Двойные алгебры Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

003477927

На правах рукописи

КОНОВАЛОВА Елена Игоревна

ДВОЙНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

- 1 ОКТ 2009

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск — 2009 г.

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Самарский государственный университет.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Панов Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Петроградский Виктор Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор Скрябин Сергей Маркович Санкт-Петербургское отделе-

ние Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 14 октября 2009 года в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: ул. Набережная р. Свияга, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета, с авторефератом — на сайте вуза http://www.uni.ulsu.ru

Отзывы по данной работе просьба направлять по адресу: 432000, г. Ульяновск, ул. Л.Толстого, д. 42, УлГУ, Управление научных исследований

Автореферат разослан «...» сентября 2009 года.

Ученый секретарь !

диссертационного совета Волков М.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность исследования. Понятие классической r-матрицы впервые появилось в начале 80-х годов прошлого века, в работах Е.К.Скля-нина1'2. Классические г-матрицы являются квазиклассическим аналогом квантовых r-матриц, которые возникают в квантовом методе обратной задаче рассеивания. Самостоятельный интерес классическиег-матрицы представляют в связи с методом Адлера-Костанта-Саймса построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем и связями с групповыми скобками Пуассона.

Дадим основные определения диссертации. Пусть g — алгебра Ли над полем комплексных чисел Сий:д->д- линейный оператор.

Определение 1. R — классическая г -матрица, если скобка

favk vl + faRvl) (1)

удовлетворяет тождеству Якоби.

Определение 2. Две классические r-матрицы Ri и R2 эквивалентны, если существует <р G Aut(д) такой, что Ri = (pRiy)~x.

Классическая r-матрица задает на алгебре Ли g структуру алгебры Ли дя с коммутатором [х, у\д. Алгебру Ли д вместе с классической г-матрицей называют двойной алгеброй Ли.

Модифицированным классическим уравнением Янга-Бакстера (MYBE) называется уравнение

[Ях, Ry] - Д([Яа;, у] + [х, Ry]) = ~{х, у]. (2)

Уравнение MYBE является достаточным условием для того, чтобы R являлся классической г-матрицей.

Заметим, что если R — классическая r-матрица (соотв. решение MYBE), то —R также является классической г-матрицей (соотв. решением MYBE).

'Sklyanin Е.К. Oil complete iutegrability of the Landau-Lifshitz equation// Preprint LOMI, Leningrag: LoMI, 1980, P. 3-79.

-Скляпип Е.К. Квантовый метод обратной задачи рассеяния// Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1980, т.

05, С.55-128.

Если ip автоморфизм алгебр Ли g, R — решение MYBE, то tpRip'1 также решение MYBE, таким образом, группа Aut(g) действует на множестве решений MYBE.

Во множестве всех решений MYBE выделяют следующую серию решений. Пусть алгебра Ли 0 представлена в виде прямой суммы двух своих подалгебр Ли как линейных подпространств: g = 0i 4-02, Pi — проектор на 0; параллельно дополнительной подалгебре, тогда R — Р\ — Рг ~ решение уравнения MYBE. Задача разложения алгебры Ли в виде суммы двух се подалгебр представляет самостоятельный интерес. В книге А.Л.Онищикг? задача решена для случая, когда 0 — компактная вещественная алгебра Ли. В статье Ю.А.Бахтурина и др.4 исследуется вопрос, можно ли алгебру Ли представить в виде суммы g = 01 + 02 Двух ее простых и нильпотентных подалгебр.

Общая проблема заключается в классификации для заданной алгебры Ли 0 всех решений MYBE с точностью до действия группы Aut(0). В случае, когда 0 полупростая алгебра Ли и R является кососимметрическим оператором относительно формы Киллинга, эта задача решена в работе A.A. Белавина и В.Г. Дринфельда5. Она равносильна описанию групповых скобок Пуассона6. В своей книге А.Г. Рейман и М.А. Семенов-тян-Шанский7 отмечают, что задача нахождения всех решений MYBE до сих пор не решена.

Объектом исследования являются классические r-матрицы и уравнение MYBE.

Предметом исследования являются классические г-матрицы в общей постановке определения 1 и решения MYBE для алгебр Ли малой размер-

3Онищик Л.А. Топология транзитивных групп преобразований// М.Физматлит, 1995, 384 с.

4Balitutin Y., Tvalavadze М., Tvalavadze Т. Seeins of simple and nilpoteiit Lie subalgebras// Common Algebra 30 №9, 2002, P. 4455-4471.

'Белавин A.A., Дринфельд В.Г. О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли// Функц.анализ, 1982, вып.З, С. 1-29.

"Дринфельд В.Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрических смысл уравнения Янга-Бакстера// ДАН СССР, 268(2),1983, С. 285-287.

'Рейман А.Г., Семенов-тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы// Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 352 с.

ности.

Цели и задачи исследования. Основная цель данной работы — классифицировать решения модифицированного уравнения Янга-Бакстера для алгебр Ли малой размерности.

Методы исследования. Исследования, проводимые в диссертации, основываются на основных понятиях теории классических г-матриц, результаты второй, третьей четвертой главы диссертации основаны на теореме М.А.. Семенова-тян-Шанского о представлении решений уравнения Янга-Бакстера. Доказательство теорем в диссертации основано на методах линейной алгебры, теории линейных групп и теории групп и алгебр Ли.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с научным, руководителем проф. А.Н. Пановым. Постановка задачи выполнена научным руководителем.

Достоверность результатов. Достоверность научных положений и выводов, сформулированных в диссертации, подтверждаются строгостью математических расчетов. Также результаты исследований обсуждались на международных конференциях и представлены в печати.

Научная новизна. Работа носит теоретический характер. В диссертации получена классификация г-матриц для трехмерных алгебр Ли, получена полная классификация решений МУВЕ для 51(2, €) и 5[(3, С). Все представленные в диссертации результаты являются новыми.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Классификация классических г-матриц в общей постановке для трехмерных алгебр Ли с точностью до эквивалентности.

2. Классификация разложений 51(3, С) в прямую сумму двух своих подалгебр как линейных подпространств с точностью до эквивалентности.

3. Классификация всех решений МУВЕ для в1(3, С) с точностью до эквивалентности.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории г-матриц, в построении интегрируемых систем, в

задачах квантования и т.д.

Апробация результатов. Основные научные и практические результаты исследований по теме диссертации докладывались на научных семинарах кафедры алгебры и геометрии Самарского Государственного университета, на конференции "Проблемы фундаментальной физики XXI века" (2006, Самара), на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша(2008, Москва).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 2 статьи в журнале из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка используемой литературы, содержащего 18 наименований, и приложений. Начиная с первой, главы разделены на пункты. В пределах каждой главы теоремы, предложения, леммы и формулы охвачены единой нумерацией в порядке их следования в тексте. Общий объем диссертации 159 страниц без приложений, 189 страниц с приложениями.

Во введении формулируются задачи, решаемые в диссертации, и дается обзор используемых методов и основных результатов диссертации. Дадим краткий обзор содержания диссертации по главам.

Глава 1. В этой главе проведена классификация т-матриц для трехмерных алгебр Ли.

Хорошо известно, что алгебра Ли размерности три является либо простой (изоморфной з!(2, С)), либо разрешимой. Первый раздел главы 1 посвящен классификацииг-матриц для £[(2,С). Выберем в алгебре Лиз1(2, С) базис Картана {х, Л, у} с коммутационными соотношениями: [х, у] = И, х\ = 2х, [Н, у] = -2у. Основная теорема первого раздела первой главы: Теорема 1. Линейный оператор К : $1(2, <С) —> з((2,С) является классической г-матрицей тогда и только тогда, когда К эквивалентен одному из следующих операторов:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1.

h

, где 7ь 72, /х G С и матрица

R(h) = fih

q _ (чп <?i2| ^ ]viat(2, С) удовлетворяет условию < \7г/

V921 W TrQ • Tr'Q = 0

где Tr'Q = qX2 - q2 ' R{x) = 0

2. Д(Л) = А® . где Рз ф 0, ßx ф О. к Я(у) = ß2x + ßsh

R{x) = О

3. { ВД = Az + Л/г , где 2ß3 = ßi ф О. R{y) = ß2x + ßah + А у

Второй раздел первой главы посвящен классификации r-матриц для трехмерных разрешимых алгебр Ли. В этом случае g имеет базис х, у\,

iad.M^M

у-2 С соотношениями < \у2 I у у2 J Хорошо известно, что су-{ adУ1у2 = О

ществует ровно пять (с точностью до изоморфизма) типов разрешимых трехмерных алгебр Ли:

-4° !)■ "Ч9-83

л,о,»„-(;;)

Пусть оператор R : g —* g действует следующим образом: R(x) = Хх + Siyi + 62У2

д ^ij - р ^ + ^ х ' где A' 6 С, и Р е Mat(2, С)

Теорема 2. В алгебрах Ли Sl,S2,S3 любой оператор R является классической r-матрицей. В алгебрах Ли S4, S5 R является классической r-матрицей тогда и только тогда, когда выполнено условие:

"♦4M !)•

Глава 2. В этой главе проводится полная классификация решений MYBE для 0 = st(2, С) с точностью до эквивалентности. Первый раздел второй главы посвящен методу М.А. Семенова-тян-ШанскогсР о представлении решений уравнения Янга-Бакстера.

Пусть R : g —> 0 удовлетворяет MYBE (2); положим R± = ± /), где I — тождественный оператор. Оператор R± : дд —» д является гомоморфизмом алгебр Ли7.

Обозначим через д± = ImR±, i± = KerRМожно показать, что 0± являются подалгебрами Ли в 0, i+ идеал в 0+, i- идеал в 0_, i+ П i_ = {0}; dim0± + dimiT = dim0.

Определим отображение^ : 0+/i+ —► 0~/i-- Возьмем элемент у Е 0+/i+, запишем его в виде у = R+x + i+. Его прообраз R^(y) равен x + То-

гда R--R+l{y) = R-x+R-(\+)+R-{i-). Так как R~(i+) = 0 и Я_(и) = г_, то R~R+l{y) = Д-эг-Н-.

Определение З.7'8 Определим отображение 0ц : 0+/i+ —> 0-/i- следующим образом вц(у) = R-R^}(y) = R-x mod(i_).

Поскольку в а = jj^j, то 9 ц называют преобразованием Кэли классической r-матрицы R.

Выберем т± — дополнительные подпространства к ij- в д±. Поскольку ш± как линейное пространство изоморфноg±/i±, то будем считать ш± алгеброй Ли относительно коммутатора из 0±/i±. Заметим, что отображение вц действует из т+ в т_.

Справедливы следующие формулы:7,8

0 = (1-<9й)т+-Н+-И- (3)

R{x) = (1 + eR)xQ + х+ - ^

где х = (1 - eR)x$ + х+ + х-, xQ в т+, х± G i±

Следующие теоремы являются основными:

Теорема З.7,8 Если R— решение MYBE, то: 1) i+ идеал в 0+, i_ идеал в 0_, i+ Г) i_ = 0;

8Семенов-тян-Шанский М.А. Что такое классическая г-матрица// Функц. анализ и его прил., 1983, 17, №4, С. 17-33

2) с!ш10± + с1шйт = сЦтд;

3) Вц ■ -> тп_ есть изоморфизм алгебр Ли без неподвижных точек (т.е. для всякого х € т+, х ф 0 выполняется: (х +1+) П (вц(х) + и) =0^.

Теорема 4-7'8 Обратно, пусть 0 — алгебра Ли, 0± — ее подалгебры и выполнены условия 1)-3) теоремы 2. Тогда формула Ц) задает решение МУВЕ.

Из теорем 3-4 вытекает, что задача описания всех МУВЕ с точностью до действия группы АиЛ(д) сводится к нахождению канонических форм действия Аи^д) на наборы (ц., 0+, и, 0_, вц), удовлетворяющих условиям 1)-3) теоремы 3.

Классификация решений МУВЕ для 0 = вГ(2, С) представлена во втором разделе второй главы в следующей теореме:

Теорема 5. Всякое решение МУВЕ для51(2, С), с точностью до знака, эквивалентно одному из следующих решений:

1. В. = I, где I — тождественный оператор;

2. Я — Р\ - где Р\ проектор на п+, Р2 проектор на Ь_;

3. Л = Л - Р2, где Р1 проектор на С I ° ^ ], а ф 0, а £ С, Р2 проектор

V0 ~а)

на

4. я(| = ^оц|: " 1+012 1::) -а21

ац аи \ 1+, ( 1 0 \ / О 1 \ 0 0

а21 а22 Г О -1 Г°12 О О Г"* 1 О

Замечание. Решение Я из п. 4 теоремы, представляется в виде наборац_ = п+, 0+ = Ь+, и = п_, 0_ = Ь_, вк : [) -> Ъ, вн ^ Д ^ = с ^ ^ Д где сеС*,сф1.

Глава 3. В этой главе проводится полная классификация решений МУВЕ для 51(3, С), представленных в виде разности двух проекторов с точностью до эквивалентности. В первом разделе проведена классификации подалгебр з1(3, С) с точностью до сопряжения в смысле следующего определения:

Определение 4- Будем говорить, что подалгебра f сопряжена подалгебре \', если существует <р £ Аи1;(з[(3,С)) такой, что f = ^(П-

Классификация подалгебр з[(3, С) размерности большей или равной

двум, может быть получена из результатов работы А.Ф.Баранника и др.9, но в диссертации для удобства изложения, была получена независимо.

Везде далее fj -- подалгебра Картана, {ey}¿ -=1 - стандартный базис в gl(3,C), /112 = eu - е22, h3 = en - е33, h23 = е22 - е33, Е - единичная матрица, Е' — матрица с единицами по побочной диагонали.

Теорема 6. Всякая подалгебра f С sl(3, С), dimf > 2 сопряжена одной из следующих подалгебр:

М; ' 2. ff = ССЛ12 - Лаз) + Се13;

3. ш = Ceis + Се23; 4. f¡ = C(eí2 + е23) + Се13;

5. f3 = C(Aien + Лгегг + Л3е33) + Cei3, для некоторых А;, таких что А,- ф \j, J^Aj = 0, две подалгебры вида f3 сопряжены, если два набора (Ai, А2, Аз) отличаются ненулевым множителем или если два набора симметричны относительно А2;

/1 1 0\

б.й = с

О 1

о

о

+ Ceis;

-у

7. f§ = С (Au + Л23) + Cei3; 8. f| = Cha + C(e12 + e23); 9. 2li - СЛ12 + Ce 12 + Ce2i; 10. % = Chn + C{eu + e23) + C(e2i + e32); 11. ti+ - подалгебра верхнетреугольных нильпотентных матриц; /1 1 0\

; 13. f2 = m + С/10, где h0 е f), hQ ф 0;

12. fj = m + С

0

0 1 0 -2/

14.fHf) + Cei3; 16. fí = ^ + Cei2 + Ce21; 18. f3 = n+ + Cha, для некоторого ho € í), /10 ф 0;

15. fjj = C(ei2 + e23) + Ce13 4- Оц3; 17.f$ = m + l>;

19. Ь+; 20. p'

* * * 0 0 0

21. p =

* * * 0 0*

; 22. 0 = sl(3,C).

У

Во втором разделе третьей главы получена классификация решений модифицированного уравнения Янга-Бакстера, представленных в виде раз-

"Баранник А.Ф., Москаленко Ю.Д., Фуп;ич В.И., Подалгебры афинной алгебры Л1вЦЗ,Л), Препринт 89-65, Киев, Математический институт Академии Наук Украины, 1989.

/* * о\

ности двух проекторов. Везде далее д = з1(3,С), р' = * * О I - по* Оу

далгебра, сопряженная р', и р = Ь+ + е32 - параболическая подалгебра, сопряженная р.

Определение 5. Подалгебру 02 назовем дополнительной к0ь если 01 4-дг = 51(3, С). Обозначим через Х01 мноэ/сество дополнительных подалгебр к 01.

Задачу классификации разделим на следующие две задачи: Задача А. Выяснить, для каких 01 множество Хв1 пусто. Если ХВ1 Ф 0 дать описание Х3г

Задача В. Обозначим через Л01 = Иогша01, где А = Аи^д). Описать орбиты присоединенного действия Л01 : Х01 —> Х01.

Множество пар (дь 02), где 01 - одна из подалгебр теоремы 6 размерности меньше или равной 4, а 02 - представитель Лд,-орбиты в Х01, является полным списком всех разложений д = дх + дг, сИт01 < д2 с точностью до сопряжения.

Пусть д1 и д2 - две подалгебры £1(3, С), такие что 51(3, С) = 01 4- 02 — прямая сумма подалгебр как линейных подпространств. Считаем, что ¿111101 < сИтд2. Так как 51(3, С) не имеет подалгебр размерности 7, то сНтд! ф 1. Случай сИтд! = 0 тривиален. Далее считаем, что2 < Штд! < 4. Теорема 1. Утверждается следующее:

A. Для всякой подалгебры д1 мноэ/сество ХВ1 не пусто.

B. 1) Для всякой подалгебры дх, сИтд! = 2, кроме подалгебры сопряженной существует ровгю одна орбита присоединенного действия А01 : Хв1 —> Хвг Если подалгебра д1 сопряжена то существуют две орбиты присоединенного действия на Х01.

2) Если с.Цт01 = 3 и подалгебра 01 сопряжена п+, 211 или 21^, то существует одна орбита присоединенного действия А01 : —> ХВг Для всех остальных подалгебр д1 размерности 3, существует две орбиты присоединенного действия на Хв1.

3) Если с1т01 = 4 а подалгебра 01 сопряо/сена то существует две ор-

биты, присоединенного действия ABi : XBl —» Xgi. Если 0i сопряоюена ff или fj, то существует три орбиты присоединенного действия наХ91. С. Пусть 01, 02 две подалгебры такие, что sl(3, С) = 0i 4-02- Тогда пара (ЗьЭг) сопряжена одной из следующих пар или паре, которая получается перестановкой слагаемых:

( 1 О О \

1- 01 = Ь, 02 = ТрТ'1, где Г = | О 1 О

V1 1 1

2. 01 = fi - C(/ii2 - Ли) + Сей, 02 = ТрТ~\ где Т = Е' + е12;

3. 0i = f| = С(е12 + е23) + Geis, 02 - ТрТ~\ где Т = Е'\

4- 01 = — C(Aien + A2e22 + Азезз) 4- Се^, для некоторых А;, таких что

/ 0 1 Г

1 О О О

/

Ai ф Аs, 02 = ТрТ~\ где Г =

О

О \ О

1

5. gi = ш, 02;

* * * у

6. 01 = fi 02 = ТрТ-\ где Т = Е'\

7. 0i - fi 02 = ТрТ"1, где Т = Е' + ем; 8- 01 = fi, 02 - ТрТ'\ где Т — Е' + ем; 9. 0i - fi, 02 = ТрТ~\ где Т = Е' + е„; Ю. 0i = fl 02 = Р';

П. 0i = f! = m 4- Сdiag(a0, fo, 70), 70 ф 0, 02 = р';

12. 01 = fi = if 4- Geis, 02 = Тр'Т~\ где Т = Е' + е12;

13. 0i-fi 02 = Тр'Т"1, где Т = Е'\

14. 01 = п+, 02 = ТЬ+Т-1 = Ь_, где Т = Е'-

15. 0i - 21ь 02 - ТЬ+Т"1, где Т = Я + е31;

16. 0i = Sil, 02 = ТЬ+Т~\ гдеТ — Е + е31;

/11 0 \

17. 0i = ß = m +

О 1 О О

О

, 02 = ТЬ+Т'1 = Ь_, где Т - £";

/

/ а0 О О

18.01 = ^ = ш + С

О До 0 \, ао ф Ра, 92 — ТЬ+Т~1, где Т = Е' + е^ \ 0 0 то

/О 1 1 \

19. 01 = ^ = Ь + Сехз, д2 = ТЬ+Т-1, где Т = I 110;

\ 1 0 0 /

20. 01 = Й, 02 = ТЬ+Т-1, где Т = Е' + е12;

/ 1 о о\

21. 01 = Й = Ь + Се 12 + Се21, 02 = Т$Г~1, где Т =

0 1 О

1 1 1

22. 91 - $ = !) + т, 02 = Т$Т~\ гр,еТ = Е + ези

23. 81 - Й, 02 = ТЙТ"1, где Т = Е' + е32;

24. 01 = Й = Ь + Се12 + Се21, 02 = Т^Г"1, где Т = Е + езх; 25- 01 = й = + СЛь д2 = " ■ + СЛа, где /гь /12 е Ь, /ц ф СЛ2; 26. 01 =51(3, С), 02 = {0}.

Глава 4. Эта глава завершает классификацию решений МУВЕ для алгебры Ли 51(3, С). Осталось классифицировать решения МУВЕ, которые не предстасимы в виде разности двух проекторов. Задача сводится к классификации наборов (1+, д+, д_, вц), в которых ф д+ (что равносильно

Теорема 8. Всякое решение Я : з[(3, С) —> 51(3, С) модифицированного уравнения Янга-Бакстпера для д = з1(3,С), не предстпавимое в виде разности двух проекторов, с точностью до знака, сопряоюено одному из следующих решений вида (5), представленных в виде пабора\+, д+, и, д_, вц: 1. г+ = т, д+ = р, и = Се21 + Сезь д_ = Ь_ + Се23,

вн

«11 012 0

СЙЗЗ

о

0 ац + (1-с)^

\

0

121

а21 а2 2 0 | = \ 0 0 азз где сеС*,сф -1

2. ц=т, д+=р, и =Се21+ Се3х, д_ = + Се23,

О \

2 ®12

022 + (1 - С)Ч* )

an an О ^ Or I а21 Ö22 О

О 0 а33 у где се С*, сф~ 1

! са33 О О

О -а22 - (1 + -ai2

\ О -021 -ап - (1 - с) J )

3.i+ = f?, 9+ = fl i- = ТУТ-1, 0_ = TpT-\ где Т :

1 0 0 \

= с

/1-20

О -1 О I, где с 6 С, сф i у О О О

* * о \ / * * о

/о 1 л

О 1 о VI о о/

9- =

* * о ^ * * *

0 1 О I, где с G С* 0 0-2 / * * 0 \

5. i+ = m, 0+ = ff, i- =

1 1 O \

J О 1 О 0 0-2/

= с ■

* * О у * * О

1 о о \

О 1 О О 0 -2 у

0-

/ * * о \ * * о

, где с G С*, с Ф 1

6. t+ = m, g+ = ^ = m + Ch0, где h0 =

t_ =

( * * О * * О

у * * о

/ * * о \

/ а0 О О

о А, 0 \фо,

\ о 0 70

0- =

/ а0 0 0 ^ / -1 0

Or 0 /0о 0 = с • 0 -1

\ 0 0 7о ) \ 0 0

ъ. 2

/ 0 0 0 \ 0 o\

II 0+ = fi i- = * * * . 0- = * * *

^ * * * j сф-\ И * * у

0R.(fh з) = с • diag(-2,1,1), где с e С*,

/000 \ (* 0 0

8. i+ = \l 0+=n+, i_ = 1 * * * * * *

\ * * * I \ * * *

$я(е12) = с • diag(-2,1,1), где cgC* 9.i+ = f§, 0+ = f§ = f) + Ceia,

i_ = Tp'T~\ 0_ = TpT~\ где T =

/0 1 l\

0 1 0 1 о 0

/10 0

0 1 0 ^00-2

10.i+ = fr 0+

/ 0 0 0 \

l_ =

* * * у * * *

/ 1 -2 0 \ 0-10 v 0 0 0 J /10 0 ^ 0 1 0 ^ О 0 —2 У / * о 0 \

, где с 6 С*, с Ф 1

+ Cei2 + Cei3,

0-

/

* * * у # * *

Ыеи) = с ■ diag{-2,1,1), где с € С*, с ± \ / 1 0 О

ii.i+ = fi, 0+ = с

О 1 О I + Се12 + Се13) 0 0-2

/о i i\

^(Гр'Г-1), fl_ = ^(ГрГ-1), гдеТ =

0 10 и F(X) =

V1 0

(X € 0, ЛГ — транспонирование относительно побочной диагонали), / 0 1 0 \ /00 0 \

ООО \ О о о

О -1 -2 0 0 1 у

, где с 6

12.1+ = ff, fl+ = Ь+Сегз, i- = Тр'Т~\ 0_ = ТрТ~\ где Т =

/1 о о N

/1-20

/О 1 l\

О 1 о

V1 0 Ч

= с

О -1 О I, где с G С* \ О О О

0-10 \ о о о /

13.i+ = J§, 0+ = Í) + Сехз, L =/ДОТ"1), 0_=F(T1pT~1),

/О 1 l\ где F - см. п. 11 и Г = I О 1 О

V1 о

/1 о о \ /оо о \

0-10 ООО

= с

/

О -1 -2

1,0 о 1 у

, где с G С*, с -

14. i+ = n+, 0+ = b+, i-=n-., 0- = b-

= Сц/112 + C12/ll3

, где Cij € С, с =

Си - 1 С12 С21 С22 - 1

фО И

0д(^1з) = С21Ы2 + C22/ll3 Л12 = ец - е22, /¿13 = ец - езз 15. i+=Slx, 0+ = F) + Cei2 + Ce2i

/ 1 O O

i_ = T{Cdiag{О, До, -Д,) + n+)T-1, 0_ = Tb+T~\ где T = I O 1 O

\ 1 O 1

/1 o o \ /100

0д

O 1 O 0 0-2

= с

0 -1 O |, гдес^ -2, ce С*

1 O O

16. i+ = 51X, 0_ = f) + Cei2 + Ce21

i_ = T(Cdiag(0, A,, -ft) + n^T"1, 0_ = Tb+T~\ где Г

Or

( 1 О 0 \

О 1 О \0 0 -2 /

= с

/1 о о ^ 0-10 1-10/

, где с -2, с е С*

17. i+ - Six, 0+ = Ь + Се12 + Ce2i, i_ = T(Cdiag{a0, ß0,7o) + n +)T~\

1 о о

Qo^O, 0- = ТЬ+Т-1, где Т = 1 0 1 О

1 О 1

/ 1 о о \ / о о о \

Оя

О 1 о

0 0-2

/

О 1 о Vi о -1 )

, где с ф

2("о~Т(|) <»о

, С ее

18. i+ = 2tb 0+ = f) + Се12 + Се21 t.. = T(Cdiag(au, ^,7/0) + п+)Т~\

/ 1 О 0 \

«о фО, g_ = ТЪ+Т~\ где Т =

0 1 о VIII/

100\ ( ООО

с I О 1 O I, где с Ф faol, с G С* 1 2 -1

уд J О 1 О 0 0-2

19. i+ = n+, g+ = Cdiag(außb')i) + n+, i_ = n_, g_ = Cdiag(a2,ß2,~f2) + «-, гДе

Ql

0 o\

0 ßi 0 V 0 0 71 /

+ m, 0+ = C

ai o¿2

01 Pi

Ф 0

, где с ф 1, с 6 С*

/il 0 \

0 10 0 0-2

/

i_ = п_, 0- = Cdiag{jo, ßo, а0) + tx_, где а0 + 2/i0 ^ О вя(еа) = с • diag( 1,1, -2), где с ^ -1, с € С*

/ 1 1 О Y / 1 1 0 \

21. i+

\

+ т, 0+

О 1 О 0 0-2

i- = п_, 0_ = Cdiag(a0íao, -2ао) + п_, а0 ф О 0д(е12) = с • /иг, где с е С*.

/

О 1 О 0 0-2/

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Получена классификация классических г-матриц в общей постановке для трехмерных алгебр Ли с точностью до эквивалентности.

2. Получена классификация разложений 51(3, С) в прямую сумму двух своих подалгебр как линейных подпространств с точностью до эквивалентности.

3. Получена классификация всех решений МУВЕ для 51(3, С) с точностью до эквивалентности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Панову Александру Николаевичу за постановку задач, сотрудничество и всестороннюю поддержку.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В журналах из списка ВАК:

1. Коновалова Е.И. Разложение 5[(3, С) в прямую сумму подалгебр Ли как линейных подпространств // Вестник Самарского государственного университета, естественнонаучная серия, № 7(57) Самара: 2007, с. 63-72.

2. Коновалова Е.И. Решения модифицированного классического уравнения Янга-Бакстера для алгебры Ли д = з[(3, С) // Вестник Самарского государственного университета, естественнонаучная серия, № 6(65), Самара: 2008, с. 90-104.

В прочих изданиях:

3. Панов А. Н. Коновалова Е.И. Классические г-матрицы для алгебр Ли малой размерности // Теоретическая физика т. 7, Самара, изд-во Самарский университет, 2006, с. 10-17.

4. Коновалова Е.И. О разложении $1(3, С) в прямую сумму подалгебр Ли как линейных подпространств // Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е.Воскресенского. Материалы конференции, Самара: изд-во "Универс групп" 2007, с.27-28.

5. Коновалова Е.И. Решения МУВЕ для алгебры Ли д = 51(3, С) // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня

рождения А.Г.Куроша. Материалы конференции, М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008, с.129-130.

6. Коновалова Е.И. О классификации решений модифицированного уравнения Янга-Бакстера // Международной научная конференция, посвященной 100-летию со дня рождения проф.В.В.Вагнера "Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры". Материалы конференции, Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2008, с. 16-18.

7. Коновалова Е.И. О классификации решений модифицированного уравнения Янга-Бакстера // Летняя школа-конференция "Алгебра Ли, алгебраические группы и теория инвариантов". Материалы конференции, Самара: изд-во "Универс групп" 2009, с.26-27.

Подписано в печать: 08.09.2009 г. Формат: 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем: 1,16 усл.печ.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 675

Отпечатано в типографии ООО «Издательство СНЦ» 443001, Самара, Студенческий пер., За тел.: (846) 242-37-07

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Классические r-матрицы для алгебр Ли малой размерности

1.1. Классические r-матрицы для sl(2, С)

1.2. Классические r-матрицы для трехмерных разрешимых алгебр Ли

ГЛАВА 2. Классификация решений MYBE для sl(2, С).

2.1. Предварительные замечания.

2.2. Решение MYBE для st(2, С).

ГЛАВА 3. О разложении sl(3, С) в прямую сумму подалгебр.

3.1. Классификация подалгебр 51(3, С).

3.2. Разложениие я((3, С) в прямую сумму двух подалгебр.

ГЛАВА 4. Решения MYBE для 51(3, С), не представимые в виде разности проекторов.

Понятие классической r-матрицы впервые появилось в начале 80-х годов прошлого века, в работах Е.К.Склянина[2, 18]. Классические г-матрицы являются квазиклассическим аналогом квантовых r-матриц, которые возникают в квантовом методе обратной задаче рассеивания. Самостоятельный интерес классические r-матрицы представляют в связи с методом Адлера-Костанта-Саймса[16, Теорема 1.2.3] построения вполне интегрируемых га-мильтоновых систем и связями с групповыми скобками Пуассона.

Дадим основные определения диссертации. Пусть д — алгебра Ли над полем комплексных чисел С и R: д —;► д — линейный оператор.

Определение 0.1 Говорят, что R — классическая г-матрица, если скобка x,y}R:=^([Rx,y}-h[x,Ry]) (1) удовлетворяет тождеству Якоби.

Определение 0.2 Будем говорить, что две классические r-матрицы R\ и i?2 эквивалентны, если существует (р G Aut(^) такой, что R± = (pR2tp~1.

Классическая r-матрица задает на алгебре Ли 0 структуру алгебры Ли с коммутатором [ж, у]я. Алгебру Ли g вместе с классической г-матрицей называют двойной алгеброй Ли.

Основная задача: классифицировать классические г-матрицы с точностью до эквивалентности. В первой главе диссертации эта задача решена для трехмерных алгебр Ли. Хорошо известно, что алгебра Ли размерности три является либо простой (изоморфной sl{2, С)), либо разрешимой. Первый раздел главы 1 посвящен классификации r-матриц для простой трехмерной алгебры Ли. Основной результат этого раздела представлен в теореме 1.3.

Второй раздел первой главы посвящен классификации r-матриц для трехмерных разрешимых алгебр Ли. Классификация представлена в теореме 1.3.

Модифицированным классическим уравнением Янга-Бакстера (MYBE) называется уравнение

Rx, Ry] - R([Rx, у] + [ж, Ry]) = -[*, у]. (2)

Уравнение MYBE является достаточным условием для того, чтобы R являлся классической г-матрицей.

Если ср автоморфизм алгебр Ли д, R — решение MYBE, то (pR(p~x также решение MYBE, таким образом, группа Aut(g) действует на множестве решений MYBE.

Во множестве всех решений MYBE выделяют следующую серию решений. Пусть д представлена в виде прямой суммы двух своих подалгебр Ли как линейных подпространств: g = Qi + 02) Pi ~ проектор на дг- параллельно дополнительной подалгебре, тогда R = Pl—Р2 ~ решение уравнения MYBE. Задача разложения алгебры Ли в виде суммы двух ее подалгебр представляет самостоятельный интерес. В книге А.Л.Онищика[9] задача решена для случая, когда g — компактная вещественная алгебра Ли. В статье Ю.А.Бахтурина и др.[1] исследуется вопрос, можно ли алгебру Ли представить в виде суммы 5 — 01+02 двух ее простых и нильпотентных подалгебр.

Общая проблема заключается в классификации для заданной алгебры Ли 0 всех решения MYBE с точностью до действия группы Aut(g). В случае, когда g полупростая алгебра Ли и R является кососимметрическим оператором относительно формы Киллинга, эта задача решена в работе А.А. Белавина и В.Г. Дринфельда[4]. Эта задача равносильна описанию групповых скобок Пуассона[7]. В своей книге А.Г. Рейман и М.А. Семенов-тян-Шанский[16, стр. 253] отмечают, что задача нахождения всех решений MYBE до сих пор не решена.

Во второй главе диссертации проведена классификация решений MYBE для s[(2,C). Первый раздел второй главы является вводным, в нем описан подход к изучению решений MYBE, предложенный М. А. Семеновом-тян-Шанским[17]. Классификация решений представлена во втором разделе второй главы в теореме 2.11.

В третьей и четвертой главах диссертации проведена классификация решений MYBE для g = лС(3, С) с точностью до действия группы Aut(g). Первый раздел третьей главы является вспомогательным, в нем получена классификация подалгебр зГ(3, С) (см. теорему 3.14). Классификация подалгебр s[(3,C) размерности большей или равной двум, может быть получена из результатов работы А.Ф.Баранника и др.[3], но в диссертации для удобства изложения, была получена независимо. Второй раздел третьей главы является основным, в нем получена классификация решений модифицированного уравнения Янга-Бакстера, представленных в виде разности двух проекторов. Результат представлен в теореме 3.21. Четвертая глава завершает классификацию решений MYBE для алгебры Ли sl(3, С). В основной теореме этой главы, в теореме 4.1, представлена классификация решений MYBE, которые не представимы в виде разности двух проекторов.

1. Bahtutin Y., TValavadze M., Tvalavadze T. Sums of simple and nilpotent Lie subalgebras// Common Algebra 30 №9, 2002, P. 4455-4471.

2. Sklyanin E.K. On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation// Preprint LOMI, Leningrag: LoMI, 1980, P. 3-79.

3. Баранник А.Ф., Москаленко Ю.Д., Фущич В.И., Подалгебры афинной алгебры AIGL(3, К)// Препринт 89-65, Киев: Математический институт Академии Наук Украины, 1989.

4. Белавин А.А., Дринфельд В.Г. О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли. Функц.анализ, 1982, вып.З, с. 129.

5. Белавин А.А., Дринфельд В.Г. Уравнения треугольников и простые алгебры Ли. Препринт ИТФ. 1982-18, Черноголовка: ИТФ.

6. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, М: Мир, 1978. — 342 с.

7. Дринфельд В.Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрических смысл уравнения Янга-Бакстера// ДАН СССР, 268(2),1983, С. 285-287.

8. Готто М., Гроссханс Ф., Полупростые алгебры Ли// М.: Мир, 1981. — 171 с.

9. Онищик Л.А. Топология транзитивных групп преобразований// М.: Физ-матлит, 1995. — 384 с.

10. Панов А. Н. Коновалова Е.И. Классические r-матрицы для алгебр Ли малой размерности // Теоретическая физика т. 7, Самара, изд-во Самарский университет, 2006, с. 10-17.

11. Коновалова Е.И. Разложение st(3, С) в прямую сумму подалгебр Ли как линейных подпространств // Вестник Самарского государственного университета, естественнонаучная серия, № 7(57) Самара: 2007, с. 63-72.

12. Коновалова Е.И. Решения MYBE для алгебры Ли д = 51(3, С) // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша. Материалы конференции, М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008, с. 129-130.

13. Коновалова Е.И. Решения модифицированного классического уравнения Янга-Бакстера для алгебры Ли g = sl(3, С) // Вестник Самарского государственного университета, естественнонаучная серия, № 6(65), Самара: 2008, с. 90-104.

14. Рейман А.Г., Семенов-тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 352 с.

15. Семенов-тян-Шанский М.А. Что такое классическая г-матрица// Функц. анализ и его прил., 1983, 17, №4, С. 17-33.

16. Склянин Е.К. Квантовый метод обратной задачи рассеяния// Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1980, т. 95, С.55-128.