Эффекты дальнодействия и ангармонизма в нелинейном транспорте энергии и заряда тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Національна Академія наук України Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Воголюбова

п \ 5

| 7 ^99? На правах рукопису

Мінгалєєв Сергій Федорович

ЕФЕКТИ ДАЛЕКОСЯЖНОСТІ І АНГАРМОНІЗМУ В НЕЛІНІЙНОМУ ТРАНСПОРТІ ЕНЕРГІЇ ТА ЗАРЯДУ

01.04.02 — Теоретична фізика

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математіїчних наук

Київ - 1997

Дисертацією в рукопис.

Робота виконана в

Науковий керівних:

Офіційні опоненти:

Інституті теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова. НАН України

доктор фіз.-мат. наук, професор Гайдідєй Юрій Борисович

доктор фіз.-мат. наук,

Волков Сергій Наумович, доктор фіз.-мат. наук, професор, Давидова Тетяна Олександршна

Провідна організація: Київський національний університет, фізичний факультет, кафедра теоретичної фізики.

Захист відбудеться .. 199 р. о(б)

^ } 4.ТО ^

У У на засіданні спеціалізованої вченої рада Д 01.70.01 при Інституті теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова Національної Академії наук України (252143, м. Київ-143, вул. Метрологічна, 14-6).

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України.

Автореферат розісланий т, “ ¿У2УУ-£-___________199 <7 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор фіз.-мат. наук

В.6. КУЗЬМИЧЕВ

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Протягом останніх десятиріч великого розпитку набула теорія нелінійних хвильових процесів. Це сталося завдяки відкриттю, у шістдесятих роках, солітонів — стійких локалізованих збуджень, які розповсюджуються без зміни своєї форми і пружньо взаємодіють один з одним при зіткненнях. Ці їх властивості роблять солітоші ідеальними збудженнями для ефективного переносу на великі відстанні енергії, заряду та інформації в різноманітних фізичних системах. Прикладами можуть бути солітоші на поверхні рідини і в плазмі, світлові імпульси в світловодах, кінки у магнетиках, бризери на Джозефсонівсь-ких контактах, нелінійні збудження у полімерах, біологічних макромолекулах та плівках Ленгмгора-Блоджетта... Звичайно при дослідженні цих систем обмежувалися степеневим розкладом нелінійних та дисперсійних доданків рівнянь руху, враховуючи при цьому лише найголовніші члени розкладу. Використання такого наближення часто приводить до цілком інтегровних рівнянь руху і дозволяє повністю описати властивості широколокалізованих солітонних збуджень малої амплітуди. Але це наближення виявляється неспроможним описати деякі яскраві якісні ефекти, властиві сильнолокалізованим збудженням. Одним із таких ефектів є, наприклад, загострення солітонів на поверхні рідшш, пов’язане з насиченням дисперсії при великих значеннях хвильового вектора. Тому зараз має місце тенденція до ускладнення теоретичних моделей в напрямку врахування декількох, часто конкуруючих, типів нелінійності та уточнення їх конкретного (неполіноміаль-ного) вигляду, з одного боку, і використання неполіноміальних законів дисперсії із врахуванням конкуренції між далекосяжністю дисперсійних взаємодій та дискретністю системи, з іншого.

Саме в цих напрямках й проводяться дослідження у даінгій дисертаційній роботі, причому в якості основної досліджуваної фізичної си-

стоші розглядається о двовимірний ангармонічний молекулярний ланцюжок, вздовж якого можуть розповсюджувати«! внутрішньомолоку-лярие збудження або надлишковий заряд, та згущення самого л;ш-цюжка. При вивченні цієї системи використовується квазіхласичний підхід A.C. Давидова. Хоча ця система інтенсивно вивчається вже більше десяти років, деякі питання залишаються те недостатньо з'ясованими. Так, відомо, що наявність у системі двох типів нелінійності, екситон-фононного зв’язку та ангармонізму взаємодії сусідніх молекул, приводить до існування у ланцюжку двох видів солітонів, дави-довського та акустичного. Тому виникає цікаве питання про характер взаємодії цих солітонів, — відповідь на нього дається в першій главі дисертації. Відомо також, що внутрішньомолекулярнс збудження переходить з однієї молекули на іншу за рахунок деякої нелокальної, найчастіше дшюль дипольної, резонансної взаємодії. Проте майже у всіх попередніх дослідженнях використовувалося наближення найближчих сусідів, яке спотворює закон дисперсії системи і тому не дає змоги описати деякі її цікаві властивості. Нові ефекти, пов’язані із врахуванням нелокального характеру міжмолекулярної дисперсійної взаємодії, вивчаються п другій та третій главах дисертації. При цьому вказується на важливість врахування просторової структури молекулярного ланцюжка.

Метою роботи є вивчення нових якісних ефектів, пов’язаних з наявністю в системі конкуруючих нелінійшіх та дисперсійних взаємодій, а саме:

• дослідження характеру взаємодії давидовського та акустичного солітонів в ангармонічних молекулярних ланцюжках в залежності від співвідношення рівнів двох конкуруючих типів нелінійності: екситон фоношюго зв’язку та енгармонізму міжмолекулярної взаємодії ;

■» вивченім властивостей давидопських солітонів при врахуванні нелокального характеру міжмолекулярної дисперсійної взаємодії в адіабатичному та гармонічному наближеннях, коли рівняння руху системи зводяться до нелокального нелінійного рівняння Шрсдінгсра. • .

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що в дисертації було вперше:

• показано, що конкуруючий характер двох типів не лінійності (єкси-тон-фононного зв’язку та анг&рмонізму) обумовлює нетривіальну залежність характера взаємодії давидовського і акустичного солі-тонів від співвідношсшіп рівнів нслінійностей, пргазодячи до відштовхування солітонів при слабкому енгармонізмові та до утворення їх зв’язаного стану при' сильному енгармонізмові ;

в запропоновано нелокально нелінійне рівняшія Шредінгсра (НЛ-НРШ) для опису систем, закон дисперсії лінійних хвиль яких насичується при великих значешіях хвильового вектору ;

• знайдено нерухомі стаціонарні солітонні розв’язки НЛ-НРШ та показано, що, на відміну від звичайного НРШ, вони існують лише при рівні ислшійиості системи, нижчому за певне критичне значення. При надкритичному рівні нелінійності має місце колапс хвильової функції.

« показано, що внаслідок неіішаріантігості рівіипиш відносно галіле-євих перетворень простору-часу, у НЛ-НРШ, на відміну від звичайного НРШ, не існує рухомих стаціонарних солітоіших розв’язків: при зрушенні ж з місця нерухомого солітона, він почгаїае не-пертурбативно випромінювати ;

• встановлено наявність бістабільності солітоіших розв’язків у дискретному ИЛ-НРШ у випадку, коли дисперсійна взаємодія між

— с —

молекулами достатньо повільно ослаблюється з відстанню між ними;

« показано, що у випадку дискретного НЛ-НРШ із степеневою не-локальністю можливі ситуації, коли солітошшй розв’язок втрачає стійкість, а стійким став екситонне збудження.

Теоретична і практична цінність. Результати, отримані в дисертації, дозволяють зрозуміти особливості локалізації і нелінійного транспорту енергії (заряду) у одновимірних молекулярних системах, пов’язані із врахуванням далекосяжності та ангармонізму міжмолекулярних взаємодій. У дисертації показано, що їх врахування приводить до появи якісно нових ефектів, як то мультистабільність та утворення зв’язаного стану солітонів, які потрібно приймати до уваги під час аналізу експериментальних спостережень.

Апробація роботи та публікації. Основні результати дисертації доповідались на Першій та Другій Всеукраїнських конференціях молодих вчених (Київ, квітень 1994 та травень 1995); на Міжнародній нараді з статистичної фізики І теорії конденсованих систем (Львів, вересень 1995); на міжнародній конференції “Copenhagen Conference on Complex Dynamics in Spatially Extended Systems” (Данія, Копенгаген, вересень 1995); на міжнародній конференції “Fluctuations, Nonlinearity and Disorder” (Греція, Геракліон, жовтень 1996) та на семінарах Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України.

По темі дисертації зроблено вісім робіт, три з яких опубліковані у вигляді статей в наукових журналах, одна видана препринтом, а чотири — у збірниках праць та тезах конференцій.

Особистий внесок автора. В роботах, що виконані із співавторами, особистий внесок полягав в обговоренні постановки задач та формулюванні висновків, а також виконанні основних аналітичних та чисельних розрахунків.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 137 сторінках і іліостропапа 32-ма малюнками; складається із вступу, трьох глав, висновку з оглядом основних результатів та переліку літератур» з 122 найменувань.

Зміст роботи

У Вступ* обгрунтована актуальність томи дисертації, проаналізована проблематика, якій вона присвячена, та визначене коло задач, що розглядаються у роботі.

В порідій гллві, “Зи’лзаншТг стан давндовського та акустичного еолітоиіп в ангармонічних молекулярних ланцюжках”, вивчається характер взаємодії двох видів со лі то піп: акустичного і даиидовсьхого, які існують п ангармонічних молекулярних ланцюжках при наявності екситон фононної взаємодії. Показано, що існує таке значетія ангар-монізму системи, при якому акустичний та давидовський солітони не взаємодіють. При слабшому ангармоиізмові ці солітоїш відштовхують один одного, а при сильнішому — притягуються н можуть утворювати осцілюючий зв’язаний стан. У вступі до цієї глави робиться огляд сучасного стану проблеми, <[юрмулювться мета глави та стисло викладається її зміст. П другому розділі виводяться рівняшш руху системи, виходячи з гамільтоніану

Я = - ф'п(-фп+1 +^п-0] +хТ,\Фп\2(РП+1 -Рп-і)

п п

+|Е [М(~£? + "(Ди-і - М2 - |аи/(/?п+і - рп?

(1)

до фп(і) - амплітуда внутрішньомолекулярноі'о збудження п-тої молекули, а рп{і) - зміщення 71-тої молекули з положешш рівноваги; 3 -енергія резонансної взаємодії; х ~ параметр зв’язку виутрішньомолеку-лпрішх збуждень із зміщенням молекул; М - маса молекули і, нарешті,

параметри w та а характеризують значення повздовжньої гнучкості й кубічного ангарионізму ланцюжка, відповідно. Знаючи відстань між незбуджешши молекулами, і, можна знайти швидкість повздовжнього звуку, vq = іфй/М . Використовуючи континуальне наближешш і переходячи до рухомої системи координат il — ni — vt, можна звести рівняння руху ланцюжка до слідуючої системи рівнянь на стаціонарні солітоіші розв’язки

^-А<р + 2иу>-0 , (2)

~ - 4Ви + ди2 - ір"2 = 0 , (3)

до (р та и в безрозмірні змінні, пропорційні змінним фп та Д, — /?„+І,

відповідно. Значення параметру А при цьому визначається умовою нормуваїгая хвильової функції ф, а параметри В і д визначаються виразами

В“3(И ' '-Т*' <4)

На закінчення розділу згадуються деякі інші фізичні системи, які опи-

суються системою (2)-(3), та показується, що ця система співпадає, після деяких перетворень, з загальновідомою системою Енона-Еліса, яка в інтегровною лише при трьох значеннях сталої ангармонізму д : д —

1, 6, 16. В третьому розділі знайдені усі можливі солітонні розв’язки системи (2)-(3) у найбільш цікавому з інтегровних випадків, при д — 6. Показано, що існує лише три вида стаціонарних солітонів:

Надзвукові акустичні солітони

ір — 0. , и~-В8ес\і2'/в(х) — і?о) , (5)

9

які існують при будь-яких значеннях енгармонізму, д.

Солітоші Давидова-Золотарюка

у> = 2s¡A{A - В) 8€ ch — t?o) j

и — АвесЬал/А(г? — t?o) , (6)

які існують лише при а = С, але при будь-яких швидкостях.

Двогорбі солітони '

, Ч> = 2\fÄ(A - B)S~l(r), R) cosh -t?0 - R) ,

u = ~ In S(0\n) , (7)

де R ~ постійна інтегрування, яка може приймати довільні зна-

чешія, а

S{ti, R) = VIcosh(-v/ß(t? - і?о - Я)) cosh(VI(t? -1?0))

—т/В smh(T/B(d — iío — -R)) sinh(v^(i? — t?q) . (8)

Цей розв’язок існує лише при g = G та надзвукових швидкостях.

Перший тіш солітонів відомий вже дуже давно, другий був знайдений A.C. Давидовіш та A.B. Золотарюком у 1984 році, а третій — Ю.В. Гай-дідеєм, Дж.К. Ілбеком, П.Л. Хрістіансеном та В.З. Енольським у 1092 році. Трохи пізніше й чисельно його знайшов також A.B. Савін у своїй докторській дисертації. У розділі показано, що двогорбий солітоп б, насправді, доохсолітошшм розв’язком і містить перші два типи солітонів як компоненти. Отже, в інтегровному випадку (тобто при цілком певному значенні сталої ангармонізму, g — G) акустичний та давидовський солітони взаємодіють пружньо, вільно проходячи один крізь другий. Цей висновок підтверджується у четвертому розділі, де розраховані енергії усіх цих солітонних розв'язків: енергія двогорбого солітона ви-явллється в точності рівною сумі енергій акустичного та давидопсь-хого солітонів, незалежно від відстанні, 7?, між його компонентами. В п’ятому розділі вивчається неінтегровний випадок довільних значень ангармонізму, g. Використовуючії варіаційний підхід, ми показуємо, що D неінтегровному випадку енергія двогорбого солітона починав залежати від відстанні R таким чином, що при слабхому енгармонізмові

М*л. 1: Двогорбі соліюті при V = 1.2«о і і?о = 0 ддіг декількох значень Я: а) Я = 0,

Ь)Л=1,с)Я = 6.

(д < 0) давидовський і акустичний солітони відштовхуються і тому двогорбий солітон розпадається, а при сильному (д > 6) — притягуються й можуть утворювати осцілюючий зв’язаний стан з періодом коливань, єкспоненційно зростаючим із збільшенням амплітуди коливань. Якщо вважати, що вздовж ланцюжка переноситься заряджене збудження (надлишковий електрон або дірка) у вигляді електросолі-тона, то його зв’язаний стан з акустичним солітоном буде резонансно взаємодіяти із зовнішнім електричним змішшм полем.

Нарешті, в шостому розділі проводиться чисельне моделювання вихідних дискретних рішить руху системи, яке повністю підтверджує усі попередні висновки та доводить досить гарну динамічу стійкість солітоиіп при д = 4 -р 10.

Завершується глина сьомім, заключним розділом, в якому стисло підмічаються основні результати глави і обговорюється можливість їх прояву в реальних молекулярних ланцюжках.

В другій главі, “Нелокальпе нелінійне рівняння Шредінгера", для опису систем з наенчуючимся законом дисперсії запропоновано нове нелокальпе нелінійне рівняння Шредінгера та досліджено властивості його солітошиїх розв’язків. Показано, що в протилежність звичайному ІІРШ, його нерухомі стаціонарні еолітошіі розв’язки існують лише коли рівень нелінійності системи не перевищуе деяке критичне значеній!. Форма еолітона змінюється від дзвоневндпої (при малому рівні не лінійності) до загостреної (при колокритнчному рівні), доходячи до загостреного еолітона із сингулярною залежністю по координаті. При цьому загострені солітони е нестійкими й колапсують. Рухомий солітоц випромінює енергію з довжиною хвилі, пропорційною швидкості еолітона. Інтенсивність випромінювання ехепоненційно зменшується із зменшенням швидкості та (або) рівня нелінійності. В результаті солітон уповільнюється, проте час зменшення швидкості еолітона до нуля є, но-всьому, нескінченно великим. У вступі до другої глави робиться огляд сучасного стану проблемі, ^юрмулгоється мета глави та стисло викладається її зміст. Далі, у другому розділі, нагадуються головні властивості солітошиїх розв’язків звичайного ІІРШ з довільним ступенем нелінійності

Іфі + Фхг + І Ф |? Ф — 0 • (9)

Рівень нелінійності системи визначається значенням норми

N = ! ¿х\ф{х,і)^ . (10)

. —00

Мабудь, найголовнішими властивостями рівняння (9) б те, здо його

стаціонарні солітоіші розв’язки існують при довільному додатпьому

значенні норми, N, і є стійкими при р < 4, незалежно від значення N. Обидві ці властивості втрачаються стаціонарними розв’язками нелокального НРШ

ОО ' „

/ 3(х-у)(ф(у,г)--ф(х,{))4у + \ф\рф = 0 , (11)

-ОО

яке ми пропонуємо до розгляду у третьому розділі глави як узагаль-нсшш НРШ на випадок довільного закону дисперсії лінійних хвиль. В тому ж розділі починається детальне обговорення важливого часткового випадку закона дисперсії, — коли дисперсія насичується при великих значеннях хвильового вектора й описується експоненційіпш ядром нелокальності Кек-Бейкера

3(х - у) = у ехр(—а \х - з/|) . (12)

В четвертому розділі знаходиться нерухомий стаціонарний солітоно-подібний розв’язок нелокального НРШ (11)—(12) вигляду

ф{х,1)=а21Щг)ём , - (13)

де г — ах. Показується, що його форма змінюється від дзвонєвид-

ної (при великих значеннях Вн 1 + а2 ¡А) до загостреної (при В —>

(р+1)2), причому цей розв’язок обривається на гранично загостреному солітоні

Ф(г) “ ехР(~І2І/(Р + ПРИ ^ = (Р + І)2 » (14)

із сингулярною залежністю по координаті (див. мал. 2). При В < (р + І)2 стаціонарних розв’язків не існує. П’ятий роздал розвиває варіаційний підхід з метою дослідження стійкості знайденого раніше ‘стаціонарного розв’язку. Виявляється, ідо на діаграмі “енергія-норма” він утворює дві гілки солітонів, які співіснують у деякому проміжку значень норми. Одна з цих гілок відповідав стійким дзвоневидним еолітовим, а друга — нестійким загостреним, які з часом колапсують. При

Млл. 2: НерулоинЯ стааіонарнвй солітонняЛ розв'язе* 1ІЛ-НРЩ длп р = 2

цьому існує критичне значення норми, при перевищенні якого не існує жодного стаціонарного стану і будь-яке достатньо сильно локалізоване початкове збуджеїшя колалсуе. Справедливість цього висновку підтверджується прямими чисельними розрахунками. У шостому розділі вивчаються властішості рухомого солітона й доводиться, аналітично та чисельно, наявність непертурбатшшого випромінювання позаду солітона з довжиною хвилі, пропорційною швидкості руху солітона. Нарешті, у заключному сьомому розділі другої глави стисло нагадуються й обговорюються найважливіші її результати.

В третій главі дисертації, "Ефекти иелокальної дисперсійної взаємодії в дискретному нелінійному рівнянні Шредінгера”, продовжуються дослідження, розпочаті у другій главі, але тепер вивчається не континуальна, а дискретна система. Як було показано у другій главі, врахування дисперсійної иелокальності приводить до зіткнення стаціонарних солітонів при великих значеннях норми, N, й до можливості колапса збудження при цьому. Але в дискретній системі не може бути колапса — замість нього відбувається перехід збудження в суттєво локалізований стан. Тому в дискретній системі можуть співіснувати вже не два, а три вида стаціонарів«: нерухомих соттониих станів:

два стійких (слабко- та сильиолокалізопанин) та один нестійкий. При цьому можна виділити три інтервал» значень норми: при малих її значеннях існує лише слабколокалізований стан, а при великих — лише сильнолокалізоваїмй. При проміжних значеннях норми співіснують всі три стаціонарні солітоіші стаїш і стають можливими, таким чшюм, цікаві явища, пов’язані із взаємодією та взаємоперетворенням різшіх типів солітоиів. Крім екешшенційиої Кок - Бейксріпської нслокальності, в главі розглянуто степеневу нелокальність, яка виникає за рахунок мультиполь-мультипольної взаємодії. Показало, що вже диполь дипольна взаємодія € достатньо “нелокальною” для можливості співіснувати слабко- та сильнолокалізованого солітоніп. Особливість закона дисперсії, що відповідає системам із степеневою пслокальпістіо, приводить до можливості ситуації, коли олабколокалізоваїпш солітои втрачає стійкість і стійким стає екситоннгїй стан. У вступі до третьої глави робиться огляд сучасного стану проблеми, формулюється мета глави та стисло викладається її зміст. При цьому відмічається важливість врахування просторової структури молекулярного ланцюжка, який описується нелінійним рівнянням Шредіїггера, в разі прахуваїпія нелокального характера міжмолекулярної взаємодії. Показується, що у наближенні фрактальної моделі ланцюжка, дуже поширені системи З мультішоль-мультипольною дисперсійною взаюмодієїо між молекулами можна звести до ефективного лінійного у просторі ланцюжка із узагальненою степеневою нелокальністю вигляду

’ (15) де 5 = 1/0,3 деяким цілим І {І — 3 для диполь-дипольної взаємодії) та фрактальною розмірністю ланцюжка, О. Виходячи з експериментальних значень Б, робиться висновок, що фізично цікавими є значення аї>1.8. В другому розділі глави, виходячи з відповідного гаміль-тоніану системи, виводиться дискретне нелокальне нелінійне рівняіпія

Шредшгера (ДНЛ-НРШ)

ІОіфп + £ ^г,,т(Фт - Фп) + \фп\2фп = 0 . (10)

т(гп^п)

.Спочатку шукаються його стаціонарні нерухомі розв’язки

чорті, /V, та параметра нелсглль пості, я, зплЛясвнл вярілційнки истадом з нихоряст/няи сксхюистіНнт пробної функції. Мав місив біфуркація *ластівчин хвіст*.

' Фп - фп ехр(гЛг) , (17)

для яких ршішшія руху (16) перетворюється в нелінійну систему алгебраїчних рівнянь. В третьому розділі стисло описується метод, який використовувався для чисельного розв’язку цієї системи.

В четвертому розділі розглядається експоненційна Кек-Бейке-рівська нелокальність

• Л,і>. = (£" — І)е-°іт_”1 , (18)

для якої* ДНЛ-НРШ в континуальному наближенні повністю співпадав з рівнянням, розглянутим у другій главі. Знайдений в ній аналітичний розв’язок порівнюється із знайденним чисельно розв’язком дискретної системи. Показано, що на відміну від континуального рівняння, внаслідок конкуренції між дискретністю та нелокальністю, властивості стаціонар;Пїх розв’язків в ДНЛ-НРШ суттєво залежать від значешія параметра нслокальності а. А саме, якщо а > 1.67, то властивості системи якісно не відрізняються від її властивостей у наближенні найближчих сусідів (а — оо), — кожному значенню норми

^ = £№,|2, (19)

П

відповідає лише один стаціонарний солітошшй розв’язок. Якщо ж а < 1.67, то виникає новий цікавий ефект мультистабільності солітошшх розв’язків: існує інтервал значень норми, де співіснують три стаціонарних солітошшх розв’язки, один з яких б нестійким. Тепер вже в системі иемав гладкого переходу від слабко- до сильнолокалізоватого солітона: навпаки, ці солітоми стають різко відмінними й можуть співіснувати, так що можна говорити про існування в системі двох різних типів стійких солітонів. В проміжку їх співіснування форма солітонів є досить близькою до форми загостреного солітона, ф„ ~ )

знайденого у другій главі. Цей факт використовується у найбільшому п’ятому розділі глави, присвяченому вивченню властивостей системи при наявності степеневої мултиполь-мультипольної нелокальлості (15). Л саме, показується що використання варіаційного методу з експо-непційиою пробною хвильовою функцією дозволяє отримати результати (див. мал. 3), які якісно повністю співпадають з результатами чисельних розрахунків. Як і у випадку експоненційної нелокальності, існує критичне значення перамєтру нелокальності, ,чст = 3.03, таке що при я < у системі виникав явище мультистабільності стаціонарішх солітошпіх розв’язків. Втім, особливістю степеневої нелокальності є те, що при л < 3 закон дисперсії, при малих значеннях хвильового вектора, змінюється з квадратичного на ~ к‘~1. Це приводить до одного важливого наслідку, доведеного аналітично точно, а саме: при я < 2 слабколокалізоваїпіЛ солітон стає нестійким, а екситоіпшй стан, навпаки, набуваб стійкості. В термінах фрактальної моделі це означатиме, що слабколокалізовапі солітони, стійкі в достатньо прямих ланцюжках, втрачають стійкість при переході ланцюжка до клубкоподіб-ної конформації, що повинно супроводжуватись істотною зміною його транспортних властивостей. В останньому підрозділі п'ятого розділу використовується квазіконтинуальне наближення й показується, що у випадку і = 2 рівняння руху стає схожим на рівняння Бенджамена-Оно: як і останнє, воно затісується в термінах перетворення Гільберта і має розв’язки у вигляді алгебраїчних солітонів. Завершується третя глава заключним шостим розділом, де обговорюються ефекти, до яких, за результатами глави, повинне приводити врахування дисперсійної нелокальності міжмолекулярних взаємодій у реальних молекулярних ланцюжках.

Наприкінці дисертації перераховуються основні результати дисертаційної роботи.

Основні результати роботи, що виносяться на захист

1. Досліджено характер взаємодії акустичного'і давидовського солі-тоііів в ацгармопічшіх молекулярних ланцюжках й показано, що існує таке критичне значення ангармонізму, при якому взаємодія між ними фактично відсутня. При більш слабкому ангармоніз-мові солітоїш відштовхують одіш одного, а при більш сильному воші починають притягуватися і утворюють осціліоіочпй зв'язаний стан. Виходячи з оцінок параметрів реальних систем, робиться висновок, що такий зв’язаний етан може виникати и проблемі нелінійного переносу надлишкового заряда вздовле білка у вш'лнді слекгпросолгтона. При цьому, цей зв’язаний стан буде резонансно взаємодіяти із змінним електричним полем й приводити, таким чшюм, до експериментально спостережу а альїіих ефектів.

2. Запропоновано одновішірне континуальне нелокальне нелінійне рівняння Шредінгера (НЛ-ІІРШ), що адекватно оішеує системи з насиченням закону диеперсії плоских хвиль. Детально вивчені його нерухомі стаціонарні солітоіші розв'язки й показано, що ці розв’язки існують лише в обмеженому інтервалі значень норми хвильової функції, причому якщо значення норми близьке до максимального, то існують дві гілки стаціонарних розв’язків, одна з яких є нестійкою. При цьому форма солітоиа змінюється, при збільшенні значення норми, від дзвоневидної до загостреної. Якщо норма неревшцуе максимальне значення, то стаціонарного розв’язку не існує й будь-яке достатньо сильно локалізоване початкове збудження колапсуе. Показано, що внаслідок галілєєвої неін-варіаяхності системи, в ній відсутні рухомі стаціонарні солітошгі розв’язки, — при русі солітон буде неїтертурбативно випромішо-

пати позаду себе хвіст з довжиною хвилі, пропорційною швидкості солітона.

3. Запропоновано одиовимірнс дискретно нелокально нелінійне рівняння Шредінгера із степеневим характером дисперсійної нсло-кальності, яке дозволяє описати диполь-дипольне та інші види мультипольної резонансної міжмолекулярної взаємодії і врахувати при цьому, в рамках фрактальної моделі, просторову конфігурацію

. молекулярного ланцюжка. Показано, що при швидкому ослабленні

. інтенсивності нелокально! міжмолекулярної взаємодії з відстан-

ню, перехід від слабколокалізованих солітонів до сильнолокалізо-ваних відбувається плавно й, таким чином, властивості системи не відрізняються від її властивостей в наближенні найближчих сусідів. Якщо ж нелокальна взаємодія ослаблюється з відсташію достатньо повільно, то існує інтервал значень норми, де співіснують два вида солітонів (слабко- та сильнолокалізовані) і система є, таким чином, бістабільиою. Існування явища бістабільності в дискретному НЛ-НРШ є результатом конкуренції між двома масштабами довжини системи: відстані між молекулами, з одного боку, й ефективного радіуса нелокально’! взаємодії, з іншого.

4. Показано, що при зменшенні показника ступеня нелокальності, л, дискретного НЛ-НРШ із степеневою нелокальністю, слабколо-калізоваїтй солітоттй стан спочатку уширюється, а потім зникає (при 5 = 2), так що стійким стає скситошшй стан. Враховуючи, що ефективне значенім показника ступеня нелокальності змінюється при конформанійних переходах молекулярного ланцюжка, можна очікувати на різку зміну основного стану ланщожха

і, таким чином, його транспортних властивостей, під час цих перехода].

Розглянуто квазі-контішуальїімй варіант дискретного НЛ-НРІІІ із степеневою нелокальністю і показано, що це рівняння переходить в звичайне НРШ при великих показниках ступеня нелохаль-ності, а > 3, й редукується до рівняння “Гільберт-НРШ", близького аналога рівшішш Бенджамена-Оно, при в = 2. Показано, що в одному частковому випадку Гільбсрт-НРШ має розв’язок у вигляді алгебраїчного солітона.

21 •Матеріали дисертації опубліковано в таких роботах:

1. Yu.В. Gaididei, P.L. Christiansen ami S.F. Mingalccv, Bound States of Envelope and Boussincsq Sclitons in Anhnrmouic Lattices, Physica Scripta 51 (1995) 289 299.

2. Yn.B. Gaididei, S.F. Mingalccv, P.L. Christiansen, and K.0. Rasmussen, EiTc.ct of nonlocal dispersion on sclf-intcrnc ting excitations, Phys. Lett. Л 222 (199G) 152-15G.

3. Yn.B. Gaididei, S.F. Mingalcev, P.L. Christiansen, 1.1. Yakimenko,M. Johansson and K.0. Rnsnnissnn, The Nonlinear Schrödinger systems: Collapse, Nonlinear dumping, Noise, Impurities and Nonlocnl dispersion, Phy.sica Scripta T67 (1996) 151-159.

4. Yn.B. Gaididei, S.F. Mingalccv, P.L. Christiansen, and K.0. Rasmussen, Effects of Nonlocnl Dispersion on Nonlinear Schrödinger Equation, Kiev (1996) 1 13 (Preprint ITP-96-11E).

5. С.Ф. Мінгалєев, Зп'язапюі стан Днпидіпського та Акустичного солітоніо в сильпоалгармоігічіпа лшщюжклх, Праці Всеукраїнській конференції молодих вчених (фізика), Київський університет, (квітень 1994) 17 24.

G. Yu.В, Gaididei and S.F. Mingaleev, Non-local nonlinear Schrödinger equation, International workshop on statistical physics and condensed matter theory, Lviv, Ukraine (11-14 September, 1995) p. 80.

7. S.F. Mingaleev, Non-local Nonlinear Schrödinger Equation', Yu.B. Gab-didei, S.F. Mingaleev, P.L. Christiansen and K.0. Rassmussen, Effect of Non-local Interaction on Soliton Dynamics in Spatially Extended Systems-, Copenhagen Conference on Complex Dynamics in Spatially

Extended Systems, Niels Bolir Institute, Denmark (27-30 September, 1995} pp. P33, 019.

8. Yn.B. Gaididei, S.F. Mingaleev, P.L. Christiansen and K.0. R&ss-mussen, Nonlocal Dispersive Interactions in Discrete Nonlinear Schrci-dinger Equation, International Conference “Fluctuations, Nonlinaer-ity and Disorder”, Hotel Santa Marina, Heraclion, Crete, Greece (30 September - 4 October, 1996) p.47.

Mingaleev S.F. Effects of Nonlocality and Anhnnnonicity on Nonlinear Transport of Energy and Charge. (The candidate of sciences thesis in physics and mathematics, in speciality 01.04.02 — theoretical physics, Institute for Theoretical Physics NAS of Ukraine, Kiev, 1997).

Eight scientific works are defended, which contain a theoretical study of the interaction between Davydov and Boussiuesq soli tons in anharmonic molecular lattices, and the effects of nonlocal dispersive interactions on soliton dynamics in continuum and discrete Nonlinear Schrödinger Equations. It is determined that Davydov and Boussinesq solitons can create a bound state. It is shown that in Nonlocal Nonlinear Schrödinger equation can coexist several types of solitons with different localization and a collapse of wave function can take place.

Мингалеев С.Ф. Эффекты д&льподейсттт я ангармоюгзыа в нелинейном транспорте энергии и зарАдл. (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 — теоретическая физика, Институт теоретігческой физики НАН Украины, Киса, 1997). Защищается восемь научных работ, которые содержат теоретическое исследование характера взаимодействия да-пыдовских и акустических солитонов о ангармонических молекулярных цепочках и свойств солитонных решений континуального и дискретного нелинейных уравнений Шрёдингсра при наличии дисперсионной нелокальное™. Уст;июплсно, что дгшыдопский и акустический солитон могут образовывать связанное состояние. Показано, что в нелокальном уравнении Шредиигера могут сосуществовать несколько типов солитонов с различной степенью локализации и может происходить коллапс волновой функции.

Ключові слоиа: ангармонічий молекулярний ланцюжок, дисперсійна »«локальність, колапс, мультистабільність, нелінійне рівняння ІІІредінгера, одаовиміртсть, система Енона-Еліса, солітон.