Оценка надежности формирования поверхности ферменной конструкции с учетом случайных факторов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

- 1 Ж 1593

НИЖЕГОРОДСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи УДК 539.3

БУРЕЕВА Наталья Николаевна

ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ФЕРМЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ С УЧЕТОМ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого

тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород 1993

Работа выполнена в Нижегородском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени Н. И. Лобачевского.

Научный руководитель — заслуженный деятель науки и техники РСФСР, доктор технических наук, профессор Малков В. П.

Научный консультант — кандидат технических наук, доцент Любимов А. К.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю. Г. Коротких,

кандидат технических наук, доцент И. В. Моле в.

Ведущая организация — Нижегородский филиал института машиноведения Российской АН.

Защита состоится У/, ^¿.¿¿¿/ТШ ---- 1993 г.

в '/^""часов на заседании специализированного совета К 063.77.10 при Нижегородском государственном университете имени Н. И. Лобачевского (603022, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан «

1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук

Б. В. Трухин.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Стержневые ферменные пространственные конструкции являются наиболее исследованными механическими структурами. В этом направлении имеется достаточно много работ по прямому расчету и оптимальному проектированию.

Анализ отечественной и зарубежной литературы и требования практики позволили выделить актуальную область исследований применительно к ферменным пространственным стержневым структурам. Современная технология монтажа крупногабаритных стержневых структур предполагает использование стандартных элементов, заготовленных в заводских услових в пределах заданных допусков. При сборке типовых элементов в зависимости от качества их изготовления происходит накопление остаточных напряжений и дополнительных деформаций. При этом стахостаческая природа внешних воздействий, геометрических параметров, механических характеристик, граничных" условий требует коррекции детерминированных методик анализа и оптимизации с точки зрения оценки достоверности Снадежности) расчетной информации. Применительно к таким конструкциям как антенны Сназемные и космические) дополнительные деформации приводят к искривлению теоретической расчетной поверхности зеркала антенны и накоплению дополнительных напряжений, изменению частотных характеристик, оценка которых является актуальной задачей механики деформируемого твердого тела.

Изменение деформативных характеристик зеркала антенны может быть оценено различными способами - путем ■ осреднения

отклонений узловых перемещений или нахождения интегральной характеристики среднеквадратичного отклонения (СКО).

В силу стахостической природы появления отклонений реальной длины элементов от проектной (теоретической), случайных технологических и человеческих факторов основные характеристики элементов по своей природе являются вероятностными. Поэтому математическое моделирование анализа состояния таких механических систем должно быть выполнено с использованием аппарата теории вероятности и математической статистики. Это требует и соответствующей формулировки задачи. Она может быть сформулирована через категории надежности. В этом направлении следует отметить работы Вана, Рэгсделла, Дж. Рузе, Дж.Хеджепета, Накагири, Хисада, Нагасаки, Гвамичавы А. С., Поляка В. С., Шифрина А. С. и др.

В силу ' того, . что геометрические и механические характеристики элементов конструкций носят случайный характер интегральная характеристика ССКО), ■ определяющая искажение деформированной поверхности по отношению к исходной (недеформированной), является случайной величиной. В литературе весьма малочисленны результаты по оценке закона распределения СКО, параметров распределения. В работах Вана, Рэгсделла приведены исследования по данному вопросу для наземных антенн с параболической формой рабочей поверхности. Для аппроксимации функции надежности предложен нормальный закон распределения. В работах Гвамичавы А. С. , Колесникова Г. Н., Хеджепета Дж. М. основное внимание уделено точечным оценкам (матожиданию и дисперсии) СКО для различных

видов ферменных конструкций.

Математическое моделирование механических систем с учетом стахостического разброса значений геометрических и механических характеристик элементов и внешних' воздействий является актуальной задачей, имеющей фундаментальное значение, а получение практических оценок и связь случайных факторов с рекомендациями вероятностных допусков для промышленности является актуальной прикладной задачей. Эти актуальные задачи исследуются в данной диссертационной работе.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с Координационным планом АН СССР по проблеме '1.10.2. - Механика деформируемого тела, пункт 3.22.037. - Разработка методов решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела. Разработка методов оптимизации деформируемых систем.

. Цель диссертационной работы:

Актуальность задачи и анализ' выполненных работ по данному направлению позволяют сформулировать цели данной работы:

1. Построить математическую модель' анализа деформированного состояния механических стержневых структур ферменного типа с учетом стахостического разброса значений геометрических . и механических характеристик.

2. Разработать методику численного определения вероятностных характеристик перемещений механических стержневых систем с использованием методов конечного элемента и статистического моделирования.

3. Построить математическую модель нахождения вероятностных интегральных характеристик, определявших искажение

деформированной поверхности по отношение к исходной С недеформированной

4. Разработать методики оценки надежности формирования поверхности ферменных конструкций с учетом случайных факторов.

5. Обосновать достоверность и проверить эффективность разработанных методик.

6. Решить новые . прикладные задачи определения надежности формирования поверхности ферменной конструкции.

Научная новизна

1. В диссертационной работе построена метематическая модель анализа пространственных стержневых ферменных структур с учетом стахостического разброса значений геометрических и механических характеристик.

2. Разработана численная методика определения вероятностных характеристик узловых перемещений ферменных стержневых струкрур с использованием аппарата конечного элемента и математического моделирования, включая возможность модифицирования основных уравнений МКЭ за счет модификаций матриц жесткости и правой части ( вектора нагрузок ).

3. Разработана методика определения вероятностной интегральной характеристики СКО.

4.Выполнены теоретические к численные исследования закона распределения функции надежности.

5. Выполнены исследования по влиянию различных факторов на функцию надежности, ее точечные характеристики.

6. Рассмотрено влияние конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов на надежность формирования

"рабочей" СзеркальноЯ) поверхности ферменной конструкции в виде вероятности СКО.

7. Исследовано влияние случайных отклонений в длинах элементов на поведение собственных частот колебаний стержневой конструкции типа антенны.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов расчета надежности формирования поверхности ферменных конструкций с учетом случайных факторов основывалась на:

1. Корректном использовании современного, апробированного математического аппарата для анализа случайных величин С теории вероятностей ) и численных методов анализа дискретных механических систем ( метод конечных элементов ).

2. Проверке достоверности разработанные методик выполнялась поэтапно на основе моделирования тестовых подзадач.

3. Согласовании полученных результатов численных исследований с результатами других авторов.

4. Соответствии теоретических результатов и результатов численных экспериментов.

Практическая ценность

Разработаны методики определения перемещений узлов ферменной конструкции, вероятностной интегральной характеристики С СКО ) и оценки надежности формирования поверхности ферменной конструкции с учетом случайных отклонений геометрических и механических параметров стержневого элемента. На основе разработанных методик и программного обеспечения проведен численный анализ тестовых и

прикладных задач. Решены новые прикладные задачи по анализу стержневых конструкций типа антенн с использованием разработанных методик и прграымного обеспечения.

Пакет программ, в котором реализованы разработанные методики, может использоваться в расчетной практике НИИ,КБ для проектирования ферменных конструкций с учетом случайных характеристик стержневого элемента.

Разработанные методики и программы внедрены в расчетную практику заинтересованных предприятий.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

- научных конференциях молодых ученых мех-мат ф-та и НШМех. при ГГУ, Горький, 1986-1990.

- Областной конференции "Прогрессивные методы проектирования современных машин, их элементов и систем", Горький, 1986.

Всесоюзной . конференции "Численное моделирование физико-механических процессов", Горький, 1987. - Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации". Горький, 1988.

- 1 Всесоюзной конференции "Математические модели анализа и оптимизации зеркальных антенн различного ' назначения", Свердловск,- 1989

- Межресрубликанской научно-технической конференции "Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности", Волгоград, 1990.

- Семинаре Волго-Вятского регионального научно-методического совета, Нижний Новгород, 1992.

Публикации. Основные результаты проведенных исследований опубликованы в 9 работах, в том числе: 3 статьи, 5 тезисов докладов. Работы Ш-Е8].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из пяти глав, заклечения, списка использованных источников и приложения. Основной печатный текст занимает 94 страницы, 5 страниц занимает иллюстрации С 8 рисунков), 3 страниц -таблицы С 14 таблиц ), 10 страниц - список использованных источников (85 наименований), 3 страницы - приложения.

КРАТКОЕ СОДЕРШИЕ РАБОТЫ

В • первой главе обсуждается состояние проблемы влияния случайных факторов на надежность формирования поверхности ферменной конструкции, рассматривается вопрос об учете случайных факторов в строительной механике и машиностроении, приводится обзор методов расчета ферменной конструкции на надежность.

Большой' вклад в развитии этого направления внесли советские ученые Автандилян Г. И., Болотин В. В., Бервдалдс Э.Я., Гвамичава А. С,, Поляк В, С., Ржаницын А. Р. , Шифрин Я. С. и др., зарубежные ученые Ван, Рэгсделл, Накагири, Хисада, Нагасаки, Рузе Дж., Хеджепет Дж.М. , Хафгка Р.Т. и др..

В результате проведенного обзора литературы и анализа современного состояния проблемы делаются следующие выводы: - разработка методики определения надежности формирования поверхности ферменной конструкции с учетом случайных факторов

актуальна-,

- необходимо разработать методику определения перемещений узлов ферменной конструкции с учетом случайных несовершенств стержней;

- в литературе практически отсутствуют результаты по виду функции надежности, а даются лишь точечные оценки матожидание и дисперсия. Поэтому необходимо найти и обосновать закон распределения СКО реальной поверхности от проектируемой (функции надежности);

- рассмотреть чувствительность собственных частот колебаний ферменной конструкции к случайным несовершенствам элементов.

На основе сделанных выводов формулируются цели диссертации.

Дается общая характеристика работы: научная новизна, практическая ценность, сведения од апробации, о публикациях, об обьеме и структуре работы, приводятся используемые обозначения.

Вау второй главе формулируется постановка задачи оценки надежности формирования поверхности ферменной конструкции с учетом случайных факторов. Рассматриваемый класс конструкций относится к антенным конструкциям ферменного типа с заданной структурой. Стержни являются . призматическими и линейно-упругими. Узлы' конструкции являются идеально шарнирными и могут быть закреплены по координатным направлениям абсолютно жесткими связями. Перемещения узлов конструкции от всех воздействий считаются малыми.

Пусть некоторая совокупность узлов рассматриваемого

класса конструкций принадлежит рабочей поверхности заданной геометрии. Предполагается, что длины стержней, площади их поперечного сечения и модули упругости материала имеет некоторые отклонения, являющиеся случайными величинами с заданными законами распределения.

Величина погрешности формы поверхности, обусловленная случайными несовершенствами параметров элементов, оценивается с помощью среднеквадратичной ошибки:

6* = я^ <В , С 1 )

5

о

где 5о - площадь рабочей поверхности; ■ Л^. - отклонение точки реальной рабочей поверхности от проектируемого положения.

Надежность формирования поверхности ферменной конструкции

Л

определяется как вероятность того, что случайная величина 6 не превысит заданного значения <5* >

Р (За) = Р С 6г < 6я ) . С 2 )

Необходимо получить основные соотношения, разработать методику и программное обеспечение по оценке функции надежности.

В третьей • главе выводятся определяющие соотношения для расчета перемещений с учетом случайных факторов С линеаризованный и нелинеариэованный варианты ). Вводится понятие функции надежности для рассматриваемой задачи.

Предлагаются методики расчета перемещений и вероятностных характеристик с учетом разброса параметров стержневых элементов. Приводятся соотношения для расчета собственных частот колебаний ферменной конструкции с учетом случайных отклонений характеристик стержневого элемента.

Эффективность работы антенны в конструктивном аспекте зависит от искажения ее поверхности. Предельное условие эффективной работы выражает ограничение суммарного СКО <5* поверхности антенны некоторым предельным значением бг. Для

Л

определения СКО <5 необходимо знать перемещения узлов поверхности антенны.

В детерминированной постановке отыскание перемещений узлов ферменной конструкции при силовых и температурных воздействиях достаточно изучено. В настоящее время для расчета перемещений узлов ферменной конструкции широко используется метод конечных элементов С МКЭ). При этом обычно применяется схема МКЭ, аналогичная известному в строительной механике методу перемещений. Решение отыскивается в классе непрерывных перемещений, для чего используется вариационное уравнение Лагранжа.

Ставится следующая задача. Требуется найти перемещения узлов конструкции с учетом случайных несовершенств элементов конструкции, а именно: случайные отклонения в длинах и площадях поперечных сечений стержней и модулях упругости материала.

Определение перемещений узлов проводится по МКЭ. В работе представлен вывод системы уравнений, выражающих условия

равновесия узлов фермы с учетом случайных несовершенств элементов конструкции. Рассматриваются два варианта: 1. Линеаризованный вариант. Внешние узловые нагрузки отсутствуют. Учитываются только случайные отклонения в длинах стержней.

Предполагается, что продольная деформация с ,]-го стержня

складывается из упругой составлявшей г* и составляющей су

возникающей за счет неточности изготовления стержня

= с* + . 1 4 1

Согласно закону Гуна для тонких стержней ферменной структуры а, = = ЕС е - сЛ ).

,1 ,1 .1 .1 .Г

Величина гг определяется соотношением

£Л = Д / I .. з 1 .1

В этом случае уравнения равновесия 1-го узла будут иметь вид: £Е Г / I. [Си -и. }те ]е = ЕЕГ.АУЬ.в. . (3)

J" J J J 1.1 J J .) ,) .1 ,1 Л

А уравнения равновесия системы:

[К] Си> = [С] <Д> , (4 )

где [К] - матрица жесткости, {ц> - вектор-столбец перемещений, 1С] - матрица влияний отклонений длин стержней; (А) вектор-столбец случайных отклонений.

Таким образом, расчет перемещений узлов стержневой конструкции в случае учета только случайного характера отклонений длин стержней сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений:

[К] Си> = <0> С 5 )

при модифицированном определении вектора внешних нагрузок Q,

При учете случайного характера отклонений только в длинах стержней матрицы Ш и ССЗ Е' уравнении (4) детерминированные. Если предположить,что модуль упругости Е^ и площадь поперечного сечения Fjтакже имеют случайные отклонения от исходных величин, то матрицы [К] и [С] будут стохастическими, что значительно усложнит расчет перемещений узлов. D работе показано, что вектор перемещений (и> узлов конструкции обладает свойством однородности относительно модуля упругости Е^ и площади поперечного сечения F^ . Это позволяет не учитывать случайный разброс указанных величин при определении вектора перемещений узлов конструкции, т.е. считать матрицы Ш и IC1 детерминированными при значениях Ei и F. , равных их математическому ожиданию. 2. Нелинеаризированный вариант. Стохастическими переменными,учитывающими начальные несовершенства элемента являются длина элемента Lj , площадь поперечного сечения F^ и модуль упругости Е^ . Их можно представить в виде

XUL х '+ а^' С i=l , JJ. Внешние узловые нагрузки отсутствуют.

При определении стахостической матрицы жесткости используется традиционная схема построения матрицы жесткости для стержневого элемента. Матрица жесткости, искомые узловые перемещения и узловые силы. учитывающие начальные несовершенства, представляются в виде разложений в ряд Тейлора' относительно стохастических переменных а.:

Ш,=1К°1,+ 1 CK'" Га.+ иг 1 .S [К'."'1 а,а. С 6)

) J i=t i J 1 • iri J=1 lj J t J

т = Д {tf")*», + 1/2 .2 4S <й { а' >«,а. 17)

1=1 1 i 1=1 j = l IJ i J

Cq) = Ш.Ш> = t K° ] Ш c 11 >a + .2 .2 Cl/2tK°] ^ü/,3')+

j X — i j i' i 1 — t j —» j ( 8 }

где tKl - элементная матрица жесткости; (0> - малые узловые перемещения, возникающие из-за начальных несовершенств элементов конструкции; iq> - соответствующие им узловые силы.

Уравнения равновесия в глобальной системе координат с учетом начальных несовершенств элементов и отсутствия внешних узловых нагрузок примут вид:

[ К К u > = i Q ). С 9 )

Приведены два подхода к выводу определяющих соотношений для нахождения перемещений узлов конструкции ферменного типа с учетом разброса механических и геометрических характеристик. Если в соотношениях С6)-С8) учитывать только линейные члены разложения, то из (9) следует уравнение С5).

Третий раздел главы посвящен определению функции надежности. Эффективность работы антенны зависит от степени искажения ее поверхности. Мерой искажения поверхности фермы, и, в частности, поверхности антенны является

Л

среднеквадратичное отклонение ССКО) ба. которое определяется согласно С1).

В дальнейшем предполагается, что рабочая поверхность антенны аппроксимируется сферической поверхностью:

X2 + Ya + Za = R2. С 10 )

Рабочей поверхности принадлежит некоторая совокупностьуэлов с

координатами (Xj ,yt .Zj), i=T7Tc, где k<H, N - общее число узлов конструкции. Тогда при фиксированном' положении

Л

облучателя антенны для расчета СКО 6г , выражение С1) примет вид:

2г= 1/М.2 CR-R,)e=l/M,S(R-Cx.-»""Жу,-u':°)+Cz,-u<)в)гС11)

i^l 1 Ist XX Ljp i Z

где R - проектируемый радиус рабочей поверхности конструкции; Rj- радиус поверхности в i-ом узле с учетом случайного разброса механических и. геометрических параметров элементов конструкции.

Рассмотрен вопрос о законе распределения случайной

Л

величины СКО б'. Показано, что для описания случайной величины

л

<5* можно использовать гамма-распределение:

fix) =

хИ е"М* , X > 0 , ,о ,

гсрз с " }

О , X < 0 .

Здесь X ={!; - параметры гамма распределения--

где X = 1|,Х1 , • 2? = 4- £ СХ^-Ю* .

Предложена методика, позволяющая получить статистический аналог функции распределения (функции надежности) РСб2), оценки математического ожидания и дисперсии для случайной

л

величины 6, а также, при необходимости, оценки моментов более высоких порядков.

Теоретическое обоснование вида закона распределения СКО

Л

6 дозволяет на порядок сократить объем численных вычислений, т.к. требуется получить лишь оценку параметров распределения.

Важное место в расчетах конструкций занимает проблема собственных колебаний. Случайные отклонения в характеристиках стержневого элемента влияют и на собственные частоты. В этом случае вектор собственных чисел Хи будет случайным. В рамках сделанных ранее предположений получены соотношения для определения собственных значений с учетом случайного характера параметров элементов' конструкции. Предложена методика оценки первых и вторых моментов частот, основанная на методе статистического моделирования.

В четвертой главе приводятся результаты численных экспериментов с использованием разработанных методик и программного комплекса по оценке надежности формирования поверхности ферменной конструкции с учетом случайных факторов.

Рассматриваемые конструкции представляют собой пространственную ферму. Ферма образована из тетраэдров, содержащих по 6 стержневых элементов. Основания тетраэдров лежат либо на сферической Срабочей поверхности), либо на нерабочей (вспомогательной) поверхности. В результате рабочая поверхность окажется покрытой равнобедренными треугольниками. Эти треугольники на рабочей поверхности, начиная с центра, располагаются слоями. При этом узлы одного слоя образуют на рабочей поверхности шестиугольные фигуры. В работе рассматриваются конструкции, содержащие 3 и 3 слоев': 1.3 слоя - общее число узлов - 64, стержней - 234, узлов на рабочей поверхности - 37;

2. 5 слоев - общее число узлов - 166, стержней - 660, узлов на рабочей поверхности - 91.

Рабочая поверхность имеет сферическую форму. Длины стержней площади поперечных сечений FJ и модули упругости имеют некоторый случайный разброс в соответствии с допусками, т.е. I =£+ а , Е =Е+а , Г.=Г+а (. Случайные ' величины

у ^ ^ * ®Л 4 . * Л

с^, а^ являются некоррелированными и имеют нормальное распределение со следующими параметрами: а*еНС0,)О, а*еН(0,}0, а"еЯСО,^). Параметры распределения , К,

выбирались в соответствии с нормативными допусками с использованием правила 3-х сигма.

Исследовались следующие вопросы:

- анализ влияния исходных параметров и параметров численного метода на функцию надежности;

- учет случайного разброса конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов .при расчете надежности формы поверхности;

- влияние случайных факторов на частоты колебаний конструкции.

В главе пять рассмотрен пример расчета космической антенны С рис. 1 ). Заключение

Диссертационная работа посвящена построению математической модели анализа деформированного и напряженного состояний и собственных частот механических систем с пространственными стержневыми ферменными структурами с учетом стахостического разброса значений геометрических и механических характеристик.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

Построена математическая модель анализа

напряженно-деформированного состояния и собственных частот пространственных стержневых ферменных структур с учетом стахостического разброса входной информации по геометрическим и механическим характеристикам.

- Получены определявшее соотношения для расчета узловых перемещений пространственной стержневой ферменной конструкции с учетом вероятностного разброса механических и геометрических характеристик.

- Разработана методика численного определения вероятностных характеристик узловых перемещений механических стержневых систем с использованием методов конечного элемента и статистического моделирования.

- Построена математическая модель нахождения вероятностной интегральной характеристики, . определяющей искажение деформированной поверхности по отношению к исходной (недёформированной).

- Разработана методика оценки надежности формирования "рабочей" (отражающей) поверхности ферменной конструкции с учетом случайных факторов..

- На основе разработанных методиик и программного обеспечения проведен численный анализ тестовых и прикладных задач,

- Решены новые прикладные задачи по анализу стержневых конструкций типа антенн с использованием разработанных методик и программного обеспечения.

- Показана возможность использования данных методик и программного обеспечения в задачах оптимального

проектирования механических систем пространственных стержневых ферменных структур с учетом случайных факторов. - Разработанные методики, программное обеспечение и результаты решения прикладных .задач внедрены в расчетную практику КБ Сакт о внедрении приложен в работе).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Буреева Н. Н., Любимов А. К. Расчет надежности формирования геометрии стержневой конструкции с заданной точностью.//Тезисы докл. Обл. конф. Прогрессивные методы проектирования современных машин, их элементов и систем. Горький, 198S, с.116.

2. Буреева Н. Н., Киселев А. К. Программный комплекс прямого расчета и оценки точности формирования поверхности стержневой конструкции с учетом конструктивных допусков на длины стержней. //В сб. Проблемы оптимизации в машиностроении.Классификатор матобеспечения. Харьков, 1986, с. 50.

3. Буреева Н. Н. Любимов А. К. Оценка вероятности искажения геометрии стержневой конструкции из-за неточности изготовления стержней.//Тезисы докл. Всесоюз. конф. Численное моделирование физико-механических процессов. Горький, 1987, с. 55.

4. Буреева H.H., Зорин В. А., Калдаяов А. П. .Любимов А. К., Ноэоженов М.М. Оценка надежности формирования стержневой конструкции с. заданной геометрией на стадиях проектирования и эксплуатации.//Геэ. докл. Всесоюз. конф. Современные проблемы

информатики, вычислительной техники и автоматизации. Горький, 1988, с. 25.

5. Буреева Н. Н.,Любимов А. К. Расчет надежности формы отражающей поверхности антенной конструкции.//Тез. ' докл. Первой Всесоюз. конф. Математические модели анализа и оптимизации зеркальных антенн различного разначения. Свердловск, 1989, с.156-137.

6. Малков В,П., Любимов А. К., Буреева H.H. Надежность формирования рабочей поверхности заданной геометрии ферменных систем с учетом конструктивных допусков. //Строительная механика и расчет сооружений. 1989, N1, с. 1-5.

7. Буреева H.H. .Любимов А. К. Определение вероятностных характеристик величины искажения геометрии антенных конструкций с учетом разброса геометрических и механических тараметров.//Всесоюз. межвуз. сб. Прикладные проблемы прочности I пластичности. Исследование и оптимизация конструкций. Ърький, 1990, с. 60-67.

5, Буреева H.H. Вероятностный подход к расчету надежности 'еометрии антенных конструкций. //Тез. докл. Межресп. [аучно-техн. конф. Численные методы решения задач строительной юханики, теории упругости и пластичности. Волгоград, 1990, :. 63-66.