Динамика многофазных многокомпонентных жидкостей с элементами внешнего управления тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Брацун Дмитрий Анатольевич

ДИНАМИКА МНОГОФАЗНЫХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ЖИДКОСТЕЙ С ЭЛЕМЕНТАМИ ВНЕШНЕГО УПРАВЛЕНИЯ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- 7 ОКТ ?0Ю

Пермь-2010

004609888

Диссертационная работа выполнена на кафедре теоретической физики и компьютерного моделирования Пермского государственного педагогического университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Тарунин Евгений Леонидович

Защита состоится 21 октября 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 в Учреждении Российской академии наук Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, 1, ИМСС УрО РАН. Сайт http://www.icmm.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН

доктор физико-математических наук, профессор Саранин Владимир Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Пшеничников Александр Фёдорович

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН, Москва

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

И.К. Березин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Рассматриваемые в диссертации многофазные многокомпонентные жидкости широко представлены в различных природных процессах и областях человеческой деятельности. Можно уверено сказать, что с неоднофазными смесями приходится иметь дело гораздо чаще, чем с однофазными. Всё это делает задачу описания и изучения таких сред одной из актуальнейших проблем механики сплошных сред.

Основная проблема математического моделирования многофазных систем заключается в построении замкнутых уравнений движения смеси при заданных физико-химических свойствах каждой фазы в отдельности и заданной исходной структуре смеси. Описание реальных гетерогенных смесей осложняется по двум причинам. Во-первых, осложняется описание процессов в отдельных фазах (таких, как сжимаемость, вязкость, теплопроводность и др.), имеющих место и в однофазных средах. Во-вторых, возникает проблема описания эффектов межфазного взаимодействия (таких, как фазовые переходы, химические реакции, капиллярные эффекты, обмен импульсом и энергией на межфазной границе). Таким образом, число явлений, которые должны найти свое отражение в уравнениях многократно возрастает. В результате, не смотря на то, что общие принципы построения таких моделей сформулированы более 30 лет назад, теперь уже понятно, что надежды на получение универсального уравнения движения для произвольной многофазной среды, как это удалось сделать для однородной жидкости (уравнение Навье-Стокса), иллюзорны. Определенное сочетание фаз и их структуры, способов взаимодействия в каждой конкретной задаче требует усилий по получению модельных уравнений, специфических именно для этой среды. Данная работа восполняет этот пробел по отношению к нескольким типам неоднородных систем.

Актуальной задачей остаётся организация исследований, выходящих за пределы замкнутых специализаций, сформировавшихся на поле механики гетерогенных сред. В этой связи значительный интерес, подпитываемый технологическими приложениями, вызывают вопросы о влиянии на процессы самоорганизации в гетерогенных системах всевозможных усложняющих факторов - таких, как периодическое изменение внешнего силового поля, химические превращения между фазами, нестационарные силы трения между фазами, наличие поверхности раздела и т.д. Такого рода комплексные исследования постепенно появляются в литературе, но общее их количество пока совершенно не достаточно. Представленная работа содержит результаты, полученные на пересечении интересов нелинейной химии и теории конвективной устойчивости.

Отдельный интерес представляют вопросы управления неравновесными процессами в неоднородных средах. Наличие различных механизмов неустойчивости делает гетерогенные течения чувствительными к воздействию всякого рода внешних и внутренних факторов. Не смотря на популярность данной темы в физике, вопросам управления конвекцией в литературе было уделено недостаточное внимание. Данная работа содержит новые результаты по управлению конвективными течениями пассивного и активного типа. Кроме того, рассматривается важный вопрос о влиянии шума и запаздывания на эффективность управления.

Целью работы является построение замкнутых систем уравнений для нескольких типов многофазных многокомпонентных неизотермических сред в условиях статического и переменного внешнего силового поля; изучение механизмов конвективной неустойчивости и сложных динамических режимов поведения, свойственных этим системам; поиск способов управления динамикой и структурообразованием гетерогенных сред как пассивного, так и активного типа; изучение влияния на эффективность управления шума и запаздывания в управляющей подсистеме.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получен ряд замкнутых моделей для тепловой конвекции в запыленной среде в приближении Буссинеска, учитывающих как действие силы Стокса, так и эффекты нестационарных сил трения. В случае переменного инерционного поля обнаружен резонансный эффект стабилизации течения за счет подавления возмущений запаздывающим действием силы Бассэ. Для двухслойной многокомпонентной системы двух несмешивающихся жидкостей, в объеме которых проходит экзотермическая реакция нейтрализации, предложена модель плоского реактора Хеле-Шоу. Дано объяснение необычной регулярности фронта пальчиковых структур, формирующихся в результате кооперативного действия процессов реакции, конвекции и диффузии. Изучена пространственно-временная динамика хемо-конвективных структур. Предложен способ внешнего управления процессами структурообразования внутри реактора Хеле-Шоу посредством локального изменения теплопроводности стенок реактора. Построена последовательная теория стохастических колебаний в многокомпонентных реагирующих средах белковых молекул, регулирующих свою численность посредством запаздывающей обратной связи. Обнаружен эффект возбуждения в подкритической области колебаний за счет взаимодействия шума и запаздывания обратной связи. Впервые предложена модификация алгоритма Гиллеспи, используемого для численного моделирования стохастических реагирующих систем, на случай запаздывающих реакций. Дано

объяснение возбуждению паразитных колебаний в задаче об активном управлении равновесием жидкости в прямоугольном термосифоне посредством обратной связи. Исследованы нелинейные динамические режимы и струюурообразование в задаче о вертикальном слое однородной жидкости, обогреваемом сбоку.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается сравнением теоретических предсказаний с экспериментальными данными, с точными решениями в предельных случаях, с известными теориями в области их применимости и прямыми численными расчетами, а также обоснованностью физических представлений, положенных в основу предлагаемых моделей, использованием апробированных методов исследований.

Практическая ценность. Ряд полученных новых результатов носят общий характер и могут быть использованы не только в механике жидкости. К ним можно отнести обнаружение и объяснение эффекта возбуждения колебаний за счет взаимодействия шума и запаздывания обратной связи. Этот феномен, как оказалось, может объяснить такие разные явления как возбуждение нерегулярных паразитных колебаний при активном управлении равновесием жидкости в термосифоне, так и возникновение автоколебаний в процессах транскрипции/трансляции генов. Полученные теоретические результаты в области моделирования многофазных многокомпонентных систем углубляют понимание явлений в гетерогенных средах, расширяют представления о присутствующих в них механизмах неустойчивости и структурообра-зовании. Некоторые результаты стали заметным вкладом в методологию исследований. К ним относится, например, модификация классического метода Гиллеспи для численного моделирования стохастических дискретных систем на случай процессов с запаздыванием. Часть задач, представленных в диссертации, прямо инициирована разработчиками технологических и физических экспериментов, проводимых как в условиях орбитального полета, так и в лабораторных условиях. К ним можно отнести вопросы управления хемо-конвекцией в реакторе Хеле-Шоу, термовибрационной конвекции в запылённой среде, а также управление равновесием жидкости в термосифоне.

Исследования, представленные в диссертационной работе, выполнялись при поддержке грантов INTAS (№93-2492, 1994-95 гг.), Правительства Российской Федерации (Приказ №1513 от 9.11.1995 г.), Международного научного фонда ISSEP (а9б-2188,1996 г.), французского министерства Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherché (1993-94 гг., 1995-96 гг.), Международного центра фундаментальной физике в Москве ICFFM (1995-96 гг.), Федеральной целевой программы «Интеграция» (№97-03, 1997-98 гг.), Североамериканского космического агентства NASA (Project ТМ-18, 1995-97 гг.),

Российско-европейской сети по параллельным вычислениям (Project ITDC-203, 1995-97 гг.), Европейского космического Агентства ESA (Prodex 14556/00/NL/ Sfe(IC), 2001-02 гг.; Project AO-99-083, 2002-03 гг.), бельгийского министерства Office for Scientific, Technical and Cultural Affairs (200203 гг.), Североамериканского национального института здоровья National Institute of Health (NIH R01 GM69811-01, 2004-06 гг.), Российского фонда фундаментальных исследований (№96-01-00932, №97-01-00559, №00-0100334, №06-08-00754-а, №07-01-96043-р_урал_а, №07-01-97612-р_офи, 19952009 гг.). Результаты работы применялись при планировании и интерпретации экспериментов, проводимых в Пермском государственном университете (Россия), Брюссельском свободном университете (Бельгия), Дрезденском технологическом университете (Германия), Калифорнийском университете в Сан Диего (США), а также использованы рядом научных организаций, в частности, Российским и Европейским космическими агентствами, Североамериканским институтом здоровья.

Автор защищает:

1. Результаты расчетов надкритических движений в плоском вертикальном слое однородной жидкости, обогреваемом сбоку;

2. Вывод замкнутой системы уравнений конвекции двухфазной среды жидкость - мелкие тяжелые частицы для случая статического и переменного силового поля с учетом вязкого трения между фазами;

3. Результаты расчетов порогов конвективной устойчивости двухфазной среды, заполняющей обогреваемый сбоку вертикальный слой;

4. Вывод замкнутой системы уравнений конвекции двухфазной среды жидкость - мелкие тяжелые частицы для случая переменного силового поля с учётом влияния сил нестационарного трения;

5. Обнаружение резонансного эффекта стабилизации течения за счет подавления возмущений запаздывающим действием силы Бассэ;

6. Вывод модельных уравнений для процессов реакции-конвекции-диффузии в двухслойной многокомпонентной среде несмешивающихся жидкостей в плоском реакторе Хеле-Шоу;

7. Результаты исследования нелинейной динамики и структурообразова-ния в двухслойной многокомпонентной среде с экзотермической реакцией нейтрализации, действующей в объёме;

8. Объяснение механизма самоорганизации пальчиковых структур;

9. Идею внешнего управления структурообразованием в реакторе Хеле-Шоу посредством локального изменения теплопроводности стенок реактора;

10. Результаты исследования стохастических колебаний в многокомпонентных реагирующих средах белковых молекул, регулирующих свою концентрацию посредством запаздывающей обратной связи;

11. Модификацию метода Гиллеспи на случай запаздывающих реакций;

12. Результаты исследования активного управления равновесием жидкости в прямоугольном термосифоне посредством обратной связи;

13. Объяснение механизма возникновения паразитных колебаний в задаче об активном управлении квазиравновесием жидкости в термосифоне.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 19952001), COSPAR-1996 (Birminham, 1996), Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity (St.Peterburg, 1997), Third International Conference on Multiphase Flow (Lyon, 1998), V Международном семинаре по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (Новосибирск, 1998), VIII-ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), XXIX Summer School «Advanced Problems in Mechanics» АРМ 2001 (St.Peterburg, 2001), March Meeting of American Physical Society (Los Angeles, 2005), SPIE conference «Noise in Complex Systems and Stochastic Dynamics» (Bellingham, 2005), 5th International Aerospace Congress (Moscow, 2006), 3-ей Всероссийской научно-практической конференции ИММОД-2007 (С.-Петербург, 2007), HI Всероссийской научной конференция ЭКОМОД-2008 «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий» (Киров, 2008). Результаты исследований были представлены на семинарах доктора К.Эккерт (TUD, Дрезден, 2003), проф. Г.Николиса (ULB, Брюссель, 2003), проф. Д. Хасти (UCSD, Сан Диего, 2005), проф. В.И. Полежаева (ИПМ, Москва, 1997), а также в Европейском Космическом Агентстве ESA (Нордвийк, 2003). Кроме того, результаты работ по теме диссертации регулярно докладывались и обсуждались на Пермском гидродинамическом семинаре им. Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого в 1992-2010 годах (11 выступлений).

Полностью диссертационная работа обсуждалась на Пермском гидродинамическом семинаре (ПермГУ, рук. проф. Д.В.Любимов) и научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (рук. акад. РАН В.П.Матвеенко).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 43 печатные работы, в том числе 29 статей в отечественных и зарубежных журналах и сборниках научных трудов и материалов конференций.

Личный вклад автора. Работы [31,32] выполнены без соавторов; в работах [6, 8, 11, 13, 15-17, 22, 28, 30], выполненных совместно с экспериментаторами, автору принадлежат все теоретические результаты, а в экспериментальной части этих работ автору принадлежат некоторые методики обработки данных (например, метод восстановления фазового портрета), кроме того, автор принимал участие в обсуждении и интерпретации данных экспериментов. В ранних работах по двухфазной среде [1-3, 7, 12,14] автору принадлежит участие в выводе модельных уравнений, выбор и реализация численного метода, интерпретация полученных результатов. В работах [4-5, 910] автору принадлежит участие в постановке задачи, совместный вывод модельных уравнений с одним из соавторов, численные расчеты. В работах [1821] автору принадлежит постановка задачи и все численные расчеты; вывод модельных уравнений и интерпретация полученных результатов проведены совместно с соавтором. В работе [23] автору принадлежит постановка задачи, получение модели, выбор и реализация численного метода, обсуждение и интерпретация полученных результатов проведена совместно с соавтором. В важных для диссертации работах [24] и [29] автору в теоретической части принадлежит постановка задачи об управлении, получение модели, выбор и реализация численного метода, участие в интерпретации полученных результатов; физический эксперимент был поставлен по просьбе автора. В работах [25-27] автору принадлежат аналитические расчеты, численные результаты, а также разработка модификации алгоритма Гиллеспи; обсуждение и интерпретация полученных результатов была проведена совместно с соавторами.

Автор благодарен своему учителю Д.В. Любимову, а также Г.З. Гершу-ни, И.Р. Пригожину, Г. Николису, Г. Хомси, A.A. Черепанову, Ю.К. Брату-хину, В.И. Полежаеву, В.И. Юдовичу за многочисленные полезные обсуждения. Автор также благодарен коллегам и соавторам A.B. Зюзгину, Г.Ф, Путину, B.C. Теплову, Д.Н. Вольфсону, А. Де Вйт, К. Эккерт, Д. Хасти, Л. Цим-рингу, Б. Ру, Т.П. Любимовой, в тесном сотрудничестве с которыми были получены результаты данной работы.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы (первая глава), шести глав с изложением результатов, заключения и списка цитированной литературы, включающего 286 наименований. Общий объем работы 375 страниц, включая 93 рисунка и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении показана актуальность проблемы и дана общая характеристика работы.

Первая глава «Динамика неизотермических многофазных многокомпонентных сред» содержит обзор литературы по трём типам гетерогенных систем, рассмотренных в диссертации. В п. 1.1 обсуждаются работы, посвященные тепловой конвекции жидкости, несущей мелкодисперсную примесь. Отмечается, что имеющиеся в литературе модели двухфазной среды жидкость - твердые частицы противоречат духу приближения Буссинеска-Обербека. В п. 1.2 приводится обзор работ по хемо-конвективным системам в многослойных системах. Из обзора литературы следует, что подавляющее большинство работ рассматривает химическую реакцию как поверхностную, что приводит во многих случаях к неоправданному упрощению постановки задачи. П. 1.3 посвящен обзору работ по многокомпонентным реагирующим системам белковых молекул, регулирующих свою концентрацию посредством отрицательной обратной связи. Отмечается, поведение таких сред во многом определяется флуктуациями и возможным запаздыванием обратной связи. Последний п. 1.4 даёт представление о работах по управлению тепло-и массопереносом как в однородных, так и в неоднородных системах.

Вторая глава «Динамика конвективных течений в вертикальном слое жидкости, подогреваемом сбоку» посвящена нелинейной динамике и струк-турообразованию конвективных течений однородной жидкости между изотермическими вертикальными пластинами, нагретыми до разной температуры. В п. 2.1 отмечается, что в такой системе существует два механизма неустойчивости основного течения. Первый механизм связан с монотонной модой гидродинамической неустойчивости, которая проявляет себя при небольших значениях числа Прандтля Р < 12.4 и приводит к появлению стационарных вторичных движений. Второй механизм проявляет себя через колебательную неустойчивость, которая связанна с температурными возмущениями и приводит при Р> 12.4 к бегущим тепловым волнам. Если неустойчивость первого типа исследована достаточно подробно как в теоретически, так и экспериментально, то волновые структуры, возникающие в жидкостях с высоким числом Прандтля, исследованы недостаточно.

Работа осуществлялась в тесном сотрудничестве с экспериментаторами, и параметры экспериментальной установки, при которых данные эксперимента было бы возможно сравнивать с результатами численного моделирования в приближении бесконечно протяжённого слоя, обсуждались заранее. В п. 2.1 предложена оценка для минимальной высоты кюветы, при которой возмущения во встречных потоках успевают развиться до состояния взаимодействия мевду собой:

д>

Gr*C 2Л

(1)

Здесь Gr* - критическое зна- ^^ чение числа Грасгофа, при котором основное течение теряет устойчивость, С - фазовая скорость волны, h - полутолщина слоя, A = L/2h - относительная высота слоя. Для взаимодействия потоков необходимо, чтобы характерное время нарастания возмущений, которое можно оценить как MX, где Я - получаемое из линейного анализа максимальное значение инкремента в области неустойчивости, было бы меньше времени прохождения волны по каналу L/C. Оценки показывают, что спирт (Р = 14), часто используемый в качестве рабочей жидкости, требует нереально высокого значения А я 1000. С другой стороны в жидкостях с высоким значением числа Прандтля возникает течение погранслойного типа с резко развитыми движениями вдоль стенок и малоподвижной массой жидкости, расположенной посередине слоя. Таким образом, для экспериментального наблюдения сильно взаимодействующих встречных потоков, необходимо выбрать жидкость из ограниченного диапазона значений числа Прандтля: 20<Р<40. В качестве такой жидкости был выбран авиационный керосин (? = 26), удовлетворяющий требованиям, изложенным выше. Все численные расчёты проводились также для керосина.

Определяющие уравнения, граничные условия и свойства симметрии уравнений приводятся в п. 2.2, подробности численного метода для исследования динамики плоских и трехмерных течений обсуждаются в п. 2.3. Численное исследование плоских конвективных движений осуществлялось с помощью метода конечных разностей, а расчёт трёхмерных движений проводился с помощью пакета NEKTON, использующего метод спектральных элементов. В п. 2.4 приводятся результаты, полученные для конечно-амплитудных режимов плоской конвекции (Рис.1). Численное моделирование показало, что с ростом числа Грасгофа система испытывает, по крайней

Рис.1. Карта устойчивости для плоских течений: - нейтральная кривая; □ - периодический режим; ■ - квазипериодический режим с двумя независимыми частотами; о - квазипериодический режим с тремя частотами; • - хаотический режим. Вертикальная штрихпункгирная линия показывает срез, для которого выполнен расчет вторичных пространственных движений

мере, три последовательные бифуркации Хопфа, при которых в фазовом пространстве появляются инвариантные торы все большей размерности.

В данном исследовании были зафиксированы квазипериодические движения с двумя, тремя и четырьмя рационально независимыми частотами. Основная частота колебаний связана со скоростью распространения температурных волн. С ростом числа Грасгофа ее значение растет, так как волны двигаются быстрее. Квазипериодический режим появляется в момент, когда амплитуды холодной и горячей волн вырастают настолько, что начинают перекрываться. Благодаря разной температуре волновые пики проскальзывают один по другому, а их взаимодействие вносит возмущение в амплитуду волн. При высоком значении числа Прандтля тепловые возмущения скорее конвек-тируются потоком, а не рассасываются посредством теплопроводности среды, поэтому волны становятся модулированными. Таким образом, вторичные колебания с частотой Р2 отвечают за динамику волны модуляции, бегущей по исходной температурной волне (Рис.2). Бифуркации Хопфа более высоких порядков могут быть объяснены аналогично. Переход к хаотическим колебаниям происходит через разрушение инвариантного тора высокой размерности и появление странного аттрактора тороидного типа, т.е. реализуется сценарий Рюэля-Такенса:

5 -» Р-> -> ¡2Р3 -» £/>4 Б А Здесь: 8, Р, QP, 5А - стационарная, периодическая, квазипериодическая и хаотическая конвекция соответственно.

Результаты численного исследования конечно-амплитудных режимов трехмерной конвекции приводятся в п. 2.5. Показано, что при Сг >133 в слое развивается режим пространственных колебаний, обеспечивающий максимальный теплоперенос через полость (Рис.3). Дальнейший сценарий перехода к временному хаосу в этом случае немного другой:

5 -> р -> дрг{Т) ->• яр2(2Т) -»др2(4Т) ... яа Двумерный тор претерпевает здесь каскад удвоение периода и разрушается.

Рнс.2. Фурье спектр и сечение Пуанкаре (во врезке) для квазипериодического режима плоской конвекции с тремя независимыми частотами при бг=248

п-г-

плоскиа течения - О -трёхмерные течения •

..О'

1.1 -

1.05 -

.О"

..•" .о''

.о

о'

1(3 -

о?

0.95'— 100

120

140

160

Дальнейший рост ведет к 1.2 усилению трехмерных эффек- ДОц тов, изгиб вихрей увеличивает- 1.15 ся, порождая усиление струйных выбросов из середины слоя в местах, периодически расположенных вдоль горизонтальной оси вдоль слоя. Этот эффект разрывает горизонтальные валы на куски, порождая ячеистую конвекцию. В конце концов, интенсивность выбросов жидкости из середины слоя нарастает настолько, что это приводит к их объединению в вертикальные спиралевидные структуры, периодически расположенные вдоль слоя. Движение в соседних струях осуществляется во встречных направлениях. При этом вертикальные структуры не являются стационарными и совершают незначительные по амплитуде колебания вдоль всех пространственных осей. Детали экспериментального исследования системы, выполненного АВ.Зюзгиным, приводятся в разделе 2.6. В п. 2.7 проводится сравнение результатов численных расчетов и эксперимента (Таб,1). Выявляется как качественное, так и количественное согласие между теорией и экспериментом. В п. 2.8 отмечаются основные факторы, которые позволили достичь такого согласия, подводятся итоги проведенного исследования.

180 _ 200 Сг

Рис. 3. Осреднённый по времени поперечный теп-лопоток в зависимости от числа Грасгофа

Структура течения Линейный анализ, бт-хЮ2 Нелинейный анализ ОхЮ2 Эксперимент, От-хЮ2

Д=50 Д=75 SVD (Д=75)

Пульсирующие в противо-фазе горизонтальные валы 1.18 (Лг = 0.79) 1.15 {к = 0.94) 1.24(А = 0.79) 1.15 {к = 0.94) 1.1 1.2 -

Волнистые пульсирующие в противофазе валы, - 1.33(^ = 0.79) 1.25 1.4 1.3

Ячеистая структура из кусков разрушенных валов ■ - - 1.45 1.55 -

Вертикальные спиральные структуры - 1.6 1.7 1.7

Таблица 1. Бифуркационные значения числа Грасгофа для разных структур течений при Р=26.

Третья глава «Тепловая конвекция жидкости в присутствии мелких твёрдых частиц» посвящена выводу замкнутой системы определяющих уравнений для конвективных движений в двухфазной среде, состоящей из жидкости (газа) и мелких тяжелых частиц в статическом поле тяжести. В п. 3.1 обсуждаются общие принципы построения асимптотических моделей в многофазных средах, приводятся основные приближения, закладываемые в модель. Подчеркивается, что приближение Буссинеска - Обербека подразумевает, что полученная система уравнений должна быть непротиворечивой в том смысле, что ни один из безразмерных параметров, фигурирующих в конечных уравнениях, или их комбинация не совпадают ни с одним из асимптотически больших или малых параметров, используемых в разложении. В п. 3.2 производится последовательный вывод уравнений тепловой конвекции для запылённой среды, в результате чего получается следующая система:

{\ + §)(—+уЧу\ = -Чр + &я+ОгТу + 8€уЧу , (2)

)

(1 +

Л 1

= ^ДГ + ЯВ£у-У7\ (3)

^ + = (4)

01

У • у = 0, У8 = у-Яу, Т^Т. (5)

Здесь у, у, - скорости жидкой и твёрдой фаз соответственно; Т, ТБ - температуры фаз; £ = <рВ - массовая концентрация твёрдой фазы, £> - отношение плотностей фаз; у = -%!§. Система (2-5) содержит три известных безразмерных параметра: число Грасгофа О, число Прандтля Р, отношение теплоем-костей фаз В. Кроме того, появился новый параметр

$ = (6)

где ба - число Галилея, г - радиус частиц, Л - характерный размер конвективной системы. Параметр 5 характеризует разницу инертностей твердой и жидкой фаз и обращается в ноль при £)=1.

В п. 3.3 на основе полученных уравнений (2-5) рассматривается задача об устойчивости плоскопараллельного течения запылённой среды в вертикальном слое, подогреваемом сбоку и находящемся в статическом поле тяжести: производятся координатные преобразования, и формулируется спектрально-амплитудная задача. Детали метода Галеркина, использованного для решения этой задачи, приводятся в п. 3.4. В качестве базиса была использована система ортогональных функций Петрова - Чандрасекара.

в

вг

40

30

20

бегущая

вверх тепловая волна

1 бегущая

вши тепловая волна

ю

200-------------------

О 10 20 30 40 50

Ъ

Рис.5. Зависимость критического числа Грасгофа и волнового числа от параметра

Р=5, отмеченный штриховой линией, двухфазной среды 5 при фиксированном приведен на Рис.5 числе Правдгля Р = 5

Чтобы результаты расчётов не зависели от числа базисных функций, удерживаемых в разложении метода Галеркина, особое внимание было уделено сходимости результатов. Алгоритм решения задачи включал автоматическое увеличение числа базисных функций до тех пор, пока добавление новых функций меняло результат вычислений не более чем на 0.1%. В п. 3.5 приводятся результаты численного исследования задачи устойчивости. Показано, что в случае Р <12.4 и достаточно малом 5, режим стационарных ячеек, реализующийся в однородной среде, сменяется режимом дрейфующих ячеек, которые увлекаются оседающими частицами (Рис.4). При дальнейшем увеличении параметра двухфазной среды происходит резонансное возбуждение режима тепловых волн, бегущих вверх. Обнаружено, что переход происходит, когда скорость оседания частиц становится близкой к средней на полутолщине слоя скорости основного течения. Таким образом, добавка твёрдых частиц к потоку может его существенно дестабилизировать (Рис.5). Этот вывод теории нашел своё качественное подтверждение в эксперименте, поставленным А.В.Зюзгиным [11]. При больших значениях числа Прандтля оседающие частицы снимают вырождение между двумя, равноправными при 5 = 0, типами тепловых волн - бегущей вверх (наиболее опасна в диапазоне 12.4<?<37) и бегущей вниз (опасна при Р>37). Сравнение с экспериментальными данными и результатами работ других авторов, полученными в рамках других моделей, производится в п. 3.6.

В четвертой главе «Влияние вибраций на конвективную устойчивость течения, несущего мелкие твёрдые частицы» исследуется вопрос о влиянии переменного инерционного поля, действующего вдоль вектора п, на устойчивость течения двухфазной среды, рассмотренной в главе 3. В разделе 4.1 рассматриваются вибрации конечной частоты. Основные принципы построения асимптотической модели обсуждаются в п. 4.1.1. Отмечается, что опре-

деляющее влияние на конечный вид модельных уравнений имеет параметр нестационарности K = 2r-yjpf¡T]t*, где t*- характерное время изменения скорости. В случае сила трения между фазами может быть описана в рамках приближения Стокса. В противном случае необходим учёт вклада нестационарных сил трения - силы Бассэ и силы присоединённых масс. В п. 4.1.2 производится вывод замкнутой системы определяющих уравнений в приближении Буссинеска для случая действия силы Стокса. Применение теории возмущений приводит к следующим уравнениям:

(1 ■+ А— + V ■ 'Vv) = Vp+A v+ GrT(у + ilícos (П f ))+ {dt J

+ S£(y+n Acos (П f )) ■ Vv- n SÇAQ sin (Q t ) (7)

(l+BÇ) —+ vV7,S| = -Ar+55í(y + nAcos(Qí))-vr. (8)

. j P

^ + V • = s(y + n Acos(Qí))-, dt

(9)

(10)

j

>|M«|

У-у = 0, у5=У-5,(у + пАсоз(П?)). Т,-Т

К множеству параметров в статическом случае (2-6) добавились два параметра: А = аа2/gvíCí = (oh2/v- безразмерные амплитуда и частота вибраций.

В п. 4.1.3 рассматривается задача о параметрическом возбуждении вторичного течения в вертикальном слое, подогреваемом сбоку и совершающем продольные горизонтальные вибрации конечной частоты. Выводится аналитическое выражение для плоскопараллельного пульсационного течения. Приводятся профили скорости для этого течения. Спектрально- амплитудная задача для бесконечно малых возмущений формулируется в п. 4.1.4. Детали численного метода и особенности применения метода Флоке обсуждаются в п. 4.1.5. Следующий п. 4.1.6 посвящен изучению влияния симметрии 0(2) на возможной тип решения. Доказывается, что в случае отсутствия примеси возможны только синхронные решения, частота осцилляций которых

700 I

Ag

500 400 300 200 100 0

S = 0 S = 10 S = 50

Ni-

OOOOOOOOO'

oqogûQûaûûQC

,000°

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1/Q

0.7

Рис.6. Нейтральные кривые устойчивости для параметрически возбуждаемого вторичного течения в системе жидкость - твёрдые частицы дая трех разных значений параметра 51

совпадает с частотой внешнего воздействия. Когда течение становится двухфазным 5^0, вырождение снимается, и появляется возможность для возникновения как субгармонических, так и квазипериодических решений.

В п. 4.1.7 приводятся результаты численного решения спектрально -амплитудной задачи. Все вычисления производились для Р = 26. На рис.6 на плоскости обратная частота - параметр = вгА представлены нейтральные кривые, разделяющие область устойчивости основного течения и область параметрического возбуждения вторичного течения. Область неустойчивости располагается выше кривой. Как и предсказывалось анализом симметрий в системе, все наиболее опасные возмущения при 5 = 0 относятся к синхронному типу. При появлении твердой примеси критическое возмущение становится квазипериодическим. Однако, при больших значениях частоты отклонения от синхронного типа настолько малы (в пределах 1-2%), что с практической точки зрения интереса не представляют. Обнаружено, что такое квазисинхронное решение существует при П > 1.6. Как видно из рис.6, при увеличении 5 порог параметрического возбуждения вторичного течения сдвигается в область больших значений амплитуд модуляции.

В п. 4.1.8 производится сравнение теории с экспериментальными данными, полученными А.В. Зюзгиным и Г.Ф. Путиным1, которые исследовали влияние высокочастотных горизонтальных вибраций на устойчивость подъемно-опускного течения в вертикальном слое керосина (Р=26). При частоте вибраций меньшей, чем 19 Гц было обнаружено течение, не предсказываемое теорией в высокочастотном приближении. Специфика эксперимента требовала использование для визуализации течения алюминиевой пудры, которую можно отнести к мелкой и достаточно тяжелой примеси. Оценка показывает, что значение параметра 5 в эксперименте не превосходило значения 5»0.5 + 2. На рис.7 представлены результаты расчетов (линии) и экспериментальные данные (квадраты). Показано, что качественно они согласуются: во-первых, как и в эксперименте, зафиксирована неустойчивость квазисин-

0.01

ш

0.1

Рис.7. Сравнение теоретических кривых с экспериментальными данными

1 Зюзгин A.B., Путин Г.Ф. Устойчивость подъемно-опускного течения в вертикальном слое жидкости под воздействием высокочастотных вибраций. Сб. Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермский ун-т. 1998. Вып.!, с. 130-141

хронного типа. Во-вторых, экспериментальная длина волны возмущения близка к теоретической к в 1.6. Однако, сами критические значения параметра Ag для перехода к новой резонансной моде, лежат значительно выше значений, предсказываемых теорией (Рис.7, случай М = 0, для П = 100 различие более чем в 1.5 раза).

В п. 4.2 изучен вопрос о влиянии силы Бассэ и силы присоединенных масс на динамику системы. Отмечается, что оценка для критической частоты, ниже которой вклад нестационарных сил становится несущественным, дает значение 50 Гц (для частиц г = 10~5 м) и 0.5 Гц (для частиц г = Ю-4 м). Учитывая, что параметрическая мода конвекции в эксперименте наблюдалась при су < 19 Гц, а твёрдая примесь была не монодисперсна, вклад этих сил может быть важен. В п. 4.2.1 приводятся общие сведения о нестационарных силах трения между фазами. Вывод замкнутой системы определяющих уравнений для эволюции неизотермической двухфазной среды, состоящей из жидкости и твёрдых частиц, в приближении Буссинеска производится в п. 4.2.2. Приведём конечные уравнения в приближении слабой нестационарности К «1 и постоянной массовой концентрации :

(1 + £о)

ГдУ л

- + (уУ)у

(1 + Я<Го)

= -Щ + Ду+СгТ(у + пА соБ(Ог)) -

- £05(у + п А(соэ(П0 + Мб т(Ш + 0.75л-))) • Уу , (11) дТ

я, 01

= Д Г - ^ДУ (у + аА со5(П ()) ■ VI -

- п ¿;0А8ВМ зт(£}* + 0.75л-) • УТ, (12)

у8 = V + (1 + #0)5(у + пЛсов^О) + ъЯМА вт(Пг + 0.75л-), (13)

где М = БК12. Как видно из (11-13), действие силы Бассэ, зависящее, вообще говоря, от всей предыстории течения, в случае периодических вибраций сводится к сдвигу фазы и определяется параметром М.

В п. 4.2.3 решается задача об устойчивости течения в вертикальном слое запыленной среды, подогреваемом сбоку и совершающем горизонтальные продольные вибрации конечной частоты: выводится плоскопараллельное пульсационное течение, формулируется спектрально-амплитудная задача для возмущений. Результаты расчетов областей резонансного возбуждения конвекции приводятся в п. 4.2.4, обсуждается эффект резонансной стабилизации благодаря действию силы Бассэ. Показано, что в определенном диапазоне параметров устойчивость основного пульсационного течения жидкости практически не зависит от присутствия твердой примеси. Эффект объясняется отставанием по фазе силы Бассэ от пульсаций основного течения, что при определенной частоте вибраций приводит к ситуации, когда возмущения, создаваемые частицами, гасятся действием силы Бассэ. В п. 4.2.5 производится

сравнение с экспериментальными данными и выявляется как качественное, так и количественное согласие (Рис.7,, случай МфО). Заметим, что оценка параметра нестационарности в эксперименте даёт значение М «0.5+10.

В заключительном разделе 4.3 рассматривается случай вибраций высокой частоты. Принципы осреднения уравнений и построения асимптотических моделей обсуждаются в п. 4,3.1. Процедура разложения и получение пульсационных компонент величин производится в п. 4.3.2. Замкнутая система осредненных уравнений выводится в п. 4.3.3, там же обсуждается структура новых уравнений.

Пятая глава «Динамика хемо-конвективных движений» посвящена изучению диссипативных структур, спонтанно возникающих в двухслойной системе двух несмешивающихся реагирующих жидкостей, помещенных в узкий зазор между двумя твердыми пластинами. Краткое описание эксперимента2, в котором впервые наблюдалась необычно регулярная периодическая система хемо-конвективных пальчиковых структур, равномерно удлиняющихся в сторону от поверхности раздела, дано в разделе 5.1. В следующем разделе 5.2 строится простая однослойная модель реагирующей в объеме жидкости с фиксированным 1радиентом реагента на свободной поверхности. Модельные уравнения выводятся в п. 5.2.1, основное состояние выделяется в п. 5.2.2. Для этой модели оказывается возможным получить аналитическое решение для неустойчивости Марангони (п. 5.2.3). Анализ устойчивости по отношению к гравитационным механизмам неустойчивости приводится в п. 5.2.4. Выясняется, что неустойчивость Релея-Тейлора наиболее опасна.

В разделе 5.3 строится максимально приближенная к эксперименту модель двухслойной многокомпонентной среды с объемной реакцией нейтрализации в нижнем слое. Как и в эксперименте, предполагается, что верхний слой представляет собой слабый раствор кислоты А в органическом растворителе, а нижний - водный раствор щелочи В. В результате диффузии кислоты через свободную поверхность в нижний слой там происходит реакция ее нейтрализации основанием с образованием соли £ и выделением значительного количества теплоты Вывод определяющих уравнений конвекции-реакции-диффузии в приближении ячейки Хеле-Шоу производится в п.

5.3.1, а основные приближения, закладываемые в модель, обсуждаются в п.

5.3.2. Здесь приводится полный список безразмерных параметров. Основное состояние системы, которое включает в себя механическое равновесие жидкости и одновременно нестационарное перемещение фронта реакции (за счёт диффузии), выделяется в п. 5.3.3.

2 Eckert K., Ackcr M., Shi Y. Chemical pattern formation driven by a neutralization reaction. Part I: Mechanism and basic features. Phys. Fluids, 2004, Vol. 16, pp. 385-399.

и

О 2 4 в 8 10

время

100000

1.2 к 1.6

Здесь же показывается, что динамика фронта реакции всецело зависит от отношения начальных концентраций реагентов и рассматриваются два случая - квазистационарного и бегущего от свободной поверхности фронта реакции. В п. 5.3.4 формулируется спектрально-амплитудная задача и отмечается, что её особенностью является нестационарный характер не только самих амплитуд возмущений, но и основного состояния. Таким образом, решение задачи устойчивости сводится к вычислению показателя Ляпунова следующего вида:

и в1у( 0 где А/ - шаг интегрирования по времени, N - количество независимых реализаций, о, - возмущение концентрации кислоты в нижнем слое. В качестве примера расчета на рис.8 приведены нейтральные кривые для тепловой неустойчивости Марангони. Результаты расчетов в рамках линейной теории для тепловой и концентрационной капиллярных механизмов неустойчивости приведены в п. 5.3.5. Показано, что на ранних этапах эволюции наиболее опасное влияние на устойчивость жидкости оказывает кислота, затем более опасной становится соль. Детали численного метода для расчета конечно-амплитудных режимов конвекции-реакции-диффузии обсуждаются в п. 5.3.6. Нелинейная динамика и структурообразование, когда ведущим механизмом является неустойчивость Марангони, исследованы в п. 5.3.7. Здесь же приводится временная эволюция функции тока, теплового поля и концентрации реагентов. Отмечается, что хемо-конвекция Марангони играет важную, но не принципиальную роль в формировании регулярных пальчиковых структур, наблюдавшихся в эксперименте.

Рис.8. Нейтральные кривые для термокапиллярной конвекции в случае высокотеплопроводных границ реактора для различных значений числа Марангони. Область неустойчивости находится внутри замкнутых областей. Зависимость показателя Ляпунова (14) от времени приведена во врезке

(14)

Рис.9. Динамика теплового поля во времени для концентрационной капиллярной конвекции. Кадры эволюции последовательно пробегают значения времени ¡=5, 10, 40, 100. Максимум поля отмечен черным цветом.

Так как фронт реакции со временем уходит от поверхности раздела слоев (Рис.9), то подпитка поверхностных явлений ослабевает, и капиллярная конвекция затухает.

В п. 5.3.8 рассматриваются гравитационные типы неустойчивости (Ре-лея-Бенара и Релея-Тейлора) и показывается, что именно они ответственны за пространственно-временную самоорганизацию в системе. Как видно из схемы на рис.10, в нижней части хемо-конвективных пальчиков градиент температуры направлен вверх и скорость движения жидкости здесь резко падает. Таким образом, тепловое поле не только служит генератором всей структуры, но также стабилизирует её и выравнивает фронт пальчиков по одной линии. Обсуждение полученных результатов и сравнение с экспериментальными данными производится в п. 5.3.9. Констатируется, что большинство экспериментально наблюдаемых эффектов нашли в работе свое объяснение.

В разделе 5.4 предлагается способ управления структурообразованием внутри плоского реактора Хеле-Шоу посредством локального внешнего изменения теплопроводности стенок этого реактора. Механизм такого управления подробно излагается в п. 5.4.1. Если посередине пластин теплоизолированного реактора создать вертикальную полосу высокой теплопроводно-

кислота

И о Н о

' /1 1 ■

основание

Рис.10. Схема процессов реакции-диффузии-конвекции в хемо-конвектив-ной ячейке. Максимум теплового поля выделен серым цветом.

сти, то тепло будет диссипировать в эту щель, и в сплошном фронте теплового поля появляется зазор. Стабилизирующий фактор тепла в этом зазоре перестает работать, и тяжелая соль устремляется вниз. Таким образом, появляется мощный уединенный пальчик, быстро растущий в сторону от свободной поверхности. Эта структура поддерживается двумя интенсивными конвективными вихрями, которые тянут структуру вглубь нижнего слоя (Рис.11).

Рис.11. Виды пальчиковых структур в зависимости от типа внешней теплопроводной накладки (заштрихованы) на стенки реактора. Зависимость пространственной скорости реакции от времени для каждого случая представлена справа.

Меняя форму накладок и место их присоединения к реактору, можно достаточно успешно манипулировать структурообразованием внутри реактора. В п.5.4.1 приводятся результаты численных расчетов для некоторых сценариев управления. На рис.11 приведены графики зависимости интегральной скорости реакции по всему реактору от времени для четырёх случаев: естественная эволюция, пальчиковая зона (полуплоскость высокой теплопроводности), уединенный пальчик (одна полоса), три пальчика (три полосы).

Сравнение с экспериментальными данными производится в п. 5.4.2. Отмечается, что с практической точки зрения область высокой теплопроводности легко создается, например, путем присоединения к стеклянной стенке реактора металлической пластины. Подчеркивается энергосберегающий характер такого управления, так как в случае экзотермической реакции для внешнего регулирования процессов в системе используется энергия, выделяемая внутри самой системы.

Шестая глава «Стохастические колебания в многокомпонентных реагирующих средах с запаздывающей обратной связью» посвящена исследованию поведения облака белковых молекул, которые регулируют свою концентрацию в процессах транскрипции/трансляции. В п. 6.1 дается общее представление об областях приложения химических реакций с запаздыванием, подчеркивается важность этих систем не только для физики или химии, но и

математической генетики. В п. 6,2 обсуждается стохастическое описание эволюции динамических систем, подчеркивается важность этого подхода в сравнении с детерминистским описанием.

запаздывание

Atw At.

время

• • •

1

Рис.12. Схема, поясняющая модифицированный алгоритм Гиллеспи

В разделе 6.3 обсуждается метод Гиллеспи3, который является основным инструментом численного исследования стохастических дискретных систем. Формулируется новый алгоритм, который обобщает алгоритм Гиллеспи на случай реакций с запаздыванием (Рис.12). Главная идея обновления заключается в следующем. Предположим, один из химических каналов является немарковским. Как обычно, в каждый момент времени эволюции определяется канал, который должен реализоваться, и промежуток времени А/*, через который это должно произойти. Если выпадает реакция с запаздыванием, то она не выполняется, а помещается в стек памяти с тем, чтобы быть выполненной в момент времени А? *+г., где т - время запаздывания. Если же выпавший химический канал является марковским, то прыжок во времени Д?который должна совершить система, сравнивается со временами наступления отложенных в стек памяти реакций. Если в диапазоне между * и г + Дг* никаких реакций не запланировано, то система совершает прыжок на Д£ *. Если же в этом диапазоне времени попадает одна из запаздывающих реакций, то последняя процедура отбора игнорируется, а система на самом деле прыгает к моменту времени t + Ьii, которое ранее было уже запланировано, но отложено из-за запаздывания.

В п. 6.4 рассматривается тестовая задача о динамике концентрации белковых молекул:

где Х- концентрация белка, А, В - скорости реакций для процессов синтеза и деградации соответственно. С обозначает скорость деградации белка, которая совершается с запаздыванием на время г. В п. 6.4.1 излагаются результаты исследования детерминистских уравнений, а п. 6.4.2 представляет ре-

0'—х'—х'-£-+0'+т

(15)

3 Gillespie D.T. Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions. J.Phys.Chem.,1977,Vol.81, pp.2340-2361.

зультаты стохастического анализа. Предполагается, что на уровне временных масштабов, характерных для транскрипции, происходит декорреляция между последовательной цепочкой событий. В этом случае удаётся найти аналитическое решение для автокорреляционной функции. Констатируется отличное согласие между аналитическим и численным решением, что подтверждает корректность предложенного численного алгоритма (Рис.13).

в

20 15 10

5 ______

0.1 1 10

со

Рис.13. Сравнение корреляционных функций системы (15), полученных аналитически

(сплошная линия) и численно (штриховая линия). С = 1, Л=100, 5=4.1, г=20.

В п. 6.5 рассматривается более сложная модель с нелинейной обратной связью. Исследование модельных уравнений в рамках детерминистского описания производится в п. 6.5.1, стохастическое описание приводится в п. 6.5.2. Обнаружен новый эффект возбуждения сложных квазирегулярных колебаний в области значений параметров, где детерминистская теория предсказывает только стационарное решение. Колебания возникают из-за взаимодействия шума и запаздывания. Так как в стохастической системе точка бифуркации Хопфа размывается, то предложен метод её определения. Показано, что скорости затухания высоты пиков автокорреляционной функции ниже и выше детерминистской точки бифуркации различаются, что порождает излом на графике как раз в том месте, где располагается точка перехода. Таким образом, эта величина может служить хорошим индикатором бифуркаций в стохастическом анализе, когда детерминистское описание системы по какой-то причине невозможно. В п. 6.5 отмечается еще один эффект: так как чувствительность системы с запаздыванием резко возрастает, то любое выведение системы из положения равновесия приводит к качественно новой переходной динамике. Например, если в системе без запаздывания в какой-то момент времени скорость деградации белка скачком увеличивается, то система реагирует на это монотонным переходом на новый стационарный уровень, В случае же запаздывания система в ответ на возмущение демонстрирует осциллирующий тип перехода. Раздел 6.6 подводит итоги исследования.

В седьмой главе «Активное управление жидкости в термосифоне» рассматривается задача об автоматическом поддержании механического рав-

новесия неоднородно нагретой жидкости в конвективной петле прямоугольной формы. Равновесие поддерживается с помощью управляющей подсистемы (компьютер), которая реагирует на возникновение конвективного движения посредством малых изменений пространственной ориентации петли в поле тяжести. В разделе 7.1 кратко излагаются результаты экспериментального исследовании4; обсуждается явления, которые требуют своего теоретического объяснения. В разделе 7.2 строится модель одномерного течения в прямоугольной петле с учетом запаздывающего характера активного управления, исследуются ее свойства. В п. 7.2.1 производится усреднение уравнений гидродинамики для неодносвязного одномерного течения в термосифоне и методом Галеркина выводится трехмодовая динамическая модель:

йХ<4)1са = Р{-Х(1) + У(()со 8(Щг - т)) - (а Я + £г(0)ип(Щ* - г))),(16) ¿У(0/А = -У(() - Х{1)2(;) + ЯХ((), (17)

<й(/)/А.= -2(0 + ХЦ)Г(!), (18)

где X, У,2 - амплитуды разложения в методе Галеркина, Р - число Прандт-ля, к - коэффициент управления, К - число Релея, выраженное в надкритично-стях, а, # - геометрические параметры петли.

В п. 7.2.2 исследуется линейная устойчивость механического квазиравновесия жидкости, даются объяснения основным явлениям, наблюдавшимся в эксперименте (Рис.14). Обнаружено, что кроме монотонной неустойчивости, конвективной по своей природе, при больших значениях коэффициента усиления обратной связи возникает колебательный режим движения. Рассмотрение модели (16-18) показало, что причиной паразитных осцилляций является неспособность управляющей подсистемы вовремя вносить корректирующие изменения. Таким образом, повышение эффективности управления путем усиления обратной связи может привести к ситуации, когда само управление генерирует неустойчивость стабилизиро-

4

Зюзгин A.B., Путин Г.Ф. Динамическое управление устойчивостью механического равновесия конвективной системы. Гидродинамика, Пермь: ПермГУ, 1998, с, 123-139.

Рнс.14. Карта режимов течения на плоскости числа Релея и коэффициента усиления обратной связи. Точки соответсвуют экпериментальным данным, линии -теоретический анализ. Горизонтальная линия отчеркивает область эффективного управления снизу.

ванного механического квазиравновесия. Раздел 7.2.3 посвящен исследованию нелинейной динамики определяющих уравнений. Приводятся фазовые портреты и характеристики динамических режимов, которые возникают при нелинейном взаимодействии управляющей подсистемы с термосифоном.

В п. 7.2.4 рассматривается вопрос о влиянии шума на эффективность управления термосифоном. Применяя к (16-17) обобщенный метод Гиллеспи, было обнаружено, что взаимодействие шума и запаздывающего управления приводит к сложным нерегулярным колебаниям в подкритической области (Рис.15, 16), которые значительно сужают область эффективного управления. Более того, начиная с некоторого значения запаздывания, управление механическим равновесием в данной системе указанным методом становится бессмысленным, так как система становится неустойчивой даже там, где она устойчива без всякого управления. Подчеркивается, что обнаруженный эффект аналогичен динамике концентрации белка при транскрипции гена. Обсуждение полученных результатов и некоторых перспектив их практического использования производится в п. 7.2.5.

В заключении перечислены основные результаты исследований, изложенных в диссертации. Приводится список литературы.

бООг

Рис.15. Влияние запаздывания на качество управления зашумлённой системой. Область генерирования нерегулярных колебаний заштрихована.

Рис.16. Фурье-спектр и корреляционная функция (во врезке) колебательного режима, возникающего в подкритической области (см. Рис.15). А=3, т=0.3.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Численно изучены нестационарные режимы конвекции в плоском вертикальном слое вязкой несжимаемой жидкости, обогреваемом сбоку. Впервые получена цепочка бифуркаций и выявлены основные структуры, возникающие в системе при увеличении числа Грасгофа. Показано, что сначала реализуется система осциллирующих горизонтальных валов, расположенных на границе раздела потоков. Затем эта структура испытывает зигза-

говую неустойчивость, которая постепенно приводит к разрыву валов и возникновению осциллирующей ячеистой конвекции. В конечном итоге возникает развитый пространственный режим конвекции, который представляет собой вертикальные модулированные струи. Изучены различные характеристики описанных типов течения, эволюция их структуры и фазовая динамика конвективной системы. Получено как качественное, так и количественное согласие с экспериментальными данными.

2. В рамках обобщенного приближения Буссинеска получена система определяющих уравнений, описывающих динамику вязкой неизотермической жидкости, содержащей твердую тяжелую примесь. Решена задача о линейной устойчивости плоскопараллельного течения в вертикальном слое, подогреваемом сбоку. Показано, что сколь угодно малая добавка примеси приводит только к колебательным вторичным режимам. Когда число Прандтля сравнительно мало Р<12.4, стационарные ячейки, которые существуют в случае однородной жидкости, начинают дрейфовать вниз под действием оседающих частиц. При больших значениях числа Прандтля добавка твёрдой примеси снимает вырождение между двумя типами волн - тепловой волной, бегущей вверх, и волной, бегущей вниз. Эффект дестабилизации неизотермического течения при добавлении к нему мелкодисперсной примеси, предсказанный новыми уравнениями, был подтвержден экспериментально.

3. Рассмотрена задача о параметрическом возбуждении вторичного течения в подогреваемом сбоку вертикальном слое жидкости с твердой тяжелой примесью, который совершает продольные горизонтальные вибрации конечной частоты. Получено выражение для плоскопараллельного пульсаци-онного течения обеих фаз; исследовано его устойчивость по отношению к бесконечно малым возмущениям. Изучен вопрос о влиянии 0(2)-симметрии задачи на тип решения. Показано, что в случае однородной жидкости могут реализоваться только синхронные решения. При добавлении частиц вырождение снимается, и возникают квазипериодические решения. Построенная теория позволила качественно объяснить новую конвективную моду, экспериментально обнаруженную для частот вибраций меньше 19 Гц.

4. В рамках обобщенного приближения Буссинеска получена система определяющих уравнений, описывающая динамику двухфазной среды жидкость - твёрдые частицы, находящейся под воздействием вибраций конечной частоты. Модельные уравнения выведены с учетом эффектов как квазистационарного, так и нестационарного трения. Показано, что влияние силы Бас-сэ и силы присоединенных масс становится существенным при высоких значениях частоты вибраций. Обнаружено, что учет нестационарных сил трения существенно стабилизирует основное течение, причем основной вклад в диссипацию энергии вносит сила Бассэ. В определенном диапазоне параметров наблюдается своеобразный резонансный эффект, когда устойчивость течения

жидкости практически не зависит от присутствия твердой примеси. Показано, что эффект объясняется отставанием по фазе отклика силы Бассэ на пульсации основного течения, что при определенной частоте вибраций приводит к тому, что возмущения, создаваемые частицами, гасятся возмущениями, генерируемыми самой силой Бассэ. Отмечено, что учёт в теории нестационарных сил трения приводит к количественному согласию с экспериментом.

5. Получены осредненные по времени уравнения для неизотермической жидкости, содержащей твёрдые частицы, находящейся в поле высокочастотных вибраций малой амплитуды. Предложенная модель учитывает эффекты, связанные с переносом массовой концентрации примеси и неоднородностью пульсационного поля скорости, генерирующего осреднённое движение.

6. Построена модель процессов структурообразования в двухслойной системе несмешивающихся жидкостей в ячейке Хеле-Шоу, в которой происходит объёмная реакция нейтрализации. Найдено объяснение удивительной регулярности хемо-конвективных пальчиковых структур, наблюдавшихся в этой системе экспериментально. В рамках модели показано, что основным генератором структуры является неустойчивость Релея-Тейлора. Обнаружено, что особую роль в стабилизации хемо-структуры играет тепло, выделяющееся в ходе реакции, - именно тепловое поле выравнивает фронт пальчиков по линии. Исследован вклад различных типов неустойчивости в структуро-образование. Показано, что капиллярная неустойчивость играет роль только на первом этапе эволюции. Это объясняется тем, что фронт реакции с течением времени уходит от границы раздела между слоями и уводит градиенты поверхностно активных величин от поверхности. При этом длина волны хемо-конвективных ячеек Марангони плавно увеличивается, а сама конвекция затухает. Описанный сценарий был подтвержден экспериментально.

7. Предложен оригинальный способ управления структурообразовани-ем внутри плоского реактора Хеле-Шоу посредством локального изменения теплопроводности стенок реактора. Показано, что, добавляя или отводя тепло в определенных точках реактора, можно возбуждать или подавлять конвективные движения, генерировать хемо-структуры заданной длины волны, направлять эволюцию хемо-конвективной структуры в нужную сторону, а также ускорять или замедлять скорость пространственно-распределенной реакции. Возможность такого управления подтверждена экспериментально.

8. Построена теория стохастически осциллирующих многокомпонентных реагирующих систем, состоящих из белковых молекул, концентрация которых регулируется посредством запаздывающей обратной связи. Показано, что при возникновении запаздывания в системе могут вспыхивать колебания даже в том случае, когда детерминистское описание системы предсказывает стационарное состояние. Это объясняется возбуждением сложных нерегулярных колебаний в подкритической области из-за взаимодействия меж-

ду шумом и запаздыванием системы. Предложен способ определения точки бифуркации Хопфа в зашумленных системах. Построенная теория может быть использована для исследования свойств любых систем, имеющих запаздывающую зашумленную обратную связь. Например, при изучении процессов транскрипции генов или механизма циркадных колебаний в клетках.

9. Предложен способ обобщения алгоритма Гиллеспи, являющегося стандартным инструментом численного исследования стохастических реагирующих систем, на случай немарковских стохастических систем. Сравнение численных результатов, полученных модифицированным методом Гиллеспи, с'аналитическим решением для корреляционной функции в модели деградации белка подтвердило корректность новой схемы численного анализа. Предложенный алгоритм может быть использован в любой области естествознания, где встречается стохастическая система с запаздыванием (математическая генетика, нелинейная химия, физика, теория сложных систем и т.д.).

10. Рассмотрена задача об автоматическом поддержании механического равновесия жидкости в конвективной петле прямоугольной формы, равновесие в которой поддерживается с помощью управляющей подсистемы, реагирующей на возникновение конвективного движения посредством малых изменений пространственной ориентации петли в поле тяжести. Обнаружено, что чрезмерное усиление обратной связи возбуждает в системе паразитные колебания, причина которых кроется в запаздывании управляющей подсистемы вовремя корректировать состояние управляемой системы. Показано, что управляющая подсистема вступает в нелинейное взаимодействие с управляемой конвективной системой, которое приводит к хаотическому поведению. Обнаружено, что учет шума в условиях запаздывания приводит к возникновению сложных нерегулярных колебаний в подкритической области, которые еще больше сужают область эффективного управления. Отмечено, что динамика термосифона, управляемого с помощью активной обратной связи, аналогична поведению облака белковых молекул, возникающих в процессах транскрипции генов. Все основные теоретические выводы были подтверждены в ходе экспериментальных наблюдений.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

(публикации из списка ВАК выделены жирным шрифтом)

1. Lyubimov D.V., Bratsun D. A., Lyubimova Т.Р., Roux В. Influence of gravitational precipitation of solid particles on thermal buoyancy convection // 31st Scientific Assembly of COSPAR. Book of abstracts. 14-21 July 1996. P. 393.

2. Брацун Д.А., Любимов Д.В. Динамические свойства тепловой конвекции в пористой среде // Вестник Пермского университета. Физика. Пермь: ПермГУ, 1994. Вып. 2. С.53-72.

3. Bratsun D.A., Lyubimov D.V., Roux В. Co-symmetry Breakdown in Problems of Thermal Convection in Porous Medium // Physica D. 1995. V.82. P. 398-417.

4. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Teplov V.S. Thermo-vibrational convection in a dusty medium. Governing equations // First report on the project TM-18 Nauka-NASA «Theoretical and experimental investigation of the behavior of non-uniform systems under the influence of vibrations». 1996. Part 5. P.42-48.

5. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Teplov V.S. Fluid flow in dusty medium induced by high-frequency vibrations // Final report on the project TM-18 Nauka-NASA «Theoretical and experimental investigation of the behavior of non-uniform systems under the influence of vibrations». 1997. Part 2. P. 107-112.

6. Зюзгин A.B., Брацун Д.А., Путин Г.Ф. Надкритические нестационарные движения в плоском вертикальном слое жидкости // Вестник Пермского университета. Физика. Пермь: ПермГУ, 1997. Вып. 2. С. 59-76.

7. Любимов Д.В., Брацун Д.А. Об уравнениях тепловой конвекции в запыленной среде // Вестник Пермского университета. Физика. Пермь: ПермГУ, 1997. Вып. 2. С. 15-29.

8. Bratsun D.A., Putin G.F., Zyuzgin A.V. Time-dependent convective flows in a long vertical slot subjected to static and oscillating inertial fields // Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Micro-gravity. Book of abstracts. St.Peterburg. Russia, 15-21 June 1997. P.50/1-50/2.

9. Lyubimov D.V., Teplov V.S., Bratsun D.A. On the equations of thermovi-brational convection in dusty media // Proceedings of Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity. Moscow, 1997. P.274-277.

10. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Lyubimova T.P., Roux В., Teplov V.S. Non-isothermal flows of dusty media // Proceedings of Third International Conference on Multiphase Flow ICMF-98. Lyon, France. 1998. P. 671-676.

11. Брацун Д.А., Зюзгин A.B., Путин Г.Ф. Об устойчивости конвективного движения в запыленной среде // Труды V Международного семинара «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей». Новосибирск, 1998. С. 28-36.

12.Брацун Д.А., Любимов Д.В., Теплов B.C. Трехмерные конвективные движения в пористом цилиндре конечной длины // Гидродинамика. Пермь: ПермГУ, 1998. Вып.14. С.58-77.

13. Брацун Д.А., Зюзгин А.В. Метод восстановления фазового портрета при экспериментальном исследовании тепловой конвекции в плоском вертикальном слое // Вестник Пермского университета. Физика. Пермь: ПермГУ, 1998. Вып. 4. С. 148-152.

14. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Lyubimova Т.Р., Roux В. Influence of gravitational precipitation of solid particles on thermal buoyancy convection // Adv. Space Res. 1998. V.22. № 8. P. 1267-1270.

15. Брацун Д.А., Зюзгин A.B., Путин Г.Ф. Конвективные течения в вертикальном слое жидкости, совершающем высокочастотные вибрации // 12-я Международная Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Пермь, 1999. С.102.

16. Брацун Д.А., Зюзгин А.В., Путин Г.Ф., Теплов B.C. О параметрическом возбуждении конвекции в вертикальном слое жидкости, совершающем низкочастотные вибрации // 12-я Международная Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Пермь, 1999. С. 103.

17. Брацун Д.А., Глухов А.Ф., Зюзгин А.В., Никитин С.А., Полежаев В.И., Путин Г.Ф. Комплексный подход к задачам конвективного практикума // Вестник Пермского университета. Физика. Пермь: ПермГУ, 1999. Вып. 5. С. 183-186.

18. Брацун Д.А., Теплов B.C. О параметрическом возбуждение вторичного течения в вертикальном слое жидкости в присутствии мелких твердых частиц // Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: ПермГУ, 2001. Вып.14. С. 17-30.

19. Bratsun D.A., Teplov V.S. On the stability of the pulsed convective flow with small heavy particles // Eur. Phys. J. A. P. 2000. V.10. P. 219-230.

20. Брацун Д.А., Теплов B.C. О параметрическом возбуждении вторичного течения в вертикальном слое жидкости в присутствии мелких твердых частиц // ПМТФ. 2001. Т.42. №1. С. 48-55.

21. Брацун Д.А., Теплов B.C. О влиянии нестационарных сил на устойчивость пульсационного течения в запыленной среде // VIII Всероссийский съезд по- теоретической и прикладной механике. Сборник докладов. Пермь, 2001. С. 253.

22. Bratsun D.A., Zyuzgin A.V., Putin G.F. Nonlinear Dynamics and Pattern Formation in a Vertical Fluid Layer Heated from the Side II Int. J. Heat and Fluid Flow. 2003. V.24. № 6. P. 835-852.

23. Bratsun D.A., De Wit A. On Marangoni convective patterns driven by an exothermic chemical reaction in two-layer systems // Phys. of Fluids. 2004. V.16. № 4. P.1082-1096.

24. Bratsun D.A., Shi Y., Eckert K., De Wit A. Control of chemo-hydrodynamic pattern formation by external localized cooling // Euro-phys. Lett. 2005. V.69. № 5. P.746-7S2.

25. Bratsun D., Volfson D., Hasty J., Tsimring L. Non-Marcovian processes in Gene Regulation // Proc. SPIE. 2005. V.5845. P. 210-219.

26. Bratsun D., Volfson D., Hasty J., Tsimring L. Time-Delay Induced Oscillations in Gene-Regulatory Networks // APS March Meeting. Book of abstracts. Los Angeles, USA, 21-25 March 2005. #B22.006.

27. Bratsun D., Volfson D., Hasty J., Tsimring L. Delay-induced stochastic oscillations in gene regulation II PNAS. 2005. V.102. № 41. P. 1459314598.

28. Bratsun D.A., Zyuzgin A.V., Polovinkin K.V., Putin G.F. Feedback control of convective stability by small changes of joint orientation of temperature gradient and gravity // Proceedings of 5th International Aerospace Congress. Moscow, 2008. P. 727-733.

29. Брацун Д.А., Де Вит А. Об управлении хемо-конвективными структурами в плоском реакторе // ЖТФ. 2008. Т.78. В.2. С. 6-13.

30. Брацун Д.А., Зюзгин А.В., Половинкин К.В., Путин Г.Ф. Об активном управлении равновесием жидкости в термосифоне // ПЖТФ. 2008. Т.34. В.15. С. 36-42.

31. Брацун Д.А. Управление формированием химико-гидродинамических структур в химическом реакторе // Региональный конкурс РФФИ-Урал. Результаты научных исследований в 2007 г. Пермь: ПНЦ УрО РАН, 2008. С.24-27.

32. Bratsun D.A. Effect of unsteady forces on the stability of non-isothermal

Подписано в печать « 1 » сентября 2010 г. Усл. печ. л. 2.0. Тираж 100 экз. Печать офсетная. Формат 60x84 1.16. Заказ № 113 Отпечатано на ризографе 11111У 614990, г. Пермь, ГСП, ул. Сибирская, 24.

Введение

1. Динамика неизотермических многофазных многокомпонентных

1.1. Тепловая конвекция в двухфазной среде, несущей мелкодисперсную примесь, в статическом и переменном силовом поле.

1.2. Динамика хемо-конвективных структур.

1.3. Динамика реагирующих многокомпонентных сред с зашумленной и запаздывающей обратной связью.

1.4. Вопросы управления тепло и массопереносом.

2. Динамика конвективных течений в вертикальном слое жидкости, подогреваемом сбоку

2.1. Постановка задачи.

2.2. Определяющие уравнения и граничные условия. 70'

2.3. Численный метод.

2.4. Конечно-амплитудные режимы плоской конвекции.

2.5. Конечно-амплитудные режимы трехмерной конвекции.

2.6. Экспериментальное исследование: конвективная камера, методика измерений и. обработки данных.

2.7. Структура течений: численное моделирование против эксперимента.

2.8. Обсуждение результатов.

3. Тепловая конвекция жидкости в присутствии мелких твердых частиц

3.1. Модель многоскоростной монодисперсной среды.

3.2. Вывод*обобщенных-уравнений Буссинеска для мелкодисперсной двухфазной среды.

3.3. Конвекция в запыленной среде, заполняющей плоский-вертикальный слой.

3.4. Метод Галеркина для спектрально-амплитудной задачи.

3.5. Влияние оседающей примеси на устойчивость течения.

3.6. Сравнение результатов с другими работами.

4. Влияние вибраций на конвективную устойчивость течения, несущего мелкие твердые частицы

4.1. Вибрации конечной частоты.

4.1.1. Обсуждение принципов построения модели.

4.1.2. Вывод обобщенных уравнений Буссинеска.

4.1.3. Основное течение в плоском слое, подогреваемом сбоку: точное решения уравнения Навье-Стокса.

4.1.4. Спектрально-амплитудная задача.

4.1.5. Сходимость метод Галеркина для спектрально-амплитудной задачи.

4.1.6. Влияние симметрии 0(2) на тип решений.

4.1.7. Параметрический резонанс.

4.1.8. Сравнение с экспериментальными данными.

4.2: Влияние нестационарных сил на устойчивость пульсационного течения.*.

4.211. Нестационарные силы сопротивления.

4.2.2. Вывод определяющих уравнений.

4.2.3. Спектрально-амплитудная задача.

4.2.4. Влияние нестационарных сил на устойчивость течения.

4.2.5. Сравнение с экспериментом.

4.3. Вибрации высокой частоты.

4.3.1. Принципы построения асимптотической модели.

4.3.2. Пульсационные компоненты величин.

4.3.3. Осредненные уравнения.

5. Динамика хемо-конвективных движений»

5.1. Обзор экспериментальных данных.

5.2. Модель однослойной системы с фиксированным градиентом реагента на границе.

5.2.1. Модельные уравнения.

5.2.2. Основное состояние.

5.2.3. Аналитическое решение для неустойчивости Марангони.

5.2.4. Гравитационные типы неустойчивости.

5.3. Модель двухслойной системы в приближении плоского реактора Хеле-Шоу.

5.3.1. Вывод определяющих уравнений конвекции-реакции-диффузии в приближении ячейки Хеле-Шоу.

5.3.2. Основные приближения двухслойной модели.

5.3.3. Динамика основного состояния: движение фронта реакции

5.3.4. Линейная теория устойчивости нестационарных процессов . 246 5.3.5; Неустойчивость Марангони.

5.3.6. Численный метод расчета надкритических движений.

5.3.7. Нелинейная динамика: неустойчивость Марангони.

5.3.8. Нелинейная динамика: гравитационные типы конвекции.

5.3.9. Обсуждение результатов.

5.4. Управление структурообразованием в плоском реакторе Хеле-Шоу

5.4.1. Механизм внешнего управления структурообразованием в реакторе Хеле-Шоу.

5.4.2. Сравнение с экспериментальными данными.

6. Стохастические колебания в многокомпонентных реагирующих средах с запаздывающей обратной связью

6.1. Химические реакции с запаздыванием.

6.2. Стохастическое описание динамических систем.

6.3. Модификация метода Гиллеспи для химических реакций с запаздыванием.

6.4. Реакция деградации протеина с запаздыванием.

6.4.1. Детерминистское описание.

6.4.2. Стохастическое описание.

6.5. Модель с отрицательной обратной связью.

6.5.1. Детерминистское описание'.

6.5.2. Численный анализ стохастической системы.

Многофазные многокомпонентные среды широко представлены в различных природных процессах и областях человеческой деятельности. Можно уверено сказать, что с неоднофазными смесями приходится иметь дело гораздо чаще, чем с однофазными. Всё это делает задачу описания и изучения таких сред одной из актуальнейших и важнейших проблем механики вообще и механики сплошных сред в частности [1-3]. Несмотря на постоянно растущий поток публикаций на.эту тему, механика гетерогенных сред находится, без преувеличения,- только в начале своего пути. Дело в том, что гетерогенные среды характеризует невероятное многообразие, взаимовлияние и сложность эффектов, возникающих благодаря неоднофазности. К таким эффектам можно отнести фазовые переходы, химические реакции, теплообмен, силовое взаимодействие между фазами, капиллярные эффекты, пульсационное и хаотическое движение, деформация фаз, процессы, столкновений, дроблений, коагуляции частиц и т.д.

Основная проблема математического моделирования» многофазных смесей заключается в построении замкнутых уравнений движения смеси при заданных физико-химических свойствах каждой фазы, в отдельности и заданной исходной структуре смеси. Описание реальных гетерогенных смесей осложняется по двум причинам. Во-первых, осложняется описание процессов в отдельных фазах (таких, как сжимаемость, вязкость, теплопроводность и др.), имеющих место и в однофазных средах. Во-вторых, возникает проблема описания эффектов межфазного взаимодействия (таких, как фазовые переходы, химические реакции, капиллярные эффекты, обмен импульсом и энергией на межфазной границе). Таким образом, число явлений, которые должны найти свое отражение в уравнениях многократно возрастает. Всё это приводит к следующему: не смотря на то, что общие принципы построения таких моделей сформулированы более 30 лет назад [1-3], теперь уже понятно, что надежды на получение универсального уравнения движения для произвольной многофазной среды, как это удалось сделать для однородной жидкости (уравнение Навье-Стокса), иллюзорны. Определенное сочетание фаз и их структуры, способов взаимодействия и взаимопревращений в каждой конкретной задаче требует усилий по получению модельных уравнений, специфических именно для этой системы. Более того, даже в рамках одной четко сформулированной задачи для различных диапазонов значений параметров приходится выводить разные системы определяющих уравнений [4, 15]. Оценивая разнообразие типов гетерогенных сред (суспензии, эмульсии, газовзвеси, пузырьковые среды), а также невероятное разнообразие явлений, которые могут в них происходить, можно сказать, что построение таких локальных моделей может занять несколько десятилетий. Данная работа в определенной степени восполняет этот пробел в части вывода модельных уравнений тепловой конвекции в двухфазной среде, состоящей из жидкости и мелких тяжелых частиц, в статическом и переменном поле тяжести [244-266,283].

Необходимо отметить, что исторически изучение свойств неоднородных гетерогенных сред было сконцентрировано в рамках нескольких мировых центров, каждый из которых имел свою специализацию. В рамках своей специализации каждый центр добился значительных успехов, но в силу определенной инертности, попытки выйти за пределы, очерченные для своей школы, были робкими и эпизодическими. Можно привести следующий пример, с которым автору пришлось столкнуться лично. В мире хорошо известна Брюссельская школа, успешно занимающаяся изучением нелинейной динамики процессов реакции-диффузии в многокомпонентных средах [5-6]. При всем многообразии явлений, возникающих при химических реакциях, исследователи из этой школы долгое время практически игнорировали изучение процессов протекания реакций в условиях тепло и массопереноса. С другой стороны существует Пермская гидродинамическая школа, известная в мире своими исследованиями в области тепловой конвекции [7-8]. Не смотря на многообразие задач, рассмотренных в Перми, вопросы конвективной устойчивости многофазных, многокомпонентных сред рассматривались не часто и в весьма упрощенной' постановке (бинарная смесь без реакции, реакция с фиксированной концентрацией реагента, искусственно навязанным законом Аррениуса и т.д.) [7-8]. При этом совершенно очевидно, что в случае, например, экзотермической реакции интенсивно выделяется тепло, которое приводит к возникновению свободной конвекции. Конвективное движение, в свою очередь, приводит к перемешиванию реагентов и интенсификации реакции. Таким образом, эти два феномена нелинейно взаимодействуют друг с другом в динамике. Такое взаимодействие может, очевидно, привести к совершенно- новым перекрестным явлениям. Эти явления наблюдаются экспериментально [76-79], но большинство из них остаются необъ-ясненными, так как в полной постановке задачу о хемо-конвективных движениях не рассматривали ни в Брюсселе, ни в Перми.

Таким образом, актуальной задачей является организация междисциплинарных исследований, выходящих за пределы замкнутых специализаций, сформировавшихся на поле механики гетерогенных сред. Такие вопросы, как нелинейная динамика и структурообразование многофазных систем,' формирующиеся под воздействием синергетического взаимодействия фаз и компонент среды является новым направлением исследований. В этой же связи* значительный интерес, подпитываемый технологическими приложениями, вызывают вопросы о влиянии на процессы самоорганизации-в гетерогенных системах всевозможных усложняющих факторов - таких, как периодическое изменение внешнего силового поля, химические превращения между фазами, запаздывающая сила трения между фазами, наличие поверхности раздела, и т.д. Такого рода работы постепенно появляются в литературе, но общее их количество пока совершенно не достаточно. Представленная работа содержит результаты, полученные как раз на пересечении интересов нелинейной химии и теории конвективной устойчивости [268-269,277,279].

Отдельный интерес представляют вопросы управления неравновесными процессами в неоднородных средах. Наличие различных по своей физической природе механизмов развития возмущений делает гетерогенные конвективные течения чувствительными к воздействию всякого рода внешних и внутренних факторов. Изучение механизмов и характеристик неустойчивости в разных ситуациях интересно не только с точки зрения фундаментальных представлений современной гидродинамики многофазных сред, но и в связи с практически важной задачей управления устойчивостью различных состояний, возникающих в этих средах.

Существует два основных способа управления: без обратной связи и с обратной связью [9]. Первый способ можно назвать «подавлением» нежелательного пространственно-временного динамического режима. К этому способу можно отнести любое внешнее воздействие на систему, которое производит нужный эффект. Например, параметрическое воздействие на жидкость посредством вибраций может приводить к стабилизации конвективных движений или к их динамическому возбуждению (при определенном соотношении между амплитудой и частотой модуляции силового поля) [4,7-8]. Второй способ, «контролирование», - является более интеллектуальным. Обратная связь в теории управления - это процесс, приводящий к тому, что результат функционирования какой-либо системы влияет на параметры, от которых зависит функционирование этой системы [9].

Как правило, по типу воздействия на параметры системы обратную связь разделяют на отрицательную и положительную [10]. Отрицательная обратная связь широко используется в замкнутых автоматических системах с целью повышения устойчивости, улучшения переходных процессов, понижения чувствительности и т.п. Положительная обратная связь усиливает выходное воздействие звена (или системы), приводит к повышению чувствительности и, как правило, к понижению устойчивости (часто к незатухающим и расходящимся колебаниям), ухудшению переходных процессов и динамических свойств и т.п.

Управление с обратной связью можно использовать во многих технологических приложениях: получение чистых композиционных материалов, выращивание кристаллов с заданной структурой, подавление шумов и вибраций, температурных пульсаций, ведущих к нарушению безопасного функционирования тепло-обменных систем и замедлению течения жидкости [9-10]. Актуальность автоматического регулирования и управления с обратной связью подтверждается тем, что данные системы все больше и больше используются в промышленных системах, системах мониторинга и контроля, системах автоматизации эксперимента и других областях науки и техники. Не смотря на популярность данной темы в физике, вопросам управления конвекцией в литературе было уделено недостаточное внимание. Данная работа содержит новые результаты по управлению конвективными течениями как первого типа (подавление), так и второго типа (контролирование) [245-246, 250-251, 253-256, 269, 273-279]. Кроме того, впервые рассмотрен вопрос о влиянии шума на эффективность такого управления [270-271].

Исследования, представленные в диссертационной работе, выполнялись при поддержке грантов INTAS (№93-2492, 1994-95 гг.), Правительства Российской Федерации (Приказ №1513 от 9.11.1995 г.), Международного научного фонда ISSEP (а96-2188, 1996 г.), французского министерства Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherché (1993-94 гг., 1995-96 гг.), Международного центра фундаментальной физике в Москве ICFFM (1995-96 гг.), Федеральной целевой программы «Интеграция» (№97-03, 1997-98 гг.), Североамериканского космического агентства NASA (Project ТМ-18, 1995-97 гг.), Российско-европейской сети по параллельным вычислениям (Project ITDC-203, 199597 гг.), Европейского космического Агентства ESA (Prodex 14556/00/NL/ Sfe(IC), 2001-02 гг.; Project AO-99-083, 2002-03 гг.), бельгийского министерства Office for Scientific, Technical and Cultural Affairs (2002-03 гг.), Североамериканским национальным институтом здоровья National Institute of Health (NIH R01 GM69811-01, 2004-06 гг.), Российского фонда фундаментальных исследований

96-01-00932, №97-01-00559, №00-01-00334, №06-08-00754-а, №07-01-96043рурала, №07-01-97612-рофи, 1995-2009 гг.). * *

Целью работы является построение замкнутых систем уравнений конвективного движения для нескольких типов многофазных многокомпонентных сред в условиях статического и переменного внешнего силового поля; изучение механизмов конвективной неустойчивости и сложных динамических режимов поведения, свойственных этим системам; поиск и исследование способов ■ управления динамикой и структурообразованием как с обратной* связью, так и без нее; изучение влияния на эффективность управления шума и-запаздывания в управляющей подсистеме.

В работе исследуются:

- нелинейные динамические режимы и пространственное структурообразо-вание в вертикальном слое жидкости, обогреваемом сбоку;

- конвективная устойчивость двухфазной мелкодисперсной среды под действием статического поля тяжести;

- параметрическая неустойчивость двухфазной мелкодисперсной среды под действием вибраций конечной частоты;

- влияние сил нестационарного трения между фазами на устойчивость двухфазной мелкодисперсной среды в переменном силовом поле;

- конвективная устойчивость двухфазной мелкодисперсной среды под действием высокочастотных вибраций;

- конвективные и химические механизмы неустойчивости и их взаимодействие в двухслойной многокомпонентной системе с объемной экзотермической реакцией;

- возможности управления структурообразованием в двухслойной многокомпонентной среде;

- механизмы неустойчивости и их взаимодействие с шумом в многокомпонентных реагирующих средах с запаздывающей обратной связью;

- эффективность активного управления равновесием жидкости в термосифоне с запаздывающей зашумленной обратной связью.

Научная новизна работы заключается в том, в ней впервые:

- определена последовательность бифуркаций, исследованы нелинейные динамические режимы и описаны характерные пространственные конвективные структуры, возникающие в классической задаче о вертикальном слое однородной жидкости, обогреваемом сбоку;

- развита последовательная теория конвективной устойчивости двухфазной среды жидкость - мелкие тяжелые частицы в статическом поле тяжести, в рамках которой

• получена замкнутая система модельных уравнений в приближении Буссинеска;

• построена карта устойчивости основного течения в обогреваемом сбоку вертикальном слое двухфазной среды;

• дано объяснение резкой дестабилизации двухфазного течения в области средних значений числа Прандтля;

- развита последовательная теория конвективной устойчивости двухфазной среды жидкость - мелкие тяжелые частицы в переменном поле тяжести, в рамках которой

• получена замкнутая система модельных уравнений в приближении Буссинеска для случая вибраций конечной частоты и стационарного трения между фазами;

• дано объяснение наблюдавшейся в эксперименте новой конвективной моде; найдены области резонансного возбуждения вторичных течений в обогреваемом сбоку вертикальном слое, совершающем продольные горизонтальные вибрации конечной частоты;

• дано объяснение существование только синхронных движений, параметрически возбуждаемых в системе в случае отсутствия примеси;

• получена замкнутая система модельных уравнений в приближении Буссинеска для случая вибраций конечной частоты и сил нестационарного трения между фазами;

• выяснено влияние наследственной силы Бассэ на порог устойчивости основного течения в обогреваемом сбоку вертикальном слое, совершающем продольные горизонтальные вибрации конечной частоты; получено количественное согласие с экспериментом;

• обнаружен* резонансный эффект стабилизации течения за счет подавления возмущений вокруг частиц запаздывающим действием силы Бассэ;

• получена замкнутая система осредненных уравнений движения для случая высокочастотных вибраций; изучены механизмы необычного структурообразования в двухслойной многокомпонентной системе, в объеме которой проходит экзотермическая реакция нейтрализации:

• построена модель однослойной реагирующей смеси с фиксированным значением градиента реагента на верхней свободной границе, в рамках которой получено аналитическое решение для неустойчивости Марангони;

• получена система замкнутых уравнений для двухслойной системы в приближении плоского реактора Хеле-Шоу;

• выявлена принципиальная роль в структурообразовании нелинейной динамики фронта реакции; обнаружено, что скорость перемещения фронта зависит от начальных концентраций реагентов;

• развита теория линейной устойчивости для нестационарных процессов, в рамках которой определены области неустойчивости плоского фронта реакции;

• обнаружено, что время жизни тепловой и концентрационной конвекции Марангони конечно и эти типы неустойчивости не участвуют в структурообразовании;

• дано объяснение экспериментально наблюдавшейся упорядоченной системе пальчиковых структур, динамически растущих от поверхности раздела вглубь нижнего слоя; выявлена принципиальная роль гравитационных механизмов неустойчивости в их формировании;

• численно исследована нелинейная динамика и структурообразова-ние, выяснена последовательность бифуркаций в системе;

- предложен способ управления структурообразованием внутри плоского реактора Хеле-Шоу посредством локального изменения теплопроводности стенок этого реактора; численно изучены различные стратегии управления хемо-конвективными режимами;

- построена последовательная теория стохастических колебаний в многокомпонентных реагирующих средах с запаздывающей обратной связью:

• предложены модели реакции с запаздыванием для»динамики протеина в процессах генной транскрипции — трансляции, объясняющие циркадные колебания в клетках;

• предложена модификация численного метода Гиллеспи на случай запаздывающих реакций;

• в рамках стохастического описания получено аналитическое выражение для корреляционной функции; произведено сравнение с численным решением Гиллеспи и произведена верификация предложенного алгоритма;

• обнаружен фундаментальный эффект возбуждения сложных квазирегулярных колебаний при взаимодействии шума и запаздывающей обратной связи;

• предложен метод определения точки бифуркации Хопфа в зашум-ленной системе;

- рассмотрена задача об активном управлении равновесием жидкости в прямоугольном термосифоне:

• построена трехмодовая модель одномерного течения в термосифоне с учетом управления посредством малых изменений пространственной ориентации термосифона в поле тяжести;

• построена карта устойчивости механического квазиравновесия жидкости в зависимости от коэффициента управления и числа Релея;

• дано объяснение наблюдавшемуся в эксперименте возбуждению периодических колебаний в области управления;

• показано, что, если управляющая подсистема с запаздыванием реагирует на изменение ситуации^ в системе, то она вступает в сложное нелинейное взаимодействие с управляемой конвективной системой;

• проведено стохастическое исследование влияния зашумленности сигнала на эффективность управления: показано, что при наличии запаздывания в системе возникают квазирегулярные колебания;

Научная и практическая значимость результатов состоит в том, что ряд полученных новых результатов носят общий характер и могут быть использованы в других областях естествознания. К ним можно отнести обнаружение и объяснение, эффекта возбуждения колебаний за счет взаимодействия шума и запаздывания обратной связи. Этот феномен, как оказалось, может объяснить такие разные явления как возбуждение нерегулярных паразитных колебаний при активном внешнем управлении тепловой конвекцией в термосифоне, так и существование циркадных колебаний в живых клетках. Полученные теоретические результаты в области моделирования многофазных, многокомпонентных систем углубляют понимание явлений в гетерогенных средах, расширяют представления о присутствующих в них механизмах неустойчивости и структурооб-разования. Некоторые результаты стали заметным вкладом в методологию исследований. Например, предложенная автором модификация классического метода Гиллеспи для изучения стохастических дискретных систем с запаздыванием быстро приобрела популярность и.вошла в «джентльменский набор» методов исследования десятков людей по всему миру, о чем свидетельствует высокий индекс цитируемости соответствующей'работы. Часть задач, представленных в диссертации, прямо инициирована разработчиками технологических и физических экспериментов, проводимых как в условиях орбитального полета, так и в лабораторных условиях. К ним относится; например, вопросы хемо-конвективного структурообразования и управление им в реакторе Хеле-Шоу, управление равновесием, жидкости в термосифоне. Результаты теоретического анализа и численных расчетов автора применялись, при планировании и интерпретации, экспериментов, проводимых в Пермском государственном университете (Россия), Брюссельском свободном; университете (Бельгия), Дрезденском технологическом университете (Германия), Калифорнийском университете; в Сан Диего (США), а также использованы рядом научных организаций, в частности; Российским и Европейским космическими агентствами, Североамериканским институтом здоровья: Индекс цитирования десяти принципиальны» работ автора диссертации на момент июня 2010 г. имеет вид (по данным «Publish or Perish»):

1» PNAS 2005 [272] 92

2: PhysicaD 1995 [243] , 16 .

3 Europhys. Lett. 2005 [269] 9

3 Int. J. Heat and Fluid Flow 2003 [267] . 9 .

4 Phys. Fluids 2004 [268] 8

5» Adv. Space Res. 1998 [259] ■ 6

6 Eur; Phys. J. AP 2000 [264]. ■ 5 •

7 ПМТФ 2001 [265] 3

9 Proc. of SPIE 2005 [270] 2

10 ЖТФ 2008 [276] 2

Автор защищает::

- результаты расчетов надкритических движений в плоском вертикальном слое однородной жидкости, обогреваемом сбоку;

- вывод замкнутой системы модельных уравнений двухфазной среды жидкость - мелкие тяжелые частицы для случая статического и переменного силового поля с учетом как вязкого трения между фазами, так и нестационарных сил трения;

- результаты, расчетов, порогов конвективной устойчивости двухфазной среды, заполняющей обогреваемый сбоку вертикальный слой; - результаты исследования?нелинейной?динамики, и структурообразонания в двухслойной; многокомпонентной среде с экзотермическойфеакцией;

- идею управления структурообразованием внутри плоского реактора Хе-ле-Шоу посредством локального изменения теплопроводности стенок;.

- результаты, исследованиям стохастических колебаний;; в> многокомпонентных реагирующих средах с запаздывающей обратной связБю;:

- идею модификации метода Гиллеспи на случай запаздывающих реакций;

- результаты^ исследования*возможности активного управления равновесием; жидкоеттв прямоугольном^ термосифоне при? различных осложняющих.факторах;:

Достоверность результатов диссертационной! работы обеспечивается сравнением теоретических предсказаний с экспериментальными: данными; с точными решениями в предельных случаях, с: известными теориями! в .области их применимости и прямыми численными расчетами, а также обоснованностью физических, представлений^ положенных в* основание предлагаемых« моделей; использованием апробированных методов исследований;

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [242-283] и докладывались на Международной Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995-2001); С08РЛЯ-1996

Birminham, 1996), Joint Xth European and Vith Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity (St.Peterburg, 1997), Third International Conference on Multiphase Flow (Lyon, 1998), V Международном семинаре по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (Новосибирск, 1998), VIII-om Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" АРМ 2001 (St.Peterburg, 2001), March Meeting of American Physical Society (Los Angeles, 2005), SPIE conference «Noise in Complex Systems and Stochastic Dynamics» (Bellingham, 2005), 5th International Aerospace Congress (Moscow, 2006), 3-я Всероссийская научно-практической конференции ИММОД-2007 (С.-Петербург, 2007), Ш Всероссийская- научная конференция ЭКОМОД-2008 «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и биотехнологий» (Киров, 2008). Результаты исследования были представлены на семинарах доктора К.Эккерт (TUD, Дрезден, 2003), проф. Г.Николиса (ULB, Брюссель, 2003), проф. Д. Хасти (UCSD, Сан Диего, 2005), проф. В.И. Полежаева (ИПМ, Москва, 1997), а также в Европейском Космическом Агентстве ESA (Нордвийк, 2003). Кроме того, результаты работ по теме диссертаций регулярно докладывались и обсуждались на Пермском городском гидродинамическом семинаре проф. Г.З.Гершуни:

• №802 (15.05.1992) «Динамические свойства конвекции в пористой среде»;

• №873 (09.12.1994) «Околокритическая и надкритическая конвекция в пористой среде»;

908 (22.03.1996) «Конвекция в запыленной среде»;

• №923 (25.10.1996) «Нестационарные надкритические конвективные движения в вертикальном слое»;

• №931 (21.02.1997) «Динамические свойства конвекции в двухфазной среде»;

• №949 (10.10.1997) «Трехмерные конвективные движения в пористой среде, подогреваемой снизу»;

• №995 (26.03.1999) «Параметрическое возбуждение вторичного течения с присутствием твердой тяжелой примеси частиц»;

• №1034 (26.05.2000) «Нестационарные силы в запыленной среде»;

• №1095 (20.12.2002) «О неустойчивости Марангони в двухслойной системе с экзотермической реакцией на поверхности раздела»;

• №1259 (14.05.2010) «Динамика многофазных многокомпонентных сред».

Личный вклад автора. Работы [254, 279, 283] выполнены без соавторов; работа [282] выполнена совместно со студентом под руководством автора; в работах [247, 249, 252, 257-258, 260-262, 267, 273-274, 276, 278], выполненных совместно с экспериментаторами, автору принадлежат все теоретические результаты, а в экспериментальной части этих работ автору принадлежат некоторые методики обработки данных (спектральный анализ сигнала и метод восстановления фазового портрета), кроме того, автор принимал участие в обсуждении и интерпретации данных экспериментов. В ранних работах по запыленной среде [242-244, 250, 259] автору принадлежит участие в выводе модельных уравнений; выбор и реализация численного метода, интерпретация полученных результатов. В работах по запыленной среде в высокочастотном приближении [245-246, 248, 251, 253, 255-256],автору принадлежит участие в постановке задачи, совместный вывод модельных уравнений с одним из соавторов, численные расчеты. В работах [263-265] по конечно-частотным вибрациям в запыленной среде автору принадлежит постановка задачи и все численные расчеты; вывод модельных уравнений и интерпретация полученных результатов проведены совместно с соавтором. В работе [268] автору принадлежит постановка задачи, получение модели, выбор и реализация численного метода, обсуждение и интерпретация полученных результатов проведена совместно с соавтором. В важных для диссертации работах [269] и [277] автору в теоретической части принадлежит постановка задачи об управлении, получение модели, выбор и реализация численного метода, участие в интерпретации полученных результатов; физический эксперимент был поставлен по просьбе автора. В наиболее значимых работах по стохастическим колебаниям в многокомпонентных системах [270-272] автору принадлежат все аналитические расчеты, численные результаты, а также разработка алгоритма модифицированного метода Гиллеспи; обсуждение и интерпретация полученных результатов была проведена совместно с соавторами. В работах [275, 280-281] автору принадлежит постановка задачи, выбор численного метода и его реализация; вывод модели и интерпретация полученных результатов проведены совместно с соавторами.

Структура работы и объем. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка цитированной литературы, включающего 286 наименований. Общий объем работы 375 страниц, включая 93 рисунка и 2 таблицы.

Основные результаты и достижения диссертации состоят в следующем:

1. Численно изучены нестационарные режимы конвекции в плоском вертикальном слое вязкой несжимаемой жидкости, обогреваемом сбоку., Впервые получена цепочка бифуркаций и выявлены основные структуры, возникающие в системе при увеличении числа Грасгофа. Исследования показали, что переход от плоскопараллельного ламинарного течения к хаотической конвекции осуществляется поэтапно. Сначала реализуется двумерная конвекция, которая-представляет собой систему осциллирующих горизонтальных валов, расположенных на границе раздела потоков. Затем эта структура испытывает зигзаговую неустойчивость, которая постепенно приводит к разрыву валов и возникновению осциллирующей ячеистой конвекции. В конечном итоге возникает развитый пространственный режим конвекции, который представляет собой вертикальные мо

Аудированные струи, в каждой из которых жидкость движется по спиральной траектории. Изучены пространственные, теплопотоковые и амплитудно-частотные характеристики описанных типов течения, эволюция их структуры и фазовая динамика конвективной системы. Ценным достижением работы было тесное сотрудничество с экспериментаторами: было организовано совместное обсуждение параметров будущей экспериментальной установки, позволяющей наблюдать полученные численно структуры, диссертант принял участие в обработке экспериментальных данных и их осмыслении. В результате получено как качественное, так и количественное согласие между теорией и экспериментом. Более того, комплексный подход к определению порога установления вторичных колебаний, впервые позволил экспериментально определить порог с достаточной точностью: значение, даваемое линейной теорией устойчивости, практически находится в пределах погрешности экспериментального значения. Теоретические и экспериментальные значения для вторичных бифуркаций в системе оказались также весьма близки.

2. В рамках обобщенного приближения Буссинеска выведены уравнения тепловой конвекции в двухфазной среде, состоящей из жидкости, (или газа) и твердой примеси. Полученная-система уравнений является непротиворечивой в том смысле, что ни один из безразмерных параметров, фигурирующих в конечных уравнениях, или их комбинация не совпадают ни с одним из асимптотически больших или малых параметров* Решена задача о линейной устойчивости плоскопараллельного течения в вертикальном слое, подогреваемом сбоку. Показано, что количество управляющих параметров для этой задачи может быть сведено к трем: числу Грасгофа, числу Прандтля и совершенно новому параметру двухфазной среды который пропорционален скорости оседания твердых частиц. Обнаружены новые эффекты. Когда число Прандтля сравнительно мало Р<125, а параметр Я достаточно мал, то режим стационарных ячеек, существующий в случае однородной среды, сменяется режимом дрейфующих под действием оседающих частиц ячеек. При дальнейшем увеличении параметра двухфазной среды происходит резонансное возбуждение режима тепловых волн, бегущих вверх. Показано, что переход происходит, когда скорость оседания частиц становится близкой к средней на полутолщине слоя скорости основного течения. При больших значениях числа Прандт-ля оседающие частицы снимают вырождение между двумя типами волн -тепловой волной, бегущей вверх, и волной, бегущей вниз. Важный эффект о дестабилизации неизотермического течения при добавлении к нему мелкодисперсной примеси, предсказанный новыми уравнениями, был подтвержден экспериментально.

3. В рамках обобщенного приближения Буссинеска получена система определяющих уравнений, описывающая динамику вязкой неизотермической жидкости, содержащей твердую тяжелую примесь. Рассмотрена задача о параметрическом возбуждении вторичного течения в вертикальном слое, подогреваемом сбоку и совершающем продольные горизонтальные вибрации конечной частоты. Получено выражение для плоскопараллельного пульсационного течения, исследовано его устойчивость по отношению к бесконечно малым- возмущениям. Изучен вопрос о влиянии 0(2)-симметрии на тип решения. Показано, что в случае однородной жидкости могут реализоваться только синхронные решения, частота осцилляции которых совпадает с частотой внешнего воздействия. Когда течение становится двухфазным, вырождение снимается; и появляется возможность для возникновения как субгармонических, так и квазипериодических решений. Построенная теория позволила качественно объяснить новую конвективную моду, экспериментально обнаруженную для частот вибраций меньше 19 Гц.

4. Получена система буссинесковских уравнений для двухфазной неизотермической среды, состоящей из жидкости и твердых тяжелых частиц, находящихся под воздействием вибраций конечной частоты. Модельные уравнения выведены с учетом эффектов как квазистационарного, так и нестационарного трения. Показано, что нестационарные силы взаимодействия между фазами, - сила Бассэ и сила присоединенных масс, - становятся существенными при частотах вибраций выше 0.5 Гц. Так как параметрически возбуждаемая конвективная мода наблюдалась в эксперименте при частотах ниже 19 Гц, то учет этих эффектов оказался принципиально важен для объяснения количественного расхождения между теорией, учитывающей в качестве трения только силу Стокса, и экспериментальными данными. Обнаружено, что учет дополнительных сил трения, существенно стабилизирует основное течение, причем основной вклад в диссипацию энергии вносит сила Бассэ. Обнаружено, что в определенном диапазоне параметров наблюдается своеобразный резонансный эффект, когда линейная устойчивость основного течения жидкости практически не зависит от присутствия твердой фазы. Эффект объясняется отставанием по фазе отклика силы Бассэ на пульсации основного течения, что при определенной частоте вибраций приводит к ситуация, когда возмущения, создаваемые частицами, гасятся возмущениями, генерируемыми нестационарными силами. Получено количественное согласие с экспериментом.

5. Получены осредненные по времени уравнения для неоднородной неизотермической среды, состоящей из жидкости и твердой примеси, находящейся в поле высокочастотных вибраций малой амплитуды. Предложенная модель учитывает эффекты, связанные с переносом массовой концентрации примеси и неоднородностью пульсационного поля скорости, генерирующего осреднённое движение.

6. Построена модель процессов структурообразования в двухслойной системе реагирующих жидкостей, помещенных в плоский реактор Хеле-Шоу. Теоретическая модель позволила объяснить следующее экспериментальное наблюдение: при определенном сочетании значений параметров в системе наблюдается формирование периодической последовательности хемо-конвективных ячеек, равномерно удлиняющихся в сторону от поверхности раздела. Наиболее удивительным фактом здесь является почти идеальная регулярность ячеек, не свойственная пальчиковым структурам, наблюдающимся дв обычных- системах реакции-диффузии. В рамках теоретической модели показано, что причина такой регулярности структуры заключается в точном балансе между процессами реакции, диффузии и конвекции: Обнаружено, что особую роль в стабилизации хемо-структуры играет тепло, выделяющееся в ходе реакции. Тепловое поле не только служит генератором? всей структуры, но также стабилизирует ее и выравнивает все пальчики по одной линии. Исследован; вклад различных типов неустойчивости в структурообразование. Выяснено, что ведущие роли принадлежат термогравитационному механизму Рэлея-Бенара и неустойчивости Рэлея-Тейлора.

7. Изучено влияние. неустойчивости Марангони на формирование регулярных хемо-конвективных структур в двухслойной системе, помещенной, в реактор Хеле-Шоу. Обнаружено, что капиллярная неустойчивость играет роль только на первом этапе структурообразования. Это объясняется тем, что под действием диффузии реагентов фронт реакции с течением времени уходит от границы раздела между слоями: Это уводит градиенты поверхностно активных величин от поверхности и конвекция Марангони постепенно ослабевает. При этом длина волны хемо-конвективных ячеек Марангони плавно увеличивается. Описанный сценарий был подтвержден экспериментальными наблюдениями. .

8. Предложен оригинальный способ управления структурообразованием внутри плоского реактора Хеле-Шоу посредством локального изменения теплопроводных свойств стенок реактора. Показано, что, добавляя или отводя тепло в определенных точках реактора, можно возбуждать или подавлять конвективные движения, генерировать хемо-структуры наперед заданной длины волны, направлять эволюцию хемо-конвективной структуры в нужную сторону, а также ускорять или замедлять скорость пространственно-распределенной реакции. Предложенный способ особенно эффективно проявляет себя в случае экзотермической реакции, когда энергия, выделяемая внутри самой системы, используется для контроля над ней же. В силу энергосберегающего характера такого управления результаты работы могут быть интересны с точки зрения приложений в химических технологиях. Данные исследования проводились в тесном контакте с группой экспериментаторов. Важное достижение работы заключается в том, что после того, как идея управления была теоретически сформулирована и проверена в численном моделировании, она была подтверждена экспериментально.

9. Построена теория стохастически осциллирующих многокомпонентных реагирующих систем с запаздывающей обратной связью. Показано, что при возникновении запаздывания в системе могут вспыхивать колебания даже в том случае, когда детерминистское описание той же самой системы предсказывает стационарное состояние. Найдено объяснение указанного эффекта: возбуждение сложных нерегулярных колебаний в подкри-тической области происходит благодаря взаимодействию между шумом и запаздыванием системы. Действуя по отдельности, ни шум, ни запаздывание не способны генерировать такой эффект. Предложен способ определения точки бифуркации Хопфа в зашумленных системах. Для случая слабой обратной связи находится аналитическое решение для автокорреляционной функции и производится сравнение с численным анализом.

Предложенная теория может быть использована при изучении процессов транскрипции и трансляции генов, объяснении механизма биологических часов внутри клеток, а также для исследования свойств любых систем, имеющих запаздывающее внешнее управление в условиях зашумленного сигнала. В частности, в работе демонстрируется, как эта теория может быть применена к изучению поведения термосифона, движение жидкости в котором управляется с помощью обратной связи.

10. Предложен способ обобщения метода Гиллеспи, который с конца 70-х годов стал классическим инструментом численного исследования стохастических реагирующих систем, на случай немарковских стохастических систем. Сравнение численных результатов, полученных модифицированным методом Гиллеспи, с аналитическим решением для корреляционной функции в модели деградации протеина показало, что предложенная схема численного анализа дает корректные результаты. Таким образом, предложенный метод численного анализа может быть использован в любой области науки, где встречается стохастическая, система-с запаздыванием (генетика, математическая биология, нелинейная химия; физика, теория сложных систем и т.д.).

11. Рассмотрена задача об автоматическом поддержании механического равновесия неоднородно нагретой жидкости в конвективной петле прямоугольной формы, равновесие в которой поддерживается с помощью управляющей подсистемы, реагирующей на возникновение конвективного движения посредством малых изменений пространственной ориентации системы в поле тяжести. В широком диапазоне параметров получен эффект динамической стабилизации равновесия, которое без управления, вообще говоря, неустойчиво. Обнаружено, что чрезмерное усиление обратной связи возбуждает в системе колебания, причина которых кроется в запаздывании управляющей подсистемы вносить коррекции в состояние управляемой системы. Исследованы нелинейные свойства динамической системы с запаздывающим управлением. Показано, что управляющая подсистема, вступает в достаточно сложное нелинейное взаимодействие с управляемой конвективной системой. Это взаимодействие в зависимости от значений параметров может привести к стационарному, периодическому или хаотическому поведению. Обнаружено, что учет шума, всегда присутствующего в системе, приводит к взаимодействию его с запаздыванием и генерированию сложных нерегулярных колебаний. Эти колебания значительно сужают область эффективного управления. Отмечено, что поведение термосифона, управляемого с помощью активной обратной связи, совершенно аналогично поведению гена в процессах транскрипции - трансляции, в которых «подстраивание» динамики осуществляется посредством обратной запаздывающей связи, действующей через оператор-сайт. Работа была выполнена в тесном контакте с экспериментаторами. Все основные теоретические выводы были подтверждены в ходе экспериментальных наблюдений. * *

Автор глубоко благодарен своему учителю Д.В.Любимову, а также Г.З.Гершуни, И.Р. Пригожину, Г. Николису, Г. Хомси, Р.В. Бириху, A.A. Черепанову, Ю.К. Братухину, Ж.П.Буну, В.И. Полежаеву, В.И. Юдовичу за неоценимую помощь и многочисленные полезные обсуждения. Автор также благодарен коллегам и соавторам A.B. Зюзгину, Г.Ф. Путину, B.C. Теплову, Д.Н. Вольфсону, А. Де Вит, К. Эккерт, Д. Хасти, Л. Цимрингу, Б. Ру, A.B. Люшни-ну, A.A. Колесникову, Т.П. Любимовой, в тесном сотрудничестве с которыми были получены результаты данной работы. Особые чувства автор испытывает к своим родителям, супруге и детям, без ежедневной помощи и поддержки которых данная работы была бы невозможна.

заключение

В диссертации исследована динамика многофазных многокомпонентных неизотермических сред. Изучены общие закономерности функционирования таких сред и особенности их проявления в различных конкретных системах. Для ряда систем выведены новые модельные уравнения и исследованы их свойства. Рассмотрены вопросы линейной и нелинейной устойчивости конвективных движений в условиях действия таких осложняющих факторов, как переменное инерционное поле, наличие свободной поверхности, протекание экзотермической химической реакции, шум. Для ряда систем исследована задача об активном внешнем управлении внутренними динамическими процессами: предложены способы такого управления, рассмотрены вопросы о его эффективности.

1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978, 336 с.

2. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1. М: Наука, 1987, 464 с.

3. Coy С. Гидродинамика многофазных систем. М. Мир, 1975, 536 с.

4. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. John Wiley and sons, 1998, 358 p.

5. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М: Мир, 1973,280 с.

6. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979,512 с.

7. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М: Наука, 1972, 392 с.

8. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М: Наука, 1989, 320 с.

9. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М: Лаборатория базовых знаний, 2001,616 с.

10. Хэммонд П. Теория обратной связи и ее применения. М: Физматгиз, 1961, 423 с.

11. Anderson Е.Е. Radioactive heat transfer in molten U02 based on the Rosseland diffusion method. Nuclear Technology, 1976, Vol. 30, pp.65-70.

12. Cross M. C., Hohenberg P. Pattern formation out of equilibrium. Rev. Mod. Phys., 1993, Vol. 65, N 3, pp. 851-1112.

13. Volfcon D., Marciniak J., Ostroff N., Blake W.J., Tsimring L.S., Hasty J. Origins of extrinsic variability in eukaryotic gene expression. Nature, 2006, Vol. 439, pp. 861-864.

14. Долгушев C.B., Фомин B.M. Уравнения динамики смеси газ полые селективно-проницаемые микросферы. ПМТФ, 2002, Т. 43, № 1, с.83-90.

15. Lyubimov D.V. Convective flows under the influence of high-frequency vibrations. Eur. J. Of Mechanics, B/Fluids, 1995, Vol.14, No.4, pp. 439-458.

16. Дементьев O.H. О спектре возмущений и устойчивости жидкости, содержащей твердые тяжелые частицы. В сб. Гидродинамика, Перм. пед. ин-т., 1976, Вып.8, с.42-53.

17. Дементьев О.Н. Конвективная устойчивость среды, содержащей тяжелую твердую примесь. ПМТФ, 1976, Вып.З, с. 105-115.

18. Дементьев О.Н. Влияние конвекции на устойчивость движения жидкости с неравномерно распределенной тяжелой примесью. ПМТФ, 2000, Т.41, №5, с. 180-187.

19. Boussinesq J. Théorie analytique de la chaleur. Paris: Gauthier-Villars, 1903, V.2, 625 p.

20. Oberbeck A. Über die Wärmeleitung der Flüssigkeiten bei Berücksichtigung der Strömungen infolge von Temperaturdifferenzen, Ann. Phys. Chem., 1879, Vol.7, pp. 271-292.

21. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М: Мир, 1981, 638 с.

22. Mihaljan J.M. A rigorous exposition of the Boussinesq approximation for compressible fluid. Astrophys. J., 1962, V. 136, № 3, pp. 1126-1133.

23. Fife P. The Bénard problem for general fluid dynamical equations and remarks on the Boussinesq approximation, Indiana Univ. Math. J., 1970, Vol. 20, pp. 303-326.

24. Слезкин H.A. Дифференциальные уравнения движения пульпы. ДАН СССР, 1952, Т.86, № 2, с. 235-237.

25. Баренблатт Г.Н. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке. ПММ, 1953, Т. 17, № 3, с. 261-274.

26. Франкль Ф.И. Уравнение энергии для движения жидкостей со взвешенными наносами. ДАН СССР, 1955, Т. 102, №5, с. 903-906.

27. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред. ПММ, 1956, Т.20, № 2, с.184-195.

28. Крайко А.Н., Стернин JI.E. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами. ПММ, 1965, Т.29, №3, с. 418429.

29. Нигматулин Р.И. Уравнения гидромеханики и волны уплотнения в двухскоростной и двухтемпературной сплошной среде при наличии фазовых превращений. Изв. АН СССР МЖГ, 1967, № 5, с. 33-47.

30. Saffman P.G. On the stability of laminar flow of a dusty gas. J. Fluid Mech., 1962, Vol.13, N.l, pp. 120-128.

31. Drew D.A. Lift-generated instability of the plane Couette flow of a particle-fluid mixture. Phys. Fluids, 1975, Vol.18, N.8, pp. 935-937.

32. Drew D.A. Effect of lift force on the stability of uniform fluidization. Phys. Fluids, 1976, Vol.19, N.ll, pp. 1716-1729.

33. Drew D.A. Stability of a Stokes layer of a dusty gas. Phys. Fluids, 1979, Vol.22, № 1, pp.2081-2086.

34. Drew D.A. Averaged field equations for two-phase media. Studies in Appl. Math. 1971, Vol.1, № 3, pp.133-166.

35. Рудяк В.Я., Исаков Е.Б. Устойчивость течения Пуазейля двухфазной жидкости с неоднородным распределением частиц. ПМТФ, 1996, Т.37, №1, с. 95-105.

36. Исаков Е.Б., Рудяк В .Я. Устойчивость течений разреженных газовзвесей и суспензий в плоском канале. Изв. РАН. МЖГ, 1995, № 5, с. 79-85.

37. Борд Е.Г., Исаков Е.Б., Рудяк В.Я. Устойчивость ламинарных течений разреженных дисперсных сред. Изв. РАН. МЖГ, 1997, №4, с. 32-38.

38. Rudyak V.Ya., Isakov Е.В., Bord E.G. Stability of two-phase jet flows. J. Thermophysics and Aeromechanics, 1998, Vol.5, N.l, pp. 51-57.

39. Serge G., Silberberg A. Behavior of macroscopic rigid spheres in Poiseuille flow. J. Fluid Mech., 1962, Vol.14, N.l, pp. 115-157.

40. Michael D.H. The stability of plane Poiseuille flow of a dusty gas. J. Fluid Mech., 1964, N.l, v.18, pp. 19-32.

41. Бурмистрова А.Б., Дементьев О.Н. Устойчивость стационарного течения жидкости с тяжелой примесью. ПМТФ, 1996, № 2, с. 65-68.

42. Farbar L., Depew СЛ. Heat transfer effects to gas-solid mixtures using solid spherical particles of uniform size. IEC Fundam., 1963, N.2, V.2, pp. 130-135.

43. Tien C.L. Heat transfer by a turbulently flowing fluid-solids mixture in a pipe. Trans ASME. Series C. J. Heat Transfer., 1961, N.83, pp. 183-188.

44. Michaelides E.E. Heat transfer in particulate flows. Int. J. Heat Mass Transfer, 1986, v.29, N.2, pp. 1965-1973.

45. Kane R.S., Pfeffer R. Heat transfer in gas-solids drag-reducing flow. ASME J. of Heat Transfer, 1985, V. 107, pp. 570-574.

46. Дементьев О.Н. Устойчивость конвективного движения среды, несущей твердую примесь. Гидродинамика, Перм. пед. ин-т., 1974, Вып.7, с.3-15.

47. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Штраубе А.В. Поведение пылевого облака в конвективном потоке. Тез. докл. VII Межд. конф. по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Новосибирск: НГАСУ, 2000. С. 40-42.

48. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Штраубе А.В. Захват пылевых частиц конвективным вихрем. Труды Ш Росс, национ. конф. по теплообмену. Москва, 2002. Т. 5. С. 258-261.

49. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О параметрическом возбуждении конвективной неустойчивости. ПММ, 1963, т.27, № 6, с.779-783.

50. Гершуни Г.З., Келлер И.О., Смородин Б.Л. О вибрационно-конвективной неустойчивости в невесомости. Конечные частоты. Докл. РАН, 1996, Т.348, № 2, с. 194-196.

51. Гершуни Г.З., Келлер И.О., Смородин Б.Л. О вибрационно-конвективной неустойчивости в невесомости плоского горизонтального слоя жидкости при конечных частотах вибрации. Изв. РАН, МЖГ, 1996, № 5, с. 44-51.

52. Смородин Б.Л. Об устойчивости термовибрационного течения в наклонном слое жидкости при конечных частотах вибрации. ПМТФ, 2003, т.44, № 1, с. 53-61.

53. Зюзгин A.B., Путин Г.Ф. Устойчивость подъемно-опускного течения в вертикальном слое жидкости под воздействием высокочастотных вибраций. Сб. Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермский ун-т. 1998. Вып.1, с. 130-141.

54. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибрации высокой.частоты на возникновение конвекции. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 5, с. 51-55.

55. Зеньковская-С.М., Симоненко И.Б. Исследование конвекции в слое жидкости при наличии вибрационных сил. Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 1, с. 55-58.

56. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Поведение двухслойной системы жидкость-взвесь в вибрационном поле. Изв. РАН, МЖГ, 1999; № 6, с. 55-62.

57. Теплов B.C. К проблеме устойчивости конвективных течений двухфазной среды в условиях вибрации высокой частоты. Изв. РАН, МЖГ, 2008, №2, с. 21-30.

58. Теплов B.C. Устойчивость плоскопараллельного течения в вертикальном слое двухфазной среды в условиях вибрации высокой частоты. Вестник ПГТУ, ПММ, 2006, №1, с. 28 34.

59. Druzhinin, O.A., Ostrovsky, L.A. The influence of Basset force on particle dynamics in two-dimensional flows. Physica D, 1994, V.76, pp. 34-43.

60. Maxey M.R., Riley J.J. Equation of motion for a small rigid sphere in a nonuniform flow. Phys. Fluids, 1983, Vol.26, pp. 883-889.

61. Straube A.V., Lyubimov D.V., Shklyaev S.V. Averaged dynamics of two-phase media in a vibration field. Phys. Fluids, 2006, V.18, pp.3276-3284.

62. Maxey M.R. On the advection of spherical and non-spherical particles in a nonuniform flow. Phil. Trans. R. Soc. Lond., 1990, V.333, pp.289-307.

63. Druzhinin O.A. Concentration waves and flow modification in a particle-laden circular vortex. Phys. Fluids, 1994, V. 6, N.10, pp.3276-3284.

64. Druzhinin O.A. On the two-way interaction in two-dimensional particle-laden flows: the accumulation of particles and flow modification. J. Fluid Mech. 1995. V.297.P.49-76.

65. Stuart J.T. On the finite amplitude oscillations in laminar liquid layers. J. Fluid Mech. 1967. V. 29. P. 417-440.

66. Quincke G. Ueber periodische Ausbreitung an Flussigkeitsoberflachen und dadurch hervorgerufene Bewegungserscheinungen. Annalen der Physik, Leipzig, 1888, Vol.35, 580 p.

67. Sherwood T.S., Wei J.C. Interfacial Phenomena in Liquid Extraction. Ind. Eng. Chem., 1957, Vol. 49, pp.1030-1034.

68. Dupeyrat M., Nakache E. Direct Conversion of Chemical Energy Into Mechanical Energy at an Oil Water Interface. Bioelectrochemistry Bioenergetics, 1978, Vol.5, pp. 134-141.

69. Nakache E., Dupeyrat M., Vignes-Adler M. Experimental and theoretical study of an interfacial instability at some oil-water interfaces involving a surface-active agent.' J. Colloid Interface Sei., 1983, Vol.94, pp. 187-199.

70. Nakache E., Dupeyrat M. The contribution of chemistry to new Marangoni mass transfer instabilities at the oil/water interface. Faraday Disc. Chem. Soc., 1984, Vol.77, pp. 189-201.

71. Thomson P.J., Batey W., Watson R.J. Inst. Chem. Eng. Symp. Ser., 1984, Vol. 88, pp. 231-242.

72. Avnir D., Kagan M:L. The Evolution of Chemical Patterns in Reactive Liquids Driven by Hydrodynamic Instabilities. Chaos, 1995, Vol. 5, pp. 589-601.

73. Kai S., Muller S.C., Mori Т., Miki M. Chemically driven nonlinear waves and oscillations at an oil-water interface, Physica D, 1991, Vol. 50, pp. 412-431.

74. Eckert К., Grahn A. Plume and finger regimes driven by a exothermic interfacial reaction. Phys. Rev. Lett., 1999, Vol. 82, pp. 4436-4439.

75. Eckert К., Acker M., Shi Y. Chemical pattern formation driven by a neutralization reaction. Part I: Mechanism and basic features. Phys. Fluids, 2004, Vol. 16, pp. 385-399.

76. Shi Y., Eckert К. Orientation-dependent Hydrodynamic Instabilities from Chemo-Marangoni Cells to Large Scale Interfacial Deformations. Chinese J. of Chem. Eng., 2007, Vol.15, N.5, pp. 748-753.

77. Shi'Y., Eckert К. Acceleration of reaction fronts by hydrodynamic instabilities in immiscible systems. Chem. Eng. Sei., 2006, Vol. 61, N.17, pp. 5523-5533.

78. Ermakov S.A., Ermakov A.A., Chupakhin O.N., Vaissov D.V. Mass transfer with chemical reaction in conditions of spontaneous interfacial convection in processes of liquid extraction. Chem. Eng. J., 2001, Vol. 84, pp. 321-324.

79. Ермаков С.А. Массопередача с химической реакцией в условиях самопроизвольной межфазной конвекции в процессах жидкостной экстракции Дис. д-ра техн. наук, 2006, Екатеринбург, 2006, 405 с.

80. Casado G.G., Tofaletti L„ Müller D:, D'Onofrio A. Rayleigh-Taylor instabilities in reaction-diffusion systems inside Hele-Shaw cell modified by the action of temperature. J. Chem. Phys., 2007, Vol. 126, Issue 11, pp. 114502-114509.

81. Кутепов A.M., Покусаев Б.Г., Казенин Д.А., Карлов С.П., Вязьмин A.B. Экспериментальные исследования межфазного массопереноса в системе газ-жидкость оптическими методами. Теор. основы хим. технол., 2001, Т. 35, с. 227-231.

82. Karlov S.P., Kazenin D.A., Vyazmin A.V. The time evolution of chemo-gravitational convection on a brim mèniscus of wetting. Physica A, 2002, Vol. 315, pp. 307-313.

83. Ruckenstein E., Berbente C. The occurrence of interfacial turbulence in the case of diffusion accompanied by chemical reaction. Chem. Eng. Sci., 1964, Vol. 19, pp. 329-347.

84. Sternling C.V., L.E. Scriven L.E. Interfacial turbulence: hydrodynamic instability and the Marangoni effect. A.I.Ch.E J., 1959, Vol. 5, pp. 514-523.

85. Steinchen A., Sanfeld A. Chemical and hydrodynamic stability of an interface with an autocatalytic reaction. Ghem: Phys.,. 1973, VoL 1, pp. 156-160.

86. Sanfeld A., Steinchen A. Coupling between a transconformation surface reaction and hydrodynamic motion. Biophys. Chem., 1975, Vol. 3, pp. 99-103.

87. Hennenberg M., SorenseniT.S., Steinchen-Sanfeld A., Sanfeld A. Stabilité mécanique et chimique d'une interface plane. J. Chim. Physique, 1975, Vol. 72, pp. 1202-1208.

88. Mendes-Tatsis M.A., Perez De Ortiz E.S. Marangoni instabilities in systems with an interfacial chemical reaction. Chem. Engng Sci., 1996, Vol. 51, pp. 3755-3761.

89. Buyevich Yu.A., Rabinovich L.M., Vyazmin A.V. Chemo-Marangoni convection. I: Linear analysis and criteria of instability. J. Colloid Interface Sci., 1993, Vol. 157, N.1, pp. 202-210.

90. Buyevich Yu.A., Rabinovich L.M., Vyazmin A.V. Chemo-Marangoni Convection. II. Nonlinear Stability Analysis. J; Colloid Interface Sci., 1993, Vol. 157, N.l, pp. 211-218.

91. Buyevich Yu.A., Rabinovich L.M;, Vyazmin A.V. Chemo-Marangoni Convection: HI. Pattern Parameters: Interface Mass Transfer. J. Colloid Interface Sci., 1995, Vol. 173, N.l, pp. 1-7.

92. Texier-Picard R., Pojman J.A., Volpert V.A. Effect of interfacial tension on propagating polymerization fronts. Chaos, 2000, Vol. 10, pp: 224-230.

93. Малкин А .Я., Бегишев В.П., Гусева Л.Р., Костарев К.Г. Неоднородность отверждения олигомеров, обусловленная конвективными явлениями. Вы-сокомолек. соед. А, 1994, Т. 36, № 5, с. 759-766.

94. Костарев К.Г., Гусева J1.P, Иванов В.В., Пущаева J1.M. Механизмы типа вынужденной бегущей волны при полимеризации. Высокомолек. соед. А, 1999, Т. 41, № 7, с. 1102-1109.

95. Костарев К.Г., Юдина Т.М., Писцов Н.В. Влияние свободной конвекции на формирование структуры и свойств полиакриламидного геля. Высокомолек. соед. А, 2000, Т. 42, № 11, с. 1910-1917.

96. Брискман В.А., Костарев К.Г., Любимова Т.П., Левтов В.Л., Романов В.В. Полимеризация в условиях микрогравитации: результаты и перспективы. Космические исследования, 2001, Т.39, №4, с. 361-369.

97. Belk М., Kostarev К., Volpert V., Yudina Т. Frontal photopolymerization with convection. J. Phys. Chem. B, 2003, V. 107, pp. 10292-10298.

98. Гусева Д.Р., Костарев К.Г., Юдина T.M. Гелеобразование в центробежном поле. Пластические массы, 2004, № 4, с. 38-41.

99. Rongy L., De Wit A. Steady Marangoni flow traveling with chemical fronts. J. Chem. Phys., 2006, Vol. 124, pp. 164705-164709.

100. Rongy L., De Wit A. Marangoni flow around chemical fronts traveling in thin solution layers: influence of the liquid depth. J. Eng. Math., 2007, Vol. 59, pp. 221-227.

101. Rongy L., De Wit A. Solitary Marangoni-driven convective structures in bistable chemical systems, Phys. Rev. E, 2008, Vol. 77, pp. 046310-046315.

102. Rongy L., De Wit A., Goyal N., Meiburg E., De Wit A. Buoyancy-driven convection around chemical fronts traveling in covered horizontal solution layers, J. Chem. Phys., 2007, Vol. 127, pp. 114710-114715.

103. Rongy L., Trevelyan P. M. J., De Wit A. Dynamics of A+B—>C reaction fronts in the presence of buoyancy-driven convection, Phys. Rev. Lett., 2008, Vol. 101, N.8, pp. 084503-084507.

104. Velarde M.G. Drops, liquid layers and the Marangoni effect. Phil. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A-Math. Phys. Eng. Sci., 1998; Vol. 356, pp. 829-844;

105. Sanfeld A., Sefiane K., Benielli D., Steinchen A. Does capillarity influence chemical reaction in drops and bubbles? A thermodynamic approach, Adv. Colloid Interface Sci., 2000, Vol. 86, pp. 153-193.

106. Артюшков E.B. Гравитационная конвекция в недрах Земли. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1968, № 9, с. 16-17.

107. Артюшков Е.В. Физика и химия глубоких недр Земли. Вестн. АН СССР, 1972, №9, с. 81-84.

108. Сорохтин О.Г. Глобальная эволюция Земли. М. Наука, 1974. 184 с.

109. Монин А.С., Сеидов Д.Г., Сорохтин О.Г., Сорохтин Ю.О. Численные эксперименты по формам мантийной конвекции. Докл. АН1 СССР, 1987, т.295, №5, с. 1080-1083.

110. Лобковский Л. И., Котелкин В. Д. Термохимическая модель конвекции в мантии и ее геодинамические следствия, с. 432-442 // Осадочные бассейны: методика изучения, строение и эволюция. Под ред. Ю. Г. Леонова,ТО. А. Воложа. М.: Научный мир, 2004, 526 с.

111. Kotelkin V. D., Lobkovsky L. I. Numerical analysis of geodynamic evolution^ of the Earth based on.a thermochemical model of the mantle convection: 3-D model. RJES, 2004, Vol. 6, N 6, pp. 385-389.

112. Skurygin E.F., Dilman V.V. On Marangoni instability during desorption accompanied by evaporation. J. Food Eng., 2000, Vol. 43, pp. 125-131.

113. Nepomnyashchy A.A., Simanovskii I.B. Nonlinear investigation of anti-convection and Rayleigh-Benard convection in systems with heat release at the interface. Eur. J. Mech. B Fluids, 2001, Vol. 20, pp. 75-86.

114. Murrey J.D. Mathematical Biology. Berlin: Springer-Verlag, 1989; 767 p.

115. Losson J., Mackey M.C. Evolution, of probability densities in stochastic coupled map lattices. Phys. Rev. E, 1995, Vol. 52, pp. 1403-1417.

116. Mackey M.C., Nechaeva I.G. Solution moment stability in stochastic differential delay equations. Phys. Rev. E, 1995, Vol. 52, pp. 3366-3376.

117. Ohira T., Milton J.G. Delayed random walks. Phys. Rev. E, 1995, Vol. 52, pp. 3277-3280.

118. Ohira T., Yamane T. Delayed stochastic systems. Phys. Rev. E, 2000, Vol. 61, pp. 1247-1257.

119. Guillouzic S., L'Heureux I., Longtin A. Small delay approximation of stochastic delay differential equations. Phys. Rev. E, 1999, Vol. 59, pp. 3970-3982.

120. Tsimring L.S., Pikovsky A. Noise-induced dynamics in bistable systems with delay. Phys. Rev. Lett., 2001, Vol. 87, pp. 2506021-2506024.

121. Arecchi F.T., Meucci R., Allaria E., Di Garbo A., Tsimring L.S. Delayed self-synchronization in homoclinic chaos. Phys. Rev. E, 2002, Vol. 65, pp. 046237046241.

122. Huber D., Tsimring L.S. Dynamics of an Ensemble of Noisy Bistable Elements with Global Time Delayed Coupling. Phys. Rev. Lett., 2003, Vol. 91, pp. 260601-26605.

123. Goldobin D., Rosenblum M., Pikovsky A. Coherence of noisy oscillators with delayed feedback. Physica A, 2003, Vol. 327, pp. 124-128.

124. Houlihan J., Goulding D., Busch Th., Masoller C., Huyet G. Experimental Investigation of a Bistable System in the Presence of Noise and Delay. Phys. Rev. Lett., 2004, Vol. 92, pp. 050601-050605.

125. Huber D., Tsimring L.S. Cooperative dynamics in a network of stochastic elements with delayed feedback. Phys. Rev. E, 2005, Vol. 71, pp. 036150036165.

126. Pawlik A.H., Pikovsky A. Control of oscillators coherence by multiple delayed feedback. Physics Letters A, 2006, Vol. 358, pp. 181-185.

127. Kuznetsov S.P., Pikovsky A. Hyperbolic chaos in the phase dynamics of a Q-switched oscillator with delayed nonlinear feedbacks. Europhysics Lett., 2008, Vol. 84, N1, pp. 10013-10017.

128. Stuart R.N., Branscomb E.W. Quantitative theory of in vivo lac regulation: significance of repressor packaging. J. Theor. Biol., 1971, Vol. 31, pp. 313— 329.

129. Wijgerde M., Grosveld F., Fraser P. Transcription complex stability and chromatin dynamics in vivo. Nature, 1995, Vol. 377, pp. 209-213.

130. Ozbudak E. M., Thattai M., Kurtser I., Grossman A. D., van Oudenaarden A. Regulation of noise in the expression of a single gene. Nat. Genet., 2002, Vol. 31, pp. 69-73.

131. Becskei A., Serrano L. Engineering stability in gene networks by autoregulation. Nature, 2000, Vol. 405, pp. 590-593.

132. Elowitz M., Levine A., Siggia E., Swain P. Stochastic gene expression in a single cell. Science, 2002, Vol. 297, pp. 1183-1186.

133. Isaacs F.J., Hasty J., Cantor C.R., Collins J.J. Prediction and measurement of an autoregulatory genetic module. PNAS, 2003, Vol. 100, pp. 7714-7719.

134. Rosenfeld N., Young J.W., Alon U., Swain P.S., Elowitz M.B. Gene regulation at the single-cell level. Science, 2005, Vol. 307, pp. 1962-1965.

135. Arkin A., Ross J., McAdams H.H. Stochastic kinetic analysis of developmental pathway bifurcation in phage lambda-infected Escherichia coli cells. Genetics, 1998, Vol. 149, pp. 1633-1648.

136. Hasty J., Pradines J., Dolnik M., Collins JJ. Noise-based switches and amplifiers for gene expression. PNAS, 2000, Vol. 97, pp. 2075-2080.

137. Swain P., Elowitz M., Siggia E. Intrinsic and Extrinsic contributions to sto-chasticity in gene expression. PNAS, 2002, Vol. 99, pp. 12795-12800.

138. Hasty J., Dolnik M., McMillen, D., JJ. Collins J.J. Designer gene networks: Towards fundamental cellular control. Chaos, 2001, Vol. 11, pp. 207-220.

139. Гардинер K.B. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986, 512 с.

140. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1984, 376 с.

141. Климонтович Ю.Л. Нелинейное броуновское движение. УФН, 1994, т. 164, №8, с. 811-844.

142. Kepler Т.В., Elston С. Stochasticity in transcriptional regulation: origins, consequences, and mathematical representations. Biophys. J., 2001, Vol. 81, pp. 3116-3136.

143. Gillespie D.T. Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions. J. Phys. Chem., 1977, Vol. 81, pp. 2340-2361.

144. Gibson M.A., Bruck J. J. Efficient exact stochastic simulation of chemical systems with many species and many channels. Phys. Chem., 2000, Vol. 104, pp. 1876-1889.

145. Gillespie D.T. Approximate accelerated stochastic simulation of chemically reacting systems. J. Phys. Chem., 2001, Vol. 115, pp. 1716-1733.

146. Adalsteinsson D., McMillen D., Elston, T. Biochemical Network Stochastic Simulator (BioNetS): Software for. stochastic modeling of biochemical networks. BMC Bioinformatics, 2004, Vol. 5, pp. 24-36.

147. Rao C.V., Arkin A.P. Stochastic chemical kinetics and the quasi-steady-state assumption: Application to the Gillespie algorithm. J. Chem. Phys., 2003, Vol. 118, pp. 4999-5010.

148. Kaern M., Elston T.C., Blake W.J., Collins J.J. Stochasticity in gene expression: from theories to phenotypes. Nat. Rev. Genet., 2005, Vol. 6, pp. 451-464.

149. Talora C., Franchi L., Linden H., Ballario P., Macino G. Role of a white collar-1-white collar-2 complex in blue-light signal transduction. EMBO J., 1999, Vol. 18, pp. 4961-4968.

150. Denault D., Loros J., Dunlap J. WC-2 mediates WC-l-FRQ interaction within the PAS protein-linked circadian feedback loop of Neurospora. EMBO J., 2001, Vol. 20, pp. 109-117.

151. Schepper Т., Klinkenberg D., Pennartz C., Van Pelt J. A mathematical model for the intracellular circadian rhythm generator. J. Neurosci., 1999, Vol. 19, pp. 40-47.

152. Lema M.A., Golombek D.A., Echave J. Delay model of the circadian pacemaker. J. Theor. Biol., 2000, Vol. 204, pp. 565-573.

153. Smolen P., Baxter D., Byrne J. Modeling circadian oscillations with interlocking positive and negative feedback loops. J. Neurosci., 2001, Vol. 21, pp. 66446656.

154. Sriram K., Gopinathan M.S. A two variable delay model for the circadian rhythm of Neurospora crassa. J. Theor. Biol., 2004, Vol. 231, pp.23-38.

155. Ottino J.M. The kinematics of mixing: Stretching, Chaos and Transport. Cambridge University Press, 1989,364 p.

156. Wang Y-Z., Bau H.H. Period doubling and chaos in a thermal convection loop with time periodic wall temperature variation. Intl Heat Transfer Conf., 1990, Vol. 2, pp. 357-362.

157. Bushnell D.M., McGinley C.B. Turbulence control in wall flows. Ann. Rev. Fluid Mech., 1989, Vol. 21, pp. 1-20.

158. Головачев Ю.П., Ильин C.A., Сущих С.Ю. Об управлении течением газа в сверхзвуковом входном устройстве с помощью магнитного поля. ПЖТФ, 1997, Т. 23, № 16, с. 1-5.

159. Любимова Т.П., Скуридин Р.В., Файзрахманова И.С. Влияние магнитного поля на гистерезисные переходы при выращивании кристаллов методом плавающей зоны. ПЖТФ, 2007, Т. 33, № 17, с. 61-68.

160. Ott Е., Grebody С., Yorke J.A. Controlling chaos. Phys. Rev. Lett., 1990, Vol. 64, pp. 1196-1199.

161. Ott E., Grebody C., Yorke J.A. Controlling chaotic dynamical system. In Chaos: Soviet-American Perspectives on Non-Linear Science (ed. D.K. Campbell), 1990, Am. Inst. Phys., pp. 153-172.

162. Ditto W.L., Rauseo S.N., Spano M. L. Experimental control of chaos. Phys. Rev. Lett., 1990, Vol. 65, pp. 2241-2244.

163. Singer J., Wang Y., Bau H.H. Controlling of chaotic system. Phys. Rev. Lett., 1991, Vol. 66, pp.1123-1126.

164. Wang Y., Singer J., Bau H. Controlling chaos in a thermal convection loop. J. Fluid Mech, 1992, Vol. 237, pp. 479-498.

165. Singer J., Bau H. Active control of convection. Phys. Fluids A3, 1991, pp. 2859-2865.

166. Yuen P., Bau H. Rendering a subcritical Hopf bifurcation supercritical. J. Fluid Mech., 1996, Vol. 317, pp. 91-109.

167. Yuen, P. K., Bau H. Controlling Chaotic Convection Using Neural Nets -Theoiy and Experiments, Neural Networks, 1998, Vol. 11, pp. 557 569.

168. Tang J., Bau H. Experiments on the Stabilization of the No-Motion State of a Fluid-Layer Heated FromBelow and Cooled from Above. J. Fluid Mechanics, 1998; Vol. 363", pp. 153-171.

169. Bau H. Control'of Marangoni-Benard Convection. Int. J. Heat Mass Transfer, 1999, Vol. 42, pp. 1327-1341.

170. Wang J„ Chen Z., Qian S., Bau H. Thermally-Actuated, Phase-Change Flow Control for Microfluidic Systems. Lab on Chip, 2005, Vol. 5, pp. 1277 1285

171. Riegelman M., Liu H., Bau H. H. Controlled Nano-Assembly and Construction of Nanofluidic Devices. Trans ASME, J. Fluid Engineering, 2006, Vol. 128, pp. 6-13.

172. Remillieux M:, Zhao H., Bau H. Suppression of Rayleigh-Benard Convection with Proportional-Derivative (PD) Controller. Physics of Fluids, 2007, Vol. 19, p.017102.

173. Богатырев Г.П., Шайдуров Г.Ф. Конвективная устойчивость горизонтального слоя ферромагнитной жидкости в однородном магнитном поле. Магнитная гидродинамика, 1976, № 3, с.137-146.

174. Davis S. H. The stability of time periodic flow. Ann. Rev. Fluid Mech., 1976, Vol. 8, pp. 57-74.

175. Donnelly R. J. Externally modulated hydrodynamic systems. In Nonlinear Evolution of Spatio-Temporal Structures in Dissipative Continuous System (ed. F.H. Busse, L. Kramer), 1990, pp. 31-43.

176. Meyer С. W., Channel D.S., Ahlers G. Hexagonal and roll flow patterns in temporally modulated Rayleigh-Benard convection. Phys. Rev. A, 1992, Vol. 45, pp. 8583-8604.

177. Roppo M. N., Davis S.N., Rosenblat S. Benard convection with time-periodic heating. Phys. Fluids, 1984, Vol. 27, pp. 796-803.

178. Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции, возникающей при колебаниях температуры на горизонтальных границах. Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № 1, с. 144-150.

179. Гетлинг А.В. Концентрация конвективных движений у границы горизонтального слоя жидкости с неоднородным по высоте неустойчивым градиентом температуры Изв. АН СССР, МЖГ, 1975, № 5, с. 45-52.

180. Erhard P., Muller U. Dynamical behavior of natural convection in a singlephase loop. J. Fluid Mech, 1990, Vol. 217, pp. 487-518.

181. Тарунин E.JI. Численное исследование свободной конвекции. Уч. зап. Перм. ун-т, Серия гидродинамика, 1968, N 184, Вып. 1, с. 135-168.

182. Чернатынский В.И., Шлиомис М.И. Конвекция вблизи критических чисел Релея при почти вертикальном градиенте температуры. Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, № 1, с. 64-70.

183. Зимин В.Д., Кетов А.И. Надкритические конвективные движения в кубической полости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1974, № 5, с. 110-114.

184. McDermott Р.Е., Chang Н. -С., Rinker R.G. Experimental investigation of controller-induced bifurcation in a Fixed-bed auto-thermal reactor. Chem. Eng. Sci., 1985, Vol. 40, № 8, pp. 1355-1366.

185. Hwang S. -H., Chang H. -C. A theoretical examination of closed-loop properties and tuning methods of single-loop pi controllers. Chem. Eng. Sci., 1987, Vol. 42, № 4, pp. 1-21.

186. McDermott P.E., Chang H.C. On the global dynamics of an autotermal reactor stabilized by linear feedback control. Chem. Eng. Sci., 1984, Vol. 39, № 9, pp. 1347-1356.

187. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость. М: Итоги науки и техники, серия "Механика жидкости и газа", 1978, T.l 1, с. 66-154.

188. Келлер И.О., Тарунин E.JI. Управление устойчивостью конвективного равновесия жидкости, подогреваемой снизу. Изв. АН СССР. МЖГ, 1990, №4, с. 6-11.

189. Келлер И.О., Тарунин Е.Л. Вопросы управления устойчивостью конвективного равновесия в конвективной петле. Конвективные течения, Пермь: ПГПИ, 1991, с. 87-93.

190. Keller I.O., Taranin E.L. Problems of equilibrium convective stability control. Materials of the First International Symposium on Hydromechanics and Heat/Mass Transfer In Microgravity. Perm-Moscow. Russia. 1991, pp. 537542.

191. Tang J., Bau H. Feedback control stabilization of the no-motion state of a fluid confined in a horizontal porous layer heated from below. J. Fluid Mech, 1993, Vol. 257, pp. 485-505.

192. Putin G.F., Zavaiykin M.P., Zorin S.V., Zyuzgin A.V. Heat and Mass Transfer in the Variable Inertia Field. Proceedings of 8th European Symposium on Materials and Fluid Sciences in Microgravity, Brussels, 1992, p. 99.

193. Зюзгин A.B., Путин Г.Ф. Динамическое управление устойчивостью механического равновесия конвективной системы. Гидродинамика, Пермь: ПермГУ, 1998, с. 123-139.

194. Гордеев А.А., Зюзгин А.В., Линевич М.А., Трушникова М.С., Шилков А.В. Динамическое управление конвективной устойчивостью. Физика конденсированного состояния вещества, 1996, Пермь, с. 34-41.

195. Putin G.F., Zyuzgin A.V. Experimental Realization of Dynamic Control of Convective Stability. Proceedings of Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity, St. Petersburg, Russia, 1997, Vol. 1, pp. 262-265.

196. Дроздов С.М. Исследование конвекции жидкости в тороидальном канале. Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 Жуковский, 1998.

197. Гершуни Г.З. Об устойчивости плоского конвективного течения жидкости. ЖТФ, 1953, Т. 23, № 10, с. 1838-1844.

198. Batchelor, G.K. Heat transfer by free convection across a closed cavity between vertical boundaries at different temperatures. Quart. Appl. Math., 1954, Vol. 12, pp. 209-233.

199. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Тарунин E.JI. Вторичные стационарные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости. Изв. АН СССР. МЖГ, 1968, № 5, с. 130-136.

200. Тарунин Е.Л. О вторичных стационарных конвективных течениях в вертикальном слое. Гидродинамика, Перм. пед. ин-т., 1972, Вып. 4, с. 3-13.

201. Возовой Л.П., Непомнящий А.А. Нестационарные конвективные движения в плоском вертикальном слое. Изв. АН СССР. МЖГ, 1981, № 5, с. 5462.

202. Бирих Р.В., Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Рудаков Р.Н. О колебательной неустойчивости плоскопараллельного конвективного движения в вертикальном канале. ПММ, 1972, т. 36, Вып.4, с.745-748.

203. Korpela S.A., Gozum D., Baxi C.B. On the stability of the conduction regime of natural convection in a vertical slot. Int. J. Heat Mass Transfer., 1973, Vol. 16,pp.1683-1690.

204. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Сорокин Л.Е., Тарунин Е.Л. Вторичные колебательные конвективные движения в плоском вертикальном слое жидкости. Изв. АН СССР. МЖГ, 1974, № 1, с. 94-101.

205. Сорокин Л.Е. О нелинейном конвективном движении в плоском вертикальном слое жидкости в области колебательной неустойчивости. Гидродинамика, Перм. пед. ин-т., 1974, Вып. 5, с. 127-137.

206. Кирдяшкин А.Г., Леонтьев А.И., Мухина Н.В. Устойчивость ламинарного течения жидкости в вертикальных слоях при естественной конвекции. Изв. АН СССР. МЖГ, 1971, № 5, с. 170-174.

207. Elder J.W. Laminar free convection in a vertical slot. J. Fluid Mech., 1965, Vol. 23, pp. 77-98.

208. Seki N., Fukusako S., Inaba H. Visual observation of natural convective flow in a narrow vertical cavity. J. Fluid Mech., 1978, Vol. 84, pp. 695-704.

209. Simanovskii I.B., Nepomnyashchy A. A. Convective Instabilities in Systems with Interface. Gordon and Breach, London, 1993.

210. Fischer P.F. Spectral element solution of the Navier-Stokes equations on high performance distributed-memory parallel processors. Ph.D. Thesis, Massachusetts Institute of Technology, Massachusetts, 1989.

211. Patera A.T. Spectral element for fluid dynamics: laminar flow in a channel expansion. J. Comput. Phys., 1984, Vol. 54, pp. 486-488.

212. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. Странные аттракторы. М.: Мир, 1981, с. 117-151.

213. Gollub J.P., Benson S.V. Many routes to turbulent convection. J. Fluid Mech., 1980, Vol. 100, pp. 449-470.

214. Walden R.W., Kolodner P., Passner A., Surko C.M. Non-chaotic Rayleigh-Benard with four and five incommensurate frequencies. Phys. Rev. Lett., 1984, Vol. 53, pp. 242-245.

215. Feudel U., Jansen W., Kurths, J. Tori and chaos in a nonlinear dynamo model for solar activity. Int. J. Bifiircat. Chaos, 1993, Vol. 3, pp. 131-1381

216. Packard N.H., Crutchfleld J.P., Farmer J.D., Shaw R.S. Geometry from a time series. Phys. Rev. Lett., 1980, Vol. 45, pp. 712-715.

217. Buzug Т., Reimers Т., Pfister G. Optimal reconstruction attractors from purely geometrical arguments. Euro. Phys. Lett., 1990, Vol. 13, pp. 605-610.

218. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. In: Dynamical Systems and Turbulence. In: Rand, D.A., Young, L.S. (Eds.), Lecture Notes in Mathematics, vol. 898. Springer-Verlag, Berlin, 1981, pp. 366-381.

219. Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental data. Physica D, 1986, Vol. 20, pp. 217-239.

220. Chen F.L., Wu C.H. Unsteady convection flows in a vertical slot containing variable viscosity fluids. Int. J. Heat Mass Transfer, 1993, Vol. 36, pp. 42334246.

221. Wakitani S. Experiments on convective instability of large Prandtl number fluids in a vertical slot. ASME J. Heat Transfer, 1994, Vol. 116, pp. 120-126.

222. Фортье А. Механика суспензий. M.: Мир, 1971, 342 с.

223. Squire Н.В. On the stability of the three-dimensional disturbances of viscous flow between parallel walls. Proc. Roy. Soc., 1933, A141, N 847, pp. 621-628.

224. Зюзгин A.B. Управление тепловой конвекцией с помощью переменных силовых полей. Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 Пермь, 1998,134 с.

225. Floquet G. Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques, Ann. École Norm. Sup., 1883, Vol. 12, pp. 47-88.

226. Or A.C. Finite-wavelength instability in a horizontal liquid layer on an oscillating plane J. Fluid Mech., 1997, Vol. 335, pp. 213-232.

227. Stokes G.G. On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums, Trans. Camb. Phil. Soc., 1851, Vol. 9, Part 2, pp. 8-106.

228. Stokes G.G. On the Communication of Vibration from a Vibrating Body to a Surrounding Gas. Phil. Trans. R. Soc. Lond., 1868, Vol. 158, pp. 447-463.

229. Basset A.B. On the Motion of a Sphere in a Viscous Liquid Phil. Trans. R. Soc. Lond., 1888, Vol. 179, pp. 43-63.

230. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988, 736 с.

231. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984, 535 с.

232. Зуев А.Л., Костарев К.Г. Особенности концентрационно- капиллярной конвекции. УФН, 2008, т. 178, № 10, с. 1065-1085.

233. Pearson J.R.A. On convection cells induced by surface tension. J. Fluid Mech., 1958, Vol. 4, pp. 489-500.

234. Boos W., Thess A. Thermocapillary flows in a Hele-Shaw cell. J. Fluid Mech., 1997, Vol. 352, pp. 305-330.

235. Tan C.T., Homsy G.M. Stability of miscible displacements in porous media: Rectilinear flow. Phys. Fluids, 1986, Vol. 29, pp. 2549-2561.

236. Liu Q.S., Roux В., Velarde M.G. Thermocapillary convection in two-layer systems. Int. J. Heat Mass Transfer, 1998, Vol. 41, pp. 1499-1511.

237. De Wit A., Homsy G.M. Nonlinear interactions of chemical reactions and viscous fingering in porous media. Phys. Fluids, 1999, Vol. 11, N. 5, pp. 949951.

238. Марков А. А. Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга. Известия физико-математического общества при Казанском университете, 1906,2-я серия, Том 15, с. 135-156.

239. Брацун Д.А., Любимов Д.В. Динамические свойства тепловой конвекции в пористой среде. Вестник Пермского университета, Физика, Вып.2, 1994, с.53-72.

240. Bratsun D.A., Lyubimov D.V., Roux В. Co-symmetry Breakdown in Problems of Thermal Convection in Porous Medium. Physica D, V.82, 1995, pp. 398417.

241. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Lyubimova T.P., Roux B. Influence of gravitational precipitation of solid particles on thermal buoyancy convection. Abstracts for 31st Scientific Assembly of COSPAR, 14-21 July, 1996, p. 393.

242. Брацун Д.А., Зюзгин A.B., Путин Г.Ф. Колебательная неустойчивость в вертикальном слое жидкости. 11-я Международная Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов, Книга 2, Пермь, 1997, с. 78.

243. Теплов B.C., Любимов Д.В., Брацун Д.А. Об уравнениях движения в запыленной среде в условиях вибраций высокой частоты". 11-я Международная Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов, Книга 2, Пермь, 1997, с. 278.

244. Зюзгин А.В., Брацун Д.А., Путин Г.Ф. Надкритические нестационарные движения в плоском вертикальном слое жидкости. Вестник Пермскогоуниверситета, Физика, Вып.2,1997, с.59-76.i

245. Любимов Д.В., Брацун Д.А. Об уравнениях тепловой конвекции в запыленной среде Вестник Пермского университета, Физика, Вып.2, 1997, с. 15-29.

246. Lyubimov D.V., Teplov V.S., Bratsun D.A. On the equations of thermovibra-tional convection in dusty media. Abstracts Joint Xth European and YIth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity. StPeterburg, Russia, 15-21 June 1997, p. 82.

247. Lyubimov D.V., Teplov V.S., Bratsun D.A. On the equations of thermovibra-tional convection in dusty media. Proceedings of Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity. Moskow, Russia, 1997, pp. 274-277.

248. Брацун Д.А. Динамические свойства тепловой конвекции в двухфазной среде. Кандидатская диссертация, ПермГУ, 1997, 214 с.

249. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Lyubimova Т.Р., Roux В., Teplov V.S. Non-isothermal flows of dusty media. Third International Conference on Multiphase Flow. ICMF-98,,8th-12th June, 1998, Lyon; France. Book of Abstracts, 4.1-7.

250. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Lyubimova T.P:, Roux В.,„Teplov V.S. Non-isothermal flows of dusty media. Third International Conference on Multiphase Flow. ICMF-98,. 8th-12th June, 1998, Lyon, France. Proceedings on CD, PDF /PDF600/ PDF676.

251. Брацун Д.А., Зюзгин A.B., Путин Г.Ф. Об устойчивости конвективного движения в запыленной среде. В сб. Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Труды V Международного семинара, Новосибирск, ч.1, 1998, с. 28-36.

252. Брацун Д.А., Зюзгин А.В., Метод восстановления фазового портрета при экспериментальном исследовании тепловой конвекции в плоском вертикальном слое. Вестник Пермского Университета, Физика, Вып.4, 1998; с.148-152.

253. Lyubimov D.V., Bratsun D;A., Lyubimova T.P., Roux В. Influence of gravitational precipitation of solid particles on thermal buoyancy convection. Adv. Space Res., V.22, No:8, 1998, pp. 1267-1270:

254. Брацун Д.А., Зюзгин A.B., Путин Г.Ф. Конвективные течения в вертикальном слое жидкости, совершающем высокочастотные вибрации. 12-я Международная Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов, Пермь, 1999, с. 102.

255. Брацун Д.А., Глухов А.Ф., Зюзгин А.В., Никитин С.А., Полежаев В.И., Путин Г.Ф. Комплексный подход к задачам конвективного практикума. Вестник Пермского Университета, Физика, Вып.5, 1999, с. 183-186.

256. Брацун Д.А., Теплов B.C. О параметрическом возбуждение вторичного течения в вертикальном слое жидкости в присутствии мелких твердых частиц. Сб. Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь, вып.2, 2001, с. 17-30.

257. Bratsun D.A., Teplov V.S. On the stability of the pulsed convective flow with small heavy particles. Eur. Phys. J. A. P., V.10,2000, pp.219-230:

258. Брацун Д.А., Теплов-B.C. О параметрическом возбуждении вторичного течения в вертикальном слое жидкости в присутствии мелких твердых частиц. ПМТФ, Т.42, №1,2001, с. 48-55.

259. Брацун Д.А., Теплов B.C. О влиянии нестационарных сил на устойчиtвость пульсационного течения в* запыленной среде. Сб. анн. докладов на УШ-ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике 23-29 августа 2001 г., Пермь, с. 253.

260. Bratsun D.A., Zyuzgin A.V., Putin G.F. Nonlinear Dynamics and Pattern Formation in a Vertical'Fluid Layer Heated from the Side. Int. J. Heat and Fluid Flow., V.24, N.6,2003, pp. 835-852.

261. Bratsun D.A., De Wit A. On Marangoni convective patterns driven by an exothermic chemical reaction in two-layer systems. Phys. of Fluids, V.16, N.4,2004, pp. 1082-1096.

262. Bratsun D.A., Shi Y., Eckert K., De Wit A. Control of chemo-hydrodynamic pattern formation by external localized cooling. Europhys. Lett., V.69, N.5,2005, pp.746-752.

263. Bratsun D., Volfson D., Hasty J., Tsimring L. Non-Marcovian processes in Gene Regulation. Noise in Complex Systems and Stochastic Dynamics Ш, edited by Laszlo B.Kish, Katja Lindenberg, Zoltan Gingl, Proceeding of SPDE, V.5845,2005, pp. 210-219.

264. Bratsun D., Volfson D., Hasty J., Tsimring L. Time-Delay Induced Oscillations in Gene-Regulatory Networks Abstracts APS March Meeting, March 21-25, Los Angeles, USA, 2005, abstract #B22.006.

265. Bratsun D., Volfson D., Hasty J., Tsimring L. Delay-induced stochastic oscillations in gene regulation. PNAS, V.102, N.41,2005, pp. 14593-14598.

266. Брацун Д.А., Де Вит А. Об управлении хемо-конвективными структурами в плоском реакторе. ЖТФ, т.78, в.2,2008, с. 6-13.управлении равновесием жидкости в термосифоне. ПЖТФ, т.34, в.15,2008, с. 36-42.

267. Брацун Д.А. Управление формированием химико-гидродинамических структур в химическом реакторе. Региональный конкурс РФФИ Урал. Результаты научных исследований в 2007 г. Сборник статей. Часть 1. Пермь: ПНЦ УрО РАН, 2008, с.24-27.

268. Брацун Д.А., Колесников А.К., Люшнин A.B., Шкараба A.M. Моделирование пространственно-временной динамики лесного массива. Вестник Пермского университета, Механика, Вып.3(29), 2009, с.24-31.

269. Аптуков А. М., Брацун Д.А. Моделирование групповой динамики толпы, паникующей в ограниченном пространстве. Вестник Пермского университета, Механика, Вып.3(29), 2009, с. 18-23.

270. Bratsun D.A. Effect of unsteady forces on the stability of non-isothermal particulate flow under finite-frequency vibrations. Microgravity Sei. Technol.,2009, Vol. 21 (Suppl. 1), pp. 153-158.

271. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза. Киев: Наукова думка, 1983,204 с.

272. Ладиков Ю.П. Стабилизация процессов в сплошных средах. М.: Наука, 1978,432 с.

273. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов В.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984, 288 с.