Динамические задачи оптимального проектирования конструкций из однородных и неоднородных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ЕШДВНИЕ.

ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ.

§ I. Постановка динамических задач оптимизации.

§ 2. Анализ чувствительности и вывод необходимых ус ловий оптимальное ти.

§ 3. Численное определение оптимальных решений.

§ 4. Построение выпуклых вариационно-разностных схемЗО

ГЛАВА II. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ БАЛОК И ОБОЛОЧЕК,

РАССЧИТЫВАЕМЫХ НА ДЕЙСТВИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НАГРУЗОК.

§1 . Оптимальное проектирование балок.

§2 . Оптимальное проектирование оболочек.

ГЛАВА III. ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ

НАГРУЗКАХ.

§ I. Постановка динамических задач оптимизации при гармонических нагрузках и вывод необходимых условий оптимальности.

§ 2. Минимизация объема балки под действием гармонической нагрузки при ограничении по жесткости.

§ 3. Оптимальное проектирование прямоугольной пластинки, совершающей вынужденные установившиеся гармонические колебания при ограничении по жесткости.

§ 4. Вариационный метод расчета вынужденных гармонических колебаний упругих конструкций.

ГЛАВА 1У. СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ.

§ I. Модель хаотически армированного композита и эффективные механические характеристики.

§ 2. Минимизация веса крыла при ограничении по критической скорости дивергенции.

§ 3. Минимизация веса крыла при ограничении по критической скорости реверса элерона.

§ 4. Минимизация веса стреловидного крыла при ограничении на величину подъемной силы при упругих деформациях.

§ 5. Оптимальное проектирование пластинки из композитного материала, совершающей вынувденные гармонические колебания.

ВЫВОДЫ.III

В течение последних 15 - 20 лет в мировой научной литературе было опубликовано большое число работ, посвященных различным проблемам оптимального проектирования конструкций. Только в СССР

43,48,79,80,85,93,94,98,112,113.121 и др.]) и большое количество статей, в которых широко и серьезно обсуждаются теоретические и прикладные аспекты исследований в данной области, разрабатываются методы решения задач оптимального проектирования, приводится большое число интересных результатов.

В развитии данной проблематики важную роль сыграли труды советских ученых Н.В.Баничука, В.В.Васильева, В.Б.Гринева, А.Ю.Идь линского, В.ГДитвинова, К. А Дурье, ВЛ.Малкова, Е Д.Николаи, И.Ф.Образцова, А.Ф.Смирнова, В.А.Троицкого, А.Г.Угодчикова, В.М.Фролова и других, а также таких зарубежных исследователей как Ж.-Л.Арман , З.Васютинский, Ф.Ниордсон, Р.Плаут, В.Нрагер, Н.Ольхофф, Д.Тейлор, Э.Хог.

Постоянно возрастающий интерес к работам в данном направлении обусловлен их широким приложением в строительстве, точном машиностроении и приборостроении, в судостроительной, авиационной и других видах современной промышленности. На ХХУ1 съезде Ш1СС было сказано о необходимости "повышать в оптимальных пределах единичные мощности машин и оборудования при одновременном уменьшении их габаритов, металлоемкости, энергопотребления и снижении стоимости на единицу конечного полезного эффекта" [i] . Оптимальное проектирование позволяет успешно решать проблемы снижения материалоемкости, формирования оптимального внешнего облика и внутренней структуры конструкций при соблюдении требований жесткости и прочности, а также выполнении различных техза эти годы вышел целый ряд монографий советских ученых нодогических условий. Огромные возможности при решении конкретных задач оптимизации конструкций открывает развитие и совер -шенствование электронно-вычислительной техники.

Однако, как видно из обзорных статей [ 13,73,83,161,163, 175 J , подавляющее большинство работ посвящено статическим задачам. Хотя термин "динамические задачи" довольно часто встречался в литературе по оптимальному проектированию конструкций, он применялся в основном к задачам оптимизации частот собственных колебаний и к задачам динамической устойчивости неконсервативных систем.

Разнообразные задачи проектирования конструкций минимального веса при ограничении на фундаментальную частоту собственных колебаний рассмотрены в работах зарубежных авторов ^127,128, 143,152,157,159,160,174,176,181,185,186,187,190,198 и др.J , опубликованных в 1965 - 1974 годах.

Первое исследование в данном направлении принадлежит Ф.Ниордсону [l57] . В этой статье он рассмотрел задачу о максимизации фундаментальной собственной частоты поперечных колебаний опертой балки, сечения которой геометрически подобны.

Вопросам максимизации фундаментальных частот колебаний балок при различных видах граничных условий посвящены также работы Р.М.Браха 128] , БД.Карихалу и Ф.И.Ииордсона [l44,I45] .

Методы, используемые при решении задач частотной оптимизации, могут быть применены и к решению ряда других задач оптимального проектирования, например, задачи о максимизации силы потери устойчивости колонны или пластины, задачи о максимизации критической скорости флаттера и др. Это,обстоятельство было отмечено В.Драгером и Дж.Тейлором в 174] .

Используя технику построения расширенного функционала Лаггранжа, М.Дж.Тенер [l9o] получил решение задачи минимизации веса стержня с дополнительной сосредоточенной массой на одном из концов при ограничении на фундаментальную частоту свободных колебаний. Такая же задача была решена Дж.Тейлором [l8s] с использованием энергетического подхода. Энергетический подход применялся Дж. Тейлором и в работе [18б], посвященной максимизации фундаментальной частоты колебаний стержня заданного веса при ограничении на минимальную площадь поперечного сечения.

Упругие конструкции с конечным числом степеней свободы рассматривались в [l76,I98] . В статье [i 98^ при помощи методов нелинейного программирования решалась задача максимизации фундаментальной частоты свободных колебаний упругой конструкции, а в [17б] минимизировался вес при ограничении на частоту.

Д.Шью [l8l] минимизировал вес одномерной конструкции с кусочно-постоянной жесткостью.

Работы Н.Ольхоффа [l59,I6o] посвящены частотной оптимизации поперечных колебаний круглых и прямоугольных пластин. Рассмотрены различные варианты граничных условий.

Вопросы частотной.оптимизации.подробно обсуждаются в монографиях [l0,48,88,Из] . Работы Н.В.Баничука и А.А.Миронова посвящены вопросам оптимизации, собственных частот пластинок, колеблющихся в идеальной жидкости. А.П.Сейранян [юо] исследовал характер экстремума в задаче о свободно опертой круглой пластинке минимального объема при заданной частоте.осесимметричных поперечных собственных колебаний первого тона. А.С.Братусь и В.М. Картвелишвили [з2 ] при помощи метода возмущений получили приближенные аналитические решения в задачах оптимизации устойчивости и частот колебаний для двумерных тонкостенных упругих конструкций. В статье А.Братуся [33 J с использованием асимптотических методов получены приближенные решения задач минимизации веса осесимметричных и неосесимметричных оболочек переменной толщины при ограничении на частоты собственных колебаний. Приведены и проанализированы качественные картины распределений толщин для оптимальных оболочек.

Работы В.Б.Гринева и А.П.Филиппова [42,48,115] посвящены вопросам частотной оптимизации стержней, а в статье ^Пб] изучаются проблемы оптимального проектирования вращающихся дисков. В [23] С.И.Богомоловым,О .Л .Гаревым и В.Б.Гриневым в задаче управления спектром собственных частот для вращающихся дисков получены необходимые условия оптимальности. Оптимизации параметров стержней, закрепленных на контуре вращающегося недеформируе-мого диска, посвящена статья В.Б.Гринева и Я.А.Гараля [44] , а оптимизации круглых пластинок по спектру собственных частот -статьи В.Б.Гринева и ОД .Гарева [47,49].

В.Г.Литвинов [77] исследовал задачу о выборе оптимальной формы пластины заданного веса, для которой ее фундаментальная частота будет максимальной. Автор доказал существование оптимального управления и сходимость решений некоторых конечномерных заг-дач к решению исходной бесконечномерной задачи оптимального управления. Оптимальным задачам на собственные значения посвящена также статья В.Г.Литвинова [78] .

Р.И.Пятигорский и А.Н.Сейранян [эб] получили необходимое условие оптимальности сплошных балок и пластин для задачи максимизации частоты собственных колебаний при заданном объеме и показали эквивалентность этой задачи обратной ( или двойственной ) минимизации веса при заданной частоте.

В книге [ИЗ-] Л.В.Детухова и В.А.Троицкого изучаются задачи оптимизации статического и динамического нагружений элементов, имеющих заданный вес, задачи оптимизации собственных частот упругих тел при заданном весе. В статье [эо] этих авторов рассмотрены некоторые оптимальные задачи теории продольных колебаний стержней, а в статье [9l] - оптимальные задачи колебаний механических систем с фиксированным конечным значением в одной точке. Динамическим процессам в упругих анизотропных телах, вопросам распространения разрывов скоростей и ускорений посвящена работа Л.В.Петухова [^92 j .

Рядом советских и зарубежных авторов рассматривались также вопросы динамической устойчивости, возникающие в задачах оптимального проектирования систем с распределенными параметрами. Основным методом исследования устойчивости неконсервативных систем является динамический метод, основанный на рассмотрении малых колебаний системы вблизи положения равновесия [29] . Задачи оптимизации динамической устойчивости стержней, нагруженных следящими сосредоточенными и распределенными силами, рассмотрены в работах [7,131-133,135,158,171,173,184,189] . Задача о сверхзвуковом панельном флаттере нашла отражение в работах 126,147, 148,164 - 166,177,191,195,196J . В статьях [l02 - 107,162,179, 180] развивается единый подход к оптимизации распределенных и дискретных систем, подверженных явлениям динамической неустойчивости. Он основан на анализе чувствительности, позволяющем получить явные выражения для градиентов критических параметров устойчивости и использовать эти выражения в численных методах оптимизации .

Задачи, речь о которых шла выше, бесспорно, очень важны как в теоретическом,так и в практическом плане. Однако в оптимальном проектировании существует еще очень широкий круг вопросов, которые , несмотря на свою актуальность, по разным причинам долгое время не попадали в поле зрения исследований. Речь идет о динамических задачах оптимизации, которые являются таковыми по существу. Статические постановки можно рассматривать как некоторую ступень на пути моделирования реальных процессов, и многие из последних действительно можно довольно точно описать подобным образом. Но существуют и такие процессы, которые не укладываются в рамки статических представлений. В механике это -различные неустановившиеся движения, порожденные ударными или какими-нибудь иными нестационарными воздействиями.Какой должна быть оптимальная конструкция, если известно, что она должна работать в течение определенного отрезка времени под действием нагрузки, меняющейся по заданному закону, и удовлетворять в каждый момент времени некоторым ограничениям - так надо теперь формулировать оптимизационную задачу. Решение задач в такой динамической постановке является следующей важной ступенью оптимального проектирования коне трукций.

Одна из пионерских работ в этой,области относится к 1967 году и принадлежит И.М.Рабиновичу [97 ] . Автором рассмотрен ряд задач минимизации объема балок и ферм под действием динамических нагрузок и собственного веса при ограничениях на допустимые напряжения и прогибы. Для упрощения решения используются дискретные модели, фермы заменяются системами с одной степенью свободы. В 1968 году Р.М.Брах в своей статье рассмотрел задачу минимизации максимального динамического прогиба шарнирно опертой балки переменного сечения заданной массы. Балка нагружается нагчальным импульсом ( точечным, приложенным в центре пролета или постоянным по пролету ) или постоянной по времени сосредоточенной силой, приложенной в центре пролета в начальный момент, или постоянной по времени и по пролету силой, также приложенной в начальный момент. Поперечное сечение балки представляется в виде однопараметрического семейства форм ( исходная форма - постоянное сечение ). Параметр варьируется с целью отыскания минимума максимального прогиба. Получен существенный выигрыш в весе за счет оптимизации по сравнению с балкой постоянного сечения. В приложении к статье приведено в общем виде решение уравнения движения балки переменной толщины при нулевых начальных условиях.

Целый ряд работ зарубежных и советских авторов посвящен оптимизации конструкций, совершающих вынужденные установившиеся гармонические колебания под действием гармонических нагрузок [l09, ПО,122,134,139,141,142,155,170,172,183,188] . В 1969 году в статье [l34j Л.Дж.Айсерман рассмотрел оптимальное проектирование различных конструкций ( стержней с непрерывно изменяющимся и ступенчато-постоянным поперечным сечением, балки с непрерывно изменяющейся изгибной жесткостью, а также фермы, у которой все массы сосредоточены в шарнирах) минимального веса при заданном . ограничении на "динамический отклик" или "динамическую реакцию". На конструкции действует сосредоточенная гармоническая нагрузка с заданной частотой, причем существенно, что эта частота меньше фундаментальной частоты собственных колебаний. Под динамическим откликом понимается величина виртуальной работы, которую совершает амплитуда нагрузки на амплитуде перемещения в точке приложения нагрузки. С использованием соотношения Рэлея сформулирован и доказан для рассматриваемого диапазона частот вынужденных гармонических колебаний вариационный принцип, сводящийся при частоте вынувденных колебаний, равной нулю, к хорошо известному в статике принципу минимальной потенциальной энергии. С помощью этого принципа получены необходимые и достаточные условия оптимальности для перечисленных выше конструкций. Приведены численные результаты в виде графиков.

З.Мруз в 1970 году формулирует и доказывает в общем виде вариационный принцип минимума дополнительной энергии для случая установившихся вынужденных колебаний упругой конструкции. Отмечается, что принцип дополнительной энергии был уже использован ранее ( в 1966 г.) в работе К.ВашиЦУ [l93^ для оценки частот колебаний балки. С помощью вышеуказанного принципа З.Мруз получает необходимые и достаточные условия оптимальности для сплошных и трехслойных балок и пластин заданного объема и минимальной динамической податливости. Рассмотрены примеры решения задач оптимального проектирования балок и пластин при помощи метода возмущений.

В 1970 году РД.Плаут [l7o] распространяет сформулированный в [l34] вариационный принцип на случай трехслойной балки, совершающей вынужденные гармонические колебания. При заданном прогибе минимизируется вес балки. Выводятся условия оптиммаль-ности. В более поздней статье этого автора [l72j рассматривается ряд задач максимизации фундаментальной частоты , минимизации прогиба и максимизации устойчивости одномерных трехслойных упругих конструкций ( балок и колонн ) при различных граничных условиях и видах нагружения. Вес конструкции считается заданным, решение отыскивается методом Ритца.

Отметим еще раз, что во всех вышеуказанных работах ([l34, 155,170,172] ) существенным оказывался тот факт, что частота прикладываемой гармонической нагрузки меньше первой собственной частоты. Такое ограничение, однако, для вывода необходимых условий оптимальности отнюдь не обязательно. Это обстоятельство отмечалось в ряде работ. В 1969 году Ю.Д.Софронов [юэ] рассмотрел задачу минимизации веса бруса, совершающего вынужденные установившиеся продольные колебания при ограничениях по прочности. Ограничений на частоту возбуждающей силы не накладывалось. Условия оптимальности были получены с использованием методики переменных множителей Лагранжа. В работе приведены качественные распределения толщин бруса для различных частот колебаний. Показано, что в зарезонансной области оптимальный брус обязательно должен иметь участок постоянного сечения. В работе Ю.Д.Софро-нова [по] минимизируется вес балки, совершающей вынужденные гармонические колебания, при ограничении по прочности. С введением расширенного функционала Лагранжа получены необходимые условия оптимальности. Рассматриваются дорезонансный и зарезонанс-ный случаи. Показано, что в зарезонансном случае оптимальная балка должна иметь участки постоянного сечения.

В 1975 году К.Терманом [l88] рассмотрены задачи оптимального проектирования упругих конструкций, совершающих вынужденные установившиеся гармонические колебания. С применением методов оптимального управления системами с распределенными параметрами получены необходимые условия оптимальности для любого диапазона изменения частоты колебаний.

Принцип стационарности взаимной потенциальной энергии, сформулированный Р.Т.Шилдом и В.Нрагером [l82] , обобщается в работе. Х.Ц.Хуанга jj39^] на случай, когда линейно-упругая конструкция подвержена гармоническому нагружению. С использованием этого обобщенного принципа выводятся условия оптимальности для случая, когда конструкция нагружена сосредоточенной единичной силой при ограничении на податливость в точке приложения гармонической нагрузки, то есть , в данном случае, на перемещение.

В 1976 году Е.Х.Джонсон [l4l] рассмотрел задачу оптимального проектирования тонкостенного стержня ( один конец заделан, другой свободен ), совершающего вынужденные гармонические крутильные колебания с произвольной частотой. На допустимые значения накладывалось ограничение в форме неравенства. Минимизировался вес стержня. Задача решалась с использованием методов математического программирования. Стержень разбивался на конечное число равных частей, и использовалась аппроксимация метода конечных элементов. В работе показано, что пространство переменных проектирования разбивается на непересекающиеся области, где существуют локальные оптимумы. Каждый такой оптимум соответствует тому, лежит ли частота возбуждающей нагрузки выше или ниже фундаментальной частоты собственных колебаний стержня. Приведены оптимальные кусочно-постоянные распределения толщин для различных диапазонов частот. Для случая, когда частота колебаний выше фундаментальной, распределение толщин имеет характерные ос о-, бенности: у заделанного конца стержень тонок, а свободный конец имеет значительное утолщение, за счет чего возникающие силы инерции противодействуют нагрузке, так как действуют в противо-фазе. Это позволяет удовлетворить ограничению на допустимые наг-пряжения.

В работе [l42] Е.Х.Джонсона, П.Риззи,Х.Эшли и С.А.Сеген-рейха минимизируется вес балки переменного сечения при ограничениях на управляющую функцию ( площадь сечения ) и максимальное допустимое напряжение. Балка совершает вынужденные установившиеся гармонические колебания, причем ограничений на частоту возмущающей силы не накладывается. С помощью методов математического программирования получены решения для случаев, когда частота прикладываемой нагрузки ниже фундаментальной собственной частоты , и для случая, когда она попадает в интервал между первой и второй собственными частотами. Отмечено, что во втором случае необходимо наложить на управляющую функцию ограничение снизу. В работе отмечена и проанализирована взаимосвязь между формами свободных колебаний и формами вынужденных колебаний в зависимости от частоты приложенной нагрузки, а также для двух вышеуказанных случаев проведено исследование зависимости собственных частот оптимальной конструкции от частоты приложенной нагрузки. Приведены численные результаты.

В статье В.Стадлера [l83] ищутся такие начальная кривизна арки и осевая нагрузка, чтобы оптимизировать по Парето массу и упругую энергию конструкции при заданном изопериметричес-ком условии. Вопрос об устойчивости исследовался аналитически, когда оптимальное решение было уже получено, или рассматривался в процессе оптимизации на каждом шаге предложенного в работе алгоритма.

С.Адали [l22] применил методы математического программирования для решения задачи минимизации максимального прогиба балки на упругом основании Винклера-Пастернака в случае установившихся вынужденных гармонических колебаний и задачи максимизации фундаментальной собственной частоты. Предполагалось, что площадь поперечного сечения либо кусочно-постоянна, либо представлена линейными сплайнами. В работе приведен анализ численных результатов.

В статье Ш.Маркуша,В.0равского,0.1Пимковой [^150J рассматривается трехслойная балка с демпфирующим ядром под действием гармонического нагружения. Максимизируются демпфирующие свойства ядра (коэффициент потери ) за счет выбора оптимальной конфигурации поперечного сечения балки при заданном весе или жесткости. Задача решается с применением номограмм и метода возмущений .

В работах [21,22,45,46,50,55,119,124,130,131,149,169,192,197 ] изучались некоторые задачи оптимального проектирования упругих конструкций, совершающих неустановившееся движение под действием динамических нагрузок.

Р.Х.Плаут [l69^| в 1970 году рассмотрел задачу о балке под действием динамической нагрузки. В работе получена некоторая верхняя оценка для максимального прогиба балки. Отыскивалось такое кусочно-постоянное распределение толщин, которое минимизирует верхнюю оценку для прогиба при заданном весе конструкции. Отмечается, что вопрос о том, минимизируется ли при этом реальный прогиб балки, остается в ряде случаев открытым, поскольку не известно точное решение для балки переменной толщины под действием динамической нагрузки. В работе рассмотрен ряд примеров.

Вопросы динамической оптимизации,упругих систем с распределенными параметрами рассматривались Э.Хогом и Я.Аророй [lI9, 124 . В этих работах для решения задач оптимального проектирования применяются методы анализа чувствительности, для расчетов напряженно-деформированного состояния конструкций используются конечно-элементные представления. Приводятся полученные оптимальные решения для балок и пластинок.

Работы советских авторов В.Б.Гринева и В.Ф.Васильченко [45,4б] посвящены оптимальному проектированию одномерных конструкций при нестационарном нагружении. В статье [46 ] минимизируется вес стержня при ограничениях на допустимые напряжения и деформации. Дискретизация по пространственной переменной приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрирование которой по времени осуществляется методом Рунге-Кутта.

В статье Л.Д.Азатяна, В.Ц.Гнуни, С.П.Сейраняна [2] при помощи методов нелинейного программирования минимизируется максимальный прогиб бесконечной упругой сплошной пластины, взаимодействующей с плоской акустической ударной волной.

В статье Е.Цегельского и М.Жичковского [l3o] рассматриваются вопросы параметрической оптимизации вязко-пластических стержней при ударных осевых нагрузках. В качестве переменной проектирования выбирается параметр, характеризующий форму конического стержня, и при заданном весе ищется минимальное остаточное перемещение.

П.П.Доманский [бб] определяет такое распределение нормальной ударной осесимметричной нагрузки по длине цилиндрической оболочки и распределение интенсивности изгибающих моментов (равномерно распределенных по краям), при которых динамические эффекты в оболочке оптимально низки (минимизируется кинетическая энергия оболочки при некотором изопериметрическом условии ). Решение краевой задачи ищется в рядах, при этом нагрузка и перемещение представляются соответствующими разложениями по формам собственных колебаний оболочки. Приводятся численные результаты.

Вопросы динамической оптимизации нелинейных моделей стержней рассматривались в работах Чан Дык Чунга и В.Б.Гринева [б2 - 54,120] . В них предложено два подхода к решению задач амплитудно-частотно-весовой оптимизации с учетом различных нелинейных факторов (конструктивной нелинейности опор, физической нелинейности материала, геометрической нелинейности стержня ) для различных видов колебаний (поперечных, продольных, крутила ных). Это - разложение движения деформированного стержня по временным базисным гармоникам или по базисным функциям пространственных координат.

Ряд работ [ 61, 62,65 - 75,80,87,99,108,I5l] посвящен вопросам оптимального проектирования жестко-пластических конструкций при динамическом нагружении, Характерной постановкой таких задач является минимизация остаточного прогиба при заданном весе. Для решения авторы ( Ю.Р.Лепик,Я Деллеп,Ю.Т.Кирс и др.),как правило, используют метод модальных движений, предложенный в 1966 году Дж.Б.Мартином и П.С.Саймондсом [l5l] . Следует отме-. тить, что данный метод применим к довольно узкому классу задач, но в границах применимости дает полезные результаты.

В работе В.Б.Гринева и В.Ф.Васильченко [5l] рассматривается вращающийся вал, совершающий переход через первую критическую скорость. Необходимые условия оптимальности получаются в форме принципа максимума. В статье предлагается алгоритм решения задачи о вале минимального веса с ограничениями.на перемещения и напряжения. Приводятся численные результаты.

Оптимизации элементов машин в резонансных режимах посвящены работы [24 - 28J . В статье С.И.Богомолова, Э.А.Симеона и В.И.Шляхова [24 ] исследуется задача оптимального управления узлами и пучностями формы колебаний стержневой системы. Задача оптимального проектирования стержней, обладающих максимальным рассеянием энергии рассмотренав[25] .

Вопросам оптимального проектирования авиационных конструкций с учетом статических и динамических воздействий посвящены работы [21,22 "j . В статье В.И.Бирюка [21J рассмотрена задача оптимизации распределения силового материала по крылу в системе свободного самолета. Минимизируется вес при ограничениях по прочности и аэроупругости. Методы оптимизации , применяющиеся при оптимальном проектировании и расчетах на прочность элементов авиационных конструкций, приведены в книге [22] .

Работа японского исследователя Х.Ямакавы [l97] посвящена динамическим задачам оптимизации для дискретных систем. Движение таких систем описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, решение которых получается численно. Для последовательного улучшения функционала качества используется метод параметрической оптимизации.

В заключение хотелось бы еще раз отметить тот факт, что число работ, посвященных динамической оптимизации представляется недостаточным, и в них рассматриваются далеко не все аспекты проектирования конструкций. Кроме того лишь в некоторой части из них рассматриваются конструкции под действием непериодических, нестационарных нагрузок. Но интерес к этим проблемам велик, и дальнейшее совершенствование методов оптимального проектирования в сочетании с использованием все более совершенной электронно-вычислительной техники приведет к существенному развитию данного направления.

В настоящей диссертационной работе рассматриваются динамические задачи минимизации веса (массы, объема) тонкостенных упругих конструкций из однородных и неоднородных материалов.

Целью диссертации является разработка и апробация эффективных численных алгоритмов для решения задач оптимального проектирования конструкций при динамических воздействиях, использование разработанных алгоритмов для решения задач оптимизации упругих балок, пластинок и оболочек.

Научная новизна работы состоит:

- в постановке и исследовании при помощи метода анализа чувствительности задач оптимального проектироваия конструкций, рассчитываемых на динамические воздействия;

- в развитии метода последовательной оптимизации и разработке эффективных вычислительных алгоритмов решения задач оптимизации динамически нагруженных конструкций ;

- в выявлении и исследовании качественных особенностей решений задач оптимизации формы балок и оболочек при нестационарном нагру-жении, прямоугольных пластинок, совершающих вынувденные гармонические колебания;

- в выявлении и исследовании качественных особенностей оптимального распределения жестких армирующих включений в задачах оптимизации крыльев из композитных материалов при ограничениях по статической аэроупругости и в задачах оптимального проектирования прямоугольной пластинки из композитного материала,совершающей вынужденные гармонические колебания.

На защиту выносятся следующие результаты:

- анализ чувствительности и его применение к динамическим задачам оптимального проектирования конструкций;

- численный метод последовательной оптимизации, основанный на выпуклых конечно-разностных аппроксимациях и методе проектирования градиентов;

- применение метода последовательной оптимизации к задаче оптимального проектирования балок при динамических нагрузках;

- результаты применения разработанных алгоритмов в задачах оптимального проектирования цилиндрических осесимметричных оболочек при нестационарном нагружении и оптимального проектирования прямоугольных пластинок, совершающих вынужденные гармонические колебания;

- вариационный принцип и его применение для расчета вынужденных гармонических колебаний упругих пластинок;

- результаты применения разработанных алгоритмов к решению задач оптимизации конструкций из неоднородных материалов.

Работа состоит из введения и четырех глав.

выводы

1. Получены формулы анализа чувствительности и необходимые условия оптимальности для задач оптимального проектирования конструкций, рассчитываемых на динамические воздействия.

2. Для динамических задач оптимального проектирования развит эффективный численный метод последовательной оптимизации, основанный на выпуклых конечно-разностных аппроксимациях и методе проектирования градиентов.

3. Решены задачи оптимального проектирования балок и осесимметрич-ных оболочек при действии нестационарных нагрузок. Проведен анализ численных результатов, оценены выигрыши от оптимизации.

4. Исследован ряд задач оптимального проектирования упругих конструкций (балок, прямоугольных пластинок), совершающих вынувден-ные установившиеся гармонические колебания. Приводится аналитическое приближенное решение задачи о балке под действием сосредоточенной гармонической нагрузки и численные решения для прямоугольных пластинок для различных вариантов закрепления краев. Сформулирован и доказан вариационный принцип об эквивалентности краевой задачи определения амплитудных функций колебаний и вариационной задачи минимизации квадратичного функционала при ограничениях типа равенств и дополнительных предположениях относительно вида внешних воздействий. Приведен пример расчета гармонических колебаний упругой пластинки.

5. Приведено решение задач оптимального проектирования конструкций из хаотически армированного композитного материала при статических и динамических ограничениях.

1. Материалы ХХУ1 съезда КПСС ,-М. Политиздат, 1981 .-233с.

2. Азатян Л.Д.,Гнуни В.Ц., Сейранян С.П. Оптимизационная задача динамического взаимодействия слоистой ортотропной пластины с акустической ударной волной.- Ученые записки Ереванского унта .Естественные науки.1980, ЖЕ,с.31-35.

3. Аннин Б.Д.Современные модели пластических тел.Новосибирск. 1975.-96с.

4. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М.,Черноусько Ф.Л. 0 вариационно-разностных методах и вопросах их сходимости.-Препринт №60 ШМ АН СССР,М., 1975.-62с.

5. Баничук Н.В., Миронов А.А. Оптимизация частот колебаний упругой пластинки в идеальной жидкости.- ПММ,1975,т.39,вып.5,с.889-899.

6. Баничук Н.В.,Миронов А.А. Задачи оптимизации пластин, колеблкъ щихся в идеальной жидкости.-11ММ,1976,т.40,вып.З,с.520-527.

7. Баничук Н.В., Гура Н.М. Об одной динамической задаче оптимального проектирования.-Механика деформируемого твердого тела. Вып.41,Новосибирск,1979,с.20-24.

8. Баничук Н.В. Минимизация веса крыла при ограничении по ско-рос ти дивергенции.-Учен.зап.ЦАГИ,1978,№5,с.97-103.

9. Баничук Н .В., Бирюк В. И., Коанде И. И., МироновА.А., СейранянА ,П. Крыло минимального веса при ограничении по несущей способности .-Учен. зап .ЦАГИ, 1979, Н, с. 90-98.

10. Баничук Н.В.Оптимизация форм упругих тел.М.;Наука,1980.-256с.

11. Баничук Н.В.,Кобелев В.В. Оптимизация эффективных характеристик гранулированных композитов в задачах проектирования конструкций .-Механика композитных материалов,1981,№2,с.256-261.

12. Баничук Н.В., Кобелев В.В. Оптимизация конструкций из хаотически армированных композитов.-Механика композитных материа- из лов,$4,1981,с.669-675.

13. Баничук Н.В. Современные проблемы оптимизации конструкций.-Изв.АН СССР.МТТ, 1982, ,№2, с.IIO-124.

14. Баничук Н.В.,Иванова С.Ю. Некоторые оптимальные задачи статической аэроупругости для крыльев из композитных материалов.-Изв.АН Арм.ССР.Механика,1983,Ш,с.2I-30.

15. Баничук Н.В.,Ларичев А.Д. Максимизация жесткости на кручение упругих стержней из композитных материалов .-Изв. АН Арм. ССР. Механика,1983,№6,с.31-38.

16. Баничук Н.В.,Иванова С.Ю. Численный анализ и оптимальное проект! рование конструкций,рассчитываемых на динамические воздействия .-Тезисы докл. Всееоюз.конференции "Численная реализация физико-механических задач прочности", Горький,1983,с.15.

17. Баничук Н.В.,Бирюк В.И.,Иванова С.Ю.,Коанде И.И.,Макеев Е.В. Оптимизация авиационных конструкций методами теории оптимального управления.-В сб."Динамика и прочность машин",вып.40, Харьков,изд-во при Харьк.ун-те,1984,с.19-25.

18. Баничук Н.В.,Иванова С.Ю. Об оптимальном проектировании конструкций при динамических нагрузках.-Прикладные проблемы прочности и пластичности.Всесоюз.межвуз.сб./Горьк.ун-т,вып.26, 1984,с.88-94.

19. Баничук Н.В.,Братусь А.С.,Иванова С.Ю. Вариационный метод расчета вынужденных гармонических колебаний упругих конструкций.-Прикладные. проблемы прочности и пластичности, Всесоюз. межвуз.сб./Горьк.ун-т,вып.28,I984,с.

20. Баничук Н.В.,Иванова С.Ю.,Шаранюк А.В. Нестационарные задачи оптимального проектирования конструкций.-Тезисы докл.Всесоюз. конференции"Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций", Горький,1984,с.7-8.

21. Бирюк В.И.О задаче оптимального проектирования конструкции крыла из условий прочности и аэроупругости.-Учен.зал.ЦАГИ, 1972,^2,с.114-119.

22. Бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов,-М.:Машиностроение,1977,232с.

23. Бисшшнгхофф Р.Л.,Эшли Х.Далфмен Р.Л. Аэроупругос ть. М. :ИЛ, 1958.-800с.

24. Богомолов С.И.,Гарев О.Л., Гринев В.Б. К выводу необходимых условий оптимальности для вращающихся дисков .-В с б. Динамика и прочность машин,Харьков,1978,с.59-64.

25. Богомолов С,И.,Симеон Э.А.,Шляхов В.И. Об одном подходе к задаче виброизоляции.-В кн.;Динамика и прочность машин,вып.32, Харьков: Вища школа,1980,с.69-75.

26. Богомолов С.И., Симеон Э.А., Сукиасова Н.Г. Оптимизация стержней по характеристикам демпфирования .-В кн.: Динамика и прочность машин,вып.30, Харьков,; Вища школа,1980,с.70-76.

27. Богомолов С.И.,Симеон Э.А. Применение метода погружения в задачах оптимизации.-В кн.:Динамика и прочность машин.Вып.33, Харьков:Вища школа,I98I,c.I0I-III.

28. Богомолов С.И., Симеон Э.А. Оптимизация механических систем в резонансных режимах. Харьков: Вища школа.Изд-во при Харьк. ун-те.1983.-153с.

29. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.:Физматгиз,1961.339с.

30. Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред.-Механика полимеров, 1965,т.I,№2,с.27-37.

31. Болотин В.В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов. В сб."Расчеты на прочноеть",вып.12,М.: Машиностроение.1966, с.3-31.

32. Братусь А.С.,Картвелишвили В.М. Приближенные аналитические решения в задачах оптимизации устойчивости и частот колебаний упругих конструкций.-Изв.АН СССР.МТТ,1981,$6,с.119-139.

33. Братусь А.С. Проектирование круговых цилиндрических оболочек минимального веса с фиксированными частотами.-ПММ,1983,т.47, вып.5,с.805-814.

34. Буньков В.Г.,Рыбаков А.А. К расчету оптимальных флаттерных характерно тик.-Труды ДАГИ,1969,вып.1166

35. БунькоЕ В.Г. Расчет оптимальных флаттерных характеристик методом градиента.-Труды ЦАГИ,1969,вып.1166

36. Вибрации в технике т.1. Колебания линейных систем /Под ред. В.В.Болотина.1978.352с.

37. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.М.: Наука.1972.-432с.

38. Голубев И.С. Аналитические методы проектирования конструкций крыльев.М.Машиностроение,1970.-288с.

39. Гольдштейн Ю.Б.,Соломещ М.А. Вариационные задачи статики оптимальных стержневых систем.-JI.:Изд-во ЛГУ, 1980.-208с.

40. Гринев В.Б.,Филиппов А.II. Об оптимальных формах стержней при вынужденных колебаниях.-В кн.:Конференция по колебаниям механических систем. Тезисы докладов.-Киев: Наукова думка,1971, с.34-35.

41. Гринев В.Б. Некоторые задачи оптимизации динамически нагруженных конструкций.-В кн.воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций: Тезисы докладов конференции, Харьков, 1974,с.16.

42. Гринев В.Б.,Филиппов А.П. Некоторые задачи оптимизации стержней при продольных колебаниях.-В сб.:Динамика и прочностьмашин,Харьков,1974,вып.20,с.47-53.

43. Гринев В.Б.,Филиппов А.П. Оптимизация элементов конструкцийпо механическим характернотикам.-Киев: Наукова думка,1975.294с.

44. Гринев В.Б., Гараль Я.А. Оптимизация параметров вращающихся с тержней. -Прик л. механика, 1977, т.13,№4,с.96-102.

45. Гринев В.Б.,Васильченко В.Ф. Оптимизация стержней при стационарном и нестационарном нагружении.-В кн.: Тезиса Всесоюзного совещания по вибрационной технике, Тбилиси,1978,е.-5.

46. Гринев В.Б.,Васильченко В.Ф. Оптимизация балок при непериодическом нагружении .-В сб.:Динамика и прочность машин, Харьков, 1979, вып.29,с.25-30.

47. Гринев В.Б.,Гарев 0.1. О некоторых особенностях задач оптимизации круглых пластинок. "Вестник Харьков.политехи.ин-та", 1979,$148,с.19-22.

48. Гринев В.Б.,Филиппов А.11. Оптимизация стержней по спектру собственных значений.-Киев: Наукова думка,1979.211с.

49. Гринев В.Б.,Гарев О .Л. Оптимизация круглых пластинок по спектру собственных частот.-В сб.:Динамика и прочность машин, Харьков,1981, вып.33,с.III-115.

50. Гринев В.Б.Некоторые задачи оптимизации элементов конструкций, находящихся под воздействием динамических нагрузок. "5-й Всесоюз.съезд по теор. и прикл.мех., Алма-Ата,27 мая 3 июня 1981.Аннот.докл."Алма-Ата,1981,с.126.

51. ГринеЕ В.Б.,Васильченко В.Ф. Оптимизация балок при переходных процессах. "Пробл.машиностр."(Киев), 1981,ЖЕ4,с .64г-70.

52. Гринев В.Б.,Чан Дык Чунг. Оптимизация стержня с нелинейной опорой при продольных колебаниях.-Динамика и прочность машин,1982,вып.35,с.78-82.

53. Гринев В.Б.,Чан Дык Чунг. Задачи оптимизации нелинейных моделей стержней.-В кн.:Семинар-совещание молодых ученых по проблеме "Оптимизация конструкций при динамических нагрузках". Тезисы докладов, Тарту,1982,с.35-36.

54. Гринев В.Б.,Чан Дык Чунг. Оптимизация балки с нелинейной опорой.- Динамика и прочность машин, 1983,вып.37,с.96-101.

55. Доманский П.П. Оптимизация динамических эффектов в цилиндрической оболочке при ударной силовой нагрузке.- Математические методы и физико-механические поля, 1981,Ы4,с.75-78.

56. Иванова С.Ю. Минимизация веса балок из композитных материалов.- Исследования по строительным конструкциям,1984,с.

57. Иванова С.Ю. Оптимальное проектирование пластинок, совершающих вынужденные гармонические колебания.- Вопросы строительной механики и прочности летательных аппаратов. Труды МАИ, 1985,с.

58. Иванова С.Ю. О некоторых задачах снижения веса конструкций, работающих в режиме вынужденных гармонических колебаний Изв.АН СССР.Мех.тверд.тела,1984,№5,с.147-154.

59. Ишлинский А.Ю. О равнопрочном сечении балки.- Учен.записки МГУ,1940,вып.39,с.87-90.

60. Кире Ю.Т.Оптимальное проектирование жестко-пластических оболочек вращения при динамической нагрузке.-Учен.зап.Тартус. ун-та, 1979, Ш7, с. 119-126.

61. Кире Ю.Т. Оптимальное проектирование пологих сферических оболочек при динамической нагрузке.-Учен.зап.Тартус.ун-та,1979, вып. 487, с. ПО-118.

62. Коллатц Л. Задачи на собственные значения.М.:Наука.1968.-504с.

63. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс.М.Машиностроение,1975.-272с.

64. Леллеп Я. Оптимальное расположение дополнительной опоры для импульсно нагруженной пластической балки.-Учен.зап.Тартус. у н- т а, 1979, №487, с. 52- 57.

65. Леллеп Я., Сакков Э. Оптимальный проект армированной балки из жесткопластического материала в случае импульсного нагружения.-Учен.зап.Тартус.ун-та,1983,$659,с.3-II.

66. Лепик Ю.Р. Оптимальное проектирование неупругих балок с дополнительными опорами в случае динамического нагружения.-Учен. зап.Тартус.ун-та,1977,вып.430,с.132-143.

67. Лепик Ю.Р. Об оптимизации жесткопластических оболочек вращения при динамических нагрузках.-Изв.АН СССР.Мех.тверд.тела,1978, №2,с.136-144.

68. Лепик Ю. Оптимальное проектирование жесткопластических балок под действием динамических нагрузок.-Учен.зап.Тартус.ун-та, 1979,№487,с.16-28.

69. Лепик Ю.,Сакков Э. Дополнение к динамической задаче оптимизации жесткопластических балок в приближенной постановке.-Учен.зап.Тартус.ун-та,1979,#487,с.37-39.

70. Лепик КШОптимальное проект.нелинейно-вязких кольцевых пластин при импульсном нагружении.-В кн.:Тр.ХП Всесоюз.конф. по теории оболочек и пластин, Ереван,1980,т.3,с.5-10.

71. Лепик Ю.Р. Решение задач динамического изгиба жесткопластических конструкций методом квазилинейных форм движения.-Прикл.пробл.прочности и пластичности,1980,№14,с.70-74.

72. Лепик Ю.Р. Оптимальное проектирование неупругих конструкций при динамических воздействиях.-Прикл.мех.,1981,17,№9,с.3-20.

73. Лепик Ю.Р. Оптимальное проектирование жесткопластических балок переменной толщины под действием динамической нагрузки.-Прикл.пробл. прочности и пластичности.Горький,1981,с.85-93.

74. Лепик Ю.Р. Динамический изгиб жестко-пластических балок под действием сосредоточенной нагрузки.-Нрикл. механика,198I, 17,#4,с.90-95.

75. Лепик Ю.Р. Оптимальное проектирование жесткопластических балок ступенчато-постоянной высоты под действием импульсного нагру-жения.-Изв.АН СССР.Мех.тверд.тела,1983,,с.136-142.

76. Литвинов В.Г. Задача оптимального управления собственной частотой пластины переменной толщины.-Ж.вычислит.матем.и матем. физ.,1979,М,с.866-877.

77. Литвинов В.Г. Оптимальные задачи на собственные значения Украинский математический журнал,1981,т.33,#5,с.610-614.

78. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики,-М.:Наука,1975.-480с.

79. Малков В.П.,Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем.-М.: Наука,1981.-288с.

80. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.-М.:Наука,1970.-512с.

81. Мяченков В.И.,Павлов Е.К. 0 .динамике разветвленных оболочечных конструкций .-Прикл.механика,1982,т.18,$5,с.49-56.

82. Ниордсен Ф.,Педерсен Р. Обзор исследований по оптимальному проектированию конструкций.-Механика: Сб.перев.иностр.статей. М.:Мир,1973, №2,с.136-158.

83. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.:Судпромги3.1962.-431с.

84. Образцов И.Ф. .Васильев В.В.,Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов. М.: Машинос троение.1977.-144с.

85. Оленев Г. Оптимальное расположение дополнительных опор к жесткопластическим круглым пластинкам в случае импульсного нагружения.-Учен. зап. Тартус .ун-та, 1983, №659, с .30-41.

86. Оленев Г. Об оптимальном расположении дополнительной опоры к жесткопластической цилиндрической оболочке при импульсном нагружении.-Учен.зал.Тартус.ун-та,1983, Ж>59,с.42-51.

87. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конетрукций.-М.:Мир, 198I.-277с.

88. Павлов В.К. Применение метода Фурье для решения осесимметричь ной задачи динамики оболочечных конетрукций.-В сб.Расчеты на прочность и жесткость. Ж)ССТАНШ,1982,вып.4,с .159-169.

89. Петухов Л.В.,Троицкий В.А. Некоторые оптимальные задачи теории продольных колебаний стержней.-Прикл.матем. и механика, 1972,т.36,вып.5,с.895-904.

90. Петухов Л.В.,Троицкий В.А. Оптимальные задачи в теории колебаний механических систем с фиксированным конечным значением в одной точке.- Изв.АН СССР,Механика твердого тела,1975,№4, с.89-92.

91. Петухов Л.В. Уравнения распространения разрывов в линейной теории упругости.-Некоторые Еопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула,1982,с.116-121.

92. Почтман Ю.М,,Пятигорский З.И. Расчет и оптимальное проектирование конструкций с учетом приспособляемоети.-М.:Наука, 1978.-208с.

93. Почтман Ю.М.,Пятигорский З.И. Оптимальное проектирование строительных конетрукций.-Киев, Донецк: Вища школа, 1980.-112с.

94. Пятигорский Р.И. ,Сейранян А.П. Об одной динамической задаче оптимального проектирования.- Учен.зш.ЦАГИ,тЛ1,1971,)£6, с.146-151.

95. Рабинович И.М. К расчету стержневых систем наименьшего веса.-Исслед.по теории сооружений,1965,вып.14,с.131-141.

96. Рабинович И.М. К расчету ферм и балок минимального объемана действие динамических нагрузок и собственного веса.- В сб. Исследования по теории сооружений.М.,1967,вып.15,с.151-158.

97. Рейтман М.И.,Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел.-М.:Наука,1975.-266с.

98. Сакков Э. К оптимальному проектированию жесткоплаетической свободной балки ступенчато-переменной толщины под действием динамической нагрузки.-Учен.зап.Тартус.ун-та,1979,№487,с.40-44

99. ЮО.Сейранян A.I1. Исследование экстремума в оптимальной задаче о колебаниях круглой пластины,-Изв.АН CCCP.MTT,I978,№6,c.II4-118.

100. Ю1.Сейранян А.П. Оптимизация веса крыла при ограничениях по стаг-тической аэроупругости.-Изв.АН СССР.МТТ,1978,№4,с.

101. Сейранян А.П, Оптимизация устойчивости пластинки в сверхзвуковом потоке газа.-Изв.АН СССР.МТТ, 1980,№5,с.141-147.

102. Сейранян А.П. Анализ чувствительности и оптимизация характеристик аэроупругой устойчивости.-Препринт Ян-та проблем механики АН СССР.М., 1980,И62,58с.

103. Сейранян А.П.Влияние распределения масс и жесткоетей на критическую скорость флаттера.-Изв.АН Арм.ССР.Мех.,1981,34,№3, с.57-67.

104. Сейранян А.П., Шаранюк А.В. Анализ чувствительности и оптимизация критических параметров в задачах динамической устойчивости .-Изв. АН СССР.МТТ, 1983, №5, с. 173-182.

105. Сейранян А.П., Шаранюк А.В. Оптимизация флаттерных характерно тик.- Изв.АН Арм. ССР.Механика, 1984, т. 37, №5, с. 38- 51.

106. Сейранян А.П., Шаранюк А.В. Задачи оптимизации динамическойустойчивости.-В кн.:Динамика и прочность машин. Респ.межвед. научн.-техн.сб.,вып.40, Харьков: Вища школа,изд-во ХГУД984, с.100-103.

107. Соонетс К.,Вайникко И. 0 динамическом изгибе жесткопласти-ческих круглых пластинок.-Учен.зап.Тартус.ун-та,1977,вып.430, с.123-131.

108. Софронов Ю.Д. Расчет стержней наименьшего веса при действии продольных циклических сил.-Стоительная механика и расчетс ооружений,1969,£6,с.40-43.

109. НО. Софронов Ю.Д. Балки наименьшего объема при действии циклических нагрузок.- Тр.КАИ,1970,вып.116,с.10-17.

110. Тетере Г.А.,Рикардс Р.Б.,Нарусберг В.Л. Оптимизация оболочек из слоистых композитов. Рига.:3инатне,1978.-240с.

111. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем.Л.:Машиностроение,1976.248с.

112. Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел.-М.:Наука,1982.-432с.

113. Украинцев Г,В., Фролов В.М. Метод оптимизации силовой конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относительной толщины профиля .-Учен. зап. ЦАГИ, 1972, т. 3,М, с.65-76.

114. Филиппов А.П.,Гринев В.Б. Об оптимальной форме стержня при продольных колебаниях,ДАН УССР,№4,1971,с.371-374.

115. Филиппов А.II.,Гринев В.Б. Некоторые задачи оптимизации вращающихся .дисков. В кн.Прочность материалов и конструкций,Киев:

116. Наукова думка, 1975,с .239-246.

117. Фын Я,Ц. Введение в теорию аэроупругости. М.:Физматгиз,1959.-523с.

118. Хилл Р. Упругие свойства составных сред; некоторые теоретические принципы.-Механика.Периодич.сб.переводов иностр.статей 1964,#5,с.127-143.

119. Хог Э.,АрораЯ. Прикладное оптимальное проектирование .-М.:Мир,1983.-478с.

120. Чан Дык Чунг. Оптимизация нелинейно-деформированных стержней при действии динамических нагрузок.-В кн.:Семинар-совещание по проблемам "Оптимизация в машиностроении".Тезисы докладов,Харьков,1982,с.92.

121. Черноусько Ф.Д.,Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления: Численные методы.М.:Наука,1973.-238с.

122. Adali S. The design of beams on Vinkler-Pasternak foundations for minimum dynamic response and maximum eigenfrequen-cy.~ J. de Mecanique theorique et appliquie, vol.1,No6,1982, P.975-995.

123. J. Armand J.-L.,Vitte W.T. Foundations of aeroelastic optimization and some applications to continuous systems. Report Sudaar No 390, Stanford, 1970.

124. Claudon J.L. Characteristic curves and optimum design of two structures subjected to circulatory load.- J.Mec~,,I975fV.I4, No <3,p.331-543.

125. Claudon J.L., Sunakawa M. Optimizing distributed structures for maximum flutter load»-AIAA Journal,I98I,v.I9,No 7»P* 957-959.

126. Fox R.L,, Kapoor M.P, Structural optimization in the dynamic response regime? a computational approach.-AIAA J.,I970,v.8, 1798—1804,135* Hanaoka H. ,Washizu K. Optimum design of Beck's column.- Computers and structures, 1980,v.II, No 6,p,473-480.

127. Hashin Z. On elastic behaviour of fibre reinforced materials of arbitrary transverse phase geometry.- J. Mech.Phys. Solids, vol.13,1965,pp.II9-134.

128. Mioduchowski A.,Thermann K. Minimum-weight design of structures with two prescribed frequencies.-Z.angew.Math.Mech. (ZAMM),1974,vol.54,p.442-445.

129. Mroz Z. Optimal design of elastic structures subjected to dynamic, harmonically—varying loads.-Z.angew.Math.Mech., 1970,vol.50,p.305-309.

130. Olhoff N. Optimum design of vibrating circular plates.-Int.J.Solids Structures,1970,vol.6,p.139-156.160» Olhoff N. Optimal design of vibrating rectangular plates.-Int.J.Solids Structures,1974,v.I0,pp.93-I09.

131. Olhoff N., Taylor J.E. On structural optimization,- J.of Appl.Mech. 1983,vol.50 ,pp.II39-H5I.

132. Pedersen P.,Seyranian A.P. Sensitivity analysis for problems of dynamic stability.- Int.J.Solids Structures,1983,v.I9, No4,p.315-333.

133. Pierson B.L. A survey of optimal structural design under dynamic constraints.-Int.J.for numerical Methods in Engineering, vol.4, July-Aug.I972,p.49I-A-99.

134. Pierson B.L. Discrete variable approximation to minimum weight panels with fixed flutter speed.- AIAA J., 1972, v.IO, No 9, p. И47-И48.

135. Pierson B.L. Panel flatter optimization bygradient projection. -Int. J .Numer .Me th . Engine ering ,I975,vo1.9,p.271-296•

136. Pierson B.L. Aeroelastic panel optimization with aerodynamic damping.- AIAA J.,1975,v.13,No 4,p.5I5~5I7

137. Pierson B.L.,Genalo L.J. Minimum weight design of a flutter speed constraint.-Comp.Meth.Appl.Mech.Eng.,v.IO,NoI,p.45-62.

138. Pierson B.L.,Na;jela P. Optimal aeroelastic design of an unsym-metrically supported panel.-J.Struct.Mech.,I980,v.8,No3,p.33i-346.

139. Plaut R.H. On minimizing the response of structures to dynamiсloading.-Z.angew.Math.Phys. ,1970 ,vol.2I ,No6,p.I004-I0I0.

140. Prager W.,Taylor J.E. Problems of optimal structural design.-J.Appl.Mech.,Trans.ASME Ser.E55,I968,p.I02-I06.175* Rao S.S. Optimum design of structures under shock and vibration environment.- The shock and vibration digest, vol.7, dec.I975,p.6I-70.

141. Rubin С.P. Minimum-weight design of complex structures subject to a frequency constraint Л.-А1АА J.,1970,vol.8,p.925-927*

142. Sheu C.Y. Elastic minimum-weight design for specified fundamental frequency.- Int.J.Solids Structures, 1968,vol.4,p. 953-958.

143. Shield R.T.,Prager W. Optimal structural design for given def1ection.-J.Appl.Math.Phy s.(ZAMP),vo1.21,I970,p.513-523, vol.22,1971,p.608-620.

144. Stadler W. Stability of the natural shapes of sinusoidally loaded uniform shallow arches.-The Quart.J.of Mech.Appl.Math, vo1.36,part *3,august 1983,p.365-386.

145. Sundararaian C. Optimization of a nonconservative elastic sis-tem with stability constraint.- J.Opt.Theory and Applic., I975,v.J6,p.355-378.

146. Taylor J.E. Minimum mass bar for axial vibration at specified natural frequency.-AIAA Ji,I967,vol.5,p.I9II-I9I3.

147. Taylor J.E. Optimum design of a vibrating bar with specified minimum cross section.- AIAA J.I968,vol.6,p.I379-I38I.

148. Thermann K. Zum optimalen Entwurf eines schwingenden Kreis-bo gentrager s. -Z. angew. Math .Me ch. ( ZAMM ), 1972, vol.52, p.156-158.

149. Thermann K. Optimal design criteria of dynamically loaded elastic structures.-I.U.T.A.M. Symposium Opt.in Structural Design, Warsaw,august I973»Springer Verlag, I975»P«I52-I67*

150. Thomas C.R. Stability and mass optimization of nonconservative Eiler beams with damping.- J.Sound and Vibration,1976, v.47,p.395-401.

151. Turner M.J» Design of minimum mass structures with specified natural frequencies,- AIAA J.,I967,vol.5»p.406-4I2.

152. Turner M.J. Optimization of structures to satisfy flutter requirenment s .-AIAA J. ,1969,V.7,No5,p.94-5-951 •

153. Venkayya V.B.,Khot N.S. Design of optimum structures to impulse type loading.-AIAA J.,1975,NoI3,p.989-994.

154. Washizu K, Note on the principle Df stationary complementary energy applied to free vibrations of an elastic body.-Int.J.Solids Structures,1966,v.2,p.27-37*

155. Weisshaar T.A. An application of control theory methods to the optimization of structures having dynamic or aeroelastic constraintav Sudaar Report, No 44I2, 1970, Stanford.

156. Weisshaar T.A. Aeroelastic optimization of a panel in high Mach number supersonic flow.- J.Aircraft, 1972,v.9, N09, p.611-617.

157. Weisshaar T.A. Panel flatter optimization a refined finite element approach.- Int.J.Numer.Meth.Eng.,1976,v.10,p.77-91.

158. Yamakawa H. Optimum structural designs for dynamic, in New Directions in Optimum Structural Design (eds. Atrek E., Gallagher R.H.,Ragsdell K.M.,Zienkiewicz O.C.), New York, Wiley, 1984,p.249-268.

159. Zarghamee M.S. Optimum frequency of structures.- AIAA J.,1968, vol.6,p.749-750.1. РИСУНКИ1. Рис. i