Динамические задачи для слоистых упругих волноводов с неоднородностями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

4850247

Еремин Артем Александрович

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТЫХ УПРУГИХ ВОЛНОВОДОВ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

01.02.04-механнка деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

1 6 ИЮН 2011

Краснодар-2011

4850247

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, старший

научный сотрудник. Глушкова Наталья Вилениновна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ватульян Александр Ованесович

Защита состоится 24 июня 2011 г. в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при ГОУ ВПО ''Кубанский государственный университет", 350010, г. Краснодар ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Кубанский государственный университет''.

Автореферат разослан 2-2.мая 2011 г.

кандидат физико-математических наук, доцент Павлова Алла Владимировна

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт механики при

Нижегородском государственном университете им. Н.П. Лобачевского

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию динамической реакции протяженных слоистых упругих структур на заданное силовое воздействие и процессов возбуждения и распространения в них упругих воли, взаимодействующих с локализованными нсодпородпостяын различной природы. Анализ особенностей формирования волновых полей и энергетических процессов, обусловленных наличием препятствий, мпогослойностыо и анизотропией рассматриваемых материалов, проводится на основе разработанных математических методов решения соответствующих краевых задач динамической теории упругости, реализованных в виде компьютерных моделей.

Актуальность темы. Взаимодействие упругих волн, распространяющихся в слоистых средах с псодпородностямн, является одной из важных задач, возникающих в таких областях, как неразрушающий контроль, сейсмология, акусгоэлектропика, медицинские ультразвуковые исследования, фопо-нпка, теория мстаматерпалов и др.

Так, одним из перспективных подходов к созданию систем волнового мониторинга состояния конструкции ответственного назначения, позволяющих осуществлять быстрый и малозатраный поиск и идентификацию дефектов, является использование методов, основанных на применении бегущих упругих волн. Последние распространяются в упругих материалах па существенные расстояния от источника колебаний практически без затухания и взаимодействуют с неоднородностями любого вида, что позволяет судить о наличии повреждений в исследуемой структуре. При этом большое значение имеют теоретческпе п экспериментальные исследования процессов возбуждения и распространения упругих воли и их дифракции на иеоднородностях. В связи с внедрением многослойных композитных материалов актуальной также является задача изучения влияния анизотропии на динамические характеристики волновых процессов.

Самостоятельный интерес представляют исследования эффектов запирания и пропускания волн в структурах с системой препятствий (неоднород-ностей). Их результаты находят применение в таких областях, как внбро- и сейемозащпта, разработка акусто- п оптоэлектрониых частотных фильтров.

Большое значение здесь имеет анализ не только периодических структур, но и экранирующих свойств отдельных препятствии или группы конечного числа препятствий.

На актуальность проводимых исследований указывает также их поддержка грантами международных и отечественных фондов и государственных целевых программ. Основные результаты, вошедшие в диссертационную работу, получены в рамках выполнения следующих проектов:

«Micromechanics of damaged composites under dynamic loading», INTAS, № 05-1000008-7979, 2006-2009

«Математическое моделирование волновых и энергетических процессов в электромеханических устройствах с пьезокерампчеекпми элементами», РФФИ, № 07-01-00307, 2007-2009

«Разработка методов волнового мониторинга слоистых композптпых материалов с микроструктурой и определение их эффективных динамических свойств», АВЦП Минобрнаукн РФ, № 2.1.1/1231, 2009-2011

«Моделирование динамического поведения композитных материалов с повреждениями, неоднородностями и зонами иеидеалыюго контакта: приложения в перазрушающем контроле», ФЦП Мипобрнауки РФ № 14.740.11.0578, 2010-2012

Научно-исследовательские стипендии для молодых ученых Германской службы академических обменов DAAD (2009, 2010).

Основными целями диссертационной работы являются:

1) развитие методов решения динамических задач о возбуждении и распространении упругих волн в многослойных волноводах с неоднородностями различной природы и их реализация в виде пакета программ, позволяющих проводить быстрый параметрический анализ;

2) анализ динамической реакции протяженных многослойных композитных структур на заданное силовое воздействие;

3) изучение процессов возбуждения упругих волн и их распространения п взаимодействия с поверхностными и внутренними локализованными неодпородиостямн (дефектами) ;

4) исследование влияния анизотропии композитных пластин и частоты колебаний на направление оттока волновой энергии из зоны вибровоздействия;

5) экспериментальная верификация разработанных методов.

Методика исследований основана на интегральном подходе, хорошо зарекомендовавшем себя при решении динамических задач теории упругости. В рамках данного подхода решение краевой задачи ищется в виде свертки матрицы Грина рассматриваемой слоистой структуры с вектор-функцней заданной нагрузки. Волновое иоле, отраженное пространственными неодно-родностямн, определяется с использованием метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) с ядром - матрицей фундаментальных решений для многослойной упругой среды (слоистым элементом) или путем разложения по базисным функциям - слоистым элементам. Ключевое значение при реализации указанных подходов имеют предложенные Е.В. Глушковым и Н.В. Глушко-вовой методы быстрого численного и асимптотического анализа полученных интегральных представлений, а также эффективные алгоритмы построения матриц Грина рассматриваемых многослойных структур.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых краевых задач и применением строгого математического аппарата для их решения, контролем выполнения граничных условий и условия энергетического баланса, сопоставлением полученных результатов с известными работами других авторов и с экспериментальным данными.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1) математическая и компьютерная модель, описывающая процессы распространения упругих волн в слоистых волноводах с неоднородностями различной природы;

2) новый вариант метода граничных элементов (МГЭ), основанный на методе вращений в пространстве Фурье-трансформант, а также эффективный алгоритм расчета динамической реакции ограниченных слоистых протяженных структур;

3) результаты анализа особенностей возбуждения и распространения упругих волн в слоистых средах с препятствиями, полученные для широкого диапазона изменения их параметров;

4) возникновение резонансных полос пропускания в частотном диапазоне почти полного блокирования бегущих волн системой жестких включений;

5) обоснование выбора оптимальных для лазерной виброметрии центральных частот возбуждения колебаний пьезоактивным элементом в двух-модовом частотном диапазоне;

6) в приложении к волновому мониторингу конструкций из композитных материалов выявлено, объяснено и подтверждено экспериментально изменение направления оттока волновой энергии из зоны вибровоздействия, обусловленное анизотропией используемых материалов.

Практическая значимость работы состоит в том, что предложенные в диссертации математические модели и созданные на их основе компьютерные программы позволяют проводить быстрый параметрический анализ волновых и энергетических процессов в слоистых упругих средах с поверхностными и внутренними неоднородностями. Полученные результаты представляют интерес для решения актуальных задач дефектоскопии материалов и конструкций, акустоэлектроники и геофизики.

Теоретическая значимость. Разработана, реализована и экспериментально верифицирована эффективная математическая модель, основанная на систематическом использовании слоистых элементов, т.е. матриц фундаментальных решений для слоистых упругих волноводов. Исследованы механизмы взаимодействия упругих волн с единичными и множественными неоднородностями. Подтверждена возможность существования резонансных полос пропускания сигнала в широком частотном диапазоне почти полного блокирования.

На защиту выносятся:

1. Разработанные математические модели, описывающие распространение упругих волн, возбуждаемых поверхностными источниками в много-

слойных изотропных и анизотропных волноводах, и их дифракцию па поверхностных и внутренних пеоднородностях различной природы.

2. Реализация метода слоистых элементов в приложении к задачам определения динамической реакции протяженных упругих слоистых структур и дифракции упругих волн на пеоднородностмх различной природы.

3. Эффект резонансного пропускания сигнала системой неподвижных включений в частотном диапазоне почти полного блокирования, связанный с дискретным спектром рассматриваемой задачи и характеризующийся захватом и локализации энергии в зоне между включениями.

4. Алгоритм выбора оптимальных центральных частот возбуждения нестационарного сигнала пьезоактпвным элементом в двухмодовом частотном диапазоне при измерении упругих колебаний лазерным виброметром.

5. Явление смены направления максимального потока волновой энергии, излучаемой поверхностным пьезоактпвным элементом в многослойный анизотропный композит, при изменении центральной частоты возбуждения сигнала.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы доложены на 22 международных и всероссийских конференциях (IV European Conference он Computational Mechanics (Paris, France, 2010), 82nd Annual Scientific Conference of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (Graz, Austria, 2011), 18th International conference on computer methods in mechanics (Zielena Gura, Poland, 2009), International Conference on Boundary Element, Techniques BETEQ 2010 (Berlin, Germany, 2010), XXXV и XXXVI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" (г. Сапкт-Пстер-бург, 2007, 2008), International conference ''Days on Diffraction 2010" (г. Санкт-Петербург, 2010), X-XIV международные конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (г. Ростов-на-Дону, 2005-2009, г. Азов, 2010), VII международная конференция "Mathematical Problems of Mechanics of Non-homogeneous Structures" (г. Львов, Украина, 200G), III-V всероссийские школы-семинары "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете'' (пос. Дпвиоморское, 2007-2009). XVI н XVII Зимние школы по механике сплошных сред (г. Пермь, 2009 и 2011)) и на семинарах кафедры вычислительных технологий КубГУ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы общим объемом 130 страниц, включающим в себя 60 рисунков и 125 наименований литературных источников.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 24 работы (п том числе три - в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ), основные из которых приводятся в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы, обсуждается ее актуальность, приводится обзор достижений в изучаемой предметной области, формулируются цели и указываются основные этапы исследования.

В диссертации рассматриваются плоские и пространственные краевые динамические задачи теории упругости, возникающие при изучешш процессов возбуждения и распространения упругих воли в слоистых материалах с локализованными пеодпородностямп различной природы.

Ключевым этапом моделирования процесса возбуждения упругих колебаний является определение динамической реакции упругой структуры на заданное силовое (контактное) воздействие. В настоящее время в инженерной и научно-исследовательской практике для этой цели широко используются методы конечных элементов (МКЭ) н граничных интегральных уравнений. В низкочастотной области зачастую возможно использование упрощенных моделей, в которых воздействие источника моделируется заданными силами, распределенными по области контакта.

Наряду с классическим МКЭ активно развиваются многочисленные его модификации, учитывающие волновую структуру решения (полосовые элементы - G.R. Liu, волновые конечные элементы - B.F. Shorr) или обеспечивающие высокий порядок аппроксимации (метод спектральных элементов -I. ВаЬикка, D. Koniatitscli, R. Al-Khoury), что позволяет уменьшить количество элементов и дискретизировать большие области. Для описания процессов распространения упругих волн в открытых неповрежденных слоистых волноводах в случае высокочастотных колебаний применим лучевой подход (В.М. Бабич, B.C. Булдырев, JI.M. Бреховских), главным преимуществом которого является его физическая наглядность и малые вычислительные затра-

ты. Другим широко распространенным подходом является метод однородных решении (модальный анализ), в рамках которого закономерности распространения упругих воли исследуются на основе разложения но собственным решениям рассматриваемых краевых задач (нормальным модам) (В.А. Auld, В.Т. Грипченко, В.В. Мелешко, A.W. Leissa и др.).

Выбор методов и подходов, используемых для решения задач дифракции упругих волн на неоднородпостях различной природы, во многом определяется диапазоном входных параметров. Так, в ограниченном диапазоне соотношений длины волны и размера неоднородности применимы аналитические асимптотические подходы: высокочастотное приближение Кирхгофа (лучевой метод) или длинноволновая аппроксимация Борпа. Если же размеры препятствия и длина волны сопоставимы, используются различные прямые и полуаналнтические численные методы: МКЭ и его модификации (G.R. Liu, M.J.S. Lowe, О. Diligent, W. Ostadiowicz, К. Balasubramaniam п др.) и гибридные схемы, в которых волновое поле, отраженное неоднородностью, строится в виде суперпозиции нормальных мод, а неизвестные коэффициенты разложения определяются при сшивании с МКЭ решением для ограниченной области дискретизации, содержащей препятствие (Е. Moulin, J. Assaad, A. Mal, A. Velichko, P.D. Wilcox и др.).

Дифракционные задачи также могут быть сведены к граничным интегральным уравнениям, что по сравнению с МКЭ приводит к системам меньшей размерности, поскольку дискретпзируется только поверхность тела. В работах В.А. Бабешко, А.О. Ватульяна, Г.Я. Попова, М.В. Хай, Г.С. Кита, Л.А. Игумнова, J.C.F. Telles, М.Н. Aliabadi, Cli. Zhang, F.J. Sánchez-Sesma и ряда других отечественных и зарубежных ученых на основе ГИУ были проанализированы динамические характеристики упругих волноводов с жесткими включениями, трещинами, полостями, рельефной поверхностью. Блокирование бегущих волн и локализация колебаний, а также резонансные явления, возникающие при взаимодействии упругих волн с отдельными неодно-родностями и их системами, изучались в работах И.И. Воровича, В.А. Бабешко, К).И. Бобровницкого, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Д.А. Индейцева, А.В. Movchan, M.S. Kushwaha, D.V. Evans. C.M. Linton и др.

Применение классического МГЭ, базирующегося па использовании мат-

рицы фундаментальных решений для бесконечного однородного пространства, к расчету слоистых упругих структур с неоднородностями требует дополнительной дискрстизацшш на всех внутренних и внешних границах слоев, что фактически сводит на нет его преимущество перед МКЭ. В диссертационной работе применяется иная численно-аналитическая схема, основанная на использовании матрицы фундаментальных решений для многослойной среды в целом, названной слоистым элементом (СЭ) [1]. Условия па внутренних (интерфейсных) границах удовлетворяются в ней тождественно, поэтому дис-кретизнровать необходимо только границы неоднородностей, что позволяет существенности уменьшить размерность решаемых систем.

В первой главе приводятся основные соотношения динамической теории упругости, формулируется математическая постановка краевых задач.

Рис. 1: Общая геометрия рассматриваемых задач.

Рассматриваются нестационарные линейные колебания упругого тела

Д представляющего собой М-слойный пакет толщины Я с жестко сцеп-м

ленными слоями: Б = и Д, где Д, : —со < х,у < оо, гп+г < г < гп,

71=1

= 0, гм+\ = —Н, 5 = дО. В каждом из слоев Д,., характеризуемым своим тензором упругих постоянных с?.,., и значением плотности материала р„, нестационарные перемещения и(х, £) в случае отсутствия объемных сил удовлетворяют уравнениям движения в перемещениях:

Сг,и-р,ф = 0, = + п = 1,2,.... М. (1)

Начиная с момента í = 0 к некоторой ограниченной области 5о поверхности г = 0 прикладывается нестационарная нагрузка

т|-=0 = {т^,тУг,аг} = яо(х;у)'1!^), (2)

вне 5() всюду Чо(х,у) = 0. Функция и^) определяет продолжительность воздействия и форму нестационарного сигнала. Нижняя граница волновода свободна от напряжений:

Т|,=_я = о. (3)

Локализованные в волноводе или па его поверхности препятствия занимают область П; 5</ = и где 5е участки границы 5, отличные от плоскостей 2 = п = 1,2,.... М + 1. В случае полуогранпчепного слоистого волновода или бруска - боковые границы (торцы) области Б. Предполагается также, что на участке в,, границы заданы перемещения \у, а па ¿>г -напряжения р (6^ = Зи и 5Т):

и|.9„ = т\$г = р. (4)

В соответствии с принципом суперпозиции для линейных систем решение нестационарной задачи выражается через решение соответствующей гармонической задачи относительно комплексной амплитуды перемещений и(х,и'):

X

и(х,/,) = -^Не I и(х,ш)е~ги*сЬ}. о

В разделе 1.2 приводятся необходимые для дальнейшего изложения интегральные соотношения динамической теории упругости и дается понятие матрицы Грина к(х) слоистой упругой среды. Столбцами матрицы к(х) являются векторы смещений, вызванные в В сосредоточенными поверхностными нагрузками ] = 1,2,3,- координатные орты.

В разделе 1.3 дается сводка граничных условий для рассматриваемых в работе краевых задач. В качестве источников колебаний рассматриваются лазерный луч, моделируемый точечной вертикальной нагрузкой, а также гибкие вертикально поляризованные пьезоактпвные элементы, приклеенные к поверхности волновода. В низкочастотном диапазоне их воздействие хорошо аппроксимируется сдвиговыми сосредоточенными нагрузками, приложенными к поверхности упругой среды на границе области контакта ("рш-{огее" тос1е1). В качестве неоднородпостей рассматриваются неподвижные и подвижные жесткие включения, полости, выемки, поверхностные неподвижные и подвижные недеформируемые препятствия, сквозная перфорация и

сквозное массивное жесткое включение.

Во второй главе приводятся интегральные представления для волновых полей в однородных и. поврежденных многослойных упругих волноводах, даются алгоритмы построения матрицы фундаментальных решений для слоистой среды, основанные на модификации чнслепно-устойчпвого метода построения матрицы Грина многослойного упругого полупространства.

Вектор ио(х,и)), описывающий смещения точек неповрежденного многослойного волновода Б под действием произвольной гармонической нагрузки яо(.т, у), приложенной в некоторой области 5() поверхности г = 0, представим в виде свертки матрицы Грина к(х) и вектор-функции ио = к * сю-С учетом геометрии задачи, позволяющей применить интегральное преобразование Фурье по пространственным переменным х и у, в общем случае произвольно анизотропных свойств волновода поле ио(х,о>) в цилиндрических координатах (г, ¡р, г) нредставимо в виде

2тт

ио(х) = 4^2 / / К[а, 7, г)<Зо(а, ^е^^-^йуайа (5)

г+ о

Здесь К = .^„[Ат]. <30 = - Фурье-символы матрицы Грина к(х) и

вектор-функцни у)- Контур Г+, идущий вдоль положительной вещественной полуоси [0, оо], отклоняется от нее при обходе вещественных полюсов („. п = 1,.... Л7,, в соответствии с принципом предельного поглощения.

При использовании соотношения (5) вычислительные затраты быстро возрастают с увеличением расстояния г от области приложения нагрузки. Поэтому при больших г используются асимптотические представления, полученные из интеграла (5) в виде суммы вычетов в вещественных полюсах („. Они дают физически наглядные явные представление для воли Лэмба, возбуждаемых заданным источником, в дальней зоне:

"о(х) = ГХМ + ОКСг)-1), (г-* оо

П= 1

ио,п(х) - Т,апт('Р,г)еи"тГ/\/и:, оо (6)

711

ашп = |.ьС«\/2';Сп/(л"^(7,п))гейЛ"(о, вт, .г)|«=с„(Зо(-в„т, <р)

где й-„(7) = („(7)81117, в„т = в„(7т), вт = 7го + р + 7г/2, и ут - корни уравнения б;, (7) = 0 па интервале 0 < 7 < тг (стационарные точки). Коэффициент

j„ = 1 дта регулярных н jn = —1 для нерегулярных полюсов (п.

В случае изотропного волновода и осеснмметрнчной нагрузки q() интеграл (о) сводится к однократному по контуру Г+. а асимптотическое представление (6) - к сумме бегущих цилиндрических волн.

В разделе 2.2 приводится алгоритм построения поля внутреннего источника колебаний. Перемещения иДх), вызываемые в слоистом упругом волноводе D сосредоточенными объемными силами f(x) = ¿(х —£)ij, приложенными в точке £ = описываются уравнениями

Cuuj = д'(х - х 6 D„, п = 1.2,..., М (7)

и удовлетворяют однородным граничным условиям (2)-(3). Вектор-функция Uj(x) прсдставпма в виде суммы соответствующего столбца матрицы фундаментальных решений g: gj = r/(x,£)ij для упругого пространства с параметрами Cjjkl и ноля уДх. возникающего за счет отражения от слоев: Uj = g,; + Vj. Решение краевой задачи для Vj ищется в виде свертки матриц Грина для слоистой упругой среды со скачками смещений и напряжений па межсловных интерфейсах, вызываемых полем gj.

Матрица i(x,£) = [Ь.Ь.Ь]. h = Uj, j = 1,2,3 является матрицей фундаментальных решений для слоистого волновода в целом. В отличне от классической фундаментальной матрицы д(х) столбцы 1 j по построению тождественно удовлетворяют однородным граничным условиям (2)-(3).

Используется также альтернативная схема построения матрицы /(х,£), идея которой заключается в том, что в качестве источника берется скачок напряжений в точке £ G Dn:

[rb=i:i = »j

Два данных подхода к построению матрицы f(x, £) эквивалентны, что вытекает из интегрального тождества Сомнльяны.

На основе матрицы i(x,£) в разделе 2.3 строятся интегральные представления для волновых полей, отраженных неоднородностями:

IV = И /(х, £)с(S)dst, rsc = jj rix, i)cii !r/,s (8)

5V S,/

r(x,€) = Tn(x)i(x,€)

где Тп(х) - оператор напряжений для поверхностного элемента с нормалью п(х), с(х) - плотность неизвестного потенциала. Интегрирование в (8) ведется только по границе неоднородностей После подстановки (8) в условия (4) задача определения неизвестной вектор-функции с(х) сводится к системе граничных интегральных уравнений (ГИУ).

и0(х) + // /(х,£)с(£)сЦ = ш(х), х е 5'(1

8" . (9)

То(хо) + 1ш1 //г(х,£)= р(х0), Хо е ¿V

Х->Хо с

В третьей главе диссертации дается описание общей схемы метода слоистых элементов (МСЭ), указываются особенности его численной реализации, а также осуществляется проверка достоверности получаемых результатов.

/ ч-

X 5,,_^ (* _ •)

Рис. 2: Пример расположении центров слоистых элементов.

Рассматривается два варианта использования СЭ. В рамках первого варианта отраженное ноле и,с, возникающее в ограниченном слоистом образце или в бесконечном волноводе с локализованными неоднородностямн, аппроксимируется суммой полей СЭ, представляющих собой произведение матриц фундаментальных решений рассматриваемой структуры ¿;(х) и векторов-столбцов неизвестных коэффициентов разложения с,

Л' Л'

Ц«:(х) « иА.с,д'(х) = £/;(х)<,, тщя(х) = 5>(х)с, (10) 7=1 ¿=1

По построению столбцы матриц (Дх) = /(х,£^) тождественно удовлетворяют уравнениям (1) и однородным граничным условиям (2)-(3) во всех точках х за исключением точки Следовательно, остается только удовлетворить граничным условиям на неоднородностях (4), что достигается за счет выбора соответствующих коэффициентов е,-. Центры СЭ располагаются так, чтобы

не нарушалось тождественное удовлетворение уравнений (1), т.е. они должны быть вне области, в которой поле смещений аппроксимируется разложением (10). При рассмотрении ограниченного образца источники располагаются снаружи вдоль его вертикальных торцов, а для поля, отраженного полостью или включением, - внутри области Q, занятой препятствием (рис. 2).

Второй вариант МСЭ получается после применения к интегральным

N

представлениям (8) гранично-элементной дискретизации (Srf ~ «5^ = U Sj)

j=i

и разложения неизвестных вектор-функций с,- па каждом нз граничных эле-

N. Л'<

ментов но базисной системе функций (Cj(x) « c" J(x) = YL Cjk<Pjk(x)Y-

*.-=l

u-(x) - EE^-Mcib т£(х) = ¿¿гд.(х)с^. (11)

j=l fc=l j=l k=l

Здесь уже

Тд.(х) = J J l(x, t)MZ)dsb rjk(x) = //

По аналогии с (10) вектор-(1)упкции (jA-cj/. 11 fjfcCjA- названы граничными слоистыми элементами (ГСЭ).

В разделе 3.2 описаны особенности численной реализации МСЭ. Для определения неизвестных коэффициентов cj используется как метод код-локаций, так и проекционный метод Галеркина. В первом случае требуется выполнение граничных условия в конечном числе точек х,- G S,i, ? = 1,2,..., Ад, во втором - невязка проецируется на систему базисных функций <Pi, i = 1,2,...,Ni. В случае второго варианта МСЭ для решения дискретных аналогов ГИУ (определения коэффициентов сполучающихся после подстановки в (9) разложений (11), применяется проекционный метод Галер-клпа. Ключевым этапом здесь является построение представлений для ГСЭ через контурные интегралы. Для этого в работе используется обобщенный па случай объемной неоднородности метод вращений в пространстве Фурье-трасформапт (Е. Gluslikov, N. Gluslikova, A. Ekhlakov, Е. Shapar, Wave Motion, 2006).

Раздел 3.3 посвящен верификации МСЭ. Для оценки эффективности различных схем реализации МСЭ и контроля достоверности получаемых

результатов оценивалась интегральная погрешность выполнения граничных условий на S,{. а для открытых волноводов контролировалось еще и сохранение энергетического баланса. Проводилось сопоставление с результатами, полученными другими авторами (G.R. Liu, Comp. Mech., 2002 - задача о цилиндрической полости в слое, M.J.S. Lowe, J. Ас. Soc. Am., 2002 - дифракция мод Оо и ,?о на прямоугольной выемке), а также с результатами, полученными с помощью МКЭ.

q(*)=<5(*)ij

Рис. 3: Амплитуды горизонтальных и вертикальных перемещений поверхности трехслоП-иого полусвободного пакета; (—) - МКЭ, (о) - МСЭ-МК.

На рис. 3 приведены полученные с помощью МКЭ (пакет FEMLAB 3.0: www.comsol.com) и МСЭ амплитуды горизонтальных |их(.т,0)| и вертикальных |«.(аг, 0)| смещений поверхности полусвободного трехслойного стек-лопакета (М = 3) с упругими свойствами стекла (слои Di, D3), резко отличающимися (на три порядка) от свойств клея (слой D-i)- Характерными особенностями данного примера являются также относительная протяженность области и малая толщина клеевой прослойки. При увеличении относительной длины а/Н и/или частоты и потеря численной устойчивости МКЭ-расчетов наблюдается как в клеевой прослойке D-z, так и в слоях стекла Di, Di. В то же время, благодаря тому, что каждый СЭ одинаково точно описывает напряженно-деформированное состояние во всех внутренних точках, точность МСЭ-решсния в прослойке D , такая же, как и во внешних слоях при любом соотношении их упругих свойств и размеров.

Далее приводятся результаты экспериментальной верификации, полученные в ходе поддержанных DAAD стажировок в лаборатории проф. Р. Лам-мерипга (кафедра механики Университета им. Гельмута Шмидта, Гамбург,

10=0.2 (/¡.= 100 кГц)

СО=0.34 (/;.= ! 00 кГц)

0.1 ,,мс 0.2 о

0.075 / мс 0.15

Рис. 4: Теоретические (сплошные линии) и экспериментальные (пунктирные линии) волновые картины в точках А[ (г = 70 мы. а,в) аж! А-2 (г = 140 мм, б,г) алюминиевой пластины, возбуждаемой круглым пье.чоактуатором.

Рис. 5: Скан-образы поверхности пластины с неоднородностями; а - эксперимент, С) - расчетные- данные.

Германия). Измерения и расчеты проводились для протяженной алюминиевой пластины, к которой с обеих сторон присоединены два массивных магнита в форме толстостенных цилиндров. Механические колебания в пластине возбуждались приклеенным к ее поверхности круглым пьезоактуатором. Для измерения вертикальной компоненты скоростей точек поверхности пластины -йг(х,£) использовался лазерный виброметр. Численное моделирование осуществлялось с использованием МСЭ в полной трехмерной постановке в предположении бесконечной протяженности пластины и упрощенной модели

пеьзоактуатора. Пример сопоставления теоретических и измеренных значений йг(х,£), возбуждаемых на центральных частотах шс = 0.2 н шс = 0.34 в пластине без магнитов, показан на рис. 4. Экспериментальные (а) и полученные численно (б) скал-образы участка поверхности пластины, содержащего неоднородности, приводятся на рис. 5. Отраженное ноле и«, проявляет себя здесь как концентрические волновые фронты, расходящиеся от препятствия в направлении нижнего левого угла графиков.

Четвертая глава посвящена вопросам мониторинга состояния слоистых упругих материалов на основе анализа волн Лэмба с использованием пьезоактивных элементов и сканирующих лазерных виброметров.

Рис. 6: Частотный спектр амплитуды вертикальных смещений |м,| (в) и электрических напряжений ньезосенсора |Уе| (б) для мод «о (—) и во (---)•

Для волнового мониторинга важен выбор оптимальных центральных частот возбуждаемых нестационарных сигналов. Данный параметр существенно зависит не только от размеров и формы пьезоактуатора, но и от способа измерения. В случае приема сигнала пьезоэлемептом более сильное влияние на его отклик \Vr\ оказывает мода Sq (рис. 6. б). и оптимальными являются частоты наилучшего восприятия (V. Giurgiutiu, .J. Intell. Mater. Syst. Struct., 2005), на которых величина |К-(б'о)|/|К(«о)| максимальна. Лазерная вибро-метрия. регистрирующая вертикальную компоненту смещений ùz, напротив, существенно более чувствительна к моде «о- поэтому здесь оптимальными являются частоты, на которых достигаются локальные максимумы вертикальной компоненты моды «о (рис. 6, а). Такой выбор позволяет существенно уменьшить дисперсию волновых пакетов. Результаты, подтверждающие правильность сформулированной методики, представлены на рис. 4. Графи-

ки (а) и (б) получены для оптимальной центральной частоты ш = 0.2, в то время как (е), (г) - для частоты наилучшего восприятия ш = 0.34.

В силу анизотропии упругих свойств композитных материалов значения оптимальных центральных частот зависят и от направления распространения упругих волн. В разделе 4.2 анализируется зависимость направленности излучаемой энергии от ориентации волокон для композитов, составленных из слоев трансверсально-изотропных углепластиков, и типа источника колебаний. Установлено, что в случае вертикального сосредоточенного источника главные лепестки диаграммы направленности ориентированы вдоль волокон наружных слоев. При этом вид диаграмм практически не зависит от частоты и;. Напротив, в случае круглого ньезоактуатора радиуса а наблюдается зависящее от ш и а изменение главных направлений излучения. Чем больше размер актуатора а, тем чаще происходит такая смена с изменением частоты. Механизм формирования максимального излучения в заданном направлении <р качественно совпадает с аналогичным для полосовых актуа-торов и может быть объяснен сложением в фазе упругих волн, генерируемых точками, лежащими на концах диаметра иьезоэлемента, ориентированного но углу р>. Изменение главных направлений следует из того, что из-за анизотропии подложки длина волны Л = 2п/втп различна для различных направлений р.

Явление резкой смены направления максимального потока энергии с изменением центральной частоты проиллюстрировано на рис. 7. Приводятся измеренные и расчетные среднеквадратическне величины вертикальной компоненты скорости смещения точек поверхности композита [О0]^, возбуждаемого круглым пьезоактуатором радиуса а — 8. При шс = 0.19 почти вся энергия излучается вдоль волокон, а при и>с = 0.38 направление потока меняется на противоположное.

Параметрическому анализу процессов прохождения и отражения в слоистых структурах с препятствиями посвящена пятая глава. Прохождение волновой энергии характеризуется коэффициентом к+ = Е+ /Ец, где Е{) -энергия, поступающая в среду от поверхностного источника колебаний или энергия переносимая нормальной модой, а Е+ - энергия, уходящая на бесконечность через зону с неоднородностями.

эксперимент

а)

численные результаты

б)

Шс=0.19

Рис. 7: Изменение направленности излучения при изменении частоты колебаний, возбуждаемых круглым пьезоактуатором в композите со схемой укладки [О®]«.

В разделе 5.1 рассматриваются единичные препятствия в виде цилиндрических жестких включений или полостей. Проанализировано влияние частоты колебаний, размера и положения неоднородности на коэффициент прохождения Для эллиптической полости установлена возможность резонансного блокирования сигнала, сопровождающаяся захватом и локализацией энергии в окрестности дефекта аналогично эффекту, наблюдаемому в случае бесконечно тонкой полосовой трещины (Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, М.В. Голуб, Акустический журнал, 2006).

В разделе 5.2 рассматривается взаимодействие антисимметричной моды ао с системой неподвижных эллиптических включений:

3(1.к = {х : (х - хс,к)21а\ к + (г - гсл)2/а\л = 1}

На рис. 8, а в случае двух включений показаны линии уровня коэффициента прохождения к+(си, г^^), где - вертикальная координата центра второго включения, определяющая глубину его расположения в волноводе при фиксированном положении первого (жсл = —\,гс.\ —0.5, = 1, ам = £¡,1.2 = 0.5,

1 2 3 4 5 0)

о

Риг. 8: Резонансное прохождение п локализация колебаний дли системы двух жестких включений.

Оз. 1 = «3.2 = 0.1). На. низких частотах сигнал почти полностью блокируется (светлая область вплоть до ш » 1.9). Затем следует резкое увеличение к+. сменяемое зоной блокирования. При из > тг, т.е. после частоты появления моды ai. наблюдается существенное увеличение к+, вызванное перераспределением энергии между нормальными модами.

На графике «+(w) (рис. 8, б), представляющем собой сечение поверхности я+(и>, scst) вдоль отрезка 1.9 < и> < 2.1, zn,2 = —0.14. хорошо виден значительный рост (более, чем в 30 раз) к+ в окрестности частоты ш* % 1.99. При этом в окрестности частоты и* происходит резкий рост амплитуды вертикальных смещений поверхности волновода |«г(ж,0)| в зоне между включениями (жс.1 < х < Хс,г). В то же время на других частотах, отличных от ы* всего на 0.1, эта часть поверхности находится в зоне тени (рис. 8, в).

Для проверки предположения о резонансной природе резкого увеличения к+ с помощью пакета FEMLAB были вычислены собственные частоты и)*ЬА{ и построены соответствующие им собственные формы ип(х, г) для бруска конечных размеров, целиком содержащего включения. Среди ближайших к и}9 собственных частот только при w„EM = 1.982 (отмечена на рис. 8. б пунктирной линией) наблюдается сильная локализация колебаний в зоне между включениями. Проведенные сопоставления со случаем системы бесконечно тонких полосовых включений, для которых известны значения о>„

точек дискретного спектра, также подтверждают резонасную природу возникновения узких диапазонов пропускания. Установлено, что с увеличением количества препятствий происходит линейный рост количества локальных максимумов в таких диапазонах.

В разделе 5.3 приводятся результаты расчета гармонических волновых полей в упругом слое со сквозными дефектами (перфорация, включения).

В заключении дается краткая сводка результатов, указывается их научное п практическое значение.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Еремин А.А., Мпхаськив В.В. Метод слоистых элементов в динамической теории упругости /7 Прикладная математика и механика. 2009. - Т. 73. Вып. 4. - С. G22-G34.

2. Glushkov Е., Gluslikova N„ Lammering R., Eremin A., Neumann M.-N. Lamb wave excitation and propagation in elastic plates with surface obstacles: proper choice of central frequencies /7 Smart Mater. Struct. 2011. - Vol. 20, 015020. - 11 pp.

3. Glushkov E., Glushkova N.. Eremin A. Forced wave propagation and energy distribution in anisotropic: laminate composites // .1. Acoust. Soc. Am. 2011. - Vol. 129 (5). - P. 2923-2934.

4. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Eremin A.A. Elastodynamic laminate element method for lengthy structures /7 Proceedings of the 11th International Conference "Advances in Boundary Element Techniques" (Berlin, Germany, 12-14 July 2010). - Истлэй, Великобритания, 2010. - P. 196-201.

5. Глушкова H.B., Еремин A.A. Блокирующие свойства полосы с включениями различной конфигурации /7 Труды XI Международной конференции, "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 26-28 ноября 2007 г.). - Ростов-на-Дону, 2007. - Т. 1. - С. 104-107.

6. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В., Еремин А.А. Возникновение резонансных полос пропускаппя в диапазоне запирания для упругого волновода с системой жестких включений /7 Труды XII Международной конференции, "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-

на-Доиу, 1-5 декабря 2008 г.). - Ростов-па-Дону, 2008. - Т. 1. - С. 47-51.

7. Глушков Е.В.. Глушкова Н.В., Еремин А.А., Кривонос А.С. Влияние анизотропии па распространение упругих воли в многослойных композитных материалах с неодпородпостямп // Труды XIII Международной конференции, "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-па-Дону, 12-15 октября 2009 г.). - Ростов-па-Дону, 2009. - Т. 1. - С. G2-6G.

8. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Ламыеринг Р., Еремин А.А., Ноймагш М.-Н. Возбуждение и распространение волн Лэмба в слоистых упругих волноводах с поверхностными и внутренними неоднородностями // Труды XIV Международной конференции, "Современные проблемы механики сплошной среды" (Азов, Ростов-па-Дону, 19-24 июня 2010 г.). - Ростов-на-Дону, 2010. -Т. 1. - С. 101-105.

9. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Eremin A.A. Application of laminate clement method to lengthy structures with contrast layer properties // Short papers of 18th International conference on computer methods in mechanics (Ziclona Gora, Poland, 18-21 May 2009). - Зилена Гура, Польша, 2009. - С. 193-194.

10. Glushkov Е., Glushkova. N., Lammcring R., Eremin A., Neumann M.-N. Theoretical and experimental investigations of Lamb waves excitation and their diffraction by surface obstacles /7 Short; papers of the IV European Conference on Computational Mechanics (Paris, Franco, 16-21 May 2010). - Париж, Франция, 2010. - С. 1-2.

11. Glushkov E., Glushkova N., Golub M., Eremin A. Trapped-mode, passand gap-band effects in waveguides with obstacles // Book of abstracts: International conference "Days on Diffraction 2010" (Saint-Petersburg, 8-11 June 2010). - Санкт-Петербург, 2010. - С. 34-35.

ЕРЕМИН АРТЕМ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТЫХ УПРУГИХ ВОЛНОВОДОВ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бумага А'«2. Печать трафаретная. Тираж 110 экз. Заказ ^ 852.

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Центр «Уннверсервис». тел. 21-99-551.

Введение

1. Постановка краевых задач динамической теории упругости

§1.1. Уравнения движения и граничные условия.

§1.2. Фундаментальные решения. Матрица Грина. Основные интегральные соотношения.

§1.3. Типичные задачи для упругих волноводов с поверхностными и внутренними неоднородностями.

2. Интегральные представления волновых полей в многослойных упругих волноводах

§2.1. Поле поверхностного источника в слоистом упругом волноводе

§2.2. Поле внутреннего точечного источника.

§2.3. Волновое поле в среде с локальными неоднородностями.

3. Метод слоистых элементов (МСЭ)

§3.1. Общая схема МСЭ.

§3.2. Особенности численной реализации метода слоистых элементов

§3.3. Верификация МСЭ

4. Волновой мониторинг слоистых композитов

§4.1. Моделирование волнового поля, возбуждаемого пьезонакладками

§4.2. Влияние анизотропии слоистого материала на направленность излучения.

5. Параметрический анализ волновых процессов в слоистых структурах с дефектами

§5.1. Энергетические характеристики гармонических волновых полей

§5.2. Резонансные явления для системы неоднородностей.

§5.3. Дифракция упругих волн на трехмерных неодиородпостях . . . 111 Заключение

Взаимодействие упругих воли, распространяющихся в слоистых средах с неоднородностями, является одной из важных задач, возникающих во многих областях, таких как неразрушающий контроль, сейсмология, акустоэлектро-ника, медицинские ультразвуковые исследования, фонопика, теория метама-териалов и др.

Так, одним из перспективных подходов к созданию систем волнового мониторинга состояния конструкций ответственного назначения, позволяющих осуществлять быстрый и малозатраный поиск и идентификацию дефектов, является использование методов, основанных на применении бегущих упругих волн [15,110]. Последние распространяются на существенные расстояния от источника колебаний практически без затухания и взаимодействуют с неоднородностями любого вида, что позволяет судить о наличии повреждений в исследуемой структуре. Используемые при решении задач обнаружения и идентификации дефектов (обратных задач) методы можно разделить на две категории: прямые методы, базирующиеся на анализе времени прихода сигнала, отраженного дефектом и обратные методы, основанные на применении для восстановления формы неоднородности и идентификации ее типа экспертных систем, искусственных пейросетей или теории некорректных операторных задач (см., например, обзор [114]). При этом большое значение имеет теоретико-экспериментальное исследование дифракции упругих волн на неоднородностях, положение, размеры и тип которых уже известны (прямые задачи).

Эффекты запирания и пропускания волн в структурах с периодическими системами неоднородностей, таких как фононпые кристаллы, акустические и сейсмо-метаматериалы [100], в настоящее время находят широкое применение в вибро- и сейсмозащите, при разработке акусто- и оптоэлектронных частотных фильтров. Для сред с периодической структурой анализ данных эффектов проводится на основе теории Блоха-Флоке [58], в рамках которой исходная задача для бесконечного набора препятствий сводится к задаче на собственные значения для отдельной ячейки, что позволяет в итоге получать исчерпывающую информацию о параметрах волновых процессов в периодических структурах [91,102]. Однако любое нарушение периодичности приводит к неприменимости классической теории, необходимости модификации используемых представлений, а главное, к возможному существенному изменению диапазонов запирания и пропускания. В этом случае необходим анализ экранирующих свойств отдельных препятствий или группы конечного числа препятствий.

В связи с повсеместным внедрением многослойных композитных материалов наряду с изучением динамической реакции изготовленных из них протяженных структур актуальной также является задача исследования влияния анизотропии на динамические характеристики волновых процессов. Без учета этих закономерностей точность интерпретации данных волнового мониторинга резко падает.

Ключевым этапом моделирования процесса возбуждения упругих колебаний является определение динамической реакции упругой структуры на заданное силовое (контактное) воздействие. В настоящее время в инженерной и научно-исследовательской практике для этой цели широко используются методы конечных элементов (МКЭ) и граничных интегральных уравнений (ГИУ). В низкочастотной области зачастую возможно использование упрощенных моделей, в которых воздействие источника моделируется заданными силами, распределенными по области контакта.

Для описания процессов распространения упругих волн в открытых неповрежденных слоистых волноводах наряду с классическим МКЭ активно развиваются многочисленные его модификации, учитывающие волновую структуру решения (полосовые элементы - G.R. Liu [96], волновые конечные элементы - B.F. Sliorr [112]) или обеспечивающие высокий порядок аппроксимации (метод спектральных элементов - D. Komatitsch [90], A. Chakraborty [59]), что позволяет уменьшить количество элементов и дискретизировать большие области. При рассмотрении высокочастотных колебаний применим лучевой подход (В.М. Бабич, B.C. Булдырев [4], JI.M. Бреховских [9]), главным преимуществом которого является его физическая наглядность и малые вычислительные затраты, существенно возрастающие, однако, в случае многослойных сред. Другим широко распространенным подходом является метод однородных решений (модальный анализ), в рамках которого закономерности распространения упругих волн исследуются на основе разложения по собственным решениям рассматриваемых краевых задач (нормальным модам) (В.A. Auld [56], В.Т. Грипчеико, В.В. Мелешко [33] и др.).

Выбор методов и подходов, используемых для решения задач дифракции упругих волн на неоднородностях различной природы, во многом определяется диапазоном входных параметров. Так, в ограниченном диапазоне соотношений длины волны и размера неоднородности применимы аналитические асимптотические подходы: высокочастотное приближение Кирхгофа (лучевой метод) или длинноволновая аппроксимация Борна. Если же размеры препятствия и длина волны сопоставимы, используются различные прямые и полуаналитические численные методы: МКЭ и его модификации [96,98,99,103]), метод конечных разностей [92], метод однородных решений [63] и гибридные схемы, в которых волновое поле, отраженное неоднородностью, строится в виде суперпозиции нормальных мод, а неизвестные коэффициенты разложения определяются при сшивании с МКЭ решением для ограниченной области дискретизации, содержащей препятствие [116].

Дифракционные задачи также могут быть сведены к граничным интегральным уравнениям (ГИУ), что по сравнению с МКЭ приводит к системам меньшей размерности, поскольку дискретизируется только поверхность тела. На основе ГИУ решены многие важные задачи об определении динамических характеристик ограниченных упругих тел и открытых волноводов с неодно-родностями различной природы.

Среди всех типов препятствий наиболее распространенными являются трещиноподобные дефекты, наличие которых ухудшает прочностные свойства конструкций. Данное обстоятельство обуславливает большой интерес к изучению колебаний упругих тел с плоскими и трехмерными трещинами (см., например, [3,22,39,70,74,122,125]) Для решения возникающих здесь ГИУ используются методы факторизации и фиктивного поглощения [2], метод граничных элементов (МГЭ) [6,8], схема Галеркина [55] и другие подходы.

Наряду с трещинами, тонкие инородные включения также являются объектами сосредоточения напряжений. Однако, в отличие от случая трещин, динамические задачи для упругих тел с включениями изучены в меньшей степени и касаются в основном двумерных постановок для туннельных дефектов [47,50,115]. Взаимодействие гармонической волны и дискообразного жесткого включения заданной массы на основе МГЭ рассматривается в [40].

Важным частным случаем препятствий, размерность которых совпадает с размерностью краевой задачи, являются плоские цилиндрические и трехмерные полости. Так, взаимодействие нестационарной волны с полостью в анизотропной плоскости анализируется с использованием МГЭ в [118]. Трехмерные нестационарные колебания упругого тела конечных размеров, ослабленного цилипдро-копическим отверстием, изучаются с использованием граничных элементов в работе [36].

Однако при рассмотрении многослойных структур с неоднородностями применение классического метода ГИУ, основанного на матрице фундаментальных решений для плоскости или пространства, не очень удобно, что связано с необходимостью дискретизации не только внешних, но и всех внутренних границ упругого тела, поскольку столбцы данной матрицы как векторы не удовлетворяют условиям на плоскопараллельных границах, а только уравнениям движения в каждой из подобластей. В диссертационной работе применяется иная численно-аналитическая схема, основанная на использовании в качестве ядра интегральных представлений матрицы фундаментальных решений для многослойной среды в целом, названной слоистым элементом (СЭ) [79]. Условия на внутренних (интерфейсных) границах удовлетворяются в ней тождественно, поэтому остается дискретизировать только границы пеоднородностей, что позволяет в итоге существенно уменьшить размерность решаемых систем. Аналогичная схема в случае упругих полупространства или полосы используется, например, в [11,12,14,46,81] для вывода ГИУ на поверхности заглубленной неоднородности типа полости или трещины, что позволяет авторам цитируемых работ развить эффективные алгоритмы расчета динамических характеристик таких волноводов и решить задачи восстановления формы дефекта.

Взаимодействие упругих волн с отдельными неоднородностями или их системами в открытых волноводах может сопровождаться явлением захвата энергии и локализация волнового процесса в окрестности препятствий, что проявляется, в частности, в виде резкого (резонансного) блокирования бегущих волн. Математически этот эффект связан с выходом точек спектра шп соответствующей краевой задачи дифракции на вещественную ось [17] и известен под названиями ловушечпых мод (trapped modes) [37,94], резонанса неоднородных волн [7], собственных решений, соответствующих изолированным вещественным точкам спектра [1,17]. Для практических приложений наряду с анализом данных'эффектов при дифракции на препятствиях в виде трещин [22,30,31,74] большое значение имеет случай объемных неоднородпо-стей, таких как полости или жесткие включения.

Многие используемые на практике композиты представляют собой многослойные структуры с резко отличающимися, анизотропными свойствами составляющих их слоев, что приводит к существенному усложнению волновых процессов в таких материалах. Несмотря на данное обстоятельство, проблема распространения упругих волн в неповрежденных анизотропных структурах исследована достаточно полно (см., например, [26,97,101,109] и цитируемые в них работы). Однако, несмотря на широкое распространение пьезоактуаторов, изучение распространения волн Лэмба, возбуждаемых ими в композитах, начато относительно недавно [111].

Основными целями диссертационной работы являются:

1) развитие методов решения динамических задач о возбуждении и распространении упругих волн в многослойных волноводах с неоднородностями различной природы и их реализация в виде пакета программ, позволяющих проводить быстрый параметрический анализ;

2) анализ динамической реакции протяженных многослойных композитных структур на заданное силовое воздействие;

3) изучение процессов возбуждения упругих волн, их распространения и. взаимодействия с поверхностными и внутренними локализованными неоднородностями (дефектами);

4) исследование влияния анизотропии композитных пластин и частоты колебаний на направление оттока волновой энергии из зоны вибровоздействия;

5) экспериментальная верификация разработанных методов;

Структура и содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения.

Заключение

В рамках выполнения диссертационной работы получены следующие результаты:

1. На основе интегрального подхода разработана математическая модель, описывающая распространение упругих волн, возбуждаемых поверхностными источниками в многослойных изотропных и анизотропных волноводах, и Pix дифракцию на поверхностных и внутренних неоднородностях различной природы.

1. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченпых телах с неодиородпостями // Изв. АН СССР. МТТ. - 1990. - № 3. - С. 74-83.

2. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред М.: Наука, 1989. - 343 с.

3. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B., Вильяме Р. Задача о вибрации упругого полупространства, содержащего систему внутренних полостей // ДАН. 2002. - Т. 386, № 1. - С. 625-628.

4. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн М.: Наука, 1972. - 456 с.

5. Баженов В.Г., Игумнов JI.A. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов М. ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 352 с.

6. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в приклад-, ных науках М.: Мир, 1984. - 494 с.

7. Бобровпицкий Ю.И., Коротков М.П. Резонапсы неоднородных воли в протяженных упругих структурах // Акустический журнал. 1991. -Т. 37, вып. 5. - С. 872-878.

8. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов М.: Мир, 1987. - 524 с.

9. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах М.: Наука, 1973. - 343 с.

10. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. В 2 ч. Ч. 2. Динамика системы материальных точек М.: Наука, 1966. - 332 с.

11. Ватульян А.О. Об определении конфигурации трещины в анизотропной среде // ПММ. 2004г. - Т. 68, №. - С. 180-188.

12. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела М. ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 224 с.

13. Ватульян А.О., Гусева И.М., Сюнякова И.М. О фундаментальных решениях для ортотропной среды и их применении // Изв. Северо-Кавказ. науч. центра высш. шк. Сер. Естеств. науки. 1989. - № 2. - С. 81-86.

14. Ватульян А.О., Суворова O.A. Об обратной задаче для упругого слоя с полостью // Экологический вестник научных центров Черноморского сотрудничества (ЧЭС). 2005. - № 1. - С. 10-16.

15. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике М.: Наука, 1966. - 169 с.

16. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике М.: Наука, 1979. - 320 с.

17. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // ДАН СССР. 1979. - Т. 245, № 5. - С. 1076-1079.

18. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей М.: Наука, 1979. - 319 с.

19. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление М.: БИФМЛ, 1961. - 524 с.

20. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Дифракция упругих волн на наклонной трещине в слое // ПММ. 2007. - Т. 71, вып. 4. - С. 702-715.

21. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В., Жанг Ч. Резонансое блокирование бегущих волн системой трещин в упругом слое // Акустический журнал. 2009. - Т. 55, вып. 1. - С. 11-20.

22. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Еремин A.A., Михаськив В.В. Метод слоистых элементов в динамической теории упругости // ПММ. 2009. -Т. 73, вып. 4. - С. 622-634.

23. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кривонос A.C. Возбуждение и распространение упругих воли в многослойных анизотропных композитах / / ПММ. 2010. - Т. 74, вып. 3. - С. 419-432.

24. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Зеемапи В., Кваша О.В. Возбуждение упругих волн в слое пьезокерамическими накладками // Акустический журнал. 2006. - Т. 52, вып. 4. - С. 1-10.

25. Глушков Е.В., Глушкова П.В., Шапарь Е.М. О блокировании рэлеевской волны приповерхностной трещиной // ДАН. 2004. - Т. 398(6). - С. 1 - 7

26. Глушкова Н.В. Определение н учет сингулярных составляюнщх в задачах теории унругости: дис. докт. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Глушкова Наталья Вилениновна. Краснодар., 2000. - 216 с.

27. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах Киев: Наук, думка, 1981. - 284 с.

28. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции М.: Изд-во МГУ, 1992. - 182 с.

29. Загускин В.Л. Численные методы решения плохо обусловленных задач Ростов-н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1976. - 187 с.

30. Индейцев Д.А., Кузнецов Н.Г., Мотыгин О.В., Мочалова Ю.А. Локализация линейных волн СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. - 342 с.

31. Индейцев Д.А., Сергеев А.Д., Литвин С.С. Особенности резонансных колебаний упругих волноводов с инерционными включениями // Журнал технической физики. 2000. - Т. 70, вып. 8. - С. 8-15.

32. Кардовский И.В., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения для плоских задач об интерфейсных трещинах // ДАН. 2006. - Т. 410, №- 6. - С. 759-762.

33. Кит Г.С., Михаськив В.В., Хай О.М. Анализ установившихся колебаний плоского абсолютно жесткого включения в трехмерном упругом теле методом граничных элементов // ПММ. 2002. - Т. 66, вып. 5. - С. 855-863

34. Кочетков И.Д., Рогачева H.H. Контактное взаимодействие активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства // ПММ. -2005. Т. 69, вып. 5. - С. 882-895.

35. Кристенсен Р. Введение в механику композитов М.: Мир, 1982. - 334 с.

36. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости М.: Физматгиз, 1963. - 472 с.

37. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения М.: ГИФМЛ, 1963. - 359 с.

38. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости СПб.: Наука, 1999. - 382 с.

39. Ляпин A.A. О возбуждении воли в слоистой среде с локальным дефектом // ПМТФ. 1994. - Т. 35, № 5. - С. 87-91.

40. Мойсеенок А.П., Попов В.Г. Взаимодействие плоских упругих нестационарных волн с упругим включением при полном сцеплении // Изв. РАН. МТТ. 2010. - № 1. - С. 93-106.

41. Партоп В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости М.: Наука, 1977. - 312 с.

42. Петрашень Г.И. Распространение упругих воли в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями // Уч. зап. ЛГУ. -1952. № 162, вып. 25. - С. 3-189.

43. Пряхииа О.Д., Смирнова A.B. Влияние жестких включений па волпо-водпые свойства пакета упругих слоев // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. -№ 1. - С. 45-52.

44. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики -М.: Наука, 1972. 736 с.

45. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела Казань: Изд-во КазГУ, 1986. -296 с.

46. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры СПб.: Лань, 2002. - 736 с.

47. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды М.: Наука, 1987. -544 с.

48. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина М.: Мир. 1988. 352 с.

49. Auld В.A. Acoustic Fields and Waves in Solids. In 2 vol. New York: Wiley, 1973. - 431 p.

50. Barra F., Gaspard P. Scattering in periodic systems: from resonances to band structure // J. Pliys. A: Math. Gen. 1999. - Vol. 32, No. 18. - 3357.

51. Brillouin L. Wave propagation in periodic structures New York: McGraw-Hill, 1946. - 247 p.

52. Chakraborty A., Gopalakrishnan S. A spectrally formulated plate element for wave propagation analysis in anisotropic material // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2005. - Vol. 194. - P. 4425-4446.

53. Collet M., Ruzzene M., Cunefare K.A. Generation of Lamb waves through surface mounted macro-fiber composite transducers // Smart. Mater. Struct. 2011. - Vol. 20. - 025020 (14 pp).

54. Crawley E.F., De Luis J. Use of piezoelectric actuators as elements of intelligent structures // AIAA Journal. 1987. - Vol. 25. - P. 1373-1385.

55. Das S., Banerjee S., Kundu T. Elastic wave scattering in a solid half-space with a circular cylindrical hole using the Distributed Point Source Method // Int. J. Solids Struct. 2008. - Vol. 45. - P. 4498-4508.

56. Fairweather G., Karageorghis A., Martin P.A. The method of fundamental solutions for scattering and radiation problems // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2003. - Vol. 27. - P. 759-769.

57. Giurgiutiu V. Tuned Lamb wave excitation and detection with piezoelectric wafer active sensors for structural health monitoring //J. Intell. Mater. Syst. Struct. 2005. - Vol. 16. - P. 291-305.

58. Giurgiutiu V. Structural Health Monitoring with Piezoelectric Wafer Active Sensors New-York: Academic Press, 2007. - 760 p.

59. Giurgiutiu V., Santoni G. Extension of the Shear-Lag Solution for Structurally Attached Ultrasonic Active Sensors // AIAA Journal. 2009.- Vol. 47, No. 8 P. 1980-1983.

60. Glushkov E., Glushkova N., Ekhlakov A., Shapar E. An analytically based computer model for surface measurements in ultrasonic crack detection // Wave Motion. 2006. - Vol. 43. - P. 458-473.

61. Glushkov E., Glushkova N., Eremin A. Forced wave propagation and energy distribution in anisotropic laminate composites // J. Acoust. Soc. Am. -2011. Vol. 129 (5). - P. 2923-2934.

62. Glushkov E., Glushkova N., Golub M., Bostrom A. Natural resonance frequencies, wave blocking, and energy localization in an elastic half-space and waveguide with a crack // J. Acoust. Soc. America. 2006. - V. 119, N. 6. - P. 3589-3598.

63. Glushkov E., Glushkova N., Kvasha O., Seemann W. Integral equation based modeling of the interaction between piezoelectric patch actuators and an elastic substrate // Smart Mater. Struct. 2007. - Vol. 16. - P. 650-664

64. Glushkov E., Glushkova N., Lammering R., Eremin A., Neumann M.-N. Lamb wave excitation and propagation in elastic plates with surfaceobstacles: proper choice of central frequencies // Smart Mater. Struct. -2011. Vol. 20. - 015020, 11 pp.

65. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Timifeev D.V. A layered element method for simulation elastodynamic behaviour of laminate structures with defects // Advances in the Meshless Method / Tech Science Press. Duluth, USA, 2006. - 16 pp.

66. Glushkov E., Glushkova N., Wauer J. Wave propagation in an elastically supported string with point-wise defects: gap-band and pass-band effects // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. - 2011. - Vol. 91, No. 1. - P. 4-22.

67. Guzina B.B., Fata S.N., Bonnet M. On the stress-wave imaging of cavities in a semi-infinite solid // Int. J. Solids Struct. 2003. - Vol. 40. - P. 1505-1523.

68. Han J.-H., Cho K.-D., Youn S.-H., Lee I. Vibration and actuation characteristics of composite structures with a bonded piezo-ceramic actuator // Smart Mater. Struct. 1999. - Vol. 8. - P. 136-143.

69. Haskell N.A. Dispersion of Surface Waves on Multilayered Media // Bull. Seism. Soc. Am. 1953. - Vol. 43. - P. 17-34.

70. Huang H., Pamphile T., Derriso M. The effect of actuator bending on Lamb wave displacement fields generated by a piezoelectric patch // Smart Mater. Struct. 2008. - Vol. 17. - 055012 (13 pp).

71. Jacobs L.J., Whitcomb R.W. Laser Generation and Detection of Ultrasound in Concrete // Journal of Nondestructive Evaluation. 1997. - Vol. 16, No. 2. - P. 57-65.

72. Jones D.S. Boundary integrals in elastodynamics // Journal of Applied Mathematics. 1985. - Vol. 34. - P. 83-97.

73. Jones R.M. Mechanics of composite materials, Second edition -Philadelphia, USA: Taylor& Francis, 1999. 519 p.

74. Kennett B.L.N. Seismic Wave Propagation in Stratified Media Cambridge: Cambridge University Press, 1983. - 497 p.

75. Kim I.-G., Lee H.-Y., Kim J.-VV. Impact Damage Detection in Composite Laminates Using PVDF and PZT Sensor Signals // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2005. - Vol. 16. - P. 1007-1013.

76. Komatitsch D., Tromp J. Introduction to the spectral element method for three-dimensional seismic wave propagation // Geophys. J. Int. 1999. -Vol. 139. - P. 806-822.

77. Kushwaha M.S., Djafari-Rouhani B. Sonic stop-bands for periodic arrays of metallic rods: honeycomb structure // Journal of Sound and Vibration. -1998. Vol. 218(4). - P. 697-709.

78. Lee B.C., Staszewski W.J. Modelling of Lamb waves for damage detection in metallic structures: Part II. Wave interactions with damage // Smart Mater. Struct. 2003. - Vol. 12. - P. 815-824.

79. Lirn Y.-H., Varadan V.V., Varadan V.K. Finite-element modeling of the transient response of MEMS sensors // Smart Mater. Struct. 1997. - Vol. 6. - P. 53-61.

80. Linton C.M., Evans D.V. Trapped modes above a submerged horizontal plate // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1991. - Vol. 44, № 3. - P. 487-506.

81. Liu G.R. A combined finite element/strip element method for analyzing elastic wave scattering by cracks and inclusions in laminates // Computational Mechanics. 2002. - Vol. 28. - P. 76-81.

82. Liu G.R. Mesh free methods: moving beyond the finite element method, Second edition Boca Raton, USA: CRC Press, 2009. - 792 p.

83. Liu G.R., Xi Z.C. Elastic waves in anisotropic laminates Boca Raton, USA: CRC Press, 2002. - 452 p.

84. Lowe M.J., Cawley P., Kao J.Y., Diligent O. The low frequency reflection characteristics of the fundamental antisymmetric Lamb wave aO from a rectangular notch in a plate //J. Acoust. Soc Am. 2002. - Vol. 112(6) -P. 2612-2622.

85. Lowe M.J., Diligent O. Low-frequency reflection characteristics of the sO Lamb wave from a rectangular notch in a plate // J. Acoust. Soc Am. -2002. Vol. 111(1) - P. 64-74.

86. Lu M.-H., Feng L., Chen Y.-F. Phononic crystals and acoustic metamaterials // Materials Today. 2009. - Vol. 12(12). - P. 34-42.

87. Mai A.K. Wave propagation in layered composite laminates under periodic surface loads // Wave Motion. 1988. - Vol. 10. - P. 257-266.

88. Movchan A.B., Movchan N.V., Haq S. Localised vibration modes and stop bands for continuous and discrete periodic structures // Materials Science and Engineering A. 2006. - Vol. 431. - P. 175-183.

89. Ostachowicz W.M. Damage detection of structures using spectral finite element method // Computers and Structures. 2008. - Vol. 86. - P. 454-462.

90. Pagneux V., Maurel A. Lamb wave propagation in inhomogeneous elastic waveguides // Proc. R. Soc. Lond. A. 2002. - Vol. 458. - P. 1913-1930.

91. Pak R.Y.S., Guzina B.B. Three-Dimensional Green's Functions for a Multilayered Half-Space in Displacement Potentials // Journal of Engineering Mechanics. 2002. - Vol. 128, No. 4. - P. 449-461

92. Peng C., Toksoz M.N. An optimal absorbing boundary conditions for elastic waves // Geophysics. 1995. - Vol. 60. - P. 296-301.

93. Prada C., Balogun O., Murray T.W. Laser-based ultrasonic generation and detection of zero-group velocity Lamb waves in thin plates // Applied Physics Letters. 2005. - Vol. 87. - 3 pp.

94. Raghavan A., Cesnik C.E.S. Finite-dimensional piezoelectric transducer modeling for guided wave based structural health monitoring // Smart Mater. Struct. 2005. - No. 14. - P. 1448-1461.

95. Rokhlin S.I., Wang L. Ultrasonic waves in layered anisotropic media: characterization of multidirectional composites // Int. J. Solids Struct. -2002. No. 39. - P. 5529-5545.

96. Rose J.L. A Baseline and Vision of Ultrasonic Guided Wave Inspection Potential // Journal of Pressure Vessel Technology. 2002. - Vol. 124. - P. 273-282.

97. Salas K.I., Cesnik C.E.S. Guided wave structural health monitoring using CLoVER transducers in composite materials // Smart Mater. Struct. -2010. Vol. 19. - 015014. - 25 pp.i

98. Shorr B.F. The Wave Finite Element Method Berlin: Springer, 2004. -352 p.

99. Staszewski W. J., Lee B. C., Mallet L., Scarpa F. Structural health monitoring using scanning laser vibromefcry: I. Lamb wave sensing // Smart Mater. Struct. 2004. - Vol. 13. - P. 251-60.

100. Su Z., Ye L., Lu Y. Guided Lamb waves for identification of damage in composite structures: A review // Journal of Sound and Vibration. 2006.- Vol. 295. P. 753-780.

101. Tadeu A., Mendes P.A., Antonio J. The simulation of 3D elastic scattering-produced by thin rigid inclusions using the traction boundary element method // Computers and Structures. 2006. - Vol. 84. - P. 2244-2253.

102. Velichko A., Wilcox P.D. A generalized approach for efficient finite element modeling of elastodynamic scattering in two and three dimensions // J. Acoust. Soc. Am. 2010. - Vol. 128(3). - P. 1004-1014

103. Wang C.-Y., Achenbach J.D. Elastodynamic fundamental solutions for anisotropic solids // Geophysical Journal International. 1994. - Vol. 118(2). - P. 384-392.

104. Wang C.-Y., Achenbach J.D., Hirose S. Two-dimensional time domain BEM for scattering of elastic waves in solids of general anisotropy // Int. J. Solids Struct. 1996. - Vol. 33(26). - P. 3843-3864.

105. Wang X.D., Huang G.L. The electromechanical behavior of a piezoelectric actuator bonded to an anisotropic elastic medium // Int. J. Solids Struct.- 2001. Vol. 38. - P. 4721-4740.

106. Wang X., Lu Y., Tang J. Damage detection using piezoelectric transducersand the Lamb wave approach: I. System analysis // Smart Mater. Struct. -2008. Vol. 17. - 025033. - 15pp.

107. Wang L., Yuan F.G. Group velocity and characteristic wave curves of Lamb waves in composites: Modeling and experiments // Composites Science and Technology. 2007. - No. 67. - P. 1370-1384.

108. Wen P.H., Aliabadi M.H., Rooke D.P. Cracks in three dimensions: A dynamic dual boundary element analysis // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1998. - Vol. 167(1-2). - P. 139-151.

109. Wong H.L. Effect of surface topography on the diffraction of P, SV and Rayleigh waves // Bull. Seismol. Soc. Am. 1982. - Vol. 72. - P. 1167-1183.

110. Wrobel L.C., Aliabadi M.H. The Boundary Element Method New York: Wiley, 2002. - 1066 p.

111. Wünsche M., Zhang Ch., Sladek J., Sladek V., Hirose S. Interface Crack in Anisotropic Solids under Impact Loading // Key Engineering Materials. -2007. Vols. 348 - 349. - P. 73-76.