Движения малых тел Солнечной системы в случае резонансов низших порядков тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ



МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени С. ОРДЖОНИКИДЗЕ

На правах рукописи

МУШАИЛОВ Борис Романович

УДК 521.13

ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ В СЛУЧАЕ РЕЗОНАНСОВ НИЗШИХ ПОРЯДКОВ

01.02.01 — „Теоретическая механика"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —1992

Работа выполнена в Государственном астрономической институте имени U.K. Штернберга ЫГУ.

Научный руководитель: кандидат фивико-иатеыатичвских нэук.от.н.о. И.А. ГЕРАСИМОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ирофеосор В.Г. ДЕМИН кандидат 'Цшко-математических наук, доцент Ю.Г. МАРКОВ

Ведуцая организация: Московский Физико-технический

институт

Защита диссертации состоится "» ./iuv/ыгс7 1992 г> в йЛ. часов на заседании специализированного совета К 053.18.02 в московском овиационном HllCIHTyle 1ш0ни С. Орджоникидзе.

Адрес института: 125871, Ыосква, ГСП, Волоколамское шоссе,'*. С диссертьцисй полно ознакомиться в библиотеке МАИ .

Автореферат разослан " d£n (рл&ржА 1992 г.

УченыИ секретарь специализированного Соната кандидат физико-математических доцент

наук,

ОГНЯМИ

"гам

Обцпл характеристика работц ¡туальносгь таим. В СолычноИ система иаблпдаотся значи-

те лыюо число мала тел, обладающих соизмерило стлми с роди их дшкониИ, качественная эволюция которых мокзт быть в основном инторпротирована в рамках ограниченной задача трех тол.

Получошш точных аналитических решений в обиом случае в иаотоящее время по представляотся вомоотшм. Однако го многчх практических приложениях вызывает интерес начествошшз исследования резонансных двияений в случае малых наклонностей к эксцентриситетов.

Определение аналитически;, рошошш иа только для "розонаи-сг '1 переменной" (критического аргумента), но и для других орбитальных элементов двилоння, и установление динамической эво-лмции системы Титан-Гшмриои, астероидов, находящихся в орбитальной соизмеримости о Марсом, а также частиц кольца Сатурна является достаточно актуальной задачей ;у.-п оов;лмо!шой иобесиой МЭХаНИКИ.

Цель работы состоит а установлении динш-иггаскоК аволлции пассивно гравитирутей материальной точи и в рамках огранэтен-иоЛ задачи трох тол для случая резопаясов низших порядков при учото возмущений, обусловленных носОорпчносгья центрального тела.

Iручная- новизна заключается в слодуищом: - иолучо1ш аналитичоскио решения, описывающие нолнуга эволпнни пассивно гразитнрузщого тола ничтожной масса с учотоп съчтия центрального тола, дая соизмеримости низших порядков в рамках круговой ограниченной задачи трах тол для внутреннего и внеи-нох'о вариантов;

- в рамках ограниченно:! задачи трох тел наПдеии стационаршо решошл и исследована их устойчивость по Ляпунову, установлена

- ч -

классификация возможны*' типов решений;

- установлены частные аналитические решения, для эллиптической резонансной вадечи трех тел ;

- качественно интерпретированы особенности: статистического распределения астероидов, находящихся в орбитальной соизмеримости с Ыарсои, в также общей структуры кольца Сатурна.

Теоретическое и практическое значение работы.Получен-ные в райках ограниченной задачи трех тел аналитические решения могут буть использованы в качестве промежуточной орбиты при построении теорий движения различных иалых небесных тел, обладающих соизмеримостью средних движений. Установленные теоретические результаты применяется к конкретный небесный объектам Солнечной системы: систеые Сатурна, астероидам.

Рассиот энный в работе гравитационный механизм формирования кольцеобразных структур Сатурна может быть применен для широкого класса астрономических объектов (аккреционные диски вокруг звезд в двойных системах, иредгалактичаские структуры), имеющих дискообразную форму и находящихся в поле тяготении центрального сгустка вещества.

Апробация работы. Основные положения диссертационной ра- ** боты бати доладены на заседании кафедры небесной механики и граьиметрии Ш в ГАИШ (1988); ХШУ научной конференции Ш'й, на заседании сокции иеханики и процессов управления (1988); семинаре кафедры теоретической иеханики на иеханико- математической факультете ИГУ .(1989) *

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в семи печатных работах.

Структура и объем работы.Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 160 страниц, включая

20 рисунков, 10 таблиц и библиографию из 1Л наименования.

Содерлсянки работы

Во в в о д о и п и обосновала актуальность томи, выделен спектр задач, рашромых автором, изло:.сопа структура работы и СфорыулИрОПШШ оспошшо ПОЛОЛОННЯ, вшюсимио на защиту.

В первой главо провиден тооротичиошШ обзор по орбитальный рооонансшл в ограниченной задача трах тол, рассмотрено практическое приложению отой задачи к конкретным розо-нансним лобесноч.юханическим система!.! и дана постановка проблем!.

Наличие "малых знамонаталеи" препятствует построению для неограничошшх плтирпалоп времени точных рошини!; ургалоннй но-бесноП механики б виде сходящийся рядов классичосинми походами.

Замотнш! прогресс в исследовании "остророзонапсних задач" нобосноИ мохалика бил связан с разработкой и обоснованием асимптотических М1ГГОДОВ теории ЕОЗМущОНИИ И методов ус!!01ХЛ!Н0л сходшости в теории условпо-норноднчоских решении,

Асиппто?ичоскиг метода щюдлолагаит опарами осреднения, обесточивающую упрощенно исходных уравионий задачи за счот сохранения в правых частях усроднешшх уравнений наиболее существенных гарлоикк. В зависалости от специальных нродполо..:оши1 (сохранение калошпоской нор.м, соотвотствутих способов выпо-лнония замоны парсмонних и т.н.) различают метода Паиноля, До-лона, Хшиа, Крылова-Боголюбова и др. Рощешы осредпепио!; ода-чи, которая часто являотся интэгрируомой, моют бить выбрано в качество проыоасуточной орбиты при построении теорий дви-ления небесных тел.

Основы математической теории, обоснования методов усреднения Еоз;.тз'м0!г.'!01'0 д.'::: '.опия онли эало;е;ш работами П.Н.Крылова а ■,11.И.Боголюбова, которие установили ряд теором, позволяззда оце-

- с -

нпвать разность тощшх и1 осредношшх ропгашШ уравнений.

Метода ускорошюП сходимости, разр^Сютамша Л,Н.Колмогоровым, В.!¡.Арнольдом, Ю.:'озорС!.1, позполшш, п частности, доказать сходимость процедуры оородноиш « получить оцошш, гарантируи-пшо сходимость боскопочпого цроцосса канонических преобразований. Ио математическая тоорпя условно-порподнчосиих роыаиий -"1Ш - тоорпя" и своой класоотеской морло напрпмошша для качественного описштя яшшшпй в роольпой Солнечной спстомо на достаточно болмлом промолсутке времопп, тш! как получавдлосч те-оротичоскно одинкн для малого параметра задачиуЧ{при которых дпшшн ре иония оуадствуит) чрозвцчайпо 1!Ш.

Сштнчаоиои сушос'гиопаииа значительного числа розонансов (зпг,од(.!-.о но имаших олучаШшй характер) в небосно-ч.юхшшчоскнх системах,п из- четной стппонп, противоречит свойствам услошю-па-рпо.дглоскис ришошЛ о nojxj3onajicnic.il! частотами гомпльтопотзих скотом, поскольку спстома, подданная норозоиаисшзлп цачоль-1-ми условиями, на пволидиоипруот в нолраплонил возникновения ро-оонаисов. Б то'-.о врамя П.ГоддраГзсом н С.Сотором било иоказшю, что пояплошю розопаленш: раопродолоинИ в СоллочпоЛ спстомо по мо&ет бита обусловленодиссилатишшмл поторпмп (пегрпвитецпон-ншл силами) , поскольку розонанешю взаимодоЛстепя достаточно сплыш для ноддор'^шпя соизмеримости мотду орбитальными иорно-дами спутников в ограниченной задача Т1Х)Х тол, несмотря на влияние ир1ШШ0в.

'Гаи 1М образом, в ластолаоо врог.ш изучоапо мохаппзма розо-паисиого взаимодействия я качостшиоэ исслодопшшо динамической эволюции "оотрорезонансных" нобосноч.юхшигчоскнх енотом является актуальной•задачей.

Рассмотрению кош(рот1шх окотом такого вида в Солнечной спстсмо посглмало значитолыюа количество работ. Однако пракгчь

часки остались в сторона вопросы, связанные о качественными исследованиями резонансного дыпения спутшша Сатурна Ггаерио-на с учетом сжатия Сатурна, розонаисного эф^юнта, обусловленного соизмеримостью низпих порядков астероидов с 1.1арсом, а так-;::е в свото получивших достаточно широкое развитие, поело пролетов космических аппаратов мимо кольца Сатурна, нвгравитациошшх механизмов объяснения структуры кольца Сатурна - задача корректного выявления роли гравитационных э&Гвктов в (Тормпровашш наблюдаомой общей структуры кольца Сатурна.

Во второй главе проводятся аналлтп эскиз пс-следования резонансных двшан.-! в рамках шутраннего и внешнего вариантов круговой ограниченной задачи трех тел с учетом сжатия центрального .ола в случае малых эксцентриситетов и наклонов.

Б основе рассмотрения лежит модель, в которой центральное телопрадстапляет 006011 эллипсоид, симметричный относительно оси вращения, потенциал которого в прямоугольной спстемо воор-дш1ат с началом, совмешеннш с его центром масо, дается выражением . . 0 \2>УЬ

т*£

где Ухт, - коэффициент зональной гармоники Цпь -го порядка, Я о - экваториальный радиус Р0 , Р^ - полипом Лежандра порядка 2йг, % - радиус-вектор пассивно гравитирувдей в поле ^ точки Р . Возмущающее телоР' считается материальной точкой с массой^и «1 (масса Рд принимается за единицу), двидущайсг ю круговой орбите в плоскости экватора Р0 . Среднее движение Р определяется как решение задачи двух тел, когда Р гравитирует в экваториальной плоскости Р0 с потенциалом (I). Тогда, принимая большую полуось Р и постоянную Гаусса за единицу и ограничиваясь зональной гар.юшшон , ГЪ-^±ун+ 2>г£' , где

В начальный mo:.:oi-; t0 предполагается, что пассивно гравп-тирующая точка Р дшшзтся в поле тяго ния f^ и Р так, что выполняются условия _

I K-n, -{K + t)rv IzOctyTj, яри <г>п, (2)

1(к+£)п. -кп?! S OcJjZпри п, <rJ,

где М - среднее двитшние Р , К и С - натуралыше числа {« - кратность, £- порядок' резонанса). Случай п>1г- соответствует внутреннему варианту задачи, а 1Ъ<п* - внешнему. ' ""

В каноничоских переменных Пуанкаре ураЕнешш двигания Р представ ля.л'ся системой восьш дщйоронциалышх уравнений первого порядка с гамильтонианом F-hy* • Использование о цолью исключения коротконориодоческих членов метода ЦаНяаля позволяет удерпсать в разлошшш F но только Боковые, но и дол-гоиориодическио чло1Ш, обусловлошшо соизмеримостью средних дагаошш.

Если ввости канопичоскио перомпшшо вида ( при ft необходимо в (3) заменить К на - (К*6) ) ^ if* &(K+L-MfZ^cos ц = м+и>+л-м,

^МЧ'1 С) (3)

где S - S-i ю ; для коплоровых злзмо-

нтов орбиты Р употребляются общепринятые обозиачопил, и огранп-чкться величинами порядка UCc, то исходаая сиотет

уравнений сводится к автономной системе второго порядка

■ -It,'' -

в которой

Здесь 2Т - лшюйпая (Тункщш громенн, коэучииюнты fff6fC - (функции постоянно¡1 у иптограла задачи:

¿т'Ич ' <Lr "-ьк (4)

Y - i'1- л (к+0, i-e1 с osi)Z, л-»гь' (5)

Из (3) следует, что - воллчшш, шогощие порядок эисцентрп-с ит о та, а £, £ ~ ''орядаа наклонности орбиты р . В частности, при fl>l\, с рассматриваемой чность», спрпведллвн следующие вы-ранения + (6)

Решения систомы (4) для ¿45 удается получить в -Мутациях Вейерштрасса, а с помощью теоремы Лмувнлля находятся оналити-чоские ранения .для всех элошнтов орбиты пасоивно гравитнруше-го тола Р .

Для сопзмзрнмостай низших порядков (¿£3) проводится клас-. сификация типов решений и исследуется устойчивость стационарных роиенпй по Ляпунову. Для резонаисов первого и третьего порядков помимо тривиальной устойчивой стационарной точки 'j-^O мочет существовать три стационарных решенкя (два устойчивых и о.дно неустойчивое), ? д»я t-í их пять (по два устойчивых п неустойчивых ропяния, а еще одно зависит от значения большой полуоси орбиты). Причем реальное число стационарных решений, для фиксированных/и, зе , зависит от величины интеграла у . В частности, при £-i(3 бифуркация наступает пря j- > ^ , где ^ -действительный корень уравнения

ъЬ'^Ьма^+Ъ ~ jfí С)*= О,при Ы

9Ъ1-ъгС =0 е=э. (7)

При движении (изображающей точки) по фазовой траектории

эксцентриситет орбиты Р периодически изменяется в пределах от

д0 е мл* * отвечающие стационарнш решениям,

тлеют постоянный эксцентриситет и большую полуось. Учот сжатия i) приводит к сдвигу поло,■квния, соответствующего точной оо-

измеримости в сторону увеличения радиуса орбиты пассивно гра-

витпрующеш точки Р и вызывает перемещений лилии апсид (как в

*

прямом, так п в обратном направлениях). Вклад рсзопансов разлп-

£

чных порядков пропорционален £ , поэтому наибольший эффокг проявляется для розоцансов низших порядков. Розонансы различной кратности К отличаются амшттудой эууекта, ток что с ростом К резонансный эу^окт уменьшается том больше, чем моиьш ЗС . Изменения среднего движения М , аргумента перицентра со и долготы восходящего узла Л имеют вековой характерна который накладывается периодические вариация с периодом, кратным изменению эксцентриситета.

' В рамках ограниченной круговой задачи трох тол нет полной эквивалентности мо.тду внутренним и внесшим вариантами задачи. В частности, при и неустойчивая стационарная точ-

ка соотготствует значению ечомалии Долойе:£=0 , в то время кок для внутреннего варианта Л в случае соизмеримости

первого порядка п кратности К=1 значення ( 0 пли л) аномалии & , соответствующий стпциоппрнш точкам, для высшего варианта задачи, зависят, к тому ::.е, от волпчшш У .

I

Учот влияния эллиптичности е орбиты возгтупашего тела приводит к ультраэлтаптичеекгсл аболошм интегралам ( о жанром р= 3 ). Однако при модах эксцентриситетах е ' качостпонпая картина движений на разовой плоскости но изменяется,- "расщепления" стационарных решений по происходит, а наблюдается лпыь сглещоние стационарных точок и Газовых траекторий.

Качественное сраЕнонпо розультатов рассмотренной аналитической нодоли с данными численного интегрирования евццотольет-вуот о корректности выбранной аналитической мололи.

Третья глава посшпопа численному модоллрова-шго. Па основе юта "¡ункциЬ Якоби получен чпелопикл алгоритм

расчота и обращения двояко-периодической ^-функции ВеПерштрас-са. Наличие малого параметра приводит и необходимости рассмотрения различных возпоишх комбинаций вощоствешшх инвариантов.

Данный алгориш был роолизован в виде пакета соотЕвтствуто-иих программ на алгоритмическом языке "Фортран". Применение указанного алгоритма позволяет рассчитать эволюцию оломоитов орбиты (долгопориодлчоскуга зводощш) пассивно гравитирутаиого тола.

Рассматривая систему пассивно гравитлругопх частиц, обладающее в начальный момент времени нопозмущашшми (круговыми) орбитами и равномерным распределением по болклгл полуосям (Л^Д могло,в рамках используемого подхода , определить изменен:;;: с течением времени характера пх распроделэшШ. Иохо;шо9 (началь-лое) распредоленио сродной плотности частиц будет изменяться с точением времени в соответствии с различиями значений для периодов изменения их эксцентриситетов. Нсслодугатся случаи как дискретного (бесстолкиовптольиая модель), так и пепрорывного распределения пассивно гравитирующих частиц.

Чем блшо дег.~онио частиц и соизмеримости, том больше эксцентриситет их орбит, а это, в своя очородь, при прочих равных • условиях,приводит к менее плотно:,у расположению пх орбит. В рамках бесстолкиовитольной модолп.показано, что для произвольного мамонта времени суусстйует.по моиьмой мере,два экстремальных зпачопия (максимум л мппимум) плотности распределения Л^ Га), что свидетельствует о некотором усто!гчшзом характере распределения Уь (о). Этот Лакт момот качественно объяснить наблпдаеше золи понтонной плотности в кольцах планет. В случае, когда средняя объемная плотность частиц настолько велика, что происходят постояшшо столкновения частиц, но источонии опредолонно-го времени, запнеяцохчэ от плотности частиц и амплитуда резонан-

сного эффекта, частицы должны пог-шуть резонансную зону «с ^й • Вчетвергой главе рассматривается практическое приложение выбранной аналитической модели применительно к астероидагл, находящийся в орбитальной соизмеримости о Марсом; система Титан - Гиперион (t*if К = 3,|г'>и,) ; "деления" кольца Сатурна (в частности, "щель Кассшш" - соизмеримость 2:1 с Мимасом) с точки зрения орбитального резонанса со спутниками Сатурт. '

' Качественна интерпретированы особенности статистического распределения астероидов, обладающих орбитальными соизмерголо-стями низших порядков о Марсом и Юпитером (при fi'>rv- гипотетические астероиды). Речь идет о существовании областей разряжения ("люках"), их асш атрии при распределении астероидов по большим полуосям (сроднил движениям) и эксцентриситетам.

Показано, что "сближения" возмо:шы ( в случае £> о,i ), когда 5— К и> (при : & - (K+£)to ). Если долгота пери-

элия орбиг: астероида испытываот медленные колебания в окрестности œ -Ht , то "сближения" возможны при нечетном К лишь для астероидов с "апоцентрической" либрацией -X) , а при четном К , как, и в случае перигелиев со- 0, - для "перпцент-рически" либрирующшс малых планет ($- о) ;

Проведенное катствеинов исследование резонансного двшш-ния Гидериона с учетом сжатия Сатурна (поскольку масса Гинери-опа, по крайней мере, в тысячу pas меньшо массы Титана, то гравитационными возмущениями Тнтана со стороны Гипериопа можно пренебречь) позволило объяснить основные особенности эволюции орбиты Гишриона: значительный эксцентриситет еН5,¿0(йе~0}ос$)} амплитуда либрации л период либрации ~i>?4'6f/ii/nj ,

колебания долготы соедшошш относительно апоцонтра Гшериона с периодам #— Сле/njt устойчивость орбит Гипериопа при малых возмущениях.

Вся ,тазовая плоскость системы "расщепляется"па три типа движений. Собственно двихенио Гипориона происходит в окрестности устойчивой по Ляпунову стаздонарпой точки тгага "центр". Получению аналитпчесиио решения для Гипериона могут быть использованы а качество промо-яутотой орбиты.

В рамках двух продельных моделей (бесотолкновительная и модоль о непрерывными столкновениями) установлено, что гравитационные э£к»екты взаимодействия, обусловленные орбитальной соизмеримостью в задаче трох тел, качественно позволяют интерпретировать наличие "делений" в структуре кольца Сатурна.

В рассматриваемой, осредненной по угловым переменным', модели рояльное (истинное) поло-тание двл'кущейся точки]3 в фшси-ропанный момент вромапи t априори нодоступпо. В связи с этим, говорить о "наблюдаемых величинах" возможно, имея в виду лшь средние или экстремальные (предельные) орбитальные величины.

РаспродолепиоД'фпасснвцо гравнтируюпта частиц вдоль ра-диуоа-воктора при условии, что каждая "наблюдаемая" частица пиеот радиус-вектор, равтй среднему радпусу-вектору частицы £ , свидетельствует (несмотря на мапость амплитуда эффекта - двухкратно осппдпопная задача) о существовании оуоекта "разряяония" частиц в полоса (ш1тервад9)дг»9,28СкмЗ.

В то -га время, "рлзрячошт" но [i-е.(i)) (радиусам перицентра орбит частиц) наблюдается в полосе & .

Минимальная плотность чаотщ соответствует расстоянию Í^-M**}, что согласуется, в продолах точности наблюдений, о радиусом-воктором центра "деления Касспнп".

В случае "отолкповптельпой моделл" (начальная плотность частиц в кольце достаточно велика), частицы ко.пьца (гравитаци-CIшо—акТПВ1ПГО, о диаметром — десятки метров) доданы пояппуть розонансную область at *ii50t lí Lkm] .

Отсутствие полного количественного совпадения в "няблго-

даемых величинах" (размеры "щелч Кассини" из наблюдений составляю! величину-5000 ГкнЗ) ыокет свидетельствовать о проявлении иных (негравитационных) механизмов, влияющих на формирование наблюдаемой структуры кольца Сатурна.

Основные результаты

1) Получены аналитические решения в функциях Вейерптрасса, описывающие полную эволюцию пассивно гравитирущего тела, о

удатой несферичности центрального. |

2) Для соизмеримостей низиих порядков (£ < 3 ) проведена( классификация типов решений и исследована их устойчивость.

3) Показано, что учет влияния эллиптичности в.* орбиты возмущающего тела приводит к ультраэллиптическш! абелевым интегралам. Однако,при малых эксцентриситетах е' , качественная картина движений на фазовой плоскости не изменяется .

4) На основе тета-функцкй Аксон получен численный алгоритм расчета и обращения ^-функций Вейерштрасса с вещественными инвариантами для различных случаев, включая предельные .

5) Качесиенно интерпретированы особенности статистического распределения астероидов, находящихся в орбитальной соизмеримости с Парсом (и Юпитером) при П.'> (г(внешний вариант задачи) .

6) В рамках рассматриваемой модели объяснены основные особенности эволюции спутника Сатурна Гипериона.

7) Установлено, что гравитационные эффекты вваимодействия, обусловленные орбитальной соизмеримостью в задаче трех тел, качественно позволяют интерпретировать наличие делений в структуре кольца Сатурна и ,в частносзде, "деления Кассини" .

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты по томе диссертации опубликованы в следующих работах

1. Лзонансиыэ движения чаотиц кольца сжатой планеты • // Вэстя, Моск. университета. Сер.З, физика,астроношш.1930. Т.31. И . С. 54-61 /Соавтор - Герасииоэ 11.1. / .

2. Эволюция орбит астероидов з случая соивнер&чоотзй первого порядка. Внешний вариант задачи // 1строн. нурнал. 1990. Т.6?. БиаЛ » С. 875-684 /Соавтор - Герасииов H.A./ .

3. О розонаисшвс явлениях в кольцах плакат // Мехду-зодоиствелкый сборник научных трудов. Процесса управления

з иехааичеонгас систаиях. Ы.: Ш- 1920. С. 87-SO /Соавтор-Гарасиков И.А./ .

4. Эволация орбиты Гипериона // Астрой, хурнал. 3S9I. Т.60 . Внп.2 . С» 411-418 /Соавтор - Гораоиыоп U.A./ ,

5. Вычиоленаэ и обращение ^ -функции Войармресоа в продольных случаях // Тр, гос. сироп . иготагуга он. П.К, Иторнборга. 1990. Т.62. С. В4-С0 /Соавтор- Герасимов H.A./ .

6. Елипнио сдатия центрального теда на движение линии апоид з задаче трэх тел // Астрой, зуряал. 1991. Т.68 .Вып.6 .

7. Об устойчивости орбиты Гиперона // Астрол. циркуляр. 1990. М545 . 0. 29-30 .

В /1,2,4/ личный-вклад автора заключается в получении аналитических решений, их интарлротащш, а также а проводо-инн численных расчетов на 8EJI . В /3/ - в постановка задачи и её обсуждении. В работе /5/ автору принадлежит разработка олгор'/.ма вычислений ,