Двусторонние решения дифференциально-функциональных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВОРОНЕЖСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ' ИМЕНИ ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

На правах рукописи

МУРОВЦЕВ Александр Николаевич

ДВУСТОРОННИЕ РЕПЕНИЯ ДИМЕРГОШЛЛЬНО-ФУ1Ц£ТОНАЛЪН!Я УРАВНЕНИЙ ' _

Специальность 01.01.02 - дифференциальное уравнепля

Автореферат диссертации на соисканиь ученой степени кандидата физико-матеуатическях наук

^ Еоронея - 1991 г.

-г' 7 )

Работа выполнена в Московском институте инвенероп келезно-дорожного транспорта

Научный Р1КОвоцитель : доктор физико-математических наук,

профессор Мнакис А.Д.

Официальные оппоненты: кандидат физико-математических наук,

профессор Норкин С.Б., доктор физико-математических наук, профессор СаяовскиГ; Н.

Ведущая организация: (¿ооновский институт электронного машиностроения

Защита состоится 24 сентября 1991 года в 15-20 на заседании специализированного совета К 003.48.09 по присуждению ученой степени кандидата фнзпко-цатематических наук п^и Воронежском ордена Ленина государственном университете имени Ленинского комсомола по адресу:

394693, г.Воронеж, Университета кал пл.,1, ВЕУ ' Математический факультет

С диссертацией можно ознакоглитьел в библиотеке Воронежское государственного'университета'.

Автореферат разослан "__"_1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета-

доцент ^чая^ В.Г.Задорогли!)

Общая характеристика работа Актуадьнооть теми. Теория двусторонних ратаний да^ренциаль-«рункцлоналышх уравнений ( /„¿У) является одним ..з важных раздо-I те'ории Д2У, тосно лримыкаэдая к другим.разделам ДФУ, таким, гример, как основная начальная задача или краевые задачи .для ДФУ. ¡большое количество приложений в физика и тохяике биологии и т.д. ¡qt тзория ращений ДФУ с запаздыванием аргумента, заданных на ¡альном мноаестве (основная начальная задача), поэтому чаще всо-иссладования двусторонних решений проводились в связи с рас-ггрением основной начальной задачи для Д-fif. Так, например, Н.Дан-I в своих работах доказала существование решения вырожденной тльной задачи для линейного неавтономного ДФУ с запаздыванием, гумента, которое является также двусторонним решением. Ю.А.Рябов <азал существование и единственность (с точность!) до постояяно-множитэля) двустороннего решения линейного ДФУ с малым запаздыва-3.v аргумента в классе функций, ограниченных экспонентой а по-зал, что решение основной начальной задачи в этой случае в не-popojj смысле становится близким к двусторонним решениям. Свои зулАтэты Ю.А.Рябов обобщил на системы линейных, а также слабо— шнойных Д5У с малым запаздыванием аргумента.

Высказывалось также предположение, что решение основной на-чьной задачи для широких классов линейных ДФУ можно аплрокс^ми-зать с любой степенью точности комбинацией двусторонних решэ-í. Это было строго доказано для случая автономных линейных Г с запаздыванием, поскольку в этом случае удается применить эрии преобразования Лапласа, а также для некоторых классов ле-эдичэсккх систем.

Ь работах С.Б.Норкина было построено счетное ыпоаеотво линей-

иозависпмых двусторонних решений линейного ДФУ запаздыЕащэго

типа с экспоненциально-асимптотически достоянными коэффициентами. Впрочем задача построения решения основной'начальной задачи -в ви-. де линейной комбинации счетного множества линейно независимых двусторонних решений в этом случае является значительно более сложной.

НаиОрльшоу количество приложений.среди двусторонних решений имеют периодические » почти периодические решения дФУ и систем ДФУ запаздывающего_типа. Но вопросам существования единственности и свойствам таких решений имеется обширная литература...

Однако, существует физические приложения, в которых представляют интерес двусторонние решения, не явллзд.юсл периодическим.; или лочги-иориодвчиркимз. Например, такие резника возникают в задача неравновесной, статистической уазики о распространении фронтов разового перехода; в частном случав - ото задачи об. устойчивом росте грани кристалла или движении стенки докою в магните. Другим физическим приложенном является зацачз о движении заряженных частиц в поло, создаваемом ьыи самими.

Большой интерес представляет исследование•существования и количества аналитических двусторонних решений Д^У общего 1>ида с аналитическими правыми частями, ¿то связана, в частности, с тем, что конструктивные доказательства теорем судестяоьиния и количества решений могут дать элективные методы их построения ш сШ. Такие решения еще изучены очень мало.

й9ль работ-н - исследовать двусторонние решения Д^У. Иолучехь теоремы о существовании и единственности двусторонних решений д^У в различных естбствэлкух классах пункций и исслодоеать свойства этих решений. Получать удобные конструктивные методы.нахождения двусторонних рвшашФ, ко горне могли бы применяться для аналитического яссзроевак 1-х либо построения их на ¿¡Вы.

Мбтддяка_идолв502анйя. При исследования двусторонних рдизний Д£У эльзуются методы функционального анализа (правдяпы ноподпзмшх то, производя?« ■ Фроае в бесконечномерных'банаховых проотрарсгэах и др.) та используются методы теории функция действительного и ксмпяонсно-пероменного. В диссертация предложен и новый по.цход построения дау-роннего аналитического реконся Дг15г в виде рядов Дирихле, допуская- ' различные обобщения.

■1_1а^чнз-2_ядвизна. Все результат» диссертации являются ног кг л.

ое ватными из них яяляэтся:

еорега о сулостиованйи и ёднлственностп двустороннего расэнил питейного ДФУ, ограниченного двумя стационарными регаенняш п удовлотзо-.тецего одноточечному добавочно!,чу условию;

оорсгп о существовании и единственности двустороннего роивши слабо елипелного Д'1>У, аналитического в некоторой полосе оси дойотгитештих ксел и удовлетворите го тому же условию;

еосо'.гл о суцестровянпи аналитических двусторонних .решений ЛГУ о яяас-о гйуккций, представ гах рядами Дирихле; ' .

воромн о существовании счетнбй системы Двусторонних линейно незави-ишх ресений линейных ДФУ.

Работа аоечт теоретичее-характср. Ее результаты и разработанные в ней мвтодн могут быть ио-ьзояаны при поотроении "базовых" решений Л СУ, встречающихся в разлп-прнлсг:ош:лх. Конструктивные метода.доказательств теорем о существо-ии двусторонних решений у Д-ЕУ могут быть использована для качеотвен-п количественных иаследованяйтаявх решений, в том чведо в в принта задачах.

Основные результаты диссертации докладывались на шгпрах в ГЛЭД'в 1985г., 19871'., 1990г.., на семинара в МШТ а 1988г., Ог., на семинарах я МИЭМ в 1990г. Цок.чптшвзлпсь танка на конференции нкцнопалыго-дифференциалыше уравнения',' 1991г. Цуб?щшжь Основные результата диссертации опубликованы в

шести работах. Одна из них написана в соавторстве с научным руководителем.

Объем и оту\кт,уод. Диссертационная работа - изложена на /rs'. страницах и состоит из введения и трех глав, разбитых на восемь параграфов.-Библиографический список содержи? 49 наименовании.

Содержание работы

Изучаемый объект и основные результата, tío введен и диссертации вводится определение замкнутых и двусторонних решении диф-чреренциаль'но-^ункциональных уравнении (ДФУ).

Рассмотрим систему ДФУ, разрешенную относительно производных • то eotb имеющую вид

В которой í é С/Ц , У - интервал (т.е. связное подмножество ,//{. )¡ у - сектор-пункция, переводя-дан Jc в //¿ ;

'f/<?}), ¿ ft (О : tf ■ ^ - непрерывные Функции, переводящие X в //\ > У///J ¿ fi/Jj • при любом

¿С=Ус\ при любом é&Y , J/r'j ) - непрерывный, вектор-^ункцис 'нал, перево.дящий С¿\)(i)¡^/Оi Е ^ ' предполагать

что У, ¿ 7С и У - интервалы, л ¿ C(j) и />"",///; ¡J с ;j для любого ' t £ Jt , то функция ¿ —» y//j Kt J непрерывна на У, .

Иод решением системы уравнений (1) будем, как зго ооледриня-то, понимать векгор^уункцпа f/fJ t С '(У, //{'kJ где У^^ некоторый интервал, удовлотворя.ицу» системе Ш'иа яокотором интервале Уг i Уо , Решение j •' У -» А' называем замкнутым, если для любого i' ¿ У выполняются условия / ?Y] /(J¿y í-^-í Лишь для замкнутого рамная можно полагать У^-'У. двусторонним решение*! называем замкнутое реаэи^е У , У -* , не

ющеася сукениэм на У другого замкнутого решелия. В частнос-любое решение, определенное на всей оси //i , является дау-

онним.

Б главе 2 параграф 2.1 рассматривается система уравнений

f-/f,i7ff^WfH..... WftfsfflH М

<tt

VIS1 = ./ (t, у ff *ff<t})> ■ • ■, yt ft (tJj)

• /R* Л с ?>;рл '"'у, ^ од /-Доказана теорема о существовании и единственности двусторэп-) решения уравнения (2) (в данном случае ратания, определенного >сои осп ¡[{ ) в классе пункций, ограниченных экспонентов, удоа-юряющее начальному условия 'ff^oi-J^ . при значениях frft) , леяащих в некоторой "оограничэшюй области и при г?-зрых дополнительных прадполо-каниях о правой части уравнения (2). теорема является обобщением одного результата ¿i.A.Рябова. Как следствие, доказана теорема У.1.4, которая устанавливает 5СТвование и единственность двустороннего решения уравнения

-- г*м <• •> (з)

1 С У/Л' % к;' 6 COR), ¡у. а И ¿а , л..., €

достаточно малом л в классе функций, '.•гг?.:;:'/!эч!шх деугл ста-.трными решениями АГ) ///, ¿/Z,) уравнения (о), удоялзтго^-э-з условия ytt0 J - jc , /1, i у^ <. Теорема 2.1.4 аолдог подтвердить адекватность подали распространения фронта эного перехода реальному физичоскому процессу. ; .

В теорэмо 2.1.0 рассматривается ураадонва (2) п одномерной чае при условиях / 6 ^ (({, „fj ,

v.y/¿„t/iA,, и»чи И i{/->

: (£] - класс аналитических ¿-ункций на .".чозсс :•-•-! к ). )

Цри некоторых дополнительных предположениях установлено, что ■'двустороннее, решение уравнения (2) моано аналитически продолжить 'иа полосу'.Комплексной плоскости / /1щ г , содержащую дей-

ствительную ось-./f , а -параграфа 2,2 получены результаты для нали-нэйных Д'>/ более общей структуры.

■■'.'Осиохзнио раэультаты диссертации содержатся в глава Ш.

В параграфа 3.1 рассматривается дн^роронциальноё уравнение с охМОнцНиялш аргумента следующего, вида:

Предполагается, что ¿6 С • Е0°

/ ^/f/.é'^*/ ' \ '.&CChl - «помех,

во аналитических функций, на когшлэксаом пространство. ), причем . t~{¡í\ K).£ ¡Я- • Uycfb' $ i/У - Л éi - одно-ИЗ стационарных решений уравнения (4). Цосле, нормальной замена независимой переменно^ и исковой ¿ушщии по формулам . '

+JfY>¡r . -.'.■■■ с«

К ¿ Г,

•уравнение (4) прйвовдтся.к следующему виду; •

Гд0 г

(é)

Функция ) -» является стационарную

шием уравнения (б). Таким образом, задача о построении реаэ-[ уравнения (4) приводит к исследованию снстеш уравнений (о),

Определенно 3.1.1, Функцию >(>г) -> .назо-

1 аналитическим реденнем уравнения (6) л области б-> х1)

:;! ока аналогична в этой области и удовлетворяет уравноцишпз (ь) ;бласти //£■/<: хОт'х '{тех /¿'"' У, 1}) }.

Обозначим через зство.всох чисел вица

1АХК ., где .. .,;•, . у/ ■ - цодий 1МЬтрицата.'К:?:.,з

:ла, для которых выполняется условие'

• Теорема 3.1.1. 1) Аналитическое рзетниэ {'/о — >>/*)-> датшш (В) в области л) , удоз-

гвордащое -условия ¿/ё )-£>,"'/ - - А-^-с?.,г ..' • •

, - / , • V.

?.ет существовать только при таких числах Л* кото-

) удовлетворяют уравнению - ■•,'

. "> 15 / ' ¿-М '

J-1 J '/< 'О - •--..' . •

¿) Пусть все . >.♦ t-(),.,, А : «дсп.Ьт£о;г—? 'znpaitTopüc-шскоуу уравнению (7), /k\t- - одного dнагл,у

"■'/ I ■ ■ С: v

ч-C-J! ■ fXTo л -W.

i €. ,если все fit A, >c> и ,- ec~

все . Тогда для любых > J* 6 C- - - суг.зст-

>r единственное аналитическое решение уравнения (6) //у>) >'/*)в некоторой ооластй ? i /> j

)£де.'воряод98 условия.',? .-•..'

/! / Л, ■ 6 _ __ ,

Доказательство теоремы 3.I.I достигается подстановкой ряда

в уравнение (6), разложением правой части (6) в рад Тейлора л окрестности стационарного редеет и приравниванием коэффициентов при одинаковых комбинациях степонях переменных fa При доказательство сходимости ряда (9) в некоторой области ity¡(< X, t- ,.f< J используется мажорирующие функции, удов латворяа'дие мажорирующему уравнению.

Доказано такпе что доя выполнения условия (d) достаточно, чтобы всо Jui > i О, Яс были одного знчка, 2£ ! ^ @

О jC /

при flz\<0 i либо rfjj / /б> при /&А/ > О , и ни одно зна-

• п 1 nl'd

ченив wé JÍ {А/но удовлетворяет уравнений (7). Таким

образом, выполнение условия (ü) является, г опродоленноы смысло,

типичным свойством множества чпсол

Рассмотри числа где всо fíe < С

и область f¡ [2 /£>~V< I j . Ута область содержит в сибе <3/

1*»г>о}и(г: R¿¿ б ^ , -f- A/fix 'jin,¿

J 'ni* /tiijv1 /г^л/ i

2»г<о i.

Определенна 3.1.2. Функция Z -^JfZ¡,..> JA) зависящая от совокупности параметров Jt}... > Ja , принадлежит классу » v ( S. , , ) , если она аполитична но Л;.*,,. ' ¿y '

F , когда В <с S допускаот представление в виде

гдс Jn. .yj«) аналитическая

функция ^ ;2 oci'i'íx.i /? /« } • Улоьлот-

.ющая условия?/

Определение 3.1.3. функция г-*>у(г) называется аяалитнчес-рслвнием уравнения (4) в области ['Яег. ^ &Ттг} 1'нг

'Пег & А + , 1»и<а}, . вела

аполитично в зтой области и удовлетворяет уравнения (4) при к: 2 из области { Ле 2 < А + 81т г - маж > ¿мг2 0)и

!йл г < А -+С 1*нг-/пах ?л , Ь->г<о\

Будем предполагать £ - стационарное решение уравне-

. (4) и выполняется условие I у

1а„!иг.А ■ -

Тоорема 3.1.2. Пуст:. А/,,.,, корни характернстичас-

•о уравнения

пом, вер Де\-<0 и никакое ю (= /Д. V } .;отр,! теорему 3.1.1) не являстся корнем характеристического звнония (II). Тогда для л;убых чисел У^,.., -/к существует :>0 единственное аналитическое реаан и у )

зыпн/л (4) в области . , определенное формулой

л), из класса // . /с |

Ум теорема слад/от ;;з формул (Ь), СБ) и тцоромл 3.1,1. 13 параграфе 3.1 получены та::з.о условия возможности устремле-я К к бесконечности, условия продо.лнмоста аналитического -ечпя на вся комплексную плотность. Исследуются и другие сеой-ва ангштических реаоний.

3 и-.-рагра^о 3.2 результаты параграфа 3.1 обобщается на сне-

- 12 -

тему диф)фар9Ндиально-$уакциональных уравнений

где н,уу£ €, уп): при любых з¿'С

е с&А„алз ■ .-.■;■.

В главе 4 доказаны два теоремы"о двусторонних решениях л нойних Д*>У. '.""'.

Рассмотрит линейное ДФУ сл^дущего вида;

'1Ш-1 = У Х77//Л'/+ ¿е.-//?, ' (

где 7; /Т./, ¡1 / —* (Г . ¡У ( /-'--.вариация функции),

• 7 "

Г}\ П -> .. ¡/лу^ус^ при кладом /б'/^5 .и .5 сГ • •

удовлетворяет условиям, обеспечивающим, непрерывность второго интеграла при любой непрерывной 11УНКЦИ.И X.: /л!<0

Теорема 4.1.1. Пусть для некоторого \с([, удовлетвори! уравнению

' ' А •= J с^гр),

и некоторых (сбМ справвдлй'во^явраьенство

А/й -> Я.Л и Ц

* • <г; 7

Тогда, для любого, уравнение (12) имеет ровно одно дв^

стороннее решение Л//У. удовлетворяющее условию 1

классе функций иа С для которых выполняется условие

Рассмотрим уравнение

МП - ) у х(цт)<!г Ь 3)

ункции

А Г; ^

принадлежат

..с 7/^, т.е. ¡:кост на непрерывные производные всех порядков;- оператор, определен-нтегралом в (13), также бесконечно дифференцируем, т.о. яри

)&С (/Я) этот интеграл как -функция Ь также прпнац-С Л НПНО, Л'(<) О < Г/ф О

г1 '-о е .1

Теорема 4-2.2. В приведенных предположениях уравнение (13) 'бесконечное число линейно независимых двусторонних радений

а СУ/Л'/

Автор выражает глубокую признательность научному руководито-ю¿«ссору А.Д.?/,ышкнсу. .■

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ах: . . . •

равцоЕ А.Н. Гладкие двусторонние решения дифференциальных пеионий с отклоняющимися аргументами. Задопояйровано а ВИНИТИ скез, 19й5, Л 466В—65 Доп., 21 с.

ровцев А.Н. Аналитические решения дифференциальных уравне— й с. отклоняющимися аргументами. Задепонировано в ВИШШ1, сква, 13ЙЬ, Л 4ооУ--&) Дел., 20 с.

ровцев А.Н. Аяалптип-зскио решения дифференциальных уравно-¡';-с отклоняющимися-аргументами. Заде пош: поздно в ¿;аШТИ. сКЕа, 19ЙЙ, И 9142-ВсЗЗ, 26 с. ■

4. МуроЕцев Л.Н. Аналитические решения оистем нелинейных автоно] ных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами. - Дифференциальные уравнения, 19Й9, Ыинск, т.25, № 10, с. Ш7-Ш9.

5. Муровцев А.Н., йдакис А.Д. О двусторонних решениях линейных дифференциально-функциональных уравнений. - Дифференц. уравн, 1990, Ыинок, т.26, Я 2, 0. 246-250.

6. Ыуровцев А.Н. Аналитические решения дифференциально-функцио-нашшх уравнений. - Укр. матеы. курн., 1990, т.42, А 8, с. 106Й-Ю77.

Закав 291 от 4.07.91 г., мрак 100 экз. Формат 60x90 1/16. Объем I п.д. Офсетная лаборатория В1У.