Совместные нелинейные колебания неуравновешенного ротора и массивно-податливых опор тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи '¿'/г-

СТЕПАНОВА Полина Петровна

СОВМЕСТНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА И МАССИВНО-ПОДАТЛИВЫХ ОПОР

01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

г ч ноя 2013

Санкт-Петербург 2013

005541319

005541319

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ПАСЫНКОВА Инна Анатольевна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор КРИВЦОВ Антон Мирославович (Институт прикладной математики и механики (Физико-Механический факультет) Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, заведующий кафедрой теоретической механики)

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич (Санкт-Петербургский государственный университет,

заведующий кафедрой прикладной кибернетики)

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения Российской Академии наук

Защита состоится " " декабря 2013 г. в часов на заседании

совета по защите диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук Д 212,232.30 на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, ауд. 405

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан //_2013 г.

Учёный секретарь совета Д 212.232.30

доктор физико-математических наук ^ Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Высокоскоростные роторные машины широко используются в современной транспортной, промышленной, бытовой и высокоточной технике. Обычно вращение происходит на больших угловых скоростях, где под большой угловой скоростью понимается скорость, превышающая резонансную. Для выхода на рабочий режим система должна пройти резонансные зоны, что отрицательно сказывается на конструкциях, приводит к нарушению стабильной работы и к разрушению механизма. Техногенные катастрофы последнего времени, например, авария на Саяно-Шушенской ГЭС, показывают важность изучения динамики роторных машин и выдвигают высокий уровень требований к безопасности и надежности эксплуатации. Надежность работы роторных машин тесно езязана с резонансными свойствами как ротора в целом, так и его опор, а также с обеспечением допустимого уровня их колебаний.

Современный уровень, предъявляемый к техническим характеристикам роторных машин, определяется возможностью повышения их частоты вращения. С ростом угловой скорости существенную роль приобретают такие факторы, как нелинейность системы, внутреннее и внешнее трение, влияние динамики опорных конструкций. Все эти вопросы требуют углубленных теоретических исследований.

На основании вышеизложенного можно заключить, что исследования совместных нелинейных колебаний неуравновешенного ротора и массивно-податливых опор являются актуальными.

В данной работе рассматривается прецессионное движение неуравновешенного ротора, закреплённого на гибком валу, установленном в массивных упругих опорах. Изучаются вопросы нахождения критических частот для линейно-упругих опор и вопросы определения резонансной области и возникновения автоколебаний и хаотических колебаний в случае нелинейных характеристик упругости опор. Учитывается трение со стороны окружающей среды и внутреннее трение системы. Проводится сравнение полученных результатов с результатами для упругих безмассовых опор.

Цель работы. Основной целью данной работы является изучение влияния динамики массивно-податливых опор с нелинейными упругими характеристиками на прецессионное движение неуравновешенного ротора, укрепленного на гибком невесомом валу. Была поставлена задача качественного исследования цилиндрических, симметричных конических и гиперболоидальных прямых синхронных прецессий при нелинейных характеристиках упругости опор типа Герца и типа Дуффинга с учетом внешнего и внутреннего трения, а также исследование устойчивости ста-

ционарных режимов системы "ротор - массивно-упругие опоры" во всем диапазоне угловых скоростей вращения ротора.

Методы исследований. В работе используются современные методы классической механики, теории нелинейных колебаний, устойчивости движения и хаотической динамики, а также метод исследования прецессионного движения неуравновешенных роторов с четырьмя степенями свободы в нелинейной постановке, разработанный И. А. Пасынковой. Для аналитических и численных исследований применяются современные методы и алгоритмы компьютерного моделирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту:

• Исследовано влияние массы опор на динамику прецессионного движения статически и моментно неуравновешенного ротора при общих предположениях о нелинейности упругих характеристик опор, получены выражения для амплитудно-частотных характеристик и определены границы потери устойчивости симметричных гиперболоидальных, конических и цилиндрических прецессий.

• Исследовано влияние динамических свойств опор на критические частоты и ширину рабочего диапазона в случае линейно-упругих опор, показано появление дополнительных критических частот, обусловленных упругостью и массами опор, показано, что массивные опоры оказывают балансирующее влияние на больших угловых скоростях вращения ротора (отсутствует самоцентрирование ротора).

• Для нелинейных характеристик упругих опор типа Герца и типа Дуф-финга при учете внешнего трепия проведено исследование симметричных гиперболоидальных, конических и цилиндрических прецессий, показано существование дополнительных нелинейных резонансов, обусловленных динамикой тяжелых опор, построены амплитудно-частотные характеристики, проведено исследование потери устойчивости, обнаружена возможность бифуркаций «жесткого» и «мягкого» типов.

• Для нелинейных характеристик упругих опор типа Герца и типа Дуф-финга численно исследовано влияние внутреннего трения на динамическое поведение ротора в межрезонансной и зарезонансной областях, построены границы возбуждения автоколебаний, показана возможность существования хаотических колебаний, в том числе переходного хаоса.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретических характер. Полученные результаты могут быть использованы при конструировании и исследовании высокоскоростных роторных машин. На основе результатов диссертации могут быть даны практические ре-

комендации по определению резонансных зон, условий их прохождения и определению границ возбуждения автоколебаний и перехода в хаотические колебания в межрезонансной и зарезонансной областях.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета, а также докладывались на международных конференциях (тезисы опубликованы): "Пятые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, З-б февраля 2009 г.) [5], "Шестые Поляховские чтения"(Санкт-Петербург, 31 января - 3 февраля 2012 г.) [6].

Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

В совместной работе [1] И. А. Пасынковой принадлежат постановка задачи и теоретические исследования, П. П. Степановой — численные результаты. В работах [2, 4, 5] П. П. Степановой принадлежат компьютерное моделирование уравнений движения системы "ротор — опоры" и численные исследования, И. А. Пасынковой принадлежат постановка задач, научные консультации.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 47 наименований. Общий объём диссертации составляет 106 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен краткий исторический обзор по исследуемой тематике, сформулированы цели и задачи работы, приводится краткое изложение содержания диссертации, а также представлены основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена выводу уравнений движения системы "ротор-массивные опоры" при самых общих предположениях о нелинейных характеристиках упругих опор с учетом линейного внешнего трения. Приведено описание метода исследования, получены условия существования симметричных гиперболоидальных, конических и цилиндрических прецессий и проведено исследование устойчивости по линейному приближению.

В §1.1 дано описание модели ротора, укрепленного на гибком валу в упругих массивных опорах. Ротор представляет собой абсолютно твёрдое динамически симметричное тело, насаженное на линейно-упругий невесомый вал. Гибкий вал укреплён в упругих массивных опорах с заданными массами и характеристиками жёсткости. Ротор имеет массу М, длина вала равна Ьт. Моменты инерции ротора равны Jp (осевой) и ^

(трансверсальный). Дисбаланс ротора характеризуется тремя величинами: е — статический эксцентриситет, т.е. смещение центра масс ротора от оси его вращения, 5 — угол между осью динамической симметрии ротора и прямой, параллельной оси вращения и проходящей через центр масс, и е — угол между плоскостью, в которой лежит угол 6, и плоскостью, проходящей через ось вращения и его центр масс. Точки крепления вала (опоры) рассматриваются как точечные массы М\ и А/г- Ротор установлен вертикально. Точка крепления твёрдого тела к валу С? находится на расстоянии е^ Ь, от j-oíi опоры, = 1,2), где Ь — расстояние между опорами. Если точка <3 расположена снаружи от опоры, то е^ < О, так что всегда выполняется условие е\ + в2 = 1. Предполагается, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью и> и перемещение ротора вдоль оси вращения пренебрежимо мало.

В §1.2 приводится вывод уравнений движения. Система "ротор - массивные опоры" имеет восемь степеней свободы. В качестве обобщенных координат выбраны: (,т, у) — декартовы координаты точки (а, /3) — углы, определяющие направление касательной к изогнутой оси вала в точке С}\ [Х],У]) — декартовы координаты массивных опор, (] = 1,2). Уравнения выписаны в комплексной форме. Рассматриваются изотропные опоры. Реакция ,7-ой опоры может быть записана в виде: Р^, = —^•(^О п3, где Б] — смещение точки конца вала от ее равновесного положения, п^ = 81/181! — единичный вектор направления Функции ■^(|5}|) являются непрерывно дифференцируемыми, возрастающими и — 0, они могут быть как линейными, так и нелинейными. Уравнения Лагранжа II-го рода относительно комплексных переменных: М§ + Де5 + сп(5 - 50) + 012(7 - 70) = Меи2 ехр(Ш), Л7+7(ДеЬ2-г7ро;)+С12(5'--5'о)-1-С22(7-7о) = (-Л-^р)^2ехр(г(а;< - е)),

м2ё2+^2+г2( |52|) А= (сна + ^)(5-5°)+(С12е1 + т)(7_7о)-

(1)

В силу предположения о линейной упругости вала третье и четвертое уравнение системы (1) являются линейными алгебраическими относительно (5, 7). Возможно найти точное решение для (51, 7) и использовать его для исключения этих переменных из системы. Получим систему из двух дифференциальных уравнений относительно переменных 51, каждое 4-ого порядка.

Для перехода к уравнениям в безразмерном виде введены безразмерное время г = и>о £ и безразмерные переменные в] = Б^/Н, где /г — некото-

рая малая длина, например, статический эксцентриситет е или величина Ь6. Выбор характерной угловой скорости ы0 зависит от вида нелинейности Fj{ |5,|).

Безразмерные дифференциальные уравнения примут вид: ,7=1,2

(2)

(¿2 + ^ ^ + + *П ~ *)) ^ + ^ + к I Лу = гсг2П2ехр(г(Пт-£г)),

В уравнениях (2) использованы обозначения

Jt - Jp ML2 а/ Л/j . .

' = —;—. & = ~TT' n = —- mJ = T7' 3)

Jt Jtl u>o M

(¿e, /j,j - безразмерные коэффициенты сопротивления, dj - безразмерные эксцентриситеты, коэффициенты Ukj зависят от коэффициентов жесткости вала. Величины Nj имеют вид:

Nj = irijSj + HjS} + /j(|sj|) п2,, (4)

lsjfl

где /j(|Sj|) - безразмерные функции нелинейных характеристик опор.

В §1.3 изучается прецессионное движение ротора. Следуем методу, предложенному И. А. Пасынковой. Система (2) допускает точное решение вида:

Sj = Лу ехр(г у^) ехр (г Пт), j = 1,2, (5)

где '-p-j - вещественные постоянные, Щ > 0.

Это решение представляет собой прямую синхронную круговую прецессию. Комплексные амплитуды Щ exp(îVj) определяют положения равновесия опор в системе координат, вращающейся вместе с ротором.

Для ротора с гибким вращающимся валом в работах И. А. Пасынковой были введены понятия цилиндрической, конической или гиперболо-идальной прецессий в зависимости от вида поверхности, которую заметает в пространстве недеформированная ось вала или ось подшипников, характеризующая перемещение вала как твердого тела.

В результате подстановки решения (5) в систему (2) получена система линейных алгебраических уравнений относительно величин ехр(г<р7): У^ {Aj + г QCj) Rj ехр (г ¡Pj) = d\ Г22,

,=1'г (6) Y, i-mBj + i SlDj) Rj ехр (г Vj) = d2 fi2 exp(-ie), где ¿=1,2

А] = ~ (е3_,- + тп5 + сту + сту //, ^ П2 + П4,

Щ = к е, ^^ - + к е, гп, + ^ + к о2} П2 + ст2,т, О4,

Ч = Щ + Не (¿3-] + СГу Ц^2^ - (М/ + Ме ТП^П2,

^ = к (е^ + Ме(1 + о2] - °2}{р.} + кце тщУЛ2.

(7)

В отсутствии сил сопротивления (це = 0, ^ = 0) определитель системы (6) принимает вид:

А = А1В2 + А2В1. (8)

Множество Д = 0 задаёт в пространстве {О, ДЬД2} поверхность нелинейных резонансов, которая разделяет это пространство на области, где прецессии имеют качественно различный характер. Если упругие опоры линейны, то Д = 0 представляет собой уравнение для нахождения критических частот вращения ротора.

В пункте 1.3.1 получены условия существования симметричных круговых прецессий, когда опоры описывают окружности равных радиусов, т.е. Ях = Я2 — Я. Предполагается, что опоры обладают одинаковыми характеристиками: Д = /2 = /, = ц2 = ц, гщ = тп2 = т. Ротор укреплён в середине между опорами, т.е. е\ = е2 = 1/2. В этом случае коэффициенты системы (6) соответственно равны А\ = А2 = А, В1 = В2 = В, СХ = С2 = С, А = £>2 = В.

В пункте 1.3.2 показано, что симметричная гиперболоидальная прецессия полностью неуравновешенного ротора может существовать только при отсутствии сил сопротивления и при £ = 7г/2. Получено выражение для амплитудно-частотной характеристики(АЧХ) гиперболоидаль-ной прецесии:

п п2 [Фх 4

Л=УУ А^т- <»>

В пункте 1.3.3 исследована симметричная коническая прецессия. Рассматривается моментно-неуравновешенный ротор, т.е. е = 0, а ф 0 => ¿1 = 0, в таком случае угол фазового сдвига е становится неопределённым и его можно положить нулю. Положим К = Ь6, тогда с12 = 1. На ротор и опоры действуют силы внешнего трения. Среди решений вида (5) можно выделить решение в2 = -в! (Их = Я2 = Я, <р2 = <рх — 7Г = ср). В таком случае поверхность, заметаемая иедеформированной осью ротора, представляет собой конус с вершиной между опорами, и прецессия будет симметричной конической. Получено выражение АЧХ конической

прецессии:

fi2 1

R =

Пункт 1.3.4 посвящен цилиндрической прецессии. Рассматривается статически неуравновешенный, но моментно-уравновешенный ротор, т.е. 5 = 0, е ф 0, следовательно (¿2 = 0. На ротор и опоры действуют силы внешнего трения. В таком случае среди решений вида (5) можно выделить решение Si = (R\ = R-i = R, fi = f>2 = '-p), представляющее собой цилиндрическую прецессию. Получено АЧХ цилиндрической прецессии:

П2 1

В §1,4 исследована устойчивость симметричных прецессий по линейному приближению. Введены малые возмущения »¿(т), аДт) для каждой опоры по формулам^- = {R+ rj) ехр (г (fj + aj)) ехр(г fir). Характеристическое уравнение системы линейного приближения имеет шестнадцатый порядок относительно характеристического показателя. В пункте 1.4.1 рассмотрена устойчивость симметричной цилиндрической преце-сии. В силу симметрии характеристический полином распадается на два независимых полинома 8-ого порядка. Коэффициенты полиномов получены в системе компьютерной алгебры Maple. Множество {as = 0U&8 = 0}, где as, b$ - свободные члены характеристических полиномов, определяет наличие хотя бы одного нулевого корня характеристического полинома, а значит является бифуркационным для системы. Каждое из условий as = 0 и bg = 0 представляет собой гиперболу, асимптотами которых являются кривые нелинейного резонанса А = 0 и В = 0 соответственно. Критическими точками являются точки пересечения гипербол as = 0, bs = 0 с кривой АЧХ. В зависимости от параметров системы может возникнуть до 8-ми таких критических точек. В пункте 1.4.2 исследована устойчивость симметричной конической прецессии. Полученный характеристический полином совпадает с характеристическим полиномом, соответствующему цилиндрической прецессии. Таким образом, условия для границ потери устойчивости конической прецессии такие же, как и для цилиндрической прецессии.

Во второй главе рассмотрено прецессионное движение ротора в линейно-упругих опорах. Получены уравнения движения системы и уравнение для нахождения критических скоростей вращения ротора. Выявлены дополнительные резоиансы, обусловленные влиянием динамики массивных опор. Построены графики АЧХ симметричных прецессий для динамически вытянутого и сжатого роторов. На больших угловых ско-

ростях вращения ротора обнаружен эффект балансировки ротора. Рассмотрен пример турболекулярного насоса и проведено сравнение с результатами Genta (1999) и И. А. Пасынковой (2006), показано влияние учёта масс опор.

В §2.1 приведен вывод уравнений движения неуравновешенного ротора в массивных линейно-упругих опорах. Показано, что эти уравнения допускают точное решение, соответствующее прямой синхронной круговой прецессии.

В §2.2 получено уравнение для нахождения критических угловых скоростей. Показано, что для динамически вытянутого ("длинного") ротора имеется четыре критические скорости, а для динамически сжатого ("короткого") — три. Известно, что ротор в невесомых упругих опорах имеет соответственно две или одну критические угловые скорости, т.е. влияние динамики тяжёлых опор приводит в каждом случае к появлению двух дополнительных критических угловых скоростей. Показано, что самоцентрирования ротора не происходит, и массивные опоры оказывают балансирующее действие на больших угловых скоростях ротора.

В §2.3 рассмотрены симметричные прямые синхронные прецессии.

В §2.4 рассмотрен пример турбомолекулярного насоса, который применялся в лабораторных медицинских исследованиях. Результаты расчета критических частот приведены в таблице 1. В первой строке представлены критические скорости, полученные Genta (1999) для жестких безмассовых опор, во второй строке — результаты И. А. Пасынковой (2006) для упругих безмассовых опор. Результаты для различных значений масс представлены в строках 3,4, 5. Как видно из таблицы 1, влияние массивных упругих опор приводит к существенному сдвигу первых критических угловых скоростей в сторону более низкой части спектра и к появлению дополнительных критических скоростей, причем динамические свойства опор существенным образом влияют на ширину рабочего диапазона. Отметим, что уменьшение массы опор приводит к сдвигу третьей и четвёртой критических частот в сторону увеличения, и это можно использовать для расширения рабочей зоны ротора.

Третья глава посвящена исследованию прецессионного движения ротора с существенно нелинейными характеристиками упругости опор типа Герца ■Fj(IS'jl) = c^|Sj|3/2, с учетом внутреннего трения. Выписаны уравнения движения системы, построены АЧХ симметричных прецессий как для динамически вытянутого, так и динамически сжатого роторов. Проведено исследование устойчивости цилиндрической и симметричной конической прецессии. Выявлены различные сценарии потери устойчивости, как "жёсткого" типа, когда происходит срыв амплитуды, так и "мягкого" типа, когда происходит смена вида прецессии. Для цилиндри-

Таблица 1: Расчеты критических частот для примера

Параметры опор: Ci, С2 (107 н/м); mi, гпг (кг) Wcrl °Jcr 2 Wct-З Wcr4

1 Cl = С2 = 00, 7711 = 7712 = 0 10496 67080

2 С\ = С2 = 1.07, 7711 = т2 = 0 7832 17926

3 Cl = С2 = 1.07, 7711 = 2, 7712 = 0.5 7746 16966 23334 223883

4 Cl = С2 = 1.07, 7711 = 0-5, 7712 = 0.5 7763 17226 45841 223994

5 Ci = С2 = 1.07, mi = 0.25, ТП2 = 0.5 7766 17248 64679 224154

6 Ci = С2 = 1.07, mi = 0.5, 7712 = 0.25 7793 17540 45846 309887

7 Ci = С2 = 1.07, mi = 3, тг = 2 7554 15208 19428 125574

ческой прецессии определена граница возбуждения автоколебаний, проведено численное интегрирование системы на различных угловых скоростях, показывающее сложную динамику движения ротора. Система имеет четыре нелинейных резонанса. Показано, что автоколебания могут возникать в межрезонансной области между вторым и третьим нелинейными резонансами, а также в зарезонансной области. Обнаружена хаотизация предельных циклов. С помощью модифицированного алгоритма Беннетина проведено вычисление полного спектра ляпуновских показателей, подтверждающих характер полученных аттракторов.

В §3.1 приведено описание природы внутреннего трения для ротора, укрепленного на гибком валу, и связь внутреннего трения с неустойчивостью вращения ротора на достаточно больших угловых скоростях. В §3.2 приведены уравнения движения ротора для нелинейных характеристик опор типа Герца с учетом внешнего и внутреннего трения.

Дифференциальные уравнения в безразмерном виде:

12 + Щ) + {(Хе + 1а) — (ез-^ + сг,; ту,) -

¿=1,2 ат (12)

-г П(ез_^- + а^ лу + лу = с^П2 ехр(Шт), (Р г]

£(-^(зо + + {к1(1ь + ш) + Ш{1- 1)) — (31 + «ту Лу -

¿=1,2 аТ аТ

-Ш kfj.il [в] + а2] ЛУ + е5к1 Лу = М2П2ехр(г(Пт - £■)), где использованы обозначения (3) и:

си) /-

Ч = мз=тзЬ + + з = 1,2. (13)

с0

Среди решений системы можно выделить прямую синхронную круговую прецессию. Коэффициенты А}-, В^, С), в системе алгебраических уравнений (6) вычисляются по формулам (7) при /,(7?^)/^ = и^у/Щ. Причем эти коэффициенты не зависят от внутреннего трения.

В пространстве переменных X, У, Уг, где У^ = у/Щ, X = Г22 построены множества нелинейных резонансов для динамически вытянутого и сжатого роторов(рис. 1). Кривые, которые получаются в результате сечения этого множества биссектральной плоскостью Ух = Уг, являются скелетными кривыми для АЧХ симметричных круговых прецессий.

Рис. 1: Множество нелинейных резонансов: а) "длинный" , Ь)"короткий" ротор

Тождество | ехр(г(<^1 — <^г))| = 1 задаёт в пространстве {Уь У2> X} интегральное множество, которому принадлежат состояния относительного равновесия системы. Состояния равновесия симметричных прецессий локализованы на плоскости У\ = >2-

§3.3 посвящен симметричным круговым синхронным прецессиям. В пункте 3.3.1 рассмотрена симметричная прецессия гиперболоидального типа.

Рис. 2: АЧХ гиперболоидальной прецессии: а) "длинный" , Ь) "короткий" ротор

Графики АЧХ гиперболоидальной прецессии представлены на рис.2 жирной линией, слева - для динамически вытянутого ротора, справа -для динамически сжатого. Два последних нелинейных резонанса связаны с динамикой массивных опор. При уменьшении масс опор два последних резонанса сдвигаются в область больших угловых скоростей.

В пунктах 3.3.2 и 3.3.3 рассмотрены симметричная коническая и цилиндрическая прецессии. Построены АЧХ и показано, что учет масс опор приводит к появлению дополнительного резонанса по сравнению с результатами И. А. Пасынковой для безмассовых опор.

В §3.4 исследована потеря устойчивости цилиндрических и симметричных конических прецессий при переходе через нулевые корни харак-

теристического полинома. Составлена система линейного приближения. Показано, что характеристический полином системы распадается на два независимых полинома и выписаны коэффициенты характеристических полиномов, при этом свободные коэффициенты а8, Ь$ не зависят от внутреннего трения. Множество {а8 = 0 и Ь8 = 0} определяет по крайней мере один нулевой корень системы, поэтому является бифуркационным. Точки пересечения АЧХ и этих гипербол определяют границы устойчивости. В пунктах 3.4.1 и 3.4.2 рассмотрена потеря устойчивости симметричной конической и цилиндрической прецессий. На рис. 3 показаны график АЧХ цилиндрической прецессии (толстая линия) и условия <Х8 = 0 и Ь$ = 0 (тонкая линия). Неустойчивые режимы отмечены штриховой линией. "Жёсткий" характер потери устойчивости, когда происходит "скачок" или "срыв" амплитуды, наблюдаем между точками "3" ,"4" и "7м ,"8" , а "мягкий" между точками "1" , "2"(на Ь)) и "5 , "6". В случае "мягкой" бифуркации потеря устойчивости цилиндрической прецессии сопровождается отделением двух устойчивых состояний равновесия, локализованных на поверхности гиперболоида, таким образом, прецессия меняет тип на гиперболоидальный.

Рис. 3: АЧХ цилиндрической прецессии и границы устойчивости: а) общий вид, Ь) начальная область в крупном масштабе

Рис. 4: Бифуркации цилиндрической прецесии: а)Х = 7.8, Ь)Х = 0.22

Сечения поверхности локализации решений для "мягких" бифуркаций изображены на рис. 4.

Несмотря на то, что только один из нелинейных резонансов I и II влияет на вид АЧХ конической и цилиндрической прецессий, вблизи

каждого из них, в зависимости от параметров, может произойти потеря устойчивости.

Для случая невесомых опор в работах И. А. Пасынковой для конической и цилиыдрической прецессий наблюдались только 2 ветви гипербол бифуркационного множества {а8 = О У Ь8 = 0}, так как каждое из а8 = 0 и &8 = 0 имело второй порядок относительно X. Учёт масс опор приводит к увеличению порядка для каждого из а8 = 0 и ¿>8 = 0 до четвёртого относительно X, таким образом, может наблюдаться до четырёх ветвей гипербол множества {а8 = 0У&8 = 0}, что усложняет картину потери устойчивости.

В §3.5 рассмотрена потеря устойчивости цилиндрической прецессии при переходе через чисто-мнимые корни характеристического полинома. В пункте 3.5.1 рассмотрена граница возбуждения автоколебаний в межрезонансной области.

При Д7(Р;) = 0, где Д7(Р^) - определитель Гурвица 7-ого порядка, характеристический полином имеет чисто мнимые корни. На рис. 5 изображена АЧХ цилиндрической прецессии, нелинейные резонансы А = 0, В — 0 и кривые Дг(Р]) = 0 для динамически вытянутого ротора. При выбранных параметрах точка пересечения АЧХ цилиндрической прецессии и кривой Д7(Р1) = 0 лежит в межрезонансной области. Численно было проверено, что до точки пересечения АЧХ с кривой А7(Рг) = 0 все вещественные части корней характеристических полиномов отрицательны. За точкой пересечения АЧХ с А7(Рг) = 0 появляется пара комплексно-сопряженных корней полинома Р\ = 0 с положительной вещественной частью. После пересечения АЧХ и с Д7(Р2) = 0 появляется еще одна пара комплексно-сопряженных корней с положительной вещественной частью полинома Р2 = 0. Таким образом, границу потери устойчивости определяет наименьшая из общих точек АЧХ и Д7(Р].) = 0. Д7(Р2) = 0.

При выбранных значениях параметров изучено поведение системы в области за точкой пересечения АЧХ и Д7(р1) = 0. Результаты численного интегрирования системы при X = ^/П = 10 представлены на рис. 6.

Изменение Рх(т) на рис. 6, на графике а) - в течение первых 200 оборотов, на графике Ь) - за время от 200 до 250 оборотов. Автоколеба-

Рис. 6: X = 10, a) Ri{t) в течение 200 оборотов b) ñi(r) за время от 200 до 250 оборотов,с) фазовая траектория за время от 200 до 1000 оборотов

ния устанавливаются примерно за 150 оборотов, на рис. 6 с) представлен полученный предельный цикл на плоскости ñi} фазового пространства {/?!, Ri, J?2, Ri, <Pi - <P2, Ф\ ~ Фъ} за время от 200 до 1000 оборотов.

Полный спектр ляпуповских показателей, полученный с помощью алгоритма Беннетина за 300 итераций с шагом равным одному обороту, в конечной точке вычисления равен:

{0.0005, -0.0074, -0.008, -0.0271, -0.0989, -0.0989, -0.2774, -0.2775.

-0.3183, -0.319, -0.3255, -0.3258, -0.3302, -0.3305, -0.4569, -0.457).

Вычисления с увеличивающимся количеством итераций показали, что первый показатель стремится к нулю, т.е. сигнатура спектра соответствует устойчивому предельному циклу. Было проведено интегрирование системы до 20050 оборотов, при этом вид предельного цикла совпадает с картиной, полученной за время от 200 до 250 оборотов.

При X = 12 и X — 13 также получены устойчивые автоколебательные режимы, отмечено, что с ростом угловой скорости увеличиваются время установления автоколебаний и средняя величина амплитуды.

При дальнейшем увеличении частоты, например, при X = 14, наблюдаем установление автоколебаний, однако в спектре ляпуновских показателей присутствуют положительные показатели, не стремящиеся к нулю, что говорит о неустойчивости и возможном появлении хаоса.

Рис. 7: X = 14, а) Я^т) за время от 9000 до 15000 оборотов, Ь) отображение Пуанкаре от 11000 до 13000

Автоколебания с постоянным средним значением амплитуды устанавливаются примерно за 900 оборотов, однако, в спектре ляпуновских показателей присутствуют положительные значения, не стремящиеся к

О, что говорит о неустойчивости полученного режима. Дальнейшее интегрирование системы при X = 14 показало, что начиная примерно с 11000 оборотов движение соскальзывает в хаос, см. рис. 7.

Отображение Пуанкаре представлено на рис. 7 Ь). Итак, при удалении от границы возбуждения автоколебания теряют устойчивость.

В пункте 3.5.2 показано, что при уменьшении внутреннего трения граница возбуждения автоколебаний сдвигается в сторону больших частот. Рассмотрен случай, когда возбуждение автоколебаний происходит в зарезонансной области.

В четвертой главе изучается прецессионное движение системы "ротор-опоры" с нелинейными упругими характеристиками типа Дуффин-га: = Сд + и с учетом внутреннего трения. Выписа-

ны уравнения движения системы, для симметричных прецессий построены АЧХ для динамически вытянутого и динамически сжатого ротора. Проведено исследование устойчивости по линейному приближению цилиндрической и симметричной конической прецессии, найдены границы потери устойчивости стационарных движений. Для цилиндрической прецессии определена граница возбуждения автоколебаний, проведено численное интегрирование системы при различных угловых скоростях.

В §4.1 приведены уравнения движения, в предположении, что на ротор и опоры действуют силы внешного трения, и на ротор действуют силы внутреннего трения. Построены множества нелинейных резонан-сов для динамически вытянутого и сжатого роторов.

В §4.2 получены АЧХ для симметричных гиперболоидальпой, конической и цилиндрической прецессий.

В §4.3 проведено исследование потери устойчивости при переходе через нулевые корни характеристических полиномов.

В §4.4 проводится исследование потери устойчивости при переходе через чисто мнимые корни характеристического полинома. Установлено, что граница возбуждения автоколебаний может находиться в межрезонансной области. Численное интегрирование показало, что на частотах близких к границе возбуждения автоколебаний устанавливается устойчивый предельный цикл, что подтверждается полученным спектром ля-пуновских показателей.

На более высоких частотах сначала также устанавливается предельный цикл, но имеющий более сложную структуру - предельный цикл с петлей, см рис. 8. Выло обнаружено, что в спектре ляпуновсиких показателей старшие показатели положительны и при увеличении итераций сохраняют положительные значения, что говорит о неустойчивости предельного цикла. Действительно, дальнейшее интегрирование показало, что начиная с некоторого момента происходит хаотизация предельно-

Рис. 8: X = 17, а) Я^т) от 200 до 230 оборотов, Ь) фазовая траектория от 200 до 300 оборотов

го цикла. На рис. 9 приведены результаты интегрирования и отображение Пуанкаре, которые подтверждают наличие хаоса. В дальнейшем на фоне хаотических колебаний происходит синхронизация и устанавливается новый предельный цикл, см. рис. 10. Таким образом, наблюдается переходный хаос.

а)

Ъ)

Рис. 9: X = 17, время от 2100 до 2600 а) Л2(г), Ь) отображение Пуанкаре

[МАП МММ

а)

Ъ)

Рис. 10: X = 17, а) Ях(т) от 3000 до 3030 оборотов, Ь) фазовые траектории от 3000 до 4000 оборотов

Отмечено, что при уменьшении внутреннего трения граница возбуждения автоколебаний сдвигается в закритическую область.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

Список опубликованных статей автора по теме диссертации

Публикации автора в изданиях из списка ВАК

1. Пасынкова И. А., Степанова П. П. Влияние массы и упругости опор на критические частоты неуравновешенного ротора Джеффкотта// Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2008 Вып. 2 - с. 141-147.

2. Пасынкова И. А., Степанова П. П. Прецессии неуравновешенного ротора Джеффкотта в массивно-податливых опорах// Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2011. Вып. 4 - с. 134141.

3. Степанова Л. П. Прецессии неуравновешенного ротора в массивных нелинейно-упругих опорах// Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2012. Вып. 4 - с. 125-132.

Публикации автора в других изданиях

4. Пасынкова И. А., Степанова П. П. Цилиндрическая прецессия неуравновешенного ротора в массивно-податливых опорах// В сб.: Пятые Поляховские чтения. Избранные труды. 2009. - с. 101-106.

5. Пасынкова И. А., Степанова П. П. Цилиндрическая прецессия неуравновешенного ротора в массивно-податливых опорах// Пятые Поляховские чтения: Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 3 — 6 февраля 2009 г. - СПб 2009. С. 55

6. Степанова П. П. Прецессии неуравновешенного ротора Джеффкотта в массивно-податливых опорах с учетом трения// Шестые Поляховские чтения: Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 31 января — февраля 2012 г. - М.: Издатель И. В. Балабанов, 2012. - С. 68

Подписано в печать 08.11.2013 г. Форм. бум. 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1253. Отпечатано в полиграфическом салоне 197342, г. Санкт-Петербург, ул. Торжковская, д. 5.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201454158 СТЕПАНОВА Полина Петровна

СОВМЕСТНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА И МАССИВНО-ПОДАТЛИВЫХ ОПОР

01.02.01 - Теоретическая механика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

С анкт- Петербург 2013

Оглавление

Введение 5

1 Прецессионное движение ротора, укреплённого на гибком валу в упругих массивных опорах 14

1.1 Модель системы "ротор-массивные опоры"..................14

1.2 Вывод уравнений движения....................................16

1.3 Прямые синхронные прецессии................................21

1.3.1 Симметричные прецессии..............................24

1.3.2 Гиперболоидальная прецессия ........................25

1.3.3 Коническая прецессия..................................27

1.3.4 Цилиндрическая прецессия............................27

1.4 Устойчивость симметричных прецессий......................29

1.4.1 Устойчивость цилиндрической прецессии............35

1.4.2 Устойчивость симметричной конической прецессии . 43

2 Прецессионное движение ротора в линейных массивно-упругих опорах 44

2.1 Уравнения движения............................................44

2.2 Критические угловые скорости................................47

2.3 Симметричные прецессии......................................49

2.3.1 Гиперболоидальная прецессия ........................49

2.3.2 Коническая прецессия..................................51

2.3.3 Цилиндрическая прецессия............................52

2.4 Влияние массы опор на критические частоты турбомоле-кулярного насоса................................................53

3 Прецессионное движение ротора с нелинейной характеристикой упругости опор типа Герца 56

3.1 Внутреннее трение..............................................56

3.2 Уравнения движения............................................57

3.3 Симметричные прецессии......................................62

3.3.1 Гиперболоидальная прецессия ........................62

3.3.2 Коническая прецессия..................................63

3.3.3 Цилиндрическая прецессия............................65

3.4 Границы потери устойчивости при переходе через нулевые корни характеристического полинома........................66

3.4.1 Устойчивость симметричной конической прецессии . 71

3.4.2 Устойчивость цилиндрической прецессии............73

3.5 Потеря устойчивости при переходе через чисто-мнимые корни характеристического полинома........................74

3.5.1 Граница возбуждения автоколебаний в межрезонансной области ........................................74

3.5.2 Граница возбуждения автоколебаний в зарезонанс-

ной области..............................................82

4 Прецессионное движения ротора с нелинейной характеристикой опор типа Дуффинга 84

4.1 Уравнения движения............................................84

4.2 Симметричные прецессии......................................87

4.2.1 Гиперболоидальная прецессия ........................88

4.2.2 Коническая прецессия..................................89

4.2.3 Цилиндрическая прецессия............................90

4.3 Границы потери устойчивости при переходе через нулевые корни характеристического полинома........................92

4.4 Потеря устойчивости при переходе через чисто-мнимые корни характеристического полинома........................94

Заключение Литература

Введение

Высокоскоростные роторные машины широко используются в современной транспортной, промышленной, бытовой и высокоточной технике. Обычно вращение происходит на большой угловой скорости, где под большой угловой скоростью понимается скорость, превышающая резонансную. Для выхода на рабочий режим система должна пройти резонансные зоны, что отрицательно сказывается на конструкциях, приводит к нарушению стабильной работы и к разрушению механизма. Техногенные катастрофы последнего времени, например, авария на Саяно-Шушенской ГЭС, показывают важность углубленного изучения динамики роторных машин и выдвигают высокий уровень требований к безопасности и надежности эксплуатации. Надежность работы роторных машин тесно сзязана с резонансными свойствами как ротора в целом, так и его опор, а также с обеспечением допустимого уровня их колебаний.

Современный уровень, предъявляемый к техническим характеристикам роторных машин, определяется возможностью повышения их частоты вращения. С ростом угловой скорости существенную роль приобретают такие факторы, как нелинейность системы, внутреннее и внешнее трение, гироскопическое воздействие, влияние динамики опорных конструкций. Все эти вопросы требуют углубленных теоретических исследований.

На основании вышеизложенного можно заключить, что исследование совместных нелинейных колебаний неуравновешенного ротора и массивно-податливых опор является актуальным.

В данной работе рассматривается прецессионное движение неуравновешенного ротора, закреплённого на гибком валу, установленном в массивных упругих опорах. Изучаются вопросы нахождения критических частот для линейно-упругих опор и определения резонансной области и

условий возникновения автоколебаний и хаотических колебаний в случае нелинейных характеристик упругости опор. Учитывается трение со стороны окружающей среды и внутреннее трение в системе. Проводится сравнение полученных результатов с результатами для жестких и упругих безмассовых опор.

Краткий исторический обзор развития динамики роторов представлен во введениях к известным монографиям Ф. М. Диментберга [6], В. А. Гробова [5], Genta [33], Yamamoto, Ishida [47]. Более подробный обзор имеется в статье Нельсона [39]. В историческом обзоре И. А. Пасынковой и В. С. Сабанеева [24] отмечаются заслуги российских и советских ученых в изучении динамики роторов.

В 1869 г. шотландский ученый Уильям Рэнкин опубликовал короткую заметку [44], в которой впервые было приведено описание влияния центробежных и упругих сил на вращение гибкого вала, приводящее к появлению вращения оси вала в изогнутом состоянии. Для такого движения Рэнкин ввел термин "centrifugal whirling" , который соответствует термину "прецессия оси ротора" в русскоязычной литературе.

Шведский инженер Карл Лаваль в 1883 г. получил патент на морскую паровую турбину, представляющую из себя одноступенчатую турбину с гибким валом, с рабочей скоростью выше критической "whirling speed" Рэнкина.

В 1894 г. С. Данкерлей в [32] предложил эмпирические формулы для расчета критических угловых скоростей вала с дисками.

В 1895 г. профессор Мюнхенского университета Аугуст Фёппль построил первую математическую модель вращающегося вала [34] на основании исследований вала Лаваля, учитывающую влияние дисбаланса ротора. Для модели невесомого вала с диском, эксцентрично укрепленным посередине между опорами, было обнаружено явление самоцентрирования ротора, которое представляет собой стремление центра масс ротора занять положение на линии опор при неограниченном росте угловой скорости вращения ротора, что теоретически обосновало возможность ра-

боты на сверхкритических скоростях. В своей работе Фёппль допустил некоторые ошибки, которые были исправлены А. Стэваром [46] в 1896 г.

Существование второй критической скорости на основе экперимен-тальных данных было отмечено в 1916 г. в работе В. Керра [36], что подтверждало возможность безопасного преодоления первой критической скорости.

Независимо от Фёппля профессор Ирландского Королевского Колледжа Г. Джеффкотт в 1918 г. в работе [35] представил математическую модель системы с двумя степенями свободы, где ротор рассматривается как твердый диск, эксцентрично урепленный на гибком безмассовом валу, что позволило получить точную формулу для критических скоростей. В этой же работе Джеффкотт подтвердил возможность устойчивого вращения вала в закритической области.

Влияние внутреннего трения на потерю устойчивости в закритической области впервые обнаружено в 1923 г. А. Кимбаллом в работах [37] и [38].

Во всех указанных выше работах рассматривались линейные уравнения движения и основные усилия были направлены на определение критических скоростей вращения ротора.

Влияние нелинейных характеристик упругости опор исследовалось в статье Д. Меркина [15], где для модели жёсткого статически неуравновешенного ротора с двумя степенями свободы при общих предположениях о нелинейности были определены неустойчивые режимы и показана возможность гироскопической стабилизации цилиндрической прецессии при отсутствии сил сопротивления.

Целью данной работы является изучение влияния динамики массивно-податливых опор с нелинейными упругими характеристиками на прецессионное движение неуравновешенного ротора, укрепленного на гибком невесомом валу. Проведено качественное исследование цилиндрических, симметричных конических и гиперболоидальных прямых синхронных прецессий при нелинейных характеристиках упругости опор типа Герца

и типа Дуффиига с учетом внешнего и внутренного трения. Во всем диапазоне частот проведено исследование устойчивости по линейному приближению стационарных вращений системы "ротор - массивные опоры".

Используемый метод изначально разработан И. А. Пасынковой для жёстого неуравновешенного ротора с четырьмя степенями свободы, установленного в нелинейно-упругих опорах [18, 19, 20, 22]. Было найдено точное решение уравнений движения ротора, представляющее собой прямую круговую синхронную прецессию. Типы прецессии — цилиндрические, конические и гиперболоидальные различаются по виду поверхности, описываемой осью вращения ротора. Гиперболоидальные прецессии представляют собой связанные цилиндрические и конические прецессии. Такие прецессии были обнаружены, например, в работах Кривцова при изучении вращения центрифуги в линейном случае [11], [12]. Впоследствии, в работах [23, 42, 43] метод И. А. Пасынковой был успешно применён к неуравновешенному ротору, закреплённому на гибком валу в упругих невесомых опорах.

В данной работе модель, рассматриваемая в [23, 42, 43], усложнена учётом масс опор. Система "ротор—массивные опоры" имеет восемь степеней свободы. Такая модель рассматривалась В. А. Гробовым [5], где по методике, основанной на асимптотических методах, проводился расчёт амплитуд стационарных и нестационарных колебаний роторов вблизи резонансов при учете внешнего трения. При исследовании этой модели в [5] либо обе опоры предполагались линейно-упругими, либо одна из них с кусочно-линейной характеристикой упругости.

Типичные для шариковых подшипников качения нелинейные характеристики упругости опор типа Герца рассматривались Д. Р. Меркиным в [15] для ротора с двумя степенями свободы, а также в работах A.C. Кельзона и A.C. Меллера [7, 9, 10] в задаче о вынужденных колебаниях без учёта сил сопротивления. A.C. Кельзоном и A.C. Меллером были получены параметры цилиндрической и конической прецессий полностью

уравновешенного ротора и установлена устойчивость некоторых режимов. Для статически неуравновешенного ротора, закреплённого на гибком валу в невесомых опорах, нелинейные характеристики опор типа Герца рассматривались в [28].

Присущие подшипникам скольжения нелинейные характеристики упругости опор типа Дуффинга рассматривались Д. Р. Меркиным [15] для ротора с двумя степенями свободы, В. А. Гробовым [5] для ротора на гибком валу в безмассовых опорах с одной неподвижной опорой, И. А. Пасынковой [21] в случае полностью неуравновешенного жёсткого ротора без учёта сил сопротивления, и для статически неуравновешенного ротора, закреплённого на гибком валу в невесомых опорах [28].

Известно, что в нелинейных механических системах возможно возникновение автоколебаний. Изучение автоколебаний в динамике роторов проводилось в работе А. Тондла [30] для статически неуравновешенного ротора с двумя степенями свободы, укрепленного в опорах с квазилинейными характеристиками упругости, был предложен приближенный способ нахождения автоколебаний. В диссертации И. А. Пасынковой [28] были найдены границы возбуждения автоколебаний при рассмотрении нелинейных характеристик упругости опор типа Герца и типа Дуффинга для случая жесткого ротора с четырьмя степенями свободы и ротора, укрепленного на гибком невесомом валу в безмассовых опорах.

Рассматриваемая в данной работе модель "ротор-массивно-упругие опоры" относится к разряду сложных механических систем, так как имеет большое число степеней свободы(8) и содержит нелинейные характеристики. Такие системы допускают возникновение хаотических колебаний. В книге [16] Ф. Мун отмечает, что хаотические колебания возможны в механических системах с вращением и при колебаниях изогнутых упругих структур. "Термин "хаотический" применяется в тех детерминированных задачах, где отсутствуют случайные или непредсказуемые силы или параметры... В современной литературе термин "хаотический" применяется к таким движениям в детеминированных физических и ма-

тематических системах, траектории которых обнаруживают сильную зависимость от начальных условий." [16]

В первой главе диссертации дано описание модели "ротор-массивные опоры" с учётом внешнего трения, приведены уравнения движения в общем виде, в которых опоры могут иметь как линейные, так и нелинейные характеристики упругости. Приведено описание метода исследования. Получены аналитические выражения для амплитудно-частотных харак-теристик(АЧХ) цилиндрической, симметричных конической и гипербо-лоидальной прецессий. В общем виде проведено исследование устойчивости по линейному приближению цилиндрической и симметричной конической прецессий, получены условия границ неустойчивых режимов при переходе через нулевые корни характеристического полинома.

Во второй главе рассмотрено прецессионное движение ротора в линейных упругих опорах. Выписаны уравнения движения системы и получено уравнение для нахождения критических скоростей вращения ротора. Обнаружены дополнительные критические скорости, обусловленные влиянием динамики массивных опор. Получены аналитические выражения и построены графики АЧХ симметричных прецессий для динамически вытянутого и динамически сжатого роторов. На больших угловых скоростях вращения обнаружен эффект балансировки ротора. Проведён рассчет критических скоростей турбомолекулярного насоса с учетом масс опор и проведено сравнение с результатами Genta [33] для жёстких опор и И. А. Пасынковой [43] для упругих безмассовых опор, показано влияние масс опор. Результаты второй главы опубликованы в [25].

В третьей главе рассматривается прецессионное движение неуравновешенного ротора для случая нелинейных характеристик упругости опор типа Герца i^d^l) = c^l^l3/2, учитывается внутреннее трение. Получены уравнения движения системы, для симметричных прецессий получены аналитические выражения и построены графики амплитудно-частотных характеристик для динамически вытянутого и динамически сжатого ротора. Проведено исследование устойчивости по линейному

приближению цилиндрической и симметричной конической прецессии, построены условия границ потери устойчивости. Проведено сравнение с работами И. А. Пасынковой [23, 42, 43], где рассмотрены случаи невесомых опор. Выявлены различные сценарии потери устойчивости. Бифуркации могут иметь как "жёсткий" характер со срывом или скачком амплитуды, так и "мягкий" характер, когда потеря устойчивости сопровождается отделением двух устойчивых состояний равновесия. Данная терминология используется В. И. Арнольдом [1], Ю. Неймарком и П. Ландой [17]. Для случая цилиндрической прецессии определена граница возбуждения автоколебаний, проведено численное интегрирование системы на различных угловых скоростях, показывающее сложную динамику движения ротора. Без учёта масс опор автоколебания наблюдались только в закритической области [2, 14, 28, 30, 45]. Однако в связи с появлением дополнительных резонансов, связанных с динамическими свойствами опор, автоколебания могут появиться в межрезонансной или за-резонансной областях в зависимости от параметров системы. Характер полученных аттракторов (предельный цикл или странный аттрактор) подтверждён с помощью вычисления спектра ляпуновских показателей. Для вычисления спектра показателей Ляпунова применяется алгоритм Беннетина, приведенный в работах [13, 40]. В рассматриваемых случаях обнаружена хаотизация предельных циклов на частотах, удаленных от границы возбуждения автоколебаний. В каждом случае построено отображение Пуанкаре. Результаты этой главы опубликованы в [29].

В четвертой главе изучается прецессионное движение системы "ротор-массивные опоры" с нелинейными упругими характеристиками типа Дуффинга ^(1^1) =

1^1 + и с учетом внутреннего трения.

Выписаны уравнения движения системы, для симметричных прецессий получены аналитические формулы и построены графики АЧХ для динамически вытянутого и динамически сжатого ротора. Проведено исследование устойчивости по линейному приближению цилиндрической и симметричной конической прецессии, найдены границы потери устойчиво-

сти стационарных движений. Для цилиндрической прецессии определена граница возбуждения автоколебаний, проведено численное интегрирование системы при различных угловых скоростях. Обнаружен переходный х�