Движение изменяемой модели Земли, неоднородной по плотности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

.1 г 1

КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕН!! ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. АЛЬ-ФЛРАБИ '

На прпгг.х рукописи

ДАРЛЕВА ГШЬНАРА ШРАМОВНА /

ЛВИЖЕТ-ВЕ ИЗМЕНЯЕМОЙ МОДЕЛИ ЗЕШШ, НЕОДНОРОДНОЙ но плотности

(специплипсть 01.02.01 - теоретическая ».'^хлттка)

Автореферат диссертации нп соискание ученой степени кандидата фиргко-мят^мо.тическох иауг

А тмч-Лта

- 1392

Работа выполнена б Институте механики и машиноведения Академии наук Республики Казахстан

Научные руководители .--академик АН Республики Казахстан, доктор технических наук, профессор Ж.с. Ержанои, -член-коор. Петровской АН/, доктор физико-математических наук, профессор A.A. Калыбаеа Официальное оппоненты:-доктор физико-математических наук, ■ профессор В.Г. Домин, -доктор физико-математических наук, профессор И.Л. Генкин.

Ведущая организация: Казахский политехнический институт им. В.И. Ленина

Защита состоится "jz-iuu'he- 1992 г. в jc** часов на заседании Специализированного сопата К.058.01.09 Казахского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им. Аль-Фараон по адресу: 480012, Алма-Ата, ул. Масапчи 39/47, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться-в библиотеке университета.

Автореферат разослан г. Учений so кретарь сяоциэлизиродшшого

оспета, гяидитят фаз.-кат. наук oß&ou^f л. К. Томшг.т'

РОССИЙСКАЯ

СУДА-••'/! 35Н[-!АЯ

БИБЛИОТЕКА

ОКЦАЯ ХАРАКТИГДОТЖА РАБОТЫ

У-ктуальность т.чш. Оущэстпуйшо тоорш крашения Земли от-1!г,с.1твлы!0 ее центра мисс, построенные 'в ограниченной постановка п тэл, прздставлчет Землю как абсолютно твердое тело.

придания Земли, выявлению гоодезическими и геофизическими мэ-тодьма, сьздэтельствук>т о он доформаруомостл и глубгапшх предо асах, сопровождаемых образованном аномальных масс и связан-пим с шми эффектом дшшмнчвсноП неуравновешенности Зоыли. При этом, шэн несомненную актуальность для механики и геофизических приложений, остаются открнтимл вопрос« об определении . фи* ■ »

гури равновесия и напряженно- деформируемого состояния неоднородной Земли . Актуальность этих вопросов витекя&т, также из проблем« Стокса построения внутреннего ньютоновского потенциала,- известной как внутренняя проблема Стокса, и установления закономерностей вращательного движения Земли с учетом ее неоднородного строения и деформируемости.

Объектом исследования, является со^Тавно«} днухолсВДов тело, представляющее изменяемую модель Земли. В ноП внутреннее и. внешнее ядра приняты за' единое „абсолютно твердоо тело , а -мантия , астеносфера и литосфор» - неоднородный - по плотности сплошной изь^р-лскиЯ зиругт". Г'ЪорипискиЯ слой. Зта модель сохраняет ~геодрзичоски(з, геофизичас.^с, и упругие параметр« реальной Земли - фигуру /о(У), объем /, ограниченный физической поверхностью, значения сферических гармлшк шестеро гравитационного поля,плотность и ее скачки на границе слоев, а также упругие характеристики А.; р., скорость вращения и , геомотри-

Ьреравистсо, слоистое отросцж-э, особенности фигур« и элемантов

ческсе и динамическое сжатия а, Н.

Цель__иссле^ОЕШЩЛ :

■ определить фигуру равновесия, напряженно - деформированное состояние, плотность изменяемой модели Земли и оо внутренний ньютоновский ротенциал в постановив внутренний проблему Стокся.

- выявить закономерности, предэлъний режим и устойчивость вращения мода.™ Земли.

- установить динамическую взаимосвязи между предельном режимом и фигурой равновесия модели Земли, так чтобы выполнялись оценки приближения модального решения к решению, счгисываю-дему Фигуру равновесия, ньютоновски" потенциал и плотность реальной Зом.чи.

Научная новизна заключается в доказанной корректной разрешимости задачи об определении напряженно - доЗормкроззн-ного состояния фигура равновесия к строения Земли, п решении ^нутрншюй проблемы Ст.окса нь основе современных представлений о фигуре и структур« внешнего гравитационного поля Земли и я установлении закономерности движешь, особенности фигуры равновесия и строения изменяемой модели.

Практическая ценность. Построенный уорректный конструктивней метод однозначного определения плот,;ости, внутреннего нютоновсксго потенциала и фигур"; равновесия неоднородной Зем-лл обосновывает механизм образования плотностной неоднородности и, как следствие, аномалий гчеииего гравитационного поля, имеющих- первостепенное значение в и а у к-л с Земле. Результаты исследования могут быть использованы в динамике естественных и искусственных небесных тел, в астродинамике, кссмичаа'-сй

геодезии и геофизике-.

На защиту выносятся:

- обоснование корректности постановки задачи о напряженно -деформированном состоянии изменяемой модели Земли и метода ее решения, обеспечивающего достижение оценки приближения -модельных фигуры равновесия и внутреннего гравитационного поля Земли;

- решение в модельной постановке проблемы Стокса для гнутрен-него ньютоновского потенциала, определение фигура равновесна и функции распределения вещества неоднородной Земли при квазирегулярной прецессии;

- некоторые закономерности вращательного движения и особенности фигуры равновесия модели Земли с учетом момента сил упругих деформаций;

- численный анализ построенного решения на основе спутнитовнх моделей внешнего гравитационного поля Земли серия GBL

Апробация работы. Основные результата работы докладыпз-лись в 1985- 1992 гг. на научных семинарах по механике Ипотл-тута сейсмологии Alt Г'К, а -затем Института математики и кехггл-ки АН FK (науч.рук.- акад. АН FK Ж.С.Ержапзп). на сомтаюрях го общей механике Московского овтодорэтэтого института(ноуп.рук.-проф. С .Г.Журавлев.г Москва, 1038 г.), на o-wiDpe по тС' оной механике Института теоретической астрономии ГЛН(нпут.гук.

- проф. Л.Г.Сокольский, г.Санкт- Петербург. ЮЭОг.'), им yoirt"-ртрот молодых учотг-ix АН ГК (г. Алма- Ата, 19:30- г.).

Структура и сСэдл работы. Дискртчцютшая ра'отэ' оо?:--:;п из ввод'ч'ня, "лав, ocvcmis r-ч водов, оггисн'а лпт?рэт;*р н"им''нсг;:1л)й и .'jwpwp '-трапщ н-пчитгаопго V"ct.T.

из которых 4 страниц занимают рисунки и таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. '

Во введении обоснованы актуальность и новизна теш исследования, сформулированы постановка задачи и цели исследований. ■

В первой главе "Обзор литературных работ и -математические модели движения твердых и упругих тел. Постановка задачи ис-' следования" рассмотрены основные задачи по определению фигуры равновесия, плотности моделей Земли, совершающих заданное движение. Приведен краткий обзор истории исследования фигуры равновесия от абсолютно твердых моделей Земли ( И. Ньютон, Л. Эйлер, Дж. Дарвин), жидких вращающихся масс ( А.Пуанкаре, А. -Клеро) вплоть до несжимаемой неоднородной модели Земли с упругой оболочкой и жидким ядром (Г.Джеффрис, М.Молоденский) и сферической модели Земли, представленной концентрическими слоями, неоднородными по плотности ( Л.Лейбензон). Построение моделей Земли вращающихся как абсолютно твердое тело с учетом -упругих свойств связано с трудностью неоднородного внутреннего строения Земли.

Известны четыре подхода определения плотности Земли по ее внешним проявлениям:

- определение в связи с классической проблемой моментов Стильтьеса;

- определение в связи с теорией ньютоновского потенциала;

- определение в связи с обратной кинематической задачей сейс-мики;

- определение по ее собственным колебаниям.

Первые две постановки сформу.ттровани для абсолютно твер- ,

дых моделей, две последующие - для сферически однородных моделей с учетом упругих свойств Земли. Каждая из них относится к числу операторных уравнений, некорректных по Адамару.

Одним из источников информации о строении Земли является ее внешнее гравитационное поле - геопотенциал ив. Для сферически симметричного распределения плотности Земли, представляемой точной сферой,ньютоновский потенциал имеет вид

СМ

иг = -

Е г

Космическая геодезия, основанная на методах небесной механики и высокоточных определениях времени и координат положения искусственных спутников, располагает превосходными моделями геоготенциала

ОН г " , аи " !

V. е. ф) - — Ь - 2 МЧ Рп(соа е;ап > £ 2 (-*_)

1 п=Г т п=)т=Г

Р (соэо;^Сптасоз щ + 5птз{п Щ

(I)

Ряд (I) сходится регулярно вне минимального шара с поверхностью 0Е , целиком охватывающего Землю, и представляет собой решение уравнеш!я Лапласа Лиг = 0. Его Фурье- коэффициента (п г т > О)

С

J = С

п по

пй

пЬ

- Щр^е.мг-р^с

ОГО)

ссзк\

з1пКК

2(n-k)\ -

б _=i,ö .= - ,k = 1,П (2)

n° nk (ra-k)l зависят от плотности распределения р вещества в обгеме V£, ограниченном фигурой Земли- земной поверхностью Q£ .

Для абсолютно твердой модели Земли успешно развиваются и находят приложение в современных задачах изучения физической поверхности Земли и ее внешнего ньютоновского потенциала (теория М.Молоденского ) прямая и обратная теоремы Стокса. Отмечено отсутствие решения задачи нахождения внутреннего потенциала, связанной с определением плотности Земли. '

Модельные постановки задач определения фигур равновесия и особенности вращательного движения деформируемых твердых тел решают вопросы теории упругости и динамики тела независимо, и в основном без учета непрерывного изменения плотности. Преимущественно рассматриваются: твердые составные тела с упругой присоединенной массой однородной по плотности ( Г.Денисов, В. Новиков ); упругие тела с полостями,содержащими жидкость, совершающие свободное движение около центра масс (В. Румянцев) движение однородного изотропного упругого- твердого тела с неподвижной точкой ( В. Вильке ) ; поступательно- вращательное движение Земли с учетом ее неоднородного слоистого строения (Ж.С.Ержанов, А.А.Калибаэв, A.A. Баймухаметов, Т.Т.Коржымба-ев); построение модели Земли с учетом непрерывного изменения плотности в ограниченной постановке ( Ал.К.Егоров,.А.Исаев ).

В заключении главы сформулирована общая постановка задачи исследования, приведен метод решения. В частности: - определить напряженно-деформируемое состояний, плотность и фигуру равновесия составного упругого - твердого тела;

- определить решение проблемы Стокса в модельной постановке;

- установить закономерности вращательного движения составного упругого - твердого тела с учетом момента сил упругой деформации;

- провести качественный анализ уравнений вращения модели Земли, исследовать предельные режимы движения и на основании первых интегралов уранений движения получить оценки на решение системы.

Во второй главе " Квазирегулярное движение. Фигура равновесия и строение модели Земли в постановке проблемы Стокса" решена задача об определении фигуры равновесия, плотности, напряженно- деформированного состояния и внутреннего ньютоновского потенциала Земли, моделируемой составным телсм: абсолютно твердый шар постоянной плотности с упругой изотропной сферической оболочкой, неоднородной по плотности . Модель Земли совершает поступательное движение и вращается около центра масс 0В с постоянной угловой скоростью и>. Известны геопотенциал ив, фигура /0(\7В). Выписано аналитическое решение задачи и проведен его качественный и количественны!! анализ при квазирегулярной прецессии.

В'начале, сохраняя общую постановку, сформулирована вспомогательная задача, для ее конструктивной разрешимости построен итерационный процесс, показана его сходимость.

На первом шаге изложена методика построения решения. Система уравнений Ламе, Пуассона и закона сохранения мпссн описывает напряженно- деформированное состояние, внутренний ньютоновский потенциал и плотность упругого слоя

(Я.+2(л)£гск* <Ии й + [)АЙ = "рй (3)

Ро^о - Ли1 = - 4*Рп

с граничными условиями: на внутренней поверхности г = ао радиальная составляющая вектора перемещения

иг= О (4)

на внешней поверхности г= а, скалярное произведение радиуса-

—л

вектора г на тензор напряжения Т

~г" • Т = 0 (5)

а внутренний потенциал

и1 = ив (6)

Здесь Я, ц - упругие постоянные,т0, 1п - элементарные объемы, р0 и рп - плотности, соотвественно до и после

деформации, А - оператор Лапласа, рК - вектор массовых сил

рк = вгаа ф, ф= « + + и* (7)

где " =- - и2ггр(г,е,ф)а1п2е потенциал центробежных.сил вращения,

4% а

- и*=— / рг2йг- внутренний ньютоновский потенциал абсолютно й о •

твердого шара.

Здесь и в дальнейшем постоянная гравитации С принята равной единице, все физические величины - обезразмарены, что учитывается при качественном и количественном анализе решения.

Назовем обратной проблемой Стокса задачу определения внутреннего ньютоновского потенциала и^"как решение уравнения Пуассона с граничными условиями на и функцией р, удовлетво- . ряидей системе интегральных уравнений (2). Последнюю методом

регуляризации Тихонова, можно свести к система уравнений второго рода и решение построить последовательными приближениями, исходящими из произвольной функции распределения р(. С учете?! газопылевого пропсховдения выберем р( = а(г~'+ а2г°+ а3г + а4гг, сохраняя при этом значения средней плотности и Фурье- коэффициентов <Г0, 0;о, 3(0, а также значения плотности на поверхности и ее скачков на границе раздела упругого и твердого слоев, и упругие свойства модели Земли.

На первом саго внутренний ньютоновский потенциал упругого слоя из-за радиальной симметрии его плотности р) будет г а.

41С В

I, 1 Г

|г' гр0 (г' )бг' ±4к |г' Р0 (г' )<3г' (8)

Решение уравнения Ламе с правой частью, определенней в силу (7),(8) построим в виде ряда по полиномам Лежандра

и = I А£(Г)Р{(соз9),

Г'1 1=0,2,4

и ={2 Вг(г)Р{(С039)} зШ

9'' 1=0,2,4 '

где А{(г), В{(г) - суть решения обыкновенных дифференциальных уравнений, постоянные штегр^грования которых определяются из граничных условий.

Для построения вектора перемещения использован метод разбиения решения при задатшых внестних нагрузках

а = а0 + а *

Здесь й°- решение уравнения равновесия, соотвествумцее

действии кассовой гсш рК ¡"1 к.;эе? кид 2°= ¿гаЗ .таЗса

частное рокениэ уравнение Пуассока

) - а>

¿й(ТЦ>)

а - модуль сдккга, г- - когфЁгциант Пуасссиз.

• Уставке отсутсг-ля запрягэнкя на кизгл-Л. поперхности в компонентах взктора х^.рлкотш будет,

+ п

(?- Г)= Г.^г= г(оД, ггв ^-"г([ог* + о* ])$,

+ [<в + = О- ■

Следовательно

^ : < = - о°.Ч*в = - 1% ф

символами (>)и (0) -выделена'значения соотвэствзшю для векторов Й* и

Тогда вектор й* есть реаениз одазрздкого уранвния равновесия с граничными условиями (4)-(9).

Деформация схэя сопровождается тарэр&стдоцз.пэгаэд касс внутри Земли. При атом плотность найдена из закона сохранения масс, с учетом малости деформащми

р = р У -<р, (г)Р (сс^О)

2 '1 ' 1=0,г,4

Итак, решение задача (3)-(7) на шрзс« пгге построено. Порейдем кс второму, об&-жу длл всего процесса, шагу. Пэтэнци-я.п V; сохраняет свой вид. Внутренней нъьтоковский гготонц;;^ 1ч ко?: »»тонга уравнения Пуассона /. I) „ =- —.Чр, «чек в вадэ

. Щ , = 2 ф (г)Р.(О) - pssohejj обыкновенных дифференциальных 0 t ■ t

уравнений, их гостокшпе определяются условиями (6). С учетом и U. ,, нейдем массовые силы, построим ревэшга уравнения Ла->сз с гранкчкшл! условхял! (4), (5) , затем используя, закон со-лраношш кассы, определи'плотность; Тем сылгм цикл замыкается, :i на последу1ХЦ1Х шагах реизж:е строится аналогично. ' Продолжая списании?: итерационная процесс, будем иметь последовательность плотнсстзй, со'отЕествувдга ей последовательности векторов перемз'донкА и впутрещглх потенциалов. -Доказаны сходность и устойчивость процесса независимо от входных дашшх.

lía основе псстроэшюг'о решения вспомогательной задачи вн-елснко аналгапэскоо рэпс-ние обп;зй постановки задачи определены фигуры равновесия, напряженно - деформируемого состояния, ссроенкя я гаутреннего ньютоновского потенциала изменяемой мо-дэлз 2с»для'при квазлтрогулпрноЯ прецессии.

В ззгшочеявд глава проведен сравкателышЯ титз рпшвтп на основе спутниковых и гес|лгаическпх данных о 3?;М'Г°. Устзног,-лено хорошее соотвествл-э построенной код«?ли к реальной 'фигуре Ил гр«Тчках я v.'.z"iííiñ7. продставлетятч •^унппт, с!гтсч«пк}-•:¿so поверхность и плотг.осаь модели , a n&.w, *шс«№лкя бчутг-í'I-!ыго ньютоновского потэяцязлэ. *

В трэ?ызА глава ызяслют й иптегралы'оЗ Тмгг-.'з утлвиадтя двдоюяя составяогэ упругого- тпзрдого тел?.: получены ne¡ интегралы, и }'я та огкоде опр-чдрлавн век^гпруэ зз^нпм^ггюст;! и кэтеетвзяпчз особзнноота вращятелкюго двпкепяя-и фигуры рам?о<?зсия с уч-лпм iva-лента с;тл упругой доформяияп. Гг^котре-ivj пр-з долимо рекпха ьрацекия и их устойчивость.

Рассмотрим задачу об исследовании закономерностей вращения гравитирующего составного упругого- твердого тела, неодно: родного по плотности, подверженного упругим деформациям под действием сил инерции, внутренней и внешней гравитации.

Как и раньше во второй главе, под составным телом будем понимать изменяемую модель Земли, т.е. упругое тело со сферической полостью, содержащей абсолютно, твердый шар. При этом шар занимает область упругое тело в недеформируемом состоянии- область 02 с' внешней и внутренней границами й2 и 3(, соответственно. Введем собственную . систему координат Ох^^ с началом в центре масс составного тела, жестко связанную с шаром, и.обозначим через р; = сог^ плотность пара, р2(х, ,х2,х3Д), й - плотность тела и вектор перемещения, а & -

угловая скорость вращения составного тела.

Уравнения движения получим из принципа Даламбера-Лагранжа

к = ° (10)

V

где индекс суммирования следует заменить на операцию интегрирования по областям П и П2>

Тогда уравнения вращательного движения получим в виде

[,7, + .Г2]й + й * (,7; + «7г)й +J & +. 2) » 1й + 25 » ¿1 р2й1 =

(И)

= М0 + /[(г + й) > Р1 р2йт + /[(? + й) « /1 (За, » » » ■ +

| ей + 2& * й +(5 х + й) + й *1й * + й) - ПОй рлх

- / } Ой £Й. + еЕ[й] = 0. (12)

3'

Здесь JfI ¿г - тензора инерции твердого тела и деформированного упругого тела в осях Ох.х_х_, М0 - момент внешних сил относительно точки 0, приложенные к твердому телу, Р и Г -внешние массовые и поверхностнвые силы, последний член выражает вариационный принцип Даламбера, записанный для потенциальной энергии упругих деформаций . ; .

^ .. 0 в д и. вЕ =(уЕ[й),ей) = Г-ви..£1т, и, ,= -,

в = aшгi^eто»e^^ • еи = ( "и + ил}

Квадратичная ann^Jeгme^J Форма полокительно определенная. Уравнения (2), (3) записаны в предположении, что диссипация энергии отсуствует.

Для записи полной системы уравнений движения составного тела необходимо учитывать его напряженно- деформированное состояние, внутренний ньютоновский потенциал, а также относительное движение точек упругого тела по отношению к системе координат Ох?х2х3 и возникащие внутренние напряжения, плотность которых на поверхности с внесшей нормалью % обойгэчим через рп. Вектор рп линейно выражается через напряжения р{ ((= 1,2,3) на взятых в той же точке упругого тела площадках, ортогональных осям х(

Рп = ?>, V % V Ь • (13)

гс{ - косинусы углов, образуемых вектором А с осями х{. Проекции вектора рг на оси х{ обозначим а^, = .

»

*

Уравнения движения сплошной среда тогда имеют вид

в а-, да-, да— дги

—— + —^ + —+ р _ р-- = о

д г д х От х д гг

да— д о__ д о„ дгv

—П + —+ —+ р _ р-- = о (14)

эх ах ах 7 .Й Г

д о_ д о,_ в О— дги>

АЛ ал ^ > ДА. + р _ л _ — П

Ох эх ах -ъ д ^

ИЛИ ^ ■ .

вЬ + в Ъ, д Ъ. д р

р( -+ ¡5 « б ) = рР + —+ —^ 4-

Э4 хг О Х^ . 0 х3

Р - плотность массовых сил, рг = р2(Х{, 1) -плотность упругого тела.

Для определения тензора деформации следует добавить обобщенный закон Гука в тензорной форме

V ' Л .

вЕ + е 1 , (15)

Т = 2ц Г-9Е + е 1 ,

I 1-2У >

или в форме обратного соотношения

1 . * . V. . - т

е = — | Т--оЕ Т, (16)

1 1-2г> }

Л А Л

Т, е - тензоры напряжения и деформации, соо-твественно, Е -

л , 1 <3 й . О

единичный тензор, 0 = й 1и и, с = — (-+ V и), V = -г— +

\2 й г Ох

д д

+ — + — . Напряженно - деформированное состояние тела, его а у а а

внутренний ньютоновский потенциал описываются системой уравнений Ламе и Пуассона, соотвественно

егай сИи и + цДи = рК.

Л и = -41ср ... (17)

где рК = 5гсй Ф, - вектор массовых сил вращения, Ф = Л' + иг + * *

0Г, V? -потенциал центробежных сил вращения, иг -внутренний

ньютоновский потенциал абсолютно твердого шара.

Решение система (17) построено во второй главе. Окончательно, уравнения (II), (17) представляют замкнутую систему уравнений, описывающих вращательное движение тела.

Граничные условия - на внутренней поверхности 'кинематические, накладываемые на радиальную составляющую вектора перемещения

иг| = 0 (18)

- на внешней поверхности Б2 - скалярное произведете радиуса-вектора ? на тензор напряжения Г

Ь • Т| = 0, .

^ (19)

а также сохранения следа внешнего гравитационного поля .

и2 = иЕ (20)

Начальные условия имеют вид ,

й(р,д,г)| = ш , й I = 2 | =0. |£-0 0 |1=о |í=o

Для уравнений (II)- (17) получены первые интегралы - интегралы энергии и площадей. Если действующие силы потенциальны, то существует интеграл энергии

Т + Е + П = Ь -= сорМ (21)

где Т -кинотичоская опертая системы, Е - потенциальная энергия

* . . \

упругих деформаций, П - силовая функция всех внешних сил, сил поверхностного натяжения и деформации, приложенных к телу.

Допустим, что действующие на тело вращения внешние силы, не дают момента относительно некоторой неподвижной оси х^. Тогда проекция момента количеств движения системы.на эту ось остается постоянной, и имеет место интеграл площадей

К0- I '3 = сопаг. (22)

где К0' - момент количества движения относительно оси хд', 13 - единичный вектор 13 «? Оху удовлетворяющий уравнению Пуассона ■» .

-2 + й » I ' - 0 (23)

Л 3

Выражение (23) следует добавить к системе уравнений (II)-(17), описывающей вращательное движение тела.

Рассмотрены предельные режимы вращательного движения вокруг вертикальной оси. Относительно нее уравнения (II, 12, 23) .имеют вид

(.Г, + «Г2)Й> + ¡5 «(Л, + (г* + й) 2 р йх =

пг ... „

= + /( ? + Й ) х Т Ь3 р2(*г, ■ (24)

"г

'' / [ й + (5 « (г* + и) + & «■ (?) » '<* й)1- Рг ]вй р2 йх +

+ ,0и) - 0, —3 + й » е = О. <к

Относительно Оа существует момент количества движения

°а = (( V •Уй,){г'' ' (25>

Полная энергия системы имеет вид

1 * ■* ' • 2

Я [и,е,,и,и) = — ( .Гш.ы ) + - Г [й » + й) +■ Й] р ¿т +

3 р ' ?

2 2 П2

+ Е[ й ] + 1Л М ]+/(? + й ) » 9 р2<3т,

и - функционал потенциальной энергии гравитационных сил, П =

* 2 - радиус- вектор точки упругого тела относительно центра масс. Решения уравнений (24), ввиду отсуствия дисссипации энергии, определяют стационарше точки функционала 11 .-Для этого решается задача на условный экстремум функционала 11. Составлено соотношение

"1

Ф = %( р.- д ) Хг ( р, д )

I КЬО/

где 11 (р, д), Рг(р, ц), г = 1, т - гамильтониан и первые интегралы, р, д - принадлежат некоторым банаховым пространствам , \ - произволыше множители Лагранка.

Соотношение (26) определяет т - параметрическое семейство решений и определяет скорости и конфигурационные системы в стационарном движении.

Из соотноше!шй (26) получим следующее равенство

Фш - Я ? + й ) « Ф (П = «Г,( (5 + \ 3 ) - 0, (27)

Поскольку .1, - невырожденная форма, то из (27) следует & = Из равенства

Ф ^ = [ й « (г + 2) + й 1р »- Л,([ « (г + й)1р = О,

»

\

получим й = 0. Значения множителя Лагранжа \1 определяется из закона сохранения момента количества движения относительно оси (вертикальной оси)

°2о = " (< + Зг ^з- Ь )• (28)

X сго X = - Сго

Таким образом, предельные режимы движения составного тела будут стационарное движение: вращение вокруг вертикальной оси 02, оси главного момента инерции с постоянной угловой скоростью ¡5 = - где определяется выражением (29). Стационарному движению соотвествует решение, для которых й - 0, т.е. составное упругое - твердое тело, выходя на предельный режим движения вращается как твердое тело.

Действительно, ввиду выполнения закона сохранения энергии

а и а н

= 0, и с другой стороны--- 2Т)1й ], я также отсутст-

(И с!?

вия диссипации энергии VI й ) = 0, для которого выполняется

неравенство типа неравенства Корна

г

т а 1»й | а | , сг > о

имеет место тождество а = О; т.о. решения, для которых и = О будут только стационарные вращения, с постоянной угловой скоростью.

Вопрос устойчивости решается рассмотренном уравнений первого приближения, для которых справедливы тооремы Ляпунова. Устойчивость зависит от знакоопродеоленности множит'мюр. Лагранжа системы первого приСлшгенип.

И1

Для рпссматрипяомой системи множитоль Лагранжя г,

, _ __ьо_________________

Й ] ) (С?* )

чмоот отрицательней знак, в силу вибора вертикальной оси Ог, в направлении момента количества движеття 0„ .

Следовательно, предельный режим- стационарное вращение с постоянной угловой скоростью вокруг 001" ог; - устойчиво.

ОСНОВННЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 11 ШВОДИ [. Обоснована корректность постановки задачи о напряженно- деформированном состоянии изменяемой модели Земли и метода ее решения, обеспечивающего достижение оценки приближения модельных Фигуры равновесия и внутреннего гравитационного поля Земли.

В модельной постановке решена проблема Стокса для внутреннего ньютоновского потенциала, опредологш ф1!гура равновесия и функция распределения вещества изменяемой модели Земли, совершающей квазирегулярную прецессию.

. Получены рекхурентнио соотнсшегаш для определения плотности-и вектора перемещения модели Земли.

. Выписаны в интегральной форме^ уравнения вращательного движения модели Земли с учетом момента с^л упругой деформации; при условии, что внешни? силы -потенциальны и не дают момента относительно некоторой неподвижной оси, получены первые интегралы- интегралы энергии- и площадей..

. Установлены Зак'спомернбсти вращательного движения модели Земли'"с учетом ее деф&рмартИ: существуют предельные устой» чивые режима-движения- стационарные точки вращения вокруг

вертикальной оси с постоянной угловой скоростью. Стаиюнар-ше вращения соотьествуют положениям равновесия, дефоГ'./-::Цмя пра этом прекращается, составное т-ело как Си и движется как твердое тело.

Основные положения диссертации изложены и оледуюц:;?. раСсТс.:'.:

1. Дараева Г.И.00 одном корректном-методе ьосстаноьлэн::л внутреннего ¡-раьитационшго поля Земли.// Вествдк АН РК, -Деп. в ВИНИТИ 10 марта 1987 г., 1737-В87.

2. ржаной Ж.С..Калыбаев А.А.,Дараева Г.И. Проблема Отокса ; определение аномальных масс Земли.// Известия АН РК, сер.

• ,физ. мат.,198о г., * 5.

3. Дараева Г.И. Определение фигуры Земли, неоднородной по плотности.// Сб.трудов молодых ученых Института сейсмологи* АН РК.

4. Дараева Г.И. Качественные осооеннооти вращения граоитируа-щего упругого тела.// Деп. в КАЗНШНТИ-15 шаля 1992г.,

« 3784 - Ка92 . "'

5. Дараева Г.И., Калыбаев А.А. Некоторые проблемы современной спутниковой геодезии и их приложения.// Тезисы докладов кс Всесоюзному совещ. с международным участием "Современные метода физической геодезии, спутниковой геодинамики и астронавигации", посвящ. 100-летию со дая роад. проф. Жонгс.гч-вича И.Д., Санкт- Петербург, ИТА, 5 марта 1992 г.