Динамика механических стержневых систем со звеньями переменной длины применительно к эндо- и экзоскелетам тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ
|
Борисов, Андрей Валерьевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2015
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
УДК 531.01
На правах рукописи
Борисов Андрей Валерьевич
ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ СО ЗВЕНЬЯМИ ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЭНДО- И ЭКЗОСКЕЛЕТАМ
01.02.01 —теоретическая механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
005570020
1 О Ш12(115
Москва-2015
005570020
Работа выполнена на кафедре высшей математики филиала федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске.
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Чнгарев Анатолий Власович
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Галиуллин Ильяс Абдэльхакович, профессор кафедры теоретической механики ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».
доктор физико-математических наук Решмин Сергей Александрович, заведующий лабораторией механики систем ФГБУ науки Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук (ИПМех РАН).
доктор физико-математических наук, доцент Розенблат Григорий Маркович, профессор кафедры теоретической механики ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ)».
Ведущая организация: Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Защита состоится «17» сентября 2015 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 в ФГАОУ ВО Российском университете дружбы народов (РУДН) по адресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, зал№ 1.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов (РУДН) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.
Автореферат разослан «о 3 » илД/г-Ч Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.203.34 кандидат физико-математических наук, доцент
2015 г.
В.А. Попова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования обусловлена тем, что стержневые механические системы являются основой для математического моделирования и технической реализации робототехнических систем, начиная от манипуляторов и заканчивая антропоморфными системами. В последние годы появился большой практический интерес к созданию экзоскелетов, которые могут быть использованы в военных, реабилитационных целях, для создания роботов, обладающих функциями человека. В настоящее время создано много технических реализаций, которые, однако, далеки от желаемых. Разработаны модели антропоморфных механизмов с жесткими звеньями, относительно которых считается, что они описываются уравнениями, допускающими периодические решения. Однако, динамика таких стержневых систем описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, которые при определенных значениях параметров дают решения детерминированного хаоса, что свидетельствует о том, что в подобных системах имеет место конфигурационная энтропия, изменение которой должно регулироваться управляющими воздействиями. В реальных системах звенья кинематических цепей в процессе функционирования меняют такие свои характеристики, как длина, момент инерции, жесткость вследствие износа, что необходимо учитывать при построении более адекватных моделей. Получение моделей, близких к реальным системам происходит также за счет фрактализации звеньев, что ведет к увеличению числа степеней свободы. Процесс автоматизации получения уравнений таких систем требует разработки рекуррентных алгоритмов получения дифференциальных уравнений движения. Вышеперечисленные факторы обеспечивают актуальность данной темы исследования на современном этапе.
Цель диссертационной работы — разработка новых методов в нелинейной динамике стержневых механических систем, учитывающих изменение длины звеньев, энтропию положений звеньев и конфигурацию системы в целом, создание рекуррентного способа получения дифференциальных уравнений движения усложненных систем, более адекватных реальным, что составляет
новое направление в динамике нелинейных систем, применительно к движению
эндо- и экзоскелетов.
Задачи исследования:
— проведение анализа существующих подходов к созданию моделей эндо- и экзоскелетов с целью выявления актуальных проблем в данной области;
— разработка рекуррентного алгоритма составления уравнений движения в двухмерном и трехмерном случаях для дальнейшего использования при оценке погрешности, возникающей при аппроксимации системами с различным количеством звеньев;
— составление дифференциальных уравнений движения стержневых механических систем типа экзоскелета, перемещающихся за счет изменения геометрии под действием внутренних усилий и внешних связей с произвольным конечным количеством звеньев в плоском и пространственном случаях;
— описание динамики одноопорной, безопорной, двухопорной фаз движения экзоскелета для получения математической модели, учитывающей все возможные реальные условия функционирования;
— создание приближенной биомеханической модели шарнира-сустава в виде многослойной системы сфер для исследования изменения геометрии шарниров;
— получение критериев устойчивости вертикального статического положения стержневой многозвенной механической системы типа экзоскелета и обобщение на случай и-звеньев, расчет диапазона значений зон устойчивости;
— изучение влияния изменения длины звеньев на полученные зоны статической устойчивости экзоскелета;
— описание колебаний звеньев механической стержневой системы и исследование механизмов синхронизации звеньев при установившемся движении для комфортабельного передвижения человека в экзоскелете;
— получение численного решения системы дифференциальных уравнений стержневой механической системы со звеньями переменной длины, используя данные об управляющих моментах в подвижных сочленениях, опреде-
ленных на биологических прототипах для установления корректности предложенной теоретико-механической модели;
— сопоставление результатов, получающихся для модели со звеньями постоянной и переменной длины, проведение оценки энтропии как меры неточности движений модели;
— получение качественных и количественных характеристик предложенной модели и выработка рекомендаций для разработки теоретико-механической модели экзоскелета в виде робототехнической мехатронной системы.
Объектом исследования являются стержневые механические системы с изменяемой длиной звеньев применительно к эндо- и экзоскелетам.
Предмет исследования — нелинейная динамика стержневых механических систем с изменяемой длиной звеньев с учетом конфигурационной энтропии и рекуррентные методы построения усложненных систем типа эндо- и экзоскелета с произвольным конечным количеством звеньев, более адекватных реальным.
Гипотеза научного исследования заключается в проверке необходимости учета изменения длин звеньев при ходьбе и значимости их влияния на поведение модели, учет конфигурационной эшропии, характеризующей неопределенность положения звеньев и системы в целом, возникающих вследствие детерминированного хаоса, присущего нелинейным динамическим системам.
Методы исследования. Для достижения цели и решения вышеуказанных задач использовались методы теоретической механики, математического моделирования, методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, численно-аналитические методы, теории устойчивости, нелинейной динамики, вероятностно-статистические методы, экспериментальные методы, эмпирические данные о человеке при анализе биомеханики движения.
Техническое обеспечение: система компьютерной математики «МаШе-шайса 6.0.3», номер лицензии: Ь3259-1206, приобретенная за счет средств Гранта Президента Российской Федерации, номер МК-2524.2008.1.
Достоверность полученных результатов, научных положений, выводов и рекомендаций математически строго обоснована:
— использованием классических положений механики и современных методов математического моделирования;
— соответствием полученных результатов численных расчетов экспериментальным данным и результатам, полученных другими авторами.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Все результаты диссертационного исследования являются новыми и заключаются в том,
что впервые:
— предложена механическая модель стержневой механической системы с изменяемой длиной звеньев типа эндо- и экзоскелета;
— получены обобщения уравнений динамики стержневых механических систем с изменяющейся длиной звена в векторно-матричном виде и предложены общие выражения для элементов матриц, позволяющие записывать уравнения для механических систем из произвольного количества звеньев в двухмерном и трехмерном случаях;
— разработан рекуррентный метод построения уравнений движения экзоскелета;
— создана модель шарнира-сустава в виде многослойной системы сфер, проведен анализ ее функционирования при статических и динамических нагрузках, позволивших оценить изменение диаметра шарнира;
— исследована статическая вертикальная устойчивость многозвенной механической системы, рассчитаны диапазоны устойчивости;
— рассмотрена синхронизация звеньев стержневой механической системы при их колебательных движениях;
— проведено исследование влияния изменения длины звеньев модели на её динамику и выполнена оценка конфигурационной энтропии.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
— общие закономерности, выявленные в структуре уравнений динамики в двухмерном и трехмерном случаях и их обобщения для механических стержневых систем с изменяющейся длиной звена типа эндо- и экзоскелета, эффективный алгоритм построения дифференциальных уравнений движе-
ния двухмерных и трехмерных моделей',' рекуррентный метод построения уравнений динамики экзоскелета;
— анализ модели многослойного шарнира-сустава и оценки изменения диаметра шарнира;
— анализ вертикальной статической устойчивости механической системы с изменяемой геометрией под действием внутренних усилий и внешних связей;
— механизмы синхронизации звеньев механической системы при колебаниях, возникающих в процессе движения;
— модель динамики экзоскелета с изменяемой геометрией с учетом изменения длины звеньев.
Личный вклад соискателя. Основные результаты и выводы диссертации получены автором самостоятельно. Некоторые публикации осуществлены в соавторстве.
Теоретическая значимость полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Её значимость заключается в разработке нового метода получения систем дифференциальных уравнений нелинейной динамики стержневых механических систем на основе, рекуррентных алгоритмов усложнения структуры вследствие фрактализации звеньев с учетом изменяемости их длины и нечеткостью положения в реальных системах.
Практическая значимость полученных результатов. Результаты проведенного научного исследования позволят создавать учитывающие антропометрические особенности человека экзоскелеты различного назначения, протезы в медицине, скафандры, антропоморфные роботы, внедрение которых внесет значительный вклад в развитие различных отраслей промышленности, медицины, спорта страны и повышение ее обороноспособности.
Апробация результатов диссертации. Результаты научного исследования использованы в научно-исследовательской работе и учебно-тренировочном процессе в Смоленской государственной академии физической культуры, спорта и туризма, в работу предприятия ООО «СВ-ГРУПП» г. Смоленск, в «Центральном институте травматологии и ортопедии им. H.H. Приорова», г. Москва,
в учебном процессе кафедры высшей математики филиала ФГБОУ ВПО "НИУ "МЭИ" в г. Смоленске.
Основные положения, выводы и результаты научного исследования докладывались и обсуждались на международных научных конференциях в Москве, Новосибирске, Миассе, Смоленске, Сочи, Туле в 2006-2014 годах, на международной конференции «Mechanika 2009. 14th international conference. April 23, 2009 Kaunas University of Technology, Lithuania» и на этой же конференции 2010 года, на XXI Международной научно-технической конференции «Экстремальная робототехника» в 2010 г. VI Международном симпозиуме по трибофа-тике МСТФ 2010 (Минск), в Луганске (Украина) в 2006-2014 годах и др., на международной конференции «12th CONFERENCE on Dynamical Systems -Theory and Applications December 2-5, 2013 Lodz, POLAND», на заседаниях научного семинара кафедры теоретической механики БНТУ (Минск, 2009-2014 годах), научном семинаре имени академика А.Ю. Ишлинского по прикладной механике и управлению (2014 год, Москва, МГУ), научном семинаре «Теория управления и динамика систем» (2015 год, Москва, ИПМех РАН).
На конкурсах молодых ученых Смоленской области автор занял 2-е место в 2009 г., 1-е место в 2010 г. и 1-е место в 2012 г.
Монография автора [33] стала лауреатом Всероссийского конкурса на лучшую научную книгу 2012 года.
Работа выполнялась при поддержке Гранта Президента Российской Федерации для молодых ученых - кандидатов наук (номер МК-2524.2008.1), Гранта Российского фонда фундаментальных исследований (номер 13-01-97512).
Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 55 научных работ, среди которых 2 монографии, 1 учебник с грифом Министерства образования Республики Беларусь, 1 учебное пособие, 23 статьи в научных журналах из списка ВАК, 10 статей в научных журналах, приравниваемых к публикациям списка ВАК, 18 статей в других научных журналах, сборниках и материалах конференций. Общий-объем опубликованных материалов составляет около 1000 страниц.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и шестнадцати приложений. Объем диссертации составляет 247 страниц. Список литературы содержит 327 наименований отечественных, зарубежных авторов и интернет-ресурсов.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дана общая характеристика рассматриваемой проблемы, обосновывается актуальность выбранной темы, проведен обзор научной литературы, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна работы и практическая значимость, перечислены основные результаты и положения, выносимые на защиту, дана информация о публикации результатов.
В первой главе «Описание моделей экзоскелетов и обзор научно-технической литературы» проведен анализ имеющихся технических разработок экзоскелетов в мире. Изучена литература по данной проблеме.
Модели многозвенных антропоморфных устройств и их отдельных компонентов в рамках теоретической механики рассматриваются в работах Фор-мальского А.М. [1-3], Белецкого В.В. [4], Бербюка В.Е. [5].
Более общие проблемы создания мобильных роботов, различных процессов в динамических системах и управления ими рассматриваются в работах Ананьевского И.М. [6, 21], Болотина В.В. [7], Болотника Н.Н. [8, 22], Вукобра-товича М. [9], Галиуллина И.А. [10], Голубева Ю.Ф. [И, 12], Козлова В.В. и Трещева Д.В. [16], Маркеева А.П. [14], Мухаметзянова И.А. и Мухарлямова Р.Г. [15], Новожилова И.В. [16], Охоцимского Д.Е. [17], Погорелова Д. Ю. [11], Решмина С.А. [6, 18, 21], Розенблата Г.М., [19], Холостовой О.В. [20], Черно-усько Ф.Л. [18,21,22], и многих других авторов.
В работе Павловского В.Е. [23] дается обзор моделей перемещающихся с помощью ног технических устройств.
Обозначены нерешенные проблемы и определено место данной диссертационной работы в исследуемой области - проведение анализа влияния изменения длины звена на поведение стержневой механической системы типа эндо- и экзоскелета.
Во второй главе «Анализ многозвенных стержневых механических систем типа эндо- и экзоскелета с переменной длиной звена» поставлена задача анализа динамики стержневых механических систем с подвижными звеньями, изменяющими свою длину в плоском и пространственном случаях и создание эффективных матричного и рекуррентного методов записи дифференциальных уравнений движения универсальных для систем с произвольным количеством и топологией звеньев переменной длины.
Модель звена, изменяющего свою длину с течением времени, является базовой в работе. Введем основные понятия и опишем поведение такого звена.
Рассмотрим стержень переменной длины, представленный на рисунке 1, где ф - угол поворота стержня, С/0 - начальное положение центра масс стержня, С/ - текущее положение центра масс стержня, начальная длина ненагруженного стержня /0, текущая длина стержня при движении /, тогда изменение длины стержня можно представить в виде:
А/ = /о — /. (1)
При AI > 0 происходит сжатие стержня, при А/ < 0 — растяжение.
при его движении свободного звена переменной длины
При моделировании опорно-двигательного аппарата человека изменение длины звена непосредственно не связано с деформациями кости или сустава. Описать изменение длины звена под влиянием различных факторов можно, приняв в качестве модели звено переменной длины как функции времени. Характеристики: угол поворота, длина, момент инерции, положение центра масс звена являются функциями времени: ф = tp(t), I = l(t), Al = Al(t), /=/(/), С, = C(t).
10
Изменение длины звена не является управлением в системе. Оно может быть физически реализовано в реальной модели экзоскелета, например, в виде модели телескопического звена.
Рассмотрим плоское движение весомого звена АВ (рис. 2), являющимся стержнем, длина которого - функция времени: / = /(/). Введем неподвижную правую декартову систему координат луг с началом в точке О, предполагая, что движение центра масс происходит в плоскости хОу. Положение звена однозначно определяется координатами x(t), y(t) точки А, которую примем за полюс, углом cp(i), отсчитываемым от горизонтальной оси Ох в направлении против часовой стрелки, а также длиной стержня /(f). Следовательно, у звена четыре степени свободы. Центр масс звена находится в точке С. Его положение будем задавать в виде отношения длины от начала (полюса) звена до центра масс ко всей длине звена, через множитель п (О < и < 1), п = const. Это обусловлено тем, что положение центра масс конечности человека определяется эмпирическим путем и задается в виде отношения одной части звена к другой. Это позволяет учесть изменение положения центра масс во время движения через изменение длины звена. Масса звена т. Осевой момент инерции, проходящий через центр масс звена / = /(/) является переменным вследствие изменения длины звена. Координаты центра масс определяются из геометрических соотношений.
хс = x(t) + l(t)ncos<p(t), ус=К0 + /(0"sincp(0. (2)
Для сокращения размера формул опустим аргумент (/). Опуская промежуточные выкладки, приведем уравнения движения.
тх — tpm/nsincp — q>2mlncosq> — 2lq>mnsm(p + mncosyl = 0, (3)
my + ipmlncosty— q>2mlnsm(p + 2lq>mncos(p +mnsmql + mg = 0, (4)
- x /nwsincp + у Inmcoscp + ф (/t + ml2n2) + glnmcoscp + Unm /ф + /ф = 0, (4) xmncosq>+ ymnsin(p — /тпп2ф2 + gwmsincp + mn2l =0. (5)
В работе проводится анализ механических систем на основании фундаментальных принципов механики. Использованы два подхода к составлению уравнений: 1) проанализированы все элементы экзоскелета с помощью теорем о
движении центра масс и об изменении кинетического момента, для задач моделирования стержневых механических систем, записаны дифференциальные уравнения движения модели экзоскелета; 2) дифференциальные уравнения движения экзоскелета записаны с использованием уравнений Лагранжа второго рода. Совпадением результатов осуществляется контроль правильности.
В диссертации рассмотрены модели с одним, двумя, тремя, четырьмя подвижными звеньями, с целью установления закономерностей в структуре дифференциальных уравнений движения системы.
Для исследования плоского движения экзоскелета с п подвижными звеньями введена неподвижная правая декартова система координат луг с началом в точке О и плоскостью ху, в которой происходит движение центра масс. На рис. 3 схематично изображен фрагмент и-звенного экзоскелета в одноопорной фазе движения и введены соответствующие обозначения.
Рис. 3. Модель экзоскелета с л подвижными звеньями переменной длины
Если АгА2 = /ь А2А3 = 1......А„Ап+1 = /„ - длины звеньев экзоскелета, то его
положение однозначно определяется углами ср,- = ф,{/) (1 = 1, ..., п) и длинами стержней /,• = /,{/) (/ = 1,..., п). Моменты сил в г'-м шарнире обозначим М1 (г = 1, ..., п). Положения центров масс звеньев: С/, множители, определяющие их положение: и,-, (/ = 1, ..., п), (0 < л,- < 1). Массы звеньев: тя,- (г = 1.....и). Моменты
инерции: /, = /,{/) (/ = 1, ..., п). Срязь в точке О реализована в виде идеального шарнира и является двусторонней или удерживающей.
Для механической стержневой системы с произвольным конечным количеством п подвижных звеньев с изменяемой длиной, предложены дифференциальные уравнения в одноопорной фазе. Они представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, которая записана в матричной форме.
A(q,I)q + B(q,[)q2 + gC(q)l + 2D{q,l)0 q) + E(q,l)l + Iq =F(q,l), (6)
где q - угловые обобщенные координаты q = (срь ..., <p„)r; / -обобщенные координаты, описывающие изменения длины звеньев / = (/,, ..., l„)T; A(q,I), B(q,l), G(q,l), H(qJ) - матрицы, учитывающие инерционные свойства; C(q), K(q) - матрицы, определяемые моментами силы тяжести; D(q,I), E(q,l), L(q,l), P(q,l) - матрицы, учитывающие переменную длину звеньев; F(q,l) - матрица-столбец обобщенных сил, т.е. управляющих моментов; S(k,l) - матрица-столбец, учитывающая упругие свойства материала звеньев, q - матрица обобщенных ускорений; q - матрица обобщенных скоростей, тогда q2 = (ф,, ..., ф*)г; (I q) = (¡iqt, ..., i„qnY — матрица, составленная из произведений iq; I = (1\...../„)Г-матрица производных момента инерции.
Предложенный метод с помощью математической индукции обобщен для произвольной и-звенной системы типа экзоскелета. Приведем обобщающую формулу для матрицы А. В диссертации приведены обобщения для всех матриц, входящих в уравнения (6) и (7). Матрица А является симметрической, поэтому достаточно привести для неё только диагональные элементы и надциагональные, т.е., если / - номер строки^" - номер столбца, то ij = 1,2, ..., п, при этом j > i, остальные поддиагональные элементы получаются равными соответствующим симметричным относительно главной диагонали наддиагональным элементам.
G{q,l)q + H(q,I)q2 + gK(q) + 2L(q,I)0 q) + P(q,l)'l =
(7)
Примечание 1: во всех случаях, когда значение индекса превышает и, необходимо значение соответствующей величины положить равным нулю.
Примечание 2: в данных формулах не используется суммирование по повторяющимся индексам.
Примечание 3: матрицы дня стержневой системы с разветвлением типа экзоскелета подчиняются обобщениям, полученным для неразветвленных систем рассмотренной трехзвенной модели, но при этом необходимо учитывать изменение знака на противоположный после перехода через точку ветвления.
Матричная форма записи уравнений движения (6), (7) и обобщения (8) получены впервые, являются универсальными и могут бьггь применены к описанию движения механической системы с любым количеством звеньев переменной длины.
В диссертации приводится пример составления дифференциальных уравнений движения модели экзоскелета с шестью подвижными, изменяющими свою длину звеньями в одноопорной фазе (рис. 4).
переменной длины Минуя этап применения уравнений Лагранжа второго рода, используя полученные выше обобщения для матриц (8), были записаны дифференциальные уравнения движения данной механической системы. Уравнения движения имеют вид (6) и (7). Матрицы, входящие в уравнения движения, имеют размер 6x6. Для построения матрицы А каждый элемент был выписан в форме:
14
au=h+ l\(m\ni2 + m2 + m3 + m4 + m¡ + m6), an = lih(m2n2 + m3 + mA + m5 + m6)cos(q>, - <p2),
«56 = /5/б(»2бЛб)С05(ф5 - фб),
«66 = h + h2(m6n62),
«21 =«12» «31 =«13. «65 = 056-
Аналогично записаны элементы для всех остальных матриц, входящих в уравнения (6) и (7), по предложенным формулам. Дифференциальные уравнения движения экзоскелета с шестью подвижными звеньями переменной длины получены в виде:
(/i + li(m\ni + т2 + т3 + т4 + т5 + m6))ip, + + 1\12{т2п2 + т3 + ти4 + т5 + wí6)cos(<p! — ф2) ф2 +
+ /ih(m3n3 + т4 + т5 + /п6)соз(ф, - ф3) ф3 - (1 о)
- + т5 + т6)соз(ф1 -ф4)ф4 -
- lih(m¡ns + m6)cos(<pi - ф5)ф5 - /,/6(»j6776)cosfat - ф6)ф6 + ...
Предложенный новый метод построения уравнений сводится к записи матриц по имеющимся формулам (8), а затем умножению матриц на соответствующие векторы из уравнений (6) и (7), что существенно упростило процедуру получения дифференциальных уравнений движения экзоскелета.
В работе рассмотрена модель экзоскелета с двухзвенным корпусом и двухзвенными конечностями в безопорной и двухопорной фазах движения (рис. 5 а, Ь), имеющая 2п + 2 степеней свободы, где п - число звеньев. Дополнительно введена координата тазобедренного сустава C(x(t), y(t)). Все остальные обозначения аналогичны одноопорной фазе движения.
В диссертации получены дифференциальные уравнения движения и их обобщения для безопорной и двухопорной фаз движения экзоскелета. Структура уравнений (6) и (7) осталась прежней, но вид матриц, входящих в эти уравнения, в сравнении с одноопорной фазой движения, изменился. Обобщающие формулы получены и для этого случая.
X Л А,
а) Ъ)
Рис. 5. Схема стержневой механической системы с шестью подвижными звеньями переменной длины: а) в безопорной фазе; Ь) в двухопорной фазе движения с действующими неконсервативными силами
Для создания реально работающего экзоскелета, необходимы трехмерные модели, которые рассмотрены в диссертации (рис. 6).
Сс
-СГ
Рис. 6. Модель трехмерной механической системы типа экзоскелета с тремя подвижными звеньями переменной длины 16
В трехмерной модели для упрощения записи и без того громоздких уравнений моменты инерции звеньев относительно центра масс считались постоянными. Переход к переменным моментам инерции аналогичен двухмерной модели.
Уравнения движения в трехмерном пространстве экзоскелета с п подвижными звеньями в одноопорной фазе также представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, которые записаны в матричной форме.
Уравнение, описывающие изменение угла ср:
Лф(ф,у,/)ср +Др(ф,1|/,/)<|> + Сф(ф,\|/,0/ +£>ф(ф,у,/)ф2 +Яф(ф,у,/)ч/2 +
(П)
+ 2^ф(ф,у,0(/ ф ) + 2Сф(ф,у,0(м/ Ф ) + 2Яф(ф,у,0(/ ч») = Мф(ф,уА
Уравнение, описывающие изменение угла у:
Л(Ф>У>0Ф +Д/ф,У,/)Ч> + С^ф.у,/)/ +Д„(фЛ|/,/)ф2 +£',Хф,ч',/)Ч'2 +
(12)
+2^(фЛ|/,/)(/ ф ) + 2Оч,(ф,ч/,0(ч/ ф ) + 2Яч,(ф,\|/,/)(/ У) + = Л/у(Ф,ч/,/).
Уравнение, описывающие изменение длины звена / = /(/): МФЛ|/,0Ф +В^р,ц1,1)ц1 +Д(ф ,у,/)ф2 +
(13)
+ 2^ф,м/,/)(/ ф ) + 2С^Ф,М/,0(ч/ ф ) + 2Щ<р,у,1)(1 у) + ¿ВД = 5^,/). где ф, V)/ - угловые обобщенные координаты центра масс ф = (фь ..., фл)г, У = (Уь ■••. Ул)3"; ' — обобщенные координаты, связанные с изменениями длин
звеньев / = (/,...../л)г; Л(ф,\|/Д Я(ф.УЛ Дф.у,/), ДфЛСД С(ф,Ч/,/) - матрицы,
учитывающие инерционные свойства; С(ф,ф,/), Г(<р,\\1,Г), Я(ф,\)/,/) - матрицы, учитывающие переменность длины звеньев; -Цху) - матрицы, определяемые моментами силы тяжести; А/(ф,ф,/) — матрица-столбец обобщенных сил, т.е. управляющих моментов; £(£,/) — матрица-столбец, учитывающая упругие свойства материала звеньев, ф.у - матрицы обобщенных ускорений; ф2,\}/2 - матрицы квадратов обобщенных скоростей, (/ф) = (/,<[>,, ..., /„ф„ )т,
(/ у) = (/!*}/,,..., /„у, )г, (у ф) = (ф^.....ч/лф„ )г- матрицы, составленные из
произведений / ф, / ф, ф ф.
Получены обобщения матриц для произвольной трехмерной системы с п подвижными звеньями подобного вида, которые здесь не приводятся ввиду громоздкости.
На основе проведенного анализа и обобщений матриц, входящих в уравнения движения, в диссертационной работе предложен рекуррентный метод построения уравнений стержневой механической системы типа экзоскелета с переменными длинами звеньев. Обобщен предложенный подход.
Приведем построение матрицы для механической системы, состоящей из п + 1 подвижных звенев, испойьзуя матрицу для механической системы с и подвижными звеньями. Матрица А для механической системы с п подвижными звеньями имеет вид:
Мд,0 =
Ч Ы2 J
Щт,п,+ ¿т*|со5(ф,.-ф,)
А',^;«/ ^(«(р, -Ф/)
I, +1?(т<п? + ¿/яД(1=/)
V *=,+! )
/ЛтЛСОБСф.-ф,)
р»)
Матрица для механической системы с и + 1 подвижными звеньями строится так:
Ап+1=А„ + 5Ап. (14)
где
А =
V/ + 2Х соз(ф;.-ф,) .
V ым )
О
\ 1Ы+1 )
О
соз(ф, - ф„) О '/^„"„^(ф. -ф,) О
/>Л2 О
А2"1»«
«я(ф, - Ф.)
6Ак-
СОБ^р,- -ф,1+1)
//„т„+| соб(ф,-Ф„) 'Л+|т„-и"»+1 со5(<р, - ф„+,)
сог(ф„ - ф„+1)
Ц„»>»„«»„* соз(ф„ - Ф„+,) +
Таким образом, впервые получен рекуррентный алгоритм составления уравнений движения стержневой механической системы с п + 1 подвижными звеньями по известному уравнению для механической системы из п подвижных звеньев с переменной длиной. Впервые получены системы уравнений, описывающие динамику стержневых систем типа экзоскелетов с различным количеством подвижных звеньев, изменяющих свою длину.
В третьей главе «Анализ изменения радиуса сфер в шарнирах механической стержневой системы» решена задача нахождения давления, напряжений и деформаций для многослойного шарнира сферической формы. Радиальные деформации характеризуют изменения радиуса сферы в шарнире-суставе и на их основании можно оценить изменения длины звена. В качестве примера взята головка тазобедренного сустава, которая является практически идеальной сферой. Смазка обеспечивает практически нулевое трение в зоне контакта, равномерное гидростатическое давление и сглаживает несовершенства поверхности. В расчетах учитывается многослойность структуры сустава: наличие хряща, надкостницы, кости, внутреннего губчатого вещества. В диссертации созданы математические модели для различных приближений к реальному суставу, учитывающие различное количество слоев: однослойный, двухслойный, трехслойный и и-слойный. Для аналитического расчета послойно с учетом изменения свойств материалов в суставах рассмотрим п - 1 оболочку и шар внутри (рис. 7).
Из радиальной компоненты тензора деформации получаем систему п - 1 уравнений, линейных относительно неизвестных давлений /?,• (г = 2, 3, ..., и). Введем обозначения: для внешней оболочки индекс 1, для внутренней - 2, и так далее, для шара - п. Система линейных уравнений для определения давлений принимает вид:
УХ ~ РЛ 1-2а, ~ р2) 1 + ^-Д.3 я, Д23-Д,3 ' Ех
¿2 ' Е2 '
Рп-^-РЛ 1-2а„_, е.^ч-Л,) 1 + ст„-1 _ „ 1-2а,
В работе получены изменения радиусов внешней сферы, внутренней и так далее до шара соответственно.
Далее в главе проведены численные оценки деформаций и напряжений, возникающих в модели многослойного тазобедренного сустава человека. Рассмотрены динамические нагрузки, возникающие в суставе при ходьбе. Рассчитаны напряжения и деформации в шарнире-суставе. Результаты расчетов радиальной и угловых компонент тензоров деформаций от положения (м) и времени (с) представлены в графическом виде (рис. 8).
Рис. 8. Значения тензора деформаций (%), для шарнира-сустава С (тазобедренного сустава опорной ноги), возникающих при ходьбе в шарнирах-суставах (слева - радиальная, справа - угловая компонента)
Е,
Из анализа полученных зависимостей сделан вывод, что тензоры деформаций носят характер, близкий к циклическому, что соответствует функционированию шарнира-сустава при ходьбе. На их основе определяется изменение радиуса сфер и, соответственно, изменения длины звена.
Таким образом, впервые предложена аналитическая модель, описывающая зависимости изменений радиусов послойно в многослойной системе сфер, моделирующей тазобедренный сустав.
В четвертой главе «Моделирование статической устойчивости кинематических цепей, образованных звеньями переменной длины» проведен анализ статической и квазистатической устойчивости вертикальной позы экзо-скелета и анализ влияния изменения длины звена на зоны устойчивости.
Спиральные пружины имеют жесткости кь при верхнем вертикальном положении звена находятся в естественном недеформированном состоянии (рис. 9).
(от, + от, + от,)
т.д
Рис. 9. Модель опорной ноги Рис. 10. Модель опорной ноги экзоскелета в
с четырьмя подвижными звеньями в виде составной стержневой пружинной системы
виде с четырьмя подвижными звеньями составной стержневой пружинной системы с массами, моделирующими переносную ногу, руки и голову
В работе определены жесткости пружин к/ так, чтобы в верхнем вертикальном положении равновесие системы было устойчивым. Результаты обобщены для произвольной модели, имеющей п подвижных звеньев. При определении положения звеньев углами </>, получены условия устойчивости системы, выявлены зоны устойчивости звеньев опорной ноги под действием внутренних усилий в шарнирах (рис 11).
Физический смысл зон устойчивости заключается в следующем: нижняя граница зоны устойчивости дает минимальное значение жесткости пружины в суставе-шарнире. Причем, чем больше значение одной жесткости, тем меньше значение другой.
к\, Н-м " АьН-м
к* = 500
Рис. 11. Области устойчивости при одном из фиксированных аргументов, для модели с четырьмя подвижными звеньями
Рис. 12. Область устойчивости равновесия вертикального положения, в зависимости от времени (с), для модели с двумя подвижными звеньями
В главе исследовано изменение полученных обобщений при добавлении в систему дополнительных нагрузок, моделируемых в виде масс. Рассмотрена модель устойчивости экзоскелета с учетом массы переносимой ноги, рук и головы. На рис. 10 введены обозначения: в точке С подвешена переносная нога с массой, как и у опорной; в точке £> прикреплены две руки; в точке Е - голова.
В работе проведено исследование влияния ветвления звеньев на полученное обобщение решения. Рассмотрена модель с одиннадцатью подвижными
звеньями. Проведенный анализ обобщения решения показал, что оно устойчиво к изменению модели и практически не нуждается в модификации, является общим для различных моделей.
В практическом плане данная модель позволит определить минимальные значения управляющих воздействий в шарнирах, моделирующих крупные суставы опорно-двигательного аппарата человека, необходимые для поддержания вертикальной статической позы экзоскелета.
В работе рассмотрено влияние изменения длины звена на полученное решение. Проведен анализ квазистатического нагружения модели звена. В этом случае предполагалось, что скорость изменения угла мала в сравнении со скоростью изменения длины звена ф « /.
Учет изменения длины звеньев не приводит к изменению обобщающих формул, в них достаточно считать длину звена функцией времени /, = /,(/). Графическая зависимость изменения зоны устойчивости при учете изменения длины звена во время ходьбы для двухзвенной модели представлена на рисунке 12.
Проведенный анализ устойчивости положения равновесия для модели звеньев с переменной длинной можно использовать для любого конечного количества звеньев.
В пятой главе «Синхронизация кинематических цепей опорно-двигательного аппарата человека и экзоскелета» исследуется полученная во второй главе модель. Она содержит существенно нелинейные дифференциальные уравнения, поэтому возникают нелинейные эффекты в поведении экзоскелета. Возникает проблема изучения синхронизации ног при ходьбе. Рассмотрено два случая: 1) корпус может совершать одномерное движение вдоль горизонтальной оси; 2) корпус может совершать двумерное движение вдоль горизонтальной и вертикальной осей и вращательное вокруг своей оси. Установлено возникновение явления синхронизации. Рассмотрена синхронизация четырех-звенных конечностей экзоскелета при одномерном движении точки подвеса. Модель, соответствующая двум двухзвенным ногам человека, изображена на рис. 13, где массы звеньев обозначены ти т2, тъ, и т4, тазобедренного сустава - то.
I I гх
т,9 фт2 щт2
а) Ъ) с)
Рис. 13. Синхронизация модели с четырьмя подвижными звеньями, совершающей колебания в противофазе: а) вид в профиль; Ь) вид анфас; с) вид сверху
0®х
На рис. 13 угол отсчитывается от вертикали против часовой стрелки. Длины звеньев /,■ (г = 1,...,4). Положение звеньев определено углами ф, (г = 1,...,4), которые приняты за обобщенные координаты. Тазобедренный сустав имеет одну степень свободы для поступательного движения в горизонтальном направлении - координату х, которая также является обобщенной координатой.
На систему действуют вращающие моменты М, (г = 1,...,4) в точках подвеса звеньев, которые заданы в виде:
М,=Е, 81впф„ (/=1,..., 4). (16)
Силы сопротивления движению К0, К1 (г = 1,...,4) аппроксимированы следующим образом:
*0=-Ао*,*,=-*,ф„ (г = 1,...,4), (17)
где к0, к,, (г = 1,...,4) - коэффициенты вязкого сопротивления колебаниям основания и звеньев соответственно.
В диссертации получены дифференциальные уравнения движения для рассматриваемой модели. Решение системы дифференциальных уравнений, являющейся существенно нелинейной, проведено численно (рис. 14).
Рис. 14. Зависимости от времени: а) угла поворота звена (рад); Ь) угловой скорости (рад/с) в одной фазе; с) угла поворота звена; </) угловой скорости (рад/с) в противофазе (пунктиром обозначены зависимости для первого звена)
Как видно из графика, колебания практически сразу синхронизируются и далее происходят согласованно. В одной фазе визуально синхронизацию оценить легче. Подобные движения можно реализовать при ходьбе человека в эк-зоскелете, для одной ноги с наложенными на неё звеньями экзоскелета. Проведен анализ и других случаев движения.
Таким образом, впервые исследовано явление синхронизации нижних конечностей человека при ходьбе.
В шестой главе «Моделирование динамики эндо- и экзоскелета на основе решения обратной задачи динамики и синтеза кинематических цепей, образованных звеньями переменной длины» решаются задачи по восстановлению двигательных способностей человека на основе моделей экзоскелетов с звеньями переменной длины.
В главе рассмотрено трение в зоне контакта ноги с опорной поверхностью и влияние трения на систему дифференциальных уравнений движения и поведение модели. Показано, что учет трения снижает максимальные значения рассчитанных величин, и конечная конфигурация механизма изменятся.
Используя результаты второй главы, составлены уравнения движения для систем, приближенных к опорно-двигательному аппарату человека, содержащему 11 и 12 подвижных звеньев переменной длины.
В главе решена прямая задача динамики: по известным усилиям определены кинематические характеристики движения звеньев экзоскелета. Параметры системы выбирались равными соответствующим параметрам моделируемого человека. Начальные условия задавались в начале шага. Были построены зависимости углового перемещения, угловой скорости, углового ускорения для каждого звена. Сопоставлением экспериментальных и численных расчетов, показано качественное и количественное совпадение.
Расчеты проводились как для модели с абсолютно жесткими звеньями, так и с переменной длиной звеньев. В таблице 1 приведены результаты расчетов отношения максимального значения кинематических и динамических характеристик модели с абсолютно твердыми звеньями к этим же характеристикам модели со звеньями переменной длины.
Таблица 1 — Результаты расчетов отношения максимального значения кинематических и динамических характеристик движения модели с абсолютно твердыми и переменной длины звеньями
Ф1 Ф2 Фз ф4 Ф5 Фб Ф? ф8 ф9 Фю Фи
0)7/(Од 1,29 1,24 1,14 1,03 1,00 1,39 3,33 2,33 2,14 3,09 1,20
Ет/ед 1,94 2,33 1,40 1,88 1,87 1,25 5,00 1,79 1,09 1,78 1,25
Мт/Мд 3,50 2,20 1,16 1,08 1,00 1,13 2,50 1,09 1,00 1,00 1,00
Учет изменения длины звеньев позволяет в несколько раз снизить требования к управляющим моментам опорной ноги и корпуса в шарнирах-суставах и ударные нагрузки на опорно-двигательный аппарат человека.
Результаты расчетов относительной погрешности точности движения и конфигурационной энтропии для каждого звена представлены в таблице 2.
Среднее значение абсолютной погрешности расчетов равно 2,012 %, что является хорошим результатом в точности вычислений для рассматриваемой
26
задачи. Как видно из приведенной таблицы, погрешность для нижних конечностей не велика. Заметный рост погрешности наблюдается в верхних конечностях опорно-двигательного аппарата экзоскелета.
Таблица 2 - Результаты расчетов относительной погрешности точности движения и энтропии для каждого звена
\ Ф1 Ф2 Фз Ф4 Ф5 Фб Ф7 ф8 Ф9 Фю Фп
5,% 0,099 0,270 0,764 0,563 0,783 0,229 0,036 3,137 2,956 6,923 6,373
5 0 3,6-Ю'5 ЗД10"5 1,6-КГ* 0,035 0,002 0 7,6-Ю"4 1,8-10"1 0,009 0,010
Для стопы опорной нижней конечности энтропия имеет небольшие значения. Это связано с высокой точностью позиционирования, являющейся следствием контакта с опорой, и соответственно малым набором возможных вариантов реализаций. Нулевое значение для корпуса объясняется практически неизменным вертикальным положением корпуса при ходьбе.
Таким образом, впервые численно оценено значение энтропии при ходьбе модели экзоскелета. Показано, что имеет место неточность и, следовательно, непериодичность движения, связанная с движением реальной механической стержневой системы с изменяющими длину звеньями.
В результате исследования была создана теоретико-механическая модель экзоскелета. Расчетные данные для проектирования приближенной к человеку 11-звенной модели экзоскелета приведены в таблице 3.
Таблица 3 - Линейные размеры и инерционные характеристики звеньев экзоскелета
Звено ОА АВ ВС СО Ив БЕ ЕР
т, кг 1,13 2,91 8,93 23,96 4,91 1,63 0,88
/, кг-м2 0,01 0,07 0,33 2,01 0,06 0,02 0,01
п 0,559 0,595 0,545 0,500 0,677 0,550 0,573
/, м 0,229 0,385 0,477 0,365 0,157 0,248 0,237
В таблице: т — масса звена, / — момент инерции звена относительно оси вращения, проходящей через центр его масс, п — множитель, задающий положение центра масс звена, / — начальные длины недеформированных звеньев.
При предложенных значениях параметров модели должны быть обеспечены следующие характеристики для значений моментов сил, развиваемых в шарнирах-суставах экзоскелета (табл. 4).
Таблица 4 — Максимальные абсолютные значения моментов силы,
развиваемые в шарнирах-суставах экзоскелета
Шарнир-сустав Ог А, Вх С Вг Аг А Е1 ¿>2 Ег
М, Н-м 600 600 500 250 60 20 60 20 90 20
Исходя из максимальной нагрузки в стопе опорной ноги, возникающей при постановке на опору и последующем толчке, полагаем, что необходимы двигатели с импульсным высоким крутящим моментом. Приводы должны подбираться индивидуально для каждого сустава и, в случае с нижними конечностями, обеспечивать широкий диапазон рабочих значений от 600 Н-м при отталкивании ноги от опоры до 20 Н-м при движении ноги по траектории в фазе переноса.
Следующий этап проектирования экзоскелета - выбор конструкционных материалов, исходя из нагрузок, возникающих при эксплуатации. В соответствии с расчетами напряжений главы 3 в модели шарнира-сустава, приведем необходимые максимальные напряжения, возникающие в материале шарнира-сустава экзоскелета (табл. 5).
Таблица 5 — Максимальные напряжения, возникающие в шарнирах-суставах
экзоскелета (абсолютные значения)
Шарнир-сустав А, В1 с, с2 В2 а2 А Ех Ог Ег
Ърас-п МПа 200 150 150 80 30 10 15 8 15 10
Как видно из таблицы, шарниры-суставы могут быть изготовлены из различных материалов для обеспечения прочности к возникающим нагрузкам с учетом выполнения условия а^сч ^ [о].
Таким образом, проведены численные расчеты и получены практические рекомендации по созданию экзоскелета. Дальнейшее применение результатов диссертационного исследования возможно при изготовлении в виде физической модели опытного образца экзоскелета.
В заключении сформулированы основные результаты исследования, которые состоят в следующем:
1. Разработаны новые подходы к получению нелинейных дифференциальных уравнений движения стержневой механической системы, выразившиеся в создании рекуррентных алгоритмов получения усложненных систем за счет фрактализации звеньев, в учете изменения длины звеньев в процессе движения и неопределенности их положения в реальных системах с помощью конфигурационной энтропии, перечисленные подходы составили новое направление динамики нелинейных систем применительно к эндо- и экзоскелетам.
2. Проведен анализ отдельных структурных элементов и синтезирована динамическая модель стержневой механической системы с звеньями переменной длины, которая включала в себя: составление уравнений движения механической системы, моделирующей походку человека в плоском и пространственном случаях.
3. Описана динамика одноопорной, безопорной, двухопорной фаз движения экзоскелета. Таким образом, получены теоретико-механические модели, описывающие все возможные реальные условия функционирования экзоскелета.
4. На основе решения задачи о распределении давлений в многослойных шарнирах-суставах, состоящих из произвольного конечного количества слоев, получены выражения для изменения диаметра шарнира при его нагружении.
5. Впервые разработана теоретико-механическая модель устойчивости вертикального статического положения стержневой и-звенной механической системы типа экзоскелета. Проведены численные расчеты диапазонов значений зон устойчивости различных моделей механических стержневых систем типа экзоскелета в статическом состоянии. Показано, что они имеют достаточно большие области. Проведено исследование влияние изменения длины звеньев на полученные зоны статической устойчивости экзоскелета.
6. Впервые исследован вопрос о синхронизации движений механических систем при колебательном движении звеньев применительно к двуногой ходьбе. Показано, что подобное явление может иметь место и давать новые нелинейные эффекты, в том числе, упрощающие управление установившимся движением и стабилизирующие двуногую ходьбу. Практическое достижение экзо-скелетом и антропоморфным роботом движений, близких к движениям человека и его устойчивость в динамике, возможно за счет явления синхронизации колебаний всех элементов экзоскелета.
7. Составлена и записана система нелинейных дифференциальных уравнений для моделирования движений многозвенной механической системы со звеньями, изменяющими свою длину. Эти результаты можно использовать и для описания движения экзоскелета и антропоморфного робота подобной структуры. Сформулирована и решена прямая задача динамики движения экзоскелета с абсолютно твердыми и изменяющими длину звеньями при заданных управляющих воздействиях и проведено её численное решение с использованием экспериментально найденных усилий; доказана возможность их применения для моделирования двуногой ходьбы экзоскелета с звеньями переменной длины, т.е. предложена методика восстановления утраченных двигательных возможностей человека. При соответствующем развитии технологий возможно будет измерять импульсы, указывающие направления действий человека и по ним синтезировать движения экзоскелета. Впервые проведены оценки энтропии, как характеристики неточности и непериодичности возникающей при движении экзоскелета, установлен ее рост от опорной конечности до переносной ноги и рук.
8. Проведено сопоставление моделей с абсолютно твердыми и изменяющими длину звеньями. Показана необходимость учета изменения длины звеньев. Результаты проведенного исследования помогут лучше понять механизмы функционирования опорно-двигательного аппарата человека и создать модель экзоскелета со свойствами, близкими к человеческим. Полученные результаты моделирования применены к созданию теоретико-механической модели экзоскелета со свойствами, близкими к человеческим, сформулированы требования элементам модели экзоскелета.
30
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Публикации в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ
1. Борисов А. В. Расчет на прочность трехслойного стержня как модели нагруженной конечности человека / А. В. Борисов, JI. А. Лётов // Естественные и технические науки -2008.-№ 1.-С. 29-31.
2. Борисов А. В. Расчет размеров необратимого разрушения модели коленного сустава человека / А. В. Борисов // Известия Тульского государственного университета. Серия : Естественные науки. - 2010. - Вып. 2. - С. 44-52.
3. Борисов А. В. Применение системы компьютерной математики «Mathematica» для составления уравнений движения антропоморфного механизма с использованием общих теорем динамики / А. В. Борисов // Известия Тульского государственного университета. Серия: Естественные науки.-2010.-Вып. 2.-С. 163-172.
4. Борисов А. В. Исследование математической модели головки тазобедренного сустава человека в виде сферической оболочки методом малого параметра / А. В. Борисов // Естественные и технические науки. - 2010. - № 2. - С. 70-75.
5. Борисов А. В. Методика автоматизированною составления дифференциальных уравнений движения антропоморфного робота / А. В. Борисов // Известия Смоленского государственного университета. - 2010. - № 2. - С. 82-89.
6. Чигарев А. В. Предельные нагрузки в суставах человека / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Вестник ЧГПУ им. ИЛ. Яковлева Серия: Механика предельного состояния - 2010 -№2 (8).-С. 548-552.
7. Борисов А. В. Численное решение системы дифференциальных уравнений движения антропоморфного робота и анимационная визуализация его ходьбы / А. В. Борисов // Известия Смоленского государственного университета. - 2010. - № 4. - С. 69-76.
8. Чигарев А. В. Моделирование управляемого движения двуногого антропоморфного механизма / А. В. Чигарев, А. В. Борисов И Российский журнал биомеханики. —2011. — Т. 15, № 1(51). - С. 74-88. (Chigarev A.V., Borisov A.V. Simulation of controlled motion of the bipedal anthropomorphic mechanism / A.V. Chigarev, A.V. Borisov // Russian Journal of Biomechanics.-2011.-Vol. 15,No. 1(51).-P. 69-83)
9. Борисов А. В. Распределение деформаций и напряжений в системе, состоящей из произвольного количества толстостенных сфер, под действием внешней нагрузки / А. В. Борисов // Известия Тульского государственного университета. Серия : Естественные науки -2011.-Выя. 1.-С. 94-102.
10. Борисов А. В. Управление движением одиннадцатизвенного антропоморфного робота на основе информации экспериментально полученной на биологических объектах / А. В. Борисов // Вестник Воронежской государственной технологической академии. Серия : Информационные технологии, моделирование и управление. - 2011. - № 2. - С. 68-71.
11. Борисов А. В. Расчет деформаций, возникающих при нагрузках в опорно-двигательном аппарате человека / А. В. Борисов // Известия Смоленского государственного университета. - 2011.-№ 4.-С. 114-118.
12. Чигарев А. В. Диффузионная модель разрушения элементов опорно-двигательного аппарата человека / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Российский журнал биомеханики. - 2012. - Т. 16, № 1 (55). - С. 22-37. (Chigarev A.V., Borisov A.V. A diffusion model of elements of the human locomotorium system destruction / A.V. Chigarev, A.V. Borisov // Russian Journal of Biomechanics. - 2012. -Vol. 16, No. 1 (55).-P. 18-32).
13. Борисов А. В. Численное решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающего стохастическую модель разрушения компонентов опорно-двигательного аппарата человека / А. В. Борисов // Естественные и технические науки. - 2012. - № 6. - С. 33-36.
14. Чигарев А. В. Модель накопления повреждений в искусственном опорно-двигательном аппарате человека / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2012. - Т. 18, № 4. - С. 451-462.
15. Борисов А. В. Уравнения динамики деформируемых стержневых механических систем / А. В. Борисов // Естественные и технические науки. - 2013. -Ks 2. - С. 34-36.
16. Борисов А. В. Движение деформируемого твердого тела при наложении связей, минимизирующих принуждение / А. В. Борисов, А. В. Чигарев // Естественные и технические науки. - 2013. - № 2. - С 36-38.
17. Чигарев А. В. Движение деформируемого твердого тела за счет источников внутренней энергии / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Естественные и технические науки. - 2013.-№2.-С. 38-41.
18. Чигарев А. В. Детерминированное управляемое движение деформируемого твердого тела / А. В. Чигарев, А. В. Борисов И Естественные и технические науки. - 2013. - № 2. -С. 41-44.
19. Борисов А. В. Разработка модели экзоскелета с пониженным расходом энергии на основе использования деформируемых звеньев: рекуррентный метод построения уравнений динамики / А. В. Борисов // Естественные и технические науки. - 2013. - № 6. - С. 33-36.
20. Борисов А. В. Существование и единственность решения системы дифференциальных уравнений, описывающей движения экзоскелета / А. В. Борисов // Фундаментальные исследования. - 2014. - № 9 (Ч. 7) - С. 1495-1499.
21. Распространение трещины в шарнире-суставе эндоскелета / А. В. Борисов, И. А. Гончарова, Л. В. Кончина, Л. А. Летов // Современные проблемы науки и образования. -2014. - № 5; URL: http://www.science-education.ni/l 19-15068 (дата обращения: 27.10.2014).
22. Борисов А. В. Влияние изменения длины звена на вертикальную статическую устойчивость экзоскелета / А. В. Борисов, Л. В. Кончина // Естественные и технические науки. - 2014. - № 8(76). - С. 12-14.
23. Борисов А. В. Автоматизация проектирования стержневых экзоскелетов / А. В. Борисов // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2014. - № 10. - С. 29-33.
Статьи в рецензируемых изданиях ВАК Республики Беларусь
24. Чигарев А. В. Синхронизация колебаний стержневых механических систем / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Механика машин, механизмов и материалов. — 2013. — № 1 (22). -С. 82-86.
25. Чигарев А. В. Использование С КМ «Mathematica» для численного исследования стохастических моделей накопления повреждений в биоматериалах / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Теоретическая и прикладная механика. - Минск : БИТУ, 2013. - Вып. 28. - С. 27-30.
26. Чигарев А. В. Моделирование и определение критериев статической устойчивости эндо- и экзоскелета / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Механика машин, механизмов и материалов. - 2013. - № 2 (23). - С. 83-88.
27. Чигарев А. В. Моделирование движения антропоморфного робота на плоскости с использованием пакета Mathematica / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Информатика. - 2013. -№2.-С. 5-10.
28. Борисов А. В. Модели циклического нагружения при ходьбе / А. В. Борисов // Теоретическая и прикладная механика : международный научно-технический сборник -Минск, БИТУ. - 2014. - Вып. 29. - С. 86-88.
29. Чигарев А. В. Рекурсивный метод получения дифференциальных уравнений движения деформируемых плоских антропоморфных систем в безопорной и двухопорной фазах движения / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Теоретическая и прикладная механика : международный научно-технический сборник - Минск, БИТУ. -2015. - Вып. 30. - С. 70-81.
Статьи в рецензируемых зарубежных изданиях
30. Borisov А. V. Elastic analysis of multilayered thick-walled spheres under external load / A. V. Borisov // Mechanika. Kaunas University Of Technology. - 2010. - Nr. 4(84). - P. 28-32.
31. Chigarev A. V. Mathematical Modeling of Human Posture Balance When Standing on One Foot / A. V. Chigarev, A. V. Borisov // Consumer Electronics Times. - 2012. - Vol. 1, No. 1. -P. 12-17. Режим доступа: http://www.academicpub.org/DownLoadPaper.aspx?PaperID=1641
Монографии
32. Борисов А. В. Моделирование опорно-двигательного аппарата человека и применение полученных результатов для разработки модели антропоморфного робота : монография/А. В. Борисов. - М.: Спутник +, 2009.-212 с.
33. Борисов А. В. Динамика эндо- и экзоскелета : монография / А. В. Борисов. - Смоленск : Смоленская городская типография, 2012. - 296 с.
Учебник (с грифом министерства образования Республики Беларусь)
34. Чигарев А. В. Биомеханика : учебник / А. В. Чигарев, Г. И. Михасев, А. В. Борисов. -Минск : Изд-во Гревцова, 2010. - 284 с.
Учебное пособие
35. Борисов А. В. Биомеханика ходьбы человека: учеб. пособие / А. В. Борисов, А. В. Чигарев. - М.: Спутник +, 2009. - 200 с.
Статьи материалов зарубежных конференций
36. Chigarev А. V. Problems of strength at loading multilayer bones of the person / A. V. Chigarev, A. V. Borisov // Mechanika 2009 : proceedings of the 14" international conference (April 2-3,2009) / Kaunas University of Technology, Lithuania. - Kaunas :Technologija. - 2009. - P. 76-79.
37. Chigarev A. V. Calculation of the sizes of irreciprocal demolition of two ellipsoids of a software to the limit of a contact / A. V. Chigarev, A. V. Borisov // Mechanika 2010 : proceeding-softhe 1 S^intemationalconference (8, 9 April, 2010) /Kaunas University of Technology, Lithuania. -Kaunas : Technologijas.-2010.-P. 116-121.
38. Borisov A. V. Nonlinear dynamics of a framed structure in case of biped gait: chaotiza-tion and self-organization / A. V. Borisov, V. Chigarev, V. Krysko // Dynamical Systems Theory and Applications, DSTA 2013. Lodz, Poland, December 2-5. - 2013. - P. 99-108.
Статьи в журналах не входящих в список ВАК, сборниках, материалах конференций
39. Борисов А. В. Возможные пути моделирования тазобедренного и коленного суставов с учетом деформируемости хрящевой ткани в рамках теории упругости / А. В. Борисов // Научные труды международной научно-практической конференции ученых МАДИ(ГТУ), РГАУ-МСХА, ЛНАУ (16-17 января 2007 года). - Москва-Луганск : Изд-во МАДИ(ГТУ) -РГАУ - МСХА - ЛНАУ. - 2007. - Т. 4. - С. 160-172.
40. Чигарев А. В. Исследование моделей многослойных костей человека на прочность при нагружении / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Механика машин, механизмов и материалов : междунар. науч.-техн. журнал. - 2009. - № 1 (6). - С. 85-87.
41. Чигарев А. В. Математическая модель взаимодействия деформируемых твердых тел применительно к оценке нагруженности коленного сустава человека / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Механика машин, механизмов и материалов : междунар. науч.-техн. журнал. -2009.-№2(7).-С. 83-86.
42. Чигарев А. В. Численная оценка размеров пятна контакта и деформаций под действием нагрузок в тазобедренном и голеностопном суставах человека / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Теоретическая и прикладная механика : междунар. науч.-техн. журнал. - 2009. -Вып. 24. - С. 22-26.
43. Борисов А. В. Математическая модель распространения ударного импульса в нижней конечности человека при постановке ноги на опору с учетом деформируемости элементов / А. В. Борисов // Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии : тезисы докладов VII Всерос. конф. молодых ученых (25-28 мая 2009 г.). - Новосибирск : Сибирское научное издательство. - 2009. - С. 25-27.
44. Борисов А. В. Проверка возможности использования экспериментально определенных на людях управляющих моментов для управления движением антропоморфного робота / А. В. Борисов // Экстремальная робототехника : труды XXI Междунар. науч.-техн. конф. - СПб.: Политехника-сервис. - 2010. - С. 327-337.
45. Борисов А. В. Математические модели фаз разрушений в опорно-двигательном аппарате человека / А. В. Борисов // Конкурс молодых ученых: сб. материалов. - Смоленск: ВА ВПВО ВС РФ. - 2010. - С. 94-98.
46. Чигарев А. В. Математическая модель износа и разрушения в суставах человека/
A. В. Чигарев, А. В. Борисов // Современные проблемы математики, механики, информатики : материалы междунар. науч. конф. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. - С. 93-97.
47. Чигарев А. В. Стохастические модели эксплуатации опорно-двигательного аппарата человека / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Трибофатика = ТпЬо-Гай^е: труды VI Междунар. симп. по трибофатике МСТФ 2010 (Минск, 25 октября - 1 ноября 2010 г.). В 2 ч. Ч. 2. / редкол.: М. А. Журавков [и др.]. - Минск: БГУ. - 2010. - С.427-430.
48. Борисов А. В. Механизм рекуперации энергии в опорно-двигательном аппарате человека/ А. В. Борисов // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XI междунар.науч. конф. - Смоленск: Изд-во СмолГУ. - 2011. - Вып. 12. - С. 7-9.
49. Борисов А. В. Триботехнические аспекты функционирования компонентов опорно-двигательного аппарата человека / А. В. Борисов // Энергетика, информатика, инновации - 2011 : сб. тр. междунар. науч.-техн. конф. В 2 т. Т. 1. - Смоленск: РИО филиала ГОУВПО МЭИ(ТУ) в г. Смоленске, 2011. - С. 169-172.
50. Борисов А. В. Модель экзоскелета с двенадцатью деформируемыми звеньями / А.
B. Борисов // Энергетика, информатика, инновации - 2012 : сб. тр. междунар. науч.-техн. конф. В 2 т. Т. 2. - Смоленск, 2012. - С. 209-214.
51. Борисов А. В. Анализ двухмерных и трехмерных механико-математических моделей деформируемых элементов экзоскелета / А. В. Борисов // Научные труды международной научно-практической конференции ученых МАДИ(ГТУ), РГАУ-МСХА, ЛНАУ (14-15 июня 2012 года). - Москва-Луганск : Издательство РГАУ-МСХА, ЛНАУ, 2012. - Т. 7: Естественные и технические науки. — 2012. - С. 16-37.
52. Борисов А.В. Применение при преподавании курса высшей математики знаний для научных исследований на примере работы с уравнениями движения моделей экзоскелета с деформируемыми звеньями/ А. В. Борисов // Научно-практический журнал «Гуманизация образования». № 6,2013. С. 41-46.
53. Борисов А. В. Сопоставление моделей деформируемых звеньев с учетом изменения момента инерции и с постоянным моментом инерции и установление условий, при которых можно пренебречь изменением момента инерции / А. В. Борисов // Научные труды международной научно-практической конференции ученых РГАУ-МСХА имени К.А.Тимирязева, ЛНАУ (20 - 21 июня 2013 года). - Москва-Луганск : Издательство РГАУ-МСХА имени К.А.Тимирязева, ЛНАУ, 2013. - Т. 4. - С. 107-110.
54. Чигарев А. В. Нелинейная динамика стержневых систем в биомеханике / А. В. Чигарев, А. В. Борисов // Актуальные вопросы машиноведения : сб. науч. тр. - Минск, 2013. -Вып. 2.-С. 221-222.
55. Борисов А. В. Адекватность аппроксимации моделей деформируемого твердого тела стержневыми деформируемыми системами и влияние её на информационную энтропию/ А. В. Борисов // Научные труды международной научно-практической конференции ученых РГАУ-МСХА имени К.А.Тимирязева ЛНАУ (24-25 июня 2014 года). - Москва-Луганск : Издательство РГАУ-МСХА имени К.А.Тимирязева, ЛНАУ, 2014. - Т. 1. - С. 97-116.
I
Список цитируемой литературы
1. Формальский А. М. Перемещение антропоморфных механизмов / А. М. Формальский -M.: Наука, 1982. -368 с.
2. Формальский А. М. Об одном способе управления экзоскелетоном. / А. М. Формальский // Ломоносовские чтения : тезисы докладов науч. конф. (16 - 25 апреля 2012, Москва, МГУ имени М.ВЛомоносова). - М. : Издательство Московского университета, 2012. - С. 151-152.
3. Мартыненко Ю. Г. Управляемый маятник на подвижном основании. / Ю. Г. Мартынен-ко, А. М. Формальский // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2013. - № 1. - С. 9-23.
4. Белецкий В. В. Двуногая ходьба: модельные задачи динамики и управления / В. В. Белецкий. - М. : Наука, 1984. - 288 с.
5. Бербкж В. Е. Динамика и оптимизация робототехнических систем / В. Е. Бербюк. -Киев : Наукова Думка, 1989. - 192 с.
6. Ананьевский И. М. Непрерывное управление механической системой на основе метода декомпозиции / И. М. Ананьевский, С. А. Решмин // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2014. - № 4. - С. 3-17.
7. Болотин В. В. Управление походкой двуного шагающего аппарата / В. В. Болотин, И. В. Новожилов//Известия АН СССР. МТТ. - 1977. - №3. - С. 47-52.
8. Болотник H. Н. Оптимизация параметров и управляемых движений вибросистем и роботов : дис. ... д-рафиз. мат наук : 01.02.01./Н. Н. Болотник. - М., 1991.-396 с.
9. Вукобратович М. Шагающие антропоморфные механизмы / М. Вукобратович - M ■ Мир, 1976.-541 с.
10. Галиуллин И. А. Регулярные прецессии и их структурная устойчивость : монография. / И. А. Галиуллин. - Изд-во МАИ, 2014.
11. Голубев Ю. Ф. Компьютерное моделирование шагающих роботов / Ю. Ф. Голубев, Д. Ю. Погорелов // Фундаментальная и прикладная математика. - 1998. - Т. 4, № 2. - С. 525 - 534.
12. Голубев Ю. Ф. Функция Аппеля в динамике систем твердых тел / Ю. Ф. Голубев // Препршпы ИПМ им. М.В.Кецдыша - 2014. -№ 58. - 16 с. URL: http:^ibrary.keldysh.m/preprintasp?id=2014-58
13. Козлов В. В. Тонкая и грубая энтропия в задачах статистической механики / В. В. Козлов, Д. В. Трещев // Теоретическая и математическая физика. - 2007. - Т. 151, № 1. - С. 120-137.
14. Маркеев А. П. О движении связанных маятников / А. П. Маркеев // Нелинейная динамика.-2013.-№ 9:1.-С. 27-38.
15. Мухаметзянов И. А. Уравнения программных движений манипуляционных систем : Учебное пособие / И. А. Мухаметзянов, Р. Г. Мухарлямов. - М. : Издательство УДН, 1989. - 60 с.
16. Новожилов И. В. Управление пространственным движением двуного шагающего аппарата / И. В. Новожилов // Известия АН СССР. МТТ. - 1984. - №4. - С. 47-53.
17. Опыт проектирования многоцелевого гидравлического шагающего шасси / Д. Е. Охо-цимский [и др.] // Механика и управление движением шагающих машин - 1995 - N° 2 -С. 103-111.
18. Reshmin S. A. Properties of the time-optimal feedback control for a pendulum-like system / S. A. Reshmin, F. L. Chemousko // Journal of Optimization Theory and Applications. - 2014 - Vol 163, №. l.-P. 230-252.
19. Розенблат Г. M. Об интегрировании уравнений движения тела, опирающегося на шероховатую плоскость тремя точками /Г. М. Розенблат// Доклады академии наук -2010 -№4 Том435.-С. 475-478.
20. Холостова О. В. Об устойчивости равновесий твердого тела с вибрирующей точкой подвеса / О. В. Холостова//Вестник РУДН. Математика Информатика. Физика-2011.-№2.-С. 111-122.
21. Черноусько Ф. Л. Методы управления нелинейными механическими системами. / Ф. Л. Черноусько, И. М. Ананьевский, С. А. Решмин. - М.: Физматлит, 2006. - 328 с.
22. Черноусько Ф. Л. Мобильные роботы, управляемые движением внутренних тел. / Ф. Л. Черноусько, H. Н. Болотник // Тр. ИММ УрО РАН. - 2010. - 16, № 5. - С. 213-222.
23. Павловский В. Е. О разработках шагающих машин / В. Е. Павловский // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша.-2013.-№ 101. -32 с. URL: http://keldysh.ru/papers/2013/prep2013_101.pdf
АННОТАЦИЯ Борисов А.В.
Динамика механических стержневых систем со звеньями переменной длины применительно к эндо- и экзоскелетам В рамках нового направления в динамике нелинейных стержневых систем с переменной длиной звеньев разработан рекуррентный алгоритм составления дифференциальных уравнений движения в двухмерном и трехмерном случаях. Для исследования изменения геометрии шарниров создана приближенная биомеханическая модель шарнира-сустава в виде многослойной системы сфер. Полученные аналитические результаты применены к моделированию эндо- и экзоскелета. Установлена необходимость учета изменения длины звеньев при движениях человека и предложены рекомендации для разработки теоретико-механической модели экзоскелета в виде робототехнической мехатронной системы с перспективой применения в медицине, робототехнике.
ABSTRACT Borisov A.V.
Dynamics of mechanical rod systems with links of variable length with respect to
endo - and exoskeletons
Under the new trends in nonlinear dynamics rod systems with variable length links it was developed a recurrent algorithm making the differential equations of motion in two-dimensional and three-dimensional cases. To investigate the change in the geometry of the hinges it was created a close biomechanical model of the hinge-joint in the form of a multilayer system of spheres. The obtained analytical results are applied to the simulation of endo - and exoskeletons. Installed the necessity of taking into account changes in the lengths of the links in the movements of man and recommendations for the development of a theoretical mechanical model of the exoskeleton in the form of robotics mechatronic systems with the prospect of application in medicine, robotics.
Подписано в печать 24.04.2015 г. Формат 60x84* 16. Тираж 100 экз. Печ. л. 2,0. Отпечатано в издательском секторе филиала ФГБОУ ВПО "НИУ "МЭИ" в г. Смоленске 214013 г. Смоленск, Энергетический проезд, 1
