Динамика плоских механических систем с упруго-пластическим деформированием поверхностей звеньев тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах

Канунников Андрей Владимирович

Динамика плоских механических систем с упруго-пластическим деформированием поверхностей звеньев

Специальность 01.02.06

«Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры»

Автореферат

на соискание учёной степени кандидата технических наук

Тула-2005

Работа выполнена на кафедре «Расчет и проектирование автоматических машин» в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель:

докт. техн. наук, профессор Баранов Виктор Леопольдович

Официальные оппоненты:

докт. техн. наук, профессор Бляхеров Игорь Соломонович

канд. техн. наук Платонов Юрий Павлович

Ведущее предприятие:

ФГУП «Государственное научно-производственное предприятие «Сплав»

/У » 2005 года в « » часов на заседании

совета Д212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский

Защита состоится « диссертационного совета Д2 государственный университет» по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина 92, 9 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТулГУ.

Автореферат разослан «_//_» 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.А. Толоконников

1149911

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Разработка новых перспективных образцов вооружения, удовлетворяющих современным требованиям по ТТХ, невозможна без привлечения средств вычислительной техники. Однако методы и средства, предоставляемые машиностроительными системами автоматизированного проектирования, зачастую не в полной мере соответствуют специфике изделий, для разработки которых их приходится применять.

Например, САПР, созданные для решения задач динамики систем абсолютно твёрдых тел, не учитывают зазоры и многовариантный характер взаимодействия звеньев в кинематических парах, в то время как роль этих факторов существенна. Упрощённо решаются и задачи ударного взаимодействия звеньев - либо в рамках гипотезы И. Ньютона, либо с применением дискретных контактных элементов; упруго-пластическое деформирование звеньев в области пятна контакта не учитывается.

Широко распространенное в инженерной практике конечно-элементное моделирование также недостаточно эффективно: даже частичное представление механической системы конечными элементами приводит к чрезвычайно высокой вычислительной ресурсоёмкое™ модели, приобретающей особое значение при разработке систем циклической автоматики. Дополнительные трудности связаны с возможностью накопления значительных вычислительных погрешностей.

Из сказанного следует, что описание динамики механических систем с учётом зазоров, многовариантного опирания звеньев в кинематических парах, упруго-пластических свойств материалов при моделировании контактных взаимодействий является актуальной задачей, решение которой позволит заметно повысить эффективность проектирования и отработки новых перспективных систем вооружения.

Разработке моделей и исследованиям динамики механических систем, позволяющих учитывать перечисленные факторы, посвящено множество работ. Это, прежде всего, работы В.Л. Вейца, И.И. Вульфсона, А.Е. Кобринского, А.Н. Ленского, С.Н. Кожевникова, А.Е. Кочура, В.В. Алфёрова, Ю.П. Смирнова и В.В. Никольского.

Их анализ позволяет выявить два существенно отличающихся друг от друга подхода, в рамках которых авторы формируют динамические модели систем. К первой группе относятся, в основном, исследования по динамике цепных систем - например, силовые приводы широкого класса машин, в которых упруго-диссипативные характеристики звеньев могут быть достаточно точно определены до моделирования, и в процессе работы их

*) При выполнении работы автор пользовался консультациями доктора

техн. наук, профессора Ю.П. Смирнова. _______

| РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА I

изменения незначительны. Это работы, например, В.Л. Вейца, С.Н. Кожевникова, И.И. Вульфсона.

По мнению автора, применение такого подхода при проектировании механических систем и систем СПВ, в частности, затруднительно по ряду причин. Первая и наиболее существенная, - число рассматриваемых вариантов опирания звеньев мало и определяется, в основном, принятыми упрощающими допущениями; зазоры вводятся в упруго-диссипативные характеристики звеньев. Второй недостаток заключается в отсутствии учёта упруго-пластических деформаций поверхностей звеньев, возникающих вследствие высоких динамических нагрузок, и выражающихся в дальнейшем неравномерном росте зазоров. Износ такого рода в первую очередь следует ожидать в кинематических парах с жёсткими звеньями, для которых в рамках указанного подхода допускается идеализация в виде абсолютно твёрдых тел.

В рамках второго подхода — работы Ю.П. Смирнова и В.В. Никольского - тела систем считаются абсолютно твёрдыми, однако число рассматриваемых вариантов опирания значительно больше. Так, в работах Ю.П. Смирнова оно ограничено требованием по статической определимости, а в моделях В.В. Никольского допускается и большее количество комбинаций. Тем не менее, эти работы имеют и ряд недостатков. Первым и наиболее существенным из них является отсутствие зазоров в кинематических парах (введено допущение об их пренебрежимой малости). Помимо этого, отсутствие учёта податливости звеньев не позволяет определять истинные силы реакций связей при ударах; упруго-пластическое деформирование поверхностей звеньев не рассматривается.

В настоящей работе развивается подход к моделированию динамики плоских механических систем произвольной степени подвижности и с произвольно сложной геометрией контактирующих поверхностей, позволяющий учитывать многовариантный характер опирания и влияние локального упруго-пластического деформирования поверхностей звеньев на динамику систем при многоцикловом нагружении.

Механическая система представлена как система абсолютно твёрдых тел, взаимодействующих либо через дискретные контактные элементы, либо упруго-пластически деформируемый слой. На основе созданной модели в работе исследуется динамика патроноподающего узла: оценивается влияние условий трения на работу узла при наличии зазоров для различных динамических моделей и при различных значениях начальной скорости затворной рамы в откате; исследуется влияние зазоров при многоцикловом нагружении, а также решаются задачи оптимизации конструктивных параметров узла на основе анализа изменения характеристик его функционирования в результате многоциклового нагружения.

Работа выполнялась в рамках гранта Губернатора Тульской области в сфере науки и техники <сАвтоматизированное компьютерное моделирование динамики работы автоматики высокотемпного стрелково-пушечного вооружения»(2005 год).

Цель работы: повышение эффективности проектирования и отработки перспективных конструкций патроноподающих узлов ползунного типа путём разработки методов прогнозирования динамики их функционирования в системах циклической автоматики с учётом локального упруго-пластического деформирования рабочих поверхностей звеньев.

Основные задачи исследования:

1. Разработка физической и математической моделей динамики плоских механических систем, учитывающих многовариантный характер опирания и локальное упруго-пластическое деформирование поверхностей звеньев.

2. Сравнительный анализ результатов моделирования, выполненного на основе разработанной модели, с результатами, полученными на основе распространённых методов расчёта.

3. Демонстрация работоспособности модели на примерах решения задач оптимального проектирования патроноподающего узла, представленного комбинированной динамической моделью.

4. Выработка практических рекомендаций по проектированию и конструктивному исполнению элементов узлов такого типа.

Автор защищает:

1. Физическую и математическую модели динамики плоских механических систем, обеспечивающие более полное описание многовариантного контактного взаимодействия элементов систем с учётом упруго-пластического деформирования рабочих поверхностей звеньев.

2. Инженерный метод решения задач анализа и параметрической оптимизации элементов узлов систем циклической автоматики.

3. Результаты численного решения задач анализа динамики функционирования и оптимального проектирования для типовой схемы патроноподающего узла.

Общая методика исследований.

Механическая система задавалась совокупностью тел, каждому из которых сопоставлен набор геометрических элементов, образующих контактные пары различных типов с другими телами системы. Тела приводились в движение под действием приложенных к ним сил. Необходимые для описания движения кинематические и силовые параметры определялись из геометрических и кинематических соотношений для контактных пар типа «ТОЧКА-ПОВЕРХНОСТЬ» и численным интегрированием по времени дифференциальных соотношений, связывающих кинематические параметры относительного движения и механические свойства контактирующих материалов, для контактных пар типа «ПОВЕРХНОСТЬ-ПОВЕРХНОСТЬ».

Достоверность полученных результатов.

Достоверность результатов обусловлена корректным использованием законов механики и динамики твёрдого тела, применением численных методов анализа результатов решения средствами современной вычислительной техники, а также их сравнительным анализом с экспериментально-теоретическими данными. Научная новизна работы.

Разработана математическая модель динамики плоских механических систем, позволяющая в MC произвольной степени подвижности и с произвольно сложной геометрией тел моделировать контактное взаимодействие элементов кинематических пар с учётом многовариантного опирания и упруго-пластического деформирования поверхностей звеньев. Практическая значимость и реализация результатов:

1. Разработан вычислительный комплекс, позволяющий решать задачи анализа динамики функционирования и оптимального проектирования плоских механических систем с учётом указанных факторов.

2. На основе разработанной модели исследована динамика работы узла при различных условиях трения, проведено сопоставление полученных результатов с результатами расчёта по методике Бравина-Пугачёва.

3. Решены задачи оптимального проектирования: задача определения оптимальной величины зазора между ползуном и направляющими коробки автоматики, и задача нахождения оптимальной величины угла наклона рабочего паза; с учётом многоциклового нагружения, позволяющие получить максимальный КПД механизма.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на III и IV научных конференциях «Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения» в г. Саров (РФ) - 2004 г.; на VII Всероссийской НТК «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов» в г. Тула (РФ) - 2004 г.; на Региональной НТК «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов» в г. Тула (РФ) — 2005 г.; на XV НТК Тульского артиллерийского инженерного института «Пути совершенствования ракетно-артиллерийских комплексов, средств управления войсками и оружием, их эксплуатации и ремонта» в г. Тула -2005 г.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 7 научных работ в межвузовской рецензируемой печати. Структура и объём диссертации.

Структура работы: введение, три раздела, заключение и список использованных источников, состоящий из 142 наименований отечественных и зарубежных авторов. Диссертация изложена на 182 страницах, включает 84 рисунка, 10 таблиц, в том числе 129 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы работы, определяется направление настоящего исследования, реферируется содержание работы.

В первом разделе представлен критический обзор доступных работ отечественных и зарубежных авторов, посвящённых вопросам моделирования динамики механических систем с учётом зазоров и многовариантного опирания звеньев, а также решению контактных задач 1УЩТТ. Формулируются цель и задачи исследования.

Во втором разделе разрабатывается математическое описание для контактных пар типа «ТОЧКА-ПОВЕРХНОСТЬ» и «ПОВЕРХНОСТЬ-ПОВЕРХНОСТЬ». В первом подразделе выводятся соотношения для определения глубины проникания опорной точки в поверхность, а также кинематических параметров относительного движения.

Поверхность тела представляется набором сегментов, заданных в собственных локальных системах координат Т} , п,, где } - индекс тела,

которому принадлежит конкретный сегмент, / - индекс локальной системы координат.

В соответствии с расчётной схемой на рис. 1 записаны выражения:

Жф = ЁГг + |М21 • (г, + ||м2и \[гф), (1) Яф=Яс1+\\М1\\-г1,-Й, (2)

где гф = ¡х2 т2 + Ф2 (т"2 ) • п2 - вектор-функция скалярного аргумента, определяющая координаты проекции опорной точки 7,) на профиль

Ф2 в локальной системе координат г2 пг рассматриваемого сегмента; ц2 = Г2 Iу2 ! I - масштабирующий множитель с размерностью длины;

IМ} ||, ||I - матрицы преобразования координат: J , || - матрица преобразования компонент /-го вектора гф в локальную систему координат j -го тела; | М} | - матрица преобразования компонент вектора, заданного в локальной системе координат у-го тела, в глобальную систему координат ХОУ; \т] , ) ~ полином порядка п, аппроксимирующий сегмент профиля; область определения задана интервалом х~ е [ 0; 1 ].

Далее условимся, что если не оговорено особо и не используется явное преобразование координат, компоненты векторов определены в глобальной системе координат ХОУ. В не обобщающих соотношениях будем использовать сокращённые обозначения для индексированных величин,

полагая, например, т" 1 = т* и / = 1 при у = 1, т* ( = т2 и / = 1 при / = 2.

Умножение векторного равенства, образуемого соотношениями (1) и (2), на вектор т2 скалярно, приводит к алгебраическому выражению, решение которого относительно безразмерной величины абсциссы проекции точки Р на вектор Г2 имеет вид:

г2 = рЦ [(Дс, " *С2 К + {гР - г8 )т2 I (3)

Г2'1 I

Найденное значение г* должно удовлетворять условию 0 < т^ < 1, что рассматривается как признак того, что контакт может реализоваться.

Модуль глубины проникания опорной точки Р в сопоставленный ей в конкретной контактной паре сегмент тела определяется выражением

I ■Я I = - *с2 )«2 + (гр - Г, )п2 - ф2(т; ). (4)

Знак при вычисленном по (4) модуле определяется знаком проекции вектора И = | И | • п2 на вектор нормали к поверхности, задающий направление «из тела».

Вектор нормали в каждой точке от аргумента т2 задан соотношением

_ / V ХТ ...... и

пк (г? ) = , -= х м, х М, , х

/^ГФ^;)]1 1 1 (5.

X [-Ф'(г; )г2 +|у2 ,\п2 ],

где = ± 1 в зависимости от того, по какую сторону от сегмента профиля находится материал детали. Положительному значению множителя

соответствует положительное значение скалярного произведения вектора, указывающего направление «из тела» в точке К, и вектора ординат п2. Поскольку принятой в работе областью определения полиномов ( {г*, ) является интервал т* , е [ 0; 1 ], переход от безразмерного аргумента г*, к единицам длины осуществляется домножением вектора т*, • , на величину модуля вектора V 1.

Кинематические параметры относительного движения определяются дифференцированием скалярных произведений:

_ \ _ М у сйг,,

п„ ) = п„---1- п ——

к' к Л_ Л

_ \ т^к

"')-''<6)

Глубина проникания точки Р в тело 2 определяется выражением

, Го, IV > о

ЛИ = < , (7)

[-и», м? < О

где м> = (пк ■ к ). Признаком реализовавшегося контакта, согласно (7), является отрицательное значение скалярного произведения.

Во втором подразделе разрабатывается математическое описание для контактных пар типа «ПОВЕРХНОСТЬ-ПОВЕРХНОСТЬ». Приведены соотношения для определения глубины взаимного проникания сегментов контактирующих поверхностей, кинематических параметров относительного движения, выражения для определения величин относительных деформаций упруго-пластически деформируемых слоев и контактных напряжений.

й

V" = —1

г Ж

с1

и VI

г

Расчётная схема, отражающая геометрическую формулировку контактной задачи, представлена на рис. 2. Соглашения относительно задания структуры механизма и обозначений, принятые ранее для модели с сосредоточенными реакциями, остаются в силе.

Умножение выражения векторного контура А ВС О

-Л-гФ) =0 (8)

на вектор Г2 скалярно позволяет перейти к выражению, которое с учётом введённых дополнительных обозначений

Г ,-т2 = а, т,-п2 = г,, Я~12-г2=С,,

п^-п2 = р, т2-п1 = у2, Л12-п2=С2, разрешается относительно абсциссы проекции точки первого сегмента на вектор Г2 локальной системы координат второго сегмента. Решение имеет вид:

т; = Л, • [ ост; | Р, | + у2 Ф, (гг) - £ ]. (9)

Г 2 |

Глубина взаимного проникания для точки элемента одного сегмента в другой сегмент определяется по соотношению

и(т;, тя2) = лг ■ к2 + фМ) - /?ф,(гГ) ■- г, г,] (10)

Дополнительно введена функция

2 ) = \ Ь +««"0 -^2 )]' 00

принимающая дискретные значения 0 или 1 в зависимости от того, попадает ли проекция точки О на отрезок V, |. С учётом (11) выражение для глубины проникания записывается как

= ^V/h[\+sign(h)]. (12)

Величину Н ( к, Ц> ) в большинстве случаев неверно считать глубиной проникания - рис. 3, - в связи с чем результат, получаемый по выражению (12), корректируется вычислением скалярного произведения

Н*(Н, у/) = Н(к, у/ )-\п2 • п(к!\\ (13)

где п2 — вектор ординат п2 локальной системы координат сегмента, преобразованный в глобальную систему координат; — вектор нормали к профилю тела пк, преобразованный в глобальную систему координат.

Относительная деформация упругого слоя материала детали в области пятна контакта определяется как отношение величины соответствующего перемещения UJ ( внешней границы элемента рассматриваемого слоя к его

толщине А / (рис. 4). Диаграмма нагружения задана билинейно в виде схемы Прандтля.

Рис. 3

Рис.4

Расчётной схеме на рис. 4 соответствует система уравнений

А^, + А2£2 = к ; ' к 1/ и*. + кЛау\ + ЕЛ£\ ~ £у>)] = (14)

= к 2^2,\£2 + к2,^!Ту2 + Е2,г{£2 ~ )] » где }, / индекс тела и состояния материала, соответственно; к], -переключающие множители, принимающие значения либо 0, либо 1, и отвечающие за состояние, в котором находится материал; Е], - модули

упругих деформаций; Е] 2 — модули упрочнения; <7): / - пределы упругости;

А - толщины деформируемых слоев. Значения вариантных индексов

заданы на интервалах следующим образом:

к,л =

1,*, 6(0,^]; _(0,е;е[0,£я\;

Определение контактных напряжений осуществляется отысканием такой комбинации вариантных индексов, при которой целевая функция (18) принимает значение 1. Относительные деформации определяются по соотношениям:

£г = ■

[{-сту1 + Епеу])кп + {°уг~ Ег2£У2)к7г\ь (к21Е2,+ к12Е22 )А, + {киЕи + к12Е12)А2 | (к21Е21 + к22Е22)- у/) (к2]Е2] + к22Е22)А1+(киЕи + киЕи)Д2 ' [(-о- , + Е12е ,)ка + (<т

+

(15)

^22 ^2^22 ]

(к2^21 + к22Е22)А1 + (кпЕп +киЕп)А (~кпЕп - кп Еп)- Н' (И, у/)

+

(16)

(^21^21 + к22Е22 )А, + {кпЕи + к]2Е]2)А2 ") = К?(т*) + *..2К.М + Е12- еу1 (<)]}. (17)

Целевая функция записана в виде логического выражения Е = [*м л (о-, < (ту1) V к12 л(сг, > ау1)\

Л

[^2,1 Л((Т2 - ^2) Ч/ ^2,2 Л(СТ2 >°>)]-

(18)

В основе второго более точного алгоритма решения контактной задачи лежит система уравнений, связывающая механические свойства материалов и кинематические параметры относительного движения:

. Л с1е-> ¿к

А, —1 + А2 -

а

л л'

*.А. 2 + ^1.2^1,2

ш

= к2}Е21 + к22Е22

Л Л

2 ^2 _ ¿£У2

Ж Л

решение которой относительно скоростей деформаций имеет вид: (¡£, _ 1 (¡к

Л (д,2) Л ' - х —

А (А, + *Д2) Л'

^1,1^1,1 + к 1,2^1,2 ^ где =- ~~ безразмерный множитель, определяющий

^2,1^2,1 ^2,2^2,2

соотношение скоростей деформаций в зависимости от механических свойств

ст

и состояния контактирующих материалов. Выражение для скорости —

получено дифференцированием кп — { И ■ | п2 • пК | } по времени. Контактное напряжение вычисляется по выражению о{т*, = (г*, /) +

а величины перемещений внешних границ элементов профилей тел как

ы,(г", *) = Д,^',*) , и2(т*, А2£2(т", /). (22) В случае превышения контактным напряжением предела упругости для любого из материалов контактирующих элементов в соответствии с вычисленными по (22) перемещениями на текущем шаге интегрирования по времени производится аппроксимация соответствующего профиля методом наименьших квадратов. При модификации функций профилей - изменении коэффициентов аппроксимирующих полиномов методом наименьших квадратов — отыскивается минимум функции

= ¿{Мс)-<г(с)]- ф:(с)1 - (2з>

*=г

где Ф( (т"к) - исходная функция профиля, заданная на этапе

проектирования; Ф" (т*к ) — функция, аппроксимирующая новую геометрию

сегмента; т*к - к-е значение аргумента в соответствии с сеткой интегрирования /-й функции профиля у -го тела.

Выражения для определения интегрального значения нормальной составляющей вектора полной реакции опорной поверхности и её момента относительно центра масс звена имеют вид:

м

25)

где к - индекс узла сетки интегрирования; т'к = — (А; — 1) - к-е значение

п

аргумента функции; п^ - вектор нормали к сегменту второго профиля, определённый в глобальной системе координат; ) - значение

контактного напряжения для узла сетки, определяемого индексом к;

(£5 = А-.

I с1г*

— и 12 _7 *

^2,1 ,; ^ 1 яг,

+

- площадь

элементарной площадки области пятна контакта;

= ¿Ф2(т;) с1т; с1е2(т

Ф

- 2г - _ я Л2А2 —- - - - производная от ' с1т2 с1т* с1т*

функции, задающей линию сопряжения в системе координат т2п2.

Интегральные значения компонент реакции связи и момента, обусловленные силами трения в контактной паре, вычисляются по зависимостям:

ыкл ... .. . .. ^ (2б)

к = 1 \ Ж ;

к = 1

Ихк.+К.1К..1

X 5

(27)

<1к

г, к

л

где - вектор касательной к сегменту второго профиля, определённый в глобальной системе координат с учётом знака относительной скорости

трущихся поверхностей;

Л

модель трения.

В третьем разделе решаются задачи анализа динамики функционирования и оптимального проектирования патроноподающего узла с прямоугольным законом перемещения патронной ленты. Расчётная схема

комбинированной динамической модели приведена на рис. 5. При решении задач использовались следующие параметры патронной ленты: калибр боеприпаса 7,62 мм; шаг ленты 20 мм; масса патрона со звеном 0,034 кг; жёсткость ленты 300 кН/м. Сила сопротивления протягиванию вычислялась по зависимости В.Е. Руднева.

Рис. 5

. ——1 = 000

I -1-005

| 010

I------( = 015

|----—1 = 020

, 1-029

Рис. 6

На рисунке 6 приведено семейство кривых скорости затворной рамы на участке работы узла в откате для ряда значений коэффициента трения /, а на рисунке 7 представлены графики относительных потерь ©(/) её кинетической энергии. На кривых отчётливо видны колебательные явления и многократные соударения звеньев. Помимо этого, на рис. 8 приведены результаты моделирования процесса приработки в течение 500 циклов -скорость затворной рамы в конце рабочего перемещения узла - для ряда значений коэффициента трения. Из рисунка видно, что процесс приработки, обусловленный даже только пластическим деформированием поверхностей звеньев, существенно зависит от условий работы механизма.

Рис. 7

о 5 С i

« KS 100 âo 2Й0 250 300 350 400 45Û 300 Cysfcç

Рис. 8

Рисунки 9 и 10 отражают результаты решения задачи определения оптимальной величины зазора бУстановлено, что в течение первых циклов

работы механизма влияние конструктивно заданной величины зазора незначительно, и не выявляется обычными методами, однако устанавливающиеся в ходе приработки параметры узла существенно зависят от этой величины. Например, на рис. 9 отчётливо выделяется глобальный экстремум при «0.15 мм, соответствующий минимальным потерям

кинетической энергии затворной рамы. Ширина интервала, на котором достигается экстремум, составляет « 0.2мм,

Рисунки 11 и 12 отображают результаты решения задачи определения оптимального значения угла а = аг<Лап(0 / О) наклона паза ползуна по критерию минимума относительных потерь в(а). Инерционные характеристики ползуна заданы как функции угла а и ряда дополнительных параметров.

Рис. 11 17

Моделирование показало существенно нелинейную зависимость параметров функционирования узла от величины угла. Графики на рис. 12 позволяют сравнить кривые потерь ©(/), определённые численным экспериментом с аналитической зависимостью (гладкая кривая). Видно, что, несмотря на то, что общий характер изменения и величины потерь достаточно близки, типовой расчёт даёт область значений угла, при котором механизм сохраняет работоспособность, интервалом а е (0.2; 1.08), а минимум потерь приходится на угол а ~ 0.6 рад. Однако результаты численного эксперимента устанавливают иные интервалы и значения:

" работоспособность механизма обеспечена на интервале

а 6 (0.225; О.б) рад.; ■ минимум потерь приходится на угол а ~ 0.53 рад.

Рис. 12

Таким образом, обнаруживается, что рабочий интервал значений угла, определяемый с учётом многовариантного опирания, зазоров и локальной J

податливости звеньев, почти в 2 раза уже, чем это следует из типового расчёта. Оптимальные значения параметров ползуна приведены в таблице 1.

Таблица 1

Параметр Значение Единицы измерения

Оптимальный угол О, 0.475 рад

Оптимальный размер И 0.0389 м

Оптимальный размер Е 0.0280 м

Масса ползуна ТП 0.0513 кг

Момент инерции 3£ 9.8203-10 6 кг- м2

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана математическая модель динамики плоских механических систем, позволяющая в МС произвольной степени подвижности и с произвольно сложной геометрией тел моделировать контактное взаимодействие элементов КП с учётом многовариантного характера опирания звеньев и упруго-пластического деформирования их рабочих поверхностей при многоцикловом нагружении.

2. Проведён сравнительный анализ результатов моделирования, выполненного на основе разработанной модели, с результатами расчёта по методике Бравина-Пугачёва. Показано удовлетворительное согласование вариантов расчётов. Анализ динамики узла в условиях циклического нагружения позволил установить, что поверхностные упруго-пластические деформации звеньев, возникающие в процессе приработки, оказывают существенное влияние на работу узла и должны учитываться при проектировании.

3. Решена задача определения оптимальной величины зазора для

расчётной схемы патроноподающего узла, представленной комбинированной динамической моделью, с учётом пластического деформирования поверхностей звеньев при многоцикловом нагружении. Выявлена сильная нелинейная зависимость устанавливающихся в процессе приработки параметров функционирования узла от величины начального конструктивно заданного зазора.

4. Решена задача нахождения оптимальной величины угла а наклона паза для расчётной схемы патроноподающего узла, представленной комбинированной динамической моделью, с учётом упруго-пластического деформирования поверхностей звеньев при многоцикловом нагружении. Установлен нелинейный характер зависимости исследуемых параметров функционирования узла от величины угла, проявляющийся уже на первых циклах работы механизма. Определены экстремальные значения угла, соответствующие глобальным максимуму и минимуму КПД. Выявлено, что нелинейный характер зависимости непосредственно связан с коэффициентом трения.

5. Проведён обобщающий анализ результатов исследования, выработаны практические рекомендации по проектированию и конструктивному исполнению элементов узлов такого типа. Даны рекомендации по применению разработанных динамических моделей при проектировании.

2006-4 27325

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В ПУБЛИКАЦИЯХ

1. Канунников A.B., Кудряшов A.M. Анализ применимости методики Бравина-Пугачёва для расчёта автоматических машин циклического действия // В сб. «Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения». - Том II. - РФЯЦ-ВНИИЭФ. -Саров. - 2004. - С. 851-853.

2. Канунников A.B., Кудряшов A.M. Конструкция экспериментального стенда по исследованию принципа полусвободного запирания // В сб. «Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения». - Том II. - РФЯЦ-ВНИИЭФ. - Саров. -2004г. - С. 648-687.

3. Канунников А В. Модель динамики плоских механических систем на основе дискретных контактных моделей // В сб. докладов VII Всероссийской НТК «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов». - Выпуск 7. - Часть 3. - 2004. - С. 142-148.

4. Канунников A.B. Моделирование механических систем с локально упругими связями // В сб. докладов Региональной НТК «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов». - Тула. — 2005. - С. 50-55.

5. Канунников A.B. Особенности плоских механических систем с многовариантными неудерживающими связями в стрелково-пушечном вооружении // В сб. докладов XV Научно-технической конференции Тульского артиллерийского инженерного института «Пути совершенствования ракетно-артиллерийских комплексов, средств управления войсками и оружием, их эксплуатации и ремонта». - Тула. -2005.-С. 139-141.

6. Канунников A.B., Никольский В.В., Фролов H.H. Определение влияния погрешностей позиционирования при нахождении коэффициента восстановления в стрелково-пушечном вооружении // В сб. докладов XV Научно-технической конференции Тульского артиллерийского инженерного института «Пути совершенствования ракетно-артиллерийских комплексов, средств управления войсками и оружием, их эксплуатации и ремонта». - Тула. - 2005г. - С. 127-128.

7. Баранов В.Л., Канунников A.B. Влияние контактного упруго-пластического деформирования на динамику систем циклической автоматики (принята в печать «Вестник машиностроения», 2005г.).

Изд лиц ЛР №020300 от 12 02 97 Подписано в печать 28 10 2005г

Форма бумаги 60x84 1/16 Бумага офсетная

Усл-печ л 1,2 Уч-изд л 1,0 Тираж 100 экз Заказ №46

Тульский государственный университет 300600 , г Тула, пр-т- Ленина, 92

Отпечатано в редакционно-издательском центре Тульского государственного университета

300600, г Тула, ул Боддина, 151

Введение.

• Глава I. Состояние вопроса, цель и задачи исследования.

1.1. Модели динамики механических систем с многовариантным взаимодействием звеньев в кинематических парах.

1.2. Удары в динамике механических систем, моделирование контактных взаимодействий.

1.2.1. Решение задач об ударе в динамике систем абсолютно твёрдых тел. Дискретные контактные модели.

Л 1.2.2. Моделирование контактных взаимодействий методами ™ МДТТ. Контактные задачи.

1.3. Цель и задачи исследования.

Глава II. Разработка математической модели динамики плоских механических систем.

2.1. Разработка математического описания контактной пары типа «ТОЧКА-ПОВЕРХНОСТЬ».

2.2. Разработка математического описания контактной пары типа «ПОВЕРХНОСТЬ-ПОВЕРХНОСТЬ».

2.2.1. Установление функциональной зависимости т2 ( тх ).

Ф 2.2.2. Определение глубины взаимного проникания профилей тел.

2.2.3. Определение величины нормального контактного напряжения итеративным процессом.

2.2.4. Определение величины нормального контактного напряжения через кинематику относительного движения.

2.2.4.1. Определение нормальной компоненты относительной скорости точек тел в области пятна контакта. относительной скорости точек тел в области пятна контакта.

2.2.4.3. Определение относительных деформаций и контактных напряжений на основе кинематических соотношений относительного движения.

2.2.5. Определение интегральной силы и интегрального момента реакции опорной поверхности.

2.2.5.1. Вычисление длины ls линии сопряжения профилей сегментов в области пятна контакта. ф 2.2.6. Определение толщин деформируемых слоев на основе решения контактной задачи Герца.

Глава III. Численное моделирование. Анализ динамики функционирования и оптимальное проектирование патроноподающего узла.

3.1. Анализ чувствительности узла с динамической моделью на основе дискретных контактных элементов к изменению коэф фициента трения.

3.2. Анализ чувствительности узла с комбинированной динамической моделью к изменению коэффициента трения при однократном и циклическом нагружении.

3.3. Установление оптимального значения зазора Sl.

3.4. Установление оптимального значения угла СС наклона паза.

3.5. Общий анализ результатов исследования. Выработка практических рекомендаций.

XXI-й век - век больших перемен, и главным образом благодаря стремительному развитию вычислительной техники. При этом соперничество между державами в области вооружения не прекращается, что вынуждает специалистов из различных технических областей искать пути совершенствования стоящих на вооружении образцов военной техники, искать новые конструктивные решения, разрабатывать более эффективные методы и средства проектирования, более точные модели отдельных процессов и комплексные модели функционирования боевых систем. И всё это при непрерывном росте требований, предъявляемых к проектируемым изделиям, по показателям ТТХ при условии обеспечения экономической эффективности их производства.

Интенсивный рост требований во многом обусловлен активным внедрением в технику вооружения электронных систем, благодаря которым достигаются современные показатели тактико-технических характеристик. Однако значимость адекватного моделирования механической части изделия при проектировании по-прежнему безусловна: например, изменения в динамике машины, вызванные увеличением зазоров вследствие пластических деформаций поверхностей звеньев в отдельных узлах, не могут быть скомпенсированы электроникой; рост динамических нагрузок снижает показатели ТТХ.

Изменения же условий эксплуатации усиливают это влияние, что зачастую может приводить к нестабильности или даже к возникновению отказов в работе хорошо спроектированного изделия, особенно, если конструктивное решение схемы автоматики таково, что наблюдается повышенная чувствительность к этим факторам [3, 43, 107, 117].

Проведённый далее анализ говорит о недостаточном развитии методов расчёта, которые позволяли бы эффективно учитывать специфику СПВ при моделировании, а также, согласно полученным результатам, оптимальным образом спроектировать конструкцию и разработать технологию производства конкретного образца. Наиболее широко распространённые в инженерной практике методы проектирования и расчёта элементов и схем механических устройств, получившие применение в современных системах автоматизированного проектирования (pro/Engineer, mscNastran, ADAMS, Autodesk Mechanical Desktop), распадаются на два класса: методы для систем абсолютно твёрдых тел и конечноэлементное моделирование. В первом случае математические модели, как правило, разработаны при следующих допущениях: допущение об отсутствие зазоров в кинематических парах и допущение об абсолютной твёрдости звеньев механической системы.

Решение задачи динамики в рамках указанных допущений налагает требование по статической определимости при составлении систем уравнений динамики, что во многих случаях приводит к существенно упрощённому отражению в математической модели истинного характера взаимодействия элементов механизма [3, 46, 116, 117], по-существу, - к игнорированию факта многовариантного характера распределения сил реакций по поверхностям взаимодействующих тел, и, как следствие, - к невозможности корректно отразить динамику проектируемого устройства.

Помимо этого, условия и характер взаимодействия элементов автоматики СПВ таковы [3, 43, 106, 107], что одним из обязательных требований, предъявляемых к математической модели, следует считать возможность достоверного моделирования ударов и сопровождающих их колебательных явлений в КП с зазорами. Исходя из этого, введение указанных выше допущений неприемлемо. К тому же, влияние даже локальных деформаций отдельных звеньев и связанные с этим колебательные явления, несмотря на принятие гипотезы отсутствия зазоров, достаточно существенны, чтобы учитываться при проектировании.

В современных САПР в качестве инструмента для разрешения описанных трудностей предлагается использовать МКЭ, который стал уже стандартным компонентом каждой системы проектирования. Однако зачастую этот метод не даёт ожидаемого эффекта в силу его характерных особенностей: чрезвычайно высокая вычислительная ресурсоёмкость; накопление значительных погрешностей из-за ошибок округления; трудности моделирования взаимодействия элементов КП при посадке с малыми зазорами в силу дискретного представления поверхности.

Альтернативой применению МКЭ здесь вполне могут служить традиционные подходы к решению контактных задач МДТТ о взаимодействии, например, жёсткого индентора и упругого полупространства [16, 34, 35, 47, 56, 85, 134]. Сохранение гипотезы об абсолютной твёрдости тел при наличии некоторой локальной податливости -по-существу использование принципа Сен-Венана — позволяет сократить время вычислений без существенных потерь в точности решения контактных задач.

Необходимо отметить, что ряд автоматизированных систем моделирования динамики механических систем, например, mscNastran и ADAMS, всё же используют нелинейную контактную модель Герца, но в её простейшей формулировке, что тем самым указывает на достаточную и подтверждённую практикой эффективность такого подхода.

Таким образом, комбинирование двух различных подходов: моделирование динамики легко нагруженных узлов МС на основе модели с сосредоточенными силами, и представление высоконагруженных узлов моделями, учитывающими распределение контактных напряжений по поверхностям соприкасания, представляется оптимальным сочетанием для решения перечисленного круга задач. Предпочтительной моделью динамики машины с сосредоточенными реакциями является модель на основе дискретных контактных элементов, позволяющих избежать затруднений со статической неопределимостью, учитывать нелинейные эффекты при динамическом нагружении опорных поверхностей звеньев, моделировать колебательные явления в КП.

Применение контактной модели, учитывающей распределение контактных напряжений по опорным поверхностям, позволяет, например, точнее моделировать динамику узлов преобразования силовых и кинематических параметров, учитывать локальные изменения геометрии звеньев при циклическом нагружении, приводящие к росту зазоров в КП и, как следствие, - к значительным переменам в режиме работы системы.

Суперпозиция этих двух подходов к описанию динамики позволяет оптимально с точки зрения затрат вычислительных ресурсов и достоверности получаемых результатов решать качественно иную, безусловно важную задачу - задачу оптимизации параметров машины с учётом их изменений в процессе работы.

Методы и средства построения таких прогнозов уже на этапе проектирования являются крайне востребованным сегодня инструментом для инженера-механика, однако, современные системы проектирования при их весьма высокой стоимости не обеспечивают эффективного решения подобных задач, в связи с чем возникает необходимость разработки собственных методов и средств оптимального проектирования.

Настоящая работа посвящена решению некоторых из перечисленных выше задач проектирования автоматики СПВ на примере патроноподающего механизма с прямоугольным законом перемещения рабочего звена. В соответствии с проведённым анализом литературы по вопросам моделирования динамики механических систем, в том числе и систем СПВ, с учётом многовариантного характера взаимодействия звеньев, зазоров в КП, общей и локальной податливостей звеньев, необходимо отметить достаточную новизну и эффективность изложенного в работе подхода, наличие возможности его дальнейшего распространения на более общий случай - пространственные механические системы.

При выполнении работы автор пользовался консультациями докт. техн. наук, профессора Ю.И Смирнова, за что выражает ему искреннюю благодарность.

заключение

В ходе выполнения настоящей работы были получены следующие результаты:

1) Разработана математическая модель динамики плоских механических систем, позволяющая в МС произвольной степени подвижности и с произвольной сложностью геометрии тел моделировать контактное взаимодействие элементов КП с учётом многовариантного характера опирания звеньев и упруго-пластического деформирования их рабочих поверхностей.

2) Проведён сравнительный анализ результатов моделирования, выполненного на основе динамических моделей выбранной схемы патроноподающего узла, с результатами типового расчёта, выполненного по методике Бравина-Пугачёва, для нескольких значений скорости затворной рамы в откате при различных условиях трения. Показано удовлетворительное согласование трёх вариантов расчётов при моделировании серии из малого числа циклов работы автоматики. Проведённый анализ динамики узла в условиях циклического нагружения позволил установить, что поверхностные упруго-пластические деформации звеньев, возникающие в процессе приработки, Ьказывают влияние на работу узла, и должны учитываться при проектировании.

3) Решена задача нахождения оптимальной величины зазора S г для расчётной схемы патроноподающего узла, представленной комбинированной динамической моделью, с учётом пластического деформирования поверхностей звеньев при многоцикловом нагружении. Обнаружена сильная нелинейная зависимость устанавливающихся в процессе приработки параметров функционирования узла от величины начального конструктивно заданного зазора. В то же время, на первых циклах работы механизма конструктивно заданная величина зазора практически не оказывает влияния на скорость затворной рамы в конце рабочего перемещения. Результаты решения задачи показывают, что оптимальная величина зазора не может быть определена однозначно, и должна выбираться в соответствии с конкретными требованиями и конструктивными особенностями проектируемого изделия.

4) Решена задача нахождения оптимальной величины угла а наклона паза для расчётной схемы патроноподающего узла, представленной комбинированной динамической моделью, с учётом упруго-пластического деформирования поверхностей звеньев при многоцикловом нагружении. Установлен нелинейный характер зависимости исследуемых параметров функционирования узла от величины угла, проявляющейся уже на первых циклах работы механизма. Установлены экстремальные значения угла, соответствующие глобальным максимуму и минимуму КПД. Выявлено, что нелинейный характер зависимости непосредственно связан не только с геометрией тел, но и с коэффициентом трения. Результаты решения задачи позволяют для наиболее сложных условий работы узла задать такое конструктивное значение угла, которое с учётом периода приработки обеспечит наилучшие характеристики изделия на основном периоде эксплуатации.

5) Проведён обобщающий анализ результатов исследования, выработаны практические рекомендации по проектированию и конструктивному исполнению элементов узлов такого типа. Даны рекомендации по применению разработанных динамических моделей при проектировании.

1. Айзикович С.М., Трубчик И.С., Шклярова Е.В. Внедрение штампа в неоднородную по глубине полосу // Изв. АН СССР. МТТ. — 1991. — №1.-С. 61-71.

2. Александров В.М., Пожарский ДА. Трёхмерные контактные задачи при учёте трения и нелинейной шероховатости // ПММ. 2004. — Т. 68. — Вып. 3.-С. 516-527.

3. Алфёров. В.В. Конструкция и расчёт автоматического оружия / М.: Машиностроение. — 1977. — 248с.

4. Амбарцумян С.А., Минасян М.М. Об одной нелинейной модели вязкоупругого тела // Изв. АН СССР. МТТ. - 1991. - №4. - С. 165-172.

5. Аппелъ П. Теоретическая механика / М.: Физматгиз. — Т. 2. — 1960. — 488с.

6. Аргатов И.И. Приближённое решение осесимметричной контактной задачи для упругого слоя конечной толщины // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2004. - №6. - С. 35-40.

7. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин / М.: Наука. 1975. — 638с.

8. Баранов B.JI. Продольные волны в стержнях с учётом влияния скорости деформации // Работы по механике деформируемого твёрдого тела: В сб. научных трудов. Тула: ТулПИ. - 1979. - С. 53-59.

9. Баранов В.Л., Великое К.Р., Дунаева ИВ. и др. Отклик элементов конструкций из упруго вязкопластического материала на импульсное воздействие // Тула: ТулГУ. Русе: Дунарит. - 2000. - 210с.

10. Баранов В.Л., Канунников А.В. Влияние контактного упруго-пластического деформирования на динамику систем циклической автоматики (принята в печать «Вестник машиностроения», 2005г.).

11. Бахшалиев В. И. Динамический анализ кривошипно-ползунного механизма и расчёт на прочность «плавающего» шатуна // Изв. вузов. — Машиностроение. 2000. - №3. - С. 44-50.

12. Бахшалиев В.И. К анализу точности кривошипно-ползунного механизма поршневых машин с зазорами // Механика машин. — 2004. — №3. С. 11-14.

13. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний / М.: Высшая школа. 1972.

14. Бородин Ф.М. Пространственная задача об ударе затупленным телом по поверхности анизотропного полупространства // Изв. АН СССР — МТТ. 1990. - №4. - С. 50-58.

15. Бравин Е.Д., Лунц Е.Б., Гуревич М.В. Стрелково-пушечное вооружение самолётов / М.: Воениздат. 1941. - 303с.

16. Буланцев Г.М., Корнеев А.К, Николаев А.П. О рикошетировании при ударе // Изв. АН СССР. МТТ. - 1985. - № 2 - С. 138-143.

17. Бутенин Н.В. Рассмотрение «вырожденных» динамических систем с помощью гипотезы «скачка» // ПММ. 1948. - Т. 12. - Вып. 1. - С. 3-22.

18. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская задача о вдавливании жёсткого штампа в идеальное жёсткопластическое полупространство // Изв. АН СССР. МТТ. - 1981. - № 6.

19. Вариационные принципы механики // Сб. статей под ред. Л.С. Полака. М.: Физматгиз. - 1960. - 918с.

20. Вещ В.Л. Динамика машинных агрегатов / Л.: Машиностроение. — 1969.-367с.

21. Вещ В.Л., Кочура А.Е., Мартыненко A.M. Динамические расчёты приводов машин/ JL: Машиностроение. -1971.-351 с.

22. Верховский А.В. Явление предварительного смещения при трогании несмазанных поверхностей с места // Журнал прикл. физики. 1926. —Т. З.-Вып. 3-4.

23. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. Совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение. - 1981. - Т. 4. Вибрационные процессы и машины. / Под ред. Э.Э. Лавендэла. - 1981. — 509с.

24. Виноградов В.Н., Сорокин Г.М., Албагачиев А.Ю. Изнашивание при ударе / М.: Машиностроение. 1982. - 274с.

25. Вулъфсон И.И. Минимизация ускорений на участках кратковременного реверса рабочих органов машин // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2002. - №6. - С. 14-18.

26. Вулъфсон И.И., Коловский М.З. Нелинейные задачи динамики машин / М.: Машиностроение. 1968. - 248с.

27. Вулъфсон И.И., Преображенская М.В. Уточнённые условия неразрывности контакта в шарнирах рычажного механизма при учёте параметрических импульсов // Изв. АН СССР. — Машиностроение. — 1995.-№. 4.

28. Вулъфсон И.И., Преображенская М.В. Об одном алгоритме построения математических моделей цикловых механических систем // Проблемы машиностроения и надёжности. 2002. - №1. - С. 8-14.

29. Галагер Р. Метод конечных элементов. Основы. / М.: Мир. 1984. — 248с.

30. Галанов Б.А. О приближённом решении некоторых задач упругого контакта двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. - 1981. - №5. - С. 61-67.

31. Галахов М.А., Бурмистров А.Н. Расчёт подшипниковых узлов / М.: Машиностроение. 1988. - 272с.

32. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости / ГИТТЛ. 1953.-17337. Голъдсмит В. Удар / М.: Стройиздат. 1965.

33. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике / М.: Наука. — 1966.-300с.

34. Гарцман С.Д. Анализ упругопластической модели и определение параметров процесса прямого соударения двух твёрдых тел // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2004. - №1. — С. 16-19.

35. Геккер Ф.Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов в узлах трения / М.: Машиностроение. — 1983. — 167с.

36. Голъник Э.Р., Успехов А.А. Итерационное моделирование усталостного изнашивания в пространственных поликонтактных системах упругих деталей произвольной структуры // Изв. вузов. — Машиностроение. —2002.-№7.-С. 3-10.

37. Гончаров А.А., Сипливая М.Б. Теоретическая оценка условий заклинивания клиновых механизмов свободного хода // Изв. АН СССР. — Машиностроение. 1996.

38. Горов Э.А. Некоторые вопросы анализа и синтеза механизмов автоматического оружия / М. 1946. - 268с.

39. Горячева И.Г. Исследования А.Ю. Ишлинского в области трения качения и их развитие // ПММ. 2003. - Т. 67. - Вып. 4. - С. 646-662.

40. Данилин А.Н., Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. О неявных алгоритмах решения задачи Коши для уравнений механических систем // ПММ. —2003.-Т. 67.-Вып. 6.-С. 1051-1066.

41. Доброславский С.В., Нагаев Р.Ф. О корректности идеализации в виде абсолютно жёстких связей // Изв. АН СССР. МТТ. - 1987. - №4. - С. 37-43.

42. Зайцев В.И., Щавелин В.М. Метод решения контактных задач с учётом реальных свойств шероховатых поверхностей взаимодействующих тел // Изв. АН СССР. МТТ. - 1998. - №1. - С. 88-94.

43. Захаров Ю.А., Плотников П.К. Модель силы трения и её приложение к решению некоторых задач механики // Изв. АН СССР. — МТТ. — 1992. — №6.-С. 56-65.

44. Зеленцов В.Б. О нестационарных динамических контактных задачах теории упругости с изменяющейся шириной зоны контакта // ПММ. — 2004. Т. 68. - Вып. 1. - С. 119-134.

45. Зеленцов В.Б., Филиппова JI.M. Контактные задачи для предварительно напряжённых полуплоскости и полосы // Изв. АН СССР. Серия: Механика твёрдого тела. — 1989. № 2.

46. Зоммерфелъд А. Механика / М.: Гос. изд. иностранной литературы. — 1947.-392с.

47. Иванов А.П. Об особенностях динамики систем с неидеальными связями // ПММ. 2003. - Т. 67. - Вып. 2. - С. 212-221.

48. Исаев К.В. Активная идентификация дифференциальных моделей вязкоупругого поведения материалов // Изв. АН СССР. МТТ. — 1991. — № 6.

49. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности / М,: Физматлит. 2003. - 701с.

50. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусъко Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. АН СССР. МТТ. - 1981. — № 4. -С. 17-28.

51. Канунников А.В. Модель динамики плоских механических систем на основе дискретных контактных моделей // В сб. докладов VII Всероссийской НТК «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов». — Выпуск 7. — Часть 3. — 2004. — С. 142-148.

52. Канунников А.В. Моделирование механических систем с локально упругими связями // В сб. докладов Региональной НТК «Техника XXI века глазами молодых ученых и специалистов». — Тула. — 2005. — С. 5055.

53. Килъчевский Н.А. Теория соударения твёрдых тел / Киев: Наукова думка. — 1969.

54. Киргетов В.И. Аналитический метод механики в теории абсолютно упругого удара материальных систем // ПММ. 1961. — Т. 25. — Вып. 2. С. 407-412.

55. Киргетов В.И. К теории абсолютно упругого удара материальных систем // ПММ. 1961. - Т. 25. - Вып. 2. - С. 3-8.

56. Клепфиш Б.Р. Анализ чувствительности механических систем с неудерживающими связями // ПММ. 2003. - Т. 67. - Вып. 5. — С. 713721.

57. Кожевников С.Н., Ленский А.Н. Динамическое исследование механизмов с зазорами в кинематических парах. // В кн. «Динамика машин» / М.: Машгиз. 1960. - С. 85-100.

58. Козлов В.В. Об ударе с трением // Изв. АН СССР. МТТ. - 1989. - № 6. - С. 54-60.

59. Костерин Ю.И. Механические автоколебания при сухом трении / М.: Изд. Академии наук СССР. 1960. - 75с.

60. Крагельский КВ., Добычин М.И., Комбалов B.C. Основы расчётов на трение и износ / М.: Машиностроение. 1977. - 526с.

61. Крагельский КВ. О трении несмазанных поверхностей. // Труды Первой всесоюзной конференции по трению и износу в машинах, Т. 1, 1939.

62. Кузьмин Д.В. Структура алгоритмического обеспечения автоматизированной системы вывода уравнений динамики методом связанных графов // Проблемы машиностроения и надёжности машин. — 2002. -№3.- С. 86-92.

63. Куприянов А.Н. Основы расчёта и проектирования полуавтоматических затворов артиллерийских орудий / М.: Гос. изд. обор. пром. — 1951. — 133с.

64. Лавендэл Э.Э. Синтез оптимальных вибромашин / Рига: Знание. — 1970. 252с.

65. Ленский А.Н. Электронное моделирование электромеханических систем с учётом упругости звеньев и зазоров в соединениях // Изв. Вузов. Электромеханика. — 1960. - №9.

66. Ле Суань Ань. О парадоксах Пэнлеве в системах с кулоновым трением // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. 1988. - № 425.

67. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Теоретическая механика. Ч. 3. Динамика несвободной системы и теория колебаний / М. Л.: ГТТИ. — 1934. — 624с.

68. Лурье А.И. Аналитическая механика / М.: Физматгиз. 1961. — 824с.

69. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости / М.: Наука. — 1980. — 512с.

70. Лурье А.И. Теория упругости / М.: Наука. — 1970. — 940с.

71. Маслов Г.В. Компьютерный метод построения дискретных динамических моделей машин одного класса // Вестник машиностроения. 1999. - № 8.

72. Нагаев Р.Ф. Механические процессы с повторными затухающими соударениями / М.: Наука. 1985. - 200с.

73. Никольский В.В. Смирнов Ю.П. О формах уравнений динамики систем с сухим трением // Изв. АН СССР. МТТ. - 1987. - № 1. - С. 15-22.

74. Никольский В.В., Смирнов Ю.П. Динамика систем с многовариантными моделями взаимодействия трущихся твёрдых тел // Изв. АН СССР. — МТТ. -1990.-№2. -С. 51-59.

75. Никольский В.В. Математическая модель механизма циклической автоматики // В кн. «Моделирование и оптимизация систем автоматического управления и их элементов» / Тула: ТулПИ. — 1985. — С. 42-47.

76. Носко И.Т. Расчёт типовых трибосопряжений импульсных тепловых машин в условиях абразивного изнашивания // Машиностроитель. -2000.-№11.-С. 26-28.

77. Остроменский ИИ. К теории экспериментальных методов определения энергетических потерь в передаточных механизмах // Машиноведение. 1984. - №6. - С. 38-41.

78. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний / М.: Наука. Физматгиз. - 1980. - 270с.

79. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара / М.: Наука. -1977.-232с.

80. Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н., Матюхин Ю.И., Хавин Г.Л. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций / Киев: Наукова думка. 1989. - 232с.

81. Подчуфаров Б.М. Динамика автоматического оружия при стрельбе очередью. 1971.

82. Пожарицкий Г.К. Исчезающие скольжения механических систем с сухим трением // ПММ. 1965. - Т. 29. - Вып. 3. - С. 558-563.

83. Пожарицкий Г.К. Об уравнениях движения для систем с неидеальными связями // ПММ. 1960. - Т. 24. - Вып. 3. - С. 458-462.

84. Пожарицкий Г.К. Распространение принципа Гаусса на системы с сухим трением // ПММ. 1961. - Т. 25. - Вып. 3. - С. 391-406.

85. Потапенко Е.М. Устойчивость движения и управляемость сложных механических систем с упругими концевыми звеньями // Изв. АН СССР. МТТ. - 1991. - № 3. - С.,22-29.

86. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / М.: Наука. 1967. - 444с.

87. Проектирование ракетных и ствольных систем // Под ред. Б.В. Орлова. / М.: Машиностроение. 1974. — 818с.

88. Пугачёв B.C. Основы динамики автоматического оружия // Труды ВВИА/М.: 1946.-Вып. 156.-110 с.

89. Пэнлеве П. Лекции о трении / М.: Гостехиздат. — 1954. — 316с.

90. Рагульскене B.JI. Введение в теорию механического удара / М.: Наука. 1977.-223с.

91. Румянцев В.В. О движении некоторых систем с неидеальными связями // Вестн. МГУ. 1961. - №5. - С. 67-76.

92. Румянцев В.В. О системах с трением // ПММ. 1961. - Т. 25. -Вып. 6. - С. 969-977.

93. Савицкий В.Я. Моделирование износа узлов трения импульсных тепловых машин // Машиностроитель. 1999. -№2-3. - С. 16-18.

94. Свияженинов Е.Д., Фридман В.М. Спектральный метода решения задачи о колебаниях упруго тела сложной геометрической формы сиспользованием фиктивных областей // Изв. АН СССР. МТТ. - 1990. -№ 5. - С.74-80.

95. Сергеев В.К, Юдин КМ. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами / М.: Наука. 1974. - 111с.

96. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. / М.: Наука. 1964. - 205с.

97. Смирнов Ю.П. Уравнения движения систем с неидеальными удерживающими связями // Изв. АН СССР. МТТ. - 1983. - № 2. - С. 63-71.

98. Смирнов Ю.П. О движении системы, стеснённой удерживающими связями с трением // Прикладная механика. — 1987. — Т. 23.-№4.-С. 80-86.

99. Смирнов Ю.П. Уравнения удара систем с трением // Изв. АН СССР. МТТ. - 1985. - № 3. - С. 36-44.

100. Смолянинов В.В. Компьютеризированный расчёт контактных напряжений // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2002. — №6. - С. 76-81.

101. Солдатенков И.А. Об особенности скорости изменения области контакта при изнашивании контактирующих тел // Изв. АН СССР. — МТТ. 1990. -№ 4. - С. 877-884.

102. Солдатенков И.А. К решению контактной задачи теории упругости для толстой полосы со сцеплением // ПММ. 2003. - Т. 67. — Вып. 5.-С. 877-884.

103. Спектор А.А. Динамика движения упругого тела по основанию и режимы их контактного взаимодействия // Изв. АН СССР. — МТТ. — 1991.-№ 4.-С. 133-140.

104. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / М.: Физматгиз. 1959.-440с.

105. Третьяков Е.М. Предельные напряжения и контактная прочность пластически однородных твёрдых тел // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2002. - №6. — С. 34-41.

106. Третьяков Е.М. Влияние контактного трения на предельные напряжения и контактную прочность твёрдых тел // Проблемы машиностроения и надёжности машин. — 2004. №1. - С. 44-49.

107. Четаев Н.Г. О некоторых связях с трением // ПММ. 1960. — Т. 24.-Вып. 1.-С. 35-38.

108. Улитко А.Ф. Пространственное движение упругих тел // Изв. АН СССР. МТТ. - 1990. - № 6. - С. 55-66.

109. Финогенко И.А. О дифференциальных уравнениях, возникающих в динамике систем с сухим трением // Соросовский образовательный журнал. 1999. - №8. - С. 122-127.

110. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. / М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001.

111. Фуфаев Н.А. Динамика системы в примере Пэнлеве-Клейна. О парадоксах Пэнлеве // Изв. АН СССР. МТТ. - 1991. - № 4. - С.48-53.

112. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи / М.: Мир. 1979.

113. Шевченко К.Н. Основы математических методов в теории обработки металлов давлением. Учебн. пособие для металлургических специальностей вузов / М.: Высшая школа. 1970. — 351с.

114. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости / М—JL: Гостехиздат. -1949.-182136. Элъясберг М.Е. Расчёт механизмов подачи металлорежущих станков на плавность и чувствительность перемещения // Станки и инструменты. 1951. — № 11—12.

115. Ibid. ANSYS Structural analysis guide.

116. Ibid. ANSYS Inc. Theory Reference.

117. Appel P. Extension des equations de Lagrange au cas du frottement de glissement // C.R. Acad. Sci. Paris. 1892.

118. Do Shan. A Gauss principle and the equations of motion of a constrained mechanical system // Rev. Roum. Sci. Techn. Mech. Appl. — 1980.-T. 25.-№4.

119. Prandtl L. Ein Gedaankenmodell zur kinetischen Theoiy der fister Korper, Zeitschrift angewandten Mathematik und Mechanic, 1928, *8.

120. QI Zhao-hui, Alexander P. Seyranian. On the stability boundary of Hamiltonian systems // Applied Mathematics and Mechanics. English Edition, Vol. 23, № 2, Feb. 2002.