Эффективные методы определения энергетического спектра матриц большой размерности в задачах экспериментальной физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ИОРДАН ВЛАДИМИР ИВАНОВИЧ

ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА МАТРИЦ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ В ЗАДАЧАХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

01.04.01 - «Приборы и методы экспериментальной физики»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 2003

I

I

Диссертация выполнена в Алтайском государственном техническом университете им. И.И. Ползунова и Алтайском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, .

профессор, заслуженный деятель науки РФ Евстигнеев Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Безносюк Сергей Александрович, доктор технических наук, профессор Белов Виктор Матвеевич

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной механики СО РАН

Защита диссертации состоится 30 апреля 2003 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.03 Алтайского государственного университета по адресу: 656049, Барнаул, пр-т Ленина, 61.

<

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Алтайского государственного университета. 1

Автореферат разослан "_" марта 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Рудер Д. Д.

2©<=>3- А ¿о ^Г 3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. В настоящее время существо проблем в технике физического эксперимента в большей степени связано с совершенствованием техники регистрации и обработки сигналов, автоматизацией физического эксперимента с повышением его технологичности, обеспечивающей увеличение информативности с понижением трудоемкости затрат на него. Сложные дорогостоящие физические эксперименты (например, в физике атомного ядра и элементарных частиц) диктуют необходимость быстродействующей обработки больших массивов экспериментальных данных для достижения цели проведения эксперимента в реальном масштабе времени. Поэтому актуальным современным направлением является компьютерный физический эксперимент с использованием «интеллектуальных инструментов», другими словами, метакомпьютера -виртуального сверхкомпьютера в виде глобальной компьютерной сети распределенных вычислений для проведения анализа, обработки и визуализации данных, поступающих с датчиков, и требующих специальных средств взаимодействия программных компонентов и вычислительных систем, физически размещенных в научных центрах разных стран.

Обеспечение возможности работы измерительного оборудования и высокопроизводительных систем обработки информации в реальном масштабе времени достигается за счет применения параллельных вычислительных многопроцессорных систем на базе параллельных матричных процессоров в виде СБИС, встроенных в датчики измерительных устройств и архитектура которых использует структуру методов матричной алгебры. Например, методы решения множества линейных алгебраических задач, матричные методы цифровой фильтрации сигналов определили архитектуру «систолических» матричных процессоров конвейерных вычислений (встречно-поточных процессоров), процессоров «волновой обработки», высокопараллельных процессоров с перестраиваемой конфигурацией.

При решении многих физических задач интегро-дифференциальные уравнения, описывающие математическую модель измерений физического эксперимента (либо физической системы), сводятся к матричным уравнениям, которые необходимо редуцировать с определенной точностью. Данная проблема связана • с применением и разработкой методов регуляризации, использующих ортогональные методы приведения больших матриц к компактному виду (почти треугольной, треугольной, трехдиагональной, блочно-диагональной, диагональной), диагонализацией с определением их «энергетического» спектра, либо с их обращением. Например, в оптических обратных задачах, в статистической обработке экспериментальных данных, а также, и при разработке специализированных матричных процессоров на базе СБИС,* устойчивость обращения матриц достигается ортогональными преобразованиями, реализующими разложение по сингулярным (собственным) значениям (разложение по энергетическому спектру). Хорошо известна, например, роль трехдиагональных матриц, в теоряг. д^данальных многочленов, к которым сводятся современйй^^'^д^щ^^л спл^йновых

09 «О^«*/''

СПетс^ГРС Й 1

аппроксимаций эмпирических зависимостей, в разностных методах решения задач математической физики, в расчетах энергетического спектра и электронной структуры «цепочных» молекул. Для них необходимы численно устойчивые алгоритмы определения собственных чисел с гарантированной точностью.

Состояние вопроса. Недостаточно развитое состояние в области создания ортогональных методов, которые характеризовались бы широкой универсальностью применения, нечувствительностью к свойству «плохой обусловленности» матриц, побуждает предпринимать попытки эффективно решить эту проблему. По данной проблеме широко известны работы зарубежных и отечественных научных школ под руководством Дж.Х. Уилкинсона, Б. Парлетта, В.В. Воеводина, С.К. Годунова, В.Н. Фадеевой, Д.К. Фадеева, А.Н. Тихонова и многих других авторов. Практически отсутствуют какие-либо эффективные методы декомпозиции задачи на собственные числа.

В качестве примеров актуальных задач, в которых и до настоящего времени существует потребность в совершенствовании методов диагонализации, декомпозиции и приведения к компактному виду больших матриц, можно привести следующие:

1) методы статистического анализа экспериментальных данных и планирования эксперимента, линейного прогнозирования и моделирования процессов измерений в технике физического эксперимента;

2) современные методы обработки сигналов: калмановская и винеровская фильтрация, адаптивная трансверсальная фильтрация, спектральный анализ с использованием сингулярного разложения, цифровая обработка изображений и распознавание образов с помощью двумерных унитарных преобразований, кодирование сигналов в системах передачи информации, проблемы устойчивости систем управления и связи, обработка сигналов в фазированных антенных решетках и другие;

3) квантовомеханические расчеты атомных и молекулярных систем, кластерные методы в задачах физики твердого тела;

4) теория колебаний и теория распространения волн в различных средах и многие другие.

Например, в квантовомеханических расчетах молекулярных систем и кластеров твердого тела практически до 70 - 80% «машинного» времени затрачивается на диагонализацию матриц и для «больших» систем с большим порядком матриц (до десятка тысяч и выше) практически не реально за один непрерывный счет на ЭВМ получить результаты (проблема «метакомпьютинга»). Поэтому в настоящее время актуальным является решение проблемы декомпозиции задачи диагонализации матриц «по частям». То есть задача сводится к разработке такого метода, осуществляющего инвариантное преобразование большой матрицы к блочно-диагональному виду, в результате которого появилась бы возможность каждый матричный блок более низкого порядка диагонализировать «по частям» в рамках «однопроцессорной системы» по очереди, либо параллельно в рамках «многопроцессорной системы».

Цель исследований заключается в расширении возможностей и совершенствовании методов экспериментальной физики за счет создания устойчивых, с гарантированной точностью и высоким быстродействием методов диагонализации и декомпозиции матриц большой размерности, представляющих массивы многомерных данных.

Задачи исследования:

1. Определение широкого класса задач экспериментальной физики, использующих модель измерительного уравнения в матричном виде, с анализом погрешностей вычисления собственных значений матриц большой размерности;

2. Разработка быстродействующих методов диагонализации симметричных трехдиагональных. и заполненных матриц, обладающих абсолютной сходимостью и гарантированной точностью независимо от свойств «обусловленности» матриц;

3. Создание быстродействующего метода декомпозиции «компактной» формы матриц большой размерности;

4. Разработка методов для решения обратных спектральных задач экспериментального исследования температурного распределения частиц в гетерогенных потоках.

Научная новизна результатов исследований.

Получены «апостериорные» оценки «ошибки смещения», «стандартного отклонения» и максимальной погрешности вычисленных различными методами собственных чисел действительных матриц, использующих инварианты матриц: след (в) и евклидову норму (Е).

Разработан «модифицированный» метод Гивенса, который за счет использования свойств рекуррентности пересчета определенной части элементов матрицы сокращает количество операций умножений в 4/3 раза, а, значит, имеет более высокое быстродействие, чем традиционный алгоритм Гивенса.

Разработаны алгоритмы диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц, сходимость которых в отличие от наиболее эффективных, например, алгоритмов С^Я-метода является абсолютной и точность не зависит от свойств «обусловленности» исходных матриц.

Разработаны быстродействующие метод «коррекции линейной интерполяции» и метод «коррекции кратного корня» для определения корней «характеристического» уравнения трехдиагональной симметричной матрицы, позволяющие вычислять собственные числа матриц с высокой точностью и в случае «патологически близких» корней (с учетом ограниченности «машинной» точности, практически кратных корней).

Разработаны алгоритмы «затухающего маятника» метода «диакоптики» спектра собственных чисел симметричных трехдиагональных матриц и матриц в форме Хессенберга, осуществляющие декомпозицию матриц «по частям», характеризующиеся замедлением сходимости процесса диакоптики лишь для «плохо обусловленных» матриц.

Новизна технических решений. Разработан принципиально новый способ определения температуры частиц конденсированной фазы движущихся гетерогенных объектов. Новизна технического решения подтверждена патентом № 2107899 на изобретение, зарегистрированным в Госреестре изобретений (РОСПАТЕНТ), Москва, 27.03.1998.

Методы исследования.

В диссертации использованы методы экспериментальной и теоретической * физики, методы оптической диагностики, теория взаимодействия светового излучения с веществом, вычислительные методы линейной алгебры, численное моделирование и методы решения обратных задач, теория вероятности и случайных процессов, методы статистической обработки данных.

На всех этапах исследований проводилось сопоставление теоретических выводов и оценок с результатами компьютерного и физического эксперимента.

Практическая ценность работы.

Полученные апостериорные оценки погрешностей вычисленных собственных значений действительных матриц, которые являются оценками «снизу», наряду с «традиционными» априорными оценками «сверху», которые часто могут оказаться «завышенными», позволяют более достоверно оценивать погрешности вычисленных собственных значений.

Разработанный «модифицированный» метод Гивенса, практически не уступающий в отношении быстродействия методу Хаусхолдера как наиболее эффективному методу приведения действительной матрицы общего вида к компактной форме, характеризуется гарантированной численной устойчивостью в отличие от метода Хаусхолдера и поэтому может быть рекомендован к широкому применению.

Разработанные алгоритмы диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц могут быть рекомендованы в . различных прикладных задачах на собственные значения для матриц большой размерности (и > 1000).

Разработанные быстродействующие метод «коррекции линейной интерполяции» и метод «коррекции кратного корня» для определения корней « «характеристического» уравнения трехдиагональной симметричной матрицы позволяют вычислять собственные числа матриц с высокой точностью и в случае «патологически близких» и кратных корней. (

Разработанные алгоритмы «затухающего маятника» метода «диакоптики» спектра собственных чисел трехдиагональных матриц и матриц в форме Хессенберга, осуществляющие декомпозицию матриц «по частям», позволяют для «сверхбольших» матриц решать задачу на собственные числа.

Реализация результатов.

Для всех предлагаемых к широкому использованию методов и алгоритмов, изложенных в диссертационной работе, разработано соответствующее программное обеспечение на алгоритмических языках ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ.

Проведено их детальное тестирование в ходе численных экспериментов, в результате которого получено подтверждение всех теоретических оценок и выводов.

| На новый способ определения температуры частиц конденсированной

I фазы движущихся гетерогенных объектов получен патент РФ № 2107899,

использующий предлагаемые в работе матричные методы.

Разработанные методы, алгоритмы и соответствующие им программы , использовались при решении конкретных прикладных задач, результаты

( которых отражены в публикациях.

* На защиту выносятся следующие основные научные результаты:

I 1. Методика «апостериорных» оценок погрешности вычисляемых

| различными методами собственных значений действительных матриц;

' - 2. Модифицированный метод Гивенса для приведения матрицы общего

вида к компактной форме и быстродействующие методы | диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных

I матриц, основанные на устойчивых элементарных вращениях,

обладающие абсолютной сходимостью и гарантированной точностью независимо от свойств «обусловленности» матриц;

3. Быстродействующие алгоритмы «затухающего маятника» метода диакоптики спектра собственных чисел трехдиагональных симметричных матриц и матриц в форме Хессенберга, реализующего

, процедуру декомпозиции матрицы путем последовательного

приведения блочно-диагональной формы к диагональной и форме Шура 1 соответственно;

4. Метод редукции спектральной задачи экспериментального исследования температурного распределения частиц в гетерогенных потоках.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 24 печатных работах, получен один патент на изобретение.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих всероссийских и международных конференциях и совещаниях: Всесоюзная научная конференция «Современное состояние теории атомов и молекул», г. Вильнюс, 1979г., Всесоюзная научная конференция «X Сибирское совещание по ь. спектроскопии», г. Томск, 1981 г., Всесоюзная научная конференция «Планарные дефекты в упорядоченных сплавах и интерметаллидах», г. Барнаул, 1987г., Всесоюзная научная конференция «Координатно-чувствительные фотоприемники и оптико-электронные устройства на их основе», г. Барнаул, 1989г., Всесоюзная научная конференция «Оптические сканирующие устройства и измерительные приборы на их основе», г. Барнаул, 1990 г., 10-ое Всесоюзное координационное совещание по квантовой химии, г. Казань, 1991г., Международная конференция по алгебре памяти А.И. Ширшова, г. Новосибирск, 1991г., Первая международная конференция «Нанотехнология, наноэлектроника и криоэлектроника», г. Барнаул, 1992 г., Третья международная конференция памяти М.И. Каргаполова, г. Красноярск, 1993г., Международная конференция «Всесибирские чтения по математике и механике», г. Томск, 1997г., Международная научно-техническая конференция «Совершенствование быстроходных ДВС», Барнаул, 1999 г., 8-ая

международная конференция «Математические методы в электромагнитной теории», г. Харьков, Украина, 2000г.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 197 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка, 11 таблиц и список литературы из 102 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснованы актуальность, научная и практическая значимость проблемы, сформулированы цель и задачи исследований, их научная и практическая новизна, изложены основные выносимые на защиту положения, приведена краткая характеристика работы.

В первой главе проведен обзор широкого класса задач экспериментальной физики, в которых возникает проблема обработки многомерных данных, представляющих собой матрицы большой размерности. К ним сводятся задачи статистической обработки экспериментальных данных с использованием, например, метода «главных компонент» или метода «наименьших квадратов» (МНК), задачи планирования физического эксперимента, обработка сигналов, квантовомеханические расчеты кластерных неупорядоченных систем, оптические и электрические измерения и другие. Их общим признаком является наличие матричного уравнения, или сводящегося к нему интегрального или интегро-дифференциального уравнения, связывающего экспериментальные данные с физическими параметрами объекта исследования. На примере оптических методов измерения предложена их классификация

Основные задачи оптических измерений в экспериментальной физике

Рис. 1. Классификация основных оптических методов измерений

11ок"ачапо. что решение таких измерительных уравнении в экспериментальной физике сводится к некорректным обратным задачам, в которых актуальной проблемой является разработка устойчивых быстродействующих методов обращения, приведения к компактному виду и диакоптики матриц большой размерности. I В научной литературе, главным образом, приведены оценки погрешностей

I вычисления собственных значений в виде «априорных» оценок «сверху»,

I которые не редко оказываются «завышенными». Для более объективной оценки

J реальной погрешности в конце первой главы предложены «апостериорные»

оценки «снизу»: оценка ошибки «смещения» £сжщ, минимальная оценка

«стандартного отклонения» сгтт и максимальная погрешность сг1тх вычисленных собственных чисел действительных матриц, использующих инварианты матриц: 50,£0-след и евклидова норма исходной матрицы; Sp£, - след и евклидова норма преобразованной матрицы. Эти оценки выглядят так:

1 « |£, -£0| ес~щ = -а,,), о-тш=' г cmsx =t -ашп,

п 1-1 л/и

где i„ р определяется из таблицы tnp - распределения Стъюдента.

Выяснено, что в настоящее время применяемые для этой цели методы Гаусса-Жордана, Хаусхолдера, OR - метод и другие не гарантируют необходимой точности и абсолютной сходимости. Анализ причин, приводящих к этим недостаткам, позволил сделать вывод, который обосновывает выбор направления разработки методов решения таких задач, основанных на определении энергетического спектра матриц большой размерности.

Во второй главе представлены к рассмотрению модифицированный метод Гивенса и быстродействующие алгоритмы диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц, абсолютная сходимость и точность которых гарантирована независимо от «обусловленности» матриц. ^ Суть модифицированного метода Гивенса состоит в следующем. Пусть

обозначает матрицу, полученную из А0 = А после приведения столбцов с

индексами 1,2,....., от-1 (в симметричной матрице кроме столбцов будут

, приведены и строки с теми же индексами). На m -ом шаге вращения

производятся в плоскостях (от + 1,от +1 + к),где к = 1,2,.. m - 1.

X X X X X X 0 0 0 0

X X X X X X X 0 0 0

0 X X X X 0 X X X X

A m-1 = А - 0 0|

0 0| X X X X m X X X X

0 0| X X X X 0 0| X X X X

0 0| X X X X 0 01 X X X X

В результате этих вращений аннулируются элементы ш-го столбца (для симметричной матрицы дополнительно - элеменш т-ой строки), подчеркнутые в выше щображенных, соответственно, несимметричной и симметричной стр> к n pax (например, для я = 6 и т- 3).

Например, для симметричных матриц, используя в силу симметрии лишь верхний «треугольник» шементов, после некоторой «рационализации» стандартного метода Гивенса и с учетом свойств рекуррентности пересчета элементов (от + 1)- ой строки т-ый шаг модифицированного метода Гивенса выглядит следующим образом:

ml^H«:;;/^2]1'2; ck=bkj\;

Ро ~атт> 1 '

К = /'К; qL = sk !Ькл\ к = 1,2,....,п - т - 1;

а"..... =з<; '<»1, ,,.„, и

ijf-l in-l-A пЫ wl-A т "ш-Ь/ 11Ы+А

r>m " llt-l

(A-I m-ll

(Ojn-1) лт m-Wj >

a........

"m-l-/ »III hi- 1- / ш l-A

(Ok-I)

IM + lt

.(<-1 m-ll

= a........ .c -n{J-.п

M«+l m+l+i "y*

u»-l».|.| "«-Ijii-I-i i«-l*./jn-1*A

(1)

,0,1,1 = ,A-I,„.|,

m+\~j m+\+k «it I - / /n«|<*-i

jd-i.—и

ft = 2,3.......n-m-1: 7 = 1;2,.......¿-I.

II, (0*-1) , ~U-l.m-1l I )'"m n.l«l f z • tii

*a = (a.

Ill m-ll

I.A.i>i-l-A

m+l.Bi + Ui (0 nil

_ |0».-ll _ — "„,»!-A ,n-l-A T

— ЛI Ц u

= *A A >

l,-(n-l * ill*I n,

ni-l от.I / /я Я.1+* m+l т*1+к к A'

_ (Jt-1 m-ll ~

A "*A "О "<»-l.i»»l ~ "«+1 /»•! +4k 'Xk

-u-u*= !'2,3,.....

i

(я-ш-l m-l) 1 1 , Л(0.1Я)

(2)

=e:

= 1,2........И-/И-1.

Для модификации алгоритма число умножений оценивается выражением ^6-(п-т)-(п-т-\)/2 = п'. В стандартном алгори. .«е этих операций в 4/3

м

раза больше. Элементы, помеченные «тильдой», связаны с элементами по методу Гивенса: а^:.» А-и = А-,- То есть, если

в системе (1) первое и третье равенства разделить на Ь и Ьк соответственно,

тогда «новая» система (1) будет соответствовать методу Гивенса. Для несимметричных матриц модификация алгоритма Гивенса будет расширена системой уравнений, аналогичной системе (1) с учетом транспонирования нижних индексов.

Используя традиционные подходы, используемые в трудах Дж.Х. Уилкинсона и Б. Парлегга, показано, что ошибки накопления в стандартном и модифицированном алгоритмах одного порядка. Численные эксперименты подтверждают такой вывод, а также вывод о том, что метод Хаусхолдера не обладает гарантированной устойчивостью и точностью преобразований. Численные эксперименты показали практически одинаковое быстродействие модификации метода Гивенса и метода Хаусхолдера.

Далее во второй главе рассмотрены предлагаемые в диссертации быстродействующие алгоритмы диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц, абсолютная сходимость и точность которых гарантирована независимо от «обусловленности» матриц.

Для трехдиагональных матриц в предлагаемых двух алгоритмах на каждом этапе итерационного процесса, в верхней части матрицы происходит отделение двух собственных чисел для первого алгоритма (его обозначение МБЗ 01X390), а для второго (обозначение М530Т01ас) - трех собственных чисел. То есть, в верхней части матрицы происходит преобразование трехдиагональной формы в диагональную (отражено ниже на слева расположенной структуре). Таким образом, процесс так называемых «больших итераций» (БИ) затрагивает лишь трехдиагональную часть структуры преобразуемой матрицы (показано ниже на справа расположенной структуре).

х х

(3)

В этих алгоритмах переход от А{к) к матрице А<к']\ который условно будем называть "большой итерацией" (к +1) - го шага, выразим соотношением

Л[к*1) = Т^, ■ А1к) ■ Ткл, где к = 0,1,2,.........со; г/+1 - результат транспонирования

'А+1

Тк+Х. Матрица ортогонального преобразования Тм является факторизацией матриц элементарных вращений в плоскостях (т,т +1), где

т = 1,2,.....,п-\. То есть Тм = С/,{<+|) • £/«*"м> ■ • • [/¡£,}. Каждая БИ начинается с

вращения в плоскости (1,2), в результате чего нулевые значения элементов а^1 и а^ матрицы Аи> становятся ненулевыми (в структуре эти "выступы" обозначены через "г"). Каждым последующим вращением в плоскостях (г,г' + 1), где г = 2,3,...,и -1, эти два выступа «перегоняются» вниз вплоть до вытеснения их за пределы матрицы, благодаря тому, что эти вращения являются вращениями Гивенса, обеспечивающие в конце БИ трехдиагональную форму.

Для алгоритма М83БТ090 вращение в плоскости (1,2) с углом вращения 90 градусов дает значения косинуса и синуса, соответственно,

„<*+|>.

: 0, 5,(*+1) = 1 и промежуточные значения: й,(3*+1) = а.

73

После

вращения Гивенса в плоскости (2,3) окончательное значение

:л/(а12')2 +(а1г)2 • Для трехдиагональных матриц обычно элементы диагонали и кодиагонали обозначают, соответственно, как а\к) и Ъ]к), где

г = 1,2,...,и. Поэтому при к-> оо с учетом рекуррентности имеем

аи] -Ь^ =Л1(Ь,(0>)2 • В СИЛУ инвариантности евклидовой нормы

V /ы

матрицы значение а,1"1 = Ъ\К) ограничено. Значит, знакоположительный ряд абсолютно сходится, и абсолютно сходится к нулю значение Ь(к) независимо от свойств «обусловленности» матрицы. В результате сверху отделяется блок 4

второго порядка, позволяющий получить два собственных числа.

Для алгоритма МБЗОТС^с в плоскости (1,2) осуществляется вращение Якоби с условием на угол вращения tg{2(p{k+V)) = 2^b\k) !(а\к) -а[к)), в результате чего имеем промежуточные значения: = = 0,

а,(3м> = Ь<*> ■ , а^*" - 62(*+" = Ь{2к) • с,<4+", а первый диагональный элемент '

получает окончательное значение а\М) =(а(к)+a'-k))l2 + sign\•SQ, где

= +а[к)), 5'б = л/(61(<,)2+[(а1(*)-а^))/2}г . Нетрудно показать, что

{а\му)г >(а\к])г +(д1а))2, а при к-+оо и с учетом рекуррентности ,

оо

(а,1™')2 >(й[0>)2 + ХС^'*')2 • Однако в силу инвариантности евклидовой нормы

к=I

величина а,1™' ограничена по модулю. Следовательно, знакоположительный ряд абсолютно сходится, а значит и абсолютно сходится к нулю Ь\к), отделяя сверху в матрице собственное число. Вращение Гивенса в плоскости (2,3) с учетом а^1)=Ь\к]-8\м) дает с'*+1) = 0, з12к+п = ^(а^") и

6|*+|) =1^2*' '•?|<*+1)|> то есть с этого вращения повторяется «по сути» алгоритм МйЗПТ090. Поэтому с учетом стремления к нулю Ь\к) (а значит з\к) -> 0 и с[к) 1) в «асимптотике», начиная с некоторого к-р, будет выполняться

Ь[кЦ) = ><*>)2 +(Ь\к))2 и Ь^ = ^СЬ?')2+ • Следовательно, в силу ^

ограниченности значения Ь^ элемент Ь\к) -> 0 с абсолютной сходимостью и

тем самым отделяется блок второго порядка. В результате один этап (

исчерпывания сверху дает три собственных значения.

Для алгоритмов М830ТС90 и М83ВТС1ас получены оценки погрешности на собственные числа, пропорциональные величине и3'2. Численные эксперименты показали, что реальные погрешности несколько ниже. Сравнение по быстродействию с алгоритмами С®. - метода в численных экспериментах показало, что для широкого класса матриц с условием на ее порядок «>1000 наступает преимущество предлагаемых алгоритмов М83ШХ.г90 и МБЗОТОТас над (¿Я - методом.

Для заполненных матриц каждый из двух предлагаемых алгоритмов является обобщением, соответственно, алгоритмов М83ШХ390 и М83ВТ01ас, используемых для диагонализации трехдиагональных матриц. Первый

алгоритм (его обозначение М8ТС90) в результате одного этапа в верхней части матрицы отделяет два собственных числа, а второй алгоритм (обозначение М8Т01ас) - три собственных числа.

Допустим, что в верхней части матрицы уже частично произведена диагонализация, а в заполненной нижней клетке матрицы по методу Гивенса верхняя строка (и соответствующий ей столбец) приведена к трехдиагональной форме, как это показано ниже на примере первой структуры 5-го порядка. В соответствии с алгоритмом МБТС90 в так называемой (к +1) - ой «большой итерации» (БИ) переход ко второй структуре осуществляется с помощью вращения на угол 90 градусов в плоскости с центрами, обозначенными

как с и <1, и связывающим их элементом д. Переход к третьей структуре производится по методу Гивенса с помощью преобразования Т„Ы).

м

4 X

I/•'

тМ)

~Ч с О

■Нк+1) т

С'

Ч'

Ч

а'

X

X

Согласно вращениям Гивенса элемент определяется как 4=Ы +2з> то есть в каждой БИ он монотонно возрастает. Евклидова норма матрицы накладывает ограничение на рост элемента, что определяет абсолютную сходимость элементов к нулю и отделение сверху блока 2-го

порядка, который позволяет вычислить два собственных числа.

Аналогично допустим, что для второго алгоритма М8Т01ас также уже произведена частичная диагонализация и в нижней клетке две строки (и соответствующие столбцы) приведены с помощью метода Гивенса к трехдиагональной форме, как это показано ниже на первой структуре . х

Ли-! _

тЛт.к* I) и т+\,т+2

X

С ч с' 0 ч' 0 0

Ч а Г тЛт.Ы) 0 а 7 0 0 тАтМ\) ипн-1,т+2

г р Ч ч' г Р 25 г6

X X 0 0 X X

¿6 X X 1 - 0 0 X X -

с' Ч с' ч'

ч' Р -г -Г а 0 гб 0 -> ч' а' г' г' Р'

0 X X X X

гб 0 X X 4 X X

В {к +1) - ой БИ переход ко второй структуре осуществляется вращением Якоби и1%)]) в плоскости с центрами с и с/, обнуляя элемент ц. Вращение на Угол 90 градусов в следующей плоскости с центрами с1 и р осуществляет переход к третьей структуре. Переход к структуре аналогичной структуре А^,, производится вращениями по методу Гивенса, составляющих преобразование Вращения и(ттть,'}

И ^ж+Ои+2 являются

полностью аналогичными первым двум вращениям в алгоритме МЗЗОТС1ас, которые обеспечивают его сходимость и отделение сверху трех собственных чисел. По этой же причине и алгоритм М8ТС1ас для заполненных матриц абсолютно сходится и на каждом этапе отделяет по три собственных числа. Алгоритмы МБТС90 и МЭТИас характеризуются абсолютной сходимостью, не зависящей от свойств «обусловленности» заполненных матриц, устойчивостью ' и гарантированной точностью вычислений собственных чисел, а также высоким быстродействием. Поэтому эти алгоритмы рекомендуются к широкому использованию в задачах на собственные числа.

В третьей главе предлагаются два метода, которые для матрицы компактной формы, например, трехдиагональной симметричной формы, позволяют вычислять с высокой точностью корни (собственные числа) характеристического полинома этой матрицы даже и в случае «патологически близких (кратных)» корней. Метод «коррекции кратного корня» (МККК) позволяет разделять «спектр собственных чисел» на простые корни и в случае «патологически близких» корней. Если «патологическая близость» корней находится в пределах «машинного нуля», тогда МККК позволяет локализовать «почти кратные» (и кратные) корни с заданной точностью. Вычислительная схема МККК выглядит так:

лп*\ лп~ М _ >

Я-Яч-БГ'•(*„-*„-,)'

где %ю = 1. Величины уп = {уп)Ут и >>„_, = (у^У'т - для нечетного т, а для : четного т: уя - \у„]\'т • Я18р(хп - с) и упА=\уп^'т ■ sign{xn_x-с). В случае кратных корней т обозначает кратность корня, а в случае «патологически ' близких» корней - число корней, находящихся в интервале (*„_,,*„)■ Второй метод - метод «коррекции линейной интерполяции», ускоряя сходимость, уточняет локализованные простые корни. Вычислительная схема МКЛИ выглядит аналогично схеме МККК, а именно:

--(МиЬ^-, (4)

;=Ю

где а{йМ) = 1. Параметры обеих схем {¿?,(М),Д(М) :/ = 0,1,..,М} определяются с помощью (М + 2) приближений {(*„.,,у„-,)'■! = 0,1,..,А/+1} из невырожденной системы линейных алгебраических уравнений, имеющей всегда единственное

решение, следующим образом. Приближение хп+1 должно удовлетворять соотношению, аналогичному (4), а именно:

(5)

1-0

а'ю=1; у' = 0,1 ,...,М. Производя исключение из всех (М+1) уравнений, система (5),

преобразуясь, становится по отношению к параметрам {а\М) ,а[м\.........

линейной и позволяет определить их.

Схема МККК не является интерполяционной. Схема МКЛИ удовлетворяет интерполяции только лишь в точке (хп,ул), и только при упрощении схемы,

обеспечив условие {а^М) = 0; г = \,..,М), она становится интерполяционной и в точке (хпА,уп_х), и совпадает со схемой линейной интерполяции - со схемой метода «секущих». В методе МКЛИ наклон секущей, проходящей через точку (хп,уп), корректируется в сторону точного значения корня с помощью

параметров {а,"1" :/ = \,..,М). В силу того, что «порядок скорости» сходимости /им схем МККК и МКЛИ с увеличением числа параметров М асимптотически стремится к значению 2, можно ограничиться значением М - 2, так как схемы с малыми значениями М обладают большей устойчивостью счета. Для М = 1 схема МКЛИ, имея порядок скорости сходимости //,=1.84 (для метода секущих /20 -1.62), выглядит так:

г -г (хя~х^>Уя

где =[у"~у»-1 Параметры а\г)в схеме МКЛИ для

Хя ~Хп-1

М- 2 имеют вид

2

~(2) АУлЧ.*-2 • К,/,-1 ~ Л.Я-3 ]~&Уя-1,я-3 '1У'я,я-1 ~ У я. "-2 ] ■

У я-1 -У„-г я-2+Уя-I -Уя-3 -«-3^1 +Уя-2 -Уя-3 ^я-2.я-Ъ \йХя-к.я-1~Хг-к ~Х„-1. АУп-к,я-! -Уя-к - Уя-К

где

[у'я-^-1 = аУя-м я-пк=о.1-2-3;1=О-1'2-3-Тогда для М = 2 сама схема МКЛИ (/¿2 = 1.92) выглядит так:

(Хя~Хя-1 )'Уя__

= Х-

У„ ~Уя-1 •[1+«1(2' <*. )+«22' <Хя -*„-, )21

__(*Я ~Хя->)'Уя

л-лл -л-^йч,^)-^-^,)]

Схемы МКЛИ более просты и устойчивее, чем с аналогичным порядком схемы «полиномиальной интерполяцию). Алгоритм, использующий

комбинацию методов МККК и МКЛИ, позволяет определять собственные числа трехдиагональной матрицы с высокой точностью (до 16 значащих цифр) и со скоростью, выше скорости СЖ-метода для и >1000. Численные эксперименты подтвердили эффективность такого алгоритма.

В четвертой главе рассмотрены два алгоритма диакоптики спектра собственных чисел матриц компактной формы (трехдиагональной и формы Хессенберга - почти треугольной). Блочные структуры матрицы Л'*"1' перед к-ым шагом, который будем называть к~ ой «большой итерацией» (БИ), и ее матричных «клеток» ^Г" и 4'*'" Для случая трехдиагональной симметричной формы имеют вид

Аа~" =

л\\ М-1) , 21

лп

А С*"') -21 ~

> л\2 ~ ^21 ) ~

о о ¿(Ы) о

Го а"-» о о

Через Ь(к'п обозначен элемент «связи» а^'Ц трехдиагональных симметричных клеток А,'*'" и Ая~", где т-порядок клетки . На диагонали клетки А(2*~п слева от Ь{к'и находится нулевая строка, ниже - нулевой столбец. Оставшаяся нулевая клетка имеет размерности на единицу меньше, чем . По отношению к структуре клетки в структуре клетки А^ нулевые строка и столбец поменялись местами, а также элемент б'*"" с нулевой клеткой. В случае формы Хессенберга клетки А^ и имеют также форму

Хессенберга, клетка имеет структуру, аналогичную структуре А^

трехдиагональной симметричной формы А1к~]). Поэтому элемент Ь А^'11 в этом случае выполняет ту же роль элемента «связи». Для клетки А,

в клетке

(*-п 12

свойство /4,2 " °)г не выполняется и она, как правило, является заполненной. В обоих алгоритмах соблюдается правило чередования «прямой» и «обратной» БИ, которые состоят из последовательности вращений и обеспечивают инвариантность каждой из компактных форм. Оба алгоритма имеют большую общность. Рассмотрим, например, идею алгоритма для матриц в форме Хессенберга.

Первая часть вращений прямой /с -ой БИ, совершающихся в «пределах» клетки А,\*~", соответствуют QR-преобразованию с двумя неявными сдвигами, равных двум собственным значениям клетки . В результате этих вращений в нижней части этой клетки отделяется блок 2-го порядка, то есть, зануляется предпоследний элемент кодиагонали. В клетке же в ее нУлев°й строке слева от b(t~" возникают два «выступа». Ближний выступ имеет значение

lM-I) Ak,m-2) J Лт-\.т >

а краинии слева

значение

Ъ(Ы) ■

которое

последующим вращением «перегоняется» на место нулевого предпоследнего

-I) <,(к,т-2) Ii,я-2) I

' 'ш-г.».-!

элемента кодиагонали клетки Äff ]) в виде = -s^W" или

7U)

"т-l.m-2

= а

1 т

Лк.т-2) (*,ш-2) 4»|-1,я ' т-2.т-

2 — Jm-l,m

',1. Оставшаяся часть вращений «сгоняет» выступы

за пределы преобразуемой матрицы к - го шага. Перед обратной (к +1) - ой БИ элемент а[к,\т_2 играет роль элемента связи Ь(к\ то есть bm Первая

часть вращений, производимых в направлении «снизу-вверх», соответствует QR-преобразованию с двумя неявньми сдвигами, равных двум собственным значениям клетки А{22~Х). Дальнейшие вращения, аналогичные вращениям прямой БИ, определяют значение '

Таким образом, имеется рекуррентная схема алгоритма для формы Хессенберга

(*.,_„», - Ll*-» Лк.т-2) I _ I. (*-1) (к,т-2) . 2) I

v ~ "т-1,т-2 ~ |"«+1,« л m-2jn-\\" \и й т- 1,м

t(*+l> (*+l) _| (*) „(*+!,»-«). „(М.л-т)|_к(Л) (*+!,/.-«) (h-l,n-m)|

и ~ "m+1 т ~ \ит-\,т-2 лт-\т лтлЧг\ | —| лт~\,т •'m.m+l

Согласно (6) сходимость к нулю элемента "связи" клеток Ь(к) (для "прямой" и "обратной" БИ, соответственно, результирующие элементы а{к\^_2, а^*^) при к—>оо обеспечивается за счет «сжимающего» оператора, определяющегося произведением синусов вращений. Как видно из (6), элемент связи меняет свое положение и значение по принципу «затухающих колебаний» маятника. В результате этого каждая структура принимает блочно-диагональный вид. Применяя такую процедуру декомпозиции «по частям» и далее к несвязным диагональным клеткам, в результате можно определить спектр собственных чисел матрицы.

В алгоритме для трехдиагональной симметричной формы вместо QR-преобразования с двумя сдвигами используется QR-преобразование с одним сдвигом, которое отделяет в конце клетки Aj¡'n и в начале клетки Л22 , соответственно, для А:-ой прямой БИ и (£ + 1)-ой обратной БИ одно собственное число, то есть зануляется последний элемент кодиагонали клетки Л,'*"11 и первый элемент кодиагонали клетки А22 . Поэтому рекуррентная схема алгоритма для трехдиагональной симметричной формы имеет вид

I lili

Рекуррентная схема (7) аналогично схеме (6) обеспечивает сходимость элемента связи диагональных клеток к нулю при к-> со по принципу «затухающих колебаний» маятника за счет «сжимающего» оператора, определяющегося синусом вращения.

В обоих алгоритмах для- плохо обусловленных матриц каждой из компактных форм значения «сжимающего» оператора по модулю могут быть близкими к единице (иногда за счет «машинных» округлений могут оказаться равными единице), что ведет к замедлению сходимости. Объем вычислений, соответственно, и время вычислений для трехдиагональных матриц оказывается порядка А, • и • log2 п, для почти треугольных - порядка к2-п2, что примерно в п раз меньше, чем для наиболее эффективных методов. Поэтому

\

V

\ А /V

\ \ ¡у / К /

\ / \ /

\ / \/

Ш) Л

применение алгоритмов диакоптики спектра собственных чисел для больших и сверхбольших матриц актуально.

В пятой главе рассмотрены конкретные приложения вынесенных на защиту методов, использованных в некоторых задачах экспериментальной и прикладной физики, и показана перспективность применения этих методов в квантовомеханических расчетах кластерных неупорядоченных систем.

Разработанные методы диагонализации при обращении матрицы системы нормальных уравнений по методу МНК применялись для решения задачи измерения геометрических параметров изделий с помощью оптического анализа поверхностных неоднород-ностей. На рисунке 2 приведена система стереоскопического зрения на базе двух линейных фотоприемников, данные с которых в виде массивов {х,, у); / = 1,2,.., и} позволяют аппроксимировать профиль изделия полиномом у = Р{х).

Рис. 2.

Экспериментальные задачи исследования распределений скоростей частиц в импульсных гетерогенных потоках продуктов детонации и взрыва в настоящее время является актуальным в физике многофазных сред и технических приложениях. Ввиду быстротечности и нестационарности данных процессов физические методы исследования эффективно реализуются оптоэлектронными средствами измерений. Учитывая условие неразрывности

Ф Ф „

потока в виде — + — = 0, и используя оптическии времяпролетныи метод

Л скх.

измерения, задача определения скорости конденсированной фазы сводится к матричной редукции, подобной проекционному преобразованию Радона

{яНлИ<«*>}, (8)

где {//,}-вектор интенсивностей потока частиц в п сечениях (/ = 1,2,...,и), {< >} - усредненный вектор скоростей; \рл || - матрица плотности потока.

В качестве примера определения скорости частиц приведена оптическая система измерения (рис 3) и этапы обработки экспериментальных данных (рис 4). Редукция измерительного уравнения (8) для частного случая двух поперечных проекционных сечений двухфазного потока имеет вид

)д/„(гуг

1

МыК0е0(Т)

'(»Ж

где 7/(г)../,(г)-сшналы фотодатчиков в соответствующих сечениях (рис 4.а),

прямопропорциональные плот-

//

//

Л1

Рис. 3. Оптическая система измерения. Ь - времяпролетная база; ДI - ширина оптического сечения фотодатчиков.

ности потока р, а АЛ(г) = -//(1')--/,(г); текущее время сканирования потока фотодатчиком; интеграл числителя - это дифференциал расходных характеристик потока в двух сечениях, приведенных на рис 4.6, пропорциональный интенсивности потока частиц ц, а знаменатель пропорционален средней

плотности потока. На рис 4.в представлены результаты решения задачи редукции в виде распределений скорости, импульса и концентрации псевдогаза частиц конденсированной фазы по длине потока.

\х

а) Сигнал фотодатчиков б) Расходные характеристики в) Результаты редукции Рис. 4. Этапы обработки экспериментальных данных

Рис. 5. Состав экспериментальной установки спектральной диагностики температурного распределения частиц в самосветящихся высокотемпературных потоках

Другим приложением ортогональных методов диагонализа-ции и приведения к компактной форме является спектральная диагностика температурного распределения частиц в самосветящихся высокотемпературных потоках.

Для исследования температурного распределения частиц

порошка в металлизированной струе установки детонационно-газового напыления применялись меюды редукции интегрального теплового спектра (патент РФ №2107899), позволяющие контролировать температурные параметры частиц в последовательной серии циклов напыления (от одного до восьми циклов). Результаты спектральной и температурной диагностики позволяют исследовать стабильность и воспроизводимость теплового режима непосредственно в процессе напыления в десяти температурных диапазонах от 800 до 2300 °С. В качестве спектрального эталона использовалась вольфрамовая лампа ТРУ-П00. Схема экспериментальной установки, изображенная на рисунке 5, состоит из следующих компонентов: 1 -детонационный импульсный генератор плазменной струи; 3 экспериментальный бокс, в объем которого производится импульсное напыление; в одном из вырезов - 4 бокса 3 расположен монохроматор-2 с анализатором теплового спектра продуктов детонации.

В основу метода спектральной диагностики температурных распределений положена возможность регистрации суммарного теплового спектра от группы

самосветящихся частиц переносимых потоком плазмы через сечение заданное измерительной апертурой спектроанализа-тора, использующего многоэлементный линейный фотоприемник в режиме накопления заряда (Рис.6).

Решение обратной задачи позволяет восстановить температурное распределение частиц, суммарный тепловой спектр от которых был зарегистрирован за время регистрации. В результате исключается необходимость накапливать статистику температуры по отдельным частицам, то есть для получения гистограммы температурного распределения достаточно результатов однократной регистрации суммарного теплового спектра частиц.

1

а) б) в)

Рис.7, а) Спектр излучения гата 0.5СзНц + О.5С4Н10 +ЗО2: б) Тепловой спектр порошка А!>0; с гаюч: в) Восстанонленное распределение частиц по температурам

На рис 7.6) приведены экспериментальные результаты прямой задачи измерения температурного спектра 5(Д) множества разнородно нагретых

частиц в струе низкотемпературной плазмы. Полученные в соответствии с интегральным измерительным уравнением р{Х,Т)/(Т)сГГ = 5(Я). Оператор и(Х,Т) определяется на этапе калибровки по спектру эталонной вольфрамовой лампы ТРУ-1100; диапазон температур 800-2300°С; диапазон длин волн 4001010 нм. На рис 7.в) приведены результаты обратной задачи редукции ч интегрального теплового спектра в распределении частиц по температурам Г(Т).

В соответствии с формулой | /"(7])|| = ||г/(Хк,Т1)+аВк^ '-ЦзЦ^Ц, где параметр

регуляризации а < 10"2; оператор В выбирался в виде разностной схемы Эйлера. 1 Средняя температура распределения частиц, при аппроксимации законом

Гаусса, соответствовала 1600 °С со среднеквадратичным отклонением 268 °С.

Аналогичные методы редукции с использованием методов диагонализации матриц применялись в задачах экспериментальных исследований дисперсности топливно-воздушных струй путем решения известных обратных задач К.С. Шифрина по методам малоуглового рассеяния и спектральной прозрачности.

В конце главы показано применение метода диакоптики энергетического спектра в квантовомеханических расчетах неупорядоченных систем.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы и результаты, а также проблемы, требующие дальнейшего решения.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В рамках выбранной цели исследований и поставленных задач сделаны и получены следующие выводы и результаты:

1. Определен класс задач экспериментальной физики, использующих модель измерительного уравнения в матричном виде, проведен анализ погрешностей вычисления собственных значений матриц большой размерности и получены их апостериорные оценки «снизу»: оценка ошибки смещения £смт,

минимальная оценка стандартного отклонения <тга,„ и максимальная погрешность стшах вычисленных собственных чисел действительных матриц. ^ Эти оценки выглядят так:

1 п £, - ¿£0

й л/и

где 50,£0-след и евклидова норма исходной матрицы; - след и

евклидова норма преобразованной матрицы; р - коэффициент Стьюдента;

2. Разработан быстродействующий модифицированный метод Гивенса для приведения действительной матрицы общего вида к матрице в форме Хессенберга, в частности, приводящий заполненную симметричную матрицу к

■ симметричной трехдиагональной форме;

3. Разработаны быстродействующие методы диагонализации симметричных трехдиагонапьных и заполненных матриц, основанные на устойчивых элементарных вращениях, обладающие абсолютной сходимостью и гарантированной точностью независимо от свойств «обусловленности» матриц;

4. Разработаны быстродействующие методы определения собственных чисел трехдиагональной симметричной матрицы как корней высокой точности ее «характеристического» уравнения;

5. Созданы быстродействующие алгоритмы «затухающего маятника» метода «диакоптики» спектра собственных чисел больших матриц в трехдиагональной симметричной форме и в форме Хессенберга, реализующего процедуру декомпозиции матрицы «по частям» путем последовательного приведения (разделения) блочно-диагональной формы к диагональной и форме Шура соответственно;

6. Впервые сформулирована физическая постановка задачи редукции > температурного распределения неоднородно нагретых частиц по их интегральному тепловому спектру и разработан способ ее реализации. Установлено, что эта задача относится к хорошо обусловленным задачам по Тихонову, допускающим процедуру прямого обращения при уровне приведенных ко входу шумов фотоприемника AW^k-AT, где АТ-разрешающая способность по температуре. При этом спектрофотометр,

' регистрирующий излучение, должен быть тарирован по эталонным источникам теплового излучения в соответствии с условием ||/11Ш117'Ш1 -ЯтюГШ1В||<^, которое связано с законом смещения Вина и определяет вычислительную устойчивость метода;

7. Техническая новизна полученных результатов подтверждена патентом на изобретение нового способа определения температуры частиц конденсированной фазы движущихся гетерогенных объектов и результатами экспериментальных исследований на установках детонационно-газового напыления.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Аникеев B.C., Иордан В.И. Метод декомпозиции матрицы Фока и синтеза решения для электронной структуры сложных молекулярных систем//Современное состояние теории атомов и молекул: Тез. докл. науч. конф.- Вильнюс: Изд-во ВГУ, 1979.-Ч. 2,- с. 192-193. *

2. Аникеев B.C., Иордан В.И. Асимптотические свойства многочастичных волновых функций и особенности базисных наборов в_ многоцентровых расчетах// 10-ое Сибирское совещание по спектроскопии: Тез. докл. науч. конф. -Томск: Изд-во ТГУ, 1981,- с. 87.

3. Иордан В.И. Новые алгоритмы диагонализации трехдиагональных симметричных матриц//Рукопись представлена АлтПИ. Деп. в ВИНИТИ 8.02.84, № 752-84,- 16 с.

4. Иордан В.И. Эффективный метод для нахождения корней уравнений// 44-ая науч. конф. студентов, аспирантов и профессорско-преподавательского состава института: Тез.докл.- Барнаул: Изд-во АлтПИ, 1986. с. 35.

5. Иордан В.И. Применение алгоритмов и программ диагонализации в задачах динамики решетки//План арные дефекты в упорядоченных сплавах и интерметаллидах: Тез.докл. науч. конф.-Барнаул: Изд-во АлтПИ, 1987.-е. 15-16.

6. Демьянов Б.Ф., Иордан В.И., Минзберг В.А., Старостенков М.Д. Атомная структура кластеров в системе "№—АГ'// Ппанарные дефекты в упорядоченных сплавах и интерметаллидах: Тез. докл. науч. конф.- Барнаул: Изд-во АлтПИ, 1987.-С.87-88.

7. Иордан В.И. Метод коррекции линейной интерполяции для нахождения корней уравнений//Рукопись представлена АлтПИ. Деп. в ВИНИТИ 27.06.88, №

* 5П6-В88,- 10 с.

8. Иордан В.И. Сравнение некоторых алгоритмов диагонализации трехдиагональных симметрических матриц//Рукопись представлена АлтПИ.

-„ Деп. в ВИНИТИ 27.06.88, № 5117-В88,- 26 с.

9. Иордан В.И. Модифицированный метод Гивенса//Рукопись представлена АлтПИ. Деп. в ВИНИТИ 27.06.88, № 5118-В88.- 11 с.

10. Госьков П.И., Гуляев П.Ю., Иордан В.И. Устойчивые быстродействующие алгоритмы диагонализации матриц в задачах обработки изображений//Координатно-чувствительные фотоприемники и оптико-электронные устройства на их основе: Тез. докл. науч. конф - Барнаул: Изд-во АлтПИ, 1989,-ч. 1.-е. 3-5.

11. Госьков П.И., Еремин Е.А., Иордан В.И., Сухенко А.А., Хорошевский В.М. Измерение геометрических параметров изделий с помощью оптического анализа поверхностных неоднородностей.//Координатно-чувствительные фотоприемники и оптико-электронные устройства на их основе: Тез. докл. науч. конф-Барнаул: Изд-во АлтПИ, 1989.-Ч. 1.-е. 95-96.

12. Иордан В.И., Шипунова Е.А. Цифровая фильтрация спектра неравновесного теплового излучения потока частиц//Оптические сканирующие устройства и измерительные приборы на их основе: Тез. докл. науч. конф. - Барнаул: Изд-во АлтПИ, 1990. - ч. 1'.- с. 76-77.

13. Иордан В.И. Метод диакоптики спектра собственных чисел матриц в форме Хессенберга//Рукопись представлена АГУ. Деп. в ВИНИТИ 20.06.90, № 3536-В90- 18 с.

14. Аникеев В.С., Иордан В.И. Применение эффективных алгоритмов ^ диагонализации матриц в задачах квантовой химии// 10-ое Всесоюзное

совещание по квантовой химии, координационное совещание по квантовой химии: Тез. докл. науч. конф. - Казань: Изд-во КГУ, 1991. - с. 284.

15. Иордан В.И. Алгоритм диакоптики спектра собственных чисел матриц в форме Хессенберга//Международная конф. по алгебре, посвященной памяти А.И. Ширшова: Тез. докл. по логике и универсальным алгебрам, прикладной алгебре - Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1991.-е. 52.

16. Госьков П.И., Гуляев П.Ю., Цибиров А.М., Иордан В.И. Об оценке средней скорости высокотемпературных гетерогенных потоков времяпролетным методом//Первая междунар. конф. «Нанотехнология, наноэлектроника и криоэлектроника» («ННК-92»): Тез. докл. - Барнаул, 1992 - с. 136-138.

17. Госьков П.И., Гуляев П.Ю., Цибиров А.М., Иордан В.И., Халина Т.М. Оценка погрешности при определении скорости высокотемпературных гетерогенных потоков по их собственному излучению//Первая междунар. конф.

«Нанотехнология, наноэлектроника и криоэлектроника» («ННК-92»): Тез. докл. -Барнаул, 1992.-е. 139-144.

18. Иордан В.И. О сходимости метода диакоптики спектра собственных чисел трехдиагональных симметрических матриц//Третья междунар. конф. памяти М.И. Каргалолова; Тез. докл.- Красноярск: Изд-во «ИНОПРОФ», 1993 - с. 135.

19. Иордан В.И. Алгоритм «затухающего маятника» метода диакоптики спектра собственных чисел матриц в форме Хессенберга//Международная конф. «Всесибирские чтения» по математике и механике: Тез. докл.-Томск: Изд-во ТГУ, 1997.-Т.1. «Математика».-с. 198.

20. Гуляев П.Ю., Евстигнеев В.В., Иордан В.И., Таньков A.B. Способ определения температуры частиц конденсированной фазы движущихся гетерогенных объектов. Патент РФ № 2107899 на изобретение по заявке № 96120480 (026800), G 01 J 3/30, G 01 К 13/04, приоритет от 07.10.96- опубл. 27.03.98 в Бюл.И.№ 9.

21. Гуляев П.Ю., Иордан В.И., Карпов И.Е., Еськов A.B. Ошибка восстановления функции распределения частиц по размерам в методе малых углов//Вестник АлтГТУ им. И.И. Ползунова № 2/1999 - Приложение к журналу «Ползуновский альманах». - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1999. - № 2 - с. 57-58.

22. Иордан В.И., Евстигнеев В.В. Применение метода «диакоптики» спектра собственных чисел для матриц кластеров в задачах расчета свойств неупорядоченных систем//Вестник АлтГТУ им. И.И. Ползунова № 2/1999 -Приложение к журналу «Ползуновский альманах». - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1999.-№2.-с. 137-144.

23. Гуляев П.Ю., Еськов A.B., Иордан В.И., Карпов И.Е. Устойчивость решения обратной задачи при диагностике аэродисперсных струй методом малых углов//Международная науч.-техн. конф. «Совершенствование быстроходных ДВС»: Тез. докл. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1999. - с. 20-21.

24. Jordan V.l. The Method of Eigenvalue Spectrum Diacoptic Process for Real Hessenberg Matrices//Proceedings of the VIII-th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET*2000), Kharkov, Ukraine, September 12-15, 2000, IEEE Catalog Number 00EX413, vol. 2 - p. 688690.

Подписано в печать 25.03.2003. Печать РИЗО.

Объем 1 п.л.. Бесплатно. Бумага офсетная.

Заказ № /// Тираж 100 экз.

Типография Алтайского государственного университета, 656049, Барнаул, ул. Димитрова, 66.

с.

f

F %

I

I

I

1

I

*

I >

2ооН 6 02 4

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ МАТРИЦ В ЗАДАЧАХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ.

1.1. Матричные методы редукции в задачах оптической диагностики.

1.1.1. Основные задачи и схемы измерений в оптической диагностике дисперснофазных струй

1.1.2. Обобщенная математическая модель измерения параметров дисперсных веществ и функциональная схема прибора компьютерной диагностики.

1.1.3. Постановка задачи редукции распределенных параметров и методы решения обратных задач в оптической диагностике.

1.2. Методы обработки изображений и сигналов.

1.2.1. Важные особенности постановки задач спектрального анализа сигналов.

1.2.2. Обычные методы спектрального анализа.

1.2.3. Методы, основанные на моделях исследуемых процессов.

1.2.4. Моделирование сигналов на основе сингулярного разложения.

1.3. Анализ устойчивости определения параметров линейной модели эмпирической зависимости по методу «наименьших квадратов».

1.4. Анализ методов определения собственных значений действительных матриц.

1.4.1. Методы приведения матриц общего вида к форме Хессенберга. Анализ их устойчивости и быстродействия.

1.4.2. Алгоритмы QR-метода. Анализ их быстродействия и точности.

1.4.3. Методы определения собственных значений матриц компактной формы с помощью корней характеристического уравнения.

1.4.4. Апостериорные оценки погрешности нахождения собственных значений действительных матриц общего вида.

ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВЫЕ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПРИВЕДЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ К КОМПАКТНОЙ

ФОРМЕ И ДИАГОНАЛИЗАЦИИ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ.

2.1. Модифицированный метод Гивенса.

2.1.1 Математическое обоснование модификации метода Гивенса.

2.1.2. Анализ вычислительных погрешностей модифицированного алгоритма Гивенса.

2.1.3. Анализ результатов численных экспериментов.

2.2. Алгоритмы диагонализации трехдиагональных симметричных матриц.

2.2.1 .Математическое обоснование алгоритмов диагонализации трехдиагональных симметричных матриц.

2.2.1.1. Алгоритм MS3DTG

2.2.1.2. Алгоритм MS3DTGJac

2.2.2. Анализ вычислительных погрешностей алгоритмов MS3DTG90, MS3DTGJac.

2.2.3. Сравнение алгоритмов диагонализации трехдиагональных симметрических матриц по результатам численных экспериментов.

2.2.3.1. Анализ точности алгоритмов MS3DTG90, MS3DTGJac и

QR-метода.

2.2.3.2. Анализ быстродействия алгоритмов MS3DTG90, MS3DTGJac и QR-метода.

2.3. Алгоритмы диагонализации заполненных симметричных матриц.

2.3.1. Алгоритм MSTG90.

2.3.2. Алгоритм MSTGJac.

2.3.3. Анализ результатов численных экспериментов.

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ "КОРРЕКЦИИ ЛИНЕЙНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ" И "КОРРЕКЦИИ КРАТНОГО КОРНЯ" ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАТРИЦ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА.

3.1. Математическое обоснование методов.

3.2. Анализ быстродействия и точности метода "коррекции линейной интерполяции" (МКЛИ) и метода "коррекции кратного корня" (МККК).

3.2.1. Анализ скорости сходимости методов.

3.2.2. Анализ точности методов.

3.2.3. Численные примеры.

ГЛАВА 4. МЕТОД ДИАКОПТИКИ СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ КОМПАКТНОГО ВИДА.

4Л. Алгоритм "затухающего маятника" метода "диакоптики" спектра собственных чисел трехдиагональных симметрических матриц.

4.1.1. Математическое обоснование алгоритма.

4.1.2. Анализ вычислительных погрешностей и быстродействия алгоритма "затухающего маятника" метода диакоптики спектра собственных чисел трехдиагональных симметрических матриц.

4.2. Алгоритм "затухающего маятника" метода диакоптики спектра собственных чисел матриц в форме Хессенберга.

ГЛАВА 5. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ДИАГОНАЛИЗАЦИИ И ДИАКОПТИКИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ.

5.1. Измерение геометрических параметров изделий с помощью оптического анализа поверхностных неоднородностей.

5.2. Интегральный метод измерения скорости частиц двухфазного потока.

5.3. Интегральный метод определения температурного распределения частиц дисперснофазных струй.

5.3.1. Метод редуцирования температурного распределения частиц по их интегральному тепловому спектру.

5.3.1.1. Постановка задачи и аналитическая модель измерения.

5.3.1.2. Физическая модель измерения и методика калибровки.

5.3.2. Автоматизированный спектрофотометр "Диагностик-Т" на базе интегральной МДП-фотодиодной линейки.

5.4. Диагностика дисперсности в процессе впрыска топлива.

5.5. Метод "диакоптики" спектра энергий и электронной структуры в кластерных расчетах неупорядоченных систем.

ВЫВОДЫ.

Актуальность исследований. В настоящее время существо проблем в технике физического эксперимента в большей степени связано с совершенствованием техники регистрации и обработки сигналов, автоматизацией физического эксперимента с повышением его технологичности, обеспечивающей увеличение информативности с понижением трудоемкости затрат на него. Сложные дорогостоящие физические эксперименты (например, в физике атомного ядра и элементарных частиц) диктуют необходимость быстродействующей обработки больших массивов экспериментальных данных для достижения цели проведения эксперимента в реальном масштабе времени. Поэтому актуальным современным направлением является компьютерный физический эксперимент с использованием «интеллектуальных инструментов», другими словами, метакомпьютера - виртуального сверхкомпьютера в виде глобальной компьютерной сети распределенных вычислений для проведения анализа, обработки и визуализации данных, поступающих с датчиков, и требующих специальных средств взаимодействия программных компонентов и вычислительных систем, физически размещенных в научных центрах разных стран.

Обеспечение возможности работы измерительного оборудования и высокопроизводительных систем обработки информации в реальном масштабе времени достигается за счет применения параллельных вычислительных многопроцессорных систем на базе параллельных матричных процессоров в виде СБИС, встроенных в датчики измерительных устройств и архитектура которых использует структуру методов матричной алгебры. Например, методы решения множества линейных алгебраических задач, матричные методы цифровой фильтрации сигналов определили архитектуру «систолических» матричных процессоров конвейерных вычислений (встречно-поточных процессоров), процессоров «волновой обработки», высокопараллельных процессоров с перестраиваемой конфигурацией.

При решении многих физических задач интегро-дифференциальные уравнения, описывающие математическую модель измерений физического эксперимента (либо физической системы), сводятся к матричным уравнениям, которые необходимо редуцировать с определенной точностью. Данная проблема связана с применением и разработкой методов регуляризации, использующих ортогональные методы приведения больших матриц к компактному виду (почти треугольной, треугольной, трехдиагональной, блочно-диагональной, диагональной), диагонализацией с определением их «энергетического» спектра, либо с их обращением. Например, в оптических обратных задачах, в статистической обработке экспериментальных данных, а также, и при разработке специализированных матричных процессоров на базе СБИС, устойчивость обращения матриц достигается ортогональными преобразованиями, реализующими разложение по сингулярным (собственным) значениям (разложение по энергетическому спектру). Хорошо известна, например, роль трехдиагональных матриц в теории ортогональных многочленов, к которым сводятся современные алгоритмы сплайновых аппроксимаций эмпирических зависимостей, в разностных методах решения задач математической физики, в расчетах энергетического спектра и электронной структуры «цепочных» молекул. Для них необходимы численно устойчивые алгоритмы определения собственных чисел с гарантированной точностью.

Состояние вопроса. Недостаточно развитое состояние в области создания ортогональных методов, которые характеризовались бы широкой универсальностью применения, нечувствительностью к свойству «плохой обусловленности» матриц, побуждает предпринимать попытки эффективно решить эту проблему. По данной проблеме широко известны работы зарубежных и отечественных научных школ под руководством Дж.Х. Уилкинсона, Б. Парлетта, В.В. Воеводина, С.К. Годунова, В.Н. Фадеевой, Д.К. Фадеева, А.Н. Тихонова и многих других авторов. Практически отсутствуют какие-либо эффективные методы декомпозиции задачи на собственные числа.

В качестве примеров актуальных задач, в которых и до настоящего времени существует потребность в совершенствовании методов диагонализации, декомпозиции и приведения к компактному виду больших матриц, можно привести следующие:

1) методы статистического анализа экспериментальных данных и планирования эксперимента, линейного прогнозирования и моделирования процессов измерений в технике физического эксперимента;

2) современные методы обработки сигналов: калмановская и винеровская фильтрация, адаптивная трансверсальная фильтрация, спектральный анализ с использованием сингулярного разложения, цифровая обработка изображений и распознавание образов с помощью двумерных унитарных преобразований, кодирование сигналов в системах передачи информации, проблемы устойчивости систем управления и связи, обработка сигналов в фазированных антенных решетках и другие;

3) квантовомеханические расчеты атомных и молекулярных систем, кластерные методы в задачах физики твердого тела;

4) теория колебаний и теория распространения волн в различных средах и многие другие.

Например, в квантовомеханических расчетах молекулярных систем и кластеров твердого тела практически до 70 - 80% «машинного» времени затрачивается на диагонализацию матриц и для «больших» систем с большим порядком матриц (до десятка тысяч и выше) практически не реально за один непрерывный счет на ЭВМ получить результаты (проблема «метакомпьютинга»). Поэтому в настоящее время актуальным является решение проблемы декомпозиции задачи диагонализации матриц «по частям». То есть задача сводится к разработке такого метода, осуществляющего инвариантное преобразование большой матрицы к блочно-диагональному виду, в результате которого появилась бы возможность каждый матричный блок более низкого порядка диагонализировать «по частям» в рамках «однопроцессорной системы» по очереди, либо параллельно в рамках «многопроцессорной системы».

Цель исследований заключается в расширении возможностей и совершенствовании методов экспериментальной физики за счет создания устойчивых, с гарантированной точностью и высоким быстродействием методов приведения к компактному виду, диагонализации и декомпозиции матриц большой размерности, представляющих массивы многомерных экспериментальных данных в матричных измерительных уравнениях.

Задачи исследования;

1. Определение широкого класса задач экспериментальной физики, использующих модель измерительного уравнения в матричном виде, с анализом погрешностей вычисления собственных значений матриц большой размерности;

2. Разработка быстродействующих методов диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц, обладающих абсолютной сходимостью и гарантированной точностью независимо от свойств «обусловленности» матриц;

3. Создание быстродействующего метода декомпозиции «компактной» формы матриц большой размерности.

4. Разработка методов для решения обратных спектральных задач экспериментального исследования температурного распределения частиц в гетерогенных потоках.

Научная новизна результатов исследований:

Получены «апостериорные» оценки «ошибки смещения», «стандартного отклонения» и максимальной погрешности вычисленных различными методами собственных чисел действительных матриц, использующих инварианты матриц: след (S) и евклидову норму (Е).

Разработан «модифицированный» метод Гивенса, который за счет использования свойств рекуррентности пересчета определенной части элементов матрицы сокращает количество операций умножений в 4/3 раза, а, значит, имеет более высокое быстродействие, чем традиционный алгоритм Гивенса.

Разработаны алгоритмы диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц, сходимость которых в отличие от наиболее эффективных, например, алгоритмов QR-метода является абсолютной и точность не зависит от свойств «обусловленности» исходных матриц.

Разработаны быстродействующие метод «коррекции линейной интерполяции» и метод «коррекции кратного корня» для определения корней «характеристического» уравнения трехдиагональной симметричной матрицы, позволяющие вычислять собственные числа матриц с высокой точностью и в случае «патологически близких» корней (с учетом ограниченности «машинной» точности, практически кратных корней).

Разработаны алгоритмы «затухающего маятника» метода «диакоптики» спектра собственных чисел симметричных трехдиагональных матриц и матриц в форме Хессенберга, осуществляющие декомпозицию матриц «по частям», характеризующиеся замедлением сходимости процесса диакоптики лишь для «плохо обусловленных» матриц.

Новизна технических решений. Разработан принципиально новый способ определения температуры частиц конденсированной фазы движущихся гетерогенных объектов. Новизна технического решения подтверждена патентом № 2107899 на изобретение, зарегистрированным в Госреестре изобретений (РОСПАТЕНТ), Москва, 27.03.1998.

Методы исследования.

В диссертации использованы методы экспериментальной и теоретической физики, методы оптической диагностики, теория взаимодействия светового излучения с веществом, вычислительные методы линейной алгебры, численное моделирование и методы решения обратных задач, теория вероятности и случайных процессов, методы статистической обработки данных.

На всех этапах исследований проводилось сопоставление теоретических выводов и оценок с результатами компьютерного и физического эксперимента.

Практическая ценность работы:

Полученные апостериорные оценки погрешностей вычисленных собственных значений действительных матриц, которые являются оценками «снизу», наряду с «традиционными» априорными оценками «сверху», которые часто могут оказаться «завышенными», позволяют более достоверно оценивать погрешности вычисленных собственных значений.

Разработанный «модифицированный» метод Гивенса, практически не уступающий в отношении быстродействия методу Хаусхолдера как наиболее эффективному методу приведения действительной матрицы общего вида к компактной форме, характеризуется гарантированной численной устойчивостью в отличие от метода Хаусхолдера и поэтому может быть рекомендован к широкому применению.

Разработанные алгоритмы диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц могут быть рекомендованы в различных прикладных задачах на собственные значения для матриц большой размерности ( п > 1 ООО ).

Разработанные быстродействующие метод «коррекции линейной интерполяции» и метод «коррекции кратного корня» для определения корней «характеристического» уравнения трехдиагональной симметричной матрицы позволяют вычислять собственные числа матриц с высокой точностью и в случае «патологически близких» и кратных корней;

Разработанные алгоритмы «затухающего маятника» метода «диакоптики» спектра собственных чисел трехдиагональных матриц и матриц в форме Хессенберга, осуществляющие декомпозицию матриц «по частям», позволяют для «сверхбольших» матриц решать задачу на собственные числа.

Реализация результатов.

Для всех предлагаемых к широкому использованию методов и алгоритмов, изложенных в диссертационной работе, разработано соответствующее программное обеспечение на алгоритмических языках ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ.

Проведено их детальное тестирование в ходе численных экспериментов, в результате которого получено подтверждение всех теоретических оценок и выводов.

На новый способ определения температуры частиц конденсированной фазы движущихся гетерогенных объектов получен патент РФ № 2107899, использующий предлагаемые в работе матричные методы.

Разработанные методы, алгоритмы и соответствующие им программы использовались при решении конкретных прикладных задач, результаты которых отражены в публикациях.

На защиту выносятся следующие основные научные результаты:

1. Методика «апостериорных» оценок погрешности вычисляемых различными методами собственных значений действительных матриц;

2. Модифицированный метод Гивенса для приведения матрицы общего вида к компактной форме и быстродействующие методы диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц, основанные на устойчивых элементарных вращениях, обладающие абсолютной сходимостью и гарантированной точностью независимо от свойств «обусловленности» матриц;

3. Быстродействующие алгоритмы «затухающего маятника» метода диакоптики спектра собственных чисел трехдиагональных симметричных матриц и матриц в форме Хессенберга, реализующего процедуру декомпозиции матрицы путем последовательного приведения блочно-диагональной формы к диагональной и форме Шура соответственно.

4. Метод редукции спектральной задачи экспериментального исследования температурного распределения частиц в гетерогенных потоках.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 24 печатных работах, получен один патент на изобретение.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих всероссийских и международных конференциях и совещаниях: Всесоюзная научная конференция «Современное состояние теории атомов и молекул», г. Вильнюс, 1979г., Всесоюзная научная конференция «X Сибирское совещание по спектроскопии», г. Томск, 1981 г., Всесоюзная научная конференция «Планарные дефекты в упорядоченных сплавах и интерметалл идах», г. Барнаул, 1987г., Всесоюзная научная конференция «Координатно-чувствительные фотоприемники и оптико-электронные устройства на их основе», г. Барнаул, 1989г., Всесоюзная научная конференция «Оптические сканирующие устройства и измерительные приборы на их основе», г. Барнаул, 1990 г., 10-ое Всесоюзное координационное совещание по квантовой химии, г. Казань, 1991г., Международная конференция по алгебре памяти А.И. Ширшова, г. Новосибирск, 1991г., Первая международная конференция «Нанотехнология, наноэлектроника и криоэлектроника», г. Барнаул, 1992 г., Третья международная конференция памяти М.И. Каргаполова, г. Красноярск, 1993 г., Международная конференция «Всесибирские чтения по математике и механике», г. Томск, 1997г., Международная научно-техническая конференция «Совершенствование быстроходных ДВС», Барнаул, 1999 г., 8-ая международная конференция «Математические методы в электромагнитной теории», г. Харьков, Украина, 2000г.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 197 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка, 11 таблиц и список литературы из 102 наименований.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

В рамках выбранной цели исследований и поставленных задач сделаны и получены следующие выводы и результаты:

1. Определен класс задач экспериментальной физики, использующих модель измерительного уравнения в матричном виде, проведен анализ погрешностей вычисления собственных значений матриц большой размерности и получены их апостериорные оценки «снизу»: оценка ошибки смещения £с , минимальная оценка стандартного отклонения crmin и максимальная погрешность crmax вычисленных собственных чисел действительных матриц. Эти оценки выглядят так:

1 " % -Е01 смеЩ =(^1 = -а ), amin=-j^-, <7max = t ■ crmin, где S0,E0 -след и евклидова норма исходной матрицы; S],E] - след и евклидова норма преобразованной матрицы; t -коэффициент Стъюдента.

2. Разработан быстродействующий модифицированный метод Гивенса для приведения действительной матрицы общего вида к матрице в форме Хессенберга, в частности, приводящий заполненную симметричную матрицу к симметричной трехдиагональной форме;

3. Разработаны быстродействующие методы диагонализации симметричных трехдиагональных и заполненных матриц, основанные на устойчивых элементарных вращениях, обладающие абсолютной сходимостью и гарантированной точностью независимо от свойств «обусловленности» матриц.

4. Разработаны быстродействующие методы определения собственных чисел трехдиагональной симметричной матрицы как корней высокой точности ее «характеристического» уравнения;

5. Созданы быстродействующие алгоритмы «затухающего маятника» метода «диакоптики» спектра собственных чисел больших матриц в трехдиагональной симметричной форме и в форме Хессенберга, реализующего процедуру декомпозиции матрицы «по частям» путем последовательного приведения (разделения) блочно-диагональной формы к диагональной и форме Шура соответственно.

6. Впервые сформулирована физическая постановка задачи редукции температурного распределения разнородно нагретых частиц по их интегральному тепловому спектру и разработан способ ее реализации. Установлено, что она относится к хорошо обусловленным задачам по Тихонову, допускающим процедуру прямого обращения при уровне приведенных ко входу шумов фотоприемника AW < к ■ AT, где AT- разрешающая способность по температуре. При этом спектрофотометр, регистрирующий излучение, должен быть тарирован по эталонным источникам теплового излучения в соответствии с условием ||Лт1ПГтах-ЛтахГтт|< которое связано с законом смещения Вина и определяет вычислительную устойчивость метода.

7. Техническая новизна полученных результатов подтверждена патентом на изобретение нового способа определения температуры частиц конденсированной фазы движущихся гетерогенных объектов и результатами экспериментальных исследований на установках детонационно-газового напыления.

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. литературы, 1978.- 288 с.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Думова А.А., Майоров Л.В., Мостовой В.И. Новый метод восстановления истинных спектров.- Атомная энергия, 1965, 18, №6.

3. Морозов В.А. О принципе невязки при решении несовместных уравнений методом регуляризации А.Н. Тихонова.- ЖВМ и МФ, 1973,13, № 5.

4. Тихонов А.Н., Аликаев В.В., Арсенин В.Я., Думова А.А. Определение функции распределения электронов плазмы по спектру тормозного излучения.- Журнал эксп. и теор. физики, 1968, 55, № 5.

5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии,- М.: Наука, 1987.

6. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы.- Новосибирск: Наука, 1987.

7. Кудинов В.В., Пекшев П.Ю., Белащенко В.Е., Солоненко О.П., Сафиуллин В.А. Нанесение покрытий плазмой.- М.: Наука, 1990.- 408 с.

8. Жуков М.Ф. , Солоненко О.П. Высокотемпературные запыленные струи в процессах обработки порошковых материалов / Отв. ред. В. Е. Накоряков.-Новосибирск: ИТ СО АН СССР, 1990.- 516 с.

9. П.Климин В.Ф., Папырин А.Н., Солоухин Р.И. Оптические методы регистрации быстропротекающих процессов.- Новосибирск: Наука, 1980.- 208 с.

10. Дубнищев Ю.Н., Ринкевичюс Б.С. Методы лазерной доплеровской анемометрии.- М.: Наука, 1982.- 303 с.

11. Ринкевичюс Б.С.Лазерная анемометрия.- М.:Энергия, 1987.-289 с.

12. Дубовик А.С. Фотографическая регистрация быстропротекающих процессов. -М.: Наука, 1984. 320 с.

13. Фотометрия быстропротекающих процессов. Справочник // JT.A. Новицкий, Б.М. Степанов. М.: Радио и связь, 1983. - 296 с.

14. Нестерихин Ю.Е., Солоухин Р.И. Методы скоростных измерений в газодинамике и физике плазмы.- М.: Наука, 1967.

15. Наац И.Э. Некорректные обратные задачи лазерного зондирования атмосферных аэрозолей // Дистанционные методы исследования атмосферы. Новосибирск, 1980. С. 41-49.

16. Г. ван де Хюлст. Рассеяние света малыми частицами. М.: ИЛ, 1961. - 536 с.

17. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. М.: Мир, 2 т. 1981.

18. Шифрин К.С., Перельман А .Я., Волгин В.М. Зависимость точности обращения по методу спектральной прозрачности от используемой оптической информации // Опт. и спектр. 1980. Т. 49, №5. С. 908-911.

19. Submillisecond six-wavelength pyrometr for high temperature measurements in the range 2000 to 5000 K. Hiernaut J.P., Beukers В., Heinz W., Selfslag R., Hoch M., Ohse R.W. H High Temperatures- High Pressures, 1986, 18, №6, pp. 617-625.

20. Дейч M.E., Филипов Г.А. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энергия, 1968. - 424 с.

21. Новицкий П.В. О тесной и принципиальной связи точности, чувствительности и быстродействия измерительных устройств // Измерит, техника, № 1, 1964,-С. 29-31.

22. Казанцев Г.Д., Курячий М.И., Пустынский И.Н. Измерительное телевидение.-М.: Высш. шк., 1994.- 288 с.

23. ГОСТ 14008-82. (СТ СЭВ 1061-78) Лампы температурные образцовые. Типы и основные параметры. Общие технические требования.

24. ГОСТ 28243-89 Пирометры. Общие технические требования.

25. Поскачей А.А., Чубаров Е.П. Оптико-электронные системы измерения температуры.- М.: Энергия, 1979.- 208 с.

26. Свет Д.Я. Оптические методы измерения истинных температур,- М.: Наука, 1982.- 296 с.

27. Линевег Ф. Измерение температур в технике.- Справочник. Пер. с нем., 1980.544 с.

28. Катыс Г.П. Методы и приборы для измерения параметров нестационарных тепловых процессов. М.: Изд-во машиностроительной литературы, 1959.218 с.

29. Киренков И.И. Метрологические основы оптической пирометрии.- М.: Изд-во стандартов, 1976.

30. Beck M.S., Lee К.Т., Stanley-Wood N.G. A new technique for evaluating the size of particles flowing in a turbulent fluid.- Powder Tech. 1973, v.8, p. 85-90.

31. Новицкий П.В. Основы информационной теории измерительных устройств.-Д.: Энергия, 1968.- 248 с.

32. Порфирьев Л.Ф. Теория оптико-электронных приборов и систем.- Л.: Машиностроение, Ленингр. отд. 1980.- 272 с.

33. Поскачей А.А., Чубаров Е.П. Оптико-электронные системы измерения температуры.- М.: Энергоиздат.-1988,- 247 с.

34. Зб.Чернин С.М., Коган А.В. Измерение температуры малых тел пирометрами излучения.-М.: Энергия, 1980.

35. Температурные измерения. / О.А. Геращенко, А.Н. Гордов и др. Киев: Наукова думка, 1989.

36. Приборы и методы температурных измерений. / Б.Н. Олейник, С.И. Лаздина, В.П. Лаздин и др.- М.: Изд-во стандартов, 1987.

37. Свет Д.Я. Объективные методы высокотемпературной пирометрии в непрерывном спектре излучения.- М.: Наука, 1968.- 236 с.

38. Справочник по приемникам оптического излучения. / В.А. Волков, В.К. Вялов, Л.Г. Гассанов и др. : под ред. Л.З. Криксунова и Л.С. Кременчугского.- Киев : Техшка 1985.- 216 с.

39. Фотоприемники видимого и РЕК диапазонов. Пер. с англ./ Под ред. В.И. Стафеева,- М.: Радио и связь, 1985.- 328 с.

40. Аксененко М.Д., Бараночников М.Л. Приемники оптического излучения: Справочник.- М.: Радио и связь, 1987.- 296 с.

41. Бароненкова Ю.Д., Жагулло О.М., Мазо А.И. Методы и средства высокоточных спектрометрических и радиометрических измерений.- Л.: Энергия, 1980.- С. 13-21

42. Mie G. Beitrage zur Optik truber Medien, speziell kolloidaler Metallosunden. Annalen der Physik, Bd. 25, № 2, S. 377, 1908.

43. Шифрин K.C. Рассеяние света в мутной среде.-М.: Гостехиздат, 1951.-288 с.

44. Stratton I., Houghton H. G. A theoretical investigation of the transmission of light through fog.// Physical Review.-Vol. 38,1931.-159p.

45. Полупроводниковые формирователи сигналов изображения. Под ред. П. Йесперса, Ф. Ван де Виле, М. Уайта. Пер. с англ. М.: Мир, 1979. 575 с.

46. Сарычев В.Т. Спектральное оценивание методами максимальной энтропии.-Томск: Изд-во Том. ун-та, 1994.-257 с.

47. Сверхбольшие интегральные схемы и современная обработка сигналов: Пер. с англ./Под ред. С. Гунна, X. Уайтхауса, Т. Кайлата.- М.: Радио и связь, 1989.472 е.: ил.

48. Прэтт У. Цифровая обработка изображений.- М: Мир, т.1, 1982.- 310 е.; т.2, 1982.- 790 с.

49. Журавин Л.Г., Мариненко М.А., Семенов Е.И. и др. Методы электрических измерений/Под ред. Э.И. Цветкова.-JI.: Энергоатомиздат, 1990.- 288 с.

50. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений- М.: Наука, 1970.- 564 с.

51. Уилкинсон Дж.Х., Райнш. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра М.: Машиностроение, 1976.- 390 с.

52. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы.-М.: Мир, 1983.-237 е.?

53. Воеводин В.В. Численные методы алгебры (теория и алгоритмы).- М.: Наука, 1966.-248 с.

54. Воеводин В.В. Ошибки округления и устойчивость в прямых методах линейной алгебры М.: ВЦ МГУ, 1969 - 153 с.

55. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры- М.: Наука, 1977.-304 с.

56. Воеводин В.В. Линейная алгебра М.: Наука, 1980 - 400 с.

57. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений Новосибирск: Наука, 1980.- 177 с.

58. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах.-Новосибирск: Наука, 1992 359 с.

59. Годунов С.К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры/Ин-т математики.- Новосибирск: Научная книга, 2000.-310 с.

60. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры М. -Л.: Физматгиз, 1963 - 734 с.

61. Кублановская В.Н. О некоторых алгоритмах для решения полной проблемы собственных значений-Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1961, т. 1, № 4, с. 555-570.

62. Кублановская В.Н. Решение проблемы собственных значений для произвольной матрицы.- Тр. мат. ин-та АН СССР, 1962, т. 66, с. 113 135.

63. Икрамов Х.Д. Об использовании базисов Шура при решении полиномиальных матричных уравнений.- В кн.: Методы и алгоритмы в численном анализе-М.: МГУ, 1982.-е. 127 -130.

64. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. Ортогональные методы М.: Наука, 1984 - 190 с.

65. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трехдиагональные матрицы и их приложения-М.: Наука, 1985.-207 с.

66. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы.- М.: Мир, 1977 189 с.

67. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов.- М.: Наука, 1986.- 230 с.

68. Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру.-Новосибирск: Наука, 1991 228 с.

69. Самарский А.А. Введение в численные методы М.: Наука, 1983, - 348 е.?

70. Сборник научных программ на Фортране. Вып. 2. Матричная алгебра и линейная алгебра. Нью-Йорк, 1960 1971, пер. с англ. (США).- М.: Статистика, 1974.-223 с.

71. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений М.: Мир, 1980 - 279 с.

72. Форсайт Дж., Моулер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений-М.: Мир, 1969 167 с.

73. Вычислительные методы линейной алгебры. Труды института математики, СО АН СССР, Т. 6.- Новосибирск: Наука, 1985.- 208 с.

74. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений М.: Мир, 1984.- 257 е.?

75. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры М.: Наука, 1970 - 276 е.?

76. Беллман Р. Введение в теорию матриц М.: Наука, 1969 - 367 с.

77. Аникеев B.C., Иордан В.И. Метод декомпозиции матрицы Фока и синтеза решения для электронной структуры сложных молекулярных систем//Современное состояние теории атомов и молекул: Тез. докл. науч. конф.-Вильнюс: Изд-во ВГУ, 1979.-4. 2.-е. 192-193.

78. Аникеев B.C., Иордан В.И. Асимптотические свойства многочастичных волновых функций и особенности базисных наборов в многоцентровых расчетах// 10-ое Сибирское совещание по спектроскопии: Тез. докл. науч. конф. Томск: Изд-во ТГУ, 1981.- с. 87.

79. Иордан В.И. Новые алгоритмы диагонализации трехдиагональных симметричных матриц//Рукопись представлена АлтПИ. Деп. в ВИНИТИ 8.02.84, № 752-84.- 16 с.

80. Иордан В.И. Эффективный метод для нахождения корней уравнений// 44-ая науч. конф. студентов, аспирантов и профессорско-преподавательского состава института: Тез.докл.-Барнаул: Изд-во АлтПИ, 1986. с. 35.

81. Иордан В.И. Применение алгоритмов и программ диагонализации в задачах динамики решетки//Планарные дефекты в упорядоченных сплавах и интерметаллидах: Тез.докл. науч. конф.-Барнаул: Изд-во АлтПИ, 1987.-е. 1516.

82. Демьянов Б.Ф., Иордан В.И., Минзберг В.А., Старостенков М.Д. Атомная структура кластеров в системе "Ni-Al"// Планарные дефекты в упорядоченных сплавах и интерметаллидах: Тез. докл. науч. конф.- Барнаул: Изд-во АлтПИ, 1987.-С.87-88.

83. Иордан В.И. Метод коррекции линейной интерполяции для нахождения корней уравнений//Рукопись представлена АлтПИ. Деп. в ВИНИТИ 27.06.88, № 5116-В88 10 с.

84. Иордан В.И. Сравнение некоторых алгоритмов диагонализации трехдиагональных симметрических матриц//Рукопись представлена АлтПИ. Деп. в ВИНИТИ 27.06.88, № 5117-В88.- 26 с.

85. Иордан В.И. Модифицированный метод Гивенса//Рукописъ представлена АлтПИ. Деп. в ВИНИТИ 27.06.88, № 5118-В88.- 11 с.

86. Иордан В.И., Шипунова Е.А. Цифровая фильтрация спектра неравновесного теплового излучения потока частиц/Юптические сканирующие устройства и измерительные приборы на их основе: Тез. докл. науч. конф. Барнаул: Изд-во АлтПИ, 1990. - ч. 1.- с. 76-77.

87. Иордан В.И. Метод диакоптики спектра собственных чисел матриц в форме Хессенберга//Рукопись представлена АТУ. Деп. в ВИНИТИ 20.06.90, № 3536-В90.- 18 с.

88. Иордан В.И. О сходимости метода диакоптики спектра собственных чисел трехдиагональных симметрических матриц//Третья межд. конф. пам. М.И. Каргаполова: Тез. докл.-Красноярск: Изд-во «ИНОПРОФ», 1993.- с. 135.

89. Иордан В.И. Алгоритм «затухающего маятника» метода диакоптики спектра собственных чисел матриц в форме Хессенберга//Международная конф. «Всесибирские чтения» по математике и механике: Тез. докл.-Томск: Изд-во ТГУ, 1997.-Т.1. «Математика».-с. 198.