Разрешимость и дифференциальные свойства решений краевых задач для уравнения Эйлера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ггз од

Ростовский государственный университет

- В ОНТ 1336

На правах рукописи

МОРГУЛИС Андрей Борисович

РАЗРЕШИМОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 1996

Работа выполнена в Ростовском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Юдович В. И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Симоненко И. Б.

доктор физико-математических наук, доцент Седенко В. И.

Ведущая организация: Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева Сибирского отделения РАН

Защита состоится « f7ьсекгЛъра 1996 г. в часов на заседании Диссертационного совета К 063.52.13 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном универстите по адресу: 344090, Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, мехмат, ауд. 240.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «

/Зъ г.

Ученый секретарь Диссертационного совета К 063.52.13 кандидат физико-матемаггических наук, доцент

В. Д. Кряквин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В предлагаемой диссертации исследована разрешимость и дифференциальные свойства, решений краевых задач для уравнений Эйлера, как в областях с непроницаемой границей, так и при наличии протекания жидкости сквозь область.

Важные результаты в этой области получили H. М. Гюнтер, L.Lichtenstein, H.Hoelder, W.Wolibner, В.И. Юдович, A.B. Кажи-хов, O.A. Ладыженская, М. Р. Уховский, J.Maxsden, D.Ebin, J.I. Chemin, J. Delort и др.

Несмотря на то, что уравнения Эйлера известны уже более двух столетий, их исчерпывающая математическая теория отсутствует. Построение этой теории могло бы привести к продвижению в понимании таких явлений как гидродинамическая турбулентность и общих вопросов динамики бесконечномерных консервативных систем.

Цели работы:

— исследовать дифференциальные свойства решений двумерных нестационарных уравнений Эйлера для случая непрерывного и кусочно-непрерывного начального вихря;

— исследовать разрешимость начально-краевой задачи для двумерных нестационарных уравнений Эйлера в классах течений с вихрем, лежащим вне Lp, р > 1;

— исследовать разрешимость трехмерной стационарной задачи протекания сквозь заданную область.

Научная новизна. В 1963 году В. И. Юдович доказал глобальное по времени существование обобщенного решения плоской начально-краевой задачи для уравнений Эйлера в случае начального вихря из Lp, 1 < р < со,и его единственность при р = оо. Впоследствии тот же автор (1995 г.) установил единственность решения общей трехмерной задачи при более слабых условиях.

В настоящей диссертации доказано, что вихрь скорости плоского течения с ограниченным вихрем определяется классической формулой Коши. Следствием формулы Коши оказывается инвариантность пространства непрерывных вихрей относительно эволюционного оператора двумерных уравнений Эйлера. Для течений с непрерывным вихрем найдена априорная оценка £р-норм производных оператора сдвига вдоль траекторий частиц жидкости (потока). Оценка скорости их роста выражена в терминах модуля непрерыв-

ности начального вихря.

Из оценки производных потока и формулы Коши выведена априорная оценка производных непрерывного вихря в Lp, р> 1.

Ослабление условия р > 1 в теореме В. И. Юдовича —предмет большого числа статей, опубликованных в 90-е годы (J. Delort, 1991; А. Моргулис, 1992; D. Chae, 1993-1994; A. Majda, 1993; I. Vecclii к Sijue Wu, 1993; S. Schoclict, 1994-1995; В. H. Старовойтов, 1988, 1994). В диссертации представлено доказательство разрешимости в классе пространств Орлича, «заключенных между» Li и £р, р > 1.

Локальную разрешимость задачи Коши для трехмерных уравнений Эйлера в классе течений с кусочно-гельдеровыми производными скорости доказали Н.М. Гюнтер и L. Lichtenstein в 20-х годах. Из результатов В. И. Юдовича следует, что кусочно-гельдеровы данные определяют единственное глобальное решение плоской задачи. Для течений во всей плоскости регулярность этих решений исследовал J.-Y. Chemin, 1991. Этот автор доказал глобальную по времени ограниченность скорости, а также гельдеровскую непрерывность орта касательной к линии разрыва.

В диссертации результат J.-Y. Chemin'a перенесен на случай ограниченной области течения и дополнен оценками модулей непрерывности скорости и давления в направлении нормали к линии разрыва. Таким образом, получен глобальный аналог классической теоремы H. М. Гюнтера и L. Lichtenstein'a для течений в ограниченных областях.

Задача протекания возникает, когда нормальная компонента скорости течения на границе области течения не равна нулю тождественно. Хорошо известно, что задание одной нормальной компоненты скорости недостаточно для корректной постановки задачи.

В диссертации рассматривается трехмерная стационарная задача протекания идеальной однородной несжимаемой жидкости сквозь заданную область при потенциальных внешних силах. Граничные условия: на всей границе задана нормальная компонента скорости; а на части границы, сквозь которую жидкость втекает в область, заданы дополнительно нормальная компонента вихря и граничное значение функции Бернулли (суммы давления и кинетической энергии частицы жидкости). В некоторых случаях такая постановка задачи позволяет свести ее к скалярному уравнению (М. А. Гольдштик). В диссертации используется иной подход.

В общем случае эти граничные условия есть стационарный аналог граничных условий, предложенных А. В. Кажиховым (1980) для

нестационарной задачи.

Существование решений вращательно-симметричной стационарной задачи протекания с нулевой азимутальной скоростью ранее было доказано Г. В. Алексеевым, 1972-1973. При этом на участке втекания предполагался заданным вихрь.

Плоскую нестационарную задачу с заданными на входе значениями функции Бернулли исследовал В.М. Салопенко, 1988.

Разрешимость стационарной задачи протекания доказана в диссертации в двух частных случаях:

(а) граничное значение функции Бернулли постоянно;

(б) данные задачи инвариантны относительно вращений вокруг некоторой оси.

В случае (а) решение описывает спиральное (винтовое) течение: в каждой точке области течения вихрь скорости коллинеарен самой скорости; функция Бернулли постоянна в области течения. В случае (б) доказано существование симметричных решений с ненулевой азимутальной компонентой скорости.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть ис-пользваны при разработке численных методов решения начально-краевых задач для уравнений Эйлера, возникающих, например, в метеорологии или при расчете циклонных установок.

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. В первой главе изучаются свойства обобщенных решений плоских нестационарных уравнений Эйлера с непрерывным вихрем и с вихрем, несуммируемым со степенью, большей единицы; во второй главе рассматриваются плоские нестационарные течения с кусочно-гельдеровым вихрем; в третьей главе исследуется разрешимость трехмерной задачи протекания.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы Мор-гулиса А. Б. отражено в следующих публикациях:

1. Моргулис А. Б. О лагранжевом представлении обобщенных решений уравнений двумерных течений идеальной несжимемой жидкости // Деп. в ВИНИТИ, № 3669-В89.

2. Моргулис А. Б. Лагранжево описание двумерных обобщенных течений идеальной жидкости // Изв. СКНЦ ВШ, 1990, № 3. С. 55-59.

3. Моргулис А. Б. О решениях двумерных нестационарных урав-

нений Эйлера, допускающих вихрь, несуммируемый со степенью большей единицы // СМЖ. Т. 33, № 5. 1992. С. 209-212.

4. Моргулис А. Б. Спиральные течения идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную трехмерную область // Деп. в ВИНИТИ 17.03.92. № 904-В92.

5. Моргулис А. В. Вращательно-симметричные решения трехмерной стационарной задачи о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область // Деп. в ВИНИТИ 15.03.93. № 619-В93.

6. Моргулис А. В. Лагранжево описание двумерных обобщенных течений идеальной жидкости // Тез. докл. на VII школе-семинаре «Нелинейные задачи гидродинамической теории устойчивости». Изд-во МГУ, 1992.

7. Моргулис А. В. Глобальная регулярность лшши разрыва вихря в двумерных течениях идеальной несжимаемой жидкости / / Деп. в ВИНИТИ 10.11.95. № 2987-В95.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на VII, VIII Школах-семинарах МГУ «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости» (Звенигород, 1990; Райки, 1992), международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости» (Зеленоград, 1993), на научных семинарах кафедр вычислительной математики и математической физики, алгебры и дискретной математики РГУ.

Содержание работы

Далее речь пойдет о стационарных и нестационарных краевых задачах для уравнений Эйлера идеальной несжимаемой однородной жидкости. Предполагается, что область течения D ограничена и принадлежит классу С2. Для краткости полученные в диссертации результаты будут здесь изложены для случая односвязной области течения D.

Уравнения Эйлера имеют вид:

dtv + Lvv — -VP 4- F; div v = 0,

где Ь„ = (», V); V — поле скорости течения; Р — давление; -Р — поле внешней силы.

На границе области течения предполагается заданной нормальная компонента 7 скорости г>:

В первых двух главах исследуется нестационарная задача; граница области 25 предполагается непроницаемой (7 = 0), а сама область течения — плоской: В С К2. В третьей главе рассматривается трехмерная стационарная задача протекания (7 ф 0), В этом случае ставятся дополнительные граничные условия.

Далее всюду ш будет обозначать вихрь скорости v течения. Там, где речь пойдет о плоских течениях, вихрь будет отождествляться со скалярной функцией, равной единственной ненулевой компоненте вектора вихря. При рассмотрении нестационарной задачи обозначения »о, о;о будут применяться для начальных значений скорости и вихря, соответственно. Будут использоваться стандартные про-

странства ЬР(Е), 1 < р < оо, С(Ё), Ск'а(Ё), Са(Ё), Са(Е), Ск'°(Е),

где Е С К" — открытое множество, к — целое неотрицательное число, 0 < а < 1, а также пространство с отрицательным показателем С"-1, 0 < а < 1. Нормы функции и> в пространствах Са(Ё), Са~1, 1/р(Е) будут обозначены |ш|а.£, |го|а_1, ||и»||р;£;, соответственно, а гельдерова полунорма функции и> будет обозначена Отсут-

ствие указания на область определения функции в обозначениях пространств, норм и интегралов здесь и далее означает, что она совпадает со всем пространством К".

Отправной точкой проведенного в диссертации исследования плоской нестационарной задачи является теорема В. И. Юдовича: решение с вихрем из Ьр, (1 < р < оо) существует, а в случае р = оо решение единственно и траектории частиц жидкости определены однозначно, то есть при каждом t £ К перемещение частиц жидкости определяет гомеоморфизм Х(-,1) множества В. Для каждого t £ К

где 7(<) = ехр(С(), а константа С не зависит от I. Семейство гомеоморфизмов X будем далее называть потоком поля скорости и. Оценка (2) есть следствие равномерной по времени квазилипшици-евости скорости: ее модуль непрерывности — порядка ¿1п1/й при

v ■ п\до

7-

Х(-,1) € С^чф), причем

(2)

8

0.

В первом параграфе первой главы уточняются свойства потока X, порожденного полем скорости г; течения с ограниченным вихрем.

Теорема 1 Пусть 2Э(С К2) — ограниченая область класса С2, V — обобщенное решение уравнений Эйлера в И, удовлетворяющее граничному условию непроницаемости дЮ:

Пусть вихрь из поляь принадлежит £*со{Е>))Г\С(Ж, ЬР(В)),

оо > р > 1. Тогда

(а) поток X поля и есть семейство гомеоморфизмов V, сохраняющих меру Лебега в Д;

(б) уравнение движения в форме Лагранжа выполнено почти всюду в О;

(в) справедлива формула Коши:

<

О

где / — вихрь внешней силы Р.

Доказательство пункта (а) основано на редукции к теореме Банаха об изометриях пространств Ьр. Идея этой редукции принадлежит В. И. Юдовичу.

В силу сохранения меры потоком X для любой функции д 6 И^'РЩг! < Т} X 1>), Т > 0, имеет место равенство

(Р« + («, V)] д) о .*■(■,<) = Э,д(Х(; О, *)•

Из этого равенства, уравнения Эйлера и уравнения вихря следуют пункты (б) и (в).

Теорема 2 Пусть в условиях теоремы 1 шо 6 С (О). Тогда

(а) и <Е С(К,С(£)); V / 6 1 V р 6 [1,со) € 1р-1ос(£>); уравнения движения в форме Вебера выполнены почти всюду в И;

(б) если хроме тогои0 € Сф)ПЦ^(О), р > 1, тоЧБ': В' С О V * 6 К УЦ-^) € Ьр-ф'), гдер' < р, когдар < 2 ир' = р, когдар> 2, при этом, если £) 6 С2,а, о > 0, то момсно положить И' = В.

Глобальная оценка Уц; в Ьр при р > 2 известна (В. И. Юдович, 1964).

Ключевой момент доказательства теоремы 2 — оценка интеграла

У ехр I ру |Уи|(Х(х,г)Уг | ¿х, & С Д О' \ о /

сводящаяся, с помощью идеи статьи В. И. Юдовича (1962 г.), к оценке ||УйЦоо;/)!, где {?(£ ) — векторное поле, аппроксимирующее поле V в том смысле, что величина эир?>2 — достаточно мала.

Теорема 3 Пусть в условиях теоремы 1 / = 0, шо € С(В). Тогда

где Рш0(Лт_1) < —-г-г/ Ри,. — модуль непрерывности шо; 71 (¿) = срЩ

ехр(с||а!о||с»;о|^|) — 1; ¿о = тт(1,<11з1(1)',Э£))),- причем константа с не зависит от р, Ь, И'.

Для доказательства теоремы 3 поле v определим как соленои-дальное в D решение уравнения rot v = wooX-1, где ¿Do — многочлен степени iV, наилучшего приближения к и>о в метрике равномерной сходимости. Так как любое поле ш, соленоидальное в односвязной области D, удовлетворяет неравенству li? Il 00 :d

(В. PI. Юдович, 1962), поле v с ростом N аппроксимирует поле скорости v в указанном выше смысле. В силу неравенства (2) rot v G С1 h M (¿5), следовательно, в силу внутренних оценок решений уравнения Пуассона v € Для оценки гельдеровской полунормы [rot б] j используются многомерные неравенства Джексона и Бернштейна, а затем применяется оценка ЦУиЦо^д/, логарифмически зависящая от [rot î]i/7;d- Об этом неравенстве речь пойдет ниже, при изложении результатов второй главы.

Известные оценки норм производных вихря достаточно сильных, чтобы гарантировать липшициевость скорости (В.И. Юдович, 1964, J.-Y. Chemin, 1991), допускают рост этих норм не быстрее дважды итерированной экспоненты. Оценки, представленные в этой главе диссертации ,не связаны с липшициевостью скорости и допускают любую скорость роста JDp-норм производных потока (при любом р) и вихря (при 1 < р < 2).

В § 2 первой главы диссертации доказывается разрешимость плоских уравнений Эйлера в классе течений с вихрем, не суммируемым со степенью, большей единицы.

Решающий шаг в доказательстве существования обобщенных решений уравнений Эйлера состоит в обосновании предельного перехода

оо оо

//.ÎTg*«-/ «

-оо d -оо d

где — аппроксимирующая последовательность решений, по-

строенных по сглаженным данным; v — предельная точка этой последовательности в некоторой топологии; и — «пробное» соленои-дальное гладкое векторное поле.

Топология, в которой имеет место компактность последовательности v(k}, определяется законами сохранения, следующими из уравнений Эйлера. Закон сохранения энергии приводит к слабой топологии £2, однако эта топология, по-видимому, слишком слаба. Для того чтобы доказать сходимость {и'^} в более сильной топологии, необходимо суметь использовать закон сохранения вихря. В двумерном случае следствием этого закона сохранения оказывается рав-ноизмеримость значений вихря во все моменты времени: V t 6 R Va > О

mes {ж: > а} = mes {я : > et}.

Следствием этого факта являются известные априорные оценки вихря в Lp (В. И. Юдович), и, разумеется, в нормах Орлича.

Априорная оценка вихря в Lp, р > 1, приводит к сильной компактности аппроксимирующей последовательности в L2, обусловленной полной непрерывностью оператора G, восстанавливающего соленоидалыюе поле по вихрю. Этого достаточно для обоснования предельного перехода (3).

Результат, полученный в диссертации, состоит в том, что компактность аппроксимирующей последовательности может быть доказана с использованием только непрерывности G. Существо дела здесь заключено в том, что как линейный оператор G, так и нелинейный оператор, описывающий эволюцию вихря, сохраняют свойство равностепенной абсолютной непрерывности норм Орлича семейств функций.

Определение 1 Пространство Орлича L*M(D) назовем допустимым. если и только если М удовлетворяет А^-условию, а дополнительная к ней функция N удовлетворяет условию

З7 > 0 Va > 0 / N'(i)t~2 exp[-í2/7] dt < 00.

Ja

Оператор G непрерывно действует из допустимого пространства L*M в ¿2- Класс допустимых функций включает, в частности, пространства Орлича с iV-функцией порядка í(lnf)1/2 при i —► 00.

Пусть X — банахово пространство, Y = X*. Обозначим СШ(Н, Y) класса У-значных функций, определенных на R и непрерывных в *-слабой топологии пространства Y.

Теорема 4 Пусть D — плоская ограниченная область класса С2. Пусть граница области D непроницаема для жидкости. Предположим, что wo £ L*M{D), F £ C(M,I2(£>))/ f = rot F £ CW(R,L*M(D)), причем пространство L%¡ — допустимо.

Тогда существует обобщенное решение v уравнений Эйлера в D, причем rot v(-,i)=w(-,t) G CV(R,L*M(D)), v £ C{[0,T],L2(D)).

Заметим, что в настоящее время известно (J. Delort, 1991), что условие сильной компактности аппроксимирующей последовательности в Z2 (-D) является слишком грубым.

В отличие от теоремы В.И.Юдовича, в условиях теоремы 4 поле скорости не имеет, вообще говоря, суммируемых производных. Для их суммируемости требуются более сильные условия. В частности, из оценок сингулярных интегралов в пространствах Орлича ( И.Б. Симоненко,1964) следует условие шд £ LlnL.

Во второй главе диссертации рассматриваются плоские нестационарные течения с кусочно-гельдеровым вихрем. Внешние силы предполагаются потенциальными, а начальная скорость »о такой, что

wo = rot v0 £ Ca{Üо) П Ca(Dj%), fio С D. (4)

Локальную разрешимость трехмерной задачи Коши с данными вида (4) и,в частности,локальную регулярность поверхности разрыва вихря доказали Н. М. Гюнтер и L. Lichtenstein в 20-х годах.

В плоском случае из результатов В. И. Юдовича следует, что данные вида (4) определяют единственное глобальное обобщенное решение. Так как плоский поток переносит вихрь как скаляр, переносится и линия его разрыва. Остается, однако, открытым вопрос о ее глобальной регулярности.

Интерес к этому вопросу возник в связи с задачей о плоском нестационарном движении вихревого пятна (vortex patch) с постоянной завихренностью в созданном им потоке. Численный анализ задачи свидетельствовал, казалось бы, об образовании особых точек на границе пятна (T.Buttke,1989), но, тем не менее, оказалось, что граница вихревого пятна, двигающегося в заполняющем плоскость потоке, остается гладкой на. сколь угодно больших (но конечных) временах (J.-Y. Chemin,1991).

Теорема (J.-Y. Chemin) Рассмотрим гладкое решение v задачи Коши для плоских уравнений Эйлера. Предположим, что дано гладкое соленоидальное векторное поле и>о, не обращающееся в нуль на данном компакте Йц. Рассмотрим поля w(-.t), w(-,t) = (LWQX)oX~1(-,t), гдеХ —поток поля v; и компакты Ùt — X(Ùo,t).

Тогда норма ||Vy||00(-, t) растет не быстрее Cq exp(Ci|i|); а старшие нормы |ш|а, |М-1|а;{г,> Ма^Дг,) ^шф растут не быстрее, чем Со ехр(ехр(Сг|<|)). Величины Cq, Ci, С2 зависят только от значений этих норм на начальных данных задачи.

Для частного случае кусочно-постоянного вихря существенно упрощенное доказательство теоремы Chemin'a дали A.Bertozzi и P. Constantin (1992).

Впервые глобальные априорные оценки производных вихря в Lp,p > 2 (с той же скоростью роста) получил В. И. Юдович (1964). Сверхэкспоненциальный рост оценок градиента вихря естественней для плоских течений: из неравенства (2) следует, что частицы жидкости, переносящие различный вихрь, могут сближаться со скоростью дважды итерированной экспоненты.

Основной результат 2-й главы диссертации - глобальный аналог теоремы Гюнтера-Lichtenstem'a

Теорема 5 Пусть в случае начально-краевой задачи с данными (4) в плоской области D класса С2,а область По € С1,а.

Тогда поток жидкости переносит область ilo так, что для Vie К. область По преобразуется в область iît G С1'", а производные скорости и давления принадлежат Ca(Ût) П Ca(D/iît). При этом константы Гельдера производных скорости, производных давления, и орта касательной к dUt растут не быстрее, чем exp(expC|i|).

Доказательство теоремы 5 состоит из двух этапов. Первый из них

— адаптация теоремы Chemin'a для случая ограниченной области D класса С2-а.

Теорема 6 Теорема Chemin'a полностью остается в силе для плоской начально-краевой задали в области D класса С2'а и финитного в D поля Wq. Если ограничиться требованием D £ С2, то оценки Chemin'a возможны на подобластях D' области D. При этом ||Vu|joo;o'(i) не превосходит coexpexpcji, а все остальные нормы не превосходят Со expexpexpc2Î. Константы со, , ci дополнительно зависят от расстояния между носителем wq и границей области D, а в случае D £ С2 еще и от dist(D',dD).

Как следствие теоремы 6 получаем, что fît £ С1'" для любого t. Второй этап состоит в оценке модуля непрерывности производных скорости и давления вблизи линии разрыва <90

Теорема 7 Пусть К £ Сх(Кп/{0}) — однородная функция степени (—п) четная относительно инверсии г —+ —z и имеющая нулевое среднее по единичной сфере. Пусть П — ограниченная область класса С1'а (0 < а < I), f £ C°(Rn). Тогда К * (fXo) € Ca(Û) Л Ca(Rn/fl), при этом

а) ||А' * (/x^lU < С(п, А>-! Ц/Цоо (1 + ln(|ft|?M«l/U/||/Hoo));

б) шах (\К * (/хп)|а;0, |А' * (/ЫЦй»/«) ^ С(п, К^^-а)'1 X ([/]« + ||/||оо1И«)(1 + М|^|?|И«)); где |П|. = max(e,mes 12); v -орт нормали к д£1.

Для частного случая ядра К, порожденного вторыми производными Ньютонова потенциала, Теорему 7 доказали Гюнтер и Lichtenstein. Оценку 1|К * (/хп)||оо получили Bertozzi и Constantin (1992).

Для доказательства оценок Chemin'a применяется метод, развитый в статье В. И. Юдовича (1964): скорость предполагается липши-циевой, в силу уравнения вихря устанавливаются оценки «старших норм», линейно зависящие от exp ^с f* ||Vu||oo ^т^, которые затем

замыкаются оценкой ||V иJ|оо^ линейной по ¡¡wjjoo и логарифмически зависящей от старших норм. В упомянутой выше статье Юдовича впервые появилось неравенство такого рода, при этом роль старшей нормы играла ||V«||P, р > 2. J.-Y. Chemin преодолел трудности, связанные с разрывностью вихря, показав что для липшициевости поля скорости v достаточно непрерывности вихря ш лишь вдоль некоторого переносящегося потоком X поля w. Приведем некоторые важные детали доказательства Chemin'a.

Пусть гл — соленоидальное поле класса С£(Ш.2), А 1 — обратный к оператору Лапласа в К2. Тогда

LwдiA-1f-дi&-1Lwf =

= / Ду)К(*) - ^(у))(а0Со)(х - у) ¿у, (5)

где Д-1 = С0 * /.

Формула (5) приводит к неравенствам (0 < /? < а < 1):

¡¿«^Д-1/!« < С(а)(|1в/|а-1 + |м|аР2Д~г/||оо); (6)

|£,VД-1/|/, < С(а,/?){\LvS\a-i + ки|!/||оо); (7)

Заметим теперь, что в условиях теоремы СЬепнп'а вихрь и и поле IV переносятся потоком X, а значит переносится и производная Ли Ьи,и). Из этого наблюдения и неравенства (6) следуют оценки |и;|в и |1№и>|в-1 через величину ехр(с/0' |^г)||оо(-,<)).

Оценка ||Уг>||оо;о в случае I) = К2 основана на следующих соображениях. Пусть е — орт направления ю. Вблизи поле е принадлежит классу Са. Выразим Уг через и и производные вида Далее используем интерполяционное неравенство

11/Цсо <с||/||вмо(1+Ь^) (8)

и оценку (7) для \1и>дА~1ш\р, /? < а.

Таким образом, приходим к оценке ¡¡^¡¡ао, логарифмически зависящей от старших норм Ма;К2/п; Мей |Ь»и>|а-1; 1М_1|а;0-

Оценки этих норм в силу уравнений переноса приводят к неравенству

Моо(0<со+С1 ГкУиЦоо (г)Лг, (9)

УО

В диссертации выведено локальное неравенство «с логарифмом»:

и^м,^^^)), (1о,

где 0 < /3 < а < 1, [/]а — гельдеровская полунорма, = {х 6 й" : < 6], М6 = аир {д'ЦДъЕ^ < д < оо}. Пусть Е — область в Еп, / £ Са(£6) П (и^21р(£г)). Пусть — усредняющее ядро, /г = /(ж, е) = * /. Для точек е > О

выразим |/е |р через производные от /(х, е) с помощью интегрального представления Соболева. Используя известные оценки усредненных функций и их производных, придем к неравенству

11/Цос;Я<

6~0 р

^ГрШпг/^Е^

-,1/Р

(И)

где 0 < ¡3 < а < 1; р £ (2, оо).

Если известна зависимость £д-норм функции / от д. то неравенство (11) может быть уточнено.

Так, подставив неравенство ||/||р;£г < Мер в правую часть неравенства (11), выберем р так, чтобы получившееся выражение было минимально. Получим (10).

Для оценки ЦУиЦсо;^ следует положить ( — Ьег>, е = ш/|и>|, в случае оценки вблизи множества Л< и / = VI? в случае оценки внутри В/П«. Заметим, что в обоих случаях в неравенстве (10) в качестве М(, следует взять СЦшЦ^-д), где С зависит от В.

В случае В 6 С2>а возможна оценка максимума | Уг)[(-, ¿) вплоть до границы В, а так как область В инвариантна относительно потока X, дальнейший ход рассуждений аналогичен случаю В = К2.

В случае В с С2 оценка максимума | V« I(•, <) вплоть до границы области В невозможна, но вблизи носителя поля «;(•,<) эта оценка получается вполне аналогично случаю В = Е2. Она, однако, оказывается зависящей от расстояния между зирр ги(-, () и ЭВ, которое может быть оценено лишь исходя из неравенства (2), что и приводит к дополнительной итерации экспоненты в теореме 6.

Рассмотрим максимум (Vг,'|(-, г) вблизи границы. Здесь следует заметить, что в силу (2) V* € К М«/7(«);0/я, - С(£>)[и>0] 7^) — ехр (С(.0)||и>о||оо;оО> поэтому искомая оценка следует из неравенства (10) и известных внутренних оценок решений уравнения Пуассона.

В доказательстве теоремы 7 центральное место занимает исследование модуля непрерывности функции К * \ (х — характеристическая функция П) вблизи границы множества П.

Пусть ж0 6 д{1. Тогда интеграл (К * х)(хо) существует в смысле главного значения. Решающую роль при этом играет четность К, откуда следует, что К имеет нулевое среднее не только на сфере, но и на полусфере.

Однако интеграл (К * х)(жо) не есть, вообще говоря, предел при х хо интеграла (К * х)(ж)- Например, пусть хо — характеристическая функция полупространства Eq: Eq — {х : (vn,x — хо) > 0}, i/0 G Rn. Непосредственным вычислением устанавливается равенство (К * хо)(а;) = |A(t/0)sgn (х - х0, v0), где

Последний интеграл существует ввиду четности К.

Так как сингулярные интегралы в определенном смысле выдерживают достаточно гладкие замены переменных (И.Б. Симоненко, 1965), можно ожидать, что поведение свертки К *х при достаточно гладкой границе множества Í2 близко к случаю плоской границы. В общем случае справедливо равенство:

lim (К * х)0о + svо) = ±^А(ц>) + {К* хХ^о), 8—¿

где ат0 € dSl, — орт нормали к díi в точке жо- При |s| > 0 разность правой и левой частей последнего равенства зависит, по-существу, от уклонения díl от касательной плоскости вблизи точки xq. В силу <71,0-гладкости дй эта разность есть 0(|s|a), s —» 0.

В третьей главе диссертации исследована разрешимость трехмерной стационарной задачи протекания (СЗП) идеальной несжимаемой однородной жидкости сквозь заданную область D. В этом случае уравнения Эйлера записываются в виде:

rot v х v = —Vff, (12)

div v = 0, (13)

где Н = P + v2/2 — функция Бернулли; Р — давление.

На всей границе области течения D предполагается заданной нормальная компонента f поля скорости v:

"•п|ао = 7- (14)

В этом случае естественным образом возникает разбиение dD на три части: область втекания жидкости Г+, область вытекания Г~ и твердая стенка Г°:

dD = Г+ U Г" U Г°, Г+ == {х G 3D : 7(«) < 0}, Г~ = {xedD: -у(х) > 0}, T° = {x£dD: 7(х)=0}.

Множество Г+ будем далее называть входом.

Хорошо известно, что задания одной только нормальной компоненты скорости недостаточно для корректной постановки задачи протекания. Выбор дополнительных граничных условий есть основная трудность этой задачи. Так как решения стационарной задачи естественно трактовать как неподвижные точки эволюционного оператора нестационарной задачи, для нахождения дополнительных граничных условий можно использовать известные корректные постановки нестационарной задачи протекания (НЗП).

Вопрос о корректной постановке НЗП был поставлен М. Е. Кочи-иым (1953 г.). В его посмертно опубликованной статье предлагалось дополительно задавать полный вектор вихря на входе.

В этой постановке плоская НЗП оказалась глобально разрешимой (В. И. Юдович, 1964). Аналогичный результат для осесимме-тричной задачи получил М. Р. Уховский (1967). В общем случае разрешимость этой задачи доказана лишь для данных специального вида(М. Р. Уховский, 1968; В. Заячковски, 1980). Эти трудности оказались связанными с переопределенностью задачи. Окончательное доказательство этого факта дал А. В. Кажихов (1980). Оказалось, что общая НЗП корректна, если на входе дополнительно задана касательная компонента вихря или даже касательная компонента скорости.

Кроме того, А. В. Кажихов доказал корректность НЗП в переопределенной постановке: на входе заданы нормальная компонента вихря и касательная компонента вектора rot v X v. Разумеется, эти данные должны быть известным образом согласованы между собой. Если они к тому же не зависят от времени, то это условие согласования сводится к потенциальности касательной компоненты rot v X v на Г+. Таким образом, приходим к следующим граничным условиям

Корректность плоской НЗП с граничным условием (16) доказал В. М. Салопенко (1988). Разрешимость плоской и осесимметричной СЗП с заданным на входе вихрем исследовал Г. В. Алексеев (1972 -1973).

В настоящей диссертации исследована разрешимость СЗП (12)-

СЗП:

(15)

(16)

Дадим необходимые определения.

Определение 2 Поле v Р W^(D)nC(D) назовем обобщенным решением СЗП (12)-(16), если уравнения Эйлера (12)-(13)выполня-ютпся почти всюду в D, а граничные условия (Ц)~( 16) выполняются в следующем смысле:

а) УФ G CHR")

/ vV$dx = J 7Ф da; Jo JaD

б) VB € CHR"): supp (rot В • n|aD) С Г+ / rot BVHdx ~ I x(rot В ■ n)dT+;

Jo J Г+

в) УФ G Cl{Rn): supp Ф п Г С Г+ I rot !iV$ dx =

Jo

Отметим, что если условие б) удовлетворяется для пары функций Я, Xi то оно удовлетворяется и для функций Я + cj, х + с2, Ci,C2 — const. Поэтому и функция Я и ее граничное значение \ рассматриваются кале элементы пространств, факторизованных по торждественно постоянным функциям.

В случае неодносвязности D задачу (12)-(16) следует дополнить заданием циркуляций v:

j) vdx — Ki\ i = 1,..., M,

где {U}f~i — базис сингулярных одномерных гомологий в D.

Для краткости изложения область D будем предполагать одно-связной. В случае неодносвязной области все приведенные ниже результаты остаются в силе.

Из условия а), очевидно, следует условие разрешимости:

/ 7<Ь = 0. (17)

jdd

В том случае если поверхность 3D несвязна dD = n^ Г.,

из в) следует дополнительное условие разрешимости: УГ, с Г+

J а dTi — 0.

Определение 3 Спиральным решением СЗП (12)--(16) назовем поле v £ C(D) П W^(D), удовлетворяющее в D уравнениям

rot v = Xv, (18)

div и = О, (19)

с некоторой функцией Л £ L^D); удовлетворяющее условию (а) определения 2, и, кроме того, следующему условию (в') УФ € C!(Rn): supp Ф П Г С Г/Г"

/ rot vV<$>dx = I <тФс!Г+.

Jd Jt+

Нетрудно видеть, что спиральное решение СЗП является решением СЗП в смысле определения 2. При этом Н = const. Обратное, конечно, неверно. Неэквивалентность определений 2 и 3 выражается, в частности, в расширении класса пробных функций в условии (в') по сравнению с условием (в). Вследствие этого в случае несвязной границы 8D получается усиленное необходимое условие существования спирального решения СЗП;

VT,-: Г,- П Г~ = 0

/ <т<1Г+=0. (20)

В случае связности 3D единственное условие разрешимости — равенство (17).

Теорема 8 Пусть D G С2; 7 6 \УЛ*{дО), р > 3, ^а 6 1оо(Г+). Предположим, что выполнены условия (11) и (20); предположим, кроме того, что множество Г- целиком ле-жит в одной компоненте связности границы области течения.

Тогда найдется число Л > 0, зависящее от данных задачи, гпапое чтоУ~/,(7 ||с7~1||оо;Г+ < А существует спиральное решение v СЗП (12)~(16), причем

inf 7-1<7 < А < sup7_1<r;

Г+

v 6 W1>P{D)\ rot » G L^D).

Доказательство теоремы 8 использует идею работы Г. В. Алексеева. Суть этой идеи состоит в том, что при некоторых дополнительных предположениях вихрь скорости можно выразить через интегралы движения частиц жидкости. В случае спирального течения таким интегралом является Л.

Далее, задача регуляризуется введением малой «вязкости» в уравнение интеграла движения. Для регуляризованного уравнения интеграла имеет место двусторонний принцип максимума, что дает возможность получить априорные оценки решений регуляризован-ной задачи, не зависящие от малой вязкости.

Для обоснования предельного преехода по исчезающей вязкости требуются оценки скорости роста градиента решения регуляризованного уравнения интеграла на границе области течения. Для этой цели используется лемма, приведенная в книге О. А. Олейник и Е. Б. Радкевич (1971).

Аналогичные соображения проходят и при рассмотрении вращ-ательно-симметричной СЗП. Заметим, что в этом случае существуют два интеграла: интеграл Бернулли и интеграл момента. Эти интегралы функционально зависимы. В определении вращатель-но-симметричного решенияданном в диссертации, фиксируется не только выражение вихря через интегралы движения, но и специальная функциональная зависимость интегралов, которая, однако, не предполагается явной, а понимается как коллинеарность градиентов в почти каждой точке области течения.

Пусть D — осесимметричная область, r,<p,z — цилиндрические координаты в D; cr, ev,c. — орты нормалей к соответствующим координатным поверхностям.

На 3D введем векторное поле

Г = ё<р X п.

Обозначим djdr производную но направлению т.

Определение 4 Поле v б C(D) П Wfjl(D) назовем вращательно-симметричным решением СЗП (12)-(16), если и только если существуют осесимметричные функции A, rj G Loo(D) « е. с. поля ßeip,u,i/ev £ П C{D) такие, что почти всюду в D

V = и + й ± ev;

rot (ßev) = т}й] rot (uev) — Ли; rot и = \vev — rT}ev; div и = 0;

причем уравнение Эйлера, выполняется для поля v и функции Бернулли Н = гц, выполняются условия (а) и (б) определения 2 и условие (в') определения 3.

Теорема 9 Пусть все данные задачи вращательно-симметричны;

D G С2; 7 € W^(dD), р > 3; а-у~1 б ¿ос(Г+'); г'Ч'1^ 6 1»,(Г+).

Предположим, что

I) выполняются условия (17), (20);

Н) Г~ целиком лежит в одной компоненте связности Г/Г+;

Ш) функция х совпадает с некоторой непрерывной функцией, заданной на ¿Ш и постоянной на каждой компоненте связности дО/Т+.

Тогда найдется число Л, зависящее от данных задачи, такое, что если

то существует вращательно-симметричное решение С'ЗП (12)-(16), причем

rot v £ .Loo(-D); функция Бернулли Н = гц + const £ Wl,p(D) и выполняются неравенства:

Теоремы 8-9 содержат ограничения малости or. Это ограничение отвечает сути дела. Неразрешимость возникает, например, когда = const; а = ц, где /i — собственное значение задачи

rot w = fiw; div tv = 0; wn|aD = 0.

Ограничения на распределение знака 7, содержащиеся в теоремах. связаны с методом доказательства. Отметим, что это ограничение в теореме 8 важно лишь в случае несвязности 3D, однако в теореме 9 ограничение (ii) на распределение знака 7 усилено и может быть проигнорировано лишь в случае связности 3D и связности входа Г+. Кроме того, появляется условие (iii), касающееся граничного значения х функции Бернулли Н. Это условие — следствие

IИ 'Щг+сл,

VV€LP(D);

inf7 ха < Л < sup7 1<х; г+ г+

г+

mi г 7 —— < 71 < sup г г+ dr " г+

интеграла Бернулли: функция Бернулли в.-с. течения должна быть постоянна на. твердой стенке.

В силу условий (ц)-(ш) теоремы 9 интегральное тождество (б) можно заменить граничным условием для г): УФ € С<|(]К.П) : вирр ФП дО С Г/Г/ т}иЧФ<1х= [ ^Фс*Г+, JD Уг+

что позволяет провести доказательство теоремы 9 аналогично доказательству теоремы 8

Автор глубоко благодарен профессору В. И. Юдовичу за внимание и помощь в работе.

МОРГУЛИС Андрей Борисович

РАЗРЕШИМОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

АРЫ060416 от 19 ноября 1991 года Мининформпечати РСФСР. Сдано в печать 5.08.96 г. Формат 60x84/16. Офсетная печать. Тираж 100. Заказ №173