала координат в этой плоскости обозначим как р (рис. 4). Внутри зазора между частицами, поле собственной моды примерно постоянно, и направлено вдоль линии, соединяющей центры частиц (нас интересует мода, именно с таким направлением поля). Обозначим поле в центре зазора как Ес. Рассмотрим теперь распределение поля в плоскости ху. Очевидно, что в этой плоскости, поле направлено вдоль оси г и зависит только от расстояния до начала координат р.

Можно показать, что на расстояниях от центра зазора, больших по

сравнению с его шириной, но малых по сравнению с размерами гранул --С р а- разность потенциалов между ними остается приближенно постоянной. Отсюда можно получить оценку для поля в этой области:

Е ~ Ес% (20)

Р1

Этой областью будет определяться и дипольный момент, который можно оценить как: <1 ~ Ес а25. Тогда, поле на больших расстояниях от гранул - р > о, будет определяться именно этим дипольным моментом:

с 2

Е ~ Ес~-, р»а (21)

Рл

Теперь, можно перейти к определению коэффициента усиления поля. Поле в области зазора проникает вглубь гранул на расстояние порядка \/а8. Это позволяет написать следующую оценку для энергии, диссипируемой в системе в единицу времени:

,е"Е1а}1Чь12 (22)

Эту величину нужно приравнять к энергии, сообщаемой системе внешним полем в единицу времени: <5 ~ шйЕо. Таким образом, получим следующее выражение для усиления поля:

Ее /a^3/2

Таким образом, усиление поля оказывается зависящим от геометрии системы. Укажем, что для резонанса на отдельной грануле, коэффициент усиления имеет порядок ~ 1/е".

Тем же методом можно исследовать усиление поля между двумя, близко расположенными параллельными цилиндрами. Для значений проницаемости, соответствующих резонансам, остается в силе результат (18). Для коэффициента усиления, однако, получается иное значение:

^ ~ (24)

Ео е"6 У ;

17

Ж и

Полученные оценки подтверждаются аналитическим решением уравнения Лапласа для соответствующих систем - двух шаров и двух цилиндров. Решение осуществляется с помощью бисферических координат для шаров и с помощью биполярных координат для цилиндров. В результате, получаем следующее значение для коэффициента усиления поля между двумя шарами:

и между двумя цилиндрами:

^ = 1® (26)

что полностью согласуется с полученными нами ранее оценками.

Полученные результаты позволяют сформулировать следующие выводы. Достижение резонанса в системе двух, близко расположенных металлических гранул, возможно при больших отрицательных значениях проницаемости металла, что соответствует частотам, лежащим в оптической области. Положение резонанса определяется геометрией узкого зазора между гранулами. Коэффициент усиления поля, напротив, существенно зависит от геометрии самих гранул, и оказывается существешшо различным для сферических и цилиндрических гранул.

Сформулированные выводы позволяют предположить, что в системе двух гранул вытянутой формы, расположенных вдоль одной прямой (рис. 5), коэффициент усиления поля будет определяться размером гранул Ь, и окажется больше, чем для двух сферических или цилиндрических гранул. Аналитическое решение для систем подобных геометрий возможно в случае, когда гранулы представляют собой цилиндры вытянутого сечения. В этом случае, задача является эффективно двумерной. Оказывается возможным выполнить конформное преобразование координат таким образом, чтобы одна из координатных линий совпала с

(25)

7Т

Рис. 5. Две вытянутые гранулы, расположенные близко друг к другу

линией, ограничивающей сечение гранулы в плоскости ху. После этого, возможно аналитическое решение уравнения Лапласа с постановкой соответствующих граничных условий. Решение дает следующие результаты. Резонансные значения восприимчивости металла по-прежнему определяются лишь геометрией узкого зазора, и даются выражением (18), в котором 6 - толщина зазора, а под параметром а теперь следует понимать радиус кривизны поверхности гранулы в области зазора. Коэффициент усиления поля определяется размером гранулы и имеет следующую оценку:

<27>

Глава 3 посвящена исследованию собственных плазмонных мод цепочки гранул, расположенных периодически вдоль прямой. Аналитическое рассмотрение допускает цепочка цилиндров, расположенных параллельно друг-другу (Рис. 6). В этом случае, задача является эффективно

Рис. С. Цепочка цилиндром

двумерной, и может быть аналитически решена с помощью соответствующего конформного преобразования координат, подобно тому, как в Главе 2 была рассмотрена система двух вытянутых гранул. Рассмотрим следующее конформное преобразование:

где г = х + гу. Поверхности £ = ±£о представляют собой цепочку цилиндров, имеющих вытянутое сечение и расположенных близко друг к другу, если & « 1. Так как преобразование (28) является конформным, то оператор Лапласа в координатах £ и г/ имеет следующий вид:

где /г(£, 77) - коэффициент Ламе, зависящий от координат. Оказывается возможным разделение переменных в уравнении Лапласа в координатах £ и 1]. что позволяет аналитически исследовать собственные плазмонные моды в цепочке цилиндров.

В системы двух гранул, собственным модам соответствует набор частот, при которых проницаемость металла принимает одно из резонансных значений £"е8. В случае цепочки гранул, собственные моды характеризуются дополнительным параметром - квазиимпульсом д, определяющим изменение потенциала при движении вдоль цепочки. Резонансные значения проницаемости, теперь будут зависеть от квазиимпульса:

(28)

(29)

£гез(ч)> И эта зависимость определяет дисперсию моды - связь между частотой и квазиимпульсом. Представляет существенный интерес определение ширины этих зон, то есть размер области значений проницаемости, отвечающих одной зоне. Аналитиечское решение задачи показывает, что размер этой области оказывается порядка значений самой проницаемости.

Кроме того, представляет интерес дисперсия мод. Ее можно аналитически вычислить в области малых квазиимпульсов, где она оказывается линейной функцией д:

епгМ)^епгеМ^0) + щ (30)

где постоянные е"ев(д = 0) и а зависят от конкретной формы сечения цилиндрических гранул и величины зазора между ними. Напомним, что £ге${<1 = 0) является большой по величине отрицательной величиной.

С помощью полученных результатов рассмотрена задача об отражении линейно поляризованной электромагнитной волны, падающей нормально на цепочку цилиндров, расположенных близко друг к другу. Предполагается, что магнитное поле волны направлено вдоль оси цилиндров.

В случае, если волна падает на плоскую металлическую пластинку толщиной а, и выполняется условие ека 1, где к - волновой вектор в пустоте, волна почти не отражается - пластинка для нее является прозрачной [11]. При падении волны на цепочку цилиндров размеров а, и узкими зазорами между ними, ситуация качественным образом меняется. При частотах, соответствующих значениях проницаеомости металла, близким к резонансным, коэффициент отражения волны резко возрастает, и становится близким к единице. То есть, плазмонный резонанс приводит к тому, что падающая волна почти полностью отражается от

цепочки. Как было показало в Главе 2, при значениях проницаемости, соответствующих резонансу, в зазорах между гранулами происходит усиление электрического поля падающей волны. Этот эффект и приводит к сильному отражению волны от такой системы.

В Заключении сформулированы основные результаты работы. Выводы.

1. Исследовано влияние мембран на гидродинамическое взаимодействие частиц. Показано, что в системах с мемранамн, корреляционные функции смещений частиц качетсвенно отличаются от таковых, в системах с твердыми границами, или в неограниченной жидкости. Определены условия, при которых корреляции зависят от внутренней вязкости мембран.

2. Исследовано усиление электрического поля волны в узких зазорах между двумя металлическими гранулами. Показано, что в таких системах, возможен резонанс поверхностных плазмонов. Положение резонансов определяется, в-основном, геометрией узкого зазора. Коэффициент усиления поля, напротив, определяется геометрией всей системы и зависит от размера гранул.

3. Исследованы собственные моды плазмонных колебаний в цепочках цилиндров. Оценены размеры резонансных зон и определена дисперсия мод. Раммотрена задача об отражении электромагнитной волны от цепочки цилиндров, и определено влияние плазмонного резонанса на коэффициент отражения.

Публикации по теме диссертации

1. P. Vorobev, Role f membranes in hydrodynamic interaction of small particles, Phys. Rev. E 77, 046306, (2008).

2. P. Vorobev, Electric field enhancement between two parallel cylinders due to plasmonic resonance, JETP 110, 2, 193-198, (2010).

3. V.V. Lebedev, S.S. Vergeles and P.Vorobev Giant enhancement of electric field between two close metallic grains due to plasmonic resonance, Optics Letters, 35, 5, 640-642 (2010).

Литература

[1] W.Helfrich // Z.Naturforsch., Teil С. - 1973. - Vol. 28. - P. 693.

[2] U.Seifert // Adv. Phys. - 1997. - Vol. 46. - P. 13.

[3] A.K.Sarychev, V.M.Shalaev. Electrodynamics of metamaterials. — World Scientific, N.Y., 2007.

[4] S.Ramakrishna // Rep. Prog.Phys. - 2005. - Vol. 68. - Pp. 449-521.

[5] Optical Properties of Nanostructured Random Media / Ed. by V.M.Shalaev. - Springer, Berlin, 2002.

[6] Surfacc-Enhanccs Raman Scattering, vol.103 of Topics in Applied Physics / Ed. by M. K.Kneipp, H.Kneipp. — Springer, 2006.

[7] P.K.Jain, Huang W., El-Sayed M. // Nano Lett.- Vol. 7, no. 7.-P. 2080.

[8] Дж.Хаппелъ, Г.Бреннер. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. - МИР, 1976.

[9] Liron N., Mochon S. // J. Eng. Math. - 1976. - Vol. 10. - P. 287.

[10] B. Cui, H. Diamant, B. Lin, S. A. Rice // Phys. Rev. Lett. - 2004,-Vol. 92.- P. 258301.

[11] Л.Д.Лапдау, Е.М.Лифихиц. Теоретическая физика, том VIII. Электродинамика сплошных сред. — Наука, 1992.

[12] I.P.Kaminov, W.L.Mammel,, Н.Р. Weber //Applied Optics. - 1974. -Vol. 13. - Pp. 396-405.

Введение

Глава 1. Влияние мембран на гидродинамическое взаимодействие частиц.

1.1. Введение '.

1.2. Граничные условия на мембранах.

1.3. Плоская геометрия

1.4. Сферическая геометрия.

1.5. Корреляционные функции.

1.6. Выводы.

Глава 2. Усиление электрического поля между парами металлических гранул.

2.1. Качественное описание.

2.2. Аналитическое решение.

2.3. Два цилиндра.

2.4. Пара вытянутых гранул.

2.5. Результаты.

Глава 3. Плазмонные моды цепочек гранул.

3.1. Резонансные зоны.

3.2. Случай вытянутых гранул.

3.3. Дисперсия мод.

3.4. Усиление внешнего поля

3.5. Отражение волны от цепочки гранул.

Под композитными принято понимать среды, состоящие из нескольких компонентов. В-основном, данный термин используется для материалов, изготовленных из определенных компонентов, для придания ему необходимых макроскопических свойств. Однако, многие природные среды также можно считать композитными, если рассматривать их состав и структуру. В настоящей работе нами будут рассмотрены явления, происходящие в двух типах композитных сред: в мембранных системах, и в металл-диэлектрических средах.

Глава 1 настоящей работы посвящена мембранным системам. Биологические мембраны привлекли внимание физиков около полувека назад [1-7] . Были предложены модели, позволяющие описывать поведение мембран, в частности, исследовать движение жидкой среды окружающей мембраны. Для этого необходимо описывать саму мембрану некоторым набором физических параметров, ее характеризующих. В подавляющем большинстве случаев, мембраны рассматриваются с макроскопической точки зрения как бесконечно тонкие пленки, то есть, как двумерный объект. При этом, свойства мембран существенным образом отличаются от свойств обычных границ раздела между двумя жидкостями. Это приводит к тому, что мембраны оказывают существенное качественное влияние на движение жидкости вокруг них. С другой стороны, именно это качественное изменение в характере течения жидкости в мембранной системе, по сравнению с системами другого характера (границами жидкость-жидкость [8], или жидкость-твердое тело) может быть использовано для изучения свойств самих мембран.

Как известно, мембраны являются неотъемлемым элементом клеток всех организмов. В силу этого, понимание механизмов влияния мембран на течение окружающей их жидкости приобретает огромное значение. В настоящей диссертации мы рассмотрим влияние мембран на гидродинамическое взаимодействие маленьких частиц, взвешенных в жидкости в мембранных системах. Под гидродинамическим, мы понимаем взаимодействие посредством возбуждения в жидкости течения движущейся частицей. Известно, что такое взаимодействие приводит к некоторым корреляциям в Броуновском движении частиц [9]. Существенно, что наличие мембран приводит к существенным изменениям в характере этих корреляции. При этом, является важным понимание того, какие характеристики мембран оказывают то или иное влияние на характер взаимодействия частиц. Данные знания потенциально могут быть использованы для разработки методик по определению различных характеристик мембран. Это является одним из основных мотивирующих факторов данного исследования.

Нами будут рассмотрены системы двух типов геометрий: жидкость между параллельными плоскими мембранами и жидкость внутри почти сферической везикулы - замкнутой мембраны, имеющей форму, близкую к сферической. Первый тип реализуется в, так называемых, ламеллярных фазах - системах с множеством параллельных плоских мембран. Второй тип является простейшей моделью биологических клеток. В качестве модели, описывающей влияние движущейся частицы на течение жидкости, мы будем пользоваться понятием сосредоточенной силы, действующий на жидкость. Соответственно, будет решена задача о нахождении функции Грина для уравнения Стокса. Полученный результат может иметь широкое применение - он позволит находить отклик жидкости в мембранной системе на произвольным образом распределенную силу.

В главах 2 и 3 настоящей работы исследуются металл-диэлектрические композитные среды. В последнее время такие среды являются предметом активного изучения, прежде всего в связи с созданием метаматериалов - композитных сред, структура которых обеспечивает им специфические оптические свойства. Чаще всего, речь идет о наличии у таких сред, в некоторой области частот, отрицательного показателя преломления. Впервые свойства таких сред были описаны еще в середине 20-го века [10]. Однако, на тот момент это представляло, разве что, методический интерес - в природе среды с такими оптическими свойствами не найдены. В дальнейшем оказалось возможным искусственное создание таких сред. В-основном, они представляют собой материалы, в которых металлические частицы определенных конфигураций вкрапляются определенным образом в диэлектрик [11-14]. По отношению к волнам, длина которых много больше, чем размер металлических частиц, такая среда может считаться сплошной, и, как оказалось, в некоторых частотных областях может иметь отрицательный показатель преломления.

Несмотря на то, что описанные среды рассматриваются как сплошные, механизм, обеспечивающий им нужные макроскопические свойства, определяется именно конфигурацией электромагнитного поля вокруг металлических частиц, из которых изготовлен материал. В Главе 2 настоящей работы нами будет изучено взаимодействие с электромагнитным полем пар металлических гранул, расположенных близко друг к другу. В таких системах следует ожидать большого увеличения амплитуды поля в узком зазоре между металлическим гранулами, по сравнению с амплитудой внешнего поля, что подтверждается экспериментальными данными [15-17]. При этом существенно, что в оптической области частот, данное явление носит резонансный характер - в системе возбуждаются поверх-ностно-плазмонные моды.

В качестве моделей нами будут рассмотрены задачи об усилении поля между двумя близкими сферическими и цилиндрическими частицами. Подобные задачи решались ранее для металлических или диэлектрических частиц в стационарном электрическом поле [18, 19] . Ни в том, ни в другом случае, резонансные явления не рассматривались. Рассмотрение резонансных явлений было ранее выполнено для удаленных металлических сфер [20]. Однако, в этом случае, эффект представляет собой лишь малую поправку к эффекту для одиночных сфер. При наличии близко расположенных металлических гранул, теория возмущений по отношению к изолированным гранулам, является неприменимой, и необходимо использование специальных методов.

При исследовании усиления поля между двумя гранулами, основной интерес представляют два вопроса: чем определяется положение резонансов, или, что эквивалентно, собственных мод системы, и чем определяется коэффициент усиления поля в условиях резонанса. Нами будет установлено, что в системе двух гранул, оба этих эффекта определяются характеристиками системы: положение резонансов зависит от геометрии зазора между гранулами, а коэффициент усиления поля - от геометрии всей системы. Задача о собственных модах пары сферических металлических гранул рассматривалась ранее [21], и численным образом были получены результаты. Задача об усилении поля, насколько нам известно, ранее не рассматривалась.

Помимо пар сферических и цилиндрических гранул, представляет также интерес задача об усилении поля между двумя вытянутыми гранулами. Данная задача возникает естественным образом при анализе утверждения о том, что усиление поля в димерах гранул определяется геометрией всей системы. В связи с этим, встает вопрос об увеличении этого коэффициента, путем изменения параметров гранул. Аналитическое рассмотрение допускает задача о двух цилиндрических гранулах, имеющих вытянутые сечения. Данная задача также рассмотрена в Главе 2.

Глава 3 посвящена изучению плазмонных мод цепочки металлических гранул. Рассмотрены цепочки цилиндрических гранул различных сечений: такие системы допускают аналитическое исследование. В отличие от пары гранул, резо-нансам в таких системах, соответствуют не отдельные значения проницаемости металла, а целые области - резонансные зоны. Внутри каждой зоны возможно существование мод с различными квазиимпульсами, определяющими трансляционную симметрию поля. Исследование собственных мод в таких цепочках проводилось ранее [22], однако систематического исследования ширины зон и дисперсии мод выполнено не было. Моды в цепочках с сильноудаленными гранулами рассматривались в работе [23]

Нами будет показано, что ширина резонансных зон (интервал значений проницаемости, соответствующий одной зоне) в таких цепочках, оказывается порядка величины самой проницаемости - зоны являются широкими. Для малых квазиимпульсов нами будет аналитически найдена дисперсия мод. Дисперсия при произвольных значениях квазиимпульса будет исследована численно. Будет также исследован вопрос об усилении внешнего поля в таких системах.

Далее, на основании полученных результатов рассматривается задача об отражении электромагнитной волны от цепочки цилиндров. Предполагается, что волна падает нормально, и что вектор магнитного поля поляризован вдоль образующих цилиндров. При этом обнаруживается следующий эффект. Если вместо цепочки цилиндров волна падает на сплошную пластинку той же толщины, что и радиус цилиндров, то пластинка окажется практически прозрачной для волны, если проницаемость металла пластинки удовлетворяет определенному неравенству. При замене такой пластинки цепочкой цилиндров, изготовленных из такого же металла, волна начинает сильно отражаться при определенных частотах. Эти частоты соответствуют собственным плазмонным модам системы с нулевым квазиимпульсом.

Заключение

В Главе 1 данной работы нами была рассмотрена задача о влиянии мембран на гидродинамическое взаимодействие частиц, взвешенных в жидкости. Мы показали, что если частицы находятся друг от друга на расстояниях много больших, чем их размер, то влияние частицы на течение жидкости можно приближенно описывать действием сосредоточенной силы. Нами были рассмотрены системы двух геометрий: жидкость между двумя плоскими параллельными мембранами, и жидкость внутри почти сферической везикулы. Мы интересовались особенностями влияния мембран в сравнении с неограниченной жидкостью, или с жидкостью, ограниченной твердыми стенками той же конфигурации, что и мембраны.

Мы показали, что отклик частиц на действие сосредоточенной силы позволяет вычислять корреляционные функции смещений частиц при их Броуновском движении. Затем, используя результаты решения уравнений гидродинамики нами были в явном виде вычислены эти корреляционные функции. Оказалось, что для частиц, взвешенных в жидкости между параллельными плоскими мембранами, коррелляционные функции убывают с расстоянием так же, как и для частиц в неограниченной жидкости. Однако, характер корреляций оказывается существенно различным. В неограниченной жидкости смещение частиц коррелировано положительно как в продольном, так и в поперечном направлении, в то время как для частиц между параллельными мембранами продольные корреляции положительны, а поперечные отсутствуют (точнее, имеют более высокий порядок малости). Кроме того, корреляции в направлении, перпендикулярном мембранам, также отсутствуют. Корреляции оказываются независимыми от изгибного модуля мембран, а в большинстве пространственных областей (определяемых взаимным расположением частиц) - и от внутренней вязкости мембраны. Для сравнения, движение частиц в жидкости между твердыми стенками коррелировано положительно в продольном направлении, и отрицательно - в поперечном. Обе эти корреляции убывают с расстоянием быстрее, чем для частиц в неограниченной жидкости.

Для случая, когда частица находится внутри почти сферической везикулы, возбуждаемое при ее движении течение жидкости вне везикулы (при исключении трансляционой составляющей) имеет только угловые компоненты. На больших расстояниях от везикулы, основной вклад в поле скоростей вносит первая сферическая гармоника, соответствующая вращения везикулы как целого, и, поэтому, не зависящая ни от внутренней вязкости мембраны везикулы, ни от вязкости жидкости, заполняющей везикулу. На небольших расстояниях от везикулы поле скоростей зависит от этих величин и может быть вычислено путем суммирования вкладов от разных сферических гармоник.

Таким образом мембраны оказывают специфическое влияние на движение жидкости, а, следовательно, и на характер гидродинамического взаимодействия частиц. Именно, нормальное к мембранам движение оказывается подавленным, а тангенциальное нет.

В Главе 2 была исследована задача об усилении электрического поля в узких зазорах между двумя металлическими гранулами. Сначала были рассмотрены пары металлических шаров и металлических цилиндров, расположенных близко друг к другу. На основе общих физических соображений мы описали качественную картину наблюдаемых эффектов и произвели ряд оценок по порядку величины. Были оценены значения проницаемости металла, которые соответствуют резонансу, а также коэффициенты усиления поля при резонансе. Полученные оценки были подтверждены аналитическим решением соответствующих задач.

Оказалось, что значения проницаемости, соответствующие резонансу, определяются, в-основном, геометрией узкого зазора между гранулами, и оказываются схожими для пар шаров и пар цилиндров. Коэффициент усиления поля, однако, сильно зависит от геометрии всей системы, и оказывается различным для шаров и цилиндров.

Это позволяет прийти к выводу о том, что в системе двух вытянутых гранул, коэффициент усиления может оказаться еще больше. Данное утверждение было доказано путем аналитического рассмотрения задачи о двух цилиндрических гранул, имеющих вытянутые сечения. Показано, что коэффициент усиления в таких системах существенно зависит от длины гранулы, а не только от параметров зазора между гранулами.

В Главе 3 были исследованы собственные плазмонные моды цепочки цилиндрических гранул различных сечений. Мы предполагали, что зазор между соседними гранулами имеет толщину, много меньшую чем размер гранул. Аналитическое исследование таких систем возможно с помощью построения соответствующей координатной системы, путем конформного преобразования из декартовых координат. В отличие от пары гранул, в цепочках резонанс возможен на целых интервалах значений проницаемости металла - зонах. Внутри каждой зоны, проницаемость является функцией квазиимпульса, определяющего трансляционную симметрию поля в системе. Нами установлено, что ширина резонансных зон, оказывается порядка значений самой проницаемости внутри зоны. Аналитически вычислена дисперсия моды при малых квазиимпульсах, где она оказывается линейной функцией последнего. Численно была найдена дисперсия во всей области значений квазиимпульса.

Также было рассмотрено усиление внешнего поля в узких зазорах между гранулами в цепочках. На основании полученных результатов, была исследована задача об отражении волны от цепочки цилиндров. Показано, что коэффициент отражения такой волны существенно зависит от частоты: близок к единице при частотах, соответствующих резонансным значениям проницаемости при нулевом квазиимпульсе и близок к нулю между этими значениями. При этом, сплошная пластинка тех же размеров, что и гранулы в цепочке, может быть как сильно прозрачной так и сильно отражающей, в зависимости от соотношения между длиной волны, толщиной пластинки и величиной проницаемости.

1. Meuner J., Langevin D., Boccara N. Physics of Amphophilic Layers, Springer Proceedings in Physics. 21.— Springer-Verlag, Berlin, 1987.

2. Safran S. A., Clark N. A. Physics of Complex and Supermolecular Fluids,.— Wiley, NY, 1987.

3. Nelson DPvian Т., Weinberg S. Statistical Mechanics of Membranes and Surfaces,. World Scientific, NY, 1989.4. et. al. A. // Adv. Colloid Interface Sci. 1984,- Vol. 20.- P. 167.

4. G. Porte e. a. // Physica A. 1991. - Vol. 176,- P. 168.

5. G. Porte e. a. // J. Phys. II. 1992. - Vol. 8649. - P. 8649.

6. Safran S. A. Statistical Thermodynamics of Surfaces, Interfaces, and Membranes, Frontiers in Physics, 90. — 90.

7. Bickel T. // Phys.Rev.E. 2007. — Vol. 75. - P. 041403.

8. B. Cui, H. Diamant, B. Lin, S. A. Rice // Phys. Rev. Lett. — 2004,— Vol. 92.— P. 258301.

9. Веселаго . // УФЕ.- Vol. 92, no. 3.- P. 517.

10. A.K.Sarychev, V.M.Shalaev. Electrodynamics of metamaterials. — World Scientific, N.Y., 2007.

11. S.Ramakrishna // Rep.Prog.Phys. — 2005. Vol. 68. - Pp. 449-521.

12. Shelby R., Smith D., Schultz S. // Science. 2001. - Vol. 292. - P. 77.

13. D. Smith, W. Padilla, D. Vier et al. // Phys.Rev.Lett. 2000. — Vol. 84. — P. 4184.

14. P.K.Jain, Huang W., El-Sayed M. // Nano Lett. Vol. 7, no. 7. — P. 2080.

15. Ru E., Galloway C., Etchegoin P. // Physical Chemistry Chemical Physics.— 2006. Vol. 8. - P. 3083.

16. K.-H. Su, Q.-H. Wei, X. Zhang et al. // Nano Letters. 2003. - Vol. 3. - P. 1087.

17. M.H.Davis // The quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics.— 1964. Vol. 17. - Pp. 499-511.

18. A.Goyette, A.Navon // Phys.Reu.B. 1976. - Vol. 13.-P. 4320.

19. P.Nordlander, C. Oubre, E.Prodan et al. // Nano Letters. — 2004. — Vol. 4,— P. 899.

20. Ruppin R. // Phys. Rev. B. 1982. - Vol. 26. - P. 3440.

21. Vagov A., Radchik A.; Smith G. // Phys. Rev. Lett. — 1994. Vol. 73. - P. 1035.

22. Market V., Sarychev A. // Phys. Rev. B. 2007. - Vol. 75,- P. 085426.

23. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика, том VI. Гидродинамика. — Наука, 1986.

24. Дж.Хаппелъ, Г.Бреннер. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса.— МИР, 1976.

25. Canham Р. В. // J. Theor. Biol. 1970. - Vol. 26. - P. 61.

26. Evans E. // Biophys. J. 1974. - Vol. 14,- P. 923.

27. Lebedev V. V., Muratov A. R. // ZhETF. 1989. - Vol. 95.- P. 1751.

28. Kats E. I., Lebedev V. V. Fluctuational Effects in the Dynamics of Liquid Crystals. — Springer-Verlag, N. Y., 1993.

29. Zong-Can O.-Y., Helfnch W. // Phys. Rev. A. — 1989. — Vol. 39.-P. 5280.

30. Seifert U. // Eur. Phys. J. B. 1999,- Vol. 8.- P. 405.

31. Liron N., Mochon S. // J. Eng. Math. 1976,- Vol. 10.- P. 287.

32. Lamb H. Hydrodynamics, 6th ed. — Cambridge Uiversity Press, Cambridge, England, 1932.

33. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика, том V. Статистическая физика, часть 1.— Наука-Физматлит, 1995.

34. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика, том VIII. Электродинамика сплошных сред. — Наука, 1992.

35. P.B.Johnson, R.W.Christy // Phys.Rev.B.-Vol. 6, no. 12. P. 4370.

36. I.P.Kaminov, W.L.Mammel, , H.P.Weber // Applied Optics.— 1974,— Vol. 13. Pp. 396-405.

37. P.M.Morse, H.Feshbach. Methods of Theoretical Physics, Part II. — McGrow-Hill, 1953.

38. Сарычев . . Частное сообщение атору, Готовится к публикации в рамках конференции "annual international conference "days on diffraction". — 2010.

39. F. Garcia-Vidal, L. Martin-Moreno, T. Ebbesen, L. Kuipers // Rev.Mod.Phys.— 2010. Vol. 82. - Pp. 729-787.