Динамика двумерных волн в пузырьковой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ГАЛИМЗЯНОВ МАРАТ НАЗИПОВИЧ

ДИНАМИКА ДВУМЕРНЫХ ВОЛН В ПУЗЫРЬКОВОЙ

ЖИДКОСТИ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2004

Работа выполнена в лаборатории «Механика многофазных систем» Института механики Уфимского научного центра Российской Академии Наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Шагалов В. Ш.

кандидат физико-математических наук, доцент Гималтдинов И. К.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Губайдуллин А. А.

кандидат физико-математических наук, доцент Емченко О. В. Ведущая организация: Институт механики и машиностроения

Казанского научного центра РАН

Защита состоится » ¿¿¿Л 2004 года в // часов на заседании диссертационного совета Д.212.013.09 в Башкирском Государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32. в аудитории 216 физико-математического корпуса

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского Государственного Университета.

Автореферат разослан 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

Ковалева Л. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Значительный интерес исследователей к проблемам и задачам механики пузырьковых сред обусловлен широким распространением таких систем в природе и их интенсивным использованием в современной технике. При этом наиболее интересными и важными являются процессы, носящие нестационарный характер. К настоящему времени одномерные волны в пузырьковой жид кости теоретически и экспериментально достаточно подробно изучены. На данный момент активно ведутся исследования по изучению двумерных волн в пузырьковой жидкости (Кедринский В. К., На-коряков В. Е., Донцов В. Е., Губайдуллин А. А., Вахитова Н. К.). Нелинейные эффекты и эффекты двумерности могут возникнуть, например, при распространении волн давления в однородной жидкости при наличии в ней зоны, содержащей пузырьки газа или в случае сосредоточенного удара по пузырьковой жидкости. Поэтому исследование динамики двумерных волн в пузырьковой жидкости является одной из актуальных проблем волновой динамики многофазных сред.

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена, необходимостью развития волновой динамики гетерогенных сред, расширением и углублением теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в пузырьковых системах, интенсивным использованием многофазных смесей в технике.

Цели работы. Теоретическое исследование динамики нелинейных волн в жидкости при прохождении зоны с пузырьковой завесой с учетом двумерных и нелинейных эффектов. Анализ влияния определяющих параметров пузырьковой завесы (линейных размеров, объемного содержания и дисперсности пузырьков) и первоначального давления на эволюцию волн при прохождении завесы, а также:

- исследование динамики двумерных волн в области, кусочно-неоднородной по объемному содержанию пузырьков;

- изучение особенностей эволюции колоколообразного по поперечной координате волнового импульса в однородной пузырьковой жидкости;

- исследование воздействия волнового импульса на твердую стен ку, частично покрытую пузырьковой жидкостью;

- исследование динамики волн давления в прямоугольной области при наличии в ней пузырьковой зоны в случае, когда инициирование импульсов происходит с двух смежных границ.

Научная новизна. В диссертации поставлен и решен ряд задач и работа состоит в

- разработке математической модели решения задачи о распространении двумерных волн давления в жидкости, при наличии в ней пузырьковой зоны конечных размеров;

- создании вычислительного алгоритма для решения класса задач, связанных с описанием распространения возмущений в жидкости при наличия пузырьковых зон и в пузырьковой жидкости с учетом двумерных и нелинейных эффектов;

- численном моделировании распространения импульсного возмущения в жидкости при наличии пузырьковой зоны с учетом двумерных и нелинейных эффектов.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы для объяснения механизмов гашения и усиления волн давления с использованием пузырьковых завес. Они также расширяют и углубляют теоретические знания о нестационарных волновых процессах в многофазных средах и могут иметь широкий спектр приложений на практике.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в рамках диссертационной работы результатов обеспечивается корректным применением уравнений механики . пузырьковой жидкости, обусловлена совпадением полученных результатов в предельных частных случаях с результатами, известными из литературы, а также проведением сравнительных тестовых расчетов.

Апробации работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и научных школах:

- на региональной конференции «Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах» (Уфа, 1999);

- на Международной конференции по многофазным системам, посвященной 60-летию академика РАН Р. И. Нигматулина ICMS-2000 (Уфа, 2000);

- на VI школе-семинаре стран СНГ «Акустика неоднородных

сред» под руководством профессора В. К. Кедринского (Новосибирск, 2000);

- УШ Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

- на XVI сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2002);

- на УШ Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2002);

- на IV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003).

Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались и получили положительную оценку на семинарах в Институте механики УНЦ РАН (под руководством профессора И. Ш. Ахатова), кафедры прикладной математики и механики (под руководством профессора В. Ш. Шагапова) и кафедры теоретической физики (под руководством профессора А. И. Филлипова) Стерлитамакского го-сударстзенного педагогического института.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 110 страниц, в том числе 26 рисунков. Список литературы состоит из 108 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении отмечена практическая ценность и актуальность проблем, рассматриваемых в диссертации. Сформулированы цели и научная новизна работы. Проведено краткое изложение структуры диссертации.

В первой главе выполнен обзор теоретических и экспериментальных исследований, посвященных изучению волновых процессов в пузырьковых жидкостях. Выписана система определяющих уравнений для описания динамики волн давления в пузырьковой жидкости. Рассмотрены основные приближения, используемые при фор-

мулировке задачи.

При описании движения пузырьковой жидкости полагается: в каждом элементарном объеме все пузырьки сферические и одного радиуса, вязкость и теплопроводность существенны лишь в процессе межфазного взаимодействия и, в частности, при пульсации пузырьков, отсутствует дробление и слипание пузырьков.

На основе вышеприведенных допущений для пузырьковой жидкости записывается система уравнений сохранения масс, числа пузырьков, импульсов в следующем виде:

а{ + ад = 1, ад = ^псРп, pi = рЧщ, р = рд + р1

, г = 1,9^

Здесь г = 1,д относятся к параметрам жидкости и газа в пузырьках, - средняя и истинная плотности фаз, - объемное содержание ¡-ой фазы, и и V - составляющие скорости по координатам х и - давление в жидкости, - число пузырьков в единице объема, а - радиус пузырьков.

При описании радиального движения будем полагать, что скорость радиального движения хи состоит из двух слагаемых: и» = юд + ша , где гуд описывается уравнением Рэлея-Ламба:

где, VI - коэффициент кинематической вязкости жидкости. Добавка определяется из решения задачи о сферической разгрузке на сфере радиуса а в несущей жидкости в акустическом приближении

ХОА

- р9 ~Р1 рЧСЮУ3'

Полагается, что жидкость является акустически сжимаемой, а газ калорически совершенным:

Р< =Ро + С?(рЧ - р%), Рд = р°аКГа,

где Я - газовая постоянная. Здесь и в дальнейшем индексами 0 внизу снабжены параметры, относящиеся к начальному невозмущенному состоянию.

Для давления рд запишем дифференциальное уравнение, полученное из уравнения для внутренней энергии газа:

сН

- = -ЬРзт -

ш 3(7 - 1)

Интенсивность теплообмена д и число Нуссельта для газовой фазы имеет следующий вид:

Принятая система уравнений позволяет адекватно описывать динамику волн с достаточно «крутыми» участками, когда сжатие пузырьков определяется не только эффектами радиальной инерции несущей жидкости, но и акустической разгрузкой на пузырьках и, следовательно, ее сжимаемостью. Кроме того, из этой математической модели в частном случае при ад = 0 следует волновое уравнение для акустически сжимаемой жидкости. Это обстоятельство, в свою очередь, позволяет использовать сквозные методы расчета.

Во второй главе подробно изложена методика численных расчетов динамики волн давления в пузырьковой жидкости для двумерного случая. Представлен переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа (в качестве лагранжевых переменных берутся начальные эйлеровые координаты) и принцип построения разностной схемы.

Для численного анализа задачи об эволюции волн в жидкости при наличии в ней пузырьковой области удобнее пользоваться системой уравнений, приведенной в главе 1, записанной в лагранжевых переменных. Это, в частности, связано с тем, что в лагранжевых координатах пузырьковая область неподвижна. Из вышеприведенных уравнений после преобразований можно получить следующую систему в лагранжевых переменных

где - лагранжевые переменные, в качестве которых берутся

начальные эйлеровы координаты, / - якобиан перехода от лагран-жевых к эйлеровым переменным.

Полученная система решалась численно по явной схеме. Причем не потребовалось вводить искусственную вязкость. Это связано с тем, что приведенные уравнения из-за учета межфазного теплообмена и акустической разгрузки являются системой с естественной диссипацией.

Рис. 1: Схематическое изображение расчетной области.

В третьей главе изучается динамика нелинейных волн в жидкости при наличии зоны, содержащей пузырьковую завесу, а также воздействие нелинейных возмущений на стенку, покрытую пузырьковой завесой. Исследованы и выявлены эффекты нелинейности при прохождении нелинейного сигнала через пузырьковую завесу. Проанализировано влияние параметров завесы на динамику импульсных возмущений и на воздействие импульсов давления на твердую стенку, покрытую пузырьковой завесой.

На рис. 2-3 представлены результаты расчетов для случая, когда колоколообразный волновой импульс, имеющий вид

образованный плоским ударом по границе распространяется в полубесконечном канале, наполненном водой, при наличии в середине канала зоны конечных размеров, заполненных водовоздушной смесью (рис. 1). На границах полубесконечного канала при вычислениях приняты условия как на жесткой стенке. Необходимо отметить, что в данном случае и во всех последующих расчетах рассматривается ситуация, когда волновой импульс полностью сформировавшись в «чистой» жидкости, взаимодействует с пузырьковой завесой. Расчетная область взята достаточно широкой, так чтобы вторичные сигналы, образованные отражением от «стенки» расчетной области в период

Рис. 2: Распространение волнового импульса в жидкости при наличии в ней пузырьковой завесы конечных размеров. Протяженность импульса <„ = Ю-4 с. Начальная амплитуда Др0 = 0.3 МПа. Остальные параметры смеси и завесы следующие: 1Х = 1У = 0.05 м, а0 = Ю~3 м, Т0 = 300 К, адо = 10~2, р0 = 0.1 МПа.

взаимодействия волнового импульса с завесой, не сказывались. Импульсы с амплитудой Лр = 03 МПа и протяженностями <. = Ю-4 с (рис. 2) и 1, = Ю-3 с (рис. 3) действуют через лагранжеву границу жидкости 2о = 0. Штриховая, сплошная и штрихпунктирная линии соответствуют показаниям датчиков DI, Б 2 и D3, расположенных соответственно перед пузырьковой завесой на расстоянии 0.1 м, в середине пузырьковой завесы и за завесой на расстоянии 0.05 м от ее задней границы. Видно, что при распространении более длительного сигнала (рис. 3, б), из-за двумерных эффектов в определенные моменты времени внутри завесы могут образоваться баш-

г,«к

О 0.5 1.0 1.5 2.0

Рис. 3: То же, что и на рис. 2, но протяженность импульса*« = 10~3 с. Остальные параметры как на рис. 2.

необразные распределения давления. При этом датчики давления, расположенные в этих точках, будут регистрировать значительные всплески давления. Для представленного примера датчик Б2, расположенный в середине завесы, регистрирует сигнал с амплитудой около 0.6 МПа, в два раза превышающий амплитуду первоначального сигнала. Полученный башнеобразный всплеск давления, уменьшаясь по амплитуде, сносится по направлению распространения основной волны. Эта картина, в частности, видна из расчетной осциллограммы для датчика D3 (регистрируемая амплитуда превышает первоначальную почти на 0.1 МПа). В случае короткого сигнала (рис. 2, б) датчик D2, помещенный в середину такой же завесч, практически не чувствует внешний импульсный сигнал, а датчик Б3 фиксирует

ослабленный сигнал с амплитудой давления около одной атмосферы.

Для более наглядного представления на рис. 2 (а) и рис. 3 (а) приведены пространственные картины.

Была рассмотрена ситуация, когда на правой границе расчетной области было поставлено условие «твердая стенка» (она располагаются на расстоянии L¿ от места инициализации сигнала (а: = хо)). Расположение завесы схематично представлено на рис. 4. Параметры первоначального импульса и системы следующие: t» = Ю-4 с, ¡i — h = 0.45 м, Lx — 0.5 м, Lv = 0.95 м. Остальные параметры завесы, смеси и импульса такие же, как для рис. 3. На расчетных осциллограммах штрихпунктирная линия соответствует случаю отсутствия завесы перед стенкой. Сплошная и пунктирные линии в показаниях датчиков соответствуют объемному содержанию а5о = 10 2 и 10"3.

На рис. 4 представлены осциллограммы для датчиков Dl, D2 и D3. Из показаний датчика D\ следует, что он фиксирует первоначальный импульс (обращенный вверх), отраженный сигнал (волну разряжения, обращенную вниз) и сигнал отраженный от твердой стенки (волну сжатия). По показаниям датчика D2 видно, что пузырьковая завеса конечных размеров в зависимости от объемного содержания газа существенно уменьшает амплитуду воздействия на стенку волнового импульса. Кроме того импульс с первоначальной амплитудой 0.3 МПа пройдя через завесу с объемным содержанием oso = Ю-2 или Ю-3 воздействует на стенку с амплитудой 0 05 МПа или 0.2 МПа соответственно; в случае отсутствия завесы на стенку воздействовал бы сигнал с амплитудой около 0.6 МПа. При этом необходимо отметить, что в случае наличия завесы увеличивается время воздействия на стенку. Датчик D3 фиксирует падающий сигнал (обращенный вверх) и «пристегнутый» к нему сигнал, отраженный от границы завесы (волна разряжения, обращенная вниз). Из показаний этого датчика следует, что для некоторых точек жесткой стенки наличие на расстоянии 0 05 м от них прямоугольной пузырьковой зоны, во-первых, уменьшает амплитуду воздействия импульсного сигнала примерно на 0.1 МПа, во-вторых, эти точки «чувствуют» волну разряжения, которая в зависимости от длительности и амплитуды может вызвать откольные разрушения объектов, нахо-

Рис. 4: Воздействие импульса на твердую стенку, которая покрыта пузырьковой завесой конечных размеров. Представлены осциллограммы для датчиков Б1, Б2 и Б3, расположенных на расстоянии 0.1 м от передней границы завесы, на стенке за завесой и на стенке на расстоянии 0.05 м от границы завесы.

дящихся на твердой стенке.

В четвертой главе исследуется динамика распространения локализованного импульсного сигнала в пузырьковой жидкости. Рассмотрен также случай эволюции сигнала в пузырьковой жидкости с кусочно-неоднородным объемным содержанием газа в поперечном направлении. Также рассмотрено взаимодействие двух нелинейных волновых импульсов в жидкости. Изучено их воздействие на завесу и проведено сравнение с результатами, полученными по одномерной модели.

На рис. 5 представлены пространственные распределения давления для линии симметрии при эволюции сосредоточенного

р,10'П»

Рис. 5: Динамика локализованного импульса в пузырьковой жидкости. Иллюстрации соответствуют временным протяженностям = Ю-3 с (а) и £» = 10~4 с (б). Остальные параметры смеси и импульса такие же, как для рис. 2.

по поперечной координате волнового импульса, заданного в виде:

действующего через лагранжеву границу Хо = 0 в однородной водо-воздушной пузырьковой смеси. Видно, что для более протяженного импульса (а), когда его характерное время значительно превышает период собственных колебаний пузырьков Ьм (£» 2в> Ьм) смеси, формируется практически одна лидирующая волна, имеющая вид

подковообразного солитона. В отличии от одномерного солитона его затухание определяется не только диссипацией, но и двумерным растеканием. Видно, что амплитуда лидирующего солитона больше, чем амплитуда волнового пакета, связанного с проявлением радиальной инерции пузырьков. В случае более короткого импульсного сигнала (б) ~ Ьм) образуется расходящийся пакет волн с характерными длинами волн

В этой главе исследовалась также динамика волн в неоднородной по объемному содержанию газа пузырьковой жидкости. Рассматриваемая неоднородность обусловлена плавным повышением объемного содержания пузырьков в поперечном направлении к направлению распространения волны. Показано, что при распространении волны давления вдоль плоской стенки, покрытой неоднородным пузырьковым слоем с уменьшающимся объемным содержанием газовой фазы, происходит фокусировка импульсного сигнала к поверхности стенки.

В заключении представлены основные результаты, полученные в работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

По результатам исследований установлено:

1. При распространении импульсных сигналов в жидкости, содержащей пузырьковую завесу конечных размеров, когда временная протяженность импульса достаточно большая (<« > 1У/С, 1у - длина завесы в поперечном направлении, - равновесная скорость звука в пузырьковой жидкости), внутри завесы может происходить нарастание амплитуды давления выше чем амплитуда исходного сигнала.

2. Для достаточно коротких импульсов (¿* < 1У/С) частицы двухфазной системы, находящиеся внутри завесы, практически не чувствуют прохождение волнового импульса (они как бы полностью защищены от ее воздействия).

3. При падении волнового импульса на твердую стенку, покрытую пристенной пузырьковой завесой конечных размеров, в зависимости от параметров (размеров пузырьковой зоны, объемного содержания

газа в завесе, радиуса пузырьков), установлено, что завеса может существенно уменьшить или увеличить воздействие импульсного сигнала.

4. При эволюции в однородной пузырьковой смеси колоколооб-разного по поперечной координате импульсного сигнала, когда его временная протяженность превышает период собственных колебаний пузырьков (£, > = 27г/им] им = \/37Ро/Рю/ао - частота Миннаерта), в пузырьковой смеси формируется лидирующая волна, в случае образуется расходящийся пакет волн.

5. Распространение импульсного сигнала в кусочно-неоднородной по объемному содержанию пузырьков области сопровождается образованием в поперечном направлении профилей давления с пиками вблизи границ между слоями. Этот эффект обусловлен различием скорости волны в слоях с отличающимися объемными содержаниями газа.

6. При распространении волны давления вдоль плоской стенки, покрытой неоднородным пузырьковым слоем с уменьшающимся объемным содержанием газовой фазы происходит фокусировка импульсного сигнала к поверхности стенки. Максимальная амплитуда сигнала, воздействующего на стенку, может превысить амплитуду исходного сигнала в два раза.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Shagapov V. Sh., Gimaltdinov I. K., Galimzianov M. N.

Two-dimensional waves in bubbly liquid // Proceedings of the International Conference on Multiphase Systems. - Ufa, Russia,

2000. - PP. 264-266.

2. B. Ш. Шагапов, И. К. Гималтдинов, М. Н. Галимзянов Эффекты нелинейности при распространении двумерных волн давления в пузырьковой жидкости // Труды Стерлитамакско-го филиала АН РБ. - Уфа, 2001. - С. 153-158.

3. В. Ш. Шагапов, И. К. Гималтдинов, М. Н. Галимзянов Двумерные эффекты при распространении волн конечной длительности в пузырьковой жидкости // Труды международной семинара «Акустика неоднородных сред». - Новосибирск, Выпуск 117, 2001. - С. 51-55.

4. Р. И: Нигматулин, В. Ш. Шагапов, И. К. Гималтдинов, М. Н. Галимзянов Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьковые зоны // Доклады РАН, Т. 378, № 6,

2001. - С. 763-768.

5. М. Н. Галимзянов, И. К. Гималтдинов, В. Ш. Шагапов Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьки // Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 2, 2002. -С. 139-147.

6. М. Н. Галимзянов, И. К. Гималтдинов Воздействие волн давления в жидкости на твердую стенку, покрытую пузырьковой завесой конечных размеров // Труды 16 сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. -Казань, 2002. - С. 92-96.

7. М. Н. Галимзянов, И. К. Гималтдинов Двумерные волны давления в пузырьковой жидкости // Тезисы докладов УШ Ча-таевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». - Казань, 2002. - С. 239.

8. М: Н. Галимзянов, И. К. Гималтдинов Волны давления в неоднородной по объемному содержанию газа пузырьковой жидкости // Труды международной научной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы». - Стерлитамак, Т. 3, 2003. - С. 59-63.

.9. М. Н. Галимзянов Численное исследование распространения двумерных волн давления в пузырьковой жидкости // Тезисы докладов IV Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия). - Сочи, 2003. -

10. М. Н. Галимзянов, В. Ш. Шагапов Волны давления в жидкости, содержащей пузырьковые зоны конечных размеров // Труды Института механики УНЦ РАН. - Уфа, 2003. - С. 117127.

С. 389.

Галимзянов Марат Назипович

ДИНАМИКА ДВУМЕРНЫХ ВОЛН В ПУЗЫРЬКОВОЙ ЖИДКОСТИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 23.04.2004 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл.печ.л. 1,15. Уч.-издл. 1,05. Тираж 100 экз. Заказ 290.

Редакционно-издательский отдел Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа, ул.Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа,ул.Фрунзе, 32.

Введение

Глава 1. Обзор экспериментальных и теоретических исследований по динамике нелинейных волн в пузырьковых жидкостях. Основные уравнения

1.1. Обзор экспериментальных работ.

1.2. Обзор теоретических работ.

1.3. Динамика волн в жидкости при наличии пузырьковой зоны.

1.3.1. Эксперименты.

1.3.2. Теоретические исследования.

1.4. Основные уравнения для смеси жидкости с газовыми пузырьками.

Глава 2. Основные положения методики расчета

2.1. Уравнения движения в переменных Лагранжа

2.2. Принцип построения разностной схемы.

2.3. Тестовые расчеты и сравнение с экспериментом

Глава 3. Эволюция волн давления в жидкости при наличии в ней пузырьковой области конечных размеров

3.1. Влияние параметров пузырьковой области и импульса на эволюцию волнового сигнала.

3.1.1. Влияние протяженности импульсного сигнала на динамику сигнала при прохождении через пузырьковую область.

3.1.2. Влияние начального радиуса пузырьков на характер распространения волны в пузырьковой области

3.1.3. Влияние начального объемного содержания пузырьков на динамику сигнала при прохождении пузырьковую область.

3.2. Проявление нелинейных эффектов.

3.3. Воздействие импульсов на твердую стенку, частично покрытую пузырьковой областью.

3.3.1. Случай, когда «боковая» стенка покрыта завесой конечных размеров.

3.3.2. Случай, когда «задняя» стенка покрыта завесой конечных размеров.

Глава 4. Двумерные волны давления, инициированные воздействием через две смежные границы. Динамика локализованного по поперечной координате импульсного возмущения в пузырьковой жидкости

4.1. Динамика двух волновых импульсов в пузырьковой жидкости. Влияние протяженности импульса на динамику волны в среде.

4.2. Воздействие двух импульсных сигналов на пузырьковую завесу.

4.2.1. Завеса находится в середине расчетной области

4.2.2. Завеса находится на твердой стенке (угловой случай)

4.3. Распространение локализованного импульса в пузырьковой жидкости.

4.4. Динамика волн давления в области с кусочно-неоднородным по объемному содержанию распределением пузырьков в поперечном (по оси У) направлении

Значительный интерес исследователей к проблемам и задачам механики пузырьковых сред обусловлен широким распространением таких систем в природе и их интенсивным использованием в современной технике. При этом интересными и важными являются процессы, носящие нестационарный характер к составляющие предмет изучения волновой динамики многофазных систем. К настоящему времени одномерные волны в пузырьковой жидкости теоретически и экспериментально подробно изучены. На данный момент активно ведутся исследования двумерных волн в пузырьковой жидкости (Кедринский В. К., Накоряков В. Е., Донцов В. Е., Губайдуллин А. А., Вахито-ва Н. К. и др.). Нелинейные эффекты и эффекты двумерности могут возникнуть при распространении волн давления в однородной жидкости при наличии в ней зоны, содержащей пузырьки газа, или в случае сосредоточенного удара по пузырьковой жидкости. Исследование динамики двумерных волн в пузырьковой жидкости является одной из актуальных проблем волновой динамики многофазных сред.

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью развития волновой динамики гетерогенных сред, расширением и углублением теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в пузырьковых системах, интенсивным использованием многофазных смесей в технике.

Цели работы. Теоретическое исследование распространения нелинейных волн в жидкости при прохождении области с пузырьковой зоной с учетом двумерных и нелинейных эффектов. Анализ влияния определяющих параметров пузырьковой завесы (линейных размеров, объемного содержания и дисперсности пузырьков) и первоначального давления на эволюцию волн при прохождении завесы. Также: ^ - исследование динамики двумерных волн в области с ку сочно-неоднородным по объемному содержанию распределением пузырьков;

- изучение особенностей эволюции колоколообразного по поперечной координате волнового импульса в однородной пузырьковой жидкости;

- исследование воздействия волнового импульса на твердую стенку, частично покрытую пузырьковой жидкостью;

- исследование динамики волн давления в прямоугольной области, инициированных из двух смежных границ, при наличии в области пузырьковой зоны.

Научная новизна. В диссертации поставлен и решен ряд новых важных задач. Систематически изучены основные за* кономерности распространения волн давления при наличии в V' жидкости зоны, содержащей газовые пузырьки, в виде завесы с учетом двумерных и нелинейных эффектов. Наиболее важные результаты полученные в диссертации, следующие:

- разработка математической модели решения задачи о распространении двумерных волн давления в жидкости, при наг личии в ней пузырьковой зоны конечных размеров;

- создание вычислительного алгоритма для решения класса задач, связанных с описанием распространения возмущений в жидкости при наличия пузырьковых зон и в пузырьковой жидкости с учетом двумерных и нелинейных эффектов;

- численное моделирование распространения импульсного возмущения в жидкости при наличии пузырьковой зоны с учетом двумерных и нелинейных эффектов.

Практическая ценность. Полученные в работе результа-* ты могут быть использованы для объяснения механизмов гашения и усиления волн давления с использованием пузырьковых завес. Они также расширяют и углубляют теоретические знания о нестационарных волновых процессах в многофазных средах и могут служить приложением для охраны окружающий среды при использовании энергии взрыва.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в рамках диссертационной работы результатов обеспечивается корректным применением уравнений механики пузырьковой жидкости, совпадением полученных результатов в предельных частных случаях с результатами известными из литературы, а также проведением сравнительных тестовых расчетов.

Апробации работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и наг V учных школах:

- на региональной конференции «Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах» (Уфа, 1999);

- на Международной конференции по многофазным системам, посвященной 60-летию академика РАН Р. И. Нигматулина 1СМ8-2000 (Уфа, 2000);

- на VI школе-семинаре стран СНГ «Акустика неоднородных сред» под руководством профессора В. К. Кедринского (Новосибирск, 2000);

- VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

- на XVI сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2002);

- на VIII Четаевской международной конференции «Ана-^ литическая механика, устойчивость и управление движением»

Казань, 2002);

- на IV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003).

Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались и получили положительную оценку на семинарах в Институте механики УНЦ РАН (под руководством профессора И. Ш. Ахатова), кафедры прикладной математики и механики (под руководством профессора В. Ш. Шагапова) и кафедры теоретической физики (под руководством профессора А. И. Фил-липова) Стерлитамакского государственного педагогического института.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. w Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 110 страниц, в том числе 26 рисунков. Список литературы состоит из 108 наименований.

Во введении отмечена практическая ценность и актуальность проблем, рассматриваемых в диссертации. Сформулированы цели и научная новизна работы. Проведено краткое изложение структуры диссертации.

В первой главе выполнен обзор теоретических и экспериментальных исследований, посвященных изучению волновых процессов в пузырьковых жидкостях. Выписана система определяющих уравнений для описания динамики волн давления в пузырьковой жидкости. Рассмотрены основные приближения, используемые при формулировке задачи.

Во второй главе подробно изложена методика численных расчетов динамики волн давления в пузырьковой жидкости для двумерного случая. Представлен переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа (в качестве лагранжевых переменных берутся начальные эйлеровые координаты) и принцип построения разностной схемы.

В третьей главе изучается динамика нелинейных волн в жидкости при наличии зоны, содержащей пузырьковую завесу, а также воздействие нелинейных возмущений на стенку, покрытую пузырьковой завесой. Исследованы и выявлены эффекты нелинейности при прохождении нелинейного сигнала через пузырьковую завесу Проанализировано влияние параметров завесы на динамику импульсных возмущений и на воздействие импульсов давления на твердую стенку, покрытую пузырьковой завесой.

В четвертой главе исследуется динамика распространения локализованного импульсного сигнала в пузырьковой жидкости. Рассмотрен также случай эволюции сигнала в пузырьковой жидкости с кусочно-неоднородным объемным содержанием газа в поперечном направлении. Так же рассмотрено взаимодействие двух нелинейных волновых импульсов в жидкости. Изучено их воздействие на завесу и проведено сравнение с одномерным случаем.

В заключении представлены основные результаты и выводы.

Автор выражает искреннюю благодарность академику РАН Нигматулину Р. И. за постоянное внимание и интерес к работе, своим научным руководителям д. ф.-м. н. профессору Шага-пову В. Ш. и к.ф.-м.н. Гималтдинову И. К. за постановку задачи и помощь в ходе выполнения работы, а также к.ф.-м.н. Урманчееву С. Ф., родственникам, коллегам и друзьям оказавшим поддержку при работе над диссертацией.

Заключение

По результатам исследований установлено:

1. При распространении импульсных сигналов в жидкости, содержащей пузырьковую завесу конечных размеров, когда временная протяженность импульса достаточно большая (£* > 1у/С, 1у- длина завесы в поперечном направлении, С = уТРо/й^оР/о ~ равновесная скорость звука в пузырьковой жидкости), внутри завесы может происходить нарастание амплитуды давления выше, чем амплитуда исходного сигнала.

2. Для достаточно коротких импульсов (£* < 1У/С) частицы двухфазной системы, находящиеся внутри завесы, практически не чувствуют прохождение волнового импульса (они как бы полностью защищены от ее воздействия).

3. При падении волнового импульса на твердую стенку, покрытую пристенной пузырьковой завесой конечных размеров, в зависимости от параметров (размеров пузырьковой зоны, объемного содержания газа в завесе, радиуса пузырьков), установлено, что завеса может существенно уменьшить или увеличить воздействие импульсного сигнала.

4. При эволюции в однородной пузырьковой смеси колоколо-образного по поперечной координате импульсного сигнала, когда его временная протяженность превышает период собственных колебаний пузырьков (£* > ¿м — 27г/о>м\ им — ^З'уро/рю/ао - частота Миннаерта), в пузырьковой смеси формируется лидирующая волна, в случае ~ Ьм образуется расходящийся пакет волн.

5. Распространение импульсного сигнала в кусочно-неодно -родной по объемному содержанию пузырьков области сопровождается образованием в поперечном направлении профилей давления с пиками вблизи границ между слоями. Этот эффект обусловлен различием скорости волны в слоях с отличающимися объемными содержаниями газа.

6. При распространении волны давления вдоль плоской стенки, покрытой неоднородным пузырьковым слоем с уменьшающимся объемным содержанием газовой фазы, происходит фокусировка импульсного сигнала к поверхности стенки. Максимальная амплитуда сигнала, воздействующего на стенку, может превысить амплитуду исходного сигнала в два раза.

1. Азаматов А. Ш., Шагапов В. Ш. Распространение малых возмущений в парогазокапельной среде // Акустический журнал. - 1981, Т. 27, № 2. - С. 161-169.

2. Айдагулов Р. Р., Хабеев Н. С., Шагапов В. Ш. Структура ударной волны в жидкости с пузырьками газа с учетом нестационарного межфазного теплообмена // ПМТФ. 1977, № 3, С. 67-74.

3. Бузуков А. А. Ослабление воздушной ударной волны с помощью воздушно-водяной завесы // Динамика сплошнойсреды. 1999, № 115, С. 30-33. - 166.

4. Бузуков А. А. Снижение параметров воздушной ударной волны с помощью воздушно-водяной завесы // ФГВ.2000, 36, № 3. С. 120-130.

5. Бурдуков А. П., Кузнецов В. В., Кутателадзе С. С., Нако-ряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Ударная волнав газожидкостной среде // ПМТФ. 1973, № 3. - С. 65-69.

6. Галимзянов М. Н., Гималтдинов И. К. Воздействие волн давления в жидкости на твердую стенку, покрытую пузырьковой завесой конечных размеров // Труды 16 сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. Казань, 2002. - С. 92-96.

7. Галимзянов М. Н., Гималтдинов И. К., Шагапов В. Ш. Двумерные волны даления в жидкости, содержащей пузырьки // Изв. АН СССР. МЖГ, 2002, № 2. - С. 139-147.

8. Гарипов Р. М. Замкнутые уравнения движения жидкости с пузырьками // ПМТФ. 1973, № 3. - С. 3-20.

9. Гельфанд Б. Е., Губанов А. В., Губин С. А., Кудинов В. М., Паламарчук Б. И., Подгребенков А. Л., Попов О. Е., Тимофеев Е. И. Затухание ударных волн в двухфазной среде жидкость-пузырьки газа // Изв. АН СССР. МЖГ, 1977,1. С. 172-176.

10. Гельфанд Б. Е., Губанов А. В., Тимофеев Е. И. Расчет параметров нестационарных ударных волн в двухфазной среде // ФГВ. 1981, № 5. - С. 139-143.

11. Гельфанд Б. Е., Губин С. А., Когарко Б. С., Когарко С. М.

12. Исследование волн сжатия в смеси жидкости с пузырьками газа // Докл. АН СССР. 1973, Т. 213, № 5. - С. 1043-1046.

13. Гельфанд Б. Е., Губин С. А., Тимофеев Е. И. Отражение плоской ударных волн от твердой стенки в системе пузырьки газа-жидкость // Изв. АН СССР. МЖГ, 1978, № 2. -С. 174-178.

14. Гельфанд Б. Е., Тимофеев Е. И., Степанов В. В. О структуре слабых ударных волн в системе пузырьки газа-жидкость // ТВТ. 1978, Т. 16, № 3. - С. 569-575.

15. Гималтдинов И. К. Динамика волн в жидкостях и газахпри наличии двухфазных зон // Диссертация на соискании ученой степени кандидата физико-математических наук. -1998.

16. Губайдуллин А. А. Затухание импульсных возмущений в жидкости с пузырьками газа // В сб.: Нестационарное течение многофазных систем с физико-химическими превращениями. М. 1983. - С. 12-19.

17. Губайдуллин А. А., Дудко Д. Н., Урманчеев С. Ф. Моделирование взаимодействия воздушной ударной волны с пористым экраном // ФГВ. 2000, 36, № 4. - С. 87-96.

18. Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. Нестационарные волны в жидкости с пузырьками газа //

19. Докл. АН СССР. 1976, Т. 226, № 6. - С. 1299-1302.

20. Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. Исследование нестационарных ударных волн в газожидкостных смесях пузырьковой структуры // ПМТФ. 1978, № 2. - С. 78-86.

21. Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И., Хат беев Н. С. Волны в жидкости с пузырьками // В сб.: Итоги науки и техн. ВИНИТИ. МЖГ. 1982, Т. 17. - С. 160-249.

22. Губайдуллин А. А., Кутрунов А. В., Рустюмова О. Ш., Яковлева Т. Н. Некоторые вопросы волновой динамики жидкости с пузырьками газа // В сб.: Итоги исследований.1. Тюмень. 1994. - С. 23-31.

23. Губайдуллин А. А., Румянцев О. П. Гашение ударных импульсов пузырьковыми завесами с переменным газосодержанием // В сб.: Акустика неоднородных сред. Новосибирск: ИГИЛ СО АН СССР. 1991, Вып. 100. - С. 100-104.

24. Губайдуллин А. А., Шихмурзаева 3. А. Сферические ударные волны в газожидкостных системах // В сб.: Неравновесные процессы в одно- и двухфазных системах. Новосибирск. 1981. - С. 16-20.

25. Декснис Б. К. Распространение умеренно сильных ударных волн в двухфазной среде // Изв. АН Латв. ССР. Сер. физ. и тех., 1978, № 1. - С. 75-81.

26. Донцов В. Е., Кузнецов В. В., Накоряков В. Е. Ударныеволны умеренной интенсивности в двухфазной среде // Акустический журнал. 1985, № 2. - С. 193-197.

27. Донцов В. Е., Накоряков В. Е. Волны давления в газожидкостной среде с расслоенной структурой жидкость-пузырьковая смесь // ПМТФ. 2003, Т. 44, № 4. - С. 102107.

28. Зарембо Л. К., Красильников В. А. Введение в нелинейнуюакустику М.: Наука. 1966. - 519 с.

29. Иорданский С. В. Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа // ПМТФ. 1960, № 3. - С. 102110.

30. Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука. 1973. - 496 с.

31. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука. 1973. - 175 с.

32. Кедринский В. К. Распространение возмущений в жидкости, содержащей пузырьки газа // ПМТФ. 1968, Я2 4. -С. 29-34.

33. Кедринский В. К. Ударные волны в жидкости с пузырьками газа // ФГВ. 1980, Т. 16, № 5. - С. 14-25.

34. Кедринский В. К. Об усилении волн при схлопывании одномерного кластера // Динамика сплошных сред. 1983, № 62. - С. 49-59.

35. Когарко Б. С. Об одной модели кавитирующей жидкости

36. ДАН СССР. 1961, Т. 137, № 6. - С. 1331-1333.

37. Когарко Б. С. Одномерное неустановившееся движениежидкости с возникновением и развитием кавитации // ДАН СССР. 1964, Т. 155, № 4. - С. 779-782.

38. Когарко Б. С. Движение смеси жидкости с газовыми пузырьками // В сб.: Неустановившиеся течение воды с большими скоростями. М.: Наука. 1973. - С. 241-246.

39. Красильников В. А., Крылов В. В. Введение в физическую акустику. М.: Наука. 1984. - 399 с.

40. Кузнецов В. В., Донцов В. Е. Ударные волны умеренной амплитуды в двухфазной среде. Гидродинамические течения и волновые процессы // Под ред. В. Е. Накорякова. -Новосибирск, ИТФ, 1983. С. 29-34.

41. Кузнецов В. В., Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Жидкость с пузырьками газа как пример среды Кортевега-де-Вриза-Бюргерса // Письма в ЖЭТФ. -1976, Т. 23, № 4. С. 194-198.

42. Кузнецов В. В., Покусаев Б. Г. Эволюция волн давления в жидкости с пузырьками газа. Переход от ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Двухфазные потоки // Под ред. С. С. Кутателадзе. Новосибирск, ИТФ, 1978. -С. 61-67.

43. Кутателадзе С. С., Бурдуков А. П., Кузнецов В. В., Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. О структуре слабой ударной волны в газожидкостной среде // ДАН

44. СССР. 1972, Т. 207, № 2. - С. 313-315.

45. Кутателадзе С. С., Накоряков В. Е. Тепломассообмен и волны в газожидкостных смесях. Новосибирск: Наука. -1984. 301 с.

46. Кутушев А. Г., Родионов С. П. Численное исследование влияния параметров слоя насыпной среды и падающей ударной волны на давление на экранируемой плоской стенке // ФГВ. 1999, Т. 35, № 2. - С. 105-113.

47. Кутушев А. Г., Рудаков Д. А. Численное исследование воздействия ударной волны на преграду, экранируемую слоемпористой порошкообразной среды // ПМТФ. 1993, Т. 34, № 5. - С. 25-31.

48. Ляхов Г. М. Ударные волны в многокомпонентных средах // Изв. АН СССР. Сер. механика и маш. 1959. - № 1.

49. Ляхов Г. М., Охитин В.Н. Сферические взрывные волны в средах с объемной вязкостью // ПМТФ. 1977, № 6. -С. 126-137.

50. Ляхов Г. М., Охитин В.Н. Волны в жидкостях с пузырьками газа при учете объемной вязкости // Изв. АН СССР. -МЖГ, 1980, № 1. С. 52-54.

51. Малых Н. В., Огородников И. А. О применении уравнения Клейна- Гордона для описания структуры импульсов сжатия в жидкости с пузырьками газа // В сб.: Динамика сплош. среды, в 29. Новосибирск, 1977. - С. 143-148.

52. Малых Н. В., Огородников И. А. Скорость и затухание импульсов большой амплитуды в слое жидкости с пузырьками газа // В сб.: Переход ламинарн. пограничн. слоя в турбулент. Двухфазные потоки. Новосибирск. 1978. -С. 38-51.

53. Накоряков В. Е., Донцов В. Е. Взаимодействие ударной волны со сферическим пузырьковым кластером в жидкости // Докл. РАН. 2003, Т. 391, № 2. - С. 199-202.

54. Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Распространение волн в газо- и парожидкостных средах. Новосибирск: ИФТ. 1983, 237 с.

55. Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Волноваядинамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатом-издат. 1990.

56. Неищименко Ю. П., Суворов Л. Я. Слабые ударные волны в кипящей воде и газожидкостных суспензиях // Атомнаяэнергия. 1972, Т. 33, № 1. - С. 593.

57. Нигматулин Р. И. Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидромеханике многофазных сред / / ПММ. 1971, № 3. - С. 541-563.

58. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.:1. Наука. 1978. - 336 с.

59. Нигматулин Р. И. Эффекты и их математическое описание при распространении волн в пузырьковых средах // В сб.: Избр. соврем, мех. 4.1. М. 1981. - С. 65-89.

60. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука.- Т1, 2, 1987. 360 с.

61. Нигматулин Р. И., Ивандаев А. И., Нигматулин Б. И., Ми-натенко В. И. Нестационарные волновые процессы в газо- и парожидкостных смесях. Новосибирск. 1977. - С. 80-89.

62. Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С. Теплообмен газового пузырька с жидкостью // Изв. АН СССР. МЖГ, 1974, № 5.- С. 94-100.

63. Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С., Шагаров В. Ш. Об ударных волнах в жидкости с пузырьками газа // Докл. АН СССР. 1974, Т. 214, № 4. - С. 779-782.

64. Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш. Структура ударных волн в жидкости с пузырьками газа // Изв. АН СССР.1. МЖГ, 1974, № 6. С. 30-41.

65. Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш., Вахитова Н.К. Проявление сжимаемости несушей фазы при распространение волны в пузырьковой среде // ДАН. 1989, Т. 304, №5.-С. 1077-1088.

66. Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш.} Гималтдинов И. К., Галимзянов М. Н. Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьковые зоны // Докл. РАН. 2001,1. Т. 378, № 6. С. 763-767.

67. Петвиашвили В. И., Цвелогуб О. Ю. Подковообразные солитоны на стекающей вязкой пленке жидкости // Докл. АН СССР. 1978, Т. 238, № 6. - С. 1321-1323.

68. Пинаев А. В., Сычев А. И. Обнаружение и исследование самоподдерживающихся режимов детонации в системах жидкое горючее-пузырьки окислителя // Докл. АН СССР. 1986, Т. 290, № 3. - С. 611-615.

69. Пинаев А. В., Сычев А. И. Влияние физико-химических свойств газа и жидкости на параметры и условия существования волн детонации в системах жидкость-пузырьки газа // ПМТФ. 1987, № 6. - С. 76-84.

70. Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука. 1975. - 287 с.

71. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука. 1975. - 352 с.

72. Седов А. И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред // Успехи математических наук. -1960, Т. 20, В. 5. С. 121-180.

73. Шагапов В. Ш. Структура ударных волн в полидисперсной смеси жидкость-пузырьки газа. Изв. АН СССР. МЖГ,1976, № 6. С. 145-147.

74. Шагапов В. Ш. Распространение малых возмущений вжидкости с пузырьками // ПМТФ. 1977, № 1. - С. 90-101.

75. Шагапов В. Ш. Влияние нестационарных тепло- и массообменных процессов на структуру ударных волн в жидкости с пузырьками // В сб.: Нестационарное течение многофазных систем с физико- химическими превращениями. М. 1983. С. 31-43.

76. Шагапов В. Ш. Динамика гетерогенных сред при наличиифизико-химических превращений // Диссертация на соискании уеной степени доктор физико-мматематических наук. Уфа.

77. Шагапов В. Ш., Гималтдинов И. К., Галимзянов М. Н. Эффекты нелинейности при распространении двумерных волн давления в пузырьковой жидкости / / Труды Стерлитамакского филиала АН РБ. Уфа, 2001. - С. 153-158.

78. Шагапо,в В. LLL, Гималтдинов И. К., Галимзянов М. Н. Двумерные эффекты при распространении волн конечной длительности в пузырьковой жидкости // Труды международной семинара «Акустика неоднородных сред». Новосибирск, Выпуск 117, 2001. - С. 51-55.

79. Ackeret J. Experementells und theoretische Untersuchumgen über Hot braumbildung (kavitation) im Wasser // Forsch, auf d. Gebiete des Ingenieur Wessens. - Ausgabe A, 1930, 1, 63.

80. Angew Z. Dispersive und nichtlineare Wellenausbreitung in Blasen flussig-keiten // Math, und Mech. 1995. 75, Suppl. nl. - pp. 317-318.

81. Batchelor G. K. Compression waves in a suspension of a gas bubbles in liquid // In: Fluid Dinamics transactions.1. Warszawa. 1969, V. 4.

82. Biesheuvel A., van Wijngaarden L. Two fhase flow equationsfor a dilute dispersion of gas bubbles in liquid //J. Fluid Mech.- 1983, № 148. pp. 301-318.

83. Campbell J., Pitcher A. S. Shock waves in a liquid containinggas bubbles // Proc. Rog. Soc. London. 1959, A 234, №1235.- pp. 534-545.

84. Crespo A. Sound and shock waves in liquid containing bubbles

85. Phys. Fluid. 1969, V. 12, № 11. - pp. 2274-2282.

86. Derzho O. G., Malykh N. Y. Formation of strong pressure pulses reflected from water-bubble layers // Arch. Mech.1942, V. 4-5. pp. 463-473.

87. Drumheller P. S., Bedford A. A theory of bubbly fluids // J. Acoust. Soc. Amer. 1979, V. 66, № 1. - pp. 197-208.

88. Drumheller P. S., Bedford A. A theory of liquids with vapour bubbles // J. Acoust. Soc. Amer. 1980, V. 67, № 4. - pp. 186200.

89. Drumheller P. S., Kipp M. E., Bedford A. Transient wave propagation in bubbly liquids //J. Fluid Mech. 1982, V. 119.- pp. 347-363.

90. Enever K. J. Further investigation of the theory of shock waves in bubbly liquids // Bull. etud. et rech. 1977, A, № 2. - p. 2946.

91. Hamilton L. J., Nyer R., Schrock V. E. Propagation of shock waves through two-component media // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1967, V. 110, № 2. - p. 660.

92. Hamilton L. J., Schrock V. E. Propagation of rarefaction waves through two-phase, two-component media // Trans. Amer.

93. Nucl. Soc. 1968, V. 11, № 1. - p. 795.

94. Kalra S. P., Svirin V. Shock waves-induced bubbles motion // Int. J. Multiphase Flow. 1981, V. 7. - pp. 115-127

95. Kutateladze S. S., Nakoryakov V. E., Pokusaev B. G. Experimental investigation of waves processes in gas- and vapor-liquid media // 2-Phase Momentum. Heat and Mass Transfer. Chem, Process and Energy Eng. System. V. 1, New1. York, 1976. pp. 47-59.

96. Kuznetsov V. V., Nakoryakov V. E., Pokusaev B. G., Shreiber I. R. Propagation of perturbation in a gas-liquidmixtures // J. Fluid. Mech. 1978, V. 85, № 1. - pp. 85.

97. Martin C. S., Padmanablan M., Wiggert B. G. Pressure waves propagation in two-phase bubbly air-water mixtures // Proc. 2nd Int. Conf. press Surges. London, 1976, Cranfield, 1977. -cl/l-cl/16.

98. Martin C. S., Padmanablan M., Wiggert B. G. Pressure waves propagation in two-phase bubbly air-water mixtures // Bull. Dir. etud. et. resh. 1977, A, № 2. - pp. 47-66.

99. Masaharu K., Naota S., Yoichito M., Fumio H. Propagation ofshock waves in dilute bubbly liquids. 4th report. Comparison between theory and experiment for a uniform bubbly mixture // Nihon kikai gakkai ronbunshu . B=Trans. Jap. Soc. Mech.

100. Eng. B. 1997,63, № 611. - pp. 2289- 2295.

101. Masaharu K., Yoichiro M. Shock waves in a liquid containingsmall gas bubbles // Phys. Fluids. 1996, 8, № 2. - pp. 322335.

102. Miksis M. J., Ting L. Effects of bubbly layers 011 wave propogation //J. Acoust. Soc. Amer. 1989, V. 86, № 6.- pp. 2349-2385.

103. Могу J., Hijikata K., Kominc A. Propogation of pressure waves in two-phase flow // Int. J. Multiphase Flow. 1975,1. V. 2, № 2. pp. 139-152.

104. Noordzij L. Shock waves in bubble-liquid mixture // Phys.

105. Comm. Twente Univ. Techn. 1971, V. 3, № 1. - pp. 51.

106. Noordzij L. Shock waves in mixtures of liquids and bubbles // Ph. D. Thesis. Twente Tecnol. Univ, Enschede, 1973. -pp. 205.

107. Noordzij L. Shock waves in bubble- liquid mixtures // В сб. Неустановившиеся теч. воды с болып. скоростями. М.: Наг ука. 1973. - С. 369-383.

108. Noordzij L., Wijngaarden L. van. Relaxation effects, causedby relative motion, on shock waves in gas-bubble/liquid mixtures // J. Fluid Mech. 1974, V. 66, № 1. - PP. 115143.

109. Parkin B. R., Gilmore F. R., Brode H. L. Shock waves in bubbly water. Memorandum RM-2795-PR. Abridged. -1961.

110. Rath H. J. Unsteady pressure waves and shock waves in elastic tubes containing bubbly air-water mixtures // Acta Mech.1981, V. 38, № 1-2. p. 1-17.

111. Tan M. J., Bankoff S. G. Propagation of pressure wavesin bubbly mixtures // Phys. Fluid. 1984, V. 27, № 26. -PP. 1362-1369.

112. Van Wijngaarden L. On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles. J. Fluid Mech. 1968, V. 33, № 3.- PP. 465-473.

113. Van Wijngaarden L. On the structure of shock waves in liquid-bubbles mixtures // Appl. Sci. Res. 1970, V. 22, № 5.- PP. 366-381.

114. Van Wijngaarden L. On-dimensional flow of liquids containing small gas bubbles // Ins. Annu. Rev. Fluid Mech.- Palo Alto, Calif., 1972, V. 4. PP. 369-396.

115. Van Wijngaarden L., Vossers G. Mechanics and physics of gas bubbles in liquids: a report on Euromech 98 // J. Fluid Mech.- 1978, V. 87, № 4. PP. 695-704.