Динамика солитоноподобных предельно коротких импульсов в одноосных кристаллах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

На правах рукописи УДК: 621.372; 621.373

Халяпин Вячеслав Анатольевич

ДИНАМИКА СОЛИТОНОПОДОБНЫХ ПРЕДЕЛЬНО КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ В ОДНООСНЫХ КРИСТАЛЛАХ

Специальность 01.04.05 - Оптика

Автлрефррят

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005 г.

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Российского государственного университета имени Иммануила Канта

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

Сазонов Сергей Владимирович

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор Беспалов Виктор Георгиевич, ВНЦ «Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова»

Кандидат физико-математических наук, доцент Королёв Александр Александрович, Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Ведущая организация: Физический факультет Московского

государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится " * Г-чу/. ' 2005 г. в 15.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.227.02 в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики (СПбГУИТМО) по адресу 197101 Санкт-Петербург, Кронверкский проспект, 49, ауд. 308.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУИТМО

у

Автореферат разослан « и » и .'И' ^Ус ' 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.227.02 доктор физико-математических наук

С.А. Козлов

м ом

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальное™ исследования. Оптика импульсов, содержащих несколько (вплоть до одного) периодов электромагнитных колебаний, в последние годы приобретает всё большую популярность [1, 2]. Эта область, как и соответствующая терминология, всё ещё проходит этап становления. К настоящему времени за столь необычными для традиционной оптики сигналами устойчиво закрепились два термина: предельно короткие импульсы (ПКИ) [1, 4, 5] (англоязычный эквивалент: extremely short pulses (ESP) или ultimately short pulses (USP)) и few cycle pulses (FCP) [2]. Последний термин чаще встречается в англоязычной литературе. Термины (ESP) и (USP) иногда применяют и к квазимонохроматическим импульсам, чтобы подчеркнуть их малую длительность тр в абсолютном смысле. ПКИ могут иметь ту же длительность, что и квазимонохроматические импульсы, но отличаются тем, что включают в себя лишь несколько колебаний поля. При этом длительность ПКИ может колеблется от единиц до сотен фемтосекунд. Соответствующие интенсивности достигают значений ~ 1012 -10" Вт/см3. Из-за малых длительностей импульсы столь высоких интенсивностей не приводят к разрушению вещества [6].

Интерес к изучению ПКИ обусловлен их возможным применением в системах оптической связи. Ясно, что с укорочением импульсной длительности можно передавать веб большие объёмы информации в единицу времени. С теоретической точки зрения интерес к ПКИ связан с качественно новыми особенностями их взаимодействия с веществом. К описанию ПКИ неприменимы хорошо зарекомендовавшие себя в оптике квазимонохроматических импульсов приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз (ММАФ) поскольку само понятие несущей частоты для таких импульсов теряет смысл. Это обстоятельство вызывает необходимость новых подходов к описанию динамики ПКИ в различных средах. Несмотря на то, что имеется значительное число работ [1 - 4], посвящённых описанию динамика ПКИ в изотропных средах, аналитические методы исследования всё ещё недостаточны развиты.

Ситуация усложняется, если ПКИ распространяется в анизотропной среде. Здесь существенную роль играют чётные степени нелинейности в поляризационном отклике материала. Электромагнитная волна, вообще говоря, не является поперечной в такой среде и нелинейные восприимчивости являются тензорными величинами. В некоторых работах использовалась скалярная модель, когда учитывается лишь одна компонента электрического поля ПКИ [1]. В общем же случае необходимо учитывать две компоненты электрического поля: обыкновенную Еа и необыкновенную Ее. В настоящее время аналитические методы исследования распространения ПКИ в анизотропных средах недостаточно развиты.

Влияние поперечных возмущений, включая дифракцию, исследовано значительно

меньше, несмотря на то, что в этом имеется настоя- едедая £аязи с возмож-

БИБЛИОТЕКЛ |

С.Петер! 09 }1

i étmmf ai

ными применениями ПКИ в системах оптической связи. Особенно этот вопрос касается кристаллооптики ПКИ.

Настоящая диссертация посвящена исследованию продольно-Поперечной динамики ПКИ в одноосном кристалле при распространении под произвольными углами к оптической оси.

Цель работы:

Аналитическое исследование продольно-поперечной динамики сопитоноподобных предельно коротких импульсов в одноосных кристаллах с учётом дисперсии и нелинейности поляризационного отклика электронной и ионной природы.

В качестве объектов исследования выбраны солитоиоподобные предельно короткие импульсы, распространяющиеся в одноосных кристаллах. Предмет исследования имеет приложения в области спектроскопии и информационных технологий.

В ходе выполнения работы были решены задачи:

1. Найдено солитоаоподобное решение, представляющее собой связное состояние обыкновенно-необыкновенного импульса. При этом обыкновенная компонента включает в себя произвольное количество осцилляций поля, а необыкновенная компонента всегда представляет собой видеоимпульс.

2. Показано, что в кристаллах с отрицательным двулучепреломлением могут формироваться солитоиоподобные импульсы, только если их спектр принадлежит области аномальной групповой дисперсии.

3. Найдены условия устойчивости распространения солитоноподобных ПКИ по отношению к мелкомасштабным поперечным возмущениям.

4. Установлено, что при числе колебаний, содержащихся в солитоноподобном импульсе, меньшем критического дифракция не способна препятствовать его самофокусировке.

5. В кристаллах с положительным двулучепреломлением при доминировании электронного отклика спектр обыкновенной компоненты может принадлежать по отдельности областям нормальной и аномальной дисперсии групповой скорости.

Новизна результатов состоит в том, что впервые: 1. Предложен комбинированный подход, позволивший получить солитоноподобные решения сложных нелинейных уравнений, описывающих распространения ПКИ в различных средах [А1 - А10].

2 Получено аналитическое описание динамики ПКИ в одноосных кристаллах [Аб, А9, А10]. Исследованы условия формирования солитоноподобных импульсов в кристаллах с положительным и отрицательным двулучепреломлением.

3. Найден порог на число колебаний ПКИ, при котором дифракция уже не может препятствовать самофокусировке импульса [АЗ, А4, А5, А7] .

4. Исследована устойчивость солитоноподобных импульсов относительно мелкомасштабных поперечных возмущений [А8, А10}.

Теоретическая и практическая значимость обусловлена тем, что использованный в настоящей работе комбинированный подход к описанию динамики ПКИ в анизотропных средах, может быть успешно использован при рассмотрении других физических ситуаций, связанных с динамикой солитсноподобиых импульсов, экспоненциально спадающих на краях Результаты аналитических исследований продольно-поперечной динамики ПКИ могу! стимулировать постановку новых экспериментов, найти применение при разработке новых методов оптической обработки и передачи информации, а также при спектроскопических исследованиях.

Положения, выносимые на защиту:

1. Комбинированный подход, включающий в себя методы аналитического продолжения дисперсионных параметров на комплексную плоскость и усреднённый вариационный принцип типа Ритпа-Уизема, позволяет находить приближённые солитоноподобные решения нелинейных волновых уравнений и проводить их анализ на устойчивость по отношению к поперечным возмущениям.

2. При числе импульсных колебаний солитона меньшем критического значения, которое определяется параметрами среды и центральной частотой спектра импульса, дифракция не способна препятствовать его самофокусировке.

3. В кристаллах с отрицательным двулучепреломлением могут формироваться солитоноподобные импульсы, если их спектр принадлежит области аномальной групповой дисперсии. В таких кристаллах солитоноподобные импульсы устойчивы относительно

влияния мелкомасштабных поперечных возмущений, если их размер не превышает некоторого порогового значения. 4. В кристаллах с положительным двулучепреломлением спектр обыкновенной компоненты солитоноподобного импульса может принадлежать по отдельности областям нормальной и аномальной групповой дисперсии. При этом обе области отделены друг от друга спектральной щелью, а нелинейность имеет соответственно дефокусирующий и фокусирующий характеры.

Достоверность результатов обеспечивается численными исследованиями других авторов, качественно подтверждающими справедливость полученных результатов, а также тем фактом, что в квазимонохроматическом пределе все полученные результаты точно переходят в известные результаты, полученные на основе соответствующих уравнений.

Апробация результатов. Результаты, представленные в диссертации, докладывались ранее на VI, VII и VIII Всероссийских молодёжных научных школах "Когерентная опгика и оптическая спектроскопия" (Казань 7002, 2003 и 2004 г г. ), на IX Международных Чтениях по квантовой отнке (Санкт-Петербург, 2003 г.), III Международной конференции молодых учёных и специалистов "0птика-2003" (Санкт-Петербург, 2003 г.), на Международной конферен-ции"Фундаменталыгые проблемы оптики" в рамках Международного конгресса «Оптика -XXI век» (Санкт-Петербург, 2004 г.), на IX и X Всероссийских школах-семинарах «Волны в неоднородных средах» (Москва, МГУ, 2004 и 2005 г.г.), International Conference on Nonlinear Optics "ICONO" (Saint-Petersburg, 2005), IV Международном семинаре по квантовой оптике памяти Д.Н. Клышко (Москва, МГУ, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, из которых 6 - в журналах «Оптика и спектроскопия», «Квантовая электроника», «Известия Академии наук. Серия физическая», «Оптический журнал», «Proceedings of SPIE».

Структура и объём. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 76 наименований, включает 5 рисунков. Общий объём диссертации составляет 94 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, раскрыта новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, представлены основные защищаемые положении.

Первая глава "Современные достижения в описании взаимодействия предельно коротких импульсов с веществом" содержит обзор основных публикаций, посвященных тематике диссертации Здесь описываются различные методы теоретического описания взаимодействия солитоноподобных предельно коротких импульсов с изотропными и анизотроппыми средами и методы учёта поперечных возмущений на динамику таких импульсов.

Во второй главе "Нелинейные волновые уравнения и приближенный метод поиска солитоноподобных решений" представлен полуфеноменологический подход, позволивший описать взаимодействие ГПСИ с оптически одноосными средами. Здесь же описывается комбинированный подход, с помощью которого можно получать солитоноподобиые решения сложных нелинейных уравнений.

В первом параграфе на основе полуфеноменологической модели поляризационного отклика среды получена система нелинейных волновых уравнепий для обыкновенной Еа и необыкновенной Ее компонент электрического поля импульса, распространяющегося под произвольным углом а к оптической оси одноосного кристалла.

(1)

&

„ дЕе ¡{Е20Е,) , Е, —- + а, ' " 1 ' я, * а»

(2)

где п0, пг обыкновенный и необыкновенный показатели преломления, коэффициенты а2, Ь1г, <т3, Ь]е, Ь3о - определяют вклады нелинейностей второго и третьего порядков, параметры 8а, 8, характеризуют электронную дисперсию, а ст - ионную. Правые части (1), (2) описывают влияние поперечных возмущений, включая дифракцию, в параксиальном приближении, Д -поперечный лапласиан. В (1) и (2) учтены свойства симметрии одноосной среды Система (1), (2) инвариантна относительно замены Еа -> -Еа и не инвариантна относительно

Обратим внимание что (как видно из (2)), если на входе в кристалл необыкновенная компонента отсутствует (Ег = 0 ), то внутри среды она способна за счёт нелинейности поро-диться обыкновенной составляющей (обратное не верно). В этом смысле обыкновенная компонента играет доминирующую роль. Подчеркнём, что система (1), (2) записана для напря-жённостей полей, а не для огибающих и описывает как Г ГКИ, так и квазимонохроматические импульсы, содержащие большое количество оптических колебаний.

Во втором параграфе предложен комбинированный подход, позволяющий находить приближённые солитоноподобные решения. Подход включает в себя метод усреднённого вариационного принципа (УВП) типа Ритца-Уизема [7, 8], с помощью которого можно найти зависимость амплитуды импульса от свободных параметров и метод аналитического продолжения дисперсионных параметров на комплексную плоскость (АПДП) [9], который позволяет находить зависимость фазовой и групповой скоростей от свободных параметров, не решая уравнения. Суть АПДП состоит в том, что в линеаризованном дисперсионном соотношении = 0(4 — волновое число в лабораторной системе отсчёта), соответствующем рассматриваемому уравнению совершаются замены вида

<о-*ш + г/гр,

к->к + Ш.

(3)

После разделения действительной и мнимой частей, получают Р2{а,тр,к,1)=0. Данные соотношения устанавливают связь между параметрами локализованного решения При этом групповая и фазовая скорости импульса имеют вид

V,* =0)/к.

рЬ

(4)

Суть УВП состоит в том, что в лагранжиан I, соответствующий исследуемому уравнению, подставляется пробное решение, которое обычно выбирается исходя из экспериментальных данных, либо из результатов численных расчётов. Интегрирование полученного выраже-

величинам, приходим к системе уравнений Эйлера-Лагранжа, разрешая которую относительно неизвестных, находим искомые выражения для амплитуд. Таким образом, с помощью комбинированного подхода можно получить искомое солитоноподобное решение.

В третьей главе "Одномерные солитоноподобные решения и их анализ" на основе комбинированного подхода получены солитоноподобные решения, описывающие распространение ПКИ в изотропной среде и одноосном кристалле. Получены условие формирования соли-тоноподобных импульсов в средах с положительным и отрицательным двулучепреломлением.

В первом параграфе получено одномерное солитоноподобное решение, описывающее динамику импульса, распространяющегося в изотропном диэлектрике. Система (1), (2), в случае распространения ПКИ вдоль оптической оси а = О, аг=0,пе=по, ЬУа=Ь1е=Ъъ, = = 5, переходит в уравнение [9]

Дисперсионное соотношение, соответствующее линеаризованному уравнению (5), имеет вид к = п0а>!с + &э3 - а/т. После подстановки в (5) замены вида (3) и отделения действи-

тельной и мнимой частей, найдено дисперсионное соотношение к для экспоненциаль-

но локализованного импульса, а также выражения для его фазовой и групповой скоростей (см.

ния по времени даёт "усреднённый" лагранжиан

Варьируя далее по неизвестным

(5)

(4))

1/= па/с+¿(а,2 -Зг;2)-<т/(<у2 -г;2),

(6)

1 /V = /с + ¿(за2 -г;2)-О-/(ео2 + г~2)

Зависимость амплитуды от свободных параметров получена на основе "усреднёнгрого" лагранжиана. Плотность лагранжиана уравнения (5) имеет вид

£ = i «L w+£f ^T +M—V -^-(v.t/f.

2 dz дт 2\дтг) 2 П\дт) An 1 '

где электрическое поле импульса Е = дШдт. В этом параграфы поперечная динамика не рассматривалась V ±{/ = 0. Пробная функция выбрана в виде

Здесь В0 - величина, подлежащая определению, ^ = гр- длительность импульса, = z/v/* ' Ф830"3* и групповая скорости и v определяются выражениями (6). После подстановки (8) в (7) и интегрирования полученного выражение по т , найден "усреднённый" лагранжиан, вариация которого по Ва привела к искомой зависимости

Здесь си* =<т/36. Из (9) видна принципиальная роль ионной дисперсии в реализации обсуждаемого бризероподобного решения. Действительно, в её отсутствие <ос = 0, и, как следствие, подкоренное выражение в (9) становится отрицательным. Таким образом, из (8) с учётом (9), (6) и выражения Е = ди 1дт находим солитоноподобное решение, которое в пределе квазимонохроматических импульсов (ютр »1) точно переходит в решение нелинейного уравнения Шредингера.

В втором параграфе рассмотрена динамика солитоноподобного импульса, распространяющегося перпендикулярно оптической оси одноосного кристалла в случае доминирования электронной дисперсии. Как было отмечено в первом параграфе второй главы, Е„ - доминирующая компонента, поэтому вкладом опт дисперсии необыкновенной составляющей и её собственной квадратичной нелинейности можно пренебречь как величинами более высокого порядка малости по сравнению с соответствующими характеристиками обыкновенной состав-

(8)

ляющей. Учитывая вышесказанное, показано, что квазимонохроматическом пределе (в пренебрежении поперечной динамикой Дх = 0) система (1), (2) (при условии выполнения резонанса Захарова-Бенни) переходит в систему Ядзимы-Ойкавы. Эта система имеет двухпара-метрическое решение в виде двухкомпонентного импульса, обыкновенная компонента которого представляет собой солитон огибающей, а необыкновенная - видеосолитон При этом часть энергии обыкновенной компоненты передаётся на генерацию видеомпульса необыкновенной составляющей В соответствии с этим пробное решение для необыкновенной составляющей выбиралось в виде

£. = fi.seсЬ2

2

(10)

где Ве - подлежащая определению амплитуда.

На основе комбинированного подхода получено солитоноподобное решение, описывающее связное состояние ПКИ обыкновенной компоненты и видеоимпульса необыкновенной (рис 1)

К к,

Рис.1. Профили полей обыкновенной Е0 и необыкновенной £с компонент солитона

Анализ решения показал, в частности, что при условии, если групповая скорость коротковолновой (обыкновенной) компоненты равна фазовой скорости длинноволновой (необыкновенной) составляющей, когда (пг -па)/с = <50(з<г>2 -г"2), вся энергия переходит из обыкновенной

компоненты электрического поля в необыкновенную. Данное равенство обобщает условие резонанса Захарова-Бенни на случай, когда обыкновенная составляющая солитона не является импульсом огибающей, а может содержать произвольное число колебаний.

В третьем параграфе на основе системы (1), (2) описывается распространение ПКИ под произвольным углом к оптической оси одноосного кристалла. С помощью комбинированного подхода здесь получено солитоноподобное, двухкомпонентное решение системы (1), (2), представляющее собой связное состояние обыкновенной и необыкновенной волны Важно отметить, что квазимонохроматическом пределе апр »1 это решение при распространении перпендикулярно оптической оси (а = л72), переходит в солитонное решение системы Ядзи-

11

мы-Ойкавы. Если же импульс распространяется вдоль оптической оси (а = 0), выражение для обыкновенной компоненты переходят в решение НУШ, а Ег = 0.

Из анализа выражения для амплитуды обыкновенной компоненты импульса получено неравенство

l£Bj sin а,

(И)

при выполнении которого полученное солитоноподобное решение реализуется, если спектр обыкновенной компоненты лежит в области аномальной групповой дисперсии: а <<ос. Здесь

Пц = т/1 +4*27, > Хи -восприимчивость необыкновенной компоненты, при распространении импульса перпендикулярно оптической оси, <ак - некая характерная частота, определяемая выраженном щ *1 !^50с . Как видно из (11), данное утверждение всегда справедливо для кристаллов с отрицательным двулучепреломлением яя <па, а также при распространении вдоль оптической оси в кристаллах обоих типов. Если условие (11) не выполняется, в спектре допустимых значение оз появляется запрещённая область рис.2., а солитовоподобный импульс способен формироваться как в области аномальной групповой дисперсия обыкновенной компоненты, так и в области нормальной.

F

005

002 0

016

0 08 у

W 12 ^

Рис.2 Зависимость F = EomIEb (Еь = е2/аь - характерное внутриатомное поле, аь - боровский радиус) нормированной на внутриатомное поле амплитуды EM обыкновенной волны, распространяющейся перпендикулярно оптической оси (а = ж /2) от безразмерных параметров ¥ - у/о>с, W — со!й)с

В четвёртой главе "Влияние поперечных возмущений" представлены аналитические методы исследования поперечной динамики ПКИ. Получено ограничение на число колебаний, содержащихся в импульсе, при котором дифракция не способна препятствовать самофокусировке. Рассмотрено влияние мелкомасштабных поперечных возмущений (с учётом дифракции) на динамику ПКИ в одноосном кристалле Определен характерный размер мелкомасштабных поперечных возмущений, выше которого дифракция не способна компенсировать самофокусировочную неустойчивость.

В первом параграфе рассмотрен случай распространения ПКИ перпендикулярно оптической оси. Поперечная динамика импульса, описываемого уравнением (5) исследовалась с помощью усредненного вариационного принципа типа Ритца-Уизема. В силу того, что импульс считался экспоненциально локализованным, пробное решение выбрано в виде (8), где теперь ?>(г,г±) и у(г>1) " подлежащие определению функции координат, при этом <р -имеет смысл фазового солитонного эйконала. Считалось, что функциональны« зависимости Ва(т,у) и М\(т,у) совпадают с таковыми в одномерном случае. Подстановка (8) в (7) и интегрирование по / приводят к "усреднённому" лагранжиану, вариация которого по <р и у даёт уравнения Эйлера-Лагранжа

где р-=Вг01у, скорость Ух = УХФ ,Ф = с<р1п0. Правая часть (13) описывает эффекты дифракции в поперечной динамике импульса. Пренебрежение правой частью (13) соответствует эйкональному приближению или приближению геометрической оптики. В этом случае система (12), (13) принимает вид уравнений гидродинамики идеальной жидкости ((12) имеет смысл уравнения непрерывности, (13) - интеграла Коши). Тогда Р имеет смысл "давления", р - "плотности" воображаемой идеальной жидкости, а Ф - потенциала скорости. Условие устойчивости распространения ПКИ по отношению к самофокусировке эквивалентно условию устойчивого течения данной "идеальной жидкости": dP/dp>0 В случае распространения ПКИ в изотропной среде данное неравенство не удовлетворяется. Это означает что, нелинейность имеет фокусирующий характер.

(12)

(13)

Учёт вклада правой части (13) (дифракции) показал, что необходимым условием, при котором дифракция способна компенсировать самофокусировку является условие, накладываемое на число осцилляций поля, содержащихся в импульсе

N = ^ > N. Т

1.15

(14)

Отсюда видно, что абсолютное минимальное значение числа колебаний, при котором дифракция ещё может препятствовать самофокусировке, равно 1.15. Из (14) получена связь между входными параметрами импульса, при которых дифракция способна препятствовать свмофокусировке рис.3.

Рис 3. Область значений уй и а входного импульса (заштрихована), при которых дифракция способна препятствовать самофокусировке Здесь уй - обратная длительность входного

импульса в центре(г = 0)

Как отмечено выше, дифракция не может препятствовать самофокусировке при N <№т. Это можно объяснить всходя из следующих соображений. Мощный импульс, распространяясь в однородной среде, создаёт эффективную неоднородность в месте своего нахождения. Изменяя здесь показатель преломления, импульс испытывает дифракцию на данной неоднородности, размер которой ~ Я. Тогда вклад дифракции в динамику импульса будет определяться безразмерным параметром р=Л/Я (Я- характерная длина волны). При самофокусировке квазимонохроматического солитона огибающей его длина волны Я практически не изменяется т.к. несмотря на самосжатие в нём содержится всё ещё много колебаний. В то же время Я -» 0, что приводит к увеличению ц а вместе с тем к возрастанию роли дифракции.

Для ПКИ в качестве Я следует взять центральную длину волны Я , соответствующую максимуму его спектральной плотности. Очевидно, при самосжатии ПКИ, сопровождающем само-

V-«

01

о"

1 шЦ.

фокусировку, спектр импульса, уширяясь, смещается в фиолетовую область Это соответствует уменьшению X , поэтому параметр ц увеличивается не так быстро, как в случае квазимонохроматических импульсов Увеличение ц соответствует тому, что здесь дифракция всё ещё способна компенсировать самофокусировку. Если не выполняется условие (14), уменьшение Л более значительно, нежели Я, что приводит к уменьшению Ц, а следовательно - к уменьшению роли дифракции.

Во втором параграфе исследовано влияние мелкомасштабных поперечных возмущений на импульс, распространяющийся перпендикулярно оптической оси. Здесь принимались во внимание допущения, отмеченные во втором параграфе главы 3. На основе метода, рассмотренного в предыдущем параграфе, получены уравнения гидродинамического типа вида (12),

(13) Используя критерий устойчивости "идеальной жидкости" {АР 1йр > 0) показано, что в этом случае импульс устойчив относительно самофокусировки. Этот факт вытекает и из того, что спектр импульса лежит в области нормальной дисперсии групповой скорости (электронная дисперсия доминирует над ионной) Учёт влияния малых поперечных возмущений, включая эффекты дифракции (0*0), проводился с помощью разложения р~рц+р\, Ф = Ф0 +Ф,, где р, «/>„, Ф, «Ф0. После линеаризации относительно р1 и Ф, уравнения (12), (13) принимаю! вид линейной однородной системы, положив в которой

была получена алгебраическая однородная система. Приравнивание нулю определителя данной системы приводит к дисперсионному уравнению

где рв - входное значение соответствующего импульсного параметра, постоянные А и В положительны в области допустимых значений о> и у Первое слагаемое в скобках правой части (16) описывает влияние поперечных возмущений на эйкональной стадии, когда справедливо приближение геометрической оптики, второе - вклад дифракции. Отсюда следует, что со-литоноподобные импульсы, распространяющиеся перпендикулярно оптической оси, устойчивы по отношению к поперечным возмущениям.

Р1.ф1 ~ехр[/(^//7 + к1г1)],

(15)

к1=Рък\{А + Вк1),

(16)

В третьем параграфе исследовано влияние поперечных возмущений на импульс, распространяющийся под произвольным углом к оптической оси С помощью метода, описанного в предыдущем параграфе, получена система вида (12), (13).

Анализ неравенства дР/др > 0 показал, что импульс устойчив по отношению к самофокусировке на эйкональной стадии, если спектр его обыкновенной компоненты лежит в области нормальной групповой дисперсии (<о>тс) и неустойчив - в противном случае Объяснить это можно на основе следующих рассуждений. При а>>шс солитонный показатель преломления л, = с/у^ уменьшается с ростом амплитуды ~ 1/гр, которая в центре поперечного сечения солитона выше, нежели иа его периферийных участках. Согласно принципу Ферма, волновые нормали загибаются в сторону увеличения показателя преломления, т.е. в данном случае - от его центра, что и приводит к дефокусировке. Если же ео<шс, ситуация противоположна.

Учёт влияния мелкомасштабных возмущений проводился хак и в предыдущем параграфе. Здесь получено неравенство на волновое число моды возмущения вида (16). Показано, что А >0, когда спектр импульса принадлежит области нормальной групповой дисперсии (№>«>,) и А <0 в противном случае. Анализ величины В, характеризующей вклад дифракции, показал, что она положительна Отсюда следует, что в случае нормальной групповой дисперсии солитоноподобные обыкновенно-необыкновенные импульсы всегда устойчивы по отношению к мелкомасштабным возмущениям. В противоположном случае дифракция способна погасить развитие самофокусировочной неустойчивости только для поперечных возмущений размера <2ят^Щ.

В Заключении диссертации подведены итоги работы, перечислены основные результаты и выводы.

Основные результаты и выводы

1 Найдено солитоноподобное решение, представляющее собой связное состояние обыкновенно-необыкновенного импульса. При этом обыкновенная компонента включает в себя произвольное количество осцилляций поля, а необыкновенная компонента всегда представляет собой видеоимпульс.

2 Показано, что обыкновенная компонента по мере своего распространения порождает необыкновенную.

3 В работе показано, что спектр солитоноподобного импульса, распространяющегося в кристалле с отрицательным двулучепреломлением, должен лежать в области аномальной дисперсии групповой скорости.

4 В средах, характеризуемых положительным двулучепреломлением, солитоноподобный импульс формируется в области аномальной дисперсии групповой скорости при распространении под углом, меньшем критического

5 Установлено, что при распространении солитоноподобного импульса под углом, превышающим критический, спектр обыкновенной компоненты может принадлежать по отдельности областям нормальной и аномальной дисперсии групповой скорости. При этом обе области отделены друг от друга спектральной щелью.

6 Исследовано влияние мелкомасштабных яоперечных возмущений. Установлено, что если спектр солитоноподобного импульса, распространяющегося в одноосном кристалле, принадлежит области нормальной дисперсии групповой скорости, то импульс устойчив относительно мелкомасштабных возмущений.

7 Показано, что если спектр солитоноподобного импульса, распространяющегося в одноосном кристалле, лежит в области аномальной групповой дисперсии, то импульс может быть подвержен самофокусировке. Получено условие на максимальный размер мод поперечного возмущения, при кагором дифракция способна погасить развитие самофокусировочной неустойчивости

Цитируемая литература:

1. Маймистов А.И., Некоторые модели распространения предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде // Квант, электрон. 2000. Т. 30. № 4. С 287 -304.

2. Brabec Т. and Krausz F., Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics // Rev.Mod.Phys. 2000. V. 72. №2. P. 545-591.

3 Беленов Э.М., Назаркин A.B., Ущаповский B.A, Динамика распространения и взаимодействия сгустков электромагнитного поля в двухуровневых средах // ЖЭТФ. 1991 Т.100. №3. С. 762-775.

4. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Shpoiyansky Yu.A., Walmsley I., Simplified field wave equations for nonlinear propagation of extremely short light pulses. // Phys. Rev. A., 2002, V. 66, P. 013811.

5. Сазонов C.B., Соболевский А.Ф., О нелинейном распространении предельно коротких импульсов в оптически одноосных средах // ЖЭТФ. 2003. Т. 123. № 6. С. 1160 - 1178.

6 Королев А.А., Штумпф С.А., Влияние плазменной нелинейности на самовоздействие фемтосекундных импульсов в диэлектрических средах И Сборник трудов XII Международного совещания "Радиационная физика твёрдого тела", М., 2002, с. 191-198

7. Anderson D, Variational approach to nonlinear pulse propagation in optical fiber. // Physical Review A. 1983. V. 27. № 6. P. 3135-3145.

8. Жданов CJC, Трубников Б.А., Квазигазовые и неустойчивые среды. М.- Наука, 1980,

176с.

9. Козлов С.А., Сазонов С.В., Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах // ЖЭТФ. 1997. Т. 111. №2. С. 404 - 418.

Основные результаты исследования отражены в публикациях:

А1. Халяпин В.А., О квазисолитонной динамике импульсов длительностью в несколько периодов световых колебаний// Сборник статей VI Всероссийская молодёжной научной школы "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия". 30 октября-1 ноября 2002 г. Казань. С. 347-352.

А2. Сазонов С.В., Халяпин В.А., О квазисолитонном распространении импульсов длительностью в несколько периодов оптических колебаний в изотропных диэлектриках // Оптика и спектроскопия. 2003. Т.95. №3. С.452-457.

A3. Khalyapin V A., Sazonov S.V., Quasi-soliton propagation of optical pulses in isotropic dielectric //Proceeding of SPIE. 2003. V.5402. P. 262-270.

A4 Халяпин В.А., Дифракция импульсов в несколько периодов колебаний в изотропном диэлектрике // Сборник статей VII Всероссийская молодёжной научной школы "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия". 30 окгабря-1поября 2003 г. Казань. С. 377-382. А5. Сазонов C.B., Халяпин В.А., Влияние дифракции на распространение предельно коротких оптических импульсов в изотропных диэлектриках // Оптический журнал. 2004 Т.71, №9, С.33-37.

А6. Сазонов С.В, Халяпин В.А., Комбинированный метод нахождения приближенных соли-тоноподобных решений уравнений нелинейной оптики // Известия Российской академии наук. Серия физическая. 2004. Т.68. №12. С. 1707-1709.

А7 Сазонов С.В, Халяпин В.А.. О влияния дифракции на нелинейное распространение оптических импульсов длительностью в несколько колебаний // Квантовая электроника. 2004. Т.34. №11. С 1057-1063.

А8. Халяпин В.А., Квазисолитовная продольно-поперечная динамика импульсов длительностью в несколько периодов колебаний в одноосном кристалле // Сборник статей VIII Всероссийская молодёжной научной школы "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия". 2730 сентября 2004 г. Казань. С. 199-204.

А9. Сазонов C.B., Халяпин ВА., Об аналитическом описании нелинейного распространения импульсов в одноосном кристалле // Сборник трудов конф. "Фундаментальные проблемы оптики" 18-21 октября. 2004 г. С-Петербург. С. 164 - 165.

А10. Сазонов C.B., Халяпин В.А. О влиянии поперечных возмущений на распространение со-литононодобных двухкомпонентных импульсов в одноосном кристалле // Оптика и спектроскопия, 2005, Т. 99. №5.

Личный вклад автора. Диссертантом проведено исследование задачи, поставленной перед ним научным руководителем доктором физико-математических наук С.В. Сазоновым. Основные результаты диссертации опубликованы в соавторстве с научным руководителем доктором физико-математических наук Сазоновым С.В. По результатам исследований вышли работы А1-А10.

Тиражирование и брошюровка выполнены в Центре «Университетские телекоммуникации». Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14. Тел. (812)233-46-69 Объем 1 ц. л. Тираж 100 экз

№ 16 2 3 5

РЫБ Русский фон л

2006-4 12505

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ В ОПИСАНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРЕДЕЛЬНО КОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ С ВЕЩЕСТВОМ.

1. Теоретические модели одномерного распространения импульсов в изотропных средах.

2. Способы описания распространения импульсов в оптически одноосных средах.

3. Влияние поперечных возмущений.

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИБЛИЖЁННЫЙ МЕТОД ПОИСКА СОЛИТОНОПОДОБНЫХ РЕШЕНИЙ.

1. Вывод нелинейных волновых уравнений.

2. Комбинированный подход нахождения солитоноподобных решений.

ГЛАВА 3. ОДНОМЕРНЫЕ СОЛИТОНОПОДОБНЫЕ РЕШЕНИЯ И ИХ АНАЛИЗ.

1. Динамика предельно коротких импульсов в изотропной сре

2. Распространение обыкновенно-необыкновенного импульса перпендикулярно оптической оси.

3. Солитоноподобные режимы распространения предельно коротких импульсов под произвольным углом к оптической оси.

ГЛАВА 4. ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ.

1. Влияние дифракции на нелинейное распространение оптических импульсов, включающих в себя произвольное число колебаний.

2. Мелкомасштабные возмущения при распространении импульсов перпендикулярно оптической оси кристалла.

3. Случай произвольной геометрии распространения.

Оптика импульсов, содержащих несколько (вплоть до одного) периодов электромагнитных колебаний, в последние годы приобретает всё большую популярность (см., например, обзоры [1-6]). Эта область лазерной физики, как и соответствующая терминология, всё ещё проходит этап становления. К настоящему времени за столь необычными для традиционной оптики сигналами устойчиво закрепились два термина: предельно короткие импульсы (ПКИ) [2-4] (англоязычный эквивалент: extremely short pulses (ESP) или ultimately short pulses (USP)) и few cycle pulses (FCP) [1]. Последний термин чаще встречается в англоязычной литературе. Термины (ESP) и (USP) иногда применяют и к квазимонохроматическим импульсам, чтобы подчеркнуть их малую длительность гр в абсолютном смысле. ПКИ могут иметь ту же длительность, что и квазимонохроматические импульсы, но отличаются тем, что включают в себя лишь несколько колебаний поля от видимого до инфракрасного диапазона. При этом длительность ПКИ может колеблется от единиц [7] до сотен [8] фемтосекунд. К настоящему время предложены различные способы генерации и аттосекундных импульсов в ультрафиолете — мягком рентгене.

ПКИ отличаются от квазимонохроматических импульсов не только формой рис.1, но и характером взаимодействия с веществом.

Ь)

Рис.1, на рисунке представлены квазимонохроматический а) и предельно короткий Ь) импульсы.

Для ГПСИ нельзя ввести понятие несущей частоты, как это делают для квазимонохроматических импульсов, поскольку ширина их спектра сравнима с центральной частотой, в то время как для квазимонохроматических импульсов спектральная ширина Ат ~1/тр мала по сравнению с несущей а> частотой.

Интерес к изучению ПКИ обусловлен их возможным применением в системах оптической связи. Ясно, что с укорочением импульсной длительности можно передавать всё большие объёмы информации в единицу времени. С теоретической точки зрения интерес к ПКИ связан с качественно новыми особенностями их взаимодействия с веществом. Понятно, что к описанию ПКИ неприменимы хорошо зарекомендовавшие себя в оптике квазимонохроматических импульсов приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз (ММАФ). Поэтому уравнения, описывающие динамику ПКИ, должны быть записаны непосредственно для электрического поля. Основой всех рассматриваемых теорий являются уравнения Максвелла, дополненные системой Блоха или полуфеноменологическими моделями поляризационного отклика. Поскольку для полученных таким образом эволюционных уравнений редко удаётся найти точное решение, часто используют различные приближения или численные методы [2, 5, 9]. Тем не менее, аналитические методы исследования сложных нелинейных уравнений, описывающих взаимодействие ПКИ с веществом, недостаточно развиты. Ситуация усложняется, если ПКИ распространяется в анизотропной среде. Здесь существенную роль играют чётные степени электрического поля в разложении поляризации среды. В общем случае электромагнитная волна не является поперечной в такой среде и нелинейные восприимчивости являются тензорными величинами. В некоторых работах используется скалярная модель, когда учитывается лишь одна компонента электрического поля ПКИ [10-12] Как показано в [6, 13], при распространении импульса поперёк оптической оси необходимо учитывать, вообще говоря, две компоненты электрического поля: обыкновенную

Еа и необыкновенную Ее. В одноосном кристалле имеется два выделенных направления, при распространении в которых поле волны оказывается строго поперечным: вдоль и поперёк оптической оси. Можно показать, что поведение ПКИ в одноосном кристалле при его распространении вдоль оптической оси эквивалентно его динамике в изотропной среде. Поэтому описание взаимодействия ПКИ с одноосным кристаллом является более общей задачей, включающей изотропный случай.

Влияние поперечных возмущений, включая дифракцию, исследовано значительно меньше, несмотря на то, что в этом имеется настоятельная необходимость в связи с возможными применениями ПКИ в системах оптической связи. До сих пор этот вопрос остаётся открытым.

Настоящая диссертации посвящена описанию как одномерной динамики, так и учёту влияния поперечных мелкомасштабных возмущений при распространении ПКИ в одноосном кристалле под произвольным углом к оптической оси.

Первая глава посвящена обзору работ, в которых рассматриваются различные модели взаимодействия ПКИ с веществом, начиная изотропными и заканчивая анизотропными средами. Рассмотрены различные режимы распространения ПКИ в таких средах как в одномерном, так и в трёхмерном случаях, когда учитываются поперечные возмущения.

Во второй главе представлена система уравнений, описывающая распространение ПКИ в частично поглощающих средах с кубической и квадратичной нелинейностью и новый комбинированный подход, позволяющий получать аналитические квазисолитонные решения сложных нелинейных уравнений.

В третьей главе аналитически исследована солитоноподобная динамика ПКИ, распространяющихся в одноосном кристалле под произвольным углом к оптической оси. Проанализированы решения, описывающие одномерную динамику импульсов, представляющих собой связные состояния обыкновенной и необыкновенной полевых компонент. При этом обыкновенная составляющая может вмещать произвольное число оптических колебаний, вплоть до одного, а необыкновенная является однополярным видеоимпульсом

Четвёртая глава посвящена влиянию мелкомасштабных поперечных возмущений (включая дифракцию) на распространение ПКИ в одноосном кристалле. Определены области значений параметров импульса и среды, при которых распространение устойчиво. Найдено минимальное число колебаний, содержащихся в импульсе при котором дифракция не может препятствовать самофокусировке.

В заключении диссертации подведены итоги исследования, перечислены основные результаты, полученные в работе.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Комбинированный подход, включающий в себя методы аналитического продолжения дисперсионных параметров на комплексную плоскость и усреднённый вариационный принцип типа Ритца-Уизема, позволяет находить приближённые солитоноподобные решения нелинейных волновых уравнений и проводить их анализ на устойчивость по отношению к поперечным возмущениям.

2. При числе импульсных колебаний солитона меньшем критического значения, которое определяется параметрами среды и центральной частотой спектра импульса, дифракция не способна препятствовать его самофокусировке.

3. В кристаллах с отрицательным двулучепреломлением могут формироваться солитоноподобные импульсы, если их спектр принадлежит области аномальной групповой дисперсии. В таких кристаллах солитоноподобные импульсы устойчивы относительно влияния мелкомасштабных поперечных возмущений, если их размер не превышает некоторого порогового значения.

4. В кристаллах с положительным двулучепреломлением спектр обыкновенной компоненты солитоноподобного импульса может принадлежать по отдельности областям нормальной и аномальной групповой дисперсии. При этом обе области отделены друг от друга спектральной щелью, а нелинейность имеет соответственно дефокусирующий и фокусирующий характеры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предлагаемой диссертации проведено аналитическое исследование продольно-поперечной динамики предельно коротких солитоноподобных импульсов, распространяющихся в одноосном кристалле.

В работе использованы следующие приближения: импульс распространяется в области прозрачности электронно-оптических переходов и перекрывает своим спектром ионные и электронно-колебательные переходы. Кроме того, не учитывались эффекты, связанные с вынужденным комбинационным рассеянием, которыми можно пренебречь если длительность импульса меньше определённой значения, что считалось выполненным. При учёте дифракции использовались параксиальное и приосевое приближения.

В диссертации получены следующие основные результаты 1. Найдено солитоноподобное решение, представляющее собой связное состояние обыкновенно-необыкновенного импульса. При этом обыкновенная компонента включает в себя произвольное количество осцилляций поля, а необыкновенная компонента всегда представляет собой видеоимпульс.

2 Показано, что обыкновенная компонента по мере своего распространения порождает необыкновенную.

3 В работе показано, что спектр солитоноподобного импульса, распространяющегося в кристалле с отрицательным двулучепреломлением, должен лежать в области аномальной дисперсии групповой скорости.

4 В средах, характеризуемых положительным двулучепреломлением, соли-тоноподобный импульс формируется в области аномальной дисперсии групповой скорости при распространении под углом, меньшем критического а<ас (3.42).

5 Установлено, что при распространении солитоноподобного импульса под углом, превышающим критический, спектр обыкновенной компоненты может принадлежать по отдельности областям нормальной и аномальной дисперсии групповой скорости. При этом обе области отделены друг от друга спектральной щелью.

6 Исследовано влияние мелкомасштабных поперечных возмущений. Установлено, что если спектр солитоноподобного импульса, распространяющегося в одноосном кристалле, принадлежит области нормальной дисперсии групповой скорости, то импульс устойчив относительно мелкомасштабных возмущений.

7 Показано, что если спектр солитоноподобного импульса, распространяющегося в одноосном кристалле, лежит в области аномальной групповой дисперсии, то импульс может быть подвержен самофокусировке. Получено условие на максимальный размер мод поперечного возмущения, при котором дифракция способна погасить развитие самофокусировочной неустойчивости.

Предложенный в данной работе комбинированный подход может быть применён для построения решения любых нелинейных уравнений, описывающих распространение импульсов, экспоненциально спадающих на краях и включающих в себя произвольное число осцилляций поля. Кроме того, с помощью предложенного подхода можно описать поперечную динамику предельно коротких импульсов (включая дифракцию), что особенно важно в связи с возможным использованием предельно коротких импульсов в системах оптической связи.

БЛАГОДАРНОСТЬ

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Сергею Владимировичу Сазонову за внимание к работе и многолетнее научное руководство.

1. Brabec Т., Krausz F., 1.tense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics // Reviewsof Modern Physics, 2000, V. 72, № 2, P. 545-591.0

2. Маймистов А.И., Некоторые модели распространения предельно коро-ких электромагнитных импульсов в нелинейной среде // Квантовая электроника, 2000, Т. 30, № 4, С. 287-304.

3. Козлов С.А., Нелинейная оптика импульсов предельно короткой длительности // Проблемы когерентной и нелинейной оптики (сборник статей). СПб.: ИТМО, 2000, С. 12-34.

4. Желтиков A.M., Сверхкороткие световые импульсы в полых волноводах. // УФН, 2002, Т. 172, № 7, С. 743-776.

5. Беленов Э.М., Назаркин А.В., Ущаповский В.А., Динамика распространения и взаимодействия сгустков электромагнитного поля в двухуровневых средах. //ЖЭТФ, 1991, Т. 100, С. 762-775.

6. Сазонов С.В., Соболевский А.Ф., О нелинейном распространении предельно коротких импульсов в оптически одноосных средах // ЖЭТФ, 2003, Т. 123, № 6, С. 1160-1178.

7. Auston D.H., Cheung К.Р., Valdmanis J.A. and Kleinman D.A., Cherenkov radiation from femtosecond optical pulses in electro-optic media. // Physical Review Letters, 1984, V. 53, № 16, P. 1555-1558.

8. Ким A.B, Рябикин М.Ю., Сергеев A.M., От фемтосекундных к аттосе-кундным импульсам. // УФН, 1999, Т. 169, № 1, С. 58-66.

9. Козлов С.А. Сазонов С.В., Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах.//ЖЭТФ, 1997,Т. 111, № 2, С. 404-418.

10. Казанцева Е.В., Маймистов А.И., Распространение предельно коротких импульсов в нерезонансной квадратично-нелинейной среде в приближении однонаправленных волн. // Квантовая электроника, 2000, Т. 30, № 7, С. 623-628.

11. Kazantseva E.V., Maimistov A.I. and Malomed B.A., Propagation and interaction of ultrashort electromagnetic pulses in nonlinear media with a quadratic-cubic nonlinearity. // Optics Communications, V. 188, P. 195-204.

12. Маймистов А.И. Капуто Д.Г., Предельно короткие электромагнитные импульсы в резонансной среде, обладающей постоянным дипольным моментом. // Оптика и спектроскопия, 2003, Т. 95, № 2, С. 275-280.

13. Сазонов C.B., Соболевский А.Ф., Резонанс Захарова-Бенни как механизм генерации предельно коротких импульсов в одноосных кристаллах // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 75. № 12. С. 746-749.

14. Becker P.C., Fragnito H.L., Bigot J.Y., Brito-Cruz C.H., Fork R.L. and Shank C.V. Femtosecond photon echoes from molecules in solutions. // Physical review Letters, 1989, V. 63, № 5, P. 505-507.

15. Tamura K. and Nakazawa M. Pulse-compression by nonlinear pulse evolution with reduced optical-wave breaking in erbium-doped fiber amplifiers. // Optics Letters, 1996, V. 21, № 1, P. 68-70.

16. Желтиков A.M. Нелинейная оптика газовых сред: прорыв в области сверхкоротких импульсов и освоение новых спектральных диапазонов. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика и астрономия, 2001, № 4, С. 3-28.

17. Nisoli M., De Silvestri S., Svetlo О., Szipocs R., Ferencz K., Spielmann C., Sartania S., Krausz F., Comression of high-energy laser pulses below 5 fs. // Optics Letters, 1997, V. 22, № 8, P. 522-524.

18. Sartania S., Cheung Z., Lenzner M., Tempea G., Spielmann C., Krausz F., Ferencz K., Generation of 0.5-tW 5-fs optical pulses at 1-kHz repetition rate. // Optics Letters, 1997, V. 22, № 20, P. 1562-1564.

19. Аллен JI., Эберли Дж., Оптический резонанс и двухуровневые атомы, М.: Мир, 1978, 225с.

20. Беленов Э.М., Крюков П.Г., Назаркин А.В., Ораевский А.Н., Усков А.В., Когерентное усиление импульсов в нерезонансной двухуровневой среде. // Письма в ЖЭТФ, 1988, Т. 47, № 9, С.442-444.

21. Маймистов А.И., О распространении ультракоротких световых импульсов в нелинейной среде. // Оптика и спектроскопия, 1994, Т. 76, № 4, С. 636-640.

22. Сазонов С.В., О предельно коротких и квазимонохроматических солито-нах в двухкомпонентной среде. // ЖЭТФ, 2001, Т. 119, № 3, С. 419-433.

23. Сазонов С.В., Сверхсветовые электромагнитные солитоны в неравновесных средах. // Успехи физических наук, 2001, Т. 171, № 6, С. 663-677.

24. Bullough R.K., Ahmad F., Exact Solutions of the self-Induced transparency Equations // Phys. Rev. Lett. 1971. V. 27. P. 330-333.

25. Eilbec J.C., Gibbon J.D., Caudrey P.J. and Bullough R.K., Solitons in nonlinear optics I. A more accurate description of the In pulse in self-induced transparency. //J. Phys. A.: Math., Nucl. Gen., 1973, V. 6, P. 1337-1347.

26. Caudrey P.J., Eilbeck J.C., Gibbon J.D. and Bullough R.K., Exact multisoliton solution of inhomogeneously broadened self-induced transparency equations. //J. Phys. A.: Math., Nucl. Gen., 1973, V. 6, P.L53-L56.

27. Беленов Э.М., Назаркин A.B., О некоторых решениях уравнений нелинейной оптики без приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз // Письма в ЖЭТФ, 1990, Т. 51, вып. 5, С. 252-255.

28. Sazonov S.V. and Trifonov E.V., Solitons for Maxwell-Bloch equations without using the approximation of a slowly varying envelope: circularly-polarized video pulses. // J. Physics B: At. Mol. Opt., Phys., V. 27, P. 7-12.

29. Kaplan A.E. and Shkolnicov P.L., Electromagnetic "bubbles" and shock waves: unipolar, nonoscillating EM solitons. // Phys. Rev. Lett, 1995, V. 12, № 12, P.

30. Козлов C.A., О классической теории дисперсии высокоинтенсивного света. // Оптика и спектроскопия, 1995, Т.79, № 2, С. 290-292.

31. Bloembergen N., Lotem H., and Lynch R.T., Lineshapes in coherent resonant Raman scattering. // Indian J. Pure and Appl. Phys., 1978, V. 16, № 3, P. 151158.

32. Сазонов C.B., О динамике предельно коротких оптических импульсов в микродисперсной нелинейной среде. // Оптика и спектроскопия, 1995, Т. 79, № 2, С. 282-289.

33. Козлов С.А., Сазонов C.B., Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах. // ЖЭТФ, 1997, Т. 111, № 2, С. 404-418.

34. Maimistov A.I., Elyutin S.O. Propagation of short light pulses in nonlinear biréfringent fibre. Variational approach // J. Mod. Opt. 1992, V. 39, P. 22012208.

35. Маймистов А.И., Распространение ультрокороткого импульса поляризованного излучения в нелинейной среде. Векторная модель Дюффинга. //1999, Т. 87, № 1, С. 104-108.

36. Пархоменко А.Ю., Сазонов C.B., Самоиндуцированная прозрачность многоуровневой квантовой среды при распространении предельно коротких импульсов. // ЖЭТФ, 1998, Т. 114, № 11, С. 1595-1617.

37. Маймистов А.И., Распространение предельно короткого электромагнитного импульса в нелинейной среде, описываемой моделью Дюффинга пятого порядка. // Оптика и спектроскопия, 2003, Т. 94, № 2, С. 281-287.

38. Сазонов C.B., Нелинейный эффект Фарадея для ультракоротких им пульсов. // ЖЭТФ, 1995, Т. 107, вып. 1, С. 20-43.

39. Дубровская О.Б., Сухоруков А.П., О взаимодействии оптических импульсов с малым числом периодов в средах с квадратичной нелинейностью. // Известия АН. Серия физическая, 1992, Т. 56, № 12, С. 184-188.

40. Сазонов C.B., Соболевский А.Ф., О динамике предельно коротких импульсов в двулучепреломляющих средах. // Квантовая электроника,2000, Т. 30, № 10, С. 917-921.

41. Сазонов С.В., Эффекты резонансной прозрачности в анизотропной среде с постоянным дипольным моментом // ЖЭТФ, 2003, Т. 124, С. 803-819.

42. Воронков С.В., Сазонов С.В., Акустическая самоиндуцированная про зрачность в режиме длинно-коротковолнового резонанса // ЖЭТФ, 2001, Т. 120, С. 269-279.

43. Сазонов С.В., Устинов Н.В., Режимы резонансной прозрачности в условиях синхронизма длинных и коротких волн // ЖЭТФ, 2005, Т. 127, № 2, С. 289-307.

44. Сазонов С.В., Соболевский А.Ф., Квазимикроскопическая теория распространения предельно коротких импульсов в средах с наведённой анизотропией. // Оптика и спектроскопия, 2005, Т. 98, № 1, С. 46-52.

45. Trippenbach М., Wasilewski W., Kruk P., Bryant G.W., Fibich G., Band Y.B., An improved nonlinear optical pulse propagation equation // Optics Communications, 2001, V. 210, P. 385-391.

46. Bennett P.M., Aceves A., Numerical integration of Maxwell's full-vector equations in nonlinear focusing media // Physica D, 2003, V. 184, P. 352-375.

47. Rosanov N.N., Semenov V.E., Vyssotina N.V., 'Optical needles' in media with saturating self-focusing nonlinearities // J. Opt. B: Quantum Semi-class.Opt., 2001, V. 3, P. 96-99.

48. Сазонов C.B., Соболевский А.Ф., Динамика предельно коротких импульсов в частично поглощающих средах // Опт. и спектроск. 2001. Т. 90. С. 449.

49. Нестеров С.В., Сазонов С.В. Самоиндуцированная прозрачность для предельно коротких импульсов в окрестности температуры Кюри водо-родосодержащих сегнетоэлектриков / // ФТТ. 2003. Т. 45. С. 303-308.

50. Anderson D., Variational approach to nonlinear pulse propagation in optical fiber. // Physical Review A, 1983, V. 27, № 6, P. 3135-3145.

51. Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А., Оптический журнал, Параксиальная (2+1)-мерная самофокусировка импульсов предельно коротких длительностей // Оптический журнал, 2002, Т. 69, № 3, С. 12-19.

52. Козлов С.А., Петрошенко П.А., Самоделение импульса из нескольких колебаний светового поля в нелинейной среде с дисперсией // Письма в ЖЭТФ, 2002, Т. 76, С. 241-245 .

53. Сазонов C.B., О влиянии дифракции на распространение солитонов // ЖЭТФ, 2004, Т. 125, вып. 6, С. 1-14.

54. Азаренков А.Н., Альтшулер Г.Б., Белашенков Н.Р., Козлов С.А., Нелинейность показателя преломления лазерных твёрдотельных диэлектрических сред//Квант. Электрон, 1993, Т.20,№ 8, С. 733-757.

55. Марчевский Ф.Н., Стрижевский B.JL, О дифракции электромагнитного излучения в анизотропных средах // УФЖ, 1982, Т. 27, № 5, С. 781-782.

56. Розанов H.H., О распространении лазерного излучения в анизотропных средах // Опт. и спектр, 2002, Т. 93, № 5, С. 808-813.

57. Rosanov N.N., Fedorov S.V., Polarization state of quadratic spatial optical solitons // Phys. Rev. E, 2001, V. 63, P. 066601.

58. Schioman E., // Appl. Phys. Lett., 1971, V. 19, P. 274-278.

59. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А., Сукстанский A.JI., К теории движения доменных границ в магнитоупорядоченных кристаллах // Письма в ЖЭТФ, 1978, Т. 27, С. 226-230.

60. Сазонов С.В .Нелинейный эффект Фарадея для ультракоротких импульсов // ЖЭТФ, 1995, Т. 107, С. 20-43.

61. Сазонов C.B., Халяпин В.А., О квазисолитонном распространении импульсов длительностью в несколько периодов оптических колебаний в изотропных диэлектриках // Оптика и спектроскопия, 2003, Т. 95, № 3, С. 452-457.

62. Халяпин В.А. О квазисолитонной динамике импульсов длительностью в несколько периодов световых колебаний. // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия (шестая всероссийская молодёжная научная школа), Казань, 2002, сборник статей, С. 347-352.

63. Косевич A.M., Ковалёв A.C. Введение в нелинейную физическую механику. Киев: Наук, думка, 1989.

64. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. 480 с.

65. Халяпин В.А. Генерация спектрального суперконтинуума и второй транцендент Пенлеве. // Когерентная оптика и оптическая спектроскопия (пятая всероссийская молодёжная научная школа), Казань, 2001, сборник статей, С. 266-270.

66. Сазонов C.B., Халяпин В.А., Комбинированный метод нахождения приближенных солитоноподобных решений уравнений нелинейной оптики // Известия Российской академии наук. Серия физическая, 2004, Т.68, №2, С. 1707-1709.

67. Сазонов C.B., Халяпин В.А., Об аналитическом описании нелинейного распространения импульсов в одноосном кристалле // Труды международной конференции "Фундаментальные проблемы оптики", Издательство СПб, Гу ИТМО, С-Петербург 2004 г.

68. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. М.: МГУ и Наука. 2004. 654 с.

69. Карлов Н.В., Кириченко H.A. Колебания, волны, структуры М:. Физмат-лит, 2001.

70. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн (М., Наука, 1990).

71. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин A.C. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов (М., Наука, 1988).

72. Сазонов C.B., Халяпин В.А., Влияние дифракции на распространение предельно коротких оптических импульсов в изотропных диэлектриках // Оптический журнал, 2004, Т.71, № 9, С.33-37.

73. Khalyapin V.A., Sazonov S.V., Quasi-soliton propagation of optical pulses in isotropic dielectric // Proceeding of SPIE, 2003, V.5402, P.262-270.

74. C.B. Сазонов, B.A. Халяпин, О влиянии дифракции на нелинейное рас пространение оптических импульсов длительностью в несколько колебаний//Квантовая электроника, 2004, Т.34, № 1, С. 1057-1063.

75. Сазонов C.B., Халяпинв В.А. О влиянии поперечных возмущений на распространение солитоноподобных двухкомпонентных импульсов в одноосном кристалле // Оптика и спектроскопия, 2005, Т. 99. № 5 (принята в печать).