Допустимые представления пар Гельфанда, связанных с бесконечой симметрической группой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Окуньков, Андрей Юрьевич АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
1995 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.01 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Допустимые представления пар Гельфанда, связанных с бесконечой симметрической группой»
 
Автореферат диссертации на тему "Допустимые представления пар Гельфанда, связанных с бесконечой симметрической группой"

Москож-кч^Т^)суда ргтвоииый Университет им. М. В. Ломоносова У Т1) Мехннпко-мато.матический факультет

I ч ^

»»и, имлни» ^"-^гт:::..

¿ДК 517.986.-t

ОКУНЬКОВ Андрей Юрьевич

Допустимые представления пар Гельфанда, связанных с бесконечной симметрической группой

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физпхо-мачематнческих наук

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Кириллов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Р. С. Исмагилов, доктор физико-математических наук, профессор Ю. А. Неретин.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Защита состоится ^ 1995 г. в 16 час. 05

мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ в Главном здании на 14 этаже.

Автореферат разослан_^^ ) 395 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.053.05.04 при МГУ, профессор Т. П. Лукашенко

циклов, равно произведению его значений на образах отдельных циклов.

Впоследствии А. \1\ Верпшк и С. В. Керов2 указали явную реализацию всех фактор-представлений, а также натлп новое доказательство результата Тома, опирающееся на псгдедшйнйе^атмптотического поведенияхарактеров группы-

при л Первоначальное доказательство Тома использовало глубо-

кую технику I сорцц целых фу акций. Центральную его часть заштало описание всех так называемых вполне положительных последовательностей (которое на самом деле было установлено ранее Д. Эдреи8). Напомним, что последовательность вещественных чисел (в,),г — 0,1,2,... называется вполне положительной, если все миноры бесконечной теплицевой матрицы

Га0 ах

I о

I

о

неотрицательны. Теорема А. Эдреи8 утверждает, что производящая функция любой вполне положительной последовательности имеет вид

5>< = е*т±М

для некоторых неотрицательных чисел a;,ßj,'>, таких, что

+ <ос.

Вполне положи1тельные последовательности и функции играют большую роль во многих вопросах анализа л теории вероятности. Они интенсивно изучались 11 Шенбергом'"', М. ! . Крейном и Ф. Р. Гаигмахером'0. Г Карликом1' и другими. Теория вполне положительных последовательностей п функций и теория представлений индуктивных пределов классических групп взамно обогащают друг ДР>1Л.

Как показано Г. И. Ольшанским, нее допустимые представления трех рассматриваемых пар Гельфаяда имеют тип I. Поэтому естественно встает вопрос об изучении неприводимых допустимых представлений.

Целью работы является описание всех неприводимых допустимых представлений трех родственных пар Гельфанда. связанных с бесконечной симметрической группой.

5 Ed тс t Л. On the generating function of totally positive sequences I!.. J. Analyse Math.. 2,

104-109 (1952).

*Schoenberg I. Selected Papers, Vol. 1-2. Birkhäuser, Boston, Basel (1988).

10 Гантмахер <f>. P., Крейн M. Г. Осцидлявдонкые матрицы и ядра и малые колебания механических систем, М.-Л. (1950).

11 Karlin S. Total positivity and applications, Stanford University Press (1968).

аз

ttfj ill О ao

Методы исследования. Кроме общих методов функционального анализа и теории представлении, в диссертации используются методы, специфичные для теории представлений индуктивных пределов классических групп. Явная конструкция представлений осуществляется с помощью введенной в работе операции смешивания представлений. Эта операция для рассматриваемого класса групп заменяет операцию индуцирования представлений. При доказательстве полноты предъявленного списка неприводимых допустимых представлений основным техническим средством являются введенные Г. И. Ольшанским полугруппы двойных классов.

Научная новизна.

1. Получена полная классификация неприводимых допустимых представлений для трех рассматриваемых в работе пар Гельфанда. Это первый пример полного описания всех неприводимых унитарных представлений в случае, когда неприводимые представления зависят от бесконечного числа непрерывных параметров.

2. Для всех неприводимых допустимых представлений указана их явная конструкция.

Апробация работы. Результаты работы докладывались в МГУ на семинаре А. А. Кириллова и Г. И. Ольшанского по теории представлений, семинаре И. М. Гельфанда, А. А. Кириллова и А. Н. Рудакова по фукциональному анализу, на семинаре Э. Б. Винберга и А. Л. Онищика по теории групп Ли и теории инвариантов; на семинаре А. М. Верпшка в ПОМИ РАН, на семинаре Р. Л. Добрупшна в ИППИ РАН.

Теоретическая в практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть полезны всем специалистам в теории представлений.

Важно отметить, что из полученных в работе результатов вытекает, в частности, новое и, вероятно, самое простое из известных доказательство теоремы Эдреи о вполне положительных последовательностях. Поэтому результаты работы могут быть также полезны специалистам в теории вполне положительных последовательностей и функций.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Работа содержит 57 страниц, снабжена оглавлением и списком литературы из 56 работ.

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы две работы, их список приведен в конце автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В введении излагается формулировка задачи, ее история п формулируются полученные результаты.

Первая глава посвящена полугрупповому методу. Этот метод исследования представлений индуктивпых пределов был предложен Г. И. Ольшанским'-12. Его идея состоит в том, что, кроме самой группы С?, во всяком допустимом представлении тг пары (С, К) естественно действует некоторая полугруппа Г, содержащая группу С. При этом образ группы и образ полугруппы Г порождают одну и ту же алгебру фон Неймана. Элементы, которые до-

баЕ.ХТЮТГ- 13 1'- 1--------- Г —.......... /" .. Г. ». ..и.. I. ¿4 ■ I«11М/Л

!т;,т:.!!1 СООТНОШЕНИЯМ!? ** гч.типлтлтгп ттоттегчпыми при игг лг ппья-

ниц допустимых представлений. Например, в полутруппе Г, свяэаппой с парой 3 (оо) х Б (оо) О diag 5 (оо), содержатся элементы Л;, ¿ = 1,2,..., такие что

7г(л,) = 11Ш7г(((г'п), е)), п -4 +оо

для любого допустимого представления тт. Здесь (гп) обозначает траспозицпю г и га, е есть единичная перестановка, а предел понимается в смысле слабой операторной топологии. Элементы А, коммутируют друг с другом при различных

» и в допустимом представлении переходят в самосопряженные операторы.

Другое важное семейство элементов в полугруппе I" составляют элементы С/с, к ~ 2,3,..., которые обладают тем свойством, что

тг(Ск) = Иттг(((п1,п2,... ,пк),е)), пх,.. ,,пк -> +ос

для любого допустимого представления тт. Здесь (пь п2 ..., пк) обозначает циклическую перестановку чисел П\, П2,.... пк и предполагается, что числа П1,...,пи,- стремится к бесконечности таким образом, что n¡ ф ппри « ф ]. Элементы С\ коммутируют друг с другом и со всеми перестановками из группы ¿У (оо) V и в допустимом представлении переходят в самосопря-

женные операторы. В неприводимом допустимом представлении они переходят в операторы умножения на вещественное число, по модулю не превосходящее единицы.

В §1 приводится комбинаторная реализация полугруппы Г в виде полугруппы так называемых чипов. В §2 мы выводим важные коммутационные соотношения между элементами полугруппы Г.

В §3 излагается принадлежащий Г. И. Ольшанскому и вытекающий из полугруппового метода способ параметризации допустимых представлений. Напомним, что диаграммой Юнга А называется невозрастающий набор неотрицательных чисел

Ах > Л2 > • • ■ > Аг,

12 Otshanskii G. I. On semigroups related to infinite-dimensional groups. Advances in Soviet Math., 2, 67-101 (1991).

при этом два набора, отличающиеся лишь цепочкой нулей на конце, отождествляются. Число ненулевых чисел диаграммы Л называется ее длиной и обозначается /(А). Модулем |А| диаграммы А называется сумма чисел А,-. Неприводимые представления конечной симметрической группы 5(п) нумеруются диаграммами Юнга А такими, что |А| = п.

Назовем распределением Юнга функцию Л из отрезка [—1,1] во множество диаграмм Юнга такую, что число

|Л|= £ |Л(Х)|

конечно. Тогда неприводимое допустимое представление пары 5 (оо) х 5 (оо) Э сНац 5 (оо) одназначно определяется некоторым сферическим представлением этой пары и парой распределений Юнга Л и М таких, что |Л] = |М|. Задача классификации неприводимых представлений может быть, таким образом, переформулирована как задача описания тех наборов параметров, для которых соответствующее представление существует.

В §4 рассматривается способ параметризации сферических представлений. Напомним, что сферическим вектором называется К-инвариантпый вектор £ единичной длины в пространстве представления. Матричный элемент

(<(9,е Ш),

рассматриваемый как функция перестановки д, называется сферической функцией. Сферическая функция однозначно задает сферическое представление. Сама она, в свою очередь, однозпачно определятся по свом значениям на перестановках, состоящих из единственного цикла.

Центральной в работе является вторая глава, в которой описываются все наборы параметров, для которых существуют неприводимые допустимые представления.

В §5 мы доказываем следующий основной технический результат:

Теорема 1. Пусть п есть сферическое представление пары 5 (ос) х Б (оо) э diag 5 (оо) я £ есть сферический вектор. Обозначим через ц спектральную меру для вектора £ и оператора тг(.4)). Тогда мера ¡1 дискретпа, причем ее атомы могут скапливаться только к нулю.

Заметим, что нам достаточно рассматривать поскольку все элементы

сопряжены под действием подгруппы diagS (оо).

Из теоремы 1 в §7 выводится следующая теорема Теорема 2. Для любого х е [—1,1] \ 0 число ^{х)/\х\ есть целое число.

Из теоремы 2 вытекает теорема Э. Тома1.

е

теорема Тома. Сферические представления лары 5 (оо) х 5 (оо) э diags(oo)

--нумеруются двумя последовательностемя вещественных чисел («;) и (fli) га-

кпми, что

»1 > «2 > "•> О, 01 > > ••• >0, +

При этом значение сферической функции на цикле длины к есть

! I

Я чт^аегвстиа на птрстяпгчгке. состоящей из нескольких независимых циклов, ран но нршилелсяши сс ¿На^сШШ ^¿(¿¿¿шааа.

Числа + (—I)*-1 /3^ прп этом выступают как моменты введенной

выше спектральной меры /I. Мы называем ее мерой Тома в честь Э. Тома, хотя сам Эльмар Тома ее не рассматривал.

В §6 и §9 доказывается следующая основная теорема.

Теорема 3. Для существования неприводимого допустимого представления пары 5 (со) х в (оо) Э diagS (оо) с мерой Тома ц и распределениями Юнга А,

М, |А| = \М\, необходимо и достаточно чтобы для всех х е [—1,1]

1(\(х))+1(М(х)) < ц(х)/\х\, х>0, 1(А'(х)) + 1(М'(х)) < 11{х)/\х|, х < 0:

где штрих означает траспотгропание диаграммы ГОлга.

В §8 мы обсуждаем связь между сферическими представлениями пары

5 (ос) х 5 (ос) Э ¿¡ай5(ос)

и вполне положительными последовательностями. При этом мы показываем,

как простые теоретике)-предсгавленческие соображения позволяют значительно упростить доказательст во классической георемы !")дрен о вполне положительных последовательностях.

В §10-12 проводится классификация неприводимых допустимых представлений для двух других рассматриваемых в диссертации пар Гельфанда. Техника здесь в основном аналогична технике из §5-9. Эти пары, обозначаемые через (С°,К°) и [СЕопределяются следующим образом. Группа

С0 -

это группа всех финитных биекций множества целых чисел Ж, а группа С£ — группа финитных биекций множества 7,\ 0. Подрунпа К выделяется как централизатор отражения

i |-> —г, г е Ъ.

Пару Б (ос) х 5' (оо) 3 diag5(oo) мы обозначаем (СП,К°). Группа вкладывается в СЕ как группа биекций, переводящих положительные числа в положительные. При этом К° = КЕ П в0.

В §11 описываем сферические функции пары (вЕ,КЕ). Все сферические функции пары (СЕ, КЕ) получаются как двусторонне инвариантные относительно подгруппы КЕ продолжения некоторых сферических функций пары К°). При этом множество сферических функции пары (СЕ,КЕ) совпадает с множеством тех КЕ -биинвариантных продолжений сферических функции пары [С°которые положительно определены. Это множество описывается следующей теоремой

ТЕОРЕМА 4. Сферическая функция пары (Си,Ки), отвечающая мере Тома ц, продолжается до положительно определенной КЕ-биинвариантной функции на груше тогда и только тогда, когда для всех х 6 [—1,0)

Неприводимые допустимые представления пар (СЕ ,КЕ) и (С° ,К°) нумеруются мерой Тома /х такой, что число ¡1(х)/\х\ четно для всех х < 0, и одним распределением Юнга Л таким, что число |Л| нечетно в случае пары {С°, К0) и четно в случае пары (СЕ ,КЕ). Мы доказываем, что

Теорема 5. Для существования неприводимого допустимого представления пары (£?е, Ке) (или пары (С° ,К°)) с мерой Тома ¡1 и распределением Юнга Л необходимо и достаточно, чтобы для всех, х Е [—1,1]

Л'(х)! + Л'(х)2 < /х(х)/|х|, х > 0.

А(х)1<1/2ф)/\х\, х<0.

Третья глава диссертации посвящена явной реализации неприводимых допустимых представлений с заданной мерой Тома и распределениями Юнга. В §13 для конечного или счетного числа допустимых представлений тгг = 1,2,... и произвольных неотрицательных чисел р,, г = 1,2.... таких, что = 1, явно определяется некоторое новое представление, которое мы называем смесью представлений тг, в пропорциях р,. Технически удобнее сначала вводить смешивание для пар (С°,К°), (<3£,КЕ). Основные свойства смеси представлений содержатся в следующей теореме.

Теорема 7. Пусть тг,, г = 1,2,..., — неприводимые допустимые представления с мерами Тома (ц, г = 1,2,..., и распределениями Юнга Л;, г = 1,2,..., такими, это сумма

|Л,| < оо

1

конечна. Пусть представление п есть смесь представлений ттг,г = 1,2...., в пропорциях р;,г = 1,2,..., где р.; > = 1. Тогда представление тг

допустимо. Оно есть сумма неприводимых допустимых представлений с мерой Тома

V О) = (*/р.).

Оно яещжводимо тогда в только тогда,, когда д.тя любых г и ]

зирр^ (7р,) П5иррЛ;(-/р -) = 0: В этом случае оио задастся распределением Юмга А

А (■''') = А, (х/р-,) .

. I

В §14 показывается, что операция смешивания представлении тесно связана с операцией индуцирования представлений.

( )1ТГр""7" '—' **тл™л«лпт пл/мтппчч. тгимчпр ИОППЧЧЛЧМКОС чпп^ти-

мое представление, исходя из таких представлении, .у которых но» и-ггль мг-ры Тома и носитель распределения Юнга есть одна точка пз отрезка [—1.1]. Такие представления мы называем элементарными. В §15 мы приводим конструкцию элементарных неприводимых допустимых представлений с помощью бесконечномерного варианта двойственности Германа Вейля13 для действия в бесследовых тензорах. Эта конструкция принадлежит Г. И. Ольшанскому. В соединении с техникой смешивания представлений она дает реализацию всех неприводимых допустимых представлений.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору А. А. Кириллову за многочисленные полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Окуньков А. Ю. Теорема Тома и представления бесконечной бнеимме трической группы. Функц. анализ и его прпл.. 28. выя. 2, 31-40 (1991).

2. Окуньков А. Ю. Конструкция неприводимых допустимых представлений

пар Гельфанда. связанных г бесконечной симметрической группой. Лен. в ВИНИТИ \'2852 В94 ог 8.12.1994. 19 с.

1ЭВейлъ Г. Классические группы, их инварианты и представления. М. (1947).