Динамическое расширение сферической полости в упругом пространстве тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

-5 МОСКОВСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Хамиду Хауа

ДИНАМИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ ( АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ )

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико - математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Исраилов М.Ш.

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор П. Ф. Сабодаш. — кандидат физико-математических наук, м.н.с С. В. Новотный Ведущая организация - Московский государственный

строительный университет.

Защита состоится 11 апреля 1997 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.03 по механике при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова. по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан 11 Марта 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Шешенин С.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Динамические задачи об импульсном воздействии па границе сферической полости В упругом пространстве, имеет важное прикладное значение. Они частично или польпостью моделируют механические и физические явления, возникающие в расчете« мощных подземных взрывов в грунтах с образованием сферических полостей, исследовании процессов формирования, распространения и воздействия на объекты детонационных волн, при взрывной обработке металлов, в других задачах, связанных со взрывами или ударным воздействием.

Цель работы. Целью работы является:

- Получение точных и асимптотических решений задач о воздействии динамического давления произвольного профиля на неподвижной и расширяющейся границе сферической полости в упругом пространстве.

- Качественный и количественный анализ полей перемещений, деформаций и напряжений для общего и частных типов воздействий.

- Исследование зависимости механических характеристик от различных параметров задачи.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты, получены лично автором предлагаемой работы:

I. Построено асимптотическое решение задачи о воздействии динамического импульса давления произвольного профиля на границе сферической полости в упругом пространстве. Решение представлено в виде быстросходящегося асимптотического лучевого ряда позволяющего эффективно получать качественные и количественные результаты, в частности, прифронтовые асимптотики для перемещений, деформаций и напряжений. Исследован вопрос об эволюции профиля радиальных напряжений в процессе распространения волны по среде.

II. Рассматривается действие динамической нагрузки па границе расширяющейся по лилейному закону сферической полости в упругой среде. Точное аналитическое решение в этом случае, также как и в предыдущей задаче, представлено в виде быстросходящегося во всей области возмущения асимптотического ряда. Изучен эффект больших и малых (дозвуковых) скоростей расширения границы в сравнении со скоростью распространения упругих волн.

III. Предложен метод и решена задача о динамическом воздействии на границе сферической полости линейно расширяющейся на конечном промежутке времени. Показано, что остановка границы не приводит к образованию фронта разрыва напряжений.

Научная и практическая ценность. Полученные в работе новые аналитические решения и результаты могут быть использованы с одной стороны для более полного и точного описания полей перемещений, деформаций и напряжений в упругой области, т.е для уточнения расчетных схем моделей описывающие взрывные явления в твердых деформируемых средах ( в том числе грунтах). С другой стороны асимптотический характер и простая аналитическая форма решений позволяет легко провести количественные оценки, что удобно для использования их в инженерных расчетах.

Кроме того, принятые постановки задач могут служить полной моделью (в первом приближении) при изучении воздействия мощных подземных взрывов на объекты, находящиеся вне зон разрушения и пластических деформации.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были изложены и обсуждены на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова под руководством члена-корреспондента РАН A.A. Ильюшина.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в тезисах конференции и одной статье, принятой к печати ( в журнал "Вестник Московского университета" ).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы включающего 23 наименования. Работа изложена на 57 страницах машинописного текста, она содержит 3 рисунка, 4 графика и 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении обозначен предмет исследования, обосновывается актуальность темы и изложена структура диссертации. Имея ввиду, что по данной тематике опубликованы достаточно полные обзорные статьи и монографии, в части, касающейся обзора литературы в основном, упоминаются работы, посвященные решениям задач, наиболее близких к рассмотренным в диссертации.

В 1-ой главе получепо повое асимптотическое решение классической задачи о распространении в упругом пространстве возмущения, вызванного динамическим давлением, приложенным на границе сферической полости. Считается, что граничное давление зависит только от времени ( сферически-симметричная задача ) и изменяется по произвольному закону. Кроме того, в предположении малости перемещений ( ur < a; ur = u(r, t) — единственная отличная от нуля компонента вектора смещения, а - радиус полости ) граничные условия удовлетворяются при начальном значении радиуса г — а.

Известпо, что такая постановка приводит к начально-краевой задаче для волнового уравнения относительно функции <р ( г , t ), представляющей собой потенциал перемещений : и = dipjdr.

Решение последней для произвольной граничной нагрузки <гтг\т_а = —P(t) получено в литературе ( ссылки даны в тексте диссертации ) и

имеет вид интеграла Дюамеля

¥>(г,«) =--аН}Т^ Г е-а<т-т') sinау/Г^(т - т') X

pars/1 — хг2 Jо

х P(r') dr' = - f Р(т') dtps (t — r') = Jo

= P(0)F(r,T) + Г F(r,T- r')P'(r')dr', (1)

Jo

где фн = F (r, r) H (r) - решение для ступенчатой нагрузки, выражаемой формулой (Н(т) — функция Хевисайда)

= " sin [* vT^r + *]} нМ- (2)

■в = arccos а. В решениях (1), (2) а = 2с2/а, = сг / Ci < 1 / л/2, r = t — (г — a) /ci~ время нрошедщее после прохождения фронта волны через точку г; ci, сг - скорости продольной и поперечной упругих волн, р — плотность, а р. — модуль сдвига упругой среды.

Для построения аналитического асимптотического решения заданный на границе импульс Р(£) представляется в виде дробно-степенного ряда

к=0 оо

v-^ _ /С1хк+6+1 сЬ+6+1

щтбтщ- <3)

в котором — 1 < 6 < О, Г(^) — означает Гамма функцию, Ак+\ -безразмерные коэффициенты, так что константа сг0 имеет размерность напряжений.

В таком виде без нарушения общности может быть представлено характерное давление (нормальное напряжение), возникающее как результат воздействия газообразных продуктов взрыва при достижении" детонационной волной сферической поверхности между зарядом и средой. В частном случае <5 = 0 (3) является разложением в ряд Тейлора.

Подстановка ряда (3) в выражение (1) приводит к возможности выполнения почленного интегрирования. Показано, что интеграл входящий в к-ьт член ряда ( получаемого при подстановке (3) в (1) ), выражается через неполные Гамма-функции, а именно ( р = ах, д = а\/1 — х1 ):

£ Ль+#е-а^г-А)зт[ал/Г^2(т-Л) + т9] ¿А =

_ £21 (_|

2х \(_р

7 [к + 8 + 1; (-р + iq) г] -

е-г(5т+1>)

7 [А: + 8 + 1; (-р - гд) г]

{-Р - гд) }

Тогда разложение неполных Гамма-функций в сходящие степенные ряды приводит после несложных преобразований к асимптотическому представлению решения (1):

2 00

Г(к + 8 + п + 3) 5 (4)

здесь а = 2сг/сь а т = С\т/а — безразмерное время, измеряемое с момента прохождения фронта волны через данную точку.

Ряд (4) представляет собой лучевое разложение решения вблизи фронта волны, он является сходящимся во всей области возмущения.

Полученный результат позволяет легко выписать асимптотические представления для перемещений, деформаций и напряжений вблизи фронта волны (при малых т, точнее т <С 1):

иг = ^ и Ах&о ^ т«+2 =

дг цС1Т(ё + 3)

(Л +■ 2^)Г(£ + 3) чг

тб+2.

ди ^__Ахо-р /и.}

дг ~ (А + 2//)Г(«5 + 2) Чг, "

« Л1<т0 /а\2 * ,2

д = - ^ (Л+2/1)Г(д + 3) (-) Т+,

А^р /а\ г+1 агг рз ————— — I т

^ЙЙ = Уш ~ — / . , „ г , 1 ~ 1 Т

(?) , СУ

Г(6 + 2) (г)'

(Л + 2{л)Т(6 + 2) (г) Эти асимптотические представления в частном случае 8 —► —1 ( ступенчатой нагрузки на границе ) совпадают с известными результатами.

В заключительном параграфе главы исследован вопрос об эволюции импульса, приложенного па границе в процессе распространения волны по среде на примере (граничной) нагрузки вида

= (5)

для 0 ^ т ^ 1, представляющей собой куполообразный импульс с максимальным значением сг0 при т = 1/3.

Выписано решение для граничной нагрузки (5) (в виде однократного ряда) и асимптотическое ( для малых т ) разложение напряжений атт с учетом первых трех членов. При а это выражение упрощается и принимает вид

Графики правых частей соотнощения (6), когда удерживается три и два слагаемых на интервале О для грунта с характеристи-

ками сх = 8.2.105м/с, с-1 — 4,6.103.и/с показывают, что относительная погрешность возрастает с увеличением г, однако при т = 0.4 она не превыщает 12%.

С учетом первых двух членов в разложении (6) построены также графики напряжений атт для г = а; 2а; 5а; 10а, демонстрирующие эволюцию профиля напряжений в процессе распространения волны по среде. При этом максимальные значения напряжений, как и должно быть убывают по закону 1 /г.

Вторая глава посвящена решению в той же постановке задачи с расширяющейся полостью. Показано, что когда переменный радиус полости описывается функцией а(Ь) ( а(0) = а, 0 < с1а/сИ < сх ) задача сводится к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с одним переменным коэффициентом при первой производной

+

в котором

ci

(7)

t = t

a(0sa(i(0), P(0 = P(t(O).

a(t) - a . [*•

Cl

Только в случае линейного расширения a(t) = Kt + а уравнение (7) имеет постоянные коэффициенты и интегрируется в квадратурах. В этом случае решение задачи имеет вид ( при произвольной граничной нагрузки ®yP|p=Jtt+e = -P(t) ):

<Pl(r,t) = Г e-a^T-r">smay/T^(T-T')x

aprV 1 — к2 J о

-l)]dr>, (8)

где

к- к -X

Выписано в конечном виде и исследовано решение (8) для ступенчатого давления Р(£) = — сг0Л(т). В частности, при малых т ( тогда и Т мало, поскольку Т = ~1п ЩЦ- + 1.| ~ г)

(9)

Из формула (9) (и соответствующих графиков, построенных в работе) видно, что при возрастании К ( скорости расширения полости) напряжения 0>г в прифронтовой зоне возрастают, однако влияние скорости границы К сказывается лшць во втором члене асимптотического разложения ( эффект второго порядка ).

Далее, следуя разработанному в главе I методу построения асимптотического решения, получено представление решения (8) в виде бы-стросходящегося лучевого ряда для произвольной граничной нагрузки, представимой дробно-степенным рядом (3). Это решение дается выражением аналогичным (4).

Показано, что первые члены асимптотических разложений вблизи фронта волны ( при малых т ^ схт/а ) механических характеристик ( перемещений, деформаций и напряжений) совпадают с полученными в 1-ой главе в задаче с постоянной границей (К = 0).

В заключительном параграфе главы подробно исследовано полученное решение на примере куполообразной граничной нагрузки (5). В этом случае разложение (6) имеет вид ( с учетом первых двух членов )

т1~г/р = т/(1~К/с1).

Приведены графики правой части (10) при 0 < г ^ 0.5, показывающие влияние дозвуковой скорости расширения границы на профиль

радиальных напряжении.

В третьей главе диссертации рассматривается задача о нагруже-нии сферической полости в упругом пространстве, линейно расширяющейся па конечном интервале времени ( 0 ^ < ^ ). Она сводится к

нахождению решения волнового уравнения, удовлетворяющего нулевым начальным условиям (при Ь = 0 ) и граничному условию

= -ад. о^«

<Гтт\г=а+Ки=ь = -Р2(0, * > «1

В плоскости (г, 4) возмущения существуют только в области 3) = Т>1 и Р.

В области Х)х решение совпадает с полученным в главе II для расширяющейся полости. Таким образом, исходная задача сводится к начально-краевой задаче для волнового уравнения в области Т) = Т>2 и Х>з с начальными условиям при Ь = ( вычисленными по известному решению в области Т>\ )

ф{г,гг) - Ф1(г,ь) = с(г) и граничным условием (11)г-

Для определения решения последней используется принцип суперпозиции, а именно решение представляется в виде суммы решении задачи

Коши в области V2 с начальными условиями (12) и краевой задачи с однородными начальными условиями при £ = ^ и заданным граничным условием (11)21 03 которого надо, естественно, вычесть значение напряжения Рй(<), возникающее в задаче Коши при г = Ь.

Решение задачи Коши легко выписывается по формуле Даламбера. Например, перемещения "Коши" определяются соотпощепием

2 рг2д

+

Здесь

£Х(г')Рх(3- - г') <1т' + £ Х(т')Рх(т1 - т')<1т'|

+— Г хчт'тт-т1)^'. (13)

РГЧ Л

, а , Г К / г — а\

п,

а 1

г — а

<=1

и введены обозначения функций

Х(т) = е-ахт8тдт, Рг(т) = е*£тР - 1)] .

Показано, что в области Х>2 решение (13) совпадает с решением для расширяющейся границы, т.е. является продолжением решения в области Т>1 ( остановка границы не влияет на состояние в Т>2 )■

Решение дополнительной краевой задачи ( с нулевыми начальными условиями при Ь = ) и граничными условиями при г = с\{Ь — ¿1) = Ь отлично от нуля только в области 2?з и строится методом главы I. Специально исследуется вопрос о возможности возникновения фронта

разрыва из-за мгновенной остановки 1фа1шцы. Показано, что если заданное на поверхности полости давление непрерывно при £ = ¿1, т.е., если в (11) Рх(1х) — Рг(*1)) напряжения в среде непрерывны при переходе через характеристику СТ> ( рис.1 ). Этот результат подтвержден

на примере решения одломерной (г, ^-задачи с остановкой, когда его проверка не вызывает затруднении из-за получающихся в этой задаче простых конечных выражений для напряжений.

В заключении перечислены основные результаты, полугенные в работе и выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Построено асимптотическое решение в задаче о воздействии динамического импульса давления произвольного профиля на границе сферической полости упругого пространства. Представление решения этой задачи в виде интеграла Дюамеля известно в литературе.

Приведенное в первой главе новое аналитическое решение в виде знакопеременного быстросходящегося асимптотического лучевого ряда весьма эффективно и позволяет легко получать качественные и количественные результаты. В частности, выписаны прифронтовые асимптотики для перемещений, деформаций, напряжений и на примере куполообразной граничной нагрузки исследован вопрос об эволюции профиля радиальных напряжений в процессе распространения волны по среде.

2. Рассматривается действие динамической нагрузки на границе расширяющейся сферической полости в упругой среде. Показано, что соответствующая начально-краевая задача в условиях сферической симметрии сводится к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с одним переменным коэффициентом (при первой производной) для произвольного закона расширения полости и к уравнению с постоянными коэффициентами, когда скорость расширения полости постоянна. В последнем случае получено точное аналитическое решение, которое также как и в предыдущей задаче, представлено в виде знакопеременного быстросходящегося (во всей области возмущения) асимптотического ряда.

Исследован вопрос о влиянии (дозвуковой) скорости расширения полости на значения напряжений в прифронтовой зоне. Показано, что

для малых скоростей расширения (K/ci < 1) это влияние сказывается только во втором члене асимптотического разложения напряжений вблизи фронта волны (эффект второго порядка). Для больших К (К 02) наблюдается резкое возрастание радиальных напряжений и, таким образом, полученное решение позволяет описать процесс формирования ударной волны.

3. Предложен метол и решена задача о динамическом воздействии на границе сферической полости, линейно расширяющейся до некоторого значения радиуса г — be последующей мгновенной остановкой границы в момент времени t = ti = (Ь — а)/с\ {а- начальный радиус нолости ).

Показано, что остановка границы не приводит к образованию фронта разрыва напряжений, когда приложенное на границе и произвольно меняющееся по времени давление непрерывно в момент времени Этот результат подтвержден на примере решения одномерной (х, ¿)-задачи, в которой для напряжений в характерных областях фазовой плоскости получаются конечные выражения.

Автор искренне благодарит своего научного руководителя доктора физико -математических наук, профессора М.Ш. Исраилова за постановку задач, плодотворное их обсуждение и постоянное внимание к работе.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

1 . Хамиду X.Асимптотическое исследование решения задачи об импульсном погружении упругой среды на границе сферической полости. - Принята к печати в мае 1996. Вестник МГУ. _2_. Хамиду X.Динамическое расширение сферической полости в упругом пространстве. Тез исы "докладов на международной конференции "Ломоносов-97" (в печати).