Эффекты неидеальности и фазовые переходы в кулоновских системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

На правах рукописи

КАЮМОВ ИЛЬГИЗ РИФАТОВИЧ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

01.01.01 — Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

. Екатеринбург — 2006

Работа выполнена в НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета

доктор физико-математических наук, профессор

Авхадиев Фарит Габидипович

доктор физико-математических наук, профессор

Прохоров Дмитрий Валентинович

доктор физико-математических наук, профессор

Старков Виктор Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор

Хабибуллин Булат Нурмиевич

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 2006 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 004,006.02 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Авто1>еферат разослан

2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ю. Антонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации создан метод, позволяющий получать эффективные нижние оценки интегральных средних для производных конформных отображений круга на односвязные области, а также установлена связь между спектром интегральных средних и законом повторного логарифма.

Актуальность темы. Оценки интегральных средних конформных отображений занимают ведущее положение в геометрической теории функций комплексного переменного. В качестве примера укажем теорему площадей, доказанную Гронуоллом [2], которая позволила получить ряд точных оценок различных функционалов в классе однолистных функций (см., например, |3]). Отметим также, что в силу интегральной формулы Коши проблемы коэффициентов однолистных функций являются но-сущсству проблемами интегральных средних. Начало бурного развития этого научного направления связано с работами Кебе, Бибербаха и Левнера.

Одной из центральных проблем геометрической теории функций в XX веке стала гипотеза Бибербаха о том, что |ол| < п, где а,, - коэффициенты Тейлора функций из iv-'tacca S, Напомним, что класс S состоит из однолистных и голоморфных в круге D = {г : < 1} функций /, удовлетворяющих соотношениям /'(0) — 1 = /(0) = 0. Литтлвуд [4] получил точный порядок роста интегральных средних в классе S

7Г

J\f(rc")\dO = О , г- 1-,

—JT

с помощью которого он доказал оценку |а„| < еп, что явилось первым нетривиальным результатом в этом направлении после хорошо известных резуль^ татов Бибербаха \а2\ < 2 и Левнера |а»| < 3. Впоследствии оценка Литтлвуда неоднократно улучшалась. Здесь следует отметить работы советских математиков И.Е. Базилевича, И.М. Милина и H.A. Лебедева. В 1985 году де Брапж, доказав гипотезу Лебедева - Милина (из которой следует гипотеза Бибербаха), завершил большой цикл исследований в этом направлении.

Проблема оценки интегральных средних для модуля однолистной функции (или для модуля ее производной) до доказательства гипотезы Бибербаха рассматривалась как вспомогательный инструмент для оценки коэффициентов в классе S.

После работ Н.Г. Макарова [7], Карлесона и Джонса [8| (в которых раскрыты нетривиальные связи между интегральными средними и граничным поведением конформных отображений) оценки интегральных средних начинают играть ведущую роль в работах по геометрической теории функций. Одним из основных результатов диссертации является получение лучших на сегодняшний день нижних оценок доя интегральных средних

производных однолистных функций в интервале t G (0,1/3], а также для t = —1. Эта задача сложна тем, что в отличие от проблемы интегральных средних для |/| (эта проблема была решена Бернстайном [1|) функция Кебе заведомо не является экстремальной в этой задаче.

Оценки интегральных средних существенно опираются на геометрические методы теории функций. Кроме упомянутых выше ученых важный вклад в развитие этих методов внесли зарубежные математики Альфорс, Варшавский, Дженкинс, Дюрен, Поммеренке, Хейман и Шиффер. Значительный вклад в развитие геометрической теории функций принадлежит советским матема,тикам Г.М. Голузину, М.В. Келдышу, М.А. Лаврентьеву, И.И. Привалову. Их плодотворные исследования были продолжены Ф.Г. Авхадиевым, Л.А. Аксентьевым, И.А. Александровым, А.Ю. Васильевым, В.В. Горяйно-вым, Е.П. Долженко, В.Н. Дубининым, Г.В. Кузьминой, С.Л. Крушкалем, С.Р. Насыровым, Д.В. Прохоровым, А.Ю. Солынинмм, В.В. Старковым. H.A. Широковым и другими российскими математиками.

Опишем кратко фундаментальные результаты, развитию и углублению которых посвящена настоящая диссертация.

Пусть $7 - односвязиая область на плоскости, граница которой содержит не менее двух точек, f - конформное отображение круга В на fi. В силу хорошо известных теорем искажения имеет место соотношение

Правиц |5|, обобщая результат Литтлвуда [4], показал, что для любого фик-

—тг

сированного р> 1/2 выполняется соотношение

7Г 2р— 1

J\f(re»)\*M = o(j^y , г -> 1.

—7Г

Таким образом, при интегрировании по линиям уровня порядок роста модуля однолистной функции уменьшается на единицу. Поскольку

!/'(«»)! = о r-i,

то естественно ожидать, что для любого фиксированного р > 1/3 выполняется соотношение

* Зр—1

||/'(re!fl)| W = О (^-L.) " , г-1.

— П"

Это было подтверждено Фенгом и МакГрегором и работе [9|, однако лишь для случая р > 2/5. Н.Г. Макаровым [10] показано, что этот результат не верен для р, близких к 1/3. В диссертации показано, что этот результат не верен при р < 0.341 (имеется гипотеза, что точная грань здесь равна 6 — 4\/2 = 0.343 ...). Итак, Н.Г. Макаровым установлено существенное различие между интегральными средними однолистной функции и се производной. Причины этого различия не были ясны до середины 80-х годов XX века. Удачной идеей оказалось рассмотрение спектра интегральных средних

2т

In / \/'{ге10)\МО

/?,(р) = Ишвир |1п(1_г)| .

который фактически является порядком роста интегральных средних производной. Для "хороших" областей (например, для областей с ограниченным граничным вращением) 0/(р) является кусочно-линейной функцией от р.

Отметим три важнейших результата, касающихся спектра интегральных средних:

1) Карлесон и Джонс [8] показали, что

sup /3/(1) = о — sup limsup /<=S, }€S, П-^ОС In n

где Si - класс функций, ограниченных и однолистных в круге D, ап - коэффициенты разложения Тейлора функции /. Заметим, что неравенство sup/3/(1) > а доказывается весьма просто (и основывается на том, что интеграл от модуля некоторой функции не меньше, чем модуль интеграла от той же функции), в то время, как обратное неравенство является глубоко нетривиальным фактом .

2) Н.Г. Макаровым [7] доказано, что если множество Л С 3D измеримо по Борелю, то для любого q > 0 справедливо неравенство

dimf(A) > а . /dimf ,. „ 0f(~<l) + q+l- dim Л

где dim Л - хаусдорфова размерность множества А.

3) Поммеренке ([11], [12], стр. 241) установил следующий (¡»акт. Если область /(D) является областью класса Джона (т. е. не имеет внутренних нулевых углов), то

mdimO/(D) = р,

где р - единственное решение уравнения fl/(j>) — р — 1, mdim - верхняя метрическая размерность Минковского.

Из этих результатов становится ясна причина сложного поведения 0j{p). Классическая теорема Каратеодори утверждает, что конформное отображение друг на друга областей с жордановыми границами может быть продолжено до гомеоморфизма замкнутых областей, однако не дает информацию о том, каким образом искажаются линейные меры борелевских множеств на границе этих областей. Исследование поведения спектра интегральных средних позволяет пролить свет на этот вопрос.

Объектом исследования в диссертации являются: конформные отображения круга на односвязныс области па плоскости; различные интегральные характеристики таких отображений; граничные свойства аналитических функций в круге; неравенства изопериметрического типа для моментов ком-пактых множеств.

Целями исследования данной диссертации являются: оценки различных интегральных средних конформных отображений и их применение для изучения граничных свойств таких отображений, в частности, для оценки метрических свойств гармонической меры на жордановых кривых через ме-

ры Хаусдорфа, а также изучение интегральных средних в более широких классах функций.

Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием стандартных методов геометрической теории функций комплексного переменного и теории рядов Фурье. Автором создан метод, позволяющий получать эффективные нижние оценки интегральных средних для производных конформных отображений круга на односвязные области. Кроме того, существенно использованы нетривиальные свойства модифицированной функции Бесселя нулевого порядка.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты:

— Разработан метод, позволяющий получать эффективные нижние оценки интегральных средних производных конформных отображений круга па односвязные области;

— Усилена константа в правой части закона повторного логарифма для конформных отображений, что позволило уточнить оценку гармонической меры на жордановых кривых;

— Доказана гипотеза Мехии - Поммеренке для случая, когда вариация касательной к границе образа линий уровня круга ограничена абсолютной постоянной;

— Получены точные оценки интегральных средних производных конформных отображений внешности круга в некоторых классах функций;

— Доказана гипотеза Бреннана в случае, когда логарифм производной функции, отображающей круг на односвязную область на плоскости, представим в виде лакунарного ряда Адамара с показателем лакунарности Г] > 15;

— Описан класс, содержащий функции, существенно отличные от лаку-нарных, для которых верно следующее: если |о*|2 = оо, то на окружности найдется множество положительной меры, па котором не существует радиальных пределов.

Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях граничного поведения конформных отображений, метрических свойств гармонической меры па жордановых кривых фрактальной» типа, а также

могут быть использованы в учебном процессе и при чтении спецкурсов.

Связь работы с крупными научными программами. Работа была поддержана следующими грантами Российского фонда фундаментальных исследований: 93-01-17552-а, 96-01-00110-а, 99-01-00173-а, 99-01-00366-а, 01-01-06073-мас, 02-01-00168-а, 03-01-00015-а, 03-01-06289-мас, 03-01-10539-зм, 05-01-00523-а

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на следующих конференциях:

6-я Саратовская зимняя школа по теории функций и приближений, 30 января - 4 февраля 1994, Саратов;

Международная конференция "Алгебраи Анализ", посвященная 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева, 6-11 июня 1994. Казань;

3-я Сусли некая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения М. Я. Суслина, 20 - 30 июля 1994, Саратов;

4-я международная конференция "Лалрентьевские чтения по математике, механике и физике", 3-7 июля 1995, Казань;

' Всероссийская конференция "Теория функций и ее приложения", 15 - 22 июня 1995, Казань;

7-я Саратовская зимняя школа по теории функций и приближений, 28 января - 7 февраля 1990, Саратов;

Международная конференция "Современные проблемы математики и механики", посвященная 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева, 13 - 19 мая 1996, Москва;

Всероссийская школа-конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева, 1С - 22 июня 1997, Казань;

Международный конгресс математиков, 18 27 августа 1998, Берлин;

Всероссийская конференция "Теория функций и смежные вопросы", 13 -18 сентября 1999, Казань;

Европейский математический конгресс, 10 - 14 июля 2000, Барселона;

Международная конференция "Численные методы и теория функций", 24 июня - 3 июля 2001, Авейро, Португалия;

Воронежская зимняя школа "Современные йетоды теории функций и смежные проблемы", 26 января - 2 февраля 2003, Воронеж;

6-я Казанская международная летняя школа-конференция "Теория функ-

ций, ее приложения и смежные вопросы", 27 июня - 4 июля 2003, Казань;

Международная конференция "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений", 4-9 сентября 2003, Минск;

12-я Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций и их приложения", 27 января - 2 февраля 2004, Саратов;

Волгоградская школа-конференция "Геометрический анализ и его приложения", 25 - 31 мая 2004, Волгоград;

Международная конференция, посвященная 200-летию Казанского государственного университета, 2-9 июля 2004, Казань;

Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию Ю.Г. Решетняка, 23 августа - 2 сентября 2004, Новосибирск;

Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная 100-летию Сергея Михайловича Никольского, 23 - 29 мая 2005, Москва;

Международная конференция "Численные методы и теория функций", 14

- 17 июня 2005, Йонсу, Финляндия;

Международная конференция "Метод рядов Фурье в комплексном анализе", 24 - 29 июля 2005, Мекриярве, Финляндия;

13-я Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций и их приложения", 27 января - 2 февраля 2006, Саратов;

Итоговые научные конференции Казанского университета, 1994 2005.

Результаты докладывались на семинаре по математическому анализу в Санкт-Петербургском отделении МИ РАН им. В.А. Отеклова (рук. - проф. В.П. Хавин), на семинаре по комплексному анализу в МИ РАН им. В.А. Стек-лова (рук. - проф. А.И. Аптекарев, чл.-корр. РАН Е.М. Чирка), на семинаре по комплексному анализу в Московском государственном университете (рук.

- проф. Е.П. Должепко), па семинаре по теории функций комплексного переменного в Саратовском государственном университете (рук. - проф. Д.В. Прохоров), на семинаре по комплексному анализу в Петрозаводском госу-дарственом университете (рук. - проф. В.В. Старков), на семинаре по вероятностным методам в теории конформных отображений в Институте им. Миттагг-Леффлера (Швеция) (рук. -- проф. Л. Карлесон, проф. П. Джонс, проф. Н.Г. Макаров), на семинаре по теории потенциала в Технологическом Институте Стокгольма (рук. - проф. X. Шапиро) и на семинаре по комплекс-

ному анализу в Математическом институте (Вюрцбург) (рук. - проф. С. Ру-шевай). В целом работа доложена на семинаре по комплексном}' анализу в НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета (рук. - проф. Ф.Г. Авхадиев).

Публикация результатов. Результаты диссертации опубликованы в 19 работах, из них 9 статей входят в список ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, первые две из которых разбиты на параграфы и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 220 страниц. Список литературы содержит 130 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В параграфе 1 главы 1 введена новая характеристика конформных отображений, которая тесно связана со спектром интегральных средних /?/(£)■

Пусть / - локально однолистная и аналитическая в круге В функция. Тогда 1п/' также является аналитической в круге Р функцией и может быть разложен в степенной ряд Е)Ло равномерно сходящийся внутри ЕР. Величину

оо

Е 1п/0(*К|г*) да=цтшр*-°|1п(1_г)|

назовем *-спектром интегральных средних. Здесь

оо ✓ 2\ и ч

'•(-> = Е(т) я

1/—0 4 '

- модифицированная функция Бссселя нулевого порядка. Поскольку 1п !(>(х) < х2/4, то (3^(1) является конечной (функцией от если

оо

Ek.lV*

Нтяпру-рт--- < оо.

Г_1 11п(1-г) |

Последнее соотношение выполняется для любой функции /, аналитической и однолистной в круге В .

Модифицированная функция Бесселя /0 при исследовании р/(1) была впервые использована Роде ([12], стр. 191, [13]). Им было показано, что если 1п/'(г) = а Е 2,1 > то /3/(0 > 1п /0(«0/ 1П<7-

В этом же параграфе показана связь характеристик /3/(1) и ¡3/(1). Доказано, что /?]!(£) (как и Дг(0) является непрерывной выпуклой функцией от ¿. Далее показано, что спектр /?/(<) может быть получен из /3^(4) путем "поворота" (см. ниже свойство 4) тейлоровских коэффициентов 1п /'(г). Установлено, что если тейлоровские коэффициенты а& разложения 1п /'(г) положительны,

Отмстим одпо важное достоинство *-спектра, а именно, более простое его строение по сравнению со спектром интегральных средних. Это следует из того, что тело модулей коэффициентов в пространстве Блоха устроено относительно просто (см. п. 1.4), что не скажешь о всем теле коэффициентов в этом пространстве. Доказаны следующие свойства *-спектра.

Свойство 1. Предположим, чтпо функция / аполитична и однолистна в кругеТВ>. Тогда *-спектр интегральных средних является непрерывной выпуклой функцией от I па осей числовой прямой.

Свойство 2. Пусть 1п /'(г) = Х^о^3* > аь ~ 0. Тогда

Свойство 3. Предполооюим, что функция / аполитична и однолистна в круге О. Тогда *-спекгпр интегральных средних может бить вычислен по

еде а,). - теИлоровские коэффициенты 1п/'(г).

Свойство 4. Пусть 1п/'(г) — Если коэффициенты «а- удо-

влетворяют соотношению

то найдется последовательность вещественных чисел {<?*:}, такая, что

то > гщ.

0/(0 ^ ДО, I > о.

формуле

где \ng\z) = , а^Ч*. Пусть (см. [12], стр. 186)

- асимптотическая дисперсия конформного отображения /, где а*,. - тейлоровские коэффициенты 1п /'(г).

Свойство 5. Для любой аналитической и однолистной в круге D функции / и любого I имеет место неравенство

pm<ofl.

Если коэффициенты а*. —» 0 при к —> оо, то знак нестрогого неравенства превращается в знак равенства.

Свойство 6. Если функция f аполитична и однолистна в круге Ю и ln f'(z) = Ylakz"l'> linU-.ooTiMi/rf.jfc ~q> 1, то

ЬЧоСа'О < < 1п1р(а+0

lnq _ /W — Jní? 1

где

а~ = liminf |а&|, ан = limsup |а*|.

*.—оо k-ioo

Определим *-универсальный спектр следующим равенством:

в*(0 = вирф(0,

где супремум берется по всем функциям, аналитическим и однолистным в круге В. Обозначим

N

JV'V** . k= 1

Хорошо известно |31|, что 0 < 7 < 1. Имеет место Свойство 7.

'У2

j-L2 < B*(t.) < 3í2, t £ (—оо, +oo). 04

В параграфе 2 главы 1 получены нижние оценки спектра интегральных средних, а именно, доказано, что существует ограниченная, аналитическая и однолистная в В функция /, такая, что

P;(t) > ~ при 0 <t<l. о о

Также установлено существование ограниченной однолистной функции, для которой Pf(—1) > 0.127. Эти результаты усиливают соответствующие результаты, полученные Роде [13], который доказал существование однолистной функции д, такой, что fl,,(t) > 0.117í2 при малых t.

1 • » 1

— = mf sup —р= 7 Ы x,N VN

В третьем параграфе решена задача Дюрена об однолистности функций вида

Z

f(z) = J cxp(Az")dz.

о

Показано, что при [А| < 1.7646 эта функция будет однолистной для достаточно больших п. Для п < 10 эта задача была решена В.Н. Гайдуком [26].

Четвертый параграф главы 1 посвящен закону повторного логарифма для конформных отображений.

Предположим, что функция / аналитичиа и однолистна в круге В. Н.Г. Макаров [15| доказал, что существует абсолютная положительная постоянная С, такая, что

limsup < С|| 1п/'||в

•—»1- v| ln(l - r)| ln In j hi(l - 7-)|

для почти всех Ç на окружности |Ç| = 1, где

l|ln/'j|B = |In/'{0)| + Sup(l-N2) W<i

f"

7{z)

- стандартная норма Блоха.

В работах [12], [14], [8] установлено существование нетривиальной связи между граничным поведением конформных отображений и спектром интегральных средних. С другой стороны, Н.Г. Макаровым [15] показано, что закон повторного логарифма тесно связан с граничными свойствами конформных отображений. Отсюда вытекает естественный вопрос: каким образом связаны между собой закон повторного логарифма и спектр интегральных средних? Возможным ответом на него является следующий результат, доказанный в четвертом параграфе главы 1.

Предположим, что функция / локально однолистна и аполитична в круге В и 6 > 0. Тогда *

Шпвцр- |)Пт)1 < 2ИтвиР#М

г-]- VI 1п(1 - г)| 1п 1п 11п(1 - г)| - р-о1 |р|

для почти всех С на — 1.

В пятом параграфе исследуются граничные свойства конформных отображений на основе закона повторного логарифма.

Предположим, что функция / аполитична и однолистна в круге D. Закон повторного логарифма Макарова эквивалентен тому, что существует абсолютная положительная постоянная С, такая, что

Цмвир , _<С

г—1- ^|1п(1-г)|1п1п|1п(1-г)| ~

для почти всех С, на окружности |(| — 1. Поммсрспке [12] покачал, что данное

неравенство справедливо при С = С. В пятом параграфе доказано, что этот

закон верен при С = 2л/3. Этот результат позволяет уточнить метрические

свойства образов подмножеств единичной окружности положительной меры

при конформных отображениях круга на области, ограниченные жордановой

кривой.

Итак, пусть Í2 - односвязная область на комплексной плоскости, ограниченная жордановой кривой. Тогда по теореме Римана существует конформное отображение / круга D = {z : \z\ < 1} na fl.

Основная проблема: пусть А - множество положительной линейной меры на í)D; требуется охарактеризовать метрические свойства /(Л).

Классическая теорема Рисса - Привалова утверждает, что если область /(D) имеет спрямляемую границу, то линейная мера /(И) также положительна. М.А. Лаврентьевым [16] показано, что в общем случае этот результат не верен.

Введем некоторые понятия, необходимые для формулировки основного результата пятого параграфа.

Пусть <р - некоторая непрерывная, положительная, строго возрастающая функция на интервале [0, +оо), причем уз(0) = 0. Пусть А - множество на комплексной плоскости.

у—мерой Хаусдорфа множества А называется величина

ЛД/1) = liin inf X>(<liam¿M,

где ипфимум берется по всевозможным покрытиям Вк множества А, таким, что diami?;.. < е. В том случае, когда tfi(t) — I". вместо обозначения просто пишут Л„. Карлссоном в 1973 году доказана

Теорема А. Пусть / - конформгюе отоб]хкисенив круга D на односоязную область О. Предположим, ■что множество А с <® имеет положительную линейную меру. Тогда, найдется е > 0, такое, ■что Л1у*2ie{f{A)) > 0.

В 1985 году Н.Г. Макаров [15] показал, что в качестве е можно взять любое положительное число из интервала (0,1/2). Более того, им доказана

Теорема В. Предположим, что А - борелевское множество положительной линейной меры- на окружности с®. Тогда найдется абсолютная константа С > 0, такая, »сто А^(/(А)) > 0, где

В 1992 году Поммеренке показал [12], что в качестве константы С можно взять число 30. Мы понижаем эту константу до 6\/3. Отметим важность константы С: при разных ее значениях получаются неэквивалентные меры Хауедорфа.

Шестой параграф посвящен проблеме коэффициентов однолистных функций. Основным результатом является решение проблемы Андерсона, Клуни и Поммеренке, поставленной в [17]: иайти или оценить

где о„(/) - тейлоровские коэффициенты 1п/'(г). Покачано, что этот супремум равен 4.

Пусть б1) — класс функций, однолистных и аналитических в круге О, нормированных следующим образом:

Рассмотрим наряду с классом класс Е — аналитических и однолистных в Ю- = {|г| > 1} функций, нормированных следующим образом:

вир М/)], /ея

Л*)=а1(/)г + а*(/)г1+---1 |/(*)| < 1, * е В.

Р{г) =г + Ъ0{Р) + й, (^)г-1 + Ь2{Р)г~г + ■■■

Рассмотрим следующие величины:

Ап = вир |с*п(/)|, Вп = вир |Ь„(^)|,

/ел-!

РеЕ

Карлесон и Джонс [8| доказали неравенства

Бп/С < Ан < С1п2 пВ„, п > 2.

в этих неравенствах С — абсолютная положительная константа. В шестом параграфе доказано, что на самом деле верно более сильное соотношение

Ап < СЫпВп\пп.

Преимущество этого неравенства заключается в том, что, во-первых, показатель степени логарифма, уменьшается па порядок, во-вторых, вместо Вп берутся И„Лпп-

В седьмом параграфе изучена проблема, поставленная Гамильтоном [18]: для каких областей П существует постоянная к(Ъ2) < +оо, такая, что

У |/|2с1.Т()у < Л(П) I |У/|2(1®с1у !! «

для любой аналитической в €1 функции /(г), •нормированной условием /(0) = 0.

Если такая константа существует, то область П будем называть гамильто-новой.

Это неравенство является аналогом неравенства Пуанкаре для функций с компактным носителем, которые обращаются в нуль на границе области. Ф.Г. Авхадисвым и Р.Г. Салахудиповым [19] выделены области, для которых оно верно. Этими областями являются области класса Джона, т. е. области без внутренних нулевых углов. В другом направлении Хуммелем [20] был построен приме!) спиралеобразной области, для которой аналитическое неравенство Пуанкаре не верно. Нами получен следующий результат.

Существуют ограниченная звездная область П со спрямляемой границей и аналитическая в П функция /(г), такие, что

У \/\2ЛхАу = +оо, п

J |у/|2а.тс1г/ < +оо.

¡1

Вторая глава диссертации посвящена оценкам интегральных средних в различных подклассах однолистных функций.

В первом параграфе этой главы рассматриваются конформные отображения, логарифм производных которых представим в виде лакунарного

ряда. Адамара. Эти функции отображают круг на области с фрактальными границами. Доказано, что для таких отображений справедливо неравенство

liirisup , < 2ШпШ

г—1 1и(1 — 7*) I 111 111 [ 111(1 — 7") [ - t-0 t

для почти всех Ç на окружности |Ç| = 1. Равенство достигается в случае, если существует предел

lim/j2(r)/| 1п(1 — г) I,

вде = ЕГ-1 К12г2«<.

В этом же параграфе доказано асимптотическое соотношение ßf{t) = 0/(0 + <КП при t О, где q - показатель лакуна.рпости ряда (функции In/'.

Второй параграф посвящен исследованию спектра интегральных средних для бассейнов притяжения бесконечности полиномов (см. [21|). Подробно рассматривается случай F — zq + с, где q - натуральное число, большее 2. Предполагается, что параметр с выбран таким образом, что бассейн притяжения бесконечности Qp - односвязная область.

Получены следующие результаты.

Пусть J - конформное отоб}ю,жсиг1с внешности единичного щ>уга D на бассейн притяжения бесконечности полинома F — z4 + с

lim ^ф- = ^ + о{Х) при X — О, t—o lA 4

X = dim fi - 1, где dimiî - xaycdojxfioea размерность 0П.

Если

о < с < (l/q)W*~l>{l - 1/9),

то

ßj(l')> 0 < i < -t-oo.

В третьем параграфе второй главы изучаются свойства интегральных средних полиномиальных произведений Риеса, которые тесно связаны с полиномиальной динамикой на плоскости. Рассматриваются локально однолистные в круге функции /, производные которых имеют вид

оо

/'(^) = ПФ^)> 1г1<1- ф(0) = 1.

к=о

где Ф(г) - некоторая функция, аналитическая в круге В.

Следует отметить, что единичный круг является естественной областью определения таких отображений. Литтлвуд [22] использовал такое отображение с функцией Ф(г) = (1 + г/3)/(1 — г/З)3 для построения ограниченной аналитической и однолистной в круге функции, коэффициенты которой не удовлетворяют соотношению а* = 0(1/к), к —> оо, что явилось первым нетривиальным результатом в проблеме коэффициентов для ограниченных однолистных функций.

Пусть д,тп — натуральные числа, д >2. Введем следующие обозначения:

оо

а2(т,д) = ьир{о} : /' = Црт(^), Г ф О в В},

к~0 оо

р2{т,д) = вир{0,(2) : /' = П**»^)'/' * 0 в ®>-

В этих определениях супремум берется по всем полиномам рт степени т, нормированных условием рт(0) = 1.

Доказано, что сг2(га) аналитически зависит от параметров т. и д. Функция Дг(гп, д), несмотря на схожесть с <г2(т,д), имеет точку фазового перехода гп = д — 1, т. е. эта функция изменяет свое поведение в точке т ~ д — 1.

Показано, что

. тг2 (д + 1)гп2 а2{т,д) = ———,

/>2 ('"'•> д) 1пч - 1п —■ _ 2 ) , т < д - 1,

Ь < * 1П \(д — 1)! ^ ) '

т. > д — 1.

В четвертом параграфе главы 2 доказана теорема искажения для ла-кунарных рядов. Справедливо следующее утверждение.

Предположим, что / конформно отображает круг В на односвязную область на плоскости, и

оо

1П /' =

где q - натуральное число, большее 1. Тогда для любого а > О существует Са < +оо, такая, что

1п

а I« _2_

1-г

!/'(•*) 1 <са \г\ = г < 1.

Более того, при д > 3

С помощью этой теоремы показано, что функция

П Ч ь-о /

О

является неоднолистной в круге О, если |Л| > 1п2 = 0.09... Этот результат улучшает оценку, полученную Крсцером: |А| > 0.75 [23].

В этом же параграфе доказана гипотеза Бренпапа для конформных отображений круга, логарифм производных которых представим в виде лакунар-ного ряда Адамара с показателем </ > 15.

Речь идет о следующей проблеме. Пусть П - односвязная область на плоскости. пе совпадающая со всей плоскостью, и - конформное отображение единичного круга В на $2. Бреннаном [24] была высказана гипотеза о том, что е ЬР(И), 4/3 < р < 4, т. е.

I |у/Р'(1;Ы1/ < оо, 4/3 < р < 4.

Если Г2 - плоскость с разрезом по некоторому лучу, то при р (/[ (4/3,4)

[(/[Мтс^у = ОО.

п

Нами доказано, что если функция / аполитична, однолистна в круге В и 1п/'(г) = I Щ+1/Щ > 1 > 15, то гипотеза Бреннана верна.

В пятом параграфе главы 2 доказана гипотеза Бреннана для класса функций, имеющих следующее представление:

где Qfc > 0 при к > 1, а функция g(z) удовлетворяет в круге В условию

Ие9(г)=0(1п(1-|г|)), \z\ —> 0.

Здесь и далее Rez - вещественная часть числа z. Отметим, что функция Кебе /(z) = z/(l — z)2 принадлежит этому классу. Кроме того, нетрудно показать, что существуют функции из этого класса, отображающие круг на области с фрактальными границами.

Параграф 6 посвящен точным оценкам интегральных средних в трех подклассах класса Е. Получены следующие результаты.

Пусть F 6 Ец и Ф(г) - произвольная функция, аналитическая о круге {\z — 1| < 1}. Тогда для любого R > 1 выполнено неравенство

f |Ф(ПС))12<М < / |Ф(1 + 1/С2)|2М (C=Rew). К1=л 1<1=л

В частности, прир > — 1 для любой функции РеЕ о имеет место точная оценка

2* п

J |Г(е»)|'<Ю <

D обоих неравенствах равенство достигается, например, для функции Жуковского F(Q — С, — 1 /С-

Пусть />' = £ + YlkLi o,kC~k ё S* и Ф(г) - произвольная функция, аналитическая в круге {\z - 1| < 3 - 2\/2} . Тогда для любого R > V2 + 1 выполнено неравенство

J \V(F'(0)\2dO < J |Ф(1 + 1/C2)|2di> (С = 1<1=я Kl-я

Пусть функция Ф аполитична в окрестности 1 и Ф(1) Ф 0. Тогда найдется помокительное число Тф, такое, что

вир / |Ф(Л*))1«Ю = / |Ф(А£(*))И /esh J J

|i|=r |г|=г

для любого г < Гф, где k±(z) — z/{ 1 ± z)2.

Пусть ft - односвязная область, лежащая в круге В. Область ft называется гиперболически выпуклой, если любые две точки из ft можно соединить

дугой окружности, лежащей в П и ортогональной к окружности |г| = 1. Голоморфная и однолистная в В функция / называется гиперболически выпуклой, если область /(В) лежит в О и является гиперболически выпуклой.

В параграфе 7 главы 2 доказана гипотеза Мехи и - Поммеренке о том, что тейлоровские коэффициенты гиперболически выпуклых функций в круге ведут себя как 0(1п-2(п)/п) ( п —> оо) в предположении, что образ единичного круга при отображении такими функциями является областью с ограниченным граничным вращением. Кроме того, получены асимптотически точные оценки интегральных средних производных таких функций, а также рассмотрен пример гиперболически выпуклой функции, отображающей единичный круг на область с бесконечным граничным вращением.

Доказано утверждение.

Пусть функция / гиперболически выпукла о круге Ю>. Тогда найдется положительная константа С < оо, такая, что

«г. < С-, о , и > 2,

п иг п

а(П) = Шп а(Пг) = [гв«^) +

АО

— граничное вращение области /(О).

Последний предел (коночный или бесконечный), очевидно, существует. Величины а(Г2г) характеризуют граничное вращение линий уровня области О (см. 125]).

В работе [27] была также сформулирована и другая гипотеза: коэффициенты гиперболически выпуклых функций удовлетворяют соотношению

£ А=М2(1 - г») = О (V3 -4-) , г - 1. (1)

Геометрический смысл этого соотношения заключается в том, что при г —» 1 площадь области /(|г| < г) стремится к площади образа крут /(В) со скоростью порядка |1п(1 — г)|-3.

Получен следующий результат.

Предположим, что функция / гиперболически выпукла и область /(В) имеет конечное граничное вращение. Тогда тейлоровские коэффициенты /

удовлетворяют соотношению (1) и выполлсио неравенство

к

J |/'(еИ)| ьр(1 + \1'(е*0)\)ЛО < +оо

—-Л-

для любого положительного р < 1.

В главе 3 изучается граиичиое поведение аналитических в круге Ю> функций, принадлежащих различным классам. Хорошо известно, что функция, аналитическая в круге, может быть разложена в ряд Тейлора, сходящийся во всем круге. Пусть {а*} — последовательность комплексных чисел. По теореме Фату, если < °°> то РЯД имеет почти всюду некасательные пределы на окружности |г| = 1. С другой стороны, для произвольного ряда такого, что 5Z|ot|2 = оо, перед коэффициентами а* можно расставить знаки ± так, чтобы этот ряд почти всюду не имел даже радиальных пределов ([28], глава 5, п. 8). Пусть последовательность целых чисел А*, лаг кунариа по Адамару, т. е. limmf)î_00 \k+i/\k > 1. Предположим, что ряд 'ikZXk является аналитической в круге D функцией. Для лакунарных рядов известно ([28], глава 5, п. 6), что если |сц-|'2 — оо, то этот ряд почти всюду не имеет даже радиальных пределов.

А.И. Маркушевичем ([29], [30], глава 2, п. 10) сформулирована следующая проблема: найти классы функций, существенно отличных от лакунарных рядов, для которых верно следующее: если X)|«fc|2 — 'го РЯД не имеет почти всюду радиальных пределов для любого набора знаков ±. Под существенно отличными от лакунарных рядов подразумеваются функции, которые не могут быть представлены в виде суммы некоторого лакунарного ряда и ряда, у которого сумма квадратов коэффициентов ограничена.

Основные результаты главы 3 сформулированы в трех теоремах. В теореме 1 получен критерий сходимости ряда из положительных чисел. На этой основе доказана теорема 2, в которой предъявлен класс, содержащий функции, существенно отличные от лакунарных, для которых верно следующее: если Е1аА-|2 = °°> 'ш найдется множество положительной меры на окружности, на котором не существует радиальных пределов. Тем самым дано частичное решение сформулированной выше проблемы А.И. Маркушевича.

Основной целью четвертой главы является получение точных теорем сравнения между (-/-моментами компактного множества Q С R"(n > 1). Рас-

сматриваются {/-моменты вида

J |х|*/(х)<1з; > -п), а

где /(х) - неотрицательная функция, / е ¿'(П).

Изопериметрические неравенства для моментов инерции (см. [32] для п = 2 и [33] для п = 3)

1+2/п

/ |x|2da; ~ f \x\*dx ' (2)

h |xj<i

являются точными для любого шара

Q = В{0,р) = {ieR": |х| < р}. Имеется несколько обобщений (2) с ограниченным весом для п = 3 (см. [33]).

Отметим, что используя методы симметризации, несложно получить аналог неравенства (2) для J"ds и f |x|®da:, q > 0.

В этой главе мы приводим новый способ доказательства неравенства (2) и его нетривиальных аналогов.

Доказано следующее утверждение.

Пусть Q - компактное множество и:> П." (п > 1), mcs(fi) > 0. Если 0 < f(x) < 1 в П и 0 < <7i < < оо, то

(\ l/îi / \ '/92

Равенство достигается тогда и только тогда, когда f(x) = 1 почти всюду в il и П = В(0, р) U Е, где mes(Е) = 0 и

В(0,р) = {î6R" : |х| < р), р= |NU~(n)-

Отметим, что мы имеем дело с монотонностью, но не с выпуклостью, что осложняет проведение доказательств. Например, функции

тМ) = I -г- / I = (2' " 1)1/'

¿î /

1<М<2 /

возрастают, но функция In m'^iq) вогнута при q € (0, оо).

Результаты главы 4, а также теоремы 1 и 2 параграфа 5 главы 1 получены совместно с Ф.Г. Авхадиевым. Пример гиперболически выпуклой области с бесконечным вращением (параграф 7, глава 2) разобран совместно с Ю.В. Обносовым.

Автор выражает глубокую благодарность Ф.Г. Авхадиеву за постоянное внимание к работе и плодотворные беседы, способствовавшие улучшению диссертации. Автор признателен A.M. Елизарову и С.Р. Насырову за ряд полезных замечаний, а также Г.И. Мухамадуллиной за техническую помощь при оформлении диссертации.

Литература

[l| Baernstein A. Integral means, univalent functions and circular symmetrization // Acta Math. - 1974. - V.133. - P. 139-169

[21 Gronwall Т.Н. Some remarks on conformal representation // Ann. of Math. - V. 2, No 16. - P. 72-7G

(3| Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. - М.: Наука, 1975. - 336 с.

[4] Littlewood J. On inequalities in the theory of functions // Proc. London Math. Soc. (2). - 1925. - V. 23. - P. 481-519.

[5] Prawitz H., Uber die Mittelwerte analytischer Funktionen // Arkiv Mat. Astr. Fys. - 1927/28. - No 20. - P. 1-12.

[6] Гайдук B.H. Об однолистности решений обратных краевых задач // Труды семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та, 1972 , вып. 9. - С. 39-48.

[7| Makarov N.G. Conformal mapping and Hausdorff measures // Ark. Mat. -1987. - V. 25. - P. 41-89.

[8] Carleson L. and Jones P. On coefficient problems for univalent functions // Duke Math. J. - 1992. - V. TO, No 2. - P. 169-206.

[9| Feng J., MaeGregor Т.Н. Estimates of integral means of the derivatives of univalent functions // J. Analyse Math. - 197G. - V. 29. - P. 203-231.

[10] Makarov N.G. A note on the integral means of the derivative in conformal mapping // Proc. Amer. Math. Soc. - 1986. - V. 96. - P. 233 -236.

[11] Pommerenke Ch. On boundary size and conformal mapping // Complex Variables. - 1989. - No 12. - P. 231-236.

[12] Pommerenkc Ch. Boundary behaviour of conformal maps. Springer-Verlag, Berlin, 1992.

[13] Rohde S. Hausdorffmas und Randverhalten analytischer Functionen, Thesis, Technische Universität, Berlin, 1989.

[14] Makarov N.G., Fine structure of harmonic measure // St. Petersbg. Math. J. - 1999. - V. 10, No 2. - P. 217-268.

[15] Makarov N.G. On the distortion of boundary sets under conformal mappings // Proc. London Math. Soc. - 1985. - V. 51, N 3. - P. 369-384.

|16| Лаврентьев M.A. О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций // Матем. сб. - 1936. - Т. 1. - С. 815-846.

[17| Anderson Л.М., Clunie J. and Pommerenke Ch. On Bloch functions and normal functions // J. Reine Angew. Math. - 1974. - T. 270. - P. 12 - 37.

[18] Barth К. F., Brannan D. A., Hayman W. K. Research problems in complex analysis // Bull. London Math. Soc. - 1984. - No 16. - P. 490 517.

[19] Avhadiev F.G., Salahudinov R.G. Sharp estimations of norms in Bergman Spaces and their application // The 5 g. Preprint, Series in Mathematics. Kazan University Press. - 1997. - N 1. - P. 1-4.

[20] Hummel J.A. Counterexamples to the Poincare inequality // Proc. Amer. Math. Soc. - 1957. - V. 8, No 2. - P. 207-210.

[21] Милнор Дж. Голоморфная динамика. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. - 320 с.

[22] Littlewood J. On the coefficients of schlicht functions // Quart. J. Math. Oxford Ser. - 1938. - V. 9. - P. 14-20.

[23] Kraetzer Ph. Algorithmische Methoden der konformen Abbildungen auf fraktale Gebiete. Genehmigte Dissertation, Berlin, 2000.

[24] Brennan J.E. On the integrability of the derivative in conformal mapping // J. London Math. Soc. (2). - 1978. - V. 18. - P. 261-272.

{25} Авхадиев Ф.Г., Аксептьев Л.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности // Успехи матем. наук. - 1975. - Т. 30, Вып. 4. - С. 3-60.

[26] Гайдук В.Н. Об однолистности решений обратных краевых задач // Труды семинара по краевым задачам. Изд-во Казанского ун-та, 1972 , вып. 9. - С. 39-48.

[27] Mejía D., Pommerenke Ch. Sobre aplicationes conformes hiperbólicamente convexas // Revista Colombiana de Matemáticas. - 1998. - V. 32. - P. 29-43.

[28] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 1. - M.: Мир, 1965. - 616 с.

|29| Маркушевич АЛ. Некоторые вопросы теории граничных свойств аналитических функций // Успехи Математических Наук. - 1949. - Т.4, Вып. 4(32). - С. 3-18.

[30] Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. - Москва-Ленинград: Гос. издательство тохнико-тсорстичсской литературы, 1950. - 336 с.

[31] Стечкин С.Б. Избранные труды: Математика. - М.: Наука. Физматлит, 1998. - 384 с.

[32] Pólya G. and Szego G. Isoperimetric inequalities in mathematical physics. Princeton, Princeton University Press. - 1951.

[33] Bandle C. Isoperimetric inequalities and applications, Pitman Publishing Inc., 1980.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Каюмов И.Р. Граничное поведение аналитических произведений Рисса в круге / И.Р. Каюмов // Математические труды. 2006. Т. 9, № 1. С. 34 - 51.

[2] Kayumov I.R. Lower estimates for integral means of univalent functions / I.R. Kayumov // Arkiv for matematik. 2006. V. 44.

[3] Каюмов И.Р. К закону повторного логарифма для конформных отображений / И.Р. Каюмов // Математические заметки. 200G. Т. 79, Вып. 1. С. 150 - 153.

[4] Каюмов И.Р. Спектр интегральных средних и модифицированная функция Бесселя нулевого порядка / И.Р. Каюмов // Алгебра и Анализ. 2005. Т. 17. №3. С. 107 - 123.

[5] Каюмов И.Р. О гипотезе Бреннаиа для специального класса функций / И.Р. Каюмов // Математические заметки. 2005. Т. 78, Вып. 4. С. 537 - 541.

|6j Каюмов И.Р. Оценки интегральных средних гиперболически выпуклых функций / И.Р. Каюмов, Ю.В. Обносов // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, №6. С. 1316 - 1323

¡7| Каюмов И.Р. Точные оценки интегральных средних для трех классов областей / И.Р. Каюмов // Математические заметки. 2004. Т. 76, Вып. 4. С. 510 - 516.

[8] Avkhadiev F.G. Comparison theorems of isoperimetric type for moments of compact sets / F.G. Avkhadiev, I.R. Kayumov // Collect. Math. 2004. T. 55. No 1. C. 1-9.

[9] Каюмов И.Р. Теорема искажения для однолистных лакунарных рядов / И.Р. Каюмов // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44. №6. С. 1273 - 1279.

[10] Авхадиев Ф.Г. Исследования по теории функций и изопериметриче-ским задачам / Ф.Г. Авхадиев, И.Р. Каюмов, Р.Г. Салахудинов // В книге "На рубеже веков. НИИММ Казанского университета 1998-2002". Казань: изд-во Казан, матем. общества. 2003. С. 37-50.

[11| Kayumov I.R. Lower estimate for the integral means spectrum for p—-1 / I.R. Kayumov // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. V. 130. No 4. P. 1005-1007.

[12] Kayumov I.R. The law of tin; iterated logarithm for locally univalent functions / I.R. Kayumov // Ann. Acad. Sci. Fennicae. 2002. V. 27. P. 357-364.

[13] Kayumov I.R. Lower estimates for the integral means spectrum / I.R. Kayumov // Complex Variables. 2001. V. 44. P. 165-171.

[14] Kayumov I.R. The integral means spectrum for lacunary series / I.R. Kayumov // Ann. Acad. Sci. Fennicae. 2001. V.26. P. 447- 453.

[15] Авхадиев Ф.Г. Оценки в классе Блоха и их обобщения /' Ф.Г. Авхадиев, И.Р. Каюмов // Доклады АН России. 1996. Т.349. №5. С.583-585.

¡1б| Каюмов И.Р. Обобщение и приложение одной теоремы Радона / И.Р. Каюмов ,// Известия Вузов. Математика. 1906. №4. С.35-38.

[I7j Avhadiev F.G. Estimates for Block functions and their generalization / P.G. Avkhadiev, I.R. Kayumov // Complex Variables. 1996. V.29. P. 193-201.

[18] Каюмов И.Р. О проблемах коэффициентов для однолистных функций / И.Р. Каюмов // Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышсва. Том 1. М.: Изд-во мехмата МГУ, 1996. С.188-191.

[19] Авхадиев Ф.Г. Оценки логарифмических коэффициентов для производных в основных классах однолистных функций / Ф.Г. Авхадиев, И.Р. Каюмов // Труды 7-й Саратовской зимней школы "Теория функций и ее проиложения". 1995. 4.2. С.77-81.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им. В.И.Ульянова-Ленина

Тираж 100 экз. Заказ 8/9

420008, г. Казань, ул. Университетская, 17 тел. 292-65-60, 231-53-59

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I

ОСОБЕННОСТИ ПРОБЛЕМЫ НЕИДЕАЛЬНОСТИ В ПЛАЗМЕ

1.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОБЛЕМЫ НЕИДЕАЛЫЮСТИ.

1.2. ТЕРМОДИНАМИКА РЕАЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ В КВАЗИХИМИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

1.2.1. Эффективное взаимодействие зарядов.

1.3. КОНКУРЕНЦИЯ ПРОЦЕССОВ ОБРАЗОВАНИЯ АССОЦИАЦИЙ И ФАЗОВЫХ

ПЕРЕХОДОВ.

1.3.1. Роль модельного сопровождения в физике неидеалыюй плазмы.

1.4. ПРОБЛЕМА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ПЛАЗМЕ И КУЛОНОВСКИХ МОДЕЛЯХ

1.4.1. Переходы флюид-флюид в кулоновских системах.

1.4.2. «Плазменные» фазовые переходы. Традиционный путь.

1.4.3. «Плазменность» обычных фазовых переходов.

1.4.4.«Диссоциативные» фазовые переходы.

1.5. ПРОБЛЕМА НЕКОПГРУЭНТНЫХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ПЛАЗМЕ КОМПАУНДОВ И ХИМИЧЕСКИХ СМЕСЕЙ

1.5.1. Неконгруэнтность. Общие замечания.

1.5.2. Неконгруэптиость в химически реагирующей плазме компаундов.

1.5.4. Неконгруэнтность «плазменных» и «диссоциативных» фазовых переходов.

Глава II

ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПИСАНИЕ ЭФФЕКТОВ НЕИДЕАЛЫЮСТИ В ТЕРМОДИНАМИКЕ КУЛОНОВСКИХ МОДЕЛЕЙ И РЕАЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

Введение.

2.1. БАЗОВЫЙ ПОДХОД В ОПИСАНИИ ЭФФЕКТОВ НЕИДЕАЛЫЮСТИ.

2.2. МОДЕЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПОДХОДА

2.2.1. Модель однокомпонентной плазмы.

2.2.2. Модель классической двухкомпонентной плазм.

3.1.1. Безассоциативные модели плазмы. Общие свойства.58

3.1.2. Термодинамика фазовых переходов в безассоциативпых моделях плазмы.64

3.1.3. Особенности фазовых границ в безассоциативиых моделях плазмы.66

3.2. АНОМАЛЬНЫЕ ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ В БЕЗАССОЦИАТИВНЫХ МОДЕЛЯХ

ПЛАЗМЫ

3.2.1. Стандартный тип фазовой диаграммы в электрон-ионных моделях.73

3.2.2. Аномальные типы фазовой диаграммы в электрон-ионных моделях.73

3.2.3. Об универсальном характере единого фазового равновесия кристалл-флюид.78

3.3. ВЗАИМОСВЯЗЬ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В МОДЕЛИ ОСР(~) С РЕШЕНИЕМ

ЗАДАЧ ТЕРМОЭЛЕКТРОСТАТИКИ

Введение.Г.80

3.3.1. Фазовые переходы в кулоновских системах и аномалии равновесных профилей пространственного заряда в неоднородной плазме.81

3.3.2. Иллюстрации и приложения.83

3.4. СПИНОДАЛЫ1ЫЙ РАСПАД ЗОНЫ МЕТАСТАБИЛЫЮГО ПЛАВЛЕНИЯ

В ПРЕДЕЛЕ НУЛЕВОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ

Введение.91

3.4.1. Нормальные сценарии завершения метастабилыюго плавления.94

3.4.2. Аномальные сценарии завершения метастабильного плавления.96

3.5. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ФАЗОВОЙ ГРАНИЦЫ

В КУЛОНОВСКИХ СИСТЕМАХ

Введение. Особенности термодинамического равновесия в кулоновских системах.98

3.5.1. Химический и электрохимический потенциалы в кулоновских системах.99

3.5.2. Термодинамический характер потенциала межфазпой границы в кулоповской системе.102

3.5.3. Низко- и высокотемпературный пределы потенциала межфазной границы.103

3.5.4. Возможность «измерения» потенциала межфазной границы в численном моделировании.106

3.5.5. Потенциал межфазной границы газ-жидкость в расчетах химической модели плазмы .107

3.5.6. Электростатика межфазных границ в модели ОСР(#).109

3.5.7. Электростатика межфазных границ в однородно-сжимаемых безассоциативпых моделях . 113

Заключение.116

Приложение к главе III. Аппроксимации для уравнения состояния подсистем.117

ВЫВОДЫ главы III

1. На примере семейства «безассоциативных» кулоновских моделей установлен ряд закономерностей, присущих фазовым переходам в чисто кулоновских системах.

2. На базе модифицированной однокомпонентной модели плазмы (ОКП) установлено существование класса аномальных фазовых диаграмм с нестандартной топологией фазовых границ газ-жидкость-кристалл, включая случай с непрерывной суперпозицией границ кипения и сублимации и отсутствием критических точек, а также пограничные ситуации, отмеченные существованием псевдокритических точек.

3. Установлены закономерности поведения специфической характеристики фазовых переходов в кулоновских системах - электростатического потенциала межфазной границы. Характеристики этого потенциала в пределе высоких и низких температур изучены для фазовых переходов в идеализированных кулоновских моделях и реальной плазме.

4. Впервые изучена взаимосвязь изучаемого фазового перехода в модели ОКП с появлением аномалий (разрывов) в решении задач о вычислении равновесного профиля заряда в неоднородной плазме в приближении квазиоднородности.

5. На базе модифицированной модели однокомпонентной плазмы установлена структура границ перехода кристалл-жидкость в области глубокого метастабильного плавления в пределе низких температур. Как наиболее вероятный для реальных веществ, изучен сценарий «спинодального распада» зоны плавления, завершающего при конечной температуре термодинамическую часть зоны метастабилыюго плавления из-за пересечения границы замерзания жидкости и спинодали фазового перехода жидкость-газ.

Глава IV. Некош руэнпюс фазовое равновесие в плазме химических смесей ЗАКЛЮЧЕНИЕ ГЛАВЫ IV

На основе единого квазихимического представления построена термодинамически согласованная модель химически реагирующего, частично ионизованного уран-кислородного флюида.

На основе данного подхода построена теоретическая модель неконгруэнтного фазового равновесия газ-жидкость в химически реагирующей неидеалыюй уран-кислородной плазме.

Построена эффективная процедура нахождения параметров модели (калибровки) позволяющая описывать всю совокупность известной экспериментальной информации для термодинамики испарения системы уран-кислород.

Для плазмы продуктов экстремального нагрева диоксида урана впервые установлена корректная структура фазовых границ неконгруэнтного испарения, включая критическую точку.

На основании проведенных расчетов предсказаны экстремальные характеристики испарения диоксида урана (пик давления и максимум кислородного обогащения паров, характер изменения теплоты испарения и др.) Полученные результаты заметно отличаются от рекомендаций существовавших ранее теорий. Эти данные важны для проблемы безопасности существующих и перспективных ядерных реакторов.

На основании развитой модели предсказан неконгруэнтный характер гипотетического «плазменного» фазового перехода (ПФП) в гелий-водородной плазме недр планет-гигантов и желтых карликов.

На примере широко используемой в астрофизических приложениях версии ПФП (Saumon & Chabrier) приближенно оценены знак и величина такой неконгруэнтпости в плазме Юпитера и Сатурна. Полученные результаты соответствуют экспериментально наблюдаемому эффекту гелиевого «обеднения» атмосфер Юпитера и Сатурна.

1. Meyer R.A. and Wolfe В.Е. Trans. Am. Nucl. Soc. 7(1), 111 (1964).

2. Miller D., in Proceedings of the Conference on Safety Fuels, and Core Design in Large Fast Power Reactors, Argonne October 1965, USAEC Report ANL-7120, pp. 641-653, Argonne National Laboratory. Argonne, Illinois, 1965.

3. Menzies D.C. The Equation of State of Uranium Dioxide at High Temperatures and Pressures, TRG Report 1119 (D), UKAEA, London, 1966.

4. Robbins E.J. Limits for the Equation of State of Uranium Dioxide, TRG Report 1344(R), UKAEA London, 1966.

5. Booth D.L. The Thermodynamic Properties of Na, Al203 Mo and U02 above 2000 K, TRG Report 1759 (R/X), UKAEA London, 1968, 1974.

6. Gillan M.J., in Thermodynamics of Nuclear Materials, Proceedings of the Vienna Symposium, 1974, Vol.1, IAEA Vienna, 1975, pp. 269-285.

7. Fischer E.A., Kinsman P.R., and Ohse R.W. J. Nucl. Mat. 59, 125 (1976).

8. Kapil S.K. J. Nucl. Mater. 60, 158 (1976).

9. Browning P., Gillan M.J., Potter P.E. The Equation of State of Uranium Dioxide: A Comparison of the Corresponding States and Significant Structure Theory, Report AERE-R 8129, UKAEA, London, 1977.

10. Finn P.A., Sheth A., and Leibowitz L., J. Nucl. Mat., 79, 14, (1979); see also Green, D.W. & Leibowitz L., J. Nucl. Mat., 105,184, (1982).

11. Fischer E.A. Proc. Intern. Symp. on Thermodynamics of Nuclear Materials, pp.115-128, Julich, IAEA-SM-236/17, (Vienna) 1979.

12. Dharmadurai G. J. Nucl. Mater. 110, 256 (1982).

13. Mistura L., Magill J., and Ohse,R.W. J. Nucl. Mater. 135, 95, (1985).

14. Fischer E.A. Report KJK 4084 (1987); Nucl. Sci. and Eng. 101, 97 (1989).