Разрешимость начальных и краевых задач для линейного функционально-дифференциального уравнения точечного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Крученов Михаил Борисович

РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНЫХ И КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Специальность 01.01.09 — Дискретная математика и математическая кибернетика Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003462516

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Центральном экономико-математическом институте РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бекларян Лева Андреевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Шананин Александр Алексеевич;

кандидат физико-математических наук, доцент Шамин Роман Вячеславович.

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт системного анализа РАН.

Защита состоится » <-¿¿¿2^2/3 2009 г. ъ'(0 часов на заседании диссертационного совета Д 002.013.02 Учреждения Российской академии наук Центрального экономико-математического института РАН по адресу: 117418, г. Москва, Нахимовский проспект, д. 47, аудитория 520.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦЭМИ РАН.

Автореферат разослан » (ргв^сиЦ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук Борисова C.B.

I. Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) точечного типа огромное значение имеют вопросы существования и единственности решений краевых и начально-краевых задач для таких уравнений. Потребность изучения указанных свойств решений мотивируется многочисленными приложениями (например, задачами оптимального управления системами с дифференциальными связями в виде ФДУ, задачами экономической теории, социологии, биологии).

Известно, что существуют препятствия, в силу которых решения ФДУ точечного типа не наследуют всех замечательных свойств решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Важнейшим из таких препятствий является отсутствие условий типа неравенства Гронуолла1. Метод исследования ФДУ точечного типа, основанный на их групповых особенностях, позволил получить неулучшаемые условия2 (для нелинейных уравнений), которые определяют способы регулярного расширения класса ОДУ в классе ФДУ точечного типа в смысле сохранения таких свойств решений ОДУ, как существование и единственность в заданном классе функций, непрерывная зависимость решения от начальных условий, точечная полнота решений, n-параметричность пространства решений, гладкость решения, свойство "грубости" уравнения и т.д. Данные условия формулируются в терминах правой части ФДУ и параметра ц, характеризующего порядок роста решения. В рамках применяемого формализма решения ФДУ точечного типа ищутся в банаховом пространстве функций х(-) с весами

£"С(1:)(а) = (:r(-): х(-) G С(к) (R.R"), max sup ¡^'(Ф^Нк» < +«Л,

I 0<r<fc ieR J

где ц € (0, +оо), с нормой

IWOII^ = rnax sup llz^W1!!^.

Вместе с тем очень важны исследования ФДУ точечного типа и в случае нарушения отмеченных неулучшаемых условий, причём одним из централь-

'Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. — 720 с.

2 Бекларян Л. А. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. Групповой лоддод. — М.: Факториал Пресс, 2007. - 288 с.

ных вопросов является вопрос существования решения. Многие важные задачи описываются линейными уравнениями или допускают линеаризацию базовых уравнений, поэтому целесообразно применить групповой подход к исследованию вопросов разрешимости начально-краевых задач для линейных ФДУ точечного типа, воспользовавшись при этом методами теории линейных операторов. Л.А. Бекларяну в рамках данного подхода удалось получить ряд результатов линейной теории (теорема о гладкости решения, однозначная разрешимость задачи с однородными краевыми условиями, типичность невырожденных линейных ФДУ точечного типа и др.), и настоящая работа систематически расширяет и дополняет эти результаты.

Объект и предмет исследования. В качестве объекта исследования рассматривается основная начально-краевая задача для линейного ФДУ точечного типа

х{г) = £ А}хЦ + щ) + <!>(<), геВя, (1)

с краевым и начальным условиями

±(0 = ¥>(*). (2) г б К, ¿еГ, (3)

где А, - матрицы п х п, щ е 2, ] = М; тр(-) £ ¡р(-) е

П^Л £?С(0)(К), р* 6 (0,+ос); Вя - либо интервал [7710,121], т0, ту е Ъ, либо полупрямая [т0, +оо), либо прямая К. Отклонения аргумента п имеют произвольные знаки. Не нарушая общности, можно считать, что щ < ■■■ <п$.

Определение 1. Абсолютно непрерывная функция х{-), определённая на К, называется решением уравнения (1), если при почти всех ( € Е функция х(-) удовлетворяет этому уравнению. Если при этом х(-) € С^ЕД"), к = 0,1,2то такое решение называется решением класса

Предметом исследования являются свойства решений задачи (1)—(3) в сравнении со свойствами решений задач для ОДУ. Существует огромное количество работ, посвященных подобным задачам, но в большинстве этих работ изучаются уравнения с отклонениями аргумента одного знака (как

правило, п2 < 0, ] = — уравнения с запаздываниями) и с начально-краевым условием, в котором I — то. Для такой начально-краевой задачи решение всегда существует, оно является единственным, и основное русло исследований — это изучение интегральных представлений решения3.

Если отклонения аргумента имеют произвольные знаки, либо IФ т0, то краевая задача (1)-(2) и основная начально-краевая задача (1)-(3) являются задачами с нелокальными краевыми и начальными условиями, вследствие чего они могут не иметь решения. Поэтому для таких задач важно сформулировать теоремы существования решения.

Цель и задачи исследования. Основная цель исследования заключалась в систематическом развитии линейной теории ФДУ точечного типа. Почти всё внимание в ходе исследования было уделено важнейшей проблеме этой теории: качественным свойствам решений соответствующих начальных и краевых задач (существованию и единственности решения среди функций с заданной гладкостью и порядком роста). Условия разрешимости получены, в частности, и при отсутствии условий типа неравенства Грону-олла.

На этом пути решены следующие основные задачи:

1. В скалярном случае получены достаточные условия существования и единственности (в заданном классе функций) задачи Коши для линейного однородного ФДУ точечного типа, заданного на прямой. Эти условия основаны на спектральных свойствах оператора в пространстве бесконечных последовательностей, каноническим образом порождённого правой частью линейного ФДУ точечного типа.

2. Получены аналоги теоремы Ф. Нётера о существовании решения для краевой задачи (1)-(2) и основной начально-краевой задачи (1)—(3). Полученные результаты уточнены для различных вариантов задания области определения уравнения Вя- Определено ФДУ точечного типа, сопряжённое к исходному. Изучена зависимость структуры пространства решений сопряжённого уравнения от постановки исходной задачи.

3. Рассмотрена начально-краевая задача для линейного ФДУ точечного типа, которая описывает динамику валютного курса. Вопрос существования решения этой задачи изучен на основе применения аналога тео-

3Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир. 1984. — 421 с.

ремы Нётера. Разработан алгоритм построения нетривиальных решений сопряжённого уравнения. Рассмотрен вопрос единственности решения начально-краевой задачи для линейного ФДУ точечного типа. Разработан алгоритм построения ветвящихся решений данной задачи. Проведены численные эксперименты. Построены особые поверхности.

Методы исследования. Исследование базируется на формализме, основанном на групповых свойствах ФДУ точечного типа и разработанном Л.А. Бекларяном. Широко используются методы теории линейных операторов и функционального анализа в целом. Кроме того, в возникающих задачах линейной алгебры применяются численные методы исследования.

Научная новизиа результатов. Установлены более мягкие, чем было известно ранее, достаточные условия существования (теорема 1) и единственности (теорема 2) решения (в заданном классе функций) соответствующей задачи Коти. Отмеченные условия формулируются в виде неравенств, которые связывают параметры правой части уравнения с порядком роста решения. Аналоги теоремы Нётера о существовании решения для данного класса краевых, а также начально-краевых задач получены впервые. Также впервые для таких постановок краевых и начально-краевых задач описана структура решений сопряжённого уравнения. Установлено, что при изучении краевой задачи (1)—(2) достаточно рассмотреть решения сопряжённого уравнения из класса абсолютно непрерывных функций (теорема 3), а при изучении основной начально-краевой задачи (1)—(3) необходимо рассматривать все решения сопряжённого уравнения из класса кусочно абсолютно непрерывных функций с единственным разрывом первого рода в начальной точке Г (теорема 4). Алгоритм поиска разрывного и быстро убывающего решения сопряжённого уравнения (для задачи, описывающей динамику валютного курса) является новым, т.к. данный алгоритм основан на свойствах впервые изучаемого класса решений. Установлено, что наличие нетривиальных решений нетипично для сопряжённого уравнения.

Результаты глав 2 и 3 получены автором лично, а результаты главы 1 получены в соавторстве с Л.А. Бекларяном.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты систематически дополняют линейную теорию ФДУ точечного типа. Эти резуль-

таты могут найти применение при исследовании свойств устойчивости, бифуркации решений и в других разделах теории ФДУ. Наличие условий существования и единственности решения с заданным порядком роста имеет особое значение для обеспечения процесса сходимости при численном решении начально-краевых задач.

Результаты работы представляют ценность для различных прикладных областей, таких как популЯЦИОНная динамика, теория длинных линий, а также для математического моделирования производственных процессов.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации были доложены на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в 2007 г., на конференции "Современные методы теории краевых задач" ("Понтрягинские чтения — XIX", г. Воронеж) в 2008 г., на 31-й международной конференции "Системное моделирование социально-экономических процессов" им. акад. С.С. Шаталина, г. Воронеж, 2008 г., на 7-й конференции "Лобачевские чтения", г. Казань, 2008 г. и на заседании лаборатории экспериментальной экономики Центрального экономико-математического института РАН.

Основные публикации. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ (в том числе 3 основные работы) общим объёмом 3,8 п.л., из них личный вклад автора 2,4 п.л.; 4 работы опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация содержит введение, три главы, заключение, список литературы из 68 наименований, 3 рисунка. Работа изложена на 99 страницах машинописного текста.

II. Основное содержание работы

Согласно формализму, основанному на групповых свойствах ФДУ точечного типа, исходное уравнение каноническим образом порождает ОДУ в пространстве бесконечных последовательностей. Чтобы выписать данное ОДУ, необходимо привести некоторые вспомогательные сведения. Рассмотрим векторное пространство

Кп = ДЯ?, Щ = Г\ ie Ъ, ¿62

со стандартной топологией полного прямого произведения. Элементами пространства Кп будут бесконечные последовательности

Пусть В — а-алгебра всех подмножеств множества целых чисел Z. Через В будем обозначать дополнение к В 6 В в 2, т.е. В — Ъ\В. Для всякого В € В определим множество

Вя=и[г,г+1].

¿ев

Каждому множеству В е В поставим в соответствие непрерывный проектор Рв, действующий в пространстве Кп по следующему правилу:

V*, г: х е Кп, г € 2 будет {Рвя)г = { если ! *

I 0, если г £ В.

Кроме того, в пространстве К" определим оператор сдвига Т:

\/х,г: х & / С- 2 будет (Гх),-= .т1+ь

В пространстве определим однопараметрическоесемейство гильбертовых подпространств , //. 6 (0, +ос):

ч = {*: *е 1<п' £ < ^ |

с нормой

I 1/2

Иг^ -

£ м2*^

Ограничения операторов Г и Рв на подпространство К^ (действующих из в себя) будем обозначать через и Рвгц, соответственно. Там, где это не будет вызывать недоразумения, индексы 2ц будем опускать.

Линейные ограниченные операторы А^ е £(Кп,Кп), у — 1,5, определяются бесконечномерными блочными матрицами с блочными элементами = где к,1 е !, — символ Кронекера. Для операторов А, и оператора сдвига Т справедливы правила перестановочности: А/Г = ТА^. Определим линейный ограниченный оператор А е С(Кп, Кп):

А = ]ГА {Гп\

3=1

Такие операторы относятся к классу тёплицевых операторов4. Ограничение линейного оператора А на подпространство ц определяет линейный оператор A2/J е ЦК^К^).

Для любого (1 е (0,+оо) через Cw([0,1],A'^J. к = 0,1,2,... будем обозначать банахово пространство к раз непрерывно дифференцируемых по Фреше вектор-функций с нормой

Определение 2. Отображение х : [0,1] I—> Щ,,,^ € (О^00) называется сильно абсолютно непрерывной вектор-фунщией, если оно почти всюду дифференцируемо по Фреше, производная к(-) интегрируема по Бохнеру и вектор-функция х(-) восстанавливается по производной к(-).

Наряду с основной линейной начально-краевой задачей (1)—(3), в фазовом пространстве К!} для р е (0, р.") П (0,1] будем рассматривать соответствующую ей бесконечномерную краевую задачу для ОДУ

с начальным значением i е Ж и фиксированным i — i, где F(t) =

{Fi{t)}t%, Fi(t) = V(i+ t); v(t) = ШУ-.^ Ф) = v(i+ 0; t € [0,1],

г € 2; а множество В С % таково, что соответствующий ему интервал Вц — это интервал Вя из уравнения (1). Здесь под дифференцируемостыо понимается сильная дифференцируемость (по Фреше).

Определение 3. Сильно абсолютно непрерывная вектор-функция я(-) со значениями в пространстве называется решением ОДУ (4), если для почти всех £ е [0,1] она удовлетворяет этому уравнению.

В работе Бекларяна (см. сноску на стр. 3 автореферата) теоремой 1.1 главы 3 установлено соответствие между семействами решений основной

4Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. - М.: Мир, 1970. - 352 с.

к

~x{t) = РвA^x(i) + PBF(t) PBv(t), I е [0,1], х{\)=Тх(0), И0))т = х,

(4)

(5)

(6)

начально-краевой задачи (1)—(3) и решений бесконечномерной начально-краевой задачи (4)-(6), но оно сформулировано для нелинейного случая и не вполне удобно для применения в линейной теории. Поэтому в данной работе установлено новое соответствие между решениями этих задач.

Решение уравнения (4) имеет вид

хЦ) = ехр х(0)+

+ + (7)

Предложение I. Вектор-функция х{-) 6 С(0)([0,1], К% ) является решением краевой задачи (4)—(5) тогда и только тогда, когда она опредешется по формуле (7)и х(0) удовлетворяет уравнению

[£-Т'-1ехр(РдА2//)]х(0) =

- [ Т-1ехр(РвА,м[1-е])[Рв^) + Р^)]^. (8) Jo

В силу предложения 1 в работе подробно исследуется нетривиальная разрешимость уравнения (8) относительно вектора х(0), причём во многих формулировках используется важное свойство нормальной разрешимости линейного оператора

(^„^■Е-Т'1 ехр(РвА2Д (9)

действующего из пространства в себя.

Перейдём к краткому изложению содержания диссертации.

Во введении обоснована актуальность исследуемой темы, изучена степень научной разработанности проблемы, сделан анализ основных работ в этой области, приведены примеры прикладных задач для ФДУ точечного типа, сформулированы понятия объекта, предмета исследования и основная цель исследования, перечислены задачи, которые необходимо решить для достижения данной цели.Там же сделан краткий обзор полученных результатов, обоснована их научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

Глава 1 посвящена исследованию существования решения начально-краевой задачи для линейного однородного ФДУ точечного типа, заданного на прямой. Очевидно, что такая задача переходит в задачу Коши. В пространстве Е" рассматривается линейное однородное ФДУ точечного типа

х(г) = АМг + тъ)> í €

(10)

¿=1

с ненулевым в общем случае начальным условием

х(£) = х, « 6 2, х 6 М".

(П)

Согласно формализму, правая часть уравнения (10) порождает оператор Аг^ в пространстве бесконечных последовательностей, относящийся к классу так называемых тёплицевых операторов. Благодаря линейности этого оператора, в случае скалярного ФДУ с помощью теоремы об отображении спектров удалось описать спектральные свойства оператора Т"1 ехр(Аг^), входящего в уравнение (8). Это позволило указать условия, при выполнении которых единица является собственным значением оператора ехр(А2/1). В итоге для скалярных ФДУ в данной работе получено более мягкое, чем в монографии Л.А. Бекларяна, достаточное условие существования решения задачи Коши, которое связывает порядок роста этого решения с параметрами правой чзсти уравнения (10). Для скалярного ФДУ (10) имеем Л, = aj, j = I, где а^ — числа. Относительно параметра р € (0,1) определим неравенство

Теорема 1. Пусть ФДУ (10) является скалярным (п = 1). Если для заданного ц 6 (0,1) выполняется неравенство (12), то для любого ненулевого х € К существует нетривиальное решение х(-) е

££С(°> (К) задачи Коши (10)-( 11). Более того, х(-) б ПГ=о с1с[к)

Помимо достаточного условия существования, в терминах правой части сформулировано достаточное условие единственности решения задачи Коши в заданном классе функций.

Теорема 2. Пусть ФДУ (10) является скалярным (п = 1) и выполняется неравенство

3

Тогда существует такое минимальное р! 6 [0,1), что для любого заданного р, 6 1) задача Коши (10)—(11) может иметь не более одного нетривиального решения х(-) 6 (К).

Вообще говоря, задачи для однородного уравнения интересны в связи с исходной задачей (1 )-(3). Рассмотрим, к примеру, начально-краевую задачу для однородного уравнения с однородными краевым и начальным условиями

8

= + teBR, (13)

.7=1

¿(¿) = 0, 4€М\Вд, (14)

а:(«) = 0, ¿бЕ. (15)

В отличие от задачи для ОДУ, данная задача может иметь нетривиальное решение хо{Ь) ф 0. Если хц[Ц — решение задачи (1 )-(3), то для любого хо(£) функция х{Ь) — хн(Ь) 4- хо{() также является решением задачи (1 )-(3) в силу её линейности.

Если уравнение (10) является многомерным, а также в том случае, когда Вц является конечным интервалом или полупрямой, изучение спектральных свойств тёплицева оператора на данном этапе не представляется возможным. Поэтому в следующей главе применён более универсальный подход к доказательству существования решения линейной задачи, основанный на аналогах теоремы Ф. Нётера.

В главе 2 получены необходимые условия существования решений краевой задачи (1)—(2) и основной начально-краевой задачи (1)—(3)

я

±(0 = + п3) + ьеВп, (1)

¿=1

¿(*) = у>(0, (2)

= ? е м, геГ. (3)

Эти условия формулируются в виде аналогов теоремы Нётера в применении к уравнению (8). В таком подходе основным объектом внимания становится сопряжённое уравнение и определение пространства его решений, что исследуется в рамках используемого формализма. Вместе с тем, мы говорим об аналогах теоремы Нётера, ибо в отличие от теоремы Нётера как ядро

оператора £¿2(1. (9), так и ядро сопряжённого к нему оператора могут быть бесконечномерными.

В работе показано, что при изучении краевой задачи (1)—(2) достаточно рассмотреть решения сопряжённого уравнения из класса абсолютно непрерывных функций. Однако при изучении основной начально-краевой задачи (1)-(3) приходится изучать все решения сопряжённого уравнения из класса кусочно абсолютно непрерывных функций (так называемые импульсные решения) с единственным разрывом первого рода в начальной точке I.

Ниже будут определены пространства функций, необходимые для задания пространства решений как исследуемой краевой задачи, так и вводимого далее сопряжённого уравнения. Для каждого ц е (0, +ос) определим следующие пространства функций

УуК) = {*(•) : *(■) 6 С<°>([0,1 }г1<1), *(0 = ЫО}^, хД*) — х(< + г), 4 6 [0,1]. г ё 2 и вектор-функция я-(-) является сильно абсолютно непрерывной

и

£"1ос(К) = {.х'(-) : *(•) 6 МКД"), виругыИО/'Пк* < +ос\ .

I гек J

В частности, из условия х(-) £ (К) следует, что

х(.) € Ц-) € с;ьх(Ж).

С другой стороны, любая функция

х(-) 6 £»С<°)(К), ¿(-) € СлрЬх{Щ, Де(д,+ео)

принадлежит пространству

Для любых ц € (0, +оо) и г € Ж определим пространство функций

Ргуук) = {*(•) : *(■) 6 С«°)([0,1], Къ), = {.;:,(/)}-;;;

х,(£) = х(£ + г), «€[0,1], г € 2\{г — 1, г}; = + г), ¿€(0,1), г € {г — 1,г}; 1г_1(0) = х(г-1), 1г_1(1) = г(г-0), хг(0) = х(г + 0), хг(1)=х(г+1) и вектор-функция х(-) является сильно абсолютно непрерывной к

Очевидно, что всякая функция х(-) б РгУЩК) является кусочно абсолютно непрерывной с единственным скачком в точке г. Определим уравнение

5

= «6 К, (16)

называемое сопряжённым уравнением (хвя(ш) ~ характеристическая функция множества Вд, а — транспонированная матрица).

При изучении краевой задачи (1)—(2) нам понадобятся решения £(•) сопряжённого уравнения (16), являющиеся абсолютно непрерывными функциями и удовлетворяющие дополнительному условию: х(-) е .¡(Щ при заданном р. е (0,1].

При изучении основной начально-краевой задачи (1)—(3) нам понадобятся решения х(-) сопряжённого уравнения (16), являющиеся кусочно абсолютно непрерывными функциями со скачком в точке Iи удовлетворяющие дополнительному условию: £(■) 6 Р(-У^_1 (М) при заданном /х € (0,1].

Для функций € 1р(.) е П^?£?С(0)(®)> р' е (0, +оо)

определим новую функцию

тАш если'бВл (17)

если Ь € И\Вй.

Очевидно, что функция /(■) принадлежит пространству С".ЬЖ{Ш.).

Теорема 3. Пусть Ц-) е ¿¡¡.С^И), 6 Пг+Л Для суще-

ствования решения х(-) краевой задачи (1)-(2), удовлетворяющего условию х(-) € У?,,(К) при заданном р е (О,//*) П (0,1], необходимо, чтобы условие ортогональности

+ОС /

выполнялось для всякого решения х(-) € У£ _1(М) сопряженного уравнения (16). Если оператор <5гд (9), действующий из пространства К^ в себя, является нормально разрешимым, то это условие является и достаточным.

Теорема 4. Пусть ■ф(-) е ££.С<°>(К), <р(-) е ¿^(К)- Пля существования решения т(-) основной начально-краевой задачи (1)—(3), удовлетворяющего условию х(-) € У^АЩ пРи заданном ц € (0, р.") П (0,1], необходимо, чтобы условие ортогональности

+оо

У (Я*).*(0)я" ^ + (г. [*(* + 0) - х(г-0)})Яп = о

-ос

выполнялось для всякого решения £(•) б сопряженного

уравнения (16). Если оператор (¿2ц (9), действующий из пространства Ко,, в себя, является нормально разрешимым, то это условие является и достаточным.

Теоремы 3 и 4 уточнены для различных вариантов задания интервала Вц.

Применение аналогов теоремы Нётера ставит перед нами задачу поиска всех решений сопряжённого уравнения из соответствующего класса. Процесс поиска таких решений из класса Р^ , (К) для конкретного уравнения проиллюстрирован в следующей главе.

Глава 3 посвящена изучению вопроса разрешимости следующей начально-краевой задачи для линейного ФДУ точечного типа:

х(г) = а_1;г(г - 1) + ге[0;Г], (18)

¿(«) = ?(*), г е к \ [о,т], (19)

1(0) = X, X € К, (20)

где Т е N. Эта задача возникает в экономической теории как часть математической модели, описывающей динамику валютного курса. Изучение существования решения основано на применении теоремы 4. Для этого сформулирован алгоритм построения нетривиальных решений сопряжённого уравнения из класса Р0У"^,(К). Оказалось, что возможность такого построения определяется вырожденностью (в смысле наличия нетривиальных решений) системы Т + 2 однородных линейных алгебраических уравнений, записанной относительно Т + 2 произвольных постоянных интегрирования. Эта система порождается условиями склейки решения краевой задачи для системы ОДУ, эквивалентной сопряжённому уравнению. Показано, что для такого уравнения наличие нетривиальных решений является нетипичным. Построен пример поверхности, на которой происходит одномерное вырождение пространства решений сопряжённого

уравнения. Для содержательной исходной задачи вопрос существования решения крайне важен, т.к. отсутствие решений может означать, в частности, несостоятельность математической модели.

Кроме того, изучен вопрос существования ветвящихся решений самой модельной начально-краевой задачи для ФДУ точечного типа. Для этого исследуются нетривиальные решения хо{£) ф 0 начально-краевой задачи для однородного ФДУ точечного типа с однородными начально-краевыми условиями:

Если xH{t) - решение задачи (18)—(20), то x(t) = Xfi(t) + xo(t) также является решением задачи (18)—(20) в силу её линейности. В связи с этим разработан алгоритм построения нетривиальных решений однородной задачи с однородными начально-краевыми условиями (21)—(23). Этот алгоритм опирается на свойство непрерывной склейки решения краевой задачи для системы ОДУ, эквивалентной однородному ФДУ (21). Показано, что существование нетривиальных решений задачи (21)—(23) является нетипичным. Этот вопрос также имеет большое значение в приложении, поскольку ветвление решений можно трактовать как признак неопределённости на рынке капитала.

III. Основные выводы по результатам исследования

По выполненной работе можно сделать следующие выводы:

1. При исследовании задачи Коши для линейного однородного ФДУ точечного типа, в случае скалярного уравнения, заданного на прямой, оказалось возможным полностью описать структуру спектра линейного оператора в пространстве бесконечных последовательностей, каноническим образом порождённого исходным ФДУ. Благодаря этому были получены достаточные условия существования и единственности (в заданном классе функций) решения задачи Коши, которые формулируются в терминах правой части уравнения. К сожалению, в случае

i(£) = fi_ix(i — 1) + a0x(t) + a\x(t + 1), t £ [0,Tj ±(i)=0, £eR\[0,T], s(0) = 0.

(21) (22) (23)

многомерного ФДУ, а также в случае ФДУ, заданного на конечном интервале или полупрямой, изучение спектральных свойств оператора на данном этапе не представляется возможным. Поэтому далее был применён более универсальный подход к доказательству существования решения линейной задачи.

2. Были получены необходимые условия существования решений краевой и основной начально-краевой задач для линейного ФДУ точечного типа, сформулированные в виде аналогов теоремы Нётера. Для этого было формализовано понятие сопряжённого уравнения и исследована структура пространства его решений. Выяснилось, что при изучении краевой задачи достаточно рассмотреть решения сопряжённого уравнения из класса абсолютно непрерывных функций, а при изучении основной начально-краевой задачи необходимо рассматривать все решения сопряжённого уравнения из класса кусочно абсолютно непрерывных функций с единственным разрывом первого рода в начальной точке (импульсные решения). В свою очередь, поиск решений сопряжённого уравнения представляет собой отдельную задачу, решение которой для одного модельного ФДУ приведено в главе 3. Теоремы существования решений уточнены для различных интервалов времени, на которых задано уравнение.

3. С помощью полученных результатов была исследована математическая модель экономической теории, которая описывает динамику валютного курса. Вопрос существования решения соответствующей начально-краевой задачи изучался на основе аналога теоремы Нётера. Для этого был разработан алгоритм поиска разрывного и быстро убывающего решения сопряжённого уравнения. Установлено, что в данной задаче наличие нетривиальных решений нетипично для сопряжённого уравнения. Также был разработан алгоритм получения ветвящегося решения исходной начально-краевой задачи.

IV. Основные публикации по теме диссертации

[1| Бекларян Л.А., Крученов М.Б. К линейной теории функционально-дифференциальных уравнений точечного типа // Современные методы теории краевых задач: материалы конференции "Понтрягинские чтения-Х1Х". - Воронеж: ВГУ, 2008. - 0,2 п.л. /0,1 п.л.5

[2] Домашенко Г.Д., Крученов М.Б. и др. Оптоэлектронная система для измерения импульсных электромагнитных полей, наведённых токов и напряжений // К 85-летию Всероссийского электротехнического института: сборник научных трудов / Под ред. Ковалева В.Д. — М.: ВЭИ, 2006. - 0,5 п.л. /0,1 п.л.

[3] Крученов М.Б. О разрешимости линейного однородного функционально-дифференциального уравнения точечного типа // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. - Воронеж: ВГУ, 2007.-0,1 п.л.

[4] Крученов М.Б. Разрешимость функционально-дифференциальных уравнений точечного типа // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: КГУ, 2008, т.37. — 0,2 п.л.

В том числе публикации в изданиях, рекомендованных ВАК:

[5] Бекларян Л.А., Крученов М.Б. О разрешимости линейного однородного функционально-дифференциального уравнения точечного типа // Дифференциальные уравнения. — 2008, т.44, №4. — 0,8 п.л. / 0,4 п.л.

[6] Бекларян Л.А., Крученов М.Б. Модель оценки эффективности жилищного строительства // Аудит и финансовый анализ. — 2003, №4. — 1,0 п.л. / 0,5 п.л.

[7] Крученов М.Б. К вопросу исследования динамики валютного курса // Труды Института системного анализа РАН. — М.: ИСА РАН, 2008, т. 32.1 .-0,5 п.л.

[8] Крученов М.Б. Об аналогах теорем Нётера для линейных функционально-дифференциальных уравнений // Труды Института системного анализа РАН. - М.: ИСА РАН, 2008, т. 32.1. - 0,5 п.л.

5Курсивом отмечен личный вклад автора.

Крученов Михаил Борисович

РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНЫХ И КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Специальность 01.01.09 — Дискретная математика и математическая кибернетика Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Отпечатано в типографии АОЗТ - фирма "Русские". 143500, Московская обл., г. Истра, ул. Адасько, д. 2, тел. 8 (49631) 5-00-76, e-mail: print@istranet.ru. Печ. л. 1,0. Зак. № 396-08. Тир. 100 экз.

Введение

Глава 1. Задача Коши для линейного однородного функционально-дифференциального уравнения точечного типа

1.1 Постановка задачи.

1.2 Основные пространства и операторы.

1.3 Эквивалентная бесконечномерная краевая задача.

1.4 Спектральные аспекты

1.5 Теорема существования решения: скалярный случай.

1.6 Теорема единственности решения: скалярный случай

1.7 О разрешимости в случае многомерного фазового пространства

Глава 2. Краевая и начально-краевая задачи для неоднородного функционально-дифференциального уравнения точечного типа

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Теорема существования решения для краевой задачи Л

2.3 Теорема существования решения для основной начально-краевой задачи В.

Глава 3. Об одной математической модели

3.1 Постановка задачи.

3.2 Существование решения изучаемой начально-краевой задачи

3.3 Существование решения однородной задачи.

Актуальность темы исследования и степень научной разработанности проблемы. Среди функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) выделяют уравнения точечного типа, которые иногда называют уравнениями с отклонениями аргумента, причём наиболее исследованными из их числа являются уравнения с запаздыванием. Первое упоминание о таких уравнениях относится к XVIII веку, и в дальнейшем они привлекали внимание многих учёных. При решении некоторых задач механики возникла необходимость учитывать тот факт, что на состояние физической системы в настоящем оказывает влияние её состояние в прошлом. В связи с этим следует отметить выдвинутую Больцманом теорию упругого последействия, которая оказала влияние на результаты Вольтерра при создании им теории биологических флуктуаций [23]. Идеи наличия последействия получили развитие при исследовании явления вязкоупругости и при разработке теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. В начале XX века в ходе решения задач автоматического управления системами, имеющими механизм обратной связи, пришлось учитывать запаздывание управления как неотъемлемое свойство таких систем.

К настоящему времени уравнения с отклонением аргумента и другие представители класса ФДУ имеют приложения во многих областях науки и техники в качестве математических моделей реальных процессов. Тесная связь уравнений с отклонением аргумента и уравнений в частных производных нашла своё отражение в механике сплошных сред. В частности, в теории пластической деформации изучается бесконечномерная динамическая система с потенциалом Френкеля - Конторовой [50], которая описывается уравнением

-Ш = ф(у{) + yi+i ~ 2yi + 2/i-i, г 6 Z, где потенциал ф(-) задаётся гладкой периодической функцией. Такие системы моделируют поведение счётного числа шаров массы т, помещённых в целочисленных точках числовой прямой, где каждая пара соседних шаров соединена между собой упругой пружиной. Центральной задачей в этом случае является изучение решений типа бегущей волны, как одного из наблюдаемых классов волн.

Вообще говоря, задачи распространения сигналов с конечной скоростью - это важный класс задач, для которых уравнения с отклонением аргумента можно использовать в качестве математических моделей. К этому классу относится задача распространения электромагнитной волны в направляющей структуре (передающей линии без потерь), где уравнения с запаздыванием выступают в качестве аналога уравнений в частных производных (телеграфных уравнений [59, 64]). Подобным образом можно описывать работу шунтированных передающих линий и многих других систем, в которых протекают волновые процессы.

В настоящей работе значительное внимание будет уделено исследованию ФДУ точечного типа

N г=1 которое возникает в математической модели циркуляции жидкости с маркерами в резервуаре, питающем большое число тонких трубок [57]. Эта модель находит применение при решении задачи распределения меченого альбумина в человеческом теле в процессе кровообращения.

В теории ФДУ точечного типа огромное значение имеют вопросы существования и единственности решений краевых и начально-краевых задач для таких уравнений. Потребность изучения указанных свойств решений мотивируется многочисленными приложениями (например, задачами оптимального управления системами с дифференциальными связями в виде ФДУ [3, 6], задачами экономической теории, социологии, биологии).

Системное исследование уравнений с отклонением аргумента в нашей стране в конце 40-х годов XX века начал А.Д. Мышкис, в США - Р. Бел-лман. На данный момент существует огромное число работ, посвящённых этой проблематике. Достаточно сказать, что библиографический список в монографии [56] (доведённый до 1971 года и, по заявлению авторов, не претендующий на полноту) содержит сведения о работах почти двухсот исследователей.

Теорию ФДУ точечного типа можно условно разделить на две части: наивную и современную. Наивная теория включает в себя метод интегрирования по шагам, метод интегральных преобразований (в частности - преобразования Лапласа) и т.д. Развёрнутое изложение данной теории содержит монография [56]. Определяющим при данном подходе является то обстоятельство, что за фазовое пространство традиционно принимается п-мерное пространство. Для таких уравнений интегральные линии в расширенном фазовом пространстве Ж х Rn могут пересекаться и, соответственно, преобразования расширенного фазового пространства ]R х Жп в силу уравнения не образуют процесса, а в автономном случае не являются динамической системой [34, 38, 39, 40, 42, 56].

В основе одного из важнейших современных подходов, предложенного Н.Н. Красовским, лежит трактовка решения ФДУ как интегральной линии в расширенном бесконечномерном фазовом пространстве 1 х С [34]. Движение в фазовом пространстве С непрерывных функций в каждый момент времени t задается куском траектории xt = {x(t + s) : —г < s < 0}, где х(-) - интегральная линия в стандартном конечномерном расширенном фазовом пространстве М. х Мп. На этом пути получены теоремы существования и единственности решения для начальной задачи. Изучались свойства как классических [22, 25, 26, 27, 28, 37, 38, 40, 53], так и обобщенных решений [27, 44, 54, 55]. Исследованы стационарные, периодические и ограниченные решения, описана структура пространства решений линейных уравнений, создана теория устойчивости, изучена асимптотика решений и т.д. [22, 29, 39, 53]. В основе всех отмеченных исследований лежит изучение в пространстве С свойств оператора сдвига вдоль решений таких уравнений [33, 34, 41, 46, 47, 48]. Этапной работой, в которой теория ФДУ точечного типа систематически изложена с такой позиции, является монография [53]. Все результаты, полученные на этом пути, касаются кусков xt £ С интегральной линии х(-). Вместе с тем, при таком подходе нет описания области достижимости в Еп при управлении краевыми условиями (начальными функциями), степени вырождения пространства решений, степени гладкости решений и т.д. Более того, указанный подход не применим к ФДУ точечного типа общего вида, которые, в частности, возникают как уравнения Эйлера - Лагранжа для задачи классического вариационного исчисления.

Следует отметить идею трактовки ФДУ как операторного уравнения относительно неизвестной абсолютно непрерывной функции. Эта идея развита в теории абстрактных ФДУ, сводящихся к операторным уравнениям в специально выбранном банаховом пространстве, причём структура этого пространства является определяющим фактором при исследовании той или иной конкретной задачи [1].

Ряд исследований различных классов ФДУ и дифференциально-разностных уравнений выявил, что свойства решений таких классов уравнений оказываются тесно связанными как со структурой группы, порождённой функциями отклонений аргумента, так и с топологической структурой орбиты такой группы [6, 7, 8, 9, 33, 34, 32, 41, 44, 46, 47, 48]. Как оказалось, использование отмеченных связей является ключом к исследованию ФДУ точечного типа и дифференциально-разностных уравнений.

Подход, основанный на групповых особенностях функционально-дифференциальных уравнений точечного типа, был разработан и систематически развит в работах JI.A. Бекларяна. Представленная работа также основана на использовании упомянутых групповых особенностей ФДУ точечного типа.

Суть группового подхода в следующем. Если qj, j = 1,. ,s - гомеоморфизмы, задающие функции отклонения аргумента, то через Q =< qj, j = l,.,s > будем обозначать группу, порождённую этими гомеоморфизмами (операцией в группе служит суперпозиция двух гомеоморфизмов). Если ж(-) - интегральная линия, то бесконечномерная вектор-функция ?c(t) = {xq(t)}qeQ, xq(t) — x(q(t)) в некотором подходящем пространстве бесконечных последовательностей удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ), каноническим образом порождённому исходным ФДУ. Для развития такого подхода J1.A. Бекларя-ном была исследована группа Q =< qj, j = l,.,s >, её метрические инварианты, а также топологические и комбинаторные характеристики [10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 58]. В частности, это позволило получить классификацию ФДУ точечного типа по степени сложности функций отклонения аргумента [20, 58]. При таком подходе к изучению ФДУ точечного типа основное внимание уделяется исследованию свойств вектор-функций >c{t) = {xq(t)}qEQ, xq(t) = x(q(t)), построенных по интегральным линиям х(-), относительно группы сдвигов в пространстве бесконечных последовательностей. Полученные свойства оказались весьма информативными для таких уравнений, и в рамках группового подхода удалось ответить на многие важные вопросы. Описаны препятствия, в силу которых решения ФДУ точечного типа не наследуют всех замечательных свойств решений ОДУ. Важнейшим из таких препятствий является отсутствие условий типа неравенства Гронуолла [52, с.37]. Для уравнений, определённых на конечном интервале, полупрямой или прямой, были получены неулучшаемые (что очень важно) условия, определяющие подклассы класса ФДУ точечного типа, для которых сохраняются те или иные замечательные свойства решений ОДУ, а именно: существование и единственность решения краевой задачи в выделенном классе функций, непрерывная зависимость решения от краевых и начальных условий, свойство "грубости" ФДУ точечного типа в краевой задаче, точечная полнота решений ФДУ точечного типа при заданных краевых условиях, n-параметричность пространства решений ФДУ точечного типа при заданных краевых условиях, условия гладкости решения ФДУ точечного типа и т.д. Теория ФДУ точечного типа, детально разработанная в рамках группового подхода, изложена в монографии [5]. Крайне важно, что такой метод исследования основан на специфике структуры ФДУ точечного типа.

Условия, определяющие способы регулярного расширения класса ОДУ в классе ФДУ точечного типа, формулируются в терминах правой части ФДУ и параметра fi (см. [5, глава 1, § 3]), характеризующего порядок роста решения. В рамках применяемого формализма решения ФДУ точечного типа ищутся в банаховом пространстве функций х(-) с весами х(-) : х (•) е С{к) (R,Rn), max sup ||ar<r>(*)//!||а» < +oo L

I 0<r<k teR J где /2 e (0, +oo), с нормой х(-)\№ = max sup||^(t)^l||Kn.

0<r<k

Вместе с тем очень важны исследования ФДУ точечного типа и в случае нарушения отмеченных неулучшаемых условий, причём одним из центральных вопросов является вопрос существования решения. Многие задачи являются линейными или допускают линеаризацию базовых уравнений, поэтому целесообразно применить групповой подход к исследованию вопросов разрешимости начально-краевых задач для линейных ФДУ точечного типа, воспользовавшись при этом линейностью соответствующих операторов. JI.A. Бекларяну в рамках данного подхода удалось получить ряд результатов линейной теории (теорема о гладкости решения, однозначная разрешимость задачи с однородными краевыми условиями, типичность невырожденных линейных ФДУ точечного типа и др.), и настоящая работа систематически расширяет и дополняет эти результаты.

Объект и предмет исследования. В качестве объекта исследования рассматривается основная начально-краевая задача для линейного ФДУ точечного типа s x(t) = ^Ajx{t + Uj) + ip(t), t G BR: (0.1)

3=1 с краевым и начальным условиями x(t) = ip(t), teU\BR, (0.2) x(t)=x, teR, x G Mn, • (0.3) где Aj - матрицы n x n, щ G Z, j = l,s; ?/>(•) € jCJ.C^(M), <£>(•) G DSi^PC^W» M* e (0, -1-00)5 Вд - либо интервал [mo, mi], m0, mi G Z, либо полупрямая [mo,+oo), либо прямая E. Отклонения аргумента rij имеют произвольные знаки. Не нарушая общности, можно считать, что

77-1 < • • ■ < ns.

Упрощающее условие о непрерывности функций ф(-) и </?(•) носит чисто технический характер, хотя мы могли бы рассматривать функции ф(-) и </?(•) из класса существенно ограниченных функций. В случае произвольных границ области определения уравнения и произвольных фиксированных начальных моментов t с помощью замены времени [5, глава 3, лемма 2.1] их можно сделать целочисленными. Правда, в этом случае само дифференциальное уравнение перестанет быть уравнением с постоянными коэффициентами.

Определение 0.1. Абсолютно непрерывная функция х{-), определённая на М, называется решением уравнения (0.1), если при почти всех f G I функция х(-) удовлетворяет этому уравнению. Если при этом х(-) Е С^ (R, Ж7г)} к = 0,1,2,., то такое решение называется решением класса

Предметом исследования являются свойства решений задачи (0.1)—(0.3) в сравнении со свойствами решений задач для ОДУ. Существует огромное количество работ, посвящённых подобным задачам, но в большинстве этих работ изучаются уравнения с отклонениями аргумента одного знака (как правило, rij < 0, j = 1, s - уравнения с запаздываниями) и с начально-краевым условием, в котором t = то. Для такой начально-краевой задачи решение всегда существует, оно является единственным, и основное русло исследований - это изучение интегральных представлений решения [60].

Если отклонения аргумента имеют произвольные знаки, либо t ф то, то краевая задача (0.1)-(0.2) и основная начально-краевая задача (0.1)—(0.3) являются задачами с нелокальными краевыми и начальными условиями, вследствие чего они могут не иметь решения. Поэтому для таких задач важно сформулировать теоремы существования решения.

Цель и задачи исследования. Основная цель исследования заключается в систематическом развитии линейной теории ФДУ точечного типа. Почти всё внимание в ходе исследования будет уделено важнейшей проблеме этой теории: качественным свойствам решений соответствующих начальных и краевых задач (существованию и единственности решения среди функций с заданной гладкостью и порядком роста). Следует получить условия разрешимости в случае отсутствия условий типа неравенства Гронуолла.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Изучение спектральных свойств оператора в пространстве бесконечных последовательностей, каноническим образом порождённого правой частью линейного ФДУ точечного типа. Получение на основе этих свойств достаточных условий существования и единственности (в заданном классе функций) задачи Коши для линейного однородного ФДУ точечного типа, заданного на прямой.

2. Формализация понятия сопряжённого уравнения. Изучение зависимости структуры пространства решений сопряжённого уравнения от постановки исходной задачи. Формулировка аналогов теоремы Ф. Нётера о существовании решения для краевой задачи (0.1)—(0.2) и основной начально-краевой задачи (0.1)—(0.3). Уточнение полученных результатов для различных вариантов задания интервала Br.

3. Исследование одной начально-краевой задачи для линейного ФДУ точечного типа, возникшей в экономическом приложении. Получение условий существования решения этой задачи путём применения аналога теоремы Нётера, с разработкой алгоритма получения нетривиальных решений сопряжённого уравнения. Исследование единственности решения начально-краевой задачи для линейного ФДУ точечного типа, с разработкой алгоритма получения ветвящихся решений данной задачи. Проведение численных экспериментов.

Методы исследования. Исследование базируется на формализме, основанном на групповых свойствах ФДУ точечного типа [5]. Широко используются методы теории линейных операторов и функционального анализа в целом [2, 24, 30, 45, 49]. Кроме того, в возникающих задачах линейной алгебры применяются численные методы исследования [4, 35, 43].

Содержание работы. Глава 1 посвящена исследованию существования решения начально-краевой задачи для линейного однородного ФДУ точечного типа, заданного на прямой. Очевидно, что такая задача переходит в задачу Коши.

Согласно формализму, правая часть уравнения (0.1) порождает оператор в пространстве бесконечных последовательностей, относящийся к классу так называемых тёплицевых операторов [51, с. 139]. В случае скалярного ФДУ, благодаря линейности этого оператора, с помощью теоремы об отображении спектров удаётся описать его спектральные свойства. Для скалярных ФДУ в данной работе получено более мягкое, чем известная до сих пор теорема 1.1, достаточное условие существования решения задачи Копта, которое связывает порядок роста этого решения с параметрами правой части уравнения. Также в терминах правой части сформулировано достаточное условие единственности решения задачи Коши в заданном классе функций.

Вообще говоря, задачи для однородного уравнения интересны в связи с исходной задачей (0.1)-(0.3). Рассмотрим, к примеру, начально-краевую задачу для однородного уравнения с однородными краевым и начальным условиями s x(t) = ^Ajxit + rij), t £ BR, (0.4)

3=1 x(t) = 0, teR\BR, (0.5) x(t) = 0, teR. (0.6)

В отличие от задачи для ОДУ, данная задача может иметь нетривиальное решение xo(t) Ф 0. Если xu{t) ~ решение задачи (0.1)—(0.3), то для любого xo{t) функция x(t) = xji(t)-\-xo(t) также является решением задачи (0.1)-(0.3) в силу её линейности.

Если уравнение (0.1) является многомерным, а также в том случае, когда Br является конечным интервалом или полупрямой, изучение спектральных свойств тёплицева оператора становится плохо обозримой задачей. Поэтому следует применить иной подход к доказательству существования решения линейной задачи, для чего в следующей главе установлены аналоги теоремы Ф. Нётера.

В главе 2 получены необходимые условия существования решений краевой задачи (0.1)—(0.2) и основной начально-краевой задачи (0.1)-(0.3) для линейного ФДУ точечного типа. Для линейного неоднородного уравнения (2.5) в пространстве бесконечных последовательностей эти условия являются аналогами теоремы Нётера и формулируются в терминах решений сопряжённого уравнения. Такой подход привлекает основное внимание к сопряжённому уравнению и пространству его решений, что исследуется в рамках используемого формализма.

Показано, что при изучении краевой задачи (0.1)—(0.2) достаточно рассмотреть решения сопряжённого уравнения из класса абсолютно непрерывных функций. Однако при изучении основной начально-краевой задачи (0.1)—(0.3) приходится изучать все решения сопряжённого уравнения из класса кусочно абсолютно непрерывных функций (так называемые импульсные решения) с единственным разрывом первого рода в начальной точке t.

Глава 3 посвящена изучению вопроса разрешимости одной начально-краевой задачи для линейного ФДУ точечного типа. Эта задача имеет вид (0.1)-(0.3) и возникает в экономической теории как часть математической модели, описывающей динамику валютного курса. Изучение существования решения основано на применении аналога теоремы Нётера, полученного в главе 2. Для этого построен алгоритм поиска нетривиальных решений сопряжённого уравнения. Показано, что для такого уравнения наличие нетривиальных решений является нетипичным. Приводится пример поверхности, на которой происходит одномерное вырождение пространства решений сопряжённого уравнения. Для содержательной исходной задачи вопрос существования решения крайне важен, т.к. отсутствие решений может означать, в частности, несостоятельность математической модели.

Кроме того, построен алгоритм поиска ветвящихся решений самой модельной начально-краевой задачи для ФДУ точечного типа. Этот вопрос также имеет большое значение в приложении, поскольку ветвление решений можно трактовать как признак неопределённости на рынке капитала.

Научная новизна результатов. Установлены более мягкие, чем было известно ранее, достаточные условия существования (теорема 1.4) и единственности (теорема 1.5) решения (в заданном классе функций) соответствующей задачи Коши. Отмеченные условия формулируются в виде неравенств, которые связывают параметры правой части уравнения с порядком роста решения. Аналоги теоремы Нётера о существовании решения для данного класса краевых, а также начально-краевых задач получены впервые. Также впервые для таких постановок краевых и начально-краевых задач описана структура решений сопряжённого уравнения. Установлено, что при изучении краевой задачи (0.1)—(0.2) достаточно рассмотреть решения сопряжённого уравнения из класса абсолютно непрерывных функций (теорема 2.2), а при изучении основной начально-краевой задачи (0.1)—(0.3) необходимо рассматривать все решения сопряжённого уравнения из класса кусочно абсолютно непрерывных функций с единственным разрывом первого рода в начальной точке t (теорема 2.5). Алгоритм поиска разрывного и быстро убывающего решения сопряжённого уравнения (для задачи, описывающей динамику валютного курса) является новым, т.к. данный алгоритм основан на свойствах впервые изучаемого класса решений. Установлено, что наличие нетривиальных решений нетипично для сопряжённого уравнения.

Результаты глав 2 и 3 получены автором лично, а результаты главы 1 получены в соавторстве с JI.A. Бекларяном. Полученные результаты вошли в отчёты по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 03—01—00174-а, 06-01-00430 и 06-01-00430-а), а также в отчёт по гранту Программы поддержки ведущих научных школ (грант НШ-3038.2008.1).

Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты систематически дополняют линейную теорию ФДУ точечного типа. Эти результаты могут найти применение при исследовании свойств устойчивости, бифуркации решений и в других разделах теории ФДУ. Наличие условий существования и единственности решения с заданным порядком роста имеет особое значение для обеспечения процесса сходимости при численном решении начально-краевых задач.

Результаты работы представляют ценность для различных прикладных областей, таких как популяционная динамика, теория длинных линий, а также для математического моделирования производственных процессов.

Положения, выдвигаемые на защиту:

1. Структура спектра оператора в пространстве бесконечных последовательностей, каноническим образом порождённого скалярным линейным однородным ФДУ точечного типа. Достаточные условия существования и единственности (в заданном классе функций) решения задачи Коши для такого ФДУ, заданного на прямой.

2. Сопряжённое уравнение и структура пространства его решений. Необходимые условия существования решений краевой и основной начально-краевой задач для линейного ФДУ точечного типа, сформулированные в виде аналогов теоремы Нётера. Уточняющие теоремы существования решений для Br = [mo, mi] и Br = Е.

3. В математической модели, описывающей динамику валютного курса: алгоритм получения нетривиального решения сопряжённого уравнения и алгоритм получения ветвящегося решения исходной начально-краевой задачи.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации были доложены на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в 2007 г., на конференции "Современные методы теории краевых задач" ("Понтрягинские чтения - XIX", г. Воронеж) в 2008 г., на 31-й международной конференции "Системное моделирование социально-экономических процессов" им. акад. С.С. Шаталина, г. Воронеж, 2008 г., на 7-й конференции "Лобачевские чтения", г. Казань, 2008 г. и на заседании лаборатории экспериментальной экономики Центрального экономико-математического института РАН.

Основные публикации. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ [61]-[68] (в том числе 3 основные работы) общим объёмом 3,8 п.л., из них личный вклад автора 2,4 п.л.; 4 работы опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Заключение

В данной работе изучалась разрешимость начальных и краевых задач для линейных ФДУ точечного типа, при отсутствии условий типа неравенства Гронуолла. Исследование проводилось в рамках формализма, основанного на групповых свойствах таких уравнений. Как и ожидалось, подобный подход оказался продуктивным при изучении свойств решений соответствующих начальных, краевых и начально-краевых задач. Для данных классов задач в работе получены условия существования решений. Очень важно, что при этом класс допустимых решений ограничен теми решениями, которые наследуют хорошие свойства решений ОДУ. Более точно, решения задач для ФДУ рассматривались как элементы банахова пространства функций с заданной гладкостью и порядком роста (не быстрее экспоненциального).

По выполненной работе можно сделать следующие выводы:

1. При исследовании задачи Коши для линейного однородного ФДУ точечного типа, в случае скалярного уравнения, заданного на прямой, оказалось возможным полностью описать структуру спектра линейного оператора в пространстве бесконечных последовательностей, каноническим образом порождённого исходным ФДУ. Благодаря этому были получены достаточные условия существования и единственности (в заданном классе функций) решения задачи Коши, которые формулируются в терминах правой части уравнения. К сожалению, в случае многомерного ФДУ, а также в случае ФДУ, заданного на конечном интервале или полупрямой, изучение спектральных свойств оператора на данном этапе не представляется возможным. Поэтому далее был применён более универсальный подход к доказательству существования решения линейной задачи.

2. Были получены необходимые условия существования решений краевой и основной начально-краевой задач для линейного ФДУ точечного типа, сформулированные в виде аналогов теоремы Нётера. Для этого было формализовано понятие сопряжённого уравнения и исследована структура пространства его решений. Выяснилось, что при изучении краевой задачи достаточно рассмотреть решения сопряжённого уравнения из класса абсолютно непрерывных функций, а при изучении основной начально-краевой задачи необходимо рассматривать все решения сопряжённого уравнения из класса кусочно абсолютно непрерывных функций с единственным разрывом первого рода в начальной точке (импульсные решения). В свою очередь, поиск решений сопряжённого уравнения представляет собой отдельную задачу, решение которой для одного модельного ФДУ приведено в главе 3. Теоремы существования решений уточнены для различных интервалов времени, на которых задано уравнение.

3. С помощью полученных результатов была исследована математическая модель экономической теории, которая описывает динамику валютного курса. Вопрос существования решения соответствующей начально-краевой задачи изучался на основе аналога теоремы Нётера. Для этого был разработан алгоритм поиска разрывного и быстро убывающего решения сопряжённого уравнения. Установлено, что в данной задаче наличие нетривиальных решений нетипично для сопряжённого уравнения. Также был разработан алгоритм получения ветвящегося решения исходной начально-краевой задачи.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 384 с.

2. Антоневич А.В., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Минск: БГУ, 2006. - 430 с.

3. Арутюнов А.В. Принцип максимума и необходимые условия второго порядка в задаче оптимального управления при наличии запаздывания // Сообщ. АН ГССР. 1986, т.122, №2, с.265-268.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 632 с.

5. Бекларян Л.А. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. Групповой подход. М.: Факториал Пресс, 2007. - 288 с.

6. Бекларян Л.А. Задача оптимального управления для систем с отклоняющимся аргументом и ее связь с конечно-порожденной группой гомеоморфизмов К, порожденной функциями отклонения аргумента // Доклады АН СССР. 1991, т.317, №6, с.1289-1294.

7. Бекларян Л.А. Краевая задача для дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Доклады АН СССР. 1986, т.291, №1, с. 19-22.

8. Бекларян Л.А. О приводимости дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом к уравнению с постоянными соизмеримыми отклонениями // Матем. заметки. 1988, т.44, №5, с.561-566.

9. Бекларян Л.А. Дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом как бесконечномерная динамическая система // Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ АН СССР, 1989, с.18.

10. Бекларян JI.А. Об одном методе регуляризации краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Доклады АН СССР. 1991, т.317, №5, с.1033-1037.

11. Бекларян JI.A. Структура фактор-группы группы гомеоморфизмов R, сохраняющих ориентацию, по подгруппе, порожденной объединением стабилизаторов // Доклады РАН. 1993, т.331, №2, с.137-139.

12. Бекларян JI.A. Инвариантные и проективно-инвариантные меры для групп гомеоморфизмов R, сохраняющих ориентацию // Доклады РАН.- 1993, т.332, №6, с.679-681.

13. Бекларян J1.A. К теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи матем. наук. 1994, т.49, №6, с.193-194.

14. Бекларян JI.A., Шмульян М.Г. О полноте решений дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом, мажорируемых экспоненциальными функциями // Доклады РАН. 1995, т.341, №6.

15. Бекларян JI.A. К вопросу о классификации групп гомеоморфизмов R, сохраняющих ориентацию. I. Инвариантные меры // Матем. сборник.- 1996, т. 187, №3, с.23-54.

16. Бекларян JI.A. Критерий существования проективно-инвариантной меры для групп гомеоморфизмов R, сохраняющих ориентацию, связанный со структурой множества неподвижных точек // Матем. заметки. 1996, т.51, №3, с.179-180.

17. Бекларян JI.A. К вопросу о классификации групп гомеоморфизмов R, сохраняющих ориентацию. II. Проективно-инвариантные меры // Матем. сборник. 1996, т.187, №4, с.3-28.

18. Бекларян JI.А. Особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Введение в линейную теорию // Матем. заметки. 1998, т.63, т.

19. Бекларян JI.A. К вопросу о классификации групп гомеоморфизмов М, сохраняющих ориентацию. III. иьпроективно-инвариантные меры // Матем. сборник. 1999, т. 190, №4. с.43-62.

20. Бекларян JI.A. Групповые особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и связанные с ними метрические инварианты // Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1999, т.67, с.161-182.

21. Бекларян JI.A., Трейвиш М.И. Факторинговые операции. Методы анализа эффективности и надежности / Препринт #WP/96/003 М.: ЦЭМИ РАН, 1996. - 51 с.

22. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

23. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. - 286 с.

24. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. - 896 с.

25. Каменский Г.А., Мышкис А.Д. К постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и несколькими старшими членами // Дифференц. уравнения. 1974, т.10, №3, с.409-418.

26. Каменский Г. А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом // Доклады АН СССР. 1958, т.120, №4, с.697-700.

27. Каменский Г.А., Скубачевский A.J1. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: МАИ, 1990.

28. Каменский Г.А., Мышкис А.Д., Скубачевский A.J1. О гладких решениях краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа // Укр. мат. журнал. 1985, т.37, №5, с.581-585.

29. Каменский Г.А. Существование, единственность и непрерывная зависимость от начальных условий решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Ма-тем. сборник. 1961, т.55, №4, с.363-378.

30. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 744 с.

31. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

32. Карлович Ю.И. С-алгебра операторов типа свертки с дискретными группами сдвигов и осциллирующими коэффициентами // Доклады АН СССР. 1988, т.302, №3, с.535-540.

33. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. - 332 с.

34. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1972. -476 с.

35. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975. - 432 с.

36. Маркушевич А.И., Маркушевич JI.A. Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение, 1977. - 320 с.

37. Мокейчев B.C. Об интегрировании дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Изв. вузов. Матем. 1977, №10, с.109-121.

38. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 352 с.

39. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи мат. наук. 1977, т.32, №2, с.172-202.

40. Мышкис А.Д., Цалюк З.Б. О нелокальной продолжимости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Диф-ференц. уравнения. 1969, т.5, №6, с.1128-1130.

41. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980.

42. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. -М.: ИЛ, 1961. 248 с.

43. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Изд-во МАИ, 1998. - 188 с.

44. Россовский Л.Е., Скубачевский А.Л. Разрешимость и регулярность решений некоторых классов эллиптических функционально-дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники: Соврем, ма-тем. и её приложения. М.: ВИНИТИ, 1999, т.66, с. 114-192.

45. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. - 448 с.

46. Скубачевский А.Л. Гладкость обобщённых решений первой краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения // Матем. заметки. 1983, т.34, с.105-112.

47. Скубачевский А.Л. Нелокальные краевые задачи со сдвигом // Матем. заметки. 1985, т.38, с.587-598.

48. Скубачевский А.Л. Обобщенные и классические решения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений // Доклады РАН. -1994, т. 334, №4, с.433-436.

49. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 с.

50. Френкель Я.И., Конторова Т.А. О теории пластической деформации и двойственности // ЖЭТФ. 1938, т.8, с.89-97.

51. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970. -352 с.

52. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

53. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1984. 421 с.

54. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986.

55. Шарковский А.Н. О проблеме единственности решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Мат. физика. -1970, №8, с.167-172.

56. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. - 296 с.

57. Bailey H.R., Reeve Е.В. Mathematical models describing the distribution of /131-albumin in man // J. Lab. Clin. Med. 60(1962), p.923-943.

58. Beklaryan L.A. About Canonical Types of The Differential Equations With Deviating Argument // Functional Differential Equations, 2001, Vol.1, p.25-33.

59. Brayton R. Nonlinear oscillations in a distributed network // Quart. Appl. Math. 24(1976), p.289-301.

60. Hale J., Verduyn Lunel M. Introduction to Functional Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1993. - 464 p.

61. Бекларян JI.A., Крученов М.Б. О разрешимости линейного однородного функционально-дифференциального уравнения точечного типа // Дифференциальные уравнения. 2008, т.44, №4, с.435-445.

62. Бекларян JI.A., Крученов М.Б. К линейной теории функционально-дифференциальных уравнений точечного типа // Современные методы теории краевых задач: материалы конференции "Понтрягинские чтения-XIX". Воронеж: ВГУ, 2008, с.45-46.

63. Бекларян JI.A., Крученов М.Б. Модель оценки эффективности жилищного строительства // Аудит и финансовый анализ. 2003, №4, с.234-246.

64. Крученов М.Б. О разрешимости линейного однородного функционально-дифференциального уравнения точечного типа // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2007, с. 115-116.

65. Крученов М.Б. К вопросу исследования динамики валютного курса // Труды Института системного анализа РАН. М.: ИСА РАН, 2008. -т.32.1. - с.218-228.

66. Крученов М.Б. Об аналогах теорем Нётера для линейных функционально-дифференциальных уравнений // Труды Института системного анализа РАН. М.: ИСА РАН, 2008. - т.32.1. -с.74-81.

67. Крученов М.Б. Разрешимость функционально-дифференциальных уравнений точечного типа // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: КГУ, 2008. - т.37, с. 103-106.