Динамика неуравновешенного твердого тела на упругих опорах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Санкт-Петербургский^государс-твенный технический университет

На правах рукописи УДК 531.36

Кривцов Антон-Иржи Мирославович

Динамика неуравновешенного твёрдого тела на упругих опорах

ч

Специальность 01.02.01 — "Теоретическая механика"

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре "Теоретическая механики" Санкт-Петербургского государственного технического университета

Научный руководитель — доктор физики-математических наук,

профессор П. А; Жилин

Официальные оппоненты — • доктор технических наук,

профессор Геннадий Тихонович Алдошин

— кандидат физико-математических наук, доцент Борис Александрович Смольников

Ведущая организация —Санкт-Петербургский государственный

'университет

Защита состоится ¿Ь 199^>г. в на *аседа

нии специализированного Совета К.063.38.20 при Санкт-Петербургских государственном техническом университете по адресу: 195251, С.-Пе тербург, ул. Политехническая, 29, ._/, ,, СЫ^с),

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПВГТУ

Автореферат разослав

Учёный секретарь специализированного Совета

кандидат фиэико-матекатических наук, доцент В. Н. Носо!

\

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Выстровращающиеся твёрдые тела входят в качестве основных элементов во многие современные конструкции. В ряде случаев, прежде всего это относится к центрифугам, оказывается существенным влияние гироскопических эффектов. Решение подобных задач требует привлечения методой динамики твёрдого тела. При рассмотрении поведения системы вблизи резонансов, а также при учёте ограниченности мощности двигателя, линейное приближение не позволяет полностью описать поведение системы, что также приводит к необходимости использования уравнений динамики твёрдого тела.

"Одним из важнейших требований к подобным конструкциям является низкая чувствительность к неуравновешенности вращающихся частей. Особенно важно это в том случае, когда неуравновешенность создаёт, полезная нагрузка, которая не может быть заранее сбалансирована. На практике для достижения подобной нечувствительности часто используются пассивные методы — такие как увеличение размеров всей конструкции в целом. Однако повышение, в последнее время, интереса к созданию малогабаритных аппаратов требует проведения многофакторной оптимизации, основанной на полном исследовании динамики системы.

С другой стороны, стационарные движения, возникающие в подобных системах, оказываются удобными моделями для рассмотрения общих вопросов нелинейных колебаний. Известно, что нелинейные вынужденные колебания в простейших системах с одной степенью свободы (типа осциллятора Дуффинга) не допускают точного решения -— требуется использование метода гармонического баланса или родственных ему приближённых методов. Для гироскопических же систем, нелинейные амплитудно-частотные характеристики могут быть найдены точно, без применения приближённых методов.

Цель работы.

1. Получение нелинейных дифференциальных уравнений динамики центрифуги с вертикальной осью вращения.

2. Линеаризация уравнений при малых амплитудах и оптимизация параметров конструкции на основе линейного приближения.

3. Построение и исследование точного стационарного решения нелинейных уравнений динамики центрифуги. Выявление новых эффектов,

вносимых учётом нелинейности.

4. Получение критериев устойчивости стационарного движения на упрощённой модели неуравновешенного волчка (неуравновешенного рото-' ра, имеющего неподвижную точку).

5. Исследование влияния ограниченности мощности двигателя на устойчивость стационарного движения.

Метод исследования. Получение дифференциальных уравнений движения и их решение осуществляется при помощи аппарата тензорного исчисления. Оптимизация системы проводится как аналитическими методами, так и посредством компьютерного сканирования пространства параметров. Для исследования стационарного движения в околорезонансных областях используются асимптотические методы. Исследования устойчивости проводятся посредством рассмотрения малых колебаний в , окрестности точного нелинейного решения. Для получения критериев устойчивости используется компьютерная система аналитических вычислений REDUCE.

Научная новизна. Новизна работы состоит в применении методов динамики твёрдого тела для исследования зада<£ динамики жёстких роторов на упругих опорах. Новизна полученных результатов обусловлена следующими факторами:

1. При получении и решении уравнений движения используется новое представление для кинематических и динамических характеристик движения.

2. Рассматриваемые уравнения движения содержат полные нелинейные выражения для инерционных слагаемых и геометрически нелинейные выражения для упругой реакции подвески. ■

3. При описании динамики центрифуги рассматривается система, с 8-ю степенями свободы, описывающая связанные поперечные, вертикальные и крутильные колебания системы.'

4. При исследовании устойчивости малых колебаний роторных систем для получения уравнений возмущённого движения используются полные нелинейные уравнения движения, а переход к малым параметрам осуществляется на заключительном этапе вывода критериев устойчивости.

Основные результаты и защищаемые положения.

1. Для неуравновешенного волчка построено три независимых стационарных движения, одно из которых имеет вид вынужденных колебаний в одномерной системе с кубической упругой характеристикой. Для этого вида нелинейных колебаний доказано, что при скачкообразном переходе на верхнюю ветвь АЧХ (амплитудно-частотной характеристики), происходит увеличение амплитуды ровно в 2 раза, независимо от значений параметров системы.

2. Получены нелинейные дифференциальные уравнения динамики центрифуги с вертикальной осью вращения на упругих амортизаторах.

3. 'На основе линейного приближения предложен алгоритм расчёта и оптимизации АЧХ системы, разработан метод динамического гашения ре-зонансов за счёт связанности колебаний в.различных степенях свободы.

4. Построено точное стационарное решение нелинейных уравнений динамики центрифуги, показано, что оно является естественным продолжением решения линеаризованной системы в нелинейную область. На основе полученного решения проведено уточнение результатов, полученных при исследовании линейной модели, выявлены специфические нелинейные эффекты.

5. Для неуравновешенного волчка в консервативном случае получены простые критерии устойчивости. Доказана возможность несоответствия между традиционной формой нелинейной АЧХ и областями неустойчивости. Введено понятие модифицированной АЧХ, позволяющее устранить указанное несоответствие.

6. В неконсервативном случае показано, что при наличии двигателя ограниченной мощности возможно появление областей неустойчивости в нерезонансной зоне. Найденные области сохраняются при сколь угодно малых амплитудах, что свидетельствует о неприменимости в этом-случае линеаризованных уравнений движения. Получены точные явные формулы и удобные в применении приближённые формулы, определяющие границы областей устойчивости.

Практическая ценность. Разработаны алгоритмы оптимизации

параметров лабораторных центрифуг. Результаты работы могут исполь-

зоваться при описании динамики различных роторных механизмов, установленных на упругих опорах — турбин, компрессоров, турбогенераторов, электродвигателей и т. д. Результаты исследований динамики неуравновешенного волчка могут применяться при расчёте гироскопических приборов.

Апробация работы. Проводился расчёт динамики центрифуг при совместных работах с СКВ биофизической аппаратуры (Москва). Полученные результаты использованы в конструкции медицинских центрифуг ДК2-0.5, ЦЛПЗ-З.5 (сепараторы для разделения крови).

Результаты докладывались на семинарах кафедры "Теоретическая механика" С.-Пб. Технического университета; международной конференции "Асимптотические методы в механике", С.-Пб, 14-17 августа 1994 г..

Структура И объём работы. Диссертация состоит из введения, 'четырёх основных частей, заключения и приложений. Основной текст занимает 123 страницы, общий объём работы 162 страницы. Работа содержит 57 рисунков, список литературы включает 128 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы основные задачи исследования, дано описание методики исследования, приведено описание содержания работы и дан обзор литературы по рассматриваемой проблеме. Отмечено, что тематика данной работы находится на пересечении трёх областей: динамики твёрдого тела, динамики жёстких роторов и теории колебаний. В литературный обзор включены работы В. И. Арнольда, Ю. А. Архангельского, В. В. Белецкого, Н. В. Бутенина, Й. Виттенбурга, Р. Ф. Гдние-ва, Р. Граммеля, А. А. Гусарова, Ф. М. Диментберга, П. А. Жилина, В. Ф.. Журавлёва, М. В. Закржевского, В. И. Зубова, А. Ю. Ишлин-ского, Г. Каудерера, А. С. Кельзона, Д. М. Климова, В. В. Козлова, М. 3. Коловского, В. О. Кононенхо, В. Н. Котлякова, А.. И. Лурье, К. Магнуса, А. П. Маркеева, Д. Р. Меркина, В. В. Мигулина, Н. Н. Моисеева, В. С. Новосёлова, В. А. Пальмова, Я. Г. Пановко, Э. Дж. Рауса, В. Н. Рубановского, В- В. Румянцева, А. Я. Савченко, Б. А. Смольникова, В. И. Соколова, А. Тондла, А. П. Харламова, Е. И. Харламовой, Ф. Л. Черноусько и других авторов'.

Часть 1: Математический аппарат. Приводятся основные сведения из тензорной алгебры, необходимые для дальнейшей работы. Описываются основы математического аппарата, предназначенного для описания трёхмерных вращений твёрдого тела, получаются специальные формулы для тензора поворота и угловой скорости твёрдого тела.

В работе используется язык прямого тензорного исчисления. Векторные величины обозначаются однократным подчёркиванием: а, Ь(:с; тензорные —• двукратным: А, В, С. Тензорное (диадное) произведение векторов обозначается ab, скалярное произведение- тензора и вектора: А-Ь, единичный тензор обозначается Е. Для задания поворотов твёрдого тела используется тензор поворота Р. Угловая скорость твёрдого тела определяется как сопутствующий вектор тензора поворота:

ихШ =' Ё-Рт о у = (¿-£г)х.

В основу описания кинематики кладутся орт п, определяющий положение некоторой жёстко связанной с телом оси, и некоторый скалярный параметр, так или иначе описывающий вращение вокруг этой оси. В данной работе в основном рассматриваются тела, близкие к осесимме-тричным, в атом случае в качестве п выбирается орт оси симметрии соответствующего симметричного тела. В качестве скалярного параметра, описывающего вращение, в ряде случаев удобно брать угловую скорость собственного вращения П == п-и>. Тогда угловая скорость может быть представлена в виде и = пхп + Пп. Тензор инерции симметричного твёрдого тела запишем как 9 = 01з(Е — пп) + djnn, тогда кинетический момент может быть представлен в виде

К = в-и = вппхп + 03^2 => К —912BXS + öj(ßn)'

В более сложных случаях для описания движения используется тензор полного поворота, который представляется как композиция двух поворотов — собственного поворота Р(<рк) (поворота вокруг орта вертикали к на угол <р) и наклона Р(п,к) (поворота от к к ¡г вокруг оси, лежащей в. горизонтальной плоскости): Р = Е(п, к)-Р(рк). Тензор наклона является алгебраической функцией вектора п

£(п,к) = £-тЛ-(п + /г)(п+к)-1-2пк, г) = к-п . (1)

Используя (1) угловую скорость твёрдого тела можно записать в виде

У = [— (а + к)хй + Фп (2)

Часть 2: Стационарные движения неуравновешенного волчка.

Получение дифференциальных уравнений движения и точного стационарного решения этих уравнений описывается на примере неуравновешенного волчка, имеющего неподвижную точку (рис.1) — упрощённой модели, позволяющей, однако, рассмотреть важнейшие общие свойства более сложных систем. Векторное дифференциальное уравнение движения системы имеет вид

012 пхп + 0,2X2 + вз(Пп)' + Скхп = 0 (3)

Здесь к, п, а — орты, указанные на рис. 1; П — угловая скорость собственного вращения; Оц и 63 — экваториальный и осевой моменты инерции волчка; в, — момент инерции дисбаланса; С — величина, определяющая упругий момент. СЛ (стационарное движение) ищем в виде перманентных вращений: и = шк, ш = 0, откуда п = икхп, а = икха, П ~ ит). Воспользуемся разложением п иоа вертикальную и горизонтальную составляющие: п — £ + т]к, 2 = 1 + Тогда стационарное решение уравнения (3) может быть записано в виде ^

Рис. 1

+ 1 = 0

(4)

Уравнение (4) имеет 3 различных решения, характеризующиеся, соответственно, соотношениями

1. т=0, 2.ц = 0, 3. ехт = 0

(5)

Эти решения определяют 3 варианта СД. Первые два из них особые. Им соответствуют такие движения волчка, при которых силы инерции дисбаланса не создают момента относительно неподвижной .точки — рис. 2.

3-му варианту СД соответствует движение волчка типа вынужденных колебаний. Согласно (5) векторы к, п, а лежат в одной плоскости, поэтому удаётся перейти к скалярному аналогу (4)

С

вет} + 9,тц= -уе

(6)

Выразив в (6) е, г], т, ц через угол нутации х) придём к уравнению, определяющему неявную АЧХ. На практике удобнее пользоваться обратной

зависимостью

1. т = 0 , 2.(1 = 0

Рис. 2 : Безмоментные движения волчка частоты от амплитуды: , Се 2Csmi3

— (7)

0 sin 2d + 0, sin 2(t? + 7) w

- рис. 1. Лалее будут использоваться

вец + в,тц

Здесь 7 — угол между п и а обозначения а = sin7, ¡3 ==' C0S7.

Для исследования АЧХ введём 2 независимых малых параметра: в„/в (дисбаланс) и £ (амплитуда колебаний). Колебаниям вблизи резонанса соответствует случай больших амплитуд: £ 9,/в. Разложим входящие в уравнение (7) величины в ряд по малым параметрам и, сохранив первые два порядка малости, получим соотношение

J2 в 2 .1 0,а[]

— = — и1, к-- " = .j*

х = 1 + кг2 - '■

W Ш о 2

х = Т = > Wp С

(8)

Зависимость (8) частоты от амплитуды (при произвольном к) справедлива, для широкого класса нелинейных систем, в том числе для системы с 1-ой степенью свободы при кубической упругой характеристике и гармоническом возбуждении (осциллятор Дуффинга). На рис. 3 изображена АЧХ, соответствующая соотношению (8).

Специфической особенностью нелинейной АЧХ является наличие у зависимости |е(х)| точки возврата (я,,£,). При достижении точки возврата возможен скачкообразный переход на другую ветвь АЧХ с резким возрастанием амплитуды до значения £„. В работе показано, что при этом происходит увеличение амплитуды ровно в 2 раза, независимо от значений параметров системы.

X, X

Рис. 3

Часть 3: Динамика лабораторных центрифуг.

Рассматривается центрифуга с вертикальной осью вращения, установленная на упругих амортизаторах — рис. 4. Идеальная систе-4 ма состоит из трех осесимметричных частей: статора (1), планшайбы (2), ротора двигателя (3). Величины, относящиеся к этим частям, помечаются, соответственно, индексами 1, 2, 3. Полная система содержит дисбаланс (4) — произвольное твердое тело, жестко связанное с планшайбой (индекс: V). Положение системы определяется: R — радиус-вектором центра масс идеальной системы; п — Ортом оси симметрии идеальной системы; v?b V2, <Рз — углами поворота частей системы вокруг п.

Первые две главы части 3 посвящены выводу нелинейных дифференциальных уравнений движения системы. Уравнения движения содержат полные нелинейные выражения для инерционных слагаемых и геометрически нелинейные выражения для упругой реакции подвески.

mfi + Сп(г + he) + C3(z + A(ij - 1 ))к + Я12(г + hi) + H3zk - ~L ~ т.дк mRxR + 0ипхп + ((03wn + £в§фа) т})'+ ((Си - C3)[z + hr,) + C3h)kx[R + hn) +

+ 7((<?з - Cu)ri + Cu cos v>i)Îxtj + ^Cusinvsi (n + k) + mghkxn + Huhkx(g + hrt) +

+ ~(H3kxn + ïHiWik) + Ьзфгп = ~K. + т.дкхВ,

mi в{BxR + PiRxn) + fl>(w„ + ф{) + ((Cu - C3)(z + hr,) + C3h)kiExn) + + f'Cuil + v)s'n9i + + т3)дк-(Ёхп) + + L(u0 - ф3 + фг) + £ji(ysi - ф]) = О

■ ">j n-UïxR + PiB*!}) + 01(ù» + Фч) - m^gk-(Rxn) + С32(9а ~¥>з) +

+ Я32(у2 ~ Vi) + ¿3- Ф\) + LiVi = ~В-К. + 'п.дк-(В.хв)

m3n-(£xR + fbgxn) + + ф3) - m3jb(£xrj) + C3i(<p3 - v>3) +

+ Н32(ф3 - - L(u0 - ф3 + Ф1) = 0

(9)

Здесь: к — орт вертикальной оси; г, z и g, г) — горизонтальные и вертикальные составляющие векторов Run; шп = -щ£-(пхп); m — масса системы; та, ш. ■— массы соответствующих частей системы (а = 1,2,3);

Öi2, #з — экваториальный и осевой моменты инерции системы; — моменты инерции частей системы; |/>а| — расстояния от ц. м. системы до ц. м. частей системы; /,, К, — количество движения и кинетический момент дисбаланса; С12, С3 — поперечная и вертикальная жесткости подвески; Я12, Нз — вязкости подвески; С32, Я32 — жесткость и вязкость соединения ротор двигателя - планшайба; R, h — радиус и высота подвески; L2, ¿21 — коэффициенты сопротивления; L, wo — параметры, определяющие момент двигателя; д — ускорение свободного падения.

Уравнения (9) описывают связанные поперечные, вертикальные и крутильные колебания системы (8 степеней свободы). Далее исследование ведётся в двух направлениях: ,

• линеаризация уравнений движения, решение и оптимизация полученной линейной системы;

• нахождение и анализ точного стационарного решения полных уравнений, сравнение его с частным решением линейной системы.

Система линеаризованных уравнений имеет Вид

1) mz + H3Z + C3Z = — m„<7

2) tnr + Hui + hHi2£+ Cur + hCne = т*ф22 а

3) впё - #з V2 kxs + G12 £ + hHnr + Du £ + hC\z r*s= mJtpfc + да)

(10)

4) + (i?2#i2 + L) <¿4 + Ä2Ci2Vi = -L{u>0{t) - фз) + Ьыфъ

5) в\ф2 + (¿21 + ¿2)^2 + Нзг(ф2 - фз) + С32(^2 - <Рэ) = 0

6) в\Фз + Ьфг + Нгг{фз - ф2) 4- 632(^3 - V2) = L(w0(0 + ф\) ,

Здесь обозначено

в? = 0\ + в! , с?12 §'#з + h'Hn , Da =' f+ h*Cn + mgh; а = Ш-кк)-Ро, с= Ьа-^{Е-кк)-й„-к, Ь=к-р0; где р0 и предельные значения радиус-вектора1 центра масс и момента инерции дисбаланса при е —► 0 (эти величины записаны относительно центра масс идеальной системы).

Согласно (10), линеаризованная система уравнений распадается на 3 подсистемы: вертикальные колебания г (1-е уравнение); поперечные колебания г, е (2-е и 3-е уравнения); крутильные колебания <рi, V>3 (4-е,

5-е и 6-е уравнения). Возбуждение, порождаемое дисбалансом, передаётся только на 2-е и 3-е уравнения, описывающие связанные цилиндрические (г) и конические (е) поперечные колебания. Воспользовавшись комплексными амплитудами г, е, а, с, из уравнений 2, 3 получим систему алгебраических уравнений, описывающих вынужденние поперечные колебания 1

(-ти2 4- C\i + #12 шг) г + Н(Сц + Ни ш) £ = mtu2а h(Cu +- Ни u>i) г + {-в J1 + I>i2 + С?12^г)е = т,(и2с + да)

(И)

Здесь г — мнимая единица, в = вм—в^3 — гироскопический момент инерции системы. Согласно (11), связанность цилиндрических г и конических е колебаний определяется величиной Л — расстоянием от центра тяжести системы до плоскости подвески. При к — 0 уравнения разделяются и эти два вида движений становятся независимыми. Из равенства нулю определителя системы (11), получим формулы для критических частот

wf.i = (rnDn + вс12 ± ,

(12)

Приведём формулу для амплитуды цилиндрических поперечных колебаний

((z-v) + f)xf +nz((jx-uY

(г2 — (« + 1 + nu — nxJ> + (f - X2))2 + »*((« + + 2X2 - « -Здесь использованы следующие безразмерные параметры (d = •/ojm)

(13)

т г

тСг2'

Рп Cud?'

G" х-З' "-I

С^з

На рис. 5 изображена АЧХ цилиндрических колебаний. Частота соответствует основному резонансу, частота иi — резонансу, перешедшему из конических ко-'лебаний за счёт связанности, частота из — антирезонансу. Совмещение частоты антирезонанса с резонансной частотой достигается при выполнении соотношения

Рис. 5

bh2 + h(d2 - б2) +b(yR2 - d2) = 0; 7=5^-,

(14)

позволяющего обеспечить динамическое гашение резонанса.

Вернёмся к полной системе (9) уравнений движения. Она имеет точное стационарное решение, при котором = и(к — п), у2 = Уз = ик — статор совершает регулярную прецессию, планшайба и ротор двигателя — перманентное вращение вокруг вертикали. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарное движение имеет вид

1) г = Л(1 — ц)

2) -Аг + ыЯ„ кх( г + Лг) + Си (г 4 Н) = -/.

.3) ))£ + тгг) + 1»ф<(бп£ + АЯцг) + Х>и(ч,у1)£ ~ VI + ЛСцГ = ¡Ь<ЛГ„

4) (-сЛт»1(/>1Ч + г) + ЛС,2 + (т2 + т3)у) ¿(гхг) + + т/)8"0 VI + ¿("о - - = О

5) —т3(и>,(/>2') + *) + г) к-(гхс) + Сзг{ч>2 - у?з) + + ¿г)" = "З'Я.

6) -т3(ш2(р31/ + г) + д) к-(гхе) + Сзз(уз - ^а) - ¿("о - ы) = О

(15)

6>М = - *з)7 + 0« = уЯз + - ¿з,

Здесь ......... ^ д1

(16)

*Мч.¥> 1)= 2- (СзЧ + Сп(созу1 - Г))) + ^Сп + При достаточно малых амплитудах колебаний стационарное решение (15) совпадает с решением линеаризованной системы (10) дифференциальных уравнений движения. Следовательно, в нелинейной области, стационарное решение является естественным продолжением решения линеаризованной системы. Сравнивая системы (15) и- (10), можно сделать вывод, что учёт нелинейности приводит: во-первых — к переменности ряда коэффициентов, постоянных в линейном приближении; во-вторых — к дополнительной связанности разных видов движений. Так, коэффициент Х>1г(т7, у>х) является нелинейным аналогом изгибной жёсткости Вц; поперечные и крутильные движения перестают быть независимыми; появляется вертикальное смещение системы.

При введении ряда упрощающих предположений (пренебрежение дис-сипативными силами, силой тяжести и др.) удаётся выделить скалярную систему нелинейных поперечных колебаний (уравнения 2,3 системы (15))

—шгт г + С12 г + ЛС12 £' = а

(17)

—иг2(©(»7) е + 771/1(1 - 77)г) + Х>ю(»7) е + ЬСп г в сЛп.ба Здесь . 9(г,) = (в1г-в1)ч + в1 Ра® Ш £(С,Ч*Си(1 - 7)) +А8С„

При помощи асимптотических разложений показывается, что вблизи ре-зонансов АЧХ определяется той же универсальной зависимостью, что и в задаче о неуравновешенном волчке — рис.3, формула (8):

4 = 1 + (18)

Здесь ир — резонансная частота, е — амплитуда колебаний (£?0), к

— коэффициент нелинейности, р — коэффициент интенсивности. При отсутствии связанности (Л = 0) уравнение цилиндрических колебаний линейно, а для конических колебаний

\-Hfc-f). »-=Г ' <19>

При Л ф 0 оба вида колебаний оказываются нелинейными, а выражения для сильно усложняются. Однако, здесь оказывается возможным

динамическое гашение, позволяющее обратить коэффициенты ктл.рв ноль

— тем самым добиться линейности колебаний и устранить резонанс. Рассмотрение уравнений 4-6 системы (15) (нелинейные крутильные

движения), приводит к выводу, что при учёте ограниченности мощности двигателя возможно разрушение стационарного решения. Покажем это. Из указанных уравнений следует соотношение связи между частотой холостого хода а>о и частотой вращения ал'

и(и)и2-и + и0 = 0, (20)

где величина и(ш) определяется амплитудами поперечных колебаний, в первом приближении она может быть оценена неравенством

К">)| < а\ге\, а~\ (т2/»2 + ™зрз) (21)

Здесь Ь — крутизна характеристики двигателя (с обратным знаком). Рассмотрим (20) как квадратное уравнение относительно ш, в котором величины и и и>о являются коэффициентами. Дискриминант уравнения равен 1 — 4шаи. При достаточно больших значениях и он становится отрицательным — стационарное движение в этом случае перестаёт существовать. Указанный эффект реализуется в резонансной зоне при значительном возрастании амплитуд поперечных колебаний. Согласно (21), обеспечение стационарной работы аппарата может быть достигнуто минимизацией коэффициента ст.

Часть 4: Исследования устойчивости.

В 3-й части работы показано, что стационарное движение является естественным продолжением в нелинейную область решения линеаризованных уравнений движения. Однако, если в линейном случае вопрос о единственности решения является тривиальным, то в нелинейной области могут существовать и другие, альтернативные виды движений. В связи с этим особенно важным оказывается вопрос об устойчивости стационарных движений, рассмотренный в работе на упрощённой модели неуравновешенного волчка (рис. 1). . Уравнение движения волчка имеет вид

9ппхп + 0,2X2 + #3(Яп)' + Скхп -¿4=0 (22)

Здесь, по сравнению с уравнением (3), введён момент ¿М, поддерживающий вращение (далее -— момент двигателя). Будем рассматривать мёртвый ¿Л = М\{ф)к или следящий ¿М = М^{ф)п момент двигателя.

Для исследования устойчивости проводится варьирование уравнений движения. После варьирования уравнение (22) принимает вид

¿2-бп+ш^ ■6п + и2Ао■бп + -6а + и^Ш -6 а + С26ф+ шС^ф = 0 (23)

Здесь А„ С, — тензорные коэффициенты при вариациях.

Вариации 6(2, 6а выражаются через вариации основных переменных — 6п, 6<р. Для этого, используя (2), величину П представим в виде

Л = п-и> = к-(пхп) + Ф -- 1 +

При варьировании аналогом угловой скорости ш служит вектор определяемый соотношением, аналогичным формуле (2)

| = (а + Ь)х8п + п6<р

Тогда вариация а определяется формулой: 6а = В результате,

после проведения указанных подстановок и перехода к производным во вращающейся системе координат, приходим к уравнению

Й2-6п" + Я|-6п' + а0-<5п + д2 бу" + 516<р' + ео^у? = 0, (24)

где коэффициенты я„ с„ связаны с А„ В„ С, цепочкой последовательных формул. Соответствующие формулы довольно громоздки, однако их

рекуррентный характер оказывается удобным при использовании компьютерных систем аналитических вычислений. После преобразований получаем характеристический определитель системы дифференциальных уравнений возмущённого движения

(0+ о.+ в з)Лг + <?£2 + <?.(2£ + т2) -(2вч + 29.р— + 0з)А

(-2 в:ац + въе)\

(2<У + 26.ii'1 + 03)\ 2(0ет) + Олц)\

(6Ч + в.ц~ + + в.^. (В.а/1 - в3£)А» - - в.ац (0£ + + 031П>)Аа (е.ат + + +

Здесь Л — характеристический показатель системы, ¿1,2 = —

крутизна характеристики двигателя. Полученная формула справедлива при произвольных нелинейных движениях системы.

Далее проводится исследование характеристического определителя для малых (но не обязательно линейных) колебаний. Отдельно рассматриваются консервативные задачи — двигатель бесконечной мощности (Ь = оо) и отсутствие двигателя (Ь = 0), и неконсервативные задачи — двигатель ограниченной мощности. Каждая из задач, в свою очередь, разделяется на подзадачи в зависимости от уровня амплитуд, направленности момента двигателя, знаков 9 и С.

В консервативном случае наибольший интерес представляют большие амплитуды е ;§> в,/в, реализующиеся в околорезонансной зоне. Условия устойчивости для больших амплитуд имеют вид

Ь = оо : в£3+ в,а/5 > 0 Ь = О : 0(46 + 6>з)£3 + в&ар > О

(25)

При Ь = оо неустойчивая область соответствует участку АЧХ с обратным наклоном — пунктир на рис. 6. Однако для Ь = 0 условия различа-

М-р)1

Рис. 6

1 (»ы1

Рис. 7 : в3< Оп Рис. 8 : вп <Ь< §9п Рис. 9 : 03 >

ются, в качестве критического значения |е| выступает £о ф Е* — Рис- 7-9. Особенно сильные различия возникают для широких волчков — рис.9,

расположение областей устойчивости в этом случае совершенно не согласуется с формой АЧХ.

Оказывается, что можно подобрать некоторую модифицированную частоту й), мало отличающуюся от и, так что соответствующая ей АЧХ будет прекрасно согласовываться с условием устойчивости

На рис. 10-12 представлены модифицированные АЧХ для различных ти-

Рис. 10 : «3 < §011

1 (с./*,)* Рис. 11: 03 = 50,2

Рис. 12 : 03 >

пов волчков. Из рисунков видно, что неустойчивая область находится в полном согласии с формой АЧХ. Особый интерес представляет: 0з = д012 — в этом случае нелинейность в АЧХ пропадает, а область устойчивости распространяется на все частоты — рис. 11.

В неконсервативном случае (двигатель ограниченной мощности) показано, что неустойчивость проявляется уже при малых амплитудах е ~ в,/9. Условия устойчивости здесь имеют значительно более громоздкий вид. Для их получения существенно использовалась компьютерная система аналитических вычислений — прежде всего для разложения на множители сложных полиномиальных выражений многих переменных.

Для представления областей устойчивости воспользуемся безразмерными параметрами х = (0/С)и2, у = в/вп- Параметр х," с точностью до знака, представляет собой квадрат безразмерной частоты, параметр у описывает инерционные свойства волчка (-1 < у < 1). Области устойчивости на плоскости параметров х, у для мёртвого и следящего моментов двигателя приведены на рис. 14-15 (заштрихованы устойчивые области), на рис. 13 приведены области устойчивости для консервативного случая. Вертикальная линия х = 1 соответствует резонансу. Каждому квадранту плоскости соответствует свой тип системы, обозначенный схематической картинкой. Системы различаются знаком в (узкий или широкий волчок) и знаком С (восстанавливающий или опрокидывающий момент).

Согласно рисункам, двигатель ограниченной мощности оказывает сильное дестабилизирующее воздействие, более значительное в случае мёртвого момента. Области неустойчивости присутствуют в нерезонансных зонах, они могут сохраняться при сколь угодно малых амплитудах, что свидетельствует о неприменимости в этом случае линеаризованных уравнений движения.

В заключении перечислены основные результаты работы. В приложении А рассмотрено применение результатов теории для оптимизации параметров центрифуги. Расчёт проводится на примере медицинской центрифуги ДК2-0.5, предназначенной для разделения крови.

В Приложениях Б И В приведены список использованных обозначений и список литературы.

Основные результаты опубликованы в работах

1. Кривцов A.M. Математические модели для расчёта динамики лабораторных центрифуг // Труды СПбГТУ. 1993. N446. С. 187-190.

2. Кривцов A.M. Стационарное движение несбалансированного ротора центрифуги i околорезонансных областях // Труды СПбГТУ. 1993. N 446. С. 190-193.

3. Кривцов A.M. Устойчивость стационарного движения несимметричного волчка npi консервативной нагрузке. Деп. ВИНИТИ. 01.07.94. N 1640-В94. 16 с.

4. Кривцов A.M. Околорезонансные колебания неуравновешенного волчка // Трудь СПбГТУ. N448, 1994. С.65-75. \

5. Кривцов A.M. К исследованию эволюционного поведения волчков на шаров ом осно вании // Труды СПбГТУ. 1994. N448. С. 172-175.

6. KrivtsovA.M., Zhilin P.A. Asymptotic Investigation of Stationary Motion Stability of Nonsym metric Top. Int. conf. "Asymptotic methods in mechanic«". S.-Pb. August 14-17, 1994.

y,

«шшш шшш

Рис. 13 : Консер У вапгвный случаи t

■ f ■ j-i--[: : f\ : ^ ( \ i s х

4 I"! ; -a-4, ¡■Pi' ^

Рис. 14 : Мёртвы: У i момент двигателя 1

- . f , : - : 1

ШЕШШШШ 4 Ш-гМШ

Рис. 15 : Следящи й момент двигателя