Двухмерная задача протекания для уравнений Эйлера идеальной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 1 О 3 91*

ГОСУДАРСТВЕНЕН! К0ЖГ2Т РСФСР

по дела;: наукг и вь;сзП икош

новосинтскня ордена трудового

КРАСНОГО ШАМКы ГОСУДАРСТВЕН!^ УКПЗЕРСИТЕТ Ж.ЛКНКНСКОГО КОМСОМОЛА

КУ303АТ0В ИГОРЬ ЛНАТОШЗШ ,

ДВУГ,:ЕР!Ш1 ЗАДАЧА ПРОТЕКШИ для УРАЗГСЖГ; ЗаЛНРА ЩШАЛЫЮП шжости

01.01.02 - дпфференциальнне уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1991

К

Ка правах рукописи УД< 517.9 +532.5

Работа выполнена в Новосибирском ордена трудового Красного знамени государственном университете им.Ленинского комсомола.

Научный руководитель - доктор фкзико-;:а тематических

каук, профессор В'.Н.У.онахов

Официальные оппоненте:.

доктор физико-математических каук, профессор В. и. Нал га ов кандидат фкзако-мате,магических наук, доцент З.В.Рагулнн

Ведущая организация - Институт математика СО АЛ СССР

Защита состоатся " & " 1591 г. в Mb час,

на заседании специализированного совета К.053.98.04 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Еовосибирск-SO, ул. Пирогов а, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан " " [Л'Ч^01991 г".

Ученый секретарь специализированного совета, канд. фаз.-мат. наук

'. Б.В.Капитонов

ХСИШМ

■'Ali,К

:\JtflüTC ГЛаЦИЙ

ришт

Уравнения Эйлера, классическая модель гидродинамики, яв-я частным случаем уравнений Павье-Стокса, когда вязкость нулю. С физической точки зрения модель идеальной нееггд-мэемой жидкости является сильно упрощенной. Несмотря на это, она п'ироко используется при моделировании гидродинамических процессов. Основополагающие результаты в теории начально-краевых аадш для уравнений Эйлера были получены в трудах Н.М.ГУлгера п -Т.Лихтенштейна. 1!ми била доказана локальная корректность задачи Коши. После работ Н.М.Ггнтера и Л.Лихтенштейна другие принципиальные результаты били получены В.Волпб-нером, З.И.Удовичем, T.Karo, O.A.Ладыженской и еще рядгч авторов.

Актуальность теми исследований определяется.необходимостью изучения начально-краевых задач для уравнений Эйлера, опиенваюцпх движение идеальной жидкости. Найти решение и изучить его свойства важно для таких разделов прикладной гидродинамики как океанология и гидрология.

Цель работы. Г.сследование краевта и начально-краевых задач для системы уравнений Эйлера. Доказательство теорем существования решения задач протекания идеальной жидкости.

Нпучнпя новизна. В работе исследованы задачи протекания идеальной жидкости сквозь ограниченную оиласть на плоскости. В первой и во второй главах рассматривается стационарная па-дача протекания неоднородной' жидкости. Доказаны теоремы существования решения. В третьей главе исследуется нестационарная задача протекания однородной идеальной глдкости. Доказана глобальная разрешимость поставленных задач пр гекания в случае, когда данные задачи близки к данным специальних течении, а именно, равномерного потока и потенциального течения.

Практическая и теоретическая ценность. Изучавшие постановки яме ют реальную физическую интерпретация, являются мо-делъними при описании процессов, связанных с течением колкости. Способ получения теоретических результатов носят конст-руктивццл характер, что может бь;ть использовано для построения численных .методов репенсл данных задач. Результат также соответствуют внутренним потребностям теории началыю-краеллпе задач нелинейных дисТ^ерекц'/.алънго: уравнений в частних производных.

ОгЧт.ая методика исследовании. ¿;сследовонпе начально-краевых задач .для системы уравнений ейлера в диссертационной работе проводится на основе методов, разрабогаша в математической физике и функциональном анализе.

Апробация габотн. Результаты диссертации опубликованы в работах [I - 'I], п докладывались на ХУЛ Всесоюзной студенческой научной конференции (Новосибирск, 1982г.), ХП Всесоюзной школе-семинаре по численным методам механики вязко" жидкости (Абакан, 1590). Кроме того, результаты докладнвались на семинаре кафе, ры теоретической механики ШУ (Бук. проф. З.ПД'она-хов), семлнвре прд руководством профессора Т.'Л.Зеленяка (Институт математики СО АН СССР), семинаре "Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики" под руководством профессора А.М.Еяохина (Институт математики СО АЛ СССР), семинаре "Неклассические' уравнения математической физики" под руководством профессора В.Н.Врагоза (Институт математики СО АН СССР).

.Структура и объем р'еботн. Диссертационная работа состоит из введения,- трех глаз п списка литературы. Работа содержит £7 страниц машинописного тексте. Список литературу включает в

себя 39 наименований.

Содйпуан'ле работ». В первой главе рассматривается .двумерная стационарная задача протекания идеальной неоднородной щдкостп. 7дзпаднке происходят под действием потенциальных сил Пусть Л - ограниченная область в К , через эс = (яг^ обозначив декартовы координата точек . Уравнения Эйлера в ото;,) слу-.ае примут вид

_ _ (1.1) \X-Vp =0 , ^¡лги^О .

Граница области течения

является кусочно-гладкой и состоит из трех частей: Г^. - участок втекания жидкости в область Л. , Лг. - участок вытекания и Го - непроницаемые твердые стенки. В дополнение к уравнениям (1.1) ставятся граничные условия:

а) на Г4:

б) на (1.2)

в) на Гг : (СГ-л> = гс^).

Здесь ТС , п.а) единичный вектор внешней нормали к границе Г , величина Н = р + ~ напор потока, ^ £ и ^ - некоторые заданное на Г^. и Гг функции.

Стационарная двумерная задача протекания для однородной жидкости ( (р^с.опЛ') изучена Г.З.Алексеева. 3 его работах теоремы существования решения доказаны для модельных, постановок, когда на учестке втекания жидкости задаются либо нормальная компонента скорости я вихрь, либо вектор скорости, но тогда на участке вктекания Гг. задана касательная компонента скорости, причем обязательно равная нулю. В.В.Рагулин доказал существование стационарной задачи протекания для однородной

шдкосги в случае, когда на участке втекания задаются нормальная компонента скорости и напор.

Идейная основа предлагаемого подхода состоит в выводе вспомогательной системы уравнений. Построение вспомогательных систем уравнений и доказательство существования обобщенного решения проводится в двух случаях. Первый случай, которому посвящены параграфы два и три, характеризуются следующими соображениями. Уравнение переноса для плотности

UL-Vp = О

автоматически выполняется, если искать плотность как функцию сложного аргумента VCxO , pCxj = +о , где УСх") _ функция тока.

функциональная зависимость £ от У определяется по заданным функциям <\ к % на участке втекания Ti , >Тун-кция тока изменяется па [\ в пределах от нуля до Gu ,

Однако, остается открытым вопрос, как определять , если

УСх.) в области Sb выйдет за границы интервала [о, Q.3 . Логичны»,! выглядит предположение, считать постоянной за

пределами интервала Lo,Q_l, а именно,

г> = J <?<-*> , о ^ gl ,

[ P(Q) , a .

В этом состоит суть ограничения, накладываемого на решение задачи (I.I), (1.2) в первом случае. По отношению к задаче (I.I), (1.2) в этом случае справедливо следующее утверждение. Теорема I.I. Пусть данные задачи обладают свойствами

^ е ^^СГ^ Гг> } £ е ы« (Г4"> , 6 .

Гогда задача протекания (1,1), (1.2) имеет по крайней мере

1* ^ здно обобщенное оеиение ^ ^ Хл/^ (Л>) , р 9а ^

зели Ч'е^лО-З , , если V > О. , 9= $>(о)

зсли ^ ёО , р у*^ СЛ")

Во второй части первой главы, в парагргфах четыре и пять доказывается существование обобщенного решения стационарной задачи протекания без каких-либо предположений на поведение решения. Достаточным условием разрешимости вспомогательной системы является слабая стратификация жидкости па участке втекания. Иными словами, при достаточно малом О выполняется условие

По отношению к задаче (1.1), (1.2) в данном случае справедлива оледуюцая теорема.

Теорема 1.2. Пусть данные задачи обладают свойствами

Причем ¡1 ц^сг^ - с ( где 5 - достаточно малое

число. Тогда существует обобщенное решение задачи протекания для уравнений ейлера (1.1), (1.2).

Исследование вспомогательных задач в обоих случаях проводится методом эллиптической регуляризации.Следует отметить,что параметр регуляризации не трактуется как исчезающая вязкость.

чго отличает данник подход от случая однородной шдкостн. В основу определения обобщенного решения положены соответствующие интегральные тождества. Решение регуляризованной задачи ищется как нсг. .двшшая точка компактного оператора. Свойства обобщенного решения регуляризованной задачи позволяют сделать предельный переход по £ — О здесь €. - параметр регуляризации-. .

• Вторая глава также посвящена стационарной задаче протекания. В ней доказывается существование классического решения задачи (1.1), (1.2) при отсутствии внешних сил. Плотность аналогично первой половине главы, посвященной обобщенны?.! решениям, ищется в виде рОО . Отличие состоит в том, что для классического решения удается в терминах напора и функции тока сформулировать достаточные условия для выполнения требования

о ¿й , х б .

Система уравнений Эйлера (1.1) сводится к одному квазилинейному уравнению дл- функции тока

= нЛч>)

. (2.1)

Граничные данные для функции тока восстанавливаются при помощи ■интеграла от нормальной компоненты скорости

5

По отношению к задаче (2.1),' (2.2) и,, следовательно, к исходной стационарной задаче протекания для однородно"; жидкости при отсутствии внешних сил справедливо следующее утверждение. Теорема 2.1. Пусть даша:е задачи' обладают следующим:?

свойствами ^ £ Сгга~С , ^ * с^") \ € е с2-"* (Г*"), £ , о 1 . Для функции Н'(.+") выполнено:

И 'ссО О , Н '(о.} ^ О . Считаются таксе выполненными условия согласования в угловых точках.

Тогда существует решение задачи Ус-хО 9 ч* « с^СЛ") и выполняется О 6 & О. , Хб Л .

Вторая половина диссертации посвящена нестационарной задаче протекания однородной яидкооги. Впервые такие задачи были рассмотрены Н.К.Кочиным в трекерном олучае. Двумерная нестационарная задача исследована В.И.Кдовичем. С физической точки зрения значительный интерес вызывает постановка задачи протекания с заданным на участке втекания полны?,1 вектором скорости. Корректность задачи протекания в данной постановке доказана А.В.Кагаховым в малом по времени.

Как следующий шаг в исследовании нестационарной задача протекания монет быть рассмотрен вопрос о глобальной разрешимости в постановке с заданным вектором скорости на участке втекания, поскольку доказана глобальная разрешимость уравнений сйлера в случае плоско- параллельных течений для задачи непротекания и задачи с заданным вихрем на участке втекания.

Основные результаты третьей главы диссертации состоят в доказательстве существования глобального решения для плоскопараллельного случая вблизи равномерного потока и потенциального течения.

Уравнения Ойлера для плоско-параллельного течения однородной кидкостн под действием потенциальных сил примут вид

+ 7 (3.1)

е

diu-JZ »0 .

На участке втекания жидкости задается полный вектор скорости, на твердых стекках ставится обычное условие непротекания, на участке вытекания известна нормальная компонента скорости. В начальный момент известно распределение поля скоростей в области -течения. Таким образом, уравнения (3.1) дополняются гранячнши данными и начальными условиями

— (3.2)

tri, г u,„oo cUu-Uo'O

Исследование задачи (3.1), (3.2) проводится при помощи продолженной системы уравнений, получающейся из уравнений Эйлера применением дифференциальных операторов tot и cUu" . Эквивалентность продолженной системы уравнений исходной была доказана A.B.Какиховш в классе гладких решений. Отличие данных результатов от работ А.В.Какихопа состоит в том, что изучение задачи протекания проводится в пространствах С.Л.Со^олева.

Ввиду зтого, прежде.чем доказывать глобальную разрешимость задачл (3.1), (3.2), в параграфах.два и три доказывается эквивалентность, формулировок задачи протекания и существование локального решения. Центральным моментом доказательства существования глобального решения является получение априорных оценок. Необходимо показать ограниченность норм решения константами,■ не зависящими от времени существования, локального решения, ото удается сделать, когда данкпе задач::,

функции ал > , и„ близки к данным потенциального

течения или равномершлхэ потока.

Сформулировать основной результат третьей главы могаю следующим образом. Скорость равномерного потока выражается постоянным вектором т. -

Представим данные задачи в специальном виде

>^Л-.^ >

здесь Я'Ч3 - потенциальная составляющая скорости,

•> = , (3.3)

^и.о ^ ' ^ * ^ + Ы* • •

Относительно известных функций будет предполагать, что они обладают свойствами

—/

Теорема 3.1. Пусть дашше задачи (3.1), (3.3) обладают

~ ~

свойствами (3.4). Тогда для любых фуикци.1 % , ^ > ^ ■> и» существует константа ^ , такая что для константы

т. *** существует глобальное обобщенное решение задачи (3.1), (3.3) на любом интервале (о/т^ ,

В завлечение автор виражает искренняя благодарность

научному руководителю профессору В.Н.Монахову за полезные об-сувдения постановок рассмотренных задач и постоянное внимание к данной работе. Автор исключительно признателен профессору А.В.Кажихову за интерес и внимание, проявленные к настоящей работе.

Список работ по теме диссертации:

1. Кузоватов ¡I.A. О существования классического решения стационарной задачи протекания. - В кн.; Взрывные и нестационарные процессы в сплошных средах. - Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО /Л СССР, 1988, с.89-94. (Динамика сплошной среды, вып.88).

2. Кузоватов H.A. Об обобщенных решениях стационарной задачи протекания неоднородной идеальной жидкости. - В кн.: Математические проблемы механики сплошных сред. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО ЛИ СССР, 1989, с.55-66. (Динамика сплошной среды, вып.91),

3. Кузоватов И.Л. Один случай существования глобального решения уравнений Эйлера. - В гл.: Математические проблемы динамики неоднородной нидкосги со свободными границами. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1990, с.£6-93. (Динамика сплошной среды, еып.95).

4. Кузоватов И.А. Глобальная разрешимость уравнений Эйлера вблизи потенциального течения. - Красноярский политех, пн-т. Красноярск, IS90. - 6с,- Рукопись деп. в ВИНИТИ. 27.09.00,

JS 5I72-B90.