Динамика прецессионного движения неуравновешенного ротора тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

□03055632

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукопьси

Пасынкова Инна Анатольевна

ДИНАМИКА ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА

Специальность 01 02 01 — Теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фи зико-математических наук

1<>

>

Санкт-Петербург 2007

003055632

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор Леонов Геннадий Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор Блехмал Илья Израилевич

доктор физико-математических наук, профессор Кривцов Ашон-Иржи Мирославович

Ведущая организация Вычислительный центр имени А А Дородницына Российской академии наук

Защита состоится " СЛЛЪУр-С-^-К 2007 в Л/ч - мин иа засе

дании диссертационного совета Д 212 232 30 по защите диссертаций на соискание ученой степени докюрг. физико математических наук при Санкт-Петербургском государственном 'Университете в ауд 3530 по адресу

198501, Санкг-Петербурт, Петродворец, Университетский пр , дом 28_,

п у,-

С диссертацией можно озиакомигься в научной библиотеке им М Горькою Санкт-Петербургского гос\ дарственного университета по адресу Санкт-Петербург, Университетская набережная д 7/9

Автореферат разослан "_//" х/.СИ'ГО'У! 2007

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физяко-мдтечапгческих наук Зегжда С А

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации Согременный уровень развития техники, машиностроения и транспорта предъявляет высокие требования к частоте вращения роторных машин Как правило, требуется, чтобы рабочий диаиаюн учтовых скоростей вращ< пня был достаточно высоким и при этом должно быть обссшче но бе ¡опасное прохождение через резонансную область

Начато теоретическим исследованиям динамики бысгровращающихся валов потожила короткая заметка известно! о шотландскою ученою Уильяма Рэнкина, опубликованная в 1809 г, в которой он впервые применил теорию поперечных колебаний стержней, разработанную Пуассоном к динамике быстровращающихся валов и первым понят, что критическая угловря скорость вала достшается р тот момент когда вал, как упругий стержень, теряет устойчивость своей прямолинейной формы Первые математические модели вращающеюся вала были созданы профессором Мюнхенского университета Фепплем в 1895 г и независимо профессором Ирландского Королевского колледжа Джеффкоттом в 1919 г Феппчъ первым обнаружил явление самоцешрирования ротора и тем самым теоретически обосновал возможность работы со сверхкритическими скоростями Инженерная практика опережала теоретические исследования В 1883 г выдающийся швсдскин инженер и изобретатель Карл Лаваль ногучил патент на морскую реверсивную паровучо турбину с рабочей скоростью 42000 об/мин, которая была "«аведомо выше, чем критическая скорость Рэнкина Начиная с работы Данкерлея, который в 1894 г предложил эмпирические формулы для расчета критических учловых скоростей вала, усилия многих выдающихся механиков XX века были направлены на создание и обоснование приближенных методов определения критических частот вращения Следует отметить труды А Стодолы, Р Граммеля, А Н Крылова, Ф М Диментберга и др

В последнее время ботыиое внимание в работах по динамике роторов уде шется влиянию ра¡личных нелинейных факторов на устойчивость и характер движения роторных систем Часто но самой постановке задачи нелинейные факторы не могут рассматриваться как малые допоигптельные члены в линеинои задаче Важное ¡начеши ишег изучение динамики ротора с четырьмя степенями свободы, что позволяет обнаружить новые явления, которые не может обнаружить модель ротора Феппля — Джеффкотга, имеющего две степени свободы

В силу вышесказанного тема настоящей работы, посвященной исследованию динамики прецессионного движения неуравновешенного ротора с четырьмя степс нямп ст оболы в упру] их нелинейных опорах, является актуальной

Цель работы Основной пелыо работы является изучение прямых синхронных прецессий ротора, вызванных его дисбалансом Быта поставлена задача ка-ч< СП ( иного исследования отде льно цилиндрических конических, а также связанных ни шндрическнх и конических (гиперболоидальных) колебании как жесткого,

так и гиГжого ротора с четырьмя степенями свободы при различных нелинейных характеристиках упругих опор В рамках поставленной задачи требуется проке ети исследование устойчивости прецессий во всем диапазоне угловых скоростей вращения ротора и определить сценарии потери устойчивости

Методы исследований Используются классические методы теории не линейных колебаний и теории устойчивости движения, а также предложенный автором новый метод изучения прецессионного движения неуравновешенного рошра Для исс ледования полученных численным моделированием аттракторов применяются методы спекгрального анализа и современные алгоритмы нелинейной динамики

Научная новизна В диссертации получены следующие новые научные результаты

• Разработай новый подход в исследовании прямых синхронных прецессий, позволяющий исследовать связанные цилиндрические и конические колебания ротора, вызванные его статическим и динамическим дисбалансом

• В рамках предложенного подхода аналитически и численно проведено исследование гиперболоидальпои, цилиндрической и конической прецессий жесткого ротора в упругих нелинейш ix изотропных опорах Рассмотрены упругие характеристики опор существенно нелинейные (типа Герца) и содержащие линейный и кубический члени (типа Дуффинга) Установлены параметры самоцеплрирования ротора

• В линейном приближении проведено исследование устойчивости прецесси-0Н1Ю10 движения неуравновешенною ротора Изучены различные сценарии потери устойчивости цилиндрической и конической прецессии во всем диапазоне угловых скоростей, в том числе появление квазипериодичсских и ха отических аттракторов, эффекта "затяшвания неустойчивосги"

• Для сгаипески и для динамически неуравновешенного ротора проведено численное исследование прямою и обратного нестационарного перехода через резонансную облапь, которое показало существенную роль внутреннего трения в процессе возникновения хаотических колебаний нарастающей амплитуды в закригической области

• Метод, разрлбо ¡ачный для жесткого роюра, применен для исследования прецессий неуравновешенного ро'ора с че1ырьмя степенями свободы, насаженного на линейно упругий безмассовый вал, который в свою очереть укреплен в упругих опорах Введено определение цилиндрической коничсскоЛ ¡< 1Г перболоидальной прецессии ротора на гибком валу

• Изучено влияние упругих опор на кришческне часюгы Iникою ]хт>ра в линейны V упру 1 их опорах и проведено сравнение с известными рс\з\ шьпамп длч жестких опор

• Проведено исследование симметричной гиперботоидаиьнои прецессии полностью неуравновешенного рогора на гибком валу в нелинейных упругих опорах без учета сил еопротив тения

• Для статически и для динамич( ски н<у равновешенного гибкого ро гора исследованы щпиндрические и конические прецессии в подшипниках типа Герца и типа Дуффиига при учете сил внешнею и внутреннего сопротивления во всем диапазоне угловых скоростей Показано, тто в закритическои области имеют место бифуркации Андронова — Хопфа, хаотизацил предельных циклов, переходы типа "хаос — хаос" и практически неограниченный рост амититулы прецессии

Теоретическая и практическая ценность Диссертация имеет теоретический характер Введенные в ней понятия, развитые методы г полученные результаты применимы при исследовании и конструировании 6i тстровращающихся роторных машин На основании результатов исстедования могут быть сделаны практические рекомендации, касающиеся ширины pi зон шеной зоны условий te прохождения а также определения 1раннцы возбуждения атзтоколсбаиии в закри-тичсской области Мат<риал, изложенный в диссертации, может бьнь использован при чтении специальных курсов по устойчивости неишеиных механических систем и динамике твердого тс та

Апробация рабочы Полученные в работе результаты быти представлены артором па следующих конс]хре нциях [2, С 7,9,11 — 13,16 18, 20- 21,27]

Международная конференция "Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении" Саратов 1997, Международные конференции "Окуневские чтения" Санкт-Петербург, 1997 2001, 2006, Международные конференции "Потяховские чтения", Санкт-Петербург, 2000, ?006, "Den 7 Magele burger Maschinenbau-Tage 11-12 Oktober 2005 an der Otto-л on-Gutricke^ Uimersitact", Magdeburg, 2005, Summer - School Conference " Advance-el Problems m Mechanics", St Petersburg (Repino), XXXIII -200\ XXXIV-2006, IX Всероссийский съезд но теоретической и прикладной механике, Чижшш Новгорот 2000

Неоднократно результаты докладывались па секции теоретической механики в Доме Ученых им М Горькою (2001 г и 2005 г) и на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики СПбГУ

Публикации По теме диссертации имеется 28 публикации, в "тм числе 11 статей в журналах, рекомендованных ВАК В совмесшых работах [16 — 19] авто ру принадлежит постановка задачи и метод mследования В совместных работах [20 — 22) по исюрии динамики роторов автору принадлежит исследование трудов Рэнкина, Лаватя Джеффкотта, Стодолы, Нш олаи и других Соавтору принадлежит исследование трудов Феппля, Сивара и Жуковского

Структура и объем работы Диссертационная paCoia состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы, насчитывающее о 118 наименовании Число иллюстрации равно ]36 Общий объем работы 206 страниц

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, приведена краткая история создания математических моделей динамики рогоров дан обзор литературы сформулированы цели и задачи диссертационной работы, описана стр>ктура диссертации, а 1акже преде хавлены положения, выносимые на защиту

Первая глава посвящена изучению стационарных движений несбалансированного жесткою ротора, } крепленною вертикально в упругих изотропные опорах В §§ 1 1, 1 2 нрнводнтсл описание модели неуравновешенного жесткого ротора с четырьмя степенями свободы и вывод уравнений движения при весьма общих предпотоженияк о нелинейной характеристике упругих реакций опор Рогор имеет массу М и длин\ /, Предполагается, чю рогор динамически симметричный и ею моменты инерции Jp (полярный) п Jt (грансверсальный) Ротор статически и динамически неуравновешен Оптический эксцентриситет равен е Динамический эксцентриситет характеризуется двумя утчами А п е Уго г 5 - уюл между осью динамической симметрии ротора и прямой, параллельной оси вращения, но проходящей «ерез центр масс, а угол е определяет фазовый сдвиг динамического эксцентриситета по о I ношен ню к статическому Пусть ротор приводится во вращение двнгагетем, способным поддерживать заданный закон изменения углоьой скорости вращения -р = Тогда, пренебрегая перемещением рогора вдоть оси вращения, ею можно рассматривать как механическую систему с четырьмя степенями свободы В качестве обобщенных координат выбраны декартовы координаты (г,, ?/,) (I — J-тo конца оси ротора (шипа) в плоскости, перпендикулярной оси подшипников Пусть ротор распотожен нецентрально между опорами, так что расстояние от J-on опоры до точки крещении к осп вращения равно е-, Ь, ] — 1,2, где Ь расс голни" между опорами При эгом если рогор укреплен консольно го (=2 < 0, так т1 го всегда выполняется Ст +<2 = 1 Рассматриваются изотропные опоры, следовательно, упругие восстанавливающие силы имеют то тько радиальную состав клопу ю рагш/ю Р, = —Здесь SJ — 7^ + /у} — смещение точки вала в ^-ой опоре от равновесного положения, записанное в комплексной форме г^ - ор1 направления 8} Фуикшш непрерывно-дифф/ерепщф\смые и Г}(0) = 0 ^р.шненн т движения бе} у чета сил сопрогивленлл в комтпсксной форме ггмеюг вид

Л/(с26'г ! "А) ^Сб,!)^-! = Л/с(^2-7<р)ехр(^),

■Л (^ -50-7 1„ V № -80-' л V № - £0+

-гГ* (<р2 — г е\р(? (<р - е))

(1)

Ур твнеиия дгггже пня ч оегкого ротора в форме (1)) для случая вращения с постоянной сюросгыо т! гшнетшо-у пругих нсизстроштых опора\ получены С Г1 Тимошенко, а д 1я с г,чая упругих. т елинепиых изотропных подшипников с контактом

типа Герца в работах Л С Кельзона

Для исследования системы (1) целесообразно иеречш к Соразмерному времени т = Шц ^ и безра ¡мерным переменным ^,J = Здесь Ь — характерный линейный размер например статический экснеитриапет е или величина Ь5, псиц — харамерпал у1 топая скорость выбор которой определяемся конкретным видом от,нон из нелинейных функций Г,(|6^|), например Д(|51|) Так как ьо существу задачи величины являются малыми, то ябеолютная гетичинт. SJ при матом характерном ])а ;мг ре будет порядка единицы Пуе гь вращение ротора лроис-содпт с ПОСТО/1НПОЙ уповой скоростью П

13 комплексной форме, нос ге перехода к безразмерным переменным безразмерному времени г и безразмерной \1 горой скорости П = Р/о.'о уравнения движения примут вид

'2*1 +О ^+/1(1011)7^, ) ЫЬМг^ = ^П?ехр(, I? т) |-ч| Ы

- (ПЛ(92-ы) \-к! ('гЛ(М)А - Р1/1(|,]|)-ИЛ = (2) V Ы Ы/

= /е/2П2 схр(; (Пт — е))

Зде сь диффе-реицирораиие ведекл по бс зра змерному времени т, и безразмерные силы задаю1ся следующим образом = Г, (Л | Оста и.ные

параметры, которые можно назвать копетру кционными, имеют с (е, 1\ югнпII с\ri.i; I

(.Л - /,,) J^ II /I

Заме Iим, что всегда спрареупиво к (1 — Л) >0 Есш ротор пре дс тавтче 1 динамически сжаюете ю (типа "диск"), то параче1р Л > 1, и, следовательно, к < 0 1хта же ротор представляет динамически вытянутое тело (типа "сигара"), то А 1, и тогда к > 0

В § 1 3 показано, чго система уравнений (2) допускает точное1 решение вида

= Я, охр(7 1'.,) <хр(¡Пг), J = 1 2 (1)

с комплексной амптитудоц Н3 охр(? где > 0, - вещественные постоянные Вечичина Н3 есть рл ;и\с кр\говон орбиты I оица оси ротора (шина) а } ха-рактершует фазовый сдриг относительно возмущающей си ты вызванной статическим дисбалансом ротора

Стационарное движе иие (1) соенвс 1С тьус г состоянию равновесия в системе ко-ор шн-и, вращающейся с уповои скоростью ротора П Движение такого типа яр-лнегел прямой крутгой синхронной процесс ие и

Г1о гиду поре рхност, которую заметает в ирос!раьегре ось вращешп ротора, можно различить прецессии цилиндрически^, конические и гпнербочои |,альныс

При равных комплексных амплитудах имеет место цилиндрическая прецессия Если фазы равны или отнимаются на 7г при любых радиусах то имеет место коническая прецессия, При друшх соотношениях между фазами ^ прецессия будет гиперболоида гъной, так как поверхность, заметаемая осыо ротора, представляет собой однонолоы ный гипербо юпд вращения

13 § 1 \ выписана сисюма для определения комплексных амплитуд, коюрая представляет собой линейную неоднородную систему алгебраических уравнений

(5)

Aj Tli ехр(? Vi) + Л2 Я2 ехр(? г,'>2) = dx fi2, — B1R1 exp(7^i])+ B2R2 ехр(г^) = d2Vl2 ехр(—je),

с коэффициентами 4, — Y} — с X, В} = ке3 — X, и X = fi2, Yj = f](R])/R3 Рассмотрим опреаели1ель системы (5)

Л = А1В2ЬА, В,. (6)

и поверхность А = 0 в пространстве {X, Yi.li} (A' е R+,Yi 6 R+,Y2 € ß+), которую можно рассматривать как недостижимую для прямых синхронных прецессий полностью неуравновешенного ротора, те резонансную поверхность Назовем множество А = О множеством негииейных резонансов В пространстве переменных {А', Vi,} 2} поверхность А = 0 представляез собой гиперболический конус с вершиной в начале координат

О! - г2 Х)(к с2 >2 - х) + (Y2 - et X)(k г, Y1 - X) = 0 (7)

Гипербо 1н в сечении конуса плоскос!ью X -= const имеют асимптоты

У,-1-^* (8)

Для динамически вьпянуюю ротора (/, > 0) и для динамически сжатою, но с большим значением 'А | > тл>с(1/с2, 1 иперболический конус состоит из дьух

частей, для динамически сжатого, но со сравните шно небольшими \к |, множество нелинейных резонансов состоит из одной част Большие значения 11 J для ротора тин г "диск" соответствуют тонкому диску, который уже не может рассматриваться как твердое тело, а должен рассматриваться как пластина

Гиьсрболоидальную прецессию можно рассматривать как i еометрическую сум-м\ цилиндрической и конической прецессий Вблизи одной из частей множества нелинейных резонансов "резонирует" цилиндрическая составляющая прямой синхронной прецессии т е большие значения радиусов R} получаются за счел болыпо-I о радиуса орбиты центра тяжести Вб шзи другой части "резонирует" коническая составляющая, т с бо 1ьшие значения Rj получаю 1сл за счел большою наклона оси вращения ротора

В § 1 ri подтверждается, что жесткий роюр с четырьмя степенями свободы обладает свойством самоцентрирования при больших угловых скоростях вращения

и опреде> иполся параметры самоцентрирорлния Систему (5) можно разрешить относительно ехр(? vj) Cboiicibo | схр (? — 1 позволяет у с ыновить, чю существует самоцентрирование ротора и получить предельные значения радиусов R}CK> и фазовых сдвигов i'JCO

/ { — 1 V ' ' ? í] Sin F

= (fj^Y (-l^eyZ^cose, = A-J—J-i.--- (9)

v al J (-l)JC]ii2 cose

Из формул (9) видно, чю самоцентрирование poiopa определяется только кон-сгрукциеи ротора именно, положением центра масс (величины е3) и параметрами дисбаланса е/ь е/2, £

Используя свойство | схр (? ibj)| = 1, можно разделиjь п< ре мс иные Yj и и гго-лучить урарнення V¡(X У1Д2) -= О, У2{Х >'ь>2) = 0 дл!, определения величин >j как функций X а затем определить фазы i 'j и установить харакгер с íamionap-ное о движения Однако в обще\. стуча« полу чить рс шение по 'у че 1шы\ уравнений в аналитической форме невозможно

Г5 §§ 1 G, 1 7 рассматривается ротор, центрально укрепленный в одинаковых опорах Тогда = р2 = 1/2, и нелинейные характеристики опор заданы одной функцией / Показано, что при cose = 0 возможно сущее.тр.оваии 1 сичметрич ны\ гиперболоидатьных прецессии, когда 7?i — /?2 = R (нти У^ — Y¿ = У"), те решении, лежали ¡ованпых па бис се к тральной плоскости {У\ = Y?} простраисва {>1, Y?, X} При этом шголесчзо нелинейные резопансов А = 0 вырождается в пару прямых А В = 0 на плоское ги {X, Y}

Д тя двух видов нелинейных характеристик опор — типа Герца и тшта Ду ффин-га построены амплитудно-частогпые характеристики цилинд|)ическои прецессий для динамически вытянутого и динамически сжатого ротора (см рис 1 и 2) Проведено не с ледование устойчивости по линейному приближению во всем диапазоне угловых скоростей

Рис 1 Амплитудно-частотные характерце тики цилиндрическое! прецессии для нелинейных опор тшта Герца

На рис 1 и 2 жирной линией показаны амилшудно-частогные характеристики для динамически вытянутого (а) и динамически сжатою (Ъ) ротора, причем штриховой .инией указаны неустойчивые режимы Тонкой линией показаны границы устойчивости, в!иио 1ающие нелинепные резонансы 4 = 0 В = 0, а также предельные значения У - У,^ в релдше самоцентрирования Для нелинейных опор типа Дуффчш а значения соответствуют критическим угловым скоростям

ротора в линейном случае

нелинейных опор типа Дуффинга

Границы неустойчивости получены из условия обращения в путь свободного члена полинома Гурвица Для неустойчивых у частым' а\ш штудно-часюгных характеристик имеется по крайней мере один корень с положительной вещественной частью Д 1я остальных у частков во зможная степень неустойчивости при действии только линейных сил и моментов четная По теореме Томсона — Тега — Четаева добав юние гироскопических сил может стабили шровать неустойчивость Условие Iироекопичесчоп стабилизации состоит в том, что все корни характеристического полинома относительно рг (полинома четвертой степени) должны бьиь вещественными отрицательными Выполнение эюю условия достаточно ленда ироверяенл численно для конкретного значения частоты вращения при фиксированных параметрах Д ы параметров, указанных па рис 1 и 2, и значений угловой скорости рогора выбранных сл\чайным образом проверка подтвердила что имеет место гироскопическая стабилизация в линейном приближении

В Ь 1 8 изу чается влияние внешнего трелил со стороны опор, окружающей среды 111и С! еппалъных демпферов на вращение полностью неуравновешенною ротора Допускается, чю суммарное действие этих сил можно представить в виде сил пропорпиопа лъных абс олюгной скорое ш шипов Н,^1 = — /7е8; Показано, ч го силы сопротивления не влияюг на параметры самоцентрирования ротора на больших угловых скоростях, которые зависят только от дисбаланса ротора Установлено, что диссииа!иниые силы разрушают симметрию гиперболоидальнон прецессии В

случае нецентрально укрепленного рспора inn для прои зрольных значений фа-ювого сдвига динамическою дисбаинса е во ¡можно ю 1ько численное решение задачи Приведены ре зульлалы численною ткс псрнмспла

Известно, чю для статически неуравновешенного ротора с двумя пешнями свободы укрепленного в нелинейных опорах типа Дуффипга, амилнтудно-часштая характеристика Пересе кае j нелинейный резонанс (скелетную кривую) "юлько при достаточно больших силах сопротш 1ечшя (ем моно;рае}>ию Genta "Vibration of structure and machines practical aspects", 1994) Для роторов с четырьмя степенями свободы, испыгыгаюшнх влияние трения, имеет место апа-лслпчная ситуация Получены оценки для коэффициент внешнею iрения, при котором амплитуды ил» ют конечные значения

Рис 3 Параметры i = 0 8, ch = 2, с = 0 i е = 7г/2

IIa рис 3 ириве-дены амплитудные кривые >i = Yi(A) и >2 ~ Дчя ротора,

центрально укретпенного в одинаковых опорах при различных силах сопротивления Д гя данных параметров критическое значение //* = О 8GG Для сравнения топкой сплошной шипе и показана зависимость Y = > (X) тля с иммегричнои ги-пербо юидальнои прецессии при отсутствии сопротивления /je — О

Вторая глава посвящена изучению стационарных движении с татичех-ки несба-ынсироранного ротора при учете сил внешнего и вну греши ю 1ренил В §§ 2 1 — 2 3 обсуждается модель сил трения, npinwiaa в диссерыции приводятся уравнения движения ротора, система аЛ1сбраичссгих уравнении для определения комплексных амплшул прямой круювои синхронной прецессии 'i определяются па рамечры самоцентрирования ротора

Еще в 20-х юдах нрот юю i с ка Кимбал i обратил внимание на ю что при исследовании устойчивости вращающихся валов сле\дует различать две 1руппы сил ¡рения К первой группе принадлежат силы, во шикающие при контакте i раща-ющеюся вала с неподвижными частями, а 1акже силы трения об окружающую

среду если ее можно принять за неподвижную, или силы сопротивления со стороны специальных демпферов Эти сизы потучили название сит внешнего трения Ко в юрой группе относятся силы трения, возникающие во вращающихся частях вала и получившие название внутреннего трения Подробное описание природы сил внутреннею трения для вращающихся валов дано В В Болотиным Для гибких вращающихся валов эю, в первую очередь, силы Iрения вследствие гистерезиса в материале вала Похожие силы обнаруживаются в случае роторов, несущих ферромагнитный сердечник, а также роторов, содержащих жидкость со свободной ловерхнопыо Для жесткою ротора внутреннее тренне обусловлено наличием трущихся частей в ею конструкции, например, это может быть сила трения между валом и диском, плотно на нею насаженным В диссертации принимается модель линейно-вязкою внешнего и внутреннего трения Силы внешнего трения пропорциональны абсолютной скорости шипов ротора, а силы внутреннего трения пропорциональны относительной скорости шипов В безразмерном виде эти силы запишутся следующим образом Н^' — —/'еЧл = —— ?

С учетом сил трения и в силу предположении о дисбалансе ротора (с ф 0, <5 = 0) уравнения движения можно записать в следующем виде

У] ( Ъ + О'ь + /<0 Ь - ' /'.п ь) + Л(1^1) А- ) = V2 ехр(г Пт),

; = г 2 x \ 3\/

Эта система допускает точное решение (1), а систсма алгебраических уравнении относительно комплексных амплитуд ье зависит ог коэффициента внутреннею трения и имеет вид

X /1еп) Я, ехр(, = л, П2

2 х 1 '

(10)

Xí-1)

(П)

j = l 2

Предельные знагения радиусов орбит шипов и фаз, равны

R¡ ^ = R¿oo = <h tan Vioo =■ tan v''2=c = 0 (12)

Отсюда с гедуег, что предельное вращение, которое ротор совершает в режиме самоцентрирования, соответствует цилиндрической прецессии

В § 2 3 изучаются цилиндрические прецессии в подшипниках с нелинейной характеристикой Герца Рассматривается рогор укрепленный в одинаковых опорах, дог да безразмерные реакции опор равны /(ч3) = Uj!1^2^ Центр масс находится посередине между опорами, те <=i = ег = 1/2 В качестве характерного размера выберем эксцентриситет h = с, тогда di = 1 Удобно сделать замену Y} =

Разрешив систему (11) относительно ехр(г!/'_,), можно получить уравнение | е(' (1 — ' 2))| — 1, которое задает поре>рхность юкализацни ремпечий соо1-вече твукнцих состояниям 01П0СЫС льною равновесия В развернутом виде это уравнение принимает вид

Поверхность (13) представляет собой плоскость У] = У2 и конус с вершиной в начале координат (/;, = 0) ити чашу двухполое гною гиперболоида (//г ^ 0), который асимптотически ирибтижас юя к конусу при /¡е —+ 0 Сечение тперболоида птоскостыо {У, X}, 1де 1 — У^ = }2 есть ппк'рбола

При /1Р = 0 шпербота вырождается в пару своих асимптот, которые1 пре/с тавляют сечение конуса нтогкос гыо {У X}

Среди решении (1) можно выделить решения ■>] = s2, соо 1ве 1С тву ющпс цилиндрической прецсссни, и решения •>! ф ч2, Первые лока шзоьаны на плоскости >! = >2 а решения Ч! ^ ч2, локализованы на поверхности гиперболоида (13)

Рассмотрим цилиндрические прецессии ч1 — >,2 при этом втрое уравнение в (10) удов тетгоряе-тся тождественно Обозначим 5л = У2 — > , ¡/[ = г'2 = ¡'' Тогда ве- шчипы Л, = Л2 = Л В1 = В2 = В и А = } - А/2 В - (к У)/2 - А

Множество нелинейных резопаисов Д = 0 вырождае 1ся в птру пересекающихся прямых А В = 0 Показано что вблизи не швейных речонаисоь ци шндрпче екая прецессия теряет устоичигость Пз условия | ехр (/ — 1 получим аналитическое выражечше амп птту дно-частотной характернс1 ик

У2 у/Л2 + /'2" - А'/2 (15)

Для исстедорапия устойчивости ты тиндричелкои прецессии применяется с тан-дартнып лине пныи ахали з Вэюмс О чае систему линейною прпближеття можно записать в виде двух не зависимых подсистем, поэтому харак и рис гиче скип полином восьмого порядка может быть предел аи !еп в виде проиш\дешш двух полиномов четвертого порядка исследование которых удалось пропусти г аналитическом виде В работе нежа запо, что бет у чет I внутреннего трем чтя условия критерия Рауса - Гурвица нарушаются юн.ко в результате перехода через ну 1евые корни характерце тичсского опреде1 штетя Ус ло.зия пе ре хода че ре з ну 1евые корни имеют вид

гц = 1 (АС^ /¿X) = 0, Ь, = 12{В I) + \к2112Х) =- 0, (16)

4

где о 1 Ъ1 — свободные1 ч тепы характеристических полиноме®, а величины С = 1 3

-(ЗУ — г) V — -у к V — X ^ловия (10) пе зависят от коэффициента внутреннего тречшя /7,, как и ЧЧХ (15) Пз этих условчи ридно, что ноустоичнросгь

возникает вблизи нелинейных рсзоиаисов /1 = 0 В = 0 Каждое из условии (16) на плоскости {А', У} предссавляег собой шперболу, а каждая резонансная линия - одна из асимптот лих гипербол Влорое условие (16) перехода через ну 1евой корень и условие (14) ветвления интегрального множества совпадают

При наличии внутреннего трения в закритической области возникает неустойчивость, связанная с переходом параметра X через значение, при котором характеристический полином имеет чисто мнимые корпи Для выбранных значений параметров граница перехода через чисто мнимые корни при //, ^ 0 имеег вид

ААРг) = /|?У2 + 40+ Х)У - 16//?(/,? + А') X = 0, //, = +(17)

Эта кривая — часть ветви гиперболы которая с большой точностью аппроксимируется своей асимптотой В данном случае асимптота имеет вид У = 0 117 X

Рис 4 Ус гойчивые и неустойчивые режимы цилиндрической прецессии

Рис 5 Бифуркации цилиндрической прецессии (Хщ < А' = 6 0 < Хд')

На рис 4 представлена амплитудно-частотная характеристика для следующих значений параметров Л = 0 7, /, — 3 2, //е = 0 09, /(, = 0 14, выделены устойчивые (сплошная жирная линия) и неустойчивые (пунктирная линия) режимы, а также тонкой сплошной линией показаны о4 = 0 Л4 = 0, ДДРт) = 0

Прямой синхронной прецессии ротора соответствует состояние равновесия в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ротора, которое такл^е зависит от уIловой скорости Возникает задача изучения однопарамегрической бифуркации состояния относительно! о равновесия Бифуркации в однопараметриче-ской задаче могут иметь "жесткий" и "мягкий" характер В первом случае потеря устойчивости происходит за счет слияния устойчивого и неустойчивого состояний равновесия Такая бифуркация носит "жесткий" характер, и действительно, в точках, !де «4 = 0 (точки II, IV на рис 1) имеет место классический "скачок" ам-плилуды При этом тип вращения - цилиндрическая прецессия - сохраняется Во втором случае "мягкой" бифуркации потеря устойчивости сопровождается появлением двух новых устойчивых состояний равновесия, локализованных на поверхности Iипербопонда (13) Это точки /, III на рис 4, где Ь4 = 0 Для конкретной

частоты X параметры новых состояний равновесия находятся как точки пересечения кривой |ехр(г(^1 - = 1 и кривой |ехр(/^!)| = 1 (или |ехр(г^'2)| = 1) На рис 5 показано чисто возможных режимов прецессионного движения как цилиндрического, гак и гиперболоидачыюго типов для частты, соответствующей значению А' се {Х[Г!,Хц ) Жирной линией показана кривая [ехр(? --?/2))( = 1, тонкой — |ехр(?г'^)| = 1 Усгойчирые состояния равновесия отмечены маком 5, неустойчивые — {/£>

При увеличении параметра X и переходе через значение, при котором характеристический почином имеет чисто мнимые корни, имеет место бифуркация Андронова - Хоифа, которая также может "жесткого" и "мягкого" типа Непосредственное интегрирование системы (10) показывает, что для динамически вытянутого розора имеет место "мягкое" возбуждение автоколебании Граница возбуждения автоколебании может быть найдена как решение системы уравнении

YWMX,Y) + fijX = А/2 ЛЛЛ) = 0

(18)

Результаты численного решения системы (18) показывают что граница Х\ практически зависит от отношения \ = и с уменьшением \ значение "Су —> ос. Отсюда можно сделать вывод, что даже небольшое увеличение внешнего трения значительно повышает порот неустойчивости

Рис G Предельный цикл при X = 8 9

pl^/vw^w-———

Рис 7 Разность фаз

Было проведено численное интегрирование системы (10) для до< тагоччо широкого диапазона угловых скоростей, и для всех значении X Ху были построены предельные циклы Андропова - Хопфа (рис 6), параметризующие цилиндрическую прецессию, так как разность фаз стремится к нулю (рис 7) Было обнаружено что средняя амплитуда прецессии розрастает с ростом X

Был проведен спектральный анализ и с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье построен частотный спектр, который показан на рис 8 Пики наблютакмея на 38, 75,113 150 и 187 гармониках Время наблюдения равнялось 100 оборотам ротора в ус тановиршемся режиме, число точек отсчета равнялось 32 за время одного оборота Кроме того, с использованием алтршма Бенсттипа было проведено приб тиженное вычисление спекгоа лячуновских показателей, которое

показано на риг. 15 последней точке вычислений спектр принимает следующие значении:

Л - (0.0016, -0.0012 (1.01*29. -0.052?. -0.0847, — И.08Г>2. -0.4288, -0,1392}.

Можно сказать, что Цн натура спек1'ра имеет вид (11. 1!, —, —. —. —. —. — ). характерный для :^вочипернпдпческ' чо ат . р^ кгора

„, 1_ 1_ 1,__„

л 1и № |20 1Г|<1

Рис. 8. Частотный спектр при Л - 8.0.

Рис. Я. Прнблнженне спектра 301 ¡у нош: к] IX показателен.

В процессе чиелешюго исследования вращения ротора и закри гической области обнаружилось, что автоколебания цилиндрического типа проявили чувствительность к изменению начальны?; данных н узком диапазоне угловых скоростей пС);ы не г] мимщм вс^бужден^ ^гоколебаннй. . 1 ^ ч 1и.п'рлннь:к параметров этот диапазон раснрост роняется от V - § 051 до .V = 9.051. Кечи начальное положение оси рото])а выбрать парад, [е,ii.iu.iii линии подшипников. г. е. Й[(0) — /щ0), (0) = ('-¿(Ч) и соответствующие производные также равны, го фазовая траектория будет предельным циклом Лч/цютюва Хойфа (рис. (1).

«

* Ж

ш

Л, -гя,

0

1

Рис. 10. Отображение Пуанкаре па пл. Рис. 11, Фазовая траектория за время, (Л^ Ил} (г - П:тос1(2л"/П) ). равное 700 обо1Ючам ротора.

Па рис. 10 и 11 представлен ы |ю зультапт численного эксперимента для тех же значений параметрит и угловой екоросчи. но при зто.ч начальные условия 61.1,1л

выбраны случайным образом и оказались такими /¿1(0) = 103 Й2(0) = 2 71 ^(0) = 128, значения остальных переменных равны ну по Продельный цикл теряе1 свою устойчивость Вращение ротора становится хаотическим Типичная реализация процесса при этом выглядит следующим образом После нескольких начальных оборотов, близких к предельному циклу Хопфа, пропс ходит удвоение периода и появляется фа юная 1раекюрня с двумя пет шын, охватывающими предельный цикл Хопфа изнутри и снаружи Затем вращение соскальзывает в хаос Однако через некоторое время происходил синхронизация, которая просматривается на рис 10, и усгапав шваетея новый пре (ольный никл с двойной петлей При этом происходит изменение типа прецесснонно!о движения

Ьыл исследован нестационарный переход через резонансную область при линейном изменении уг говой скорое ги П = П0 + и т, <р[т) = Пи т + ит"1 ¡2 С учетом сил внешнею и внутреннею сопротивления безра зу!ерпые уравнения движения ротора будут иметь вид

22 (-1У + + //,) - - 7П(А/с^/'< + fA)sJ + |1/2?;) = 0

(19)

а) //, = 0

Ь) /с, /0

с) I', Ф 0

Рис 12 Нестационарный переход через резоианснмо обласль

11а рис 12 показаны результаты численною интегрирования системы (19) при различных значениях коэффициента внутреннего трения и различных начальных данных Прпгыиле обозиачс пня 1 --АЧХ цнлнндрпчоскои прецессии 2 — нестационарные колебания, 3 — крггвая = 0 На рис 12, а преде гав тон случай отсутствия внутреннею трения котда режимы самоцентрирования ротора являются асимптотически устойчивыми Па рис 12, Ь представлен сл\ чан, которому в стационарном движении соответствует предельный цикл, и, наконец, на рис 12,с

представлен случай, которому в стационарном движении соответствуют хаотические колебании Видна существенная рочь внутреннего трения в возникновении в закритическои области интенсивных колебании нарастающей амплитуды

В § 2 1 изучаются цилиндрические прсцессии в подшипниках с нелинейной характеристикой Дуффиига Были получены результаты, аналогичные предыдущим Кроме того, было проведено приближенное определение предельного цикла по методу, предложенному Тондлом для рогора с двумя степенями свободы, совершающему плоско-параллельное движение Автоколебания ищутся в виде

sJ = г, ехр(? (ит-1 $)) + Я} ехр(? (Пг + р,)), (20)

где и,', Г], Я}, - неизвестные величины Представление автоколебаний в та-

ком виде позволяет выдс тить в решении с неизвестным периодом составляющую, имеющую период внешней возмущающей силы После подстановки (20) в (10) и усреднения по периоду 27г/(Г2 — и) полу чим ирибчиженные уравнения относительно неизвестных Я}, <р3, и>, которые не будут зависеть от ?? Полученные уравнения имеют решения г1 = ?2 = г, Яз = Я2 = Я, = = ¥ Для определения неизвестных ш, г, Я, <р получим следующие приближенные уравнения

/13 и — ¡¡1 П = 0,

с(72 + 2/?2) + 1 - и//2 = 0,

(21)

Я (2с (2 г2 + Я2) 2 — Г22) ьга((/;) + 2 ¡1еЯС1 ссл((р) = 0

Я (2 с (2 г2 4 Я2) -4- 2 - П2) ео^(<р) -2 //,ДП чт(^) = П2

Из первого уравнения в (21) находим значение ш, что позволит приближенно определить период автоколебаний Та1 через время одного оборота ротора Тг

Ш = !!±П = V» = /'= + /'■ (22)

Т-1>1

зпо

N

Рис 13 Предельный цикл Андронова _ , , „

,, . - Рис 14 1 тиолиженное построение

— Хопсра, точное и приближенное

спекзра чянунорских показате тси

ре шение

На рис 13 для значения X = 82 и = 0 21, ц, = 0 28 жирной сплошной

линией показан предельный цикл на плоекослп {Rit Ri} фазового про< грапслва {/ii, Hi, Rz, /?2,yi — it 2 V'i — ^'2} Этот график соответствует 100 оборотам ротора в уе гановпвшемся режиме (от 100 до 500 оборотов) Периодическое движение, параметризуемое этим предельным циклом, является цилиндрической прецессией так как чрп атом pi — »,'2 = 0 Штриховой линией показан предельный цнкл, полученный приб шженпым способом Наблюдается достаточно хорошее совпадение максимальных значений амплитуд, чтет наиболее важно Частота и. и период автоколебании равны из = 1 03, Таа = о 12 Пшрешносль в определении периода авюколебапий составляет примерно 2 0% С ростом угловой скорости точность приближения надае1

Уравнения (21) позволяют получить оценк\ для границы возбуждения автоколебаний Подставим полученное значение из во второе уравнение системы (21), введем величину \ = /(,//'е и ноч\чим выражение для П

П = (* + х) ^V1 + f,(f2 + 2/i2) (23)

Если в пос тедпем выражении справа устремить i к нулю, то получим приб шжен-ное выражение для границы возбуждения автоколебаний

П = + V2 V\ + 2 cW (24)

При с == 0, л е в случае линейпо-упрушх опор, безразмерная критическая уьловая скорость равна изст = у/2, и формула (23) совпадает с хоропго известным результатом Смита (1933 г) д та модели ротора с двумя степенями свободы

На рис 14 представлены результаты вычисления спектра ляпуновекпч показателей полу ченною преде илгаго цикла на основе алюрптма Ьенеттина По оси абсцисс откладывается число итераций В качехтве начальной точки взяты значения переменных в момент времени, равный 200 оборотам ротора, шаг нитрирования равнялся 10 оборотам Спекер в последней точке вычислений равен

Л = {-0 0003, -0 0121, -0 0373, -0 0735, -0 1335, -0 133G -0 1496, -0 7758}

Как видно, сигнатура спектра имеет вид (0 —, —, —, —, —, — — ), характерный для преде плюго цикла

§ 2 5 посвящен изучению влияния зазора в подшипниках крепления на цилиндрические прецессии неуравновешенного ротора Была пришиа модель взаимодействия ротора и опоры, предложенная в работах М Паскаль (2001 г) Пусть в подшипниках крепления имеется небольшой зазор (радиальный люфт) ро В подшипнике е зазором ротор может совершать вращение как находясь в контакте с подшипником, 1ак и не имея такого котакта поэтому сила реакции опоры предполагается кусочно-непрерывной и задается в виде

р__рА р _ J F](\Sj\- Д>), если \Sj \ > Ро, . ,

J~ 1 |Sj!' J~\0, если ^

1де 5, — смещение шипа ол равновесною положения

Как и в предыдущих случаях, учитываются ря ¡ко- линейные силы внешнего и внутреннего сонрогивлеггия Полученная система дифференциальных уравнений вращения роте)ра допускает точное релгк ние, соответствучогцее прямой круговой синхронной прецессии Для опор с нелинейными свойствами, задаваемыми формулой Герца, были построены амплитудно-частотные харакгерпстггки цилиндрической прецессии и исследована устойчивость во всем диапазоне час ют Получено условие перехода с движения бе ! контакта в опоре на движение с контакюм гг определено шачелше углорои скорости Х(г, гг]>и котором происходит переход с одной е}>азы движения на другую ^тановле ггы также парамс 1ры самоценгри-]ювання ротора Влияние зазора самым сулцественным образом сказываемся при малых уг говых скоростях ротора Гак с с иг зазор мал, го диапазон частот в котором возможно движение без контакта, также мал Амплитуды прецессии ротора при движении с контактом значительно бо гьгне, хотя максима льнос згсаче ние амплитуды несколько меньше, че м при вращении ротора в подшипнике без зазора "Срыв" амплитуды происходит при меньших узловых скоростях Эта же особенное ть отмечена для гибкого рошра с двумя степенями свободы в работе Паскаль Третья глава посвящена исследованию стационарных движении динамически несбалансированного ротора Известно, что динамическая (гг ш моментная) неуравновешенность ротора в отличие от статической не может быть обнаружена в положении равновесия Динамическая балансировка роторов может бьпь осу-тце-ствлелга только для опре де генной фиксированной угловой скорости, как пра-вгг го, рабочелг скорости ротора При разгогге до рабочего режима и прохождении чер' з ре зоггаггеггую об гасть ротор веде г себя как несбалансированный В силу этого нес тедоваиие динамики и устойчивости момепгно неуравновешенного ротора во всем диапазоне угловых скоростей нмест самостоятельное теоретическое и практическое значение Изучение прецессионного движения динамически неуравновешенного ролора проводится тго схеме, принят он ьо второй главе Псе лсдорано вращение ротора как в оггорах с нелинейной характеристикой гиты Герца так гг гз опорах с нелинейной характеристикой типа Дуффиггга

Рассматривается жестки» динамически неуравновешенный ротор <5^0 Статический дисбитапс с = 0, угол фазорого сдвига динамического дисбаланса можно положить равным нулю £ = 0 В качестве характерного линеиного размера в данном случае удобно выбрать реличитгу Ь8 те Ъ — Ь8 Тогда безразмерные параметры дисбаланса буду г <11 = 0, с/2 = 1 Среди прямых синхронных прецессии удалось выделить симметричные конические когда центр масс неподвижен, а радиусы орбит шипов равны Д гя этих движении были построены амплитудно-частотные характер!!! шктг, в пшенном приближении исследована устойчивость и изучены различные сценарии ио!ери устойчивости как вблизи нелинейных рс зо-напсов так гг в закритичсской областгг

Следует отметить особенное ти потери устоичивос ти при больших угловых скоростях ротора Возникающие автоколебания представляют собой сложение высо-

кочастогных, близких к гармоническим, Колебаний центра масс с малой амплитудой около некоторого среднего значения н конических кг.. й£($а11относительно центра масс с частотой приблизительна I' два раза меньшей. Численный эксперимент показал, что с увеличением угловой скорости ротора частота колебаний цеятра масс: растет, а также1 значительно возрастает среднее значение смещения центра масс и уменьшаются амплитуда колебаний центра масс, коническая раскачка оси [хутора относительно центра масс и разность фаз, т.е. по характеру движения автоколебания приближаются к Цилиндрической прецессии, причем угловая скорость этой прецессии возрастает. Хаотизация предельных циклов в случае опор с нелинейной характеристикой типа Герца не была обнаружена, но при изменении начальных значений для фазовых сдвигов ф\(П) и проявилось явление, которое Арнольд назвал "затягиванием неустойчивости". Так при с'ЦО) — тръф) = тг, ЯЦО) = /УО) и остальных нулевых значениях после первых нескольких оборотов ротора устанавливается движение, соответствующее неустойчивому состоянию относительного равновесия, и только по истечении йекоторого Промежутка времени происходит потеря устойчивости и появляется предельный цикл.

/г, л

ГЗ случае опор с нелинейной характеристике® типа Дуффинги явление "затягиванием неустойчивости " также? наблюдалось. Кроме того, был обнаружен диапазон угловых скоростей, где предельный цикл Андронова Хоифа терял устойчивость и иояилилиеъ квазипериодические колебания, близкие к хаотическим.

li четвертой главе изучаются стационарные движения неуравновешенного ротора, который укреплен на гибком валу, установленном в упругие опоры. Приводится описание модели ротора и вывод уравнений движения. Перемещение ротора можно рассматривать в виде суммы его перемещения как твердого тела и смещения за счет упругости вала. Прямые синхронные прецессии классифицируются по вцду поверхности, заметаемой в пространстве ««деформированной осыо вращения ротора. Вез учета сил сопротивления исследуются гинерболоидальные прецессии полностью неуравновешенного ротора, установленного в линейно упругих опорах. Получены параметры самоцентрирования ¡юторя и найдены критические частоты. Для конкретных примеров проведено вычисление критических частот и показа-

|) зон Г,. |(югг «(XI ту

Рис: 15. "Затягивание неустойчивости".

Рис. 1(>. Предельный цикл.

но влияние упругости опор на н\ значения Проведено сравнение с известными результатами для ротора, укрепленною в жестких опорах Рассмотрены также гшгербо юидальные прецессии в не пшенных упругих подшипниках с нелинейностью тина Герца Для симметричной прецессии построены амплитудно-час тогные характсрисгнки, наиделгы параметры самоцентрирования гг исследована устойчивость по линейному приближению как для динамически вытянутого, так и д ы динамически сжатого ротора

Все обозначения и предположе ния, принятые для жесткого ротора сохраняют свои смысл и l слу чае у пру roi о вата По ложе пне ротора можно охаракте ри зоватъ с помощью 8 параметров (г, у) — де карловы координаты точки Q (точки крен тении ротора к валу ), (а, /3) - уг ты определяющие направление касательной в точке Q к изогнутой оси вала, - декартовы координаты точки Qj (j = 1,2)

Задача рассматривается г геоме грически-линешгои ггос гановке, поэтому кинетическая энергия ротора с точностью до линейных членов относите льно параметров дисба ганса е, <5 и квадратичных члелгов относите льно малых величин п, /?, и их производных ev,/? может быть записала в вице (см монографию Genta "Vibration of structure and machines practical aspects", 1999)

T = ili (i2-) y2 -J- e.j(i/eos(^i) - i sin(uf))) + - 2u>'1a) f

+ i J, (ev2 -r /i2) -t [Jp - Jt) Sш (n sm(w/ - e) - (i cos(uf-t)j

(26)

Вал предпо гагастся линейно-упруг им, гак что потенциальная энергия изогнутого вала может быть записана в ытде

П. = 1<п (0 ~ ni)2 + (V - Vo)2) - ((п - с,,,)2 + (в - во?) + ( -К-Т2 ((г - Гц)(о - О0) f (У - Уо)(Р - А))

Здесь введе hi>i обозггачения О = {q,„}, (l,m = 1,2) — матрица жесткости у пру roi о вала Величины (r0, i/o, ci0, /?(|) характеризуют перемещение ротора как твердого тета и могут быль вычислены как функции декартовых координат т,,у} точек Q,

'о = <2"гх -J- Pi т2, i/o = е2 + c'i уъ

оо = (12- 'Г)Д Д, = (%-г/г)/£ 1

Пусть силы внешнего трения задаются дисситтативнои функцией Ф1, а силы внутреннего трения — дпеогшатшзнои е]»у нкциеп Ф2 (елг , напрзгме р, Гробов В Л "Асимптотические методы расчета изгибных колебаний валов турбомапгин", 1961)

<S>1 = ±p,(S2 + L*')1), Ф2 = -г^-,12) (29)

Система у равнении т1аграпжа II-го рода относительно скалярных пере'ме гшых

включает четыре дифференциальных уравнения и четыре алгебраических уравнения, которые в комплексной форме могут быть записаны в виде

Л/Я + (/~/ь+ /%)£> - /^,5 + С11(5-50) + Г12(7 -->«) = Л/е^2схр(?^),

- ? + (/-/«. + Д,)Л27 - + оДЯ - 50) + Г22(7 - 7о) = (30)

= (Л - Jp)Sи;2 с\р(?(и t - г)),

(гпс2 - ^) (5 - 50) + (с12с2 - (7 - Ой) = ¿К^т!) М,

(оип + (5 - 5и) + (с12Р1 + (7 - 7о) = ВД,!) А

(31)

Алгебраические уравнения (31) отражают баланс упругих сил со стропы изо-шуюго вала п восстанавливающих упругих сил со стороны деформированных опор Выбрав переменные (5], 6'2) в качестве обобщенных координат, можно при мепнгь методы, развитые д га абсо потно жесткою ротора с четырьмя степенями свободы укрепленного в упручих нелинейных опорах Уравнения (31) являются линейными относите тьио (5, 7), следовательно возможно найти точное решение

5 = Я, + о2(|32!) 7 = -Ьт^М) ^ + ЬД|Э2|)

д Ь - Л+, /ММ (32)

= <1т + (-!)•'г12о ^ = С*2е-, Ь + (-1)3

Г;те С* = {с*,Л — матрица податливости Компоненты этой матрицы г(* зависят от стюсоба креп 1енил вала Для разчнчных видов опор эш функции можно найти во многих монографиях

Подстав тял решетите (32) в уравнения (30) получим дифференциальные уравнения относите тыю неизвестных 52 Пос те перехода к безразмерному времени и безразмерным переменным эти уравнения примут вид

£ ЫгЫ\ь\)ь) + 1ЛЫ)г>] =г/1П2ехр(гПт),

нЛ 1

Е (зг(ММЬ) + * /ЛЫ) 77т) = /г/2П2ехр(г (Пг ~ е)),

Г 12 х \ 1\/

(33)

]

где введены операторы

= ¿(*) + (/V + -

Зт(*) = ¿(*) + (-'+ * '(/'■= + <''))|:(*) - '".("О

и использованы обо зна тения

= XijLAl j = 1,2

Уравнения (33) допускают точное4 решение вида (4)

В § 1 2 из\тгато1ся гнпе рболоилальные ирг ж гтип неуравновешенного ректора в vnpyiих линейных опорах без учета сил сопротивления Резонансное множество Д = 0 в случае линейных упругих опор есть уравнение для определения критических угловых скоростей Если ротор представляе г собой динамически вытянутое тело (типа "ситара"), то уравнение Д = О имеет два вещественных положительных корня относительно П2, те существуют две кршические угловые скорости Если же ротор представляет динамически сжатое тело (тина "диск"), то суще ству-ет только одна критическая скорость Это известный из литературы и практики факт (см монот рафии Диметпбер1а Гробова GeTita) Было проведены расчеты критических угловых скоростей с учетом упругости опор Отмечено существенное снижение второй критической скорости при консольном закреплении ротора

В § 1 3 изучаются симметричные гиперботоидальные прецессии полностью неуравновешенного ротора в упрут их нелинейных опорах с нелинейной харлкте-ристикой тина Герца Показано, что в случае динамически вытянутою ротора множество не тинейных резонансов вырождается в А В = 0 На плоскости {A, Y} каждая кривая

представляет ветвь гиперболы с вертикальной асимптотой X = 1/ст для А — О и X = А/(4ет) для В = 0 Амплитудно-частотная характеристика симметричной гиперболоидальной прецессии в этом случае имеет вид

а предельное значение У'^ в режиме самоцентрирования ротора при бесконечно больших угловых с коростях равно положительному корню кубического уравнения

которое всегда имеет ровно один положительный корень Для динамически сжатого ротора, как и в случае жесткого ротора, существует только один нелинейный резонанс А = 0 Амплитудно-частотные характеристики симмегричпои пшербо-лопдальнои прецессии изображены на рис 17, 18

A = Y- a(Y)X = 0 B = jY- 2a(Y),X = О, „(Y) = I + гтУ, <r = (30)

(37)

4 er + 2 - VÄTrf2 = 0,

(38)

О 1 2 3 1 \

0 12 1 IX

Рис 17 к = 2 8, (I = 2 0, а = О 1 (рогор динамически вытяну!)

Рис 18 I, = -0 8, а = 2 0, а 0 1 (ротор динамически сжаг)

По линейному приближению определены неустойчивые режимы симметричной шперболоидалыгой прецессии, которые отмечены нириховой линией

В пятой главе проведено исследование цилиндрических и конических прецессий ротора, имеющего только один тип неуравновешенности и усыновленного в нелинейных подшипниках Построено множество нелинейных резонансов и ампли 1\дно-частотпые характеристики Получено уравнение для определения параметров самоцепфирования ротора Во всем диапазоне угловых скоростей исследована устойчивость по линейному приближению Обнаружены бифуркации с сохранением типа прецессии и с появлением гиперболоидальпых прецессий Численно найдена граница возбуждения автоколебаний, показано, чло возможна ха-отпзацня предельных циклов и переходы типа "хаос — хаос", а также неограниченный рост амплитуды

В § 5 1 исследуются ци шпдричсские прецессии статически неуравновешенного ротора, причем рассматриваются как нелинейные характеристики опор тина Герца, 1ак и не шлейные характеристики типа Дуффинга

Рис 19 Устойчивые и неусюйчпвые Рис 20 Предельный никл для шипа и режимы цилиндрической прецессии дли ючки крепления ротора к валу

13 обоих случаях получены аналитические выражения для амплитудно- и фазово-часлотпых характеристик На рис 19 показана АЧХ цилиндрической пре-

п

Я]

цессии для у пру nix опор с нелинейной характеристикой Герца. Также получены уравнения для определения параметром самоцентрирования при больших угловых скоростях вращении, С применением стандартного мегода линейного анализа устойчивости покачано, что неустойчивое'!!, имеет место вблизи нелинейных резонащов и связана с прохождением параметра частоты через 'значение, при котором характерастичнекое уравнение имеет нулевой кореш, При чтом потеря устойчивости может быть "жесткой" и "мягкой". В первом случае тип прецессии сохраняется, а но втором потеря устой чн ног г и цилиндрической п]>ецессии сопровождается появлением двух устойчивых прецессий ги пертоло и дал ы тго тнпа. Эти явления мало отличаются от соответствующих сценариев потери ус тойчивости для жесткого ротора. На рис. 19 асимптотически устойчивые участки АЧХ отмечены сплошной линией, а неустойчивые штриховой.

В чнкрити ческой области потерн устойчивости обусловлена Д№таб ил и чиру пущим влиянием внутреннего т рения и связана с прохождением параметра част оты через значение, при кото]>ом характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. При чт'ом определитель Гурийца третьего порядка обращается в ноль (кривая Д-;(Л/) - 0 на рис, 39), Числен нос ллтегрировяиле системы дифференциальных уравнений (33) для динамически вытянутого ротора при — 0 показало, что имеет место "мягкое" возбуждение автоколебании и появляется предельный цикл Андронова Хопфа. Па рис. 20 подставлены предельные циклы для конца оси вала (жирная липни) и для точки крепления ротора к валу (тонкая лииин).

Как показал численный эксперимент, устойчивые автоколебания, соответствующие гЕилиндряческой прецессии, (ушествуют для достаточно больших значений частоты. Верхняя граница ч. 1 >' автоколебаний н< была обнаружена. При "числен ном интегрировании всегда получается предельный никл, параметр и зуюн{ий цилиндрическую прецессию, если начальные условия заданы симметричными (на-П]>нмер, /?| = ¡{-2, а oei-адьные величины нулевые) или близкими к симметричным. Однако, в узком интервале частот вблизи границы возбуждения автоколебаний - Ü при изменении начальных .тайных автоколебания теряют свою устойчивость, может происходить хаотизацня предельных циклон.

Рнс. 22. Зависимость /?[ = Л,(г) за время, рапное 700 оборотам ротора.

Рис. 21. Отображение Пуанкаре на

Л4}(т = 0[тос1(2тг/П)|)

с) от 350 до 150 «бортов

с1) от 470 до 510 ибо| н]'И)н

При X = 0.0 и начальных данных Я| = 0.75. Л-> = 3.75 (остальные равны нулю) на интервале времени, соответствующем 700 оборотам ротора, наблюдается Хаотическое вращение. Отображений 11уанкаре на сечении щестиыерного фазоиот пространства {Ч\. Н\. Н^. Нч-^Р) ~ Ф?} плоскостью [II]. И>} подтверждает

наличие хаоса (рис. 21). На рис. 22 показана зависимость Я| — НДт) в течение всего промежутка интегрирования, равного 700 оборотам ротора. Ясно выделяются четыре этапа движения. Па рис. 23 показаны фазовые траектории на плоскости для каждого из этапов. Зависимость И> = Я-Дг) и фазовые траектории дня второго шипа имеют точно такой же вид. Наблюдаются перехода гйпа "хаос хаи:".

а) от 30 до 130 оборотов 1>) от 170 до 270 оборотов

Рис. 23 Фазовые траекторий на плоскости {. /т [}

Былй проведено вычисление спектра ляпу невских показателей полученного странного аттрактора. Результаты вычислении при веден щ на рис, 24, где по оси абсцисс откладывается число оборотов ротора, И качестве начальном точки взяты значения переменных I момент Бремени. равны|"| 100 оборо!ам ро'л^ра. I!интегрирования равнялся 15 оборотам, число итераций равно 300, Спектр в последней точке вычислений равен:

А = {0,003ч 0.000, -0.000. -0.028, -0.047, -0,048, -0.072. -0.072}.

■9.08 Jf

Рис; 21, Приближенное построение спектра ляпуновских показателей странного аттрактора.

Сигнатура спектра имеет вид ( 1 , Í.I, 0, , . , , ), характерный для хаотического аттрактора.

Потеря устойчивости цилиндрической прецессии в «критической области при нелинейной характеристике опор типа Дуффинга имеет спои особенности, Í 1ри выбранных Для численного исследования параметрах ротора зсаотизадия предельных циклов не была обнаружена, по. начиная с некоторой частоты, отмечен неограниченный рост амплитуды автоколебании

В § ,5.2 изучаются конические прецессии динамически неуравновешенного ротора, укрепленного и упругих опорах с нелинейностью типа Герца. Применяется схема исследования, разработанная дли жесткого ротора. Отметим оссбенностя; связанные С потерей устойчивости чрп больших угловых скоростях, которая сопровождается отделением предельного цикла.

fi

Рис. 25.

Рис. 2(i.

Бели начальные данные выбрать таким образом, что начальное положение оси вращения соответствует образующей конуса, то после короткого переходного периода устанавливаются автоколебания конического типа, по через некоторый продолжительный промежуток времени автоколебания теряют устойчивость и происходит резкий рост амплитуды (см, рис. 25), 1!рн этом движение ст ремится к цилиндрическому вращению, так как разност ь фаз 1:М стремится к нулю. Если же начальные услония выбрать произвольными, то устанавливаются автоколебания со значительным средним значением амплитуды, причем переход в течение

длительного времени ноеиг хаотический характер (см рис 26)

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации В приложении приводится краткий исторический обзор, в котором содержатся сведения о первых работах и первых математических моделях в динамике роторов, а также показан вклад русских ученых в развитие теории быстровраща-ющихся валов

Список работ по теме диссертации

[1] Пасынкова II А Гиперболоидальная прецессия ротора в не чинен пых упру i их опорах // Вести С -Петербург yn-та Сер 1 Вып 4 — 1997 - С 88-9')

[2j Пасынкова И А Прецессии жес гкого неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах // Проблемы и перспект ивьг прецизионной механики и управления в машиностроении Материалы международной конференции — Саратов Изд-во Саратовского ун-та, 1997 — С 83-85

[3] Пасынкова II А Устойчивость конической прецессии жесткого неуравновешенного ротора // Вести С -Петербург ун-та Сер 1 Вып 1 — 1998 — С 82-8G

[1] Пасынкова II А Влияние зазора в подшипниках крепления на конические прецессии неуравновешенного рогора // Вести С-Петербург ун-та Сер 1 Вып 1 - 2005 - С 103-110

[о] Пасынкова И А Потеря устойчивости конических прецессий неуравновешенного рогора в квазилинейных упругих опорах // Вести С -Петербург ун-та Сер 1 Вып 2 - 2005 - С 113-121

[G] Пасынкова II А Прецессионное движение рогора в нелинейных подшипниках с радиальным зазором // Международная конференция "Четвертые Оку невские чтения" Симпозиум "Пуанкаре и проблеушг нелинейной механики" 22 25 июня 2001г , Санкт-Петербург Материалы докладов — Т I Теоретическая и прикладная механика — СПб Балт гос техн ун-т, 2005 — С 122-130

[7] Пасынкова И А Прецессионное движение рогора в нетннейных подшипниках с радиальным зазором // Между народная конференция "Четвертые Окунев-ские чтения" Симпозиум "Пуанкаре и проблемы нелинейной механики" 22-25 июня 2004г , Санкг-Пстербур1 Тезисы докладов — СПб Балт гас техн ун-т, 2005 - С 17-18

[8] Пасынкова И А Установившиеся движения неуравновешенною ротора в подшипниках с радиальным зазором // Вести С -Петербург ун-та Сер 1 Вып 3 - 2005 - С 87-95

[9] Пасынкова II А Динамика роюра Джеффкотта в упругих нелинейных опорах /'/ IX Всеросеийскии съезд по теоретической и прикладной механике Аннотации докладов — Т I — Нижний Новгород Изд-во Нижегородского университета, 2006 — С 91

[10] Пасъткова И А Бифуркации прецессионного движения неуравноветечшою ротора // Прикладная математика и механика Выи 4 — 2006 —С 605-616

[11| Пасынкова II А Конические прецессии ротора Джеффкотта с четырьмя сте пенями свободы в нелинейных упругих опорах //' Четвертые Поляховские чтения Тезисы докладов - СПб Изд-во "ВВМ", 2006 - С 71

[12] Пасынкова II А Конические прецессии ротора Джефе}жотта с четырьмя степенями свободы в нелинейных упругих опорах //' Четвертые Поляховские чтения Избранные труды - СПб Изд-во "ВВМ", 2006 - С 146 - 156

[13] Пасынкова II А Прецессии динамически неуравновешенного ротора Дже фф-котта в нелинейных подшипниках // Международная конференция "Пятые Окуневские чтения" 26-30 июня 2006г , Санкт-Петербург Тезисы докладов -СПб Балт гос техн ун-т, 2006 - С 25

[14] Пасынкова II А Прецессии неуравновешенного ротора нецентрально укрепленного в упругих опорах //' Вести С -Петербург ун-та Сер 1 Вып 1 — 2006 - С 128-136

[15] Пасъткова И А Устойчивость симметричной гиперболоидалыгой прецессии неуравнове шенного ротора //' Вестн С -Петербург ун-та Сер 1 Вып 4 — 2006 - 86 - 94

[16| Пасынкова II А , Архипова И M Исследование прецессионного движения неуравновешенного ротора // Вторые Поляховские чтения Избр труды — СПб Изд-во НИИ Химии СПб ун-та, 2000 - С 65-72

[17] Пасынкова II А , Архипова II M Несимметричные гиперболоидальные прецессии ре>тора в нелинейных упру гих опорах // Вестн С-Петербург ун-та Сер 1 Вып 3 - 2001 - С 47-50

[18] Пасынкова И А , Лебедева И M Симметричные прецессии жесткого неуравновешенного ротора // Всероссийская научно-практическая конференция "Первые Окуневские чтения" Материалы докладов — СПб Балт гос техн ун-т, 1997 - С 141-142

[19] Пасынкова II А , Лебедева II M Установившиеся вращения ротора в нелинейных упругих опорах без учета сопротивления // Вестн С -Петербург ун-та Сер 1 Вып 3 - 1998 - С 101-106

[20] Пасынкова И А , Сабанеев В С Из истории развития динамики роторов // Четвертые Поляховские чтения Тезисы докладов — СПб Изд-во "ВВМ", 2006 - С 240

[21] Пасынкова И А , Сабанеев В С Из истории развития динамики роторов // Четвертые Поляховские чтения Избранные труды — СПб Изд-во "ВВМ", 2006 - С 644 - 654

[22] Пасынкова И А , Сабанеев В С Ранние модели в теории гибкого вала // Международная конференция "Пятые Окуневские чтения" 26-30 нюня 2006г , Санкт-Петербург Тезисы докладов — СПб Балт гос техн ун-т, 2006 — С 96

[23] Pasynlova I A Bifurcations of cylindrical precessions of an unbalanced rotor // XXXIII Summer - School Conference "Advanced Problems m Mechanics", 28 065 07 2005 АРМ 2005 Book of Abstracts - 2005 - P 73

[24] Pasynkova I A Whirling motion of an unbalanced rotor in linear and nonlinear elastic bearings // 7 Magdeburger Maschmenbau-Tage 11-12 Oktober 2005 an der Otto-von-Guericke-Umversitaet Magdeburg Tagungsband — 2005 — Pp 143-148

[25] Pasynkova I A Bifurcations of cylindrical precessions of an unbalanced rotor // Techmeche Wechanik — 2006 — Vol 26, no 1 — Pp 1-10

[26] Pasynkova I A Bifurcations of the precessional motion of an unbalanced rotor// Journal of Applied Mathematics and Mechanics — 2006 — Vol 70, no 4 — Pp 549 - 559

[27] Pasynlova I A Cylindrical precessions of an unbalanced flexible rotor supported m nonlinear elastic bearings // XXXIV Summer - School Conference "Advanced Problems in Mechanics", June 25 — July 1, 2006 АРМ 2006 Book of Abstracts — 2006 - P 67

[28] Pasynkova I A Cylindrical precessions of an unbalanced jeflcott rotor with foui degrees of freedom m non-lmear elastic supports // Techniwhe Mechamk — 2006 - Vol 26, no 2 - Pp 117 - 130

Подписано в печать 16 01 2007 Формат бумаги 60 х 84 1/16 Б) мага офсетная Печать ризографическая Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ 3911

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр 26

Введение 2

1 Стационарные движения статически и динамически несбалансированного ротора 12

1.1 Описаиие модели жесткого ротора с четырьмя степенями свободы.13

1.2 Вывод уравнений движения.13

1.3 Прямые синхронные прецессии.19

1.4 Множество нелинейных резопапсов.20

1.5 Самоцентрирование ротора.23

1.6 Симметричные гиперболоидальиые прецессии. Амплитудно-частотные характеристики .24

1.6.1 Нелинейная характеристика опор типа Герца.27

1.6.2 Нелииейпая характеристика опор типа Дуффипга.28

1.7 Исследование устойчивости.31

1.7.1 Нелинейная характеристика опор типа Герца.35

1.7.2 Нелинейная характеристика типа Дуффипга .38

1.8 Влияние внешнего трения па вращение ротора. Несимметричные гиперболоидальиые прецессии.41

1.8.1 Прямые синхронные прецессии и их свойства.42

1.8.2 Результаты численного эксперимента.43

2 Стационарные движения статически несбалансированного ротора 47

2.1 Внешнее и внутреннее трепие .48

2.2 Уравнения движения и прямые синхронные прецессии.49

2.3 Цилиндрические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой Герца .51

2.3.1 Амплитудно-частотные характеристики .51

2.3.2 Устойчивость цилиндрической прецессии.54

2.3.3 Бифуркации цилиндрической прецессии. 58

2.3.4 Бифуркации Андропова - Хопфа, предельные циклы и странные аттракторы. 61

2.3.5 Ляпуповские показатели. Алгоритмы численной оценки ляпу-повских показателей. 72

2.3.6 Нестационарные движения ротора при переходе через резонансную область . 77

2.4 Цилиндрические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой типа Дуффипга . 82

2.4.1 Амплитудно-частотные характеристики . 82

2.4.2 Устойчивость и бифуркации цилиндрической прецессии. 86

2.4.3 Автоколебания. Приближенное определение предельного цикла. 90

2.4.4 Хаотизация предельных циклов.

Странный аттрактор . 93

2.4.5 Нестационарные колебания ротора при переходе через резонансную область .102

2.5 Влияние зазора в подшипниках крепления па цилиндрические прецессии неуравновешенного ротора .105

2.5.1 Устойчивость цилиндрической прецессии.110

3 Стационарные движения динамически несбалансированного ротора 114

3.1 Уравнения движения и прямые синхронные прецессии.114

3.2 Симметричные конические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой типа Герца.116

3.2.1 Амплитудно-частотные характеристики .116

3.2.2 Устойчивость симметричной конической прецессии.119

3.2.3 Бифуркации Андропова - Хоифа симметричной конической прецессии.122

3.2.4 Нестационарные колебания ротора при переходе через резонансную область .127

3.3 Конические прецессии ротора в подшипниках с нелинейной характеристикой типа Дуффипга.130

3.3.1 Амплитудно-частотные характеристики .130

3.3.2 Устойчивость и бифуркации симметричной конической прецессии.132

3.3.3 Автоколебания. Приближенное определение предельного цикла.135

4 Стационарные движения неуравновешенного ротора, укрепленного на гибком валу 142

4.1 Описание модели ротора и вывод уравнений движения.142

4.2 Гиперболоидальпые прецессии неуравновешенного ротора в упругих линейных опорах.147

4.3 Гиперболоидальпые прецессии неуравновешенного ротора в упругих опорах типа Герца.153

5 Цилиндрические и конические прецессии неуравновешенного ротора, укрепленного на гибком валу 156

5.1 Цилиндрические прецессии статически неуравновешенного ротора . . 156

5.1.1 Опоры с нелинейной характеристикой Герца.157

5.1.2 Опоры с нелинейной характеристикой Дуффипга.169

5.2 Конические прецессии динамически неуравновешенного ротора в нелинейных подшипниках типа Герца.174

5.2.1 Устойчивость конической прецессии вблизи нелинейных резо-папсов.176

5.2.2 Потеря устойчивости конической прецессии в закритической области. . 178

Современный уровень развития техники, машиностроения и транспорта предъявляет высокие требования к частоте вращения роторных машин. Как правило, требуется, чтобы рабочий диапазон угловых скоростей вращеиия был достаточно высоким, по при этом должно быть обеспечено безопасное прохождение через резонансную область. Имеется огромное число работ, в которых исследуется влияние различных факторов па динамику быстровращающихся роторов, таких как статический и динамический дисбаланс, гироскопические эффекты, влияние сил сопротивления различной природы и гидродинамических сил смазочного слоя, влияние собственного веса и упругости опор, наличие зазоров в подшипниках крепления и др.

Начало теоретическим исследованиям динамики быстровращающихся валов положила короткая заметка известного шотландского ученого Уильяма Рэпкипа, опубликованная в 1869 г. [112]. В этой работе впервые приведено описание влияния центробежных и упругих сил па вращеиие гибкого вала, которое приводит к появлению вращения оси вала в изогнутом состоянии. Это движение Рэнкип назвал "centrifugal whirling" и ввел этот термин в англоязычную научную литературу по динамике роторов. В современной русской литературе этому термину соответствует "прецессия оси ротора". Несомненная заслуга Рэпкипа состоит в том, что ои применил теорию поперечных колебаний стержней, разработанную Пуассоном, к динамике быстровращающихся валов [111]. Рэнкип первым понял, что критическая угловая скорость вала достигается в тот момент, когда вал, как упругий стержень, теряет устойчивость своей прямолинейной формы.

Первые математические модели вращающегося вала были созданы профессором Мюнхенского университета Аугустом Фёпплем в 1895 г. [84, 85] и независимо профессором Ирландского Королевского колледжа Генри Джеффкоттом в 1919 г. [92]. А. Фёппль первым обнаружил явление самоцентрирования ротора, когда при неограниченном росте угловой скорости ротора центр масс диска стремится запять положение па линии опор, и тем самым теоретически обосновал возможность работы со сверхкритическими скоростями.

Инженерная практика опережала теоретические исследования. В 1882 г. выдающийся шведский инженер и изобретатель Карл Лаваль создал первую импульсную паровую турбину, а в 1883 г. он получил патент па морскую реверсивную паровую турбину с рабочей скоростью 42000 об/мин, которая была заведомо выше, чем "whirling speed" Рэпкипа. Подробно о первых работах по динамике роторов см. Приложение, стр. 186.

Начиная с работы Дапкерлея [83], который в 1894 г. предложил эмпирические формулы для расчета критических угловых скоростей вала, усилия многих выдающихся механиков XX века были направлены па создание и обоснование приближенных методов определения критических частот вращения. Следует отметить труды А. Стодолы [115], Р. Граммеля [88], А.Н. Крылова [33], Ф.М. Диментберга [18], В.Я. Натанзона [45].

Определение критических угловых скоростей является одной из основных задач динамического расчета роторов, однако она не исчерпывает всех проблем динамики роторов. Динамическое поведение роторов при переходе через критические зоны и при работе па сверхкритических скоростях чрезвычайно важно в практике конструирования и эксплуатации роторных машин. Интенсивные колебания валов при переходе через критические зоны и возбуждение колебаний большой амплитуды в закритической области требовали теоретического объяснения причин возникающей неустойчивости. Уже в 30-х годах XX века в работах А. Кимбалла [95, 96] было установлено, что причиной неустойчивости в закритической области может быть внутреннее трение, а в работах Б.Л. Ныокирка и Г.Д. Тейлора теоретически и экспериментально показано, что причиной автоколебаний валов, вращающихся в подшипниках скольжения, является действие смазочного слоя [102,103]. Исследованию устойчивости вращения гибких валов посвящены работы E.J1. Николаи [47, 104], Д.М. Смита [113], П.Л. Капицы [27], Ф.М. Диментберга [18], В.В. Болотина [10], А. Топдла [70, 71] и многих других авторов.

Большое влияние па изучение динамики вращающихся валов оказали труды Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [9, 35]. С применением асимптотических методов проводится исследование стационарных и нестационарных изгибпых колебаний валов в работе В. А. Гробова [16], а исследование автоколебаний и субгармонических колебаний — в монографии М.Я. Кушуля [37].

С развитием вычислительной техники и компьютерных методов стало возможным применять к задачам динамики роторов хорошо разработанные вычислительные методы, такие как метод конечных элементов ( например, [99, 101, 119]).

В последнее время большое внимание в работах по динамике роторов уделяется влиянию различных нелинейных факторов па устойчивость и характер движения роторных систем. Отдельное направление посвящено действию нелинейных гидродинамических сил смазки в подшипниках скольжения. Много работ посвящено изучению роторов с нелинейными упругими свойствами валов и опор, например, работы [10, 24, 26, 42, 43, 67, 71, 78, 87, 118]. Влияние зазора в подшипниках для модели ротора Джеффкотта исследовалось в работах [106, 117, 118]. Роторные системы с нелинейным внешним трением рассмотрены в работах [6, 68] (сухое трение), [20] (квадратичное трение) и нелинейным внутренним трением в работах [81, 89]. Дестабилизирующее воздействие двигателя ограниченной мощности исследовалось в работах [43, 118]. Влияние внутреннего резонанса в модели ротора Джеффкотта с одновременным учетом нелинейных характеристик опор рассмотрено в работе [90].

Успехи теории устойчивости и теории нелинейных колебаний, теории бифуркаций и теории катастроф, нелинейной динамики ([2, 3, 4, 36, 38, 39, 40, 46, 64, 66, 74, 75]) позволили исследователям роторных систем обнаруживать и предсказывать появление асинхронных прецессий, квазипериодических и хаотических колебаний, странных аттракторов [72, 78, 90, 93, 117, 118].

Однако в большинстве работ по динамике роторов в основном используется простейшая модель ротора с двумя степенями свободы, представляющая собой диск, насаженный па гибкий вал, укрепленный в шарнирных опорах.

Настоящая работа посвящена изучению динамики ротора с четырьмя степенями свободы, при этом в первой части работы (I, II, III главы) рассматривается жесткий ротор, а во второй (IV, V главы) — ротор, насаженный на гибкий вал. Вал укреплен в упругих опорах, которые предполагаются изотропными и нелинейными. Рассматриваются два вида нелинейных характеристик — существенно нелинейные, задаваемые законом Герца и характерные для подшипников качения, а также содержащие линейный и кубический члены (типа Дуффипга), характерные для подшипников скольжения.

Первыми работами, в которых изучался жесткий ротор, вращающийся в двух упругих опорах, были работы В. Блесса в 1926 г. [80], С.П. Тимошенко в 1928 г. [116] и В. Дизиоглу в 1951 г. [82]. Блесс рассматривает вынужденные колебания уравновешенного ротора, вызванные двумя малыми массами, эксцентрично присоединенными к ротору в двух параллельных плоскостях. Тимошенко и Дизиоглу рассматривают вынужденные колебания, вызванные одной малой массой, также эксцентрично присоединенной к ротору. В работах [80] и [82] не учитывалось влияние присоединенных масс на изменение моментов инерции ротора, поэтому в названных работах не был обнаружен эффект самоцептрироваиия, причем Дизиоглу [82] пришел к неточным выводам об отсутствии самоцептрироваиия, что было отмечено A.C. Кельзопом в работе [28].

Большой вклад в решение проблемы, связанной с созданием роторных машин с высоким ресурсом и большими скоростями вращения, внесли результаты, полученные A.C. Кельзопом и его коллегами и обобщенные в монографии [32]. Был предложен новый для того времени метод расчета и конструирования линейных упругих опор, позволяющий существенно уменьшить динамические составляющие реакций опор. Одновременно наблюдалось резкое уменьшение амплитуды колебаний вместе с ростом угловой скорости, т.е. самоцентрирование статически и динамически неуравновешенного жесткого ротора. В работах A.C. Кельзопа и A.C. Меллера [29, 30, 31] и в диссертации последнего [41] рассматривался ротор, установленный в нелинейные упругие подшипники качения с нелинейным контактом типа Герца. В задаче о вынужденных колебаниях ротора в нелинейных упругих опорах без учета сил сопротивления были получены параметры цилиндрической и конической прецессий полностыо уравновешенного ротора и установлена устойчивость некоторых режимов.

В данной диссертации проводится исследование динамики прецессионного движения жесткого статически и моментпо неуравновешенного ротора, укрепленного в упругих изотропных нелинейных опорах. Ротор установлен вертикально, что позволяет не учитывать действие силы тяжести. Принимается, что перемещением ротора вдоль оси вращения можно пренебречь. Кроме того, считается, что ротор приводится во вращение двигателем, способным поддерживать заданный закон изменения угловой скорости. При таких предположениях ротор можно рассматривать как механическую систему с четырьмя степенями свободы. Изучение динамики ротора проводится в геометрически линейной постановке, при этом перемещения точек оси ротора в упругих опорах считаются малыми по сравнению с длиной ротора. Наличие дисбаланса приводит к возбуждению прямой синхронной прецессии оси ротора. Если опоры изотропны, то прямая синхронная прецессия будет круговой. Направление и частота вращения оси ротора вокруг ее равновесного положения совпадают с направлением и частотой вращения ротора, и каждая точка оси ротора движется по окружности. В системе координат, вращающейся с угловой скоростью ротора, ось вращения ротора сохраняет неизменное положение. Налицо аналогия с регулярной прецессией искусственных спутников Земли. Изучая регулярные прецессии динамически симметричного спутника под действием гравитационных моментов Ф.Л. Чер-поусько [73] установил, что возможны три типа регулярных прецессий, и по виду линейчатой поверхности, которая получается как след движения оси дииамической симметрии в неподвижном пространстве, они названы гиперболоидальиой (одпопо-лостный гиперболоид), конической (круговой конус) и цилиндрической (прямой круговой цилиндр).

В первой главе приводится описание модели ротора и вывод уравнений движения, причем в качестве обобщенных координат выбраны координаты точек оси ротора в плоскости опор, как и в работах [32, 116]. Предложен новый подход к исследованию прямой синхронной прецессии, позволяющий изучать связанные колебания ротора цилиндрического и конического типа, которые и представляют собой гиперболои-дальную прецессию. Установлено соответствие между типом прецессии (гиперболои-дальпая, коническая или цилиндрическая) и параметрами комплексной амплитуды, введено понятие множества нелинейных резопапсов, подтверждено явление самоцентрирования при больших угловых скоростях ротора. Показано, что в отсутствие сопротивления могут существовать симметричные гиперболоидальпые прецессии, и проведено их аналитическое исследование: построены амплитудно-частотные характеристики и нелинейные резонапсы, по линейному приближению исследована устойчивость. Показано, что внешнее трение разрушает симметрию гиперболоидальных прецессий. С использованием численных методов проведено исследование гипербо-лоидальпых прецессий при действии внешнего вязкого трения, предложен алгоритм построения амплитудно-частотных характеристик и определения границ устойчивых и неустойчивых режимов. Рассмотрены два типа подшипников с различной пелинейной характеристикой упругих свойств опор. Существенно нелинейная характеристика контакта в опорах типа Герца присуща шариковым подшипникам качения. Нелинейная характеристика, включающая линейный и кубический члены (нелинейность типа Дуффипга), типична для подшипников скольжения. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [48, 49, 57, 58, 59, 60].

Во второй главе исследуется прецессионное движение статически неуравновешенного жесткого ротора, имеющего четыре степени свободы.

Модель жесткого статически неуравновешенного ротора с двумя степенями свободы в нелинейных подшипниках при довольно общих предположениях о нелинейных характеристиках опор рассматривалась Д.Р. Меркиным [42, 43]. В линейном приближении при учете сил вязкого трения были найдены условия устойчивости цилиндрической прецессии в предположении, что ротор совершает плоско-параллельное движение. Условия устойчивости цилиндрической прецессии при тех же предположениях, по в силу полных уравнений получены В.В. Румянцевым [67]. В работе В.В. Филиппова [72] исследуется совместное действие сил внешнего и внутреннего трения па устойчивость установившихся движений ротора в нелинейных упругих подшипниках, движение ротора также предполагается плоско-параллельпым. Показано, что уравновешенный ротор может совершать асимптотически устойчивые движения типа асинхронных прецессий. Совместное влияние таких нелинейных факторов, как зазор в опорах и нелинейный контакт в опорах типа Герца, приводит к неустойчивости и хаосу, причем переход к хаосу характеризуется перемежаемостью и удвоением периода (работа Тивари и др. [117]).

Система дифференциальных уравнений движения ротора с четырьмя степенями свободы в нелинейных упругих опорах, учитывающая влияние внешнего и внутреннего трения, представляет собой сложную нелинейную систему восьмого порядка. Показано, что среди решений системы существуют решения, описывающие прямую сипхропиую прецессию цилиндрического типа, и найдено уравнение поверхности, на которой могут быть локализованы эти решения. При исследовании устойчивости по линейному приближению получены аналитические выражения для бифуркационного множества, точки пересечения которого с амплитудно-частотной характеристикой определяют границы устойчивых и неустойчивых режимов цилиндрической прецессии. Прямой синхронной прецессии соответствует состояние равновесия в подвижной системе координат, вращающейся с угловой скоростью ротора, поэтому угловую скорость можно рассматривать как параметр в задаче об одпопараметрической бифуркации состояния относительного равновесия [3,15, 46]. Показано, что могут быть различные сценарии потери устойчивости. При изменении частоты вращения ротора и прохождении через точки с нулевым корнем характеристического уравнения бифуркации могут иметь "жесткий" характер, когда происходит "скачок" или "срыв" амплитуды и имеет место бистабильпость, но при этом тип прецессии сохраняется. Бифуркации могут быть "мягкого" типа, когда потеря устойчивости цилиндрической прецессии сопровождается одновременным отделением двух устойчивых прецессий гиперболоидального типа. Потеря устойчивости такого рода не может быть обнаружена в рамках модели ротора с двумя степенями свободы, совершающего плоскопараллельное движение. Природа потери устойчивости в этом случае объясняется наличием у системы двух нелинейных резопапсов. Вблизи одного из них значительно смещается центр масс и наблюдается цилиндрическая прецессия большой амплитуды, вблизи другого ось ротора отклоняется от первоначального вертикального состояния, и колебания принимают характер связанных цилиндрических и конических.

Известно, что внутреннее трение при малых угловых скоростях оказывает стабилизирующее, а при больших — дестабилизирующее действие па вращение ротора [И]. Причиной автоколебаний роторов при больших угловых скоростях часто является внутреннее трение [95, 96].

Особый интерес вызывает значение угловой скорости ротора, при котором характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. А. М. Ляпунов предложил специальные методы исследования, относящиеся к случаю, когда среди корней характеристического уравнения есть корпи с равной пулю вещественной частью [39]. Ответ па вопрос, является ли значение параметра (в нашем случае это угловая скорость), которому соответствует пара чисто мнимых корней, "опасной" или "безопасной" границей устойчивости, зависит от знака первого ляпуповского коэффициента. Н. Н. Баутип получил выражения для ляпуповских коэффициентов в замкнутой форме для систем дифференциальных уравнений второго, третьего и четвертого порядка [8]. Для диска, копсольпо укрепленного па гибком валу, М. Я. Кушуль при некоторых дополнительных предположениях также получил расчетные формулы для ляпуповского коэффициента [37]. Однако в случае ротора с четырьмя степенями свободы даже при дополнительных предположениях о симметрии (например, ротор установлен в одинаковых опорах и точно посередине между опорами) получить преобразование системы к специальному виду не удалось. Однако непосредственное численное интегрирование системы обнаружило, что имеет место "безопасная" граница устойчивости. С увеличением угловой скорости бифуркация Андронова — Хопфа имеет "мягкий" характер. Во второй главе численно построена зависимость границы возбуждения автоколебаний от отношения коэффициентов внутреннего и внешнего трения, которая показывает, что даже небольшое увеличение внешнего трения существенно сдвигает границу автоколебаний в сторону высоких угловых скоростей.

Численное интегрирование было проведено для достаточно широкого спектра угловых скоростей и для всех значений были получены предельные циклы, которые проиллюстрированы па плоскости {Яь Л1} шестимерпого фазового пространства (Я\ — величина отклонения от равновесного положения конца оси ротора в первой опоре). Было обнаружено, что достаточно близко от границы возбуждения автоколебаний существует диапазон угловых скоростей, где проявляется чувствительность к изменению начальных данных и происходит хаотизация предельных циклов, а затем происходит синхронизация и устанавливается предельный цикл другой структуры (с двойной петлей). Для всех аттракторов в закритической области были построены частотные спектры [17], а также с помощью алгоритма Беиеттипа [98, 105] получе-пы оценки спектра ляпуиовских показателей, которые в каждом случае подтвердили характер аттрактора.

Числепиым интегрированием было проведепо исследование нестационарного перехода через резонансную область при равномерном изменении угловой скорости вращения и проведепо сравнение с амплитудно-частотными характеристиками. Были рассмотрены случаи при наличии внутреннего трения и при его отсутствии, а также рассмотрены начальные условия, соответствующие периодическому и хаотическому вращению при постоянной угловой скорости. Результаты приведены в виде графиков.

В заключении главы приводится исследование влияния зазора в подшипнике па цилиндрическую прецессию. Постановка задачи соответствует работе [106], выполненной для ротора Джеффкотта с двумя степенями свободы.

Следует отметить, что все исследования проведены для динамически вытянутого ротора и для двух типов нелинейности: Герца и Дуффипга. Основные результаты второй главы опубликованы в статьях [48, 51, 54, 56, 59, 108].

В третьей главе методика, разработанная во второй главе для статически неуравновешенного ротора, применяется для исследования динамики прецессионного движения динамически неуравновешенного ротора. Показано, что для ротора, установленного в одинаковых опорах и укрепленного посередине между опорами, существуют прямые синхронные симметричные конические прецессии, когда концы оси ротора движутся по окружностям одинакового радиуса. При этом центр масс ротора неподвижен и находится в вершине конуса, который зачерчивает в пространстве ось вращения ротора. Для симметричной конической прецессии для двух видов нелинейных опор (типа Герца и типа Дуффипга) получены следующие результаты: построена поверхность локализации симметричных коиических прецессий; исследована устойчивость по линейному приближению; установлено, что при прохождении угловой скорости через значение, соответствующее пулевому корню характеристического уравнения, могут иметь место бифуркации "мягкого" и "жесткого" типа; численным интегрированием получено, что при наличии внутреннего трения имеет место бифуркация Андропова — Хопфа "мягкого" типа; для предельных циклов построены частотные спектры и спектры ляпуиовских показателей; для нелинейности типа Дуффипга проведено приближенное определение предельного цикла по методу, предложенному А. Топдлом [71]; проведепо исследование прямого и обратного нестационарного перехода через резонансную область, при этом обнаружено, что при наличии внутреннего трения колебания в закритической области происходят с резким увеличением амплитуды.

Явление хаотизации предельных циклов для симметричных конических прецессий не обнаружено. При специальном выборе начального положения ротора, когда ось вращения расположена по образующей конуса, происходит "затягивание неустойчивости" (см. [4]). После небольшого переходного периода устанавливается прецессия с амплитудой, соответствующей неустойчивому режиму конической прецессии, и только по прошествии некоторого времени наблюдается переход к предельному циклу. Основные результаты третьей главы опубликованы в статьях [48, 50, 53, 54, 56].

В четвертой и пятой главах рассматривается статически и динамически неуравновешенный ротор Фёппля — Джеффкотта с четырьмя степенями свободы, установленный в упругих опорах. Ротор представляет собой динамически симметричное твердое тело, укрепленное на гибком валу. Рассматривается линейно упругий вал, массой которого можно пренебречь в сравнении с массой тела. Опоры, как и в случае жесткого ротора, предполагаются изотропными и нелинейными. Для исследования динамики прецессионного движения применяется подход, разработанный для жесткого ротора с четырьмя степенями свободы. Прежде всего вводится определение гиперболоидаль-пой, цилиндрической и конической прецессии для ротора па гибком валу. Тип прецессии соответствует поверхности, заметаемой педеформироваппой осыо вращения ротора или, что то же, прямой, характеризующей перемещение ротора, как твердого тела. Для описания положения ротора в пространстве вводятся восемь обобщенных координат, четыре из которых определяют перемещение ротора как твердого тела, а остальные четыре характеризуют положение ротора при изогнутой оси вала. В силу того, что рассматривается безмассовый вал, уравнения Лаграижа 2-го рода включают в себя группу четырех дифференциальных уравнений и группу четырех алгебраических уравнений. Алгебраические уравнения можно рассматривать как уравнения связей, которые позволяют исключить часть координат и свести изучение к системе четырех дифференциальных уравнений. В силу того, что рассматривается линейно упругий вал, алгебраические уравнения являются линейными относительно координат, которые характеризуют положение ротора при изогнутой оси вала, и тем самым возможно получить их точное решение, которое затем нужно подставить в группу дифференциальных уравнений Лаграижа. Полученная система дифференциальных уравнений допускает решение, которое параметризует прямую синхронную круговую прецессию ротора. Дальше проводится процедура исследования, развитая в первых главах.

В четвертой главе приводится описание модели ротора и вывод уравнений движения. Без учета сил сопротивления исследуются гиперболоидальные прецессии полностью неуравновешенного ротора, установленного в линейно упругих опорах. Получены параметры самоцентрирования ротора и найдены критические частоты. Для конкретных примеров проведено вычисление критических частот и показано влияние упругих опор па их значения. Проведено сравнение с известными результатами для ротора, укрепленного в жестких опорах [16, 86]. Рассмотрены также гиперболоидальные прецессии в нелинейных упругих подшипниках с нелинейностью типа Герца. Для симметричной прецессии построены амплитудио-частотпые характеристики, найдены параметры самоцентрирования и исследована устойчивость по линейному приближеиию как для динамически вытянутого, так и для динамически сжатого ротора.

В пятой главе проведено исследование цилиндрических и коиических прецессий ротора, имеющего только один тип неуравновешенности и установленного в нелинейных подшипниках. Для статически неуравновешенного ротора с учетом сил внешнего и внутреннего сопротивления исследованы цилиндрические прецессии в подшипниках типа Герца и типа Дуффипга. Построено множество нелинейных резопапсов и амплитудно-частотные характеристики. Получено уравнение для определения параметров самоцентрирования ротора. Как и в случае жесткого ротора, установлено, что потеря устойчивости может иметь "мягкий" и "жесткий" характер при прохождении частоты, при котором характеристическое уравнение имеет пулевой корень. Потеря устойчивости в закритической области, вызванная влиянием внутреннего трепия, имеет "мягкий" характер. Определена граница возбуждения автоколебаний и построены предельные циклы. В ходе численного эксперимента обнаружено, что при изменении начальных условий происходит хаотизация предельных циклов. Для нелинейных опор типа Герца построен странный аттрактор, при этом наблюдаются переходы типа "хаос — хаос". Результаты представлены в виде графиков. С использованием алгоритма Бепеттипа построен полный спектр показателей Ляпунова, подтверждающий хаотический тип аттрактора. Для нелинейных опор типа Дуффипга потеря устойчивости в закритической области также происходит "мягким" образом с возбуждением автоколебаний, однако явление хаотизации не было обнаружено. Отмечено, что с ростом угловой скорости существенно возрастает среднее значение автоколебаний и уменьшается амплитуда. Кроме того, значительно возрастает время установления автоколебаний, поэтому, начиная с некоторого значения частоты, практически можно говорить о неограниченном росте амплитуды.

Конические прецессии динамически неуравновешенного ротора исследованы для нелинейных опор типа Герца. Следует отметить, что потеря устойчивости в закритической области также сопровождается возникновением автоколебаний, однако процесс установления происходит длительное время и посит хаотический характер. С ростом угловой скорости также наблюдается неограниченный рост амплитуды, по при этом прецессия по форме стремится к цилиндрической. Основные результаты четвертой и пятой глав опубликованы в работах [107, 109].

В Приложении приводится краткий исторический обзор ранних работ по динамике роторов.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Развитие модели жесткого и гибкого ротора с четырьмя степенями свободы и новый подход в исследовании прямых синхронных прецессий, позволяющий исследовать связанные цилиндрические и конические колебания ротора, вызванные его статическим и динамическим дисбалансом.

2. В рамках предложенного подхода аналитически и численно проведено исследование гиперболоидальиой, цилиидрической и коиической прецессий жесткого ротора в упругих нелинейных изотропных опорах. Рассмотрены упругие характеристики опор существенно нелинейные (типа Герца) и содержащие линейиый и кубический члены (типа Дуффинга). Установлены параметры самоцентрирования ротора.

3. В линейном приближении проведено исследование устойчивости прецессионного движения неуравновешенного ротора. Изучены различные сценарии потери устойчивости цилиндрической и конической прецессий во всем диапазоне угловых скоростей, в том числе появление квазипериодических и хаотических аттракторов, эффекта "затягивания неустойчивости".

4. Для статически и для динамически неуравновешенного ротора проведено численное исследование прямого и обратного нестационарного перехода через резонансную область, которое показало существенную роль внутреннего трения в процессе возникновения хаотических колебаний нарастающей амплитуды в закритической области.

5. Метод, разработанный для жесткого ротора, применен для исследования прецессий неуравновешенного ротора с четырьмя степенями свободы, насаженного па линейно упругий безмассовый вал, который в свою очередь укреплеп в упругих опорах. Введено определение цилиндрической, конической и гиперболоидальиой прецессии ротора на гибком валу.

6. Изучено влияние упругих опор на критические частоты гибкого ротора в линейных упругих опорах и проведено сравнение с известными результатами для жестких опор.

7. Проведено исследование симметричиой гиперболоидальиой прецессии полностью неуравновешенного ротора па гибком валу в нелинейных упругих опорах без учета сил сопротивления.

8. Для статически и для динамически неуравновешенного гибкого ротора исследованы цилиндрические и конические прецессии в подшипниках типа Герца и типа Дуффинга при учете сил внешнего и внутреннего сопротивления во всем диапазоне угловых скоростей. Показано, что в закритической области имеют место бифуркации Андропова — Хопфа, хаотизация предельных циклов, переходы типа "хаос — хаос" и практически неограниченный рост амплитуды прецессии.

Заключение

В работе при исследовании динамики прецессионного движения неуравновешенного ротора предложены развитие модели жесткого и гибкого ротора с четырьмя степенями свободы и новый подход в исследовании прямых синхронных прецессий, заключающийся в определении типа прецессии в зависимости от вида поверхности, которую заметает в пространстве ось вращения ротора (цилиндр, конус или одпопо-лостпый гиперболоид).

Новый подход позволил изучать связанные колебания ротора цилиндрического и конического типов. Рассмотрены две модели упругих нелинейных опор. В одной модели сила реакции как функция величины смятия в точке контакта имеет линейный и кубический члены (нелинейный контакт типа Дуффипга). В этом случае возможна линейная постановка задачи. Определение критических скоростей долгое время было одной из основных задач динамики роторов, как и определение условий "безопасного" прохождения через критические скорости. В другой модели опор сила реакции задается формулой Герца и является существенно нелинейной. В этом случае невозможно ввести понятие критической угловой скорости ротора, принципиально связанное с линейной задачей. Для ротора, укрепленного в нелинейных упругих опорах, оказалось полезным ввести понятие множества нелинейных резонаисов, роль которого подобна скелетной кривой в уравнении Дуффипга. В линейном случае динамически вытянутого ротора существуют две критические частоты, причем вблизи одной из них наблюдаются интенсивные "симметричные" колебания, связанные с движением центра масс, а вблизи другой — интенсивные "кососимметричпые" колебания, или угловые колебания оси вращения ротора (терминология Ф. М. Димепт-берга [18]). Для динамически вытянутого ротора в нелинейных опорах существуют два нелинейных резонанса, причем вблизи одного из них происходят интенсивные колебания цилиндрического типа, также связанные с движением центра масс, а вблизи другого — интенсивные конические колебания, связанные с раскачкой оси ротора. В зависимости от конструкционных параметров преобладают колебания того или иного типа. В работе установлено также, что для опор типа Дуффипга неограниченные колебания вблизи нелинейных резопапсов имеют место не только в отсутствие внешнего треиия, по также при малом трепии. Получены соответствующие оценки для коэффициента внешнего трепия. Этот результат имеет важный практический аспект. Можно, следуя рекомендациям П. Л. Капицы [27] для линейного ротора, в соответствии с получеппыми оценками увеличить трение па этапе разгона, а затем сиять дополнительное трение.

Для всех рассмотренных моделей жесткого и гибкого ротора получены аналитические выражения для параметров самоцентрирования ротора. Построены аналитически или численно амплитудно-частотные характеристики для каждого типа прецессии, что позволяет оцепить ширину резонансной полосы частот вращения и значения максимальных амплитуд.

Большое внимание в работе уделено влиянию внутреннего трения на характер прецессий в закритической области. Для всех случаев численно построена зависимость частоты возбуждения автоколебаний от величины х отношения коэффициента внутреннего трения к коэффициенту внешнего трения. При значениях х < 1 граница возбуждения автоколебаний значительно отодвигается в сторону больших частот, т.е. даже небольшое увеличение внешнего трения или уменьшение внутреннего трения позволит расширить рабочий диапазон.

При изучении прецессионного вращения ротора па гибком безмассовом валу следует иметь в виду ограниченность такой постановки задачи. В более точной постановке следует учитывать не только упругие, по и инерционные свойства вала.

Ниже перечислены основные результаты, полученные в работе. В рамках предложенного подхода получены условия существования симметричной гиперболоидаль-пой прецессии жесткого ротора в упругих нелинейных изотропных опорах в отсутствии сил сопротивления. Проведено качественное исследование этого движения: установлено существование двух нелинейных резопапсов, построены амплитудно-частотные характеристики и определены интервалы неустойчивости во всем диапазоне угловых скоростей. Численно показана возможность проверки выполнения условий гироскопической стабилизации. Предложен алгоритм построения амплитудно-частотных характеристик и определения границ устойчивости для гиперболоидаль-пой прецессии в общем несимметричном случае с учетом сил внешнего сопротивления. Рассмотрены нелинейные характеристики опор типа Герца и типа Дуффипга. Рассмотрены модели динамически вытянутого и динамически сжатого ротора.

Проведено исследование динамики прецессионного движения статически неуравновешенного ротора. Получены аналитические выражения нелинейных резопапсов, а также амплитудпо- и фазово-частотпых характеристик цилиндрической прецессии, определены параметры самоцентрирования ротора. При исследовании устойчивости установлено, что потеря устойчивости наблюдается вблизи нелинейных резопапсов. В одном случае имеет место "скачок" амплитуды, по цилиндрический тип прецессии сохраняется, вблизи другого резонанса потеря устойчивости сопровождается появлением двух устойчивых гиперболоидальпых прецессий.

Установлено, что наличие внутреннего трепия приводит к суперкритической бифуркации Андропова — Хопфа в закритической области, при этом существует диапазон угловых скоростей, где предельные циклы Андропова — Хопфа теряют устойчивость и возникает хаотическое вращение, а затем происходит синхронизация и устанавливается предельный цикл с двойной петлей.

Проведено исследование влияния зазора в подшипниках па цилиндрическую прецессию ротора в случае простейшей модели взаимодействия оси ротора с опорой — модели абсолютно неупругого удара.

Проведено исследование динамики прецессионного движения динамически неуравновешенного ротора. Получено, что в случае центрально (посередине между двумя опорами) установленного ротора в двух одинаковых опорах существует симметричная коническая прецессия. Подобно цилиндрической проведено аналитическое исследование этой прецессии. Численное исследование устойчивости в закритиче-ской области угловых скоростей также показало появление предельных циклов Андропова — Хопфа, однако хаотизации предельных циклов обнаружено не было. При определенных начальных условиях проявилось "затягивание неустойчивости".

И для статически, и для динамически неуравновешенного ротора проведено численное исследование прямого и обратного нестационарного перехода через резонансную область, которое показало существенную роль внутреннего трепия в процессе возпикповеиия хаотических колебаний нарастающей амплитуды в закритической области.

Метод, разработанный для жесткого ротора, применен для исследования прецессий неуравновешенного ротора с четырьмя степенями свободы, насаженного на линейно упругий безмассовый вал, который в свою очередь укреплен в упругих опорах. Введено определение цилиндрической, конической и гиперболоидальпой прецессии ротора па гибком валу. Получены уравнения движения ротора в координатах, связанных с опорами.

Для гибкого ротора в линейных упругих опорах найдены параметры самоцентрирования и получено биквадратное уравнение для определения критических частот. В случае симметричной гиперболоидальпой для критических частот прецессии получены простые формулы. Приведены численные примеры, показывающие влияние упругости опор на критические частоты, и проведено сравнение с известными результатами для жестких опор.

Для полностью неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах без учета сил сопротивления выписаны условия существования симметричной гиперболоидальпой прецессии, определены параметры самоцентрирования, найдены нелинейные резопапсы, построена амплитудно-частотная характеристика и по линейному приближению исследована устойчивость, определены неустойчивые режимы прецессии.

Для статически неуравновешенного гибкого ротора исследованы цилиндрические прецессии в подшипниках типа Герца и типа Дуффипга при учете сил внешнего и внутреннего сопротивления. Построены нелинейные резопапсы и амплитудно-частотные характеристики. Получено уравнение для определения параметров самоцентрирования ротора. Во всем диапазоне угловых скоростей исследована устойчивость в линейном приближении. В случае нелинейных подшипников типа Герца при изменении начальных условий происходит хаотизация предельных циклов Андропова — Хопфа, причем наблюдаются переходы типа "хаос — хаос". Для нелинейных опор типа Дуффипга с ростом угловой скорости вращения наблюдается практически неограниченный рост амплитуды прецессии.

Для динамически неуравновешенного гибкого ротора исследованы симметричные конические прецессии в подшипниках типа Герца с учетом сил внешнего и внутреннего сопротивления. Во всем диапазоне угловых скоростей исследована устойчивость в линейном приближении. С ростом угловой скорости вращения также наблюдается практически неограниченный рост амплитуды прецессии, но сама прецессия по форме стремится к цилиндрической.

1. Александров Н. Из истории паровой турбины // Двигатель. — 2000. — № 4(10). — С. 26-30. http://engine.aviaport.ru.

2. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний, — М.: Наука, 1981.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 304 с.

4. Арнольд В. И. Теория катастроф. — М.: Наука, 1990. — 128 с.

5. Архипова И. М. Установившиеся движения жесткого неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах // Прикладная математика и механика, Т. 66, Вып. 4.- 2002.-С. 551-558.

6. Ахметшин И. X., Нагаев Р. Ф. Динамика неуравновешенного ротора с сухим трением в подшипнике // МТТ. 1995. - № 5. - С. 57-63.

7. Бабаков И. М. Теория колебаний. — М.: Наука, 1968. — 560 с.

8. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. — Л.-М.: Гостехиздат, 1949.— 165 с.

9. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1958. — 408 с.

10. Болотин В. В. Нелинейные колебания валов за критическими скоростями вращения // Проблемы прочности в машиностроении. Вып. 1,— М.: Изд-во АН СССР, 1958.-С. 25-53.

11. Болотин В. В. Некопсервативиые задачи теории упругой устойчивости. — М.: Физматгиз, 1961.- 339 с.

12. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ. М.: Наука, 1986. - 544 с.

13. Вериигор В. H., Михайлов А. Л. Модальный анализ механических колебаний упругих систем. Рыбинск: РГАТА, 2001. — 288 с.

14. Вернигор В. О расчете критических частот вращения роторов авиационных двигателей // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2003. — № 1. — С. 19 25.

15. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: В 2-х книгах. — М.: Мир, 1984. — Кп.1. 350 с. - Кн.2. - 285 с.

16. Гробов В. А. Асимптотические методы расчета изгибпых колебаний валов тур-бомашип. М.: Изд-во АН СССР, 1961,- 166 с.

17. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения: в 2-х выпусках. М.: Мир, 1971, 1972. - Вып.1. - 316 с. - Вып.2. - 288 с.

18. Диментберг Ф. М. Изгибпые колебания вращающихся валов. — М.: Изд-во АН СССР, 1959.-248 с.

19. Епишев Л. В. О динамической неустойчивости вращающегося ротора при неполном наливе жидкости // Научн. докл. высш. школы, сер. «Машиностроение и приборостроение». — 1959.— № 2.

20. Жесткое И. Г., Самсонов В. А. О влиянии внешнего трения па движение ротора па гибком валу // Некоторые задачи динамики управляемых тел. — М.: Изд-во МГУ, 1989.-С. 82-91.

21. Жуковский H. Е. Об упругой оси турбины Лаваля и об осях с качающимися подшипниками. Труды Отделения физических паук Общества любителей естествознания. 1899. T. X. Вып. 1. // Собр. соч. T. III.— М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - С. 523-537.

22. Жуковский H. Е., Чаплыгин С. А. О трении смазочного слоя между шипом и подшипником. Труды Отделения физических наук Общества любителей естествознания. 1906. T. XIII. Вып. 1. С. 24-33. // Собр. соч. Т. III,- М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.-С. 133-151.

23. Журавлев В. Ф. Об устойчивости стационарных жвижепий плоского тела в поле центральной силы // Изв. АН СССР. МТТ,- 1983.- № 4,- С. 71-76.

24. Ишлинский А. Ю. Механика относительного движения и силы инерции. — М.: Наука, 1981.- 191 с.

25. Капица П. Л. Устойчивость и переход через критические числа оборотов быстро вращающихся валов при наличии трепия // ЖТФ. — 1939. — Т. IX. Вып. 2. — С. 124 147.

26. Келъзон А. С., Бергер Е. Г. Влияние вязкого трения иа самоцентрирование жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах // Изв. ВУЗов СССР. Машиностроение. — 1963. — № 5. — С. 60-67.

27. Келъзон А. С., Меллер А. С. Динамика статически неуравновешенного ротора в подшипниковых опорах // Доклады РАН. — 1991. — Т. 318, № 1. — С. 69-72.

28. Келъзон А. С., Меллер А. С. К динамике роторов в подшипниках качения // Доклады РАН,- 1992. Т. 323.

29. Келъзон А. С., Меллер А. С. Рациональные пределы точности балансировки // Проблемы машиностроения и надео/сности машин. — 1992. — № 1. — С. 19 25.

30. Келъзон А. С., Циманский Ю. П., Яковлев В. И. Динамика роторов в упругих опорах. М.: Наука, 1982.- 280 с.

31. Крылов А. Н. Об определении критических скоростей вращающегося вала. — Л.: Изд-во АН СССР, 1932. 31 с. // Собр. трудов акад. А.Н. Крылова. Т. V. -М.: Изд-во АН СССР, 1937. - С. 363-390.

32. Крылов А. Н. О динамическом уравновешивании роторов гироскопов // Собр. трудов акад. А.Н. Крылова. Т. V. М.: Изд-во АН СССР, 1937. - С. 459-494.

33. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд. АН УССР, 1937. 365 с.

34. Кузнецов С. П. Динамический хаос, — М.: Физматлит, 2001. — 296 с.

35. Кушулъ М. . Автоколебания роторов (Динамика быстроходных веретен). — М.: Изд-во АН СССР, 1963. 168 с.

36. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. — Санкт-Петербург: Издательство С.-Петербургского университета, 2004. — 144 с.

37. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — Л. М.: ОНТИ, 1935.- 386 с.

38. Марсден Д., Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980. 368 с.

39. Меллер А. С. Динамика высокооборотных роторных машин: Автореф. дис. канд. физ.-мат. паук: 01.02.01 / СПбГУ,- СПб., 1998.- 16 с.

40. Мерши Д. Р. Об устойчивости стационарных движений оси вращающегося ротора // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 257, № 2. - С. 298-301.

41. Меркин Д. Р. Об устойчивости стационарных движений оси вращающегося ротора, установленного в нелинейных подшипниках // ПММ,— 1983.— Т. 47. Вып. 3. С. 378-384.

42. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения, — М.: Наука, 1987.— 304 с.

43. Натанзон В. Я. Колебания валов. — М.: Оборонгиз, 1954.

44. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. — М.: Наука, 1987. 424 с.

45. Николаи Е. Л. К теории гибкого вала. Труды Ленингр. индустр. ин-та. — 1937. № 6. Вып. 3 // Труды по механике, М.: ГИТТЛ, 1955.- С. 419-435.

46. Пасынкова И. А. Гиперболоидальпая прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 4.— 1997.— С. 88-95.

47. Пасынкова И. А. Устойчивость конической прецессии жесткого неуравновешенного ротора // Вести. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 1.— 1998.— С. 82-86.

48. Пасынкова И. А. Влияние зазора в подшипниках крепления па конические прецессии неуравновешенного ротора // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 1.- 2005.-С. 103-110.

49. Пасынкова И. А. Потеря устойчивости конических прецессий неуравновешенного ротора в квазилинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 2.- 2005.-С. 113-121.

50. Пасынкова И. А. Установившиеся движения неуравновешенного ротора в подшипниках с радиальным зазором // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 3. 2005. - С. 87-95.

51. Пасынкова И. А. Конические прецессии ротора Джеффкотта с четырьмя степенями свободы в нелинейных упругих опорах // Четвертые Поляховские чтения: Избранные труды, СПб.: Изд-во "ВВМ", 2006.- С. 146 - 156.

52. Пасынкова И. А. Бифуркации прецессионного движения неуравновешенного ротора // Прикладная математика и механика, Т. 70, Вып. 4,— 2006.— С. 605616.

53. Пасынкова И. А. Прецессии неуравновешенного ротора нецентрально укрепленного в упругих опорах // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 1. — 2006. — С.128-136.

54. Пасынкова И. А. Устойчивость симметричной гиперболоидальиой прецессии неуравновешенного ротора // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 1.—2006.- 82 92.

55. Пасынкова И. А., Архипова И. М. Исследование прецессионного движения неуравновешенного ротора // Вторые Поляховские чтения: Избр. труды.— СПб.: Изд-во НИИ Химии СПб. ун-та, 2000. С. 65-72.

56. Пасынкова И. А., Лебедева И. М. Установившиеся вращения ротора в нелинейных упругих опорах без учета сопротивления. // Вести. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 3.- 1998.- С. 101-106.

57. Пасынкова И. А., Сабанеев В. С. Из истории развития динамики роторов // Четвертые Поляховские чтения: Избранные труды. — СПб.: Изд-во "ВВМ", 2006. — С. 644 654.

58. Пасынкова И. А., Сабанеев В. С. Первые математические модели в теории гибкого быстровращающегося вала // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 1.—2007. — принята к печати.

59. Петров Н. П. Трепие в машинах и влияние па пего смазывающей жидкости. Инж. журнал. — 1883. Т. 27. № 1 4. // Гидродинамическая теория смазки. — М.: Изд-во АН СССР, 1948.

60. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний.— М.: Наука, 1964. — 364 с.

61. Позняк Э. JI. Устойчивость вращающегося железного сердечника в магнитном поле // Изв. АН СССР, ОТН, сер. «Энергетика и автоматика». — 1959.— № 3.

62. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифферепциальиыми уравнениями. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 392 с.

63. Румянцев В. В. Об устойчивости установившихся движений систем с квазициклическими координатами // ПММ. — 1986. — Т. 50. Вып. 6.- С. 918-927.

64. Сумбатов А. С. Об устойчивости стационарных вращений песимметричиого вала в опорах с сухим трением // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1989.- № 1.-С. 44-47.

65. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. — М.: Физматгиз, 1959. — 440 с.

66. Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. — М.: Энергия, 1971.

67. Тондл А. Автоколебания механических систем. — М.: Мир, 1979. — 429 с.

68. Филиппов В. В. Об устойчивости установившихся движений ротора в подшипниках // Изв. PAH. МТТ. — 1995. — № 3.- С. 54-64.

69. Черноусъко Ф. Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ. — 1964.- Т. 28. Вып. 1.- С. 155-157.

70. Четаев Н. Р. Устойчивость движения. — М.-Л.: Гостехиздат, 1946. — 208 с.

71. Шустер Р. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988. — 239 с.

72. Юшков М. П. Приближенный способ определения основной критической угловой скорости нагруженных весомых валов // Вестник ЛГУ. — 1962. — № 13. — С. 99-102.

73. Юшков М. П. Об одном способе определения основной критической угловой скорости роторов турбомашин // Изв. вузов Энергетика.— 1963.— № 1,— С. 64-69.

74. Adiletta G., Guido A. R., Rossi С. Non-periodic motions of a jeffcott rotor with nonlinear elastic restoring forces // Nonlinear Dynamics. — 1996. — Vol. 11. — Pp. 37-59.

75. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.-M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. - Vol. A14. - Pp. 2338-2345.

76. Bläss V. Über den Massenausgleich raschumlaufender Körper // Z. Angew. Math.— 1926. Vol. 6. - Pp. 429 - 449.

77. Dimentberg M. F. Vibration of a rotating shaft with randomly varying internal damping // Journal of Sound and Vibration. — 2005. — Vol. 285.— Pp. 759-765.

78. Dizioglu B. Schwingungserscheinungen an spideln // Fazerforschung und Textiltechnik. 1951. - no. 11, 12. - Pp. 425 - 440, 484 - 492.

79. Dunkerley S. On the whirling and vibrations of shafts // Phil. Trans. R. Soc. London. Ser. A. 1894. - Vol. 185, Pt. 1. - Pp. 279-360.

80. Föppl A. Das Problem der Laval'schen Turbinenwelle // Der Civilingenieur. — 1895. Vol. 41. - Pp. 333 - 342.

81. Föppl A. Vereinfachte Darstellung meiner Theorie der Laval'schen Turbinenwelle // Der Civilingenieur. 1896. - Vol. 42. - Pp. 249 - 252.

82. Genta G. Vibration of structure and machines: practical aspects.— 3d edition.— Berlin: Springer-Verlag, 1999. — 599 pp.

83. Genta G. Dynamics of Rotating Systems. — NY: Springer-Verlag, 2005. — 658 pp.

84. Grammel R. Kritische Drehzahl und Kreiselwirkung // Zeitschr. VDI.— 1919. — Vol. 63. P. 32. - Vol.64, p.44, 1920.

85. Hagedorn P., Kühl H., Teshner W. Zur Stabilität einfach besetzer Wellen mit nichtlinearer innerer Dämpfung // Ingenieur-Archiv. — 1977.— Vol. 46.— Pp. 203212.

86. Jeffcott H. H. The periods of lateral vibrations of loaded shafts. The rational derivation of Dukerley's empirical rule for determining whirling speeds // Proceedings of the Royal Society. Series A. — 1918. — Vol. 95, no. A666.

87. Jeffcott H. H. The Lateral Vibration of the Loaded Shafts in the Neighbourhood of a Whirling Speed 11 Phil. Mag. 1919. - Vol. 6, no. 37. - Pp. 304-314.

88. Karpenko E. V., Pavlovskaia E. E., Wiercigroch M. Bifurcation analysis of a preloaded jeffcott rotor // Chaos, Solutions and Fractals.— 2003.— Vol. 15.— Pp. 407-416.

89. Kerr W. On the Whirling Speeds of Loaded Shafts // Engineering. 1916. — P. 150.

90. Kimball A. Internal Friction Theory of Shaft Whirling // Phys. Review.- 1923. — no. 2. P. 703.

91. Kimball A. Internal Friction as a Cause of Shaft Whirling 11 Phil. Mag. — 1925. — Vol. 49. Pp. 724-727.

92. Klein L. Theorie, Konstruction und Nutzeffect der Dampfturbinen // Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure.- 1895. — Vol. XXXIX, no. 40.-Pp. 1189-1195.

93. Mohiuddin M., Khulief Y. Coupled bending torsional vibration of rotors using finite elements // Journal of Sound and Vibration. — 1999. — April. — Vol. 223, no. 5.— Pp. 757-779.

94. Nelson F. C. A brief history of early rotor dynamics // Journal of Sound and Vibration. — 2003. — June. — http://www.findartircles.eom/p/artides/miqa4075/ is200306.ain9296359.

95. Nelson F., McVaugh J. The dynamics of rotor bearing systems using finite elements // Journal of Engineering for Industry. — 1976. — Vol. 98.

96. Newkirk B. L. Shaft Whipping // General Electric Review.- 1924.- Vol. 27, no. 3. Pp. 169-178.

97. Newkirk B. L., Taylor H. D. Shaft Whirling due to Oil Action in Journal Bearing // General Electric Review. 1925. - Vol. 28, no. 8. - Pp. 559-568.

98. Nikolai E. L. Uber den Einfluss der Torsion auf die Stabilität rotierenden Wellen 11 Proc. of the 3d Congr. Appl. Mech. Stockholm: 1930.

99. Parker T. S., Chua L. 0. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems.— NY: Springer Verlag, 1989. 357 pp.

100. Pascal M. Non linear vibrations of an unbalanced rotor with radial clearance // Третьи Поляховские чтения: Избр. труды. — СПб.: Изд-во НИИ Химии СПб. ун-та, 2003. С. 123-131.

101. Pasynkova I. A. Whirling motion of an unbalanced rotor in linear and nonlinear elastic bearings // 7.Magdeburger Maschinenbau-Tage. 11.-12. Oktober 2005 an der Otto-von-Guericke-Universitaet Magdeburg. Tagungsband. — 2005. — Pp. 143-148.

102. Pasynkova I. A. Bifurcations of cylindrical precessions of an unbalanced rotor // Technische Mechanik. 2006. - Vol. 26, no. 1.- Pp. 1-10.

103. Pasynkova I. A. Cylindrical precessions of an unbalanced jeffcott rotor with four degrees of freedom in non-linear elastic supports // Technische Mechanik. — 2006. — Vol. 26, no. 2.-Pp. 117-130.

104. Pasynkova I. A. Cylindrical precessions of an unbalanced flexible rotor supported in nonlinear elastic bearings 11 XXXIV Summer School Conference "Advanced Problems in Mechanics", June 25 - July 1, 2006. APM 2006 Book of Abstracts.-2006. - P. 67.

105. Poisson S. D. Traité de Mechanique. Paris, 1811. - Vol. VII. - 528 pp.

106. Rankine W. J. M. On the centrifugal whirling of shafts // The Engineer. — 1869. — April. Vol. 27. - P. 249.

107. Smith D. M. The Motion of a Rotor carried by a Flexible Shaft in Flexible Bearings 11 Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1933.- Vol. 142,- Pp. 92-118.

108. Stévart A. Note sur la turbine de Laval // Revue universelle des Mines, Ser.3.— 1896. Vol. 33, no. 2. - Pp. 141-161.

109. Stodola A. Dampf- und Gasturbinen .— 6-te Auflage edition. — Berlin: Springer, 1924,- 1157 pp.

110. Timoshenko S. P. Vibration Problems in Engineering. — Toronto: Van Nostrand, 1928.

111. Tiwari M., Gupta K., Prakash O. Dynamic response of an unbalanced rotor supported in ball bearings // Journal of Sound and Vibration. — 2000.— April. — Vol. 238, no. 5. Pp. 757-779.

112. Yamamoto T., Jshida Y. Linear and Nonlinear Rotordynainics. — Wiley & Sons, 2001.-358 pp.

113. Zachwieja J. Analisys of dynamics of stodola — green rotor in flexible bearings // Developments in Machinery Design and Control. — 2004. — Vol. 3.