Бесконечномерная симплектическая группа и редуцированная динамика тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.946

Тверитинов Иван Дмитриевич

БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГРУППА И РЕДУЦИРОВАННАЯ ДИНАМИКА

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2004

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Олег Георгиевич Смолянов

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор Андрей Игоревич Кириллов,

доктор физико-математических наук, профессор Виктор Валентинович Веденяпин

Ведущая организация — Математический институт

......им. В.А. Стеклова РДН

Защита состоится "_"_2004 г. в 16 часов 15 минут на

заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "_"_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д.501.001.85 МГУ, ' Л, ЛГ

доктор физико-математических наук,__/\ ШГ

профессор | - ^

и // ' Т.П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация относится к бесконечномерному анализу. В ней рассматриваются несколько задач, связанных с исследованием (редуцированной) динамики открытых квантовых систем. Именно, в ней строятся представления бесконечномерных симплектической и метаплектиче-ской групп, исследуются условия самосопряженности дифференциальных операторов, возникающих при квантовании бесконечномерных га-мильтоновых систем с квадратичной функцией Гамильтона и исследуется асимптотика решений управляющего уравнения, описывающего эволюцию открытых квантовых систем.

В последнее десятилетие интерес к исследованию редуцированной динамики открытых квантовых систем значительно возрос. Одной из основных причин этого является то обстоятельство, что изучение проблем возникновения декогерентности играет фундаментальную роль как в квантовой информатике, так и в задачах квантовс—механического описания квантовых измерений; в свою очередь, исследование процессов, связанных с декогерентностью является одним из важных применений теории открытых квантовых систем. Достаточно сказать, что список цитируемой литературы к вышедшей в 2003 году монографии1, целиком посвященной исследованию различных аспектов проблем декогерентно-сти, насчитывает около тысячи наименований, причем более половины из них относятся к последнему десятилетию.

Что касается исследования представлений симплектической и ме-таплектической групп, то они уже давно составляют одно из традицион-

'Jooe Е., Zeh Н. D., Kiefer G., Ciulini D., Kupsch J., Stamatesru L-O. Decoberence and tie Appearance of a Classical World in Quantum Theory. Springer, 2003.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ SNMitOrtKA

«

пых направлений бесконечномерного анализа (см. в частности2 , 3,4).

Таким образом, тема диссертации представляется вполне актуальной.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Найдены явные формулы для унитарных преобразований Боголюбова в пространстве Винера-Сигала-Фока и установлена их связь с преобразованиями Боголюбова в пространстве Баргмана-Фока, рассматриваемыми в работах ФАВерезина.

2. Построены проективное представление бесконечномерной группы симплектических преобразований и унитарное представление соответствующей метаплектической группы.

3. Найдены решения задачи Коши для уравнений типа Шредингера с гамильтонианом, полученным путем применения процедуры квантования к квадратичной функции Гамильтона (па конечномерном и бесконечномерном фазовом пространстве).

4. Найдены условия на квадратичную функцию Гамильтона, достаточные для самосопряженности в существенном оператора, полученного при се квантовании.

5. Исследована асимптотика решений управляющего уравнения, описывающего редуцированную динамику открытых квантовых систем.

Методы исследования

В диссертации используются методы бесконечномерного анализа, а также ряд спе1щальных конструкций.

2Лиок Ж., Верна М., Представление ВеЯля, индекс Маслова и тэта-ряды. М., Мир, 1983.

3Борезин Ф.А. Несколько замечаний о представлении соотношений коммутации, УМН, 1969, Т. 24, вып. 4, с. 65-88.

4Кушл И., Смоляиов О. Т.Преобразования Боголюбова в пространстве Винора-Спгала-Фока, Мат. зам., 2000, Т. 68, вып. 3, с. 474-479.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Кроме того, некоторые результаты могут использоваться при исследовании эволюции открытых квантовых систем.

Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ: "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководствам профессора О.Г. Смолянова и профессора Е.Т. Шавгулидзе, семинар по динамическим системам под руководством академика Д.В. Аносова, профессора A.M. Степина, профессора Р.И. Григорчука. На семинаре отдела математической физики института математики РАН под руководством академика B.C. Владимирова и профессора И.В. Воловича. На семинаре по математической физике института прикладной математике РАН под руководством профессора М.В. Масленникова, профессора В.В. Веденяпина, профессора В.А. Дородницына. На XXI международной конференции им. И.Г.Петровского "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" в 2004 году и на XXV и XXVI конференциях молодых ученых (2003 и 2004 годы соответственно).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах автора. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из трёх глав, разбитых на параграфы. Общий объём диссертации составляет 87 страниц. Список литературы включает 35 наименований.

Краткое содержание диссертации

Введение

Во введении формулируются основные задачи, рассматриваемые в диссертации, приводится краткий исторический обзор работ по теме диссертации и кратко излагаются основные результаты диссертации.

Глава 1

В первой главе изучаются вопросы, связанные с преобразованиями Боголюбова, порождаемыми симплектическими преобразованиями.

Гильбертово пространство Н = Q X Р, где Q, Р — копии действительного гильбертова (сепарабелыюго) пространства, вместе с кососимметри-ческой билинейной формой В(-, •) (полученной как мнимая часть эрмитова произведения на пространстве Н с комплексной структурой, заданной оператором называется симплек-

тическим пространством.

Группа действительно-линейных обратимых преобразований пространства Н, сохраняющих форму В(-,-), называется симплсктической группой и обозначается через Sim(H). Представлением ККС операторами в некотором гильбертовом пространстве Е называется отображение Н Э f и a(f) (a(f) — оператор на Е) такое, что верны соотношения [a(f),a(g)j = [a*(f),a*(g)] = 0, [a(f),a*(g)] =< f,g >с . Вводится понятие представления ККС с вакуумным вектором: вектор v0 называется вакуумным, если для всех f G Н a(f)(v0) = 0 € Е и множество векторов (a*(fi) •... • a*(fn)|fj € Н} — тотально. Далее приводятся точные определения пространств: Винера-Сигала-Фока ([^(Q,/^)), Фока (FV(H)), Баргмана-Фока (L^H, /¿i)).

В параграфе 1.2 приводятся различные представления ККС операторами в пространствах L,2(Q,/n), FV(H), Ьг(Н,/л), обозначаемые соответственно через ате(-),ар(-]>аъ(-)- Также определяются операторы Шредингера, которые порождают ту же алгебру, что и операторы представления ККС и связаны с ними равенствами: а(х,у) = а*(х,у) = ^г^-ф», где (х,у) е Н = Q х Р.

В §1.3 каждому линейному оператору А на пространстве Н ставится в соответствие преобразование алгебры операторов ККС Пд так, что Пд : ¿За Ч„«(а) + Р/?*(а)> Пд : Ра >-♦ Чг(») + Р<5'(а)- Устанавливается, что Пд сохраняет ККС тогда и только тогда А 6 81ш(И). Всякий линейный оператор в алгебре ККС, который сохраняет ККС, называется преобразованием Боголюбова. Также определяются унитарные преобразования Боголюбова. Если {а(Г),а*(£)} — представление ККС операторами в гильбертовом пространстве Е, обладающее вакуумным вектором и для симплсктичсского преобразования А существует унитарный оператор УА, такой, что для всякого а € <3 выполняются равенства

VI1 V"1

Яа • УА = Пд(яа) А " Ра • УА = ПА(Ра),

(1)

то будем говорить, что автоморфизм ПА приводим и симплектическое преобразование порождает унитарное преобразование Боголюбова ¥\.

В §1.4 рассматривается симплектическая группа конечномерного симплектического пространства и строится её проективное представление. Симплектическому преобразованию А ставится в соответствие унитарное преобразование Боголюбова УА, которое единственно с точностью до комплексного множителя равного по модулю еди-нице5. Учитывая сказанное, получаем, что симплектическому преобразованию А корректно ставится в соответствие преобразование

— совокупность

комплексных прямых в К2(р). Соответствия такого рода рода называются проективными унитарными представлениями. Основными результатами этого параграфа являются явные формулы для унитарных преобразований Боголюбова, индуцирующие проективное представление, т.е

Теорема 1. Для любой функции К(-) из класса Шварца справедливо:

. Лт1т0

I

1т/3

5Березин Ф. А. Аепу! вторичного квантования. М. Наука. 1965.

Здесь а,р — ортогональные проекторы на ядро и на образ операторов /?*,/? соответственно, а симплектическое преобразование А: Н = V Р <3 х Р = Н представлено блочной операторной матрицей А = Г ^ 5 ) " ^РМУ-™' полученные в последней теореме являются

новыми и были получены из известных формул в4 (там требовалась обратимость оператора /?) с помощью предельного перехода.

В §1.5 результаты §1.4 обобщаются на случай симплектической группы бесконечномерного пространства. Первое отличие — это отсутствие меры Лебега: то есть вместо пространства Ьг(СЗ) приходится рассматривать пространство Ьг(СЗ,/.41)., В силу теоремы Шейла (см.5) для того, чтобы представление ККС Пд(с[а),П(ра) было унитарно эквивалентно представлению ККС <}а, ра (<}а, ра — стандартное представление Шредин-гера) симплектическое преобразование А должно быть таким, что преобразование VА'А — I — преобразование Гильберта-Шмидта. Обозначим через 82,81 {А|\/А'А —I 6 Ьг(Н)}, {А^А'А -1 £ Ь,(Н)} соответственно, где символы обозначают пространства действительно-линейных операторов, которые соответственно Гильберта-Шмидта и ядерные. Как следует из соответствующего замечания, множества Эх, Эг являются подгруппами симплектической группы. В этом параграфе выводятся формулы для унитарных преобразований Боголюбова, отвечающих элементам из

Теорема 2. Если А = (а,/8,7, <$) —симплектическое преобразование, причем оператор ¡3 — околоединичный,а а,5 — ядерные операторы, то для цилиндрической функции /(•) из класса Шварца унитарное преобразование Боголюбова задается следующей формулой:

^ ц<рх.р*»> | <я,а{Гх+а6*ях> | <тД*ж+т>**)«.ах> ^ <».ж>-<(0* Д*«)(в+ах).(0*-М*»Ка+|цО>

Ограничения на операторы а, 5 обеспечивают возможность продолжения подынтегральной функции до измеримой на расширение пространства р, на котором образ меры счетно-аддитивен6. Справедлива теоре-

вДалецкий Ю.Л., Фомин СВ. Меры в дифференциальные уравнения в бесконечномерных про-

ма.

Теорема 3. Пусть последовательность унитарныхоператоров {ип} сходится в сильной операторной топологии (в топологии поточечной сходимости)кунитарномуоператору!]. Тогдапоследовательностьсо-ответствующих унитарных преобразований Боголюбова Уи„ сходится к Уи в сильной операторной топологии. Конечно, имеется в виду при определенном выборе (имеется произвол с точностью до скалярного множителя с единичным модулем) преобразований Уи„.

Справедлива теорема:

Теорема 4. Для любой функции £(•) из класса Шварца справедливо:

1пф

поело чего применяется следующая теорема.

Теорема 5. Пусть и : Н —» Н унитарное. Тогда для каждой последовательности возрастающих конечномерных подпространств С2„ С

оо

С)п+1 с Q таких, что и Qn — Q, каждой последовательности уни-

п=1

тарных операторов ип : <Зп х Рп —*► х Рп такой, что последовательность {ипхРг((дпхРп)1)} (символ Рг обозначает ортогональный проектор) сильно сходится к и, последовательность {Уи„ ®

сильно сходится к Уи- Формулы для Уи„ могут быть взяты из теоремы 4 (см. текст диссертации) (конечно, надо учесть, что мера гаус-совская и выбрать унитарное преобразование Боголюбова так, чтобы вакуумный вектор был собственным с собственным значением один).

В параграфе 1.6 проводится сравнение построенного проективного представления с проективным представлением симплектической группы конечномерного пространства, рассматриваемого Ж. Лион и М. Вернь в2, доказано, что оно ^-эквивалентно проективному представлению, построенному в диссертации. Представления Т(-),Т1(-) группы в называются ■ф— эквивалентными, если существует автоморфизм ф группы в

страяствах. Наука 1983.

такой, что и Ti(-) эквивалентны в обычном смысле. Это понятие

было введено Ф.А. Березиным см.3. Доказано, что отображение

ф : Sim(H) Э (а,/?,7,S) ь- (¿,7. А«) € Sim(H)

является автоморфизмом симплектической группы, который и осуществляет ф — эквивалентность. Доказано, что представление из работы2 не эквивалентно представлению, построенному в диссертации.

В §1.7 строится аналог метаплектической группы (это такой объект, что в конечномерном случае совпадает с метаплектической группой). Пусть дано некоторое проективное представление Si (можно считать то самое, которое построено в диссертации), которое индуцируется операторнозначиой функцией, принимающей значение в множестве унитарных операторов в пространстве, по которому строилось проективное пространство. Такое проективное представление естественно называть: проективное унитарное представление. Если зафиксирована некоторая ветвь такая, что

T(g,) о T(g2) = c(gi,g4)T(gifc), где S1 = {z 6 С : |z| = 1}, называется коцикл. Если есть некоторая ветвь проективного представления, то можно построить расширение группы Si (расширение Макки) причем выбранная ветвь поднимется до нормального представления этого расширения. В случае строится двулистное накрытие сим-плектической группы, на которое проективное представление поднимается до обычного. Полученная группа называется метаплектической. В диссертации ветвь выделяется условием Vg(l)(0) > 0 (значение функции в точке определено естественным образом, так как функция есть экспонента от квадратичной формы) и вычисляется коцикл.

Теорема 6. Если симплектические преобразования gi = («ь A,7i,<5i), g2 = (о2»/?2> 72^2) — околоединичные (множество их обозначим через Gi), то

dct(«;+ig!) dct(«g+i-fli) r/„ „ 12 _ ldct(ai+i-ft)l ' |dct(ma+i-&)| cUSbg2j dct(/>3+i-ft) '

|<fct(ej+i-ftj|

где gj • g2 = («3,03,7з, ¿з)-

Также вычислен коцикл для элементов 81. Используя полученную теорему, строится подгруппа в расширении Макки группы околоединичных симплектических преобразований, имеющая двулистную проекцию (в конечномерном случае метаплектическая группа). Так же указан класс подгрупп в 81 для которых в расширении Макки есть подгруппы с двулистной проекцией. Доказано, что в бесконечномерном случае в расширении Макки для 81 нет подгруппы с двулистной проекцией.

Первая часть §1.8 посвящена связи преобразований Боголюбова на пространстве Винера-Сигала-Фока с преобразованиями Боголюбова на пространстве Баргмана-Фока, изучаемыми ФАБерезиным (см. книгу5 там они называются каноническими преобразованиями). Из формул, полученных в диссертации, можно вывести явное выражение для оператора, переводящего картину Винера-Сигала-Фока в Баргмана-Фока.

До сих пор рассматривались представления ККС, обладающие вакуумным вектором, которые являлись унитарно эквивалентными. Известно, что классы эквивалентности гаусоовских мер (с нулевым средним значением и не вырожденным корреляционным оператором) задают попарно не эквивалентные представления ККС на пространстве

В диссертации предъявлено аналогичное семейство операторов представления ККС на пространствах типа Баргмана-Фока (Ьг(Н,//в) — пространство аналитических функций с интегрируемым квадратом)

и приведены формулы соответствующего сплетающего оператора (естественно назвать его обобщенным преобразованием Гаусса).

Глава 2

Эта глава посвящена исследованию операторов, полученных из квадратичной функции Гамильтона, определенной как на конечномерном, так и па бесконечномерном пространстве, после применения процессов вторичного квантования Винера-Сигала-Фока или Шредингера.

В §2.1 определяются гамильтонианы Винера-Сигала-Фока на про-стране , удгг)гственно, в конечномерном и бес-

конечномерном случаях), имш-ппашм т^иаттг-.аттгаиой

формы, заданной о п Е = I ^ у1(Е:Н = С2хР—► х Р = Н). Формальные выражения для этих операторов будут:

(квантование Шредингера) и

Если существует самосопряженный оператор, область определения которого содержит все гладкие решения, лежащие в соответствующем пространстве Винера-Сигала-Фока, уравнения Шредингера с формальным выражением для гамильтониана в правой части (естественно, требуется существование следа и возможность продолжения в каждый момент времени этих решений до измеримых функций на пространстве то будем говорить, что соответствующий оператор есть гамильтониан Винера-Сигала-Фока, полученный из соответствующей функции Гамильтона.

В §2.2 рассмотрена возможность применения преобразований Боголюбова для преобразования (приведения к более простому виду) квадратичных гамильтонианов.

В §2.3 вводятся понятия квантовой системы, векторов состояний, чистых состояний, смешанных состояний (см. в тексте диссертации). После чего дается определение почти инвариантного состояния системы (точное определение см. в тексте диссертации). Для обычных (а не открытых) квантовых систем, которые рассматриваются в этом пункте, почти инвариантное вектор-состояние означает наличие дискретного спектра у гамильтониана. Основным результатом этого пункта служит следующая теорема.

Теорема 7. Пусть Е строго положительно определенный самосопряженный оператор на пространстве Н /НшН < оо^. Тогда для квантовой системы, полученной путем применения процедуры квантования Винера-Сигала-Фока к квадратичной функции Гамильтона, определяемой оператором Е, существует вектор-состояние почти инвариантный относительно эволюции.

В §2.4 рассматриваются явные решения некоторых задач Коши для уравнений Шредингера с квадратичным гамильтонианом как в конечномерном, так и бесконечномерном случае.

странстве Н. Если параметры Х(1;), с(€) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

Теорема 8. Пусть

квадратичная форма на про-

' Х(Ь)-Х(1)' + Т-Г-В = %> к 1г(Х(1))+<к(1),к(0

(2)

то функция

•+<ВД,х>+с(0)]

удовлетворяет уравнению:

.щ^) = _АШХуЪ)+ < Вх,х >

2гк(Т'(х) 0 - ЩТ)ф{х,Ь).

Гамильтониан, рассматриваемый в последней теореме в случае конечномерности пространства Q совпадает с гамильтонианом, полученным путем квантования Шредингера квадратичной функции Гамильтона. В случае бесконечномерности пространства Q решение может пониматься, как гладкая функция, при подстановке которой в уравнение получается тождество.

По крайней мере в некоторых случаях, решение системы 2 пишется явно. Справедлива теорема.

Теорема 9. Пусть оператор Е — обратим, а оператор Т такой, что Т" = Т и В • Т = Т • В. Тогда для произвольного оператора С такого, что С' = С, С • В = В • С, функция X ' 11—► 1/Т2 — В tan(2it\/T2 — В + С) является решением первого уравнения системы 2. Остальные неизвест-

t

ные в системе 2 находятся так: k(t) = ехр(2г JX(r)dr)(ko),

о

t

c(t) = г f tr(X(r))+ < к(т), k(r) > dr + со, где ko € H, cq € С coom-o

ветствующие начальные условия.

Далее рассматриваются достаточные условия самосопряженности в существенном квадратичных гамильтонианов на областях специального вида.

Теорема 10. Пусть Е — симметричный действительно-линейный оператор на пространстве Н = Q х Р и существует^ линейный ^ оператор^ X ^ такой, ^ что

самосопряжен в существенном на линейной оболочке множества:

Справедлива аналогичная теорема и для бесконечномерного случая.

Теорема 11. Пусть оператор Т — ядерный и существует оператор X такой, что — ядерный оператор, X = ВД + ¿Э(Х), (ВД)' = ВД, (О(Х))' = -Э(Х), Я(Х) < О, ВДЗ(Х) = ЩХЩХ), (-iT + X)' = (-¿Т + X), X(t) • X(t)' + Т • Т' — В = О, тогда оператор Винера-Сигала-Фока самосопряжен в существенном на линейной оболочке множества

В этом параграфе диссертации приводятся также и достаточные условия отсутствия операторного смысла у выражений, полученных при квантовании Винера-Сигала-Фока квадратичных форм.

Теорема 12. Пусть у уравнения X • X' = В — Т • Т' существует решение Хо такое, что (-¿Т + Xq)' = (-¿Т + Хо), Э£Хо < 0, tr(3(X)) ф О, тогда симметричный оператор 'К, заданный па пространстве Шварца выражением

Л : L2(Q) Э f I-» [Q Э q tr{—d2f(q) - 2?df(q) ® Г(Ч)-

if(q)T+VW®\/^q)f(q)}],

не имеет самосопряженныхрасширений с естественными областями.

Из системы уравнений 2 следует формула, из работы7: В параграфе 2.5 найдены явные формулы для семейства квадратичных гамильтонианов

^(Xst Хо)

2if^(xa,xe)xc®hi + 24(xs,xc)x,.®h2 -г^Схв.Хо) <g>h2) - If^JXs.Xc)]

где hi,h2 € Q, а М — такой оператор в Q, что его комплексификация есть самосопряженный оператор, действующий в комплексификации Q. Гамильтонианы такого вида исследовались в работе8. Получены явные формулы решений некоторых задач Коши.

7Кугап И., Смоляное О. Г. Асимптотическая декогерентность в бесконечномерных квантовых системах с квадратичными гамильтонианами, ДАН, 2003.

8Kupsch, J. Tberoleofinjrared&vergßncefordecoherence. J. Math. Phys. 41, 5945-5953. 2000.

Глава 3

В §3.1 появляется понятие открытой квантовой системы. Под открытой квантовой системой понимается подсистема квантовой системы (обычной, а не открытой). Пусть Н = Н» Не, где На,Нс — пространства состояний открытой системы и её окружения соответственно, а Н — пространство состояний всей системы, состоящей из подсистемы и окружения. Эволюция открытой системы описывается в терминах смешапных состояний и зависит от начального состояния окружения. Пусть Ас — начальное состояние (смешанное) подсистемы, и>®и> — начальное состояние окружения (для простоты — чистое), : Н —* Н — гамильтониан всей системы, тогда эволюция Ао задается так:

Ао 1-» А4 = Тгн.(е-^ • А0 ® (ы ® ш) ■

где — операция взятия частичного следа по пространству окру-

жения. Эволюция открытой системы не только не задается в терминах векторов состояний, но и зависит от начального состояния окружения.

В §3.2 вводятся понятия асимптотических декогерентностей для состояний и для наблюдаемых. Произвольная борелевская проектор-позначная мера на прямой Р(>) называется правилом суперотбора- Если для произвольных смешанного состояния Ао, начального состояния окружения а>о, борелевских множеств Д1, Дг таких, что (Нб^Дц, Дг) > О

^Ип^РСД,) • Т11н.(и(1) • Ао0а;о ® • и^)"1) • Р(Д2) = О,

то говорят, что имеет место асимптотическая декогерентность для состояний, отвечающая правилу суперотбора Р(-) и топологии, в которой рассматривается сходимость. Аналогично определяется асимптотическая декогерентность наблюдаемых. Если для произвольных ограниченной наблюдаемой А, начального состояния окружения о;о, борелев-ских множеств таких, что

{Ип^ Р(Д,) • ТЫнДи^)-1 • А И • и(Ь)) • Ы ® и) ■ Р( Д2) = О,

то говорят, что имеет место асимптотическая декогерентность для наблюдаемых, отвечающая правилу суперотбора Р(-) и топологии, в которой рассматривается сходимость. Здесь и(1) = е-'13*. Не формаль-

но смысл понятия асимптотической декогерентности состояний, соответственно (наблюдаемых), означает, что если состояния (наблюдаемые) представлены, как интегральные операторы (ядрами могут служить обобщенные функции) в пространстве, реализованном так, что правило суперотбора задается оператором умножения на аргумент, то декого-рентность обозначает стремление к нулю кусков соответствующих ядер.

В §3.3 приводятся примеры систем, в которых возникают различные декогерентности. Понятие асимптотической декогерентности применимо и к обычным (не открытым) системам. Пусть пространство состоящей реализовано как L2(R), а эволюция определяется L2(R) Э Фй(-) ь-» [R э х 1-+ V'(t)(x) = exp Q)^o(exp (t) ■ х)]. Правило суперотбора зададим оператором умножения на аргумент, то есть Р{Д) — оператор умножения на индикатор множества Д. Для состояний этой системы имеет место асимптотическая декогерентность, отвечающая ядерной топологии, то есть справедлива следующая теорема.

Теорема 13. Пусть distal, Дг) > 0, где Д],Д— борелевскиемножества па прямой. Тогда для произвольного вектора состояния гро lim P(Ai) • V'OO ® * Р(Дг) = 0, где в пространстве смешанных

t—»+oo

состояний введена ядерная топология.

Строить примеры систем с асимптотической декогерентностью позволяет теорема:

Теорема 14. Пусть ÍCi — самосопряженный оператор в пространстве L2(R) такой, что порожденная им унитарная эволюция Uj(t) : L2(R) Э f •-+ [R Э х ь-> Ui(t)(f)(x)] обладает следующим свойством: для всякого компактного множества прямой К tt произвольной функции f € Ьг(11), tlim ||Ui(t)(f) • ЦК)^ = О, где

1(К) — индикатор множества К. Пусть "К2 — самосопряженный оператор такой, что для порожденной им унитарной эволюции Ü2(t) : Ij2(R) Э f i-» [R Э х i-> U2(t)(f)(x)], для произвольных е > 0, момента времени t > 0, функции f 6 L2(R), существует К-компактное множество на прямой, такое, что верно неравенство ||U2(t)(f) • I(R.\K)¡II., < е. Тогда для унитарной эволюции (точнее для

квантовой системы с гамильтонианом, порождающим эту эволюцию) ЩЬ): Ь2(11) х Ь2(11) Э Г х g |-> и^)^) х и2(Ь)(§) имеет место асимптотическая декогерентность состояний и наблюдаемых, порожденная правилом суперотбора, определяемым естественным базисом в пространстве С2.

Замечено, что класс систем может быть расширен.

Естественное на первый взгляд предположение о том, что различие в понятиях асимптотических декогерентностей для состояний и наблюдаемых может быть вызвано лишь разницей в топологиях, оказывается неверным, как показывает соответствующий пример. В этом примере приводится система с конечномерным пространством состояний подсистемы (естественно, пространство состояний окружения — бесконечномерно), где есть одна декогерентность, но нет другой.

В параграфе 3.4 устанавливается связь между наличием у квантовой системы почти инвариантных состояний и асимптотической декогерент-ности.

Лемма. Если у открытой или изолированной системы есть почти инвариантное состояние, то при произвольном непрерывном правиле суперотбора асимптотическая декогерентность состояний отсутствует.

Таким образом, гамильтонианы, полученные путем квантования положительно определенных квадратичных форм, определенных на конечномерном пространстве, задают системы без декогеренткости состояний (правило суперотбора непрерывно). По аналогичным причинам сказанное относится и к гамильтонианам, рассматриваемым в главе 2 пункт 6. Далее в диссертации показано, что условие положительности квадратичной формы очень существенно.

В заключение мне хочется поблагодарить своего научного руководителя профессора О. Г. Смолянова за постановку задач и их обсуждение.

Список работ автора по теме диссертации

jlj Тверитинов И. Д. Преобразования Боголюбова, соответствующие симплекти-ческим преобразованиям. Веста, моек, ун-та, сер.1, математика, механика. #4, 2002, с.9-14.

[2] Tveritinov I. D. Asymptotic Decoherence in Quantum Systems, Russian Journal of Mathematical Physics. Vol 10, No.4, p.487-494 2003

[3] Тверитинов И. Д. Связь между различными реализациями преобразований Боголюбова. Мат. зам., 2004, Т.75, вып. 5, с.797-800.

[4| Тверитинов И. Д. Несколько замечаний о предегавлении бесконечномерной сим-плсктической группы и о построении металлектической группы. Мат. зам., 2004, Т.75, вып.б, с.861-876.

[5] Тверитинов И. Д. Несколько замечаний о декогерентности. Труды 25 Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова 2003.

[6] Тверитинов И. Д. Построение пространств типа Баргмама-Фока, отвечающих различным представлениям ККС. Труды 26 Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова 2004.

»16442

Подписано в печать 01.08.2004 Формат 60x88 1/16. Объем 1.25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 126 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д. 1 Главное здание МГУ, к. 102

1 Построение проективного представления симплектической группы и построение метаплектической группы при помощи унитарных преобразований Боголюбова

1.1 Некоторые определения.

1.2 Представления ККС в различных пространствах.

1.3 Преобразования Боголюбова. Унитарные преобразования Боголюбова. 1.4 Построение проективного представления симплектической * группы конечномерного пространства.

1.5 Построение проективного представления подгруппы симплектической группы бесконечномерного пространства

1.6 О различных проективных представлениях симплектической группы.

1.7 Построение метаплектической группы.

1.8 Связь с картиной Баргмана-Фока.

2 Квадратичные гамильтонианы

2.1 Квантования Винера-Сигала-Фока и Шредингера квадратичной функции Гамильтона.

2.2 О связи между решениями уравнений Шредингера, соответствующих квадратичным формам переводимым друг в друга некоторой симплектической заменой.

2.3 Свойства спектра квадратичных гамильтонианов

2.4 Решения уравнений Шредингера с квадратичными гамильтонианами и условия самосопряженности последних

2.5 Явные решения уравнений Шредингера для одного класса квадратичных гамильтонианов.

3 Асимптотические свойства редуцированной динамики открытых квантовых систем

3.1 Понятие открытой квантовой системы и её динамика

3.2 Асимптотическая декогерентность.

3.3 Примеры асимптотической декогерентности.

3.4 Системы с гамильтонианом, обладающим точечным спектром

Диссертация относится к бесконечномерному анализу. В ней рассматриваются несколько задач, связанных с исследованием (редуцированной) динамики открытых квантовых систем. Именно, в ней строятся представления бесконечномерных симплектической и метаплектиче-ской групп, исследуются условия самосопряженности дифференциальных операторов, возникающих при квантовании бесконечномерных га-мил ьтоновых систем с квадратичной функцией Гамильтона и исследуется асимптотика решений управляющего уравнения, описывающего эволюцию открытых квантовых систем.

Проективное представление симплектической группы строится при помощи унитарных преобразований Боголюбова, являющихся сплетающими операторами для пары автоморфизмов алгебры Гейзеиберга, причем один из этих автоморфизмов получается из другого при помощи симплектического преобразования. Унитарные преобразования Боголюбова преобразуют решения полученных при квантовании квадратичной функции Гамильтона уравнений Шредингера при симплектической замене переменных. В диссертации получены явные формулы для унитарных преобразований Боголюбова в пространстве Винера-Сигала-Фока и установлена их связь с аналогичными преобразованиями в пространстве Баргмана-Фока, которые рассмотрены в работах Ф.А.Березина. Таким образом, преобразования Боголюбова могут использоваться как для упрощения уравнений Шредингера с одной стороны, так и для построения проективных представлений — с другой. Помимо проективного представления симплектической группы в диссертации изучаются унитарные представления её накрытий (в частности, метаплектической группы), которые индуцируют проективное представление. Для некоторой ветви проективного представления вычислен коцикл, и с его помощью построены аналоги метаплектических групп для различных подгрупп сим-плектической группы бесконечномерного симплектического пространства. При этом найдена связь с результатами, полученными в книге Ж.Лион и М.Вернь. Подобные вопросы изучались в работах [24], [2], [12].

Асимптотические свойства (соответствующие большим временам) квантовых систем (преимущественно открытых) исследуются с помощью изучения специальных усреднений решений соответствующих управляющих уравнений, порожденных заранее выбранной спектральной мерой (равно правилом суперотбора), принимающей значение в множестве ортогональных проекторов. В том случае, когда изучается управляющее уравнение для состояний принято говорить об асимптотической деко-герентности состояний; если же используется управляющее уравнение для наблюдаемых (пространство которых двойственно к пространству, являющемуся замкнутой линейной оболочкой множества смешанных состояний), то подразумевается асимптотическая декогерентность для наблюдаемых (точные определения приведены в тексте диссертации). В последние десять лет исследование декогерентности стало одним из наиболее актуальных направлений математической физики. К этому направлению относится, в частности, вышедшая в прошлом году вторым изданием книга [20] (первое издание вышло в 1996 году); в этой книге можно найти и обширную библиографию работ в этой области. В диссертации описаны классы квантовых систем (как открытых, так и изолированных), в которых возникают различные типы декогерентностей. Кроме того, исследованы связи между различными декогерентностями, в частности, отмечены существенные различия между понятием асимптотической декогерентности для состояний и асимптотической декогерентности для наблюдаемых (в частности, что различия не могут быть устранены при помощи выбора топологии). Показано, что асимптотическая деко-герентность отсутствует у систем, полученных при квантовании строго положительной квадратичной функции Гамильтона, определенной на конечномерном пространстве.

Изучение декогерентности потребовало детального исследования квантовых систем с квадратичными гамильтонианами (т.е гамильтонианами, полученными при квантовании классических гамильтоновых систем с квадратичной функцией Гамильтона). Исследование квадратичных гамильтонианов входило в сферу интересов Березина, Купша, Ме-лера, Орнштейна, Саймона, Уленбека.

В диссертации найдены явные формулы для решения задачи Ко-ши (при тотальном множестве начальных условий) для уравнения типа Шредингера с гамильтонианом, полученным путем применения процедуры квантования Винера-Сигала-Фока к некоторой квадратичной функции Гамильтона (которая может быть определена как на конечномерном, так и на бесконечномерном пространстве); при этом заранее (квантовый) гамильтониан предполагается лишь симметричным (но не самосопряженным).

Найдены достаточные условия на квадратичную функцию Гамильтона, обеспечивающие самосопряженность в существенном (на областях специального вида) операторов, полученных при ее квантовании. Кроме того, для таких операторов указаны достаточные условия отсутствия существенной самосопряженности на некоторых областях; конечно, при этом может оказаться, что существует самосопряженный оператор, сужение которого на часть упомянутой области совпадает с сужением на нее исходного оператора, но в то же время действие которого на некоторые элементы (т.е. в рассматриваемом случае функции) из той же области отлично от того действия на них исходного оператора, которое определяется задающим его аналитическим выражением.

Описанные в диссертации решения уравнений Шредингера представлены в явном виде при этом не используется представление решений в виде интеграла Фейнмана.

Показано, что формула, использованная в работе [9J вытекает из полученных в диссертации формул.

Методы исследования

В диссертации используются методы бесконечномерного анализа, а также ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Кроме того некоторые результаты могут использоваться при исследовании эволюции открытых квантовых систем.

Апробация диссертации

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях молодых ученых, семинарах механико-математического факультета МГУ и института математики РАН.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах автора. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, пет.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из трёх глав, разбитых на параграфы. Общий объём диссертации составляет 87 страниц. Список литературы включает 35 наименований.

Краткое содержание диссертации. Глава 1

В первой главе изучаются вопросы, связанные с преобразованиями Боголюбова, порождаемыми симплектическими преобразованиями. Находятся явные формулы унитарных преобразований Боголюбова в пространстве Винера-Сигала-Фока, соответствующие симплектическим преобразованиям как в конечномерном, так и бесконечномерном случае. С помощью этих преобразований строится проективное представление симплек-тической группы (в конечномерном случае всей, а в бесконечномерном случае её некоторой подгруппы), причем это проективное представление может быть порождено унитарными преобразованиями Боголюбова; имеется в виду, что унитарному оператору ставится в соответствие преобразование проективного пространства, построенного по гильбертову пространству, в котором действует унитарный оператор. Далее рассмотрена связь с проективным представлением из работы [12]. Доказано, что эти представления не эквивалентны в обычном смысле, но эквивалентны в смысле Ф.А.Березина (имеется в виду коммутативность соответствующей диаграммы с той разницей, что операторы представления берутся в элементах группы переводимых друг в друга некоторым автоморфизмом, подробнее см. [2]). Для некоторой ветви проективного представления вычислен коцикл и построен соответствующий аналог метаплек-тической группы. В конечномерном случае построенный объект как раз и есть метаплектическая группа. В конечномерном случае метаплекти-ческая группа, являющаяся подгруппой расширения Макки имеет1 двузначную проекцию на симплектическую группу. В диссертации доказано, что в бесконечномерном случае так быть не может; то есть для достаточно богатой подгруппы симплектической группы в её расширении Макки нет подгрупп с двузначной проекцией. В диссертации приведен ряд подгрупп симплектической группы, расширение Макки которых обладает подгруппами с двулистными проекциями.

Указана связь преобразований Боголюбова с каноническими преобразованиями, рассматриваемыми в работе [2]. Используя явные формулы для преобразований Боголюбова, показан вид изоморфизма между различными представлениями канонических коммутационных соотношений (далее просто ККС) имеются в виду представления в пространстве Винера-Сигала-Фока, Фока, Баргмана-Фока.

Также построены представления ККС, аналогичные случаю пространства Винера-Сигала-Фока для неканонической гауссовой меры в терминах пространства Баргмана-Фока (с неканонической гауссовой мерой) и указан соответствующий изоморфизм.

Первая глава состоит из семи параграфов. В §1.1 приводятся определения основных используемых понятий.

Гильбертово пространство Н = Q х Р, где Q, Р — копии действительного гильбертова пространства, вместе с кососимметрической билинейной формой В(-,-) (полученной как мнимая часть эрмитова произведения на пространстве Н с комплексной структурой, заданной оператором

J : (q, p) £ Q x P i—> (—p,q) G Q x P), называется симплектическим пространством.

Группа действительно-линейных обратимых преобразований пространства Н, сохраняющих форму В(-,-), называется симплектической группой и обозначается через Sim(H). Далее указываются аналитические условия принадлежности преобразования к Sim(H).

Представлением ККС операторами в некотором гильбертовом пространстве Е называется отображение Н Э f н-> a(f) (a(f) — оператор на Е) такое, что верны соотношения [a(f), a(g)] = [a*(f), a*(g)] = 0, [a(f), a*(g)] =< f, g >c • Вводится понятие представления ККС с вакуумным вектором: вектор v0 называется вакуумным, если для всех f Е Н a(f)(vo) = О Е Е и множество векторов (a*(fi) • . • a*(fn)|fj G Н} — тотально. Далее приводятся определения пространств: Винера-Сигала-Фока (I^Q,/^)), Фока (FV(H)), Баргмана-Фока (Ьг(Н, /ц)).

В параграфе 1.2 приводятся различные представления ККС опе-Ш раторами в пространствах L2(Q5/ui), FV(H), Ьз(Н, A^i), обозначаемые соответственно через a^s(-), %(•), аь(-). Также определяются операторы Шредингера, которые порождают ту же алгебру, что и операторы представления ККС и связаны с ними равенствами: а(х,у) = = где (XJ)6H = QxP,

В §1.3 каждому линейному оператору А на пространстве Н ставится в соответствие преобразование алгебры операторов ККС Пд так, что Па : qa ь-> qa.(a) + Р/з*(а)> Па : Pa q7*(a) + Р<5*(а)- Устанавливается, что ПА сохраняет ККС тогда и только тогда A G Sim(H). Всякий линейный оператор в алгебре ККС, который сохраняет ККС, называется преобразованием Боголюбова. Также определяются унитарные преобразования Боголюбова. Если {a(f),a*(f)} — представление ККС операторами в гильбертовом пространстве Е, обладающее вакуумным вектором и для симплектического преобразования А существует унитарный оператор Уд, такой, что для всякого a G Q выполняются равенства

Г VX1-qa-yA = nA(qa) ' УХ1-ра-УА=Пд(ра) предполагается, что равенства выполнены на общей области существен ной самосопряженности), то будем говорить, что автоморфизм Пд приводим и симплектическое преобразование порождает унитарное преобразование Боголюбова Уд.

В §1.4 рассматривается симплектическая группа конечномерного сим-плектического пространства и строится её проективное представление. Пусть операторы (qa, ра) — стандартные операторы Шредингера в пространстве L2(Q) (в случае dimQ < оо пространство Винера-Сигала-Фока естественно рассматривать с мерой Лебега). Симплектическому преобразованию А ставится в соответствие унитарное преобразование Боголюбова Уд, которое единственно с точностью до комплексного множителя равного по модулю единице [2] (условие на модуль возникает только если требовать унитарность). Учитывая сказанное, получаем, что симплектическому преобразованию А (конечно, имеется в виду, если существует Уд, что как будет видно, выполняется) корректно ставится в соответствие преобразование Pr(L2(Q)) Э Link{x} ь-> 1лпк({Уд(х)}), где Pr(L2(Q)) — совокупность действительных прямых в L2(Q). Соответствия такого рода рода называются проективными унитарными представлениями (унитарными, так как соответствующее преобразование проективного пространства индуцируется унитарным оператором в линейном пространстве, по которому построено проективное пространство, т.е в данном случае L^Q)). Основными результатами этого параграфа являются явные формулы для унитарных преобразований Боголюбова, индуцирующие проективное представление, т.е Уд.

Теорема (1.1). Для любой функции /(•) из класса Шварца справедливо: VA(f)(x) - е^ Vldet(/3 + a*)|

J ei{ <рх,рДи> <рХ[2>+ <».а/»*.+аД««> + <7/a,,+7<«a»,a»> ax)d2.

Im/3

Здесь a, р — ортогональные проекторы на ядро и на образ операторов Р*>(3 соответственно, а симплектическое преобразование A:H = QxP—> Q х Р = Н представлено блочной операторной матрицей А = ^ ^ ^ ) ' Ф°РМУЛЫ> полученные в последней теореме являются новыми и были получены из известных формул [10] (там требовалась обратимость оператора Р) с помощью предельного перехода. Имеется в виду, что симплектическое преобразование с вырожденным оператором Р аппроксимируется последовательностью симплектических преобразований с обратимым оператором Р, после чего ищется предел соответствующих унитарных преобразований Боголюбова. При нахождении предела производится некоторая замена переменных в интеграле, после чего из ядра интегрального оператора выделяется дельтаобразная часть (т.е сходящаяся к дельта-функции). Ограничения на оператор /3 возникли из-за того, что при выводе соответствующей формулы симплектическое преобразование представлялось в виде произведения симплектических преобразований частного вида (см. 1.4); возможность такого представления как раз и накладывает эти ограничения (имеется в виду обратимость).

В §1.5 результаты §1.4 обобщаются на случай симплектической группы бесконечномерного пространства. Первое отличие — это отсутствие меры Лебега: то есть вместо пространства L2(Q) приходится рассматривать пространство L2(Q,//i). В силу теоремы Шейла (см. [2]) для того, чтобы представление ККС Пд^а^ЩРа) было унитарно эквивалентно представлению ККС qa, ра (qa, Ра — стандартное представление Шредин-гера) симплектическое преобразование А должно быть таким, что преобразование VА'А — I — преобразование Гильберта-Шмидта. Обозначим через S2, Si {Ajx/A^A - I e L2(H)}, {A|— I € La(H)} соответственно, где символы L/2(H),Li(H) обозначают пространства действительно-линейных операторов, которые соответственно Гильберта-Шмидта и ядерные. Как следует из замечания 1.1, множества Si, S2 являются подгруппами симплектической группы. В этом параграфе выводятся формулы для унитарных преобразований Боголюбова, отвечающих элементам из Si. Первая теорема, позволяющая получать унитарные преобразования для некоторых элементов из Si имеет вид:

Теорема (1.3). Если А = (а,Р, 7,5) — симплектическое преобразование, причем оператор Р — околоедипичный, а а, 5 — ядерные операторы, то для цилиндрической функции /(•) из класса Шварца унитарное преобразование Боголюбова задается следующей формулой: VA(f)(x) = е^^^И^/З + а<5)| ехр р ; f <рх.р5п> | <г.а/3*г+аД*ах> , <-уА*а+чД*ах,ах> i <z,z:>-<(;3*-t-[?*.-0(z+Hx),(fi* + i5%)(z+ax)>

I gll 2 2 -t- 2 } ^ q § lm/3 f(/?*z -f- 5*ax)d/zi(z).

Ограничения на операторы a, 5 обеспечивают возможность продолжения подынтегральной функции до измеримой на расширение пространства Q, на котором образ меры счетно-аддитивен [7]. Условиям последней теоремы удовлетворяют лишь некоторые элементы из Si, поэтому для распространения явных формул на другие элементы группы Si приходится изучить унитарные преобразования Боголюбова, отвечающие унитарным операторам в пространстве Н, что удобнее производить в пространстве Фока. Отсюда получается важная теорема.

Теорема (1.5). Пусть последовательность унитарных операторов {Un} сходится в сильной операторной топологии (в топологии поточечной сходимости) к унитарному оператору U. Тогда последовательность соответствующих унитарных преобразований Боголюбова V\j„ сходится к Vu в сильной операторной топологии. Конечно, имеется в виду при определенном выборе (имеется произвол с точностью до скалярного мноэюителя с единичным модулем) преобразований Vun

Последняя теорема позволяет получать формулы для унитарных преобразований Боголюбова, отвечающих произвольным симплектическим преобразованиям из Si. Имеется в виду, что симплектическое преобразование раскладывается в композицию унитарного и удовлетворяющего условию теоремы 1.1, после чего применяется следующая теорема.

Теорема (1.6). Пусть U : Н —► Н унитарное. Тогда для каждой последовательности возрастающих конечномерных подпространств Qn С

00

Qn+i С Q таких, что (J Qn = Q, каждой последовательности уни

П=1 тарных операторов Un : Q п * Рп —* Qn * Рп такой, что последовательность {UnxPr((QnxPn)-L)} (символ Рг обозначает ортогональный проектор) сильно сходится к U, последовательность {Vyn ® ^} сильно сходится к Vu- Формулы для Vyn могут быть взяты из теоремы 1.1 (конечно, надо учесть, что мера гауссовская и выбрать унитарное преобразование Боголюбова так, чтобы вакуумный вектор был собственным с собственным значением один).

Так, используя полученные формулы, показан вид изоморфизма представлений ККС в пространствах Фока и Винера-Сигала-Фока (см. 1.5.)

В параграфе 1.6 проводится сравнение построенного проективного представления с проективным представлением симплектической группы конечномерного пространства, рассматриваемого Ж. Лион и М. Вернь в [12]. Сама конструкция представления из работы [12] в диссертации не излагается, так как было замечено, что оно -^-эквивалентно проективному представлению, построенному в диссертации. Представления T(-),Ti(-) группы G называются ф— эквивалентными, если существует автоморфизм ф группы G такой, что Т(ф(-)) и Ti(-) эквивалентны в обычном смысле. Это понятие было введено Ф.А. Березиным см. [3]. Доказано, что отображение ф : Sira(H) Э ^ (6,ъР,а) Е Sim(H) является автоморфизмом симплектической группы (см. предложение 1.7), который и осуществляет ф — эквивалентность. Конструкция, применяемая в [12] не приспособлена для переноса на бесконечномерный случай, поскольку использует инвариантное интегрирование. Доказано, что представление из работы [12] не эквивалентно представлению, построенному в диссертации (см. теорему 1.9).

В §1.7 строится аналог метаплектической группы (это такой объект, что в конечномерном случае совпадает с метаплектической группой). Пусть дано некоторое проективное представление Si (можно считать то самое, которое построено в диссертации), которое индуцируется операторнозначной функцией, принимающей значение в множестве унитарных операторов в пространстве, по которому строилось проективное пространство (конечно предполагается наличие необходимых структур). Такое проективное представление естественно называть: проективное унитарное представление. Выбор соответствующей функции, которая порождает данное проективное представление, аналогичен выделению ветви многозначной функции. Если зафиксирована некоторая ветвь Т : Si Э g > Vg, то функция с : Si х Si —» S1 такая, что T(gi) о T(g2) = c(gbg2)T(gig2), где S1 = {z € С : |z| = 1}, называется коцикл. Если есть некоторая ветвь проективного представления, то можно построить расширение группы Si на которую выбранная ветвь поднимется до нормального представления. Более конкретно, если дана группа G и ее проективное унитарное представление с некоторой ветвью Т : G —> U(H), коцикл с : GxG —► S1, то можно построить расширение G такое, что проективное представление Т группы G поднимется до обычного представления Т группы G. Как множество группа G отождествляется с G х S1, а умножение определяется так: (g, t)(gi, ti) = (ggi, ^г^у). Эта группа называется расширением Макки группы G. Если положить T((g,t)) = tT(g), то получится настоящее (не проективное) представление группы G. Если в качестве G взять Si, то получится некоторое накрытие, на котором проективное представление поднимется до обычного. В случае dimH < со в [12] строится двулистное накрытие симплектической группы, на которое проективное представление поднимается до обычного. Полученная группа называется метаплектической. В диссертации ветвь выделяется условием Vg(l)(0) > 0 (значение функции в точке определено естественным образом, так как функция есть экспонента от квадратичной формы) и вычисляется коцикл.

Теорема (1.11). Если симплектические преобразования gi = (e*i, (3\, Yi, £i), g2 = (a 2,/?2,72) ^2) — около единичные (множество их обозначим через Gij, то det(ai+\-pi) det(Q2+i-/?2) / \2 Idet^i+j./jQI ' |det(aa+i-fl>)l det(a3+b/33) ' det(a-3+i-/93)| где gi • g2 = («з^зЛз^з).

Также вычислен коцикл для элементов Si (предыдущая теорема пригодна для элементов Gi) см. теорему 1.10. Используя полученную теорему, строится подгруппа в расширении Макки группы околоединичных симплектических преобразований, имеющая двулистную проекцию (в конечномерном случае метаплектическая группа) см. теорему 1.12. Так же указан класс подгрупп в Si для которых в расширении Макки есть подгруппы с двулистной проекцией (см. теорему 1.13 и замечание 1.4 к ней). Доказано, что в бесконечномерном случае в расширении Макки для Si нет подгруппы с двулистной проекцией (см. теорему 1.14).

1. Accardi L., Smolyanov О.G.Extensions of spaces with cylindrical measures and supports of measures generated by the Levy Laplacian. Mathmatical Notes, 1998, 64, № 4, 483-492.

2. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. M. Наука. 1965.

3. Березин Ф.А. Несколько замечаний о представлении соотношений коммутации, УМН, 1969, Т. 24, вып. 4, с. 65-88.

4. Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука 1999.

5. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Квантовые поля. М., 1980.

6. Х.-С. Го. Гауссовские меры в банаховых пространстранствах. Мир, 1979.

7. Дал едкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука 1983.

8. Лион Ж., Вернь М., Представление Вейля, индекс Маслова и тэта-ряды. М., Мир, 1983.

9. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Мир 1977, Т. 1

10. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Мир 1978., Т. 2.

11. Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы. МГУ 1990.

12. Adler, S.L. Why decoherence has not solved the measurement problem. Report quant-ph/0202095. 2002.

13. Albeverio, S., Kolokoltsov, V. N., and Smolyanov, O. G. Continuous quantum messurement: local and global approaches. Rev. Math. Phys. 9, 827-840.

14. Araki, H. and Yanase, M.Measurement of quantum mechanical operators. Phys. Rev. 120, 622-626; reprinted in Wheeler and Zurek. 1983.

15. Baez J. C., Segal I. E., Zhou Z. Introduction to Algebraic and Constructive Quantum Field Theory. Princeton University Press, Princeton, 1992.

16. Joos E., Zeh H. D., Kiefer G., Giulini D., Kupsch J., Stamatescu I.-O. Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory. Springer, 2003.

17. Kupsch, J. Mathematical aspects of decoherence. In: Blanchard et al. (2000), p. 125136.

18. Kupsch, J. The role of infrared divergence for decoherence. J. Math. Phys. 41, 5945-5953. 2000.

19. Kupsch, J., Smolyanov, O.G., and Sidorova, N.A. States of quantum systems anc! their liftings. J. Math. Phys. 42, 1026-101037. 2001.

20. Ottesen J. T. Infinite dimensional Groups and Algebras in Quantum Physics, Springer, 1995.

21. Smolyanov O.G., Weizsacker H.v. Infinite dimensional analysis, quantum probability and related topics, V.2, № 1, 51-79, 1999.

22. Zurek, W.H.Sub-Planck structure in phase space and its relavence for quantum decoherence. Nature 412, 712-717. 2001.

23. Zurek, W.H.Decoherence, Einselection, and the Quantum Origin of the Classical. Rev. Mod. Phys-quant-ph/0105127. 2003

24. Zurek, W.H. and Paz, J.P Reply to Comment on Decoherence, Chaos, and the Second Law. Phys. Rev. 75, 351, 1995.29j Zurek, W.H., Habib, S., and Paz, J.P. Coherent States via Decoherence. Phys. Rev. Lett. 70, 1187-1190. 1993.

25. Тверитинов И. Д. Преобразования Боголюбова, соответствующие симплекти-ческим преобразованиям. Вести, моек, ун-та. сер.1, математика, механика. №4, 2002, с.9-14.

26. Tveritinov I. D. Asymptotic Decoherence in Quantum Systems, Russian Journal of Mathematical Physics. Vol 10, No.4, p.487-494 2003.

27. Тверитинов И. Д. Связь между различными реализациями преобразований Боголюбова. Мат. зам., 2004, Т.75, вып. 5, с.797-800.

28. Тверитинов И. Д. Несколько замечаний о представлении бесконечномерной симплектической группы и о построении метаплектической группы. Мат. зам., 2004, Т.75, вып.6, с.861-876.

29. Тверитинов И. Д. Несколько замечаний о декогерентности. Труды 25 Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В.Ломоносова 2003.

30. Тверитинов И. Д. Построение пространств типа Баргмана-Фока, отвечающих различным представлениям ККС. Труды 26 Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В.Ломоносова 2004.