Динамика параметрического взаимодействия винтовых фазовых дислокаций тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи УДК 621.372; 621.373

Калинович Алексей Андреевич

ДИНАМИКА ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВИНТОВЫХ ФАЗОВЫХ ДИСЛОКАЦИЙ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре радиофизики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор А. П. Сухорукое

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор П.В. Короленко

Кандидат физико-математических наук, доцент A.C. Золотько

Ведущая организация: Институт общей физики

им. A.M. Прохорова РАН

Защита диссертации состоится о. J-5 » 2005 года в 15.00

часов на заседании Специализированного Совета Д.501.001.67 в МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, ГСП, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан «<1Ь » <L-ltCLJ2 2005

Ученый секретарь Специализированного Совета Д.50 57 кандидат физико-математически:

А. Ф. Королев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Вихревая структура присуща многим волновым явлениям. В последние десятилетия внимание исследователей, работающих в области лазерной физики, когерентной и нелинейной оптики, привлекли необычные свойства вортексов - электромагнитных полей с винтовой формой волнового фронта. Возникла новая область исследований - сингулярная оптика. Основополагающая работа в этой области была написана в 1974 году Наем и Берри [1]. В ней рассмотрены фазовые дислокации, близкие по топологической структуре некоторым типам дефектов в кристаллах. В окрестности дислокации потоки энергии приобретают вихревой характер, вследствие чего оптические вихри являются устойчивыми к воздействию дифракции [2]. Благодаря этому их можно использовать для хранения, передачи и обработки информации.

Суперпозицию вортексов можно использовать для выполнения различных математических операций. Так, при наложении несоосных винтовых фазовых дислокаций возникает либо одна, либо три дислокации [3]. В связи с этим представляет интерес дальнейшая разработка теории взаимодействия дислокаций. В первую очередь необходимо детально исследовать суперпозицию двух несоосных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации, в зависимости от соотношения фаз, амплитуд и расстояния между ними. Перечисленные параметры могут меняться с расстоянием в параметрически связанных волновых пучках. Это мало исследованное направление в сингулярной оптике.

Отдельной проблемой стоят методы генерации оптических вихрей. Обычно используют голограммы и фазовые маски. Кроме этого дислокации, могут возникать в открытых резонаторах [4] и при взаимодействии неколлинеарных гауссовых пучков [5]. есообразным

обобщить результаты этих подходов на неколлинеарное параметрическое взаимодействие.

Цель работы.

Целью настоящей работы является разработка аналитической теории и проведение численного моделирования взаимодействия параметрически связанных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации с одинаковыми или противоположными топологическими зарядами. В соответствии с этим решались следующие задачи:

- анализ линейной суперпозиции двух несоосных вортексов, имеющих разные амплитуды и фазы,

- описание динамики коллинеарного и неколлинеарного взаимодействия параметрически связанных оптических вихрей,

- анализ влияния сноса энергии на динамику возбуждения оптических вихрей,

- нахождение траекторий дислокаций при переключении вортексов,

- определение границ областей параметров, при которых возникает то или иное число дислокаций.

Научная новизна работы заключается в следующем.

- Впервые проведена полная классификация различных случаев суперпозиции двух разнесенных винтовых фазовых дислокаций с одинаковыми или разными зарядами.

- Найдены области существования заданного числа дислокаций. На границах областей, положение которых определяется соотношением амплитуд, разностью фаз и расстоянием между исходными вортексами, рождается или аннигилирует пара разноименных дислокаций.

- Впервые развита теория параметрического взаимодействия и переключения одноименных вортексом в процессе распространения волн в квадратично нелинейной среде, как при выполнении фазового синхронизма, так и при его нарушении.

АЛ'' ' »

- Разработан оригинальный метод построения траекторий винтовых фазовых дислокаций и определения по их типу областей существования заданного числа вортексов.

- Впервые представлена динамика параметрического переключения разноименных вортексов, когда на промежуточном этапе возникают дополнительно два других разноименных вортекса.

- Впервые развита аналитическая модель, описывающее влияние сноса и неколлинеарности пучков на динамику образования и миграции дислокаций в поперечном сечении пучка

Достоверность результатов диссертации обеспечена корректностью постановок задач, использование обоснованных методов расчетов, а также хорошим совпадением аналитических результатов с численным моделированием.

Научная и практическая значимость работы:

На основании развитой теории показана принципиальная возможность генерации заданного числа фазовых дислокаций с указанием их координат. Найдены области параметров трех волн, при которых параметрическое переключения вортексов идет по выбранному сценарию. Разработан оригинальный метод построения траекторий дислокаций в 3-х мерном пространстве. Полученные результаты могут быть использованы в других областях оптики и волновой физики.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на VII, VIII и IX Всероссийских школах-семинарах "Физика и применение микроволн" (Московская область, 1999, 2001, 2003 гг.), VII и IX Всероссийских школах-семинарах "Волновые явления в неоднородных средах" (Московская область, 2000, 2004 гг.), II Международной конференции «Современные направления в вычислительной физике» (Дубна, 2000 г.), Научной молодежной школе "0птика-2000" (Санкт-Петербург 2000 г.), II и III Международных конференциях молодых ученых и

специалистов "0птика-2001" и "0птика-2003" (Санкт-Петербург 2001,2003 гг.), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.), Симпозиуме по лазерной физике (Братислава, Словакия, 2002 г.), Международной конференции "Квантовая электроника 2002", (Москва, 2002 г.), Международной конференции "Нелинейно направляемые волны и их применение" (Стреза, Италия, 2002 г), Международной конференции "Лазерная физика и применение лазеров", (Минск, Белоруссия, 2003 г.), Второй международной конференции по лазерной оптике для молодых ученых (Санкт-Петербург 2003 г), XI конференции по лазерной оптике (Санкт-Петербург 2003 г), Международной конференции по нелинейной и лазерной оптике (Санкт-Петербург 2005 г).

Материал диссертации докладывался и обсуждался на семинарах кафедры радиофизики физического факультета МГУ.

Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в 23 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы, включающего 161 наименований. Общий объем работы составляет 113 страниц, включающих 38 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор выбранных направлений исследований, обосновывается актуальность избранной темы, излагается общая постановка задач и описывается структура диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается суперпозиция двух несоосных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации. При этом

6

благодаря взаимному влиянию количество дислокаций и их положение в интерференционном поле отличаются от начальных значений у невзаимодействующих пучков. Глава состоит из 3 параграфов.

В первом параграфе описываются свойства пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации с положительными и отрицательными топологическими зарядами. В диссертации исследуются винтовые дислокации лагерр-гауссовых пучков с огибающей

А = (Е / иИ ) [х - х„ + / яйл т {у - у,)] Нехр[- (х - *„ )2 / - (у - у„ )2 / и>2 ], (1) где V/ - ширина пучка, Е - амплитуда, лг„ и у „ - координаты центра дислокации. Такие пучки являются автомодельными, т.е. сохраняют свою структуру при дифракции. Описан метод интерферограммы для идентификации винтовых фазовых дислокаций по наличию характерных «вилок».

Во втором параграфе анализируется суперпозиция двух несоосных оптических вихрей с одноименными топологическими зарядами. Найдены уравнения для координат новых дислокаций в зависимости от отношения амплитуд исходных пучков ¡3, разности фаз <р, расстояния между центрами х0

в неявном виде: хсй(4хс0-\л/})+хсо%<р = х05И(4хх0-\пр), у = ^^п<Р(х + хо)

е + рсо^ф

Найдены границы областей параметров, внутри которых существует одна либо три дислокации (рис. 1 а). При этом общий заряд всех дислокаций остается неизменным и равным единице.

СОВ ф 1,0

С08 ф 1,00-.

(б)

-0,5

-1,0

0,0

0,5

О 1 2 3 4 5 Р

0,95

0,90

0,85'

0 12 3 4

5 Р

Рис. 1. Области параметров с одинаковым количеством дислокаций при суперпозиции одноименных (а) и разноименных (б) дислокаций для различных значений смещения центров х0.

В третьем параграфе исследуется суперпозиция оптических вихрей с разноименными топологическими зарядами. Координаты дислокаций при этом находятся из следующих уравнений: х0 сИ(Ахх0 -1п/?) + х0соз(з = дг^/1(4хх0 -1п/?), - /Зьт<р(х + х0)

у = ——-. Здесь могут появляться две или четыре разноименными

е '' -рсоыр

дислокации (рис. 1 б). Общий заряд в этом случае всегда равен нулю.

Во второй главе диссертации изучается динамика коллинеарного параметрического взаимодействия двух несоосных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации. Находятся траектории дислокаций, прослеживается рождение и аннигиляция пар дислокаций. Глава состоит из 4 параграфов.

В первом параграфе приводятся основные уравнения трехчастотного параметрического взаимодействия:

где г - продольная координата, А1 - комплексная амплитуда у - го пучка, Дх -поперечный оператор Лапласа, вч - угол сноса энергии вследствие

анизотропии нелинейного кристалла, О, = (2к}) 1 - коэффициент дифракции, у, - коэффициент нелинейного взаимодействия, Ак = к)-к,-к1 - расстройка волновых векторов. Эти уравнения решаются численно для различных вариантов входных пучков.

Кроме того, мы развили аналитическую теорию динамики распространения параметрически связанных пучков в поле широкой низкочастотной волны накачки. В этом случае накачка сохраняет постоянной свою амплитуду на всем протяжении взаимодействия: Л, =£,. В отсутствие сноса и при слабой дифракции маятниковое решение, описывающее параметрически связанные пучки на второй и третьей частотах имеет вид:

. &кА20 + 2у2А30А10

Л2 =

А3 =

А20 cos(rz)-¿ 20 sin(fz)

Ai0 cos(fz) - ,.-AHo+2y3^,osm(rz)

ibkz/2

(За)

е,ш'\ (3 6)

где Aj0 - начальный профиль пучка, r = [y2y3£,2 + (A£/2)2]"2 =n¡Lp, Lp -пространственная длина перекачки.

С учетом малого сноса при фазовом синхронизме решение приобретает более сложную форму:

л л г в дА™ - г • л УгЕ'\ ■ гА 2= А20 cosr0 z -——— sm Г0 z -1А3smro z (4 a)

Г„ дх Г0

в дАК у.Е'

А3=А30 cosr0 z +——— sin Г0 z - / smro z, (4 6)

1 n ОХ 1 n

где Г0 = у1у2у}Е? .

Во втором параграфе исследуется динамика коллинеарного параметрического взаимодействия двух несоосных оптических вихрей одноименного топологического заряда при фазовом синхронизме, когда = 0.

Найдено, что в процессе взаимодействия происходит суперпозиция начальных профилей с переменным коэффициентом амплитуд. В результате дислокации совершают перемещения в поперечном сечении, формируя одну или три дислокации (две из них имеют противоположные знаки и периодически рождаются и аннигилируют). Динамика рождения и аннигиляции пар дислокаций показана на карте траекторий (рис. 2 а). В области перехлеста существуют три дислокации.

Рис. 2. Траектории дислокаций при переключении одноименных (а, б) и разноименных (в) дислокаций. Начальный фазовый сдвиг <р„ = 0, смешение центров

х0 = 0.7 (а, б) и х0 =1.0 (в). Расстройка Ак = 0 (а, в), Д£ = 1.0 (б). Сплошные кривые показывают аналитические зависимости, пунктирные - результат численного моделирования полных уравнений трехчастотного взаимодействия. В третьем параграфе рассматривается динамика параметрического

взаимодействия двух несоосных оптических вихрей одноименного

топологического заряда при расстройке волновых векторов, ДА: * 0. При этом с

расстоянием г меняется не только коэффициент отношения амплитуд, но и

разность фаз между пучками. Траектория дислокаций приведена на рис. 2 б.

В четвертом параграфе анализируется параметрическое взаимодействие

двух несоосных оптических вихрей разноименного топологического заряда. В

поперечном сечении могут существовать одновременно две или четыре

дислокации с общим нулевым зарядом. Динамика переключения показана на

рис. 2 в.

В третьей главе диссертации изучается неколлинеарное параметрическое взаимодействие пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации. Пучки второй и третьей частот испытывают снос энергии в противоположные

стороны от мощной низкочастотной волны накачки. Глава состоит из 3 параграфов.

В первом параграфе исследуется случай неколлинеарного параметрического взаимодействия двух соосных дислокаций с одноименными топологическими зарядами. Найдено аналитическое решение для траекторий при малом угле сноса и малом отклонении дислокаций. Показано, что дислокации совершают периодические колебания в окрестности оси накачки, амплитуда колебаний пропорциональна величине угла сноса энергии в:

эшГ02(собГ02 + ра&\п(ра втГдг)

cos2 Г <¡z+P0 sin (/>„ sin 2Г0 z+Pl sin2 Г0 z'

__cosy р sin2 Г0 z_

cos2 Г0 z + /70 sin sin 2Г0 z + /?02 sin2 Г0 z '

(5 а) (5 б)

о 30

где Ро = ——=—. Аналитические зависимости (5) хорошо согласуются с А 2о1 0

данными численного моделирования полных уравнений трехчастотного взаимодействия (2).

Во втором параграфе представлена теория неколлинеарного параметрического взаимодействия двух несоосных одноименных оптических вихрей. В случае малого начального разнесения х0 «1 дислокаций также совершают колебания в пространстве, двигаясь по траекториям с координатами:

х _ *q(cos 2 Г„г - Pl sin2 Г„г)+в Г„-' sm Г„ z (cos Г0 z + /?0 sin g>0 sin Г0 z) ^

eos2 Г0 z+рй sin <рй sin 2Г0 z+Pl sin2 Г0 z '

x0 eos q> P0 sin 2Г0г + в Г0P0 cos tp0 sin Г0 z cos2 Г0 г+/?0 sin sin 2Г0 z + „ sin! Г0 z

(6 6)

В третьем параграфе исследуется неколлинеарное параметрическое взаимодействие двух разноименных оптических вихрей. Согласно полученным выражениям

¿„(соя2 Г^-Д, яп^, 8т2Г„ г+Д02 вт2 Г^)+—зтГ0 г (сояГ,, г- Д, яп<»0 втГ,, 2)

со^Гог-Д^т2!^

,(7 а)

*о До 81П 2Г„г + 0Г"' Д0 со8?„ 8т2 Г„ г соз2 Г0 г - Д02 зт2 Г„ г

(7 6)

дислокации движутся по гиперболам, периодически уходя на бесконечность. Это происходит, когда пучки взаимодействуют в противофазе.

В четвертой главе диссертации изучается генерация дислокаций при неколлинеарном параметрическом взаимодействии двух несоосных гауссовых пучков. Благодаря тому, что пучки наклонены друг относительно друга и их центры смещены, при их взаимодействии появляются точки с нулевой амплитудой, фаза вокруг которых имеет сложную структуру. Глава состоит из 4 параграфов.

В первом параграфе исследуется генерация оптических вихрей при неколлинеарном взаимодействии гауссовых пучков. Выведены уравнения, описывающие координаты возникающих дислокаций:

тгах ~Ро ®ф{- 4хжо - 4УУо}ам(2а+ 2ауу - <р0) = 0, (8 а)

где ах и ау - коэффициенты наклона пучков.

Во втором параграфе анализируются полученные в предыдущем пункте уравнения для случая взаимодействия соосных пучков. Найдено, что возникает цепочка дислокаций, однако только некоторые из них находятся вблизи области со значительной амплитудой. Для генерации дислокаций необходимо,

чтобы амплитуда, переносимая с одного пучка на другой, превышала

- „ 0а,

некоторую минимальную величину Д > ртт = —-.

2.

С£Г0г + - =0,

(8 6)

В третьем параграфе рассматривается генерация дислокаций при неколлинеарном взаимодействии смещенных гауссовых пучков. Найдены аналитические зависимости для координат дислокаций в случае отсутствия сноса энергии. При этом ход траектории может меняться скачкообразно. В результате численного моделирования найдено, что наличие небольшого сноса приводит к тому, что разрывы траекторий сглаживаются

В четвертом параграфе путем численного моделирования (2) показано, что полученные дислокации сохраняют свои свойства при действии дифракции, следовательно, их можно использовать для решении различных задая. Для этого часть пучка с одной из дислокаций пропускалась сквозь мягкую диафрагму. Затем наблюдалась дифракция выделенного пучка в линейной среде.

В приложении А описана разностная схема для численного решения уравнений распространения пучков первой, второй и третьей частот и методика численного моделирования, используемая в работе.

В приложении Б описан алгоритм нахождения координат дислокаций при численных расчетах.

В заключении изложены основные выводы диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Выведены выражения, задающие в неявном виде координаты дислокаций при взаимодействии двух несоосных пучков, содержащих единичные дислокации. Найдены методы их точного решения. Выполнена классификация различных случаев суперпозиции таких пучков. Найдены области существования заданного числа дислокаций. На границах областей, положение которых определяется соотношением амплитуд, разностью фаз и расстоянием между начальными вортексами, рождается или аннигилирует пара разноименных дислокаций. Вид этих областей различен для одноименных и разноименных зарядов.

2. Разработана полная теория параметрического взаимодействия вортексов сигнальной и холостой волн в поле широкой низкочастотной волны накачки в квадратично нелинейной среде, как при выполнении фазового синхронизма, так и без него. В основу теории положены три уравнения для огибающих волн накачки, сигнальной и холостой волн. Разработан оригинальный метод построения 3-х мерных траекторий винтовых фазовых дислокаций и определения областей существования определенного числа вортексов.

3. Путем применения численного моделирования и аналитических моделей показано, что в ходе переключения одноименных дислокаций существует либо одна, либо три дислокации, а при взаимодействии положительной и отрицательной дислокаций - два или четыре вортекса. После окончания переключения число дислокаций равно исходному числу.

4. Проанализирована динамика оптических вихрей при коллинеарном параметрическом взаимодействии несоосных пучков. Выяснено, что в зависимости от начальных параметров возможна как плавная миграция дислокации между центрами гауссовых пучков, так и перемещение дислокации путем возникновения и, затем, аннигиляции пары дислокаций.

5. Выведен анализ влияния сноса энергии на динамику переключения. Получены приближенные решения для огибающих сигнального и холостого пучков. Рассмотрены случаи взаимодействия дислокаций одинакового и противоположного знаков, соосных и несоосных пучков. Аналитически найдены траектории дислокаций для случая малых отклонений от центра пучка, и выполнено сравнение с численным решением полных уравнений трехчастотного взаимодействия.

6. Получены выражения для координат генерируемых дислокаций в случае взаимодействия несмещенных наклонных гауссовых пучков при сносе энергии, найдено минимальная величина отношения амплитуд, необходимая для генерации цепочки дислокаций. С помощью численного моделирования прослежено распространение созданной подобным образом дислокации в

линейной среде. Выяснено, что любой выделенный мягкой диафрагмой вортекс сохраняется при дифракции в линейной среде.

ЛИТЕРАТУРА

1. J.F. Nye, M.V. Berry Dislocations in wave trains // Proc. R. Soc. Lond. A. 1974. V. 336. P. 165-190.

2. Б.Я. Зельдович, Н.Ф. Пилипецкий, B.B. Шкунов Обращение волнового фронта. М.: Наука. 1985.

3. G. Molina-Terriza, J. Recolons, L. Tomer The curious arithmetic of optical vortices // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 16. P. 1135-1137.

4. Л.Е. Гринь, П.В. Короленко, H.H. Федотов О генерации лазерных пучков с винтовой структурой волнового фронта // Оптика и спектроскопия. 1992. т. 73. вып. 5. С. 1007-1010.

5. Н.Н. Розанов О формировании излучения с дислокациями волнового фронта // Оптика и спектроскопия. 1993. Т. 75. № 4. С. 861-867.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. А.А. Калинович, А.П. Сухорукое Динамика параметрически связанных винтовых дислокаций // Изв. РАН. Сер. Физ. 1999. Т. 63. №12. С. 24112416.

2. И.Г. Захарова, А.А. Калинович, А.П. Сухорукое Адаптация метода прозрачных граничных условий для моделирования задачи трехчастотного взаимодействия с учетом сноса энергии // Изв. РАН. Сер. Физ. 2000. Т. 64. № 12. С. 2373-2376.

3. И.Г. Захарова, А.А. Калинович, А.П. Сухорукое Интерференция двух смещенных винтовых дислокаций, имеющих разные амплитуды и фазы // Изв. РАН. Сер. Физ. 2001. Т. 65. № 12. С. 1726-1729.

4. D.A. Chuprakov, А.А. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov, I.G. Zakharova Effective Numerical Methods for Simulating (2+l)D Three-Wave Mixing// Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering. 2002. V. 2. № ls-2s. P. 51-56.

5. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Tomer Superposition of noncoaxial vortices in parametric wave mixing // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 026611.

6. А.А. Калинович, А.П. Сухорукое Параметрическое взаимодействие винтовых фазовых дислокаций при наличии сноса энергии // Изв. РАН. Сер. Физ. 2003. Т. 67. С. 1745 - 1747.

7. А.А. Калинович, В.В. Янгирова А.П. Сухорукое Генерация винтовых фазовых дислокаций при взаимодействии несоосных непланарных гауссовых пучков // Изв. РАН. Сер. Физ. 2004. Т. 68. С. 1799-1803.

8. А.А. Калинович, А.П. Сухорукое Динамика винтовых фазовых дислокаций при параметрическом преобразовании частоты в поле мощной гауссовой накачки // Труды VII Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». Красновидово. Московская область. 1999. Изд. Физфак МГУ. T. 1.С. 51-53.

9. И.Г. Захарова, А.А. Калинович, А.П. Сухорукое Адаптация метода прозрачных граничных условий для моделирования задачи трехчастотного взаимодействия с учетом сноса энергии // Труды VII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". Красновидово. Московская область. 2000. Изд. Физфак МГУ. Т. 1. С. 66-68.

10. A.A. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov, I.G. Zakharova Adaptation of Transparent Boundary Conditions for Simulation of Wave Mixing with Walk-of // Proceedings of II International Conference "Modern Trends in Computational Physics". 2000. Dubna. P. 91.

11. А.А. Калинович, А.П. Сухорукое Динамика взаимодействия пучков с винтовыми фазовыми дислокациями // Научная молодежная школа "0птика-2000". Санкт-Петербург. 2000. С. 65-66.

12. И.Г. Захарова, А.А. Калинович, А.П. Сухорукое Интерференция двух смещенных винтовых дислокаций, имеющих разные амплитуды и фазы // Труды VIII Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». Звенигород. Московская область. 2001. Изд. Физфак МГУ. С. 94-95.

13. А.А. Калинович Суммирование двух смещенных винтовых дислокаций с неодинаковыми амплитудами и фазами // 2 Международная конференция молодых ученых и специалистов "0птика-2001". С.-Петербург. Россия.

2001. С. 70.

14. А.А. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov, I.G. Zaharova Peculiarities of optical vorticies spreading in quadratic nonlinear media // V International Congress on Mathematical Modeling Dubna. Book of abstracts. 2002. V. 1. P. 242.

15. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Tomer Optical coupled vortices // Laser Physics Workshop'02. Book of abstracts. Bratislava.

2002. P. 185.

16. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Tomer Opical vortices of parametrically coupled waves // International Quantum Electronics Conference 2002. Technical Digest. Moscow. Russia. 2002. P. 60.

17. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Tomer Optical vortices of parametrically coupled waves // Nonlinear guided waves and their applications. 2002. Technical digest. P. NLMD25.

18. А.А. Калинович, А.П. Сухорукое Влияние сноса энергии на параметрическое преобразование фазовых дислокаций // Труды IX Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн". Звенигород. 2003. Т. 2. С. 100.

19. А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Динамика оптических вортексов при параметрической связи волн// Тезисы международной конференции "Лазерная физика и применение лазеров". Минск. Белоруссия. 2003. С. II-5У-

20. А.А. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov Optical vortices in three-wave mixing with walk-off // Technical Digest of Second International Conference on Laser Optics for Young Scientists. St.Petersburg. Russia. 2003. P. 27.

21. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich Optical vortices of coupled waves // Technical Program of XI Conference on Laser Optics. St.Petersburg. Russia. 2003. P. 38.

22. A.A. Калинович, А.П. Сухоруков Снос энергии в параметрически взаимодействующих пучках с винтовыми дислокациями // Сборник трудов III Международной конференции молодых ученых и специалистов "Оптика - 2003". Санкт-Петербург. 2003. С. 48.

23. А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Возникновение винтовых фазовых дислокаций при неколлинеарном параметрическом взаимодействии гауссовых пучков // Труды IX Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах". Звенигород. 2004. Т. 2. С. 9.

24. А.А. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov Noncollinear parametric interaction of optical vortices // International Conference of Coherent and Nonlinear Optics. St. Petersburg. 2005. C. 14.

И 2 1 7 о

РНБ Русский фонд

2006-4 6924

!

Введение.

Глава 1. Суперпозиция пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации.

1.1. Общая характеристика пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации.

1.2. Суперпозиция двух несоосных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации с одноименным топологическим зарядом.

1.3. Суперпозиция двух несоосных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации с разноименными топологическими зарядами.

Глава 2. Параметрическое взаимодействие двух несоосных пучков, содержащих винтовые дислокации.

2.1. Трехчастотное взаимодействие в средах с квадратичной нелинейностью.

2.2 Параметрическое взаимодействие двух смещенных одноименных дислокаций при фазовом синхронизме.

2.3. Параметрическое взаимодействие двух смещенных одноименных дислокаций при фазовой расстройке.

2.4. Параметрическое взаимодействие двух смещенных пучков, содержащих разноименные дислокации.

Глава 3. Динамика винтовых дислокаций при неколлинеарном параметрическом взаимодействии.

3.1. Неколлинеарное параметрическое взаимодействие одноименных дислокаций при отсутствии начального смещения.

3.2. Неколлинеарное параметрическое взаимодействие одноименных дислокаций при начальном смещении центров пучков.

3.3. Неколлинеарное параметрическое взаимодействие разноименных дислокаций при сносе энергии.

Глава 4. Параметрическая генерация фазовых дислокаций наклонными гауссовыми пучками при сносе энергии.

4.1. Генерация фазовых дислокаций несоосными гауссовыми пучками при неколлинеарном взаимодействии.

4.2. Взаимодействие несмещенных наклонных гауссовых пучков при сносе энергии.

4.3. Взаимодействие смещенных наклонных гауссовых пучков.

4.4. Свободное распространение сгенерированных оптических дислокаций.

Вихревая структура присуща многим волновым явлениям. В последние десятилетия внимание исследователей, работающих в области лазерной физики, когерентной и нелинейной оптики, привлекли необычные свойства вортексов - электромагнитных полей с винтовой формой волнового фронта. В основополагающей работе, написанной Наем и Берри в 1974 году [1], впервые рассмотрены фазовые дислокации, близкие по топологической структуре некоторым типам дефектов в кристаллах. Затем было опубликовано большое число работ, в которых исследованы основные свойства вортексов, их распространение и взаимодействие [2-25]. Так как вортексы представляют собой фазовые сингулярности, то они являются одним из основных объектов исследований в сингулярной оптике.

Существуют три типа дислокаций в монохроматических волнах: во-первых, линейная дислокация, называемая также краевой, во-вторых, винтовая фазовая дислокация и, в-третьих, смешанная дислокация, представляющая собой комбинацию первых двух. Линейная дислокация представляет собой линию в поперечном сечении пучка, при пересечении которой фаза совершает скачок на л-. В некоторых модах лазерного излучения линейные дислокации видны как темные окружности.

В отличие от линейной, винтовая дислокация является точечной фазовой сингулярностью, в центре которой интенсивность волны стремится к нулю, а фаза неопределенна. В окрестности дислокации фаза закручивается винтовым образом: при обходе вокруг центра по замкнутому контуру происходит набег на величину, кратную 2 л-. Для характеристики дислокаций вводят так называемый топологический заряд т. Его модуль равен величине кругового набега фазы, деленной на 2к. Положительный знак топологического заряда соответствует закрученным вправо фазам, а отрицательный - закрученным влево. Следует отметить, что дислокации с единичным зарядом т = ± 1 устойчивы по отношению к малым возмущениям волнового фронта. Вортексы с большим зарядом могут распасться на несколько единичных дислокаций с сохранением суммарного топологического заряда [4].

Так как пучок, содержащий винтовую дислокацию, имеет ненулевую азимутальную компоненту вектора Пойнтинга, то пучок с такой дислокацией называют оптическим вихрем [16].

Фазовый фронт пучка, несущего вортекс, становится многолистной поверхностью - геликоидом [5]. Подобная структура наблюдается в кристаллической решетке, имеющей дефект типа винтовой дислокации, поэтому вышеупомянутый термин применяют и в сингулярной оптике.

Отдельной проблемой является идентификация оптических вихрей. Образование винтовых дислокаций на волновом фронте пучка является чисто фазовым эффектом. Хотя дислокации и соответствует область с минимумом амплитуды, не любой минимум говорит о наличии топологических особенностей. Приборы, измеряющие только интенсивность и, в частности, человеческий глаз, не могут дать заключение о наличии фазовой дислокации. Поэтому единственным способом, обеспечивающим надежную идентификацию оптических вихрей, является использование интерферометрической информации [24-26]. При этом обычно на исследуемый пучок накладывается наклонная опорная волна со сферической или плоской фазовой поверхностью. В результате суперпозиции образуется система интерференционных полос. Например, обе волны имеют плоский волной фронт, то все полосы параллельны друг другу. Если пучок имеет сложную фазовую структуру, но не содержит особенностей, то интерференционные линии перестают быть параллельными прямыми, но не пересекаются друг с другом. Если же фазовый фронт имеет спиралевидную форму, то в центре винтовой дислокации две соседние линии на интерферограмме сливаются в одну, образуются характерные «вилки». На интерференционных эффектах оптических вихрей основано и их использование в различных интерферометрах, при этом такая система обладает большей чувствительностью к фазовым сдвигам между пучками [27]. Также винтовые фазовые дислокации, применяют для коллимации лазерных пучков [28].

Оптические вихри являются устойчивыми к действию дифракции [6]: при расплывании пучка вортекс сохраняется, так как нулевой провал в амплитудном профиле не замывается. Благодаря такой устойчивости их можно использовать для хранения, передачи и обработки информации. В ряде работ созданы полностью оптические волноводы на основе оптических вихрей, то есть, осуществлено управление света светом [20-21]. Такие устойчивые структуры были использованы также в экспериментах для захвата микрочастиц, в частности, полых стеклянных шариков размерами в десятки и сотни микрон, плавающих в воде [22-23].

Большой интерес вызывает генерация солитонов при захвате пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации. Такие солитоны имеют угловой момент [29-49]. Были исследованы свойства вортекс-солитонов в средах с квадратичной нелинейностью [29-34], с кубичной нелинейностью как фокусирующего, так и дефокусирующего типа [35-45], при наличии нелинейностей разных порядков [46], в фоторефрактивных средах [47]. Было проанализировано их формирование, устойчивость, взаимодействие [48] и управление ими с помощью слабого когерентного пучка [49]. Показано, что вортекс-солитон в квадратично-нелинейной среде благодаря модуляционной неустойчивости по азимутальной координате может распасться на несколько обычных, невихревых квадратичных солитонов [31-33]. Однако слабая добавочная кубичная нелинейность может устранять модуляционную нестабильность квадратичных вихревых солитонов [34].

Важной проблемой является разработка методов генерация пучков с оптическими вихрями [40-74]. В одних случаях фазовые дислокации могут появляться непроизвольно [6], в частности, при отражении когерентного излучения от шероховатой поверхности или при его прохождении через неоднородную среду, в том числе через атмосферу [1, 6-7, 50-52]. При этом количество дислокаций напрямую связано с флуктуациями показателя преломления воздуха. Были предложены и нашли практическую реализацию методы диагностики турбулентных состояний атмосферы на основе регистрации и подсчета числа дислокаций [51-52].

С другой стороны стоит задача получения мощных лазерных пучков, содержащих фазовые вихри с заданными свойствами. При этом возможно два варианта: формирование дислокаций внутри лазерных резонаторов или изменение топологии лазерного излучения после выхода из резонатора. В первом случае возбуждается мода с винтовой формой волнового фронта. Эксперименты подобного рода проведены, в частности, в [53-56].

Второй вариант реализуется при пропускании одномодового лазерного излучения через оптически неоднородные объекты. Наиболее распространен метод голографии: при этом когерентное излучение пропускают через синтезированную голограмму оптического вихря, предварительно специально рассчитанную на компьютере [58-62]. Также вместо голограммы можно применять феррит-гранатовые магнитные пленки с полосовой доменной структурой [63]. Другим распространенным способом является использование специальной маски переменной оптической толщины; при этом сдвиг фаз меняется пропорционально азимутальной полярной координате [64-66]. Кроме того, дислокации могут появляться при дифракции Фраунгофера на линзе небольшой апертуры [67], интерференции двух гауссовых пучков [68] или нескольких плоских волн [68-69], дифракции на кругах Эйри [70], при прохождении излучения через волновод [71-72], гауссову линзу [73], одноосный кристалл [74] и жидкие кристаллы [75].

Распространение вихрей различного вида исследовано в свободном пространстве [16, 76-100], в волноводах [101-102], в квадратично-нелинейных средах [103-116], в кубично-нелинейных средах [117-124], при рассеянии Манделыптама-Бриллюэна [125], в фоторефрактивных средах [126-127], в фотонных кристаллах [128-130], в анизотропных средах [131-134].

Неочевидные результаты возникают при линейной суперпозиции оптических вихрей. Если существует несколько дислокаций, то при обходе вокруг них суммарный набег фазы будет равен арифметической сумме набегов от всех дислокаций. Однако, суперпозиция пучков, содержащих дислокации не всегда приводит к сохранению суммарного топологического заряда; большую роль здесь играет форма пучков. Так, в [76] показано, что при взаимодействии двух несоосных гауссовых пучков, несущих равные топологические заряды, возникает либо одна, либо три дислокации, две из которых имеют противоположные знаки зарядов. В связи с этим в диссертации разрабатывается детальная теория суперпозиции дислокаций в зависимости от их топологических зарядов, смещения центров, отношения амплитуд и разности фаз.

Более сложные эффекты возникают при нелинейном взаимодействии оптических вихрей. При распространении таких пучков в нелинейных средах происходит рождение и аннигиляция пар дислокаций противоположного заряда, миграция дислокаций по сечению пучка. Показано, что в квадратично-нелинейных средах на удвоенной частоте возникает вихрь удвоенного топологического заряда [109]. Картина взаимодействия существенно усложняется при неколлинеарном нелинейном взаимодействии из-за сноса энергии [110]. В случае взаимодействия нескольких различных оптических вихрей на разных частотах происходит образование многовихревых пучков сложной структуры [112-114].

Несмотря на все вышеперечисленное теория генерации и взаимодействия пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации, нуждается в дальнейшей разработке. Так, представляется целесообразным построить детальную теорию взаимодействия двух оптических вихрей одноименного и разноименного топологического заряда в зависимости от отношения их амплитуд, сдвиг фаз и смещения центров пучков, частным случаем которой будут результаты, полученные в [76]. Полученные результаты позволят описать динамику взаимодействия двух оптических вихрей, в частности, при параметрическом взаимодействии, в результате которого появляется сложные структуры, содержащие несколько дислокаций.

Данная работа была выполнена для решения задач генерации и взаимодействия оптических вихрей. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 161 наименование. Общий объем работы составляет 113 страниц, включающих 38 рисунков.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть сформулированы следующим образом:

1. Выведены выражения, задающие в неявном виде координаты дислокаций при взаимодействии двух несоосных пучков, содержащих единичные дислокации. Найдены методы их точного решения. Выполнена классификация различных случаев суперпозиции таких пучков. Найдены области существования заданного числа дислокаций. На границах областей, положение которых определяется соотношением амплитуд, разностью фаз и расстоянием между начальными вортексами, рождается или аннигилирует пара разноименных дислокаций. Вид этих областей различен для одноименных и разноименных зарядов.

2. Разработана полная теория параметрического взаимодействия вортексов сигнальной и холостой волн в поле широкой низкочастотной волны накачки в квадратично нелинейной среде, как при выполнении фазового синхронизма, так и без него. В основу теории положены три уравнения для огибающих волн накачки, сигнальной и холостой волн. Разработан оригинальный метод построения 3-х мерных траекторий винтовых фазовых дислокаций и определения областей существования определенного числа вортексов.

3. Путем применения численного моделирования и аналитических моделей показано, что в ходе переключения одноименных дислокаций существует либо одна, либо три дислокации, а при взаимодействии положительной и отрицательной дислокаций - два или четыре вортекса. После окончания переключения число дислокаций равно исходному числу.

4. Проанализирована динамика оптических вихрей при коллинеарном параметрическом взаимодействии несоосных пучков. Выяснено, что в зависимости от начальных параметров возможна как плавная миграция дислокации между центрами гауссовых пучков, так и перемещение дислокации путем возникновения и, затем, аннигиляции пары дислокаций.

5. Проведен анализ влияния сноса энергии на динамику переключения. Получены приближенные решения для огибающих сигнального и холостого пучков. Рассмотрены случаи взаимодействия дислокаций одинакового и противоположного знаков, соосных и несоосных пучков. Аналитически найдены траектории дислокаций для случая малых отклонений от центра пучка, и выполнено сравнение с численным решением полных уравнений трехчастотного взаимодействия.

6. Получены выражения для координат генерируемых дислокаций в случае взаимодействия несмещенных наклонных гауссовых пучков при сносе энергии, найдено минимальная величина отношения амплитуд, необходимая для генерации цепочки дислокаций. С помощью численного моделирования прослежено распространение созданной подобным образом дислокации в линейной среде. Выяснено, что любой выделенный мягкой диафрагмой вортекс сохраняется при дифракции в линейной среде.

В заключение, прежде всего, хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Петровичу Сухорукову, за интересные предложенные темы, прекрасное руководство на протяжении многих лет, незаменимую профессиональную поддержку в научной работе. Также хочу поблагодарить всех сотрудников лаборатории нелинейных волн за помощь в научной работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. J.F. Nye, M.V. Berry Dislocations in wave trains // Proc. R. Soc. Lond. A. 1974. V. 336. P. 165-190.

2. L. Allen Introduction to the atoms and angular momentum of light special issue // J. Opt. B: Quant.Semiclass. Opt. 2002. V. 4. P. S1-S6.

3. I.G. Marienko, V.A. Pasko, V.V. Slyusar, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov Investigation of an optical vortex beam with a leaky planar waveguide // Opt. Comm. 2002. V. 213. P. 1-11.

4. I.V. Basistiy, V.Yu. Bazhenov, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov Optics of light beams with screw dislocations // Opt. Comm. 1993. V. 103. P. 422.

5. I.V. Basistie, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov Optical wavefront dislocations and their properties // Opt. Comm. 1995. V. 119. P. 604-612.

6. Б.Я. Зельдович, Н.Ф. Пилипецкий, B.B. Шкунов Обращение волнового фронта. М.: Наука. 1985.

7. M.S. Soskiny, M.V. Vasnetsov Nonlinear singular optics // Pure. Appl. Opt. 1998. V. 7. P. 301-311.

8. M. Brambilla, F. Battipede, L.A. Lugiato, V. Penna, F. Prati, C. Tamm, C.O. Weiss Transverse laser patterns. I. Phase singularity crystals // Phys. Rev. A. 1991. V. 43. № 9. P. 5090-5113.

9. V.Yu. Bazhenov, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov Screw dislocations in light wavefronts // J. Modern. Opt. 1992. V. 39. №. 5. P. 985-990.

10. S.C. Tiwari Photons and vortices // J. Modern. Opt. 1999. V. 46. №. 12. P .17211731.

11. A.Ya. Bekshaev, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov An optical vortex as a rotating body: mechanical features of a singular light beam pattern // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2004. № 6. P. sl70-sl74.

12. A. Desyatnikov, C. Denz, Yu. Kivshar Nonlinear optical beams carrying phase dislocations // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2004. № 6. P. s209-s212.

13. M.V. Vasnetsov, V.N. Gorshkov, I.G. Marienko, M.S.Soskin Wavefront Motion in the Vicinity of a Phase Dislocation: "Optical Vortex" // Opt.Spectr. 2000. V. 88. № 2. P. 260-265.

14. F.T. Arecchi, G. Giacomelli, P.L. Ramazza, S. Residori Vortex and Defect Statistics in Two-Dimensional Optical Chaos // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. № 27. P. 3749-3752.

15. I. Freunda, M.S. Soskin, A.I. Mokhun Elliptic critical points in paraxial optical fields // Opt. Comm. 2002. V. 208. P. 223-253.

16. A.B. Волар, В.Г.Шведов, Т.А.Фадеева Вращение волнового фронта оптического вихря в свободном пространстве // Письма в ЖТФ. 1999. Т. 25. № 5. с. 87-94.

17. D. Rozas, Z.S. Sacks, G.A. Swartzlander, Jr. Experimental Observation of Fluidlike Motion of Optical Vortices // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. № 18. P. 3399-3402.

18. A.G. Peele, K.A. Nugent, A.P. Mancuso, D. Paterson, I. McNulty, J.P. Hayes X-ray phase vortices: theory and experiment // J. Opt. Soc. Am. A. '2004. V. 21. №. 8. P. 1575-1584.

19. A.G. Peele, P.J. McMahon, D. Paterson, C.Q. Tran, A.P. Mancuso, K.A. Nugent J.P. Hayes, E. Harvey, B. Lai, I. McNulty Observation of an x-ray vortex // Opt. Lett. 2002. V. 27. № 20. P. 1752-1754.

20. L.C. Crasovan, G. Molina-Terriza, J.P. Torres, L. Torner, V.M. Perez-Garcya, D. Mihalache Globally linked vortex clusters in trapped wave fields // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 036612.

21. C.T. Law, X.Zhang, G.A. Swartzlander,Jr. Waveguiding properties of optical vortex solitons // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 1. P. 55-57.

22. K.T. Gahagan, G.A. Swartzlander,Jr. Trapping of low-index microparticles in an optical vortex//J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. №. 2. P. 524-534.

23. K.T. Gahagan, G.A. Swartzlander, Jr. Simultaneous trapping of low-index and high-index microparticles observed with an optical-vortex trap // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. №. 4. P. 533-537.

24. G.V. Bogatiryova, M.S. Soskin Detection and metrology of optical vortex helical wave fronts // Semicondact.Phys.,Quant.El.&Optoelectron. 2003. V. 6. № 2. P. 254-258.

25. T.A. Фадеева, A.B. Воляр, А.Н.Алексеев Распознавание образа интерференционной спирали в волоконно-оптическом датчике на основе оптических вихрей // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. № 15. С. 8-14.

26. W.M. Lee, Х.-С. Yuan, К. Dholakia Experimental observation of optical vortex evolution in a Gaussian beam with an embedded fractional phase step // Opt. Comm. 2004. V. 239. P. 129-135.

27. J. Masajadaa, A. Popiolek-Masajadaa, D.M. Wieliczka The interferometric system using optical vortices as phase markers // Opt. Comm. 2002. V. 207. P. 85-93.

28. P. Senthilkumaran Optical phase singularities in detection of laser beam collimation // Appl. Opt. 2003. V. 42. № 31.P. 6314-6320.

29. T.J. Alexander, Y.S. Kivshar, A.V. Buryak, R.A. Sammut Optical vortex solitons in parametric wave mixing // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. № 2. P. 20422049.

30. P.D. Trapani, W. Chinaglia, S. Minardi, A. Piskarskas, G. Valiulis Observation of Quadratic Optical Vortex Solitons // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. № 17. P. 3843-3846.

31. G. Molina-Terriza, J.P.Torres, L. Torner, J.M. Soto-Crespo Impact of imbalancing in the self-splitting of beams with nested vortices into solitons in quadratic non-linear crystals//Opt. Comm. 1998. V. 158. P. 170-180.

32. L. Torner, D.V. Petrov Azimuthal instabilities and self-breaking of beams into sets of solitons in bulk second-harmonic generation // Electron. Lett. 1997. V. 33. №7. P. 608-610.

33. J.P. Torres, J.M. Soto-Crespo, L. Torner, D.V. Petrov Solitary-wave vortices in quadratic nonlinear media // J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. №. 2. P. 625-627.

34. J.P. Torres, J.M. Soto-Crespo, L. Torner, D.V. Petrov Solitary-wave vortices in type II second-harmonic generation // Opt. Comm. 1998. V. 149. P. 77-83.

35. I. Velchev, A. Dreischuh, D. Neshev, S. Dinev Multiple-charged optical vortex solitons in bulk Kerr media // Opt. Comm. 1997. V. 140. P. 77-82.

36. A.S. Desyatnikov, Y.S. Kivshar Spatial optical solitons and soliton clusters carrying an angular momentum // J. Opt. B: Quant. Semiclass. Opt. 2002. V. 4. P. S58-S65.

37. B. Luther-Davies, J. Christou, V. Tikhonenko, Y.S. Kivshar Optical vortex solitons: experiment versus theory // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. №. 11. P. 3045-3053.

38. V. Tikhonenko, Y.S. Kivshar, V.V. Steblina, A.A. Zozulya Vortex solitons in a saturable optical medium // J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. № 1. P. 79-86.

39. Y.S. Kivshar, J. Christou, V. Tikhonenko, B. Luther-Davies, L.M. Pismen Dynamics of optical vortex solitons // Opt. Comm. 1998. V. 152. P. 198-206.

40. V. Tikhonenko, J. Christou, B. Luther-Davies, Y.S. Kivshar Observation of vortex solitons created by the instability of dark soliton stripes // Opt. Lett. 1996. V. 21. № 15. P. 1129-1131.

41. A.H. Carlsson, J.N. Malmberg, D.Anderson, M. Lisak, E.A. Ostrovskaya, T.J. Alexander, Y.S. Kivshar Linear and nonlinear waveguides induced by optical vortex solitons // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 9. P. 660-662.

42. T.J. Alexander 1, L. Berge Ground states and vortices of matter-wave condensates and optical guided waves // Phys. Rev. E. V. 65. P. 026611.

43. V.I. Berezhiani, V. Skarka, N.B. Aleksic Dynamics of localized and nonlocalized optical vortex solitons in cubic-quintic nonlinear media // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 057601.

44. J.J. Garcia-Ripoll, V.M. Perez-Garcia, E.A. Ostrovskaya, Y.S. Kivshar Dipole-Mode Vector Solitons // Phys. Rev. Lett. 2000. V.85. № 1. P. 82-85.

45. G.A. Swartzlander, Jr., C.T. Law Optical vortex solitons observed in Ken-nonlinear media // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. № 17. P. 2503-2506.

46. H. Michinel, J. Campo-Taboas, M.L. Quiroga-Teixeiro, J.R. Salgueiro, R. Garcya-Fernandez Excitation of stable vortex solitons in nonlinear cubic-quintic materials // J. Opt. B: Quant. Semiclass. Opt. 2001. № 3. P. 314-317.

47. Z. Chen, M. Shih, M. Segev, D.W. Wilson, R.E. Muller, P.D. Maker Steady-state vortex-screening solitons formed in biased photorefractive media // Opt. Lett. 1997. V. 22. № 23. P. 1751-1753.

48. Y.S. Kivshar A. Nepomnyashchy V. Tikhonenko, J. Christou, B. Luther-Davies Vortex-stripe soliton interactions // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 2. P. 123-125.

49. J. Christou, V. Tikhonenko, Y.S. Kivshar, B. Luther-Davies Vortex soliton motion and steering // Opt. Lett. 1996. V. 21. № 20. P. 1649-1651.

50. T. Ackemann, E. Kriege, W. Lange Phase singularities via nonlinear beam propagation in sodium vapor// Opt. Comm. 1995. V. 115. P. 339-346.

51. Т.И. Арсеньян, С.И. Кауль, П.В. Короленко Дислокации волнового фронта в турбулентной среде // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. № 10. С. 1773-1777.

52. Т.И. Арсеньян, П.В. Короленко, Е.А. Кулягина, Н.Н. Федотов. Амплиудно-фазовые искажения и дислокации волнового фронта оптического пучка на наклонной приземной трассе. // Радиотехника и электроника. 1994. т. 39. №. 10. С. 1471-1476.

53. БД. Бобров, Е.И. Дмитриев, Г.Ю. Снежков Топологические фазовые дефекты в излучении технологических С02-лазеров с устойчивым и неустойчивыми резонаторами // Квант, эл. 1993. Т. 20. № 7. С. 680-688.

54. D.V. Petrov, F. Canal, L. Torner A simple method to generate optical beams with a screw phase dislocations // Opt. Comm. 1997. V. 143. P. 265-267.

55. J.T. Malos, R. Dykstra, M. Vaupel, C.O. Weiss Vortex streets in a cavity with higher-order standing waves // Opt. Lett. 1997. V. 22. № 14. P. 1056-1058.

56. G. Gbur, T.D. Visser Coherence vortices in partially coherent beams // Opt.Comm. 2003. V. 222. P. 117-125.

57. Z.S. Sacks, D. Rozas, G.A. Swartzlander,Jr. Holographic formation of optical-vortex filaments media // J. Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 15. №. 8. P. 2226-2234.

58. N. Chattrapiban, E.A. Rogers, D. Cofield, W.T. Hill,III, R. Roy Generation of nondiffracting Bessel beams by use of a spatial light modulator // Opt. Lett. 2003. V. 28. № 22. P. 2183-2185.

59. N.R. Heckenberg, R. McDuff, C.P. Smith, A.G. White Generation of optical phase singularities by computer-generated holograms // Opt. Lett. 1992. V. 17. № 3. P. 221-223.

60. В.Ю. Баженов, M.B. Васнецов, M.C. Соскнн Лазерные пучки с винтовыми дислокациями волнового фронта // Письма в ЖЭТФ. 1990. Т. 52. В. 8. С. 1037-1039.

61. К. Bezuhanov, A. Dreischuh, G.G. Paulus, M.G. Schatzel, H. Walther Vortices in femtosecond laser fields // Opt. Lett. 2004. V. 29. № 16. P. 1942-1944.

62. H.A. Грошенко, O.C. Макалиш, A.B. Воляр Оптические вихри в поле рассеяния магнитных доменных голограмм // ЖТФ. 1998. Т. 68. № 12. С. 54-58.

63. G.-H. Kim, J.-H. Jeon, К.-Н. Ко, H.-J. Moon, J.-H.Lee, J.-S.Chang Optical vortices produced with a nonspiral phase plate // Appl. Opt. 1997. V. 36. № 33. P. 8614-8621.

64. W.M. Lee, X.-C. Yuan, W.C. Cheong Optical vortex beam shaping by use of highly efficient irregular spiral phase plates for optical micromanipulation // Opt. Lett. 2004. V. 29. № 15. P. 1796-1798.

65. В.Г. Шведов, Я.В. Издебская, A.H. Алексеев, A.B. Воляр Формирование оптических вихрей в процессе дифракции света на диэлектрическом клине // ПЖТФ. 2002. Т. 28. В. 6. С. 87-94.

66. J.F.Nye Evolution from a Fraunhofer to a Pearcey diffraction pattern // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2003. № 5. P. 495-502.

67. H.H. Розанов О формировании излучения с дислокациями волнового фронта // дислокаций // Оптика и спектроскопия. 1993. Т. 75. № 4. с. 861867.

68. J. Masajada, В. Dubik Optical vortex generation by three plane wave interference//Opt. Comm. 2001. V. 198. P. 21-27.

69. J.F. Nye From Airy rings to the elliptic umbilic diffraction catastrophe // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2003. № 5. P. 503-510.

70. R.M. Jenkins, J. Baneiji, A.R. Davies The generation of optical vortices and shape preserving vortex arrays in hollow multimode waveguides // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2001. V. 3. P. 527-532.

71. G. Volpe, D. Petrov Generation of cylindrical vector beams with few-mode fibers excited by Laguerre-Gaussian beams // Opt. Comm. 2004. V. 237. P. 8995.

72. L.V. Kreminskaya, M.S. Soskin, A.I. Khizhnyak The Gaussian lenses give birth to optical vortices in laser beams // Opt. Comm. 1998. V. 145. P. 377-384.

73. A.B. Воляр, T.A. Фадеева, Ю.А. Егоров Векторные сингулярности гауссовых пучков в одноосных кристаллах: генерация оптических вихрей // ПЖТФ. 2002. Т. 28. В. 22. С. 70-77.

74. S. Subota, V. Reshetnyak, M.S. Soskin Phase Singularity Birth Owing to Gaussian Beam Self-action in Nematic Liquid Crystal // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2002. V. 375. P. 481-490.

75. G. Molina-Terriza, J. Recolons, L. Torner The curious arithmetic of optical vortices // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 16. P. 1135-1137.

76. V. Pyragaite, A. Stabinis Interference of intersecting singular beams // Opt. Comm. 2003. V. 220. P. 247-255.

77. S. Orlov, A. Stabinis Free-space propagation of light field created by Bessel-Gauss and Laguerre-Gauss singular beams // Opt.Comm. 2003. V. 226. P. 97105.

78. R.P. Singh, S.R. Chowdhury Trajectory of an optical vortex: canonical vs. non-canonical // Opt. Comm. 2003. V. 215. P. 231-237.

79. V.A. Pasko, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov Transversal optical vortex // Opt. Comm. 2001. V. 198. P. 49-56.

80. D.V. Petrov Vortex-edge dislocation interaction in a linear medium // Opt. Comm. 2001. V. 188. P. 307-312.

81. J. Masajada Half-plane diffraction in the case of Gaussian beams containing // Opt. Comm. 2000. V. 175. P. 289-294.

82. V. Pyragaite, A. Stabinis Free-space propagation of overlapping light vortex beams // Opt. Comm. 2002. V. 213. P. 187-191.

83. D.V. Petrov Splitting of an edge dislocation by an optical vortex // Opt. and Quant. Electron. 2002. V. 34. P. 759-773.

84. S. Orlov, K. Regelskis, V. Smilgevicius, A. Stabinis Propagation of Bessel beams carrying optical vortices // Opt. Comm. 2002. V. 209. P. 155-165.

85. M.V. Vasnetsov, I.G. Marienko, M.S. Soskin Self-Reconstruction of an Optical Vortex // JETP Lett. 2000. V. 71. № 4. P. 130-133.

86. M.S. Soskin, V.N. Gorshkov, M.V. Vasnetsov, J.T. Malos, N.R. Heckenberg Topological charge and angular momentum of light beams carrying optical vortices // Phys. Rev. A. 1997. V. 56. P. 4064-4075.

87. В.П. Аксенов, И.В. Измайлов, Б.Н. Пойзнер, О.В. Тихомирова Волновая и лучевая пространственная динамика светового поля при рождении, эволюции и аннигиляции фазовых дислокаций // Оптика и спектроскопия. 2002. Т. 92. №3. С. 452-461.

88. G. Molina-Terriza, J. Recolons, J.P. Torres, L. Torner, E.M. Wright Observation of the Dynamical Inversion of the Topological Charge of an Optical Vortex // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. № 2. P. 023902.

89. G. Molina-Terriza, E.M. Wright, L. Torner Propagation and control of noncanonical optical vortices // Opt. Lett. 2001. V. 26. № 3. P. 163-165.

90. F.S. Roux Canonical vortex dipole dynamics // J. Opt. Soc. Am. B. 2004. V. 21. №. 3. P. 655-663.

91. F.S. Roux Paraxial modal analysis technique for optical vortex trajectories // J. Opt. Soc. Am. B. 2003. V. 20. №. 7. P. 1575-1580.

92. F.S. Roux Branch-point diffractive optics vortex // J. Opt. Soc. Am. A. 1994. V. ll.№. 8. P. 2236-2243.

93. U.T. Schwarz, S. Sogomonian, M. Maier Propagation dynamics of phase dislocations embedded in a Bessel light beam // Opt. Comm. 2002. V. 208. P. 255-262.

94. F.S. Roux Spatial evolution of the morphology of an optical vortex dipole // Opt. Comm. 2004. V. 236. P. 433-440.

95. D.L. Andrews, L.C. DavilaRomero, M. Babiker On optical vortex interactions with chiral matter // Opt. Comm. 2004. V. 237. P. 133-139.

96. A.B. Воляр, Т.А.Фадеева Дифракция комбинированных оптических вихрей //ПЖТФ. 2003. Т. 29. В. 15. С. 1-8.

97. M.V. Vasnetsov, I.G. Marienko, M.S. Soskin Self-Reconstruction of an Optical Vortex // JETP Lett. 2000. V. 71. № 4. P. 192-196.

98. A.Ya. Bekshaev, M.V. Vasnetsov, V.G. Denisenko, M.S. Soskin Transformation of the Orbital Angular Momentum of a Beam with Optical Vortex in an Astigmatic Optical System // JETP Lett. 2002. V. 75. № 3. P. 127-130.

99. M.V. Berry Wave dislocation reactions in non-paraxial Gaussian beams // J. Modern. Opt. 1998. V. 45. №. 9. P. 1845-1858.

100. A.B. Воляр, Т.А.Фадеева, X.M. Решитова Динамика дислокаций и дисклинаций поля маломодового волокна IV. Формирование оптического вихря // Письма в ЖТФ. 1997. Т. 23. № 5. С. 70-75.

101. Т.А. Фадеева, А.В. Воляр Туннельная селекция оптических вихрей // ПЖТФ. 2003. Т. 29. В. 14. С. 50-56.

102. S. Orlov, К. Regelskis, V. Smilgevicius, A. Stabinis Free-space propagation of second harmonic beams carrying optical vortices // Opt. Comm. 2003. V. 215. P. 1-9.

103. D.V. Petrov Second harmonic generation by optical beams with edge phase dislocation//Opt. Comm. 2001. V. 192. P. 101-106.

104. V. Jarutis, A. Matijosius, V. Smilgevicius, A. Stabinis Second harmonic generation of higher-order Bessel beams // Opt. Comm. 2000. V. 185. P. 159169.

105. A. Stabinis, S. Orlov, V. Jarutis Interaction of Bessel optical vortices in quadratic nonlinear medium // Opt. Comm. 2001. V. 197. P. 419-429.

106. D.V. Petrov, L. Torner Second-harmonic generation by intense beams containing phase dislocations: self-breaking into sets of solitons // Opt. Quant. Electron. 1997. V. 29. P. 1037-1046.

107. A. Berzanskis, A. Matijosius, A. Piskarskas, V. Smilgevicius, A. Stabinis Conversion of topological charge of optical vortices in a parametric frequency converter//Opt. Comm. 1997. V. 140. P. 273-276.

108. D.V. Petrov, G. Molina-Terriza, L. Torner Vortex evolution in parametric wave mixing // Opt. Comm. 1999. V. 162. P. 357-366.

109. G. Molina-Terriza, L. Torner, D.V. Petrov Vortex streets in walking parametric wave mixing // Opt. Lett. 1999. V. 24. № 13. P. 899-901.

110. D.V. Petrov, L. Torner J. Martorell, R. Vilaseca, J.P. Torres, C. Cojocaru Observation of azimutal modulational instability and formation of patterns of optical solitons in a quadratic nonlinear crystal // Opt. Lett. 1998. V. 23. № 18. P. 1444-1446.

111. G. Molina-Terriza, L. Torner Reconfigurable dynamic beam shaping in seeded frequency doubling // Opt. Lett. 2001. V. 26. № 3. P. 154-156.

112. G. Molina-Terriza, S. Minardi, A. Bramati, P.D. Trapani Demonstration of Vortex-Induced Beam Shaping in Seeded Second-Harmonic Generation // Opt. Exp. 2001. V. 9. № 2. P. 110-115.

113. G. Molina-Terriza, L. Torner Multicharged vortex evolution in seeded second-harmonic generation // J. Opt. Soc. Am. B. 2000. V. 17. №. 7. P. 1197-1204.

114. P.D. Trapani, A. Berzanskis, S. Minardi, S. Sapone, W. Chinaglia Observation of optical vortices and J0 Bessel-like beams in quantum-noise parametric amplification // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. № 23. P. 5133-5136.

115. J.R. Salgueiro, A.H. Carlsson, E. Ostrovskaya, Y. Kivshar Second-harmonic generation in vortex-induced waveguides // Opt. Lett. 2004. V. 29. № 6. P. 593595.

116. G.H. Kim, J.H. Jeon, Y.C. Noh, K.H. Ко, H.J. Moon, J.H. Lee, J.S. Chang An array of phase singularities in a self-defocusing medium // Opt. Comm. 1998. V. 147. P. 131-137.

117. V. Pyragaite, K. Regelskis, V. Smilgevicius, A. Stabinis Noncollinear interaction of optical vortices in Kerr nonlinear medium // Opt. Comm. 2001. V. 198. P. 459-464.

118. D. Neshev, A. Nepomnyashchy, Y.S. Kivshar Nonlinear Aharonov-Bohm Scattering by Optical Vortices // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. № 4. P. 043901.

119. H.S. Eisenberg, Y. Silberberg Phase defects in self-focusing of ultrashort pulses // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. № 3. P. 540-543.

120. D. Rozas, G.A. Swartzlander, Jr. Observed rotational enhancement of nonlinear optical vortices // Opt. Lett. 2000. V. 25. № 2. P. 126-128.

121. A.M. Deykoon, M.S. Soskin, G.A. Swartzlander, Jr. Nonlinear cusp diffraction catastrophe and vortex quadrupoles from a smooth initial beam // Journ. Nonlin. Opt. Phys. & Materials. 2002. V. 11. № 4. P. 351-365.

122. D. Rozasm, C.T. Law, G.A. Swartzlander, Jr. Propagation dynamics of optical vortices // J. Opt. Soc. Am. B. 1997. V. 14. №. 11. P. 3054-3065.

123. F.A. Starikov, G.G. Kochemasov Novel phenomena at stimulated Brillouin scattering of vortex laser beams // Opt. Comm. 2001. V. 193. P. 207-215.

124. N.R. Heckenberg, M. Vaupel, J.T. Malos, C.O.Weiss Optical-vortex pair creation and annihilation and helical astigmatism of a nonplanar ring resonator // Phys. Rev. A. 1996. V. 54. № 3. P. 2369-2378.

125. A.V. Mamaev, M. Saffman, A.A. Zozulya Time-dependent evolution of an optical vortex in photorefractive media // Phys. Rev. A. 1997. V. 56. № 3. P. rl713-rl716.

126. J. Yang, Z.H. Musslimani Fundamental and vortex solitons in a two-dimensional optical lattice // Opt. Lett. 2003. V. 28. № 21. P. 2094-2096.

127. D.N. Neshev, T.J.Alexander, E.A. Ostrovskaya, Yu.S. Kivshar, H.Martin, I. Makasyuk, Z. Chen Observation of Discrete Vortex Solitons in Optically Induced Photonic Lattices // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. № 12. P. 123903.

128. J. W. Fleischer, G.Bartal, O.Cohen, O. Manela, M. Segev, J. Hudock, D.N. Christodoulides Observation of Vortex-Ring "Discrete" Solitons in 2D Photonic Lattices // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. № 12. P. 123904.

129. G. Cincottia, A. Ciattonib, C. Sapia Radially and azimuthally polarized vortices in uniaxial crystals // Opt. Comm. 2003. V. 220. P. 33^0.

130. A.V. Mamaev, M. Saffman, A.A. Zozulya Vortex Evolution and Bound Pair Formation in Anisotropic Nonlinear Optical Media // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. № 22. P. 4544-4547.

131. A.V. Mamaev, M. Saffman, A.A. Zozulya Decay of High Order Optical Vortices in Anisotropic Nonlinear Optical Media // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. № 11. P. 2108-2111.

132. G. Molina-Terriza, L. Torner, E.M.Wright, J.J. Garcia-Ripoll, V.M. Perez-Garcia Vortex revivals with trapped light // Opt. Lett. 2001. V. 26. №20. P. 1601-1603.

133. А.П. Сухоруков Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М.: "Наука". 1988.

134. А.А. Самарский Введение в теорию разностных схем. М.: "Наука". 1971.

135. R. Hadley Transparent boundary condition for beam propagation // Opt. Lett. 1991. V. 16. №9. P. 624-626.

136. А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Динамика параметрически связанных винтовых дислокаций // Изв. РАН. Сер. Физ. 1999. Т. 63. № 12. С. 24112416.

137. И.Г. Захарова, А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Адаптация метода прозрачных граничных условий для моделирования задачи трехчастотноговзаимодействия с учетом сноса энергии // Изв. РАН. Сер. Физ. 2000. Т. 64. № 12. С. 2373-2376.

138. И.Г. Захарова, А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Интерференция двух смещенных винтовых дислокаций, имеющих разные амплитуды и фазы // Изв. РАН. Сер. Физ. 2001. Т. 65. № 12. С. 1726-1729.

139. D.A. Chuprakov, A.A. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov, I.G. Zakharova Effective Numerical Methods for Simulating (2+l)D Three-Wave Mixing // Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering. 2002. V. 2. № ls-2s. P. 51-56.

140. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Torner Superposition of noncoaxial vortices in parametric wave mixing // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 026611.

141. А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Параметрическое взаимодействие винтовых фазовых дислокаций при наличии сноса энергии // Изв. РАН. Сер. Физ. 2003. Т. 67. С. 1745 1747.

142. А.А. Калинович, В.В.Янгирова А.П. Сухоруков Генерация винтовых фазовых дислокаций при взаимодействии несоосных непланарных гауссовых пучков // Изв. РАН. Сер. Физ. 2004. Т. 68. С. 1799-1803.

143. A.A. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov, I.G. Zakharova Adaptation of Transparent Boundary Conditions for Simulation of Wave Mixing with Walk-of // Proceedings of II International Conference "Modern Trends in Computational Physics". 2000. Dubna. P. 91.

144. A.A. Калинович, А.П. Сухоруков Динамика взаимодействия пучков с винтовыми фазовыми дислокациями // Научная молодежная школа "0птика-2000". Санкт-Петербург. 2000. С. 65-66.

145. А.А. Калинович Суммирование двух смещенных винтовых дислокаций с неодинаковыми амплитудами и фазами // 2 Международная конференция молодых ученых и специалистов "0птика-2001". С.-Петербург. Россия.2001. С. 70.

146. A.A. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov, I.G. Zaharova Peculiarities of optical vorticies spreading in quadratic nonlinear media // V International Congress on Mathematical Modeling Dubna. Book of abstracts. 2002. V. 1. P. 242.

147. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Torner Optical coupled vortices // Laser Physics Workshop'02. Book of abstracts. Bratislava.2002. P. 185.

148. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Torner Opical vortices of parametrically coupled waves // International Quantum Electronics Conference 2002. Technical Digest. Moscow. Russia. 2002. P. 60.

149. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich, G. Molina-Terriza, L. Torner Optical vortices of parametrically coupled waves // Nonlinear guided waves and their applications. 2002. Technical digest. P. NLMD25.

150. A.A. Калинович, А.П. Сухоруков Влияние сноса энергии на параметрическое преобразование фазовых дислокаций // Труды

151. Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн". Звенигород. 2003. Т. 2. С. 100.

152. А.А. Калинович, А.П. Сухорукое Динамика оптических вортексов при параметрической связи волн // Тезисы международной конференции "Лазерная физика и применение лазеров". Минск. Белоруссия. 2003. С. II-5у.

153. А.А. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov Optical vortices in three-wave mixing with walk-off // Technical Digest of Second International Conference on Laser Optics for Young Scientists. St.Petersburg. Russia. 2003. P. 27.

154. A.P. Sukhorukov, A.A. Kalinovich Optical vortices of coupled waves // Technical Program of XI Conference on Laser Optics. St.Petersburg. Russia. 2003. P. 38.

155. А.А. Калинович, А.П. Сухоруков Снос энергии в параметрически взаимодействующих пучках с винтовыми дислокациями // Сборник трудов

156. I Международной конференции молодых ученых и специалистов "Оптика- 2003". Санкт-Петербург. 2003. С. 48.

157. А.А. Kalinovich, А.Р. Sukhorukov Noncollinear parametric interaction of optical vortices // International Conference of Coherent and Nonlinear Optics. St. Petersburg. 2005. C. 14.