Эффекты нелинейности и необратимости в гравитирующих системах тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

■ - ' " ""■>

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. Ломоносова

На правах рукописи БАРАНОВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ

УДК 524.3/4-32

ЭФФЕКТЫ НЕЛИНЕЙНОСТИ И НЕОБРАТИМОСТИ В ГРАВИГИРУВДИХ СИСТЕМАХ Специальность 01.03.01 - астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фазико-иатеыатичесхнх наук

Москва - 1993

ШСКОЕШ'Л ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ни. И. В. Ломоносова

На правах рукописи

БАРАНОВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ

УДК 524.3/4-32

ЭФФЕКТЫ ЕЕШЯШГСШ II ПЕСБРАТШЗСТЯ В ГРАВИТИРУЩИХ СИСТЕМАХ Специальность 01.03.01 - астрсиатрая и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физнко-натеиатическюс наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Институте теоретической астрономии Российской Академии Наук.

. Официальные оппоненты:

Доктор фнзнгсо-матвматических наук В. Г. Демин Доктор физико-математических наук А. М. Фридман Доктор физико-математических наук А. Д. Чернин

Ведущее учреждение: Главная Астрономическая Обсерватория Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится 1994 г. в ^*

часов —■*. .. минут на заседании специализированного Совета Д 053.05.51 по защите диссертаций нз соискание ученой степени дохтора физико-математических ваук при Московском Государственном Университете им. К. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, В-234, Университетский проспект, дом 13.

С диссертацией мбжно ознакомиться в библиотеке Государ ствеиного Астрономического Института им. П. К, Штернберга МГУ ( Москва; Университетский проспект. 13 >.

Автореферат разослан */ " /// 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математических наук

Л. Н. Бондареюсо

Целью дксертагга является исследование некоторых аспектов нелинейности и необратимости в системах большого числа гравитирующих тел. В одних случаях рассматриваются бесстолкно-вительные систекы, в других случаях предполагается, что тела сталкивается. Было иного исследований равновесных ( или стационарных ) конфигураций, а также исследований по малым отклонениям. Но окупается нехватка работ, связанных с большими отклонениями. Но и даже иалыэ отклонения недостаточно изучались с точки зрения наксзхеная необратимых изменений. Диссертация и посвящена рассмотрению отдельных характерных ситуаций. Объекты моделируются двоши образом: с одной стороны, как идеальная ( или вязкая ) жидкость, а с другой - как совокупность отдельных, не взаимодействующих между собой, а взаимодействующих лишь с обсеяи поле«, частиц.

В звездной динамике и теории фигур равновесия до сих пор изучались в основном стационарные конфигурации. Отдельные попытки решения нестационарных задач носят несколько абстрактный характер, и в них на первый план выступают соображения математического удобства. Некоторые более реалистические попытки анализа посвящены сравнительно узким проблемам, однако такое узкое рассмотрение не может нас.удовлетворить. Поэтому необходимы дальнейшие .исследования, в частности, по проблеме необраг тимых изменений как в жидких телах,' так и в бесстоясновитель-ных конфигурациях. Поставленная задача, по существу, является частным вариантом проблемы самопроизвольного установления равновесия в динамических системах, которая многократно, изучалась в разных аспекта*.

Механизмы , необратимости в некотором грубом описании разделяются на две категории. С одной стороны, это молекулярные механизмы вязкой диссипации, приводящей к установлению термо-' кинаиического равновесия. Естественно, в звездных системах роль молекул играют сами звезды. Эти факторы необратимости в звездных системах принято называть иррегулярными силами. Такие явления, как динамическое трение движения массивных и быстрых объектов и дмффузия момента или массы оказываются просто част-

ными проявлениями иррегулярных сил. Упомянутые молекулярные механизмы в конкретных астрофизических приложениях часто оказывается слишком медленными и не успевают завершиться за время жизни соответствующих систем. Однако есть другие эффекты, которые принято называть коллективными, поскольку для них несущественна молекулярная структура тела. Классическим примером является турбулентность в жидкостях. Но сходные явления распространены, в действительности, гораздо шире. Общей их чертой является, прежде всего, нелинейность, иногда явная, иногда замаскированная. Нелинейные процессы вообще очень трудны для анализа, и поэтому мы не всегда можем надеяться на их конкретное индивидуальное описание. Адекватное' описание коллективных процессов требует применения статистики. Это, однако, не исключает необходимости изучения отдельных характерных нелинейных задач. Коллективные процессы объединяются также важной ролью в них того или иного перемешивания в обычном иди фазовой пространстве, которое, грубо говоря, превращает глобальную структуру в локальную за счет нелинейных взаимодействий. Из общих соображений следует, что этот процесс гораздо более вероятен, чем обратная группировка локальной структуры в глобальные проявления. Этим, по существу, и создается необратимость коллективных процессов. Тенденция к установлению термодинамического равновесия сохраняется и в коллективных процессах, однако она носит ограниченный характер, т. е. мы не обязательно ожидаем установления твердотельного и ( или ) махсвелловского распределения по скоростям. Причина состоит в той, что по мере приближения к равновесию роль нелинейности неизбежно уменьшается из-за падения ее характерных амплитуд. Поэтому необратимые процессы обладают склонностью задерживаться или замораживаться, не доводя систему до термодинамического равновесия. Дальнейшее движение к нему возможно только за счет молекулярных процессов, что, как мы уже отмечали, не всегда реально осуществляется.

При решении поставленных задач очзнь большую пользу приносят традиционные небесноиеханичесзсиэ метода, например, при

изучении орбитальной гвоясции различных двойных систем. Теория фигур равновесия, столь важная для звездной динамики, тоже родилась из круга традиционных проблем небесной механики. Только ухе впосагдстзии стали обращать вникание на ее приложимость не только ¡с гмдкости в обычном смысле слова, но и к различным другкй сакогравитарувкш средам. Характерно, что и в отношена» тра*шшошйЯ объектов небесной механики, именно: различных кагсс т;л Солнечной системы приходится применять, наряду с кяассатесйии аппарате:!, также типичные статистические методы. При ргзг:?!::! задач, поставленных в диссертации, мы много раз будеа 5 бодаться в плодотворности такого сочетания классического сгбзсЬжазяакзчвсхогб подхода с гидродинамическими и статистачйсх&:!1 сссбрагеаадня.

Наусоэ ггг-з диссертации состоят в следующем:

1. Поставлена и ргЬзпа для болез обеэго закона плотности задача нахождения псркодаческнх орбит в поле тяготения почти сферически-симметричной звездной системы. Классифицированы различные типы таких орбит.

2. Систематически рассмотрены налые нзлинэШшэ колебания сфероидов Ыаклорена в связи с вопросом о наруезнии их симметрии и появлением резонансов. Получены взлияейныв смешения частот в сравнении со случаем независимых бесконечно малых колебаний.

3. Статистический эффект эволюции двойной системы при взаимодействии с проходящий звездами выявлен в задаче о динамическом поведении массивной пары внутри неподвижного или вращавшегося звездного облака. Подразумевается условия, близкие к наблюдаемым в центральных областях галактик.

4. Задача о воздействии слабой спиральной волны плотности га отдельные звезды плоского диска поставлена и решена под тглом зрения необратимой эволюции последнего. Выявлены сачественные закономерности фазового перемешивания при медленно дрейфующей частоте спиральной волны.

5. Методика расчета частот линеаризованных колебаний сфероидов Маклорена перенесена на случай присутствия малой

вязкости, проанализировано соответствующее изменение спектра частот. Показано, что ведущую роль в таком изменении играет эффекты типа известного пограничного слоя в гидродинамике.

На шшу мпспса>'

1. Известная в механике зависимость характерной частоты нелинейных колебаний от амплитуды подтверждается на примере движения звезды в поле неоднородной эллипсоидальной галактики и пульсаций эллипсоидальных фигур равновесия вращающейся жидкости.

2. Определена эволюция параметров массивной двойной системы вследствие взаимодействия с окружающим звездным фоном. Показана аналогия с динамическим трением индивидуального массивного объекта. Разделены устойчивые и неустойчивые случаи взаимодействия массивной двойной с вращающимся фоном.

3. Показана значительная эффективность возмущения "с медленно меняющейся частотой, действующего на плоскую гравити-рующую систему. Установлен необратимый характер резонансного захвата частицы.

4. Показана возможность и эффективность распространения понятия пограничного слоя на колебания, жидкой самогравитирую-щей массы в окрестности' положения равновесия. Разработана методика определения поправок, к частоте декремента 'затухания на примере первых гармоник колебаний слабо вязкой жидкости. -

5. В ряде важных случаев продемонстрирована тенденция к появлению необратимых эффектов, связанных .с нелинейными явлениями. Показано их родство с другими формами необратимых процессов.

Научная ценность двссерташш состоит в том, что:

1. Построены наклонные орбиты в Поле тяготения существенно неоднородней, но почти сферической модели.

2. Исследованы в случае слабой нелинейности различные типы колебаний, нарушающих ротационную сииаетрию, однородных фигур равновесия. Выведены канонические уравнения & разработан в ряде случаев способ учета резонансных з$$езсиш. Результаты прила. аются к некоторым типам пульсирующих переко&цз звезд.

3. Учтен эффект окружающего фона на эволюцию массивной хвойной системы. Допускается как неподвижный, так и вращающийся фон. Результаты прилагаются к изучению эволюции ядра Галактики.

4. Изучены необратимые последствия воздействия несимметричного нестационарного возмущения на распределение звезд или иных частиц в плоских самогравитирующих системах. Результаты имеют смысл для спиральных галактик, колец больших планет и протопланетных дисков.

5. Найдены поправки,' обусловленные малой вязкостью, к частотам, любых несимметричных колебаний эллипсоидов Маклорена. Показано, что возмущения форм колебаний носят характер поверхностного слоя.

ГЬсгпгксЕга . сггюэетъ дксертащи состоит с том, что результаты когут быть применены для уточнения представлений об эволюции ряда объектов: плоских звездных систем и протопланет-ных облаков, пульсирующих переменных звезд, центральных областей галактик,, межзвездных облаков и протозвезд. Часть результатов может рассматриваться.как вклад в общие вопросы гидродинамики в связи с проблемой взаимодействия разных частот и теорией пограничного слоя.

Аоробацв) работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинарах в ИТА АН СССР < РАН ), ЛГУ, ИКИ АН СССР, Римском университете "La Sapienza", на Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике ( Алма-Ата, 1981 ), Nordic-Baltic Astronomy Meeting ( Уппсала,, 1990 >, 12th European Regional Astronomy Meeting of the IAU ( Давос, 1991 ), IAU Symposium 152 "Chaos, Resonance and Collective Dynamical Phenomena In the Solar System" ( Ангра-дос-Рейс,

1991 ), IAU Colloquium 134 "Nonlinear Phenomena in Stellar' Variability" ( Ыито, 1992 ), Euroaech 287 "Discrete Modele in Fluid Dynamics: Theory, Simulation and Experiment" ( Кальяри,

1992 ),. Conference on Stochastic Processes and Their Applications ( Амстердам, 1993 ), 1st European Conference on Nonlinear Oscillations ( Гамбург, 1993 >.

Работа выполнена в соответствии с утвержденными планами научных исследований Института теоретической астрономии Российской Академии Наук.

Структура ■ объем щкееоташн. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Полный текст диссертации 231 стр., в том числе 218 стр. текста, 3 таблицы. Список литературы содержит 112 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введем обоснована актуальность работы, приведены цели исследрвания и новизна, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, дана общая характеристика диссертации.

В Гиае I исследуются периодические орбиты звезд в осе-симметричных звездных системах. Отмечено,, что нелинейный процесс в системе в целом не сводится к сумме возмущенных движений отдельных частиц. Тем не менее какую-то информацию о коллективном процессе из рассмотрения отдельных орбит все-таки можно получить.

Периодические орбиты представляют собой довольно узкий класс возможных движений звезд в звездных системах, допустимый только при специально выбранных начальных условиях. С другой стороны, при исследовании периодических орбит мы имеем возможность формулировать некоторые абстрактные проблемы, педставля-ющие интерес для общей динамической теории даже независимо от практического контехста, в котором они возникают. Современные представления о периодических орбитах в звездных системах основаны главным образом на численных экспериментах. Они были выполнены для.. сравнительно простых моделей, при этом порождающие орбиты, как правило, предполагались кругозьси.

В настоящей диссертации рассматриваются периодические орбиты в моделях довольно общего звачг^гя, зри зтек никаких специальных ограничений па порождают орбита % предполагается. Мы исследуем периодические движения, приж*» 5э внимание эф-

фект сферичности ( степень отклонения фигуры от сферы > как возмущающий фактор. В первую очередь мы интересуемся такими свойствами г.гр:!одячгских орбит, которые являются наиболее общими для расс'!агркваг:,гих потенциалов и не зависят от их конкретных особенностей. Конкретно, рассматривается звездная система а гиде близкого к сфере неоднородного сжатого эллипсоида врэ"сг::!я. Потенциал системы задается в форме:

U(R,z) = U0(r) + сРг(соз Q)üi (г) + сгР4(соз в)0г(г) +...,

где с - г-зг/Л паргжатр, cos 0 = z/r. Кроме того, расстояние звезды- от гагзгпгчэсжого центра г = ({? + 2? )l/z; R и г -эхБаториа-ыюо расстояние звезды и ее расстояние вдоль оси врацэкхя. Еггос:4уг,еккая задача, соответствующая движению звезды Енутра ciepi5':-3c!:oro скопления с потенциалом ü0, легко решается, но yze в горЕоа прибгкзешш встречаются трудности. Решение й пер-см rp::i.r:rr;:':i нсгет быть найдено в квадратурах < в довольно громоздкой форме >. К сожалению, вычисление возмущений первого порядка оказывается недостаточным, чтобы сделать выводы о периодичности или апериодичности движения. Расхождение между последовательными вктхамя траектории, которая периодична в сферическом скоплений, определяется возмущениями второго порядка. Для произвольного потенциала эти возмущения уже не вычисляюися в замкнутой форк#. Отметим, что были исключены крайние случаи потенциала точечной массы и потенциала однородной сферы. Кроме того, было сделано предположение, что периодические орбиты не лежат ни в экваториальной, ни в меридиональной плоскости. Найдены возможные варианты топологически раз'личйых ротетковидных орбит .< которые симметричны относительно либо, меридиональной плоскости, либо линии узлов ). Результаты позволяют. сделать следующий вывод: в окрестности каждой указанной периодической невозмущенной орбиты существует периодичская возмущенная орбита, зависящая от малого параметра. .Что касается метода доказательства, то линейного приближения оказалось недостаточно, чтобы сделать заключения о периодичности или апериодичности орбит. Необходимы приближения

более высоких порядков. Наиболее интересные случаи реализуются во второй приближении. Таким образом, нелинейность дает не просто малую поправку к параметрам орбиты, а может в определенных случаях качественно влиять на ее форму и расположение. Этим предопределяется и возможная качественная роль разных яи-дов нелинейности в проблемах эволюции самогравитирующих тел.

Глава 2 посвящена исследованию некоторых простых форм нелинейных колебаний эллипсоидальных фигур равновесия. В некотором смысле простейшие примеры нелинейности связаны с ротацион-но-симметричными колебаниями однородных фигур равновесия: шара и эллипсоида Маклорена. Здесь еще динамическая эволюция строго периодична, нелинейность проявляется только в изменений периода в сравнении со случаем малых колебаний. Заметим, что почти все известные работы относятся к случаю линеаризованных колебаний. Значительно меньше известно о нелинейных колебаниях при наличии существенного вращения и о нелинейных несимметричных колебаниях сферических фигур.

Итак, рассмотрим один из простейших типов нелинейных колебаний фигур равновесия, а именно: колебаний, превращающих шар в -эллипсоид вращения. Ожидаемые координаты частиц в момент времени t будем искать в виде:

х(Х) = щп х У(Х) „ ЩИ у е(г) =

о о о

где го - радиус равновесного шара, а и с - полуосм эллипсоида ( связанные условием несжимаемости >. Задавая давление < изотропное ), после несложных преобразований гидродинамических уравнений приходим к соотношению типа интеграла энергии, анализ которого в случае малых колебаний около положения равновесия позволяет найти зависимость периода колебаний от амплитуды. Точнее, истинная частота оказывается меньше линеаризованной. Этого и следовало ожидать, поскольку при вытягивании или сплющивании силы взаимной гравитация незду частицами жидкости ослабевают. Аналогично предвдуаеку рассматриваем

случай наличия ненулевого кинетического момента. Фигура в каждый моиент прежки остается эллипсоидом вращения, но связь истинных координат с некоторыми условными координатами, задающими положение частицы внутри равновесного шра, определяется фориулакк

Ьо-у- §хо+ И.-

0 0 0 0 о

Здесь тазсге возаожно сведение задачи к формально одномерной схеме и установление неизохрояности колебаний.

Следующим вагой должно быть изучение колебаний фигуры равновесия, при которых она остается все время эллипсоидом, но пркобретазт трзхосность. Ограничиваемся случаем, когда сохраняется сикметряя относительно экваториальной плоскости. Такие колебания ш называем боковыми. Их легко представить в линейном приближении. Для этого берем суперпозицию двух пульсацион-ных колебаний, при которых шар вытягивается в обоих горизонтальных направлениях, причем в противофазе. Это имеет следствием периодически появляющуюся и исчезающую эллиптичность экватора.

За исключением некоторых простых случаев задача интегрирования гидродинамических уравнений не сводится к одномерной, но ее можно свести к задаче исследования некоторой гамильтонбвой системы с конечным числом степеней свободы и применять хорошо .разработанный аппарат методов небесной механики. Анализ гамильтониана показывает, что в окрестности положения равновесия первая вариация его равна нулю в соответствии с общими правилами.. Вторая же вариация оказывается положительно определенной, для сфероидов Каклорена, достаточно близких к сфере. Точнее, это справедливо при е < 0.95 ) е -эксцентриситет меридионального сечения >, что соответствует П2 < 0.44 ( это совпадает с классическими результатами >.

• Из разработанного аппарата можно вывести целый ряд следствий, выходящих за рашси линейного приближения. В частности, оказывается, что ври наличии неизменных плоскостей симметрии.

каким бы образом мы не деформировали шар, с'некоторой точностью период колебания зависит только.от амплитуды, но не от способа деформации.

При последующих преобразованиях гамильтониана с. целбю исследования боковых колебаний мы приходим к ситуации, когда разные степени свободы взаимодействуют между собой, аналоги чего хорошо известны в разных, вариантах классической зйдачи трех тел. Следствием этого является появление типичных резонансных членов. Явление резонанса разных типов колебаний для вращающегося эллипсоида естественным образом объясняет наложение гармоник блеск? и лучевой скорости переменных .пульсирующих звезд. Равенство частот в линеаризованной' задаче объясняется общими свойствами сферически симметричных задач, влекущими за собой 2п + 1-кратное вырождение частот ( п - главный индекс сферической гармонику как угловой части уравнения колебанийД. Различные моды получаются друг из друга поворотами и линейной суперпозицией. При нарушении линейности суперпозиция уже нё является законной операцией в' физическом смысле. С другой сто-, роны, различные моды влияют друг на друга и теряют, независимость.. Поэтоиу при нелинейном анализе -появляются типичные резонансные члены. Ситуация в известной мере аналогична случаю астероидной соизмеримости .1:1, если.-орбита астероида квазикруговая, но наклонена к орбите Юпитера.- Подчеркнем, что в нелинейном 'случае за счет > конечной амплитуды частоты колебаний несколько отклоняются от. предсказаний линейной теории. Если присутствуют одновременно несколько мод, то вышеуказанное смещение у каждой из них, вообще говоря, различно. Нелинейные, взаимодействия различных собственных колебаний и связанные с этим смещения частот ие соответствуют непременно колебаниям эллипсоидального типа, а должны носить более универсальный характер.

Рассмотрение описанной хачэствецкой картины связано с одним из интересных и важных свойств автоколебательных систем - явлением принудительной синхронизации. Если разность между частотами пульсационных и боковых хокебазпй жрстеточно мала,

то имеет место синхронизация частот. Яри увеличении различия между частотами синхронизация уже не имеет места и наступает особый режим, связанный с наличием в системе квазипериодического движения с двумя основными частотами, из которых одна -частота пульсационных колебаний/ а другая - более или менее измененная частота боковых колебаний ( режим биений >. Разумеется, возможно, наложение большего числа частот, которое при отсутствии простых резонансных, соотновений приводят к колебаниям, ииевдям eise кеныяие, регулярности. Реальные примеры тако-. го наложения многих частот известны для звезд типа S Scuti, хотя там' речь идет о- более высоких колебательных гармониках ( обертонах'). Многочастотные колебания во многом напоминает стохастические процессы в том сдосяе, чтб предсказание дальнейшего хода эволюции сталкивается'если не с принципиальными, то-с существенными трудностями. В описанном плане явление синхронизации и .явление стохастичностн противоположны. Возникновение синхронизмов приводит к подавлению стохастичностн, напротив, развитие стохастичностн означает все меньшую степень синхронизации колебаний отдельных частей системы. Подчеркнем принципиальное отлзчие нашей гипотезы от высказанной в литературе точки зрения о- независимом происхождении разных частот, фигурирующих в модели колебаний звезд типа ß Cahis Majoris. В нашей схеме,, напротив, рассматриваются частоты колебаний, в линеаризованной задаче отличающихся только ориентацией, поэ'то-му синхронных по своей природе. Наполним, что нами рассмотрен только однородный случай, но он проясняет многие черты более общих и сложных в структурном отношении моделей, так как вырождение по симметрии не зависит от конкретного закона изменения плотности.

Глава 3 посвящена рассмотрению систем звезд, движущихся без существенно попарных взаимодействий. Как мы уже отмечали, попарные сближения звезд друг с другом выполняют роль вязкости. Если же таких сближений нет, то во многих случаях состояние системы можно описать точно или приближенно конечным числом коллективных переменных и снова применять методы аналити-

ческой динамики. В таких случаях уравнения эволюции получаются во многом сходными с уравнениями для жидких фигур. Однако это все-таки не тождественные уравнения ( за очевидным исключением пылевой среды без давления ).

Иррегулярные силы в звездных системах существенно усиливаются. если пробное тело достаточно массивно. Такими массивными телами могут бить черные дыры в другие компактные тела, звездные скопления или рыхлые облака звезд, пыли и газа. По-существу, оря этом уже получается переход к регулярным силам. Соответствующие расчеты выполнялись неоднократно. Обычно речь вжа об одиночном теле, точечном или сферическом. Формулы, описывающие динамическое трение, достаточно хорошо известны для одиночных масс. Мы, однако, хотим рассмотреть более сложный случай потери энергии массивной двойной системой. Присутствие такой массивной пары подозревается, в частности, в ядре Галактики ( а также в ядрах других, галактик ). Данную модель мы исследуем с точки зрения ее динамической эволюции в результате взаимодействия с окружающими одиночными звездами. Начинаем с более простого случая, когда собственное систематическое вращение фона несущественно. Кроме того, предполагаем пару достаточно широкой, т. е. ее большая полуось существенно больше средних межзвездных расстояний в ядре. Сделан вывод о чрезвычайно быстрой эволюции центральной двойной системы. Подчеркнем, что все рассуждения и выводы справедливы лишь для изотропного фона звездных скоростей. Картина может принципиально измениться, если ядро Галактики вращается. В ¿том случае не исключен аффект увлечения массивной пари вращением окружающей звездной системы, действующий неограниченно долго. Рассмотрены два скучая вращающегося фона. Первый случай: двойная система материальных точек находится внутри однородного трехосного эллипсоида, вращающегося в стационарном состоянии с постоянной угловой скоростью, подобно твердому телу. Второй случай: "гантелеобразная модель", когда обе точечные массы окружены каждая своей сферой ( которые не перекрываются ) и вся система как целое вращается в стационарном состоянии с постоянной

угловой скоростью. Основное различие между обеими изученными моделями , для вращающегося фона состоит в неодинаковости хода плотности вдоль наибольшей полуоси. В первом случае область твердотел!>н6 вращающейся центральной,части Галактики оказывается неправдоподобно малой, что делает маловероятным устойчивое состояние пары. Поэтому мы склоняемся ко второму случаю, который описывает некоторую общую тенденцию в изменении характера устойчивости при переходе к неоднородным трехосным моделям. Мы не настаиваем на разделении, снстеш именно на два шарообразных .тела, но какое-то существенное изменение плотности в центре между обоими компонентами представляется обязательным для длительного ее увлечения окружающей' звездной системой. Заметим, что мы имеем дело-с не совсем обычными проявлениями иррегулярных сил: Однако они сохраняют главную свою особенность, а именно: необратимость. В случае вращения фона знак эффекта. в зависимости от заданных параметров может быть тем или иным, но в каждом конкретном варианте он предопределён. В целом система в любом случае эволюционирует в сторону увеличения энтропии, хотя это может сопровождаться перераспределением момента вращения от пары к фону и наоборот.

Глаза 4 посвящена Доследованию ■ влияния нестационарной спиральной волны на динамическую эволюцию плоской системы не- " взаимодействующих частиц, находящихся в некотором сглаженном регулярном поле. Поставленная задача представляет интерес как для общей динамической теории,, так и < в более узком смысле ) для ряда астрономических приложений.- Среди последних - плоские подсистемы галактик ЭЬ и БО, - кольца планет-гигантов, пояс астероидов, протопланетные облака и аккреционные диски вокруг звезд. Вопрос о стационарном состоянии таких систем достаточно хорошо изучен. Реже встречаются примеры изучения реакции на нестационарное поле.

Мы уже говорили, что нелинейные коллективные процессы очень часто приводят к необратимости при больших амплитудах возмущения. Однако имеется класс процессов, также приводящих к необратимости, несмотря на сравнительно малую амплитуду. Это

происходит при выполнении некоторых резонансных соотношений между самими коллективными колебаниями, с одной стороны, и движениями самих звезд, с другой стороны. Подобные необратимые процессы, в сущности, представляют собой аналоги затухания Ландау в плазме. Соответствующие резонансные зоны, являются, вообще говоря, довольно, узкими, но это не есть препятствие для распространения необратимости на широкую область, если частота коллективных колебаний медленно дрейфует и резонансная зона, соответственно, перемещается. Допустимы различные механизмы генерации таких колебаний, например в галактиках медленный дрейф характеристик собственных колебаний сфероидальной .подсистемы может быть обусловлен либо нелинейными эффектами, либо взаимодействием с какой-то окружающей, более протяженной системой. В случае аккреционных и протопланетных дисков источником таких квазипериодических возмущений может быть не совсем правильная переменность звезды. .В кольцах планет-гигантов, как давно отмечено, возмущения могут быть связаны с движением спутников, которое не совсем периодично из-за взаимных пертурбаций, или вызваны резонансными эффектами.

Конкретно, ш задаём, модельный вбзмущающий потенциал в

виде

и(г,в) =tf"(r) + ctf" (r)cos vi в - 4fr; -J» act) atj,

где V(г) - главная часть потенциала, е - малый, параметр, А(г) - некоторая функция, зависящая от конкретной формы спирали. в - долгота, Q - угловая скорость обращения звезды в галактике, у - азимутальное волновое число, г - радиус.'

Вырисовывается следующая картина воздействия нестационарного возмущения. Существует категория захваченных звезд, которые движутся вместе с резонансной зоной.и заполняют фазовое пространство в некоторых областях, не смыкающихся друг с другом. Остальные ( пролетные ) звезды проходят в промежутках между этими областями и не подвергаются столь существенному воздействию возмущения, оставаясь в общем в пределах одной и

той же зоны по радиусу г и только несколько расступаясь перед коллективом резонансных звезд. Ясно таххе, что при достаточно большой амплитуде изменения О, даже если оно возвращается в конце концов к прежнему значение, накапливается необратимые изменения типа фазового перемешивания.' Последнее происходит за счет как разбираемого в диссертации перераспределения фазовых областей различного поведения, так и хаотизации движения в резонансных зонах вблизи сепаратрис. В соответствии с теоремой Лиувилля всякая необратимость может приводить только к расплы-вашш фазовой диаграммы, что обычно эквивалентно увеличение дисперсии остаточных скоростей. Такое увеличение дисперсии остаточных скоростей должно сопровождаться некоторым плавным изменением и' других характеристик системы. Не исключено, что подобное "разогревание" системы приводит к уменьшению плотности звезд в резонансных зонах. Все схазанное выше позволяет сделать следующий вывод: в-течение промежутка времени, пока определенная зона является резонансной, должно наблюдаться временное локальной уменьшение плотности.

Глава , 5 посвящена исследованию вязкого затухания в гидродинамических моделях. Известно, что для случая идеальной жидкости спектр частот малых колебаний сфероидов Маклорена полностью определен. При включении же вязкости в ее обычной форме дело усложняется и точного аналитического решения для частот и форм колебаний получать не удается. Исключение составляв™ только случай шара, когда решение строится в бесселевых функциях. Для эллипсоидов же произвольного сжатия приходится прибегать к-асимптотическим разложениям, которые могут быть двояхими: одни справедливы в случае малой вязкости, а другие, наоборот, в случае большой вязкости. Налость вязкости означает, в сущности, что,за период колебаний вязкая диффузия импульсов распространяется только на сравнительно узкий слой. В таких случаях естественно ожидать, что вообще роль вязкости ограничится созданием пограничного слоя на поверхности жидкости, а в остальной части обьема поправки за вязкость пренебрежимо малы. Поэтому ожидается и малость поправок к частоте

колебаний и малость декремента. Однако в некоторых случаях в связи с известным явлением вековой неустойчивости возможна раскачка колебаний за счет эффекта вязкости. Несколько Особняком стоят локальные моды, затухающие быстро, но эта быстрота затухания обусловлена просто малостью их характерной длины. Отметим, что случай шара имеет то несомненное преимущество, что сферическая симметрия автоматически приводит .к вырожденности частот и-к отделению , угловых координат с помощью сферических функций.- Случай сфероида зато более интересен в смысле возможности показать эффект вращения. Указанная задача имеет весьма широкую сферу применения к различным проблемам динамики. ( в частности, в связи с проблемой происхождения й эволюции Земли и планет ), даже , несмотря на явное. упрощение в том отношении, что за основу берутся одн?родные модели. . Рассматриваемая проблема является классической задачей механики,' но по- . становка и конкретизация ее • претерпели известные изменения. Ляпунов и его ' современники основное внимание обращали на качественную сторону дела. Чандрасекхар и его шсола сделали следующий Isar в том смысле,' что занялись систематическим решением Уравнений с вязкостью. В исследованиях' Чандрасекхара сделаны некоторые предположения, справедливость которых трудно обосновать непосредственно. Это особенно относится'к возмув^е-ниям более высокого, чем второй, порядка. В диссертации предлагается - общее решение ■указанной ¡задачи о вязких колебаниях жидких эллипсоидальных фигур,'которое без принципиальных затруднений справедливо для возмущения любого .порядка. Увеличение порядка означает, - в сущности, постепенный переход от регулярных деформаций фигуры к локальным волнам на ее поверхности".

Наконец,' ° рассмотрено взаимодействие локальных волн и глобальных колебаний эллипсоидов вращения. Глобальные колебания моделировались пульсациями однородного сфёроида вдоль Оси вращения < см. главу 2). Что касается различных возможных сосуществующих с ними локальных колебаний,. то. были вцделены те, которые описываются секторйальными гармониками сферических

функций. Геометрически использование секториальных гармоник с большим номером п Означает, что .в волновое уравнение вовлекается узкая Цолоса вблизи экватора. В указанной постановке задача имеет весьма широкую область применения к колебаниям поверхностных слоев различных небесных тел. Среди них - галактики,- в частности, в связи с проблемой развития возмущений в сфероидальных газовых подсистемах галактик и. родственной ей проблемой галактических балджёй. Данная проблема может иметь также непосредственное - отношение- к- пульсирующим звездам, атмосферам планет и протопланет и т.д. Найдено, что поправка к частоте согласуется с непосредственно получаемой для частного случая стационарно вращающегося сфероида Ыаклорена. Таким образом,' по долготе действует ожидаемое полбжение: скорость распространения локальной -волны в йышёупомянутом приближении .определяется"мгновенными характеристиками глобального колебания. Это можно рассматривать как'некоторый обобщенный принцип адиабатической инвариантности. Напротив, в широтном направлении установление размеров'зоны, охваченной волной; происходит медленнее и поэтому -формально описывается значительно более сложным уравнением.' Подчеркнем, что - такой' вывод существенно связан о использованием, именно секториальных гармоник и в других случаях будет несправедлив.1 Как и при анализе долготного направления, ширина указанной зоны зависит от фазы глобального колебания, но прЬстые' законы "адиабатической инвариантное! л, не4действуют из-за сравнимости шкал времени. При этом оказываются возможными некоторые резонансные соотношения, приводящие 'к раскачке, или, напротив, к затуханию локальной волны. I

В Заиючеюн подчеркнуто, , что выяснение различных видов необратимости эволюции небесных тел играет выдающуюся роль для космогонии. Мы не претендовали на освещение всех аспектов необратимости эволюции хотя бы потому, что в стороне остаются чисто физические факторы. Но и. с чисто динамической точки зрения пока, видимо, не все проявления необратимости доступны удовлетворительному описанию. Дальнейшее проникновение в эту

область возможно только путем последовательного построения все более сложных моделей. В частности, из-за соображений математического удобства мы обычно связаны постулатом однородности. Изучение пространственно неоднородных звездных систем^ или фигур равновесия, как правило, дается со значительно большим трудом. Примерно то же самое можно сказать о расчленении звездных систем на относительно самостоятельные подсистемы. Изучение их взаимодействия удается в желаемой мере далеко не всегда. Трудности возникает также при попытке интерпретации резко нестационарных состояний. Нестаадонарность может быть результатом какого-то внешнего толчка, во и естественно вытекать из предшествующей плавной эволюции. Такое происходит в случаях, когда в результате накопления постепенных изменений система выходит за пределы области устойчивости. Весьма характерным примером являются эллипсоиды Якоби по достижении точки бифуркации грушевидными фигурами. Аналогичные примеры известны и в звездной динамике: например, обособление плотного ядра за счет иррегулярных сил внутри сферической звездной системы. Подчеркнем еще раз направленность процессов необратимой эволюции. Они всегда согласуются со вторым законом термодинамики и увеличивают энтропию, если этому не препятствуют какие-то внешние факторы. В этом проявляется внутреннее сходство таких, на первый взгляд, разных механизмов, как диффузия на молекулярном уровне и глобальные нелинейные процессы. Иногда вообще трудно провести границу между просто диффузией и глобальными возмущениями. Тем не менее все же следует отметить разницу в конечном результате. Состояние тврмодинамичсеского равновесия небесных тел не всегда достижимо за космогонически приемлемые сроки и не всегда даже внутренне согласовано из-за диссипации отдельных частиц. Во многих случаях, как мы знаем,, механизм необратимости как бы исчерпывается до достижения настоящего термодинамического равновесия. Все эти черты придают космогонии бодывую сложность в сравнении, например, с задачей установления равновесия в обычном газе с его универсальным законом Максвелла. Космогония зато дает нам образцы интересных

задач, требующих в каком-то отношении разработки и оригинальных математических методов, имеющих и самостоятельное значение.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Baranov A.S. Periodic orbits of stars in axisynraetrical stellar systems // Celest. Hech, 1979. V. 20. P. 251.

2. Баранов A.C. Нелинейные ротацнонно-симметричные колебания однородной сферической системы // Астрон. хурн. 1980. Т. 57. С. 968.

3. Баранов А. С. Нелинейные пульсационные колебания сфероидов Иаклорена // Астрон. кури. 1981. Т. 58. С. 247.

4. Баранов A.C. К вопросу о боковых колебаниях фигур равновесия // Астрон. хурн. 1981. Т. 58. С. 949.

5. Баранов A.C. Сравнение пульсационных и боковых колебаний однородной сферической системы // Астрон.' журн. 1982. Т. 59. С. 471.

6. Баранов А. С. Устойчивость вращающегося жидкого цилиндра как фигуры равновесия//Астрон. журн. 1982. Т. 59. С. 870.

7. Баранов А. С. Эволюция массивной двойной системы в звездном поле // Астрон. журн. 1984. Т. 61. С. 1098.

8. Баранов А.С; Устойчивость гипотетической двойной системы в центре Галактики // Астрон. журн. 1986. Т. 63. С. 220.

9. Баранов А. С. Исследование звездной системы, содержащей массивную центральную двойную, с помощью численного эксперимента //.Кинем, и физ. неб. тел. 1987. Т. 3. С. 67.

10. Баранов A.C. Нелинейные боковые колебания сфероидов Маклорена // Письма в Астрон. журн. 1988. Т. 14. С. 754.

И. Баранов A.C. Некоторые простые формы вязких колебаний эллипсоидальных фигур равновесия // Прикл. мат. и мех. 1991. Т. 55. С. 759.

12. Баранов A.C. Нестационарная волна и движение звезд в плоских системах.// Астрон. зурн. 1991. Т. 68. С. 1160.

13. Baranov A.S. The effect of non-stationary action on the

Botlon of particles in protoplanetarу nebulae // Proc. IAU 152 Symposium "Chaos, Resonance and Collective Dynanlcal Phenomena in the Solar System" / Ed. Ferraz-Mello S. 1992. P. 359.

14. Баранов A.C. Влияние вязкой диссипации на устойчивость и колебания эллипсоидов вращения. Общий, подход // Астрон. журн. 1992. Т., 69. С. 978.

15. Баранов A.C. Влияние вязкой диссипации на устойчивость и колебания эллипсоидов вращения. Классификация форы колебаний//• Астрон. журн. 1992. Т. Б9. С. 1238. .

16. Баранов А. С. Нелинейное колебания и биения, в звездах ß Canis Majoris // Астрон. журн. 1993". Т. 70. С. 223.

17. Баранов A.C. Взаимодействие локальных волн и глобальных колебаний эллипсоидов вращения // Астрон. журн. ( в печати ).