Эффект пространственно-группового резонанса в теории многократного рассеяния волн в дискретных случайно-неоднородных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Предисловие.

1 Коэффициент экстинкции света в среде, состоящей из хаотически расположенных точечных электрических диполей

Введение

1.1 Элементы теории многократного рассеяния волн.

1.2 Коэффициент экстинкции и массовый оператор. Случай точечных электрических диполей.

1.3 Вычисление коэффициента экстинкции в отсутствие корреляций

1.4 Учёт корреляций в положениях рассеивателей.

1.5 Узкий интервал "запретных" расстояний между рассеива-телями.:

Основные результаты.

2 Дифференциальное сечение рассеяния света малым объёмом, заполненным нерезонансными диполями при учёте резонанса в группах из двух диполей

Введение

2.1 Резонанс вынужденных колебаний в паре диполей

2.2 Интенсивности поляризационных компонент света, рассеянного резонансными парами.

2.3 Другие двухчастичные эффекты.

2.4 Упрощение формул для || - интенсивностей рассеянного света.

2.5 Полный (интегральный) поток энергии рассеянного поля

2.6 О возможности обнаружения пространственного группового резонанса в эксперименте

Основные результаты.

3 Влияние пространственного группового резонанса на диффузное отражение светового импульса от полубесконечной дискретной случайно - неоднородной среды

Введение

3.1 Вывод тензорного уравнения переноса при учёте парного резонанса.

3.2 Переход к скалярному уравнению переноса.

3.3 Решение скалярного уравнения переноса в первом порядке по кратности некогерентного рассеяния.

3.4 Выделение эффекта двухчастичного группового резонанса в отражённом импульсе.

Основные результаты.

Феноменологическая теория переноса излучения с её представлениями об элементарном акте рассеяния на эффективной неоднородности (элементарном объёме) рассеивающей среды и свободном пробеге излучения остаётся до сих пор главным аппаратом решения прикладных задач радиолокации, астрономии и астрофизики, зондирования атмосферы в метеорологии, зондирования недр в геологии, исследования снежных и песчаных покровов, экологического исследования лесных массивов, диагностики биологических тканей в медицине, оптики диспергированных веществ, создания композитных материалов со специальными оптическими свойствами и других областей науки и техники. За последние три десятилетия обозначилась тенденция расширения области применимости теории переноса излучения. Появился ряд работ [1, 2, 3, 4], направленных на учёт эффектов, обусловленных корреляциями в положениях рассеивателей при многократном рассеянии монохроматических волн. Рассматривались [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11] явления, обусловленные временной задержкой излучения (из-за аккумуляции энергии внутри рассеивателей) при многократном рассеянии волновых пакетов на резонансных рассеивателях Ми (в среде, состоящей из таких рассеивателей). При рассмотрении столь сложных явлений необходимо контролировать условия применимости теории переноса излучения хотя бы на физическом уровне строгости. В случае учёта эффектов корреляций рассеивателей, применимость теории переноса излучения позволяет контролировать так называемое одногрупповое приближение [1], в котором корреляционная группа рассеивателей интерпретируется как эффективная неоднородность среды. В одногрупповом приближении все рассеиватели, входящие в эффективную неоднородность, связаны между собой одной и той же корреляционной функцией, вследствие чего эффективная неоднородность имеет хорошо определённый пространственный масштаб порядка радиуса корреляции рассеивателей. В случае некоррелированных рассеивателей (приближение низкой плотности) в качестве эффективных неоднородностей выступают отдельные рассеиватели и масштаб неоднородности оказывается порядка радиуса рассеивателей. Конечно, одно-групповое приближение имеет ограниченную область применимости, вне которой необходимо учитывать вклад многогрупповых диаграмм в оператор интенсивности, задающий, согласно [1], оптические свойства эффективной неоднородности случайно - неоднородной среды. В многогрупповом приближении и при отсутствии корреляций эффективная неоднородность состоит из рассеивателей, которые связаны между собой только электромагнитным взаимодействием из - за многократного рассеяния на них волнового поля. Поэтому эффективная неоднородность в многогрупповом приближении не имеет, вообще говоря, такого хорошо определённого пространственного масштаба, как в одногрупповом приближении. Тем не менее, оказывается и в многогрупповом приближении можно в некоторых случаях ввести достаточно хорошо определённый масштаб неоднородности. К числу таких случаев относится рассмотрение проблемы учёта взаимодействия рассеивателей ближними полями при многократном рассеянии волн.

В целом ряде теоретических работ указывалось, что взаимодействие рассеивателей ближними полями значительно влияет на распространение света в дискретной случайно-неоднородной среде.

Так, среди ранних работ можно отметить спор Планка [12] и Мандельштама [13] о причинах экстинкции света в газах. Планк объяснял экстинкцию затуханием колебаний диполей вследствие радиационного трения. Мандельштам возражал, что воздействие на рассматриваемую молекулу ближайших соседей должно компенсировать силу радиационного трения. Лоренц отнёс [14] случаи Планка и Мандельштама к газу и идеальному кристаллу соответственно. Позднее Фурсов [15] показал, что для некоррелированных рассеивателей парное взаимодействие ближними полями приводит к увеличению коэффициента экстинкции, причём относительная поправка имеет порядок числа частиц в кубе с ребром равным длине волны.

Среди современных работ можно отметить рассмотрение взаимодействия частиц ближними полями в рамках метода когерентного потенциала [16], где оно приводит к перенормировке эффективной поляризуемости примесных частиц в кристаллической решётке.

Вышеупомянутые обстоятельства наводят на мысль, что для сред, в которых плотность рассеивателей нельзя считать пренебрежимо малой (по сравнению с 1/А3), теория переноса, построенная в приближении низкой плотности нуждается в модификации—учёте взаимодействия близко расположенных рассеивателей посредством ближних полей. В качестве первого шага естественно было бы рассмотреть простейший случай-взаимное облучение в группах из двух рассеивателей и ограничиться случаем, когда рассеиватели можно считать точечными диполями. Это и является целью данной работы.

Более конкретно, целью диссертационной работы является:

1) изучение природы взаимодействия двух рассеивателей ближними полями;

2) включение эффекта такого взаимодействия в теорию переноса, как стационарную, так и нестационарную;

3) получение приближённого решения нестационарного уравнения переноса при учёте парного взаимодействия;

4) выделение эффекта парного взаимодействия в эксперименте по рассеянию света на малом (по сравнению с длиной экстинкции) объёме и по отражению электромагнитного импульса от среды, занимающей полупространство.

Коснёмся кратко содержания работы. Свойства среды в которой распространяется излучение входят в стационарное уравнение переноса в виде коэффициента экстинкции и (тензорного) дифференциального сечения рассеяния единичного объёма.

Первая глава посвящена вычислению коэффициента экстинкции с помощью уравнения Дайсона. Рассеиватели рассматриваются как точечные коррелированные электрические диполи. При этом парное взаимодействие учитывается в полной мере, а не только ближними полями (поскольку это не намного сложнее). Предполагается, что диполи нерезонансные.

В первом параграфе вводятся некоторые понятия теории многократного рассеяния волн а также приводится сводка результатов этой теории, необходимых для понимания дальнейшего материала диссертации.

Коэффициент экстинкции выражается через мнимую часть массового оператора. Для учёта парных эффектов последний надо вычислить во втором порядке по концентрации рассеивателей. Во втором параграфе массовый оператор в этом приближении записывается в виде интеграла по расстояниям между рассеивателями.

Во третьем параграфе вычисляется коэффициент экстинкции в отсутствие корреляций. В четвёртом параграфе учитываются парные корреляции.

В пятом параграфе показывается, что только узкий интервал расстояний между диполями пары вблизи расстояния ~ («-поляризуемость диполя) ответственней за поправку второго порядка к коэффициенту экстинкции. Устанавливается, что при таком расстоянии между диполями резонатор, образованный парой диполей, обладает собственной модой электромагнитного поля (с частотой, равной частоте падающего света).

Вторая глава посвящена выяснению физической природы поправки, найденной в первой главе и нахождению интенсивности света, рассеянного сферическим объёмом, заполненным точечными электрическими диполями. Объём считается малым по сравнению с длиной экстинкции, но большим по сравнению с длиной волны. Фактически это элементарный объём из теории переноса. Подчеркнём ещё раз, что диполи, которые мы рассматриваем, считаются нерезонансными.

Вследствие взаимного облучения диполей в паре собственные частоты колебаний электронов пары оказываются отличными от резонансной частоты изолированного диполя—осцилляторы связаны (электромагнитным взаимодействием). Для близко расположенных диполей различие может быть столь большим, что собственные частоты пары выходят за пределы ширины резонанса изолированного диполя. В этом случае свет, нерезонансный по отношению к отдельному диполю, может оказаться резонансным по отношению к паре диполей. Такого рода резонанс вынужденных колебаний электронов в паре диполей под действием внешнего электромагнитного поля изучается в первом параграфе.

Собственные частоты пары зависят от расстояния между диполями. На основании этого во втором параграфе для каждого собственного колебания в паре вводится понятие резонансного интервала расстояний между диполями. Именно, принимается, что расстояние принадлежит резонансному интервалу для данного собственного колебания если частота падающего света лежит в пределах ширины резонансного пика этого собственного колебания. Далее вычисляются интенсивности (для различных поляризационных компонент) света, рассеянного резонансными парами. Собственные колебания пары могут быть разделены на два типа: "+"-колебания и "—"-колебания. "+"-колебаниям соответствуют смещения электронов в одну сторону, а "—"-колебаниям—в противоположные. Заметный вклад в интенсивности рассеянного света дают только "+"-ко-лебания. Соответствующие им резонансные интервалы оказываются как раз теми интервалами, которые фигурировали при вычислении коэффициента экстинкции в первой главе (давали вклад в поправку второго порядка по плотности).

Среди расстояний малых по сравнению с длиной волны А основной вклад в интенсивности рассеянного света дают резонансные расстояния. Вклад от расстояний > А рассматривается в третьем параграфе. Приводятся диаграммы (теории многократного рассеяния) для тех процессов, которые значительно влияют на интенсивности.

В параграфе 4 — центральном параграфе главы — находятся условия, при которых рассеяние на резонансных парах оказывается доминирующим процессом. В пятом параграфе вычисляется полный поток энергии излучения, рассеянного объёмом. Это позволяет сравнить полученные результаты с вычислением коэффициента экстинкции в первой главе (проверка закона сохранения для уравнения переноса).

В шестом параграфе предлагается схема эксперимента по обнаружению эффекта парного резонанса. Этот резонанс получает название пространственного группового резонанса поскольку связан со взаимным расположением диполей и является простейшим случаем резонанса в группе из нескольких рассеивателей.

Главы 1 и 2 фактически завершают построение стационарного уравнения переноса при учёте взаимодействия рассеивателей ближними полями.

Третья глава посвящена выводу нестационарного уравнения переноса учитывающего эффект пространственного группового резонанса и приближённому решению этого уравнения для случая отражения электромагнитного импульса от полупространства, заполненного точечными диполями.

Недавно как экспериментально, так и теоретически было показано, что аккумуляция энергии внутри резонансных рассеивателей приводит к уменьшению диффузионной скорости передачи энергии VE [5],[б],[7],[9]. В приближении низкой плотности этот эффект был включён в нестационарную теорию переноса электромагнитного излучения в среде из резонансных рассеивателей Ми в работах [8],[10].

В первом параграфе выводится нестационарное уравнение переноса в котором эффект аккумуляции энергии учтён для резонансных пар.

Тензорная структура этого уравнения весьма сложна, чтобы получить его решение. Поэтому во втором параграфе оно приближённо преобразуется в скалярное уравнение переноса.

В третьем параграфе с помощью полученного уравнения решается задача о диффузном отражении импульса излучения от полупространства, заполненного средой состоящей из точечных диполей. При этом используется приближение однократного некогерентного рассеяния, которое адекватно описывает передний фронт отражённого импульса [И]. Следует заметить, что для приближения однократного рассеяния и в случае естественно поляризованного падающего излучения развитая в § 2 методика перехода к скалярному уравнению переноса является вполне строгой.

Общее решение оказывается весьма громоздким и физический анализ его членов без дальнейшего упрощения затруднителен. Поэтому в третьем параграфе рассматриваются также асимптотики решения для низких и высоких плотностей.

Следует подчеркнуть, что в диссертации рассматривается случай электромагнитного поля, т. е. векторный случай. Это, в частности, подразумевает рассмотрение поляризационных свойств индикатрисы рассеяния в уравнении переноса. Поляризуемость резонансной пары диполей вдоль оси пары отличается от поляризуемости поперёк. Вследствие этого инди-катрисса рассеяния пар отличается от индикатриссы рассеяния отдельных диполей. Причём такое различие сохраняется и в скалярном уравнении переноса, переход к которому описан в §2.

В четвёртом параграфе показывается, что используя упомянутое отличие можно в эксперименте отделить часть импульса, отражённую резонансными парами от части, отражённой отдельными рассеивателями. Поскольку временной ход этих частей должен быть различным, такой эксперимент позволил бы дать чёткий ответ на вопрос-влияет пространственный групповой резонанс на перенос электромагнитного излучения или нет.

В заключении подведены итоги проведённых исследований.

Основные результаты

В данной главе мы включили эффект пространственного группового резонанса в нестационарное уравнение переноса. Был предложен метод перехода от тензорного уравнения переноса к скалярному. Скалярное уравнение переноса решено в приближении однократного некогерентного рассеяния. Для случаев низких и высоких плотностей п, а также для случая (ха0)-1 <С (б7г)1тгЛ3 <С 1 выписаны компактные решения, допускающие ясную физическую интерпретацию. Предложена методика выделения вклада резонансных пар из отражённого импульса в эксперименте по диффузному отражению импульса света от полубесконечной среды. Показано, что дипольно неактивные собственные колебания электронов в паре диполей (колебания, при которых электроны смещаются в противоположные стороны) приводят к такому же замедлению распространения световой энергии, что и дипольно активные (колебания, при которых электроны смещаются в одну сторону).

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации. В данной работе впервые последовательно, на языке теории многократного рассеяния волн проведено включение эффектов взаимного облучения в парах рассеива-телей в теорию переноса электромагнитного излучения, как стационарную, так и нестационарную. В частности,

1) получено выражение для коэффициента экстинкции среднего поля при учёте как взаимного облучения в парах рассеивателей, так и корреляций во взаимных положениях рассеивателей пары;

2) найдены интенсивности (поляризационных компонент) света, рассеянного малым (по сравнению с длиной экстинкции) объёмом, заполненным точечными электрическими диполями, при учёте всех двухчастичных эффектов;

3) установлено, что взаимодействие диполей пары ближними полями носит характер пространственного группового резонанса— амплитуда рассеяния пары содержит знаменатель, резонансным образом зависящий от расстояния между диполями;

4) установлено, что пару диполей вследствие группового резонанса можно рассматривать как один анизотропный диполь, что приводит к соответствующей деполяризации рассеянного излучения.

5) установлено, что интегральное сечение некогерентного рассеяния малого объёма определяется только Рэлеевским (однократным) рассеянием и рассеянием на резонансных парах при любых концентрациях рассеивателей и не зависит от других двух-частичных эффектов, что является основанием для записи уравнения переноса при учёте взаимодействия диполей ближними полями.

6) предложен метод выделения эффекта пространственного группового резонанса в эксперименте по рассеянию света на малом объёме, заполненном точечными диполями;

7) выведено нестационарное уравнение переноса, учитывающее среди прочих проявлений пространственного группового резонанса (ПГР) эффект аккумуляции энергии резонансной парой рассеивателей;

8) предложен метод преобразования тензорного нестационарного уравнения переноса в скалярное;

9) получено решение нестационарного (скалярного) уравнения переноса в первом порядке по кратности некогерентного рассеяния при учёте ПГР для случая отражения импульса от полупространства, заполненного точечными диполями;

10) предложен метод выделения вклада ПГР из интенсивности рассеянного излучения в эксперименте по отражению импульса о полупространства заполненного точечными диполями;

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Ю.Н. Барабаненкову за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

1. Ю.Н. Барабаненков. Многократное рассеяние волн на ансамбле частиц и теория переноса излучения. УФН, т. 117, стр.49-78, 1975.

2. L. Tsang L.M. Zurk and D.P. Winebrenner. Scattering properties of dense media from Monte Carlo simulations with application to active remote sensing of snow. Radio Science, vol. 31, No. 4, pp. 803-819, 1996.

3. A. Ishimaru and Y. Kuga. Attenuation constant of a coherent field in a dense distribution of particles. J. Opt. Soc. Am., vol. 72, pp. 1317-1320, 1982.

4. G. Koh. Experimental study of electromagnetic wave propagation in dense random media. Waves Random Media, vol. 2, pp. 39-48, 1992.

5. Meint P. van Albada, Bart A. van Tiggelen, Ad Lagendijk, and Adriaan Tip. Speed of propagation of classical waves in strongly scattering media. Physical Review Letters, vol. 66, No. 24, pp. 3132-3135, 1991.

6. Yuri N. Barabanenkov and V.D. Ozrin. Problem of light diffusion in strongly scattering media. Phys. Rev. Lett., vol. 69, No. 9, pp. 13641366, 1992.

7. B.A. van Tiggelen, A. Lagendijk, and A. Tip. Comment on "problem of light diffusion in strongly scattering media". Phys. Rev. Lett., vol. 71, pp. 1284-1285, 1993.

8. Yu.N. Barabanenkov, L.M. Zurk, and M.Yu. Barabanenkov. Pointing's theorem and electromagnetic wave multiple scattering in dense media near resonance: modified radiative transfer equation. Journal of

9. Electromagnetic Waves and Applications, vol. 9, No. 11/12, pp. 1393— 1420, 1995.

10. B.A. van Tiggelen, A. Lagendijk, M.P. van Albada, and A. Tip. The speed of light in random media. Phys. Rev. В, vol. 45, pp. 12233-12243, 1992.

11. Yu.N. Barabanenkov, M.Yu. Barabanenkov, and D.P. Winebrenner. Effect of pulse entrapping on diffuse reflection from a resonant random medium: exact solution to the scalar albedo problem. Waves Random Media, vol. 8, pp. 451-463, 1998.

12. M. Plank. Sitzungsber. K. Preuss. Akad. Wiss.y vol. 24, p 474, 1902.

13. Л.И. Мандельштам. К теории дисперсии. Полное собрание трудов т. 1, стр. 125, М., АН СССР, 1948.

14. Н.А. Lorentz. Proc. Acad. Amsterdam, vol. 13, p. 92, 1910.

15. B.C. Фурсов. Дипольное взаимодействие и рассеяние света. Вестник Московского Университета, №2, стр. 60-72, 1961.

16. A. Liebsch and B.N.J. Person. Optical properties of small metallic particles in a continuous dielectric medium. J. Phys. C: Solid State Phys., vol. 16, pp. 5375-5391, 1983.

17. В. В. Соболев. Пренос лучистой энергии в атмосферах звёзд и планет. М., Гос. изд. ТТЛ, 1956.

18. Ю.Л. Климонтович, B.C. Фурсов. Влияние взаимодействия между молекулами на торможение излучением в классической теории дисперсии света. ЖЭТФ, т. 19, №9, стр. 819, 1949.

19. L. Tsang, I.A. Kong, and R.T. Shin. Theory of microwve remote sensing. Wiley, New York, 1985.

20. P. W. Anderson. The question of classical localization. A theory of white paint? Phil. Mag. B, vol. 52, pp. 505-509, 1985.

21. B.A. van Tiggelen, A. Lagendijk, and A. Tip. Multiple scattering effects for the propagation of light in 3d slabs. J. Phys.: Condens. Matter, vol. 2, pp. 7653, 1990.

22. U. Frish. Wave propagation in random media. In A. Bharucha-Reid, editor, Probabilistic Methods in Applied Mathematics, vol. 1, pp. 107, 111. Academic, New York, 1968.

23. B.M. Финкельберг. Диэлектрическая проницаемость смесей. ЖТФ, т. 34, №3, стр. 509-518, 1964.

24. И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. Обобщённые функции, m. 1 Обобщённые функции и действия над ними. М., Гос. изд. ФМЛ, 1959.

25. М. Гольдбергер, К. Ватсон. Теория столкновений. М.,"Мир", 1967.

26. М. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. М., "Наука", 2-е издание, 1968.

27. В.М. Финкельберг Ю.Н. Барабаненков. Оптическая теорема в теории многократного рассеяния. Изв. высш. уч. зав.—Радиофизика, т. И, стр. 719-725, 1968.

28. Ю.Н. Барабаненков, В.М. Финкельберг. Уравнение переноса излучения для коррелированных рассеивателей. ЖЭТФ, т. 53, стр. 978-986, 1967.

29. Ю.Н. Барабаненков, В.Д. Озрин и М.И. Калинин. Асимптотический метод в теории стохастических линейных динамических систем. М., "Энергоатомиздат", 1985.

30. V. Twersky. Multiple scattering by arbitrary coniguration in three dimensions. J. Math. Phys., vol. 3, p. 83, 1962.

31. P. Балеску. Равновесная и неравновесная статистическая механика, т. 1. М., "Мир", 1978.

32. D.S. Wiersma, М.Р. van Albada, and A. Lagendijk Experimental evidence for recurrent multiple scattering of light in disordered media. Phys. Rev. Lett., vol. 74, p. 4193, 1995.

33. B.A. van Tiggelen, A. Lagendijk, A. Tip , and G.F. Reiter. Effect of resonant scattering on localization of waves. Europhys. Lett., v. 15, No. 15, pp. 535-540, 1991.

34. Ю.Н. Барабаненков. О волновых поправках к уравнению переноса для направления рассеяния назад. Изв. высш. уч. зав.— Радиофизика, т. 16, №1, стр. 88-96, 1973.

35. Е. Akkermans, Р.Е. Wolf, R. Maynard, and G. Maret. Theoretical study of the coherent backscattering of light by disordered media. J. Phys. France, vol. 49, No 1, pp. 77-98, 1988.

36. Bart A. van Tiggelen and Ad Lagendijk. Resonantly induced dipoledipole interactions in diffusion of scalar waves. Phys. Rev. В, vol. 50, pp. 16729-16732, 1994.

37. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертис и Р. Берд. Молекулярная теория газов и жидкостей. М., "ИЛ", 1961.

38. Yuri N. Barabanenkov and Vladislav V. Shlyapin. Space-group resoance effect in scattering of light by a small volume of individually nonresonant dipoles. Phys. Rev. В, vol. 58, pp. 3034-3045, 1998.

39. Yu.N. Barabanenkov and V.V. Shlyapin. Effect of space group resonance on intensity of light scattered by small volume. In Proceedings of the 1995 URSI International Symposium on Electromagnetic Theory, pp. 665-667, St. Petersburg, Russia, May 1995.

40. В. М. Финкельберг. Распространение волн в случайной среде. Метод корреляционных групп. ЖЭТФ, т. 53, №1(7), стр. 401-415, 1967.

41. Ф.М. Измагилов, Ю.А. Кравцов. Bacscattering enhancement polarization effects on a system of two small randomly oriented scatterers. Waves Random Media, v. 3, pp. 17-24, 1993.

42. Г. ван де Хюлст. Рассеяние света малыми частицами. М.,"ИЛ", 1961.

43. Р.В. Джеймс. Оптические принципы диффракции рентгеновских лучей. М./'ИЛ", 1950.

44. Ю.Н. Барабаненков. Енергетический критерий когерентности и некогерентности многократного рассеяния волн в случайно -неоднородной среде. Изв. высш. уч. зав., т. 28, №9, стр. 1136-1143, 1985.

45. К.С. Шифрин. Рассеяние света в мутных средах. М. Л., Гос. изд. ТТЛ, 1951.

46. Д. Хафмен, К. Борен. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. М., "Мир", 1986.

47. Физические величины. Справочник, под ред. И.С. Григорьева, Б.З. Михайлова. М., "Энергоатомиздат", 1991. стр. 797.

48. И.И. Собельман. Введение в теорию атомных спектров. М., Гос. изд. ФМЛ, 1963. стр. 217.

49. С. Eckart. Theory and calculations of screening constants. Phys. Rev., vol. 36, pp. 878-892, 1930.

50. А. Исимару. Распространение и рассеяние волн в случайно -неоднородных средах, т. 2. М.,"Мир", 1981.

51. Y. Kuga, A. Ishimaru, and D. Rice. The velocity of coherent and incoherent elctromagnetic waves in a dense strongly scattering medium. Phys. Rev., vol. 48, pp. 13155-13158, 1993.

52. Yu.N. Barabanenkov and M.Yu. Barabanenkov. Weak time dispersion in scalar theory of radiative transfer for pulse propagation in dense strongly scattering media. Phys. Lett. A, vol. 221, pp. 421-426, 1996.

53. K.T. Compton. Some properties of resonant radiation and excited atoms. Phil. Mag., vol. 45, pp. 750-760, 1923.

54. E.A. Milne. The diffusion of imprisoned radiation through a gas. J. bond. Math. Soc., vol. 1, pp. 40-51, 1923.

55. E.P. Wigner. Lower limit for the energy derivative of the scattreing phase shift. Phys. Rev., vol. 95, pp. 145-147, 1995.

56. P. Ньютон. Теория рассеяния волн и частиц. М., "Мир", 1969.

57. Т. Holstein. Imprisonment of resonant radiation in gases. Phys. Rev., vol. 72, pp. 1212-1233, 1947.

58. И.Н. Минин. О нестационарной люминесценции полубесконечной среды. ДАН СССР, т. 154, стр. 1059-1062, 1964.

59. Д.И. Нагирнер. Нестационарное поле излучения в полубесконечной среде. Астрофизика, т. 5, стр. 31-53, 1969.

60. Yu.N. Barabanenkov and V.V. Shlyapin. Space-group resonance effect in diffuse light pulse reflection from a discrete random medium. Phys. Rev. В, 2000. (to be published).

61. Ю.Н. Барабаненков. О приближении Фраугофера в теории многократного рассеяния волн. Изв. высш. уч. зав.—Радиофизика, т. 14, стр. 234-243, 1971.

62. Ю.Н. Барабаненков. Резольвентный метод оценки погрешности рещения уравнения Бете-Салпитера в приближении Фраунгофера. Изв. Высш. уч. зав.—Радиофизика, т. 18, стр. 714-723, 1975.

63. Б. Нобл. Применение метода Винера Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М., "ИЛ", 1962.