Двусторонние оценки распределения S-чисел и полнота системы корневых векторов оператора типа Шредингера высокого порядка с комплексным потенциалом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ИАН 1933 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЩОНАЛЬШй УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-5АРАБИ

На праиах рукописи

КЕННЕБАЕВА Мара Садуахасовна

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ £-ЧИСЕЛ И ПОЛНОТА СИСТЕМЫ КОРНЕВЫХ ВЕКТОРОВ ОПЕРАТОРА ТИПА ШРЕдаНГЕРЛ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С КОМПЛЕКСНЫМ ПОТЕЩИМОМ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата,1993

' Робота выполнена в Алма-Атинском государственном университете имени Абая.

Научные руководителя: доктор физико—математических наук,

член-корреспондент HAH FK ОТЕЯБАЕВ М.

кандидат физико-математических наук ТУНШАМБЕГОВ Д.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор СУЛТАНАЕВ ЯЛ«

кандидат физико-математических наук МУСТАЗИН М.А.

Ведущая организация: Ташкентский государственный университет. с

Запита состоится 18 марта 1993 года в 15-оо часов на . заседании Регионального специализированного совета К C58.0I.I7 по присуждении ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном национальном университете имени Аль-Фараби по адресу: 480012, г.Алма-Ата, ул.Масанчи,39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГНУ имени Аль-Фараби.

Автореферат разослан "■/■/" февраля 1993г.

Ученый секретарь Регионального специализированного

совета, кандидат физико-математи- Jj Л _

ческих наук, доцент Бедельбэев A.A.

Актуальность теми. Вакнш разделом спеотряльной теории линейных операторов язляется распределение собственных значений, причем особый интерес представляет распределение есбст-вентсс значений операторов, заданный зо всем пространстве и иыесопс дискретный спектр. Ч.Титчмярв был первьм, кто строго установил формулу распределения числа собственных значений для одномерного оператора Етуриа-Диувкллп на всей числовой оси с потенциалом, рзступим на бесконечности, з-также для оператора Шредккгера. Е .!-<!.Левитану принадлежит большая заслуга в усовершенствовании метода Титчмарпа. К настоящему вреыеня задаче оценок распределения собственных чисел посвязено большое количество работ, достаточно полный обзор которых ыожно найтя 2 работах М.Ш.Бирмана, Н.З.Соломяка, К.Х.Еойматова, А.Г.Косточенко, И.С.Саргсяна, М.Отелбаевэ.

В ряде работ М.Отелбаева найдены двусторонние оценки собственных значений самосопряженных операторов типа Шрединг»-ра. Тзхие результаты имеют ряд преимуществ перед классическими формулами распределения собственных чисел: во-первых, для классических формул нужен ряд условий; во-вторых, они не всегда справедливы; в-третьих, не позволяют судить о палых собственных числах.

В носза ос спряженном случае работы, посвяаенные изучению спектральных свойств операторов ткпа Шредингера, стали появляться сравнительно недавно под влияние» некоторых нэсаыосспря-женнчх кванго-ыеханических задач.

Хорошо известно, что если некоторый вполне непрерывный оператор самосопряжен, то система его корневых векторов ттолнз в области значений этого оператора. В случае обаего вполне непрерывного оператора этого может и не быть (полноты). Поэтому

i- нёсаыосопряненноа случае вопрос полноты приобретает особый интерес.

Данная работа прищкоет к исследования« В.Б.Лидского, Г.В«Розенблша, М.Огелбаева. Ochoeki» поч^«»««

» " -—WWW*-«-* -VOWW^IMU ¿»fc^WMi«*«

в терминах некоторой вспомогательной функции, которая достаточно эффективно строится иц коэффициента уравнения. Впервые такие функции били введены Н.Отелбаевьи. Как показывает опыт, такие функции полезны, а порой и незаменимы в вопросах спектральной теории операторов, типа Шредингера.

Цель донной работы - получение двусторонней оценки функции распределения £ -чисел оператора типа Шредингера высокого порядка с комплексном потенциалом. ^

Ь'ртодика исслрдорчния основывается на построении "пробных" Функции и близка к ыетод;ше, развитой в работе М.Отелбае-sa, гдр был рассмотрен одномерный 'случай.

Квучняя новизна. В работе получены следугаие новые результаты:

1. Двусторонние оценки распределения i-чисел оператора типа Шредингера высокого порядка с комплексны- потенциалом.

2. Критерий конечности типа резольвенты оператора типа Шредингера высокого порядка с комплексные потенциалом.

3. Условия полноты системы корневых векторов оператора типа Шредингера высокого порядка с комплексные потенциале:.:.

4. Суммируемсст-ь методой Абеля рядов по корневым векторам оператора типа Шредингера высокого порядка с комплексны/ потенциалом.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер. Они имеют ванные.применения, как в дифференциальных уравнениях и многих разделах теории функции.

так и э физике, особенно, в квантовой механике.

Апробация Работы. Основные результаты работы были доложены на Всесогмной научной конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" (Алма-Ата, 1991г.), на семинаре лзборзтории математического анализа ИТПМ АН РК, руководимой зав.лабораторией Р.Ойнарозьм, на семинарах кафедр математического анализа и функционального анализа, теории вероятности КазГУ им.Аль-Фэрзби, руководимых д.ф.-м.н., проф. А.ЛЛенсьябаевым и д.ф.-м.н. Н.Темиргалиевым, нэ объединенном семинаре ИПМ и кафедры математического анализа КарГУ, руководимых член-корр.АН РК ЗД.Отелбаезьм и доцентом, к.ф.-м.н. Е.С.Смаиловил, на семинаре кафедры математического анализа, •руксзодиг,', й д'.-ц"!!*:'-»', к.ф.-м.н. Й. А.Токибетовш.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы з работах 1-4 .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, дополнения и списка литературы, содержаыего 31 наименование и изложена на 96 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор исследований, примыкавших к изучаемой тематике, обосновывается актуальность темы и излагается краткое содержание диссертацг!.

Опишем основные результаты работы.

В настояпей работе изучается несамосопряяенный оператор 1 '

Ь -типа ¿редянгера высокого порядка, полученный замыканием в и, (аоператора и, , определенного на Со' 7 г; равенством ^

где' Л -оператор Лапласа, I -положительное целое чксло, ^{■Х) -непрерывная в каждой кс&гяакте кшплекснозначная в А* функция, такая, что & {¡(¿С) и 1т 0(Х) ограничены снизу.

Не уменьшая общности, будеи' всиду предполагать, что

По ходу изложения буд&' вводить необходимые определения и обозначения.

Класс вполне непрерывных операторов, действуюеих в гильбертовом пространстве Н , будеы обозначать через . Ли= кейный оператор А называется оператором с дискретна спект-

г

ром, если его спектр состоит из не более чет счетного множества значений конечной краткости с единственной предельной точкой. Известно, что если А , ?о оператор А А

к им«;от дискретный спектр с наотрицателыпыи значениями, накапливавшийся в точке 2 - С

Собстаешгыа ч^сля оператора

У А-А называется л -числаыа оператора А . $ - числа самосопряженного оператора совпадав? с абсояшшаи величинами собственных чисел. Через как обычно, обозначается класс вполне непрерывных'операторов,у которых суша Р.-г степеней £ -чисел сходится а, если А е€0 , то полагает НА П€. = I (А) ,

где ¿п (А) . , - З-чясга оператора А . Говоря

что оператор А кнеет конечный тип, если А € бс при некоторса £><£?<«».

Напомним, что линейный оператор А в гильбертовом пространстве называется диссипативньи, если 1'П (Аи,и) * О для всякого и € £ (А) , где £ (• ) -область определени

ДйссяпзтивннЗ оператор А назьгваетсл ызпеааалы«) днссипа-тИЕтгл, если А гше»? огреш!Чй5нкЯ обракшЯ, опреде-

ленный во пса пространстве.

Вектор ЦбН (4*0) кззьгзается коскеви» опо-

раторз А , ссотгохстзугаш собственному чзслу Л 5 , если

А Н

(л "" Л 5 £ ) V = С при нокотсрса натуральном /2 > з£ .

Пусть ¿. згшснутыЯ линейный оператор, действуетий в гияь-бер^озса пространство И , сблздясзкЗ вполне непреризкдо обратно ¿, , определенные на всея И . Чясла 5Я (С будеи кзз:газ,гь £ -числами оператора ,

Для нзяогютя результатов первой ишзи к&у понадобится сп-ределем::е емкости. Еакостьп замкнутого икс^ества Р относительно егкрь-гей'о ыйогества Л С Я' , ссдгркзсего Р 9 нйзовШ ^йзъ:

сар (Р,Л), иг(

?

Т-'Гэ V £/. -ррадйёй? порядка С функцки ^ , а Огуйпшп берега по эсеа {Я") , равным едаипце в окрест-

ности Р .

Буде' обозначать через Оа - куб в Я* с

цен^роа в точке , ребрами,параллельная соответствуете координатные осям, и длиной ребра ¿^ £ (О, + , а через О¿1 (<£) - его эвмыханне; если положение центра куба кс-вагяо, г. , »сто

будеа пкеять

просто я соответственно„

Введеа функцгш

г, г ' Г

¿1£(Х} = иг{ IV Ы иг{ ) ] , (3)

где Ar (О-couoxyiTHocTb всех несувествеккых коыпаетккх подмножеств куба G^ , т.е. всех компактных подмножеств куба F С Qa таких, что cap(F,£jta) ^ t d ***П

где £ > О . Е - £ (£ ,н) -достаточно мало, хуб

концентричен кубу . При S. L >ц функция д* (X) не зависит от С к определяется формулой

0] (X) = f(.x) , ini и"Г J iq/t)lai J ^

. OJx)

Пусть >1' (<i) обозначает количество точек спектра спе ратсра к L L .не превосходящих , где А > О .

Основной результат' настояпей работы содержится в слсдугсей теореме.

ТЮРЕ." I. Пусть существует такая постоянная A >i , что для ес ,;сй точки выполняется неравенство

1 г-к Г

aw J Ю{у)Ыз:-у1 ay < Ad' ¿'if J !Q($)ldy. , (5)

■ V * * ~

где (J)

Тогда дел лвбего Л > С

, если /i -3

справедливы оценки

ГМ */ад ^/Г.- <с 'Л 'Л Аг(}} <

ти(аеЯп: .

где с = (А , п,£). замечание,

1) Если £ I >/I , -¡о интеграл в правой части условия (5) заменяется на .

2) Если Л - Л , то условие (5) заменяется на

'ш[> \OApi liiLii-LjHdij < /!гЫ (5й)

причем С1 * ПШ1 [{ , i "?Г).| .

3) В частности, при IIи оценка (6) вер-,

на для потенциалов, удовлетворяющих условна:

$ 10(Р+Ы/еИ

--

Щ1Р-*±)!сИ

где В 'С , Р -любая точка из Я2 , точки Х - (Ч к У = То) из круга с центром Р и радиусом И ,

[ + -(р,ч)г1~>1 (У,нйп ('■ !,% )<; Ц- ¿»гах^Х)}. А этому условию можно заметить, удовлетворяют быстроколеб-лотиеся в бесконечности функции: ^И) - (Е -¿¿ц г£ н+/) с) .

Первый параграф второй главы посвяпен выаоду достаточных условий полкой напрерьтаости резольвенты несекосспряЕбнного оператора Ь .

О*_______... М /VI

и VС) 1.С.; Л* СО - I I р ( / м

равенством

I ¡а а:

МрСг) = <

^ Ш 0 ¡(£И)1 Не % (X) I ]

при

л£>п

(7)

при

где 5 'З-(т) 'I) > р " лэбое число из шгтсрсс-а (1,2).

Теорема М.Отелбаева, Пусть С» * /о£) - ^ккция, определен нэк однг". л?. формул (3) и (4). Прздтологки, что вкпелншы следув сие условия: (¿) С? * ^ IX) (Ц.)

где ^ О - нзпрершиая фунгкуш, стремягвяся к * ,

При 1^.1 —*+ ос .

при некотором рс (1,2.) Шр -ХеЯ'1} < ,

где /ЧруХ) - функция, определенная формулой {7). Тогда оперзтор максимально дисскпатквел.

Заметам, что условие (¿) исчезает в случае ¿£>п Из этой тегремы М.Отрлбаева и теоремы I вытекает:

СЛВДЛВИЕ. Пусть , Я >0 и выполнены условия

(i ) , (И) предццутай теоремы.

Тогда оператор * существует и L С 6t

w •

1аюхе з этом параграфе установлены необходимее и достаточное условие принадлежности резольвенты несамосопгряжеккого оператора L, классу 0 0

TFCPE4A 2. Пусть -¿IВ > Л ц выполнено условие теоремы I.

Тогда

а) Еполне непрерывный оператор L принадлежит классу b9 р том и только в том случае, когда

С *-iio+n J 0, (л) doc < « к* "

б) справедливы оценки

с Wdxstll, n6t*cjq

Я* pr.

Бо втором параграфе второй главы получеки достаточные уелс^ вия полноты системы корневых векторов' для оператора типа Шредингера аысокого порядка с комплексньгл потенциалом.

TEGFBLA 3. Пусть *L>H i. выполнено условие теоремы I. Допустил, что выполнены следутие условия:

a-ti+n Г

&) J ImQJOdi < с«

to (Rcq)%) j Irnqwdt о

ixl^c Sa(x)

о ((ко.)' (X) (Их <*> при некотором Р + Я"

Тогда система корневых векторов оператора Л полна', г

4 (Я'1 -

ТЕОРЕМА 4. Пусть и выполнено условие теоремы-

I. Тогда, если

Г # -Ч1*П

О « (Л) с/х < о*

то система корневьпе векторов вполне непрерывного оператора [_, полка в I ¡1 )

В третьем параграфе второй главы, пользуясь результатами предыдущих параграфов мы устанавливает условия суммируемости методом Абеля рядов по корневш векторам оператора типа Ыредин-герз высокого порядка с чомплекеккл потенциалом.

Предположи:! для простоты изложения, что все характеристик ческие числа (обратные величины отличных от нуля собственных значений оператора А ) оператора Мг простые, {"'Л 5

у Л *

-собственные векторы А , [ .} -собственные векторы А , причем Викторы нормированы ( V", , ~ 1 . Пусть /-ЛЛ где Л -произвольный элемент гильбертова пространства И . Тогда справедлива

Теорема В.Б.Лидского. Пусть А -линейный вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве Н . Пусть при некотором «итегьа-.;! О

где SK -собственные значения оператора У А"А , и

пусть значения квадратичной формы (Ак,¡г) лежат в секторе комплексной плоскости так, что

"Л'5 аЧ ?J|f » гДе e'>tnax(&t£) .

Тогда при любом i >0 сходится ряд

о» Мщ

и (i) = £ ( Z (-/¡С i) ({, * )"> )

И

lita iL(i) -/ , &'>d>e

i-МО

Следушее утверждение являстсл следствием теоремы В.Б.Лид-ского и теоремы 2.

TE0PEÍA 5. Пусть е € (О, Z) , ¿ > И и выполнено условие теоремы I, а также

К"

Тогда какдый ряд из корневых векторов вполне непрерывного оператора L суммируется методом Абеля порядка ( зависит от /¿ и ¿ ), где ? £ .

Публикации по теме диссертации:

1. Кенкебаева М.С., Турмухамбетов Д.Н. Об сценках -чисел и полноте системы корневых векторов несаыосопрянешого оператора Шредингера // Дго. в ВИНИТИ 5.12.23, Г' 3227, - С.17.

2. Кеняебаена ".С., Турмухамбетов Д.Н. Оценки -Ь*-чисел несамосопряженного оператора Шредингера // Известия АН КззССР, сер. мзтеи., 14 3(1991), С.35-39.

3. Кеннебаева !Д.С., Турмухамбетов Д.Н. Двусторонние оценки распределения ^ -чисел бигармонического оператора// Тезисы докл.конф."Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" / Алма-Ата, 1991, с.124.

4. Кенхебаева И.С. Двусторонние оценки распределения

о -чисел оператора типа Шредингера с комплексны.! потенциалом// Деп. з ВИНИТИ 02.Cf7.9I, № 2830-В 91, - С.Ю.

йазнгнн

Eyji soryac модул!н!н квадраты интегралданатын ¿,£(Й."') ■ каи 1ст1г!ядг карастирылган хонпмзкс потгнциалды, когаргы рэтт! Ер;дингер тур!ндег! (- А) Ll + Ш операторкпып S- сапуна гч! »акты бага о?руг^ арпалган. Бтл уаяытка деГ.1п 5- сапуна ечI теактн бага б;ру есгб\ теч кана bip влкзмд! комплекс по-тгнциалды Етуриа-ДиувиллдМ? операторы гы!н гана шзш1лгея. Алын-ган нэт.'.узлгр Е.Б. Лидс<иЯд!п,'Г.В. РозгнблсуяШ жеяе К.9твлбаев-тын зерттзул»р1н» неПздалген. Еумкста алыягая тгана неткхзлзр :

- Ир'динг'р тгр1нд?г! олгрзторлын о- сакняа а-<\ жацти багэ;

- Ередингер тур'ндэг! олгратордын рэзольвентаскныи 6"^, хласына г ату критерий!;

- осы оп»ратордык ттб!рл!к взчтсрлар систгкасыяын толык (Золу зартк;

=■ Ерздингзр тур!нд:П опэраторкпын 7Уб!рл!тс вс:<торлар систеыасн-нык катарларкя Лб;ль ед!с!и»н косыяднлау.

МГПОП «КОНТАКТ» МСХП лаз. тадаж /СО л" J