Динамические задачи теории упругости для тонких тел (асимптотический подход) тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р; Ь ^

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

На правах рукописи

КАПЛУНОВ Юлий Давидович

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТОНКИХ ТЕЛ (АШТГГОТИЧЕСКИЙ ПОДХОД )

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН.

Официальные оппоненты , - доктор физико-математических

наук, профессор Л.В.НИКИТИН

- доктор физико-математических наук И.В.СИМОНОВ

- доктор физико-математических наук, профессор П.Е.ТОВСТИК

Ведущая организация - Ростовский государственный

университет.

Защита состоится " 2t> " HCj>3hs 1993 г. в (5 час. на заседании специализированного совета Д 002.87.01 при Институте проблем механики РАН по адресу: I17526, Москва, пр. Вернадского 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан "23 " сем™. 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

А.И.МЕНЯйЛОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие современной техники значительно расширило сферу применения тонких упругих тел (пластин и оболочек). Появляется все больше приложений, для которых основное значение имеют их динамические свойства. Тонкие упругие тела широко используются в качестве волноводов, резонаторов, рассеивателей звука, ответственных узлов систем измерительной техники. В этих случаях помимо традиционных требований к прочности и жесткости, важное значение приобретают их спектральные характеристики и чувствительность к динамическому возбуждению, в том числе нестационарному. Становятся более разнообразными и условия эксплуатации упругих пластин и оболочек в системах и устройствах. При этом все чаще встречаются ситуации (толщинные колебания резонаторов, возбуждение волн Лэмба высших порядков в рассеивателях, распространение фронтов и квазифронтов волн в оболочечных конструкциях и др.), при которых длина волны деформации становится соизмерима с толщиной тела, а характерный временной масштаб протекающих процессов - со временами пробега упругими волнами расстояния между лицевыми поверхностями. Моделируя такие ситуации, даже в самом грубом приближении нельзя пользоваться соотношениями классической теории оболочек (теории Кирхгофа - Лява). Применение к их исследовании трехмерной теории упругости связано в общем случае с принципиальными трудностями. Это стимулирует разработку различных приближенных методов.

Органичным для механики тонких тел является асимптотический подход, основанный на использовании малого геометрического параметра, равного отношению толщины к характерному линейному размеру. Идея его применения к построению приближенных теорий тонких тел исходя из уравнений трехмерной теории упругости восходит к Коши, Цуассону и Сен-Венану. Первые работы, посвященные обоснованию классической теории обо-

лочек, принадлежат Н.А.Кильчевскому, Х.М.Мухштари, В.В.Новожилову и Р.М.Финкельштейну. Общая асимптотическая теория статики оболочек приобрела завершенный вид к началу 70-х годов, главным образом, благодаря усилиям научных школ, возглавляемых И.И.Воровичем и А.Л.Гольденвейзером. За рубежом близкие по духу исследования проводились К.О.Фридрихсом,А.Е.Грином, Е.Л.Рейссом, Э.Рейсснером и др. В дальнейшем асимптотический подход нашел разнообразные применения при построении теорий неоднородных, анизотропных, электро и магнитоупругих тонких тел, а также пластин с неклассическими граничными условиями на лицевых поверхностях (работы Л.А.Агаловяна, М.И.Гусейн-Заде, А.Л.Радовинского, Н.Н.Рогачевой,С.О.Саркисяна,И.В.Симонова, Б.А.Устинова и др.).

Формулировке приближенных моделей для изучения динамических процессов в тонких телах посвящены многочисленные публикации (см. обзоры Л.Я.Айнолы и У.К.Нигула, Э.И.Григолю-ка и И.Т.Селезова). Среди них работы, в которых используется асимптотический подход, относятся в основном к пластинам и цилиндрическим оболочкам. При этом, как правило, рассматривается низкочастотный диапазон (характерный временной масштаб значительно больше времен пробега упругими волнами расстояние между лицевыми поверхностями). Попытки построения асимптотических теорий в низкочастотном диапазоне для оболочек более сложной формы предпринимались Д.Драгицеску и О.Е.Видерой. Приближенные уравнения движения оболочек в высокочастотном диапазоне (характерный временной масштаб соизмерим с временами пробега упругими волнами расстояния между_

лицевыми-поверхностями) обсуждались в работах В.Л.Бердичевс-кого,Л.Ю.Коссовича и Ле Хань Чау. К ним примыкают статьи П.Е.Товстика и Дк.Ахенбаха, в которых для случая пластины предлагались итерационные процессы интегрирования уравнений теории упругости в окрестности частот толщинных резонансов, а также работы У.К.Нигула и М.Ф.Мехтиева, в которых получены асимптотические представления корней дисперсионных уравнений

для тел канонической формы в высокочастотном диапазоне.

Перечисленными здесь работами были созданы необходимые предпосылки для разработки общего асимптотического подхода, который был бы применим к телам достаточно общей геометрии и позволял бы изучать динамические процессы, для описания которых классическая теория оболочек заведомо не может быть использована. Кроме того, представляет большой интерес изучение возможностей многочисленных уточненных теорий, в основе которых лежат физические гипотезы, отличающиеся от предположений Кирхгофа - Лява.

Целью работы является асимптотический анализ трехмерных уравнений теории упругости в тонких областях на основе единого подхода для низкочастотного и высокочастотного диапазонов и применение его результатов к исследованию динамических процессов в пластинах и оболочках.

Научная новизна. Основные результаты сводятся к следующему:

I. Для оболочки общего очертания построены асимптотичес -кие приближения уравнений динамической теории упругости. В низкочастотном диапазоне имеется только одно такое приближение. Оно является длинноволновым (длина волны деформации значительно превышает толщину) и в главном совпадает с незначительно модифицированными уравнениями теории оболочек Кирхгофа - Лява. В высокочастотном диапазоне уравнения теории упругости имеют два различных асимптотических приближения. Первому из них соответствуют двумерные уравнения, описывающие длинноволновые колебания в окрестности частот толщин-ных резонансов. Второе же приближение является коротковолновым (длина волны деформации соизмерима с толщиной). Отвечающие ему асимптотические уравнения в общем случае остаются трехмерными. Установлено, что область применимости уравнений коротковолновых колебаний имеет пересечения с областями применимости уравнений длинноволновых колебаний и показано, что возможности длинноволновых приближений оказываются исчерпан-

ными, когда длина волны деформации еще значительно больше толщины тела.

2. Особенности применения предлагаемого подхода продемонстрированы на примере оболочки вращения с меридианом произвольной формы. Дано описание частотного спектра и рассмотрены вынужденные колебания при краевом высокочастотном возбуждении. Разобрана задача синтеза дисперсионных кривых цилиндрической оболочки как трехмерного упругого тела на основе асимптотических приближенных теорий.

3. Исследованы возможности уточненных теорий пластин и оболочек, опирающихся на физические гипотезы (теорий, учитывающих деформацию сдвига, инерцию вращения и др.). Установлено, что несмотря на асимптотическую непоследовательность, их область применимости в низкочастотном диапазоне, как правило, оказывается более широкой, чем у классической теории. Вместе с тем обнаружено, что область применимости классических теорий пластин и оболочек может быть значительно расширена путем коррекции инерционных членов, основанной на асимптотическом анализе трехмерной задачи. Эффективность классических теорий с приведенной инерцией показана на примере задач о дисперсии упругих волн в слое и об определении собственных частот пластин средней толщины.

4. Разработанные методы применены к задачам об излучении и рассеянии звука упругими тонкими телами. На их основе получены приближенные формулы, аппроксимирующие точные решения в широком диапазоне параметров _ и позволящие выявить неко-— торыекачественные эффекты. К последним относятся подскоки мощности излучения упругого слоя в окрестности частот тол-щинных резонансов, соответствующих поперечным колебаниям; исчезновение резонансов нулевой симметричной волны Лэмба в задачах рассеяния для цилиндрической и сферической оболочек; зависимость добротности резонансов волн высших порядков от их типа при рассеянии наклонно падающей плоской акустической волны цилиндрической оболочкой и др.

5. Расширена сфера применения асимптотических методов в нестационарной динамике тонких тел. Они распространены на оболочки общего очертания для случая плавно менящейся вдоль края изгибающей нагрузки, а также на пластины и на оболочки нулевой кривизны, к краю которых прикладывается продольная дельта-образная сила (обобщение задачи Лэмба). Даны эффективные оценки областей применимости различных длинноволновых приближений и изучены погранслои около фронтов и квазифронтов.

Практическое значение результатов диссертации обусловлено возможностью их использования при расчетах и проектировании приборов и конструкций, содержащих упругие тонкие элементы. Они находят применение при интерпретации результатов экспериментов по рассеянию волн оболочками, при определении дисперсионных характеристик упругих волноводов, при исследовании нестационарных процессов в оболочечных конструкциях, при оценке собственных частот за пределами применимости классических теорий пластин и оболочек. Они могут также оказаться полезными при тестировании результатов расчетов, полученных для тел сложной формы численными методами.

Апробация работы.Материалы диссертации докладывались на Научно-технической конференции ЦНИИ им. А.Н.Крылова (Санкт-Петербург, 1988 г.), на Всесоюзном симпозиуме "Взаимодействие акустических волн с упругими телами" (Таллинн, 1989 г.), на Международной конференции по технической аэрогидроупруго-сти (фага, 1989 г.), на 15-й Всесоюзной конференции но теории оболочек и пластин (Казань, 1990 г.), на 271 Коллоквиуме Евромеха "Дифракция волн на препятствиях и неоднородно-стях в жидкости" (Киев, 1990 г.), на 6-ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва,1991 г.), на 18-ом Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Хайфа, 1992 г.), на семинарах по механике оболочек и пластин Института проблем механики РАН (1988 г., 1989 г., 1990 г.).

Цубликации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах / I - 27 /.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 175 наименований. Она содержит 315 листов текста, включая 50 рисунков и 14 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы и приводится ее краткое описание по главам.

В первой главе производится асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений теории упругости в пространст -венной области, занимаемой тонкой оболочкой, лицевые поверхности которой считаются свободными от нагрузок. Для классификации рассматриваемых задач вводятся традиционно используемые в асимптотической теории оболочек параметры: показатель изменяемости ^ и показатель динамичности а, . Они связаны с длиной волны деформации х вдоль координат срединной поверхности и временным масштабом Т посредством формул

, $*~Тсг/# (I)

Здесь - толщина оболочки, л - харак-

терный радиус кривизны срединной поверхности, С^ - скорость волны сдвига.

Для длинноволновых колебаний (X » к ) выполняется неравенство ^ < / , для коротковолновых колебаний { х. ~ А. )

равенство ^ = / , для низкочастотных колебаний-~

~(- Т»~к/с2 ) _ неравенство л < / , для высокочастотных колебаний ( Т ~к. / С2 ) - равенство а. = / .

Вцделяется три класса динамических процессов. Для процессов первого класса ^ < / , а < / (длинноволновые низкочастотные колебания), для процессов второго класса

£ = а. = / (коротковолновые высокочастотные колебания), для процессов третьего класса 0 < / , й - / (длинноволновые высокочастотные колебания).

Длинноволновые колебания обычно удается разделить на квазитангенциальные и квазипоперечные. Для квазитангенциальных колебаний проекция вектора перемещений на касательную к срединной поверхности плоскость намного больше его проекции на нормаль к срединной поверхности { Ус» гг3 (¿=/,2) ). Для квазипоперечных колебаний имеет место противоположная ситуация ( Ус ).

Анализ всех динамических процессов осуществляется на базе единого подхода, являющегося обобщением на динамический случай асимптотического метода А.Л.Гольденвейзера. Его основные моменты состоят в следующем: производится масштабирование исходных независимых переменных; определяется асимптотика НДС оболочки, задающая относительный асимптотический по -рядок его параметров; в рамках допускаемой погрешности производится отбрасывание асимптотически второстепенных величин в трехмерных уравнениях теории упругости и для длинноволновых колебаний определяются приближенные законы распределения по толщине перемещений и напряжений.

Асимптотика НДС оболочки при длинноволновых колебаниях ( < / )имеет следующий вид:

для низкочастотных квазитангенциальных колебаний ( ^ = <2 )

(2)

п-<*(п°*2П'). ъ-^'Чъ

для низкочастотных кваэипоперечных колебаний ( )

Гг-Ьг'^и^-'п+г^, г'/')

для высокочастотных квазитангенциальных колебаний

((^фп/н^Л'к-^'к ,

- собственные частоты толщинных тангенциальных колебаний упругого слоя толщины 2/г ( к = 1,2,3,...))

ц-к^Ц^гг/)

для высокочастотных кваэипоперечных колебаний_

~{'(к1ф\[Н27Тг3 2г3 , А - тк/&)

- собственные частоты толщинных поперечных колебаний упругсь го слоя толщины 2к ( к = 1,2,3,...)

Здесь б"г/п - напряжения, - перемещения, £ - время, Е - модуль £йга, з) - коэффициент Пуассона, /,/% = 1,2,3; » 1,2. Считается, что величины с верхним индек-

сом имеют одинаковый асимптотический порядок, причем при низкочастотных колебаниях величины с "О" и. "I" задают, соответственно, симметричное и антисимметричное относительно срединной поверхности НДС, а при высокочастотных колебаниях они могут задавать как симметричное, так и антисимметричное ВДС (если величины с индексом "О" задают симметричное ВДС, то величины с индексом "I" - антисимметричное НДС и наоборот).

Соотношения, определяющие асимптотику НДС оболочки при коротковолновых колебаниях, можно получить, положив ^ = / в кавдой из четырех групп формул (2) - (5).

Строятся главные асимптотические приближения трехмерных уравнений теории упругости для каждого из выделенных случаев. Уравнения длинноволновых приближений являются двумерными. Длинноволновое низкочастотное приближение (оно включает НДС с асимптотиками (2) и (3)) совпадает с теорией оболочек Кирхгофа - Лява, в соотношениях которой следует дополнительно учесть изменение длины нормального элемента. В гл.4 показано, что при загруженных лицевых поверхностях необходимо учитывать и поперечное обжатие. Оба эти фактора присутствуют в статической итерационной теории'А.Л.Гольденвейзера. Однако, в отличие от статики, где они всегда являются асимптотически второстепенными, в динамике их влияние может оказаться весьма существенным.

Длинноволновое высокочастотное приближение описывает колебания в окрестности частот толщинных резонансов. В качестве примера приведем двумерное уравнение свободных квазипоперечных колебаний. Оно имеет вид

а трехмерное поперечное перемещение Щ выражается через двумерную функцию с помощью приближенной формулы

Здесь сСь - параметры линий кривизны на срединной поверхности ( С = 1,2), <¿3 - расстояние, отсчитываемое по нормали от срединной поверхности, $I - главные радиусы,кривизны срединной поверхности, А - двумерный оператор Лапласа в метрике срединной поверхности, верхним (нижним) выражениям в фигурных скобках отвечают НДС, асимптотически главные части которых антисимметричны (симметричны) относительно срединной поверхности.

Двумерные уравнения длинноволновых высокочастотных - коле— баний предлагались ранее В.Л.Бердичевским и Ле Хань Чау. Они отличаются от уравнений, получаемых в диссертации, во всех членах, отражающих влияние искривленности оболочки. В частности, при квазипоперечных колебаниях уравнение Бердичевского-Чау отличается от уравнения (6) видом коэффициента @а . Сопоставление с точными решениями трехмерных задач о свободных колебаниях сферической и цилиндрической оболочек(результаты

сопоставления для случая цилиндрической оболочки описываются в п. 2.3) подтверждают асимптотическую последовательность получаемых уравнений.

Зависимость коэффициента ф при старших производных в уравнении (6) от коэффициента Пуассона д обусловливает сильную чувствительность длинноволновых высокочастотных колебаний к изменению последнего. При этом область применимости обсуждаемого уравнения ограничена условием @ ~ / , а случаи ( соответствующие значения ^ названы в диссертации критическими) и о° , представляющие большой интерес для акустических приложений, потребовали специального рассмотрения.

Уравнения главного коротковолнового приближения совпадают с трехмерными уравнениями теории упругости в плоском слое при сохранении на плоскостях, параллельных лицевым, метрики срединной поверхности оболочки. Несмотря на трехмерность, во многих важных случаях (например, при высокочастотных колебаниях оболочек вращения) на их основе удается получить обозримые результаты.

Для динамических задач особую важность имеет оценка погрешности получаемых решений. В отличие от статики, где быстроменяющиеся решения обычно локализованы около краев или других линий искажения, в динамике они могут распространяться на все тело. В качестве характеристики их точности в работе используется величина

= (6) где <Ре - погрешность рассматриваемых приближенных уравнений (асимптотический порядок членов, отбрасываемых в уравнениях трехмерной теории упругости при выводе этих приближенных уравнений).

Для широкого класса задач величина (Р/ совпадает с погрешностью определения частных решений вида

ф V(с1,Лг)] (9)

где / , у> - медленноменяющиеся функции координат срединной поверхности (для длинноволновых колебаний функция у не зависит от поперечной координаты), 1м /'= О ♦ а множитель , задающий закон изменения решения по времени, считается отделенным.

Величина ¿^ названа погрешностью определения распространяющихся мод. Особенно наглядный вид она имеет в одномерном случае, когда величина ¿Ре соответствует погрешности определения длины одной волны деформации, а множитель £ в общем случае задает число волн деформации, укладывающихся на всей длине тела.

Погрешность уравнений, отвечающих главным длинноволновым приближениям, имеет вид (Ре = 0(% . Для них величина сР^ ) будет асимптотически малой, если

$<2/3 (Ю)

Отсюда вытекает, что возможности этих уравнений будут исчерпаны в указанном выше смысле уже при ^2/3 (ф-^когда длина волны деформации еще намного больше толщины тела. Этот вывод имеет важное значение для последующих рассуждений. Из него, к примеру, вытекает, что, оставаясь в рамках двуке^ной классической теории оболочек, при описании квазипоперечных колебаний вообще говоря, нельзя пренебрегать влиянием искривленности оболочки, т.е. переходить к уравнениям изгиба пластины в метрике срединной поверхности. Это связано с тем, что отбрасывание соответствующих членов порядка _= 0 при водит к _ и счезакще - мал ой погрешности—

О лишь при ^ >2/3 , когда классическая тео-

рия уже неприменима.

Первая глава завершается доказательством существования интервалов согласования решений уравнений коротковолновых и длинноволновых колебаний. Наличие указанных интервалов обусловлено тем, что уравнения коротковолновых колебаний способны описать быстроменяющиеся (с показателем изменяемости

0<<£ </ ) интегралы уравнений длинноволновых колебаний. Показывается, что для сращивания решений в случае низкочастотных квазипоперечных (изгибных) колебаний уравнения коротковолновых колебаний должны быть уточнены путем введения некоторых членов, учитывакщих искривленность оболочки.

Во второй главе особенности предлагаемого асимптотического подхода разбираются на примере оболочки вращения с ме-рвдианом произвольной формы. Рассматриваются колебания, для которых длина волны деформации в направлении параллелей значительно больше толщины. Показывается, что в этом случае система уравнений коротковолновых колебаний асимптотически разделяется на две подсистемы, названные в работе уравнениями квазиплоской и квазиантиплоской задач теории упругости. Асимптотически главные части этих уравнений совпадают с уравнениями плоской и антиплоской задач теории упругости в декартовой системе координат, по одной из осей которой откладывается длина дуги меридиана срединной поверхности, а по второй - расстояние, отмеряемое вдоль нормали к срединной поверхности. Асимптотически второстепенные их части, необходимость учета которых обусловлена требованием к точности определения распространяющихся мод, отражают изменяемость решения в направлении параллелей и зависимость метрики от меридиональной координаты.

Показывается, что уравнения квазиплоской и квазиантиплоской задач (первые - для всех типов колебаний, кроме изгибных) имеют с уравнениями длинноволновых колебаний интервалы согласования решений вида

р < } < § (И)

где р - показатель изменяемости в направлении параллелей ( р < 2./3 ) , ^ - показатель изменяемости в направлении меридианов.

Для существования интервала согласования в случае изгибных колебаний уравнения квазиплоской задачи должны быть уточнены путем подстановки

н* я/ ] 3 (12)

Здесь - радиус кривизны параллели, ^ - плот-

ность.

Уточненные таким образом уравнения квазиплоской задачи будут иметь с уравнениями теории Кирхгофа - Лява интервал согласования решений веда

' ( 13 )

Для квазиплоской и квазиантиплоской задач строятся моды стационарных колебаний в виде (9). Как и следовало ожидать, они аналогичны модам плоской и антиплоской задач теории упругости в слое. Соответствующие дисперсионные уравнения совпадают с уравнениями Рэлея - Лэмба (при введении уточнения (12) уравнение Рэлея-Лэмба для случая антисимметричной деформации несколько модифицируется) и с дисперсионными уравнениями, отвечающими сдвиговым волнам. Результаты, относящиеся к квазиплоской задаче, при р = О- = / согласуются с результатами Л.Ю.Коссовича.

Показывается, что в окрестностях нулевой частоты и частот толщинных резонансов построенные моды переходят в моды, отвечающие длинноволновым приближениям. При этом подтверждаются сделанные ранее исходя из асимптотического анализа уравнений оценки интервалов согласования (II), (13).___

В качестве иллюстрации рассматривается задача синтеза дисперсионных кривых цилиндрической оболочки как трехмерного упругого тела на основе приближенных теорий. Для аппроксимации участков "точных" дисперсионных кривых, расположенных вне окрестностей нулевой частоты и частот толщинных резонансов, используются уравнения квазиплоской (в т.ч. при уточнении (12)) и квазиантиплоской задач теории упругости.

В окрестности нулевой частоты используется теория Кирхгофа-Лява, в окрестностях частот толщинных резонансов - теория длинноволновых высокочастотных колебаний.

На рис. 1,2 показана зависимость погрешности аппроксимации корней дисперсионного уравнения, отвечающего трехмерной теории упругости, от частоты для нулевой антисимметричной (изгибной) волны Лэмба А0 и для первой антисимметричной волны Лэмба /)^ • Расчет соответствуют колебаниям с одной волной по параллели при =0,3 ; ^ » 0,01. Используются обозначения: ( ^*■ - точное значение корня, ^ - его приближенное значение), и считается, что расстояние вдоль оси цилиндра отнесено к радиусу срединной поверхности К , I - длинноволновые приближения (теория Кирхгофа - Лява (рис.1) и теория длинноволновых высокочастотных колебаний (рис.2)), 2 - квазиплоская задача теории упругости, 3 - квазиплоская задача теории упругости с уточнением (12).

На рис. 1,2 интервалы согласования располагаются в окрестностях точек М и М . которые естественно назвать их центрами. Информация, представленная на первом из этих рисунков, подтверждает необходимость введения уточнения (12).

Возможности предлагаемого подхода в динамике тьл конечных размеров демонстрируются на примере задачи о вынужденных колебаниях оболочки вращения при краевом высокочастотном возбуждении. Показывается, что вне окрестностей частот толщинных резонансов исходная трехмерная задача с исчезающей асимптотической погрешностью сводится к плоской и антиплоской задачам теории упругости для прямоугольника. В окрестностях толщинных резонансов должны быть дополнительно изучены двумерные краевые задачи для уравнений теории длинноволновых высокочастотных колебаний.

В третьей главе рассматриваются высшие длинноволновые приближения динамических уравнений теории упругости в низкочастотном диапазоне. Интерес к ним вызван двумя причинами.

os

0

\ V Ao /

*

15 tO - 6J 9

Рис. I

002

0,01

a/

0

\м7~ A*

m я

Рис. 2

Во-первых, несмотря на то, что для всех типов колебаний теория Кирхгофа - Лява имеет интервалы согласования решений с теорией коротковолновых колебаний (включая и уточнения, подобные (12)), применение трехмерных уравнений последней в полуинтервале

и«

когда длина волны деформации X еще значительно превосходит толщину тела, представляется, вообще говоря, неестественным. При этом априори ясно, что с увеличением порядка приближения (т.е. с уменьшением погрешности ¿^ ) расширяется и область применимости уравнений длинноволновых колебаний (см. формулу (8)). Во-вторых, располагая высшими асимптотическими приближениями уравнений теории упругости, можно критически оценить возможности многочисленных уточненных теорий пластин и оболочек, опирающихся на физические гипотезы. В современной литературе нет единой точки зрения относительно их асимптотической последовательности и логической непротиворечивости.

Подробно обсуждаются уравнения теорий изгиба, растяжения и обжатия пластин, соответствующие второму асимптотическому приближению уравнений теории упругости. Для весьма широкого класса поверхностных нагрузок их точность имеет вид

(точность теорий главного приближения -(Ре= 0 ). Из формулы (8) вытекает, что погрешно-

сть определения распространяющихся мод на базе этих уравнений будет асимптотически малой при выполнении неравенства

/ < 4/Г (15)

Приведем здесь однородные разрешающие уравнения теорий пластин типа (Ре ~ &^ % Они имеют вед: для случая изгиба пластин

для случая растяжения пластин (для плоской задачи теории упругости )

1171

Здесь -и/ - поперечное перемещение срединной поверхности,

и- вектор тангенциальных перемещений срединной поверхности. В отличие от большинства известных уточненных теорий, уравнения (16) и (17) имеют по отношению к пространственным переменным (1={)2.) такой же порядок, как и разрешающие уравнения классических теорий изгиба и растяжения пластин. Нетрудно показать, что повышение порядка разрешающего уравнения по отношению к пространственным переменным сопровождается появлением "лишних" интегралов, которым соответствуют НДС с показателем изменяемости ^ = / . Для таких ВДС нарушается неравенство ( X » /1 ), лежащее в осно-

ве любого длинноволнового приближения.

Разрешающее уравнение (16) с точностью до асимптотически второстепенных величин совпадает с уравнением, предлагавшимся[рпнее_^Л^Бердичевск^ _может_быть получено— из уточненных уравнений М.И.Гусейн-Заде•

Устанавливается асимптотическая непоследовательность уточненных динамических теорий пластин, опирающихся на физические гипотезы. Показывается, что помимо деформации сдвига и инерции вращения должны быть учтены и другие факторы того же порядка (должны быть приняты во внимание пуассоново влияние напряжения 6~33 на напряжение бц ( I - 1,2) и изменение длины нормального элемента, а также уточнены зако-

ны распределения по толщине для всех параметров НДС). Этот вывод согласуется с результатами Н.Н.РогачевоЙ, относящимися к статике оболочек.

,Обсуждается вопрос о влиянии погрешности, допускаемой при формулировке граничных условий, на общую погрешность решений краевых задач в рамках асимптотических приближенных теорий. Устанавливается, что для динамических задач, в которых распространяющиеся моды колебаний имеют вид (9), начиная с некоторого значения показателя изменяемости ^ (если используются канонические граничные условия, то при ^ > //2 - для классических теорий и при ^ >3/4 - для теорий

(Ре. ~ 0)), эта общая погрешность не зависит от точности граничных условий и определяется погрешностью (Р^ . Таким образом, при уточнении приближенных теорий в динамике центральное место занимает вопрос об уменьшении погрешности .

Анализ соотношений теорий <Ре = позволяет ус-

тановить, что повышение точности определения распространяющихся мод достигается только благодаря учету членов порядка

0(в соответствующих однородных разрешающих уравнениях. Все остальные члены того же порядка в соотношениях теорий ^б - не влияют на точность их определения. Непосредственно из этого наблюдения вытекают два важных вывода.

Во-первых, становится ясным, почему уточненные теории изгиба пластин, опирающиеся на физические гипотезы, несмотря на их асимптотическую непоследовательность, практически всегда позволяют улучшить результаты, получаемые с помощью теории Кирхгофа. Действительно, как нетрудно убедиться, при коэффициенте сдвига / г= 5~/(б- у>) однородные разрешаю-

щие уравнения этих теорий с точностью до асимптотически вто-

Такое значение коэффициента сдвига впервые предложил П.А.Жилин.

ростепенных величин совпадают с уравнением (16). Учитывая, что во всех известных вариантах уточненных теорий, опирающихся на гипотезы, значение коэффициента сдвига близко к указанному значению (см. обзоры Л.Я.Айнолы и У.К.Нигула, Э.И.Цэиголюка и И.Т.Селезова), заключаем, что реальная область применимости этих теорий при описании распространяющихся мод колебаний совпадает с областью применимости теории изгиба пластин (Ре = 0(1 ^) и задается неравенством (15).

Во-вторых, выявляется возможность распространения области применимости классических теорий на полуинтервал 2/3 $ $ < 4/5" (см. неравенства (10),(15)). Для этого достаточно лишь учесть члены порядка О 2~в их однородных разрешающих уравнениях. Введение этих членов можно, например, трактовать как коррекцию инерционных членов в классических уравнениях. Соответствующие подстановки имеют вид: для изгиба пластин

для растяжения пластин

Здесь Iь - оператор приведенной нормальной инерции, - оператор приведенной тангенциальной инерции.

Используя в разрешающем уравнении теории Кирхгофа подстановку (18), приходим к уравнению (16). Аналогичным образом применяется и подстановка (19) ._Во избежание недоразу--

Тлений еще раз подчеркнем, что для распространения классических теорий пластин на полуинтервал

помимо указанных подстановок не требуется вводить никаких дополнительных уточнений.

Область применимости классических теорий изгиба и рас-

тяжения пластин может быть распространена и на весь полуинтервал (14). Для этого достаточно вывести однородные разрешающие уравнения с более высокой, чем ¿^ = точностью. В качестве примера выпишем оператор приведенной нормальной инерции для стационарных изгибных колебаний. Он имеет вид

Л.

1Л -2рки)г21 ак()>)2к ~(л= 0,1,2,-) (20)

Здесь а) - круговая частота, ¿^со/ь/с^ , "Р коэффициент Пуассона, а0('$)= { ; в работе приводятся значения коэффициентов Л/ (, и .

Подстановка (18), в которой оператор Тд, задается формулой (20), отвечает разрешающему уравнению выведенному с точностью . Из формулы (8) вытека-

ет, что классическая теория изгиба с приведенной инерцией (20) описывает распространяющиеся моды колебаний с исчезающей погрешностью при выполнении неравенства

* < <21>

При Я - 0 оно переходит в неравенство (10), при И = I - в неравенство (15), а при /I - в нераве-

нство £ < / » ограничивающее область применимости любого длинноволнового приближения.

Устанавливается, что для распространения области применимости (в указанном выше смысле), теории оболочек Кирхгофа - Лява на полуинтервал (14) достаточно произвести в ее уравнениях коррекцию инерционного члена, отвечающего движению по нормали, так же,как в уравнениях изгиба пластин, а коррекцию тангенциальных инерционных членов - так же, как в уравнениях растяжения пластин. В частности, в полуинтервале 2/3 « ^ < 4/3 должны применяться подстановки (18),

(19), в которых теперь все операторы следует, разумеется, считать заданными в метрике срединной поверхности оболочки.

Числовые расчеты показывают, что введение в уравнения классических теорий операторов приведенной инерции значительно расширяет их область применимости. Так например, теория изгиба пластин Кирхгофа с приведенной инерцией при П =4 в формуле (20) позволяет аппроксимировать с погрешностью порядка I % дисперсионную кривую нулевой антисимметричной волны Лэмба /1 о в одномерной задаче для упругого слоя вплоть до 2 = 1,5. Столь же высокая точность достигается и при аппроксимации нулевой симметричной волны Лэмба исходя из теории растяжения пластин с приведенной инерцией.

На основе представления оператора приведенной нормальной инерции в форме (20) предлагается простой способ уточнения значений собственных частот, найденных по классическо теории изгиба пластин Кирхгофа. Действительно, из формул (18), (20) вытекает, что если некоторую частоту £0 , соо1 ветствунцую классической теории, считать известной, то для ее уточнения достаточно решить алгебраическое уравнение

аг! (22>

А=о * <

где -2л - уточненные значения ( /I = 1,2,3,...).

В .таблице приведены значения собственных частот шарнир но опертой квадратной пластины со стороной в - 20к , изготовленной из материала с т? = 0,3. Приняты обозначения

^л, ( & =0,1,2,3,), £5* - точные значе ния частот, Я?# - значения частот, найденные исходя из получившей в последнее время широкое распространение уточне шой'теории пластин, опирающейся на гипотезы Дк.Н.Редди, М и /V - числа, характеризующие волнообразование вдоль сторон пластины для рассматриваемой формы колебаний.

Высокая эффективность формулы (22) подтверждается также для круглой пластины со свободным краем.

Для уточнения собственных частот пластин канонических форм несколько иной асимптотический подход предлагался ранее И.И.Воровичем с сотрудниками.

Таблица

М

М

я*

9«

20

¿Л?а

2*

I

1

2

1

2

1 3

2

3

1

2

4 3

1

2 2 3

3

4

3

4

4

5 5

4

5

0,0932 0,2226 0,3421 0,4171 0,5239

0,6889 0,7511

0,9268

1,0889

0,0963 0,2408 0,3853 0,4816 0,6261 0,8187 0,8669 0,9632 1,2040 1,2521 1,3966 1,5411 1,6374

0,0932 0,2233 0,3446 0,4214 0,5317 0,6712 0,7049 0,7710 О,9300 0,9607 1,0514 I,1397 1,1972

0,0931 0,2226 0,3422 0,4173 0,5242 0,6577 0,6897 0,7521 0,9003 0,9287 1,0119 1,0922 1,1442

0,0931 0,2226 0,3421 0,4171 0,5239 0,657I 0,6890 0,7511 0,8985 0,9268 1,0093 1,0889 1,1403

0,0931 О,2222 0,3411 0,4158 0,5221 0,6545 0.6862 0,7481 0,8949 0,9230 1,0053 1,0847 1,1361

В четвертой главе развиваемый подход применяется к стационарным задачам взаимодействия тонких упругих тел с безграничной акустической средой. Относительные плотность £г=£о/р и скорость звука = С0/С2 считаются малыми ( _Ро - плотность среды, С0 - скорость звука в среде). Движение тела описывается уравнениями теорий длинноволновых высокочастотных колебаний, коротковолновых высокочастотных колебаний и низкочастотных длинноволновых колебаний (последней - для приближений высших порядков). При этом задачи взаимодействия остаются в общем случае трехмерными.

Исключением являются длинноволновые высокочастотные колебания, для которых колебания тонкого тела в среде удается описать двумерными уравнениями на срединной поверхности.

Учет влияния среды (в основном демпфирующего) сводится в этом случае к введению в уравнения движения не взаимодействующего со средой тела асимптотически малых членов, зависящих от относительного импеданса среды £ = (С — О). При этом демпфирующее влияние среды кардинальным образом зависит от типа колебаний тела. Для квазитангенциальных колебаний, когда тело "скользит" в среде, оно существенно меныш

Производится сопоставление приближенных решений модельных задач об изучении и рассеянии звука пластинами и оболочками, получаемых исходя из обсуждаемых неклассических теорий, с точными их решениями.

Рассматривается плоская задача об излучении упругого слоя в акустическое полупространство под действием вертикальной сосредоточенной силы. Обнаруживаются подскоки мощност! излучения в окрестности резонансов толщинных поперечных кол< баний и устанавливается, что их амплитуда существенно зависит от значения коэффициента Пуассона. К изучению указанных подскоков применяется теория длинноволновых высокочастотных колебаний. Для случаев, не относящихся к особым, используем ся одномерное уравнение

где Г= $/2А , в-2-Л .

Здесь Л - амплитуда силы, Х.^ - декартова координата вдоль поверхности контакта, $ - дельта-функция, а остальные обозначения - такие же, как и выше.

Если ~коэффициенг~Пуассона близок к одному из свой: критических значений ( /ТУ« / ), то в левую часть уравне ния (23) следует ввести член Л*$ /дзс,* ,

в котором коэффициент $ зависит от коэффициента Пуассон; и номера толщинного резонанса более сложным образом, чем ко

эффициент Т •

На рис. 3 представлена зависимость безразмерной мощности излучения Уо от частотного параметра 2 при

->> =0,3996 для пары "сталь - вода". Сплошная линия соответствует точному решению, а штрихом показаны асимптотики, построенные на основе длинноволновых приближений. К последним относятся теория пластин Кирхгофа (в окрестности нулевой частоты), уравнение (23) (в окрестности толщинных резонансов

Л = 7ГП,/(2уб) ( Л = 1,3,4,5)), уравнение (23) с уже упоминавшимся членом А ^$ Я^^з /д-Х/ ^ в левой части (в окрестности толщинного резонанса Л^^/ув , для которого выбранное значение ^ является критическим). В окрестности толщинного резонанса Л - 7г/у4 подскок

Ъ/о в раз больше, чем в окрестностях ос-

тальных толщинных резонансов.

На рис. 4 представлено безразмерное вертикальное перемещение слоя на поверхности контакта при 9 =0,3222, 2=Л ~ . Показана только область положительных значений з: = - Сплошной линией изображено точное решение, а штрихом-асимптотика, полученная исходя из, уравнения (23).

Подробно разбирается задача о рассеянии плоской акустической волны цилиндрической оболочкой при наклонном падении. Изучаются резонансы парциальных мод рассеянного давления (в ;альнем поле), связанные с возбуждением периферических волн з оболочке (симметричных и антисимметричных^ /¡£ волн 1эмба, симметричных $е и антисимметричных сдвиго-

!ых волн ( I = 0,1,2,...), а также волны Д , порожден-юй присутствием среды). Используется акустически жесткое снование (из давления, рассеянного упругой оболочкой вычита-тся давление, рассеянное акустически жестким цилиндром), теории рассеяния выбранная амплитудно-частотная характери-тика носит название резонансной компоненты парциальной мо-ы.

Рис.

4

В низкочастотном диапазоне ( 2 « / ) возбуждаются волны А о « » £ о* и А .Их исследование осуществляется на основе уточненных в соответствии с результатами асимптотического анализа гл.З уравнениями низкочастотных квазитангенциальных (для волн $0 и ¿о* ) и квазипоперечных (для волн Ао и А ) колебаний. В частности, уравнения низкочастотных квазитангенциальных колебаний берутся в следующей форме

(24)

Здесь ¿с - вектор тангенциальных перемещений срединной поверхности, 1гГ - поперечное перемещение срединной поверхности, / - координата вдоль образующей, - длина дуги направляющей, н ¿^ - единичные орты координатных линий, Iг - оператор приведенной тангенциальной инерции (при расчетах в аналогичном (20) ряде удерживались члены вплоть до О (2е) ) , р'ь - давление в падающей волне, ^^ -рассеянное давление, - внешний радиус оболочки, X -полярный радиус.

В уравнениях (24) принимается во внимание не только растяжение срединной поверхности акустической нагрузкой (член {р^рз) /ъ = ¿г. ) «но и поперечное обжатие оболочки (член (p¿ +р^З! = а. )• Кроме того, при опреде-

лении поперечного перемещения на поверхности контакта

Т- Л используется подстановка

1А = г^- -т4 ¿¿V & 3 /-т)

учитыващая изменение длины нормали к срединной поверхности

Расчеты показывают, что формулы для резонансных компонент парциальных мод , получаемые исходя из уравнений (24) и подстановки (25), а также из аналогичных соотношений для случая низкочастотных квазипоперечных колебаний, сохраняют работоспособность и при » т.е. за пределами области применимости длинноволнового приближения. Отмеченное обстоятельство в первую очередь связано с исключительно высокой точностью, достигаемой при аппроксимации дисперсионны кривых нулевых волн Лэмба и /!0 исходя из уравнений классических теорий с приведенной инерцией.

Получаемые формулы позволяют сделать и некоторые качес твенные выводы. Так, непосредственно из формулы для в

случае низкочастотных квазитангенциальных колебаний вытекав существование (при достаточно малых углах падения оС ) ча стоты 2. = г сС , точное совпадение которой с одним из резо нансов, отвечающих волне $ о » ведет к его исчезновению. Резонансы же, расположенные в окрестности этой частоты, ока зываются очень узкими. Она приближенно определяется формулой (сб < аъс4с/1(сг/№))

(26)

На частоте ¿г = 2 ж происходит компенсация двух факторов, первый из которых связан с растяжением срединной по верхности ~второй --с поперечным^обжатием оболочки и с из менением длины нормали. При использовании двумерных теорий оболочек в задачах рассеяния обжатие оболочки средой ,и изме нение длины нормали ранее не учитывалось, в результате чего их область применимости существенно сужалась. Например, в

случае нормального падения ( - О ) они отказывали уже при

На рис.5 показаны резонансные компоненты парциальных мод для волны £о при обратном рассеянии алюминиевой цилиндрической оболочкой, погруженной в воду. По оси абсцисс откладывается частотный параметр х. = с0Со/Л. . Крестиком нанесена частота, определяемая формулой (26). Принималось, что угол падения <¿=6° ,2/1/0- = О,/ . При описании движения оболочки использовались уравнения (24).

В высокочастотном диапазоне ( я — / ) анализ резонансных компонент парциальных мод ¿^ (п,« % ~') для волн высших порядков при малых углах падения осуществляется на основе уравнений длинноволновых высокочастотных колебаний оболочек в акустической среде. Получаемые асимптотические формулы позволяют произвести классификацию волн высших порядков в зависимости от ширины отвечающих им резонансов. Согласно предлагаемой классификации выделяется три семейства волн: волны Лэмба, критические частоты запирания которых лежат в окрестности частот Л-тТк/(первое семейство), волны Лэмба, критические частоты запирания которых лежат в окрестности частот Л-7г/</2 (второе семейство), сдви -говые волны (третье семейство); критические частоты запирания сдвиговых волн так же, как и волн Лэмба второго семейства лежат в окрестности частот = Тгк/2 . Физический смысл частот _/[ обсуждался выше. Резонансы, отвечающие волнам третьего семейства, самые'узкие. Их ширина в (¡/о* Я- )~2 Раз меньше, чем ширина резонан-

сов тех же номеров, отвечающих волнам второго семейства, и в (у0 + /ь2)2 (¿¿о П % ) ~2 раз меньше, чем ширина резонансов, отвечающих волнам первого семейства (= (

На рис.6 показаны резонансные компоненты парциальных мод для принадлежащей ко второму семейству волны Лэмба /// при угле падения оС = 2°. Остальные параметры такие же, как на рис. 5. Сплошная линия соответствует точному решению (во

всех задачах теории рассеяния используются точные решения Н.Д.Векслера и В.М.Корсунского), а штрих - асимптотической формуле.

В задаче рассеяния для цилиндрической оболочки уравнения коротковолновых колебаний совпадают с трехмерными уравнениями теории упругости в декартовой системе координат.Они используются для оценки резонансных частот ( ^ - но-

мер парциальной моды) в предположении, что лицевые поверхности свободны (т.е. в пренебрежении влиянием акустической среды). В случае сдвиговых волн выписываются явные формулы ( оС < ссгаСп (с?,) )

Значение к = О соответствует нулевой сдвиговой волне $о , значения к = 1,2,3,... - сдвиговым волнам высших порядков.

Для случая волн Лэмба столь простых формул получить не удается и приходится решать трансцедентные уравнения, вытекающие из уравнений Рэлея - Лэмба. Оценки резонансных частот, получаемые исходя из упомянутых трансцедентных уравнений и формул (27), подтверждаются экспериментальными данными Ж.Рипоша с сотрудниками.

В заключительном пункте четвертой главы рассматривается задача о рассеянии плоской акустической волны сферической оболочкой. Выводятся формулы для резонансных компонент парциальных мод в случае волн А0, А и $ о , ВоЛ • Используется акустически жесткое основание. Эффективность предлагаемых формул проверяется на примере погруженной в воду алюминиевой оболочки с 2к/а= //32. . На рис.7 для волны показаны резонансные компоненты парциальных мод с номерами

ц =45, п. = 50. Сплошная линия отвечает точному решение штрих-приближенному.

Так же, как и в случае цилиндрической оболочки, обна-

0.5

Çn S5 fc и SO Л» / /и Sa

1 1 \ 1 \ \\ IV 1\ 1 \ / ' \ / ' \ / ' к / / V

/ 1 h / / / / / / У / \\ v\ л\ \ \ / 1 / / / / / / \

О

X

/я m

fjf Рис. 7

tSÏ №

№

ОМ

О

\ íi

;! / i / 1

/ / / X / ^ X 1 \ 1 \|

/Vе \ 1\ \ \

OA ÛJS

Q7S 0,94

Рис. 8

Ц2

руживается частота, в ркрестности которой сужаются резонан-, сы, отвечающие волне £ о • Приближенное выражение для этой частоты получается из (26) при °С= О и подстановке

Анализ получаемых формул позволяет также обнаружить, что в низкочастотном диапазоне более эффективным, чем используемое акустически жесткое основание, будет основание типа податливой сферы, задаваемое следующим граничным условием на поверхности контакта £ = <%■

Описанная модель основания находится в согласии с моделями, предлагавшимися ранее другими авторами (Г.С.Гаунард и М.Ф.Верби, Н.Д.Векслер и др.) на основе анализа числовых

В пятой главе рассматриваются некоторые трехмерные (в терминах теории упругости) нестационарные задачи. Ранее асимптотические методы применялись только к двумерным нестационарным задачам.

Сначала исследуется распространение упругих волн в оболочке общего очертания при действии краевой изгибающей нагрузки. Считается, что нагрузка меняется плавно вдоль края и по толщине, а ее зависимость от времени выражается функцией ХевисаЭДа.

Для анализа низкочастотной составляющей ВДС оболочки используются уравнения теории Кирхгофа - Лява (для описания возбуждающейся заданной краевой нагрузкой волны изгиба могут быть взяты уравнения динамического простого краевого эффекта). Они записываются в полугеодезической системе координат с ортогональными к краю геодезическими. Применяется преобразование Лапласа по времени и метод экспоненциальных представлений в пространстве изображений. Вне некоторой окрестности края оболочки, размер которой зависит от времени,

(28)

данных.

к обращению преобразования Лапласа может быть применен мето; перевала. В результате этого определяются зависимости показ! телей изменяемости и динамичности от заданного момента време ни ti = ^¿^0 и от координаты рассматриваемой точки на геодезической = (%« ¿/0 « % )

-I Х,о -Р /' 1 )

1 Я (2'-¿т; (29)

-л

г '10

Здесь ^ - показатель изменяемости вдоль геодезических,

Р - показатель изменяемости в ортогональном к геодезическим направлении, а, - показатель динамичности, ¿/ = -¿Сг/й , л-/ = ( оСу - длина геодезической,

отмеряемая от края).

С помощью формул (29) может быть получена оценка для области применимости уравнений теории Кирхгофа - Лява. Она имеет вид

х„ «

(30)

Если же в уравнениях теории Кирхгофа - Лява использовать подстановку (18), то область их применимости расширится. Соответствующая оценка выглядит так

« /I </6 /

г ¿/р (31)

Последнее неравенство определяет и реальную область -применимости-уточненных-теорий оболочек,-в-которых-деформа--ция сдвига и инерция вращения вводятся в помсщыо физических гипотез.

Для описания высокочастотной составляющей НДС используются уравнения коротковолновых колебаний (в данном случае уравнения квазиплоской задачи теории упругости) и уравнения

длинноволновых высокочастотных колебаний. Устанавливается, что в удалении от фронтов одновременно с волной изгиба возбуждаются и высокочастотные длинные волны. При краевой нагрузке в виде функции Хевисайда амплитуда этих волн мала по сравнению с амплитудой волны изгиба. В случае же внезапно приложенной осциллирующей по времени нагрузки ситуация может и измениться.

Обсуждается возможность применения уравнений коротковолновых колебаний при описании погранслоев около фронтов волн и обосновывается существование зон согласования решений уравнений коротковолновых и длинноволновых колебаний.

Затем рассматривается задача о действии дельта-образного продольного импульса на край полубесконечной пластины. Изучается окрестность квазифронта (фронта волны растяжения в классической теории пластин). Движение пластины описывается уравнениями плоской задачи теории упругости (случай обобщенного плоского напряженного состояния), уточненными с помощью подстановки (19). При переходе в уравнениях плоской задачи к потенциалам подстановке (19) отвечает подстановка

в уравнении для потенциала волны растяжения у

Граничные условия на краю пластины задаются в виде

литуда импульса, еС - параметр, характеризующий длину участка края, на котором размазывается импульс, ЯГ/ , Хг _ декартовы координаты точек пластины.

с7 д-ь2

ЗЬ2 с//' с г 3(1-^)г ¿¿г] Пг

(32)

л

Сформулированная задача с точностью до подстановки (32 совпадает с классической задачей Лэмба для упругой полуплос кости и может трактоваться как ее обобщение. Основное отличие рассматриваемого случая от классического состоит в появ лении квазифронта (уравнение для потенциала волны растяжения в результате возмущения, вносимого подстановкой (32), га перестает быть гиперболическим).

Для описания погранслоя около квазифронта удается полу< чить одномерное уравнение

Входящие в него переменные имеют следующий смысл г

Т

Здесь, как обычно,

( - характерный линейный размер, в качестве которого может быть, например, выбрано расстояние, пройденное квазифронтом в рассматриваемый момент времени).

Для учета граничных условий (33) следует потребовать совпадения в интервале /« к << % "2/,г ( к - параметр преобразования Фурье по переменной ъ ) Фурье -образа функции у , наеденного из уравнения (34), с Фурье-образом потенциала волны растяжения в плоской задаче Лэмба.

Выписываются асимптотические представления перемещений пластины в виде несобственных интегралов. Производится их параметрический анализ в зависимости от соотношения между величинами # , г , аС0=. . Устанавливается, что в малой окрестности квазифронта главный вклад в упомянутые интегралы вносят моды стационарных колебаний с показателем изменяемости ^-2/3 ~2/3) . Это, с одной сто-

роны, говорит о неприменимости классической теории пластин, а с другой стороны, подтверждает законность использования

предлагаемой уточненной теории. Таким образом, для адекватного описания поведения пластины как трехмерного упругого тела в окрестности квазифронта оказывается достаточным ввести подстановку (32) в классические уравнения.

На рис. 8 показана зависимость безразмерного горизонтального перемещения от расстояния до квазифронта на дуче

у= ТГ/4 . По оси абсцисс отложена величина Принималось £ = 0,05; >> = 0,3; оС0- 0,01; /? = C3t. При таком обезразмеривании на квазифронте оС = / . Сплошная линия соответствует асимптотическому представлению, полученному исходя из уравнений плоской задачи теории упругости с приведенной инерцией (используется подстановка (32)), а штрих - асимптотическому представлению решения классических уравнений плоской задачи.

Полученные результаты легко распространяются на задачу о действии продольного импульса на край цилиндрической оболочки. Гораздо более сложной оказывается аналогичная задача для конической оболочки. Однако и в этом случае удается подобрать переменные (по своему смыслу они близки к переменным (35)), в которых уравнение погранслоя имеет вид (34).

В заключении подводится краткий итог работы. Отмечается, что динамические процессы в тонких упругих телах характеризуются большим разнообразием.Среди них заметное место занимают процессы, для которых длина волны деформации соизмерима с толщиной, а временной масштаб - с временами пробега упругими волнами расстояния между лицевыми поверхностями. Анализ таких процессов не может быть осуществлен на основе классической теории оболочек. В статике классическая теория обладает большей универсальностью и отказывает только при описании локальных НДС около краев, изломов .вырезов и т.д.

Изученные в диссертации асимптотические приближения (длинноволновое низкочастотное, длинноволновое высокочастотное и коротковолновое) трехмерных уравнений теории упругости формируют общее представление о закономерностях динамических

процессов в тонких телах и представляют эффективный инструмент для решения конкретных задач. Развиваемый асимптотический подход позволяет получить важные для приложений рекомендации (метод возмущений для оценки собственных частот пластин средней толщины, формулы и алгоритмы для описания резо-нансов в задачах рассеяния и др.) и может служить основой для разработки численно - асимптотических методов расчета реальных устройств и конструкций.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д. Динамический погран-слой в задачах колебаний оболочек // Изв. АН СССР.МТТ.1988. № 4. С.152-162.

2. Каплунов Ю.Д. Уравнения высокочастотных длинноволновых колебаний упругого слоя, лежащего на акустическом полупространстве // Докл. АН СССР. 1989. Т.309. № 5. С.1077-1081

3. Каплунов Ю.Д. Асимптотические методы в высокочастотной гидроупругости тонких оболочек // Взаимодействие акустических волн с упругими телами: Докл. Всесоюзн.симпоз. Таллинн,

1989. Таллинн: Иэд-во Таллин.техн. ун-та, 1989, С.99-102.

4. Каплунов Ю.Д. Интегрирование уравнений динамического погранслоя // Изв. АН СССР. МТТ.1990. № I. С.148-160.

5. Каплунов Ю.Д. Высокочастотные напряженно-деформированные состояния малой изменяемости в упругих тонких оболочках // Изв. АН СССР.МТТ. 1990. № 5. С.147-157.

6. Каплунов Ю.Д., Маркушевич Д.Г. Излучение упругого слоя в жидкое полупространство (плоская задача)// Докл. АН СССР.

1990. Т.313. № 6. С.1385-1390.

7. Березин В.Л., Каплунов Ю.Д., Коссович Л.Х>. Дисперсия

упругих-волн- в-тонкостенном -цилиндре:- Препринт -№ 454. - М.,-

АН СССР. Ин-т проблем механики. 1990. 40 с.

8. Векслер Н.Д., Каплунов Ю.Д..Корсунский В.М. Асимптотические формулы для резонансных частот при рассеянии нормально падающей акустической волны цилиндрической оболочкой // Акуст. журн. 1990. Т.36. № 3. С.399-404.

9. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д. Колебания оболочек при частотах, лежащих за пределами классической теории // Тр. 14-ой Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Казань, 1990. Казань: Изд-во Казан.ун-та,1990. С.149-154.

10. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко - Рейсснера // Изв. АН СССР.МТГ.1990. № 6. С.124-138.

11. Каплунов Ю.Д. Колебания оболочек вращения при высокочастотном краевом возбуждении // Изв. АН CCCP.MTT.I99I.

№ 6. C.I5I-I59.

12. Каплунов Ю.Д. Высокочастотные напряженно-деформированные состояния малой изменяемости в оболочках, погруженных в жидкость // ПММ. 1991. Т.55. Вып.З. С.478-485.

13. Каплунов Ю.Д. Неклассические задачи динамики оболочек // Седьмой Всесоюзн. съезд по теорет. и прикл. механике: Аннот. докл. Москва, 1991, М.:Изд-е Нац. ком-та СССР по теорет. и прикл. механике, 1991. С.181.

14. Каплунов Ю.Д. Распространение нестационарных упругих волн в оболочке общего очертания // Изв.РАН.МТГ.1992. № б. С. 156-167.

15. Каплунов Ю.Д.,Нольде Е.В. Двухпараметрический асимптотический анализ динамических уравнений теории упругости для случая изгиба пластин // ПММ. 1992. Т.56. Вып.5. С.750 - 755.

16. Каплунов Ю.Д.,Нольде Е.В. Задача Лэмба для случая обобщенного плоского напряженного состояния // Докл.РАН.1992. Т.322. № 6. С.1043-1047.

17. Каплунов Ю.Д.,Корсунский В.М. Описание резонансов волн Лэмба высших порядков в задаче рассеяния для цилиндрической оболочки // Акуст.журн.I992.T.38.№ З.С.477-482.

18. Каплунов Ю.Д.,Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек// ПММ. 1993. Т.57. Вып.1.

\

19. Goldenveizer A. . Kaplunov J. ■ LldsKli V. et al. vibr< tions of a shell containing fluid // Proc. Intern, conf. Engineering Aero-Hydroelasticity. V. 2. Prague, 1969. P.185-190.

20. Kaplunov J. D., VeKsler N. D. Peripheral waves In cylindrical shells Immersed in water // Acustlca. 1990. V.72. N 2. P. 131-139.

El. Kaplunov J. D. On the quasi-front in two-dimensional shell theories // c. R. Acad. Sci. Paris. Serle 2. 1991. T. 313. P. 731-736.

22. Kaplunov J. E. High-frequency stress-strain states of the small variability in elastic shells // 1st European Solid Mech. Conf. : Abstracts. Munich. 1991. P. 114.

23. Kaplunov J. D. . Nolde E. V. , VeKsler H. D. Asymptotic description of the peripheral waves m scattering of a plan« acoustic wave by a spherical shell // Acustlca. 1992. V.76. N 1. P. 10-19.

24. Kaplunov J. D. . Nolde E. V. , VeKsler N. D. Determlnatioi of parameters of elastic layer by measured dispersion curve: of zero-order Lamb-type waves // Proc. Estonian Acad. sci. Phi Mats. 1992. V. 41. N 1. P. 39-48.

25. Goldenveizer A. L. . Kaplunov J. D. . Nolde E. V. Asymptotic analysis of shear deformation shell theories // leth Intern. Congr. Theor. AppI. Mech. : Abstracts. Haifa. 1992. P. 62.

26. Goldenveizer A. L. , Kaplunov J. D. , Nolde E. V. On Tlmo-shenKo-Helssner type theories of plates and shells // interi J. Solids Struct. 1992. V. 29.

27. Kaplunov J. D.. MarKushevich D. G. Plane vibrations ant radiation of an elastic layer lying on a liquid half-space / Wave Motion. 1993. V. 17.