Дискретно-непрерывные краевые задачи для дифференциальных уравнений с мерами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

рг Б он

г г № «й

М1Н1СТЕРСТВО ОСВ1ТИ УКРА1НИ

ЛЬВГОСЬКИЙ ЛЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ 1м. I.Франка

На правах рукопису

Тащи Роман Мар'янович —

ДИСКРЕТНО-НЕПЕРЕРВН1 КРАИОВ1 ЗАДАЧ1 ДЛЯ ДИФЕРЕНЩАЛЬНИХ РШНЯНЬ 3 М1РАМИ

(01.01.02 — диферонцхальш р1внянкя)

Автореферат д'и сертац!!

на здобуття наукбвого ступеня доктора (|11зиьч>-мат<'махичних наук

Льв1в - 1994

Робота никонана в Державному утверсатет! "Льшпська пол1-тсхдака"

ОфхцШаг опоненти: доктор ф1зико-магематичких наук, професор Мартинюк Дмитро 1ванович (Кюв)

доктор фЫгко-мятематичгшх наук, професор Радино Яма Валентинович (Мшсыс)

доктор ф^зико-математичних наук, професор Слюсарчук Василь Юхимович (Р^вне)

Пров1Дна установа - Гнстигут математики НАН Украши (Кшв)

Захист ггдбудеться О 9 _ р. о 15 год. 30 хв.

на эас1данн1 спсвдалЬоаано! вченоГ ради Д 04,04.01 при Льв1веькому державному ушв^рситет! ¡м. 1вана франка за. адресою:

200001, м. Льв>в, вул. Ушверситетська 1, ауд. 377.

3 дчсертащею можна ознайомитисл в науковФ б^блютецх ЛьВ1В-ського д^ржуашерсигету (м. Лымв, вул. Драгомаяова, 5).

Автореферат роз^сланий & 1994 р.

Вчянпй секретар сгодаалчзовано! пчечо! ради Микитюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальность теми. Дифоррнвдальш р'тняния з мерами виникли при створент бшьш досконалих математичних моделей фЬичиих яви1д, де природним чином поеднуються поняття дискроткос-tí i ие-перервнос'Т1 (дискретно-неперервш !.(одел1). Характерною особли-. bíctio таких р1внянь 6 той факт, що d npani частини íx входять додан-ки, ЯК1 М1стять добутки узагальнених функций на розривш. Ш добут-ки не запжди ¡снують в сенс1 класичноГ теорн узагальнених функцш, в зв'язку з чим pÍ3KÍ походи до означения розв'язку можуть приво-дити до ргзних результата.

Розглянемо, наприклад, задачу Komi

У'(.г) =C'(.r)-V(í)+f"(»). ' í1)

У(.г0) = Г0, Í„6/, (2)

де С(х) е £(/"*"), Г(.г) 6 £(/"*'), С(х), F(r) € BV¡oc(j), а диферен-щювання в (1) розум!еться в узагальиено'иу cchcí. Якщо C(j) i F(x) 6 -4С(/), то задача (1), (2) еквшалентна штегральному р1внянню

^ X >

у(-Г) = Vo + J dC(t) • Y\t) + F(r) - F(r0) „ (3)

J-O

3 штегралом Лебега. Ця екв'1валентшсть зберп-аеться також i в тому випадку, коли <7(.г) g BV£r(7). F(r) € BV';oc(/), причому тепер в (3) - класичний ¡нтеграл Р^мана-Стияьтьеса.

В загальному випадку розриви магрицд-функци С(х) обов'язково

породжують розриви розв'язку Y (je) в одних i тих самих точках,

в зв'язку з чим добуток матрицьмфи С'(х) на функц1ю оЕ\межено!

Bapiaiúí Y(x), взагал! кажучи, неоднозкачний. Ведомо, що означения

розв'язку задач! (1), (2) в так1Й ситуацн реал1зувалося в наступних трьох основних напрямках.

Перший П1дх1д пов'язаний Í3 спробами формал13ацп задач! (X), (2) в рамках теори узагальнених функЦ1Й: спочатку на ochobí соквен-щального подходу вводилося означения добутку шри на функц1ю обмежено! Bapiaxjii, а штм на щй ockobí давалося означення розв'язку задач» (1), (2).

Другий шдх1д грунтуеться на тому, що шд розв'язком вих!дно1 задач! Komi розум^еться розв'язок интегрального р1вняннп (3), дс-¡нтеграл трактуеться в cchcí Лебега-Ст1льтьеса, Перрона-Ст1льтье-са, як некласичний интеграл Р1мана-Стшьтьвса, тощо. У bcíx цих ' випадках, очевидно, стрибки розв'язку залежать В1Д значень функцй' С {.г) в точках розриву.

Третш шдх.1д запропонований А.Ю. Лившим i базуетыя на ¡де> апроксимацц елсмгнт^в матриш-фукыщ С (г) е BYiqc(i) посл'1дошпс-тк> гладких функцт.

В 40 - 50 раках в роботах 1.С'.Каца. М.Г.Крейна i Ф.Р.Гантмахе-ра детально .вивчамться крайовгзадач! (задача на в л ас hi значения) для звичайних диферснцЬчльних ¡нвиян!, другого ; четвертого порядив, що опису к>ть коливання«труни i балки з дигкретно-неперервким розподъюм мася., № дог л i досиня проводилися без застосупання TcopiV узаг,1 льнгиих i(> > нк-щй. яка на той час ще не була створена. Проте, корштуючись сучасною терлш-шлопбю, u,i р1вняння можнг. запйсати у вигляд! ;/" + А • Л1'(г)ц = 0 i у<4> - Л -М'{г)у = 0. до М(.г) функщя обм"ежено1 Bapiani'i, \J'(.г) i'i узагальнена поХ1Дна (Mipa). що дае основу роботи назпаких.авторов в рамках nepmoro i другого П1ДХ0Д1В вважати'тонерськими.

Важливий внеоок в розвиток Tcopi'i систем звичайних диферсн-щалышх р!вмянь з узагалЪисними функщями в косфщ^ентах i гтравих частинах. а також пав'язаних з ними штегральних систем, зроблено в роботах Ф.А'тынсона, Я.В.Радина, С.Т.Завал1Щина, О.М.Сбсем-на, Ю.В. Покорного, б.А.Барбашинд. А.Ф.Фь-иппова, Д.Вскслсра, Я.Курцвсйля, Я.Лгггзи. С.Панд!та. С.ШиаГйка i шшнх aaTopiu.

Сл;д в!дзначити, що л зв'язку з винчениям поведшки динам5чних ГИСТСМ 3 ¡МП.УЛМ'ЛОЮ структурою УСПЕШНО заеТОСОВУбТЬСЯ Tropin ди-ференщальних ршиинь.з ¡мпулмиою Д1ек>, шдэалини яки! було за-кладено що в Ш-х роках. Ця Teopisi побудопана i розвиваеться о роботах А.М.Самойленка, М.О.Псресткжа, Д.Г.Мартинкмса, В.К). С'люсарЧука та багатьох "¡нш'их представниыв i посл1довник!в киУв-ybKoi'матсматично! школи.

Мета роботи. Видшсння i вивченнл клаав систем звичайних

диферекадальних'р1внянь .з мерами, розв'язки яких не залежать В1Д означения добутку М1ри на функцию оПме/КеноГ варгацц: загальних питань, олемент1в hkichoi i спектральной теорий, наближених методш побудови розв~языв.

Наукова новизна. В дисертащйшй робот! започатковано i роз-винуто науковий напрямок в iсори уэагалькених дифоронцшльних piBHHHb, що пов'язаний з нови.м короктним означениям розв ь ну В тй розв'язаш наступт конкретш задач!, що визначають н«ук<>»\ новизну роботи.

Встановлено ефекгивш критерГ! однозначно! визначеност! 1ьч>-ректност)) розв'язку в ceHci Toopii узагальнених функцш .limiiiuix . кв;. Лотйних. диференщальних систем з ы1рами, що явно вирнжают!-с»' ¡< р"" ix коеф1Ц1«нти i прав! частини.

РозроГ. тг но основи Teopi'i л1н!Йних (зокрема, гамЬтьтоночи \ i in'-ршдичниху i кпрз1Л1Н1ИНИХ ди|[)срснц1альних систем з Mii»a.\;u i >м)1ва-лентиихш 1нтегральних си< тем.

На ochubi розвитку концепцы кваз!Пох1Дних та вивченн» струк-

л

тури шдттдного еволюцшного .оператора щ>Г>удоиана лшшна к-о-р!я скалярних 1 матрйчних ква.йдиференщальних р1пняш> з -мн-фни-ентами-\прами 1 правими частгшаыи узагальненими п»х!дними нищих порядков В1Д функций локально обмежсно! варЬщп-.

Показано, що при пивченн1 олсмонТ1В т<ч>рц гтШкост! таких сис-■ том МО/КС бути природним чином застогована класичнн схема пер-шого методу Ляпунова.

Поширено результаты Ф.Аткшп>на по~доСл1дженню крайових задач для диференщальних ршнянв 13 сумовними за Лебегом'коеф1-щентами на узагальнем диференщальш ршяяння з вирами. Цс дало мождивють для широкого клаеу реальних днскрстио-непсрервних систем отримати основш положения спгктралымУ теори: теореми про розвинення в ряди з;1 власиими функциями, структуру та власти-вост! аналога функди Грша. ...

Запропоновано I апробовано наближеш методи розв'язува'ння дискретно-нелерервних крайових задач, що грунтуютьоя на апрок-симацц кос(|>1Ц1ент1в в1дпов1Дних диференщальних р!внянь та на, зве-Дент до екв1валентних систем завактлжених ¡нтегро-кваЫдиферен-«¡альних ртнянь типу Вольтерра-СтЬчьтьеса. ' '

Методика достижения. В, робот! використовуються методи' теорц зпичайних диференщальних р1внянх>, теори функцШ комплексно! змшноУ, теори крайових задач, теОри ¡нтеграла, тедри узагаль-,нених функций.

Вфогцристь результат!В. ВИ результата дисертацп сформу-льоваН1 у вигляд! теорем, лем та насл1дкш 1 повшетвд доведен!. ,

Теоретична } практична цшн!сть. Робота мае теоретичне значения. Конструктивный характер ,результате дозволяв застосо-вувати IX.в прикладних задачах при доод!дженн1 Коливань1 спйкост! систем 3 дискретно-неперершшм розподьчом параметр1в,,в узагаль-нених задачах теплопроводности в задачах оптимального упр,тлшня шпульсними системами тощо. ДеякГрезультат«, ¡дех 1 методи дано1 роботи вже вико'ристаш в кадидатських диеертащях (Стасюк М.Ф.,

1089: Пахолок Б.Б.Л990; Кс1лсвйч В.В., 1902). .

Апробацш роботи. Основи! результати дисертавдйно!' роботу Допов!далися 1 обговорюйалися на: 1-й, 2-й, 3-й Всесоюзних кбнфе-ронц1ях Новые'по'дходы к решению дифференциальных уравнений".

1989 р" 1991 Р- * Лрогобич; Республ1кансших коиферен-

1 "3Р"иные динамические системы". - 1989 р., м. Ки"ш. -

и^и р., м. 1вано-франывськ.' - 1991 р., м. Ужгород; IV УральськШ" репональшй конференцц "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения". - 1989р., м. Уфа; Всероойсьюй школь семшар! Современные методы в теории краевых задач". - 1992 р., м Воронеж: ВсероойськШ школ* "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании". - 1993 р., м. Во- . ронеж: щоР1чних конференщях професорсько-викладацького складу

JlbBÎBCbKOÏ пол>техмки, 1980 - 1904 p.p.; Льшвському об'еднаному шсысому cewiaapi з теори диференщальних твнянь, 1985 - 1994 p.p.; ccMÎHapt з Teopiï диферевгуальних р^внянь Чершвецького державного университету, 1990 р., и. Чершвщ; семшарах з теорп диференщаль-них ршнянь 1нст11тугу математики АН Украши, 1901 р., 1994 р., и. Кшв; семшар! кафедри функционального анализу Бьюруського державного утвёрситету, 1993 рм м. Мшськ; Всеукрашсъкш науко-В1Й конференцп "Hoci шдходи до розв'язанвя диференвдальних нянь". - 1994 р., м. Дрогобич; зас!даня1. Льв1вського математичного товариства, 1994 р., м. Льв1в. ' , ^

Публшаца. Основш результат« дисертацн опубликован) в роботах [1 - 27]. Спшьш роботи, крш [15], написаш з учнями дисертанта.

Структура i обсяг роботи. Дисертадая складаеться ¡з вступу, шести розд1Л1в, висновыв i списку Л1тератури, що мк:тить 181 найме-нування. Обсяг роботи — 269 сторшок машинописного тексту.

3MICT РОБОТИ В робот! прийнят! наступт позкачення i означения.

1. I ~ в^дкритий ¡нтервал Д1Йсно) oci JR. ^

2. С(1'хК') — простф I х к матриць-функцш, що визначет на I.

3. |Л.| — норма матриц! А € СО'*?) визначаеться як сума модул1в Bcix "й елеменйв .

I к

- w = ЕЕ м-'=1

4. С*( Л — npocTip fc-pasin ноперервно диферен^цйовних на 1 функций. , _ • .

5. ЛС(1) - простер локально абсолютно неперервних на-Г функцШ.

0. £(/).— простер сумовних за Лебегом на 1 функцШ.

7. Ьг(/) — просир квадратично сумовних на 1 функщй.

8. В\'[а;Ь] — простер функщй обмсженоУ на компакт! [а; 6] варЬацп.

9. UT'+[a;b] — простер неперервних справа функций обмелено'* на {а; Ь] варгацп.

10. BVioc(i) — npocTip функцш локально обмежено'1 на 1 оар'шци-

11. mZc(j) — npocTip неперервних функцШ локально обмеженоУ на I варгацп.

12. BV^(i) — npocxip неперервних справа функщй локально обмс-жено'1 на I Bapiaiyï.

13. D j —npocTip ф1н1тних на JT функций.

14. D" npocTip «спгрсрвит ф'шглшх на 1 функций.

15. / * г/ згортка узагальнених функций /(.'') i .';(•'')-

IG. Г„|'.4(.г) повна napianin матрищ-функцп -4(.г) € C(IUk') на [г/: 6], щч визначаеться як сума повннх вгцнащй Bcix ïï елемент'ш

I к-

С-м.о = ЦЦ rjv,,,(.,-).

V випадку натвшч-кшченног» нт-рвала ава/ка««ться. щ<> .-Ц.г) мае обмежену napianiio на [н: ~к ). якщо Л(.г) мле-обмежену uapia-щю-на до 01л ином у компакт) [/с';] с [»: эс) i поит в'арЬщп Vj'.-M.c) »fniCjKi'Hi в ïx сукупност!. toCVto

Г,/*1 .!(./■) = sup l'J'A(j-) < ос. 17. Af(.r) = f(.r + 0) - /(.,' - ()) стрибок функцп /{*) € DY,<tc(j) а

ТОЧЦ1 .i- 6 /.

IS. UBV^XÏ) к л ai; ксперершшх справа ^-псрн>дичних, функщй. локально обмсженоЧ на Г Dapianiï.

^ a<'TVn' обгрунтовуетыя актулльшегь теми д<>сл1джсння, виз-качлбться мета роГюти. поДаеться оглпд роГЛт, що ¡дейно близькгдо теми дисертаци. гроблено короткий анализ отриманих результатов.

Роздш 1. НЕКЛАСЙЧНИЙ 1НТЕГРАЛ РШАНА-СТ1ЛЬТЬ€СА I МАТРИЧН1 1НТЕГРАЛЬН1 Р1ВНЯННП ■ •

Роздьч пригвячено вивченню властивостей некласичногЛ штос-рала Ршана-Ст1льтье>га та пов'язаних з ним данйних матричних ¡н-тогральних ¡пвнянь. • •

51 носить допом1жний характер. D ньому обговорюеться питан-, ня П]>t) добуток Mi])и на фуикщю локально обмежоно'1 Bapiauiï.- H охай-матрицьфункцн /(.г), ¡/{.г) € öi/,„.(Л- <\, - деяка й-посл1до'вшеть, ri-r) 6 Dj. Тод1. зпдно ¡з секвенц'|лльни11 П1ДХОДОМ, добуток о'(•'')'!{■'') '

визначаеться пк олаПка граница //(.с) ■ /(.г) = lim ((</{■<•) • (/(-г)*'

7)—►ОС, ' "

^и)-^)- В загальному випадку (Поз додаткових умов на функцп / i '/) цей добуток не ннуе. тобто заложить В1Д вибору послщовност! fin. -Дема_ЬХ Якщо j{.r). /(.с) ç В\), „.(/). то добуток </ ■ f icHye на j ТОД1 Й Т1Л1,КИ ТОД1, коли .

Л;/(.г) • Л/(.г) = 0 V.1- е i С-*)-

о

Означсння 1.2. Ньтцо виконуеться умова (4), то добуток у' • / називатимемо корекгним.

В '¡2 дано означения неклаеичного матричного гнтегрсгла Рмана-Ст1льтьега

ь ь

У ,!,,(.,■) ■ /(.г) = ./«.(,) - /(.г) 4- £ • /(■'• - О) №

1 вивчаються иого власпшоги.

Теорема 2.2. Якщо д.г). ц(х) € ВУ.^Ц). то Ь(.г) -= / • /(О €

«

В\~£1С(1) V.:- е / неперервна в точках неперервност! у(.) ). Кицо .с» точка ро^риву у(.г). то ДЛ(.г„) = Ду(.г„) • /(.г„ — О).

Теорема 2.5. Мае М1еце формула штогрування час тицами

ь ь

/<!<!(■>■) •/(■'•) +У !,(л-).с1/(.,■) = {,,{.,)-/(.г))!!;- А//(.г)>Л/(.г). (О;

В §3 випчпбты'я ¡нтегральне р1вняння

.г

де У 6 £(/"*'). С £ £(/""'). причох-у С(-'") € Цг шгеграл.-,-

не р'шняння мае единий роз»'язок 1"(.г) в кла<1 В\п1>ичому А1*(.с) = АС(.г)-Г(.г-О). Тут дослыжуютыя властивоет! сволющй-ного оператора р1пняння (7). тоГяо матрицнфуныщ В(.г. к), що по •змшшй л- зядовольня^ р1вняння(7)^ умосу В(х. .->) = Е (Е одинична п х п матриця): ,

1) V.!-' < С М] С 1 ' 1П.г":г') ■ Д(./.../') = Е:

2) ЧУ < £ € [«: 1>] С-/ В(.,■'"..,"•) ■ = В(.г"',.г'у.

3) Розв'язок р1внякня (7) зооражаетыя у вигляд!

Г(-.-) = В(*.«) ■ 14")-

^ }

ноодьор1днг р2сняння > л-

У{х) = [ <1С^).-У{Г)-гС(.>). г(«)=У<«)

вивчаеться в §4.

Теорема 4.1. Розв'язок нсоднор1дного ршнянкя (0) мае вигляд

Г(.,)= Д(.г,«).Г(о)+У Е В(г,у)-ЛС(у)-Ли(!,). (10)

« "<и<* -

В ¡¡3 вводитьс я поняття спряжоного до (7) р1вняння, тобто такого. яке задовольняе по змшнш « еволк>ц;йний оператор Л(г. .*):

* -<»<'

(11)

Тут ел^д зауважити. що в (11) сума зникае, якщо [АС(а-)]2 =0п кож-нш -ГОЧЦ1 розриву матрицьфункцп С (.г) \ тод! ргвппння (11) набуоаб "класичного" зиглпду.

Розд.л 2. Л1Н1ЙК1 ДИФЕРЕНШАЛЫН СИСТЕМИ 3 М1РАМИ

3 точки эору введения понята я розв'язку га вивчекия загнльних влагтивостей Л1шйких диференщальних систем з шрами цей розди? е центральним.

В ¡¡С розглядаетыя одн«р1дна дифереицдальла система

У'И«СИ.1» (12)

У'<~„) = Га. (13)

де С(х-) е ВУ, +ог{1).

Означенна в.1. Будем« говорити, що вектор-фу нкщ я У(?) наложить до допустимого класу (У"(.г) 6 £>*), якщо: 1) У (г) е ВУ+С(1) I* 2) ЛС(/) ■ ЛУ(/1 = О е /.

Означения 6.2. Шд роэв'пзком р^внпння (12) розум!вмо вектор-функдхю V (.г) € що задовольняе його в узагальненому сенс!.

Теорема 6.1. В клагч функщй У(.г) е Вк печаткова задача (12), (13) та ¡нтегральие р1вняння ^

■Г

У(г) =1"« + { ЛСЦ)- *'(«) (14)

'о

емппалонтт.

Теорема G.2. Для ¡сцупання розв'язку V(r) е D),. штегральао; piniiramn (14) Н1*«>Г)Х1ДН<> i досить виконання умоои

!^c(.r)f = o v.cei ¡15)

Означения в.З. При виконанш умови (15) лшшну однор1дну ди-фсрснщалььу »истому (12) будем» називати коректною.

• Надал! о pofioTi розглядаютъся пиключно коректш еистеми.

3 теорем 6.1, С.2 випливають наступш насл1дки.

Насл!док 1. При виконанш умови (15) и-нуе единий розв'язок У {-г) € Dk початковоТ задач! (12). (13).

Наслиок 2. Стрибок довольного розв'язку У(г) р!вняння (12) виражае тьс я фо) >мулок>

AI» = АГ(^)-У(.'') ' (1С)

• Насл!док 3. Нноукш.ч Bcix розв'язкт р1вняаня (12) утворюв п-ви.чнрний векторний npocTip. база нкого е фундаментальною системою рози'язк1В цього ршиання.

Наслшок 4. Генуе еволющйний оператор Л(.г,*), що е розп'лз-ком початково! задач!

. . D'{.r,s) = C'(.r)- ß(.;-..s). В(*,*) = £. (IT)

.При дьому розв'язок зада41 (12). (13) л.бражаеться у вигляд!

У (г) = 1Ц.Г. ,си) - 1«. ПЫ

Властивост! еволюцшного оператора i неоднор'щне picHüiui« вйвчак>тьСя в §7.

1. В{г,») • J3(«,.!•) = Е-.

2. ß(.r,s) е В\ ЯК по .г. так i по

3. B(s, .<) = [£-+ ЛС'(.г)] • В(л- — 0. и):

4. В(г.я) = B{.r. s - (1) • [£■ - АС(»)1.

KpiM цього, мае мкцс аналог формули Л iyai л ля-Острог рад<ч.м. го-ЯкобЬ

Насл!док 2. Еволюшйний оператор в), що шдпов1дае спря-женому ртнянню (55), мае вигляд

Ф (х,з) = {А-*1"-''}и-'>(.г,я)}, (60)

НаслЫок 3. Фуккци я), I = 0, и — 1, утворюють нормаль-

ну в точц! .г = я фундамен^альну систему розв'язюв слряженого р!в-ияння (55).

Для неоднор1дного р!вняння

Ыу] = /'(.' ), /(•'•) е в\\+осЦ) (61)

справедлива

Теорема 16.5. 1снуе единий розв'язок задач1 Копп (61), (53), що зображаеться у вигляд1

.-1 'г »(') = + У К{х,»т») (62)

1 гакий, що »(,'>(л-) € -4С(/), * = О, и — 2, а 2/(п_1)(-г-) €. ВУ^С(1) 1 в точках розрив^в .г, функцш Ь,(.г), /(.г) мае стрибки, що визначаються' формулою

Аналогично вивчаеться також неоднор1дне р1иняння, що в1дпов1-дае (55).

В §17 запропоновано зас1б, за допомогою якого КДР з коефвден-тами - узагальненими пoxiдними вище першого порядку Ыд функцш з клагу В\— вдавться звести до КДР з м1рами.

В рамках концепци квазшохщних в §§18 -21 за вже в1домою схемою будуеться лхтйна теорш узагальнених векторних I матричних

КДР.

В прикладних задачах часто зустр1чаються звичайш диферен-щальш р1вняпня з нев1домою вектор-функщею I матричними коеф1-щентами. В робот! вивчаеться векторне КДР

л т

¿„»ЫгЕЕ^Г-^А,-?"-'-))'™-''1^, т, »-1,2,..., (64) 1=0 3=0 г ..

де У (г) € Cii'*1-), Aij(p) £ £(/'*'). Вважаеться, що .4,_Д.г) комп-лекснозначш матриц1-функцл дшснох змхннох .г, що визначеш на I. причо.му Aqq — локально вимхрна i обмсжсна на /, -4,о(.<")' £

x,(i) V. = , Ау(х) = > 1, B,j(x) € BV,t(i)-

Поруч з (G4) розглядаеться матричне (операторне) КДР

X,„„[!"] = 0, ' (65)

де тепср Т'(.г) 6 £(/'*'). КДР (С5) називаеться асоцшованим до КДР (G4). Лхнхйну Teopiio асоцхйованого р1вняння будувати простхшс, ое-ыльки вона в великхй uipi аналогична вхдповхднШ теорГх для скаляр-них КДР. Якщо матриця-функцхя Y{r) -- розв'язок (G5), С сталий вектор, то поклавши У (г) = У (г) ■ С, отримуемо розв'яэок КДР (G4). Ця обставина диктуе наступний план: базуючись на cxomi. що викладена для скалярних КДР в §§10 - 17,'побудувахи спочатку аналог лшшнох Teopii для асоцшоваиих рхвнянь, a riotiM застосувати отриыанх результати для векторних КДР. Тут в1дзначено деякт ос-hobhi моменти цього плану. ,

Означення 18.1. Кваз1Пох1дними матрищ-функцп 'щ«> вхд-

повхдають КДВ Хт„[1"], називаються матрищ-функцп yW(.r), к = 0,т + п, що отримують я з формул (30) шляхом замши у —► 1". Означения 18.2. О ряженим до КДР (04) називаеться КДР

т ti

O^lHrUrV^1)'""'1^/ (со)

J=0 i=0.

де .4Jj(.r) — ермхтово спряжет до --lij(-r) матрицьфункци.

Означения 18.3. Квазхпоххдними матрицьфункцй У (.г), що вхд-повхдають спряженому КДР (6С), називаються матрицх-функцх!

к = 0,m+n— 1, що цтримуються з формул (40) шляхом замши у —» У.

Яъ i в скалярному випадку, початков1 задачх для матричних КДР сл1д стапити в терминах квазшоххдних вих1дного або спряжено-го piuiiHHb:

Х,„„[Г] = 0, r^U'o) = ^о*1. •'•об/, к = 0.J7! + » - 1. (07)

C„[V] = 0, Y{k}(*o) =Уот- .'об/, * = 0,m + »-l. (GS)

Наступш твердження —'очсвидм узагальнсння теорем 11.1 i 12.1.

Теорема 18.1. 1снуе единий розв'язок задач1 (G7) такий, що YW{x) € AC(I) V* = О, п - 1, a г1"+"1(а:) € (/) Vv = 0,m-l i в

точках х, € I розршнв матриць-функцШ мають стрибки, що

визначаюгься формулами

п-1

ду1«+Ч = ,/=О^Г=Т (69)

1=0

Теорема 18.2. Генуе единий розв'язок У(ж) задач! (68) такий, що У«(х) е ЛС{1) V* = 0, т — 1, а у{"*+"}(:г) 6 В\^с(1) Чи = О, га — 1 1 в точках х„ е / розрив1в функц1й мають стрибки,

що визначаються формулами

та-1

ду<га+">(г4) = лв,;,_1>+1 (,.) -у<'>(*.), > = оГ^Т (то)

¡=о >

Теорема 20.1. Якщо матриця-функщя Р(х, «) € £(/'*') по змхншй ■г е розв'язком матричного КЛР (05) таким, що = 0 Уг- =

0,т+п—2, я) = Е, « € то еволювдйний оператор

Ф(.г, я), що 81ДПов1даб цьому ршнянню, е матрицею блочно"1 структу-' ри 1 мае вигляд

Ф(.г,в) = {Р''-Ч*{п,+"--''>*(х,«)}, '«,./ = 1,га+п, (71)

де вираз />[''МГ}* означав, що над матрицею Р(х,я) виконуються наступш операци (справа налгво): ерм!тове спряжения, кваз^дифе-ренщювання по а в сенс1 КДР (60), знову спряжения 1 кваз1диферен-щювання по л: в сенс! КДР (65).

Наслшок 1. Матрицьфункцц ] = О,т + п — 1, утво-

рюють нормальну п точщ л- = я 6 I фундаментальну систему розв'яз-

мв КДР (65). __

Наслшок 2. Матрицд-функцп г — 0,т + п -" 1, Де кваз1-

пох1дн\ в сенс! КДР (05) беругься по зшннш а, утворюють нормальну в ТОЧЦ2 х — а € 1 фундаментальну систему розэ'языв КДР (66).

Векторним аналогом скалярного КДР (46) е неоднорЦне р1внян-

ня

ТП — 1 6=0

де У (.<■), Г(г) € С(/,х1)- причому Г(х) €

Означения 21.1'. Квазшохадними У[;'1(.г), що в1дпо1идають векторному КДР (72). нлзипаытьси воктор-функцп к = = О. /а + /1 — 1, що визначаються з формул (47) шляхом замш у —► 5 ,

Л - ¿V

Теорема 21.1. Нехай КДГ (72; розглидавться при иочаткових

умовах

У[ч(.<•„) = У0М. * = 0. т ■+ и - 1, (73)

Тод!

• 1) КДР (72) коректне; 2) кнуе единий розв'язок У(.г) задач! (72), (73), що зображаеться у г>игляд1

Г., + I, - 1 ,71 - 1

Наслщок 1. Якщо Уд4, А- = 0. г» + /I - 1 — довхльш стал1 вектори з £(_/'*'), то формула (7- 1 дае загальний розв'язок векторного КЛР (72).

Наслщок 2. формула

ш ■+- а — 1

1» = £ (ТО)

при довьтьних сталих векторах 1 д*'. к = 0, т + « — 1, дае загальний розв'язок однор1дного КДР (64). Насждок 3. формула

. .г

т — 1

. (76)

дае частинний розв'язок неоднородного КДР (72) при нульових по-чаткоьих умовах.

Уозлт 4. КЛЕМЕНТИ ТЕОРН СТ1ЙКОСТ1 РОЗВ'ЯЗКШ

УЗАГАЛЬНЕНИХ СИСТЕМ Огнльки розв'язки корсктних диференцхальних систем - функцп

3 к л

То

ласу В\~10с(1), що приймають конкретш значения в кожшй точгЦ, в цьому розд!Л1 маеться на уваз! стшысть за Ляпуновым. При

цьому ¡нтервал I тут вважаеться нашвкесмнченним (I — [0, о©)), а незалежна змшна асощювться з часом i позначаеться буквою t. Поряд з лштними тут розгллдаються кваз»лшшя1 диференщальш системи з мерами: встановлюмться умови ïx коректност1, ставиться i доводиться теорема ¡снування i 6 диност1 розв'язку початково! зада-4Í, теорема про неперервну залежтсть В1Д початкових умов i правих

частин, доол1джубться питания про стШысть за першим наближен-ням.

В яисшй Teopiï звичайних дифереищальних pinimHb, як ведомо, важливу роль в«Д1грае фундаментальна лема Грояуолла-Беллмана. Один з BapiaHTiBÏi' узагальнення наведено в §22.

Теорема 22.2. Нехай p(f), <r(t) 6 BV^JI) i p(t) > 0 на [а;Ь] С /. Лкщо Vi € виконуеться HepiaHÍcTb

i

p{t)<ctt^c,-J p(T) |Лг(г)|, (77)

а

% де стал1 с0 > Оч с.\ > О, то

/»(О < -«ф{г, - V>(r)}, (78)

В §§23- 25 вивчаються деяк-i питания стшкос-п узагальнених ль тйних систем. Як видно з попереднього, лщШна теория узагальнених КДР нерозривио пов'язана з теоргвю вгдповщних ïm коректних систем першого порядку. Ня обставина виправдовув наступне'означения.

Теорема 23.1. КДР £m„[A'(f)] = 0 називаеться сэтйким (нестШ-ким), яьтцо стшка (нестойка) в^дповгдна йо.му система

' .V'(í) = B'(t) ■ .V(t), Щ € BV+c(i). (79)

Теорема 23.2. Якщо Ф(7, fu) — еволювдйний оператор системи (79), то ця система тоД1 й tí.ilkh тодь- 1) стШка, якщо <¡>(¿,í0) обмеже-ний при t > t0; 2) асимптогично спйка, якщо <t>(f,f0) —► О п1,и í —» ос; 3) нестШка, якщо <J(í,f0) —> оо при t —» оо.

Теорема 23.3. Довольна интегральна матриця Ф(t) системи (79) задовольняе двосторонню ощпку

|Ф('о)| • ехр{.-К/оК(г)} < |Ф(0| < |Ф(/о)| • (80)

Теорема 23.4. Нехай система

У(0 = С- >•(/),

(81)

де стала матрйця С € С(1кхк), стойка. Якщо V£°B(t) < ос, то збурена система

X'(t)=[C+B'(t)]-X(t) (82)

теж стойка,.

Теорема 23.5. Нехай систелга (81) асимптотично стшка. Тод! збурена система (82) теж асимптотично ст1йка, якщо

(83)

»—«5 f — t0

Теорема 23.6. Характеристичний показник довольного розв'яз-ку X(t) системи (79) задовольняе подвшву HepiBHicTb

—о < Х[Х) < /3, де а = lim

i.l^r,),-/»-^^.!^)).

Нехай тепер система (79) и>псрк>дичнл, тобто B(t) € QD\'i^c(i), = B{t), ы > О — першд.

Теорема 24.1. .Шшйна узагальнена перюдична система (79) тод! й тальки ТОД1: 1) стшка, якщо Bci й мультипл1Катори р, задовольня-ЮТЬ УЫОВУ \pi\ < 1, ПрИЧО.Му ТИМ />,, ДЛЯ ЯКИХ \р,•] = 1, В1ДПОВ1ДаЮТЬ прост! елеиентарт Д1льники, якщо \'х розглядати як власш значения вшов1дноУ матрищ монодроыи; 2) асимптотично стойка, якщо V/),-

Ы<1-

Дал1 розглядаеться перюдична гамшьтонова система

X'{i) = IB'(t)-X(t), (84)

де Z — симплектична одиниця. а симетрична матрйця B(t) € SlBV£c(I). 3 теореми 24.1 випливав, що перюдична гамьтьтонова система не ложе бути асимптотично стшкою, але мае мк'це

Теорема 24.2. ЛшШна гамктьтонова система (84) з ^'-периодичною Матрицею B(t) стшка тод1 й Т1льки тодь коли Bci П мультипль катори р( розташоваш на одиничному кол1 |р| = 1 i мають прост! елементарм д!льники.

Встановлено також умови. при яких КДР з дШсними коефщ1ен-тами зводиться до гашльтоново1 системи.

Теорема 24.3. Характеристичне р1внпцня, що в1дпов1дае КДР

¿тп[Х(4)] = О з ш-пер1одичними коеф>Ц1бНТами зворотне тод! й тальки тод1, коли Aij(t) - Aj^t) =07ti.

Розглядабться приклад скалярного у загальненого р1вняиня Ма-тье, який показуе, що наявшсть в коефхщентах р1внлння дискретно! складово? може суттево впливати на характер стшкость

В класичшй Л1тератур1 добро ведома датегральна ознака стш-koctî Ляпунова для звичайного диферошрального р'шняння .r"(t)+" +p(f).c = 0 з нев1д'емним ^'-псрмдичним кусково-непр1:>ррвним кое-фвденто.ч ¿>(f). В §25 отримлно узагальнення цього результату для КЛР ' '

(a0j-'Y + а,г = 0, ' ' (85) .

де nt(i) = b'(i), aa(t+*i) = <ia(t), b(t-hjj) = 6(f), причому (tgl(t) виМ!рна, обмсжена i додатна на [О, u,'], a 6(f) не спадав на. цьому промхжку. Теорема 25.1. Якщо виконуеться умова

W -

0< f 0)]<4, (86)

■о ' •

то Bci роЗп'язки j-(f) КДР (85) разом з квазшох1дними = «о(0 ■

J~'(t) обмежеш на I. • ■

В §2С вивча«ться квазЬтшшна система

_X'(t)^^(t,X)^C'(t)-X(t) + F'(t), - (87)_

де C(f). F(t) € B\]+C{i). а г С- A") - функция, що визначена в деягай ^ оГ>ла< Т1 D простору Rx х С" Ь значениями в п-вим!рному комплексному простор! С". ,

Означения 26.1. Клас функцш Л'(f) 6 BV^C(J) називаеться до-пустимим, якщо Vf g I виконуеться уыова AC(f) • AA'(t) = О (клас /

Dt). .

Означения 26.2. Нехай I' = (о; ,i) С ï i нехай виконуються наступи! улови: 1) (t,X[t)) £ D майже всюди; 2) функция X(t)) 6 L(h. •• .

Шд розв'язком р1вняння (87) розуьпеться вектор-функщя X(t) & Dk-, що задовольняе його в узагальненому ceHci.

Як i в лппйкому випадку таке означения розв'язку дозволяв го-ворити про значения Л'(') в конкрстшй точцк

-Y(/0) = A'u. t« е ï. (88)

Задача (87). (88) i штегральне р^вняння

i > " ■ ' , X(t) = А"« - jy~(r,X(T))dr + j,IC{T) ■ X(т) + F(t) - F(t0) (89)

ta , «o ■

екв1палонтн1. якщо допустити и-ш ашшя його розв'язку серед функщй з £>,.

Теорема 2В.1. Гнтегралыю р1вняннп (89) мае розв'язок 6

' якщи для тих самих значснь t виконуеться система ровностей

[ЛС(/)]2 = 0. ■ ЛГУ) = О. (90)

Через ВУ+(2. Х„.Ь) позначны« шдпроспр В\'¿,.(1) функцш ]>(1) на компакт! I = — а, 1„ + «] С 1. щ<> задовольнпють умову вир

-Л"и| <6, ь>а.

Теорема 26.2. Нохай фуньц1я ¡¿(1-, X) неперервна в О по сукуп-.ност^зшнних 1 задовольняе на довшьнш компактней тдмно-

жиш з С умову Лшшиця по Д' у пигляд1 Л'!) — Л'г)| < г^)-•|Л'1,— Л'2|, де г(^) > о 1 неперервна. Тод1 V« > О, для якого VI. 6 ДГ+(Г,Л'0,Ь)

'о+о * »0 + «

/ .Им»(0)I'" + / • |р(01 + С-«*"(>) < ь

1 о~п "

1

'и-"

на ¡нтервал! (/о —а', ^ +«'). «' < а. ¡снуе единий розв'язок почиткотн задач! (87), (88). .

Поруч ¡з системою (87), (88) розглядаеться початьова задача

Г'(0 + У~(М') + ^ (,,у) = с'(0 • 1-40 + С,<0 -У(.П + + г;(г).

г(М = }-„.

Теорема 26.3. (про неперервну залежшеть розв'язк1в В1Д почат-кових умов 1 правих частин). Нехай на пром1жку [¿о-'о + "] функция неперервна по сукупносТ1 аргументе (£,-V) 1 задоволыше при Л' € £> умову Лшшиця по Л" р!ВН<»йрно по t \-pit, X') - \'")| < <£-|Л"-Л"'|,1 нехай також ¡^(Л1")|"< ц. вир |r(t)¡ =

(0<(<(0 + П

-*•(')! < 7. КО+аС>(0 = г. |Л'о - Уо\ < Л. Тода

|Л'(^) - Г(/)| < [г + м . г + и . (, _ ги) + 2,;] • схр{Г/0С(г).+ £•(>- tu)}.

В í¿27 доводиться теорема про еййметь за першим наближенням для корсктного рШНЯННЯ

X'(t) = [С(0 + С, (о]' + r(t,X). (91)

де C(t), Ci(t). £ (I). причоиу при деякому г > О мае шсце оцшка

lf¡,C|(r) < — 'о), я аектор-функвдя ^(t,X) в обласп £> : |-V¡ < < Я. О < f < оо задовольняе умову |r-(f..V)| < L ■ (А"(. Через Ф(Л г) позначимо еволюцШний оператор ртнянпя

.\'(t) = C'(í) ■ Д'(/) (92)

i припустимо, що справедлива оцшка

|Ф(^.г)| < J-е"'('~г). .

де а, .) > О i не залежать Ыд т.

Теорема 27.1. Якщо виконуютъея вказаш вище умови i якщо, Kpi.vi цього, стал! с, «, L зо'язан! гшвв1дн0шенням А = и — J-(L + v) > > О, то справедлива оцшка

|Л'(')1 <^-|-Y„|-oXp{[n +¡i-(X-i-!0]-(f-fo)}, (03)

тобто нульовий розп'язок рхвняння (91) експононщально стШьий.

Роз^л 5. ДИСКРЕТНО НЕПЕРЕРВН1 КРАЙОВ1 ЗАДАЧ1

Результаты Ф.Аткшеона по доел'щженню крайових задач для систем звичлйних диференщальних ¡ябнпнь 13 су.моони.ми за Лебегом коефвдентами в цьому роздш! поширюються на диференщальш сис-теми з м!]>ами i узагальнеш КДР.

В §28 розглядаегься узагальнена однор1дна диференщальна система

J - У' = [ЛЛ'(.г) +■ Я'(.г)]Г, а < .с < Ь, (94)

де ./. Л. В квадратш матриц!, причоиу J — стала матрица, J А-виМ1рний вектор. Л параметр. Вваясаетьсп, що -4(.i') i B(jc) комплекгнозначн] матрицЬфунжцп дШсно}'змшно!" .г,-4(х), В{.т) € frj, а диференщювання в (04) розушегьел в узагальненом;' ceiici. Kj>ÍM того, вимагаеться, щ«Г> J' — —J, J" ■ J = Е, -4* = .4, В' — В, де £ единична магриця. На матриц! Ai В, очевидно, необх1дно накллеги умови короктностк пкт в дяному випадку набувають вигля-ду {./_| [ЛЛ(.с) -(- ДВ(.г)|}2 = О V.c € [«;&], зв!дки. теля прир1внюпання коеф1Ц1енТ1» П])И однакових степенях А, оТримуеться система умов

Д-4(г) • J ■ ABÍg ) — (), ЛВ(.г) • J ■ ДВ(/) = 0,

г <Оо>

ЛА(.г) ■ J ■ ЛВ(.г) + ЛВ(л-) ■ ,Т ■ ЛД(.г) = 0 V.r € [а; />].

Вимагаеться також, щоб для довольного нетривиального розв язку

ь

У{х) системи (94) виконувалася умова / У'(х) ■ с1А(.с) • У"(.г) >,0.

а

В §29 робитьея постановка крайовоГ задачи Нехай стал! квад-ратш матриц! Л/ 1 Л' таю, що

Л/' • .1 • Л/ = .V • ./ ■ .V, (ОС)

причому з р1ВНОП1 М ■ V = У • с = 0 (г — - деякий сталий вектор) випливае г> — 0. Ставиться задача: знайти розв'язок р1внпння (94). що для деякого V ф0 задовольняе крайов! умови

У(а) = М ■ V. 1*(Ь) = Л"-г. (97)

Для дослхдження хце! задач! тут встановлюються деякх загальш фак-ти.

Теорема 29.1. ЕволюдШний оператор диференщально'! системи (94) 6 Ц1Лою аналогичною функщею параметра Л, порядок росту я к о')' не перевищуе одиниц!.

Теорема 29.2. Власш значения А;., к = 0,1,2, • ■ • задач! (94). (97) вс1 дшсш 1 IX монжина не мае скшчено1 гранично!" точки, при цьому Уе >0

|ЛА.Г1-г< ос.

Сшввщношення ортогональное^ для власних функщй 5'„ (.г. А„ )

' ^ 4

1уи%\т)*<1Л{х)-У(х.\„)=6тп. (98)

а

Ас ¿>тп — символ Кронекера, встановлюються (в тому числ! 1 для кратних власних значень) в §30. Тут також отримано наступний крите,р1й, корисний для подальших досл1джень.

Теорема 30.1. Нехай матриц!-функцй С](.г), С2{х). С3(.г) е

1Н'+[а; Ь] 1 таи, що 1х ыожна формально перемножатй. Для того, щоб ь

матричний штеграл / Сг (л-)'- йС2(г) • С3(х) був класичним Лнтегра-

Лом Р1мана-Ст1льтьеса, необх!дно 1 досить виконання системи умов ДС^х) • ДС2(:с) = 0, ДС2(г) • ДСз(г) = 0 У.е € [а; Ь].

В §31 вивчаються умови розв'язальност! крайово!' задач! для ' неоднОр!дного р!вняння

- _ Л-У' = [АЛ'(-г) +2?'(.г)]Г + (99)

>и

з крайовими умовани (97). Tvt F (.г) £ BY+[a:b\. [AA.l(.r) + A^t./ij-= () V.r € '[a; b].

Теорема 31.1. Якщо Л не е власним значенняхг задач! (94). ¡97). то неодлорЦна задача (99), (97) мае едияий розв'язок

ь

3 "(•'') = J A'(.r, t, X)riF(t), • (100)

де ядро K(j\t.X) мае виг л яд

Г J(.i-.o,A).U[J-('',«. A).U - t.X)J.J- < t;

K(.,-.t,\) = J(.r,„, A)_U[J(!>.,i, A)Л/ - A']_1j;(b,f,A)7- (101)

I - y(jr,t.X)J, .r>t.

Лил! вводиться в розгляд .характеристична функция F\/ t\ — = jJ2A/[>'('J- «• A)M — Лг]-1 У(/>, a.\).J — ./}, за допомогою якчн П1>и дШс-HDXiv А формула (101) набувае-вигляду

{ Л-г,«,А)[Гд/,л(А) + i./I>'*(i.«,A), r<f, .

K{J-, t. X) = <| - (102)

{ J(.''.<<,A)[F.„.a(A) --J]J'*(i,«,A),

Ш формули показують, що осооливост! функцш К (.г, t. A) i F<,/.\( А) знаходяться в одних! тих самих точках д'1Йсно1"ocii мають однаковий характер, в зв'язку з чиы в цьому параграф! виачаю.ться деям ана.т!-

тичн1 властивост1 Fm,.\(X). Зокрема, мае .\исце

Теорема 31.2. Матриця-функцш Fi, ,v(A) ерхптова при Biix дШсних А. за винятком полкн-in. а при комплексних А задорольняв HepiDHÏCTb J riF^ity(X) при /шА

3biдси пиплиодб, що jFu.,\(А) ноже мати лише проси пологи, яы е- влаенчми значениями задач! (94), (97).

В i;32 вивчаеться важлиоо питания про розвинення в ряд деяксн lift гор-функци обможено! napianiï .f (г) за власними всктор-функщя-■ >'„(.<■)'

лг) (•'•)• (103>

д.' 1 oc^liui^HTK вкзначлються форМ,УЛ«»МИ

fc

,•„ = fy'l^-iUU) ■+(■>■)■ ' (НИ).

Центрально мкце при цьому ::аймае

Теорема 32.2. Нехай всктор-фуньтул \ € а вектор-

функцЫ ■р(.г') задовольнт- дифгрснцЬьи.не р1В>яння

В'(г)г-+Л'(.г)\ (ЛК>)

1 граничт умови — Л/г. г-('>) = Л'г при -еякому вектор! с.

УЛ > О.позначимо <р\(.г-) = /(.г) — сгГ,.(.1'), Д1' коефщ1енти с,.

|\,|<-л

визначаються формулами (104). Тод1

■ь - I,

'- 7 < Л--' / XV) • ^И • •,(■'■). (1«С)

' (7 а

Характер зб1жност1 розоинсння за власними функц1ЯШ1 вивча-еться в ¡¡33.

Теорема 33.2. В припущсннях теороми 32.2 ряд ч правей частик! (103) збцаеться абсолютно 1 ртно.лпрь • на [«;Л].

Тут зСчжнгсть впажаеться як абсолютна 1 р1Вном'фна зГпжмсть к ряд! в, 1цо утвореш елемслтами вектора с„У„(.г).

В ¡¡34 розглядасть."!, гкалярн< КЛР довьтьного парного порядку 'з д1Йсни:\Ш коефщ!бнта.мм (комилоксним) параметром А.

"=<:/=: (ют)

. ¡=-.1

де 1) — вшпрна 1 обмежеиа на [я; Ь] фуныия; 2) V».} = 1.н

М«) - ац\х) = а';/.г)), о,;(.г) € ДГ+[«;Ц; 3) У¡J £

1 € 4) Ьи{.г) = 6;,(•<•)• «о(-г) = «/¡(-О

-Очевидно, що .¿2лЫ — чг.стинний випадок КДВ 1.т,„[у]. КДР (107) розглядаеться разом з крайовими умовами

уИ'(в) = ^(й) =0, г = оСто~—"Т. (108)

Теорема 34.1. При викончшп наведених вип;е умов на коефщь внти 1 ау(т) задача (107). (108) зводиться до задач! типу (94).

- (97).

Ha ochodí цього результату ряд властивостей j адач! на власш значения (Í07), (108) отримуються тепер як наглвдки з водповадни.х теорем попередн1х параграфш. .. • >

Наедгдок 1. Еволюцшний оператор .V(.r,a,A), шо шдповЦае КДР (107), е ц'1Лою анал1Тичною функщею параметра А, порядок росту яко1 не перевишу б одиниц!.. . . -

Наслшок 2. Власш значения Ai., Дт = • • задач1 (Х07), (IOS)

bcí д1Йсн! i ix множина не мае скшчоно! гранично! точки, при цьому

Vi >0 £ М*!"1"1 < зо. . '

\i,i¿0

Теорема 34.2. Нопмоваш власн1 функцн задач i (107), (IOS) задо-зольняють сшвв1дношечня ортогональногт! .

£ Е/^-^'"1 -У».»-*' = ' (Ю!?) .

Узагальнена кеоднор! \ни задача i структура функци J рша пив-чаються в ?¡35, 30, де розглядаеться нооднортчче КДР

з крайовими умов а: и (10S). дг F¡(.r) € В\ + [«; Ь].

Теорема 35.2. Яктдо А ье в власним значениям задач! (107), (10S). то неоднородна задача (109). (10S) .чае единий розв'язок у(х) що 1/['Ц.г) 6 JC[«:fc] V/ = !). н - 1). а € >' =

= 0.и — 1. причому

»—i _

j=u . ■

n„_j,,(.r) = ;i„-j.A-r) - -*n„._j,.(.r); цек [газв'язок модна податл у пигляд!

ь

с7'с

(Ш)

'=1 „ 4

Означения 35.1. Функщя Cr(.r.f.A) назипаеться функцию Г pisa задач! (110). (10S).

1 — 0 *=о

Теорема 36.1. Маюгь хпгце наступи! влаетивост!:

1) функиДя Грша &'(.¡-.£.A) на кожному з ¡нтервал1в (ч,£). (£.'') по зшншй .i- задовольняе КДР (107):

2) G(.r.£. А) в точках и i Ь злдоиольняе. крапов; умови (10S):

3) G(r.£. А) е нет pepDHoio функщею доох змшних .i-, i i абсолютно неперорвною по кожнш з них при ((пксовашй шшш;

4) при ;= £ G(.r,£, А) задовольняе умови етрибка

. Cl4(f +0.Í-A) - G[V¡(Í, - o.í. А) = 0, / = 0. п - 1:

+ 0 Í _ G.¡,,+ ,„-,](í _ () ^ Д) L.PiS.íij.Sn^).

т — 1, ti — i:

GI2"_1í(Í -f0.£,,\) -C?!;;"-1](í -0.Í.A) = 1 де = О при Ari;j = = 0:

. о) <?(.<•,{. A) = <?(£..г. А) при //n(-\) = 0. ■

В §37 формулюеться i доводиться теорема яро розвинеиль за власними функщями.

Теорема 37.1. Нехай функцп у/*'(.<■). к- = 1.» абсолютно неперервш на [с; A] i функщя с(.г) задовольняе неодш^идне КД1*

ч II II II

а так о ж Kpaüoei умови i •!''(«) = t '>) = 0. i = O./i-l: V\ > (t •позначимо i-!x''(.<-) = c!''(.r) —. «vyí'J {.v). i = O.n - 1. де

IЛ > I < А

с,, задаюгься формулами

Тод! ряд Фур'е

v(.r)'~¿c,í; ,(■«•), ¡112)

г

а також ряди, що отримаш його почленним диференщюваннпм до

(» — 1)-го лорядку включно. наближають функщю t'(.c) в to.mv cchcí. що

£ ......

j=0 а ;=р J=0 „

(из;

Очевидно, що 13 ствв!дношенкя (113) випливав певне узагаль-нення поняття зб1жност1 в серодньоквадратичному.

Теорема 37.2. В умовах теореии 37.1 ряд в npaBiit частит (112), а також ряди, що отримаш його почленним диференЩюванням до (п — 1)-го порядку включно, зб1Гаються на [а,6] абсолютно i piBHo-

MipHO по .г.-

Аналопчш результати jiaють лисце не лише для конкретних кра-йових умов, що розглядаються в '¿34. Допустимими крайовими умо-вами слхд вважати такц для яких яри зведенш задач1 для КДР до в!Д-nosiÄHoi fifCTC.Mii першого порядку ¡снують ыатриц1 Л/ i N тага, що волод1ють властив1сттю M*JM = yjN для деяко!' косоерм1тово1 матриц J. Цьому питанию присвячено §38, де розглядаеться деыль-ка sapiaHTis крайових задач для КДР четвертого порядку, що моде-люють коливання балки з дискретно-неперервним розпод!лом параметров при р1зних умовах закр1плрння а кшщв.

Роздл 6. НАБЛИЖЕН1 СПОСОБИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ДИСКРЕТНО-НЕПЕРЕРВНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ

Теореми типу Хелл! про граничний переход шд знаком скалярного штеграла Р^мана-Сгшьтьеса застосовуються в задачах апрок-симацн i, зокре.ма, при наближеному розв'язуванш штегральних i диференщальних рганянь. Аналоггчш результати для матричного випадку отримано в §§39, 40. .

Теорема 39.1. Нехай виконуються таю умови: 1) повт Bapiain'i матриць-функцШ С„(х) piBHoMipno обмежеш по п на [а, Ь], тобто VabC„ (х) < V = const; 2) Cn(x) —» C(r) р1внашрно тто x на [a, b]. Т0Д1

ь ь

-lim j äC„(x) -У (г) = I dC{x)-Y{x).

it —- ОС.- J J

a a

Розглянемо диференщальш системи

' У'(.т) = С'(х) ■ У(г), У(х0) = Ко;

^W = C;(.r)-y„(.T), У„(х0) = У0,

причому (115) отримано ¡з (114) шляхом деяко! апроксимацп елемеи-Т!В матриц!-функци обмежено1 napiattii* С(х) е BV+[cr, Ь] посл'щовтс-тю С„(г): Сп[з:) С(г). Можна сподоватися, що розв'язок задач! (115) в певному cenci буде наближати розв'язок У(.т) ВИХ1ДН01 задач! (114). ; '

(114)

(115)

Теорема 40.1. В умовах теорсми 39.1

' Цт \Уп(х) — У(х)1 = 0 1лвно.\прио на [«, Ь].

п—.оо . -

Тут розглянуто також деяк1 практично важливх апроксимаци. При наближешй побудовз еволюц!Йного оператора в1дпов1дно1 диференщальноУ системи в.§41 отримано настуяний результат яыс-. ного характеру.

. Теорема 41.1. Якщо А(х) — схедчаста магриця-функщя ¡з скш-чекним числом разрив1в в т<эчках .г,, .г2, • • ■, 6 [«, 1>], то задача на власш значеняя I/}"' = В'У А.4'1", 1"(о) = Л/и, У(Ь) = Л'с при виконанш вказаккх в §§28, 29 умов на матриц! А, £?, -ЛГ 1 .V мае сынчене Число влас шх значень 1 в!ДпоВ1дних 1м власних вектор!в. В §§42, 43 наведано приклади наближсного розв'язурання задач ■ на вЛ"асш значения для диференщальних ршнянь другого 1 четвсрто-го порядив Е1дпов1дно. Отримаш при цьому числот результата по-казують, що апробавдя запропонованих способхв апроксимаци коеф1-Ц1внт1в виявилася цшком задовьтьною.

В §44 запропоновано способ зведення матричного КДР довшьно-го порядку до скв!валентноГ системи завантажених ¡нтегро-квазщи-ферснцтльних ¡>'юплш> типу Вольторра-СтЬтьгьеса. Розглядаегься КДР

£т„[У(г)| = £„„, [1 -(х)] + А£пш[Г(а-)] = О (110)

де А — параметр, причому порядок КДВ ¿,,т[У] строго больший В1Д порядку КДВ Ьтп[У]. Нехай Л'(г,.ч) — функщя Копи КДР ¿т„[У] = 0. _

Теорема 44.1. Кваэшсчидна ^(.г), к = О, т + п — 1, дошльного

розв язку КДР (116) е розв"язкомлнтегро-кваз1диференщального р1в-няння

т + п-1

¡=о

Лт рн — 1

(С; — дов^льш стаЛ1 матрищ).

Наслцтк. Розв'язки 1(.(г) системи штегро-кваз1диференц,1аль-НИХ Р1ВНЯНЬ

(117)

.А- — 0, in + п — 1, утворшють норма льву в точц! Jo € I фундаменталь-ну.систему розв'язив КДР (I1G).'

Iii результате .дають можливк-ть эастосовувати до коректних КДР'метод посладовних наближень. Цей cnoci6 був фактично вико-ристаний при узагальненн1 штегральноУ ознаки Ляпунова.

У виснойках коротко сформульваш ochobhi результати дисер-тацй, а також вказано можлив! i'x застосування.

OCHOBHIРЕЗУЛЬТАТИ

1. Закладено основи Teopii' Л1шйних 1 квазшшшних диференщ1 альних систем з мерами, що пов'язано з новим коректним озяаченням i'x розп'яз^в, а також остановлено ефективш критерп коректность

2. Побудована лшШна reopifl скалярных i матричних КДР з' . коефщ1ентами-М1рами i правими частинами —- узагальненими пох!д-

ни.ми иищих порядков В1Д функщй локально обмежено? вар^ацй". Одночастно розвинута концепщя квазшох!дних.

3. Вивчено елементи теорН ст1Йкост1 названих систем i показано, що при цьому природним чином застосовна класична схема першиго методу Ляпунова. , ' -

4. -Поширено результати Ф.Аткшсона, що стосуються досл!д-ження крайових задач для диференц)альних систем ¡з сумовними за 1 Лебегом коефщ1ентами, на дискретно-иеперервш крайов! задач1 для диференщальних систем з кнраыи.

5. Розроблено i апробовано наближеш способи розв'язування дискретно-неперервнйх крайових' задач, що грунтуються на апрок-симаци коефщ1бнт1в в>дпов1дних диференщальних р1внянь та на зве-декш i'x до екв1валентних систем завантажених ¡нтегро-кваз1Дифё-р<"нц[алы1их р^внянь типу Вольтерра'-Стшьтьеса.

OeHOBHi положения дисертацп опублшоваш в наступних роботах:

1. ТацШ P.M. До побудови характсристичних ряд1в багатопара-метричних континуальних систем //• ДАН УРСР. - Сер. А. -

1976. - Лг*9. - С. 819-821.

2. Тадий P.M. О порядке роста характеристического ряда // Ма-

тем. мет. и физ.-мех. поля. - 1981. - JV413. - С. 38-48.

3. Таций P.M. О сочетании методов Ритца и характеристических рядов в самосопряженных полностью определенных задачах многочисленного класса //Матом, мет. и физ.-мех. поля. -1981.

- Л"114. - С. 1G-19.

4. Таций P.M. Один способ построения общего решения квазидифференциального уравнения 2-го порядка. - Львов, 1982. -4 с.-Деп. в ВИНИТИ, дУ^574. •

5. Стасюк М.Ф., Тащй P.M. До досладження коливань i стШкос-Ti систем з кусково-змшним розподолом napawerpiB // Доп. АН

- ЗС

УРСР. - Сер. А. - 1982. - Лг?5. - С. 43-47.

6. Таций P.M. Построение решений квазидифференциальных уравнений с кусочно-переменными коэффициентами // Диффе-ренц. уравн. и их приложения. К., 1984. - 75 с. - Деп. в УкрНИИНТИ, jV*1927.

7. Таций P.M., Стасюк М.Ф., Кисилевич В.В. Общие квазидифференциальные уравнения с мерами. - К., 1985. - 34 с. - Деп. в УкрНИИНТИ, Л/*2701.

8. Таций P.M. Критерий однозначной определенности линейной дифференциальной системы с мерами.' - Львов, 1987. - с. -Деп. в УкрНИИНТИ, А* 1947. - •

9. Пахолок Б.В., Таций P.M. Линейные квазидифференциальные Уравнения в пространстве вектор-функций. - Львов, 1987. - 21 с. - Деп. в УкрНИИНТИ, А* 1943.

10. Кисилевич В.В., Таций Р.М Рекуррентные схемы для квазидифференциальных уравнений с мерами //1 Всесоюзн. конф. "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений": Тез. докл. - М., 1987. - С. 59 - GO.

11. Таций P.M., Стась. М.Ф., Пахолок Б.Б. Устойчивость решс-, ний дифференциалы jx уравнений с обобщенными функциями в коэффициентах. - Львов, 1988. - 20 с. - Деп. в УкрНИИНТИ, №"793. '

12. Тацш P.M., Пахолок Б.Б. Про структуру фундаментально! мат-рищ кваз1диференц1ального р1вняння // Доп. АН УРСР. - Сер. А. - 1989. - ЛГ*4. - С. 25-28.

13. Таций P.M. Квазидифферевциальные уравнения с обобщенными коэффициентами // 4 Уральская региональная конф. "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения": Тез. докл. - Уфа, - 1989. - С. 14С~

14. Стасюк М.Ф., Таций P.M. Однозначно определенные неоднородные дифференциальные уравнения с мерами // 1 Республ. конф. "Разрывные динамические системы": Тез. докл. - Киев, 1989. - С. 53.

15. ТацШ P.M., 1щук В;В., К1сшевич В.В. Про апроксимащю роз-в'язив диференщальних р1внянь з «¡рами // Bích. Кит. ун-ту:

Математика i ыехашка. - Ки'ш: ЛиГядь, 1990. - А' 32. - С. 128' 131. '

16. Стасюк М.Ф., Тацш P.M. Про одну систему завантажених íh-тегро-диференщальних р1внянь типу Вольтера // Bích. Льв1в. nojiÍTexB. ÍH-ту: Диференц. pÍBH. та ix застосування. • JIlpíа: видавництво при ЛДУ, 1990. - JVri242, С. 91-92.

17. Таций P.M. Дифференциальные уравнения с обобщенными коэффициентами и дискретно-непрерывные краевые задачи // 3

IS.

19

Всесоюзн. конф. " Новые подходы к решению диффе]>енциаль-ных уравнений": Тез. докл. - М„ - 1991. . с. 135 Тащй P.M., Пахолок Б.Б. Про порядок узагальнених фуккщй в правих частинах квазииферснщальних рдвнянь // Доп. АН УРСР. - Сер. А. - 1991. А-*1. - С. 16-19

Кисилевич В.В., Таций P.M. О разложении по собственным векторам обобщенной дифференциальной системы // 3 Республ

Гоai Динамические системы": Тез. докл. - Киев,

ил. - С. 26 - 27. '

20. Стасюк М.Ф., Тащй P.M. Диференщальш р1вняння з коефЩен-тами — узагальноними функциями вищих порядив // BicH

ПОЛ1т"Н- ¡я-ху: Диференц. ршн. та ïx застосування. -Льв1в: Cbît. 1991. - Д'а251, С. 111-113.

21. Таций P.M., Кисилевич В.В. Краевая задача для обобщенной дифференциальной системы. - Львов, 1992. - 37 с - Деп „ УкрИНТЭИ, iVa1047.

22. Таций P.M., Кисилевич В.В. Свойства функции Грина обобщенного квазидифференциального уравнения// Шк. "Современные методы в теории краевых задач": Тез. докл. - М., 1992. - С 61-е».

23. Таций P.M. О разрешимости краевой задачи для обобщенной дифференциальной системы// Шк. "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании"-1ез. докл. - Воронеж, 1093. - С. 127.

24. Таций P.M., Стасюк М.Ф. Об одной интерпретации матричного неклассического интеграла Римана-Стильтьеса. - Львов, 1993. - 28 с. - Деп. в ГНТБ Украины, iV~1041.

2о. Таций P.M. Линейные дифференциальные системы с мерами. -Львов, 1993^ - 18 с. - Деп. в ГНТБ Украины, Дт*1053.

2G. Роман Тащй. Про стШкють за першим наближенням узагальне-но1 диференщальноГ системи // Всеукрашська яаукова конф.

Hobï П1дходи до розв'язання диференщальних р^внянь": Тез доп. - Khïb, 1994. - С. 164.

2/. Тащй P.M. Узагальнеш кваз1диференц!альн1 pÏBHHHHH //Препр. / АН Украши 1ППММ. - 1994. - .Va2-94. - С. 1-54.

Пгдп. дч друку Of. . Формат 60x84I/I6 Ilanip друк. № 2. Офс.двук. Умовн.друк.арк. ¿.s Уиовн.фарб.-вхдб. ¿.s Умавн.видав. арк. -г.3 ? Тираж (оо прим. Зам. </о . Беашгатно

ДШ 290646 Дьв1в-13. О.Бандери. 12

Дгльниця оперативного друку ДУМ Дьвгв, вул. Городоцька, 23b