Унитарные представления бесконечномерных классических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А.СТЕКЛОВА

ОЛЬШАНСКИЙ Григорий Иосифович

УНИТАРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУШ

01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ленинградское отделение

На правах рукописи УДК 517.986.4

Ленинград - 1989

Я И. 23

0 4*$. №$ 00}

Работа выполнена в Институте географии АН СССР Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.П.Зенков,

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф.Молчанов,

доктор физико-математических наук, профессор Р.С.Исмагилов.

Ведущая организация: Институт математики АН УСС?.

Защита состоится "_" _15 г. в_

часов на заседании специализированного совета Д 0С2.38.04 при Ленинградском отделении Математического института им. В.А.Стеклова АЯ СССР /191011, Ленинград, наб. р. Фонтанки, 27, комн. 311/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛОМИ.

Автореферат разослан "_" _19 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математически наук

А.П.Осколков

... _У ' ОЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Классической группой принято называть либо группу всех обратимых матриц над полем или телом Р , либо ее подгруппу, сохраняющую некоторую вевыродденную форму (симметрическую, косое®.метрическую, эрмитову или антиэрмитову). В случае получаются классические группы Ли

Они являются центральным объектом теории представлений, начиная с работ И.Шура и Г.Вейля по конечномерным представлениям и вплоть до настоящего времени, когда особое внимание привлекает проблема классификации унитарных представлений.

Бесконечномерные классические группы определяются как индуктивные пределы вида 0 = с1т IпА & (И>) , где | &(П/)} одна из серий классических групп, или как пополнения (г групп б" в подходящей топологии. Элементы групп Ог , & реализуются матрацами бесконечного формата или операторами в гильбертовом пространстве над

к. , с ,н .

Такие группы естественно возникает во квотах разделах математики и математической физики. Например, в топологии, где с ними связаны некоторые эффекты стабилизации; в методе вторичного квантования, где важную роль играют бесконечномерная симплекти-ческая и бесконечномерная ортогональная группы; в теории гаус-совских случайных процессов и полей.

Интерес к представления!,I бесконечномерных классических групп оправдан уже тем фактом, что они являются прямым обобщением обычных классических групп Ли. Имеется и ряд других причин, среди которых ыояно выделить следунцие.

I. Обращение к индуктивным пределам -Ь- = {¡пппо! ь(п) позволяет по-новому взглянуть на традиционную теории представлений и приводит к задачам и результатам нового типа даже в контексте конечномерных представлений. Примером является новое направление, инициированное А.М.Вершиком - асимптотическая теория представлений классических и симметрических групп.

2. Исследование представлений бесконечномерных классических групп является необходимой частью более широкой программы, охватывающей также группы диффеоморфизмов многообразий, группы токов, алгебры Каца-Цуда и т.д. Эти бесконечномерные объекты вызывают сейчас большой интерес благодаря их приложениям к математической физике. Между ними существуют замечательные связи. В частности, с помощью бесконечномерных классических групп удается построить целый ряд серий новых унитарных представлений для группы диффеоморфизмов окружности и групп петель (Ю.А.Неретин).

3. Как и все бесконечномерные группы, бесконечномерные классические группы лишены меры 1аара, играющей, как известно, фундаментальную роль в аппарате теории представлений локально компактных груш. В то же время они обладают чрезвычайно богатой структурой и такими свойствами, которых нет у обычных классических групп Ли. В результате для бесконечномерных классических групп возникает содержательная и весьма нестандартная теория представлений. Особенно важно, что при этом выявляются новые перспективные контакты с другими областями математики. Например, изучение сферических функций и характеров бесконечномерных классических групп неожиданно оказывается тесно связанным с рядом вопросов анализа, берущих начало от классических работ И.Шенберга и Н.Г.Крейна.

Цель работы состоят в построении систематической теории неприводимых унитарных представлений бесконечномерных классических груш. В основу теории кладется предложенный автором формализм допустимых представлений (б,К )- пар, связанных с бесконечномерными римановыми симметрическими пространствами.

Научная новизна. В диссертации получены следувдие новые результаты:

1. Для трех серий групп

50о(р,°°), Ц"(р,оэ); БрСр^оо"), р=1,2,...,

свлзаннкх с бесконечномерными симметрическими пространствами конечного ранга р , построены все неприводимые допустимые представления. Доказало, что пополнения указанных групп относительно сильной операторной топологии являются топологическими группа;,и типа I в смысле фон Неймана. Тем самым, впервые обнаружено счетное семейство не локально компактных груш типа I. Описаны "особые" неприводимые унитарные представления конечномерных групп 1Г(р, <р , которые в пределе аппроксимируют неприводимые допустимые представления групп Т1(р > .

2. Дм модельных ( £г , К )-пар бесконечного ранга, а именно, пары ( (г Ь (00 ; С), 1ГС00) ) некомпактного типа и двойственной ей пары (1Г(°о) х ТТ(со)_, II (оо)) компактного типа построено мвогопараметрическое семейство допустимых представлений. Доказано, что полученные представления неприводимы, попарно не эквивалентны а допускают непрерывное продолжение на топологическое пополнение группы От , определяемое метрикой Гильберта-Шмидта. Описано правило разложения тензорных произведений. Установлена связь неприводимых допустимых представлений

пары (иссо") X ис.оо), 1ГС«0) с факторпредставлениями группы "II (со) , позволяющая усилить ранее известные результаты о факторпредставлениях.

3. Для трех бесконечномерных классических алгебр Ли 0(оо,£)1 ^(оо,С)и 5р(°°> С) построено расширение универсальной обертывающей алгебры, содержащее кольцо "виртуальных операторов Лапласа" и действующее в представлениях. Подробно исследована структура ассоциативной алгебры А , возникавшей в случае 0(оо, С) : найдены образующие и определяющие квадратичные соотношения алгебры А , получена ее реализация дифференциальными операторами на пространстве бесконечно матриц, установлена связь алгебры А с янгианами алгебр Ли ^ (И , С).

Методика исследования. В диссертации развит ряд оригинальных методов и приемов, использующих специфику бесконечномерных классических груш. Из них основными являются метод полугрупп двойных классов и метод голоьюрфных расширений: первый позволяет получить классификацию допустимых представлений для К)--пар конечного ранга, второй - доказывать неприводимость допустимых представлений. В методе полугрупп двойных классов используется теорема Ы.Лшера и Г.Мака (1975) об аналитическом продолжении представлений конечномерных "полугрупп Ли", инспирированная некоторыми задачами квантовой теории поля. В конструкциях представлений важную роль играют унитаризуемые 1Л (р, ф") - модули со старшим весом. Они изучались в работах Р.1ау, М.Кадшвары, М.Вернь, автора и др. Известный формализм дуальных пар Р.Хау используется при выводе правила разложения тензорных произведений допустимых представлений.

■ Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты находят применения к построению новых представлений группы диффеоморфизмов окружности и групп петель, а также к случайным полям Леви. Методы, изложенные в диссертации, оказываются полезными в исследовании представлений индуктивных пределов симметрических групп, конечных классических групп, р -адических групп Ли, а также в теории квантовых групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинарах МГУ, ЛОЩ, Института математики АН УССР, на заседании Московского математического общества (1981), в ХУ1 Воронежской зимней школе (1982), ХП Школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов, 1987), Школе-семинаре по теоретико-групповым методам в физике (Тамбов, 1989), на Международной конференции памяти акад. А.И.Мальцева (Новосибирск, 1989), в 3-й Сибирской школе по алгебре з анализу (Иркутск,1989).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях [1-9] , список которых представлен в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Имеются две таблицы. В списке литературы 130 назв.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении перечислены основные результаты работы; дан краткий обзор литературы; описано содержание диссертации по главам ж параграфам; указаны дальнейшие результаты, примыкагвще к теме диссертации, некоторые приложения и гипотезы.

Содержание главы'I. В этой главе изучаются индуктивные пределы компактных классических груш О («о ,ТГ(°°) , БрСад) и их простейшие унитарные представления - так называемые ручные представления. Роль последних в развиваемой теории аналогична рож конечномерных представлений компактных групп Ли в теории унитарных представлений редуктивных групп.

Глава состоит из четырех параграфов.

В § 1.1 приведены результаты общего характера о ручных представлениях (в § 3.1 они будут подвергнуты обобщению). Символом К в главе I обозначается любая из трех групп 0(оо) , У(о6) , $р(п) ; она состоит из унитарных операторов координатного гильбертова пространства Е над К , С или Н1 , сохраняющих базисные веторы в Е с достаточно большими номерами. Через К^ , где 11=1,2.,... , обозначается подгруппа в К , сохраняющая первые базисных векторов (она изоморфна самой группе К ).

Определение. Унитарное представление группы К называется ручным, если всякий его вектор мояно аппроксимировать последовательностью векторов , £ ^,... , инвариантных относительно К^,^,... соответственно.

Это условие впервые появилось у А.А.Кириллова (1973).

Через К обозначается группа всех унитарных операторов в Е , снабженная сильной операторной топологией.

Теорема 1.1.6. Ручными являются в точности те унитарные представления_грушш К , которые допускают непрерывное про-долкение на ^ . Таким образом, ручные представления индуктивного предела К и непрерывные унитарные представления топологической группы РГ - это, по существу, одно и то же.

Для П= ij 2,... через ГОг) обозначается множество двойных классов в К относительно К^ . Двойной класс К^llK^ матрицы U.€ К отождествляется с ее левым верхним уголком формата И, * ГЬ . В Г (гС) вводится структура полугруппы: умножением является произведение уголков как tbxjb - матриц. В теореме I.I.I0 показано, что с произвольным ручным представлением Т группы К канонически связано семейство | 5"^,] представлений полугрупп Г (fu) сжимавдими операторами в подпространствах К ^-инвариантных векторов. Эта теорема и ее обобщение в § 3.1 лежат в основе "полугруппового метода", в котором полугруппы двойных классов играв? примерно такую же роль, как обобщенны» алгебры Гекке - в теории представлений р -адичес-ких групп.

В § 1.2 излагаются два способа построения неприводимых ручных представлений групп К . Первый способ состоит в разложении тензорных степеней , k«i,2 »... , тождественного представления П группы К, (в случае необходимо рассматривать, более общо, представления вида О ® С ).

Теорем 1.2.2. Коммутант представления р®^ (соответственно, р®^® р ) порожден естественным действием симметрической группы

(соответственно, группы S(k) * Я(V) ).

Этот результат принадлежит А.А.Кириллову (1973); в диссертации изложено другое доказательство, предложенное автором.

Теорема 1.2.2 доставляет семейство неприводимых ручных представлений для 0(°°) и

(соответственно,

доЛГС«?)),

параметризуемых произвольными диаграммами Юнга (соответственно, параш диаграмм , jK, ).

Второй способ (теорема 1.2.6) состоит в реализации этих же

представлений в виде индуктивных пределов- подходящих неприводимых конечномерных представлений компактных групп 0(гь) ,

V(tl) , Spiro , п-»«в .

В § 1.3 доказано, что представлениями, описанными в § 1.2, исчерпываются все неприводимые ручные представления группы К (теорема 1.3.1). Эквивалентное утверждение было анонсировано без доказательства A.A.Кирилловым (1973); в диссертации излагается доказательство автора, освованное на полугрупповом методе. Второй результат параграфа (теорема 1.3.5) утверждает, что произвольное ручное представление группы К является дискретной прямой суммой неприводимых представлений. Вместе с теоремой 1.6.6 это показывает, что топологические группы К принадлежат типу I в смысле фон Неймана.

В § 1.4 установлено, что результаты §§ I.2-I.3 допускают следующую интерпретацию (теорема 1.4.5): произвольное ручное представление Т группы К канонически расширяется до "голоморфного" унитарного представления I некоторой группы к*, содержащей К ; более того, Т и Т порождают одинаковые алгебры фон Неймана. (Например, если , то

К. =17 (со) , а ее "голоморфные" представления - это те ручные представления U(c°), которые реализуются в несмешанных тензорах.) Этот факт лежит в основе метода голоморфных расширений, развиваемого в главах 3 и 4.

Результаты главы I опубликованы в статьях [I; 2; 5].

Содержание главы 2. Как известно, в теории представлений конечномерных групп Ли чрезвычайно важны операторы Лапласа, образуйте центр универсальной обертывающей алгебры. Между тем обычная универсальная обертывавдан алгебра

любая из трех бесконечномерных классических алгебр Ли 0(°°>С) , (Г}£ (оо. С) , $ р Г00; С) , имеет тривиальный центр. Цель главы 2-построение и изучение некоторого расширения

Алгебра имеет уже богатый центр, а также ряд свойств,

вамшх для теории представлений.

Глава состоит из трех, параграфов.

В § 2.1 изучается ассоциативная алгебра А , которая определяется следующим образом. Алгебра Ли 0}Ь (П/, С) содержит прямую сумму подалгебр

и (И.-Н1 ЭС). Обозначим через А |у| (П/) централизатор второй подалгебры в это ассоциативная алгебра, содержащая Оказыва-

емся, что при фиксированном и переменном (УЬ алгебры

А уп, составлявтсл в проективный предел, результатом которого является некоторая алгебра А ^ . Индуктивный предел алгебр А ^ при >У\ оО и есть алгебра А . Основным результатом параграфа является задание алгебры А образующими и квадратичными соотношениями:

Теорема 2.1.15. а) Центр алгебры А совпадает с ее подалгеброй Ар и изоморфен кольцу многочленов от счетного числа переменных.

б) Обозначим через У алгебру, порожденную счетным набо-

I (М}

рем образующих Т-у (все индексы принимают значения 1,2,...)

с определяющими квадратичанси соотношениями

г.СМ-И) Г4.СМ) ,(М)

[V ^"¡Л-Лг Ч

Тогда имеет место изоморфизм А = А 0 & У .

в).Для каждого подалгебра отож-

дествляется с А0 & , где Ум - подалгебра в У , порожденная образующими с нижними индексами ГЛ .

Алгебры Ут впервые возникли в квантовом методе обратной задачи. Слегка расширяя терминологию, предложенную В.Г.Дрин-фельдом, их можно назвать янгианами алгебр Ли а алгебру У - янгиавом алгебры Ли О]1(со, С) . Описанная связь янгианов с централизаторами подалгебр обертывающих алгебр допускает ряд интересных обобщений и модификаций; некоторые из них рассматриваются в работах Й.ВЛередника.

В § 2.2 продолжено изучение алгебры А . Показано, что представления со старшим весом алгебры О^С (со, С) , связанные с голоморфными ручными представлениями группы 17 (со) , канонически продолжаются на алгебру А . Доказано (теорема 2.2.8), что алгебра А порождается алгеброй Ли

и коммутативной подалгеброй Гельфанда-Цетлина С*— А . Получена реализация алгебры А дифференциальными операторами на пространстве бесконечных матриц (теорема 2.2.18). Все эти результаты существенно используются в § 2.3. ^ В § 2.3 строится расширение

, содер-'

жащее "виртуальные операторы Лапласа на группе К "и действующее в пространстве ручных представлений этой группы. Рассмотрим случай, когда

К=0(<3 и

^с=г О(оо.С) о(л,С).

Определение. Виртуальный оператор Лапласа на 0с®> -это класс эквивалентности последовательностей вида X = (X ц,") ,

где А^ - элемент центра обертыванцеЯ алгебры степень которого с ростом остается ограниченной, причем

для любого неприводимого ручного представления Т группы О (ос) соответствующие операторы Т (Хд,) в пространстве представления имеют сильный предел, обозначаемый

(это

ограниченный оператор). Две последовательности У" (У^О считаются эквивалентными, если для

всех Т

Виртуальные операторы Лапласа образуют кольцо относительно покомпонентных операций над последовательностями. Произвольные элементы алгебры

определяются аналогично, но несколько слслзоа ; каждый вэ вл* снова аппроксимируется некоторыми элементами

Теоиема 2.3.4. Существует изоморфизм ассоциативных алгебр А и [0(ео, О) , отображающий центр А ф алгебры " на кольцо виртуальных операторов Лапласа. ^ Таким образом, мы получаем конструктивное описание алгебры Ц (0(сс , €)) . Ее следует трактовать как "правильную" версию универсальной обертывающей алгебры для 0(оэ> С) .Из теорем 2.1.15 и 2.3.4 вытекает, что содержит

алгебру Ли 0ю, С) . Этот, на первый взгляд, парадоксальный факт полностью согласуется с результатами § 1.4 о связи между представлениями 0 (оо) и

Щоо) .

Результаты главы 2 опубликованы в статьях [I ; 2; 6 ; 7] .

Содержание главы 3. В главе 3 рассматриваются три серии бесконечномерных классических групп

Эти группы суть индуктивные пределы при оо конечномер-

ных некомпактных классических групп £>00 (р»и т.д. ; они связаны с бесконечномерными Романовыми симметрическими пространствами конечного ранга р . Цель главы - изучение допустимых представлений указанных груш, которые определяются сяедупцвм образам.

Определение. Унитарное представление группы & вида (I) называется допустимым, если его сужение на подгруппу К вида шш является ручным.

Глава состоит аз семи параграфов.

В § 3.1 результаты главы I о группах К переносятся на группы (г вида (I). Установлена эквивалентность'категории допустимых представлений грушш б" а категорий непрерывных унитарных представлений грушш О - пополнения грушш (т в сильной операторной тоиолотт (теорема 3.1.5, аналогичная теореме 1.1.6). В теореме 3.1.6, обобщающей теораму 1.1.10, произвольному допустимому представлении группы (г сопоставляется семейство представлений конечномерных полугрупп двойных классов

(г/К^ (элементы этих полугрупп реализуются конечномерными -сжимапшш матрицами над К , С или Н ).

§§ 3.2-3.3 содержат подготовительный материал к построению допустимых представлений. В § 3.2 собраны необходимые сведения об унитарных представлениях со старшим весом групп ,

являхеихся И. -накрытиями над У(р,Ц/) . В § 3.3 рассматривается группа Ц(р,со) - индуктивный предел при °о групп \Г( р»^! • Основный результатом является конструктивное описааие голоморфных представлений группы

Шр.ооГ

: так именуются те ее унитарные представления, для которых сужение на подгрупцу

U.(со) оказывается голоморфным, т.е. реализуется в несмешанных тензорах.

Неприводимое голоморфное представление группы оп-

ределяется последовательностью У «= (З^,^,...)• где ..., ^п — вещественные числа, ^p+j,,... - целые неотрицательные

числа, причем , если t- достаточно велико ; все

разности вида 0rL-3i¡+j_ , кроме р -ой, являются целыми неотрицательными ; коль скоро эти разности зафиксированы, оставшийся свободный параметр ^ может пробегать некоторый луч плюс.конечное множество точек. Соответствующее представление, обозначаемое V (ЭО , является индуктивным пределом неприводимых унитарных представлений групп "U~(p, со старшими весами

(Э^,..., Экр+Ц,") , ^ СО .

В § 3.4 излагается конструкция неприводимых допустимых представлений для групп G* вида (I). Сни получаются сужением неприводимых голоморфных представлений некоторой надгруппы G- —5 От (например, если б- = £>0о Ср»°°) , то G* = U(p,°o') ). Замечательно, что при сужении с (г* на Q" сохраняется неприводимость (теорема 3.4.4). Доказательство проводится методом голоморфных расширений, идея которого состоит в следующем; Группа

л* Г ¡X*

^ порождается своими подгруппами а- и I4- ; с дру-

гой стороны, если "V" - голоморфное представление G- , то результаты § 1.4 показывают, что

VI к* имеет общую с VIK алгебру фон Неймана ; отсюда выводится, что V иУ|£ порождают одинаковые алгебры фон Неймана ; в частности, V| G- не-приводимо одновременно с V

В § 3.5 доказан основной результат главы 3:

Теорема 3.5.1. Всякое допустимое представление группы G-

вида (I) является сужением голоморфного представления соответствующей надгрушш

В частности, неприводимые допустимые представления группы 200 (р<с°") суть в точности представления .вида"^"(30 | 500(р/®), где - описанные выше представления группы Т/(р;00)'4'

Следствие основной теоремы. Топологические пополнения О групп & вида (I) являются группами типа I

Следует подчеркнуть, что доказательство основной теоремы достигается специфически "бесконечномерными" средствами (ключевую роль играют полугруппы двойных классов К*^ \ б / ). Благодаря этому удается избегать каких-либо ссылок на тонкую а до сих пор не завершенную классификационную теорию унитарных представлений конечномерных групп £00 (р^) , {/"(р,^) , 2р(р>^1.

В § 3.6 обсуждаются приложения полученных классификационных результатов к описанию сферических функций на бесконечномерных рЕмансшых симметрических пространствах конечного ранга р-1,2о... , В простейшем случав р= 1 получаются классические теоремы И.Шенберга (1938) и М.Г.Крейна (1949).

§ 3,7 посвящен своеобразному приложению бесконечномерных груш к конечномерным. Основным результатом параграфа является теорема 3.7.12. В ней дана явная реализация в формализме Гельфан-да-Цетлина "особых" неприводимых унитарных представлений групп . В пределе ^03 они аппроксимируют нэдрь-вадммыв допустимые представления группы

Результаты главы 3 опубликованы в статьях [I; 2; 3; 5; 93 . Содержание главы В этой главе изучаются допустимые представления групп & , связанных с риыанавыми симметрическими прострааствадгв бесконечного ранга.

£

В § 4,1 излагается общая идеология { (х, К) -пар и их допустимых представлений. Рассматриваемые в диссертации (G-.Ю -пары определяются как индуктивные пределы при П со пар ( G-(fl) , KCfV) ). где & (>Ъ) - конечномерная классическая группа, К (fv) _ ее компактная подгруппа, причем однородное пространство пробегает одну из классических серий римановых симметрических пространств некомпактного или компактного типа (соответственно говорят о (G-^ К)-парах некомпактного или компактного типа). Допустимые представления для (G, К) определяются так же, как в главе Зг имеются в виду унитарные представления группы G , у которых сужение на подгруппу К оказывается ручным. Говорят, что (G, К") имеет конечный (соответственно, бесконечный) ранг, если ранг симметрического пространства X (fo) с ростом 1Ь стабилизируется (соответственно, стремится к бесконечности). Случаю конечного ранга p = i,2,... посвящена глава 3, а в главе 4 речь идет о парах бесконечного ранга. Всего имеется 10 таких пар некомпактного типа (модельный пример - пара

С е-l с», с), иг«)")

и 10 двойственных им пар компактного типа (модельный пример -пара

Для трех пар компактного типа вида ( К* К, К) , где К - любая из групп SCK00") , Ii"(«=>) , 2 р (оо) , установлена тесная связь допустимых представлений с факторпредставлениями групп К - (теорема 4.1.4). Лзна общая формулировка метода голоморфных расширений (переход от допустимых представлений пары К") к "голоморфным" представлениям некоторой группы G-* , содержащей G- и К* . Указана идея "правильного" пополнения группы G" : его результатом является топологическая группа (гр , содержащая труппу К

и такая, что От/ К. совпадает с пополнением симметрического

пространства X=£itT)tn<c| X (ГЬ) в метрике Ц*!!^ Гюгь-И со

берта-Шидта.

В §§ 4.2-4.5 излагается теория допустимых представлений модельных (G,K)-nap (&LK €)>№))* (ITC^xUCco^irH). Следует отметить, что совершенно аналогичные результаты справедливы и для всех остальных пар бесконечного ранга.

В § 4.2 и § 4.4 содержится подготовительный материал. Напоминается известная реализация унитарных представлений со старшим весом конечномерных групп , основанная

на выражении генераторов алгебры Жи через бо-

зонные и фермионные операторы рождения-уничтожения. Эта очень полезная реализация использовалась в работах P.lay, .'¿.Вернь, М.Кашивары и ряда других авторов. В диссертации она обобщена на бесконечномерные группы

m Ы ircpffy, V(Zoo)-Jim Ы 1Г(р+^) (2)

В результате для групп (2) получаются замечательные семейства

,ir)] неприводимых унитарных представлений, замкнутые относительно взятия тензорных произведений с последующа! разложением на неприводимые компоненты. Параметры к,7Г имеют следующий смысл: к=1,27... , ЗГ _ произвольное неприводимое представление группы 1Г(Ю Представление

группы

допускает

следующую реализацию. Запишем старший вес представления DT~ группы VOO в виде

где Э* и - Две диаграммы Юнга. Для любых р и ^ су-

ществует бесконечномерное неприводимое унитарное представление группы *1Г(р,^ со старшим весом

(- k -ju. р ,..., - к-» О^з • ••> Уц,).

Индуктивный предел таких представления при р; fy, и есть

ЛлГ(^от) .

Сходным образом £ (к)Тг) реализуется в виде индуктивного предела неприводимых унитарных (но теперь уже конечномерных) представлений групп Т7"(р+<р .

Описаны также аналоги представлений

W(k,iг) или S (к,г) для полупрямого произведения группы на некото-

рую группу гейзенбергова типа.

Б § 4.3 построено семейство -{"^с-кЗ неприводимых допустимых представлений для (G? К") -пары ( G-L (°0> OjVfoöj). Cr?,тол

Л

- это набор параметров, включающий в себя произвольное конечное подмножество Ъ CR и задание для каждой точки XG X параметров (ic.j'JO- (Ь^ Х^). Представление Tji дается формулой

ТМ, Vfl® ® Wfcx^xi) (tx(«)\ й>

х€ *

где Cj. G GL (со5О , бjj^ - некоторое одномерное представление, зависящее от ЛЬ , "t^ - некоторое вложение группы

G-L (со. С)

в группу

, зависящее от ЗС€ ||\ ;

9 + 9-*"1 % - а - от*

1-Х + [зе 2—1 а-1х)

г г.

Г1

г 2. 2-

Теореыа 4.3.4. Представления вида (3) аеприводимы и попарно не эквивалентны друг другу при различных

'Доказательство основано на методе голоморфных расширений. Важную роль в нем играет погружение алгебры Ли группы (гЬ(г»,С) в некоторую алгебру полиномиальных токоз.

Теорема 4.3.В. Все представления Т^ группы допускает непрерывное продолжение на еа топологическое пополнение (г 2

Для представлений вида (3) полностью описан закон разложения тензорных произведений. Например, в случае общего палагеаня, когда точечные множества, входящие в Еаборы и ^ДГ , не

пересекаются, представление Тд^ © Т^ аецриводимо и эквивалентно Т^ ц ^ .

В заключительном § 4.5 развивается параллельная теория допустимых представлений.для

-пары (1Г(оо>№\ 1/(4 Принципиальная схема конструкции представлений и доказательств остается той же, что в § 4.3, однако возникает ряд усложнений технического характера. Во-первых, наряду с представлениям

группы "Ц~(°°.> «о используются представления группы , а также представления упомянуто-

го вше полупрямого произведения. Во-вторых, множество X может быть счетным, и соответственно в формуле типа (3) возникает бесконечное тензорное произведение. В-третьих, для сохранения параллелизма с теорией § 4.3 оказывается необходимым заменить группу & = 17С00") *17(°°) ее -накрытием & . Тем

не менее, удается получить аналоги всех результатов § 4.3. Кроме того, получены некоторые дополнения к известным результатам о факторпредставлеаиях типа группы ТГС00"^ .В частно-

сти, теорема 4.5.2 показывает, что переход от 17(со) к еР_ "2 -накрытию 17(оо)"" позволяет усилить результаты Д.Войку-леску (1976) и Р.Бойера (1980) о свойствах непрерывности характеров

Теорема 4.5.2. Всякий конечный характер группы У(^о) , будучи поднят на ее универсальную накрывающую 17(°о")'4' и затем домножен на подходящий одномерный характер, становится непрерывным в топологии, определяемой метрикой Гильберта-Шмидта на алгебре Ли группы

ТЯооГ .

Результаты главы 4 опубликованы в статьях [З; 4; 8] .

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕ'ЛЕ ЖСЕРТАЩШ

I. Ольшанский Г.И. Унитарные представления бесконечномерных классических групп 1Г(р>, 5Ов(р,0о), 2р(р,«з) и соответствующих групп движений // Доклады АН СССР. - 1978. -Т.238, й 6. - С.1295-1298.

2. Ольшанский Г.И. Унитарные представления-бесконечномерных классических групп 1Г(р,оа) ,&00 fp,oo") , Spfp/oa) и соответствующих групп движений //функцион. анализ и его цри-лож. - 1978. - Т.12, ЯЗ.- С.32-44.

3. Ольшанский Г.И. Конструкция унитарных представлений бесконечномерных классических групп // Доклады АН CCCF. - 1980. -Т.250, № 2. - С.284-288.

4. Ольшанский Г.И. Унитарные представления бесконечномерных пар CG-? К} и формализм P.lay // Доклады АН СССР. -1983. - Т.269, Jil. - С.33-36.

5. Ольшанский Г.И. Бесконечномерные классические группы конечного R -ранга: классификация представлений и асимптотическая теория // функцион. анализ и его прилож. - 1984. -T.I8, & I. - С.28-42.

6. Ольшанский Г.И. Янгианн и универсальные обертывающие алгебры // Зап. научн. семин.' ЛОМИ. - 1987. - T.I64. - C.I42-I50.

7. Ольшанский Г.И. Расширение алгебры для бесконечномерных классических алгебр Ли 0J н янгиааы

// Доклады АН СССР. - 1987. - Т.297, й 5. - C.I050-I054.

8. Ольшанский Г.И. '&тод голоморфных расширений в теории унитарных представлений бесконечномерных классических групп // Функцион. анализ и его пралож. - 1988. - Т.22, № 4. - С.23-37.

9. Ольшанский Г.И. Неприводимые унитарные представления групп 1_Г (р, Q/) , выдерживающие предельный переход при 00 //Зап. науча. семин. 10®. - 1989. - T.I72. - C.II4-I20. п

----тир 4ое> ълк.1211_^—

Прелпрштие «ПАТЕНТ». Москм, Г-59, Бережковсьа« наб., 24