Новые классы решений уравнений идеальной несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

На правах рукописи

ШАНЬКО Юрий Вадимович

Новые классы решений уравнений идеальной несжимаемой жидкости

01.01.02 — дифференциальные уравнения

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

д.ф.-м.н., профессор Капдов Олег Викторович

Красноярск - 1997

Содержание

Введение 4

1 Классификация одномерных и двумерных подалгебр, допускаемых уравнениями Эйлера. 13

1.1 Основные понятия и схема классификации подалгебр................13

1.2 Построение оптимальной системы подалгебр алгебры Ь6............16

1.3 Построение квазиоптимальной системы в\..............................21

1.4 Классификация двумерных подалгебр, лежащих в идеале Ьоо. . . 24

1.5 Классификация двумерных подалгебр имеющих одномерное пересечение с идеалом..........................................................27

1.6 Классификация двумерных подалгебр имеющих тривиальное пересечение с идеалом...............................................36

1.7 Факторсистемы, порожденные одномерными подалгебрами..........41

2 Точные решения уравнений Эйлера. 53

2.1 Некоторые классы решений ранга 2....................................53

2.1.1 Решения инвариантные относительно группы, порождаемой операторами £¿=1 <аг>{ и <Ьг>(..........................53

2.1.2 Некоторые решения инвариантные относительно подалгебры {Хь х4+ <к>4}............................................58

2.2 Стационарные осесимметричные течения с закруткой................60

2.2.1 Функционально-инвариантные решения........................60

2.2.2 Течения стратифицированной жидкости со свободной границей................................................................63

2.2.3 Примеры функционально-инвариантных решений............63

2.2.4 Некоторые другие точные решения..............................66

3 Двумерные стационарные течения стратифицированной жидкости. 68

3.1 Функционально-инвариантные решения................................68

3.2 Течения стратифицированной жидкости со свободной границей. . 70

3.3 Некоторые классы точных решений....................................71

3.4 Построение функционально-инвариантных решений..................74

3.5 Классификация решений, допускающих обобщенное разделение переменных.........................................................75

Литература 80

Введение.

Настоящая работа посвящена проблеме построения точных решений уравнений Эйлера идеальной жидкости. Нахождением решений уравнений Эйлера занимались многие известные математики. Большое число таких примеров имеется в классических монографиях и учебниках [1, 2, 3]. Одной из последних книг, целиком посвященных данной проблеме, является монография [4]. Точные решения имеют значительный теоретический интерес, поскольку они могут описывать разнообразные физические явления и служить в качестве тестов для вычислительных экспериментов.

Построение решений представляет сложную математическую проблему. Одним из основных инструментов исследования этой проблемы является групповой анализ дифференциальных уравнений [5, 6, 7, 8]. Применение некоторых элементов теории групп в гидродинамике началось, по-видимому, с книги Г. Бир-кгофа [9]. Однако систематические исследования групповых свойств уравнений механики сплошной среды началось после выхода работ Л.В. Овсянникова [5, 6].

С тех пор были вычислены допустимые группы, найдены инвариантные и частично-инвариантные решения для различных уравнений математической физики, обнаружены новые применения групповых методов [6, 7, 10, 11].

Достигнутые успехи привели к необходимости более глубокого изучения теоретико-групповых свойств дифференциальных уравнений. В связи с этим Л.В.Овсянниковым выдвинута программа ПОДМОДЕЛИ [12, 13]. Одной из целей данной программы является построение существенно различных редуцированных систем для математических моделей механики сплошной среды. Этг проблема фактически сводится к сложной алгебраической задаче нахождение

оптимальной системы подгрупп [6] основной группы, допускаемой рассматриваемой моделью.

Среди работ посвященных классификации подалгебр алгебры Ли следует отметить [14, 15, 13, 16].

Группа, допускаемая трехмерными уравнениями Эйлера, была найдена при некоторых ограничениях A.A. Бучневым [17]. Позднее C.B. Хабиров показал [18], что эти ограничения можно снять. Изучению групповых свойств уравнений однородной и неоднородной жидкости в переменных Лагранжа посвящены работы [19, 20]. В работах [21, 22] строятся точные решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса при вращательной симметрии, исследуются их групповые свойства и дается классификация одномерных подалгебр, допускаемой алгебры Ли. Некоторые классы решений, соответствующие течениям идеальной жидкости со свободной границей приведены в работе [23]. В работах О.В. Капцова [24, 25, 4] построены новые классы решений для уравнений, описывающих плоские и осесимметричные течения идеальной жидкости. В работах [26, 27] проведена частичная классификация подалгебр алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями Навье-Стокса, а также построены некоторые классы инвариантных решений для этих уравнений.

Охарактеризуем вкратце содержание диссертации.

Первая глава посвящена классификации подалгебр алгебры Ли, допускаемой нестационарными трехмерными уравнениями Эйлера. Алгебра Ли операторов L, допускаемых данными уравнениями бесконечномерна. Ее базис образуют операторы:

= ди з

Х2 = 2рдр + ^{xidXi -f uldui) i=1

з

Xz = tdt-2Pdp~Y,uldui, i=1

X4 = Х2дхз - x3dX2 + U2du3 - U3du2, (0.1)

X5 - x3dXï - хгдхз + u3dui - и1диз, X6 = xidX2 - x2dXl + uldu2 - u2dui,

<Ь\1)>{= ЬгдХ1 + Ъ1диг - хгЪ\ьдр, г = 1,2,3, <Ь\г)>А= Ь4др.

Здесь г = 1,..., 4 — произвольные, аналитические на некотором интервале функции.

В первом параграфе вводятся необходимые понятия и определения, дается описание алгебры Ли, допускаемой уравнениями Эйлера и излагается схема классификации подалгебр относительно группы внутренних автоморфизмов.

Второй параграф носит вспомогательный характер. Здесь получена классификация подалгебр алгебры ь6 = {х1, х2, х3, х4. х5, Х6}. Конечномерные подалгебры алгебры Ь задаются, путем указания в фигурных скобках элементов их базиса.

В начале третьего параграфа вводится понятие квазиоптимальной системы подалгебр. Оставшаяся часть параграфа посвящена построению квазиоптимальная система в\ одномерных подалгебр, допускаемых уравнениями Эйлера. Результат классификации сформулирован, в виде теоремы.

Теорема 1. Квазиоптимальная система одномерных подалгебр 9[ алгебры Ли Ь, базис которой составляют операторы (0.1), состоит из следующих 10 классов:

{х3 + № + 12х2} (к > о;,

{х1+х4 + 11х2} (ь > 0), № +

{х4 + кх2) (ь > о;,

{Х1+<61>1};

{х4+ <ь4>4}, Ш,

{Е?=1 <ьг>г],

{<Ь4>4};

где ¡1 — вещественные постоянные. Шестой, седьмой, девятый и десятый классы являются особыми, а остальные — неособыми.

Класс подалгебр является неособым, если элементы этого класса можно параметризовать конечным числом вещественных параметров. Если же такая параметризация не возможна, то класс подалгебр называется особым.

Параграфы с четвертого по шестой посвящены классификации двумерных подалгебр, допускаемых уравнениями Эйлера. Последовательно рассматриваются подалгебры лежащие в идеале Loo, имеющие одномерное пересечение с идеалом, и тривиальное пересечение с идеалом. Основным результатом классификации является Теорема 2, утверждающая, что квазиоптимальная система двумерных подалгебр в'2 алгебры Ли L состоит из 50 классов, перечисленных в Таблице 1. Следует отметить, что базис {А, В} каждой двумерной подалгебры из 6>2 строился исходя из условий: А порождает подалгебру {А} 6 9[, В е NorL(A).

В седьмом параграфе для всех подалгебр из в[ строятся соответствующие факторсистемы. Для каждой из факторсистем находится алгебра допускаемых операторов. Известно [6], что всем операторам, лежащим в нормализаторе некоторой подалгебры, соответствуют операторы допускаемые факторсистемой, построенной по данной подалгебре. Для всех факторсистем, кроме факторсистем построенных на подалгебрах {Х4} и <&l>¿}? не существует "новых" операторов (т.е. операторов которым нет соответствия среди операторов нормализатора) .

Вторая глава посвящена построению точных решений уравнений Эйлера. В первом пункте первого параграфа рассматриваются решения инвариантные относительно двумерной подалгебры с базисом операторов Qx =<а1 >i + <а2 >2 + <а3>з и ft =<Ь1>i + <Ь2>2 + <Ь3>з. Соответствующая факторсистема имеет вид

U¡ - StUl/S + 2(EVl - FWX)/S + P¿ = 0, Vtl + UlV¡, + M{AWl - CVl)fS + 2MFx'/S2 = 0, W¡ + UlWlx, + M(CWl - BVl)/S + 2MEx'/S2 = 0,

Ui = 0,

общее решение которой, при М = 0, есть

Ul=at,

V1 = /j,(x'-a{t)),

Wx=V{x' -a(t)),

P1 = -x'{att - StatS-1) - 2(ЕЛ4 - FT^S"1 + A(i),

где ту — произвольные гладкие функции, M, H — первообразные от ц и г) соответственно, а Л — произвольная функция.

Построены решения, описывающие течения жидкости со свободной границей, в том числе решение (заданное в лагранжевых координатах):

X = (1 + t)~2x о,

у = trj(zo) + (1 + t)y0,

Z = ( 1 + t)z0 + к( 1 + t)~5 + mt — к.

Во втором пункте первого параграфа построены инвариантные решения, соответствующие двумерной подалгебре Ь2 с базисом операторов {Xi, Х4+ <к>4}. Представление для инвариантного решения (в цилиндрической системе координат)

и = £/(ж,г), v = V(x,r), w = Ж(ж,г), p = P(x,t) -f кф.

Если предположить, что ^ и FF не зависят от ж, то С/ и F должны представляться следующим образом

J7 = хд(г) + /г(г), F = (¿(г)ж2 + + /(г),

а функции V(r), W(r), g (г), /i(r), of(r), ç(r), /(г) можно найти, решив соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Второй параграф второй главы посвящен построению решений уравнения

Фхх + Фтт - Г~1фг = r2F(lP) - Н{Ф),

которое описывает стационарные осесимметричные течения с закруткой. Для этого уравнения вводится понятие функционально-инвариантного решения. Доказана Теорема 3, утверждающая, что функция ф(:г, г) является функционально-инвариантным решением данного уравнения тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям

Функционально-инвариантные решения для волнового уравнения были построены в работе В.И. Смирнова и C.JI. Соболева [34], а их групповая интерпретация дана в [5]. Многочисленные примеры функционально-инвариантных решений для различных (в основном линейных) уравнений содержатся в обзорной работе [28].

В диссертации понятие функционально-инвариантного решения распространено на нелинейные уравнения, описывающие осесимметричные течения идеальной жидкости и плоские течения стратифицированной жидкости.

Показано, что для всякого функционально-инвариантного решения ф поверхность ф(х,г) = ф0 = const может служить свободной границей при условии, что

Построены точные функционально-инвариантные решения вида ф о ф, где ф — дважды непрерывно дифференцируемая функция, а ф — одна из следующих функций:

Фг = Аг{ф)г + А2{Ф)г

,з

где Ai,Ci(i = 1,2) — решения системы

-6А% + С2А2 - 2С2А'2 = О, -8/М2 + С[А2 + С'2А! - 2СХА'2 - 2С2А[ = О, 2С2-2А\ + С'хА1-2С1А!2 = 0.

С^фо) < 0.

г2/2 + лДх + 7, ф= r2/2 + (1 - к)(х + 1)2/2 + 1/{2-2к),

к = 1, I > 0, кф 1,

Результаты численного построения функционально-инвариантных решений приведены на рисунках 1 и 2 (стр. 66). Найдены новые точные решения, выражающиеся через функцию Вейерштрасса.

Третья глава диссертации посвящена построению точных решений уравнения, описывающего плоские стационарные течения стратифицированной жидкости:

фхх + ф^ = 0{ф)г + Н(ф).

В параграфе первом доказывается Теорема 4, утверждающая, что функция ф(х,г) является функционально-инвариантным решением данного уравнения тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям

ф2х+ф] = С1{ф)г + С0(ф),

фг = А2(ф)г2 + Аг{ф)г + А0(ф), где Сх, Со, А2, Ах, Ао— решения системы

С[А2 - 2СгА'2 - 4А22 = О,

с;Ах + С'0А2 - 2С1А; - 2СоА'2 - 6АхА2 = О,

С[А0 + С'оАг - 2СгА'0 - 2СоА[ - 2А1 - 4А0А2 = О,

С^Ао - 2С0А'0 + Сх - 2А0Ах = 0.

Во втором параграфе показано, что любая линия ф = фо, такая, что С\(ф0) < 0 может рассматриваться в качестве свободной границы.

В третьем параграфе находятся некоторые точных решений уравнения, описывающего плоские стационарные течения стратифицированной жидкости. В частности, построены решения, выражающиеся в элементарных функциях:

ф = 4 атсЬё —- * ^з ,

-1 + |сЬ

с

ф = 4 аг^

-1 - 1

Кроме того, на рисунках 3-6 изображены линии тока для различных течений стратифицированной жидкости (стр. 73).

В четвертом параграфе строятся точные функционально-инвариантные решения вида ф о ф, где ф — дважды непрерывно дифференцируемая функция, а ф — задается формулой:

ф =

г + уД(х + 7), к = 0,1>0, z-k(ж + 7)2/4, кф 0.

На рисунках 7, 8 (стр. 76) приводятся картины линий тока, отвечающие некоторым функционально-инвариантным решениям.

Основным результатом пятого параграфа является Теорема 5, утверждающая, что уравнение фхх + фгг = С(ф)г + Н(ф), допускающее обобщенное разделение переменных преобразованиями эквивалентности приводится к одному из следующих типов:

Фхх + Фгг = кф\пф + 1фг,

ф

Фхх Фгг — к sin-0 + /(cos ф + cos — )z,

ф

Фхх + Фгг = кзЪ.ф + 1(сЪф ±c\i—)z,

Фхх + Фгг = (1 — к/2)т' + кт"т/т13 — кт" / т'3 Z,

где k,l £ R, т(ф)— произвольная гладкая функция.

Основные результаты диссертации.

Проведена классификация одномерных и двумерных подалгебр алгебры Ли, допускаемой трехмерными нестационарными уравнениями Эйлера.

Построены новые классы точных решений уравнений, описывающих стационарные осесимметричные течения идеальной несжимаемой жидкости и стационарные плоские течения стратифицированной жидкости.

Для нелинейного уравнения, описывающего стационарные плоские течения стратифицированной жидкости найдены все случаи обобщенного разделения переменных.

Результаты диссертации опубликованы в работах [29, 30, 31, 32, 33].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Олегу Викторовичу Капцову за советы и внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 96-01-0047), Красноярского краевого фонда науки и СО РАН (интеграционная программа "Исследование поверхностных и внутренних гравитационных волн").

Глава 1

Классификация одномерных и двумерных подалгебр, допускаемых уравнениями

1.1 Основные понятия и схема классификации подалгебр.

Рассмотрим трехмерные нестационарные уравнения Эйлера:

где V — (дХ11дХ2,дХз) — градиент, и = (м1,«2,«3) — вектор скорости.

Базис операторов алгебры Ли L, допускаемой уравнениями Эйлера приведен во введении.

Алгебра Ли L представима в виде полупрямой суммы подалгебры Lq = {Аь Х2, Аз, Х4, А5, Х6} и бесконечномерного идеала L = L6 ф L^.

Коммутаторы базисных элементов алгебры L задаются соотношениями:

[АЬА3] = Ai; [Аь<аг>г] =<а\>г, г = 1,... ,4; [Х2,<аг>г] = - <аг>г,

dtu + (и ■ V)m + Vp = 0, divu — О

(1.1)

г = 1,2,3; [Х2,<а4>4] = -2 <а4>4; [Х3,<аг>г] =<ía*>¿, г = 1,2,3; [Х3,<а4>4] =<¿a4 + 2а4>4; (Х4,Х5] = -Х6; [Х4,Хб] = Х5; [Х5,Х6] = -Х4; [Х4,<а2>2] = - <а2>3; [Х4,<а3>3] =<а3>2; [АГ5, <аг>1] =<^>3; [Х5,<а3>3] = - <а3>1; [Х6,<аг>х] = - <^>2; [Х6,<а2>2] =<а2>г, [<a*>¿, <b¿>¿] =<a¡tbl - а%>4, г = 1,2,3.

Для остальных пар базисных элементов коммутаторы равны 0.

Для нахождения действия внутреннего автоморфизма, соответствующего элементу алгебры У на элемент X будем либо искать решение задачи

ИХ'

-?- = [х',п хЩ = х,

либо воспользуемся следующим представлением

X' = Ad(exp(eY))X = X + е[Х, Y] + ^[[Х, У], У] +----

Если У £ Loo, то ряд содержит не более трех ненулевых членов.

Внутренний автоморфизм, соответствующий элементу базиса X¿ (г = 1,..., 6) обозначим через A¿(e), либо просто через A¿. Для внутренних автоморфизмов, соответствующих элементам из Loo, положим 6=1, так как справедливо соотношение Ad(exp(e <al>¿)) = Ad(exp{<eal>i)) и мы можем заменить еаг просто на aj. Обозначим Ай(ехр(<аг >¿)) через C¿(az) либо просто через C¿. Для внутреннего автоморфизма Ad(exp(J2i=1 <flz>¿)) используем обозначение Со(ах,а2,а3) либо Со (а) либо просто Со.

Внутренние автоморфизмы действуют на элементы базиса следующим образом (тождественные действия не приведены):

AiXs =Х3 + бХ1; Ai <ai(t)>i=<ai(t + e)>¿; А2 <a¿(í)>¿= е"6 <а*'>,-, г = 1,2,3; А2 < a4(t) >4— е~2е < а4 >4; A3Xi = e-£Xi; А3 < аг'(£) >г=< á{ete) >г, г = 1,2,3; А3 <a4(í)>4= е2€ <a4(íe€)>4; А4Х5 = coseXs — sineX6; А4Х6 = sineX5 + coseX6; А5Хб = соэбХб — sineX4; А5Х4 = sineX6 + coseX4; А6Х4 = coseX4 — sin6X5; А6Х5 = sineX4 + coseX5; А4 <а2>2= eos б <а2>2 — sine <а2>3; А4 <а3 >3= sine <а3>2 + cose <а3>3; А5 <а3>3= cose <а3>3 -sine <а3>х; А5 <ах>1— sine <а1>3 + cose <аг>1; Аб <аг>1= cose <ах>х —sine <ах>2; А6 <а2>2= sine <а2>г +cose <а2>2; Сг(аг)Х! = Хх— <a¿>¿ <агагш-а^агй>4,

г = 1,2,3; Сг{аг)Х2 = Х2+ <аг>г] Сг(аг)Х3 = Х3- <Ьа\>{ + § <а^а\)и-¿а'а^>4, г = 1,...,3; Сг(аг) <Ъг>г=<Ьг>г + <а^Ь1 - а%>4, г = 1,2,3; СДа^Хд = Х5- <а1>3; С^а^Хе = Х6+ < а1 >2; С2(а2)Х6 = Х6- < а2 >г; С2(а2)Х4 = Х4+ < а2 >3; С3(а3)Х4 = Х4- < а3 >2; С3(а3)Х5 = Х5+ < а3 >1; С4{а4)Хг = Хг- <а4>4; С4(а4)Х2 = Х2 + 2 <а4>4; С4(а4)Х3 = Х3- <£а4 + 2а4>4; Уравнения (1.1) также допускают дискретные симметрии

А2 : I —Л, и -»• -и,

Ад : ж —)■ —х, и —У —и.

Для автоморфизмов А4(п), Ад(7г), А^{тт) используем специальные обозначения: А4, Ад, Ад соответственно. А2, Ад, А4, Ад, Ад действуют на элементы базиса следующим образом (вновь, тождественные действия не приведены): А2 <аг(£)>^= - < а®(£) >г (г = 1,2,3), А^ = -Хь Аа3 < аг(£) >г=< >г (г = 1,...,4), А^Х5 = -Х5, Аа4Х6 = -Х6, А\ < а2 >2= - < а2 >2, А\ < а3 >3= - < а3 >3 А^Х4 = -Х4, АдХ6 = —Х6, Ад < а1 >2= - < а1 >ь А^ < а3 >3= - < а3 >3 А^Х4 = -Х4, АдХд = -Х5, Ад <^>2= - <а1>1, Ад <а2>2= - <а2>2.

Группа внутренних автоморфизмов, дополненная дискретными симметри-ями, обозначается через АЫ(Ьоо). Через АиЬ(Ьв) обозначим группу внутренних автоморфизмов подалгебры дополненную дискретными симметриями.

Пусть Ь' — произвольная подалгебра в Ь. Определяется отображение т, сопоставляющее каждой V подалгебру в

т{Ь') = {Иог^Ь' П Ьж) + £оо)/£оо, (1.2)

где Ыог^Ь') — нормализатор V в Ь, наклонная черта означает переход к фак-тор�