Задачи теории потенциала и фигуры равновесия небесных тел тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

004669363 Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Трубицына Наталья Геннадьевна

ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА И ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ

Специальность 01.03.01 - астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

з О СЕН 2010

Санкт-Петербург - 2010

004609363

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» г. Ижевск

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Кондратьев Борис Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Чуйкова Надежда Алексеевна, Московский государственный университет кандидат физико-математических наук Осипков Леонид Петрович,

Санкт-Петербургский государственный университет Ведущая организация:

Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН

Защита состоится «19» октября 2010 г. в 17-00 на заседании совета Д 212.232.15 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, ауд. 2143 (Математико-механический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ. Автореферат разослан « /» О У 2010 г. Ученый секретарь

диссертационного совета

Орлов В.В.

бщая характеристика работы

Актуальность проблемы

Нахождение силовых полей для тел разной формы и концентрации ещества или заряда, когда отдельные частицы в них взаимодействуют по акону обратных квадратов, является важной и актуальной задачей в еоретической астрономии и физике. Стремительное развитие современной ебесной механики ставит перед специалистами в области теоретической строномии актуальные задачи по созданию новых методов в теории отенциала, которые позволили бы, в частности, расширить список тел с звестным потенциалом. Большой теоретический и практический интерес редставляет, например, нахождение пространственного потенциала слоисто-еоднородного эллипсоида и потенциала кругового тора. Новым и ерспективным для решения большого класса задач является общий метод квигравитирующих элементов и метод представления потенциала рядом апласа. Однако даже сама постановка проблемы эквигравитирующих лементов требует развития специальных математических методов.

В последние годы заметно усилился интерес к развитию классической еории фигур равновесия и построению моделей газопылевых облаков, звезд и алактик, находящихся во внешних силовых полях. В частности, это связано с еобходимостью построения фигур равновесия многочисленного класса глобул, ктуальным также является изучение фигур равновесия небесных тел, асположенных внутри кольцевых структур. Построение динамических моделей аких конфигураций представляет не только самостоятельный интерес в виду ногочисленных практических приложений в астрономии, но и заметным бразом стимулирует фундаментальные исследования в области ньютоновского отенциал и теории фигур равновесия.

Цель работы

Диссертация посвящена решению шести задач, важных для развития теории потенциала и теории фигур равновесия.

1. В первой главе диссертации, следуя работам [1; 2; 3], излагается прямой метод нахождения логарифмических потенциалов однородных двумерных тел и этим методом находится внутренний потенциал однородного гравитирующего цилиндра с лемнискатным сечением. Основное внимание в этой задаче уделяется получению потенциала данного цилиндра в конечной аналитической форме и нахождению семейства эквипотенциалей.

2. Во второй главе диссертации, опираясь на работы [2; 4; 5], находится внешний пространственный гравитационный потенциал однородного кругового тора через известную из [3] систему пяти эквигравитирующих элементов. Для решения этой сложной задачи применяются методы теории функций комплексного переменного.

3. В третьей главе диссертации внешний потенциал однородного кругового тора представлен рядом Лапласа [6] по отрицательным степеням радиус-вектора пробной точки. Главной целью является нахождение коэффициентов и радиуса сходимости этого ряда.

4. В четвертой главе диссертации решена задача о разложении в ряд Лапласа «внутреннего» потенциала однородного кругового тора [7] по положительным степеням радиус-вектора пробной точки. Как и в третьей главе, акцент делается на нахождении точных аналитических формул для коэффициентов такого ряда и определении его радиуса сходимости.

5. В пятой главе в эллипсоидальном приближении изучаются фигуры равновесия газопылевых туманностей в Галактике и в других гравитационных полях [8]. Целью является построение моделей равновесных глобул. Учитывается собственная гравитация глобул, их вращение и в приливном приближении гра-

з

итационное поле внешней звездной системы. Математические модели построе-ы как для фигур относительного равновесия, так и для фигур с внутренними ечениями.

6. В шестой главе поставлена и решена задача о влиянии колец на фигуру авновесия вращающегося центрального тела, когда внутренний потенциал ольца в приливном приближении можно представить квадратичной функцией т координат пробной точки [9]. Стимулом к этой работе является существова-ие реальных астрофизических объектов с кольцами.

Научная новизна работы

1. Впервые в конечном аналитическом виде через элементарные функции айден внутренний гравитационный потенциал однородного цилиндра с лемни-катным сечением. Это позволило изучить эквипотенциали поля и доказать, что ни образуют два семейства кривых, разделенных сепаратрисой с нулевым по-енциалом на ней. Внутри сепаратрисы потенциал всюду имеет положительное начение и достигает максимума в точке на оси симметрии фигуры. Вне сепа-атрисы эквипотенциали оказываются разомкнутыми и потенциал на них всюду трицательный. Решение данной задачи раскрывает широкие возможности рямого метода нахождения логарифмических потенциалов двумерных тел.

2. Через эквигравитирующие элементы впервые найден пространственный нешний гравитационный потенциал кругового тора. Проведена всесторонняя еоретическая и численная проверка результатов. По найденной формуле рас-читано семейство эквипотенциален тора. Тем самым доказана практическая начимость метода нахождения потенциала тора через эквигравитирующие эле-енты.

3-4. Внешний и «внутренний» потенциал однородного кругового тора

редставлен рядом Лапласа. Впервые в точном аналитическом виде получены

оэффициенты этих рядов. Для внешнего потенциала тора коэффициенты ряда

4

выражаются через полиномы Лежандра, а для «внутреннего» потенциала - через гипергеометрическую функцию Гаусса. В обоих случаях коэффициенты зависят только от геометрического параметра тора. Доказана сходимость данных рядов и в обоих случаях найдены их радиусы сходимости. Обнаружен зазор (сферическая оболочка), где задача о представлении потенциала тора в виде степенного ряда должна решаться в особом порядке.

5. Выведена и решена система уравнений гидродинамики, описывающая фигуры равновесия газопылевых туманностей в гравитационном поле Галактики и в других гравитационных полях. Фигуры равновесия глобул могут включать в себя внутренние течения с однородным вихрем. Найдено обобщенное выражение для классического приливного предела. Эти результаты расширяют теорию классических жидких эллипсоидов Римана и фигур Роша.

6. В приливном приближении рассмотрена фигура равновесия сфероида Маклорена, находящаяся внутри гравитирующего кольца или тора. В этой задаче получена общая формула для поправки к угловой скорости сфероида от возмущений внешнего кольца или тора. Тем самым дано обобщение теории классического сфероида Маклорена.

Практическая значимость работы

1. В задаче о потенциале цилиндра раскрыты широкие возможности аналитического прямого метода нахождения логарифмических потенциалов двумерных тел. Получен потенциал однородного цилиндра с лемнискатным сечением и расширен список тел, для которых потенциал известен в конечном аналитическом виде. Найдены сложные определенные интегралы, отсутствующие в справочниках. Изучено силовое поле внутри гравитирующего цилиндра и построены его эквипотенциали, образующие два семейства кривых, разделенных сепаратрисой. Внутри сепаратрисы потенциал имеет положительное значение и достигает максимума на оси симметрии фигуры. Вне сепаратрисы эквипотен-

5

иали разомкнуты и потенциал на них всюду отрицательный. Изучение потен-иала цилиндра открывает возможность исследовать устойчивость этого тела тносительно разбиения на сгустки.

2. Знание пространственного потенциала тора имеет большое практиче-кое значение в астрономии и позволяет изучать влияние гравитирующих коль-евых и тороидальных структур на форму планет, звезд и галактик. Проверка оказала корректность найденного внешнего потенциала тора, что подтверждает ффективность метода эквигравитирующих элементов. Знание гравитационного отенциала тора позволяет также ставить задачи по изучению орбит звезд на по-ерхности и внутри тора.

3-4. Представление внешнего и «внутреннего» потенциалов тора в виде яда Лапласа дает весьма эффективный на практике метод вычисления потен-иала в любой заданной точке вне вещества этой фигуры. Данные ряды быстро ходятся и дают результат с требуемой для каждой конкретной задачи точно-тью. Полученное выражение ряда Лапласа для «внутреннего» потенциала тора спользуется, в частности, при нахождении приливного влияния внешнего тора а внутреннюю фигуру равновесия.

5. Полученная нами полная система уравнений для фигур относительного авновесия и фигур с внутренним полем скоростей позволяет описывать форму

пространственное расположение глобул и плотных газопылевых туманностей Галактике.

6. Разработана модель приливного влияния колец на внутреннюю фигуру авновесия, вращающегося астрофизического объекта. Рассмотрены три модели олец, имеющих важное практическое значение. Выявлены случаи, когда влия-ие колец на форму звезды или галактики является существенным и сравнимым эффектом вращения тела. Ярким примером является звезда WOH G64 в БМО

красный сверхгигант), для которой относительная поправка квадрата угловой корости которой равна 18%. Заметное влияние оказывает гравитирующее пы-евое кольцо и на галактику SO+ М 104 (NGC 4594) «Сомбреро».

Апробация работы

Основные результаты диссертации регулярно докладывались на научных семинарах кафедры Астрономии и механики УдГУ, на семинарах ГАИШ (МГУ) и кафедры небесной механики СПбГУ, а также на следующих конференциях:

1. Международная конференция "Новые результаты аналитической и качественной небесной механики", Москва, 2000.

2. Всероссийская астрономическая конференция, С.-Петербургский государственный университет, 2001.

3. 5-ая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция ЕГНОК, УдГУ, Ижевск, 2001 г.

4. 6-ая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция ЕГНОК, УдГУ, Ижевск, 2002 г.

5. Международная конференция: Порядок и хаос в звездных и планетных системах, С.-Петербургский государственный университет, 2003.

6. Восьмой съезд Астрономического общества и Международный симпозиум АСТРОНОМИЯ-2005, Москва, ГАИШ, 2005.

7. ХЬУ1 Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, РУДН, 2010.

Результаты, выносимые на защиту

1. Прямой метод нахождения логарифмических потенциалов двумерных тел, с помощью которого в конечном виде через элементарные функции получен внутренний потенциал однородного гравитирующего цилиндра с лем-нискатным сечением.

2. Новым методом, через систему эквигравитирующих элементов получено выражение гравитационного потенциала однородного кругового тора в произвольной внешней точке пространства. Рассчитано семейство эквипо-тенциалей.

3. «Внутренний» и внешний потенциал однородного кругового тора представлен рядами Лапласа. Впервые в точном аналитическом виде получены

коэффициенты этих рядов. Доказана сходимость рядов Лапласа и в обоих случаях найдены их радиусы сходимости.

4. Выведена и решена полная система уравнений гидродинамики, описывающая фигуры равновесия газопылевых туманностей в гравитационном поле Галактики. Построены модели для фигур относительного равновесия глобул и фигур с внутренними течениями. Найдено обобщенное выражение для классического приливного предела.

5. Построена модель, где в приливном приближении учитывается влияние внешних материальных колец или тора на центральную фигуру равновесия. Дана формула для поправки к угловой скорости сфероида Маклорена, расположенного внутри кольцевых структур.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка лите-атуры. Содержит 21 рисунок. Объем работы составляет 117 страниц. Список итературы включает 58 наименований.

Краткое содержание диссертационной работы

В первой главе диссертации, следуя работам [1; 2; 3], излагается прямой етод в теории потенциала, и находится внутренний потенциал однородного ! авитирующего цилиндра с лемнискатным сечением.

Дан гравитирующий однородный двумерный цилиндр с лемнискатным ечением. После преобразований основной формулы логарифмического потен-иала цилиндра

адача сводится к вычислению сложных определенных интегралов вида

отсутствующих в справочниках. У нас предложен метод взятия таких интегра-

8

ср(хх,хг) = 2С\\ри')\^Щ-ск[с1х[, П = у/(х1-х;)2+(х2-х'2)2, (1)

5

(2)

4

лов, основанный на разделении корней полинома в знаменателе подынтегрального выражения на вещественные и комплексные.

В итоге, внутренний потенциал цилиндра с лемнискатным сечением был найден через элементарные функции:

<р . со = ——-г - 1п Юра2

\l2eH)

+(а2 - «,)Ф2~{Ь2 + Р2)\^ + (а2 - а)Ф'2 + {р - Ь2)Ф\

(3)

, , 72 72

Здесь Ь =—х, и р =—х2 - нормированные координаты испытуемом точки, а а

а вспомогательные функции Ф,, Ф2, Ф1, Ф'2 имеют вид

_ и+у . у-и

Ф1 = . _3 ■_„. Ф2 ='

4<? втог

(4)

. ог вт— 2

8ц<7 д соь—

Ф'2=

/Г

. а

вт— 2

1 -Г

(5)

В формулах (4)

2 ~ « , а + 2асо§— + 1

• а< 2

и — Б1П — 1П---,

2 д2-2дсоз^-+1

у = 2соз

а

агсг%-

1-дсо5

. а 9Ш2

а

- + агсг%

. а 1 + да«—

. а

дэт—

(6)

Здесь, в свою очередь,

4 ,

а =Ь2, сое а=—^= = ^-<1, 2д2

8(46 + ЕГ) + 2£ _{4

2(<? + Е) ' Ь2~1б(в2 + Е)'

(7)

причем в (8) использованы обозначения

6 = 1 + р2-Ь2, Ж = (ь2 + р2)\ Е = 42Ь2р2. (9)

В выражении (5) введены функции 1-2а сое— + д

-4 * 2 4

4 ---(10)

-

соэ се=—т- " -, /1П

7?4-2?2созсг + 1

С, =1 + 2? сов^ + ч1. (12)

В частном случае на границе цилиндра потенциал (3) выражается в замечательно кратком виде

к „_ 1, соъ2в 1 . ... 1 + зт20

д> =—соз2 в—1п---51П2У1П-.

4 2 2 4 1-зт2(9 ^

В другом частном случае, когда точка находится на оси симметрии цилин-

ра, потенциал принимает вид

_ . 2 л'Ь2 ,,

<р = 1п- + К——. (14)

Ъ 4

Здесь 6 * 1 и

Г + 1 , ,

--— 1п— для Ъ< 1,

^ " (15)

2

с обозначением

-агс^Т для Ъ> 1,

г4\-ъ2

Численно исследованы кривые равного потенциала (3). Показано, что они образуют два семейства кривых, разделенных сепаратрисой с нулевым потенциалом на ней. На семействе замкнутых кривых, расположенных внутри сепаратрисы, потенциал имеет положительное значение и достигает максимума на

оси симметрии фигуры в точке Ь ~ 0.47077. Вне сепаратрисы эквипотенциали оказываются разомкнутыми и потенциал на них отрицательный.

Во второй главе диссертации, опирающейся на работы [3; 5], решается задача о нахождении внешнего гравитационного потенциала однородного кругового тора с поверхностью

(г-Л0)1 + ^ = г02 (17)

через известную из [3] систему эквигравитирующих элементов: составного одномерного стержня из трех звеньев с чисто мнимой плотностью на каждом из них

7 + *1Е(0-Гг-*1К(*)

М г(С) =л ,(<Г) = -\iprA (1 + ) + (1 -

1 1

и двух вещественных точечных масс, расположенных на краях стержня 4 з

М,=М5=-тгрг0.

(18)

(19)

(20)

С помощью указанных эквигравитирующих элементов было получено выражение гравитационного потенциала тора в произвольной внешней точке пространства через определенные интегралы от полных эллиптических интегралов Лежандра 1-го и П-го рода:

, х 872 „

(к +

+ Г ^+ Х

+А 5

VI-«2

с{х+—а1 2

%/5 + Х

Здесь, кроме известных уже величин, введены также обозначения:

11

К л/ 1-х2 __(22)

Х(х) = г2+х1-%х\ У(х) = 2 Я^х3х, 8(х) = 4хГ+У1. братим внимание, что наряду с упомянутыми интегралами, в выражение (21) -ходит и конечный член. В целом, выражение (21) по форме заметно отличается т ранее известного потенциала тора [3].

Главная формула для потенциала тора (21) была проверена аналитически в ом частном случае, когда пробная точка находится на оси симметрии. По общей формуле было рассчитано семейство эквипотенциален тора. Кроме того, выполнено численное сравнение результатов, найденных данным методом с результатами для тора, полученными другим способом [3] - через тонкие широкие круговые кольца. Это сравнение позволило убедиться в достоверности обоих известных теперь представлений внешнего потенциала тора.

В третьей главе диссертации решена задача представления потенциала однородного кругового тора с поверхностью (17) в виде ряда Лапласа

9„(е,Я) = 0%-£&Ри(со$е), я = = (23)

п=0 Л

Коэффициенты ряда (23) С2я можно записать в интегральном виде

С2„ = р Д}(х3 + а, )2" ск,скгск, (24)

(интегрирование по объему тора). Здесь р - однородная плотность тора, С -гравитационная постоянная.

Наш подход заключается в том, что вначале мы рассматриваем потенциал тора на оси его симметрии Ох,. Разложение внешнего потенциала тора (внешним для тора здесь считаем потенциал в тех точках, которые находятся вне вещества и вне сферы радиусом на этой оси в ряд по обратным степеням х3 имеет вид

/1=0 ^з

Прямое интегрирование по хг выражения (24) дает

Сщ + /xif+1 -(«I ~x,)2"+]]dx>dx2, (26)

где оставшийся двойной интеграл берется по экваториальному сечению тора, а х3 относится только к верхней половине его поверхности.

Далее декартовы координаты поверхности тора представим в параметрической форме через вспомогательные углы в и Л:

xl + r0cosß)cosÄ,

x2=(i?„+rocos0)sinA, (27)

х} = r0sin#.

Угол в отсчитывается от экваториальной плоскости, а азимутальный угол Я -от оси Oxv

После многих преобразований выражение (26) можно привести к виду

С2„ = рфп)ЩГ Шт ml{2tlx_my 1(cosA)2"+1-(^/, + rJl)dX,

(28)

где обозначены вспомогательные интегралы

iji

= Jsin0(sin0 + / cos 0 cos Я)" de, (29)

о

2rr

I2= jsmecos0(sme + icosecosÄ)mde. (30)

0

Введём для симметрии в 1, коэффициенты а, ß

а = 1, р = icosX (31)

и запишем (29) в таком виде

/,= ^sm0(as\ne + pcose)m de. (32)

о

Нормированные коэффициенты аир можно представить в форме

а В

cos0°= I i ni9 singo= , 2 п2- (33)

yja2 + p2 4a +Р

Тогда вместо (32) получим

т 2л/, = (а2 + Р2 )т J sin" (в + в0) sin в dd. (34)

о

В итоге, для нечетных т (при четном т интеграл (34) равен нулю), имеем

1=2ж. т"\ sin""'X. (35)

1 (m + l)ü

Интеграл 12 из (30), в отличие от /,, не равен нулю только при четных т, и мы находим его в виде

„ m(m-l)U „ . „ , „ = 2ni-±--г-—eos Л sin™ Я.

L = 2ni-±--^cosÁ sin™"2 Я. (36)

2 (т + 2)!!

Подставляя /, из (35) и /2 из (36) под знак интеграла по переменной X в (28), после преобразований, находим точные аналитические формулы для коэффициентов ряда Лапласа

Г г ^рДГО-?2)^-!)»

2" 1 ; 3-2"-2(я + 1)!

и + || + Зи + 2л2 ]?2

Они выражаются через полиномы Лежандра Р„([л), зависящие от геометрического параметра тора д = — < 1.

Данный результат интересен, прежде всего, тем, что, как известно, и сам ряд Лапласа представляет собой разложение потенциала тела по полиномам Лежандра, причем эти полиномы зависят только от координат пробной точки.

Разложение (23) для тора имеет место только вне сферы радиуса /?0. Проверка показала, что указанный ряд быстро сходится и даёт правильные результаты.

Для «внутреннего» потенциала тора («внутренним» считаем потенциал в тех пробных точках, которые находятся вне вещества, но внутри сферы радиу-

сом у/^ - г02) с поверхностью (17) ряд Лапласа имеет вид

рМЬЕА^ДС 050), (38)

у=0

а коэффициенты ряда йу выражаются интегралами

Я = 2лОр^г"Ру (созбОзт вс1гйв. (39)

я

Здесь в - полярный угол. Задача, рассматриваемая в четвертой главе диссертации, заключается в нахождении коэффициентов Ц,. Для этого используем известное из [2] или [3, стр. 194] выражение потенциала однородного кругового тора на оси симметрии

3 3 лг0

где функция J(x:¡)

(41)

Идея примененного метода заключается в разложении потенциала тора (40) только на оси симметрии Ох} по степеням . А именно, раскладывается функция ./ из (41) с последующим выделением в этом разложении коэффициентов при . Это и будут, с точностью до постоянного множителя, искомые коэффициенты £>,. С этой целью интеграл 3 из (41) преобразуется вначале к виду У = У,+У2, где

ж/1

А = 1

СОБ <р

<1<р\

А

у. я/2 ,-

-- I л/^о2 + х] - г1 БШ2 (р с1<р.

(42)

(43)

После многих преобразований и вычислений находим

Ф

СОБ (р

о к2 я'т2 <р1

("О'

,(2от-1)!!

Ф

О (\-к2ът2<р)

(2т)\\

(-О'

3/2

К -Г0 БШ2 (р

,(2от + 1)!!

<1(р,

(2 т)\\

Но ~г0 эт ср)

(44)

<1<р.

(45)

В итоге получим

3 я- о

со$г(р (2т-\)\\

, СОБ (О iy.it , 2-2 \~м

(_1) I 2 г ■ 2 О \М ^~Г051П <р) + ^-г2(2т)!! '

+ (46)

+ -

(1<р.

После интеграции по углу ^ и преобразований эти коэффициенты можно записать в более кратком виде

2 Л

2и ^ 2 ш!^ 2 \ 2 2 Ч2;

(47)

С учетом найденного выше, «внутренний» потенциал однородного кругового тора может быть представлен рядом Лапласа в виде

<р{г,в) = Ой + 2о1тг2тР2п(с 080),

где в качестве первого, нулевого члена выделен потенциал в центре тора

Л

о ~ 1 3 ят„

К

(48)

(49)

а остальные коэффициенты выражаются через стандартную гипергеометрическую функцию.

Доказано, что для ряда Лапласа (48) радиус сходимости равен

(50)

Существенно, что найденный сильно зависит от геометрического параметра

у

тора — < 1. Лишь в частном случае г0 —> 0 (при вырождении тора в тонкий об-

руч) эта зависимость исчезает, и тогда Ксх = Яд.

В пятой главе в эллипсоидальном приближении построены фигуры равновесия однородных глобул. Для решения задачи используется метод, разработанный в [2; 10]. Некоторые теоретические вопросы изучения динамики конфигураций с помощью вириального метода затрагиваются также в статье [11]. Мы применяем гидродинамический подход и исходим из уравнений гидродинамики во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим компактную глобулу, которая находится в главной плоскости Галактики на расстоянии ^ от ее центра и обращается вокруг него по круговой орбите с угловой скоростью Г2 (/?„). Гравитационный потенциал Галактики обозначим через Ф(Л, х3). С центром глобулы связана система декартовых координат (Ух^х2х3. Ось О'х, направлена от центра Галактики, 0'х2 лежит в главной плоскости и направлена по ходу движения.

Ограничиваясь квадратичным (приливным) приближением, потенциал Ф запишем в виде

ЗФ

(51)

Компактность глобулы позволяет также представить Я в виде

(52)

Из баланса гравитационной и центробежной сил следует

(53)

Тогда, с учетом (52) и (53),

Равновесное газопылевое облако моделируется однородным трехосным эллипсоидом с полуосями (а,, а2, а}) и внутренним потенциалом

<р = nGp{l- Ахх\ - А2х^ - А^х]).

(55)

Полный приведенный потенциал туманности после преобразований приводится к виду

W = <S>„-~

dK°

xf - nGpA2xl +

V

\ V J 0

5 Ф1 Л

— I-.GM

x2. (56)

Согласно теории фигур равновесия [2; 10], поверхность глобулы должна совпадать с уровенной поверхностью W = const. С учетом принятой эллипсои-дальности глобулы это требование дает

W = -X

f 2 2 l\

X, Хч Х'у —+ —+ —

2 2 2 VG1 а2 «ЗУ

= const,

(57)

где X - постоянный множитель, а Ж из (56). Приравнивая нулю коэффициенты при х?, х\ и в (57), в итоге получим систему двух уравнений

ч 1 2 dR\nGp))

4-

1

2 nGp

ox] , \ 3 /0/

(58)

Для реальной средней плотности глобулы />»4-10 21—г, и с учетом

Э2Ф

1 (д2Ф

оценки Оорта [12] для I ^Цр I и-9.21-Ю"30с \ член .

Эх, j0 2nGp\ 8х3 J

«5.5-10"

оказывается значительно меньше значения Следовательно, последний

член в правой части (58) можно отбросить, и тогда имеем

А +

я.

d ( & V <тХ.явр)/

= а\Лг = а1Аъ-

(59)

Анализируя уравнения относительного равновесия (59), приходим к выводу, что глобулы без внутренних течений образуют две однопараметрические последовательности и имеют форму вытянутых сфероидов с осью симметрии, указывающей на центр Галактики. Этот вывод согласуется с результатами наблюдений [12]. Эксцентриситет е вытянутых сфероидов зависит от их удаленности Л от силового центра, однако зависимость е(Я) является сильной только на интервале 0.1<Я(кпк)<3, а в районе Солнца глобулы этого класса имеют

или почти сферическую, или очень вытянутую форму. Ближе критического приливного радиуса, примерно равного 0.1-0.8 кик, глобулы в Галактике существовать не могут.

В параграфе 3 пятой главы рассматриваются эллипсоидальные фигуры равновесия глобул с внутренними течениями. Уравнения гидродинамики во вращающейся системе отсчёта имеют вид

в, ^+Щ ^=_1ЭР + и + ЯЛ+А(ф+9\+2Пиг,

Эх, дх2 р дху ох,

+ £Л2+А(ф + <р)-2Пщ, (60)

дх1 дх2 р дх2 дх2

р ох} дх3

где р - давление внутри глобулы. Внутреннее поле скоростей в глобуле линейное по координатам

щ=—Ах2, и2=-—Лх1, иг= 0, (61)

а2 а,

а давление имеет вид

Р = Ро

( 2 2 2~

(б2)

V «1 «2 <

Используя соотношение (53) и исключая давление, получаем уравнения

2-%-ла-л2 +24, V а2

/

содержащих полную информацию об искомых фигурах глобул.

Система уравнений (63) была решена на различных расстояниях Я от центра Галактики, результаты расчетов приведены в параграфе 4. На любом из выбранных расстояний глобула с внутренними течениями оказывается, как правило, трехосным эллипсоидом, вытянутым в направлении на центр Галактики. Сжатые сфероиды типа ЕЗ могут существовать только в качестве предельных конфигураций. На каждом из допустимых расстояний могут существовать эллипсоиды с разными отношениями полуосей, а значит, и разной геометрической формы. Учёт внутреннего поля скоростей также согласуется с наблюдениями [13]. Установлено, что для глобул должен существовать аналог приливного предела Роша, и эти объекты не могут существовать ближе нескольких сотен парсек от центра Галактики.

В шестой главе решена задача о влиянии широкого материального кольца на внутреннюю фигуру равновесия. Внутренний потенциал кольца в приливном приближении представлен квадратичной функцией от координат пробной точки.

Центральное тело вращается равномерно с угловой скоростью Его фигуру равновесия ищем в виде классического сфероида Маклорена с поверхностью

Тогда поправка к квадрату угловой скорости фигуры равновесия [9], возникающая за счёт гравитационного воздействия кольца, оказывается равной

<Р(Х1>Х2'Хз)=0е(

:32), (а>0).

(64)

(65)

' п2 л

2 лйр

а

лСр

2^ , „ а, 1 + 2-^-

В самом простом случае кольцо может быть однородным. Тогда для плоского кольца с граничными радиусами Л, и и поверхностной плотностью а поправка к квадрату нормированной угловой скорости фигуры равновесия

Г22 ^ = 2МГ а1 (з - 2е2) УГ^е2 2лСр) 3 М0 /?,Т?2 (/?,+/?,)

(67)

Для практических приложений важно рассмотреть также неоднородное кольцо с законом распределения плотности, которое обычно принимается для протопланетного кольца, из которого впоследствии образовались планеты и малые тела Солнечной системы. Этому условию можно удовлетворить, если взять распределение плотности в виде

Ст(г) = с^(/г2-г)( 7-Д,). (68)

В итоге, находим поправку

^ Сл/Г№-А)2

О 2тгСр

К

м0 ^ (л,-*,)^2-/?2)'

(69)

Прилагая формулу (66) к кольцевым галактикам, распределение плотности в широком кольце можно представить законом

г

(70)

В общем случае внутреннюю фигуру звездной системы считаем сжатым сфероидом с эксцентриситетом е, а внутренний радиус кольца положим равным экваториальному радиусу центральной фигуры. В итоге: 1 М. „ г,-+

2лСр

6 М,У '

К

(71)

Здесь р - средняя плотность центральной фигуры.

Часто необходимо учитывать, что многие галактики содержат не только звезды, но также газ и пыль. Масса звезд в галактиках, как правило, значительно

превышает массу газа, поэтому приливное воздействие внешнего кольца сильнее всего будет сказываться на фигуре газовой подсистемы. Возникает новая интересная задача: как учесть приливное влияние кольца не на всю галактику (оно может быть ничтожно малым), а только на газовую составляющую. Приращение квадрата угловой скорости для одной только газовой подсистемы оказывается равным

1

6Мек > л,

(72)

2яСрх ^

Наконец, влияние гравитирующего однородного кругового тора на сплюснутость центральной конфигурации описывается выражением

^--з^гК'-^^Н'"'')*«]* з-п <я>

Здесь К (к) и Е{к)- стандартные полные эллиптические интегралы Лежандра

у

первого и второго рода, а модуль к= — <1, где Л0 и г0 - радиусы осевой и

К

вспомогательной окружности.

Применение формулы (69) для оценки влияния широкого круглого кольца к конкретным объектам показало, что влиянием кольца на сжатие Сатурна и Солнца при современной точности наблюдений можно пренебречь. Однако влияние кольца на сплюснутость центрального сгущения в галактике «Сомбреро» оказывается значительным и составляет примерно 18% от влияния вращения самого газового сфероида. Для красного сверхгиганта WOH 064, окруженного мощным массивным тором, влияние внешнего тора на фигуру центральной звезды, согласно формуле (73), оказывается на 6-7 порядков больше, чем для Сатурна и Солнца, и этим влиянием уже нельзя пренебрегать.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Кондратьев Б. П., Трубицына Н. Г., Мухаметшина Э. Ш. Прямой метод нахождения потенциалов двумерных однородных тел // Вестник Удмуртского Университета. Серия Математика, 2003. С. 71.

2. Кондратьев Б. П., Дубровский А. С., Трубицына Н. Г., Мухаметшина Э. Ш. Пространственный потенциал однородного кругового тора через экви-гравитирующие элементы // Журнал технической физики, РАН, т. 78, № 7, 2008. С. 132.

3. Кондратьев Б. П., Дубровский А. С., Трубицына Н. Г., Мухаметшина Э. Ш. Разложение потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физики, РАН, т. 79, № 2,2009. С. 17.

4. Кондратьев Б. П., Трубицына Н. Г. Нахождение силовой функции взаимного притяжения двух тел методом эквигравитирующих стержней // Вестник Удмуртского Университета. Серия Математика, № 3,2001. С. 41.

5. Кондратьев Б. П., Трубицына Н. Г. Гравитационное и электростатическое

поле однородного кругового конуса // Вестник Удмуртского Университета. Серия Астрономия и математическая физика, №1,2009. С. 62.

6. Кондратьев Б. П., Трубицына Н. Г. Разложение внутреннего потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физики, РАН, № 1,2010.

7. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Фигуры равновесия компактных газопылевых туманностей в галактике // Вестник Удмуртского Университета. Серия Астрономия и математическая физика, №1,2010. С. 52-67.

8. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Приливное влияние колец на центральные фигуры равновесия // Вестник Удмуртского Университета. Серия Астрономия и математическая физика, №1,2010. С. 68-81.

9. Трубицына Н.Г. Фигура равновесия внутри двух гравитирующих колец // Вестник Удмуртского Университета. Серия Астрономия и математическая физика, №1,2010. С. 82-85.

10. Kondratyev В.Р., Trubitsina N.G. Tidal effect of rings on central equilibrium figures // Astrophysics. Vol. 53, № 2,2010. P. 189-201.

Личный вклад автора

В задаче 1 о внутреннем логарифмическом потенциале однородного цилиндра с лемнискатным сечением, основные результаты которой были опубликованы в статье 1, вклад автора состоит в преобразовании и упрощении основного интеграла задачи (1.22) (см. диссертацию), а также в преобразовании и нахождении важных вспомогательных интегралов 1\ и h. Автор выполнила также численную проверку окончательного выражения потенциала и совместно с научным руководителем рассчитала эквипотенциали внутри цилиндра.

В задаче 2 о нахождении пространственного потенциала однородного кругового тора через эквигравитирующие элементы, результаты которой были опубликованы в статье 2, автору принадлежат преобразования сложных интегралов в комплексной плоскости, см. формулу (2.21) диссертации, дающих вклад в потенциал тора от трех эквигравитирующих стержней с чисто мнимым распределением плотности (формулы (18), (19)). Кроме того, автор активно участвовала в проверке эквигравитирующих элементов тора по массе, а также выполнила часть расчетов по основной формуле потенциала тора (21).

В публикации 3, составившей основу задачи 3 о коэффициентах ряда Лапласа для внешнего потенциала однородного кругового тора, автору принадлежит нахождение в конечном аналитическом виде важных интегралов /, и /2 (форму-

лы (29) и (30)), а также в математической обработке и приведении коэффициентов ряда Лапласа Си к итоговому виду (37).

В статье 6 (задача 4) о коэффициентах ряда Лапласа для «внутреннего» потенциала однородного кругового тора автору принадлежит нахождение в конечном аналитическом виде важных интегралов У, из (42) и J2 из (43), а также в математической обработке аналитических выражений для коэффициентов Dlm.

В статье 7 (задача 5) о фигурах равновесия глобул автору принадлежит вывод и анализ полного приведенного потенциала во внутренней точке газовой туманности. Выполнен также теоретический анализ уравнений равновесия и проделаны численные расчеты формы равновесных глобул по формулам, полученным Кондратьевым Б.П.

В статьях 8 и 10, наряду с участием в постановке задачи 6, автор выполнила необходимые расчеты коэффициентов а, играющих центральную роль при оценке приливной силы для всех трех моделей гравитирующих широких колец, а также для модели кругового тора. Собраны сведения о звезде красном сверхгиганте WOH G64. Полностью самостоятельно ею была поставлена задача по оценке приливного влияния двух колец на внутреннюю фигуру равновесия.

Список цитируемой литературы

1. Кондратьев Б. П., Трубицына Н. Г., Мухаметшина Э. Ш. Прямой метод нахождения потенциалов двумерных однородных тел // Вестник Удмуртского Университета. Серия Математика, 2003. С. 71.

2. Кондратьев Б. П. Теория потенциала и фигуры равновесия. Москва; Ижевск: Изд-во РХД, 2003.

3. Кондратьев Б. П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. Москва: Мир, 2007.

4. Кондратьев Б. П. Теория потенциала: эквигравитирующие стержни для осесимметричных тел // Вестник Удмуртского Университета. Серия Математика, № 4,2000. С. 108.

5. Кондратьев Б. П., Дубровский А. С., Трубицына Н. Г., Мухаметшина Э. Ш. Пространственный потенциал однородного кругового тора через экви-гравитирующие элементы // Журнал технической физики, т. 78, № 7,2008. С. 132.

6. Кондратьев Б. П., Дубровский А. С., Трубицына Н. Г., Мухаметшина Э. Ш. Разложение потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физики, т. 79, № 2,2009. С. 17.

7. Кондратьев Б. П., Трубицына Н. Г. Разложение внутреннего потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физики, № 1,2010.

8. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Фигуры равновесия компактных газопылевых туманностей в галактике // Вестник Удмуртского Университета. Серия Астрономия и математическая физика, №1,2010. С. 52-67.

9. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Приливное влияние колец на центральные фигуры равновесия // Вестник Удмуртского Университета. Серия Астрономия и математическая физика, №1,2010. С. 68-81.

Ю.Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1973.

11.Кузмин Г. Г. Публ. Тарт. АО, 34,9,1964.

12.Clemens D. P., Barvainis R. Ар. JS, 68,157-186,1988.

13.Goodman A. A., Benson P. J., Fuller G. A., Myers P. S., Ар. J, 456, 528,1993.

14.Кондратьев Б.П. Динамика и устойчивость резонансных колец в галактиках // Астрон. журн. 2000. Т. 77. С. 323-330.

Подписано к печати 27.08.10. Формат 60 х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4887. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-40-43,428-69-19

ВВЕДЕНИЕ.

1. Гравитационный потенциал и его свойства.

2. Прямой метод нахождения потенциала тел.

3. Теорема Маклорена-Лапласа и ее следствия.'

4. Эквигравитирующие элементы тел.

4.а Эквигравитирующий стержень для однородного сжатого сфероида.

4.Ь Эквигравитирующий стержень для однородного круглого диска.

4 Нахождение эквигравитирующихержней для телазимутальноймметрией методом модифицированного интеграла Коши.

5. Цель работы.

ГЛАВА 1. НАХОЖДЕНИЕ ПРЯМЫМ МЕТОДОМ ВНУТРЕННЕГО ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА ОДНОРОДНОГО ЦИЛИНДРА С ЛЕМНИСКАТНЫМ СЕЧЕНИЕМ.

1. Постановка задачи.

2. Преобразование главного интеграла (1.4).

3. Приведение интеграла R0 из (1.8) к вещественной форме.

4. Приведение интеграла из (1.9).

5. Приведение интеграла R2 из (1.10).

6. Преобразование интеграла N из (1.7).

7. Преобразование вспомогательных интегралов /, и /2.

8. Нормированный внутренний потенциал цилиндра.

9. Нахождение вспомогательных интегралов.

10. Выражения в конечном виде для интегралов Ф15 Ф2, Ф'13 Ф'2 в точках на оси симметрии.

11. Преобразование основных интегралов во второмвырожденном случае

12. Вычисление Ф, и Ф2 в случае комплексных корней.

13. Вычисление Ф|.

14. Вычисление Ф2.

15. Резюме расчетов.

2. Постановка задачи.46

3. Эквигравитирующие элементы тора.47

4. Представление потенциала тора через эквигравитирующие элементы.49

5. Частный случай: потенциал тора на оси симметрии.50

6. Эквипотенциальные кривые гравитирующего тора.51

7. Подведение итогов.52

ГЛАВА 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ВНЕШНЕГО ПОТЕНЦИАЛА ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ТОРА В РЯД ЛАПЛАСА.54

1. Введение.54

2. Разложение в степенной ряд потенциала тора на оси симметрии.55

3. Постановка задачи.55

4. Нахождение коэффициентов С2п.56

4.а Нахождение интеграла 1Х из (3.13).58

4.Ь Нахождение интеграла /2 из (3.14).59

4.с Приведение С2п к требуемому виду.60

5. Радиус сходимости ряда Лапласа.63

6. Предельный случай д = 1: тор без внутреннего отверстия.64

7. Численная проверка основных формул.68

8. Обсуждение результатов.68

ГЛАВА 4. «ВНУТРЕННИЙ» ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО КРУГОВОГО ТОРА. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ЛАПЛАСА.70

1. Введение в проблему.70

2. Метод нахождения коэффициентов ряда.71 2

3. Представление потенциала тора в виде ряда.75

4. Радиус сходимости ряда Лапласа.76

5. Обсуждение.77

ГЛАВА 5. ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ КОМПАКТНЫХГАЗОПЫЛЕВЫХ ТУМАННОСТЕЙ В ГАЛАКТИКЕ.79

1. Введение.79

2. Фигуры равновесия глобул без внутренних течений.81

3. Глобулы с внутренними течениями.87

4. Результаты расчетов.89

5. Обсуждение.92

ГЛАВА 6. ПРИЛИВНОЕ ВЛИЯНИЕ КОЛЕЦ НА ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ.94

1.Введени е.94

2. Постановка задачи.96

3. Формула для поправки к угловой скорости.97

4. Нахождение а для широкого кольца и кругового тора.98

4 а. Кольцо А.98

4Ь. Кольцов.99

4 с. Кольцо С (модель неоднородного кольца для галактик).100

4 <3. Модификация метода. Приливное влияние кольца на газовую подсистему в галактиках.101

4 е. Модель однородного кругового тора.102

5. Численные оценки для моделей колец и реальных астрофизических объектов .103

6. Обсуждение.107

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.109

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.113

ВВЕДЕНИЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решены шесть новых задач по теории потенциала и фигурам равновесия небесных тел. Первая задача - нахождение прямым методом внутреннего логарифмического потенциала однородного цилиндра с лемни-скатным сечением. Вторая задача заключается в нахождении внешнего пространственного потенциала однородного кругового тора через систему из пяти его эквигравитирующих элементов. Третья задача посвящена разложению внешнего потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа с одновременным определением коэффициентов этого ряда. Та же самая проблема разложения в ряд Лапласа, но уже для «внутреннего» потенциала однородного кругового тора, решается в четвертой задаче. Пятая задача посвящена изучению фигур равновесия компактных газопылевых туманностей в Галактике. Шестая - о вращающейся фигуре равновесия внутри5 круглого кольца. Основные результаты диссертации следующие:

1). Прямым методом найден внешний «потенциал цилиндра с лемнискат-ным сечением и построено семейство эквипотенциалей. Показано, что они образуют два семейства кривых, разделенных сепаратрисой с нулевым потенциалом на ней. На семействе замкнутых кривых, расположенных внутри сепаратрисы, потенциал имеет положительное значение и достигает максимума на оси симметрии в точке Ъ к 0.47077. Вне сепаратрисы эквипотенциали разомкнуты и потенциал на них отрицателен. Несмотря на сложную форму сечения цилиндра, внешний потенциал такого цилиндра получен в конечном виде через элементарные функции. Тем самым расширен список тел с известным потенциалом и на примере цилиндра данного типа демонстрируются широкие возможности прямого метода нахождения потенциалов тел с логарифмическим потенциалом. Нахождение отдельных интегралов в этой задаче представляет собой дополнение к справочникам.

2). Через эквигравитирующие элементы впервые был получен гравитационный потенциал тора в произвольной внешней точке пространства. Проведена всесторонняя проверка полученных аналитических результатов. Она включала

109 в себя численное сравнение найденного данным методом потенциала тора с тем выражением, которое было полученным ранее совершенно другим способом -через тонкие широкие круговые кольца. Это сравнение позволило убедиться в достоверности обоих известных теперь представлений внешнего потенциала однородного кругового тора. Кроме того, был выполнен предельный переход от общего выражения пространственного потенциала тора к потенциалу на оси симметрии Охз. По найденной основной формуле рассчитано семейство экви-потенциалей тора.

3). Найдено разложение внешнего потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа и впервые получены точные аналитические формулы для коэффициентов этого ряда. Показано, что они выражаются через полиномы Ле-жандра, зависящие от геометрического параметра тора. Найден радиус сходимости данного ряда. Данный результат важен для-практических целей и интересен тем, что, как известно, и сам ряд Лапласа представляет собой разложение потенциала тела по полиномам Лежандра. Проверка показала, что найденный ряд быстро сходится и даёт правильные результаты.

4). «Внутренний» потенциал однородного кругового тора представлен в виде ряда по полиномам Лежандра. Найдены точные аналитические формулы для коэффициентов этот ряда и показано, что они выражаются через стандартную гипергеометрическую функцию Гаусса. Проверка показала, что этот ряд быстро сходится и дает правильные результаты. Найден радиус сходимости ряда и установлено, что он зависит от геометрического параметра тора. Найдены границы пространственной сферической оболочки, внутри которой ряд Лапласа для внешнего и «внутреннего» потенциала тора уже не работает, и в этой области задача о представлении потенциала тора рядом должна решаться специальными методами.

5). В эллипсоидальном приближении изучены фигуры равновесия газопылевых туманностей в Галактике и в других гравитационных полях. Результаты имеют теоретическую новизну (расширение теории классических эллипсоидов Римана и фигур Роша, обобщение классического приливного предела) и практическую ценность при изучении глобул и туманностей. Фигуры относительного равновесия (без внутреннего поля скоростей) образуют две однопа-раметрические последовательности и имеют форму вытянутых сфероидов с осью симметрии, указывающей на центр Галактики. Эксцентриситет сфероидов зависит от местоположения глобулы в Галактике, и на солнечном круге глобулы имеют почти сферическую или очень вытянутую форму. Фигуры равновесия туманностей с внутренними течениями являются трехосными эллипсоидами, вытянутыми также в направлении на силовой центр. Вблизи центра глобулы имеют обратные течения (противотоки), а более отдаленные конфигурации допускают оба направления поля скоростей. Выведена и решена полная система уравнений для фигур равновесия. Фигуры равновесия обоих классов не могут существовать в поле Галактики ближе некоторого критического приливного радиуса, равного 0.1-0.8'Кпк. Вывод о вытянутой, форме глобул согласуется с данными наблюдений.

6). Рассмотрена фигура равновесия в виде сфероида Маклорена, находящаяся внутри широкого гравитирующего кольца или тора. В приливном приближении получена общая формула для поправки к угловой скорости вращающегося сфероида Маклорена, представляющая возмущение от кольца. Для трёх моделей колец и кругового тора исследования доведены до числа. Установлено, что влияние кольца на сжатие планеты Сатурн оказывается пренебрежимо малым. С точки зрения точности современных наблюдений можно пренебречь и влиянием кольца из планет и малых тел солнечной системы на сплюснутость Солнца. Однако, для звезды-красного сверхгиганта \\ЮН 064, окруженного мощным массивным тором, влияние внешнего тора на фигуру центральной звезды оказывается на 6-7 порядков больше, чем для Сатурна и Солнца, и этим влиянием уже нельзя пренебречь. Выведена теоретическая формула, описывающая приливное влияние гравитирующего кольца на одну только газовую подсистему галактики. Применение этого модифицированного метода позволило выяснить, что влияние мощного пылевого кольца вокруг галактики NGC 4594 «Сомбреро» на сплюснутость газовой подсистемы в ней весьма значительно и составляет примерно 18 % от эффекта вращения газового облака.

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

2. Антонов В.А., Железняк O.A. Расширение кольцевых структур в галактиках//Астрофизика. 1988. Т. 29. Вып. 1. С. 178.

3. Антонов В.А., Тимошкова Е.И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988.

4. Антонов В.А., Никифоров И.И., Холшевников К.В. Элементы теории гравитационного потенциала и некоторые случаи его явного выражения. СПбГУ, 2008.

5. Бисноватый-Коган Г.С. Mon. Notis. Roy. Astron. Sos., V. 174, P. 203, 1976.

6. Бисноватый-Коган Г.С. Pis'ma Astron. Zh., V. 10, P.l 81, 1984.

7. В книге: Строение звездных систем. M.: ИН, 1962. С. 429.

8. Витязев A.B., Печерникова Г.В., Сафронов B.C. Планеты земной группы. М.: Наука, 1990.

9. Волков Е.В. Астрофизика, 1990. Т. 32. С. 133.

10. Воронцов-Вельяминов Б.А. Внегалактическая астрономия. М.: Наука, 1978.

11. Дибай Э.А. Астрон. журн. 1972. Т. 35. С. 1134.

12. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.:Наука, 1968.

13. Кисляков А.Г., Тернер Б.Е. Астрон. журн. 1995. Т. 72, № 2. С. 168.

14. Кондратьев Б.П. Анизотропия дисперсии скоростей в эллиптических галактиках. // Письма в АЖ. 1981. Т. 7. С. 83.

15. Кондратьев Б.П. Динамика и устойчивость резонансных колец в галактиках // Астрон. журн. 2000. Т. 77. С. 323.

16. Кондратьев Б.П. Прямой метод вычисления внешних и внутренних потенциалов двумерных гравитирующих тел // Тез. Всерос. астрон. конф. С.-Петербург, 2001.

17. Кондратьев Б.П. Прямой метод нахождения внутренних потенциалов однородных двумерных гравитирующих тел // Тез. Всерос. астрон. конф. Москва, 2000.

18. Кондратьев Б.П. Теория потенциала и фигуры равновесия. Москва; Ижевск: Изд-во РХД, 2003.

19. Кондратьев Б.П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. Москва: Мир, 2007.

20. Кондратьев Б.П. Теория потенциала: эквигравитирующие стержни для осесимметричных тел // Вестник Удмуртского Университета. Серия Математика. 2000. № 4. С. 108.

21. Кондратьев Б.П. Теория потенциала: эквигравитирующие стержни для осесимметричных тел // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41, № 2. С. 247.

22. Кондратьев» Б.П., Дубровский А.С., Трубицына Н.Г., Мухаметшина Э.Ш. Пространственный потенциал однородного кругового тора через эквигравитирующие элементы // Журнал технической физики. 2008. Т. 78, № 7. С. 132.

23. Кондратьев Б.П., Дубровский А.С., Трубицына Н.Г., Мухаметшина Э.Ш. Разложение потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физики. 2009. Т. 79, № 2. С. 17.

24. Кондратьев Б.П., Озерной Л.М. Письма в АЖ. 1979. Т. 5. С. 67.

25. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Гравитационное и электростатическое поле однородного кругового конуса // Журнал технической физики. 2009. Т. 79, № 12. С. 26.

26. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Гравитационное и электростатическое поле однородного кругового конуса // Вестник Удмуртского Университета. Серия Астрономия и математическая физика. 2009. № 1. С. 62.

27. Кондратьев Б.П., Трубицына Н.Г. Разложение внутреннего потенциала однородного кругового тора в ряд Лапласа // Журнал технической физики. 2010. Т. 80. Вып. 1. С. 23.28.