Динамика криволинейных вязкоупругих стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

о шлп 1397

л Шмаркопа Лариса Ивановна

Динамика криволинейных впзкоупругих стержней

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула-1997

Работа выполнена в Орловсю университете

Научный руководитель -

государственном техническом

доктор технических наук,

профессор

ГОРДОН в.л.

Официальные оппоненты -

доктор фнзнко-математи ческих наук, профессор КИЙ1СО М.А.

кандидат физико-матема тических наук, доцент ЖЕЛТКОВ В.И.

Ведущмя организация - НИИ механики Нижегород

ского государственного университета.

Защита диссертации состоится " КО " Ю^ОИи 1997 г. в часов в 9 учебном корпусе, ауд.101 па заседании диссертационного совета Д063.47.07 Тульского государственного университета по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан « /1 "IМ&Лг 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д. ф-м.н., профессор

ПЕНЬКОВ В.С.

Общая характеристика работы. Актуальность работы. В настоящей работе представлено новое аналитическое решение задачи отклика па динамические воздействия плоских стержней со сложной геометрией осевой линии, выполненных из материалов с выраженными реологическими свойствами. Такие задачи возникают, в частности, при расчете и проектировании силовых элементов летательных аппаратов, судов, деталей машин и механизмов транспортного, энергетического, легкого и пищевого машиностроения, несущих строительных конструкций, труб, башен, вышек и др., элементов различных приборов (часов, камертонов и т.п.).

Актуальной является проблема оценки напряженно-деформированного состояния и динамических характеристик элементов опорно-двигательного аппарата человека (грудной клетки, ребер и других костей скелета) при статических и динамических нагрузках. Например, оценка резонансных частот элементов скелета необходима при проектировании пилотируемых аппаратов, транспортных средств и другой техники, управляемой человеком: сложные и важные задачи ставят в этом области авиационно-космическая, спортивная и судебная медицина, протезирование и охрана труда.

Постановка задач, учитывающих зависимость механических (модули упругости, коэффициент Пуассона, плотность и др.) и геометрических (площадь поперечного сечения, моменты инерции сечения и др.) характеристик от осевой координаты, не встречает затруднений. Однако методы решения их еще недостаточно совершенны. Основные трудности и специфика при этом вызваны потребностью интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений различных порядков с переменными коэффициентами. Известно, что получение точных решении для таких уравнений возможно лишь в ограниченном числе случаев. Анализ работ, содержащих точные решения задач механики неоднородных тел (С.Г. Лехнпцкпй, В.А. Ломакин, Б.Г. Коренев. Г.Б. Колчнн, В.В. Карамышкин,

Н.Г. Бондарь, Д.М. Ростовцев, Г.С. Варданян, В.И. Андреев. А.Д. Лизарев. А.Г. Трапезон. В.А. Гордон. М. Конвей. Т. Ларднер и др.) показывает, что решения найдены различными способами: в квадратурах; в обобщенных степенных рядах специального вида; преобразованием переменных, приводящих уравнение к известному интегрируемому виду, применимыми в частных случаях неоднородности.

Современные численные методы, такие как, метод конечных элементов, в основном решают проблему проверочных расчетов. На стадии же проектирования предпочтительней использование аналитических методов.

Таким образом, широкое распространение технических и биологических объектов, моделируемых указанными выше видами стержней, с одной стороны, и несовершенство инженерных методов аналитического расчета неоднородных тел, с другой стороны, делают поставленную задачу важной и актуальной, представляющей значительный практический н теоретический интерес.

Цель работы: разработать аналитический метод расчета реакции криволинейных вязкоупругих стержней на вибрации и удар.

Научная новизна заключается в следующих основных результатах, выносимых на защиту:

- новое аналитическое решение задачи динамики криволинейных вязкоупругих стержней;

- модифицированный метод решения задач на собственные значения для уравнений с переменными коэффициентами;

- модифицированный метод модальных разложений, применяемый к дифференциальному уравнению движения стержня в усилиях;

- эффективный алгоритм анализа собственных частот и форм упругих стержней п реакций вязкоупругих стержней на произвольные динамические воздействия.

Автор защищает подход к решению задач динамики вязкоупругих неоднородных стержней, сочетающий методы интегрирования обыкно-

венных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и методы теории автоматического управления; новые соотношения, реализующие этот подход; результаты числовых расчетов конкретных стержней.

Методы исследования: математическое моделирование движения неоднородного вязкоупругого стержня с использованием фундаментальных законов механики деформируемого твердого тела, аналитический метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнении с переменными коэффициентами.

Достоверность и надежность основных научных результатов обоснована использованием классических апробированных методов механики деформируемого твердого тела и строгого математического аппарата: сопоставлением в задачах числовых результатов, полученных принципиально независимыми методами; сравнением результатов моделирования с имеющимися экспериментальными данными; положительным опытом использования результатов при расчете и проектировании в промышленности.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты являются основанием для решения прикладных задач динамики неоднородных объектов, моделируемых криволинейными упругими и вязкоупругпмп стержнями на стадии предварительного проектирования различных конструкции, машин и агрегатов; для применения в качестве первых приближений и тестов в численных методиках: для использования в качестве аппроксимирующих функций в МКЭ при формировании матриц жесткости и суперэлементов. Внедрение результатов диссертации в инженерную и исследовательскую практику расширяет возможности проектировщика, повышает научно-технический уровень проектирования, сокращает сроки и стоимость проектных и экспериментальных работ.

Методы п результаты работы могут быть использованы в различных организациях строительного профиля, машиностроения, охраны труда, медицины, правоохранительных органов.

Апробации работы. Основные положения и результаты работы обсуждались и были одобрены на:

1) научном семинаре "Обыкновенные дифференциальные уравнения" под руководством профессора Матвеева Н.М. (Российский государственный педагогический университет, С.-Петербург, 1994г.);

2) второй Всероссийской конференции по биомеханике (Нижний Новгород 1994г.);

3) третьей Всероссийской конференции по биомеханике (Нижний Новгород 1996г.);

4) Межвузовской научно-техническая конференция "Молодая наука -новому тысячелетию" (Набережные Челны 1996г.);

5) научно-технических конференциях в ОрелГТУ (1994, 1995, 1996, 1997 гг.);

6) научном семинаре по механике деформируемого твердого тела в ОрелГТУ:

7) научном семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством проф. Толоконннкова Л.А. (Тула, 1997 г.).

Публикации : по теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура п объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и практических рекомендаций. Работа изложена на 151 странице машинописного текста, содержит 120 рисунков. 10 таблиц, включает список литературы из 44 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, указаны основные направления намеченных исследований, кратко очерчена область возможных применений.

-7В первом разделе построена математическая модель динамики плоского криволинейного вязкоупругого стержня произвольной переменном кривизны. Получено интсгро-диффсрснцпалыюс уравнение

Г(э(4;т))- |у/(т-г).Г(з(^:г))л + 0 = о. (О

о

относительно углов поворота поперечных сечений 9(^;т). определяющее движения плоского криволинейного стержня произвольного очертания, материал которого подчиняется соотношениям линейной наследственной теории вязкоупругости Больцмана

Ч

о гп д\-) I дг(-)

3ДССЬ Ь (О = -У- + -Г7-Г--\г .

и 3? /•*($) ас?

£ - безразмерная дуговая координата, £"„ - мгновенный модуль упругости, У^ (') = Аг-С 1 . безразмерное ядро релаксации Колтупова-Ржа-

ннцына, Аг, аг, - экспериментально определяемые параметры ядра (О < а, ; р^ < 1), - внешняя нагрузка, т - безразмерное время.

Решение уравнения (1) строится методом Рптца, в предположении, что неизвестная функция углов поворотов поперечных сечении 9 = Э(^,т)

раскладывается в ряд по функциональному базису, частным случаем которого являются собственные функции 9',' = упругой задачи

Г(эо(0)-"'г-Э°(0 = 0- • (2)

Данный общий подход был предложен Колтуновым и Трояновским для нелинейных задач н его применимость к линейным не вызывает сомнений. Представляя функцию углов поворотов поперечных сечений в виде

зМ = 2>.(0-э:(0. (3)

I >1

раскладывая внешнюю нагрузку по выбранному функциональному базису н используя одностороннее преобразование Фурье с параметром м.

переходим от уравнения (1) к набору уравнений, определяющих изображение модальных амплитуд

я;(ш) = л;(а))-и';((о). (4)

1Гк (ш) = N ■ Рк • ч» ■' (со) - г/, (0) - / ■• О ■ ак (0).

где

W,» =

ш!

0)

2\

i-y;(co)- 2 mkj

(5)

- модальная передаточная функция, содержащая характеристики стержня, не зависящие от характера возмущений (кинематических и силовых), приводящих стержень в движение.

Для каждой моды такими характеристиками будут:

- модальная передаточная функция И^'(со). определяемая на основе (5),

- соответствующая резонансная частота сол и коэффициент затухания со определяемые соответственно как действительная и мнимая части комплексных корней характеристического уравнения

со2

1 - у;;(со) - ^ = 0.

»4

Учитывая представление (3) и выражение для модальных амплитуд (4), записываем функцию Э'(£,,со) в виде

( Ч'[(ь>)'

Э-(^.а) = ("'э'^.со) -Н^.и) -/И^и)).

(б)

где IKg^.co), iFy'^(4,co), fFg" - передаточные функции по углам

поворотов, определяемые по формулам:

% = {а)

1 1»!

2 Iii

2 I ,i

Имея представление изображения функции углов поворота поперечных сечении (б), можно получить изображения других, интересующих пользователя, характеристик напряженно-деформированного состояния (НДС). Передаточные функции по различным компонентам НДС - напря,-жениям. скоростям, ускорениям, перемещениям и др. - являются реакцией системы на 5-функцию и несут в себе информацию о собственных движениях заданных точек стержня. Эта информация может быть каталогизирована и использована для динамического анализа.

Далее будем рассматривать заданный криволинейный стержень из вязкоупругого материала как линейную систему, имеющую передаточную функцию, на вход которой подается некоторое динамическое воздействие (рис.!.). под которым понимается моно- или полигармоническая вибрация, определенным образом распределенный по длине стержня ударный импульс, последовательность ударов, начальное смещение, начальная скорость и т.п.

1|/+(со)

рис. 1.

Такая модель характерна для теории автоматического регулирования (ТАР) и. следовательно, реакцию стержня на произвольное воздействие можно определить, используя методы ТАР. Задача решается в изображениях

= чф). (?)

где под 7. будем понимать изменение выбранной компоненты НДС в заданном точке стержня в зависимости от частоты внешнего воздействия. Очевидно, что пересчет выходной характеристики при изменении входного воздействия не вызывает затруднении и сводится к простой замене изображения одного входного воздействия другим. Передаточные функции являются инвариантами к изменению внешнего воздей-

ствия во времени и позволяют получить реакцию стержня на последнее.

Использоиание метода модальных разложении требует решения упругой задачи - решения уравнения (2). описывающего свободные колебания криволинейного стержня заданного очертания, выполненного из упругого материала. Уравнение (2) - обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка с переменными коэффициентами по причине переменной кривизны. Разработан аналитический метод интегрирования такого типа уравнения, состоящий из двух этапов. На первом этапе специальным образом строится приближающее уравнение

известное точное решение которого

. U = 1.4)

(3)

принимается за приближенное решение уравнения (2). Здесь

1

В.

J7\7w -7-г?

D-

■ + <\шг, £, = I. Ег = -I. Е{ = /. Ц

= -1.

4l-r Г

На втором этапе с использованием представления

9(q) = А (0/(0 + А(0/,(0 + 0,(О/ЛО + ьШШ.

(D, = £>,(4) • неизвестные функции). модифицированного метода вариации произвольных постоянных, приближенное решение (8) уравнения (2) уточняется. При этом частные решения исходного уравнения (2) получены в виде

~ (

где

8 ,-(0=//(0 * К;0• S/W•/,(') - ZI'"'М■ Ш■

1 ' /,(г) /,(0 l/,(z) .ф))

сЬ,

= 2-Тп)

е л

а (г

Г \га

7,(0 = -с*р J B,{z)ciz

\ h

I""' означает п-ю итерацию ядра V. определенного формулой

1 т т*) шуш ш-ш

-ит) ^т ш-ш тут

Общее решение имеет вид

э»(0=с, • 8,(0+сг • 9,(0+С, • 9,(0+с; • 9,(0 (9).

Таким образом, решив уравнение (2). мы полностью замкнули задачу исследования динамики криволинейного вязкоупругого стержня и можем сформировать его динамический паспорт, куда входят:

1. формы собственных упругих колебаний =

2. модальные передаточные функции = ,

3. резонансные частоты свободных затухающих колебаний вязко упругого стержня со/а.,

4. коэффициент затухания а. логарифмический декремент за туханпя 8( = -2- к ■(Ол/а„1 .

В следующих разделах разработанный математический аппарат применяется для исследования динамики криволинейного вязкоупругого стержня, выполненного в виде отрезка логарифмической спирали, моделирующего изолированное ребро человека (рис. 2.).

рис. 2.

Данный стержень по своим механическим и геометрическим характеристикам удовлетворяет модели, предложенной выше. Условия оппрания известны из антропометрических исследований и моделируются подвижной заделкой в грудине (^=1) и неподвижным* шарниром в позвоночнике = К) (рнс.2.). Для указанного стержня И, =0.012, а, =0.02, Р =0.00011,

= а = 1//з. к = е-ап.

Во втором разделе изучаются свободные движения стержня при возбуждении их начальными деформациями и скоростями. Сформирован его динамический паспорт.

Собственные функции углов поворота определяются выражением

з';(£,) = , 5»«(/(1) - т).

|1 + а(0 1 (+ , г 4 где = , „ . +—1" , -г • а = VI + 4/л -г ,

V 2а' 4а + +

полученным путем удовлетворения (9) граничным условиям 4/0 = О- М(К) = 0, 9(0) = 0, 0(0) = 0.

В табл. I приведены первые четыре значения частотного коэффициента тк и соответствующие значения действительной и мнимой частей корней соЛ ±/-о)у уравнения (6) - первые четыре значения резонансной частоты со н, коэффициента затухания си логарифмического декремента затухания 5,..

табл. 1.

к 1 2 3 4

20,68 78,06 162,97 285,85

13.68 52.5 110.59 188.33

0.28 1.01 2.06 3.43

5, 0.129 0.121 0.117 0.114

Решена задача определения изображения наибольших динамических напряжений в данном стержне, возникающих после снятия сосредоточенной силы, приложенной в подвижной опоре в саггптальном направлении. Предварительно была решена задача статического деформирования стержня. Полученная при этом деформированная форма стержня, служит

изначальной для изучаемого процесса. Величина силы Р принималась из условия статической прочности. В результате показано, что наряжения в опасном сечении (4 = 0.372) не превышают 0.59-[а], где [ст]- допускаемое

напряжение.

Получены значения изображении напряжений в различных сечениях стержня в зависимости от приобретенной в начальный момент в

рис. 3.

Максимальные напряжения возникают в сечении стержня, соответствующем дуговой координате ^ = 0.372 и приложению скорости в той же точке 4., = 0.372 (рис. 4).

И™ = |с'(0-372,0.372)| = 5.89 • V ■

Зависимость напряжений в наиболее опасном сечении стержня Е, = 0.372 от координаты точки приложения скорости изображена на рис. 5.

рис. 4. рис. 5.

-м-

Полученные результаты могут быть использованы при моделировании реакции стержня на столкновение его с преградой.

В третьем разделе изучается реакция криволинейного вязкоупру-гого стержня на силовые воздействия при однородных начальных условиях, то есть вынужденные движения стержня. Влияние силового воздействия рассматривается с двух сторон: с точки зрения характера его распределения по координате и по характеру изменения во времени. Рассмотрены случаи моно- и полигармоннческой вибрации и ударные нагрузки с различной локализацией. Влияние распределения нагрузки по координате на некоторую характеристику НДС учитывается соответствующей передаточной функцией (8).

Рассмотрено влияние трех типов нормальной сплошной нагрузки, распределенной по координате равномерно, по полусинусоидальному,. треугольному законам (рис. б, ось стержня условно выпрямлена).

К 1 % К 1 \ К 1 \

рис. б.

Показано, что в случае одинаковой общей нагрузки, наиболее опасным является нагруженне по треугольному закону. Максимальные значения модуля передаточной функции по напряжениям для рассмотренных случаев приведены в табл. 2 (Л'||- амплитуда равномерной нагрузки). В

перечисленных случаях максимальные напряжения возникают в сечении стержня, соответствующем дуговой координате £, = 0.372.

табл. 2.

распределение нагрузки равномерное полуспнусо-идальное треугольное

0.S04 I.291 I.34

Рассмотрспы те же законы распределения тон же нагрузки, но по участку, равному 0.1 длины стержня с центром в опасной точке £ = 0.372.

Максимальные значения модуля передаточной функции но напряжениям для рассмотренных случаев практически ие различаются (табл. 3). что позволяет считать, что вид распределения нагрузки по рассматриваемому узкому участку практически не влияет на напряжения. __табл. 3.

распределение нагрузки равномерное полусипусо-идальное треугольное

4.61 4.62 4.62

Изучалось влияние равнодействующей равномерно распределенной по узкому участку (рис.7) силы на величину напряжении в опасном сечении £ = 0.372 в зависимости от се точки приложения (рис. 8).

53 4

КМ'

1,х 2

/о4/ /С 1

рис. 7.

Имеется диапазон приложения равнодействующей 0.627 < 0 < 0.714 , в котором эффект сосредоточенной силы слабее, чем эффект силы распределенной по всей длине.

Далее рассмотрены случаи влияния перераспределения нагрузки с практически сосредоточенной на участке до распределенной по всей длине (рис. 9).

У & V

рис. 8.

Е -

{ -к

3--

N '

N \

\

12 34 56 789 10 I V 10

1.3

«(>) I 1..0. I

0.3

\

10 10

{.• I

Иу>!

/1 > \ \

/ \ N

ч

1234 36789 10 1 у 10

рис. 9 (а.Ь.с).

Отмечены немонотонные зависимости модуля передаточной функции по напряжениям |и„ | от параметра перераспределения у. характеризующего часть стержня, на которую перераспределяется нагрузка, в крайних случаях (рис.9 (а.с)).

В следующей группе задач рассматривается влияние формы и дли

5

тельности импульса на напряжения. В частности, получены зависимости модуля изображения напряжения от длительности х импульсов разных форм: прямоугольной (рис. 10), полусинусоидальной (рис. 11), треугольной (рис. 12), косинусопдалыюй (рис. 13).

01 2 3-1 5 0 7 8910 0 I 2 .1 -I 5 6 7 8 9 10

о ют о 1 ют

рис. 12. рис. 13.

Для прямоугольного импульса влияние длительности его на напряжения характерно следующими особенностями. При Т<7-'Г (Г = 271/01,): 1) наиболее опасными будут импульсы длительности Т = (« + 1/2)- Т, п-0,1,...,6,

причем величина напряжений в этих случаях одинакова; 2) при длительностях х, кратных периоду Т напряжения ниже, с увеличением длительности наблюдается рост напряжений. Аналогичные рассуждения проведены для импульсов других рассмотренных форм. Некоторые результаты и.х сведены в табл. 4. Здесь т, и х,- длительности импульсов,

при которых наблюдается соответственно первый максимум и первый минимум напряжении.

табл. 4.

вид импульса прямоугольный полусинусо-нлальнмй треугольный косинусом- дальний

т, 0.5-У 0.7 • Г 0.74 0.84 • Т

И-иАглг 0.1 18 0.101 0.085 0.096

т. Г 1.5-7' 1.7 -Г 1.82 • Т

0.015 0.0148 0.013 0.0141

Основные ВЫВОДЫ.

В результате проделанного исследования построена система анализа динамического поведения криволинейных стержней из вязкоупругих материалов. Ее особенностью является практическая независимость от характера изменения внешнего воздействия во времени, то есть одна и та же методика'применяется к различным классам динамических задач: свободным и вынужденным колебаниям, ударным воздействиям и т.п. При разработке метода был модифицирован известный метод модальных разложений, что значительно расширяет круг аналитических моделей, которые можно применять за счет использования ряда известных решении в напряжения, усилиях, моментах. Для построения функционального базиса - форм свободных колебаний - разработан аналитический метод дифференцирования дифференциального уравнения 4-го порядка с переменными коэффициентами. что позволило в итоге найти аналитические зависимости решения дпиамической задачи для вязкоупругого тела. Возможности методики продемонстрированы на решении некоторых задач биомеханики - о статическом и динамическом нагруженни ребра человека. Обширный круг решенных задач продемонстрировал эффективность разработанной методики.

При решении отдельных задач выявлены некоторые закономерности динамического поведения ребра. По свободным колебаниям получены частоты свободных колебании вязкоупругого криволинейного стержня и коэффициенты затухания. Установлены опасные сечения при свободных колебаниях, показана зависимость несущей способности стержня от характера возмущения. При анализе вынужденных движений исследовано влияние различных факторов внешней нагрузки на отклик стержня -наибольшие напряжения. При исследовании ударных воздействий установлено, что наиболее опасными являются прямоугольные (во времени) импульсы, дли-тельность которых соответствует полуперподу свободных колебаний. При больших длительностях опасным будет статическое состояние. Исследовались эффекты, связанные с распределением и перераспределением нагрузки по дуговой координате. Установлены локализация опасного сечения и вли-яние распределения нагрузки на напряжения. Проделанные исследования позволяют дать рекомендации по конструированию защитных средств на транспорте, могут быть применены в криминалистике и т.п.

В целом разработанный метод анализа поведения динамического поведения криволинейных вязкоупругих стержней оказался эффективным. Применение аналитических решении существенно для вычислительной работы. Разработанный способ построения аналитических решений дифференциального уравнения 4-го порядка с переменными коэффициентами может быть обобщен на высшие порядки. При этом источник переменность коэффициентов не важен — он может быть следствием переменности плотности, площади, жесткости. В сочетании с модальным разложением применение такого метода позволяет простым способом изучить реакции разнообразных стержней на динамическое воздействие.

Публпкацпп.

1. Шмаркова Л.И. О приложениях дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами к задачам биомеханики.-Тезисы докладов научно-технической конференции ОрелГТУ, Орел, 1994, с. 88.

2. Шмаркова Л.И., Гордон В.А. Математическое моделирование реберного пояса человека- Тезисы докладов второй Всесоюзной конференции по биомеханике, Н. Новгород, т. 2,1994.

4. Шмаркова Л.И. Построение решения дифференциального уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами.-Сборник научных трудов молодых ученых г. Орла. Орел, 1995, с. 105-109.

5. Шмаркова Л.И., Гордон В.А. Прочностная модель ребра человека,- Сборник научных трудов ученых г. Орла, Орел, 1995, т. 7, с. 20-24.

6. Шмаркова Л.И. Плоские колебания криволинейных стержней. -. Известия Тульского государственного университета. Тула, 1995, т. 1, с.163-168.

7. Шмаркова Л.И. - Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию", Набережные Челны, 1996, ч.1.с.56-57.

8. Шмаркова Л.И., Гордон В.А. Прочность грудной клетки при динамических воздействиях,- Тезисы докладов третей Всесоюзной конференции по биомеханике, Н. Новгород, т. 1,1996.

9. Шмаркова Л.И., Гордон В.А. Аналитический метод расчета изгнбных колебаний стержней с отверстиями.- Сборник научных трудов ученых г. Орла, Орел, 1997, т. 8, с. 3-9.