Динамика переходов коротких и длинных джозефсоновских контактов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

На правах рукописи

Ауджелло Джузеппе

Динамика переходов коротких и длинных джозефсоновских контактов

01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о Л ОКТ 2012

005052903

Нижний Новгород - 2012

005052903

Работа выполнена иа кафодро физики Университета г. Палермо (Италия) и на кафедре математики Нижегородского государственного университета

им. Н.И. Лобачевского

Научные руководители: профессор Б. Спаиъоло (Италия),

к.ф.-м.п., доцент A.A. Дубков.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.п., профессор В.Н. Белых,

к.ф.-м.п., доцент Н.В. Агудов.

Ведущая организация: Нижегородский государственный техни-

ческий университет им. P.E. Алексеева.

Защита состоится «17» октября 2012 г. в 1^:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.07 при Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского, по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, д. 23, корп. 1, радиофизический факультет, ауд. 420

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан «17» сентября 2012 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета,

В. В. Черепенников

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В последние годы в литературе уделяется большое внимание исследованиям Джозефсоновских контактов, которые используются как в сверхпроводящих квантовых битах (кубитах) [1], так и в наномасштабных сверхпроводящих квантовых интерферометрах для обнаружения изменений слабых магнитных потоков [2]. Для указанных приложений они были изучены при очень низкой температуре в устройствах, позволяющих оперировать зарядовыми, потоковыми и фазовыми кубитами.

В джозефсоновских контактах, работающих как при низких, так и при высоких температурах, окружающая среда существенно влияет на поведение системы. В высокотемпературных сверхпроводниках (ВТСП) было экспериментально обнаружено наличие низкочастотного шума, интенсивность которого связана с флуктуациями тока смещения, температуры и магнитного поля [3]. В низкотемпературных сверхпроводящих приборах также проблематично избавиться от влияния окружающей среды, которое, как правило, является источником некогерентности в системе. В этой связи, в частности, было изучено [1] время когерентности шума слабого тока в джозефсоновских вихревых кубитах (ДВК), формируемых на однородных длинных джозефсоновских контактах.

Таким образом, изучение динамики джозефсоновских переходов в присутствии источников шума необходимо для понимания взаимодействий между подобными системами и окружающей средой. В частности, шумовые эффекты заметно влияют на вольт-амперные характеристики джозефсоновских контактов [4].

Поведение вольт-амперной характеристики джозефсоновского контакта жёстко связано со временем жизни мстастабильного состояния системы. В последние годы в джозефсоновских контактах были экспериментально найдены шумоиндуцированные эффекты [7, 8]. Было также проанализировано переключение кольцевого джозефсоновского контакта под действием температурной активации [9].

Целью диссертационной работы является исследование эффектов влияния различных типов шумов (цветных и негауссовых) на динамику коротких и длинных джозефсоновских переходов путём реализации численных

экспериментов.

Методы исследования и достоверность научных результатов.

Исследование, выполненное п настоящей работе, основано на использовании хорошо известных аналитических и численных методов анализа случайных процессов. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с результатами доступными в литературе, посвященной эффектам влияния белого шума на короткие и длинные джозефсоновские контакты.

Научная новизна. Эффекты влияния белого шума на динамику коротких и длинных джозефсоновских контактов были подробно проанализированы в экспериментальных, теоретических и численных исследованиях. Исследование, предлагаемое в настоящей работе, посвящено эффектам влияния нстемпературных шумов на те же системы, а также возможному примеиению данных эффектов для улучшения производительности соответствующих приборов.

Теоретическая и практическая значимость. Программное обеспечение, разработанное для представленного исследования, может быть адаптировано к изучению динамики джозефсоновских контактов в достаточно разнообразных физических условиях. В частности, его можно применить для численного анализа диффузии солитонов в длинных джозефсоновских контактах под действием цветных и негауссовых шумов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Резонансная активация и шумоиндуцированная стабильность позволяют выявить область характерных параметров, таких как частота воздействия и интенсивность шума, в которой метастабильность системы может быть продлена или сокращена во времени.

2. Метастабильность системы может контролироваться различными характеристиками шума, такими как частота отсечки коррелированного сигнала или плотность вероятности.

3. Знание характера метастабильности системы под одновременным воздействием температурного и нетемпературного шумов полезно для определения области параметров, в которой эффекты нетемпературного шума существенны.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы были доложены на следующих конференциях: International Conference on Complexity, Metastability and Nonextensivity, Satellite Conference of STAT-PHYS23, Catania, Italy, lth-5th July 2007; Noise Information and Complexity at Quantum Scale, Ettore Majorana Centre, Erice, Italy, 4th-10th November 2007; International Conference on Statistical Physics, 14th-18th July 2008, Orthodox Academy of Crete Kolympari, Chania, Greece; 22nd General Conference of the Condensed Matter Division of the European Physical Society, 25th29th August 2008, "La Sapienza"University, Rome, Italy; Fourth International Workshop DICE2008, 22th-2Gth Semptember 2008, Castello Pasquini/Castiglioncello, Italy; 22nd Marian Smoluchowski Symposium on Statistical Physics, Fundamentals and Applications, 12th-17th September 2009, Zakopane, Poland.

Результаты обсуждались также на научных семинарах Радиофизического факультета ННГУ им. Лобачевского в июне 2008 и 2009 гг. и на факультете физики и физических дисциплин Университета г. Палермо (Италия) в ноябре 2007, 2008 и 2009 гг.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, включая 3 статьи в журналах из списка ВАК [А1-АЗ] и 4 работы в сборниках трудов конференций [А4-А7].

Личный вклад автора. Настоящая работа является результатом совместной деятельности научной группы. Автор принимал принципиальное участие в исследованиях описанных проблем, разработке программного обеспечения и интерпретации получаемых результатов.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из четырёх глав, включая Введение и Заключение, Списка источников и трёх Приложений, в последнем из которых представлен список публикаций автора. Общий объём работы составляет 101 страницу, в том числе 85 страниц основного текста, 43 рисунка и 3 таблицы.

Содержание работы

Во Введении (Гл. 1) даётся обзор динамики джозефсоновских переходов, сверхпроводимости и квантовых вычислений. Представлены последние исследования шумоиндуцированных эффектов в коротких и длинных джо-

зефсоновских контактах, которые явились основанием для настоящей исследовательской работы. Вторая глава посвящена эффектам влияния гауссова и негауссова шума па динамику переходов в коротких джозефсоновских контактах. В разделе 2.1 представлена модель Ши — классическая модель для исследования коротких джозефсоновских контактов (КДК). В разделе 2.2 объяснены особенности коррелированного (окрашенного) гауссова шума. В разделе 2.3 представлены результаты исследования воздействия цветного шума на систему и эффекты влияния как белого, так и цветного шума. Влияние цветного шума на КДК описаны с помощью уравнения Ланжевена, в котором флуктуации введены как процесс Орнштейпа-Уленбека С(0:

Ф дУЩ)

а = —

(1)

Динамика броуновской частицы, находящейся под воздействием цветного шума и изменяющегося во времени нелинейного периодического потенциала и((рисследуется с помощью численного решения уравнения (1) при шс=1. Динамика джозефсонов-ского контакта под действием шума была исследована методом численного интегрирования уравнения (1). Было проанализировано от N=5000 до N=1000 траекторий броуновской частицы и численно оце

Рис. 1. СВП как функция и, г0=0.8, А=0.7, а) 7=0.02, Ь) 7=0.5.

нено среднее значение метастабильного состояния, которое является средним временем жизни сверхпроводящего состояния, соответствующего среднему времени переключения (СВП) контакта.

Чтобы проанализировать поведение СВП как функции частоты, времени корреляции и интенсивности шума, процедура повторялась при различных значениях параметров системы, таких как амплитуда А и частота и> воздействующего тока, время корреляции тс и интенсивность 7 цветного шума. Зависимость СВП от ш приведена на Рис. 1. Кривые получены для двух значений шумовой интенсивности: 7 = 0.02 (Рис. 1(а)) и 7 = 0.5 (Рис. 1(Ь)).

Для каждой шумовой интенсивности поведение СВП было найдено при различных значениях тс, и кривые приведены вместе с теми, что соответствуют случаю белого шума. Зависимости демонстрируют немонотонный характер, что является признаком эффекта резонансной активации (РА). Цветной шум вызывает эффект РА, отличающийся от того же эффекта под действием белого шума.

На Рис. 2 представлено поведение СВП как функции интенсивности белого шума, а также для различных величин времени корреляции цветного шума. Наличие максимума на этих кривых свидетельствует об эффекте индуцированного шумом повышения устойчивости (ИШПУ). При анализе Рис. 2 становится очевидным, что при очень малой интенсивности шума, именно 7 < 310 , поведение всех кривых становится независимым от шума, Рис_ 2 сш в зависимости от 7 при ¿о=0.5, и СВП соответствует времени жизни д==1 Q метастабильного состояния детерминированной системы. Эффект ИШПУ соответствует захвату броуновской частицы. Данный захват, препятствующий переключению контакта, возникает благодаря совместному действию зашумлёгшого сигнала и осциллирующего потенциала. Отметим, что в отсутствие шума при тех же параметрах системы, а именно, г0 = 0.5 and А = 1, джозефсоновский переход должен периодически закрываться на некоторые промежутки времени (т.е. при i(i) > гс). Таким образом, временный захват броуновской частицы в метастабилыюм состоянии вызывается просто действием шума вместе с внешней силой.

В разделе 2.4 представлены свойства использумемых негауссовых за-шумлёиных сигналов.

Раздел 2.5 посвящен изучению влияния негауссовых шумов. Переходная динамика КДК в присутствие негауссова шума исследуется с помощью введения в уравнение Лапжевена флуктуирующего негауссова члена inG{t) с

—•— White Noise С - 0.01 с= О-1 с= 0.5 с с 1 с = 5 с = 10 / * и

——. —\ \ iQ = 0.5, со = 0.5, А = 1 Vo

г

а-стабилытым распределением:

dip ~dt

dUfat)

= —Ur.-" - UJcinG{t).

dip

(2)

т

у = 0.05. !„= 0.8. А = 0.7

о

1

—•— Gauss о О о _

о Cauchy-Lorentz i

Lévy-Smirnov -И-

Здесь U(сp, t) — флуктуирующий потенциал. Частоты и времена нормированы на характерную частоту шс и, соответственно, на обратную величину 1 /сос. Источник негауссова шума inG{t), рассматриваемый для анализа динамики КДК с помощью уравнения (2), описывается вероятностным распределением Коши-Лоренца или Леви-Смириова.

Зависимости СВП от частоты ш внешнего тока приведены на Рис. 3. Кривые соответствуют шумам с распределениями Гаусса, Коши-Лоренца и Леви-Смирнова. Видна немонотонная зависимость от ш, что является <°

признаком эффекта РА.

_ , Рис. 3. СВП как функция ш при г0 = 0.8,

Поведение СВП как функции

А = 0.7 и 7 = 0.05. интенсивности шума показано на рис. 4(а).

Графики, соответствующие распределениям Гаусса и Коши-Лоренца немонотонны, что означает наличие эффекта ИШПУ. При очень низкой интенсивности шума 7 < 10~3 все три кривые стремятся к одному и тому же значению СВП, соответствующему времени жизни сверхпроводящего состояния детерминированной системы. Это время примерно равно четверти периодаТ колебаний потенциального барьера, что есть Т/4 = 7г/2ш ~ 3 при ш = 0.5.

Для более высоких значений шумовой интенсивности кривая СВП, соответствующая распределению Леви-Смирнова, убывает. Увеличение интенсивности прыжков Леви приводит к быстрому выталкиванию частицы из сверхпроводящего состояния, делая СВП короче.

Шум Леви вызывает значительные изменения координаты частицы за короткие промежутки времени (прыжки Леви), что хорошо видно на Рис. 4(Ь).

Немонотонное поведение СВП характерно для кривой, соответствующей распределению Коши-Лоренца. Её максимум смещён в область более высокой шумовой интенсивности по сравнению со случаем гауссова распределения.

Сравнение одномерных траекторий свободной диффузии бро- | уиовской частицы для случаев гауссова шума и шума с распределением Коши-Лоренца (Рис. 4(Ь)), при низких

Гга* ОПиНап 1 ■ 0.04 СаисГ1у-1.огапВ

(а)

(Ь)

значениях интенсивно-

Рис. 4. а) СВП в зависимости от 7 при ш = 0.5, г0 = 0.5, А = 1.0.

Ь) Одномерная и двумерная (на вставке) траектории свободной

сти шума, а именно, , , пп.

диффузии при 7 = и.04.

при 7 = 0.04, даёт полезную подсказку для объяснения данного явления. На Рис. 4(а) вблизи интенсивности 7 = 0.04 кривая для гауссова шума достигает максимума, тогда как кривая для шума Коши-Лоренца продолжает возрастать, показывая, что среднее время жизни метастабилыгого состояния возрастает даже в присутствии более интенсивного шума. Очевидно, что даже если при í = 5 траектория, соответствующая шуму Коши-Лоренца совершает скачок, то для следующего длинного временного интервала смещение частицы меньше, чем в случае гауссова шума. Это означает, что частица совершает случайные движения в потенциальной яме с амплитудой меньшей, чем при гауссовом шуме. То же самое видно на вставке Рис. 4(Ь). Даже если траектория частицы, полученная под действием шума Коши-Лоренца, совершает длинные прыжки, то смещение частицы под действием гауссова шума всё равно оказывается большим. Как следствие, эффект захвата становится более продолжительным во времени, и СВП продолжает расти, достигая максимума при больших значениях интенсивности шума. После преодоления этого максимума колебания потенциального профиля уже не в состоянии захватывать частицу, что означает спад СВП.

В разделе 2.6 рассматриваются эффекты одновременного воздействия гауссова и теплового шума. Проведён анализ уравнения Ланжевена с флуктуирующим членом if{t) = ¿глг{£) + где ¿глг(^)—белый гауссов шум, а Ъпв^) — шум с распределением Коши-Лоренца. На Рис. 5 и 6 представлено СВП в зависимости от частоты внешнего сигнала и интенсивности шума

Когаи-Лоренца, соответственно. Кривая на Рис. 5, полученная при 7'хы = 0-0, выявляет эффект РА. С увеличением 'yтN немонотонный характер СВП как функции частоты изменяется. Для интепсивностсй теплового шума на порядок больших 7саиЛу = 0.02, а именно, для -уть' = 0.2, поведение соответствующей кривой начинает отличаться от случая 7™ = 0. Кривые на рис. 6 демонстрируют эффект ШИПУ.

В отсутствие теплового шума (тглг = 0) поведение СВП в зависимости от шумовой интенсивности немонотонно с максимумом в районе 'УСаиску — 0-6- Малый тепловой шум не нарушает поведение ИШПУ кривой, пока его интенсивность меньше, чем 7СаиЛу — 0-6. Когда интенсивность ш

теплового шума превышает ІСаисНу

(кривые, соответствующие 7глт = 1-0 Рис' 5' СВП в зависимости от С при различИ 7тл, = 10.0), эффекты теплового шу- НЬ1Х интенсивностях теплового шума и при ма более заметны, чем эффекты шума Те««*:У = 0 02, г0 = 0.8, А = 0.7. Коши, что проявляется в изменении немонотонного характера кривой. Одновременное присутствие источников теплового шума и шума Коши в КДК влияет на переходную динамику контакта, изменяя характеристики РА и ИШПУ. При рассмотрении эффекта РА в случае высоких интенсивностий теплового шума следует отметить, что немонотонность графика исчезает и СВП становится независимым от частоты сигнала. Эффект ИШПУ тоже изменяется под действием теплового шума в виде смещения максимумов соответствующих графиков, хотя эти максимумы присутствуют даже при очень больших интенсивностях теплового шума.

В Главе 3 исследуется переходная динамика длинных джозефсоновских контактов (ДДК). В разделе 3.1 вводится эквивалентная схема и механическая модель длинного джозефсоновского контакта. В разделе 3.2 представлено стохастическое уравнение синус-Гордона с цветным шумом и показана процедура расчёта СВП. Раздел 3.3 посвящен анализу влияния цветного

шума на СВП контакта.

Уравнение сииус-Гордона, описывающее динамику ДЦК в присутствие окрашенного шума под действием тока смещения имеет вид:

(3)

Здесь гот(х, — коррелирований шумовой сигнал. Роль длины контакта в переходной динамике ДЦК исследовалась путём рассмотрения влияния

Рис. 6. СВП в зависимости от усаиску при

^СаисИу

100

цветного И белого шумов на СВП коп- Ручных интенсивностях теплового шума такта. Поведение СВП в зависимости и ш = °'5' г° = °'8' Л = °'7'

от длины контакта Ь в значительной мере определяется формированием кинк-антикинк пары вдоль фазовой струны. Длина контакта нормируется на джозефсоновскую длину проникновения. На Рис. 7 представлен случай однородного тока 1{х) = ¿о при /3 = 0.01. Сравниваются белый и цветной шумы с одинаковой интенсивностью. При очень малой длине контакта, а именно, при Ь < 1, СВП стремится к тем значениям, которые характерны для КДК. В этой области длин не формируются пары кинк-антикинк, поэтому струна переключается целиком. С увеличением длины контакта СВП также увеличивается при воздействии как белого, так и цветного шума. Когда длина струны превышает Ь = 5, процесс переключения управляется формированием пары кинк-антикинк. Время распространения кинка и ан-тикинка зависит, очевидно, от длины струны, таким образом и СВП больше для длинных струн. С другой стороны, на длинной струне могут сформироваться несколько пар кинк-антикинк, что ускоряет процесс выхода из потенциальной ямы. Сосуществование этих двух явлений приводит к насыщению СВП как функции длины струны и независимости от длины при Ь > 5. Кривые, соответствующие различным значениям тс цветного шума, демонстрируют поведение отличное от их поведения в случае белого шума. В частности, эффекты, вызванные памятью шумового сигнала, за-

держивают процесс выхода из потенциальной ямы, увеличивая тем самым СВП для всех значений длины Ь. Значения СВП, полученные в присутствии цветного шума, оказываются больше, по сравнению со случаем белого шума, на величину примерно равную тс. Анализ эффектов воздействия на ДДК длины Ь = 10 был выполнен для осциллирующего потенциала.

Кривые СВП, полученные численно, демонстрируют немонотонный характер с минимумом в зависимости от частоты внешней силы, что свидетельствует об эффекте РА в случае как белого, так и цветного шума (Рис. 8). Поведение этих кривых показывает также множество других явлений, найденных в случае КДК. На Рис. 8 показана зависимость СВП от тс при ш = 0.9. Начинаясь при белом шуме (тс = 0), график достигает максимума при тс « Рис 7 свп в зависимости от длиньт ь при 5 и затем убывает до уровня насыще- ¿(х) =г0,р = 0.01, г0 = 0.7, 7 = 0.3. ния СВПи 3.6 при тс > 20. Значение

тс = 5 соответствует и>си1,о{! ~ 1-2, что очень близко к частоте ш = 0.9. Это может быть признаком эффекта резонансного типа под действием цветного шума, который возникает, если частота внешней силы примерно равна частоте отсечки коррелированного сигнала.

Подробное исследование переключательной динамики ДДК требует изучения характера СВП при учёте различных интенсивностей белого и цветного шума. Возможное существование эффекта ИШПУ должно быть связано с эффектом захвата на фазовой струне. В этом случае переключение контакта будет управляться не только током смещения, но и шумовой интенсивностью. СВП как функция интенсивности белого и цветного шума при ¿о = 1.2 в отсутствие внешнего воздействия показано на Рис. 9. Потенциальный профиль при токе смещения большем критического значения гс = 1 является монотонным. В данной конфигурации в качестве начального условия на фазовой струне было выбрано </?(.т, 0) = 7г/2.

Под действием тока смещения, превышающего критическое значение,

5 м ! са - 0.9 ^ о OddOB

Ч '' if

у = 0.9 И*

в отсутствие шума частица должна скользить вниз под уклон потенциального профиля и достигать фазового порога <pt.hr = "Л" за детерминированное время, необходимое для покрытия отрезка [—ж/2, -Иг]. Шумовое воздействие изменяет эту динамику, вызывая задержки движения фазовой струны. При низкой интенсивности белого и цветного шума график СВП стремится к детерминированному времени, что видно из графика на Рис. 9 для, примерно, 7 < 0.01. С ростом интенсивности кривые обнаруживают немонотонный характер с двумя максимумами, что выявляет эффект ИШПУ. 0'<" „ 1 10

Два максимума были уже обнаруже-

„ ,,„„,„„„, ..... Рис. 8. Зависимость-СВП от и при гь = 0.9, ны в случае белого и нсгауссова шума в КДК. В случае белого и цветного Л = 0 7- Ь = 10' 1 = °-9- Вставка: СВП в шума С Тс = 0.1, при промежуточных зависимости от гс при ы = 0.9, 7 = 0.9, ц =

значениях шумовой интенсивности, а ° А = °'7' 1 = ' именно, при 0.01 < 7 < 0.2, максимум лежит в области СВП больших, чем детерминированное значение. Это означает, что шумовой сигнал в среднем задерживает движение частицы, увеличивая время переключения контакта.

При высокой интенсивности, а именно, 7 > 0.2, шум ускоряет движение частицы, что показано на Рис. 9, где кривые с круглыми маркерами лежат в области, соответствующей СВП меньшему, чем детерминированная величина. В этом случае шумовой сигнал уменьшает время переключения контакта. Явление увеличения времени переключения заметно при больших временах корреляции, а именно, при тс = 3 (Рис. 9) в области шумовой интенсивности 0.01 < 7 < 50 и тс = 10 (Рис. 9) при 0.01 < 7 < Ю0.

н 3 со

¡0=1-2 aJ , в-вй-хЬ"»» а ^ ь \ Л

ч \ - Л ▼ \ \ V V

■ White Noise

о Т[ = 0.1 Y \ *

—т,- 3 \ \

л tt=10 \ \ '

0,001 0,01 0.1

Рис. 9. СВП от 7 при г0 = 1.2, L = 0.5 в отсутствие внешней силы .(w = 0 and А = 0).

Обе кривые СВП убывают с ростом шумовой интенсивности, что означает уменьшение времени переключения по сравнению с детерминированным случаем. Даже если контакт находится в резистивном состоянии, г0 > гс, шум увеличивает СВП по сравнению с детерминированным временем, вызывая стабилизацию метастабильного состояния.

В разделе 3.4 приведены результаты анализа одновременного воздействия теплового белого шума и цветного шума. Воздействие цветного шумового источника на ДДК оставляет тепловые эффекты вне рассмотрения. Однако для получения полного описания переходной динамики ДДК тепловые эффекты должны быть учтены. Для этого в уравнение Синус-Гордона (4) был добавлен член, отвечающий за белый шум:

СВП как функция частоты внешней силы и интенсивности шума была исследована при одновременном влиянии цветного и белого шумов. В обоих случаях анализ был направлен на выяснение отношения между интенсивности ми цветного и белого шумов для определения шумовой интенсивности, при которой эффекты влияния одного шума доминируют над эффектами влияния другого.

Поведение СВП в зависимости от частоты внешней силы показано на Рис. 10. Кривые получены при интенсивности цветного шума 7е„ = 0.4 и ин-тенсивностей белого шума уюп, изменяющихся по величине в пределах от одного порядка ниже 7т до одного порядка выше. Кривая при -ушп = 0.04 ведёт себя с хорошей степенью точности также, как и кривая при 7ШП = 0. Влияние теплового шума становится заметным, когда его интенсивность достигает того же порядка, что и интенсивность цветного шума, а именно, -ушп = = 0.4. С увеличением 7Ш„ кривая сильно изменяется и динамика полностью определяется белым шумом.

Pvtt + 4>t - <Рхх = г(х, t) - sin tp + im(x, t) + iwn(x, t). Автокорреляционная функция белого шума имеет следующий вид: (iwn(x, t)iwn(x\ t')) = 2jwnS(x - x')5(t - í'),

(5)

(4)

где

(6)

I, - 0.9. А - 0.7. т„ " 0.4. - 25. ■-"■■ о - 0.04

СВП было также изучено в зависимости от интенсивности окрашенного шума 7т в присутствии белого шума с различными интен-сивностями (Рис. 10). Анализ такой зависимости позволяет определить область значений основных параметров системы, в которой можно различать эффекты влияния цветного и белого шумов при их одновременном воздействии. В частности, фиксируя одно из значений таких параметров как 7№П, 7СТ, или тс, можно получить метастабильность сверхпроводящего состояния и, следовательно, задержку отклика контакта.

В Заключении (Глава 4) сформулиро- А _ 0 ^п _ 0 4> Тс _ 25 ваны основные результаты диссертационной ^ свп от ^ при ^ = 0 д работы. А = 0.7, т, = 3 и Ь = С.

Рис. 10. а) СВП от и при г0 = 0.9, и Ь = б. и = 0.9,

Основные результаты диссертационной работы

1. Исследование среднего времени переключения, выполненное в настоящей работе, дало статистическую оценку среднего времени жизни мета-стабильного состояния перехода при учёте специфического волнообразного потенциала джозефсоновского контакта. Во многих работах [10], частота теплового выхода за барьер представлена как проблема Кра-мерса, и, соответственно, время жизни мстастабильпого состояния под-считывается по формуле Крамерса. Такой подход даёт приблизительную оценку, поскольку не учитывается профиль потенциала джозефсоновского контакта. Формула Крамерса выводится при аппроксимации минимума и максимума потенциала квадратичной параболой и, более того, в предположении малой интенсивности шума. Благодаря численному моделированию, эти упрощения удалось обойти, что дало оценки времени жизни более корректные для описания частных случаев джо-зефсоновских переходов.

2. При учёте поведения среднего времени переключения как функции вре-

мени корреляции был найден эффект резонанса времени корреляции. Это означает возможность указания значения времени корреляции, при котором достигается наилучшая стабилизация метастабильного состояния. Было обнаружено, что данное резонансное значение времени корреляции может быть связано с частотой внешнего воздействия (см., например, Гл. 3, вставка на Рис. 8(Ь)).

3. Изучение воздействия па систему шумовых сигналов с различными типами распределений, такими как распределения Коши-Лоренца и Леви-Смирнова, позволило сделать интересные выводы с точки зрения анализа диффузионных свойств шумовых сигналов. В частности, несмотря на то, что распределение Коши-Лоренца представляет собой реализации с прыжками, для малой интенсивности шума диффузия броуновской частицы под действием гауссова шума оказывается более сильной. Этот необычный эффект вызывает неожиданное возрастание среднего времени переключения в случае распределения Коши-Лоренца, по сравнению со случаем распределения Гаусса (см., например, Рис. 3(с)).

4. Настоящее исследование показывает, что воздействующий на джозефсо-новский контакт коррелированный или негауссов шумовой сигнал позволяет контролировать стабильность метастабильного состояния перехода и, в частности, ускорять его динамику с помощью подходящего выбора параметров шума. Приложение внешнего шума, таким образом, может рассматриваться как способ улучшения отклика джозефсоновского контакта.

Цитированная в автореферате литература

1. Ju Н. Kim, R. P. Dhungana, and KS Park, Decoherence in Josephson vortex quantum bits: Long-Josephson-junction approach to a two-state system, Phys. Rev. В 73, 214506 (200G).

2. С. H. Wu ct al., Fabrication and characterization of high-Tc YDaoCv%(h-x nanoSQUIDs made by focused ion beam milling, Nanotcchnology 19, 315304 (2008).

3. L. Hao, J.C. Macfarlane, Estimation of the noise temperature of Y-Da-Cu-0 grain boundary Josephson junctions, Physica C: Superconductivity 292, 315 (1997).

4. J.T. Peltoncn, A.V. Timofecv, M. Mcschke, and J.P. Pckola, Detecting Current Noise with a Josephson Junction in the Macroscopic Quantum Tunneling Regime, J. Low Temp. Phys. 146, 135 (2006).

5. Yang Yu, Siyuan Han, Xi Chu, Shih-I Chu, Zhen Wang, Coherent Temporal Oscillations of Macroscopic Quantum States in a Josephson Junction, Science 296, 889 (2002).

6. B. Huard et al., Josephson junctions as detectors for non-Gaussian noise, Ann. Phys. 16, 73G-750 (2007).

7. Y. Yu and S. Han, Resonant Escape over an Oscillating Barrier in Underdamped Josephson Tunnel Junctions, Phys. Rev. Lett. 91,127003 (2003).

8. G. Sun, N. Dong, G. Mao, J. Chen, W. Xu, Z. Ji, L. Kang, P. Wu, Y. Yu, and D. Xing, Thermal escape from a metastable state in periodically driven Josephson junctions, Phys. Rev. E 75, 021107 (2007).

9. D. Gulevich and F. Kusmartscv, Switching phenomena in an annular Josephson junction, Physica С 435, 87 (2006).

10. U. Kienzle et al., Thermal escape of fractional vortices in long Josephson junctions, Phys. Rev. В 80, 014504 (2009).

Список публикаций по теме диссертаци

AI. Augello G., Valcnti D., Spagnolo B. Non-Gaussian noise effects in the dynamics of a short overdamped Josephson junction // European Physical Journal B. 2010. Vol. 78. Pp. 225-234.

A2. Augello G., Valenti D., Pankratov A. L., Spagnolo B. Lifetime of the superconductive state in short and long Josephson junctions // European Physical Journal B. 2009. Vol. 70. Pp. 145-151.

A3. Augello G., Valenti D., Spagnolo B. Effects of colored noise in short over-damped Josephson junction // International Journal of Quantum Information. 2008. Vol. 6. Pp. 801-806.

A4. Spagnolo В., Augello G., Caldara P. et al. Noise stabilization effects in models of interdisciplinary physics // Proceedings of "Fourth International Workshop DICE2008". Vol. 174 of Journal of Physics: Conference Series. IOP Publishing, 2008. Pp. 012037(1-13). ISBN/ISSN: 978-888202-077-4.

A5. Augello G., Valenti D., Spagnolo B. Correlated thermal fluctuations in short and long Josephson junctions // 22nd General Conference of the Condensed Matter Division of the European Physical Society. Sapienza Universita di Roma, Rome, Italy: 2008. P. 74. ISBN/ISSN: 2-914771-54-1.

A6. Augello G., Valenti D., Spagnolo B. Noise induced effects in overdamped Josephson junction in the presence of colored noise // COMPLEXITY, METASTABILITY, AND NONEXTENSIVITY: An International Conference. AIP Conference Proceedings. Vol. 965. 2007. P. 190. ISBN/ISSN: 978-0-7354-0481-6/0094-243X, DOI: 10.1063/1.2828733.

A7. Spagnolo В., Augello G., Fiasconaro A. et al. Enhancement of stability in systems with metastable states // AIP Conference Proceedings. International conference on complexity, metastability and nonextensivity. Catania (Italy). Vol. 965. 2007. Pp. 165-176. ISSN 0094-243X, DOI: 10.1063/1.2828729.

Оглавление диссертации Глава 1. Введение

1.1. Переходная динамика и джозефсоновские контакты

1.2. Краткий обзор сверхпроводимости и джозсфсоновских контактов

1.3. Квантовые вычисления и джозефсоновские контакты

1.4. Шумовые эффекты в джозсфсоновских контактах

1.4.1. Короткие и длинные джозефсоновские контакты

1.4.2. Шумоиндуцироватшые эффекты: резонансная активация и вызванное шумом повышение устойчивости

1.4.3. Тепловой шум в коротких джозсфсоновских контактах

1.4.4. Низкочастотный шум в джозсфсоновских контактах

1.4.5. Негауссов шум в джозсфсоновских контактах

1.4.6. Тепловой шум в длинных джозефсоновских контактах

1.5. Цветной и негауссов шум в джозефсоновских контактах: обзор работы Глава 2. Короткие джозефсоновские контакты

2.1. Эквивалентная цепь и механистическая модель

2.2. Цветной шум

2.3. Влияние цветного шума

2.4. Негауссов шум

2.5. Влияние негауссова шума

2.6. Совместное влияние негауссова и теплового шума Глава 3. Длинные джозефсоновские контакты

3.1. Эквивалентная цепь и механистическая модель

3.2. Коррелированный шум и уравнение синус-Гордона

3.3. Влияние цветного шума

3.4. Совместное влияние цветного и теплового шума Глава 4. Заключение

4.1. Основные результаты работы

4.2. Будущие исследовательские проекты Библиография

Приложение А. Алгоритм моделирования устойчивых случайных переменных

А.1. Устойчивые переменные и распределения А.2. Численный алгоритм

Приложение В. Алгоритм численного интегрирования уравнения синус-Гордона

Приложение С. Публикации

С.1. Статьи в международных научных журналах

С.2. Труды конференций

С.З. Тезисы докладов на международных конференциях

Подписано в печать 12.09.2012 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1. Заказ № 621. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в РИУ ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования "Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского"

На правах рукописи

04201353035

АУДЖЕЛЛО Джузеппе

ДИНАМИКА ПЕРЕХОДОВ КОРОТКИХ И ДЛИННЫХ ДЖОЗЕФСОНОВСКИХ КОНТАКТОВ

01.04.03 - Радиофизика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: Ph.D., профессор Спаньоло Бернардо (Италия), к.ф.-м.н., доцент Дубков Александр Александрович

Нижний Новгород - 2012

Federal State Educational Institution of Higher Professional Education "Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod"

A manuscript

— 9i^JXs—

AUGELLO Giuseppe

TRANSIENT DYNAMICS OF SHORT AND LONG JOSEPHSON JUNCTIONS

01.04.03 - Radiophysics

DISSERTATION for the degree Candidate of Physical and Mathematical Sciences

Supervisors: Ph.D., Professor Spagnolo Bernardo (Italy), Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor Dubkov Alexander Alexandrovich

Nizhni Novgorod - 2012

Contents

1 Introduction 8

1.1 Transient Dynamics and Josephson .Junctions ..................8

1.2 Brief Review on Superconductivity and Josephson Junction . . 10 J.3 Quantum computing and Josephson Junctions..................12

1.4 Effects of noise in Josephson Junctions...........14

1.4.1 Short and Long Josephson Junctions....................14

1.4.2 Noise Induced Effects: resonant activation and noise enhanced stability..........................................15

1.4.3 Thermal Noise in Short Josephson Junctions............18

1.4.4 Low Frequency Noise in Josephson Junctions......24

1.4.5 Non-Gaussian Noise in Josephson junctions ......27

1.4.G Thermal Noise in Long Josephson Junctions............29

1.5 Colored and Non-Gaussian Noise in Josephson Junctions: overview of the project......................................................33

2 Short Josephson Junctions 35

2.1 Equivalent Circuit and Mechanical Model........................35

2.2 Colored Noise......................................................41

2 3 Effects of Colored Noise.................42

2.4 Non-Gaussian Noise........................48

2.5 Effects of non-Gaussian Noise..............52

2.6 Simultaneous action of non-Gaussian and thermal noise .... 59

3 Long Josephson Junctions 62

3.1 Equivalent Circuit and Mechanical Model........................62

3.2 Correlated Noise and sine-Gordon Equation ....................66

3 3 Effects of Colored Noise..................69

3 4 Simultaneous Action of Colored and Thermal White Noise . . 78

4 Conclusions 81

4.1 Main results of this work....................SI

4.2 Future research projects..........................................84

Bibliography 86

A Algorithm for the Simulation of Stable Random Variables 93

A.l Stable Variables and Distributions................................93

A.2 Simulation Algorithm..............................................93

B Algorithm for the Numerical Integration of the sine-Gordon

Equation 95

C Publications 99

C.l Papers in ISI Journals............................................99

C.2 Proceedings........................................................99

C.3 Abstracts in international conferences..............100

Rationale

In recent years a great attention \v&<. paid to the study of Josephson juru tions because of their use both as superconductiug quantum bits [2] and nanoscalc superconducting quantum interference devices for detecting weak magnetic flux changes [3]. For this reason, they were studied at very low tempeiatuie 111 devices making use ol chaige. ilux and phase qnbits.

In Josephson junctions, working both at high and low teniperatuies, the environment aJfects strongly the behavior of the system. In high temperature superconductors (HTSs) the presence of low-frequency noise, whose intensity is related to the fluctuations in the bias current, temperature and magnetic field, was experimentally, found [9] Also in the low temperature superconductive devices it is very difficult to avoid the influence of environment that constitutes mainly a decoheience source for the system. In particular, the effects on the coherence time of weak current noise in Josephson vortex qubits (JVQs). composed by an uniform long Josephson junction, were investigated [2]

In this framework the study of transient, dynamics of Josephson junctions in the presence of noise souices is very interesting for the understanding of the interaction between these systems and the environment. In particular, the effects of noise strongly influence the current-voltage characteristic of Josephson junctions [12].

The behavior of the cui rent-voltage characteristic of a Josephson junction is strictly ielated to the lifetime of the metastable state of the system. Recently. noise induced efiects weie experimentally observed in underdamped Josephson iunctions [17, 18], and the switching of an annular Josephson junction due to thermal activation was analyzed [19].

The goal of the dissertation work is the study of the effects of different noise sources, such as colored and non-Gaussian noise, on the dynamics ol shoit and long Josephson junctions through the realization of suitable computing codes.

Research methods and authenticity of scientific results. The

stud}' performed in the present work is based on the use of well known stochastic processes analysis and computational methods. The validity ol the achievements is granted by the comparison with the results, available in literaluie. concerning the effects of white noise on shoit and long Josephson ]uri( tions.

Scientific novelty The effects of white noise on the dynamics of short and long Josephson junctions were studied in detail under experimental, theoretical and simulative approach. The study proposed in the present work concerns the effects of non-thermal noise soukcs on these systems and their possible use to improve the performance of the devices

Theoretical and practical contribution The computational codes structure, developed for the presented study, can be adapted for the investigation of the dynamics of Josephson junctions under different physical condition. In particular, it could be applicable for the realization of a simulative code to analyze soliton diffusion in long Josephson junctions under the influence oi coloicd and non-Gaussian noise souices

Theses for defence:

1. The noise induced effects, resonant activation and noise1 enhanced stability allow to find range of the characteristic parameters, such as frequency of the driving and intensity of noise, in which the met as t ability of the system can be speeded np or enhanced.

2. The met astabilit v of the system can be controlled under the vaiiation of peculiarities of the noise such a.s the cut-off frequency of the correlated signal or the probability density function of the noise signal.

3. Knowledge of the behavior of the metastability of the system under the simultaneous action of thermal and non-thermal noise is useful to identify the- operation range m which the effects of non-thermal noise are relevant.

Approbation of the results. The main results of the dissertation work have been presented at the following conferences: International Conference on Complexity, Metastabihty and Nonextcnsivity. Satellite Conference of S1ATP1IYS23. Catania, Italy, lth-5th July 2007; Noise Information and Complexity al Quantum Scale, Ettoic Majorana Centre, Ericc, Italy, 4th-10th November 2007; International Conference on Statistical Physics, 14th-18th Juh 2008, Orthodox Academy of Crete Kolympari, Chania, Greece; 22nd General Conference of the Condensed Matter Division of the European Physical Society, 25tlr-29th August 2008, ''La Sapienza" University, Rome. Italy; Fourth International Workshop DICE2U08, 22th-26th Semptember 2008, Castello Pasquini/Castiglioncello, Italy; 22nd Marian Srnoluchoicsh Stjrnposruni on Statistical Physics. Fundamentals and Applications, 12th-17th September 2009. Zakopane, Poland.

The results of the present work were discussed at the scientific seminars at the Radiophysics faculty of Nizhni Novgorod State University (Russia) in June 2008 and 2009 and at Drparhmento di Fisica e Tecnologie Relative of Palermo University (Italy) in November 2007, 2008 and 2009.

Author's publications. The results presented in the dissertation were published in 8 scientific papers, including 3 papers in ISI journals [PI. P3. P4i and 5 proceedings of conferences [PP1. PP4, Al. A5, AGj.

Author's contribution. The present work is the result of the collaboration of a research group. The author participated actively to the investigation being the principal investigator in the research topic, realization of computational codes and interpretation of the results.

Structure and amount of the dissertation. The dissertation consists of Introduction, two chapters, Conclusions, Bibliography and three appendixes including the list of author's publications. The whole amount of the dissertation is 10] pages, including 85 pages of main text. 43 figures and 3 table.

Acknowledgements

I wish to thank my tutor, professor Bernardo Spagnolo, for giving me the opport unitv to consider my life in an international perspective, increasing and encouraging my desire to travel and the relationship with foreign cultures. I thank him for promoting the publication of many articles and papers relating to (his research work.

I wish to thank doctor Davide Valenti for well-guided and deeply followed this work and the related scientific publications. I thank for his ever-readiness and clarity in answering all my questions. I wish to thank him for having contributed to the achievement of a peaceful working environment and the establishment of a true friendship.

I thank the other members of the "Group of Interdisciplinary Physics'" and, in particular, doctor Nicola Pizzolato for his moral and information system support, doctor Alessandro Fiaseonaro. Angelo La Cognata for the fruitful discussion regarding non-Gaussian statistical distributions. Pasqualc Caldara and Stefano Spezia.

1 thank Marcello lacono M anno for his prompt and careful technical support concerning the use of the Cometa computational grid. I wish to thank all the staff of the. Cometa computational grid for providing computational power without which the numerical simulations would not been carried out.

I wish to thank professor Alexander Dubkov for his hospitality and helpfulness during my russian journeys, professor Nikolai Agudov. Dmitry and Lena Kuhkov. Yuriy and Irina Ushakov, Stepan and Lusya Lebedenko for their warm welcome and care.

1 thank professor Yuri Kalmikov for his prompt report and careful comments on this thesis.

I wish to thank Davide Gurrera for the stimulating discussion about russian physical research and the Ph.D. course fellow students Rosario Gram-mauta. Fabio Vizzim and Giuseppe Cannella.

Introduction

This opening chapter provides an overview of transient dynamics of Joseph-son junctions, superconductivity and quantum computing. It presents the recent studies regarding the noise induced effects in short and long Joseph-son junctions which constitute the starting point of this research work

1.1 Transient Dynamics and Josephson Junctions

In recent years a gieat attention was paid to the study of Josephson junctions because of their use both as superconducting quantum biu> [1, 2, 3, 4] and nanoscale superconducting quantum interference devices for detecting weak magnetic flux changes [5].

Josephson junctions represent good candidates to realize superconducting quantum bits (qubit.s) for quantum information processing. For this reason, thev were studied at very low temperature in devices making use of charge [6]. flux [7] and phase qubits [8]. Moicovci. Josephson juin tions are widely used device foi I heir high sensitivity to magnetic flux changes For this purpose, it is employed a composition of two coupling high-Tr Josephson junctions in a superconducting ring called SQUID, the acronym for Superconducting Quantum Interference Device.

In Josephson junctions, working both at high and low temperatures, the environment, affects strongly the behavioi of the system Tn high temperature ¡superconductors (HTSs) the presence of low-frequency noise, whose intensity is related to the fluctuations in the bias current, temperature and magnetic field, was experimentally found [9] Also in the low temperature super couduct ivc devices it is vei y dillicult to avoid the influence of environment that constitutes mainly a decolierence source for the system. In particular, the efleets on the coherence time of weak current noise in Josephson vortex qubits (JVQs). composed by an uniform long Josephson junction, were investigated [2. 10].

Figure 1.1. a) Washboard potential representing the dynamics of a Joscphson junction In the figure are indicated the supeiconductive (S-state) and resistive btdte (R-slate) ol the iid,iliout> particle The green aiiows indicate the Thermal Activation (TA) and the Macroscopic Quantum Tunneling (MQ'J). b) The '/'<.. H(. I, surtdceh separating the normal and the superconducting pha^e [23].

in this framework the study of transient dynamics of Josephson junctions in the presence of noise sources is very interesting for the understanding of the interaction between these systems and the environment. In particular, the effects of noise; strongly influence the current-voltage characteristic of Joscphson junctions [11. 12, 13].

The cbnamics of a Josephson junction is studied considering a fit til ions Brownian particle moving in a washboard potential [14. 15]. The position corresponding to the minimum of the potential is called superconductive stale whereas, when the particle is moving along the potential, the paiticle is in the, so called, resistive state (figure 1 1(a)) The system is characterized by a proper oscillation frequency, depending by the peculiar parameters of the lunction. called plasma or chai act eristic frequency and indicated as up or uj[). The transition from the superconductive state to the resistive state is induced on the junction by the application of a polarizing current exceeding a critical current value. Because of the interactions with the environment, the superconductive state constitutes a metastable state for the system and the transit ion can occur even if the polarization current is less than the critical cuiicnt value. In particular, two diffeient legimes can be distinguished. Thermal Activation (TA) and Macroscopic Quantum Tunneling (MQT) (figure 1.1(a)). The intensity of thermal noise determines the transition of the system from the TA to the MQT and viceversa. The transition depends

S-state

(a)

(b)

on the temperature of the system and the, so-called, cross-over temperature. Trn, is the threshold below which the system is in the MQT regime and above which t.he system is in the TA regime. To estimate the cross-over temperature. we consider the relation Tidp/(2it) — ksTro. where h is the Planck constant and A'e the Boltzruarm constant and we obtain Tcu = Tiujv/2Kks-When the energies are such that hgT > Tivjp/{2tr) then T > Tco and the system is in the TA regime, otherwise the MQT regime occurs. In the TA regime the transition from the superconductive state to the resistive state governed by the thermal fluctuations. In the MQT regime, the thermal fluctuations can be neglected because of the very low temperature, and the transition t akes place because of quantum tunneling through the potential barrier [16] (green arrows in figure 1.1(a)).

The behavior of the current-voltage characteristic of a Josephson junction is strictly related to the lifetime of the superconductive metastable state of the particle. The decay of the particle from the metastable state, in fact, depends on the fluctuations of the voltage across the junction. Recently, noise; induced effects were experimentally observed in underdamped Joseph-son junctions [17, 18]. and the switching to resistive state of an annular Josephson junction due to thermal activation was analyzed [19].

1.2 Brief Review on Superconductivity and Joseph-son Junction

Superconductivity is a property of materials which undergo a phase transition at very low temperatures. One of the phenornenological aspect of superconductivity was early discovered by Heikc Kainerlingh Onnes 20] in 1911. He noted that all electrical resistance of mercury vanished below the transition temperature. This was considered the unique property of superconductivity till the discovery of Meissner effect [21] in 1933. This effect consists in the exclusion of the magnetic flux by the interior of the superconductor apart, from a thin penetration region near the surface.

The theory of superconductivity was developed by John Bardeen. Leon Cooper e Robert Schrieffer [22] in 1957 (BCS theory). According to the BCS theoiy the electron-phonon interaction are primarily responsible for superconductivity. in particular, the model takes into account in which way the phonon field influences the electron interactions. These interactions are attractive when the energy difference, At. between the electron states involved, is less than the phonon energy ftcj. In this framework the attractive interaction dominates the repulsive short-range screened Coulomb interaction be-

Figure 1.2: a) Schematic representation of a Josephson junction: two superconductors separated by a thin non-superconductivc layer, b) Current-Voltage characteristic of a Josephson junction at 1.5 °A" [26].

tween electrons, so as to give rise to a, net attraction. The conductivity is due to elect rons couples, named Cooper pairs. The theory explains lots of peculiar characteristic of superconductivity such as the second order phase transition at the critical temperature Tc. the behavior of the electronic specific heat. O, as a function of the temperature near T = 0°K (C oc exp (—T0/T)). the Meissner-Ochsenfeld effect, the effects associated with infinite conductivity and the dependence of Tc on the isotopic mass (TCV~M = Const).

The phase of the wave function of the ground state, describing the dynamics of the Cooper Pair, represents the order parameter for the phase transition. A three dimensional phase diagram [23] can be drawn (figure 1.1(b)) with the temperature, the magnetic field and the current, as dependent. variables. The volume inside the surfa.ee delimited by the critical values T,., 11,.. lr represents the superconducting state and that outside represents the normal conducting state. The transition to superconductivity can be obtained in three different ways through the variation of the system temporal lire, magnetic field a.nd current.

Josephson junctions represent, one of the most interesting device making use of the superconductors properties. A Josephson junction is composed by two superconductors connected by a thin layer of non-superconductive material working as an insulator [24] (figure 1.2(a)). The insulating layer constitutes a potential barrier for the crossing of the Cooper pairs. Depending on the thickness of the layer, there is a non zero probability of quantum tunneling of the Cooper pairs across the barrier. The wave function of the

C'oopci pairs on the superconductors 1 and 2 of figure 1.2(a) is given by:

Vh = vW-1"1

(1.1)

V2 = Vplelih-

where 0\ and ()2 are the phases of the wave functions on the two sides of the junction and pi and pi are the density of electrons in the two superconductors. If y — 62 - 01 represents the difl'eience between the phases on the two sides of the junctions, the Josephson equations describing the dynamics of the junction arc:

J = Jo sin (1.2)

where J0 is the critical current density, a value characteristic of the particular junction, e is the electron charge. V is the bias voltage applied to the junction and f> is the Planck constant. The equations 1.2 and 1.3 describe the current flow due to the Cooper pairs and hold for zero Kelvin degiee temperature. In practice, since the temperature of the junction is not zero, it is present a small current due to the conduction by single electrons. From equations 1.3 it is noted that, a zero voltage across the junction corresponds to a constant phase y>Q and the current flow is given by equation (1.2) where 'f = tpo. In this condition, with no voltage applied, the cuirent, is dillerent by zero and can take values between — Jn a.nd +J0 depending on cp0. This is named the dc Josephson effect [25. 26]. If a voltage V'0 is applied to the junction, it, is obtained — ip0 + (2e/Ti)VQL (equation (1.3)), the corresponding current flow (equation (1.2)) oscillates with frequency u) ' 2eV0/h and this is the ac Josephson eilcet. One of the iirst experimental evidences of the Josephson effect was found in 1963 |26|. The experimentally derived current.-volt age characteristic is reported in figure 1.2(b).

1.3 Quantum computing and Josephson Junctions

Quantum computing is a theory of information which constitutes one of the present framework of development of quantum mechanics. In quantum coherent computation, information is coded making use of quantum st.at.es of a quantum mechanical two state system. The data bits for the computations,

called "qubits", are not just as "1" and "0" but also the coherent superpositions of the "1'" and "0" states of the two state system [27]. The aim of this theory is the realization of a computer based on the principles of quantum mechanics. One of the most important properties of the quantum computer should be a very high velocity of processing and the possibility to find the prime factors of la.rge numbers using Shor's algorithm [28]. The utility of searching for t.he prime factors of large numbers is related to the encryption schemes. In 1994, 5000 MlPS-years (Millions of Instructions Per Seconds) of distributed computing resources were devoted over a period of eight months to factoring a 129 decimal digit number [29]. If is a simple matter to generate a number of 300 decimal digits that would take many times the age of the universe to factor using current algorithms and computing resources. In contrast. Shor's quantum factoring algorithm may find the prime factors of a number in a time that is only a polynomial function of the number of bits. The vast increase in efficiency is possible because of the intrinsic parallelism which allows a quantum computer to explore all combination of "l'"'s and '' 0" 's sirrmlt aneously.

The great difficulty of quantum coherent computation is to prevent t he quantum modes, that are used to encode information, from interacting with any other degrees of freedom except as prescribed by the computation. Otherwise the quantum mechanical coherence will be lost. Quantum coherence is extraordinarily fragile and may be easily destroyed by interactions with the environment, even if there is no exchange of energy between the quantum mode and the environment. Simply bringing an environment with many degrees of freedom into correlation with a quantum system is sufficient to destroy a quantum superposition state [30]. Most of the physical systems that have been suggested for the qubits of a quantum computer are of atomic or near-atomic dimensions. Macroscopic object.s are often dismissed as being unsuitable [31]. The problem is that macroscopic objects generally have a large number of internal degrees of freedom, elastic vibrations, conduction elect,roil excitations, etc., and so it is very difficult to prevent the coding mode, the qubit, from interacting with other internal modes of the device. Therefore, the time over which quantum coherence can be maintained is very short for most macroscopic objects.

Superconductivity is a. macroscopic quantum effect. In this context, however, the quantum nature of superconductivity is secondary to another aspect which is far more important for the realization of a physical macroscopic quantum computer; this is the characteristic ''quantum purity'" of superconductors at, very low temperatures. Far below the transition temperature, superconductors have extremely low entropy which means that there are very few available internal modes. Most of the dissipat.ive mechanisms which

normally operate in macroscopic systems are eliminated, and therefore electromagnetic collective excitations such as the Josephson plasma resonance are much more weakly damped than in normal metals. It is this property which makes superconductivity a candidate for quantum coherent computation. Macroscopic superconductor-based systems for quantum computation have one very strong advantage compared to atomic-scale systems: superconductor circuit technology is a well-established art. If simple quantum gates can be devised and demonstrated, it will be relatively straightforward to scale to larger, more complex circuits using established integrated circuit technology. Such scaling is inconceivable for many of the current atomic-scale quantum computation schemes.

1.4 Effects of noise in Josephson Junctions

1.4.1 Short and Long Josephson Junctions

Different kinds of Josephson junctions are studied for the realization of superconducting qubits. Between various types of superconducting quints [6, 7. 8], the Josephson phase qubits presents many advantages: they are immune, for instance, to charge noise in the substrate and the fabrication procedures are simpler, due to relatively large junction sizes [32]. A pha.se qubit is realized using two types of junctions, short and long, characterized by their different dimensions. The identification of the two classes of junctions is based on the relation between their dimension and the, so called, Josephson penetration depth. The penetration depth Aj gives a measure of the distance in which Josephson currents, in d.c. Josephson effect, arc confined at the edges of the junction. It occurs as a consequence of a current screening due to the magnetic lield self generated by the supercurrents in the junction. This implies the occurrence of a non-uniform current distribution in junctions with the largest transverse dimension L greater than A j even in the absence of externally applied magnetic field. The expression of Josephson penetration depth is given by:

In equation (1.4) d — Ai + \>2 + t, where Ai and A2 are the London penetration depth of the two superconductors of figure 1.2(a) and / is the insulator thickness; r is t.he velocity of light and .V0 is the critical current. In small junctions (L < A j) the current distribution is uniform since self-induced niagnetii fields can be neglected, in large junctions (L > A j) the currents are essentially confined to the edges of the junction. Few Nb — NbOx — J'b

(1.4)

(c)

Figure 1.3: a) Barrier configuration of the system studied by Doering and Gndoua [37j. b) Resonant Activation: theoretical curve (solid line) and simulation data (points) oi (he MFPT vs fluctuation rate of the driving polential [37]. c) Probability that the barrier is in the down configuration at the instant of crossing vs bairier fluctuation rate (simulation with the same parameter of panel (b)) [37].

junctions typical values for d and Jo, are d = 1400A. and J0 = oA/cm2. Therefore for \j we obtain: Aj = 0.193 rum [33].

The experimentally controlled degree of freedom of phase qubits is the superconducting phase difference across a Josephson junction. The study of the behavior of the phase difference on the washboard potential (see figure 1.1(a)) is very interesting for the understanding of the interactions between the environment, and Josephson junctions. In particular, both in low and high Tf superconductors, the presence of noise influences the coherence time of the systems since it affects the lifetime of the nietastable state. In this framework, the transient dynamics of Josephson junction is of great importance.

1.4.2 Noise Induced Effects: resonant activation and noise enhanced stability

The role of t,hernial white noise on the lifetime of the metastable states of short and long Josephson junctions was recently investigated [34. 35, 30], by considering the effects of a fluctuating bias current signal applied to the junelion. Specifically, two noise-induced effects were analyzed, namely the resonant, activation and the noise enhanced stability phenomena.

The resonant, activation (RA) effect concerns the behavior of the lifetime of the metastable state as a function of the frequency of the driving signal

I'H)

(a)

(b)

applied to the junction. In the original paper of Docring and Gadoua [37] the RA phenomenon was studied in the system presented in figure 1.3(a): a particle with position coordinate X(t) moves in the fluctuating potential V(x.l) under the influence of a heat bath at temperature T representing the white noise source. The potential of figure 1.3(a) fluctuates randomly between the two conliguiations l+(a;) and Vl(.x). The time spent by five particle to reach the position 0. starting at position A in the presence of the fluctuating barrier, is the first passage time. The typical crossing time of a given potential configuration represents the first passage time, thermally induced, in the absence of the potential fluctuation The RA phenomenon is ielated to the relationship between the barrier fluctuation rates and the typical crossing tunes. In figure 1.3(b) the average; of the first passage time (Mean First Passage Time, MFPT) is reported as a function of the fluctuation rate of the barrier. The theoretical a