Динамика элементарного акта реакции при медленной подстройке растворителя тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

На правах рукописи

РГ6 од

- 4 ДЕК 2000

Дьяков Юрий Алексеевич

Динамика элементарного акта реакции при медленной подстройке растворителя.

01.04.17 - химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Федеральном Государственном Унитарном Предприятии Научно-исследовательском физико-химическом институте им. Л. Я. Карпова

Научные руководители - кандидат физико-математических

наук Бережковский А. М. кандидат физико-математических наук Зицерман В. Ю.

Официальные оппоненты - Доктор физико-математических наук

Шушин А. И.

Доктор физико-математических наук Трахтенберг Л. И.

Ведущая организация - Химический факультет

Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Защита диссертации состоится "21 " ^Л-ьСсь^ЭЛ- 2000 г. в 4 4 час, на заседании диссертационного совета Д-138.02.04 при Научно-исследовательском физико-химическом институте им. имени Л. Я. Карпова по адресу: 103064, Москва, ул. Воронцово поле, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан -Яо- ноября 2000 г. ^Ученый секретарь диссертационного совета /р

кандидат химических наук (//•—Валькова Г. А.

г^чр.о^о

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. К настоящему времени сложилось два подхода к опи-:анию реакционной динамики в среде. Первый основан на молекулярной динамике и эких ее разновидностях, как ланжевеновская и броуновская динамика. Этот путь со-[ряжен с необходимостью располагать детальной информацией о потенциале, а для анжевеновской или броуновской динамики - и о диссипативных характеристиках, 'ромоздкий численный счет многомерной динамики затрудняет анализ на больших рсменах, необходимых для оценки константы скорости. Второй путь - использовать прощенные (стохастические) трактовки, как правило, восходящие к знаменитой ра-оте Крамерса [1], цель которых - выявить качественную картину процесса при весь-¡а ограниченном объеме данных о растворителе. Данная диссертация выполнена п амках одного из таких стохастических подходов, предложенного Бережковским и ацерманом в серии публикаций [3-5]. Этот подход позволяет отыскать новые реше-ия в многомерной задаче Крамерса, способные воспроизвести на качественном ровне влияние медленной подстройки среды на динамику элементарного акта реак-ии. Во многих случаях это влияние оказывается весьма значительным и сказывается а пути реакции, поведении константы скорости, динамике изменения заселенностей т. п. Полученные в рамках этого подхода [3-5] результаты позволяют предсказать ножество аномалий в картине элементарного акта реакции посредством достаточно эостой модели, не намного превосходящей по сложности традиционную модель рамерса и ее обобщения. Однако ряд проблем требовал дальнейшей проработки. Во-;рвых, все результаты были получены в аналитическом виде, что накладывало много раиичений на области применимости. Необходимо было проверить численным (етом точность прежних результатов и уточнить ограничения на параметры задачи, э-вторых, оставался достаточно неясным общий характер поведения константы ско->сти как функции всех параметров задачи: параметров потенциала и коэффициентов ения. При этом теория [3-5], являясь существенно многомерной, содержала в себе >статочно много параметров, что затрудняло анализ и восприятие результатов.

Кроме того, за пределами рассмотрения остались некоторые задачи, интерес-1е с познавательной точки зрения, например, задача об экспоненциальном стоке и дача о миграции лиганда в протеинах. Все эти моменты и определили содержание [ссертации.

Цель работы состояла в том, чтобы развить идеи, предложенные в более ранних работах [3-5], дополнить предложенные в этих работах аналитические решения многомерной модели численным счетом, проверить применимость данной теории и снять ряд ограничений, использованных в этих работах. Были поставлены следующие задачи:

1. Изучить в общем виде зависимость константы скорости от параметров модели, и прежде всего, от температуры и вязкости среды;

2. Провести численный расчет скорости процесса при различных предположениях о потенциальной поверхности и влиянии среды;

3. Выполнить проверку адекватности и точности аналитических выражений для константы скорости.

4. Применить предложенные методы для аналитического и численного решения модельных задач о диффузии частицы в потенциале под действием стока (задача об экспоненциальном стоке и о просачивании лиганда в матрице протеина).

Научная новизна и практическое значение.

1. Построено новое, достаточно универсальное описание динамики элементарно го акта химической реакции в релаксирующем растворителе. Теория продолжае-линию, начатую работами Крамерса, Мельникова и Мешкова, Гроутом и Хайнсои по стохастической теории реакций и воспроизводит их результаты при соответст вующих ограничениях на параметры.

2. Численные расчеты и масштабный анализ соотношений позволил впервые вы делить малую группу существенных параметров, определяющих функциональнун зависимость константы скорости. При этом удалось преодолеть трудность, прису щую любой многомерной теории, когда в качестве переменных фигурируют вс параметры потенциала, массы и коэффициенты трения.

3. Впервые детально изучено поведение константы скорости при медленной пох строже среды и произвольном уровне трения по химической моде. Теория обоС щает результаты Крамерса и более поздние работы Мельникова и Мешкова на а туации. когда следует учитывать медленную подстройку растворителя. Для все области параметров предложены и численно исследованы формулы, которые ш зволили выявить специфику слабого трения и крамерсовского Шгпо\гег'а при ме; ленной релаксации по моде среды.

1. Для популярной модели миграции малых лигандов внутри белковой молекулы получено новое решение, позволяющее учесть собственный размер просачивае-мых частиц, и пригодное во всем диапазоне изменения вязкости. >. Практическое значение полученных результатов состоит в том, что предложены достаточно простые и теоретически обоснованные выражения, включающие небольшое число физически значимых параметров, что может быть использовано для обработки экспериментов в различных разделах химической кинетики. 1а защиту выносятся:

Результаты расчетно-теоретического исследования двумерной модели актива-ционпого процесса для случая промежуточного и сильного трения по химической моде и медленной релаксации среды. Проверка точности полученных ранее расчетных соотношений.

Выявление общего характера зависимости константы скорости от параметров процесса (потенциала и трения). Выделение путем масштабного анализа малого числа значимых параметров.

Исследование модельной задачи о диффузии частицы в потенциальном поле под действием экспоненциального стока. Проверка точности и области применения аналитических выражений.

Расчетное исследование динамики элементарного акта реакции в условиях слабого трения по химической моде. Получение зависимостей, обобщающих прежние результаты Крамерса и Мельникова и Мешкова на случаи медленной подстройки среды.

Обобщение модели Цванцига, описывающей миграцию лиганда в протеиновой матрице, на случай лигандов больших размеров. Получение аналитических и численных результатов для константы скорости. пробация работы и публикации. Материалы диссертации докладывались и обсужда-ись на Всероссийской конференции по теоретической химии, Казань, 6-9 октября 997 г. и XVI Всероссийской школе-симпозиуме молодых ученых по химической ки-гтике. Клязьма, 2-3 февраля 1998 г.

о материалам диссертации опубликовано 6 печатных работ.

труктура диссертации. Диссертация состоит из предисловия, пяти глав, выводов, тиска цитируемой литературы (137 наименований) и двух приложений. Она изложена 135 страницах машинописного текста, содержит 7 таблиц и 41 рисунок.

Содержание диссертации

В предисловии обоснована актуальность и сформулирована цель проведенных исследований.

Глава 1. Обзор и постановка задачи. Глава 1 содержит обзор и анализ большинства стохастических теорий химического превращения в среде, а также некоторых экспериментальных фактов, требующих развития новых методов. В разделе 1.1 рассмотрены традиционные теории химического превращения в среде: теория переходного состояния, теории Крамерса и Гроте-Хайнса.

Первой и широко применяемой по сей день теорией, в которой учитывается воздействие среды на химическое превращение, является сформулированная Эйрин-гом теория переходного состояния (ТвТ). В ее основе лежит предположение о полном термодинамическом равновесии для всех степеней свободы как растворителя, так и реагентов. В системе устанавливается равновесие между реагентами и активированным комплексом, что дает для скорости реакции известное соотношение, зависящее только от параметров потенциальной поверхности. Статическое влияние среды в рамках ТБТ учитывается за счет ее влияния на энергию активации и силовые постоянные для реагентов и переходного состояния, в то время как динамическое влияние полностью игнорируется.

Следующий шаг в теории реакций в среде сделан Крамерсом, который допускал отклонение от равновесия для координаты реакции (или химической моды), в то время как растворитель принимался в состоянии теплового равновесия, подстроенного к ее текущему значению. Согласно Крамерсу, для одномерной модели в случае промежуточного и сильного трения имеет место соотношение

где Г-константа скорости, Гы /Х, -константа скорости, оцененная по Т8Т. Динамическое влияние среды определяет единственный параметр уг/а>ь, где у, = т]х/тх, цх-коэффициенг трения вдоль химической моды, т,- масса частицы и соь- барьерная частота. Отношение ас = Г/Г,№Т , показывающее степень отклонения константы скорости от оценки по ТБТ, называется трансмиссионным фактором. При малых значениях параметра ^.Д», динамическое влияние среды пропадает, и должна наблю-

(1.1)

даться зависимость а при ух/а>ь»\ наблюдается зависимость

В пределе у, - > 0 (слабое трение) реализуется другой сценарий элементарного акта, именуемый энергетической диффузией. Для нее характерны слабозатухающие осцилляции частицы в яме реагентов и медленное изменение энергии. При энергетической диффузии константа скорости Г ос /г и стремится к нулю при ослаблении трения. Режим энергетической диффузии реализуется лишь в условиях, когда химическая мода «заэкранирована» от влияния растворителя. Для подавляющего большинства объектов реализуется режим промежуточного и сильного трения, когда работает формула (1.1).

Среди многочисленных обобщений теории Крамерса наиболее широко для учета влияния среды применялась теория Гроте-Хаинса (ОН). В этой теории снято ключевое положение Крамерса о быстрой подстройке среды, то есть о броуновском движении вдоль химической моды. Медленная подстройка среды учитывается заме-

I

ной обычной силы трения угх на запаздывающее трение где у(г) -

функция памяти, учитывающая последействие на временном масштабе г, характерном для релаксации среды. Модель Крамерса следует из этой теории в пределе малых г, когда выполняется соотношение сокт«\. Согласно ОН, трансмиссионный коэффициент определяется из соотношения

в котором фигурирует лаплас-образ функции памяти у(Х); при быстрой подстройке 'а>ьТ«\) из (1.2) следует оценка Крамерса (1.1) с у, ~~ ~ 0). Теория Гроте-Хайнса 1аег замедленный вязкостный ход константы скорости по сравнению с крамерсовской ¡ависимостью 1Д;. Однако в вН, так же как в теории Крамерса, принято, что энергия нотации равна величине, которую определяет равновесная сольватация, то есть статическое воздействие среды. Динамическое влияние среды учитывается только изменением предэкспонента. В этих теориях нет каких-либо указаний на возможность не-жепоненциалыюй кинетики. В диссертации показано, что все эти положения могут нарушаться при достаточном замедлении процессов в среде.

о

(1.2)

В разделе 1.2 дан обзор многомерных теорий элементарного акта реакции. Рассмотрены как традиционный подход, связанный с многомерным обобщением теории Крамерса (Лангер , 1969 г.), так и подходы, позволяющие учесть медленную релаксацию среды.

Решение задачи о преодолении многомерного барьера, полученное Лангером, основывалось на тех же физических условиях, что и результат Крамерса: большая глубина потенциальной ямы &V/kHT»l, параболичность барьера, термодинамическое равновесие в большей части зоны реагентов. Согласно теории Лангера [2], скорость процесса подчиняется закону Аррениуса Г; ссехр(-ДУ/киТ), а динамические факторы сказываются только на предэкспоненте. При уменьшении трения fj -г О формула Лангера дает результат, совпадающий с оценкой по многомерной теории переходного состояния. Теория Лангера имеет ряд ограничений: не учитывает возникновение энергетической диффузии, характерной для слабого трения, рассматривает только одноэкспоненциальный распад (так же как и в теории Крамерса), не учитывает возможность сложной кинетики, характерной для медленно релаксирующих сред, таких как, например, стекла и биополимеры.

Далее (в разделе 1.2.2) рассмотрены многомерные теории, учитывающие анизотропию трения вдоль разных мод, что физически связано с медленной релаксацией вдоль некоторой моды растворителя. Наиболее подробно автор рассматривает подход, сформулированный Бережковским и Зицерманом [3-5]. Рассмотрен также подход Суми-Маркуса [7-9].

В работах [3-5] было показано, что необходимым условием применимости теории Лангера является соизмеримость коэффициентов трения по различным направлениям. Оказалось, что анизотропия трения может повлечь за собой заметные отклонения от предсказаний теории Лангера, из которых наиболее сильным является нарушение закона Аррениуса, проявляющееся в снижении энергии активации. Элементарное объяснение особенностей реакции при медленной подстройке среды можно дать, основываясь на форме профиля потенциала V(x,y = const)(рис. 1) при фиксированном положении медленной координаты у (х - координата реакции). При одноямной конфигурации химический процесс невозможен, пока у - const; выход из ямы происходит только при конечных значениях tjr, причем медленность движения вдоль у определяет зависимость Г ос 1Jn> . Такую же зависимость предсказывает и теория Крамерсг

'1 V fx,у = const)

(a)

V fx, у = const)

(b)

x

Рис. I. Профиль потенциала V(x, у— const): а) одноямная структура профиля; b) двухъям-ная структура профиля.

(1.1) в диффузионном пределе. В случае, когда профиль имеет барьер (рис. 1(b)), выход из потенциальной ямы происходит и при у = const. Скорость выхода может быть оценена по той же теории Крамерса, но в применении к реакционной моде Г = к(у)~ vcxp(-AlV(y)/kHT), где AW(y) = Vb(y)-V0(y), a V0(y) и V„(y)- значения энергий на дне ямы и на вершине барьера для сечения потенциала (рис. 1(b)). В случае »7 оо скорость выхода зависит от начального значения координаты у - j (0), а энергия активации не имеет ничего общего с исходно заданной высотой барьера ЛК. Если в начальный момент сформировано некоторое распределение по медленной переменной /(>•,0), то каждый из членов этого ансамбля будет распадаться со свой скоростью к{у) по закону ехр(-£(>>)/)• В целом же распад ансамбля будет происходить по многоэкспоненциальному закону N(t) = N(0) jf(y,0)exp(- k(y)t)dy (.N(t) - заселенность

ямы реагентов к моменту времени /).

При конечных значениях t]t совместно протекают два процесса: диффузия

вдоль у и надбарьерные переходы с вероятностью к(у), которые могут быть описаны уравнением Смолуховского с добавлением стокового слагаемого к(у)

где / = /(>',')- функция распределения по координате у, О, = к,.Т/т}у - коэффициент диффузии. Существенно, что как эффективный потенциал (у), так и стоковое слагаемое полностью выражаются через исходные параметры многомерной задачи.

(1.3)

Ключевую роль в исследовании уравнения со стоком играет граница у - точка, в которой скорость выхода совпадает со скоростью диффузионной релаксации. При у > у скорость выхода превалирует над скоростью диффузионной релаксации, причем за счет экспоненциального нарастания стока опустошение ямы реагентов происходит уже вблизи границы у . Это позволило ввести несколько приближенных формул, использующих так называемое время первого достижения границы у при диффузии в поле К//(У) ■

Принципиальное отличие изложенной теории от стандартной теории Крамерса-Лангера состоит в том, что при сильном трении по у частица может не достичь барьерной зоны, и выход из ямы может произойти в стороне от седловой точки. Соответственно, в значительной части ямы реагентов нарушено термодинамическое равновесие. Наконец, в изложенной теории естественным образом происходит переход к многоэкспоненциалыюй кинетике.

Схожий анализ, основанный на решении диффузионного уравнения со стоком, представлен в работах Суми и Маркуса (SM) [7-9J. Первоначально их метод был развит для задач о переносе электрона в полярной среде, но в дальнейшем обобщен Суми на произвольные реакции тяжелых частиц в медленно флуктуирующей среде. Принципиальное отличие теории SM от решений предыдущих авторов (а также от результатов данной диссертации) состоит в том, что Суми и Маркус считают уравнение вида (1.3) исходным, в то время как в рамках подхода [3-5] оно строго выводится из многомерной теории. Сама процедура вывода показывает ясные ограничения на сферу возможного применения теории. В частности, показано, что аномальные эффекты типа обхода седловой точки и снижения энергии активации возникают только при определенной конфигурации потенциала (рис. 1(b)), что накладывает ограничения на силу связи реакционной моды с модой растворителя. Для других конфигураций потенциала (достаточно сильная связь) решение одномерной задачи (диффузия, но уже без стока) дает результат, идентичный результату Лангера.

Одна из первых работ по численному исследованию уравнения со стоком с целью определения константы скорости была выполнена Базилевским, Рябым и Вайн-бергом (1990); в последующей работе [10] эти результаты привлекались для интерпретации барической зависимости константы скорости. В ряде публикаций (A.M. Бережковский, А.Н. Дроздов, В.Ю. Зицерман (1996); A.M. Berezchkovskii, V. Yu. Zitser

man, A. Polimeno (1996), A.N. Drozdov, P. Talkner (1996)) были выполнены также численные исследования уравнения (1.3). Однако, наличие протяженного плато в картине вязкостной зависимости константы скорости в этих работах выявлено не было. В целом задача исследования поведения константы скорости в широком диапазоне изменения параметров потенциала и трения оставалась открытой.

В разделе 1.3 первой главы рассмотрены примеры реакций, протекание которых подвержено сильному влиянию среды: фотоизомеризация стильбенов и их производных в различных растворителях, фотоизомеризация ароматических соединений (азобензолов и бензилиденанилинов), реакции в протеинах, в частности, процесс связывания малых лигандов (СО, 02, NО) с гемом протеина. Рассмотрены также некоторые из процессов переноса электрона: реакции с разрывом связи (bond breaking electron transfer - ВВЕТ) и конформационный переход, получивший название twist intramolecular charge transfer (TICT).

Общим для всех перечисленных процессов является: (1) многомерный характер их динамики с обязательным вовлечением мод среды (поляризационной моды растворителя или конформационной координаты протеина); (2) медленность процессов релаксации среды, что оправдывает картину пространственной диффузии для внешней координаты; (3) широкий спектр условий, при которых может происходить внутримолекулярное химическое превращение - от «баллистического» (инерционного) снижения реагентов при слабом трении по реакционной моде до пространственной шиффузии (сильное трение).

При разборе и анализе различных опытных данных задачей автора было вы-innTF. характерные особенности наблюдаемых процессов, которые на качественном /ровне могут быть объяснены или интерпретированы посредством развиваемой мотели. В частности, сопоставление процессов фотоизомеризации в стильбенах а азобензолах подтвердило предсказываемую зависимость наблюдаемых аномалий от шерпш активации. Вязкостная зависимость константы скорости для стильбенов не ьмеет платообразного участка, в то время как он возникает у азобензолов - факт, хо->ошо коррелирующий с полученными результатами rio общему виду константы ско-)ости процесса.

Отдельные результаты, полученные при анализе процессов ВВЕТ и TICT, пока-ал и актуальность наших результатов по динамике двумерной системы, в которой 1едленная энергетическая диффузия происходит на фоне релаксации растворителя.

Подчеркнем, однако, что задача данного раздела (как и диссертации в целом) состояла не в построении теории реальных процессов, а в выявлении на качественном уровне характерных особенностей таких процессов.

Глава 2. Функциональная зависимость константы скорости в многомерной теории элементарного акта реакции.

Элементарная модель химического процесса, предложенная в работе, включает систему из двух уравнений Ланжевена для движения вдоль координаты реакции х и эффективной координаты среды у:

m,x + Tj,x + ——— = /,(0 ,

• сwty) У(Х,У) = и(х) + -к[у-у^х)} (2.1)

ду

В уравнениях (2.1) предполагаются заданными массы и коэффициенты трения вдоль каждой из мод, а также параметры потенциала V(x,y). Для последнего, как минимум, надо указать энергию активации AV, силовые постоянные одномерного потенциала U(x) вблизи дна ямы и барьера, силовую постоянную К, определяющую силу связи реакционной и нереакционной мод. Таким образом, даже для столь упрощенной модели требуется большой набор параметров, определяющих динамику процесса.

Редукция динамики растворителя к описанию движения вдоль одной моды является обычной в теории переноса электрона. В задачах о переносе тяжелых заряженных частиц подобная процедура была обоснована в работе A.M. Бережковского [6].

Целью автора было исследовать два характерных режима: стандартный, для которого справедливо решение Лангера, и аномальный, описываемый теорией [3-5], с тем чтобы; (1) изучить общий характер поведения константы скорости; (2) выявить значимые параметры модели; (3) обосновать возможность обобщенного описания, зависящего от меньшего числа параметров; (4) проверить точность ранее найденных в работах [3-5] аналитических формул для константы скорости.

Применительно к режиму Лангера показано, что секулярное уравнение, определяющее прсдэкспонент, при большой анизотропии трения допускает аналитическое решение, что дает общую формулу для константы скорости

г,. =гы.где Нп

■ —+ J — I +1 -К, К< 1

2 vUJ (Z2)

Так же как и в теории Крамереа, константа скорости в (2.2) масштабирована на величину константы скорости, посчитанной по одномерной TST. Сам масштабный множитель //„. зависит только от двух безразмерных факторов: К = АГ/агь , где К - константа связи обеих мод, геь - силовая постоянная одномерного потенциала вблизи от

барьера, и от одного (!) параметра трения (у, - — при умеренной и

лК^ь

'/], - Jll— при сильной связи). Таким образом, фактически поведение константы

скорости определяют всего два параметра. Напомним, что по теории Крамереа отклонение от режима TST определял один параметр - см. формулу (1.1). Вторая важная особенность решения (2.2) - принципиальное различие поведения константы скорости в зависимости от силы связи. При сильной связи сечение потенциала V(x,y - const) имеет одноямный профиль, и решение дает плавный спад скорости обратно пропорционально трению вдоль медленной моды. В главе 1 упоминалось, что в этом режиме отклонений от теории Лангера не наблюдается, сколь бы ни был велик коэффициент трения Jjr. Напротив, при умеренной связи константа скорости вообще теряет зависимость от трения вдоль медленной моды. В работе приведены численные результаты поведения константы скорости по теории Лангера, выходящие на асимптотику, приведенную выше. Указаны значения параметров, при которых наблюдается асимптотический режим. Заметим также, что множитель Г1/Гит , определяющий

отношение константы скорости по Лангеру к константе скорости по TST, никак не зависит от высоты барьера, так чго динамическое влияние среды не сказывается на энергии активации.

В работе численным методом решалось диффузионное уравнение со стоком (1.3), проверялась точность аналитических формул, найденных ранее в указанных работах, и проводился анализ основных параметров, определяющие ход константы скорости. Показано, что в хорошем приближении можно ограничиться двумя значимыми параметрами потенциала и одним эффективным параметром трения. Из параметров потенциала достаточно задать энергию активации (в отношении к температуре) и специфический параметр А, который показывает, во сколько раз высота барьера в исходном потенциале больше, чем высота барьера в седловом сечении v(x,у = у,р). В работе получена общая форма константы скорости для аномального режима (см.

Рис. 2.. Зависимость константы скорости Рис. 3. Зависимость энергии активации от эф-от эффективного параметра трения Z. фективного параметра трения г. Принятые

Принятые значения других параметров: значения других параметров: е=3О, А=2, s-30, А=1,2, аз0=1, гк=1, и =1. ®о=1' il, =1. Ц -1. Параметр ceff определен

как отношение энергии активации к исходно заданной высоте барьера в потенциале AV.

рис.2), график которой имеет: короткий начальный участок, описываемый теорией Лангера при соизмеримом трении, участок протяженного плато, соответствующий формуле (2.2) при умеренной силе связи, и, наконец, участок спада константы скорости, отвечающий собственно аномальному режиму. Наиболее важная особенность этой кривой состоит в том, что ширина плато определяется параметром exp{s/A), где £ - высота барьера, отнесенная к температуре. Если величина схр(а'/Л) не слишком велика, плато сходит на нет. Это объясняет, почему не удалось найти эффект плато в численных исследованиях двумерной задачи Крамерса (A.M. Бережковский, А.Н. Дроздов, В.Ю. Зицермаи, 1996 г.), а также почему плато не наблюдалось в экспериментах по изомеризации стильбенов. Из других результатов данной главы отметим: (1) дробно-степенной характер зависимости константы скорости от эффективного параметра трения г (Г r-c z~") и (2) плавное снижение энергии активации процесса по мере возрастания трения вдоль медленной моды (рис. 3).

Отдельный раздел главы 2 (2.4.2) посвящен проверке точности найденных ранее [3-5] аналитических формул. Решалось одномерное уравнение Шредингера, эквивалентное диффузионному уравнению со стоком, и первое собственное значение, отождествлялось с величиной константы скорости. В диссертации приведены таблицы, иллюстрирующие довольно хорошее согласие численного счета с аналитическими оценками. Причиной хорошего согласия является высокая крутизна стока, что на-

кладывает ограничения на параметры потенциала: ¿{] - )»1. Есть также и другое ограничение, связанное с тем, что аналитические оценки требуют нахождения границы у, при которой уравниваются интенсивность стока н диффузионной релаксации. По мере увеличения трения вдоль медленной моды эта граница «сползает» ко дну ямы и в конце концов исчезает (то есть нельзя найти точку равной интенсивности обоих процессов). В этом случае аналитические оценки невозможны, что оправдывает использование численного счета.

В этой же главе проведено сопоставление результатов с подходами других авторов: Гроута и Хайнса, Суми и Маркуса. Показано, что при превышении скорости подстройки некоторого критического уровня константа скорости выходит на асимптотику. которая может быть описана как формулой Лангера, так и одномерной формулой Гроута-ХаГшса. Таким образом, их результаты воспроизводятся в определенном диапазоне параметров. При более медленной подстройке неравновесные эффекты меняют траекторию выхода частицы, энергию активации и всю зависимость константы скорости от параметров задачи.

Основной результат данной главы состоит в том, что: (1) предложена относительно простая двумерная модель дтя описания реакции в медтенно релаксирующей среде; (2) выявлен в общем виде характер поведения константы скорости, включающий наличие плато, спад энергии активации и дробно-степенную зависимость от параметра трения; (3) показана возможность существенного сокращения числа значимых параметров модели, что облегчает анализ и обработку экспериментов. Глава 3. Исследование диффузионного уравнения со стоком. Модель экспоненциального стока.

Глава 3 посвящена исследованию модели диффузионного уравнения со стоком. Хотя эта модель возникла в предыдущих главах как следствие крамерсовской трактовки многомерной динамики элементарного акта, многими другими авторами она постулируется как удобное средство описания сложного процесса в релаксирующей среде. Модель широко применялась дтя описания диффузионно-контролируемых реакций в полимерах (Вилемский и Фиксман), теории переноса электрона (Суми и Маркус), мономолекулярных реакций в кластерах (Маркус), реакций связывания лиган-дов с гемом протеина (Агмон и Хопфилд), явлений просачивания лиганда при выходе из внутрибелкового пространства (Шайтан и Упоров, Цванциг, Айзенберг и Клафтер).

Последняя задача рассмотрена в главе 5 диссертации. Главная особенность всех перечисленных процессов состоит в том, что реакции происходят на фоне медленной перестройки среды, и их скорость сильно зависит от состояния окружения.

Автор ограничился в работе типовой ситуацией, когда потенциал У(у) - Ку2 /2 монотонно нарастает при удалении от дна ямы и может быть аппроксимирован параболой. В отношении стока было принято, что его сила достаточно мала в области локализации частицы (то есть вблизи от дна ямы), но быстро нарастает при удалении от дна, так что, начиная с определенного значения координаты, сток полностью искажает равновесное распределение. В результате удается отвлечься от всей сложности описания многомерной динамики и резко сократить число параметров, существенных для анализа. Для простоты рассмотрение было ограничено моделью экспоненциального стока к(у) - кехр(^ у), в которой скорость процесса контролирует предэкспо-нент ц а тип стока (его крутизну) характеризует параметр 5. Кинетику процесса легко предсказать в предельных случаях быстрой и предельно медленной диффузии. В первом случае релаксация мгновенно восстанавливает равновесие, искаженное за счет действия стока, кинетика является одноэкспоненциальной, а константа скорости оценивается по теории возмущений Г,. = ^к(у)/е (у)с1у.

В противоположном пределе заселенность спадает по многоэкспоненциальному закону, причем характер распада зависит от распределения по координате среды /(>>,0) в момент приготовления системы.

В работе показано, что существует достаточно широкий диапазон параметров, в котором можно использовать одноэкспоненциалыюе описание с константой скорости, заметно меньшей, чем равновесная оценка. Для всего этого интервала в работе использован и численно проверен метод получения аналитических оценок, ранее предложенный в [3-5]. В обезразмеренном виде диффузионное уравнение с экспоненциальным стоком имеет вид

д

— + У су

/-у'ехр(з'у)/, (3.1)

д!~ду

где / = /(>', /) - функция распределения, и в уравнение входят только два параметра.

Суть аналитического метода состоит в нахождении границы у, на которой сравниваются но интенсивности скорость выхода частицы и скорость диффузионной релаксации. Положение границы определяет трансцендентное уравнение

У У

Щу)

Рис.4. Типичная форма потенциала Ц'(у) и стокового слагаемого к (у).

наибольший позволяет оценить кинетику. По мере увеличения интенсивности стока (параметр г') граница приближается ко дну ямы. и в какой-то момент происходит слияние второго и третьего корней. При больших значениях предэкспонента аналитический метод отказывает, в то время как численный метод позволяет проводить оценки до тех пор, пока не отказывает одноэкспоненциалыюе описание. Суп, аналитического метода состоит в том, что при круто нарастающем стоке можно упростить картину процесса, полагая, что: (1) при у < у действие стока мало и может быть оценено

по теории возмущений и (2) при у > у сток нарастает очень быстро и приводит к опустошению ямы уже вблизи от границы. Последнее обстоятельство позволяет пренебречь изменением потенциала, заменяя его константой, что в результате дает уравнение второго порядка, решаемое в аналитическом виде.

При реализации этих идей использовано два метода: метод Крамерса и метод эквивалентного уравнения Шредингера. В первом методе использована малость с.з. (константы скорости), что позволяет сперва найти собственную функцию для стационарной задачи, а затем использовать строгое тождество, связывающее с.з. и с.ф. Во втором методе развита своеобразная теория возмущений: в нулевом порядке гамильтониан не учитывает действие стока при у<у, а при у > у не учитывает зависимость потенциала от координаты. Оба эффекта учтены в первом порядке теории возмущений. Аналитические формулы для экспоненциального стока имеют вид

—---= у' ехр(.$*>'). В общем случае имеются три корня (рис. 4), из которых только

4 ?

4

Г, = \ [1 + я/(А)]Г, + (1 - ^Щц) Гт„ (у)

(3.2)

Г, = Г, |ехр -1 (у - / )2 ^ - ехр[- у (у - у)]}2 с!у + И(м)Гвпв в') (3.3)

2

В этих формулах величины Г. = у' ех]

л/2/

( -2 У_ 2

равновесная

оценка константы скорости (по теории возмущений) и оценка скорости через время первого выхода (ВПВ) на характерную границу при старте из дна ямы, параметры Д и /л зависят от положения границы у и могут быть вычислены по формулам

А - у * ,/и=-—-, Км) выражается через цилиндрические функции Ханкеля от

V 2

мнимого индекса К)1(г). Обе формулы дают плавное снижение константы скорости по сравнению с равновесной оценкой Гс по мере усиления стока. Анализ показал, что аналитические оценки применимы, пока предэкспонент не достигает некоторой пре-

1 + л/1+2/2

дельной величины ^ "—ехр[-(1 + \fl~-i )], при которой происходит сли-

пание корней (рис. 4). При этом важна величина параметра 5', задающего крутизну стока. Если этот параметр больше 2, то существует широкий диапазон изменения предэкспонента, в пределах которого аналитические оценки существуют, и в тоже время Г<Г,. Например, при = 5 максимальное значение предэкспонента составляет 6х105, при .?' =7 возрастает до ЗхЮ14, при =10 достигает 10м, что иллюстрирует качественную особенность приближений, использующих картину с крутым стоком.

При 5* < 2 аналитические оценки дают тривиальный результат - при V* < формулы просто воспроизводят оценку по теории возмущений Гс. Для численной проверки решалась задача на нахождение с.з. гамильтониана в уравнении Шредипге-ра

У

НХт=ГХг, Я = -7Т +

ф1 [ 4 2

+• V

' ехр^'д1) (3.4)

В диссертации приведены таблицы сравнений, показывающие степень согласия аналитических оценок с численно найденным с.з. уравнения Шредингера. Сопоставление показывает довольно хорошую точность в основном диапазоне параметров (до 10-20%). Точность падает по мере приближения предэкспонента к предельному зна-

пению , где она составляет примерно 40-50%. Интересно отметить, что даже для не слишком крутого ctoici i* = 3 численная оценка неплохо согласуется с аналитическими, хотя возможный диапазон изменения интенсивности стока при этом сокращается до нескольких порядков.

Основной результат раздела - наличие очень широкой области, в которой можно пользоваться предложенными аналитическими формулами. Аналогичные результаты, полученные в главе 2, здесь проиллюстрированы на более простой модели. При 5* < 2 этот диапазон сужается, и картина становится более простой: либо одноэкспо-ненциальная кинетика при Г = Г,, либо многоэкспоненциатьная кинетика. Глава 4. Энергетическая диффузия при медленной подстройке растворителя. Крамерсовский turnover.

В предыдущих разделах при обобщении результатов Крамерса на системы, подверженные воздействию медленно релаксирующей среды, мы не выделяли специальный режим, названный Крамерсом режимом слабого трения, или энергетической диффузией. Для этого режима характерны слабозатухающие осцилляции частицы в потенциальной яме и медленное изменение ее энергии. Крамере получил асимптотическую оценку скорости процесса в пределе исчезаюше слабого грения, когда к Т

ух « а)0—. Сопоставляя ход кривой при ух —> 0 с основной зависимостью (1.1), AU

справедливой при сильном и промежуточном трении, Крамере предсказал характерный вид вязкостной зависимости во всем диапазоне фения, при которой возрастающая ветвь при слабом трении сменяется убывающей при промежуточном, феномен, получивший название крамерсовский turnover.

Используя двумерную модель (2.1), предложенную для учета ВЕлделенных мод в среде, мы можем переформулировать теорию так, чтобы одновременно учесть и процесс энергетической диффузии, и медленную подстройку растворителя. С этой целью в уравнениях модели мы положим, что параметр ?/д достаточно мал, так что для химической моды трение может рассматриваться как слабое, а параметр , напротив, достаточно велик. Движение по у в этом случае трактуется как медленный диффузионный процесс, на фоне которого происходит энергетическая диффузия по моде х. Если полностью затормозить подстройку растворителя, полагая, что

т]г ->oo, мы приходим к задаче Крамерса для слабого трения, но с заменой исходного потенциала U(x) на сечение двумерного потенциала V(x, y=const). Величина координаты у здесь рассматривается как параметр, который в значительной степени определяет ход процесса, прежде всего за счет высоты барьера, которая в этом случае заметно отличается от исходной. Анализ здесь практически не отличается от того, что проведен в главе 2. В частности, начальное распределение по у обуславливает многоэкс-поненциальность распада. Если же подстройка происходит с малой, но конечной скоростью, то так же, как и в главе 2, мы приходим к модели диффузионного уравнения со стоком, причем сила стока к(у) вычисляется по формуле Крамерса для слабого трения н потенциала V(x, y=const).

Строгий вывод этих результатов был дан в работах Бережковского, Зицермана и др. [3-5] При этом удалось проанализировать не только режим слабого трения, но и весь диапазон трения по химической моде, и тем самым выявить, как меняется turnover при учете медленной релаксации среды.

Специфика полученных результатов - большое число определяющих параметров и громоздкость аналитических конструкций. Само нахождение характерной границы, которая входит в окончательные решения как параметр, требует численной процедуры. Далее, сила стока в режиме слабого трения оказывается достаточно сложной функцией параметров задачи, включающей вычисление нескольких квадратур. Наконец, расчет силы стока при произвольном трении потребовал отойти от аналитической формулы Крамерса и использовать значительно более сильный результат Мельникова и Мешкова, которые дали решение одномерной модели Крамерса для всего диапазона трения; в ответ при этом входит некоторая функция, записанная в виде квадратуры. В итоге потребовалось построить достаточно громоздкую численную процедуру, в которой основная тяжесть ложится не на само решение диффузионного уравнения, а на подготовку к нему, поскольку входящие в уравнение функции и выражения не имеют явного аналитического представления.

Результаты расчета позволили изучить, как меняется характер turnover'a в зависимости от скорости подстройки, сопоставить явно скорость реакции при выбранном наборе параметров с некоторой стандартной оценкой Ге (равновесная оценка при режиме промежуточного трения). Анализ показал, что эта оценка в действительности совпадала с оценкой по Гроуту-ХаГшсу, а отклонение от нее связано с двумя факто-

рами: эффектом слабого трения и (или) неравновесностью процесса, проявляющейся в том, что характерная граница у < у1р. Машинный расчет позволил в явном виде разделить эти факторы и проиллюстрировать на числах, к чему приводят те или иные изменения параметров.

Один из основных результатов развиваемой теории состоит в том, что переход к режиму слабого трения не меняет структуру диффузионного уравнения со стоком, а сказывается лишь на форме стокового слагаемого. В общем случае, пригодном для описания как слабого, так и промежуточного грення, стоковый член представим в форме

к{у) = А ми TST (у)

Последний из сомножителей дает силу стока в приближении TST, второй справа есть не что иное, как трансмиссионный фактор в формуле Крамерса для промежуточного и сильного трения, так что AKr(yr\y)klsl(y) совпадает со стоком, использованным в главе 2. Первый из множителей Аш/

Ш) позволяет учесть и слабое трение, и весь диапазон от слабого до промежуточного трения. Здесь Ат1(д) - функция Мельникова-Мешкова, причем для слабого трения Ат (д) = А, а по мере увеличения параметра /, А)—> 1. Параметр А учитывает всю совокупность эффектов при слабом трении в нашей теории и определяется соотношением

д = 2;г/?|7.Л(>-) + г;7,О0] (41)

Здесь первое слагаемое учитывает эффект слабого трения по Крамереу, а второе -воздействие на реакционную моду медленной подстройки растворителя. Интегралы действия ■/„(.)')> h(y) вычисляются для циклической траектории при движении в потенциале V(x, y=const) с энергией, равной высоте барьера. Отсюда сразу же видно, что скорость процесса не обращается в нуль даже при ух = 0.

Относительно простые формулы получаются при учете стока по теории возмущений:

=!>(>',„) при Д(л,>)«1 и Г>, =ГеЛм,[д(.у1;,)]при д(у((1)<1. (4.2) Первая из формул применяется в условиях, когда процесс для моды х может рассматриваться как энергетическая диффузия. Вторая описывает переход от режима энергетической диффузии к режиму промежуточного и сильного трения, рассмотренному в

главе 2. По обеим формулам оценка ТРТ отлична от оценки для режима промежуточного и сильного трения. Крамерсовский turnover можно изучить, если проследить за ходом кривой ГРТ(ух). При большом трении величина Гг, совпадающая с асимптотикой формулы Лангера (1.2), дает плавный спад константы скорости. При малом трении рост константы скорости следует из формулы (4.1), причем ясно видно отличие от хода кривой, предсказанного Крамерсом - конечный предел при у t -> 0.

В случае, когда теория возмущений неприменима, были проведены аналитические (точнее, квадратурные) оценки по формулам, незначительно отличающимся от формул (3.2, 3.3), использованных в главах 2 и 3, а также численное решение уравнения Шредингера, эквивалентного диффузионному уравнению со стоком. Основной результат работы - зависимости, представленные на рис. 5, и сопоставление численных и аналитических данных.

Рисунок 5 демонстрирует заметное отличие от того turnover'a, что предсказывала теория Крамерса. Кривые для разных значений сильно отклоняются друг от друга в промежуточной области т}х. Максимум всех кривых заметно меньше 1, причем выражено это отклонение тем сильнее, чем медленнее подстройка среды, скорость которой пропорциональна 1//7,.. Это снижение максимума (попросту, замедление реакции) связано с медленностью подстройки растворителя. Все кривые в пределе 7, -> 0 отличны от нуля, причем это отличие возрастает при ускорении подстройки.

Заметим, что в области предельно слабого и достаточно сильного трения интенсивность стока спадает, так что всегда можно пользоваться теорией возмущений. Отличие от нее, то есть неравновесные эффекты, могут возникнуть лишь при некотором промежуточном интервале параметра rjx.

Основной результат главы - построение теории, описывающей активационный процесс при медленной подстройке среды и произвольном уровне трения по химической моде. Теория обобщает результаты Крамерса и более полные результаты Мельникова и Мешкова на ситуации, когда растворитель нельзя рассматривать, как тепловой термостат, ответственный только за быстрые флуктуации. Как при малых, так и при больших значениях аргумента rjx интенсивность стока ослабляется, и численный результат совпадает с оценкой по теории возмущений. При этом в пределе - > О константа скорости выходит на постоянный уровень, отличный от нуля и обратно пропорциональный //, . Для всей области параметров предложены аналитические формулы, которые в соответствующих пределах совпадают с оценками по теории возмущений.

Глава 5. Миграция лиганда через флуктуирующую щель.

Материал данной главы непосредственно не связан с принятой ранее двумерной моделью элементарного акта реакции (2.1). Здесь будет изучена модель, описывающая движение лиганда в матрице растворителя. Между тем, основные особенности изучаемого процесса и применяемая математика оказались очень схожи с теми, что использовались при обобщении теорий Крамерса и Лангера. Задача состоит в том, чтобы понять, каким образом вязкость среды сказывается на внутренней динамике молекулы белка, экранированной от растворителя. Модель, которая описывает косвенное влияние вязкости растворителя на миграцию малых лигандов внутри белка, была предложена Цванцигом, принявшим, что одним из элементарных процессов в этих реакциях является просачивание лиганда через отверстие, размер которого подвержен тепловым флуктуациям. Скорость просачивания пропорциональна площади отверстия. Поскольку флуктуации белковой молекулы изменяют эту площадь, модуляции подвержена и сама константа скорости. Согласно Цванцигу, радиус отверстия варьируется из-за тепловых флуктуаций гармонического осциллятора, ответственного за открывание и закрывание ворот (stochastic gate). Полученное в этой модели точное решение имеет две особенности: (1) кинетика выхода неэкспоненциальна, но стано-

вится таковой на достаточно больших временах; (2) в предельном случае высокой вязкости константа скорости, соответствующая дальневременному процессу экспоненциального распада, обратно пропорциональна корню квадратному из вязкости растворителя.

Сходная модель, в которой миграция лиганда описывается как просачивание через флуктуирующую щель, а динамика раскрывания щели описана как диффузия в осцилляторном потенциале, за несколько лет до Цванцига была предложена в работах Шайтана, Упорова и Рубина. Однако в этих работах не были выявлены ключевые особенности процесса: дробно-степенная зависимость от вязкости и неэкспоненци-альность. Поэтому нашу работу мы рассматриваем как обобщение модели Цванцига.

В этой модели имеется одно нефизическое условие: лиганды считаются точечными частицами, лишенными собственного размера. В данной главе мы изучали кинетику выхода частиц через «узкое флуктуирующее горло» в более типичной ситуации, когда размер лиганда много больше, чем средний размер раскрытой под действием тепловых флуктуации щели. Лиганд выходит из щели в этом случае только тогда, когда происходит ее раскрытие на величину, много большую, чем средняя ширина. Это достаточно редкое событие соответствует аккумулированию в осцилляторе большого запаса энергии, намного больше, чем квТ.

Как показано в предыдущих главах, характерный временной масштаб для таких редких событий определяется величиной времени первого выхода (ВПВ) осциллирующей точки из равновесного положения у - 0 на границу с координатой у, где энергия осциллятора U(y) » квТ. Это время экспоненциально велико, если координата у достаточно удалена от дна. Как следствие, кинетика выхода становится экспоненциальной и характеризуется функцией выживания S(t) = ехр(-П), где S(t) - вероятность, что лиганд не успел пройти щель к моменту времени t. Мы имеем дело со своеобразным типом активационного процесса с высоким барьером.

Для решения задачи было использовано наличие малого параметра - отношения среднего раскрытия щели в условиях тепловых флуктуаций к размеру лиганда. В качестве математической модели процесса используется то же самое уравнение со стоком, описывающее диффузию вдоль координаты реакции, в качестве которой выбран размер щели. Вид стока подобран так, чтобы описать соответствующие особенности процесса:

к{у) = а(у-у,)10(у-у1)

(5.1)

Здесь у, - размер лиганда, параметр а - интенсивность стока, функция в(г) -

1, г>0 О, г < О

определяет его включение (возможность выхода) только при соответствующем раскрытии щели.

Аналитическое решение легко получается в двух предельных случаях - при быстрой и при медленной релаксации среды. Скорость релаксации задается коэффициентом диффузии Д.. В первом случае справедлива оценка но теории возмущений (по силе стока)

где К — силовая постоянная осциллятора. В случае медленной релаксации просачивание частицы через щель происходит много быстрее, чем смещение осциллирующей точки, то есть изменение ширины щели. Потому лиганд выходит из щели практически в тот момент, когда ее ширина достигает размера лиганда у. Константа скорости в таком случае оценивается величиной, равной обратному времени первого выхода (ВПВ) осциллирующей точки на границу у,:

В работе был развит способ приближенного решения уравнения со стоком при произвольной величине коэффициента диффузии. При этом использовались особенности стока: его включение на большом удалении от дна, где энергия осциллятора существенно превышает тепловую. Решение записано для функции Р - Г/ Г . Оказалось, что функция Г (то есть отмасштабированная константа скорости) зависит только от одного безразмерного аргумента Ц, который включает в себя все параметры задачи. Зависимость эта представима в виде квадратурной формулы

(5.2)

(5.3)

(5.4)

где М =

а кв1 ■

где М = — - . Формула удовлетворяет предельным условиям: /• (/у) —> 1 при

В у \К>'1)

¡л 0 и ^(ц) 2 Гмг/Г, при // со.

В работе проделана также численная проверка адекватности сделанных приближений путем решения уравнения Шредингера, эквивалентного уравнению со стоком. Было показано, что квадратурная формула (5.4) хорошо передает поведение функции /•"(//)-Г/Гг практически во всем диапазоне изменения коэффициента диффузии (и, следовательно, параметра Ц ). Более того, оказалось, что оценки верны даже за пределами той области, где использовался приближенный метод. В частности, метод работает, начиная с размера лиганда у] > 3 (у] - размер лиганда, деленный на

характерный масштаб длины L = ), в то время как приближения основывались

на неравенстве у' » 1.

В работе изучена также вязкостная зависимость константы скорости в предположении, что вязкость среды обратно пропорциональна коэффициенту диффузии. В этом случае имеет место соотношение r¡ к /л . По формуле (5.4) построены графики зависимости Г(/л), которые хорошо описываются дробно-степенной зависимостью Г ос с показателем а, зависящем от //. При изменении // от 0 до бесконечности показатель а возрастает от 0 до 1 (зависимость Г сс /у"1 соответствует оценке через

Основной результат данной главы - аналитическое решение модели диффузии лиганда во всем диапазоне изменения параметра вязкости. Характерная особенность решения - это сокращение всего набора исходных параметров до единственного фактора, который определяет поведение отмасштабированной константы скорости Г / Г .

1. В диссертации разработана упрощенная стохастическая модель, способная при небольшом числе параметров описать множество режимов протекания химических реакции в релаксирующей среде. В предельных случаях модель дает результаты, совпадающие с предсказаниями известных теорий: Крамерса, Лангера, Гроте-Хайнса, Суми-Маркуса.

2. Проведено детальное исследование решений уравнения со стоком (аналитических и численных).

3. Было показано, что в широком диапазоне изменения параметра трения существует режим распада, при котором традиционное описание неприменимо, но распад но-

ВПВ).

Основные результаты и выводы.

сит одноэкспонснциальиый характер. Аналитические формулы, полученные ранее для константы скорости, проверены численным решением уравнения со стоком.

4. Полученные решения предсказывают в общем виде характер вязкостной и температурной зависимостей константы скорости. Их форма слабо зависит от типа реакции или свойств растворителя и определяется лишь общими характеристиками потенциальной поверхности: исходной высотой барьера и высотой барьера в сед-ловом сечении

5. В режиме промежуточного и сильного трения удастся заметно упростить описание, используя соображения теории размерностей. Показано, что константа скорости определяется не всеми параметрами модели, а небольшим числом комплексов. В частности, зависимость константы скорости от вязкости определяется комплексом, который включает оба параметра трения (по химической моде и моде среды).

6. Показано, что характерными особенностями аномального режима распада, который описывается моделью диффузионного уравнения со стоком, являются дробно-степенная зависимость константы скорости от параметра трения вдоль моды среды и постепенное снижение энергии активации при нарастании этого параметра.

7. В рамках предложенной модели изучен режим слабого трения вдоль химической моды. Как и в случае промежуточного трения, отклонения от традиционных теорий Крамерса и Лангера наблюдаются только при умеренной силе связи, когда принятая модель редуцируется к диффузионному уравнению со стоком. Изучена структура стокового слагаемого в режиме слабого трения по химической моде.

8. Разработан алгоритм численного решения стоковой задачи при произвольной величине трения вдоль химической моды. Детальное изучение зависимости константы скорости от трения вдоль химической моды показало наличие характерного turnover'a, напоминающего предсказанный Крамерсом для систем с быстрой подстройкой растворителя. Форма кривых Г(т/,) при этом существенно зависит от скорости подстройки среды, определяемой параметром цк. Другая особенность, отличающая turnover при медленной подстройке, состоит в сохранении конечной скорости процесса при 7, -> 0. При этом константа скорости обратно пропорциональна трению по моде среды.

9. На основе диффузионного уравнения со стоком разработана модель миграции малых лигандов внутри белковой молекулы, обобщающая подход Цванцига путем

учета конечного размера лнгандов. Получено аналитическое решение задачи, параметром которого является отношения среднего размера открытой щели в условиях равновесных флуктуаций к размеру лиганда. Обнаружена автомодельная зависимость константы скорости: отношение константы скорости к ее равновесной оценке определяется функцией одного аргумента, включающего все параметры задачи. Эта функция полностью передает вязкостный ход константы скорости и хорошо аппроксимируется дробно-степенной зависимостью т]'" с показателем а, изменяющимся от 0 до 1 при нарастании вязкости Ц от нуля до œ.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Бережковский А.М., Дьяков Ю.А., Зицсрман В.Ю. Функциональная зависимость константы скорости в многомерной теории элементарного акта реакции. Труды IX Международной летней школы-семинара «Современные проблемы химической физики», Туапсе, 1997. Москва, Изд-во МГУ, 1998, сгр. 1-23.

2. Berezhkovskii А.М.. D'yakov Y.A., Zitserman V.Y. Smoluchowski équation with a sink term. Analytical solutions for the rate constant and their numerical tests. J. Chem. Phys.

1998, v. 109, № 11, p. 4182-4189.

3. Berezhkovskii A.M., D'yakov Y.A., Klafter J., Zitserman V.Y. Migration of a finite size ligand through a fiuctuating bottleneck. Chem. Phys. Let. 1998, v.287, № 3-4, p. 442448.

4. Бережковский A.M., Дьяков Ю.А., Зицерман В.Ю. Качественная теория элементарного акта реакции в релаксирующих растворителях. Журнал физической химии

1999, том 73, № 2, стр. 349-361.

5. Бережковский А.М., Дьяков Ю.А., Зицерман В.Ю. Аналитические и численные исследования крамереовской теории реакций в медленно релаксирующих средах. Всероссийская конференция по теоретической химии, Казань 6-9 октября 1997 г. Тезисы докладов. Стр. 46.

6. Бережковский А.М., Дьяков Ю.А., Зицерман В.Ю. Качественная теория элементарного акта реакции в релаксирующих средах. XVI Всероссийская школа-симпозиум молодых ученых по химической кинетике. Клязьма 2-3 февраля 1998 г. Тезисы докладов. Стр. 51.

Список цитированной литературы.

1. Kramers Н. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions. Physica 1940, v. VII, № 4, p. 284-304.

2. Langer. J.S. Statistical theory of the decay of metastable states. Ann. Phys. 1969, v. 54, p. 258-275.

3. A.M. Berezhkovskii, V.Yu. Zitserman. Activated rate processes in multidimensional case. A new solution of the Kramers problem. Physica 1990, v. A166, № 3, p. 585-621.

4. Бережковский A.M., Зииерман В.Ю. Многомерная динамика элементарного акта реакции. Энергетическая диффузия по внутренним модам. Химическая физика

1996, том 15, №4, стр. 66-74.

5. Berezhkovskii A.M., Zitserman V.Y., Sheu S.-Y., Yang D.-Y., Kuo J., Lin S.IJ. Kramers theory of chemical reactions in slowly adjusting environment. J.Chem. Phys.

1997. v. 107, № 24. p. 10539-10554.

6. A.M. Berezhkovskii. Non-equilibrium solvation in chemical reactions. I. Effective equations of motion. Chem. Phys. 1992, v. 164. p. 331-339.

7. Sumi H. Theory of Reaction Rates in Nonthermalized Steady Stayes during Conformational Fluctuations in Viscous Solvents. J. Phys. Chem. 1991, v. 95, № 8, p. 3334-3350.

8. Sumi 11. Theory of Rates of Solution Reactions Influenced by Slow Fluctuations in Viscous Solvents, and its Experimental Confirmation J. Mol. Liquids. 1995, v. 65-66, № 1, p. 65-73.

9. Sumi H. Condition for fractional-power dependence of the average rate constant of solution reactions influenced by slow solvent fluctuations. Chem. Phys. 1996, v. 212, № 1, p. 9-27.

10. Bazilevsky M.V., Ryaboy V.M., Weinberg N.N. Nonequilibrium Effects in Kinetics of Cycloaddition Reactions under High Pressureinetics of Chemical Reactions in Condensed Media in the Framework of the Two-Dimensional Stochastic Model. J. Phys. Chem. 1991, v. 95, № 14, p. 5533-5540.

Предисловие.

1. Обзор и постановка задачи

1.1. Традиционные теории химического превращения в среде: ТЭТ, теория Крамерса, теория Гроте-Хайнса.

1.2. Многомерные теории элементарного акта реакции.

1.2.1. Теория Лангера

1.2.2. Теория активационных процессов при наличии медленно релак-сирующей моды.

1.3. Основные экспериментальные факты.

1.3.1. Изомеризация стильбенов.

1.3.2. Фотоизомеризация азобензолов и бензилиденанилинов

1.3.3. Влияние среды на процессы переноса электрона

1.3.4. Реакции в протеинах.

2. Функциональная зависимость константы скорости в многомерной теории элементарного акта реакции

2.1. Описание модели.

2.2. Анализ константы скорости по Лангеру.

2.3. Анализ константы скорости для аномального режима.

2.3.1. Диффузия со стоком: параметры модели.

2.3.2. Масштабный анализ диффузионного уравнения со стоком

2.4. Численный расчёт константы скорости.

2.4.1. Основные результаты; вязкостная и температурная зависимости

2.4.2. Проверка аналитических решений.

2.5. Обсуждение результатов.

3. Исследование диффузионного уравнения со стоком. Модель экспоненциального стока

3.1. Постановка задачи

3.2. Аналитические решения

3.3. Экспоненциальный сток.

3.4. Численная проверка.

3.5. Зависимость константы скорости от вязкости.

3.6. Основные результаты.

4. Энергетическая диффузия при медленной подстройке растворителя. Крамерсовский turnover

4.1. Постановка задачи

4.2. Основные соотношения аналитической теории

4.3. Численный анализ проблемы.

4.4. Основные результаты.

5. Миграция лиганда через флуктуирующую щель

5.1. Введение и постановка задачи.

5.2. Аналитическое решение задачи.

5.3. Численное тестирование решения.

5.4. Зависимость константы скорости от вязкости.

5.5. Основные результаты и обобщения.

Выводы.

Актуальность работы. Построение теории элементарного акта в среде - фундаментальная по сложности задача физической химии, весьма далёкая от полного решения. Среди факторов, затрудняющих её разработку, можно указать на недоступность детальных сведений о потенциальной поверхности системы «реагенты + среда», неразработанность подходов для совместного анализа динамики внутри- и межмолекулярных процессов, отсутствие характерных малых параметров. По сути, все эти трудности связаны с многочастичным характером проблемы, поскольку протекание реакции «включает в игру» множество степеней свободы растворителя.

К настоящему времени сложилось два подхода к описанию реакционной динамики в среде. Первый основан на молекулярной динамике и таких её разновидностях, как ланжевеновская и броуновская динамика. Возможности и ограничения этого пути широко обсуждаются в литературе [1, 2, 3]. Этот путь сопряжён с необходимостью располагать детальной информацией о потенциале, а для ланжевеновской или броуновской динамики - и о диссипативных характеристиках. Громоздкий численный счёт многомерной динамики затрудняет анализ на больших временах, необходимых для оценки константы скорости. Второй путь - использовать упрощённые (стохастические) трактовки [4, 5, 6, 7], как правило, восходящие к знаменитой работе Крамерса [8], цель которых - выявить качественную картину процесса при весьма ограниченном объеме данных о растворителе. Данная диссертация выполнена в рамках одного из таких стохастических подходов, предложенного Бережковским и Зицерманом в серии публикаций [9-22]. Этот подход позволяет отыскать новые решения в многомерной задаче Крамерса, способные воспроизвести на качественном уровне влияние медленной подстройки среды на динамику элементарного акта реакции. Во многих случаях это влияние оказывается весьма значительным и сказывается на пути реакции, поведении константы скорости, то есть её величине и зависимости от параметров состояния и модели, динамике изменения заселенностей и т. п. Полученные в работах [9-22] результаты позволяют предсказать множество аномалий в картине элементарного акта реакции в рамках достаточно простой модели, не намного превосходящей по сложности традиционную модель Крамерса и ее обобщения. Однако ряд проблем, связанных с применением этого подхода, требовал дальнейшей проработки.

Цель работы состояла в том, чтобы развить идеи, предложенные в более ранних работах [9-22], дополнить предложенные в этих работах аналитические решения многомерной модели численным счетом, проверить применимость данной теории и снять ряд ограничений, использованных в этих работах.

Главная задача, поставленная в диссертации, - это прояснение на качественном уровне общего вида зависимости константы скорости от параметров, и прежде всего, от температуры и вязкости среды. Несмотря на достаточную сложность аналитических выражений для константы скорости, будет показано, что теория предсказывает достаточно простой и весьма универсальный вид вязкостной и температурной зависимостей константы скорости. Форма этих зависимостей практически очень слабо зависит от типа реакции или свойств растворителя и определяется лишь некоторой топологической характеристикой потенциальной поверхности. Другой аспект проблемы - эффективная параметризация задачи, предоставляющая возможность интерпретировать кинетические данные в терминах небольшого числа значимых характеристик. Трудность практического использования предложенной в работах [9-22] теории, как, впрочем, и любой другой многомерной теории, состоит в необходимости конкретизировать большой набор характеристик потенциала и диссипативных параметров. В диссертации показано, что при весьма общих предположениях константа скорости зависит не от всей совокупности упомянутых величин, а лишь от ограниченного набора безразмерных комплексов, что сокращает необходимый объем опытных данных.

Вторая проблема, поставленная в диссертации, - это численная проверка решений, предложенных в работах [9-22]. В основе этих работ лежит редукция многомерной модели Крамерса к одномерному уравнению, описывающему диффузию вдоль эффективной координаты среды, сопровождаемой действием стока. Модель подобного рода, впервые предложенная Агмоном и Хопфилдом [23, 24] для описания реакции во флуктуирующей среде, в дальнейшем использовалась многими авторами в связи с задачами переноса заряда. [25, 26, 27, 28]. Новизна работ [9-22] состояла в том, что уравнение со стоком было строго выведено как следствие многомерной модели Крамерса в условиях медленной подстройки растворителя. Задача, решаемая в диссертации, состоит в получении и анализе решений стоковой задачи, составляющей основу теории элементарного акта в релаксирующей среде. Будет показано, что в широком диапазоне параметровсуществует новый тип решения стоковой задачи, характеризующийся тем, что опустошение ямы реагентов происходит по обычному экспоненциальному закону, тогда как константа скорости оказывается существенно меньше равновесной оценки. Ранее считалось, что усиление стока быстро включает режим многоэкспоненциальной кинетики.

Следующая задача, поставленная в диссертации, связана с возможной реализацией режима энергетической диффузии (или слабого трения) вдоль химической моды. Крамере в своей статье [8] рассмотрел этот режим в условиях быстрой подстройки растворителя. Полученная им кривая зависимости константы скорости во всем диапазоне изменения коэффициента трения (от 0 до оо) предсказывает turnover, то есть смену зависимости с возрастающей на убывающую по мере возрастания трения. В данной работе задача о крамерсовском turnover'е исследована в иной постановке, а именно в условиях медленной подстройки растворителя. Оказалось, что в литературе изучен ряд процессов (см. раздел 1.3.3), которые вполне разумно могут быть описаны такой моделью.

Наконец, последняя задача, рассмотренная в диссертации, касается проблемы выхода частицы из замкнутой полости через узкую щель, размер которой флуктуирует под действием теплового шума. В отличие от стандартной постановки задачи Крамерса, частице не приходится здесь преодолевать потенциальный барьер. Вместо этого ей предстоит «просочиться» через узкое горло (bottleneck), дождавшись момента раскрытия его на достаточную величину, что само по себе является редким событием, так же как и перескок через высокий потенцальный барьер в задаче Крамерса.

Эта модель, предложенная рядом авторов (Шайтан и др.[29, 30], Цванциг[31]), адекватно описывает одну из стадий важнейшей биохимической реакции связывания лигандов с протеинами [32, 33, 34]. Так же как и в предыдущих задачах, рассмотренных в диссертации, процесс удаётся описать посредством диффузионного уравнения со стоком. Полученные в этой части результаты состоят в разработке методов аналитического и численного решения задачи, а также в установлении некоторых интересных качественных особенностей процесса, проявляющихся в зависимости константы скорости от параметров среды: температуры и коэффициента диффузии.

Заметим, что все результаты диссертации получены с учетом ряда важных ограничений. Анализ процессов проводится на классическом языке, как у Крамерса[8], что ограничивает анализ рассмотрением динамики тяжелых частиц. Исключны из анализа такие эффекты, как подбарьерное туннелирование или неадиабатические переходы [1, 7, 35, 36, 37]. Считается, что частица движется по некоторой потенциальной поверхности по законам ньютоновской механики, а преодоление барьера происходит за счёт теплового шума, передающего действие резервуара, чьи степени свободы не включены в явное рассмотрение. Исключение составляют эффекты переноса электрона, рассмотренные в разделе 1.3.1, где теоретическое описание построено так, что квантовые эффекты уже выведены из явного рассмотрения.

Второе ограничение связано с предположением о необратимом характере реакций, когда частица, выйдя из ямы реагентов, «не имеет шанса» вернуться назад за счёт обратной реакции. Обычно это связано с тем, что яма продуктов имеет много большую глубину, чем яма реагентов. В работах [38, 39, 40, 41, 42, 43, 44] был изучено действие обратного потока и показано, что он вносит ряд качественных изменений в картину реакции.

Наконец, отметим, что рассмотрение проводится на модельном уровне, без привязки к конкретным реагентам или растворителю, что соответствует качественному уровню теории, претендующей лишь на иллюстрацию эффектов, связанных с воздействием растворителя, но не на количественное сравнение теории с экспериментом.

Научная новизна и практическое значение.

1) Установлено наличие широкого диапазона вязкости среды, при которой можно пользоваться аналитическими формулами Бережковского и Зицермана [9-22] для оценки скоростей реакций в системах с сильной анизотропией трения.

2) Численные расчеты и масштабный анализ соотношений позволил выделить малую группу существенных параметров, определяющих функциональную зависимость константы скорости. Удаётся преодолеть трудность, присущую любой многомерной теории, когда в качестве переменных фигурируют все параметры потенциала, массы и коэффициенты трения.

3) Построена теория, описывающая активационный процесс при медленной подстройке среды и произвольном уровне трения по химической моде. Теория обобщает результаты Крамерса и более поздние работы Мельникова и Мешкова на ситуации, когда растворитель нельзя рассматривать как тепловой резервуар, ответственный только за быстрые флуктуации. Для всей области параметров предложены аналитические формулы, которые в соответствующих пределах совпадают с оценками по теории возмущений.

4) На основе диффузионного уравнения со стоком разработана модель миграции малых лигандов внутри белковой молекулы во всем диапазоне изменения вязкости.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции по теоретической химии, Казань, 6-9 октября 1997 г.; XVI Всероссийской школе-симпозиуме молодых ученых по химической кинетике. Клязьма, 2-3 февраля 1998 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 работах: [45, 46, 47, 48, 49, 50].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из предисловия, пяти глав, выводов и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 135 страниц машинописного текста, включая 7 таблиц, 41 рисунок и список литературы из 137 наименований. Глава 1 содержит обзор литературы и разъясняет постановку задач.

В ней рассмотрены различные подходы к описанию реакций в среде, начиная с методов TST и теории Крамерса, а также ряд экспериментальных фактов, касающихся химических процессов в медленно релаксирующих средах. Приведенный материал иллюстрирует особенности химического процесса при медленной подстройке растворителя, что на качественном уровне воспроизводится в найденных решениях. Глава

2 содержит основные результаты по общему поведению константы скорости в рамках предложенной модели элементарного акта реакции при медленной подстройке среды. Здесь проведена численная проверка модели и выявлены общие (достаточно универсальные) зависимости константы скорости от параметров состояния. Глава

3 посвящена детальному изучению стоковой задачи для экспоненциального стока и содержит важные для предложенной теории методические результаты, касающиеся возможного типа решений в зависимости от параметров стока. Глава 4 посвящена численному изучению проблемы крамерсовского turnover'а при медленной подстройке среды. Глава 5 включает результаты по численному и аналитическому решению проблемы выхода частицы через узкую флуктуирующую щель. В заключение работы дан перечень общих выводов по диссертации, суммирующих полученные результаты.

Выводы

В диссертации разработана упрощённая стохастическая модель, способная при небольшом числе параметров описать множество режимов протекания химических реакций в релаксирующей среде. В предельных случаях модель дает результаты, совпадающие с предсказаниями известных теорий: Крамерса, Лан-гера, Гроте-Хайнса, Суми-Маркуса.

При соблюдении ряда условий, а именно при достаточно малой скорость подстройки среды в сочетании с ограничением на силу связи реакционной и нереакционной мод, предложенная модель редуцируется к диффузионному уравнению со стоком. Детальное исследование решений этого уравнения (аналитических и численных) составляет основное содержание оригинальных результатов автора.

Специфика стока, полученного в результате редукции многомерной модели, состоит в том, что его сила достаточно мала в области локализации частицы вблизи дна ямы, но быстро нарастает при удалении от дна. Эти особенности позволили предсказать в широком диапазоне изменения вязкости (точнее, параметра трения вдоль медленной моды), режим распада, когда традиционное описание неприменимо, и в то же время распад носит одноэкспоненциальный характер ехр(—Г£). Аналитические формулы, которые удаётся получить для константы скорости, используя специфический вид стокового слагаемого, проверены численным решением уравнения со стоком.

Полученные решения предсказывают в общем виде характер вязкостной и температурной зависимостей константы скорости. Их форма слабо зависит от типа реакции или свойств растворителя и определяется лишь общими характеристиками потенциальной поверхности: исходной высотой барьера и высотой барьера в седловом сечении.

В режиме промежуточного и сильного трения удаётся заметно упростить описание, используя соображения теории размерностей. Показано, что константа скорости определяется не всеми параметрами модели, а небольшим числом комплексов. В частности, зависимость константы скорости от вязкости определяется комплексом, который включает оба параметра трения (по химической моде и моде среды).

6) Характерными особенностями аномального режима распада, который описывается моделью диффузионного уравнения со стоком, являются дробно - степенная зависимость константы скорости от параметра трения для медленной моды и постепенное снижение энергии активации при замедлении подстройки растворителя или нарастании параметра трения.

7) В рамках предложенной модели изучен режим слабого трения вдоль химической моды. Как и в случае промежуточного трения, отклонения от традиционных теорий Крамерса и Лангера наблюдаются только при умеренной силе связи, когда принятая модель редуцируется к диффузионному уравнению со стоком. Изучена структура стокового слагаемого в режиме слабого трения и при произвольных значениях параметра г)х.

8) Разработан численный алгоритм решения стоковой задачи при произвольной величине трения вдоль химической моды. Детальное изучение зависимостей константы скорости от г)х показало наличие характерного turnover'г., напоминающего тот, что предсказан Крамерсом для систем с быстрой подстройкой растворителя. Форма кривых Г (т/я) при этом существенно зависит от скорости подстройки среды, определяемой параметром rjy. Другая особенность, отличающая turnover при медленной подстройке, состоит в сохранении конечной скорости процесса при г]х —> 0. При этом константа скорости в отсутствие диссипации обратно пропорциональна скорости подстройки среды

1- TV const

11тГ(% -> 0) =-.

Vy

9) На основе диффузионного уравнения со стоком разработана модель миграции малых лигандов внутри белковой молекулы. Развитая теория обобщает подход Цванцига путём учёта конечного размера лигандов. Разработан способ аналитического решения задачи, в основе которого лежит наличие малого параметра: отношения среднего размера открытой щели в условиях равновесных флуктуаций к размеру лиганда. Обнаружена интересная автомодельная зависимость константы скорости: отношение Г/Ге (Ге - равновесная оценка) определяется функцией одного аргумента, включающего все параметры задачи. Эта функция полностью передаёт вязкостный ход константы скорости и хорошо аппроксимируется дробно-степенной зависимостью rj~a с показателем а, изменяющемся от 0 до 1 при нарастании вязкости rj от нуля до оо.

1. Базилевский М.В., Фаустов В.И. Современные теории химических реакций в конденсированной фазе. Успехи химиии 1992, том 61, вып. 7, стр. 1185-1222.

2. J.A. McCammon and S.C. Harvey, Dynamics of proteins and nucleic acids. Cambridge University Press, Cambridge, 1987. p. 229.

3. Hanggi P. Escape from a Metastable State. J. Stat. Phys. 1986, v. 42, №1-2, p. 105-148.

4. Nitzan A. Activated Rate Processes in condensed phases: the Kramers theory re-viseted. Adv. Chem. Phys. 1988, v. 70, part 2, p. 489-555.

5. Бережковский A.M., Дроздов A.H., Зицерман В.Ю. Крамерсова кинетика современное состояние. Журнал физической химии 1988, том 62, №10, стр. 25992616.

6. Hanggi P., Talkner P., Borkovec М. Reaction-rate theory: fifty years after Kramers. Rev. Modern Phys. 1990, v. 62, №2, p. 251-341.

7. Kramers H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions. Physica 1940, v. VII, №4, p. 284-304.

8. Berezhkovskii A.M., Berezhkovskii L.M., Zitserman V.Yu. The rate constant in the Kramers multidimensional theory and the saddle point avoidance. Chem. Phys. 1989, v.130, №1-3, p. 55-63.

9. A.M. Berezhkovskii, V.Yu. Zitserman. Anomalous regime for decay of the metastable state: An extention of multidimensional Kramers theory. Chem. Phys. Lett. 1989, v. 158, №5, p. 369-374.

10. A.M. Berezhkovskii, V.Yu. Zitserman. Activated rate processes in multidimensional case. A new solution of the Kramers problem. Physica 1990, v. A166, №3, p. 585-621.

11. A.M. Berezhkovskii, V.Yu. Zitserman. Generalization of the Kramers Langer theory decay of the metastable state in the case of strongly anisotropic friction. J. Phys. A: Math. & Gen. Phys. 1992, v. 25, №8, p. 2077-2092.

12. A.M. Berezhkovskii, V.Yu. Zitserman. Non-equilibrium solvation in chemical reactions. II. Rate constant. Chem. Phys. 1992, v. 164, №3, p. 341-356.

13. A.M. Berezhkovskii, E. Pollak, V.Yu. Zitserman. Activated rate processes: generalization of the Kramers-Grote-Hynes and Langer theories. J.Chem.Phys. 1992, v. 97, №4, p. 2422-2437.

14. A.M. Berezhkovskii, S.A. Dudko, V.Yu. Zitserman. Nonequilibrium solvation in chemical reactions. III. Applications of theory. Chem.Phys. 1994, v. 187, №3, p. 275-288.

15. Бережковский A.M., Зицерман В.Ю. Динамика реакционного акта при энергетической диффузии по внутренним модам. Журнал физической химии 1996, том 70, №3, 574-576.

16. Бережковский A.M., Зицерман В.Ю. Многомерная динамика элементарного акта реакции. Энергетическая диффузия по внутренним модам. Химическая физика 1996, том 15, №4, стр. 66-74.

17. A.M. Бережковский, В.Ю. Зицерман. Элементарный акт реакции в растворах. Многомерная теория Крамерса. Химическая физика 1995, том 14, №9, стр. 106— 119.

18. Berezhkovskii A.M., Zitserman V.Y., Sheu S.-Y., Yang D.-Y., Kuo J., Lin S.H. Kramers theory of chemical reactions in slowly adjusting environment. J. Chem. Phys. 1997, v. 107, №24, p. 10539-10554.

19. Berezhkovskii A.M., Zitserman V.Y., Yang D.-Y., Kuo J., Lin S.H. Activated rate processes in many dimensions: Energy diffusion with slow adjustment of a nonreactive mode. Physica 1998, v. A 251, №3&4, p. 399-429

20. Agmon N., Hopfield J.J. Transient kinetics of chemical reactions with bounded diffusion perpendicular to the reaction coordinate: Intramolecular processes with slow conformational changes. J. Chem. Phys. 1983, v. 78, номерП, p. 6947-6959.

21. Agmon N., Hopfield J.J. CO binding to heme proteins: A model for barrier height distributions and slow conformational changes. J. Chem. Phys. 1983, v. 79, номер4, p. 2042-2053.

22. Овчинникова М.Я. О частотном факторе в константе скорости реакций переноса электрона. Теоретическая и экспериментальная химия 1981, том 17, №3, стр. 651-654.

23. Zusman L.D. The theory of transitions between electronic states. Application to radiationless transitions in polar solvents. Chem. Phys., 1983, v.80, №1-2, p. 29-43.

24. Sumi H., Marcus R.A. Dynamical effects in electron transfer reactions. J. Chem. Phys. 1986, V.84, №9, P.4894-4914.

25. Nadler W. , Marcus R.A. Dynamical effects in electron transfer reactions. II. Numerical solution. J. Chem. Phys. 1987, V.86, №7, P.3906-3924.

26. K.B.Шайтан, И.В. Упоров. К теории диффузии в структурированных средах. Химическая физика 1984, том 3, №10, стр. 1416-1426.

27. К.В.Шайтан, И.В. Упоров, А.Б. Рубин. К теории миграции лигандов в биомакромолекулах. Молекулярная биология 1985, том 19, №3, стр. 742-750.

28. R. Zwanzig, Dynamical disorder: Passage through a fluctuating bottleneck. J. Chem. Phys. 1992, v. 97, №5, p. 3587-3589.

29. D. Beece et al, Solvent Viscosity and Protein Dynamics. Biochemistry 1980, v. 19, №23, p. 5147-5157.

30. H. Frauenfelder, P.G. Wolynes, Rate Theories and Puzzles of Hemeprotein Kinetics. Science 1985, v. 229, №4711, p. 337-345.

31. Melnikov V.I. The Kramers Problem: fifty years of development. Phys. Reports 1991, v. 209, №1&2, p.1-71.

32. Rossky P.J. Non-adiabatic quantum dynamics simulation using classical baths. In " Classical and Quantum Dynamics in Condensed Phase Simulations". Eds. Br.J. Berne, G. Ciccotti, D.F. Coker. World Scientific, 1998, p. 515-538.

33. Зусман JT.Д. Динамические эффекты растворителя в реакции переноса электронов. Успехи химии 1992, том 61, вып.1, стр. 29-47.

34. A.M. Бережковский, В.Ю. Зицерман. Обобщение ногомерной теории Крамерса на случай экстремально анизотропного трения. Симметричный случай. ДАН СССР 1989, том 308, №5, стр. 1163-1166.

35. A.M. Berezhkovskii, V.Yu. Zitserman. Solvent slow-mode influence on chemical reaction dynamics: A multidimensional Kramers theory treatment. Chem.Phys.Lett. 1990, v. 172, №3&4 p. 235-242.

36. A.M. Бережковский, В.Ю. Зицерман. Влияние медленной моды растворителя на элементарный акт химической реакции в конденсированной фазе. ДАН СССР 1990, том 315, №2, стр. 388-392.

37. A.M. Berezhkovskii, V.Yu. Zitserman. Activated rate processes in the multidimensional case. Consideration of recrossing in the multidimensional Kramers problem with anisotropic friction. Chem.Phys. 1991, v. 157, №1&2, p. 141-155.

38. A.M. Berezhkovskii, V.Yu. Zitserman. Multidimensional activated rate processes with slowly relaxing mode. Physica 1992, v. A187, №3-4, p. 519-550.

39. Berezhkovskii A.M., Zitserman V.Y., Yang D.-Y., Lin S.H. Reversible chemical reactions in slowly relaxing environments: Kramers' turnover of the rate constant Chem. Phys. 1998, v. 235, №1-3, p. 201-212.

40. Бережковский A.M., Зицерман В.Ю., Янг Д., Лин С.Г. Обратимые реакции при энергетической диффузии и медленной релаксации растворителя. Химическая физика 1999, том 18, №1, стр. 59-67

41. Berezhkovskii A.M., D'yakov Y.A., Zitserman V.Y. Smoluchowski equation with a sink term. Analytical solutions for the rate constant and their numerical tests. J. Chem. Phys. 1998, v. 109, №11, p. 4182-4189.

42. Berezhkovskii A.M., D'yakov Y.A., Klafter J., Zitserman V.Y. Migration of a finite size ligand through a fluctuating bottleneck. Chem. Phys. Let. 1998, v. 287, №3&4, p. 442-448.

43. Бережковский A.M., Дьяков Ю.А., Зицерман В.Ю. Качественная теория элементарного акта реакции в релаксирующих растворителях. Журнал физической химии 1999, том 73, №2, стр. 349-361

44. Бережковский A.M., Дьяков Ю.А., Зицерман В.Ю. Аналитические и численные исследования крамерсовской теории реакций в медленно релаксирующих средах. Всероссийская конференция по теоретической химии, Казань 6-9 октября 1997 г. Тезисы докладов, стр. 46.

45. Бережковский A.M., Дьяков Ю.А., Зицерман В.Ю. Качественная теория элементарного акта реакции в релаксирующих средах. XVI Всероссийская школа-симпозиум молодых ученых по химической кинетике. Клязьма 2-3 февраля 1998 г. Тезисы докладов. Стр. 51.

46. Drozdov A., Talkner P. Thermally activated escape processes in a double well coupled to a slow harmonic mode. J.Chem. Phys. 1996, v. 105, №10, p. 4117-4128.

47. Drozdov A., Talkner P. Activated rate processe in a double well coupled to a slow harmonic mode: finite-barrier effects. Phys. Rev. E 1996, v. 54, №6, p.6160-6173.

48. Eyring Henry. Activated complex in chemical reactions. J. Chem. Phys. 1935, v. 3, p. 107-115.

49. Glasston S., Laidler K.J., Eyring H. The Theory of Rate Processes. McGraw-Hill, New York, 1941.

50. Эйринг Г., Лин С.Г., Лин С.М. // Основы химической кинетики./ М. Мир. 1983- 528 с.

51. G.H. Vineyard. Freqency factors and isotope effects in solid state rate processes. J. Phys. Chem. Solids 1957, v. 3, p. 121-127

52. Chandler D. Barrier crossings: classical theory of rare but important events. In "Classical and Quantum Dynamics in Condensed Phase Simulations". Eds. Br.J. Berne, G. Ciccotti, D.F. Coker. World Scientific, 1998, p. 4-23.

53. Wigner E. Calculation of the rate of elementary-association reactions. J. Chem. Phys. 1937, v.5, p. 720-725.

54. Wigner E. The transition-state method Trans. Faraday Soc. 1938, v. 34, p. 29-41.

55. Hynes J.T. Chemical reaction dynamics in solution. Ann. Rev. Phys. Chem. 1985, v. 36, p. 573-597.

56. Hynes J.T. The Theory ofreactions in solution. In "Theory of Chemical Reaction Dynamics", ed. by M. Baer. CRC Press, Boca Raton, FL, 1985, v. IV, p.171-227.

57. Hynes J.T. Chemical Reaction Rates and Solvent Friction J. Stat. Phys. 1986, v. 42, №1&2, p. 149-168.

58. Waldeck D.H. Photoisomerization Dynamics of Stilbenes. Chem. Rev. 1991, v. 91, p. 415-436.

59. Waldeck D.H. Photoisomerization Dynamics of Stilbenes in Polar Solvents. J. Mol. Liquids. 1993. v.57, p.127-148.

60. Grote R.F., Hynes J.T. The stable states picture of chemical reactions. II. Rate constants for condensed and gas phase reaction models. J. Chem. Phys. 1980, v. 73, №6, p. 2715-2732.

61. Landauer R. Noise-activated escape from metastable states: An historical viwe. In "Noise in nonlinear dynamical systems", v. 1, Cambridge University Press, 1989, p. 1-15.

62. Nitzan A., Schuss Z. Multidimensional Barrier Crossing, In "Activated Barrier Crossing. Applications in Physics, Chemistry and Biology." Eds. Gr.R.Fleming, P.Hanggi. World Scientific, 1993, p.42-81.

63. J.S. Langer. Statistical theory of the decay of metastable states. Ann. Phys. 1969, v. 54, p. 258-275.

64. Lee S., Karplus M. Dynamics of Reactions Involving Diffusive Multidimensional Barrier Crossing. J. Phys. Chem. 1988, v. 92, №5, p. 1075-1086.

65. Guardia E., Marchesoni F., San Miguel M. Escape times with memory effects. Phys.Let. 1984, v. 100A, №1, p. 15-18.

66. Ferrario M., Grigolini P. The Non-Markovian relaxation processes as a "contraction" of a multidimensional one of Markovian type. J. Math. Phys. 1979, v. 20, №12, p. 2567-2572.

67. Ferrario M., Grigolini P. A Generalization of the Kubo-Freed relaxation theory. Chem. Phys. Lett. 1979, v. 62, №1, p. 100-106.

68. Matkowsky B.J., Schuss Z., Ben-Jacob E. A singular perturbation approach to Kramers' diffusion problem. SIAM J. Appl. Math. 1982. v.42. №4. p. 835-849.

69. Borkovec M., Berne H.B. Reaction Dynamics in the Low Pressure Regime: The Kramers Model and Collisional Models of Molecules with Many Degrees of Freedom. J. Chem. Phys. 1985. v. 82, №2, p. 794-799.

70. Смолуховский M. К кинетической теории брауновского молекулярного движения и суспензий. В книге Эйнштейн А., Смолуховский М. "Брауновское движение". М.-Л., ОНТИ, 1936, стр. 13-27.

71. Смолуховский М. Три доклада о диффузии, брауновском молекулярном движении и коагуляции коллоидных частиц. В книге Эйнштейн А., Смолуховский М. "Брауновское движение". М.-Л., ОНТИ, 1936, стр. 332-416.

72. Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем. ЖЭТФ 1933, том 3, №3, стр. 165-180

73. Northrup S.H., McCammon J.A. Saddle-point avoidance in diffusional reactions. J. Chem. Phys. 1983, v. 78, №2, p. 987-989.

74. Berkowitz M., Morgan J.D., McCammon J.A., Northrup S.H. Diffusion-controlled reactions: A variational formula for the optimum reaction coordinate. J. Chem. Phys. 1983, v. 79, №11, p. 5563-5565.

75. Moro G.J., Cardin F. Saddle point avoidance due to inhomogeneous friction. Chem. Phys. 1998, v. 235, №1-3, p. 189-200.

76. Sumi H. Theory of Reaction Rates in Nonthermalized Steady Stayes during Conformational Fluctuations in Viscous Solvents. J. Phys. Chem. 1991, v. 95, №8, p. 3334-3350.

77. Sumi H. Theory of Rates of Solution Reactions Influenced by Slow Fluctuations in Viscous Solvents, and its Experimental Confirmation J. Mol. Liquids. 1995. v. 65/66. №1. p. 65-73.

78. Sumi H. Condition for fractional-power dependence of the average rate constant of solution reactions influenced by slow solvent fluctuations. Chem. Phys. 1996, v. 212, №1, p. 9-27.

79. Raftery D., Sension R.J. Hochstrasser R.M. Chemical Aspects of Solution Phase Reaction Dynamics. In "Activated Barrier Crossing", edited by G.R. Fleming and P. Hanggi. World Scientific. Singapore. 1993. p. 163-205.

80. Schroeder J., Troe J. Solvent Effects in Dynamics of Dissociation, Recombination, and Isomerization Reactions. In "Activated Barrier Crossing", edited by G.R. Fleming and P. Hanggi. World Scientific. Singapore. 1993. p. 206-240.

81. Asano T., Furuta H., Sumi H. "Two-Step" Mechanism in Single-Step Isomerizations. Kinetics in Highly Viscous Liquid Phase. J. Amer. Chem. Soc. 1994, 116, №13. p. 5545-5550.

82. Sumi H., Asano T. Is slow thermal isomerization in viscous solvents understandable with the idea of frequency dependent friction? J. Chem. Phys. 1995, 102, №24, p. 9565-9573.

83. Asano T., Cosstick K., Furuta H., Matsuo K., Sumi H. Effects of Solvent Fluctuations on the Rate of thermal Z/E Isomerization of Azobenzenes and N-Benzylidenanilines. Bull. Chem. Soc. Jpn. 1996, 69, №3, p. 551-560.

84. Drljaca A., Hubbard C.D., van Eldik R., Asano T., Basilevsky M.V., le Noble W.J. Activation and Reaction Volumes in Solution. 3. Chem. Reviews, 1998, v. 98, №6, p. 2167-2289.

85. Bazilevsky M.V., Ryaboy V.M., Weinberg N.N. Kinetics of Chemical Reactions in Condensed Media in the Framework of the Two-Dimensional Stochastic Model. J. Phys. Chem. 1990, v. 94, №24, p. 8734-8740.

86. J. Zhu, O.B. Spirina, R.I. Cukier. Solvent dynamical effects on bond-breaking electron transfer reactions. J. Chem. Phys. 1994, v. 100, №11, p. 8109-8124.

87. O.B. Spirina, R.I. Cukier. Anisotropic dynamical effects on two-dimensional potential energy surface reactions: bond breaking electron transfer reactions. J. Chem. Phys. 1996, v. 104, №2, p. 538-550.

88. Saveant J.-M. A simple model for the kinetics of dissociative electron transfer in polar solvents. Application to the homogeneous and heterogeneous reduction of alkyl halides. JACS 1987, v. 109(22), p. 6788-6795.

89. Blackbourn R.L., Hupp J.T. Does Marcus-Hush Theory Really Work? Optical Studies of intervalence transfer in acetylene-bridges biferrocene monocations at infinite dilution and at finite ionic strengths. J. Phys. Chem. 1990, v. 94, №5, p. 1788-1793.

90. Polimeno A., Barbon A., Nordio P.L., Rettig W. Stochastic model for solvent-assisted intramolecular charge transfer. J. Phys. Chem. 1994, v. 98, №47, p. 12158-12168.

91. Nordio P.L., Polimeno A. Classical description of activated conformational processes in molecular systems coupled to solvent degrees of freedom. Int. Journ. of Quant. Chem. 1996, v. 60, номер1, p. 321-329.

92. Нага K., Bulgarevich D.S., Kajimoto 0. Pressure tuning of solvent viscosity for the formation of twisted intramolecular charge-transfer state in 4,4'-diaminodiphenyl sulfone in alcohol solution. J. Chem. Phys. 1996, v. 104, №23, p. 9431-9436.

93. Bagchi В., Chandra A., Polarization relaxation, dielectric dispersion, and solvation dynamics in dense dipolar liquid. J. Chem. Phys. 1989, v. 90, №12, p. 7338-7345

94. Agmon N., Sastry G.M. A temperature-dependent effective potential explains CO binding to myoglobin. Chem. Phys. 1996, v. 212, p. 207-219.

95. Agmon N., Krissinel E.B. Incoherent control of protein conformational state. Chem. Phys. Lett. 1998, v. 294, №1-3, p. 79-86.

96. Berezhkovskii A.M., Dah-Yen Yang, Sheng Hsien Lin, Makhnovskii Yu.A., Sheh-Yi Sheu. Smoluchowski-type theory of stochastically gated diffusion-influenced reactions. J. Chem. Phys. 1997, v. 106, №17, p. 6985-6998.

97. Makhnovskii Yu.A., Berezhkovskii A.M., Dah-Yen Yang, Immy Kuo, Sheng Hsien Lin. Stochastic gating influence on the kinetics of diffusion-limited reactions. J. Chem. Phys. 1998, v. 108, №3, p. 971-983.

98. Shushin A.I. Specific features of stochastically gated, diffusion-controlled reactions. J. Phys. Chem. 1999, v. A103, №12, p. 1704-1713.

99. Kurz J.L., Kurz L.C. On the Mechanism of Proton Transfer in Solution. Factors Determining Whether the Activated Complex Has an Equilibrated Environment. J. Amer. Chem. Soc. 1972, v. 94, №13, p. 4451-4461

100. Van der Zwan G., Hynes J.T. A simple dipole isomerization model for non-equilibrium solvation dynamics in reactions in polar solvents. Chem. Phys. 1984, v. 90, №1-2, p. 21-35.

101. Lee S., Hynes J.T. Solution reaction path hamiltonian for reactions in polar solvents. Part I. Formulation. J. Chem. Phys. 1988, v. 88, №11; p. 6853-6863; Part II. Applications. J. Chem. Phys. 1988, v. 88, №11; p. 6863-6869.

102. Hynes J.T., Kim H.J., Mathis J.R., Timoneda J.J. Solute electronic structure and solvation in chemical reactions in solution. J. Molec. Liquids 1993, v. 57, p. 53-73.

103. Truhlar D.G., Schenter G.K., Garret B.C. Inclusion of nonequilibrium continuum solvation effects in variational transition state theory. J. Chem. Phys. 1993, v. 98, №7, p.5756-5770

104. Бережковский A.M. Элементарный акт химической реакции в полярном растворителе. ДАН СССР 1988, том 298, №4, стр. 880-885.

105. Berezhkovskii A.M. Non-equilibrium Solvation in Chemical reactions. I. Effective equations of motion. Chem. Phys. 1992, v. 164, №3, p. 331-339.

106. Berezhkovskii A.M., Dudko S.A. Solvent dynamics influence on chemical reaction dynamics. J. Chem. Phys. 1994, v. 100, №8, p. 5949-5955.

107. Straub J.E., Borkovec M., Berne Br. J. Calculation of dynamical friction on intramolecular degrees of freedom. J. Phys. Chem. 1987, v. 91, №19, p. 4995-4998.

108. Bowman R.M., Eisenthal K.B., Millar D.P. Frictional effects on barrier crossing in solution: Comparison with Kramers' equation. J. Chem. Phys. 1988, v. 89, №2, p. 762-769.

109. Lee J., Zhu S.-B., and Robinson G.W. An Extended Kramers equation for Photoi-somerization. J. Phys. Chem. 1987 v. 91, №16, p. 4273-4277.

110. Бережковский A.M., Дроздов А.Н., Зицерман В.Ю. Аномальные решения многомерной задачи Крамерса. Численный анализ. Химическая физика 1996, том 15, №6, стр.45-48

111. Berezhkovskii A.M., Zitserman V.Yu., Polimeno A. Numerical test of Kramers reaction rate theory in two dimensions. J. Chem. Phys. 1996, v. 105, №15, p. 6342-6357.

112. Basilevsky M.V., Davidovich G.V. Polyexponential kinetics of chemical reactions in condensed media within the quasiclassical approximation. J. Chem. Phys. 1995, v. 102, №4, p. 1607-1618.

113. Eizenberg N., Klafter J. Molecular motion under stochastic gating. Chem. Phys. Lett. 1995, v. 243, №1, p. 9-14.

114. Eizenberg N., Klafter J. Molecular motion through fluctuating bottlenecks. J. Chem. Phys. 1996, v. 104, №17, p. 6796-6806.

115. Eizenberg N. , Klafter J. Molecular motion through correlated fluctuating bottlenecks. Physica 1998, v. A249, №1-4, p. 424-429.

116. Bagchi В., Fleming G.R., Oxtoby D.W. Theory of electronic relaxation in solution in the absence of an activated barrier. J. Chem. Phys. 1983, v. 78, №12, p. 7375-7385.

117. Bagchi В., Fleming G.R. Dynamis of Activationless Reactions in Solution. J. Phys. Chem. 1990, v.94, №1, p. 9-20.

118. Koonin S.E., Computational Physics. Addison-Wesley, Cambridge, Mass., 1986. (Русское издание: Кунин С. Вычислительная физика. М: "Мир", 1992).

119. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. 2е изд., М.-Л., 1963.

120. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Пер. с англ. Ч. 1-2 , М., 1949.

121. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1983.

122. Temme N.M. On the Numerical evaluation of the Modified Bessel Function of the Third Kind. J. Comput. Phys. 1975, v. 19, p. 324-337.

123. Wilemski G., Fixman M. J. Chem. Phys. General theory of diffusion-controlled reactions. 1973, v. 58, №9, p. 4009-4019.

124. Wilemski G., Fixman M. Diffusion-controlled intrachain reactions of polymers. J. Chem. Phys. 1974, v. 60, №3; part I: p. 866-877; part II: p. 878-880.

125. Marcus R.A. Solvent Dynamics and RRKM Theory of Clusters. Adv. in Chem. Phys. 1997, v. 101, p. 391-408.

126. Weiss G.H. A perturbation analysis of the Wilemski-Fixman approximation for diffusion-controlled reactions. J. Chem. Phys. 1984, v. 80, №6, p. 2880-2887.

127. Rabinovich S., Agmon N. The slow diffusion limit for the survival probability in reactive diffusion equations. Chem. Phys. 1990, №1, v. 148, p. 11-19.

128. Gitterman M., Weiss G.H. A singular perturbation theory for reaction-diffusion equations. Chem. Phys. 1994, v. 180, №2-3, p. 319-328.

129. Pechukas P., Ankerhold J. Agmon-Hopfield kinetics in the slow diffusion regime. J. Chem. Phys. 1997, v. 107, №7, p. 2444-2450.

130. Melnikov V.I., Meshkov S.V. Theory of activated rate processes: Exact solutions of the Kramers problem. J. Chem. Phys. 1986, v. 85, №2, p. 1018-1027.