Динамика взаимодействия колеблющегося тела и цилиндрической оболочки в несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГб од

>-1ки...............

К 063.18.09

Л ...........

ШВСЬКИИ УН1ВЕРСИТЕТ 1МЕН1 ТАРАСА ШЕВЧЕННА

На правах рукопису

КРУК Леся АнатолИвна

УДК 539.529

ДИНАШКА ВЗА6М0ДП Т1ЛА, ЩО КОЛИВАЕТЬСЯ, ТА 1Щ1НЯРИЧН01 ОБОЛОННИ В НЕСТШШВ1Й ИДИШ "

01.02.05 - механ1ка р!дин, газу та плазми

Автореферат дисвртацИ на здобуття наукового ступеня ^ кандидата ф1зико-математичних наук

НиГв - 1994

Дисертэц1ею е рукогшс

Робота виконана в 1нститут1 механ1ки АН УкраТни

Науковий KeplBiuiK

- член-кореспондент АН Укра1ни, доктор ф1зико-математичних наук, професор Кубенко В.Д.

0ф1ц1йн1 опоненти

- доктор техн1чних наук Лимарченко О.С.;

- кандидат ф1зико-математичних наук Зражевський Г.М.

Пров1дна установа

- 1нститут г1дромехан1ки АН УкраПш

Захист в1дбудеться " 6 " кЫгПМЛ. 1994 р. о 15°° на зас1данн1 спец1ал!зовано1 ради К 068.18.09 у Ки1вському ун1верситет1 1м. Тараса Шевченка за адресою: 252127, м.Ки1в-127,просп.Академ1ка Глушкова, 6, механ!ко-математичний факультет.

\

3 дисертац!ею можна ознайомитись у науков1й б1бл1отец1 Ки1вського ун1верситету 1м. Тараса Шевченка.

Автореферат роз 1сланий » dejtey-UL 1994 р.

Учений секретар спец1ал1зовано1 ради кандидат ф!зико-математичних наук, доцент (К /ТСо^л-—^ В.Ф.Ковальчук

эук, '

Д rCoifi^^ В-ФЛ

ЗАГМЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

■Актуальн!сть теми. Розвиток певних галузей сучасно! техн1ки, п1двищення вимог практики до характеристик техн!чних споруд та при-строГв, розробка ряду 1нтенсивних технолог1чних процес!в призводять до необх!дност1 наукового досл1дження данам1ки взаемодП твердих чи пружних т!л (оболонок) у р1дин1.

Сучасн! досл!дження в облает! динам!ки твердих та пружних т!л, що взаемод!ють 1з середовищем, спираються на прац! В.В.Болот1на, В.М.Буйвола, М.Д.Векслера, О.С.Вольм1ра, Р.Ф.Ган1ева, E.I.Григолюка, В.Т.Гр!нченка, А.Г.Горшкова, В.Т.Головчана, О.М.Гузя, М.0.К1льчев-ського.В.Д. Кубенка, А.Е.Бабаева, е.М.Мньова, О.К.Перцева, I.I.Рапопорта, ЬТ.Селезова, е.Л.Шендерова, H.H.Bleich, S.P.Chan, H.Huang, K.Karln-Panahi та 1нших учених.

Важливим напрямком таких досл!джвнь в вивчення взаемодП систем т!л (чи оболонок) у середовищ!.

Питаниям дифракц11 хвиль у багатозв'язних т1лах, обмежених круговими цил1ндричними поверхнями, а також у багатозв'язних т1лах, що м!стять сферичн1 порожнини, задачам взаемодП систем дов1льно розташованих у р!дин! сферичних чи щШндричних т!л або оболонок присвячен! прац! В.М.Буйвола, В.Т.Головчана,О.М.Гузя, В.Д.Кубенка, А.Е.Бабаева, 0.П.Жука, Л.С.Палько, М.А.Черевко та 1н. Дифракц1я електромагн!тних хвиль на двох сферичних чи цил!ндричних т!лах вивчаларь е.А Лвановим. При цьому авторами застосовувався метод ряд1в, що дозволяе звеста крайову задачу до розв'язування неск1нченно! системи алгебра1чних р!внянь.

Загалом, у наявнше наукових публ!кац!ях, що стосуиться •багатозв'язних задач мзхан!ки суц!льного середоввда, основна увага прид1ляеться досл1дженн» взаемодП сукупност! або паралельних ци-л!ндричних, або сферичних т!л чи оболонок. Розв'язаний ц!лий ряд багатозв'язних задач у теорИ прукност!, теорН елэктромагн!тних хвиль, г!дродинам1ц1, Пдроакустиц! та г1дропружност1.

Що стосуеться задач взаемодП сукупност! т!л (пружних «ш абсолютно твердих) р!зноГ геометричноГ форми з урахуванням взавмовпли-ву, то вони розглядалися лише в поодиноких публ1кац!ях.

В.Д.Кубенком був запропонований метод побудови потенц!алу швидкостей р!дини, в основ! якого лежить можлив!сть перерозкладен-ня гармон!чних та хвильових функЩй 1з цил!ндрично! (сферично!)

системи координат у сферичну (цил!ндричну), що дае змогу ввести розв'язування под!бних задач до розв'язання неск!нченних систем алгебра1чних р!внянь.

До цього часу бут в!дсутн! числов! розв'язки конкретних задач про внутр1шню 1 зовн1шню взавмод1ю в р!дин! т!л сфорично! та цил!нд-рично1 форми (як твердих, так 1 прукних), де 0 враховувався вшшв таких фактор1в, як геометричн! розм!ри т!л, ф!зичн! властивост! р!дини, деформован!сть т!л I т.п. на процеси взаемодП. Суттевими для практики е задач!, пов'язан! з визначенням поля тиску та швид-костей в об'ем! р!дини, вивченням напружено-деформованого стану об'ект!в, що взаемод!ють.

Метою роботи в розробка метод!в досл!даення та 1х застосування до вивчення процес1в данам!чноХ взаемодП т!л сферично! форми, що коливаються, з цил!ндричними оболонками (твердими та пружними), як! занурен! у безмекну р!дину або м!стять р!дину в сво!й внутр1шн!й облает!.

Наукова новизна. У дисертац1йн!й робот! впершэ поданий анал!-тичний 1 числовий розв'язок задач взаемодП сферичного т!ла, що коливаеться, та цил!ндрично1 оболонки (коротко! чи пружноП у не-стислив1й !деальн!й р!дин!. Доел!давно г!дродинам!чн! характеристики р1дани та деформованого стану цил!ндрично! оболонки при р!з-них частотах коливань сферичного т!ла та геометричних параметрах взаемод!ючих об'ект!в.

В!рог!дн!сть отриманих результат!в забезпечуеться використан-ням сучасних, ф1зично обгрунтованих математйчних моделей; застосу-ванням до розв'язування задач точних анал!тичних та математично обгрунтованих метод!в; контрольованою точн!стю виконання граничних умов при зд!йсненн! обчислень.

Практична ц!нн!сть результат1в дисертацП полягае в розробц! методики доел!ДД8ННЯ динам1чно1 взаемодП сферичного т!ла, що коливаеться, 3 КОРОТКОЮ ЧИ ПРУЖНОЮ ЦИЛ1НДРИЧН0Ю ОбОЛОНКОЮ В Н6СТИСЛ1Ш1Й 1деалън1й р1дин!. Отриман! результата можуть бути використан! при розв'язанн! нових задач г!дропружност! та г!дродинам!ки, пов'яза-них !з взаемод1ею в р1дин! т!л чи оболонок р1зно! геометрично1 форми; при розрахунках г1дротехн!чних споруд та пристро!в; при модэ-лованн! процес!в, пов'язаних !з прот!канням р!дини (зокрема, кров1) в судинах; при досл!дженн1 руху твердихвчи газових частинок в обме-жених об'емах р!дини при в!брац!ях, тощо..

Апробац!я роботи. Матер!зли дисертацП допов!дались та обгово-рювалися на XV та XVII наукових конференц!ях молодих учених 1нсти-

туту механ1ки АН Укра1ни (м.Ки!в, 1990, 1992 рр.), на XVI конфе-ренцП з теорП оболонок 1 пластин (м.Нижн!й-Новгород, 1993 р.). на М!жнародн!й конференц!! "М1цн1сть та над1йн1сть конструкц1й нафто-газового обладнання (НО)" (м.1вано-Франк!вськ, 1994 р.), на наукових сем!нарах в!дд!лу теорП коливань Гнституту механ!ки АН Укра!ни.

Публ!кац!1. Основн! результата робота викладен! в [1-61.

Структура га обсяг дисертацИ. Дисертац1йна робота складаеться 1з всгупу, трьох глав, заключив! частини та списку л!тератури,що м!стить 118 найменувань. Загальний обсяг дисертацИ складае 127 сто-р!нок, в тому числ! 85 стор!нок машинописного тексту, 47 малюнк1в на 41. стор!нц1, 1 таблица.

На захист внноситься:

- побудова точного анал!тичного розв'язку задач! про взаемод!ю неск!нченно1 цил!ндрично1 коротко! чи пружно1 порожнини, заповнено! нестисливою р1диною, !з сферичним т!лом, що коливаеться на II ос! за задании законом, та Досл!дження впливу геометричних параметр!в порожнини й-т!ла на г1дродинам!чн! характеристики р!дини та пружн! перем1щення оболонки;

- побудова анал!тичного розв'язку задач1 для заповнено! р!динога цил!ндрично1 порожнини (жорстко! чи пружно!), що м!стить дов!льно розташоване сферичне т!ло, котре коливаеться;

- досл!дження взаемодИ в!бруючого т1ла та неск1нченного кругового короткого цил1ндра або оболонки у безмеин!й нестислив!й !деаль-н!й р!дин1, вивчення поля тиску в р!дин1 при вар!юванн! геометричних парамвтр1в т!л, що розглядаються.

ОСНОВНШ ЗМ1СТ РОБОТИ

У встул! обгрунтовано актуальн!сть теми досл!дження, подано огляд л1тератури з питань динам1ки та взаемодИ систем твердих 1 пружнкх т1л у середовищ1, сформульовано мету роботи та наведено анотац!ю дисертацИ.

У перш!й глав! даеться постановка задач! про взаемод!» заповнено! 1деальною нестисливою р!диною цил!ндрично! жорстко! чи тонко! пружно1 оболонки !з сферичним т!лом, що коливаеться (чи пульсуе) за задании законом, причому його геомэтричний центр наложить ос! цил!ндра. Розвинено метод розв'язування, котрий даз моклив!сть, 'В рамках постановки задач!, побудувати II точний анал!тичний розв'язок.

Розглядаеться цил!ндрична порожнина рад1уса ро .(Жорстка чи тонка оболонка товщини h) та сферичне т1ло рад1уса го tro< ро). Сферичне т1ло здШснюе коливальн! або пульсац1йн! руки за заданим законом у р1дин1 густини 7, що заповнюз неск1нченну цил!ндричну порожнину. Вводяться сферична Ог(, та цил1ндрична Орг систеш координат, початок яких 0 сп1впадае з центром сфери та належить ocl цил!ндра Oz. Задача сшетрична в1дносно ocl Oz.

Pyx 1деально1 нестисливо! р!даши описуеться р!внянням Лапласа

Д<р => 0, , (I)

де ф - потенц!ал швидкостей р!дини, Д - оператор Лапласа.

Потенц1ал ф визначае швидкЮть U = (Уг, U^) 1 т'иск р .у дов!ль-н!й точц! оО'ему, зайнятого р!дшюю, за формулами

"и = grad. ф , (2)

р = - 7 Зф/flt. (3)

Задача полягае у побудов! розв'язку р1вняння (I) при наступних граничим, умовах на поверхн! сферичного т1ла:

|МГ=Г = m> cos at (4)

та коротко! цил1ндрично! порожнини:

1р=(

§ ■0 (5)

чи пружно! оболонки:

% L„- - if •

(¡у - пропш цил1ндрично1 оболонки, який вважаеться додатним у нап-рямку до центру кривизни оболонки).,

Беручи до уваги вар1ант л!неаризовано1 теорИ оболонок, що базувться на Ппотезах К1рХгофа-Лява, та вважаючи прогини малими пор!вняно з товщиною оболонки, матимуть.м!сце так! р!вншшя вимуше-них коливань оболонки (в1льн! коливання не розглядаються):

Li2v + L„w = РМ р .

' * - РМ ~ Р .

* * ^ = — ч - рм — Ц : (7)

31 31 " Eh м, Е Ot2 дех =<£ f 1=2 t I = 1z£ Jl '+ i--й! f

11 at2 2p2 a-62 22 2 az2 p2 a-«2

. £ = 1_ * £ (Л а- + л.

" р 1 72 р * <Э22атЭг р * 5тЗ*

го о ~о

I =1 I = £ -

12 21 2Ро ага« 13 31 Ро32

^ "Л- - " Р к • • (8)

го

Тут и, V ~ перем!щення точок серединно! поверхн! оболонки в осьовому напрямку та вздовж дуги; рм - густина матер!алу оболонки; д - г1дро-динам!чне навантаиення, що д!е на оболонку з боку р!дини:

<?|р=р0 " " Р1Р=Р0 * (9)

Е - модуль пружност!, V - коеф!ц1ент Пуассона.

Поклавши вирази потенц!алу, тиску та перемШення у вигляд! ф =• ф^оеПг, р = р^ШН, и = и^ЗдГО, и = ^вглПТ, Ю = ш^олШ; (10) вводяться безрозм1рн! величини:

Г = г/ро> ,Р1= р/ро, 2 = г/рс, Ь = Ь/ро, й = и/ро, V = и/р0,

р = р/тс2, О = О ро/с, (II)

де с - ешдк!сть розповсюдження поздовжн!х хвиль (швидк!сть звуку) у метер1зл! оболонки:

. Г —"Г\ (12)

1 ;

Надал! застосовуються лише безрозм!рн1 величини,- тому рисоч-ки над ними опускаються.

Оск1льки цил!ндрична оболонка перебуваа п!д д!ею симетричного в1дносно ос! Ог навантакення з боку р1дини, то деформацП серединно! 'поверхн! оболонки не залежать й!д кута •в, а перем!щення точок серэдинно! поверхн! уздовя дуги тотожно р!вн! нули. Отже, в даноМу ви-падку р!вняння вимушених коливань оболонки (7) у безрозм!рних величинах в!дпов1дно до сп1вв!дношень (10)—(12) матимуть вигляд:

О'иЩ. _ „ Щг)я _ о»иГ2;> вг* вг

_ у и + — ) т(г) = £ а(г) + Я*т(г). (13) дг 12 рг П

Застосовуточи перетворення Фур'в за г до р!внянь (13) та вра-ховуючи вирази (3) I (9), отримувться формула, що пов'язув прогин оболонки з потенц1алом швидкостей р1дини в простор! зображень:

VÍ(U = Ra.Q) cpF(U/n, (14)

вам = , , - ; , ,-r ,

v'%2 t fíl2 - + ti1 i'/12 - Cf)

f - 1ндекс, що означав зображення за Фур'е.

Потекц1ал <р шукавться у вигляд! суми двох функц!й:

Ф = фс + фц. (15)

фс —► 0 при Г —» со.; ф ' —► const при р -» О. Тут фс в розв'язком р!вняння (I) у сфе]эичних координатах 1 зумов-лений присутн!стю сферичного т!ла, а фц -,у цил1ндричних координатах 1 визначае збурення, що вноситься в середовище через наявнЮть ШШндричних границь порожнини (жорстко1 чи пружно!)', 1 мають вигляд,в1дпов1дно:

оо

feo Г

ю ;

фц = J Btt) Ioap) ei(z d£, (17)

-00 , де Лд 1 Bit) - нев1дом! коефЩ1енти, що п!длягають визначенню з граничите умов; PnCcosQ) -_пол1номи Лежандра; 10(1р) - цил1ндрична фун-кц!я Бесселя уявного аргументу. Використовуючи формулу:

со .

1оар) elíz = У Рп(соэи. (18)

feo п!

вираз (17) отримуеться у сферичних координатах:

00

фц = У Zn rn Pn(C03Q), .. , • '(19)

feo

00 * . де, Zn = -Л— J B(i) (tUn di- ' (20)

А формула: ,

n 00

-Ipr PJC03Q) = j ко(\Цр) eiiz üi (21)

г 'таг/ _„

—a?

(Я0П£|р; - цил1ндрична функЩя Макдональда), дае моклив1сть записати фс у цшИндричних координатах:

со

. <РС = J X(v й0П?|р; ецг Щ. (22)

)д егс

де хт = \ —

Х(Ъ)=У ь А. (23)

ТС Ш 71

нго * п»

Коеф!ц!енти ВСи 1з (17) та (20) визначаються через ^ шляхом задоволення гранично! умови (5) чи (6) (залехно в!д постановки задач!) на основ! сп!вв!дношень (15), (17), (22) 1 (23).

Задовольняючи граничну умову (4) з урахуванням вираз!в (15), (15), (19) 1 (20), внасл!док ортогональност! пол!ном1в Лежандра отримуеться неск!нченна система л!н!йних алгебра1чних р!внянь в!д-носно шуканих коеф!ц!ент!в ^ (п = О, 1, 2, ...):

т=0

де С;от С-*/" П 1"*" ■ 2П*7 с (25)

ш х т! (п + 1)! ° т

а* 70п _ П+2

■ (26)

Тут - коеф!ц!енги-розкладу функцИ УСС) з (4) в ряд Фур'.е за пол!номами Лежандра. Вирази для коеф!ц!ент!в йт в автореферат! не наводяться.

Для отримання числових результат!в до неск!нченно! системи л!-н!йних алгебра!чних р!внянь (24) застосовуеться метод редукцИ. Обгрунтовуеться можлив1сть застосування цього методу для розв'язання дано1 системи. Порядок зр!зання алгебра!чно! системи (24) вибирався таким, щоб граничн! умови при заданих параметрах задовольнялися !з точн!стю £ = Ю-10.

Застосовуючи до формули (14) обернене перетворення Фур'8 за мокна визначити прогини пружно1 цил1ндрично! оболонки т(г):

<а . со -

и>(г) = — ! сге » - 'У ЛА .

Р=Ро п ко %п! ' . ' (27)

Вирази для коеф!ц!енг1в 577^ в автореферат! не наводяться.

Розрахунки для Пдродинам1чних характеристик р!дини та прогин!в оболонки провадилися на основ! формул (2), (3), перетворених до безрозм!рного вигляду, та (27) для таких значенъ параметр!в: v=0.3; /=1/8; П=0.5 т 0.001; го:ро=0.1 ^ 0.5; П=0.8 т 8; УГС>0.002 созС 1 7(!^)=0.002. Досл!джено поля тиску та швидкостей р!дини поблизу поверхонь сферичного т!ла та цил!ндрично! оболонки (як пружно1, так 1 жорстко!) при р!зних зниченнях П, г :ро, П. Встановлено, що поле

«

тиску р!дини поблизу сферичного т1ла можна визначити* з точн1стю до 5% без урахування розм!р!в цил!ндрично1 оболонки, якщо рад!ус сферичного т!ла при його поступальних в!брац!ях не перевищуе третини рад1усу цил!ндрично1 порожнини. На мал.1 зображено залежн!сть тиску р!дини р* (р*=р/П) в!д в1дстан! г м!ж центром сфори та дов!льною точкою pi дани при г i р0, £1=2, VTC;=0.CG2 соа£, С=0 1 го:ра= 1/4 (крив! 3); 1/3 (крив! 2); 1/2 (крив,! 1). Суц!льн! л!н!1 1люструють повед!нку тиску р!дини в пружн!й оболонц! товщини ft=0.0l; штрихов! -у жорстк!й порожнин!; а штрих-пунктирн! - при коливаннях сферичного т1ла в Сезмежн!й р!дин!.

У друг!й глав! розв'язуеться задача визначення пружних та г!дродашам1чних характеристик сиотеми, що складаеться з неск!нченно1 кругово1 цил1ндрично! оболонки (жорстко1 чи пружно!), заповнено! Шальною нестисливою р!диною, та дов!льно розташованого в оболонц! сферичного т1ла, поверхня якого зд1йснюе гармон!чн! коливання за заданим законом.

Постановка задач!. Розглядаеться неск!нченна цил!ндрична пор9жнина (чи пружна оболонка товщини h) рад1усу ро, заповнена реальною нестисливою р!диною густини 7. Центр сферичного т!ла рад!усу го зм!щений в!дносно ос! цил!ндрично! порожнини на в!дстань d (d < го < ро).

1з цилЩдричною порожниною пов'язуеться цил!ндрична система координат Opzfl, а !з сферичним т!лом - сферична система координат (^г СД так, як показано на мал.2.

Рух р!дини визначаеться гготенц!алом (р, що задоволыше р!вняння Лапласа (I). Вважаеться, що мае м!сце безв!дривний контакт р!дини з ловерхнею цил!ндричноХ оболонки (жорстко! або пружно!) та поверхнею •сферичного т!ла. Тому граничн! умови мають вигляд:

drt

= V(C,t> ) е~1Ш (28)

г =г

на поверхн! сферичного т!ла (Q - задана частота коливань точок поверхн! сфери, t - час); '

d<p(p,z,i>)

= О (29)

Р=Ро

ар

на поверхн! жорстко! цшиндрично! порожнини;

ар

Р=Р„ dt

Qw(z,i>) ,

(30)

на поверхн! прукно! цил!ндрично! оболонки, вимушен! коливання котро!

описуються р1вняннями (7)-(9) (прогин оболонки ш покладаеться додат-ним у напрямку до центру кривизни).

Тиск I швидкЮть р!дини визначаються за формулами (2), (3). Динам!чний процес е усталеним, а величин«, що його характеризуют^ зм!нюються в час1 за пер!одич!шм законом 1з заданою частотою П, тому надал! множник опускаеться. Вводяться так! безрозм!рн!

величини:

г = г/ро, р = р/ро, г = г/ро, d = с2/ро> П - Ь/р0, й = ы/ро,

и = и/ро, т = ш/ро, / = 7/рм, иг = ие^.^/ус,

ПС,.«,; = ПСФГг.-в; = фГ2,"0;/сро> чгг,^; = дгг.-а^с2,

= р(г,-в)/-]с\ П = Прв/с, (31)

де с визначэеться за формулою (12).

Надал! використовуються лише безрозм!рн! величини, тому ри-

сочки опускаються.

До р!внянь вимушених коливань оболонки, записать у безрозм!рних

величинах на основ1 р!внянь (7) !з урахуванням вираз!в (31), засто-

совуеться 1нтегральне перетворення Фур'е за г типу

00

г/= { йг,

-со

а пот!м компоненти вектора перем!щень, потенц!ал швидкостей р!дини,

ампл1туда зовн1шнього навантаження q розкладаготься у простор! зобра-

жень за Фур'е в ряди Фур'е за кутовою координатою А, нанриклад

00

Ю?5,-в; = £ ^ги еш. (32)

т=-со

Це дав можлив!сть записати р1вняння вимушених коливань оболонки у простор! зображень:

[- 5" - ^) «4«; - ^ «« - 1ЕУ «гтю - -- 5т ^ги - ( ^ - 1т ш^и « -

1^(1) + (я. - ( 1 ♦ ~ (1г + т*)1 ] г/т(и =

= - -I д^ги - О1 ч (33)

де и = - П Ф^Ги. (т = - ~.....».). (34)

Шсля нескладних паретворвнь !з системи (33) одержувться сп!вв!д-

ношошш, що зв'язуе складову вектора перем1щення и^а) з т-тою

11 складовою розкладу в ряд Фур'в потонШалу ф^Ш:

де Н^а.П.Ь.у,!) - дробово-рац!опальна функц1я, вигляд котро! в автореферат! но подаеться.

А дал! будуеться потенц!ал швидкостей р!дини ф зг!дно виразу (15) при виконанн! умов (»), де

Фц = £ / Вп(и 1пар) е1^2 К, (36)

П=-со -со 00 п

«>с " I I ¿пт ГШ е 1 (37)

п=0 т=-п

т.

(Агт - нев!дом! коефЩ1енти, Р^ (созСч) - приеднан1 функц11 Лежан-дра).

ЩоО задовольнити граничним умовам на сферичн1й та цил1ндрич-

н!й поворхнях, фц та фс записуються в!дпов!дно в сфоричних г,, С,.

^ та цил1ндричних р, г, -а координатах. При цьому, зг!дно теороми

додавання цил!ндричних функц1й

00 ^ ^

1т(£р) еш = £ (-1 )п~т 1п(£р,) 1п-т(№) е (38)

П=-оо

фц записуеться у цил!ндричн1й систем! координат О^г^, а вже 'пот!м при використанн! формули:

£5г Ш п „ п -Ш

е ' Ы1Р,) е 1 = 1т ) г п рп(СозС) е ' 1 (ЗЭ.а)

(п+т)!.

{ отримуеться вираз фц у сферичних координатах гх, С,. •

Для запису фс у щШндричних координатах р, г, -0 викорис-товуеться формула

п п+1 = -:—гг * е £ |?| V (39-0)

I * ' —со

а пот1м застосовуеться теорема додавання }шл1ндричних функц!й

1тд го ,

¡^(Шр^ е ' «Е (-1)п~т Кп(\£\р) 1п_т(Ща) е1™. (40)

П=-со

Остаточно отримуеться такий вираз сукушюго потенц1алу швидкостой р!дини

ш " Г А- <» со

<р = У У -ШТ + -Г (-1)т'г ЦШ

„irtfe.nl г.п*' (тт)! '!=-«.-«. 1

п=0 т=-п

Е" «} Рп

у сферичних координатах ги ^ та

ам РЛсозС) еш, (41)

Г/7Л /• ™ г а> п , 1 ,пт-1 ,п-т

I- •• I ' ' п=0 т=-п и (гс-т.)/ 7071

у цил!ндричних координатах р, г, -0.

Задовольняючи граничним умовам на поверхн! цшНндра, отри-муються вирази для нев1домих функц1й В^а) через Ат- Шдстзновка в (41) та задоволення граничн!й умов1 на поверхн! сферичного т!ла приводять до необх!дност1 розв'язання неск1нченно1 системи л1н1йних алгебраГчних р1внянь:

<о П.1

V") ) стп1т1 ¿7111711 = втт' (43)

пЫО Ш=-п1

Д9 Сшиг1т1 = %~(п+1) (л1_т1}! (пт), ^1гшг1ш1• ^ ,

г п+2

С " " УОпт '

Система (43) розв'язувалась методом редукцП. Порядок зр1за!шя визначався шляхом перов1рки виконання граничних умов 1з задании ступеней точност1 (порядку 10~'°). Викопано широкий обсяг числогих розрахунк1в. Зокрема, числоп1 розрахунки"'показали, що на г!дроди-нам1чн! характеристики р1дини та деформований стан цил1ндрично! оболонки суттев!!й впл!ш мають як в1дношення род!ус1в сфери та обо-лонки, так 1 величина зм1щошш сферичного т1лп п1дносно ос! цил1н-дра (див. мал.З).

У трет!й глав! даеться постановка та методика розв'язування задач! про взаемод!ю сферичного т!ла, що коливзеться за задании законом, та неск1нченного жорсткого цил1ндра або ж тонко1 пружно! цил!ндрично! оболонки у безмекн1й !деальн!й нестислив!й р1дин1.

Под!бно до того, як було зроблено в друПй глав!, вводяться дв! системи координат: цил!ндрична ОргЪ з полюсом на ос! цил!нДра

та сфорична 0riСД - з полюсом у центр! сфери. В1дстань м!ж цонтром сфори та в!ссю цил!ндра позиачавться й > го+ ро.

Повед1нка р!дини описуеться р1внянням (I). Граничн! умови задаються сп!вв1дношеннями (4) 1 (5) (чи (6) у випадку пружно! тонко! цил!ндрично! оболонки). Потенц!ал швидкостей р!дини шу-каеться у вигляд! (15), причому виконуються умови: фс —» О 1 Фц —► О при rt —► и, р —► оо. Зовн1шне навантаження на оболонку з боку р1дини визначаеться за формулою

4 Ip-Po-MP-P.' (4G)

Зг1дно постановки дано! задач!, фс мае вигляд (37), а фц -

фц = £ еШ J BjfU Кг(ШР) [ (47)

* S-CO -00

эреми дод! tired. со

1=-а> -оо

Застосовуючи тео^земи додавання цил!ндричних функц!й:,

VIEIP,' е ' = S (~1)3 VaHUdJ Iaf|?|p; еш. (48.а)

3=—со

* гуА 00 о

K3(\t\p) etae - Е (-1)3 Яд_3(-|i|dJ гпГр,|Ш е (48.6)

т=-<»

та формули (39) I

152 Ш оо (it)3 Ш,

е f|E|p Je М-1 S -r3 P3m(co3Z )e ',(49)

m ' 1 1С J a=|m| (am)l ' 3 1

отримуються вирази сукугаюго потенц1алу у сферичних г4. С,.

та цил!ндричша р, 2, -а координатах, в!дпов!дно:

% <» гг ^ . jri-m ю оо

Ф-1У> ' * ^ 7— „ S JV" "

i&J mS-n I г. (пт)!в=-*

- VeflEI^ 5П_т I?Г <50> ••

» .

СО СО - I Г I а и / 1 iHfS лГЫЙ

■Ув'84/ ЯаГ|5|рЯ И" Гi ^-^

-i I 3 3 I 5 J n=0 m=~n 1С (n-m)! 7m

*m-a(\W) lB(\t\P> in'm IUn J d£. (51)

У результат! задоволення граничним умовам на поверхнях цил!н-дра та сферичного т!ла при врахуванн! вираз!в (50) 1 (51), визна-чаються нев1дом! функцИ В3(£) та коеф1ц1ечнти Аш, останн! - як розв'язок нескТнчошю! систоми л1н1йних алгебра!чиих р!внянь, що при цьому отримуеться:

Ф __

Q--<X>

йб

0.4 0.2 О

1 г U \ M /

1 у Л \ ч N

\ к s \\ S N

a¿ 0.6 f Мал. i

-0.5 О 0.5 Z Мал.з

Мал.2 р*/0~3

Ч -0.5 О 0.5 z

h ал А

00 00 П+2

~ L. Сптп1т1 1т1 = " "77Г УОпт' (52>

, . ¡п1 + 1„ ,п-тт1-т1 со

^ (_' / п i 1 V-1

Де х (ruJJ irumj! rn1-*1)t Г° ¿rjsmnimi <53>'

(n = 0, 1, ... ,a>; tri = -n, ... ,n). Вирази для коеф1ц1ент1в Q3nmnimi в автореферат! не наводяться.

Числовий розв'язок системи (52) визначався шляхом II зр!зання такого порядку К, щоб граничн! умови виконувалися з наперед зада-нош точн!стю ( в розрахунках точнЮть вибиралась е= IQ-10).

Проведен! числов! досл1дження показали, що г!дродинам1чн! та пружн! характеристики системи сферичне т!ло - р!дина- цил!ндрична оболонна у значн!й м!р! залежать в!д жорсткост! оболонки. Зокрема, уздовж TBlpHoI жорсткого цил!ндра тиск р!дини (штрихова л1н!я на мал.4) р1зко зростае в той час, як уздовж тв!рно! tohkoI пружно! цил!ндрично1 оболонки !з зменшенням II товщини тиск р!дини падав.

У заключи1й частин! сформульовано основн! результата дисер-Taull.

0CH0BHI РЕЗУЛЬТАТ!! I ВИСНОВКИ

1. Розвинено математичний п!дх!д до розв'язування задач! про динам1чну взаемод!ю неск!нченно1 цил1ндрично1 тонко! оболонки (жор-стко!. порокнин&), заповнено1 !деальною нестисливою р!диною, 1з сферичним т!лом, що коливаеться на II ос!.

2. Обгрунтовано застосування методу редукцИ при розв'язанн! носк!нчошю1 системи л1нШшх алгобра1чних р1внянь, до яко! зводиться дана крайова задача.

3. Прйведено обчислення й анал!з г!дродинам1чних характеристик р!дини та деформованого стану оболонки. Установлено, зокрема, що взаемовпливом т!л мота зшхтувати, яйцо рад!ус сфери складае не б1льшэ третшш рад!усу цил1ндрично! порожшни.

4. Отримано анал1тичний розв'язок неосесиметрично! задач! взаемодИ сферичного т!ла та внутр!шньо1 поверхн! цил!ндрично1 порокншш (оболонки), ззловнено! plдиною.

5. Досл1джено вплив геометричних розм1р1в взаемод1ючих т1л, велич1ши зм1щення сферичного т1ла в!дносно ос! "цил1ндра, частота коливань поверхн! сферичного т!ла на амшП туда! ввтчтт Пдроди-иам1чного тиску р!дшш та пропшу оболоики.

6. Уперше розв'язано задачу взаемодИ сферичного т!ла, що

коливаеться за задании законом, з жорсткою чи пружною щШндричною оболонкою в 0езмежн1й 1деальн1й р1дин1. Розв'язок побудовано шляхом приведения вих1дно! крайово1 задач! до неск1нчешю1 системи л1н!йних алгебра!чних р1внянь.

7. Для конкрвтних ф1зичних 1 геометричш1Х парамотр1в зд1йсноно числовий анал!з г!дродинам!чних 1 пружних характеристик розгляду-вано! системи сферичне т!ло - р!дина - цил!ндричне т!ло,-Вивчено особливост! розпод!лу пол!в тиску та швидкост! р!дини залежно в!д характерних розм!р!в 1 механ!чних характеристик.

8. Запропонован! методики дають можлив!сть д'осл!джувати поля швидкостей 1 тиску, а також деформований стан цил1ндрично! оболон-? ки з наперед заданою точн!стю.

Э. Розвинений у робот! метод точно1 побудови потенц!алу швидкостей р!дини дозволяв надал! вивчати деяк! прикладн! та техно-лог!чн1 процеси, так! як в!броперем!шування, флотац!я, локал!зац!я частинок у р!дин!, на основ! б1льш точних вих1дних даних.

Основн! положения 1 результата дисертац11 викладен1 в публ1ка-

ц1ях:

1. Крук Л.А. Построение потенциала пульсирующей сферы;в бесконечной цилиндрической полости, заполненной несжимаемой жидкостью(случай осесимметричного движения)// Тр. XV научн. конф. молод, ученых. Киев, 29 мая - I июня, 1990. Ч. 2/ Ин-т механики АН УССР, Киев, 1990.- С. 249-253. - Деп. в ВИНИТИ 10.07.90 X 3801 - В90.

2. Крук Л.А. Исследование скорости и давления идеальной несжимаемой жидкости в бесконечной цилиндрической полости, содержащей вибрирующее сферическое тело//' Тр. XVII научн. конф. мол. ученых Ин-та мех. АН Украины, Киев, 19 - 22 мая, 1992. 4.2/йк-т мех.

АН Украины. - Киев, 1992. - С.98-102. - Деп. в УкрИНТЭИ 07.07.92, * 1022 - Ук92.

3. Кубенко В.Д., Гавриленко В.В., Крук Л.А.- Колебания несжимаемой жидкости в бесконечной цилиндрической полости, содержащей вибрирующее тело// Докл. АН Украины. - 1992. - X I.- С.42-47.

4. Кубенко В.Д'., Гавриленко В.В., Крук Л.А. Построение потенциала скоростей жидкости в бесконечном цилиндрическом сосуде, содержащем вибрирующее твердое сферическое тело// Прикл. механика.-1993. - 29, * I. - С.19-25.

5. Кубенко В.Д., Гавриленко В.В., Крук Л.А. Задача дифракции для бесконечного цилиндрического сосуда, заполненного несжимаемой ь жидкостью и содержащего колеблющееся сферическое тело//' Гидромеханика. - 1993. - ВЫП. 67.- С. 21-25.

/

6. Кубенко В.Д.. Крук JI.A. Взаемод1я неск1нченно! цшйндрично! оболонки, заповнено! нестисливою р1диною, з сферичним т1лом, що пульсув на ocl оболонки// Доп. АН УкраТни. - 1993. - * 6. С. 54-58.

оJL4ff

НПО "KAUET" Тираж /&0 Заказ